geogebra教程

粉丝群的学霸们大多使用 jujibro， jibro 的确能让孩子的数学能力提升一大截，他不仅能锻炼孩子的指挥作图能力，更能直观的解决动点问题。模拟系数变化对二次函数的影响模拟含有字母系数的二次函数变化规律。 即使仅仅学会取二次函数某范围内的点，也会让你对二次函数的理解到了另一个高度。完整的教程就在小店里，更有我们之前发布视频的实力讲解。

对于一线的老师来说，要学习 gtb 这个软件，最好的方法就是完成一个实际图形，在完成的过程中学习 gtb 各种工具的使用方法， 比如在平民几何中，这个问题是一个很经典的问题，这里有两个等边三角形，这两个三角形边长 位置都可以进行变化，不过他们俩有一个功夫点，这样的图如何去做？我们来看过程。首先我们来绘制两条线段， 这是一条，然后我们再会这一条，注意这两条线段有一个公共点，然后我们要会 位置正三角形，选择正多边形工具，然后选中这两个点，这时候出现顶点数，我们输入三回车，然后选择这两个点， 输入三会车，然后再选择先正工具，把这两个点连起来，这两个点连起来， 这样我们得到的这个图形就是可以旋转调整大小，变化位置的图形。 我们注意到图形中每一条边都用小写字母给我们表出来，如果我们不想显示这些小写字母，我们可以在属性这 去掉显示标签这个对勾，这样我们就可以把这些表示线段的小写字母去掉。在本题中一般要证明全等三角形， 如果我们想证明图中两个三角形全等的话，我们可以给这两个三角形加上颜色，我们在多边形工具这选择多边形， 对于他的颜色我们可以进行调整， 这里是线的颜色， 通过调整虚实 填充的方式，标准填充就是用颜色填充，气盘填充，图片填充，我们可以选择一个图片 网格填充，比如我们再画另一个三角形， 注意画三角形的时候，或者说画多边形的时候要从哪个顶点出发，一定要再回到这个顶点上，这个图形我们也来调整一下它的颜色，比如说 在这里我们可以改一下，这样我们在拖动点的时候， 想证明全等的这两个三角形就非常清楚， 你学会了吗？

各位老师大家好啊，今天我们做一个简单的案例啊，就是大家看到的这个旋转的花瓣啊，我们这里边可以看到这是由一个 十二个半圆先做一个滑动条啊，滑动条的话就是一个角度滑动条啊，从零到三百六啊，这次我们把增量呢调小一点啊，调零点一啊，让他这个运动的时候运动的慢一点啊， 好，这是第一步啊，好，第二步呢，我们就做这个半圆啊，在这里边做一个半圆啊， 看，这里边我们可以这样做啊，也可以直接啊斜啊，把这两个 点就可以，不要 这样去写一个半圆啊，把这两个点就可以删掉了，对吧？当然这里边的话，这个半圆呢，我们先让他旋转起来啊，让他旋转啊， 让他旋转一个负啊啊，这里面我们可以直接不写这个啊，旋转中心啊，默认旋转中心，就是零零的位置啊，所以的话我们可以把这个 旋转的时候啊，不写旋转中心，就是默认旋转中心。连连第三步啊，我们就要做一个序列 啊，做一个序列，做一个旋转的序列，我经常给 大家讲的就是我们这个旋转的话啊，经常和序列啊进行一个搭配使用啊，那旋转的对象肯定就是我们这个半圆啊，旋转的度数呢，肯定就是我们这个 阿法啊，然后这里面加上我们的序列的边量，哎啊，边量是哎，即使只是从零开始到 十一，哎呦，我们最后旋转十二个啊，就是这样一个效果啊，就是这样，好，这样我们基本就完成了啊，后面的话就是调整一下效果啊，首先的话我们把滑动调啊，这个速度要调慢一点 啊，这个是啊，要调慢点，然后把他这个重复啊，调成递增啊，递增，因为他从三百六到零其实是没有变化的，对吧？然后 他就继续转啊，这样就转成了一圈啊，转成一圈，好，我们可以看一下啊， 现在的一个效果，对吧？啊，好，这是我们可以实现了啊，然后我们就调这个颜色的效果啊，调这个列表啊，就是这个列表的动态颜色啊，我们用动态颜色，然后把这个动态颜色的模式调成这个 hsv 或者这个都可以啊，都可以。然后这里边我们用这两个的话，我们主要调这个色调啊，色调色调的话，我们让他根据我们这个阿发的值来变化，我们用一个阿发除以三百六十 度，哎，这样的话这个色调呢，就从零能变到一，对吧？然后饱和度我们 设置为零点五吧，明度我们也设为零点五，然后虚实也设为零点五，也就是下面三个都设为零点五，然后只有第一个啊，是变化的色调啊，这样的话看一下效果， 把这个 c 隐藏掉啊， 这样的话他在最开始的时候应该是红色的啊，然后从红橙黄绿一直变过去啊， 好，就是这个啊，我们已经基本做完了啊，最后的话我们把坐标轴隐藏，把绘图区设成黑色的，这样的话这个颜色会更好看一些啊，看是不是更好看一些，这样的话就完成了这个案例。

好，上一角呢，我们讲了一些，嗯，几何图形的一些绘制的方法，那这一角呢，我们将会来进行一些常用的函数的指令输入来进行讲解。首先呢我们要获得第一条函数呢，是反比例函数，反比例函数呢，我们可以 输入在指令框输入一，然后呢输入除号，在键盘当中这样的一个反斜杠是我们的 除号，表示的是除号，那除以 x 就出来了我们反密列函数的这样的一条 函数，那函数输入完了以后的话，他会给我们一个自动的名称 fx， 也就 fx 等于 f 四分之一，这个时候呢是指令的第一个，那第二个呢，我们要输入的就是正常 的直线函数，也就是一次函数，那他就可以正常的数 y 等于，比方说我要输入一个三倍 x 加弧，这个时候呢就是正常的输出来一条直线，同时呢这个直线的话，他会给我们的 直线负一个值，负一个名称叫记，所以呢待会的话我们可以去引用这两个东西，那引用这两个东西我们还来简单的复习一下，上一节课我们讲到了 焦点的指令，樱桃肺，就这一条指令，然后呢樱桃肺的指令的话，我们就可以去调我们所需要的这个东西 啊，你看啊，这两个对象，那我们来表示想要挑 f 和 g 的两个焦点，这个时候呢，他会通过去计算我们获得的这 两个焦点，好，这是第一个，那第二个呢，我们要获得的就是，嗯，凡比例函数，一次函数，接下来就是一月二次函数，第二次函数也可以，只要直接输入 y， 等于 比方说两倍的 x 啊，这个时候呢，一元二次的话，次方的话是用 shift 按住 shift 加上这个六这一个键，这种箭头代表的是次方的含义。好，这个呢是 x 的平方，再加上必备的加上三倍的 x。 好，那在这里面呢，我省略了一个乘号的写法，因为这是个代数式的话，我可以省略的一个乘号的写法，但如果你不省略，比方说是三乘以四，这个时候呢，你如果不写乘号的话，就是三十四， 把它调一下，调成这种跳一点五吧，这样子的话，他会获得我们的一元二次函数的一个图像，这个是我们所讲的常用的一些函数指令，那同时呢，我们还有一些指令表示说三 x 在 x， 你可以直接输入，然后呢让他是 x， 包括扩散 ax， 嗯，我们可以调扩散 ax， 好， 都是有的，所以呢我们可以直接去调，调完以后呢，因为是函数，是我们重点要绘制的地方，所以呢他会在不同的函数的话，如果你同一个图形当中有多个函数的话，系统会默认以多个颜色去进行绘制。 好，这个是我们讲的简单的函数的指令输入，这里面需要注意的是除法是我们呃， 键盘上跟问号在一起的那个反斜杠，第二个呢是我们的四方的是一个小箭头，然后呢我们在输入的时候呢，可以进行 乘乘号的省略，但是省略的前提是一个数与一个 x 啊这样的对数形式，但是两个数相乘的话就不能去整好，那我们今天这一讲呢，就到这个地方。

昨天啊，有人问我说纠结格瑞这个软件怎么下载？是不是免费的？这里我给大家完全的演示一下，这个软件是完全免费的，咱们打开浏览器输入纠结格瑞，然后直接进入他的官网， 进入官网之后我们看一下左边，左边这里有应用下载，点击应用下载到这里，我们可以看到很多的软件，咱们找到这里的经典六和经典五，经典六和经典五是其他五个软件的一个结合体， 所以建议大家直接下载经典五或者经典六，那么经典五直接这里点击下载即可，下载之后安装与其他的软件是一样的安装，那么经典六右侧这里 有个打开，打开的话也就是使用他的网页版还有下载，那么这里这里要注意，这个经典六下载完之后啊，他不是一个安装文件，他在使用的时候和这个网页版是很像，但是经典六有一个很大的优点， 不仅仅在电脑上使用，他还可以在手机平板上使用。那么经典五个经典六他们的使用的这个方法里面用到的指定基本上都是一致的，所以这里更有优缺点，大家可以自己去尝试一下。 我这里呢用的是九几个瑞经典五，如果你也下载的是九几个瑞英的这个经典五，那么你在初次打开这个软件的时候，可能会出现的是这样一个英文界面，英文界面，如果 英文好的，建议大家直接使用英文界面是吧？呃，要是把它改成简体中文的话， 咱们点击上面这个 options， 点击他 language， 然后找到简体中文 好，这样就是在中文模式下，中文模式上有很多优点啊，不用我说大家也知道了，这里比如说点击选项，试图编辑一看就能看的很明白啊。但是中文状态啊，他有一个缺点，就是你在这里输入指令的时候， 你输入的是中文，他不能够自动补齐，而且输完之后还要去切换英文，因为在这个软件里面所有的标点符号以及括号，还有一些个呃，一些个对象的名称， 他都是用英在英文状态下输入的，所以他总需要中英文的输入啊，如果你要是英文状态下，那么很多一些个指令啊，虽然很长，咱们只需要记两三个字母就可以了，他会自动的去给你补齐。好，这里咱们举个例子来看一看， 比方说我在这个平面上点击两个点，咱们把 ab 连接起来，构成一个线段，在中文状态下，那么我就直接输入指令线段线段，然后切换英文状态， 然后输入 a b， 好，如果是在英文状态下啊，咱们看啊，你在中文状态下，当然也可以输入英文指令，但是输入的英文指 指令，他不会自动补气，线段的英文指令是塞个门，咱们输入看一下 啊，你要需要把它全都给输入赛克曼，然后是 a。 好，咱们看一下，如果要是把这里的语言，咱们要改成英文状态下， 那么咱们只需要输入 seg 啊，他自动就补齐了，然后你点击这个回车，再输入 ab， 自动生成。 所以在这个英文状态下，我用中英文切换，那么很多的指定虽然长，咱们用的多了，也就把它记住了，记住前三个 或者四个是吧？已经就足够用了。那么再比如其他的一些个，比如说迭代，迭代 啊，我只需要输入三个字母 ite items， 这个迪拜命指令他自动就出现了。那么再比如说序列指令 seq 也是自动生成，自动补漆啊。这里咱们初学者呀，我还是建议大家去使用中文版啊，中文版因为更好入手，当你熟练了之后，你再去切换这个英文版，这里我再把它改成中文状态下。

嗨，大家好，今天分享函数系列教程，函数二十五，用滑动条实现函数图像的逐渐显示。 在这里做了一个案例，我们先看一下，我们可以点击秒点， 然后就描出来了正弦函数当中的五个点，也就是正弦函数。用五点做头发的时候，我们描出来的五个点， 再点击连线，就会有一条光滑的曲线事上也就是正线函数的图像去连接这五个点，最后点击下复原，就恢复了初始状态。 今天我们就用这个案例来探讨用滑动条实现函数图像的逐渐显示。 那首先我们来了解一下滑动条，一般我们是用工具来创建滑动条，在工具当中这一栏里面第一个就是滑动条工具， 我们点击一下，然后再点击一下绘图区的空白处， 那这时候就会创建一个滑动条，只不过我们要选择一下这个滑动条的一些属性。滑动条一般分成三种类型， 一种是树枝滑动条，一种是角度滑动条，一种是整数滑动条。 我们可以在刚开始创建的时候选择是否随机，随机的意思就是滑动条竖直在变化的时候，他不是由小到大这样来变化的，而是一种随机的变化，跳跃性的一个变化。 我们可以对滑动条他的范围加以控制，默认的数字滑动条的范围是负五到五， 我们也可以对他的增量进行自主的设置，如果没有设置，那么他可能是默认，一般的情况下，他增量呢是零点一，也就是 每次变化过程当中，每次是增大了零点一，当然了角度滑动条呢，他的默认是零度到三百六十度，增量是一度整数，滑动条默认是一到三十，增量是一。 我们可以对滑动桥的他的位置，也就他呈现的类型是水平还是垂直来进行设置，也可以对他的动画的速度还有重复的类型来进行设置。 那在这里我们就直接创建一个比较简单的数字滑动条，负五到五，增量是零点零一确定，这时候在绘图局当中就会有一个滑动条 变量的呈现，我们可以按住鼠标左键拖动这个滑动条，使他使得他的数值发生变化。 创建完花定条之后，我们可以右击打开它的属性， 在他的属性里面进行更加详细的设置，可以去改变滑动条的最大值和最小值，改变他的增量。 滑动条是否固定，固定的意思就是当你选中固定之后，这个滑动条他的位置就不能够发生变化了， 如果不够不勾选，那么这个滑动条你可以把它拖动到任何你想要的位置，包括他的 典型。比如说下面我们输入一个典型是十，确定，你会发现滑动条上的这个点，他的 半径啊圆的半径就会发生变化，就会变大，默认做是五，包括它的颜色你可以去调节，比如说我们调节成红色，还有线型的宽度， 世上也就是这个线段的长度默认做是两百像素，我们可以调整到一百， 或者调整到五十，你想要的包括线径就是他这个线段的宽度，比如我们调节成三，那这个线段看起来就变细了， 包括它的这个颜色我们也可以设置，也可以设置这个点的颜色跟这个线段的颜色不一样， 包括后面他的虚实程度，我们都可以进行设置，还有其他的常规我们也可以进行一些设置啊，常规 好，其他的呢，大家可以自己去摸索，在这里我们就不再一一介绍了。 好，下面呢，我们就好先把它再设置过来啊，默认的一个设置 啊。下面呢，我们就做刚才的那个案例，五点做头法，做正显函数在一个周期内的图像， 我们先把这个滑动条删除，那首先我们是要做五个点， 那为了能够体现出正线函数啊，他的字变量是一个弧度制啊，这样的一个角度，我们可以打开绘图区当中的属啊这个属性，右键单击打开绘图区， 然后将 x 轴他的单位调成 pi。 好，下面我们就开始制作，在指令框当中 输入序列， 使用这样的一个序列指令表达是在这里面是点的坐标， 我们是二分之拍乘以 i， 这是横坐标，重坐标就是二分之拍 乘以 i， 它的正弦值变量是 i 是从零到五， 好，在这里面应该是零到四，好确定。这样就创建了一个放有五个点的 序列二一，然后创建一个滑动条，这个滑动条是整肃滑动条， 从零到五确定，再创建一个数字滑动条 是从零到二派，至少你也可以创建一个角度滑动条， 然后我们再输入一个指令序列序列指令，序列指令表达是是二一， ib， i 是从一到 a 确定，那这个指定的意思是我们取出二一当中的这个列表，当中的元素， 从第一个元素到第二个元素全部取出来，组成了一个新的列表， 当 i n 等于零的时候，那 l 二这个列表里面什么也没有。当 i n 等于一的时候，他就是由 l 一的第一个元素构成的列表。 等于二的时候，就是由二一当中的前两个元素构成的列表，依次类推，一直到 m 等于五的时候， 然后再在 指定框当中输入指定如果，如果零小于等于 x 小于等于 a， 产生的结果就是 sign x。 这个的目的是用 a 这个滑动条来控制这个连线的过程，我们可以看一下，当 a 发生变化的时候，那这个曲线就出出现一个绘制的一个过程。 好，最后我们呢创建三个按钮，第一个按钮叫做秒点， 他的脚本里面我们写入叫启动动画。哎，确定第二个按钮叫做连线， 他的脚本里面写入启动动画， 最后一个按钮叫做复原，他的脚板里面写上复直， 对于 a 进行复制，复制成零，然后复制。对 a 进行复制，复制成一，然后确定。好，我们来看一下效果，点击下复原。 哦，那在这里好像有点状况，我们应该是对 an 进行复职，复制成零， 然后 a 进复制，应该也是复制成零。 我们隐藏 l 一这个列表，然后点击秒点， 那就会依次来呈现出这五个点。 好，再来一下看看， 然后再点击连线。 好，我们可以看一下，在这样的一个动画过程当中，出现了一些状况，因为当滑动条 a 在变化的时候， a 也发生了变化，那我们不想让他发生变化怎么办呢？我们可以打开 a 滑动条的属性，属性在他的脚本更新时写入启动动画 a force， 也就是不启动动画，也就意味着 a 滑动条在变化过程当中， a 是不发生变化的。 那这样我们再来看一下这个过程 哦，刚才我们是不是写错了，看看啊， 瞄点，嗯，这里哪里又出错了呢？我们来看一下 复原描点。描点的时候我们应该是让启动动画 a， 这里应该是不启动啊，我们在这再添一个啊，因为有的时候他会出现这种情况，我们不启动。这时候的 a， 我们加入一个脚本，我们再来看一下秒点， 然后再看连线。 好，这样就 ok 了，只不过我们再要调整一下滑动调 a， 它的重复类型 应该是递增一次，这样就可以了。这时候我们隐藏两个滑动条， 然后再调整一下按钮的位置，可以先解除锁定，调整一下他们的位置。 当然你也可以改变一下这些按钮的背景颜色和字体颜色。 how？ 那这样用五点做图法啊，这样的一个案例，做正向函数的图像我们就做好了。 好，关于用滑动条实现函数图像的逐渐显示，这个教程我们就分享到这里，感谢聆听，再见！

首先打开九九个瑞经典五这个软件，那么这个软件我建议现在呢咱们看一下，这界面是中文版的，那么我建议大家呢使用他的英文版，因为英文版的输入的效率非常高，输入的速度快， 那么有人说我英语不好该怎么办呢？那么这节课我来教一教大家，如果你的英文不好，那么就如何把中文指令改成英文指令。好，咱们现在这个中文指令状态下，比方说咱们先点击两个点 啊，两个点，然后呢连接 ab， 构建一个线段，所以在这个中文指令下，咱们输入线段 切换英文状态。好，那么现在他已经弹出了这个线段指定的使用方法，那第一个就是两个点 连接一个线段推车，然后输入 a、 b 连接，现在呢选用英文输入， 大家点击这个选项语言，好把它改成英文书， 那么现在我们看一下已经变成了英文的界面，然后再回到这个代数区，代数区，然后双击这个 f， 会弹出这样一个对话框，我们看一下刚才你输入的中文指令，他已经变成了英文 segment， segment， 然后大家找个笔记，把这个英文给他记下来，记下来之后，那么下次你再使用的时候，只需要输入他的前三个字母 s， e， j， 然后他就会自动的补齐。 那么对于一些常见的指令，咱们开始呢这个单词开始的时候可能要多看几次，用不了几次咱们也就熟悉了啊， 那么现在咱们就在英文指定下是吧？在这个英文的状态下，咱们用英文指定输入三个门的，那就是 s， e， j， 咱们看自动已经就弹出来了，那么直接点击回车就可以了，回车然后输入 a b， 哎，这种效率比较高 啊。再比如我现在想用平移指令，好，咱们先切换到整体中文平移， 然后再构建一个限量。 如果现在咱们想把这个语儿按照我刚刚所建立的这个限量去平移，那么在中文状态下，咱们就可以直接输入平移平移，然后切换到英文状态， 已经弹出了他的使用说明，输入几何对象，还有一个限量会撤几何对象。圆的名称叫 c 这里了， c 在这个分数区也可以看到圆的名字是 c 这里了。 x 加零点四二的平方，这个是圆方程，那么输入 c 限量，这是刚刚建立的限量 u 啊，确定 看一下这个鱼儿已经生长，然后咱们再说再把这个选项切换到英文状态下， 然后回到代数区，双击这个圆 c 瓢， 咱们看一下刚才输入的平移指令已经变成了这样一个英文 translate， 大家下次再输入的时候，只需要出入七二 a， 它自动生成啊，咱们把这里隐藏 在英文状态下，再输入一下，那就是 tra， 好，咱们看一下他已经自动生成了，然后回车 输入 c， 再输入 u 啊，咱们看这个效率是非常高的。

呃，大家好，我是董 sir， 今天咱们来回答老师一个问题啊，呃，就是说咱们的呃教室里的电脑如果没有安装呃交际文软件，那么怎么来打开这个 gdp 程序啊？ 啊？其实我们有的时候没有必要非得在电脑里边安装这个交警软件啊，我们可以用绿色版本的。 呃，再比如说我们去外地啊，到别的这个环境里边讲公开课啊，赛课的时候，对吧？我们可以把这个课件 和这个交警本的绿色程序啊都放到 u 盘里边啊。今天呢我就来演示一下啊，我们怎么样在 u 盘里边使用啊？首先呢我打开我的电脑啊，打开我的电脑，现在这个就是我 优盘，我把这优盘打开，然后呢现在我在我这优盘里边啊，把那个绿色版本的程序啊放到这个优盘里边，我这里边已经有了一个绿色程序啊，我先找到了我那个绿色程序 工作软件，这个就是绿色便携版的啊，这我已经写好了啊，备注上绿色便携版的，现在我把它复制一下，复制一下，然后呢放到我这个优盘里边，这是我这个优盘放到我这优盘里边， 当然现在呢他是一个呃压缩文件，我还需要把这压缩文件再解压缩，现在咱们等一下，等他完成，现在这个压缩文件就放到 u 盘里边了，我们再来点一下，把它解压， 解压到这个绿色便捷版的啊，我们把它解压到了，解压一下，现在正在解压， 现在就解压完成了，就解压这个文件夹里边，我们打开啊， 哎，在这个里边这又有一个应用程序啊，我们那个 g g b 文件啊，都是用这个应用程序来打开的啊，好，咱们再返回来啊， 返回到这个 u 盘里边，然后呢？我把那些课件放到也放到这个 u 盘里边啊，现在这样，我再呃，再在我的这个 全套课件里面任意找一个课件啊，我任意找一个课件，我就找这个课件吧，我把它复制一下啊，这个课件我把它复制一下也放到我那个优盘里边啊，放到我那优盘里边 把它粘贴到这个 u 盘里粘贴到这个 u 盘里边呢，现在你看这个图标啊还是这个图标，这是因为我 的电脑里边安装过那个程序了，安装这个交集不就是程序了？现在我希望现在这个就是和这个程序啊都在 u 盘里边啊，大家看都在 u 盘里边， 我呢，我把这个程序的打开方式注意啊，把这个打开方式修改一下，这个程序就是我电脑里边安装的，现在我把它修改修改成选选择其他应用把它修改为啊更多应用里边更多应用里边啊，然后急找啊， 在这台电脑查找其他应用在这台电脑查找其他应用，我们找到这个本地磁盘 啊电脑里边，然后这个，好，这就是那个 u 盘啊，这个 u 盘，我在这个 u 盘里边找到 绿色便携版的，就是我刚才这个解压到那个那个地方啊，好，就是这个程序，这个这个程序是在不是我电脑里边安装的那个程序啊？这是咱们那个优盘里边啊，优盘里边刚才解压的这个程序啊，好，我们用这个来打开， 现在呢？你看我这个程序啊，软件啊、课件啊，就是用我刚才挤牙的那个程序来打开了啊，大家看看这个就可以正常使用了啊。可以正常使用，简单演示。演示啊，跟我其他的都是一样啊， 能能能够用就可以啊。好，关闭啊。好，今天这个视频咱们就回答老师这样一个问题啊。

这个是我们的效果，我们接下来看这个图他是怎么做出来的？ 首先呢我们需要找到一个球面， 那球面的话一般选取的是球心与一点，然后就先选取球心，再选取一个点，这是一个比较大的球面，我们可以把它当做是一个太阳，接着你用手把它给呃放大的时候， 我们可以发现这个球可以变大，也可以变小，那为了方便起见，我们可以把它变得稍微小一点， 把它当做是一个太阳。接着我们要画一个轨迹圆， 我通常喜欢选取的是三点，确定一个圆，我们找到这里三点圆点一下，然后呢你在这个平面找到三个点，这三 点会自发的变成一个圆。好了，这是我们的三点圆，同时呢我们这个三点圆，你还可以自由的去变化，例如说你去移动这个点，他是可以去 变化的。好了，这是我 我们的三点元，我们可以把它变得更加的中心对称一些，然后接着呢， 客官请注意，请打开 后，接着呢我们可以在这个圆的轨迹上也做出一个球体，仍然是利用我们刚刚说的球面先找到 一个点，然后呢再画画出他这样一个球体，那同样的呢，现在我们就做出了这样的两个球体，一大一小，我们还 可以去改变球体的颜色，我比较喜欢绿色。嗯，这个里面的这个，我们可以把它里面的这个球体，我们可以把它变成一个这样的颜色来做一个区分。 那这个时候我们通常球在转动的时候是需要有一个中心轴的，那么就可以做一个垂线， 要做垂线的话，我们可以去选取这里对应的这样的一个垂线，首先呢我们可以去找到一个平面， 就找到这个吹线， 现在的话我们这个 垂线也已经做出来了。为了使同学们看的更清楚一点，我们可以找一个对向上的点， 点一下这个，然后选取我们的蓝色的这个球，在上面点一个点，那点这个点的时候，我们可以把它进行一个命名，假设他为呃 s， 我们这个点就已经找到了，在转动的， 我们可以发现这个点他也在不断的转动， 可以用这样的一个图像，立体图像让同学们看的更清楚。在这个绿色的球体上，我们也可以去找一个点， 最上面点一个点，同样的这个点我们可以进行一个改变，把它变成红色， 他的字母表示为哀。其实如果是在我们太阳与地球的这样的一个呃模型当中，我们 我们的这个地球不仅是围绕着太阳进行一个公转的，太阳自己也是在转的，而且我们的地球他同时自身也在自转，具体 怎么去做出地球自转的样子，同学们如果想知道的话，可以在下方评论区留言， 我们可以用这个模型在物理当中进行一个应用，例如我们在 这个地球围绕着太阳公转的过程当中，地球是在不断的自转的，那么我们地球 在自转的过程当中，他的身这个各部分相对于呃我们太阳的位置变化其实是非常复杂的，由此我们就得出了可以去将 地球围绕着太阳公转的这样的一个模型进行一个问题的简化。既然是研究地球围绕太阳公转， 并且地球离着太阳的这个距离是非常的远的，那么我们就可以忽略 地球本身的形状、体积大小，直接将地球简化成一个有质量的点，这也是我们的理想化模型支点他的由来。

ggb 是一款基于几何代数系统的数学软件，全称为 gajibra。 它的特点是使用方便，界面简单清晰，是学生、教师以及研究人员在图形绘制、数据采集甚至实验研究等方面的理想辅助工具。 ggb 软件支持多种操作，并且能够帮助用户动态的展示和分析数学概念，从而提高学习效果。 此外， ggb 软件还有丰富的插件和扩展功能，包括三 d 图形、微积分、统计动画等，可帮助用户深入了解更多数学知识，爱研修。 ggb 系列课程是专业为一线教师而打造的， 学习怎样使用这个软件将会从使用工具、使用指令、使用脚本三个层次循序渐进的学习使用这个软件。下面用个案例来进行展示。闲途与八卦 先前菜品老师建议我把咸图制作一下，这个就是咸图， 标准的前途是勾股数三四五，这个是八卦， 也体现了中国传统文化。我们一起看一下怎么做。 先通过四个点建立一个正方形， 在一条边上随便找一点 创建直线， 利用垂线工具创建垂线， 然后再用多边形工具把周围的三角形抠出来， 隐藏没有用的直线， 隐藏没有用的点， ctrl 加 h， 我们右键设置，将这个三角形的颜色换成图片背景， 好的 把边调成灰色。 最后我们将所有对象的标签全部隐藏， 这几个点隐藏， 隐藏坐标轴跟网格。 好的鲜兔做好了，接下来我们做个八卦， 创建一个圆， 一条直线。 焦点， 我们创建一个半圆， 将底圆改成黑色， 将半圆改成白色， 它的边可以调最细， 创建终点， 再创建圆， 第一个圆改成纯黑 线，不要第二个圆改成纯白， 先不要 把直线隐藏，没用的点隐藏， 你再创建两个小圆，半径零点五， 我们把这些小圆改一改颜色， 纯黑， 好的基本成型，最后将没有用的标签全部隐藏， 还剩下一个 好的，大功告成。