初中几何48种数学模型 动画演示
全等三角形这里啊一共有十大模型辅助线，而有关于全等这里的绊脚模型，结合着截长补短辅助线的做法，一定是我们七生八以后的第一个压轴难点， 这种题目出起来不仅辅助线难以想到，而且在倒角的过程当中还有一些易错点。今天一个视频给大家把结论把这个绊脚模型讲清楚， 那有关于啊全等三角形，这里老师也给大家做了必考十大模型的总结，如果咱们孩子现在还没有模型思维证明题，写不清楚过程， 没有思路做辅助线，家长们可以趁着这个假期把这道题目打印出来，结合着我的讲解，把整个孩子的几何思维系统的培养起来，好不好？ 下面呢，咱们就来一起看一下。这道题说在正方形 a、 b、 c、 d 当中， m、 a， n 这个角等于四十五度角， m， a， n 绕点 a 顺时针来进行旋转，它的两边分别交 c、 b、 d、 c 于点 m 和 n， 让你求证 b、 m 加 d， n 等于 m、 n。 那 什么是半角呢？就是在一个正方形当中，还有四十五度，九十度的一半是四十五度，这就叫做半角了。那我们半角模型你会发现啊，它该怎么样去解决找这些边的关系？ 你看这两条线段加和等于第三条线段，八杆子打不着的三条线段啊，我得想办法把它们转化到一块堆去啊，怎么转化呀？所有绊脚模型转化的思想都是 拼凑，哎，怎么拼凑？我这个技巧叫做什么呢？叫做拼好角的思想。哎，这个方法课本里没有啊，那如果你把这个方法学透，以后绊脚模型都可以 来去求解了。你看，这是小叉，这是小圈。那如果我们把小圈哎转到这里来，哎，把小叉小圈重新拼在一起的话，这是不是一个新的四十五度角啊？ 所以拼好角的意思，人家，哎，这是四十五小叉，小圈是四十五，你中间的四十五把人家分割开了。你现在把人家拼好角拼到一起去看，没看见。 所以在这我是怎么做的？由于我们现在还没有学旋转，所以我们不能直接将这个三角形旋转过来，那我可以怎么办呢？就借用我的辅助线做法，叫做截长补短进行了。什么意思？看我要证明的两条线段是 b m 加 d n 等于 m n， 那这两条是短的， m n 是 长的，对不对？我们就在短边上 b m 上补出一段，让对应补出来的这一段 b p 和原本的这一段 d、 n 相等。补完了之后啊，你会发现这两个三角形有一个角都是直角， 这两段是我截长补短补出来的相等的边，而这条边和这条边是人家正方形当中相等的边，所以我们也有三角形， a、 p、 b 全等于三角形， a、 n、 d 两个三角形为什么全等啊？ s a s 是 不是就可以判定出来了？ 所以这两个三角形全等，那对应这个圈角是不是和圈角就相等了？推出小圈是不是等于小圈呢？ 哎，那现在你会发现，这又拼好角拼成四十五度了，这也是四十五度，那两个四十五度出现了，中间又有一条公共边，你又想到什么？ 对了，全等，并且是全等当中的二次全等，由第一组三角形全等，我能得出小圈等于小圈，能够得出 a p 等于什么呀？ an， 而我们对应的 a p 和 a n 正好是这两个大三角形当中的一组对应边儿，哎，一边一角，一边两个大的三角形也全等，所以我们还有三角形，哎， a p m 全等于三角形， a n m， 哎，判定定理是什么？边角边还是一样 s a s 对 不对？ 所以这个时候我们就可以推出，哎， pm 是 不是等于对应的 m n 呢？对不对？哎，等于 n m， 那 这两条线段长就是相等的了。想要证明什么， b m 加 d n 等于 m n 对 不对？那你会发现，由于在这里的 m n 等于 pm， 而 pm 是 啥呀？ p b 再加上 b m 对 不对？ 而 p b 又等于谁呀？是不是又等于 d n 呢？所以 d n 再加 b m， 这不就直接正出来了吗？ 所以以后遇到这样的半角模型，咱们直接干嘛呀？截长补短啊，把短的身上补出一咕噜，让它和长的相等，进而用二次全等进行边角关系的进一步转化，拼好角，实现最终的结论。
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05:30查看AI文稿AI文稿三角形的六大倒角模型，堪称初二几何的入门丢分重灾区，像这六个啊，看似简单，实则非常重要的几何模型，孩子务必要学透学懂，才能够在初二初三大大小小考试中稳定的拿下几何题目。 今天老师呢，就用最简单方法，快速的帮这些六大模型的易错混淆点给大家梳理清楚考场，遇到直接拿分。好，我们来看题。 首先啊，这六大模型分别是 a 字八字飞镖，角分线，角分线，角分线，分别是内外以内以外。好，这里呢，我可以很负责任的跟大家说啊，考的最多的各位，你猜是第几个？ 哎，最多的就是八字模型啊，是所有模型当中考的最多的。好，那么我们先来从简单到难，给大家复习一下哪六个模型。第一个模型呢，叫做 a 字模型， a 字模型的话，就是角一加角二与角 a 的 关系 怎么去找呢？来，我们来设一下啊！首先这里标个三，那么角二是不是等于什么？外角是不是等于角三加角 a 对 不对？那题干呢，它让你探究的是一二 a 的 关系，我们需要把角三做一个什么等量代换，角三是不等于一百八十度减角一就是我们的角三，对吧？再加上我们的角 a 等于我们的角二，整理一下，那就是角一加角二等于一百八十度加角 a。 好， 这就是我们的 a 字模型啊，现在考的还是比较少的啊！好，那接下来八字模型呢，因为它很常用，我们必须要知道它怎么快速证明。你在做大题的时候啊，一定是需要先证明的再去使用， 因为它要写过程嘛，对吧？很简单，外角是不等于 d 加 e， 所以 说角 a 加角 b 等于角 d 加角 e， 对吧？你就写一下，对吧？因为这个角一等于 a 加 b， 对 吧？在这个外角中，角一等于得加 e， ok 啊，所以说大家学会模型，其实它的应用呢，还是比较复杂的，但是你必须要先会好。接下来我们看第三个模型，飞镖模型 啊，在之前的作品呢，给大家证明过了，大家可以去看一下，但没有关系，我再证一遍，你就是延长它相交于这个地方，比如说是 m， 那 么根据外角的话，我们可以得到角 a 加角 b， 是 不是等于这里的角一啊，对吧？因为角 a 加角 b， 是 不是 这个角 b， c， d， 对 吧？又角一加角 d 等于外角，你看 b、 c、 d， 那所以说角 b、 c、 d 就 等于什么？相当于来一换成 a 加 b， 那 就是角 a 加角 b， 再加上角 d， 这就是我们的飞镖模型啊，飞镖屁股三个角的和好。那接下来呢，我们来看一下另外的角分线模型。角分线模型呢，有三种啊，两内两外，一内一外。好，那么我们看到角分线，大家的核心思路还是要干嘛？射圆啊？ x， x， y 和 y， 那第一个呢？它探求的是 d 和 a 的 关系。我们来看第一个三角形，是不是 x 加 y， 再加 d 等于一百八？ 好，来看第二个三角形，二 x， 二 y 和 a 是 不是二 x 加二， y 和 a 是 不是也等于什么？ 也等于一百八，对不对？那怎么办呢？我要消元呀各位，我要把 x、 y 消掉，它整体乘以二加减，消元法没有白学，对不对？然后呢，它减，它就得到了，所以二倍的角 d 减角 a 等于两个一百八，减一个一百八，答案就是一百八， 所以说角 d 呢，就等于九十度加上二分之一角 a 了，对吧？他过来除以二就行。好，这是我们的双内角分线，那么双外呢，也是一样的逻辑 列方程。好。首先看到的第一个就是内角和一百八 x 加 y， 再加 d 等于一百八，对吧？第二个呢，与 a 相关的各位，是不是这个角加这个角加角 a 一 百八，那这个角呢？是一百八减二 x 加上这个角是一百八，减二 y， 再加上角 a 等于一百八。好吧，我们来整理一下，整理完以后发现把 x y 放在一侧，那就是二 x 加二 y， 然后他过来是减角 a 等于他过去是三百六，减一百八是一百八。 还是那句老话，你是扩大两倍，那我也扩大两倍，两倍，两倍乘以二两倍，是吧？然后呢，用它去减它就行了，它减它要注意。二，那是二倍的角 d 加上角 a 等于两个一百八，减一个一百八，是不是一百八， 对吧？所以说角 d 呢，就等于九十度减二分之一角 a， 对 吧？把它挪过来除以二就行。好，来，最后一个更简单啊，一内一外就是 x， x， y， y， 那 你看一下第一个外角是什么？ 是不是这个 y 就 等于 x 和 d 相加， y 等于 x 加 d， 第一个外角，第二个外角呢？我们再来看一下，是不是这么一个外角，二 y， 二 y 等于二 x 加角 a， 我 还是要去削掉它们，所以说这里乘以二， 乘以二，乘以二，乘以二，然后呢，它减它零，它减它零，它减它来二倍。角 d 减角 a 等于零，所以说角 d 等于二分之一角 a。 综合来看，这三个结论分别是什么？哎，九十加九十减和没有九十，九十加 九十减和没有九十，只有二分之一好。不知道这六大几何模型的原理推导大家是否了解，各位一定要记得哦！考试做大题，先证明再使用小题直接秒杀，你学会了吗？
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05:07查看AI文稿AI文稿来，咱们家有七生八孩子的家长们注意了，咱们都听过一句老话，叫做初二两级分化，分化在哪？就是到了初二，我们会学到大量的几何模型、辅助线、全等轴对称几何最值问题，那需要孩子有连点成网的几何模型思维，辅助线思维。 所以啊，我们到了初二阶段上来第一个大章节，全等，这一定要学好，它是整个初中几何的基础。那有关全等这里 一个章节，咱们就有十大模型辅助线，咱们这个假期一定要让孩子把每一类模型至少学透， 这样的话，开学才能快人一步啊！我也给大家把这些模型题型整理了出来，想让孩子快人一步的家人们打印出来，带孩子逐个题型，配合着我的视频学透刷会好不好？下面咱们来看这道题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中， a、 b、 c 这个角等于多少？ 六十度对不对？ a、 d、 c 分 别平分，我最喜欢平分了啊，见到平分立马条件上图，把条件都标在图上，这样一会你不需要看题，直接看图就可以解决了。现在又说了啊啊，让你整个在这个图当中求 a、 p、 c 的 度数来，看到这个图， 你眼不眼熟啊？特别眼熟，为什么？它不就是我们之前学的三角形角平分线三大模型当中的什么形， 哎，内内型还有什么哦？三角形当中的内角角平分线与外角角平分线形成的内外型模型，以及三角形外角角平分线交点形成的外外模型当中的第一个吗？ 这三个模型结论还记得吗？不记得去看我之前的视频啊，内内型，哎，这个角等于多少？这个角就等于九十度，再加上二分之一的角，哎，就等于它 咋推的啊？其实我这里可以带着大家啊，再去推一遍，不会推倒的，一定去看我之前的模型总结啊，我再推一遍看，哎，同样是一个三角形 abc， 我 们在大的三角形当中利用勾股定律，由角 a 加上二叉， 哎，再加上二圈等于一百八十度。在小的三角形 p 加上小叉，加上小圈等于一百八十度。 来把第二个式子整体乘二，两个式子一相减啊，减完了之后你就会发现二倍的角屁减，角 a 等于多少？哎，这一百八十度乘二之后，三百六减一百八，还剩一百八十度，所以我们就知道角屁就等于九十度，加二分之一角 a 了，一项就可以了。 证完了这个结论，第一个问是不是也迎刃而解了？ a、 p、 c 的 度数是啥？就是九十度，再加上二分之一乘以六十度，也就是一百二十度。完事 继续我们来看第二个问，说这里 a、 e 等于三， c、 d 等于四，让你求 a、 c 的 长度是多少， 来想要求这条线段的长度，那他考察的是什么？就是我们对应角平分线的四大名辅了，还记得吗？角平分线有四大辅助线的做法，不知道的去听我之前的视频，听我对几何模型的总结啊。 遇到角平分线哎，有垂一边做双垂直，遇到角平分线有垂中间做延长。遇到角平分线哪也不垂，我们就做截取，截取两边一样长。还有一种是角分平等腰成， 这我不能细讲了啊，那你明确了这种辅助线思路，那这道题辅助线就不难了，因为你有辅助线思维在这里面，我们的很多几何题上来就可以画，对不对？ 因为在这里没有垂，所以，哎，做截取。怎么做截取？我在这截一段，比如说我截一段 a q， 使我们截的这一段 a q 和 a e 相等，截完了之后，这两个三角形什么关系？哎，肯定是全等的，对不对？ s a s 判定全等， 两个三角形全等，这两个角是不是也都对应相等？你看啊，整个这个红角，第一问已经求出一百二十度了，那这个角是他的补角，是不是就是六十度，对吧？那两个三角形全等，这两个角对应相等，这是不是也是六十度？ 而整个大角是一百二十度，所以剩下的这一段是不是也是六十度？哎，这个角和这个角对顶角，他是不是也是六十度？发现了吗？ 所以在这我们就找到了。哎，这两个角也是相等的，那我们会发现，那下面这两个三角形也是全等的呀。为什么有一组角，一个公共边，还有一组角对应相等，所以它俩也是全等的。 那两个三角形全等，当然对应的边长就相等了， c、 d 的 长就等于 c、 q 就 等于四了， 他俩相等等于三，他俩相等等于四，所以整个他的长度就是多少，四加三也就等于七了。所以这道题考察的比较综合。第一个问考察了我们三角形角平分线三大模型， 第二个问考察了三角形角平分线四大著名辅助线的做法。那这种题目你现在学会了吗？
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397数学小崔老师
22:15查看AI文稿AI文稿好，想必呢，我们阜阳初一升初二的一家啊，孩子们呢，已经学完全能三角形的有关知识了，这一张呢，嗯，想得到这个大幅度的提升啊，啊，绝对呢绕不开这个几何全能模型， 我一直认为呢，这个模型本身啊，它不重要，那重要的呢，是这个蕴涵的数学方法和思路。下面呢，我开始分章节的介绍一下我们全等三角形的一些基本模型。 好，今天我们先学一个叫一线三等角。好，首先孩子们要知道什么是一线三等角， 他指的呢，就是三个相等角的顶点在同一条直线上。咱们看这个模型好，分为呢，锐角直角和钝角的一线三等角。 来，我们画弧线的这个角，这个角，这个角，我们发现呢，他的顶点来 b e、 c， 哎，刚好呢，在同一条直线上， 所以呢，就叫一三三等角。同样的，如果是直角的时候来顶点，顶点，顶点在同一条直线上啊，也是一线三等角。顶点，顶点，顶点，顶点在同一条直线上，也成为了一线三等角。好， 那么一线三等角出现之后，他是干嘛用的呢？通常呢，是证明三条线段的和差，或者线段的求值，以及呢角度的一个证明， 分为呢，这个通侧和异侧。好，我们这幅图呢，展示的都是通侧的一线三等角。好，下一幅图呢，展示的呢是异侧的一线三等角。好，我们先看第一个，先看第一个，如果题目中告诉我哦，看到一线三等角了， 又给我呢， a e 等于 d。 好， 那就是这个红边，这个红色的边给这个红色的边相等，它跟它是相等的，那么左右两个三角形必定全等。好，我们来证明一下，证明一下， 那么在左边三角形身上已经有两个标记了，一个呢是角 b 跟角 c 相等，一个呢是 a、 e 跟 d e 相等。那你想要证明三角形全等，少一个条件，那我肯定得通过这个等角来找到最后一个条件， 我能不能把这个角设为角一，这个角呢？是角 a， 那 很显然，孩子们，这个三角形，这个三角形 a、 e、 c、 a、 e、 c， 这个三角形 是不是三角形 a、 b、 e 的 外角？哦，那既然是外角，既然是外角，孩子们，那你这个角 a、 e、 c 是 由角 e 啊，是由角 e 和角 aed 组成，那这个外角呢？等于它不相等的内两个内角，那就等于角 a 加上角 b。 而我发现你题目的一致条件告诉我，角啊， aed 和角 b 是 相等的，左边相等，那剩下的角 e 和角 a， 那 不就相等了吗？ 用外角去倒角，然后来角 e 和角 a 相等。我们再看一下三角形 a、 b、 c、 a、 b、 e 身上 一个标记，两个标记，三个标记，那很显然是角角边就可以证明全等了。好，底下这些在三角形 a、 b、 e 和三角形 e、 c、 d 中，好，我们要列三个条件，角 b 等于角 c， 角 e 等于角 a、 a、 e 等于 d、 e。 所以， 那么这两个三角形 a、 b、 e 是不是就和三角形 e、 c、 d 全等了？哦，那么这个模型，孩子们同侧的一线三等角，需要你掌握的就是，只要看到一线三等角和其中一组边相等，那么左右两个三角形就是全等的。 好，同样的来，现在我们看一下钝角三角形，同样道理来，这三个角是相等的， 然后呢，这个边给这个边相等，同样道理，这个设为角一，那很显然一样的方式，角一加上这个角 a、 e、 d 是 不是等于角 a 加上角 b， 那 么 a、 e、 d 跟角 b 相等，因此我们可以啊， 得到角 e 和角 a 相等。那接下来呢，是同样的方法。好，这是锐角和钝角啊，是同样的方法，证明出来全等。好，现在我们再看一下中间这个， 中间这个呢，一线三等角，因为呢，这个角比较特殊，是直角，所以呢，孩子们，这个模型呢，我们要记住，又被称为呢一线三垂直模型， 又被称为一线三垂直模型。这个模型呢，在我们后期啊，你比如说求点坐标呀，或者是这个函数中的特殊角度啊，用的非常多， 我们看一下怎么去证明。题目的条件，也是告诉我啊，三个直角顶点呢，在同一条直线上，因此呢，是一线三垂直， 然后告诉我 a、 e 啊，仍然是 a， e 和 d e 相等，那么倒个角不就行了吗？来这个角一，我问你，角一加上角二 是不是等于九十度，而角二加上角 a 是 不是等于九十度？用等量代换，那么角 e 就 等于角 a 了。好，我们写一下。 好，我们证明一线三垂直。好，因为角 a、 e、 d 等于九十度，所以角一加角二 等于九十，因为角二加上角 a 等于九十，所以我们可以得到 角 e 呢，是等于角 a 的。 那么在三角形 a、 b、 e 身上，角 a 一个表记垂直，一个表记边 a、 e 一个表记，那条件就够了，用角角边证明全等。 好。在三角形 a、 b、 e 和三角形 e、 c、 d 中，好，我们罗列三个条件， 角 e 等于角 a， 角 b 等于角 c。 好， 还有一个是 a， e 等于 d， e， 所以 那这两个三角形 a， b， e 和三角形 e， c， d 是 全等的，用的是啊，角角边。证明。 这个呢，老师想多讲一句，我们看一下全等完之后，全等完之后它们有什么关系？来看一下，很显然，孩子们，你这个边 a， b 这个边是应该给这个 c， e 边相等的， 那你的 c、 d 边给 b， e 边是对应边相等，是不是？ 所以呢，我们可以得到这个 bc 呢？ bc 这个边就是由 ab 和 cd 的 和组成啊，和组成。好，我们证明一下，圈通完以后，所以那你的 ab 等于的是 c e， 你 的 b， e 等于的是 cd， 因为这个 bc 这个边是由 b， e 和 c， e 组成，所以我们等量代换一下。 b， c， b， e 呢，是和 cd 相等，我们用 cd 来写一下， c， e 呢和 ab 相等，用 ab 来代换一下。那这样的话，我们可以得到啊，三条线段之间的关系。 好，这个模型呢，我们称为通测的一线三垂直，那么异侧的是一样道理，分文呢？锐角，锐角的一线三等角啊，直角的一线三等角，以及呢钝角的一线三等角。好，我们以第一个为例， 现在我们看一下这角的顶点，顶点，顶点在同一条直线上啊，因此我们称为一线三等角，对吧？好， 然后告诉我这三个角相等，又告诉我呢， a， d 等于 d， e， 咱们表一下， a， d， a， e 等于 d e， 这个边和这个边相等，那么啊，异侧的两个三角形一定是全等的。好，我们来证明一下， 证明一下，我们先把目光锁定在 a abc 身上啊，角 abc 身上， 那我发现这个角 abc 孩子们给我的直观感受是不应该是这个三角形的外角，那它就等于这个角加上这个角，对不对？好，来，我们开始写， 因为角 a、 b、 c 等于角 a 加上这个角，我标个角一吧，这个角标个角二，是不是角 a 加上角一， 角 a 加上角一，那很显然，这个角 a、 e、 d 是 不是等于角一加上这个角二？ 题目的一致条件告诉我， a、 b、 c 和 a、 e、 d 相等哦， a、 b、 c 和 a、 e、 d 相等，所以我就可以知道角 角 a 是 等于角二的。好，把目光锁定在角 a 跟角二是相等的。好，这是一组相等的角了。那么在 a、 b、 e 身上，现在只有一个角 a 和角二是相等的， 还有一个边，是不是还差一个角？好，再看一下孩子们，这个角跟这个角它们的邻补角是不是相等？ 哦，你这角跟这角相等，那这个角被记为角三吧，这角记为角四。好，那么因为角三等于一百八十度，减去角 dcf， 角四呢？又等于一百八十度，减去的是角 abc， 那么你的 d、 c、 f 是 和角 a、 b、 c 相等的，所以，那么角三是不是等于角四的？好，最后一个条件，步骤完整，角三跟角四相等。那你再看一下三角形 a、 b、 e 身上哦，角 a 一个标记，角四一个标记 a、 e 啊，一个标记，那么很显然是角角边就可以证明全等了。好，那条件够了，我可以写在三角形口述下啊，就不再写了。这三角形 a、 b、 e 和三角形 e、 c、 d 中好，落这三个条件，所以呢，就全等了，所以就全等了。 好，我们继续看第二幅图，第二幅图呢，它的角度比较特殊啊，是称为呢一线，也称为一线散垂直。好，写下来，这个图形我们也称为一线 散垂直模型， 那么证明方式也是如此。好，我们导一组相等的角就够了，来看，好，那么这个角 a 加上这个角一等于九十度，角一加上这个角二等于九十度，因此这个二跟 a， 二跟 a 是 相等的，一足了，然后呢，垂直垂直两足了，然后这个边跟这个边相等，因此我们是不是仍然是用角角边去证明啊，这个是异侧的一线三垂的模型。好，这个锐角呢？给，这个 钝角跟这个锐角是一样的，那这样的话，我们就明白了，原来啊，这个图形的本质啊，就是告诉我，一线三垂直有一组边相等，那么左右两个三角形或者是异侧的三角形是全等的， 嗯，然后呢，这个四种应用情况，我想呢，等孩子们呢，把我给你的这些啊典型题目刷完之后呢，我们呢再去看一下这个总结，可能呢会更好一点，会更好一点， 那么模型学完了，那么最重要的是它的一个应用来，我就以这个的利五为例吧，前面的呢是比较简单，以利五为例，在同学们感受一下，你模型学完了，我们一定要灵活的去运用 好，如图，以 abc 和 cd 一 种啊，垂直垂直，垂直，删除垂直， 然后 ac 呢等于 cd。 那 既然我已经学过一线三垂直模型了，因此我分析题目的时候，就可以快速的整理这个三角形，给这三角形肯定是全能的了，这是一线三垂直模型。好，你 ab 是 四，你的 d e 呢是三，问你 b e 等于多少？ 那很显然，这段三给这段三相等，这段 b， 这段四给这段四相等，因此你的 b、 e 不 就三加四等于七？好，重中之重。我们看第二个， 在二角三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 呢等于九十， e， b、 c 呢是等于三的好，这等于三，这就等于九十做 cd 垂直， a、 c 好， cd 垂直 a、 c， 哦，这又垂直了。然后呢？ cd 等于 a、 c 好， 这一段等于这一段。好。我想请问一下孩子们，你看到的是一个如果连接 a、 d 是不是也是个等腰 r t？ 那 么既然等腰 r t， 我 首先想到的就是要构造啊，一线三十只模型，一线三十只模型好，为什么？来，我在这画个图，你感受一下。我一旦看到等腰 r t， 孩子们，随便的啊， 这边给这边相等，这角是垂直 a、 b 啊 c， 我 能不能过 c 做任意的一条直线？好？比如说我坐在这， 那，这样的话来向两边做垂线，那肯定构造的就是一个一线三垂直模型。是不是？好，现在我把这条直线给它动起来，孩子们，动起来，你感受一下。如果这条直线在这， 如果这条直线在这， 好，我们继续向两边做垂线， 那很显然，左右两边是不是也是一个一线三垂的模型？是不是好？继续我过细的一条直线，如果是这样的，如果是这样的一条直线， 那我继续向两端做垂线，做垂线。做垂线， 那你会发现上下两个三角形仍然是异侧的一线三垂直。所以呢，这个模型的本质告诉我，我看到一个等腰 r、 t， 那 就可以向两端去做啊，垂线构造呢？一线三垂直模型啊，构造一线三垂直模型。 好，我们继续。那做到这来，我们能不能做啊？做 d、 e 垂直， b、 c 的 延长线。好，我们先延长它， 然后做垂线。 那很显然， 左右两个大三角形直角三角形是全等的，全等的。那么全等完以后，他让我求的是什么呢？让我求的是 bcd 的 面积，那我们知道三角形 bcd 的 面积不就等于二分之一 bc 去乘以 d、 e 吗？ 那 bc 是 有了，是三。哦，这个 d， e 呢？孩子们，因为左右两三有全等，那么 d， e 这个边是不是应该等于 bc， 因此再乘三，所以呢，就等于二分之九了。好，这就是构造一线三垂直， 构造一下三十，好。第三题，四边形 a， b、 c， d 中角 a， b， c， c， i， b， i， d， c 等于四十五度，我们先找到这三个四十五度吧。好， a， b、 c 在 这， 这个角， c， i、 b 这个角，还有这个 a， d， c 这个角四十五度。告诉我呢， a、 c、 d 呢？是十四七。 好，这个面积，这个面积是十四，然后这个边长呢？是七，让我求 b、 c、 d 的 面积。那孩子们，同样的突破口仍然是，哎，我见到这个等腰 r t 了，看到没有？ 我见到这个等腰 r t 了，等腰 r t 了，我能不能去延长 dc， 哎，过 a 点过 b 点向 d、 c 去做垂线，那不就构造出一线段垂直了吗？所以这个思路也是自然而然的。好，那我们延长 d、 c， 为了让你看清楚，我用实线了啊，考试时候你要用支持啊和虚线表示。好，现在做 d， i、 m 垂直，然后呢？ b、 n 垂直，那很显然，你就构造出左右两个直角三角形是全等的， 全等的。好，现在我们再看一下它为什么告诉我这个 a、 d、 c 的 面积是十四，那么三角形 a d、 c 的 面积就等于二分之一，以 c d 为底，乘以 i m 等于十四，我们把数据带进去，二分之一乘以七，乘以 i m 等于十四，那我就发现这个 i m 呢，它是等于多少？四的。 好， am 等于四，看清楚了， am 等于四，那么根据我们的全等，那这段也是四，这段也是四，你好像用不上，你想解决这个 bc 的 面积，你用不上这个 c n 呀，这个 c n 是 等于四的。 好，那现在我需要的用的是 c m， c m 是 不是等于 b n c m 这一段等于 b n。 哎，这个 b n 不 就是高吗？如果我想求 b c、 d 的 面积，那这个对角三角形知道这个底是七的，再知道这个 b n 这个高，不就可以了吗？好，现在关键问题就是要求这个 c m 等于多少？ 好，再看你做完垂直之后，他告诉我这个角是四十五度，这也是我们经常性的一个垂线，见到四十五度肯定是做垂线，而且 右边这幅图形也告诉我去构造一千三的直径，左边呢，也有见四十五度做垂线。那这样的话来，你这段是四，你这个 dm 这一段是不是也是四？ 那么 c m 是 不是等于七减四，那就是三。好，这段是三，那很显然这段是三，那这样的话，我们就可以把三角形 bc 的 面积呢求出来了。 好，我简写一下啊， b c、 d 的 面积就等于二分之一，以 c d 为底，乘以呢？ b n， 那 就等于二分之一乘三乘七乘三，那最终答案呢？是等于二分之二十一。好，那么孩子们通过这个模型 啊，通过这个题目我们可以看到模型本身啊，它并不重要，模型本身内涵的方法和思路才是值得我们研究的深入研究的 啊。当然呢，还有给同学们呢，找到一些很经典的一些一线三垂直的题目啊，你比如说面积比啊啊，你比如说啊，这是 求这个点坐标的，那肯定也是构造一线三垂直啊，等等啊，好，孩子们呢，课后呢，可以自己做一下啊。
87阜阳数学高老师
03:12查看AI文稿AI文稿哎，好多孩子有些看到了题目中的角平分线这样明显的线索和条件的时候呢，还不知道该怎么去做，那是因为不知道这个角平分线模型还有五个细分的模型， 所以今天呢，我们就三分钟搞定这个五个细分的模型，来揉碎吃透这个角平分线所涉及到的五个细分的模型，同样的也是学霸模型系列的第三十四个了， 他的模型的解读呢，已知的条件就是角平分线，就这么简单，所以呢，在这里就利用两个，第一呢是做垂线，就是利用角平分线的性质。第二个呢就是去构造全等的三角形，或者就是等腰三角形的三线合一。 总共呢有五个模型。细分模型一是角平分线，垂两边，模型二呢是垂中间，模型三呢是外垂直。那么我们结合这个图形来看一看，垂两边， 那就是角平分线上的点到角的两边的距离是相等的， o c 是 角平分线，所以 c a 等于 c， c b 这两个三角形呢，就全等，它的底层逻辑就是角平分线的性质。 模型二垂中间的时候，哎，中间，你看这是一个什么样的图形，不就是等腰三角形的三线合一了吗？所以他的底层逻辑就是等腰三角形的三线合一，那么这是角平分线，这个是垂直或者是线段的垂直，平分线的一个性质， 模型三呢是外垂直，外垂直的话呢，你对比一下模型二，感觉是不是缺了一部分，缺了一个角你就把它补上， 这个时候这个垂直就是等腰三角形的三线合一，那么这个是角平分线，然后这个是垂直，因此呢，它的底层逻辑就是等腰三角形的三线合一， 这个是垂，两边垂，中间包括外垂直，这两个呢都是一样的，利用的是三角形的三线合一，所以呢，你看到角平分线，要想到这个等腰三角形的这样一个性质， c 分 模型五是异侧等线段，异侧等线段指的意思呢？这两个角是相等的， a c 等于 b c， 那 么这是条件，然后所做的辅助线呢，就是去做垂直构造，这两个三角形是全等的，然后再加上角平分线的性质，就可以 轻松的搞定了。那么尤其是第三个结论， o a 等于 o b， 加上二倍的 a d， 那 么大家可以把视频暂停了，哎，自己去推导一下。 模型五是直角三角形形的，既然有已经有一个垂直了，那肯定是再去做一个垂直，这个就是角平分线，然后有特别的，当三角形 a、 b、 c 是 等腰直角三角形的时候，还有这样一个关系，大家可以去推一下，它的底层逻辑呢，同样是角平分线的性质， 因此最后概括起来，全等三角形的角平分线的模型呢，就是角平分线的性质定律，加上等腰三角形的三线合一，就是这样简单。好，今天呢，我们就讲到这里，谢谢大家。
461老唐的初中数学思维课
02:44查看AI文稿AI文稿今天我们来破解一个经典又烧脑的几何最值问题，费马点。先看实战场景，在三角形 a、 b、 c 三个顶点分别驻扎着咱们的三支野外驻训队伍，现在要建一个物资供给仓库，屁从屁修，三条路分别通到 a、 b、 c。 核心问题来了， 仓库选在哪，才能让这三条路的总长度 pa 加 pb 加 pc 最小？这可不是简单的两点之间线段最短能直接解决的，因为这里有三个点要兼顾。今天咱们就用旋转大法，把这个复杂问题给他猜明白，变简单。请大家拿出草稿纸，跟着我一起画，思路马上就通。 第一步，咱们把三角形 a、 p c 绕着点 c 往外旋转六十度。大家注意，旋转的时候，图形的形状大小都不变，只是位置转了个身，所以 p c 旋转后变成了 c m， pa 旋转后变成了 n m， 这一步是关键。记好了，旋转六十度后，新的三角形 c p m 有 个特殊身份，谁发现了？ 对，因为 p c 等于 c m， 而且夹角角 p c m 是 六十度，所以三角形 c p m 是 等边三角形，等边三角形，三边相等，所以 p c 等于 p m。 这一下咱们的目标就变了， 原来要找的 p a 加 p b 加 p c， 现在能换成什么？ p a 等于 n m， p c 等于 p m， 所以 总长度就变成了 n m 加 p b 加 p m。 大家看这三个线段连起来是不是从点 n 到点 b 加 p m， 大家看这三个线段连起来是不是从点 n 之间线段最短， 所以当这条折线变成直线的时候，长度就最小了。也就是说，当点 p 刚好落在 n b 这条直线上时， n m 加 p b 加 pm 的 长度最小， 对应的 pa 加 p， b 加 pc 也就最小了。这一步是不是超巧妙，旋转一下就把三条线段的和转化成了一条直线的长度，光找到位置还不够，这个神奇的点 p 还有个角度密码，因为三角形 c p m 是 等边三角形， 所以角 c p m 等于六十度。再结合旋转的性质，角 a p c 等于角 n m c。 大家算一算，当 p 在 n b 上时，角 b p c 是 多少度？对一百二十度。同样的道理， 角 a p b 和角 a p c 也都是一百二十度。也就是说，点 p 到三个顶点的连线，两两之间的夹角都是一百二十度。这就是这个最优仓库点的核心，咱们叫它费麻点。 那实战中怎么快速画出这个点 p 呢？教大家一个秒杀技巧，不用每次都旋转三角形，直接以三角形 a、 b、 c 的 一条边，比如 a c 为边，往外做一个等边三角形 c a n， 然后连接 b 为边，往外做一个等边三角形 a b e 连接 c e 这两条线， b n 和 c e 的 交点就是咱们要找的点 p。 不 管三角形 a、 b、 c 是 锐角、钝角还是直角三角形，这个方法都通用。没学会的同学可以点赞关注慢慢看哦！
68每日一题-谢老师
00:59查看AI文稿AI文稿你永远也考不过一个从七年级开始就每天掌握一个几何模型的孩子，因为七年级的数学成绩百分之四十是由几何题决定的，你就吃透这本几何模型图秒解，到了期中期末，想拿低分都难。就是这本初中几何模型图秒解，囊括了初一的八个模型、初二的三十三个模型、 初三的十九个模型，像常考的将军印马模型、燕尾八字模型、手拉手全等模型、点线员最值模型，每个模型的已知条件是什么，结论是什么， 证明的方法都拆解的清清楚楚。再结合典型真题，从找模型到套用模型，让孩子掌握解析思路，吃透答题技巧，每个模型扫码 就能看视频讲解，哪怕是基础差的孩子也能学会。学完一个模型就用配套的专项练习，及时做真题训练，学会举一反三，彻底掌握几何模型的解析技巧，吃透这套几何孩子的数学难点，轻松拿下！家有初一到初三的孩子都可以用！
1糖糖同学
03:23查看AI文稿AI文稿初中数学几何题考来考去就是这六十个模型，弄懂了其实一点也不难。一个是几何的模型，你可以理解为是做题的套路，还一个呢，几何的辅助线。辅助线啥意思呢？基本上这条线做出来，你的题目就解决了。 平行线有关的辅助操作。新考法理解阅读省时省力的。这个资料是全国通用，初一、初二、初三通用的，对几何方面的学习用一下挺不错的，更有模型口诀，考前速记随身带，随身学，很方便。
0兰台书屋
00:14
05:42查看AI文稿AI文稿初中数学动画第一集分式方程自打方程横空出世之后，以催枯拉朽之事不断放出一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组等绝杀大招， 在亿万学子元气大伤不得喘息的时候，方程得寸进尺，把以前所有方程都归做整式方程，进而又推出了独立门派分式方程。 分时方程不仅声色难懂，并且天生会使用独门暗器增根。呃，江水的流速是每小时多少千米呢？这道难题可难倒了李二狗，他在船上苦思冥想，冥想苦思还是没有头绪， 哎呀呀呀，实在是看不下去啊！正所谓一方有难，八方点赞，好吧，呃，是八方支援，嘿嘿嘿，咱们还是去帮帮他吧。以前咱们学过一种万能的方法来解应用题，是啥方法呢？没错，就是方程。 方程破解应用题有六步新法，审题、设方程、解方程、检验答题，简称审设、列简电答， 只要按此心法逐一执行，无论何种应用题定会迎刃而解。看，审题，这是一道流水行船问题，本质是行程问题，那么速度乘以时间等于路程的关系一定要明确。 题目说了，此船在江中逆流航行四十八千米所用的时间与顺流航行七十二千米所用的时间相同，这就是一组相等的数量关系。 路程给定，时间相等，就差速度了，这就是审批过程。明确数量关系，这是列方程的依据。关于速度，在流水行船问题中，船在进水中的速度、逆水速度以及顺水速度的关系。 顺水速度等于船在净水中的速度。加水流速度，逆水速度等于船在净水中的速度。减水流速度我们已经知道了船的净水速度，那么我们只要知道水流速度，这样各种数量关系就好表示了。巧了，这个水流速度就是我们想求的， 那就设水流速度为未知数 x 就 好了，这是设的步骤，原则就是设置的未知数，方便其他各个数量的表示。此外，还要便于列方程。 净水速度二十千米每小时，这是已知的顺水速度，等于船在净水中的速度。加水流速度二十加 x 千米每小时。 逆水速度等于船在进水中的速度。减水流速度表示乘二十减 x 千米每小时。下面该到列方程的步骤了。根据逆流航行四十八千米和顺流航行七十二千米所用时间相同， 我们把这两个时间都表示出来，列一个等式方程就出来了。逆流航行四十八千米除以溢水速度， 就是二十减 x 分 之四十八。顺水航行七十二千米所用时间就是用路程七十二千米除以顺水速度， 就是以二十加 x 分 之七十二。这两个时间相等，就是二十减 x 分 之四十八等于二十加 x 分 之七十二方程，这就列完了。不过值得注意的是，列方程时，各个数量单位一定统一，这是一个地球人都知道的规定。 这里咱列出的是分式方程啊，之前咱们都学过分式方程的解法，这里解方程的过程我就说得快一点吧。 取分母两边同时乘以最减公分母括号二十减 x 乘以括号二十加 x， 就 变成了四十八乘以二十加 x 等于七十二乘以二十减 x。 解这个整式方程得 x 等于四， 到这里，解的步骤就完成了，下面是最关键的验的过程。检验是方程解应用题最重要的一环。以前因为整式方程没有兴风作浪的机会，所以很多情况都省略了这个步骤。 但是分式方程与众不同，它有独门暗器增根的存在，所以本着宁可信其有，不可信其无的原则，我们必须检验。 当 x 等于四时，最减公分母括号二十减 x 乘以括号二十加 x 不 等于零。因此， x 等于四是原分式方程的解。 我们不光要检验得出的解是否为增根，还需要检验这个解是否符合实际，如果严重违背常识，那就得弃之不用。还好，本题水流速度四千米每小时是符合实际的，那就通过了检验。 最后一步，嗯，答江水的速度是每小时四千米。大功告成，历尽千辛万苦，我们成功运用了分式方程和方程解应用题六步心法，解决了李二狗的难题。 从此，李二狗告别了稳定的最后一名，成功运用六步新法和分式方程，攻克了行程问题、工程问题、经济问题、浓度问题等等等等等等初中常见的应用题中的各种难题，从而平步青云，正逐步走向人生巅峰。 真可谓分式方程太无情，各种应用新题型审设列检验根达，少了，哪样也不行。增根检验要清醒，联系实际并合情。六步心法请神明，各种难题现原形！
103安妈育儿纪录片(看主页）
03:03查看AI文稿AI文稿初中数学精讲垂线段最短这个视频我先给你一个点，一条线，那过这个点且与这条线相交的直线有多少条？这条可以，这条也可以，等等等等，当然有无数条了， 那这些相交线中垂直的有几条呢？哎，找一找，好像只有这一条，往左一点，往右一点，都不能保证垂直了。对了，过一点做已知直线的垂线就这一条，慢着。有小伙伴不服，说这是点在直线外的情况不全面。 这位小伙伴说的对，咱得把点在直线上的情况也分析一下，才能得出靠谱的结论。点在直线上过这个点，随便画条直线都与已知直线相交，但是能够保证垂直的又只有这一种情况，稍稍偏一点都不行。书上说这角在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 为什么说在同一平面内呢？为师暂且不讲，你到高中自然就懂了。现在你只要注意，这才是正确的说法。在同一平面内，有且只有一条直线垂直。 既然这条线如此唯一，那他必有其他的性质。是的，如果一只羊驼站在这个点上，渴得冒烟了，想去河边喝水，他一定会以最快的速度沿垂线奔跑，因为这条路是最短的，如果走其他线路的话，渴死了怎么办？ 所以，从一个点到一条线的话，沿垂线走是最短的。书上说，这叫垂线段最短，而且这一条线段的长度就是点到直线的距离，别忘了，距离一定是长度哦！ 牢记这两句话，跟为师一起看个题目，在这个三角形中， b a 垂直， c a 于 a 做 a d 垂直 b c、 d 是 垂足。 现在问题来了，在这个图中，能表示点到直线距离的线段有哪些？表示点到直线距离的线段就是找垂线段嘛，既然找垂线段，你先到图上找找垂直，这里是垂直，使 b、 a 垂直 a、 c。 这么看来， b、 a 应该是垂线段。 对的，它可以表示点 b 到 a、 c 的 距离，同时 c、 a 也垂直 ab， 于是 c、 a 也是垂线段，它可以表示点 c 到 ab 的 距离。 与这个垂直有关的垂线段就这两条。其实找垂线段就是看直角的两边，每条边都是一条垂线段，比如这个直角是 a、 d 垂直 d、 c， 也就是说它们应该都是垂线段。没错， a、 d 表示点 a 到 d、 c 的 距离，所以这两条线也满足要求。 题目中就俩垂直，这几条垂线段应该够了等等。为师说的是看直角两边来确定垂线段，也就是说看见一个直角就要找一下，你还有个直角，忽略了呢。对喽，就是这个角，它也是直角，使 a、 d 垂直 b、 d 它的两边也是垂线段。 a、 d 刚才已经算上了，不能重复。而 b、 d 它的长度表示 b 到 a、 d 的 距离，也满足题，线段 a、 d。 线段 a、 c。 线段 a、 d。 线段 d、 c。 还有线段 b、 d。 这五条垂线段都满足题目要求。再看一眼图上，显然没有遗漏的了，所以这五条线段就是正确答案了。 题目都欧了，为师这就给你总结一下。首先，你得记住这句话，在同一平面内过一点，尤其只有一条直线与已知直线垂直。其次，垂线段最短，点到直线的距离就是垂线段的长度。 最后，在图上找垂线段时，要先找直角，直角的两边即垂线段。就这样，为师的绝学已传授于你。
28小初高知识宝库
00:40查看AI文稿AI文稿初中数学拉开距离的就是几何题，初中几何再难也就这四十八个模型，让孩子把它吃透了，考试也就不怕了。你看，像高脚模型、八字模型、飞镖模型、双脚平分线模型、手拉手模型、费麻点模型、四点共圆模型等都整理在这本初中数学几何模型里了。 每个模型的结论是什么，证明过程怎么写，怎么套用到真题里，全都整理的清清楚楚，让孩子把它吃透。遇到选择填空题，就能直接套用结论写出答案，看不懂也没关系，扫码还有视频讲解，学完再做对应练习， 学练结合才能更快掌握答案。单独成册讲解也超详细。配套的还有一本函数和应用题，让孩子把它们都吃透，初中三年的数学也就稳了。
01:48查看AI文稿AI文稿停下来，别划走，百分之九十做几何动点的学生全都栽在这个隐形轨迹上。今天我从教三十多年的一线退休教师带你扒开这一模型的底层逻辑。我先不说出这一模型的名称，因为我想测试一下，有多少人知道这个几何模型。 把你猜到的模型名称写在评论区，能猜对的几何公体绝对是巴黎顶尖的水平。首先我们来看题，等腰直角三角形， a 比 c， a， c 的 b， c 得四， d 是 ab 上一点， d， e 垂直， ab 交 b， c， e， f 是 a， e 的 中点， b， e 等于二倍根号。二、求 b、 f 的 曲折范围，这里要求 b、 f 的 曲折范围。大家来看一下， f 是 个动点， b 是 定点， 那要求 b、 f 的 曲轴范围。我们就需要知道 f 的 运动轨迹是什么，那我们要知道 f 的 运动轨迹。我们得知道 f 点是因为谁的运动而运动的，那 f 点是因为 e 的 运动而运动的，因为 f 是 a， e 的 终点。那么要知道 f 的 运动轨迹，就得先知道 e 的 运动轨迹。把三角形绕到 b 点，逆时针旋转三百六十度， 当然就有 e 点也绕到 b 点，逆时针旋转三百六十度。大家来看一下，我们发现了 e 的 运动轨迹是一个圆， 看圆心和半径。通过动画演示， f 点的运动轨迹也是一个圆，它的圆心又在哪里呢？它的半径又是多少呢？ 如果我知道 f 点的运动轨迹是圆的，圆心是多在哪个位置，半径是多少？我们利用一箭穿心，就能求出 b、 f 的 最大值和 b、 f 的 最小值。那这里 f 点的运动轨迹是圆，根据又是什么呢？这是一个典型的哪个几何模型呢？ 这个动画我们就看到这里，想必大家已经知道 f 点的运动轨迹了啊，你知道这个几何模型的名称了吗？这一模型需要满足的条件又是怎样的呢？本题的答案又是什么呢？把这些都写在评论区，根据这些我能猜出你的数学水平。 同教三十多年的一线退休教师，每天为你分享经典数学几何模型，如果你觉得我的分享对你有意，别忘了点赞关注我。关于这道题的完整解答笔记，我放在粉丝群里，进群免费领取！
33老杨数学
01:42查看AI文稿AI文稿八字模型是八年级必考的几何模型，初中几何只需要掌握这八十一个几何模型，做题就像抄答案一样简单，就是作业帮这本八十一几何模型，他总结了初中阶段常见必考的八十一个几何模型，像八字模型、铅笔头模型、主题模型、蝴蝶模型、 封正模型，每个模型的条件公式怎么做，辅助线怎么证明，写得清清楚楚，看不懂 扫码可以看视频讲解，后面就是举一反三练习。初中几何考来考去就这八十一个几何模型，学会这些几何模型，孩子考试遇到了做题就像抄答案一样简单，快给孩子安排起来吧！ 初中数学不到一百一，一定要盯着孩子把几何数吃透了，要知道初中数学的几何者得天下。就用作业帮的这本初中几何题型大全，他初中三年要考的几何题型都给你整理好了。 比如这个长得像雨伞的就是雨伞模型，直接套用这个模型的解析方法，以后考试遇到这种模型，就知道这个模型怎么解析了。 考试频次也帮大家整理了出来，比如三年考了八次的猪蹄模型，三年考了七次的铅笔头模型，三年考了十次的飞镖模型，中考几何模型的考勤和分值区间都帮大家整理了出来。课后还有模型的应用和直击中考的专题演练， 参考答案单独成册，讲解也十分详细。每天学习一个几何模型，用这本书复习，不怕几何学不会了。
10优品百货服饰
00:38查看AI文稿AI文稿你永远也考不过一个从七年级开始就每天掌握一个几何模型的孩子，因为初中数学拉开差距的就是几何题。推荐这套初中几何模型图描解，包含了初中三年所有常考模型，像手拉手模型、雨伞模型、将军银马模型、胡不归模型等， 每个模型的图式、已知条件、辅助线、画法和结论都用表格梳理好了。接着是模型证明过程，让孩子了解解析原理。最后通过真题手把手教你学习解析思路和答题步骤， 遇到不懂的，扫码就能看视频讲解，搭配练习册使用。学完一个知识点，及时做对应的练习题，才能检查出孩子的薄弱点。家有初中生的快准备起来吧！
01:45查看AI文稿AI文稿你数学是什么时候开窍的？初一，那你是怎么开窍的？看初中几何模型，在我排名垫底的时候，我妈妈没有让我大量刷题，她说那些都是假。努力告诉你，几何题想学好，就这一个窍门，不要问孩子要不要，直接给他买一套， 就算一个月不吃饭，也要给他看看这套初中几何模型重构四十三式。你要知道，初中数学再难，也就是这四十三个模型，每天看十五分钟，数学思维逐步提升。 看这道题，看下图，角 a 等于五十度，角 b 等于二十五度，角 c 呢？等于三十度求角 d 等于多少度？好多孩子看到这个图直接就蒙了，没思路。但看过几何模型四十三式的孩子都知道，这个叫飞镖模型。直接套用结论，角 d 等于角 a， 加角 b 加角 c。 所以 就是五十度加二十五度加三十度，那 脚地就等于一百零五度。这个模型的结论是怎么来的？怎么证明的？怎么画辅助线的？翻开这本几何模型，重构四十三式，找到飞镖模型这一页，你看，写的清清楚楚。这本书把初中常考必考的几何题型全都给总结好了，就像查字典一样简单，哪里不会就查哪里。 比如猪蹄模型不会查一下，铅笔头模型不会的查一下，将军银马模型不会的查一下。而且每个模型还列举了不同变形的辅助线做法，基础薄弱的孩子容易上手， 成绩好的孩子也有拓展提升，不用担心孩子记不住。每个模型的辅助线都有口诀帮助记忆，还可以看名师的视频讲解， 基础再弱也能学会，学完再去做后面的必刷易错题，学练结合，让基础更扎实。关键现在还搭配了这套初中快捷思维四十五招，把三年的初中课本直接浓缩成四十五个解析方法，掌握通用解析套路， 题会一类题，不论是初一初二打基础，还是初三总复习提分，用这两本就够了。家有初中生的赶紧让孩子学起来。
00:35查看AI文稿AI文稿你永远也考不过一个从七年级开始每天掌握几何模型的孩子，因为初中数学拉开差距的就是几何题。推荐这套初中几何模型，它包含初中三年所有常考模型，如八字模型、手拉手模型、四点共圆模型、飞马点模型等， 每个模型的读式、已知条件、结论都给梳理好了。接着是模型证明过程，最后通过真题手把手教你学习破题思路，找题眼、配模型，用模型解析，遇到不懂的扫码就能看视频讲解。每个知识点都有对应的练习题，帮助检查出孩子的薄弱点。家有初中生的赶快准备起来吧！
1一笑
03:49查看AI文稿AI文稿初中数学动画第一集不懂事军师，军师大事不好！这次与魏军对峙数日，战场上不知何故起了非常严重的雾霾，将士们都喉咙干燥，眼睛酸涩，战斗力大减呢。哎，众将莫急， 老夫夜观天象，发现最近周边居民烧柴过度，才导致雾霾不散，虽然对我军战斗力有些影响，但无大碍。哼，军师为何这样说啊？哈哈， 还记得上次给你们讲过的不等式吗？今天不妨接着说说不等式的性质，各位将军就会明白了。嘿，好，好啊！ 首先呢，若双方战斗力因雾霾的存在降低相同的二十点，原本黄老将军的战斗力为九十，对方将军的战斗力为八十，之前稳操胜券，那么现在黄老将军会输吗？ 各位将军只要动动小脑就能明白，获胜的仍然是黄老将军，因为雾霾会让双方占领的战斗力都下降二十点开始为九十，大于八十，都下降二十点后，嘿嘿，黄老将军的战斗力为七十，仍大于对方的战斗力六十， 所以啊，仍然会胜利。同理啊，若双方战斗力都加上相同的数值，胜负也是不会变的。这些道理很简单，而这其中的本质叫做不等式的性质。一， 嘿嘿，不等式的两边加上或减去同一个数，或者式子不等号的方向不变。用式子来表示就是，如果 a 大 于 b， 那 么 a 加减 c 大 于 b， 加减 c。 哎呀，军师好棒啊，军师萌萌的呃，军师啊，若是双方按比例损失战斗力，可怎么办呢？哎，这个问题问的好，还是以九十大于八十为例，若雾霾使得双方战斗力变为原来的十分之九， 九十的十分之九为八十一，八十的十分之九为七十二。八十一大于七十二，仍然会是黄老将军获胜，按其他的比例减少或者增加大小关系还是不变的。 我们知道，除以一个数相当于乘以这个数的道数。除以相同的数相当于乘以相同的数的道数。 呃，总的来说啊，就是不等式两边乘或者除以同一个正数不等号方向不变，这叫做不等式的性质。二、 用式子表示为，如果 a 大 于 b， c 大 于零，那么 a 乘 c 大 于 b 乘 c 或 a 除以 c 大 于 b 除以 c。 怎么样，大家有信心了没啊？ 有啊！最后补充一下，若 c 小 于零，得出的结论则会相反，即，如果 a 大 于 b， c 小 于零，那么 a 乘 c 小 于 b 乘 c 或 a 除以 c 小 于 b 除以 c。 也就是说，不等式两边乘或者除以同一个负数不等号的方向改变，这叫做不等式的性质。三、 至于不等号的方向为什么改变，各位可以从复数的乘法上找找线索喽，这里啊，就不多说了， 总之啊，只要大家努力，胜利还是我们的。并且，老夫昨夜夜观天象，今夜必起，东风雾霾很快会消失的，众位将军赶快回去稳定军心吧，嘿嘿，哦，散喽！