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先，我们前面，我们刚刚已经读到这个的退到了，对吧？那把它取一个指数的话，是不是 e 的 loin 一加 u 四方就，哎，这个左边是这样的，那右边是不是是这样的？他们两个是不是也是互为等加兀乘小，那左边是不是变成了一加 u， 右边还是这个对吧？我们在左左右同时减个一，是不是就得到了 u 好， 所以这个是不是也推到出来了？这些大家需要记住。然后后面我们解题很多都是用这两个状极限去解决的。 呃，这一页把这个三角函数一组放到一起了，就是 seven u 与 u 等价， ten 等于 u 与 u 等价， x seven u 与 u 等价， x ten 等于 u 等价，大家记住就好，到时候考场可可以是直接用的。然后还有一个非常常用的就是这个余险的查， 呃，这个是怎么推导出来的呢？还是比较简单的，是有这个二倍角公式说一键去扣三 a u 是 不等于二倍的三 a u 二分之 u 的 这个平方，对吧？然后我们又知道了三 a u 它是和什么是等价的，它是不是 和这个 u 是 等价的，对吧？刚刚我们学过这个状极限，那这个东西是不是就等价于二倍的二分之 u 的 平方，是吧？是不是就等于二乘以四分之 u 的 平方，就是 二分之一的这个平方，然后对吧？是不是就推出来了？然后我们要注意，题目是写的是一减 cosine u 还是 cosine u 减一，这取决于我们它是等价于正的二分之一平方，还是等价于负的二分之一平方啊，大家要记牢。 接着看这个指数和对数，就是 e 的 u 次方减 e 与这个 u 是 等价无穷小的，然后老减 e 加 u 与 u 是 等价无穷小的，然后把它们化成这个一般的底数 a 的 时候呢， 也是可以直接通过这些东西去给推出来的，大家可以各家自己推一推。呃，如果大家不会推的话，也不用慌，就是可以直接把它记下来，考试的时候直接用就可以了。然后再看这边的密函数， 这个一加一 u 的 p 次方减一与这个 p 乘 u 是 等加的。呃， 这条也可以借助对数，对数和指数去理解，就比如说这个一加 u 的 p 次方，你是不是就可以写成 e 的？ 呃，这个 p 乘以 l 一 加 u， 然后就可以把它给 再减一，是不是就就等加无穷小，这个 p 乘以 l， e 加 u， 对 吧？然后就能推导出来这个东西了？还比较简单的就还是这句话，大家不会推的话，没关系，把它记下来也可以，考场会用就可以。 然后我们公式里写的 u， 它不是说题目你只能出现一个单独的 x， 这个 u 它可以是一个整体的过程中是否趋近于零？ 比如当这个 x 趋近于零的时候，那这个三 x 是 不是也趋近于零？所以它也说这个三三 x 与三 x， 它就是等交于 x， 那 这个 x 平方它也是趋近于零，所以三 x 平方与 x 平方也是等交于 x 的， 对吧？然后比如说这个 loin 一 加三 x， 这个三 x 把它看作一个整体，这个整体它是趋向于零的，所以它可以等加于三 x， 对 吧？比如说这个东西，对吧？这个也是同理。呃，唯一我们需要注意的就是， 我们之所以把可以把它当成一个趋零的整体，是因为我们知道这个整体里它肯定是趋向于零的。这个大扩这个圆圈里面，只要它趋向于零，我们都可以把它当做这个 u 去进行等加无穷小的这个替换。呃，比如说， 嗯，呃，就这个例子， sign 一加 x 它是不是就趋近于一加？其实等加无穷小于一加 x 呢？它肯定是 不不可以这么写的。为什么呢？因为我们说当这个 x 趋近于零的时候，我们把一加 x 看成整体的话，这个整体它就趋近于一了，它不是趋近于零，我们就不能用这个等加无穷小去替换了， 好吧？所以大家在做题的时候一定要注意我们替换的时候这个整体的这个呃趋势，它到底是趋向于哪个值的？看它符不符合我们解析的一个要求。 好在正式做题之前呢，把一些容易错的地方我们再说一遍，就是等价替换主要在存储结构中 非常重要，你不能看到一个让你心动的一个一个 呃什么柿子吧？反正你就可以，你知道他的在加工学校有什么东西，你就不管他中间是加是减，是乘是除，你就给他直接替换了，这是不可以的。呃，拿一些可以的，拿一个可以的例子去说，比如说 这个题目的话，你看它这个分子，我把它单独拎出来，它是趋近于 x， 呃，它是等加无穷小于 这个 x 是 没问题，然后算验二 x， 它是等加无穷小于二 x 的， 然后这个时候这个式子算极限的话，就变成这个样子了， 算出来是二分之一是没有关系的，因为我们等我们等加替换的是整个的分子和整个的分母，它是在存储结构中去替换的。 我们拿一个反例来说，比如说，呃， tangent x 减 sine x， 如果我们把 tangent x 单独给它等价替换成 x， 把 sine x 等价替换成 x， 那 这个题变成 x 减 x 了，这就不对了，这是大错特错。所以我们做做题的时候一定要注意，我们做题的解题的步骤是 先看清楚它取经的过程，然后去找这个呃取经于零的一个整体。第三个就是认清楚它的乘除结构，第四个就是保留系数与结束。好，这是非常重要的一个步骤，能够帮我们规避很多的错误。 好，接下来我们一块来做点题目，大家先做一下这个题目啊，大家应该做完了吧，我们一块来看一下。 这个题目非常简单，我们刚刚已经学过几个极限了。首先三 x 是 等价于 x， 看见的 x 等价于 x， 所以 这道题，嗯，就可以 直接利用等加无穷小，同时它们是一个存储结构，所以我们不用考虑那么多，如果有加减的话，肯定不能直接把它们替换掉，所以上面是三 x， 下面是二 x， 最后答案算出来十二分之三。 好，大家做一下这道题目，大家应该做完了吧，我们一块来看一下。 首先看一下这道题的结构，上面是一个一减去 cosine， 二 x， 看到这个我们应该非常的心动，因为我们知道， 呃，一减去 cosine u， 它是与这个二分之一 u 的 平方成一个等加无穷小的关系。然后呢，我们现在把这个里面的二 x 看成一个整体，因为这个整体里面东西它是趋近于零的，对吧？这个二 x 趋近于零，然后我们就可以 啊把这个整体呢去替换成一个等加无穷小，替换成什么呢？就是二分之一括号二 x 平方，对吧？算出来是多少？算出来是这个呃，二 x 平方，所以原来的这个式子 括号出来之后就变成了二 x 平方，除以 x 平方。最后的答案就是二， 大家做一下这道题目，呃，应该做完了吧，我们一块来看一下。 首先让这道题目拿到手呢，我们依然先观察一下这个题目它的结构。呃， 上面这个分子部分 law in e 加上三 x， 我 们看到之后应该也非常的熟悉，因为之前前面让大家 去记忆过，他跟这个老鹰一加 u 是 以同样的一个形式，老鹰一加 u 他 和这个 u 是 成等加无穷小的关系。然后下面这个 e 的 二 x 次方减一是吧？跟这个 e 的 u 次方减一，然后他的等加无穷小是这个 u 是吧？跟这两个东西是非常相似的。然后同时呢，我们观察这个分子上面的三 x， 在 这个整体里面三 x 它依然是趋近于零的，所以我们可以直接把它套用进来，所以它的这个上面 loing 一加三 x 与这个三 x 就是 乘等加无穷小的关系。然后这个下面的分母呢，这个二 x 看成一个整体，它依然也是矩形以零，所以我们依然可以用等加无穷小，等加无穷小去替换，替换出来是什么呢？也就是 和这个二 x 是 等加无穷小，所以这个原式就可以化简成。 呃，上面这个分子是三 x， 下面这个分母是二 x， 所以 最后的答案就是二分之三。嗯，好，大家再做一下这道题目，好，大家应该做完了吧？ 一样的套路，就是大家如果把前面的呃各种等加或从小都记牢的话，这道题目拿到手里，还是依然是非常熟悉的，就直接能做好的。呃，我们知道前面还有一个等加或从小，就是你看 a 的 右侧方 减一是与这个 u 乘以劳力， a 是 增加无穷小关系的。那么套到这道题目来，那是什么？是不是就是 x 乘以劳力二是成增加无穷小关系的，所以这道题目实际上就可以写成这个样子， 所以最后的答案就是劳力二，大家再做一下这道题目。好，我们一块来看一下 必然式直接套用这个公式的套路啊。我们先看这个分子，分子与这个形式是不是一样，就是根号一加 u 减一， 是不是与这个二分之一 u 是 等加无穷小关系的，对吧？下面这个分母呢？ sin x 其实就是 sin u 与 u 成一个等加无穷小的关系，所以原式就可以写成这个样子嘛。 这个分子里面的 u 值就是四 x， 这个分母里面的 u 就是 多少，就是三 x， 对 吧？再加三 x x x 消掉，然后上面是二，所以答案就是三分之二，不知道你有没有做对呢？ 好，大家再做一下这道题目。好，我们一块来看一下， 跟上道题一模一样啊。上面这个，呃，其实就是一加上 u 的 这个 a 四方减一和这个 a u， 对 吧？然后这个时候这个 a 呢，是跟这个负二是一样的，就是取负二， 所以上面这个就是跟负二 x 乘等加无穷小的关系，所以原式就写成了 limit x 就 小于零，这个负二 x 除以 x， 所以 答案就是负二。 大家再做一下这道题目。好，我们一块来看一下， 还是很简单哦。首先这个分子上面三 x 平方，我们肯定是把里面的 x 平方看成一个整体，因为 x 平方它依然是趋近于零的， 所以它等加无穷小就是 x 平方。然后下面这个分母里面有个三 x， 同时它是 x 乘以三 x， 它是一个乘除的结构，所以我们可以直接把它们拆成各个部分去运算，对吧？那三 x 乘 x 就是 x 平方， 所以最后的这个式子其实就是厘米乘 x， 上面等加乘小替换之后就是 x 平方，下面做完乘乘完以后也是 x 平方，所以答案就是一，大家再做一下这道题目，好，大家应该做完了吧，我们一块来看一下。 首先啊，依然是分成这个分子和分母分别去看，我们看这个形式就一眼就能看出来它是 和这个形式是一样的，对吧？然后这个里面的 u 呢，是不是就相当于这个题目里面的三 y 二 x？ 那 三 y 二 x 在 x 就 相当于零的时候，它这个整体是不是也就相当于零？所以是不是能够直接代入到这个等加无穷小替换里面？它替换完应该是多少？是不是就是 三一二 x， 然后三一二 x 再替换是多少，那是不就是二 x， 对 吧？然后添加三 x， 没什么好说的，肯定就是三 x， 所以 这道题实际上最后化解完就是变成这个样子， 答案就是三分之二。大家再做一下这道题目，好，大家应该做完了吧，我们一块来看一下。 首先呢，观察它们结构，这个这道题它的分子就要稍微复杂一点了，它有一个成的结构，对吧？我们说，呃，我们想运用等价无穷小，肯定是在存储结构中去运用，所以这道题我们可以把它们拆成这个分子，拆成两个部分。 要先看前面这个 e 的 三 x 减一这个部分，我们知道 e 的 u 次方减一和这个 u 是 成等价无穷小的，我们观察这个三 x， 这个整体在 x 趋向于零呢，是个三 x 也趋向于零，所以它可以用等价无穷小去替换，替换完是多少呢？是不就是三 x， 对 吧？好，那这个 long 一 加二 x 呢？那同理，对吧？它是不是就是这个 loin 一 加 u， 然后是等加无穷小于 u， 所以 这个地方就是等加无穷小于二 x。 好， 上面这个我们分子上面化解的差不多了，让我们看下面这个一减去 cosine 三 x， 我 们知道一减去 cosine u， 它是等加无穷小于二分之一 u 的 平方，所以这个它就是等加无穷小于什么二分之一三 x 平方，对吧？所以我们再把原式给它重新写一下，化简一下。所以上面就是 sin x 乘以什么乘以二 x， 下面就是多少二分之一的三 x 平方，就是二分之九 x 平方，然后同时呢，这个三 x 是 不是有等加无穷小数 x， 那 最后这个式子实际上就是写成， 上面是二 x 平方，下面是二分之九 x 平方，对吧？最后答案是多少是九分之四。 好，大家再做一下这道题目。好，我们再一块儿看一下。 呃，观察一下这个结构。首先是这个分子上面它是 sine x 平方减一，对吧？我们知道 sine u 它是与这个 u 是 乘等加乘小的，这个时候呢，我们把里面 看成 u 的 话，那 x 平方减一，是不是在 x 趋向于一的时候，里面它是趋向于零的，对吧？趋向于零的话，我们就可以用等价公式把它写成 x 平方减一。好，那这道题就变成了 x 小 于一，然后 x 减一分之 x 平方减一。好，那上面是不是可以因式分解一下？因为我们知道当 x 去进一的话，分母它是为零的，你直接代着算的话，那肯定不行啊，肯定是不能为零呢，对吧？所以我们得用因式分解，把它化简一下。 好，那上面就剩一个 x 加一，那最后答案就是二。好，大家再做一下这道题目。好，我们一块来看一下。 呃，首先这项题目呢，我们观察一下上面这个分子的结构，它首先是一个加减的形式，然后，呃，我们知道， 哎，这个形式呢，它有一个非常相似的，我们背的一个公式，就是这么个东西，对吧？这个阿尔法，这个 a 就是 在里面，它就是二分之一呗，对应这个根号，对吧？也就是根号下 e 加 u 就是 二分之一 u， 没问题。好，嗯，那我们能不能把这个加减的， 把这个上面的分子去凑成这个形式呢？当然可以，怎么凑呢？把它进行一个加一减一的一个形式，对吧？是不是可以写成这么个形式？这是一个经典套路啊。这个题， 然后这个时候我们是不是就可以分别对它们进行等加无穷小的？那可能就会有人问，为什么说这道题里面它就可以用等加无穷小的？不是说 这个，这个，呃，加减里面是不能用再加无穷，巧嘛？但是我们知道我们前面学过四则运算，呃，当这两个它们的极限分别存在的时候，我们是可以把它们拆开来算的， 哎，所以这个化简完之后，上面就是二分之一 x， 然后减去一个负的二分之一 x， 最后答案就是 x， 上面是 x， 下面是 x， 因为它们化解完之后，它的主项就是它这个这个系数 x 它是存在的，它没有给抵消掉，所以它们可以分开拆开来去匀算，它这个增加分子小，可以这么算。还有一种解法就是叫做叫做分子有理化， 什么意思呢？就是上下同时乘以这个根号一加 x， 加上根号一减 x， 那 上面是不是就写成了一减一加 x， 减去 一减 x， 那 底下是不是就变成了根号下一加 x， 再加上根号下一减 x， 对 吧？啊？就写成了， 嗯，这样的话是什么形式？ 下面就是二 x， 然后这底这个 x 跟 x 就 消掉了，下面就是根号加一减 x， 这根号加一减 x， 把零带进去的话， 这边就是零，这边就是零，就是两个一二除二就等于一。好，这两个答案都是可以的。然后这两个解法非常重要，就是大家可以注意一下，一个就是说凑出，凑出这个 等加无穷小， 一个就是说分子由里化 好，这道题也非常好，大家先自己去做一下。好，我们一块来看一下。 这道题跟上面一道题就形成一个非常好的对比，因为我们上一道题，我们是把它 像这个分子部分是拆开成两个极限，去用四则运算去计算它这个结果。那现在这道题我说它不可以把它拆开成两个极限，去用等价无交效，这去用等价无交效去进行一个替换，为什么呢？因为我们看啊，我们知道 tangent x 和 x 是 等加无穷小的，对吧？三 x 和 x 是 等加无穷小的。那有同学就会说，我为什么不能把它直接写成 x 减 x 呢？我说不可以，为什么呢？呃，后面我们会学到一个东西，叫做泰勒极，泰勒极数， 就如果当我们学到这个东西之后，我们就知道，呃，譬如 tangent x 和 sine x， 它们为什么和 x 是 等加中小会有另一个数学解释，而且它们展开之后的主项都是 x， 所以 如果我们把这个 x 和 x 都写成呃，都替换出来，然后把它们剪掉了，它们两个就不存在了，这是不可以的，就你把高阶项给抹掉了，然后就肯定是不对的这个答案。 好吧，那这道题我们用什么方法去解决呢？就大家现在不理解没有关系，就我们知道，如果我们把它这样拆开了，等加微小替换完之后，它们减掉了，没有了，就不能这么做， 大家记住这个就可以了，这个也是区分。呃，在加减中如何把它们拆？是什么时候能把它们拆开成用四四则匀算去匀算的一个一个非常好的方法。好，这道题我们 看一下。呃，不用不把它们拆开来，怎么解去解决？首先添加 x， 我 们知道它是等于三 x 除以口三 x 减去这个三 x， 底下是 x 三次方，对吧？然后大家想一下，呃，我们知道的有哪些？ 在三角函数里面，我们知道的这个等加最小是什么？我们是不是有这个东西 一减去 cos， 对 吧？它是等于什么？它是不是与二分之一 x 平方是乘这个等加根号的？好，那我们现在把这个式子给它简化一下，给它提取一下，那上面是不是可以提一个 cos 出来，对吧？这边是不是就可以写成 考三 e x 分 之一减去一。这题非常经典啊，有很多书上都会拿这个题目去举例子，说他，呃，为什么不能把这个关键词和三 e x 分 别拆开来，用这个等加小数去替换？ 大家如果题目做的多的话，是肯定知道这道题的，所以它现在底下就变成 q 三 x， 上面就是一减去这个 q 三 x， 下面是 x， 三次方是不变的。好，这个时候这道题它又可以写成 limit x 和 q 三 x 是 不是就等于一个 time 点 x 了，对吧？好，现在 题目就变成这个东西了，那现在我们就可以喜欢了，因为它都是乘除结构了，我们就可以用等加无穷小数替换了。看见的 x 是 什么？就是 x， 对 吧？那这个东西是不就是二分之一 x 平方，对吧？底下是 x 三次方，约掉，约掉，约掉。这个答案是什么？ 这个答案是不就是二分之一？好，这道题是非常重要的一道题，大家先做一下这道题。好，我们一块来看一下 这道题呢，我们先看一下它是什么结构，对吧？它分子上面是有一个减号的，然后分母是个老样子，我们不用管它。好，那这个上面呢？呃，我们先看一下它能不能把它 用四种运算去运商呢？我们知道三 a x 与 x 是 等价的，对吧？三 a 二 x 就 把这个二 x 看成一个整体，二 x 同样也是趋于零的，所以它们它也是等价于二 x x 等于负 x， 这个时候它们不等于零，也就是说它这个主项没有被消掉，我们是可以用四则运算去进行这个运算的，所以第一种解法也就是 limit 就 直接写了， 嗯，答案是什么？就负 x 就是 负一。那第二种解法是什么呢？我们利用这个二倍角公式去写，倍角公式大家应该还记得吧，上面是三 e x， 那 这边就是二倍的 cycle， 三 x 乘以这个 cos x， 对 吧？我没记错的，好像是这个。好，那我们现在再把它给提取一下， 三 x， 这是一减去二倍的三 x， 就 变成这么个东西了。 好，这个时候呢，我们这个三 x 和 x， 三 x 和 x 是 等价无穷小的，所以它就和这个就约掉了，所以这个答案就变成了 limit， x 去减一零，然后一减去二倍的 cos 一 x。 好， 这个 x 降到零的时候， cos 一 x 是 等于一的，所以一减二就等于负一，所以答案都是对的。 好，我们一块来看一下 这个题目，说这个数字的极限，最后等于三，然后让我们求这个 a， 我 们先观察一下上下这个结构，上面是根号，下一 加 a x 减一，那我们就知道了，肯定有什么东西，对吧？我们知道一加 u 分 之 a 四方，然后减一是和 a 乘 u 是等加乘小的，对吧？我们看一下这个，呃，跟他对比一下，我们知道 a x 他 肯定也是乘以零的，所以就直接把它看成一个 u， 所以 他肯定是等价，这个，呃， u 的 话是二分之一 a x， 对 吧？所以上面就是可以写成这个样子， a x， 然后这个 law in 加上二 x， 我 们又知道 law in 一 加 x 是 什么？是跟 x 是 乘等加乘小的，那这个二 x 就是 二 x 呗。 就这样，然后这边少了个二分之一，不好意思，所以这个答案是等于三，这个约掉，约掉也就是四分之 a 等于三。答案是什么？ a 是 不是等于十二？好 好。那我们这节课所有的题目都讲完了，讲的都是一些比较基础的题目。我希望大家可以在课后的时候能够多去做一些题目，提高自己的解题能力。就我这些简单的题目， 呃，且是不够这个这个计算量的。好吧。大家课后去找一些题目自己再练习一下。好，这节课到这里就结束了，我们下节课再见。拜拜。
26.2万M同学
