初中几何48种数学模型 动画演示
本视频耗时一年制作共计一百五十分钟，带你一口气学完八年级数学所有几何模型，先点赞收藏再细品吧！孩子们，接下来继续 看十一个模型 k 子模型 k 子模型讲究一线三垂直，就一根线上有一个垂直，两个垂直，三个垂直，并且它告诉你了， ab 等于 ad， a b 等于 a d， 然后你又发现这个角一加上这个角三是不九十度，角一加角二又又是九十度，所以发现角二是不顶就等于角三好，角二等于角三的话，那你这两个三角形是不就全等了？ 全等完之后好，接下来全等完之后，你就会发现这个 a e 是 不就等于 bc 好，这个 a c 是 就等于 d e， 所以 我的 c e 是 不就等于 d e 加 b c 了，也就一个红的加一个紫的好。还有，如果说是这种一线三垂直的话，哎，那么它结果什么呢？还是你主要的就是正，这两个三角形它是全等的 好，全等完之后，所以就会发现 a e 是 不就等于 bc， 然后呢， d e 是 就等于 a c， 所以 c e 等于 a c 减 a e， 那 a c 等于 d e， a e 等于 bc， 然后就证完了。好，接下来看 哎！第十二个手拉手模型手拉手模型的结论非常多，咱们一一讲解。什么叫手拉手模型呢？第一个，它的条件是 c a 等于 c b c d 等于 c e， 并且两个的顶角相等，那么这种模型都叫手拉手模型。好看一下，那它怎么去证明呢？ 好看，首先第一个它全等，你会发现这个 b c 是 不是跟 a c 相等？ 哎，还有呢，这个 c d a 是 不是和 c e 相等，再加上这两个大角，它是不是相等？所以你会发现，我把这个 b d 一 封，然后我把 a 一 封，这个红的算型跟这个紫的算型是不就全等？好，全等完之后， d 给郑华拉第二个。 好，他说这两个这角 o， 欸，这个角 o 肯定等于它那个顶角度数，又等于这个角 bca， 为什么呢？欸，这又发现你这个角四是不等于角五用钢中全等了呢？ 然后呢，这个对顶角值不白相等，所以你又发现这个八字模型，欸，这个八字模型当中的这个角 o 是 不是跟这个角 bca 就 绝对相等了呀？是吧，这个非常的简单呐。然后接下来咱们继续这个就正完了。 o c 是 不是平分角 b o e？ 好， 还记得吗？刚刚咱们说的这个三角形 a c e 和这个三角形 b c d， 它是全等的呀。好，全等完之后，你会发现我做对应边的高，也就这个 c m 和这个 c n， 这叫对应边的高角相等了，对应边高相等的胎角对在角平面线上了，为什么呀？因为一个点到两边的距离相等念那，所以这个点 b 在 角平面线上，所以我就正完第三个了。好，接着居气，然后第四个，第四个说，这个 c g 呀和 c f 相等，这个怎么正啊？ c g 和 c f 相等，你会发现 这个 c b 呀，是不是等于 c a 呀？ a， 然后呢，这个角四啊，是不等于角五啊？ 还有什么呢？就这两个角是不都等于六十度啊？那所以我所形成这个紫的三角形跟这个红的三角形是不就全等了？全等完之后，这个 c j 是 不跟 c f 就 相等了，我就完事了。好，所以我第四位证完了，然后再看第五个，第五个说的呀， 哎，第五个他说这个角是等边三行，那肯定的，因为 c j 等于 c f 嘛，这个角六十度啊，所以这它也等边嘛？好，第六个等边之后，它就是六十啊，那所以它是六十，那所以它和它就是内错角 a， 所以 说 g f 就 和 b e 就 平行了嘛，所以就正完了。 好，接下来咱们继续讲。模型是三倍长中线，模型也倍长中线呢，就是我把一个三角形当一个中线进行倍长，哎，有中点可倍长，然后倍长之后出八字嘛， 因为我把这个 a d， 哎，背长到了 d e， 然后 d e， b e 呢？又等于 d c， 所以 说你会发现我这两个三角形，它是不是就全等了？因为还有个对顶讲的，对吧？全等完之后，哎，我第三步就正完了， 然后呢，你就会发现，全等完之后，这个 a c 跟 b e， 它是不是就相等啊？哎，跟这个 b a c 跟 b e 相等之后，而然后呢，它这个 a， 这个这个角是不是角 d a c 相等，所以说 b e 和 a c 是 不就平行了？ 当中一组对边平行且相等四边形，那就是平行四边形，所以我这第二个月转化了，对吧？哎，然后咱们再继续看，哎，因为这个 a c 啊，这个等于 b e， 哎，所以你会发现 a b 加上 a c， 其实就是 a b 加上 b e， a b 加上 b e 是 不是大于二倍的 a d 啊？三角形的三边关系，然后再把二除过去，我是不是第一个就挣完了？好，接下来再站在更高的层面看，这个倍长中线，其实就是倍长中线就是倍长，所有共中点的线段，所有过中点的线段，我都可以倍长。比如说 a， 我 把 e、 d， a 倍长，我是不是形成这么一个八字结构？ 然后呢？我把 e、 d 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？然后我把 em 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？哎，然后我就可以看到这个倍长中线的作用了。好，接下来继续咱们看第十次平行线中点模型， 也就是如果有一条平行线，然后呢？中间出现了一个中点，就 e f 之中点 o， 然后有中点有平行，那么轻轻延长就能行。好，你只要延长，你就跟 n、 q、 o、 q 相等吗？所以我是不是又形成这么一个八字结构？ 好，八的结构它就是全等的了。好，这些详细的证明过程。好，接，咱们继续看雨伞模型。雨伞模型就是如，如果 a、 p 是 这个角 b、 a、 c 的 角平线，然后又告诉你个垂直， 哎，既垂直又是角平线，那么它肯定就是中线了，也就是这个 a、 o 是 不是三线合一当中一个非常重要的一条线，那么把它放到哪个三线，哪个三线就等幺，然后我只需要把 b、 o 延长到这儿，你又发现这个 a、 b o 和 a d o 全等，为什么呀？哎，因为你可以正这个 a、 b、 o 和 a d o 全等嘛。 哎，签单完之后让 a、 b 就 等于 a d 了，同时 o， b， e、 d 就 等于 o d 了，因为它是个中线嘛。哎，这是详细的证明过程。好，接下来咱们继续好看模型十六，这个非常非常重要，叫半角模型， 半角模型就正方形当中本来九十度，它非得出得四十五，哎，那疼，那么它就是半角了。好，第一个结论，这个 b e 加 d f 等于 f， 怎么去证呢？哎，咱说你把这个 a、 d、 f 呀，把它旋转，哎，旋转到 a、 b、 g， 好，你又翻 a、 b 和 a、 d 相等，所以肯定能转了，是吧？转完之后，然后你又发现，哎，这个红角，哎，我这个角，你是不是就转这来了？ 哎，然后呢，这个红角加这个直角是不是 e？ 是 不是九四十五度？所以这个红角加这个直角是不是也是四十五度？这个是不就四十五？哎，这个是不四十五， 然后 a e 又等于 a e， 你 这个 af 又等于 ag， 那 所以所形成的这个三角形 a、 e、 f 和这个 a g、 e 是 不就全等了？去吧。啊，全等完之后，也就是说我现在费了很大力气证明了这个 黄的和这个粒都是全等的，全等完之后，你这个 b e 加 d f， 你 这个 b e a b e 加 d f 是 不就变成了 b e 加这个 g b 了？那它和 e、 f 呢？绝对相等啊，因为刚我不正勾了嘛，是吧？第二个， 他说 a b e， 这个 a b e， 这个三角形的面积和这个 a、 d、 f 的 面积，它这个相加是不是就等于这个黄的这个黄的面积和这个绿的面积，它就绝对相等了，对吧？好看。第三个， 好，第三个说这个周长，这个周长很有意思啊。这个，呃， c c、 f 的 周长，你翻这个 e、 f 这个边呢？是不是摊成了 e f 和这个 f d， 把它分成这两个线段了？ a， 再加上本身就有个 c e 和 c f， 那 所以 a， 这个 c、 e、 f 的 周长是不是就等于二倍的边长啊？好，我就挣完了， 好，家人们继续来看 a， 说第二个结论，说这个第二个，然后 a e 平分角 b e f， 这个很简单，因为咱们刚刚正过了嘛，这个，这个，这个红的和这个绿的是不是全等？全等完之后，这个角一是不是等于角二？那所以角一等，角一等于角二等完呢？那我这个 e a 不 就是角平行线吗？ 同理，我这个角三跟角四是不也能正相等？相等完之后，这个 fa 是 不是也是角平行 a？ 所以 我就把它记住就行了呀，还继续继续第四个， 第四个来，这个 a h， 哎，这个如果出现半角模型，哎，我往这个 e、 f 做个高，这个 a、 b 相等了呀。啊，这儿咱们当看上一上一个模型啊， 咱们说刚刚我已经说了呀，这个绿的和这个黄的是不是相等？相等全等完之后，它对应边是不是也相等 啊？对应边就是，哎，比如 e f 对 应边上的高，那跟这个 a b 对 应边上的高，跟这个这个 a b 这个高是不是相等？那所以 a b 和这个 a h 是 不是就相等了？ 那所以这个 a b 和 a h 是 不是就相等了？那我就挣完了呀？是吧？看第五个，而第五个呢？他说的是，如果说我把这个 a、 b、 d a 连起来，连起来之后我会发现这个 b m 的 平方和这个 d n 的 平方 a 就 等于这个 m n 的 平方，也就这个结论，这该怎么挣啊？ 来，我还是我把这个，呃，这个三角形 a、 d、 n 转过来，转到 a、 b g， 因为 a b 和 a d 相等，嘴肯定能转过来，转过来之后你会发现还是那个问题，欸，刚刚这个红的欸，加上这个紫的是不是四十五度？而这红的被转哪去了？红的被转这来了，所以这儿是个四十五度，这儿也是个四十五度。 四十五的话，用 a m 等于 a m， 然后 an 的 等于 ag， 所以 所形成的这个啊， agm 和这个 an m， 它是不是圈，等圈等完之后，你这 m n 转哪去了呀？ m n 是 不是转到 g m 了呀？ m n 转 g m 去了，然后这个 d n 转哪去了？ d n d n 是 不是转这儿来了啊？转这儿来了，所以再加上这个是四十五，这个是不是也角 g b m， 这个是不是九十度啊？这个九十度的话，那所以这个 b m 方也加上 b g b 方就肯定等于 g m 方嘛， 哎，然后呢？哎，我，所以我就挣完了嘛。说啊，这就想起了一个证明过程。好，家人们看第十七个模型叫斜适应定律。什么叫斜适应定律呢？这个咱们在初中经常遇到，也就是说， 哎，他告诉你，角 b a p 等于角 b c， 哎，角 b a p， 哎，等于角 b c a 等于这个角。你有发现，因为角 b 等于角 b， 所以 说 a 可以 轻易地得到这个 b a g a 是 不是和这个大的 b c a 它就相似？相似完之后你会发现这个 b a， 哎，对应的谁啊？对应的是不是 b c？ 然后呢？这个 b p 定的谁？ bp 定的是不是 b a？ 哎，然后对面乘比例，然后我再交叉相乘吗？ 交叉相乘是不？ b a 方就等于 b p 乘以 b c 了，所以我可以这个奇面。这个斜式影定律就是，如果说两个三角形相似，并且共边，共谁啊？共 b a 共 b a， 共谁是一平方，那共 b a 的 话就是 b a 方等于 b p 乘 b c， 这跟式影定律是不很像，所以起了个名字叫斜式影定律吗？ 好，接下来咱们一口气讲完将军引马的十种考法。好，第一种啊，什么？什么叫将军引马呢？说有两个定点，也分布在河的两侧，其中这个河上呢， l 上有一个动点。屁，那让你去求 p a 加上 p b 的 最小值，这种叫将军引马问题。好，咱们看一下， 那什么时候最小呢？你又发现这种比较好做，直接把 a b 相连， a b 相连之后，哎，与热核相交于点 p 点，那这若 p a 加上 p b 绝对最小，对吧？好，看。模型二，那如果说两个 a 和 b 两个定点在核的同侧，这个 p 点还在合上，这个手仍然让你去求 p a 加上 p b 最小值，这该怎么办？哎，你又发现 p a 加上 p b， 你 可以代替你把 b 点关于和对上它 b 撇，这时候 p b 是 不就永远等于 p b 撇了？那所以 p a 加 p b 就 变成了 p a 加上 p b 撇的问题。 p a 加上 p b 撇什么最小啊？哎，咱们说刚刚你讲过了，直接相连呢？直接相连就是最小值？好，那这个 p 点就在这里，最小值呢？就是 a b 撇。好，所以我就求完了。大家来看 模型三，模型三的形容有个角 a o b， p 点为角 a o b 内的一个定动点，一个定点，那 o a 和 o b 上有两个动点 m n， 但求 p m n 的 周长最小值 y， 你 发现 p m 的 周长是不就是 p m 加上 p n 再加 m n 呢？其中 p m 可以 替代我只要把 p 关于 o a 对 称到 p 一， p m 是 不就等于 p e m？ 好， 我 p 关于 o b 对 称到 p 二，那你 p n 是 不就等于 p 二 n， 那 所以这个就换成了这个了。好，再加上 m n， 你 会发现 p e m 加 m n 再加 n， p 二什么最小啊？是不把 p 一 和 p 二直接相连最小啊？好，所以这个时候你就知道了，最小值就是 p e a p 一 p 二。 好，那再来看模型四，模型四呢，是心如有，还是一个角，其用 m n 两个定点，其用 o a 和 o b 上有两个动点 p q， 让你去求这个周长四边形的， 而周长最小值，你看这个四边形是不是还是跟咱们刚刚讲那个同理的，它是不是 m n a 加上一个 pm， 再加上一个 q n 再加上一个 p q 的 问题？ 你又发现我这个 m n 绝对是没有办法动的 pm 是 不是可以有？把 m 关于 o n 对 称到 m 撇儿，那是不就是 pm 撇儿了？ 好，再加上你 q n q n， 你 是不是可以把 n 关于 o b 对 称到 n 撇儿，那 q n 是 不是就是 q n 撇儿， 再加上 a p q 被这个时候你突然发现了，跟我刚刚处理那个一模一样了，是吧？也就说这三个相加 a p 撇， m a 加 p q 再加 q n 撇是不是最小？是不直接相连？最小 直接相连，这个时候 p 点在这儿， a q 点在这儿，所以它的最小值就是它肯定大于等于 m n a 再加上一个 m 撇 n 撇，这就它最小值。好，接下来咱们来看 m n， 看一下模型五。模型五呢，是形容 a p 点还是角内的一个定点？ o a 和 o b 上两个动点 m 和 n， 但是按去求的不一样了，求的是 pm 加上 m n 的 最小值好，还是你发现我只要把 p 关于 o n 对 成到 p 撇儿，你这个 pm 是 不永远等于 p 撇 m 了？类似于 pm 加 m n 是 不等于 p 撇 m 加 m n 了。 那 p p m 加上 m n 是 不就直接相连？那 p p n 呢？哎，就是 p p n 最小， p p n， 你 犯 p p n 的 线段很多碳去求最小值，最小值是不就让 p p r n 垂直于 o b 啊？所以最小值就是 p p n 垂直的时候它最小。好看。模型六，模型六它就变了，变了一个花样了。 是有两条河， a l 一 和 l 二，其中它平行河的宽呢？是 p q， 它是不动的，这个时候让你去求 a p a， 让你去求 a p 加上 p q 再加 q b， 什么是最小的问题？这个时候比较固定啊，咱这个做法还是 你就想，我就把这个定点 a 向前推进。河宽。什么叫河宽呢？就是 a a 撇儿等于 p q， 为什么呢？因为这个时候你发现它们相等且平行的，这个是不就都平次边形了？哈？平次边形的话，那你想想，我 ap 是 不就等于 a 撇 q？ ap 是 不等于 a 撇 q 好，那我 a p 加上 p q 是 不就是 a 撇 q 加上 p q 再加上 q b 了，对吧？我 a 撇 q p q 可以 念，这个是不能变的，这个是个和宽，对吧？能变的是谁啊？ a 撇 q， a 撇 q a 加上 q b 什么最小啊？是不直接相连最小直接相连 a q 点就在这儿 好，所以它就大于等于 a 撇 b 直接相连 a 撇 b 再加上 p q 好， 这个是详细的证明过程，它就是这么做的。好，记下再看。那如果我辨认这种程度， a a 和 b 在 和的同侧，刚刚是异侧在和同侧了，那这个时候还是按求求 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题。 这什么最小？这个时候是一样的了，你把 a p， 我 a p 怎么办呢？你把 a p 是 不等于 a p 啊？ 那你 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题，是不又变成了 a 撇 p 加上一个？哎，这，这儿，这儿， a 撇 p 加上 p， q 加上 q b 问题了，这跟他们刚刚讲的没啥区别。它怎么做呢？它只需要把 a 撇推进 a 撇撇推进什么？推进 p q 的 长度，这个是不又个平次边写 平行四边形 a 内，你发现 a 一 撇儿 p， a 一 撇儿 p， 是 不是就变成了 a 一 撇儿 q， a 撇儿 q， a 撇儿 q 加上 q b， 再这样 p q 有 没有问题？这俩什么时候最最小啊？那就是把这个 a 撇撇儿跟 b 相连啊， q 就 在这儿，是吧？最小值是不是就 a 撇撇儿 b， a 加上一个 p q 啊？ 哎，咱们要学会类比。接着再看将军与马，还有一种不止和的最小值问题，他就说让你去求差的最小值问题啊，这个更简单， 哎，比如说 a 和 b， a 是 两个定点，在和的同侧， p 呢，是在 l 上一个动点，第一个让你去求 p， a 减 p， b 什么最小？嗯，最小？那就是零呗。哎，零的时候就让我让 p a 等于 p b 啊，这种情况怎么就能实现了呢？做 a b 的 垂直平分线呢？ 垂直平分线相交于 l 一 点 p， 哎，我就搞定了嘛。是啊，看模型二、模型九， a 模型九是同样 a， b 是 在和的同侧两个定点 p 呢，是合上一个动点 p， a 减 p， b 的 最大值。最大值是什么？最大呢？你发现这是不是一个三角形？ p a 减 p b 是 不是属于是两边之差？两边之差是不小于 a b， 我 又没有说它可以形成三角形，不形成的时候是不共线的时候，刚好等于 a b 啊。 所以当 a b 直接延长 a 交于这个点， p 就是 咱们求的那个 p 点，这时候你发现 p a a 减 p b 不 就是 a b 吗？所以最大值就是 a b 了， a 我 就搞定了。 好，再来看。哎，这个时候它如果 a b 叉的时候， a b 分 布在核的两侧都是定点， a p 点是合上一个动点还是 p a 减 p b 什么最大？哎，我怎么搞？我搞不定啊，这时候怎么办？你只需要把 b 把这个 b a 关于这核对正过几对，它要 b 平啊。 你发现这个 p a 减 p b 的 问题，哎， p b 撇是不永远等于 p b 啊？哎，那是不就 p a 减 p b 撇 p b 撇的问题了？这个是不跟咱们刚刚讲的模型九又一样了，小 e 等于什么呀？小 e 等于 ab 撇， 哎，那有 p 在 哪？把这个 ab 撇相连吗？让这个 p a b 撇三点共线的时候最大呀？是啊，哎，那我就把所有的将军马模型讲完了，你学会了没有？ 好，接下来咱们来看模型十九海盗埋榜模型，也叫逆旋转相似来看下这种模型特点。第一个，它形容的是两个等腰直角三角形再进行旋转，比如说三角形 a d c， 这个是个等腰直角三角。再来看三角 c b e， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转啊。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连下来之后，取它终点 f， 一 旦取点 f 终点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相挨之后呢？ f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也只四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个 a 三角形是不也是等腰直角三型？也是它垂直的？好，你看一下这个红的和这个紫的，是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是叫左手啊？ e 数也是左手， p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好，那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，相等完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了， pe 等于 d q 也有两个拉数线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢， f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下， f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二坡罗墨迹的模型，也叫坡式模型，哎，这它是由三个模型 衍生的。咱们来看第一个模型，垂直垫中点什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b、 e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b、 c 和 d b、 e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转。旋转的话，它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个要是直角，那么把 m b 进延长，延长了之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b， a b d 边相等。第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。哎，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把啊 b n 它进行延长，延长了之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后，大家看一下我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再这样它都垂直，那所以所形成的这两个三角形小的三角形 d、 q， n 和 a p n 是 不全等。全等完之后，那你 n、 a 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 大家看一下，这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是？咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个 c、 e 等于二位的 b、 n、 c、 e， 你 看一下，给我把这个擦掉。 好，那重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 me 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ me 呢？ me 一 线三垂直， me 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b two 嘛。 啊？ b p 就 等于 b n 减去 np， b two 等于呢？ b n 加上 q n 这两个相加一定等于二倍 b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直还是 a b c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转了之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿是垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p b 径延长到这儿，肯定垂直。 好，那看一下，这个为什么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造全等，就是构造平行四边形。平行四边形的话，这个角 b e m 加上这个角 c b e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a b d a b d 加上 a b d 加上这个 c b 是 不是也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等， a 这两个直角应该相等。好，这样再看这两个直角相等，那我给我换一个颜色， 那我看一下我这个 b e、 m e 是 不和 bc 相等？刚刚全等，是吧？ 那 bc 呢？又和 b a 相等，那所以这个 b a 是 不是和 m e 相等？那我在这一封，这一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？ 好，我就证完了。全等完之后。好，全等完之后，接下来看非常关键的。全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一 a， 这角二吧，用刚 b 二，角二，这儿是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，那个角二加角三，这也也是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了， 对吧？而这第一个结论就是垂直好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好，正吧，刚刚我说了，我这个三角形钢刀不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这里是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，哎，就是说我这个 a p 等于二二， a d 等于二倍的 b p a d， 咱们刚输了，全等， a d 这个三角形和这个三角形刚，不是正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不是就是 b p 的 二倍？所以说我就证完了，哎，就是二倍啊。好，那接下再看 最终的破罗模型的模型，演下定例，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形， 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直。那么如果说我其中这儿是垂直的，这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的颇治定力。好，咱们来正一下，为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？对啊，这是角 e 在 这儿呢，角 e 是 不是在这儿呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角 e， 这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是相等啊？ 所以其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等，相等完之后， f m 是 不等于 f a， f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点，好，看一下，我这个角在哪呢？我这个角 a 是 不在这儿呢？ 为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不是相等？再来看，我这个红角是不是在这呢？因为他们同时加上这个角，都是九十度吗？对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加周角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢？ 好，那这两个红角是不是相等？相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d， 那 c f 是 终点，所以我就正完了，好，大家学会了没有？趴下再看第三个 模型，二十一，哎，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你个三角形 a， 制药伞形 abc， 角 c 九十度 a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 pc 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过 p 点做这边一个垂直，哎，因为角平分定里 f d 是 不是等于 i， 这个 p d 是 不是等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊，好，那见了带锯看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不是也是 x， 那 它是不是就是八减 x 啊？所以你所形成的这个算式是不是叫勾股定律啊？ 勾股定律以后解出 x 是 不？解出 x 之后我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速的解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 pb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊，哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对啊，直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三对吧。来，咱们继续看模型。二十二， 矩形翻折模型好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二、角三，然后第二个结论和第三个角，咱们看。 当你折叠时候，咱们记住折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，但这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d、 e 等于 df。 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e、 b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应变相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种，这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，应发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等。所以说 e、 a 是 不等于 e c 啊？ e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e， a， c 等于角， e c 也就成立的只有角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等，这儿有个直角，所以说这个三角形 f b c 和 a f e 是 不是又全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a c 上，然后就以结语把 a、 d， f 折到了 a， e f， 这如你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c e 等于 a c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a d 数跑到 a e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不都等于 a c 减去个 a e 也等于 a c 减去 a d 啊？所以这个决定成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c f 的是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c， d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了，这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠说像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个地点对应点折掉了 g， 这个 g 刚好是 ef， 是 它中间那个折痕。这个时候你要看一下 a j 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边相等对应边，是不就是 a d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a j， 你 这个时候你发现 a， j 是 不就等于 a， d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看被这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a， e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所在的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折对对角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽衔图模型赵爽衔图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型好，进来看一下，说在正方形 a、 b， c、 d， 哎，内部，然后在 a、 b， b， c， d， d， a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e， h， g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c， f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两个直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样？它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 e f 是 不是就等于 g， f 啊？同理也等于 f， e 也等于 h g， 所以 这个就成个正方形了，所以我就正完了，是吧？这是详细的一个证明过程。我再来看二四 风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖给好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就这个地方是三尺， 那你一看发现，哎，这种咱们用勾股定力结建方程，比如说咱们说折断后的那个高度是 a x， 也就这一段是 x， a 总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎，由竖的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定力，用它有个直角，对吧？你这 x 方加三方， a 就 等于十减 x 方，然后追截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹竖轴形是勾股定力的一个应用。再看 出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型，什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？你就这一段 a b 出水三尺，用它漏在水面上三尺嘛？ 然后接下来一风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢，它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 晚上后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。哎，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x 值， 那发现 p b 是 不等于 p c， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a， 它是不是加上 a c 方就等于 p c 方，是吧？ p a 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢这个 p c 呢？就是 x 加三呢？所以直接解得 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看，我想二十六、三七八和五七八模型，这个非常非常重要。有时候咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛？一个赛线三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形，为什么呢？咱们可以尝试一下， 诶，比如说有这么一个三角形，等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a、 d 勾股定律， a、 d 就是 四根，四倍根，三四 b 跟三。好，你再看 e、 d 这个 b、 d 是 不是四？ b、 d 是 四的话，这是三，那这是不就是个一，这就是个一。所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形，这是四 b 跟三，这是一，所以勾股定律是不是直接可以求出 a e 啊？ a e， 你 求完之后发现 a、 e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满炭足够的敏感，它们一旦一拼就是一个等变三角形。 好备好，咱们继续进来看蚂蚁爬行模型，哎，这也是勾股定律，那块经常会导出蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，去把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面儿，翻成平面儿之后，诶，这边儿就是个 b， 这边儿就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方就是这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖儿这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和 s， 让 b 和 c 也延长一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样的。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀，比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就 a 一个长方， a 一个长的棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看有的之后呢，他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀，是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆的周长？圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面 a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话，也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去行了？他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就说你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜，这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路程最短，哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形，就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值，该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的一叫什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型 好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇，然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就是 最短，什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b。 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续讲 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a、 d、 c、 d 面积就就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方？ a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论，第二个结论，它的面积 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不是二分之一的 b d 乘以 a 啊？下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊？我把二分之一 b e 提出出来， a 加 c， 那 是不就二分子力的 a c 乘 b d 啊？所以我就求完了。 好，咱们继续看模型二十九，叫终点四边形的模型。什么叫终点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m n， p q 是 这个任意四边形的一个中点， 它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，哎，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b d 的 一半，然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等？ m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形啊，对吧？好，第二个，像这种的，这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行界等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 科，这个 n p 是 不是就平行且且相等？那所以它是不是还是个平次边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n， m n 是 不是平行等于 ac 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 ac 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不是就跟 p q 平行且相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么叫以要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了。 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形就是个菱形 耶，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等，是不意味着它和它相等啊？本来一个平四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看。如果对角线垂直且相等四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个拼四边形，对吧？因为对角线垂直，对二垂直的话，它就垂直了。用对角线相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了。所以说它既是矩形，又是菱形，那么它就是个正方形了。 大家看，凡是十字架模型，这在正方形那儿会正常出现，说在正方形内部，哎，有这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么我也结论就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f 只要垂直，文中 b e 和 b f 它相等，为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b、 e， 它是全等的，哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？俩直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 上再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以跳全等了，是吧？加角 b 全等，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线 a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 动成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的吗？全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？ 好，他说这种，哎，比如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要正这个三角形和这边的三角形全等就行，对吧？还是全等，全等就仍然相等嘛？那还有一种是吗？非常极端的就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是你只需要正它 和他这两个三角形全等，全等完之后，哎，他就又成立了。所以记住，正是正方仪内部，如果说有垂直，那叫必相等，俩如果相等也必垂直，所以这两个是互逆的。好，朋友们，好，咱们看一下模型三十一，梯子模型。什么叫梯子模型呢？就形容在这么一个墙上，他跟地面是垂直的那么一个墙。 哎，然后呢， a 和 b 在 墙上滑动，也就是 a 和 b 是 动点，那么啊，让你求，首先 o q a a b 有 个中点 q， 然后让你去求 o c 什么时候最大， o c 什么最大？好，咱们结论就是当 o q c 它共线的时候， o c 最大。好，咱们求一下为什么这样吧，首先看一下，在三角形 a o b 当中，因为 a o b 是 直角，那所以说咱们由斜边中线理论， a q 是 中点，所以 o q 是 中线，由斜边中线理论可以得到 o q 直接是二分之一 a b 好 几下再看，那你在三角形 b q c 这个 之中，然后由勾股定律可以得到 c， q 是 不等于 q， b 方加上 c， b 方开根。好，那么 q b 是 不就等于二分之一的 a b 啊？所以就二分之一的 a b 扣入平方，加上 c， b 方开根。 也就说，哎，你把谁呢？哎，你把 q c 也求出来了。好，接下来看一下最关键的一步，最关键的一步，咱们在三角形 o q c 当中是不有个三边关系啊？什么三边关系呢？ o q 加上 q c 是 不是大于 o c 啊？两边之隔大于第三边，它没有说 o q c 必须三角形，所以说可以是等于圆，等于就知道了。那这个 o q 是 不就是二分之一的 a b？ 那你的 q c 呢？ q c 是 不就刚我求的这个根号 a， 你 加上这个，那 c 是 不是大于等于 o c？ 所以 o c 是 不是小于等于它啊？也就是说那 o c 最大值小于等于它， o c 最大值是不是就 o c 等于 a b， 再加上后边这串， 哎，也就是说 o q c 贡献的时候， o c 最大值就是这个后边这一串。好，那么咱们接下来继续 看模型。三十二，对角互补模型。什么叫对角互补模型呢？首先他形容的是对角是互补的，比如说，哎，九十度，九十度，这两个九十度，那么对角是不互补啊，相应的，我这两个角是不是也互补啊？这两个角是不也互补啊？好，互补之后和进来的，咱们看一下。 那么 a d 等于 a c 啊，它结论就是第一、第二、第三。好，咱们证明一下。哎，为什么这三个结论成立？首先咱们要进行旋转，怎么旋转呢？你把这个 a、 b、 d， 把 a、 b、 d 旋转到 d、 c、 e， 它为什么能够完全旋转过来呢？首先第一个就是因为 d、 a 等于 d， c， a， d、 a 等于 d、 c。 第二个，因为咱们杠出的这个角 a 和这边这个角 c 又互补的，所以你这个角 a 转到这完全是个平角，所以转过来之后没有任何的问题。好，那我们看一下，转完之后，那咱们就好多了。那第一个，他说 结论， bc 加上 ab， 你 这个 bc 加上 ab， 此时 ab 是 不就是 ce 啊？所以 bc 加上 ab 是 不就是 be 啊？是吧？就是 be， 你 这个 be 看一下，因为它是一个直角，那 be 是 不就等于根号二倍的 bd 啊？ 所以第一个结论我就证完了，好，看一下。哎，这是详细了一个证明过程。好，咱们看第二个结论，说 a、 b、 c、 d 的 面积被求下 a、 b、 c、 d 的 面积，它为什么就等于二分之一的 b、 d 方呢？好，那当然，接下来咱们继续， 你会发现所谓的他说的这 a、 b、 c、 d 面积，因为我已经把 a、 b、 d 转到了 d、 c、 e 了，所以 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 a、 b、 d、 e 的 面积？我 b、 d、 e 的 面积，我这是九十度。好，我在求的时候，你想一下，因为 d、 b 是 不等于 d、 e 啊？因为 d、 b 转到了 d、 e， 是 吧？这两个边是相等的，所以说这个象形的面积就是二分之一的 a、 d、 b 是 不乘以 d、 e 啊。 然后呢，你这个 d、 e、 u 等于 d、 b， 那 是不就二分之一的 b 地方啊？好，我就挣完了呀，对吧？那接下来咱们继续，咱们继续看第三个结论， 也就说 b、 d 是 角平分线，这更简单了， b、 d 为什么角平分线呢？我说了，你把 a、 b、 d 已经转到了谁呢？转到了 d、 c、 e 啊，这两个角平行相等啊， 这两角相等，因为什么呢？因为 a 这个是个直角， d、 b 等于 d、 e， 所以 是等腰直角。这个红的是不等于这个紫的呀？那所以这个红的是不跟这个紫的也相等，所以说它就是角平行线了， b、 d 就是 角平行线了，所以第三个这轮位就正完了啊，这就是详细的证明过程。好，继续 对角互补。还有一种就是六十度和一百二十度，也就是他是六十度，他是一百二十度，他们是互补的。那所以你别忘了这个角互补，是不？这两个角也互补啊，好，互补之后再来看他。还有个就是 a、 d， a、 d 等于 d、 c， 跟刚了填一样，那所以说 a 第一个结论，第二个结论，第三个结论，咱们接着开始整，它的道理都是差不多的。好，首先咱们还是咱们把 abd 进行旋转，你用反欧把 a、 b、 d 旋转，是不是完全能够转到 d、 c、 e 啊？是吧？为什么能够转到呢？第一个，你的 d、 a 是 不等于 d、 c？ 第二个，你它和它是不互补， 他和他互补的话，那你想一下，那我这个这个角不就转到这儿了吗？这两个不也是互补吗？所以说他就是大平角，所以转过来完全没有任何问题哈，是不跟刚刚那个没有什么区别，对吧？转过来之后，接着咱们开去正，那第一个结论， bc 加上 ab， bc 加上 ab， 是 不就 bc 加上 ce 啊？ 那么 b c 加上 a b 是 不就是 b e 啊？ b e、 b e， 你 会发现咱说它是六十度，它这个转完之后，给这个角加上这个角是不是一百二？那所以这个角加对角是不是也是一百二？那咱们就输了，那也就是说我现在， 哎，现在也就是说我这个三角形，是不是这是一百二十度的一个等腰三角形？等腰三角形，咱们说一百二十度等腰三角形，那我这个 b、 e 这个边就等于多少三倍的 b、 d， 所以 证完了第一个结论，对吧？第二个结论， a、 b、 c、 d 的 面积，咱们说 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？对吧？因为转过来了嘛， b、 d、 e 的 面积等于什么呢？等于二分之一的 b、 e 是 不是乘以个高？那高谁呢？你可以做一下做这个这个高嘛，因为它等二直角上面是一百二，这是不是就是三十三十度三九，这是 dm 吧？那三十度化，所以 dm 是 不等于二分之一的 b、 d， 所以， 哎，二分之一的 b e 乘以 dm 就 等于二分之一的 b e， 你 算 dm 是 不等于二分之一的 b d 啊？ b d 是 吧？那所以你看一下接下来二分之一，这个 b、 e 是 不是等于咱说等于根号三倍的 b、 d， 对 吧？等于根号三倍的 b、 d 再乘以二分之一的 b、 d， 你 就发现了，这俩相乘不就是四分之根三吗？这个 b、 d 乘 b、 d 不 就 b、 d 平方吗？所以我就挣完了。好，这就是第二个结论， 这都是详细的一些证明过程啊，大家一会可以看，接下来咱们看，我把这擦掉，咱们继续，咱们继续来证第三个结论。第三个结论就是说明，哎，为什么这个 b、 d 就 又是角平分线了呢？那这个肯定难了，单说，因为只有两个角相等，对吧？ 然后呢，这个角是由谁转来的？这个角是不由他转过来的呀，所以说，哎，这三个小赤背都相等了，所以第三位就正完了，对吧？好，咱们接下来继续 一百八十度转对角互补的模型，还有一个，也就是这样，一百二在这儿，六十在这儿，是不是也互补啊？这样的话，它也是，你道理是一样的啊，它是把这个三角形，然后呢转到这个三角形， 嘿，转完之后咱们解要去说明一下啊。首先第一个 o d 加上 o e 是 不是在这儿呢？所以 o d 加 o e 是 不是就是 o b 啊？这儿是不是就是 o b？ 为什么 o b 等于 o c 呢？很简单呀，因为你这个上面是六十度啊，上面六十度的话，你又意味着我这儿是不是六十度？这儿六度的话，你撞了之后， a， 我 这个 c、 o 和这个 c 比，是不就全部相等六十度，所以它是个等边呢？那等边的话，那我 o b 就 等于 o c 了，我第一给撞完了，哎。第二个， a、 b、 c、 d 的 面积， a、 b、 c、 d 的 面积，是不是就是三角形 c、 o、 f 的 面积，对吧？哎，就是三角形 c、 o、 f 的 面积，也就是，哎，咱们刚刚说的这个 c、 o、 f， 哎，这个三角形的一个面积，反而等边塞形的面积，公式是四分之根三倍的 边长平方也就是四分之根三倍的边长，边长不就是什么呀？ b、 d 边长不就是 b， 在 这儿应错了，而是 b o， b o， 边长不就是 b o 吗？所以就是 a、 b、 o 的 平方。 好，那所以绕角面积也就正满了。第三个角点， c、 d 等于 c e， c、 d 等于 c e， 而 c、 d 为什么等于 c、 e 呢？这个咱们看一下，也很简单， a、 c、 d， 咱们刚输了， 我这个三角形，哎，是不是撞到了这个三角形，那你会发现 c、 d 跟谁相等啊？ c、 d 是 不是就在 c、 e 呢？ 验 c、 d 撞到了 c、 e、 z、 i， 我 就结束了，对吧？好，接下来，好，咱们来看第四个，哎，咱们杠住，对角互补，哎，都是九十加九十，六，十加一百二，这儿来一个更普通的阿尔法，加上一百八减阿尔法 是它操作是一样的，也是把这个 a、 b、 d， 然后进行旋转，旋转到什么呀？旋转到 d， c、 e， 咱们刚刚都这么操作的，对吧？旋转完之后，所以第一个结论，第二个结论，第三个结论全部成立啊，这儿就不再讲了，因为下边有详细的一个结论，大家可以看一看。 好，接下来咱们看一下模型三十三，奔驰模型。为什么要奔驰模型啊？你看这个图形像不像个奔驰？它对不起啊？对啊，所以跟姓名叫奔驰模型好，奔驰模型，它有些什么定律呢？它就其实形容在三角形 a、 b、 c 还是个等边三角形 a、 b、 c 当中，如果告诉你 p、 h 是 三， 而 p b 呢，是四啊， p c 呢是五，然后呢？ a、 p、 b 就 这个角，它等于一百五十度，一百五十度好，但去正啊，它是结论，结论是它一百五十度。第二个结论就什么呀？就 a、 b、 c 的 面积等于四分之根，三倍的 ab 平方，等于这个 等于它，哎，为什么呢？好，记着，咱们挨个去正，旋转。第一个就是正，这个 a、 p、 b 是 一百五十度的问题，这个怎么正呢？哎，记住，旋转，旋转，怎么旋转呢？我们可以这么着旋转，你把 a、 p、 c， 把 a、 p、 c 来进行转， a、 p、 c 转到哪呢？逆时针转来，转到这个地方，装这个地方。为什么这儿能完全转过来？因为 a、 c 等于 ab 嘛，等边在行，完全贴合嘛，对吧？所以在转的过程当中，还转到 a、 p 是 不是就等于 a、 d 啊？ a、 p 等于 a、 d。 好， 接下来看啊，见证奇迹的时刻，你在转的过程当中，这个红角是不是转这来啊？ 好，接下来再看。我这有个直角，这个红角加这个直角是不是六十？那所以这个红角加这个角是不是也是六十度？所以这个角是不是六十度啊？ d 角六度，所以你会发现，本来 a、 d 是 等于 ap 的， 这个是六十度，那所以这个呢？这个是不是什么三角形啊？这是个等边三角形，非常的漂亮。对，它就是个等边，等边的话，三三，那这是不也是个三呢？这是三，咱们刚说了，这是个四，对吧？ p、 c 是 个五，这五转哪去了？五转这来了，所以三、四、五，太棒了，这就是九十度，这是六十度，六十度加九十度，多少啊？一百五十度啊， 对吧？所以我就挣完了，哎，又挣完了，好，咱们在这再清晰的表示一下，哎，就说这个角，咱们刚挣出来是六十度，这个角是九十度，所以是一百五十度。那第一个教练就结束了。 好，第二个结论， a、 b、 c 的 面积， a、 b、 c 面积，它是个等边三型，然后等边三面积公式等于四分之根三倍的 a、 b 平方，也就是现在你要求出什么呀？求出 a、 b 的 平方，给我表示出来就行了。好，咱们刚说了，这是一百五十度，这是一百五十度，这是多少？这是不是三十度？三十度，这是不是四，这是四的话，这是几， 这是几？哎，一半啊，三十度，这不就是二吗？这呢二倍根三呢？二倍根三，所以这是三，那所以整个这一条是不是三？加上一个二倍根三，这是二，然后这是做的垂直勾股定律，直接求入 ab 是 吧？好，直接求取 ab， 然后这是具体的证明过程， ab 的 平方最终就求出来了，它是这个东西，那所以算形 abc 面积等于四分之三 ab 平方，然后把它一带入，就是它啊，这是一个详细证明过程，大家可以再详细的看一看。 好，接下来。哎，咱们发现刚刚旋转的时候，咱们旋转是不是 a、 p、 c 转到 a、 d、 b 啊？那其实这种奔驰模型有好多种转法，有好多种转法。哎，比如说，你说我就想把它转，我就想转它，行不行？ 行啊？它怎么转啊？你把它转的时候，转到你把 b、 d 是 不是转这来了呀？那是就转成这个样子了吧， 它直接转是转这儿，这也能解决问题啊，咱这儿用了一个非常好的技巧，就是等边向量的面积公式，等于四分之根三倍的边角平方，那这个怎么正呢？很简单，等边向量 a， 如果边上是 a 的 话，这儿是不值个三十度， 这儿三十度，这个呢？哎，这个是六十度，所以这儿是 a 的 话，这儿是不是就二分之根三 a， 那 面积等于二分之根三二分之一，哎，底儿乘以高，二分之根三 a， 所以 一乘是不是四分之根三 a 方，这个是需要记住的啊。四等边赛一面进攻是等于四分之根三倍的，哎，边上平方。
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是 不等于 p a d， 这两三式是不相似啊。 相似完之后，你发现我这个 p a 是 比上 p c 它们这对应边 a 等于什么呢？等于 p d 是 比上 p b 这个对应边。我只要交叉相乘 a， p a 乘 p b 就 等于 p c 乘 p d 了，我就种完了。好，再继续。还有， 圆幂定里数的什么呀？就是 pa 乘 pb 等于 pc 乘 pd， 还等于 r 方减 o p 方，也就是它把这个余相减一定里给量化了，它能求出来具体的值。为什么等于 r 方乘 o p 方呢？好，你又发现 a， 我 既然 pa 乘以 p b 等于 pc 乘以 p d， 那 还等于什么呢？这个 p 点是那个 a 是 那个密点，那还等于是不是 pm 乘以 p n 呢？ 是啊，哎， p m 乘以拼音，我可以弄操作了。哎，大家看这里吧， p m 乘以 p n， p m 乘以 b p n， 这个 p m 是 不是 r 加上 o p， 让 p m 是 不是 r 减 o p， 它俩 e 一 乘平方差公式不就 r 方减 o p 方吗？所以记住，哎，这个相交线定你最后是等于 r 方减 o p 方的。好，记下，咱们继续看。还有道切割线定律。切割线定律熊的什么呢？就是 有一个切线 p a 和一个割线 p b c 好， 它们所形成一个线段之间的关系，那么 p a 方， p a 方，就这个切线的平方就等于 p b 乘以 p c 啊，这个怎么去正呢？怎么去正呢？你会发现我只要把 a c 一 连就可以了，然后把 ab 一 连， 我这个角屁等于角屁，由弦切角定理可以得，弦切角就是这个弦和切线所组成的加角就等于这个弧所定了，所有的角就等于这个角，那所以你就发现了。那，那你就要这么说的话，那我这个 p a b 不 就和你这个 p a 方不就等于 p b 乘 p c 吗？ 哎，我就知道了，所以这个是具体的一个证明的一个过程。好的，我们看一下。哎，我 pa 方等于 pb 乘 pc， 还有呢？我 pa 方等于 pb 乘 pc， 最后它还能量化等于 po 方减二方，这个是怎么回事？哎，你会发现我 pa 方 我只要因为它是切线嘛，这是个 o， 我 连接 o a， 这是不垂直的呀。我 pa 方是不刚好等于 o p 方减去个 o a 方， o p 方减去 o a 方不是 r 方吗？那所以也就等于 o p 方减 r 法我就挣完了，是吧？这叫圆密定理， 接下来还有叫割线定理，这有割线定理就更好挣一点了，就更好挣一点。你会发现什么呀？就是 pa 乘以 pb 等于 pc 乘以 pd 啊，而且它们都等于 o p 方减二方，你只需要再做一个，哎，比如说，你再做这么一个切线，哎，比如说 pm 吧，你会发现我这个 pm 方是不等于 pa 乘以皮 b 切割线定律吗？ pm 方是不还等于 pc 乘以 p d， 那 c 我 这个就挣完了，还等于什么呀？还等于 o p 方减二方是吧？我由切割线定律可以直接推出割线定律。好，当然这二十个具体证明过程，它是通过相似来证的。好，咱们来看 第三十六个叫四点共圆模型。四点共圆也是初中经常去讲的一个模型，咱们看什么叫四点共圆，就是形容如果同一个平面内有四个点在同一个圆上，这种叫做四个点共圆。 那什么情况下有四点共圆呢？咱们第一种，若四个点到一个点距离相等，则这四个点到在这个同一个圆上至定义法共圆，是吧？比如说，耶，这种， 你发现 o 是 b、 d 的 中点， o a 是 不等于 b、 d 的 一半，你就 o a 等于 o b 等于 o d 还等于 o c。 那 所以这就是典型的定点定长嘛，那它就共圆呢？ a、 b、 d、 d 共圆了，是吧？还有这一种， 这种也是， o c 是 不等于 b d 的 一半，等于 o b 等于 o d， o a 是 不也等于 b、 d 的 一半，等于 o b 等于 o d？ 类似于说以 o 为定点，这这个定长 a 我 就共圆了啊，这是第一种共圆的一个方式，咱们看第二种， 若四边形一个四边形有一组对角互补，那这个四边形 a 就 四点共圆。哎，比如说，若咱们看一下角 a 加角 c 是 一百八，角 a 加角 c 是 一百八。好得， a、 b、 c 四点共圆编的很简单，因为角 a 加角 c 是 一百八，那所以就组成整个圆周了嘛。 好，同样的，若一个四边形跟外角等于它的一根外内，这个内对角，也就是角 b、 c、 d 等于角 a。 咱们看一下，你看 b、 c、 d， b、 c、 d 等于角 a、 b、 c、 e。 啊，这儿，这儿应该选 b、 c、 e 啊。啊，就是这个角，这个 b、 c、 e 等于这个角 a， 因为 bce 加上这个子角是一百八，所以这个红角加这子角也是一百八，那所以也对角互补了，我就公圆了。好，那么继续看。说等弦对等角，这个是最多的啊，这都用的最多的一个公圆等相对等角，就是若 bac 等于 bdc， 也就角 a 等于角 d， 若这两个角相等，叫等弦。什么叫等弦呢？ a、 b、 c 是 不是一个等弦对等角，这样是不是等角了？鱼呢？那么 a、 b、 c、 d 就 共圆。哎，因为什么？因为这两个 a、 d 刚好圆周角呢？圆周角所对的这个弦 a， 这个不就相等吗？同弧左对圆周角相等，所以 a、 b、 c、 d 共圆。好，咱们来继续 再看。说定弦定角模型啊，这个是经常求最值的一个模型了。什么叫定弦定角？就是线段定，角度大小也定，这个时候 a 它有个轨迹，有个圆，咱们来看一下，比如说 a、 b 是 定场， p 是 个动点，我这个 a、 p、 b 是 r 法，那么我这个 p 点到底在什么原上动呢？这很简单，就是你只需要把 a、 b 往这边做这么一个 等腰，让 o a 等于 o b， 并且让 a、 o、 b 等于二 r 法， 这个并不难吧。那所以你就发现了，那这个是 r 法，这个是二 r 法，并且 o a 等于 o b， 那 所以这个就共着个圆呢？以 o 为圆心， o a 长， o b 成为半径，划一个圆呢， 所以刚好这个圆珠角，这个圆心角，对吧？那 p 就 在这个圆上动。好，依次咱们解底的例子，比如九十度 说，诶，九十度的这个它共圆，这也比较简单，九十度直接就是以 a b 为直径。诶，这就九十度嘛，那 p a b 就 共圆啦，是吧？就在 p， 就 在这个半圆上动嘛，是吧？下半圆和上半圆它动。 好，再看三十度，一百五十度，这个有有讲的一个必要啊，三路一百五度就是形容，诶，我这定角是三十度， 然后这个定弦是 a b， 我 只需要把这个三十度是不是扩倍，扩倍到六十度，也就是过这个 o 点了。哎，过这个 o 点，我这个过 a b， 我 只需要做一个 a o b 式等边， a o b 式等边就可以了。而此时 o a 刚好等于 o b a， 那 我这个 o 就是 圆心了， a， 这个定长就半点九 o v 了。那所以我这屁就在这个上面动啊，对吧？ a， 我 屁在这个上面动啊。嗯，好，那一百一百五一样的，一百五的话，我就在下边这个 a 一 百五就在下边这个弧长洞，给他画一画，就在下边这个弧长洞。 为什么一百五在这么动呢？因为，诶，你在这找个点，这个 p a b， 这是一百五十度啊，是吧？啊，哎，咱们继续看，四十五度，一百三十五度，如果这个角是四十五度，我只要把四十五度扩备至坡九十度，也就是过 a b， 我 只要做一个等腰直角即可。 等腰直角，诶，这等二直角占线，那么 o a 还是等于 o b， 那 p 点是不就是在以 o 为圆心， o a 场为半径这么一个圆上这么着动呢？对啊， 好，这就四十五度，如果他是一百三十五呢？他说一百三十五的话，那屁就在这个上面动呗。因为他是一百三十五啊，所以屁就在这个弧列弧 ab 上动呗。 好，那咱们继续。那如果是六十度一百二呢？差，比如这个六十度，六十度都要扩到一百二呗，而这六十度我只需要过 ab， 还是做一个， 做一个一百二的一个等号暂行啊？ o a 等于 o b， 那 就以 o 为圆心，然后呢？ a o a 长为半径，画一个弧， p 就 在这上面动，对吧？就要这上面动。好， 接下来用垂径定力模型。垂径定力咱们都知道是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所立的弧，是吧？三个要素，垂直于直径，平分弦，平分弧，只要满足一个，另外都满足，是吧？ a m a 等于 m b a a c 弧等于 b c 弧， a a d 弧等于 b d 弧。好， 我只要知二推三，哎，知道其中任何的两个，第三个我就成立了。哎，这就是这个，你，呃，这个垂进定力，哎，这个三个要素，知道一个求两个啊，这个五位要的元素说什么呀？说过圆心垂之前，平分弦、平分优弧，平分裂弧，哎，知道任意的两个求三个就可以了。 好，比如说这群定力告诉咱们一个弦，你就提供了一个思路，你就过这 o 点做个垂直，就这么做， 他光记定义来这么一个弦，这度辅电怎么做的？并提供了思路，哎，这么做个垂直，这么做就垂进定律能够化解线段的之间联系了一个问题， 接下来咱们来看折弦定律。什么叫折弦定律呢？就说 ab 到 bc 仿佛一条折断的弦，你看 ab 和 bc 下面再 b 点折断呢？ 好，也就 a， b， b， c 是 圆 o 的 两条弦， m 刚好是这个 u 弧 a， a、 c 的 一个中点，然后 m、 d 垂直于 b， c， m d 垂直于 b c， 这个 d 是 个垂足。接下来就由你的结论就是， a b 加上 b， d 就等于 a， c， d 就是 a， b 也加上 b， d， 刚好它就等于这段 c、 d。 啊，这是怎么证的呢？咱们看一下。这是典型的一个什么问题，叫截长补短问题，是吧？线段的和差问题大部分都用截长补短来处理的，咱们截长 c， d 肯定长 c d 长，那么得截掉。取这么一点 e 满足，让 d， e 刚好等于 b d， 那 接下来咱们只需要全力地去证 e， c 刚好等于 b， d， 那 接下来咱们只需要全力地去证 e， c 是 不是等于 ab， 这个就证完了，对吧？好，咱们看一下 a 如果说 d， b 等于 d， e， m d 还垂直于 b e， 所以 m、 d 这条线是不是一条三线合一的一条线， 那么 m b 是 不跟 m e 它就相等了呀？也就是说这个 m b、 d 和 m e、 d 它就全等的好。哎，咱们接下来咱们证了一。第一个问题来，也就是说 在这个图形当中，你会发现这个 m b 和 m e 相等，那 m a 是 不和 m c 相等啊？ m a 和 m c 相等，所以说 m b 还和 m e 相等，那我只需要证这两个全等就可以了，是吧？这两个全等。这两个全等情况下， a， 你 发现 m 这个这个角角 b m a 和角 c m e 它俩这个角相等的话，它们就全等了。好，咱们接下来去证全，力争它这个俩角相等。俩角相等很好证的， 你会发现这个三角形，这个大的三角形，它这个等腰三角形，对不对？ m a 等于 m c。 好， 再来看，很神奇这个三角形，这也是个等腰三角形， 也是个等腰三角形，也有 m b 等于 m e， 是 吧？好，你会发现，你会发现它这个红角是不是和这个角它是相等的呀？ 也就是说，因为它们都对应的 m、 c 这个弧，这两个点。二、三角形的底角相等，那意味着我是不是这两个大的角上面这个大的角和下和这个大角是不相等啊？ 点要算清顶角相等。好，那我就正完了。相当于，是吧，也就说这个顶角和这个顶角既然相等，那我所知道的同时这两个角减去中间这个角 a、 m e 的 话，那我所读到两个直角就相等了。两个直角相等的话，我这也就正完了，它要全等，全等完之后，是不是我这也就正完了？好，接下来我们继续 看一下角 a 字形和八字形这两个模型，这样模型咱们看一下啊。第一个角一等于角二，则三角形 a、 b、 e 和 a、 b、 c 相似，那则出现了三个比例。哦，这个很有意思，这个第一个 a 字形就是这种正 a 的，是吧？看成角一和角二只在这两个位置的话，它就是。 呃， a、 d、 e 和 a、 b、 c 相似。还有一种情况是角一和角二这种分在这两个位置，这叫什么？叫反 a 型。那这个所得到的 a、 d、 e 是 不是给这个三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 c、 b 相似？ a、 c、 b 觉得这么滑是吧？你要知道这个角 d、 e 和这个角 b， 是 吧？也就 d 点和 b 点它是对应的。 好，那接下来咱们看一下，那你在这个八字模型当中也一样啊，这个角一等于角二，很明显这是个八字模型，上下相似，但是呢，如果角一角二出来这个位置，这种叫反八字，反八字模型是吧？你这个 a、 d 和 a、 b、 c 照样相似，只不过你这个这个 e 点和这个 c 点要对应。好，咱们看一下。 接下来拓展这个结论，就是三组 a 和三组八在一起，这个时候该出现一些什么结论呢？三组 a 什么意思？就是咱们看下这个图啊，咱们看这个图， 三组 a 就是 a， d， e， b， c， 这是一个 a， 就是 a， i， d， e 和 b， c， 这是不一个 a， 对 吧？这是个 a， 好， 咱们看这是个 a 呢？你看，然后 a， d， n， a， d， n， 然后还有 dm， 这是不是六个 a 是 吧？来带来这个 a， n， e， m， c， a， n， e， 然后 m， c， 这数又一个 a， 一个红的 a， 哎，一个紫的 a， 一个绿的 a， 数角三 a 是 吧？然后三八三个八字模型，这个也是一样的，三个八字名在里面完全能够找三个八字模型。好，咱们看第一个， 第一个八字就什么呀？就是这个八字是吧？打红色的八字，好，第二个八字是不就是这个八字，是吧？这个八字，哎，还有最后一个小八字，是这个八字 是吧？三八三 a， 三八三 a， 模型里边有一个结论叫鸡在河上飞，鸡在河上飞什么意思？就是 他会问你，在这种三角形里边，呃，会出现一个最大的正方形是吧？这正方形的边长是多少？那正方形的边长叫鸡蛋和上飞，也就是这个三角形内对一个正方形的边长就等于高乘以底。比上高加底什么意思？比如咱们看下这个图形， 高乘以底就说 e h e h， 这个是不是用那个正方形？是吧？正方形边长是不是就 e a 之方， e a 之方等于什么呢？ e a 之方就等于 a d 高乘以底嘛， ab 乘以 b c， 然后呢，再比上 a d 加 b c a， 这就挺好， a g 在 河上飞 a 两个高和底的 g a， 然后 再除以高和底的和 a 就 正完了。然后呢，对着结论咱们正一下。我们正下这个怎么回事呢？这个比较简单，我们看一下啊，你会发现一个问题，就是你这个 a n a 比上这个 a d 等于什么呢？ a n 比上 a d 是 不是等于 e f a 比上 bc 啊？那接下来不要眨眼，继续，这个 a n 等于什么呀？ a n 是 不等于 a d 减去一个 d， n 比上 ad， 然后等于什么呢？等于 ef 也比上 bc。 你 这个 ef a 和这个 d n 它是不是是一样的长度，是吧？它就可以看成这个 e h 吧，就是正方形的边段平方。好，咱们看一下，那这个 e 减去一个，是不是刚好咱把这个就写成 e f 得了。比上 ad 好 就等于什么呢？等于 ef a 比上 bc 好。哎，那就很有意思了，我马上也推出来了啊，进来 e 一 是不就等于 e f 提出来括号里边，然后 a d 分 之一加上一个 bc 分 之一。好，意思就是，哎，我这个 e f 分 之一，是不就等于 a d 乘以 bc， 然后分之 a d 加上 bc， 然后再反了个，再反了个就是 e， f 等于什么呢？哎， e， f 或者写成 e， h 是 吧？都可以，然后就等于 a， 反过来， a， d 乘以 bc 比上 a， d 加 bc 加上 bc， 好， 这个是个 c， 这个是个 c， 好， 我就整完了。所以鸡蛋和尚飞这个结论一定要记住，非常非常的重要。好，这样咱们看 适应定力，剩下适应定力就是形容一个直角三角形， a， c， b， 这是个直角三角形是吧？哎，然后呢？ c， d， 哎，垂直以 ab， 你 假设三个结论，三个结论，第一个就是 c， d 方，哎， c， d 方， c， d 方等于 d， a 乘 d， b， 好，是第一个结论，然后呢？第二个结论是什么呢？就是咱们看一下这个 a， c 方就等于 a， d 乘 ab， 然后 bc 方，哎，等于 b， d 乘 b， a， 哎，这三度平方藏起来怎么去正的呢？好，咱们再来简单说一下，这个正，简单那个正法， 咱们可以看出来，说，这个 a， 这儿给你标了的这个角，我就给你标红角，这个红角是不是等于这个角等于这个角，是吧？好，接下来看，那这个角是不等于这个角？ 哎，所以你发现，那这个三角形和这个小三角是不相似啊？同样的，这个 a， d， c 是 不是这个三角形？ a， d， c 是 不是相似于 c 二型 a， d， c 就是 c， 然后呢？呃， c， d， b 是 吧？然后还相似 c 二型，哪边？ a， b， c 这三组相似三组相似之后会引起三图比例，三图比例，哎，比如说，哎，这个比例，然后就可以得到 a 交叉相成就 c， d 方等于 a， d 乘 b， d， 那 同理呢，也可以得到，哎，另外两组 列艾两组，这就叫肾顶里哈见来一线三等角，一线三等角在讲什么呢？就是民法也一个线上与三个等角，比如说 a 角，而法和这个角这三个角相等的，这三也相等呢，它就 a。 得到一个结论，第一个 a、 d、 b 和三角形 c、 b、 e 相似，也就这两个三也相似。第二个 a、 d 乘以 e， c， a 就是 竖着的， a 等于 a， b 乘以 b， c， a 等于躺着的这乘积。好，这个呢，哎，也比较简单，咱们去正一下 a， 第一个你发现这个阿尔法呢？和这个阿尔法相等，这还有个阿尔法，所以你会发现 这个直角，这个直角，这个绿角加这个直角是不等于这个绿角这类子角，所以这两个绿角相等，这两个绿角相等，也再加上这两个红眼还相等，所以这样算出相似啊。相似完之后，那所以你就知道了，这个 a、 d， a， d 比上是 a， d 比上 b、 c， 哎，是不就等于 ab 比上 c、 e， 然后再交叉相乘，哎，我是不是就成立了，这又正完了，对吧？好，所以一线三角格经典切记，就是左乘右等于左乘右，也就是竖着的乘积等于躺着的乘积。 好，咱们继续看一下。这个就是当一线三等角里边这个 b 特殊这个点，这个 b， 但是中点的话，它就有另外一个 a。 结论， b 就是 a 三个角相等，而 b 是 a、 c 中点。第一个结论肯定是这个相似，相似的，或者说加的加了一个三角形，就这三个三角形的相似，是吧？那为什么这底下三个三角相似呢？你会发现，好，第一个，咱们在上面已经证完了第一个三角相似，第一个三角相似，你会发现 a、 b 定的是个 c、 e 啊， a、 b、 a 比上 c、 e， 是 不是等于这个 a、 d 比上 a， d 比上 bc 啊？是吧？ a、 d 比上 bc， 然后呢，还等于什么了？还等于 a、 b、 d 比上 e， b， b、 d 比上 e、 b， 这三组角对应成比例，然后呢，我 a、 d 比上 c、 b 就 等于 b、 d 比上 e、 b 就是 主要要的。这个 咱们来看模型四十三，旋转相似模型好看一下，如图说， b、 a、 c 和 b、 d、 e 都为等腰直角三角形好，而并且呢， c、 e 和 a、 d 相交一点 p， 则第一个结论， a、 b、 d 和 c、 b、 e 就 相似，并且相似比是一比根二。咱们看一下，这怎么得到的呢？ a、 b、 d， 咱们说因为是等腰直角三角形，所以这两个角应该都是四十五度，对吧？ 这两个角四十五度，你同时减去中间这个立角，你所得到的这两个，这两个紫色角是不应该相等。所以第一个问题我就搞定了这两个直角了。相等，也就是说， 哎，这两个角它是相等的。哎，咱们看呀，拿到这个三角形，就是这两个角差相等的。第二个，你可以发现，我这个 a、 b 啊，我这个 a、 b、 a 和 bc 之比是不一比根二。那还有呢？我这个 b、 e、 d 和 b、 e 之比，是不也是一比根二啊？所以说两个两个角相等，这个两个边乘比例对应角相等，那所以我封上之后，那这个三角形 和这个三角形就相似了，所以我第一个觉得你正完了，好，这是一个详细的一个证明过程。好，接下来看第二个它啊，它就相似，比是一比根二，但这个比较简单，因为因为这个 b、 a 啊，这个 b a， 这又比乘 bc， 是 不是一比根二了 好看？第二个结论就是 a d 和 c e 的 夹角是四十五度，这个怎么整？其实这个就是一个手拉手，只不过是相似的一个手拉手旋转而已，咱们刚输啊，第一个证明了 a b d 和 c b e 相似，相似完之后，这两个角是不相等， 对应角相等，是吧？咱们说这个，呃，这个拉手键呢？拉手键加角四十五度，你只需要把这两个边的角分别延长就可以了。延长到什么这为止呢？延长到它们形成一个八字模型，哎，你会发现，好，马上就成了， 好，可以停好，这就是八字模型嘛。你又发现这两个红红的角像呢？这两个这个角是不也相的？那所以你又发现，无论怎么旋转，你所得到的这个角也就是这个。呃， a d 和 c e 的 加角是不就这个角啊？ 这个角是不永远等于这个角，这角多少度啊？这个角不是四十五吗？所以这角也得是四十五啊，所以我就正完了，所以这就是啊，相似旋转 好，这个呢，咱们是说是特殊的，叫等腰直绕散形旋转。接下来咱们看一下极乐二，这个就是不特殊了，是吧？咱们看一下 aob 和 aod 啊，都是直绕散形，但是呢，你会发现这个 a o a o 和这个 b o a， 它的比例就不是一比二了，也就它不是一个等二制氧散型了，对吧？好，进来咱们看一下。第一个结论， aoc 和 bod 相似。 aoc， 咱们看一下啊， aoc 还是刚刚那个结论就是 aoc， 我 这个散型 a 和这个 bod， 我 bod 在 哪里呢？ bod 在 这个地方呢？它俩为什么相似？它的正法是完全一样的啊？正法是完全一样的。好，进来咱们去看一下 它，因为是直角三角形嘛，所以这个是直角，这个也是直角，对吧？好，你看一下，它这个角是个公共角了，这个角公共角了，这个绿角加上这个，这个这个紫色角是个这个大角，那肯定等于这个绿角加上这个直角等于这个大角啊，这俩大角肯定是一样的，对吧？所以说咱就搞定第一个问题了，就是这两个三角形给这两个三角形它的什么呀？它的这个 a 顶角是一样的，就这个角和这个角它是一样的。好，搞定第二个问题。第二问题就什么呀？就是 a， 他 说一开始说 aob 和 codd 相似，对吧？ aob 和 codd 相似，说明什么呀？说明 a o 比上这个 a b o a， 它是不就是这个 c o 比上这个 d o， 对 吧？要不怎么相似的呢？好，所以咱们这样就能应用了嘛。 给东把这角边擦掉进来，你应用一下你就知道了哈。东，看一下。那，所以你在想我这个 a o a 比上 b o， 是 不是 a， 我 换个颜色比上 b o， 是 不？这两个之比，对吧？然后呢？我这个，我这 a o 比上 b o 是 这两个之比，然后 oc o c 比上比上这个 d o 比 d o， 是 不？这个好，你刚好乘 b e 乘 b， 并且咱们说了这个这两个大角它相等，对吧？俩大角相等，所以说我所封的，我把这个 a、 c 封起来，然后我再把 b、 d、 e 封起来， 你发现这个红色线圈跟紫色什么关系啊？相似。好，我就正完了第一个结论，哎，这详细的证明过程，正完第一个结论之后，第二个拉手线是垂直的，为什么？因为顶角垂直的吗？顶角垂的，所以拉手线是垂直。好， 顶角是垂直的，咱们看一下啊，个结论就是 a c 和 b d 垂直，哎，它怎么垂直呢？你又发现刚我撞一个红的跟那个紫的是全等的，是吧？全等的啊，是相似的，相似完之后，这个角是不定的，这个角啊，小角，对吧？ 然后呢，咱说把这两个边分别延长，延长，哎，这两个边延长，延长，哎，他是不是姓什么个八字模型？这两个对顶角还相等，这两个角还相等，所以所形成的，你会发现这儿是垂直的，那这个角是永远是垂直的，这个角，那所以跳垂直了，所以第二个结论位就正弯了，对吧？好好看。第三个 啊，第三个其实它属于是个垂面四边形的。一个结论啊，垂面四边形，一个结论，咱们来看一下，说 a 地方加 b c 方等于 c， d 方加 ab 方，哎，这个为什么呢？因为咱们刚刚第二问正过了，这个是不是垂直的？ 这俩人互相垂直的，所以说互相垂直的，这个四，这个对角线，哎，这么一个，在这么一个四边形，它叫垂眉四边形，哎， 好，就是 a、 b、 c、 d 这个四边形是垂面四边形。怎么去证呢？怎么和发现，你怎么去证明这个事情呢？这很简单，因为什么？也因为 a 地方加上 b、 c 方，你会发现 a 地方谁是 a 地方啊？ a 地方是不就是 a p 方 再加上个 b 加上个 d p 方好， bc 方呢？好， bc 方是不等于 c p 方加上个 b p 方。好，那接下来再看第二度，你这个 c d 方， c d 方是谁啊？ c d 方，咱们去看啊， c、 d 方是不是 c p 方加上个 d p 方，然后 ab 方呢？ a b 方等于 b p 方，你加上个。呃，这个 a p 方。好，接下来开始了。你犯这两个相加，是不就等于这两个相加？为什么呀？ c p 方 c p 方 b p 方 b p 方 d p 方 d p 方 a p 方 a p 方全部消掉了，是吧？所以这个最后个结论，其实垂尾四边形那个结论啊。 好，咱们继续。哎，看模型，十字叫胡不归，胡不归阿，十元和瓜的原理都属于是初中经常考的一个几何最值问题。好，接下来咱们答，把这三个都讲一讲。好，咱们看一下，咱们直接上题， 说什么叫胡不归呢？就形容一个 c， d 一个这个。呃，其实就是 pa 加上一个 k 倍的 pb 的 问题。 好，这 k 是 个系数， k 又系数。说，如果说这个 p 点在弦线上动，叫虎不归在圆上动，就阿是圆。好。比如说，咱们看一下 c、 d 加上 r 五分之根五倍的 b、 d， 这不是典型的这个 b、 d 有 系数吗？它怎么处理呢？咱们看题， a， b 是 十， a c 是 十。好，这个探引 a 是 二，这个非常关键啊，探引 a 是 二， 接下来 a， 他 说这儿有个垂直，然后呢 d 又是个动点，接下来他说这儿一个根五倍的 b、 d， 你最主要他解决这个问题啊，五分之根五的 b、 d 到底是谁？这个是最关键的，咱们还找到一个一个角，它三角函数值是五分之根五，怎么找呢？这儿现成的已经给了你了。比如说，咱们看一下啊，它 a 是 一比二，哎，不是，是二，但也就说如果这儿是二 x 的 话，这儿是不是只能是 x， 这个呢？ 二 x x 勾股令，它是不是只能是根五 x 根五 x， 你 会发现来呢，这个角，这个角，这个角就三引 角 a， b， e 是 不就是 x？ 比上根五 x 是 不就是一比根五，也就是五分之根五了？好，我就找到了，这个是非常非常关键的啊，进来我把它擦掉，把它全部擦掉，也就是说现在已经知道了这个角，哼， 这个角三角值是不是五分之根五，所以说其实这个圆，是啊，这个圆是，就是 c、 d 加上一个五分之根五倍的 b， d， 其实可以写成什么呀？ c、 d 加上一个 b， e， 把这五分根五乘以一个什么呀？变成三角 a， b， e。 好， b， d 乘以三角 a， b， e， b， d 乘以三角 a， b， e。 那 不就是我直接做过来一个垂直吗？ 对吧？比如 dm， 那 你这个 b、 d 乘以三，它是不就是 dm， 所以 其实就是 c、 d 加上个 dm 啊， 而且您还求它最小值 c、 d 加上 dm， 什么时候最小啊？什么时候最小啊？你就至这么最小就直接垂过来吧，直接垂过来，最小直接过来，是吧？好，我把这个值需要解释清楚了，所以说咱们看一下，那最小值其实就是什么呀？其实就是，哎，我这个画的像一点，就是直接过来垂直 a c m 就是 这个 c m。 好， 接下来，哎，就等于 c m， 咱们就求 c m 就 行了， c m 怎么求呢？哎，这个就比较简单了，因为他已经告诉你了，这个是十嘛， 所以说咱们刚刚说了，我可以设哎，这一段是 x， 这一段就是二 x， 是 吧？好，也就算我就要算了，二 x 吧，你 x 方加上二 x 括入的平方是不等于十的平方以一百， 这是五， x 方等于一百，那 x 方不就等于二十吗？那 x 等于多少？二倍根五啊，对吧？二倍根五，所以说 x 二倍根五，它不就是二 x 就 四倍根五啊，所以这个答案就是四倍根五。而这就是胡不规的问题啊，胡不规的问题就是关键解决这个问题，把它用一个线段来代替。 好，接下来看，哎，第二个问题叫阿，是圆等于，比如咱们直接上题啊，看一下 这半径，哎，这个圆是半径，是根二，然后 p o 告诉你是根十 m o 是 二。好，接下来，哎，这儿个垂直好， q 是 动点，它 q 在 圆上动，对吧？但气球 p q 加上一个二分之根二的 q m 好， 还是问题，怎么解决这个问题啊？ 而这个我告教授教给你个非常非常快，一个一个，一个一个问题啊，找那个什么呀？找翻译点， 找翻译点是最快的，也就说你要用一个线段代替二分之根二比 q m， 怎么去找呢？你就直接先把圆心和这 q 或者动点连起来，连完之后，因为它要变换 q m， 所以 说你就让在 o m 上找这么一个点 n， 找这么一个点，满足什么呀？就满足 o q 方等于 o n 乘以 o m， 这也称为叫斜式引定律好，另一个 n 就 追找到了。为什么呀？因为 o q 告诉你了呗， o q 告诉你啊，半径是根二，所以它就二。 o n 呢？我不知道啊， o m， 我 可知道 o m 是 二，所以说 o n 是 几， o n 是 一，所以 n 就 为 o m 的 重点，我就求完了， 我也就找到这个 n 了。好，此时你会发现咱们说，哎，前面讲过一个斜式引定力，那此时你又发现这个三角形 o n q 是 不是就相似？暗形 o q m 它也相似了，毕竟相似比于几啊，相似比是不就是，哎，这个， 哎，且，咱们听刚说这个 o n 比上 o q 啊，是不就是得根二比二啊？呃，这个为什么呀？因为你看相似比，相似比，就是，你又发现我这 q n， 因为它相似了嘛。相似完之后， q n 比上 q m， 是 不就等于 o n 比上谁呢？比上 o q 啊，定编码 o n 是 几？ o n 是 一， o q 呢？根二，所以就是二分之根二了。 那所以你又发现你这个 q n 其实就是二分之根二倍的 q m。 哎，你这个原式我就可以画见了啊，原式看一下啊，原式其实就是 p q 加上一个二分之根二倍的 q m 是 不是 q n， 所以 其实最小值，这个最小值 a， 你 发现 p q 加 q n 加 q n， 什么最小啊，是吧？所以最小值什么呀？最小值就是 q n 呐， 就 q n q n， 我 求一下就得了嘛，进来求一下。怎么求呢？他是一， o n 是 一，他呢？是根十一。一求，我知道了，根十一呗，多快？所以说答案是多少啊？根十一啊。 所以啊，这个作哈士圆，最主要是找了个点翻译念怎么去找？就利用斜式引定力去找，直接描杀到 a 这个 n 的 点的值， n 的 点在哪里我就可以了。那接着讲瓜豆啊，瓜豆 瓜豆，初中所涉及到的一些轨迹啊，就是线和圆的问题。种线得线，种圆得圆吗？是吧？好，接下来咱们先讲圆的问题，圆的问题他有两个条件啊，只有你看瓜豆必须有两个固定条件，而第一个条件就是他得有定角。定点，定角嘛，就说 a 得是一个定点， 定点，阿加尔给定角也定角，就是角，这个 p q 吧，一个是定角，一个定比例，只要这两个出现，那绝对是瓜的原理。定比例是什么呀？就是 a p， 这个 a p 等于比上 a q 到等于 k， 哎，就它的比例是固定的，那随也随是个圆，那 p 是 一个圆， p 角主动点，它主要动嘛？ q 呢？ q 跟着动， 你发现 p 是 一个圆，对吧？哎， p 是 一个圆， q 呢？ q 也是个圆，现在这个圆，咱说圆，要确定圆心和半径，圆心决定那个圆的位置，半径决定圆的大小，所以这两个 y f 主要确定了，就知道轨迹了。好，怎么确定 q 所动能圆圆心呢？你就， 哎，看这个图，你就把 a o 连起来，就是把这个定点和主动点的圆心连起来，然后呢，你做一个角 r 法，你做这个角是 r 法，而且还要满足什么呢？满足你这个 a m， 哎，比上，哎，其实不都不是 am， 咱这个统一一下，咱这个统一一下。哎，同意一下说，哎，我不要 am 了。就是因为这 a p 比 a q 嘛，要满足 a o 比上 a m 一定要等于 k， 为什么啊？因为 a p 一定要接着等，因为 a p 比上 a q 不 就是 k 吗？ 对啊， a c 一定要找到这个角，做一个角 r 法，而且比例呢，要是 k， 那 我这圆心是不是找到了呀？圆心找到之后，你又发现我这两个三角形是不就相似了呀？ 因为都是 r 法嘛，然后对应成比例，你这个 a p 比上 a， q 也是 k 啊，所以这样算相似，相似之后，非常关键的元素来了，就是你对 p o p o 是 不是主动点的圆的半径啊？ q m 呢？是阻动点元的半径了，它是不是也是 k， 也是 k？ 也就是说 a， 你 只需要满足 a， 它 a 跟它比是 k， 那 所以我这个半径知道，我这个半径也得知道 就明白了。还接着咱们上一个题好，比如说看这个题， p 呢，三斗四，当 p 的 半径是二， a 是 二点八斗零。好，那 b 呢？五点六斗零， 好点， m 卡点， m 在 q 上动，在这个 p 圆 p 上动，而 c 是 东点， c 是 中点。然后接下来去求 a， c 里的最小值。好，进来看 咱这最值。问题就是轨迹问题， a 的 这个 c， a 是 个定点，对不对？ a 是 个定点，然后呢，那 c 绝对是一个动点啊，要找轨迹。好，咱们说卦的原理，满足什么呢？第一个定点，这都没有定角，定角是零，对吧？好，看一下，这叫主动点， 主动点 a m 轨迹是个圆，那这个叫什么呀？这叫从动点好，但说主动点是个圆，从点绝对是个圆种，圆得圆嘛，对吧？好，它是个什么圆呢？接下来，哎，开始了，它是个。咱们说了，那这个定点呢， 跟这个主动点圆心相连，因为 c 是 终点，所以说圆心也得是终点，就在这， 哎，那个圆心，哎， o 撇儿从的远，圆心就在这里。然后呢，因为 c c e 是 不是中点呢？所以说咱们是相似比是一样的呀，也就是 b m 比上 bc 是 二，那所以半径也得是一半，那我就直接找到了， 也就是 q 这个 p 的 半径。咱们刚耍 pi， 半径极二，那所以我 c 所动的这个半径 我大概得画出来是什么呀？是一， a 刚好是它的一半嘛，是吧，也非常好确定，所以说圆心和半点都确定了。那接下来求他说 a c 最小值，最小值太考球了，最小值，当然所有最终的都是穿圆心嘛。穿圆心最小值什么呀？ c 就 在这儿。 所以说，哎，我就看 o 撇儿， o 撇儿，因为 p 呢是三斗四， b 呢是五点六斗零， 然后呢， o 撇是不是 p m 的 p b 的 中点是吧？ p a b 的 中点，所以 o 撇就知道了。三加五点六是不是八点六，八点六， a 四点三嘛，四加零， a 除以二也就二嘛。所以重点在包公式好， o 撇就知道了， o 撇知道了呢？ a 撇 v e 也知道是吧？ a 是 二点八， 二点八逗零，所以 a o 撇我就能算出来了。 a o 撇点和点的距离公式对吧？点和点距离共值根号积啊，横坐标差平方就四点三减二点八，那是几啊？一点五对吧？是一点五吧，一点五，对， 一点五，也就一点五，什么呀？一点五，咱们换算一下，一点五是不就是二分之三？咱们说啊，用分数也二分之三括号加上一个什么呀，二减零的平方是不就是四？所以 a j 就 根号下 这个四分之九四人九加四分之六，四分之二十五，所以就是二分之五。 a a o 撇就二分之五。那看， 那你这个 a c 啊， a c 是 不等于 a o 撇减去那个半径啊？减去半径二分之五，当然半径你上面那个主动点圆的半径是二，那你这个从动点与圆半径就是一，所以就二分之三，所以答案就是二分之三， 对吧？演示的很清楚吧？还看最后一个叫中线得线，对吧？刮豆原理，他说主动点的轨迹是个线，从动点绝对是线。好，咱们看一下，这个还是先看条件，就你如何确定绝对是刮豆原理？第一个定角，也就是这个 a e 啊， a 是 个定点， r 法是个定角，对吧？第一个条件，第二个定比例定比，就这个 a p 比 a q 必须是定值，比如就就等于 k a p i 比上 a q 绝对是 k 值，你绝对定值等于 k。 那 结论是什么呀？结论就是我这个 p 是 主动点，主动点 p 在 b d 这根线上动，从动点 q 边也在一个线上动， 那箭来开曲率在什么线上动，对吧？在什么线上动？在主动点在 b d 上动 no q 从动点就带线，这个线呢？这个线跟主动点那个线加角 b 是 顶角度数也就尔法，你是尔法，我也是尔法。好，我就找到这根线了，对吧？你们确定一下，为什么会是这个样子啊？这里给大家讲一讲。 好，咱们看一看，咱们说咱们刚刚讲了一个叫什么呀？叫这个相似旋转，对吧？哎，首先看一下我这个 a b m 和 a n c 像不像？ 相似旋转，对吧？哎，这只是转过来的吗？横向那非常的像。好，那接下来咱们看一下啊，他，哎，我怎么擦掉呢？哎， 依靠塌掉好转中，你会发现咱们说有个什么，就是拉首先的加角等于顶角度数，对吧？拉首先加角，你会发现，哎，我驾驭乐教大家左右手啊，你发现 a n c a n c， 你 把你眼放到 a 这个 n 呢？ n 是 不就他的左呀，就是左手，对吧？ 然后呢？ c 呢？就是他右手，你把你的眼放到 a， 往这个 b m 方向看， m 就 他左手， b 就是 他的右手。好，另，这个 m n 是 什么手？是不是就左手线，左手拉左手吗？ bc 呢？是右手线，右手拉右手吗？拉手向加着等于顶角度数，顶角多少？顶角不就而法吗？ 顶角顶角是这个这个这个这个，他这个是而法而法 a r r 之后，那我这个加角这儿呢？而法我就搞定了，是吧？所以告诉你他这个什么线？好，记着等会啊，看看一个题啊，给大家看一个题， a 在 一个平板指向作 b 当中，然后 a 呢？是负三斗零， a， b 在 这个正半轴上动， y 的 外轴正半轴是动点，是个线，是吧？轨迹是个线 c， d 好 点， c， d 呢？呃，都在 s 正半轴见了 a b 为边，以 a b 有 边往下方做个等边差线 a b p， 那 b 呢？也在外轴上动，那么求 o p 的 一个最小值好看一下啊，咱们看如何既定，就就是刮的原理。第一个定点， a 是 不定点呢？定角圆是六十度吧，因为它做了个等边，对吧？好，定点，定角出来了，定比例呢？ 我这定比例，你又发现 a b b 上 a p 是 不等于一，这不就定比例吗？所以说，主动点 b 是 一根线，从动点 p 呢， 也得是一根线，也得是一个线，是个什么线？当然跟主动点那个线的夹角得是六度那根线，是吧？六度。好，接下来咱们要看什么？要看一个，我要找个特殊点，也就是说，哎，我要看 当当这个 b 点， b 点在这个位置，嘿，也就是说满足 a b， 这个是六十度啊，这个六十度，然后呢？此时 p 在 哪啊？应要做个等边吗？ p 在 这儿， p 在 这儿，是吧？也要满足这只等边三角形嘛。所以说 a a 是 负三斗零， p 呢？三斗零。 好，接下来继续再做一根线，这个呢，是这么过。咦，哎，这个多少度？六十度，主动点是在外轴上，那那个从动点呢？就跟外轴相交，是加角，是六十度。为什么呀？因为你这个定定角是六十度嘛，所以我去弯了嘛，这个六十度。好，接下来。哎，开看， 你说求一下 o p 的 个最小值，最小值太简单了，给它垂过来嘛，这就最小值嘛。 p 点在这儿，它是六十，它是几？它不由三十度嘛。 o p 是 多少？ o p 是 三呢？ o p 等于三， 那你这个，这个是 o o p 撇吧， o p 不 等于三，对吧？ o p 不 等于三，那 o p 呢？ 就是这一段 o p 是 不等于二分之一的 o p 撇，因为它三十度嘛，等于什么？二分之三。哎，所以说你就知道了。这个边是多少啊？二分之三， 所以说最小值多少啊？二分之三，所以我就讲完了，你学会了没有？整个九年级的几何模型，我到这里就全部讲减数完毕。啊，好，大家可以收藏起来慢慢学习。
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01:01查看AI文稿AI文稿你们学霸的嘴可真严！原来初中数学可以这样学！里面的模型都是能动起来，尤其是那些抽象的动点、动角、动线段问题，都用生动形象的动画演示出来，让孩子一看就懂。 用的就是这本万维图解，初中数学几何、函数各一本，初中三年都能用，里面整整三百五十个动图，一题一码，孩子用手机扫一下，就能亲手拖拽旋转图形。 从初一线段的动点问题、平行线与相交线，到初二全等三角形，再到初三圆和相似三角形，全是核心内容，每个题型都标注了高频考点，复习不盲目。它最实用的是四十二个动图问题，配了两百三十二的动画演示，孩子更容易理解。 每个专题还有针对性练习，扫码就能看解析，告别看不懂、不会做的困境，帮孩子补齐几何短板，学习更轻松。
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00:50查看AI文稿AI文稿初中数学动态问题是重灾区！其实，初中动态题再难，也就几何这四十二个题型，函数二十三个题型，把它们搞定，数学就轻松了。 就是这本万维初中图解数学，把初中能考到的动角问题，直接做成了可交互动画。孩子扫个码就能亲手旋转拖动角，看这角度怎么变化，怎么分类讨论，再也不用对着题目抓耳挠腮了。不只是动角像动线段、动点问题，还有初二的全等模型，初三的圆和相似，每一个考点都配了动图， 三百五十个动画演示，一题一码，边玩边学。他的解析方法也特别直观，用彩图和流程图代替枯燥文字，步骤清晰，孩子一看就懂。 而且他紧贴教材顺序，标注了考频，从初一到初三的高频考点全覆盖课堂上学到哪用到哪。现在下单还送配套电子版练习题、模型总结和中考真题，把动态题这个重灾区变成孩子的优势，向数学成绩自然往上冲。
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00:58查看AI文稿AI文稿废马点旋转六十度，四点共线最短。胡不归做对应家教垂线段最短， 两点之间线段最短。将军印马做直线对称点，三点共线最短。初中常考的燕尾模型、手拉手模型、铅笔头模型、 猪蹄模型等经典模型，课堂上受课时限制，很难做到系统讲解，却是考试里的高频内容。 不妨从七年级下册开始，给孩子备上这本初中数学几何模型大全。书中汇总了初中三年各类常考几何模型，不仅梳理公式、结论、拆解图形，还完整讲解推导思路。内容清晰易懂， 搭配典型例题深度解析，看不懂的地方还能扫码观看视频讲解每个模型后都配有各地经典练习题，帮孩子夯实知识点，把这些内容学扎实，孩子应对初中几何题目就能得心应手，快来安排吧！
05:25查看AI文稿AI文稿同学你好，我们现在呢来看第二个模型角，有关双角平分线问题，我是主讲老师梁永。 首先我们来看一下这个地方呢，有 o p， 是 a o b 内部的一条射线，这个时候呢，相当于我们就出现了三个角 啊，小的，小的，还有整体，是吧？所以呢，这个时候呢，可以观察一下 小的小的还有整体。然后呢，我们取出了第一个角的角平分线，又取出了第二个角的角平分线，然后呢，得到的这个夹角会等于整个这个角的一半， 其实这也就形容我们双中点一样，在证明的过程当中呢，也是把这两个角加起来就可以了，我们来证一下， 因为这个是吧平分啊，因为 o m 平分角 b o p o n 平分角 a o p， 所以呢，我们就能得到这个角，对吧？角 p o m 等于二分之一的角 b o p 以及这一个角 角 n o p 会等于二分之一的角 a o p， 所以呢，我们就可以把这个角加起来 m o n， 它会等于角 p o m 去加上角 n o p， 然后呢，我们可以把它们加起来 p o m 呢，等于二分之一的角 b o p， 那 么 n o p 呢，等于二分之一的角 a o p。 提出个二分之一来，那么就会等于角 b o p 去加上角 a o p， 这样子的话呢，最后一步是吧， b o p 加上 a o p， 那 就会等于这个角 a o b 了， 所以呢，两条角分线的夹角，它也会涉及到第三个角的一半。当然如果是这种图呢，变一下 我们的 o p 呢，放到外部去，是不是首先呢 o m 呢啊，它是平分角 b o p， 也就是说 o m 呢，是大角的角平分线，现在呢， o n 平分角 a o p 小 角的角平分线，我们要证明这两条角分线的夹角会等于角 a o b 的 一半， 那其实呢，我们是一样的道理，我们来写一下步骤，因为是吧， o m 平分角 b o p o n 平分角 a o p。 那 所以呢，我们就可以带来 o m 因为这条角平分线而得到的一个角度关系，那么角 p o m 就 会等于二分之一的角 p o b 以及 o n 呢？啊，也可以带来一个关系，那就是角 p o n 等于二分之一的角，对吧？ a o p 就是 我需要这个二分之一，然后呢，我就会发现角 m o n 呢，它可以由这个 角，然后呢去减去这个角而得到，是不是？所以呢，我们就会等于角 p o m 去减去角这个 p o n， 对 吧？ 所以呢，我们继续的可以去往下写一写，那 p o m 呢，就等于二分之一的角 p o b 去减去 p o n 呢，就是二分之一的角 a o p。 那 么可以提出个二分之一来，角 p o b 去减去角 a o p， 对 吧？ p o b 去减去 a o p， 那 当然就等于 a o b 了，所以呢，就会得到二分之一的角 a o b， 所以呢，我们就可以由这个式子，我们就会发现，我们的角 m o n 就 会等于二分之一的角 a o b。 类似我们的双中点一样，那么这个双角平行线也是仍然可以得到这种一半的关系。好了，双角平分线模型你听懂了吗？
00:07查看AI文稿AI文稿初中数学折叠模型学不会？别死磕！来看初中数学动画课动态拆解思路，轻松吃透几何难点！
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05:56查看AI文稿AI文稿哦，大家好，我们已经知道了角平分线的基本概念。角平分线就是一条从角顶点出发的射线，它把角分成了大小相等的两部分。 正因为这个性质，角平分线成了角度计算问题中的常客。在做题前，果冻老师偷偷塞给捷达两枚锦囊。锦囊在手，天下我有，那就快来看题吧！ 如图， o、 e 是 直角角 a、 o、 b 的 角平分线， o、 d 是 角 b、 o、 c 的 角平分线。若角 e、 o、 d 等于七十度，求角 b、 o、 c 的 度数。 读完了题，事不宜迟，先拆开果冻老师的第一枚锦囊看看，指尖上面就写俩大字，标角。 啥意思？看到这种算角度的问题，我们拿到题的当务之急就是要把已知条件标到图上去。 我们来试一下，已知 o、 e 是 直角角 a、 o、 b 的 角平分线，也就是说，这里有个直角 o、 e 还是角平分线，也就是意味着这两个角都是四十五度。继续 o、 d 是 角 b、 o、 c 的 角平分线，就说明这两个角都相等。 若角 e、 o、 d 等于七十度，那角 e、 o、 d 就 等于七十度。我们画个大弧表示七十度。最后要求角 b、 o、 c 的 度数，那现在你自己试试。 答案，选 a， 要求角 b、 o、 c 的 度数。根据角平分线的定义，这两个相等的小角 b、 o、 c 的 度数也就知道了。那我们能不能求出角三或者角四的度数呢？ 哎，注意到这个大的角 e、 o、 d 是 包含角三的角 e、 o、 d 等于七十度。而我们之前已经标注了，角二等于四十五度，那角三就等于角 e、 o、 d 减去角二七十度，减四十五度等于二十五度， 那角 b、 o、 c 就 等于两倍的角三等于五十度，这道题就做完了，我们来看一下解题过程。 这题的图和角的关系比较复杂，正好就体现了标角的好处。一边选题，一边把角的关系标注在图中，这样在分析的过程中，所有条件就一览无余，不会遗漏了。做完这道题是不是还不过瘾？我们再来看看下面这道题， 哪道题我们还是跟上题一样先。标角，已知角 a o b 等于六十度，嗯，这个角是六十度，继续 o d 平分角 b o c， 那 么角一等于角二 o e 平分角 c o a 呃，这个帽子不太好标啊，那就先放在一边，继续要求角 d o e 的 度数。呃，我就知道个角 a o b 是 六十度，角 d o e 要怎么求啊？这题貌似讲到这就仰望星空，不知所措了。 别着急，这不还有果冻老师的第二枚锦囊吗？赶紧打开看一看，上面写的是用相同字母标记相等的角， 什么意思呢？这里有角一等于角二，那我们就用相同的字母阿尔法来表示这两个角， 这有什么好处呢？有了阿尔法，即使我们不知道角一角二的具体度数，也可以通过阿尔法来进行计算。比如说，角一是阿尔法，那角 b o c 就是 两倍的阿尔法。已知角 a o b 等于六十度，那最大的角 c o a 就 等于六十度，加阿尔法， 还有什么角度可以计算吗？哎！ o e 平分角 c o a， 所以 角 c o e 就 等于角 c o a 的 一半，等于三十度，加二法。角 c o e 等于三十度，加二法，角一又等于二法，那我们要求的角 d o e 就 等于三十度。 不知不觉，通过带着字母二法的一些运算，我们就可以把角 d、 o、 e 的 度数给求出来了，一起来看一下解的过程。 这道题就体现了标角以及标字母的重大作用，有了阿尔法，即使不知道角的具体度数，我们也能够借助角度关系进行计算。 好的，那我们现在把图形稍微变一变，如果 o c 在 o a 的 下方， o d、 o e 还分别是角 b、 o c 和角 c o a 的 平分线，那角 d、 o e 又等于几呢？你自己先试试。 要求角 d、 o e 的 度数，我们还是先来标角。已知角 a、 o b 等于六十度，给标上 o d 平分角 b o c， 那 么角一等于角二。跟刚才一样，还是把这两个角都设成二法吧。那同样有角 b、 o c 等于二法 条件，还有 o e 平分角 c o a， 那 这个时候角 c、 o a 等于多少呢？角 c o a， 角 b o c。 角 a o b 这三个角刚好构成了一个周角，所以角 c、 o a 就是 三百六十度减去角 a、 o b， 再减去角 b o c， 也就是三百六十度减六十度减阿尔法，也就是三百度减阿尔法。那再由角平分线 o e 分 出来的角三与角四，就都是角 c、 o a 的 一半，等于一百五十度减阿尔法。 现在来看看要求的角 d、 o e， 它是多少呢？从图中看出来，它就是角二与角三的和，因此角 d、 o e 就是 阿尔法，加上一百五十度减阿尔法就是一百五十度了。一起来看看起的过程吧。 总结一下，这个视频里，我们见识了与角平分线有关的角度计算问题，方法都是一致的，要先标角，能算出的角就直接算，算不出来的可以用相同的字母来表示相等关系。那这个视频就到这里，拜。
22张博士课堂
03:58查看AI文稿AI文稿学过数学的都知道，绊脚模型数是几何中的重大丢分区，今天讲的这八个结论是考试常考的基本模型，答应老师，下次遇到他们不要犹豫，直接解绊脚模型。那今天我们去学习绊脚模型在全等形式下的八个结论。好，我们来看。首先第一个结论，加绊脚模型，那这个三角形我们如果可以转过来啊，那就可以得到 啊，这个得到，我们就可以得到两个三角形是全等，那如果我把这个三角形也往这一边转啊，也往这个往上面转，那么我们也可以得到全等，所以你这个往哪边转都是可以的， 那么就会得到 a n f 和我们这个全等，也就是这三个都是全等的， 这三个都可以全等。好，我们来做题。第一个，所以就由 ab 和这个 e f 相等，全等之后可以了。第二个角度相等可以了。然后第二个 b 一 加 d f， b 一 加 d f， d f 在 这，所以等于 e m， e m 等于 e f， 第二个可以了。第三个，求周长， 这个的周长啊，仍然是可以变啦。那这个线段由第一问的结论 e f 就 换成了这一段，加这一段，再加周长，所以是两个 a 正方形边长为，所以是二 a， 可以 啦，好。第四个 a g 就是 当我们这边做一个垂直的时候， 那么这一个 a g 的 长度我们就可以知道，因为这是角平分线，那么它到两边的距离就会相等，所以和边长相等，等于 a 可以 了。好，然后求 e f 的 最小值， e f 在 这个里面，这个里面有什么固定角度，固定 高固定，所以这属于定角定高的模型啊，定角定高，那定角定高呢？我们就可以知道，只有当他在是等腰三角形的时候啊，定角定高，就是当他是等腰，也就是 a d 等于 af 的 时候， ef 达到最小， 那我们就可以做一下啊，那既然是等幺，那么这个就都相等了，这个是 x x 啊，都相等了啊，然后那等幺这两个也相等，这个是二 x， 四十五度等腰直角，所以这个是根号二 x， 那 就可以知道这个边长为 a， 所以 x 加上根号二 x 等于 a 计算， x 等于 a 除以一加根号二，也就是 a 倍的根二减， 那我们求的是 e f， e f 是 多少呢？ e f 是 两个 x， 所以 是两倍的根二减去 a。 好， 这个定角定高了，可以了。好，第六个， 第六个，这个面积最小，肯定了面积，这个时候底 e f 是 最小了，高是固定的，所以面积最小，就是这个值，带入球就可以了。 好，第七个问题，这个面积的最大。好，那我们看这个面积已经是最小了，那旁边的两个加起来面积也和它相同，也就说这整个面积都是最小的，而正方形的面积是固定的，所以当你这个最小的时候，这个就是最大的啊。 然后我们这个呢是多少呢？这个刚刚已经写了，此时它的边长是根号二 x， 所以 底乘高除二 等于 x 平方 x 值多少已经算了，所以带入进去，这个就求出最大了。好，然后这个半角模型，我们再来看这一种啊，和对角线相交，那么同样的做法，那我们可以将这个三角形转九十度啊，我们尝试一下， 然后连接啊，那这里呢，我们就可以证明这两个三角形是两个大的三角形是全等，这个全等很好，证明 好，我们就来做全等，所以得到全等之后也换成 m f， 然后 b 一 呢？ b 一 在这儿它就可以换成 m d。 好， 然后看角度，因为全等，所以这两个角度相等，因为这个是直接转过去，这个是四十五度，所以这里呢也是四十五度，然后本身对角线也是四十五度，所以这个地方垂直 啊，我们可以知道这个垂直，所以 b 一 就可以换成 m d 的 平方加 d f 的 平方，那这个满足勾股定律有垂直，所以就可以证明出这个相等，然后反推上面是相等，这就是全等的结论。那下一节我们就讲相似的结论。
189张博士讲数学
02:23查看AI文稿AI文稿绊脚模型是初中高频压轴王，更是一个易丢分的难点，而绊脚模型有很多的二级结论是老师不教，学生不总结的，那考场上一定是直接猛掉的。今天继续总结在相似中的结论，今天我们来总结绊脚模型里面的相似的结论。好，我们来看第一个，那么是夹半角九十度，夹四十五度，那我们我们可以知道 这里也是四十五度啊，然后有公共角，所以第一个三角形和这个三角形相似了，同理，这一边也有四十五度， 那么还有公共角也是有公共角，所以这个三角形和这一个就相似了啊，那么他们都和中间的相似，所以这三个三角形是都相似的。 好，我们看第二个，四十五度有很多啊，正方形对角线也有四十五度，正方形对角线四十五度，还有对顶角相等。哎，那这三个三角形是否也相似了呢？也相似了。好，第三个，我们来看 这里夹了四十五度啊，这个是四十五度，那这里也是四十五度，那这两个小角就会相等，然后对角线这里四十五度，对角线这里四十五度，那这两个三角形就可以相似了。同理，在这一边也是四十五度，四十五度， 然后都是夹的四十五度，那这两个角也相等，所以这两个也相似了。好，相似之后我们可以得出什么没完啊，那首先第一个相似之后就有对应笔，我们看一下这里 a、 c 和 ab 边的笔，因为相似，所以它就会与 a、 n 和 am 的 笔是相同，就是根号二。好，再来，那么在这一边他也是的啊，红色的，他是这个边 比上这个 a d 根号二，那么它就会和另外一个边 a 一 比上 a n 相同，就也是根号二， 所以这三组线段的比值相同，都是根号二，这是我们得出来的结论。好，那我们看到第五个图啊，第五个图，那么由这两个我们看一下这是哪两个线段的比啊？ af， 这应得出来的啊？ af 和 am 就是 这一段比上这个 am， 等于 这个 a b 比上 a 一 啊，长的比短的这两段比值相同，这是什么？它们夹角相等，四十五度，两边的比值相同，所以这两个三角形也是相似的， 这个和这个也是相似啊，然后相似，相似就会有对应边的比值相等，包括第三个边的比值也是根号二，以及对应的角度相等，这两个相等以及这两个角度也相等，那这个就是我们半角模型里面的相似的阶段。
117张博士讲数学
04:58查看AI文稿AI文稿明星有大招，解题更高效！同学你好，我是作业帮初中数学组的徐思雨老师，接下来由我来为你讲解第六个模型，八字模型。 先来看看八字模型长成什么样子，你是否看到了像阿拉伯数字八，所以命名它为八字模型。八字模型不仅现在使用非常广泛，等到初三，在很多角度的转换中还是会继续使用它，我们一起来看看它的结论是什么。 如图 a、 c 与 b、 d 相交于点 o， 现在 a、 c、 b、 d 相交于 o 点。让我们证明，角 a 加上角 b 就 等于角 c 加上角 e。 观察一下，角 a 在 这里，角 b 在 这里， 角 c 在 这里，角 d 在 这里。也就是上方两个角的和等于下方两个角的和。我们只会看到相交线，但是这些角是在三角形的内部，所以可以利用三角形的角去进行证明。他一共会有两种证明方法， 第一种是利用内角和证明，第二种是利用外角性质证明。老师分别带着你一起来看一下。我们首先先来看反一， 第一种方法是利用内角和定力进行证明。 回忆下一个三角形的内角和是一百八十度，所以现在观察一下，角 a 加上角 b， 再加上这里的角 e 是 不是正好是一百八十度？咱们先写个证明， 在三角形 a、 o、 b 中， 角 a 加上角 b 加上角 e 是 等于一百八十度。同样来讲，角 c 和角 d 在 三角形 c、 o、 d 中，所以接下来看一下。在三角形 c、 o、 d 中， 角 c 加上角 d， 这里标记成角二，它们三个角的和也是一百八十度。角 c 加上角 d 再加上角二是等于一百八十度，观察一下等号，右边都是一百八十度。如果角一和角二相等，这个结论是不就证明出来了？ 正好两直线相交，形成了对顶角，所以角一和角二相等。因为角一等于角二，所以角 a 加上角 b 就等于角 c 加上角 d。 这个是我们的第一种方法，利用内角和定力来进行证明。除此之外，我们还可以利用外角的性质证明。所以接下来我们来看法二。 现在看一看三角形 aob， 在 这个图中，很明显这个是三角形 aob 的 外角， 这个角也是三角形 a o b 的 外角，我们只需要取一侧即可，不妨我们就取右侧的这个角 b o c。 因为角 b o c 是 上方这个三角形 a o b 的 外角。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，与它不相邻的两个内角的和。所以可以直接得到角 b o c 就 等于角 a 加上角 b。 如果你非常熟的话，可以直接写这个角度的关系，如果你担心老师会在步骤上扣分，你就可以写得更完整一点。这么写，因为角 b、 o、 c 为三角形 a o b 的 外角， 所以角 boc 就 等于角 a 加上角 b。 同样观察一下角 boc 还是下方三角形 c o d 的 一个外角，所以它正好就等于角 c 与角 d 的 和。 接着我们继续来看，因为角 boc 为这个三角形 c o d 的 外角， 所以角 b o c 就 等于角 c 加上角 d。 这一部分相信你已经非常熟悉了，都是角 b o c， 于是乎就得到了角 a 加上角 b 等于角 c 加上角 d。 这个八字模型是未来我们使用最常见的一个模型，这个模型我们就讲到这，你学会了吗？
01:02查看AI文稿AI文稿初中几何考来考去，无非就这六十八个模型，把它们都吃透，数学也就稳了。他把初一八个模型、初二三十三个模型、初三二十七个模型都整理在这本三分钟了解初中几何题里，让孩子从现在开始，每天掌握一个几何模型，等到考试小题套结论，大题套模型， 别提多轻松了。比如风筝模型、手拉手相似模型、将军印马模型、胡不归模型、阿是人 废马桶模型等。每一个模型的已知条件、辅助线、画法、结论是什么、怎么证明的，都给孩子梳理的明明白白。搭配对应的典型真题，从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透 每个考点。有了这本书，以后做几何题就像查字典一样简单，关键扫码，还有免费的视频讲解，不怕孩子学不会。学完再用这本配套的练习册 刷对应的真题，巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解析，初一、初二、初三都能用！家有初中生，快给孩子准备起来！
0汐汐吖
01:08查看AI文稿AI文稿初中必会辅助线，看到四十五度和十五度不形成等腰直角，得到三十度直角三角形，看到四十五度和三十度做垂线，得到线段比例关系，两者结合，看到一百三十五度和一百五十度补成直角，得到两特殊三角形， 看到十五度和二十二点五度做中垂线构造二倍角得到特殊三角形。像这样一看就懂得。动图这本书里还有三百五十个。这本万维初中图解数学，把初中能考到的动角问题，直接做成了可交互动画，孩子扫个码就能亲手旋转 拖动角，看这角度怎么变化，怎么分类讨论，再也不用对着题目抓耳挠腮了。不只是动角像动线段、动点问题，还有初二的全等模型，初三的圆和相似，每一个考点都配了动图， 三百五十个动画演示，一题一码，边玩边学。他的解析方法也特别直观，用彩图和流程图代替枯燥文字，步骤清晰，孩子一看就懂。而且他紧贴教材顺序标注了考频， 从初一到初三的高频考点全覆盖，课堂上学到哪用到哪。现在下单还送配套电子版练习题、模型总结和中考真题，把动态题这个重灾区变成孩子的优势项，数学成绩自然往上冲。
2沐宸妈
10:40查看AI文稿AI文稿好 学习几何的人都知道，几何的辅助线是解决几何问题的关键，而解决这个问题是要通过几何模型，几何图形的性质来解决的。 为此我们将从现在开始陆续推出常见的几何模型。今天咱们先看一下八字模型，大家看这是 a、 c 和 b b 两条线相交于点 o， 我 们可以看到角 a 和角 b 与角 b 与角 c 的 关系。 那么从这个图形上看了，我们说像一个，我们看到那个八字，那这个图形的结论是什么了？我们可以看到它的结论是这样的， 角 a 加角 b 等于角 d 加上角 c。 那这个结论推倒很简单，我们可以看到三角形 a、 o、 b 上边的三角形 a、 o、 b， 它的内角和是一百八十度，下边这个三角形呢？ c、 o、 d。 这个三角形内角和也是一百八十度，这里边有两个对顶角， 我们同时减去这个对顶角，因为对顶角相等，我们减去这个对顶角，就得到角 a 加角 b 等于角 d 加角 c 了。 那么看上去好像这个模型推导起来很简单，但是模型的作用啊，是用于我们来解题的。下面我们就来看一下这三个图形， 这是一个五角形，我们常见的五角形，那么五角形的角 a、 角 b、 角 c 和角 d、 角 e， 这五个角的和等于多少？ 那如果我们要去算它的话，我们可以这样考虑，假设我们把这个 c 和 d 把它连起来， c、 d 连起来，连起来以后呢，这里边就构成一个八字模型，大家看一下，这个角 b 和角 e 与 这里边的角 b、 d、 c 和角 e、 c、 d 构成一个八字模型。我们来看一下啊，我们把它画一下， 这就像我们上边这个图， 那么按照这个图我们来看，这时的角 b 和角 e 就 转换到了下边的这个角上，假定我说这是个角一，这是个角二 啊，角 b 加角一，就等于角一加角二，这时呢这五个角它们就结合在呢一个三角形 a、 c、 d 内， 大家看一下，这时这个五个角呢，是不是就结合在三角形 a、 c、 d 内呢？看， 那么 a、 c、 d 这个三角形的内角和是一百八十度，所以说这五个角的和，我们推成的结果是一百八十度， 这就是八字模型在这个地方所起的作用。那么下面我们看第二个图， 第二个图它也是要证明要求一下，角 b 加角、角 a、 加角 b、 角 c、 角 d、 角 e 和角 f 这六个角，它们的和是多少？ 好像这六个角度在周围一圈上，我们如果是单个去计算的话，是比较发展的啊，比较发展，所以说我们也不妨可以考虑用这个八字模型切入他一下。 大家看一下这个 a、 c 这个线和 c、 f 这个线，咱们有个角点，这个地方呢，有个角 c 和脚的，那好，如果我把这个 a、 f 连接起来， a、 f 连接起来，大家看这个时候是不是又构成一个新的八字模型， 大家看一下这个八字模型，我用红线把它画一下， 那么按照八字模型的这个结论，大家看一下角 c 和角 d 就 转移到了这个地方，它们的和是相等的吗？如果说这是个角一，这是个角二 啊，就角一加角二应该等于角 c 加角 d， 那 这时候我们转化以后，再看它们转化以后的图形 啊，我们看他转化以后的图形，这个时候大家看一下，是不是就转化在一个四边形里边了， 你看这六个角啊，就转化到一个四边形 a、 b、 b、 f 中间， 大家知道四边形的内角和呢是三百六十度，所以说呀，由此可证，这六个角的内角和就是三百六十度了，所以说这个题的结论呢是三百六十度。 来咱们接着看这个题，这三个题是同样一个类型啊，这里边要 要求什么了？叫 a 到叫 h 啊，这七个角，一二三四五六七八个角，是吧？这八个角的度数，他们的度数度数和是多少？ 那我们再看啊，大家观察这个八字模型啊，它有两条相交线的啊，那我们看一下这个角 g 和角 h， 这两个角他们的交差线了，有个 g、 f 和 h， 那 如果我们把这个 a、 f 给连起来， if 给连起来，当把它连起来以后呢？根据八字模型的这个结论，我们来看交 g 和交 s， 它们的和就应该等于这里边的这个交一和交二的和， 那这两个角呢，就转化到这个位置，那这时候呢，我们再看这几个角啊，它们构成的一个图形是这样的图形，大家看一下啊，它就构成了这样一个， 看看这是个几边形， 看这是个几变形的一二三四五 一二三四五六，构成这样一个图形啊，那我们这个时候呢，我们来算一下那这个六边形的内角和，那通过计算六边形的内角和，我们就可以得到这个结论。 那么六点以前的内角和是多少度了？这个里边我不需要详细的说了啊，大家可以用 n 减二乘以一个一百八， 这个算一下，那大家算一下这个结论就可以了。 那么从上述的这几个题里边，我们看到啊，把这模型在解决这些教的问题的时候啊， 给了我们一个很方便的一个思路啊。所以说啊，我们在最后解题的时候呢，如果出现这样的问题呢，我们可以考虑用这个模型来解决这个问题。 但在这的要声明一下，有的同学可能会提出一个问题，说八字模型是不是都是在解决 这个交的和的问题，事实上他还可以解决其他的问题啊，由于时间关系，咱们暂时就说到这个地方。
46大山老师初中数学
03:01查看AI文稿AI文稿学了三角形之后呢，这种动态的问题，翻折呀，旋转呀，哎，动点呀，好多孩子就蒙了。那么今天我们三分钟搞定角内翻模型，看一看这种翻折的模型体现出来的 底层的逻辑，以及所体现出来的辅助线。今天呢，我们来讲学霸模型的第十个模型，就是角内翻模型，同样我们来去吃透底层的逻辑，强化几何思维。 我们来看基本的模型就是在三角形这个纸片 abc 呢，沿着 d f 这条虚线给它翻折，折叠之后呢，是向内翻折的啊，向内翻折，那么这个点 c 呢，就落在了这个四边形 a b f e 这个内部，那么这个时候翻折了之后，我们来看一下，先来看它的结论是什么？那二倍的角 c 就是 这个角二倍的角 c 等于角一加角二， 那么同样需要去做的辅助线呢，还是去连接 c c 一 撇，这个时候就构成了一个三角形，同时还是三角形的外角， 所以这种图形里边去找隐藏的条件，大家一定要给他抓好。那么角一就是三角形 c c 撇 e 它的一个外角，那么同样这个是角三角五，因此呢，角一就等于角三加角五， 而角二就等于角四加角六，同样角一和角二呢，都是外角，然后把它相加，就是角三加角四就是这个角 c， 角四加角六 啊，角五加角六就是这个角 c 撇，也就是角 e c 撇 f， 那 么这里的角 e c f 和角 e c f 这两个角呢是相等的，因为呢，在这里 是翻折，翻折之后呢，所以这两个角就相等，因此就可以得到二倍的角 c 等于角一加角二，那么这里呢，同样还是两个，第一是利用三角形的外角，第二是辅助线的构成，因此它体现出来的底层的逻辑。第一点 是翻折的全等性，这个全等性呢一定要从两个要素去看，一个是边，一个是角，第二个呢就是三角形的内角和与外角的性质，第三个就是角的和差辈分的关系，那么体现出来的辅助线仍然是去构造三角形。 最后呢，我们给大家提炼了他体体现出来的几何思维和代数思维，其中几何思维呢，就是转化思想，要通过辅助线转化为三角形，而对于这个角的计算里边 用到了很多的代数思维，那么就是代换思想，还有角一啊，还有肖元思想，那么比如说角一等于两个外角的和角二这两个相加，这就是今天我们所要讲的三角形的角内翻模型，谢谢大家。
03:00查看AI文稿AI文稿好多孩子啊，一做到三角形的有两条角平分线的这种题目，可图形的时候就不知道该怎么去，从哪里去思考，不知道该怎么去综合分析。那么今天我们三分钟来参透三角形的双角平分线这个模型， 同样的也是学霸模型的第十三个，我们来吃透他的底层的逻辑，进一步强化几何思维。 双角平分线模型呢，一共有三个模型，那么分别是双内角平分线的以内以外的和双外角平分线呢？ 首先我们来看基本模型一，这个呢就是两条内角的平分线，那么他的夹角呢，就是角 d、 b、 d 平分角 abc， 平分角 a、 c、 b， 那 么这个时候得到的结论就是中间的这个大角 b、 d、 c 等于九十度加上二分之一角 a， 那么这个推导的过程呢？这个是角一，这个是角二，那么角 b、 d、 c 呢，就应该等于一百八十度减去角一， 加上角二，这个括起来，那么这个角一就又等于二分之一的角 abc， 角二又等于二分之一的角 abc， 那 么这样的话呢，就有一个二分之一可以提取出来，就是二分之一角 abc， 加上角 a、 c、 b， 那 么这两个角的和就是一百八十度减去角 a 了，所以呢，再代入进去，就得到了这样一个结论，那么这个是模型一两条内角的平分线，那么这个角夹角 就是九十度加上二分之一角 a， 如果用语言来叙述的话呢，就是三角形的两条内角的角平分线的夹角等于九十度加上二分之一的第三个角。 好基本模型二呢，这个呢是两条外角的平分线，那么 b、 d 和 c、 d 分 别平分角 e、 b、 c 和 f c b， 那 么这个时候得到的结论是九十度减去二分之一角 a， 证明的方法和上面是一样的，同样那么 利用的是三角形的内角和以及角平分线，还有就是角的和差辈分的关系，那么同样的还有模型三，模型三呢，就是以内以外 b、 d 是 角 abc 的 内角的平分线，而 d、 c 呢是 角 a c、 b 这个外角的角平分线，那么这个时候得到的结论比较奇怪了啊，这个也是比较特殊的，就是这个角 b， d、 c 等于二分之一的 角 a， 那 么这个都是和二分之一角 a 都是有关系的，所以呢，这三个模型大家放在一块去看，那么综合起来的话，它的底层的逻辑就是要利用 三角形的内角和以及图形中的角的和差辈分的关系，这个就是我们今天所要讲的双角平分线模型。
00:53查看AI文稿AI文稿如果你能从初一开始就让孩子接触动态问题，越早看，开窍越早。等到中考，别人看到压轴题只会写个解字，他分分钟就能做出答案。就是这本万维初中图解数学、几何、函数各一册，全国通用， 初中三年都能用，里面整整三百五十个动图，一题一码，孩子用手机扫一下，就能亲手拖拽。旋转图形，什么线段动点等幺三角形分类讨论。圆的最值问题 再也不用靠死记硬背了，新手操作一遍，变化原理秒懂。他把中考常考的一线三等脚、手拉手模型胡不规问题都总结好了，具体的解析思路还做成彩图加流程图的形式，步骤清清楚楚， 孩子自己就能跟着学，家长再也不用发愁不会辅导。现在下单还送超多电子资源。幺二零到几何加幺二零到函数练习题和五十三个热考模型。总结近三年一百套中考真题，从初一用到初三，把中考二十五分的动态题全吃透，成绩想不涨都难！
0熹妈咪✨
