子集和真子集区别

哎呀，同学们下午好啊，今天讲一道那个子集，真子集和非空子集的那个姐妹公式，就是关于计算它的集合个数。好，我们看一下， 集合有三个元素，我们可以直接套公式，这个 n， n 代表的是，呃，这个集合的元素的个数， 比如说这也是 a、 b， c， 所以 这个 n 等于三，它的子极个数直接就是，直接就是二的三次方，所以是八个，然后真子极，真子极的话，我们相当于是子极，把自身去掉，对吧？ 因为 a， a 不是 a 的 真子极。 这个地方有不懂的，大家可以去看一下那个真子集的定义，然后我们看一下非空非空子集个数。二， n 减一，在子集的基础上 把空集减掉，是不是就是非空子集的个数，对吧？因为这里说的是非空子集， 子集减去空集就是非空子集，所以是二， n 减一，所以是七个，然后 然后非空真子集个数，那不就是真子集吗？真子集减去空集就是非空真子集，所以在原来的基础上再减去一，所以是二。 n 减二， 然后这里的 n 都取三，所以说 把它带进去，得到这些结果，我们可以记一下，这样比较简编，后面如果碰到这些集合的个数的话，像这个，嗯，这里还有这个， 大家不要记错就好了。以子集为基础 衍生得到真子集啊，子集衍生得到非空子集，真子集衍生得到非空真子集，这样大家就不会乱了。好，今天的 讲题到此结束，同学们晚安，拜拜。

今天呢，给大家讲解子集还有真子集，它对应的一个概念。好了，下面继续来看看。 a 集合也给了， b 集合也给了，然后呢，企业同学们看，这个时候就要学会读题， a 是 b 的 子集，对吧？ a 是 b 的 子集，也就意味着什么呢？ a， 你 就得在 b 里面去选啊，去取，也就意味着， b， 我 要覆盖你 a 啊， b 我 要覆盖你 a 啊，大 b 要覆盖大 a， 好， 大 b 覆盖大 a， 所以 你零和一在这边是不是都要能找得到，对吧？一找得到，同学们，这里是一，你看这女的， 哎，一找不到零可以找到。同学们，哎，这里的零能找到，没找到的情况下，同学们，你想想应该是谁，对吧？因为 a 必须要在 b 里面，所以 b 里面必然会有一，那除了相当于这个零啊，他俩是一样的，对吧？然后呢，剩下的你这个负一，他不是一，那所以只能这个是一了，被迫他为一，所以，那他要为一的话，那我们就得出来了， a 加三， 哎，他是等于一的， a 加三等于一，那我们就把这个三挪过去嘛，那解一下 a 就 行了，因为，哎，人家问的就是 a， 所以 我们把这个三移向挪过去，所以 a 也就等于一减三，挪过去就是变成减三了。一减三的结果呢， 我们可以把理解为就是一加上一个负三，对吧？相当于属于两个一号相加，然后呢，符号跟老大跟大哥跟三，对吧？跟他的符号，然后呢，一号相加的话呢，两个数字要减，要减三，减一啊，是二，所以负二啊，选 c， 对 吧？像这样我们就有效的解决了哈。 b 一定要喊啊，就囊括 a 啊，所以呢，你 a 逃不出 b， 所以 你 a 里面有 e， 那 这边必然要有 e， 只能说为 e 呢，这三个里面的话呢，这个这两个都非常明确，只能他是 e 了啊，只能是他是 e， ok， 好 了，同学们来继续来看啊， a 这个集合同学们还记得吗？这个是中间带一竖线的就叫描述法啊，就是描，就是他专业名词叫描述法。就是反正你你就理解为就是说我们关于就是说对于我们集合里面的一个 一个叫列举，就是专门列的一个是叫描述哈，只要带竖线的就叫描述啊，描述的这个也可以表示集合，它代表的是什么含义呢？就是大 a 这个集合啊， 然后呢，它里面是由小 x 组成的，然后这个 x 的 话呢，是在这个范围内限制的，就是小于等于二，只要小于等于二的东西我都可以取啊，其他的都不行啊， 所以就是小于等于二里面的所有的数组成的集合是我大 a， 好 吧，通常描述在什么场景下用的多呢？就是你贴不完的啊，列不完的，像这个小于等于二的数，你真列不完啊，你就你就把这个列满，你也列不完，对不对？所以啊，所以这个大 a 我 们也会认识啊，小于等于二的 在哪个集合好？下面的话呢， a、 b、 c、 d 到底怎么选啊？首先先先说一下这个零啊，零是属于一个数，对吧？然后大 a 是 属于一个集合元素和集合里面符就是这个符号用的都不对，对吧？集合和集合之间才能用躺着的 u， 所以 符号都不对，像这个啊，这个是， 呃，只要带有发括号的，他就是集合啊，这个集合和大 a 这个集合两个集合之间不能用这个，这个是谁呢？是属于元素啊，个体和整体的之间才能用这个，所以你看这两个符号刚好用反啊，符号用的都不对。好，对于 c 选项 这个集合和这个集合，那我们看一下啊， c 这个呢？呃，就是零，就里面含有一个元素零的这样一个集合，是不是大 a 这个集合的子集，看是不是呢？哎，它这里面大 a 这个集合里面是包含零的，是有零的哈，所以那你 c 是他的子集没问题啊，因为我 a 包含的东西很多，但是我 a 里面有零的，所以你这个带单独零的这个集合呢，是我的子集没，没毛病啊，所以选 c 啊，选 c， 然后呢？ d 的 话呢？空集，空集式大 a 这个集合， 朋友们，这个又是集合个之间，必须让躺躺着的优秀表示啊，所以符号选用都不对，那在这里面就是符号选用，很多都是符号选用，他本身就有错误啊， 我觉得 b、 d 的 错误是一样的哈，集合和集合之间只能用躺着的 u 这一种关系去表示，所以你用这一个啊，缺口的 e 呢，它是有问题的。好了，同学们，那我们今天的这一课就讲到这里，我们下期再见。

本节课呢，来讲一下这个集合间的基本关系，我们本节要掌握的几个知识点。第一个，嗯，集合间基本关系包含哪几个框架啊？一个叫做包含，一个叫做相等。 在这两个含义下面，我们还会在学习什么是子集，什么是真子集，那么还有一个名词叫做空集，这都是我们接下来要学习的几个名词。我们通过上节课的学习，已经对元素 和集合之间的关系有了一个初步的了解，然后元素与集合之间，我们用属于或者是不属于来进行表示。而我们这节课探讨一下，集合和集合之间又有怎样的关系。 那接下来我先给大家举两个例子，我们可以一块来思考一下，我们一般所有的女生构成集合 a， 那么集合 b 代表我们班所有的学生，那么请问这个集合 a 和集合 b 它之间是怎样的关系呢？ 我们班所有的女生与我们班所有的同学之间是怎样的关系？好，这第一个例子啊，再来一个例子，比如说有两个集合，一个集合 a 是一二三，另外一个集合 b 比如说是一二三四。哎，那么请问这两个集合又有什么关系 啊？我们会发现啊，在集合 a 里面，任何一个属于 a 的 元素，它都是属于集合 b 的， 整个集合 a 的 范围是比集合 b 的 范围要小的。像这种情况，我们就说集合 a 是 包含于集合 b 的 啊，集合 a 是 包含于集合 b 啊。子集的含义是这么说的，对于两个集合 a 和 b， 如果集合 a 中任意一个元素 都是集合 b 里面的元素，集合 a 中任意一个元素都是集合 b 里面的元素，那么我们就说集合 a 是 集合 b 的 子集， 记作 a 包含于 b， 或者 b 包含 a。 读法读法读作 a 包含于 a 包含于 b， b 包含 a 啊，这个带于 a 包含于 b， 这个是 b 包含 a。 而我们平时用到的最多的写法是开口向右的，像这种开口向左的写法非常少见啊，非常少见，我们只需要了解有这种写法，这种写法也对就可以了。 第二点，集合的表示方法。我们通常用封闭曲线的内部来代表集合，我们叫做文图。比如说 a 包含于 b， 我 们可以这么画它们的图像 好用这个小的封闭图形来代表集合 a， 用这个大的封闭图形来代表集合 b， 那 么 a 是 包含于集合 b 的。 第三点， 既然集合是由元素来构成的总体，那么我们就试想有没有可能两个集合里面包含的元素一般多，两个集合有没有可能是相等的呢？比如说集合 c 是 一二三， 集合 d 也是一二三。此时我们发现集合 c 里面任何一个元素都属于集合 d， 同时集合 d 里面的任何一个元素也都属于集合 a， 此时我们就说集合 c 和集合 d 是 相等，集合 集合相等，我们用等号来进行连接。第四点，分子集。那么大家还是看我刚才这举的这两个例子。对于集合 a、 集合 b 而言， 集合 a 里面的元素都是集合 b 里面的元素，此时 a 是 包含有 b 的， 而 c 和 d 这两个集合 c 里面的元素，同时 d 里面元素它也是 c 里面的元素， c 集合等于 d 集合，此时 c 也是包含于集合 d 的， 只不过这个时候集合 c 和集合 d 这两个是相等了，那么这两组集合，它之间的区别在哪里呢？好，这就引入了我们的第四个概念， 叫做榛子集 分子级的定义。若 a 包含于 b 存在 x 属于 b， 且 x 不 属于 a， 那 么则 a 是 b 的 分子级。 什么意思呢？像这里，在集合 b 里面有四这个元素，而集合 a 里面没有四这个元素，那么我们就说集合 a 是 集合 b 的 真子集，记作 a 真包含于 b， 或者是 b 真包含 a， 这个符号叫做真包含余，它和我们的包含余在书写上有什么区别呢？多一横一撇，什么意思呢？就是 a 包含于 b， 但是 a 又不等于 b 啊。 a 包含于 b， 但是 a 又不等于 b， 哎，那也就是说 b 中的元素是比 a 中的元素要多的。那么这里我们再把子集和真子集再做一个对比， 子集 a 包含于 b， 那 么 a 包含于 b 是 有可能。集合 a 与集合 b 是 相等的。集合 a 与集合 b 相等，也可以称作 a 包含于 b， 而真子集 a 包含于 b， 但是 a 里面的元素一定要比 b 里面的元素要少。 a 真包含于 b， a 和 b 是 不可能相等的。那么在集合里面还有一种特殊情况，如果一个集合里面不包含任何元素，那么我们称之为空集。 空集也是一个集合，只不过它里面没有元素而已。既然空集也是一个集合，那么空集与其他集合之间又有什么联系呢？第一点， 空集是任意集合的子集，空集包含于，随便我们写一个一二空集是集合一二的子集。 好，空集是集合二三四的子集。那么第二点， 空集是任意非空集合的真子集。也就是说，对于我刚才所写的这两个集合，我可以把它表述的更加精确一点，因为空集里面它是不含任何元素的，而我所写的这两个集合，它里面都是有元素的，所以此时 空集不仅是这两个集合的子集，更是这两个集合的真子集。 那么我们刚才所说的第一点，空集是任意集合的子集。那么空一集对于空集本身而言是什么关系呢？ 哎，包含于啊空集也是空集的子集， 这个地方经常容易闹混，同学们在记忆的时候要多注意。那么接下来我们将进入本节最重要的一个知识点，我们一块来研究一下集合的子集问题。这里给大家举一个例子，对于集合一二三而言，他的子集，真子集， 非空子集就是子集里面不包含空集，非空真子集就是子集，里面 不包含空集，而且还是集合一二三的真子集。那么我们把它们分别写一下，来找寻一下规律，子集一定要从空集开始，因为空集是任意集合的子集，空集按顺序选，包含一个元素一二 三，两个元素一二一三二三。好，三个元素 一二三。那么分子级要把和它本身一般大的这个集合排除掉， 非空子集要把空集排除掉，非空真子集要把空集和它本身这两个集合排除掉。那么我来总结一下，看看最后 这四种情况各还剩多少个集合，分别还剩有八个、七个、七个、六个集合。特别的，如果一个集合里面包含 n 个元素，那么这几种情况它分别又对应多少个集合呢？这里是有一个规律的，这个规律如下， 如果一个集合里面包含 n 个元素，那么它的子集是二的， n 次密减一， 非空子基二得 n 次密减一，非空乘子基二得 n 次密减二。我们这节课的知识大约就这些，那么接下来我们将通过一系列的练习题来巩固本章的知识，我们一块来看一下这几个题。第一个题， 元素 a 与集合 abc 的 关系。元素和集合用 属于第二个元素零和集合 x， x 方等于零， x 方等于零的话，解得 x 也是等于零的，所以集合 b 有 一个元素为零，此时 元零元素是包含在零所构成的这个集合的 属于第三个。现在零加一个括号，它所代表的含义是零元素构成的一个集合，它现在是一个集合了，此时 x x 方等于 x， x 方等于 x， 我 们可以解得 x 等于零或 x 等于一。也就是说这个集合里面它是包含零一两个元素的，所以集合零与零一所构成的集合是 真，包含于它是后者的真子期。看第四个好。集合二一 x 方减三， x 加二，我们用十字相乘， x 减一， x 减二，可以减到 x 等于或 x 等于二。也如这个集合里面，它解出来也是一二两个元素，此时这两个集合就是相等集合。 我们来看一下。例二，集合 a 代表的是小于零的数字，那么集合 b 代表的是小于一的数字。那么这两个集合谁的范围更大，谁的范围更小呢？我们这里画个竖轴，此时我们发现 集合 b 所包含的数字的范围要比集合 a 所包含的数字的范围更广，所以此时 a 是 b 的 真子集，真包含于。 看一下第三题， a、 b 两个集合 a 集合是 x 大 于零小于 a， a 是 个参数，集合 b， x 大 于一，小于二，是一个具体的范围。 说，如果集合 b 包含于集合 a， 也就是说 b 是 a 的 子集，让我们来求 a 的 范围，哎，这个题的话，同样我们是借助数轴，数形结合更容易解题。我这个图像先画到这里， 蓝色的一到二代表的是集合 b， 而集合 a， a 的 位置是未知的，小， a 的 位置是未知的，那么我该怎么来画呢？ b 是 a 的 子集，哎， b 是 a 的 子集的话，所以我们 a 的 范围是不是得把 b 的 范围给它包括住？所以这个图像得这么来画 好，这个是 a 啊，这个是 a， 那 么 a 能不能等于二呢？哎，在这里是可以的，如果 a 等于二，那么这个范围就变成了 x 大 于零，小于等于二，此时这个集合 a 的 范围仍就是比 集合 b 的 范围要大的，所以这里 a 是 可以等于二的。因此我们得到 a 的 范围要大于等于二，那么我们把它写成集合的形式。 那么例四也是我们本章最重要的一种题型。我们一块来看例四这个题。集合 a， x 大 于等于负一小于一，这是一个确切的范围。集合 b， x 大 于等于 a 减一，小于等于二， a 减一。因为这里的 a 的 范围我们是不知道的，所以 b 具体是什么情况暂时不得而知。那么若 b 包含于 a， b 包含于 a， 就 说明 b 是 a 的 子集。我们在刚才学习的过程中，发现一个集合，它的子集里面有一种特殊情况 是空集。所以在面对这种类型题目的时候，我们脑子里第一要想到的就是空集的情况，要分类讨论。第一种情况，当 b 等于空集， b 等于空集，说明这个集合 b 里面它就没有元素， 什么情况下没有元素呢？这个不等式不成立，他就没有元素。那么该怎么来列式的呢？不等式怎样就不成立了呢？哎，大于等于小于等于前小后大，如果小的比大的都大，那绝对是不可能的，小的怎么可能会比大的大呢？ 所以我们的式子是 a 减一，如果大于二， a 减一，也就是说小的比大的数字都大了，那说明这个 x 它就是不存在的，那么集合 b 它就是空集了，我们来把这个 a 给它解出来， a 小 于零。 那么第二种情况，我们在讨论完等于空集，接下来就该讨论 b 不 等于空集， 集合 b 不是 空集，但是集合 b 又得是 a 的 子集，所以在这里我们最好也是在草稿纸上画一下竖轴，来帮助我们判定一下。那么集合 b 又该怎么来画图呢？ b 得是 a 的 子集，所以 b 的 范围得小于等于 a 的 范围， b 小 于 a 肯定没问题， b 也可以等于 a。 刚才我们已经提到了，如果集合 a 和集合 b 相等的话，我们也可以 把 a 称作是 b 的 子集，同样也可以把 b 称作是 a 的 子集，这是一种特殊情况，那在这里我们可以这样来画图，像红色的数值所代表的范围，我们代表是 a 的 子集，这是一种特殊情况，那在这里我们可以这样来画图像，红色的数值所代表的范围，我们代表集和 b， 此时 a 减一，二一减一所代表的范围要被负一到一所代表的范围给它囊括住，所以我们得这么来列式子。第一， a 减一要大于等于负一 可以等于负一。当 a 减一等于负一的时候， a 减一所代表的点和负一所代表的点刚好重合。同样二一减一， 小于等于一啊，大于和小于肯定是没问题的，当上面取等，下边也取等的时候，也就是 a 减一等于负一了二， a 减一等于一了，此时 a 的 范围和 b 的 范围是一边大的，那么 b 也是 a 的 自积。那么大家看，我在这里上面还空了一行，这是为什么呢？ 好，我们一块来看。刚才在第一种情况里面，我们讨论了 b 等于空集，得到了 a 减一大于二， a 减一。那么第二种情况我们讨论的是什么呢？ b 不 等于空集， 那么你怎样保证 b 不 等于空集呢？哎，所以这里我们还是要加一个条件， a 减一小于等于二， a 减一。 在刚才上面 a 减一，如果比二 a 减一大，它是空集，那么 a 减一，如果小于等于二， a 减一，那么它不是空集。我们这三个式子，它是各干各的活。第一个式子是保证 b 不 等于空集， 而后面这两个式子是保证 b 是 a 的 子集， 我们把它来解一下。呃，上面大于号的时候，解出来是 a 小 于零，所以这里小于等于解出来肯定就是和它相对应的，所以上面这个解出来应该是 a 大 于等于零，这个解出来是 a 大 于等于 零，这个解出来是 a 小 于等于一。所以第二种情况，我们解的 a 的 范围是 a 大 于等于零小于等于一。好，那到这里我们还差一步就完成了。在第一种情况，我们发现 a 小 于零的时候， b 是 a 的 刺激，那么在第二种情况里面，我们发现 a 大 于等于零小于等于一的时候， b 也是 a 的 刺激。那么既然这两种情况都满足我的提议，所以这两种情况的结果我都要 a 小 于零和 a 大 于等于零小于等一在等于零。这里刚好接上跟上 a 的 范围是小于等于一。好，我们今天的这个课程就到此为止，谢谢大家。

今天呢给大家讲解子集还有真子集它对应的一个概念，我们也通过具体的例题来看一下。好，先看第一，第一的话，这个集合明确一二三四啊，然后下面集合中 不是它子集的集合，不是它子集啊，就是，反正就是说呢，是你子集就得从里面去取，对吧？好，那所以一二三四算呀，对吧？他没超出它范围吗？这个可以， 然后的话呢，三的话呢，也在他范围内，也可以空集，是任何集合的子集，他也可以。然后呢， d 的 话呢？零一二啊，零。同学们，这个零呢，挺特殊的，零，对吧？你零超出了他，这里面他没有零啊，所以呢，那你 d 不 可能是他的子集的，所以答案选 d 啊，不是子集的，那就选 d 了。 来，下面我们看第二个集合，零一的非空，量子基。同学们，首先它上面有两个定语啊，第一个不能空，第二个还有量子基。同学们，非空啊，非空就不能是空，所以呢，你凡是带空的先先排掉吧，空的， 空的先排掉啊。第二个甄子集啊，什么叫甄子集的话呢？就是和你不能相等啊，和你不能相等，有相等的就就就就就就不对啊。嗯，和他相等的就是零一嘛，你看这个就是和他相等的，所以他也不行 啊，不能和他相等。甄子集的话就是除了就是相等啊，所以他就错在这里，所以那通过这个只能选 b 了。 b 选项也确实可以啊，那单独的零一个集合对吧？属于他的自己，单独的一也是属于他的自己，所以没问题啊，因为他又比他少，所以叫增值。那更可以啊，没问题。

今天呢，咱们聊一个概念啊，他就像是数学世界的基本词汇，没他不行。这个概念，呃，就是集合，你可能觉得有点抽象，但你想想你的音乐播放器是怎么给你推荐歌曲的，他怎么知道哪些歌是你喜欢的，哪些你朋友也喜欢， 然后你们俩共同喜欢的又是哪些？这背后啊，其实用的就是集合的逻辑。哎，这个比喻特别好，其实我们每天都在不知不觉的用集合这个东西，今天呢，咱们就把这种直觉变成一套看得见摸得着的数学工具。 路线图很简单，咱们先搞清楚集合之间的大小关系，也就是子集。然后呢，看看集合之间怎么互动，搞个交集并集什么的。最后我再教你一个特酷的招，让你一眼就能看出来一个集合到底有多少个子集。听起来很棒，那我们就从最基本的包含关系开始吧。 就好像，呃，我们班里的所有同学，这是一个集合，然后我们整个学校的所有学生是另一个更大的集合。很明显，我们班这个小集合是完全被学校那个大集合给包在里头的， 这个应该就是子集的意思吧，完全正确。用数学的话说呢，就是如果集合 a 里的元素，注意是每一个也都是集合 b 里的元素，那么就说 a 是 b 的 子集。 举个例子啊，比如说，集合 a 等于花括号一，逗号二，集合 b 等于花括号一，逗号二，逗号三，逗号五，你看 a 里面的一和二是不是都在 b 里面，嗯，都在，对吧？所以 a 就是 b 的 子集， 写下来呢，就是 a， 然后一个像躺倒的 u 下面加个横线，然后 b 这个符号读作 a 包含于 b。 你脑子里可以画个图，一个小圈圈 a 被一个大圈圈 b 套在里面。哎，等一下，说到符号，我就有点让我一直没搞清楚。就是，呃，就是一属于 a 和那个一属于 a， 这两个到底有啥区别？一个是那个像屋檐的符号读属于，另一个就是你刚说的包含于。这个问题问到点子上了，也是好多人一开始的困惑。关键啊，你看符号左边的东西是什么？ 那个属于符号，它描述的是一个个体和一个集体的关系。比如说数字，一是集合 a 的 一个成员，我们就可以说一属于 a， 哦，就像说张三是我们班的一员，对，就是这个意思。 而那个包含于呢？它描述的是一个小集体和一个大集体的关系。 当我们给元素 e 加上一个花括号，它就不是一个光杆司令了，它成了一个只有一个成员的集合，也就是集合一。 这个时候我们讨论的就是集体和集体的关系了。所以就得说集合 e 包含于集合 a。 啊，我好像有点明白了， 所以关键就看我说的是一个孤零零的元素，还是一个被花括号包起来的集合。前者用属于，后者用包含语总结得非常好，而且这个包含语的概念还能帮我们干一件很重要的事，证明两个集合相等。 你想想，如果 a 包含于 b， 同时呢， b 也包含于 a， 这说明了什么？ a， a 里的东西 b 全有， b 里的东西 a 也全有，那，那这两个集合的成员不就一模一样了吗？所以 a 就 等于 b 了。 没错，这就是证明集合相等最严谨的办法。好，那我们回到刚才班级和学校的例子，我们班是学校的子级，但很明显，我们班不是整个学校，对吧？学校里还有好多别的班呢。 对于这种我是你的子集，但又不完全等于你的情况，有没有一个更精确的词，这个就是真子集了吧。如果 a 包含于 b， 但是 a 不 等于 b， 就是 说 b 里面起码有一个元素是 a 没有的，那 a 就是 b 的 真子集。 它的符号也挺好记的，就是把那个子极符号底下那条横线给去掉了，变成 a， 然后一个躺倒的 u b 读作 a， 真包含于 b， 非常到位。 在讨论子极的时候啊，还有一个特别特别特殊，但也最容易被忘掉的成员。你说的是空极，就是那个呃，什么都没有的集合，正是空极，符号是一个圆圈加个斜盖儿。斐， 他是一个不包含任何元素的几何，他就像数学里的数字零，看起来好像没有，但其实直观重要。 这里有一条硬性规定，一定要记住，空集是任何集合的子集。做题的时候，你要是忘了考虑空集这种可能性，那巴掌就要掉坑里了。 明白了，得时刻提醒自己，别忘了还有个空集。好了，现在我们搞清楚了，集合的亲戚关系谁大谁小，那接下来不同的集合之间是不是可以做点运算，发生点什么化学反应？当然可以， 咱们就从最常见的两种运算说起，交集和并集，先看交集，它的符号是 a 交 b， 读作 a 交 b。 你可以把这个符号想象成一个口朝下的碗，它要接住的是两个集合共同拥有的那些东西。 哦，就像我刚才说的，我们班这个集合和学校篮球队那个集合，这两个集合的交集就是我们班里那些呃，同时也是校队成员的同学。这个比喻太形象了。比如集合 a 等于一二三， 集合 b 等于三四五，那它们的交集 a 交 b 是 什么？那就是它们都有的那个就是三，完全正确。这就像你上网搜索，同时输入科幻和戏剧两个关键词，返回的电影就是同时有这两个标签的， 这就是在做交集运算。那并集呢？它的符号是 a u b 读作 a b， 这个碗口是朝上的。对，这个碗要把两个集合里所有的东西都装进来，但是呢，重复的只装一次，所以 a 和 b 的 并集就是把它们的元素都合到一块。 还是刚才那个例子， a 是 一二三， b 是 三四五，那它们的并集 a u b 就是 一二三四五， 那个公共的三只写一次。没错，因为集合的元素是要求互不相同的。好的，对于这种一个一个能数出来的元素交集并集还挺好理解。但是如果我们的集合是连续的呢？ 比如用不等式表示的一个范围，像 x 大 于一这种问得好。处理这种连续区间的集合运算最好的工具就是数轴， 把抽象的不等式画在竖轴上，关系就一目了然了。咱们来实际操作一下。好吧，假设集合 a 是 x 一 小于 x 小 于等于三，集合 b 是 x， 二小于 x 小 于四。好的，我来跟着想一下。先画一条竖轴， 对于集合 a， 它要求 x 大 于一，小于等于三，那我们就在数字一的位置画一个空心圈，表示不包括一，然后在数字三的位置画一个实心点，表示包括三，然后把这两点中间连起来。 嗯，很好，第一步完成。接下来呢，在同一根竖轴上画出集合 b， 它要求 x 大 于二，小于四，那就在二和四的位置都画上空心圈，再把它们连起来。 现在竖轴上就有两条线了，完美。现在要找它们的交集， a intersect b， 也就是它们的公共部分。 我们应该看哪儿？应该看两条线重叠的地方。从图上看，重叠的部分是从二开始到三结束。二那个点是空心的，三那个点是实心的，所以交集就是 x。 二小于 x 小 于等于三，非常棒。 那并集 a 又连 b 呢？也就是它们覆盖的总范围。那就要看这两条线从最左边到最右边，总共覆盖了多大的地盘儿，应该是从一一直延续到四。 一和四的端点都是空心的，所以并集就是 x， 一 小于 x 小 于四， 用竖轴真是直观多了。好了，我们聊了共同拥有的交集和全部合并的并集。那还有一种情况，比如我想知道除了 a 以外的所有东西，这个概念要怎么表示。 这个问题就引出了补集的概念。不过要讨论除了你之外的所有，我们必须先定义一个所有的范围，也就是一个全集。通常用字母 u 表示，你不划定一个大背景，讨论其余部分是没有意义的，对吧？ 明白了，得先划定一个宇宙，才能讨论这个宇宙里除了你还剩下什么。哎，就是这个理儿。 a 在 u 中的补集符号是 c， 上标 u， 然后 a 定义就是在全集 u 中所有不属于集合 a 的 元素组成的集合。 咱们还是用数轴来理解，假设这次的全集 u 是 所有正数，也就是区间零 plus 无限， 而我们的集合 a 还是刚才那个 x 一 小于 x 小 于等于三。好的，在受轴上，全集 u 就是 从零点，不包括零往右边无限延伸。 集合 a 是 这条线上从一不包括一到三，包括三的这一小段。那么 a 的 补集 c u a 就是 u 这条线挖掉 a 的 一段之后，剩下的部分， 你想想剩下了哪几段儿？嗯，挖掉中间就剩下了两头儿，一头儿是从零到一，另一头儿是从三往右。 我得仔细看看端点，因为集和 a 不 包括一，所以它的反面也就是补集就得把一给包进去， 所以是区间零一左开右 b， 又因为 a 包含了三，所以补集就不能包含三，得从三的右边开始，所以是区间三 plus 无限开。区间分析得太棒了，所以 a 的 补集 c u a 就是 这两段的并集， 也就是零一 unit、 三 plus 五项。好了，到现在我们已经掌握了集合的包含关系和基本的运算了。但我这儿有个一直很好奇的问题， 一个集合，它到底能有多少个不同的子集呢？比如一个集合 a 等于一二、三，它有三个元素， 我们能不能直接算出来它有多少个子集，而不用一个一个去列举？哎，这是个非常棒的问题，它直接通向了集合的技术。这样，我们不妨先用最笨的方法试一试， 把你说的集合 a 等于一二、三的所有子集都列出来。行，我们一起来找，一个都不能漏。 首先那个特殊的空集， fine 肯定算一个。然后是只包含一个元素的一、二三，这有三个，很好，继续包含二个元素的一二一三二三，这又是三个。 最后包含全部三个元素的就是它自己，一二三，这有一个。好了，咱们加一下，一个空集，加三个单元素的，加三个双元素的，再加一个它自己， 一加三，加三加一，总共是八个。三个元素对应八个子集。我再想想，如果是二个元素呢？ 比如一二，它的子集是空集，一、二一、二一共四个。如果是一个元素，一子集是空集，一一共两个。 哎，等会，二、四、八，这，这不是都是二的密吗？难道说一个有 n 个元素的集合，它的子集个数就是二的 n 次方？你自己发现这个规律了， 完全正确。如果一个有限集合有 n 个元素，那么它的子集个数就是二的 n 次方，这个规律非常强大。可是为什么呢？为什么正好是二的 n 次方？这个二是从哪来的？我们可以这么想啊。 当我们要构造一个子集的时候，对于原集合理的每一个元素，我们都面临一个选择，是把它选进来还是不选它，就这两种可能，对吧？哦，我明白了。对于集合一二、三来说，构造子集时，对元素一，我们有选或不选两种选择。 对于元素二，也同样有选或不选两种选择，元素三也是一样。对这三个选择是相互独立的。 根据乘法原理，总的可能性就是二乘二，再乘二，也就是二的三次方等于八。 如果一个集合有 n 个元素，就相当于我们连续做了 n 次二选一的决定，总的可能性自然就是二的 n 次方了。 这个解释太妙了，一下就想通了。那既然有了这个基础公式，想什么非空子集、真子集，这些是不是也能很快算出来？当然都是在这个基础上做一点简单的加减法， 咱们可以把这几个公式放一块，屡一屡，以后碰到技术问题就清楚了。第一，子集的总个数，第二，非空子集的个数。 既然要求非空，那就在所有子集里把空集那唯一的一种情况去掉就行了，所以是二的 n 次方减一。明白了， 那真子集呢？它的定义是不等于它本身的子集，所以我们就在所有子集里把它本身那唯一的一种情况去掉，数量也是二的 n 次方减一。那如果要求更严格，要非空真字集呢？ 那就是既要非空，也要不等于它本身就把空集和它本身这两种情况都去掉。所以非空真子集的个数就是二的 n 次方减二。掌握这套公式，所有关于子集技术的问题就都能轻松解决了。 今天的内容真是层层递进，特别清晰。我们从集合的包涵关系出发，理解了子集和真子集，然后学会了怎么对集合、进球、互动，也就是交并补三种运算，最后还得到了一个计算子集个数的超强公式二的 n 次方。 那么掌握这些工具，除了能应付考试，对我们有什么更深远的意义吗？意义非常大。集合论是整个现代数学的语言和基础， 你今天学的这些概念不仅是高中数学的一个章节，它更是你未来学习计算机科学、逻辑学、概率论等等等等领域都离不开的思维工具， 他能让你用一种前所未有的精确方式去分类、组织和思考信息。说的真好， 最后我想给你留一个开放性的思考题。我们今天讨论的都是元素个数有限的集合，那么对于无限集合呢？ 比如所有正偶数组成的集合和所有正整数组成的集合，它们都是无限的。那偶数集合算是正数集合的真子集吗？一个无限真的可以比另一个无限更小吗？ 这个问题又该如何思考呢？这背后是一个更广阔、更奇妙的数学世界。希望今天的分享能成为你继续探索的起点。