二面角模型求外接球半径推导过程
讲一下一直在用的这个公式啊，它是什么呢？二面角背景下的外接球公式，这种题目呢，一般会给你一个三龙锥或者是四龙锥，然后给一些冷场，还有呢就是有两个面的夹角， 根据这些条件让你求这个外接球的东西啊，那这个公式的 mnc 他还有 l， 我说一下啊， m 呢，就是他， n 呢，是这条 l 呢，是这个 ab， 也就是这两个平面的胶线，然后这个谁，他是什么呀？就是那个二名角，那在这个图里面呢，那个谁，他的话就是这个。 那我具体的说一下， mnl 到底意味着什么？这一条 m 它是什么呢？ 他是这个侧面 pab， 这个侧面外星到交线的距离这段，恩呢，也是底下这个平面外星到交线的距离， 这里具体是三龙锥四龙锥无所谓，他只要是外芯到底面的距离就行了。那既然都是外形的话，这个点 m 是不一定是中点垂镜定理吗？ 然后那个 l 是胶线的长，我们就不用说了啊。我先说一下这个阿芳，他到底是哪个购物定理算的啊？ 他是用的这个三角形 bmboom 这样连起来是一个直角三行吗？假如说这段是 x， 那这个 bm 的话是不二分之 l， 然后欧币的话就是半斤啊，所以 x 方加二分之 l 的平方等于二方，那我这个 l 我是知道的， x 怎么算？ 所以这一部分其实就是在算 x。 那我再来解释一下这个东西啊，这个东西其实很好解释的，你先看分子啊，分子是不是很显然他是一个余弦定理啊，这个东西他就表示了谁，他所对的那个边的平方吗？ 所以他肯定是一个 d 的平方，然后除以三平方，你想 d 除以三 c， 他这个，这个 c， 他和 d 他俩是对着的呀。所以其实什么就是正线定理， a b c， a 等于 b， b， c， b 等于 c， b， c c 嘛？ 他是不等于二二。还记得这个是什么吗？是这个三角形的外界原直径啊，你从这个角度去触发，去想的话，其实很好理解，这个东西就是一个鱼线定理和一个正线定理，求的是什么呢？求的是一条直径的平方。 我们把 mn 单独拿出来啊，这一段是 m， 这一段是 n， 因为 oo 一垂直整个平面吗？所以这个是直角，这个也是直角。现在我们要求的是 om， om 是那个 x 吗？那我们来看啊，既然这两个角都是直角的话，这四个点是不是共圆？ om 是两个直角，三形的斜边是不是就是直径啊？那这条直径是不是可以这么算？可以算 o oeo 二 m 这个三角形，它的外接源直径，对吧？这个三角形的外接源和这个四边形的外接源是一样的，所以 oeo 二的平方，它就等于 m 方加 n 方减去二 mn q 散 c 他， 那我欧一欧二比上 sanseit 是不是就是 om？ 他就是外星人，致敬吗？所以 om 的平方就等于他的平方，这样的话就等于我们这边这个东西了。 那这个 om 是我们刚刚设出来的 x， 然后带到这里面就行了，所以二方就等于这个 x 方， 然后最后再加上这个四分 gl 方就行了，那这个公式就推倒出来了。
粉丝3602获赞1.7万
相关视频
26:59
09:01查看AI文稿AI文稿我们接着来看外接球的题型，是二面角模型。先看知识数理。我下面这个图啊，这里的 o 呢，肯定是外接球的球星，用大 r 表示的是外接球的半径。 oeo 二是两个小圆的圆心， l 呢，是交线的长哈，这里的 a 是交线的终点，这里的 m 和 n 分别是两个小圆的圆心，到交线的距离随他是二面角。 然后我们就可以推出这个外接球的半径的公式。这个公式比较复杂啊，所以背起来呢，有点难背，但是你一定要背下来啊，你 因为这个公式的推导过程很复杂，如果你现推的话，可能在考场上你够枪有时间，或者是够枪能推出来啊。好， 接下来我们就推倒一下。嗯，要求的是半径是不是？那我在这个图里头半径我说这个点是 b 啊，半径我是不是离可以看成是 ob 啊。 o b， 那也就是大 r 就等于 o b， o b 等于什么呀？是不是等于根号下 o a 方加上 a b 方 就等于个号下 o a 方加上 a b 是四分之 l 的平方 对不对？那接下来我只要算出来 oa 就行了，是不是？ oa 看着也挺别扭哈。我们这样我把中间的拿个四边形给单独画出来，看看这里头的 oa 到底是什么，怎么算啊？ 这是欧，这是欧一，这是欧二，这是 a。 很明显这是谁？他？而且这是直角吧， o o 一垂直于下面的面， o o 二垂直于那个耳法是不是？这两个角是指甲。哎呀，那 oa oa 是什么东西了？ 这两个角是直角，说明四点共圆了是不是？而且 oa 是不是这四个点对应对应的外接圆的直径呀。那我设他是二二 可以吧。我要求 oa， 也就是求二倍的小 r， 那二倍的小 r 怎么办呢？ 咱们知道的是这是 m， 这是 n， 但是欧欧一和欧欧二不知道呀。那我可以这么做，我连接一下欧欧二，你看 三角三。呃，三角形 a o e o 二。这个三角形的外结缘和这个四边形的外结缘是不是一样的呀？那既然是一样的，我就可以求左边三角形的外结缘的直径是不是？那我用什么公式啊？正线定理。 也就是说这里的 o a 不是等于二 r 吗？二 r 还等于 o 一 o 二。比上赛 c 的正前店里的公式是不是？那这里头的 o 一 o 二是多少？ o 一 o 二啊？ 在左边这个三角形里头，一个 m 一根还知道一个角，这个三角形形是不可解了。我可以用什么公式？鱼线定理哎。所以你看这个推导过程是不是特别复杂呀。它等于 m 方加上 n 方减去二 m n 扣三 c 的， 这没问题吧？嗯，所以 o a 方是不就等于二 r 的平方，就等于 o e o 二的平方？比上赛方随他是不就等于 上面是 m 方加 n 方减去 rmn 口塞塞的，下面是塞方塞的这 oa 方是不算出来了。那我再带到最上面的公式里头。所以 大二就等于个号下 m 方加上 n 方减去二 mn 口塞塞他， b 上塞方塞他加上四分之二的平方。 公式一定要背牢了啊，因为这个推倒过程时间是有点复杂啊。当然了，推倒过程尽量会啊，最好也会啊。好吧，然后我们接下来就看例题。 第一，他说在三棱锥 p a b c 中， a b 等于 a， c 等于 b， c 等于二，是一个等变三角形是吧？ 然后 p a 等于 pb 等于二， pc 等于高二三则三郎追。 pabc 的外接球的半径为多少？先画一个图， 然后把它给的量标上哈， a b 等于 a， c 等于 b， c 等于二，这都是二哈。然后 pa 等于 p， b 也是二。 然后 pc 是个号三， pc 如果也是二就好了，那就是正四面体了。那最简单了是不是？但是偏偏他给的是个号三。然后求 pabc 的外接球半径。这个图应该很熟吧。为什么呀？下面的面是等腰啊，等边， 左边的面是等边。你都有俩等边了，那怎么办？可以连终点啊。之前咱们讲了以一道类似的题，是不是连终点？我说他是嘚啊，这么一点。 那 p 的是不是垂直于 ab？ 并且 c 的也垂直于 ab 吧，是不是？那所以这个角是什么？ 这个角是不是两个平面？呃，所成的角啊。也就是说 p a b c 这个二面角对不对？那这个二面角如果能求出来呢？不就是二面角模型吗？是不是？然后你看左边的面是一个等边，边长为二，所以 p 的是多少？明显是个二三。同理， c 是不是也是个号三？所以这个角随他是多少度？是一个很好的角是不是？那我就可以套公式了呀。大二就等于个号下 m 方加上 n 方，减去二 m， n 口散随他比上散方随他加上四分之 l 方对吧？然后这里的 l 是多少？ 交线嘛？ l 等于 ab 等于二是不是？那接下来我要求的是 m 和 n， 这里的 m 肯定是等于 n 的，是不是？因为呃右边呃左边的和下面的都是一个等边三角形。然后我把这个三角形换一下啊。 a、 b、 c、 m 和 n 是什么呀？应该是这有一个小圆的圆心 o 一吧。 o 一到交线的距离， 这就是那个 m 了是不是？他是多少？因为 a b 是二，所以 a 的是一。那在这个三角形里面， o 一的是不是三分之二三呢？所以 m 和 n 都得是三分之二三是不是？ 好了，那我就带公式。 上面是三分之一加上三分之一，减去二乘以三分之个号，三乘以三分之个号，三乘以。口才六十度。二分之一， 比上二分之二三的平方四分之三，加上四分之 二的平方四分之四，等于算一下呗。那里面应该变成了三分之二， 减去三分之一，比上四分之三加上一，这个地方是三分之一哈。那就是九分之四加一个号九分之十三，三分之二十三。 那就完事了吧。这道题要的就是半截哈。那我就把这个写上， 你看，虽然公式复杂，但是如果你背下来公式，哎，一下就一个公式就完事了是不是？好吧，这道题我们就讲到这里。
195姜正霖高阶数学
01:37查看AI文稿AI文稿数学的学习公式更重要还是方法更重要？好多同学说我找了外星，我也做了垂线，我找到了球星，但是最后我的球的半径怎么去计算，这就是关键。我们最后的公式不重要，重要的是推倒的这个过程。 我们来看二面角类型的外接球问题。三龙锥一定会有外接球的，我们假设这个二面角题目告诉你是 c 塔角， bc 公共棱是 l 这个长度， 第一个圆的外接圆的半径是 r 一，第二个圆的外接圆半径是 r。 根据具体的题目，你还能求出这两个外星到公共楼的距离，一个叫 m， 一个叫 n， 那么我做出垂线，两垂线的焦点就是球星，那球星外星所在的这个平面 一定要把它构建出来，那这就是个平面几个问题。那凡是二面角这一类，我们做这个四边形啊，一定是 两个角为直角的四边形，这两个角都是直角，也就是说 o o e m o o 二 m 都是直角，两个角都是直角的话，这个四边形会四点共圆，与 o e m o 二这个三角形的外接圆是同一个圆。 那我们 o 一 mo 二这个三角形两边及夹角你都知道。你可以先用鱼线定理算对边，再用正线定理算出外角线的半径，也就是 om， 你就可以计算出来了。而 omb 这个是个直角三角形， o m b 是直角三角形，呃，外球员的直径和 m b 也就是二分之 l， 再过固定力，那就是球的半径就出来了。还是那句话，公式是其次，你要学会推倒的过程。
165我爱备课
06:24查看AI文稿AI文稿在做立体几何的外接球的问题的时候，我们常会遇到这样一类问题，就是把一个平面的图形，把它进行翻折，变成一个立体图形，然后告诉我们这个翻折之后这个二面角的大小，让我们球对应外接球的半径。 这类问题呢，往往是在压轴体的这个位置出现，难度较大，但是如果我们使用下面这个公式，我们就可以轻松来解决，我们把这个公式叫做双距离单交线公式，那也就是这个公式。 下面我们具体说一下这公式是如何推倒的啊？好，我们看这个右侧这个图形，它是一个四边形 abcd， 我们沿着 ab 把它折起来，形成一个二面角的大小是阿尔法。那么现在呢？我们怎么去求对应折完之后这个 几何体外接球的半径呢？那我们一般的思路应该是先找到这个几个体外接球的球星，然后我们构造一个直角三角形，利用勾股定理来求他的半径。 好，我们具体来看一下。首先我们先找到这两个面所在的外接圆的圆心 o 一 o 二，我们再取这个公共栏的终点 为 e， 那这个时候连接 o e o r e， 显然 o e e 是垂直 a b， o r e 也垂直 a b， 我们再过 o 一做这个面 a b d 的垂线， 做过欧二做面 abc 的垂线，那这两个垂线的交点 o 就应该是球星 的位置。好，那我们现在看一下，我们得到以这样一个四边形，就是欧欧一一欧二， 那我们注意到这里边的这个 a b 这条线，因为他和 o e e 和 o r e 都垂直，所以他和这个面是垂直的，那现在呢？我们如果连接 o e， 是不是 a b 和 o e 显然也是垂直，我们再连接 o a， 再连接 oa， 那 oa 是不是就是这个外接球的半径啊？我们把这个三角形单独拿出来啊，这是一个直角三角形 o e a 是吧？这是支架，那这个是外界球的班级 r， 我们现在想要求这个 r， 只需要把这两个边表示出来就可以了，一个是 o e， 一个是 ae， 是吧？好，咱们去求这两个边呢？我们下面具体来看一下，那这里面我们设一些量，呃，首先我们设这个 oee， oee 这个长度是 m， 那 o 二 e， 这边是 n， 然后呢？ ae 是二分之 l， 包围就是圆的半径二，那我们现在看啊，我们先把这个蹭掉了，把这个三角形蹭掉，我们看这四个点， o o e e o 二是不是应该是四点公园啊？因为这个是直角，这个是直角，所以这四个点是公园的，并且我们能得到这个 o e， 应该是这个圆的直径吧？啊？直径组队员，正角直角四点公园，那我们现在怎么去求 o e 呢？ 我们是得说一道解三角形的问题，我们把这个四边形我们单拿出来看一下啊， 单独拿出来看，这是 o， 这是一，这是 l 一，这是 o 二，是不是？ 那这个，因为我们说这是 m， 这是 n， 然后这个角呢？是二面角，这个是不是二面角二法？我们说这二面角是二法，因为这里面这个 o 一 e 和 o 二一都和这个狼吹直，所以这个角是不是就二面角平面角，所以这角是二法。那现在我们利用鱼选定理， 是不就能把这个 oeo 二表出来，这是第三边，他的平方等于 m 方加圆方加二， m 口才二法，这是完全能求出来的。好，那么 oeo 二能求出来，我们怎么去求这个 oe 的长呢？ oe 是这个四点公园这个圆的直径， 那这里边我们可以利用正线定理，因为这个 o 一 eo 二，他的外接员是不是也是这个员？那他的这个外接员的直径等于什么？是不是利用正线定理，他应该等于这个 o 一 o 二 比上三也。阿尔法正好是外剧员的直径，也就等于谁欧意，所以欧意咱们是不是就能表示了？ oe 能表示之后这个 a e 这个长度是谁啊？是这个 ab 的一半是二分的 l， 那这两个都知道，我们就可以把这个 r 方表出来， r 方就等于 o e 方加上 a 方，那 o e 方呢？我们这里边看 o e 方是不是 欧一方等于欧一？欧二比上赛尔法他的平方呗。所以下边就赛尔法方，上边是欧一，欧二的平方 就是这个 m 房间 npc 二 m 口才二放，再加上 ae 的平方就是四分之一了方，我们就得到了这公式。好，那么这个公式里面我们看社交一共四个量，分别是 mn、 l 和阿尔法，这四辆分别表示什么？阿尔法表示的是这个二面角的大小， l 表示这个是公共弦的长度， mn 分别代表的是对应这两面 外界圆圆心到这个棱的距离。那这个 m 怎么求呢？那我们看一下啊，咱们比如说这个 ab 底下这个面 abd 是吧？这个外接员的圆心是 oe， 那这个应该是终点是 e 是吧？怎么求这个 oe 的长呢？我们可以连一下这个 oea， 因为 oea 就应该是这个外界有二的这个半径，小二，我们说小二一，然后这个 aeee 是二分之 l， 我们可以使用勾股定理，是不是就能求出这个 oee 的长度？同样这边这个 o 二 e， 我们一样也是利用这个去求， 所以说我们这里边只要找到这四个量，我们就可以解决这类问题，利用这个公式可以快速的求出这个几个体外界球的半径。那么下面我们就具体举一些个例子来看一下。
452延龙高中数学
02:52查看AI文稿AI文稿大家好，这个视频我们来讲解外接球的加餐部分。前面的视频我们已经讲了八个常见的外接球模型，后边的模型他的适用范围更广一点，当然他有自己的现实条件。我们先来看第一个模型，二面角模型， 这里把 c 和地连起来就可以得到一个三轮锥，而我们要使用这个模型，就需要制造一个非常重要的数据，就是 cabd 这个二面角的大小。那么也就是说题目中如果出现了二面角，或者说我们可以计算出二面角，那我们就可以考虑使用这个模型。 我们要明确一点，任意的一个四面体，他一定会有外接球，那我们怎么样才能找到这个外接球的球星所在位置呢？随 随便找两个平面，并找到它的外界圆心，通过圆心往对应的平面引垂线，垂线的焦点就是外界球的球星，也就是图中的点。欧，我们把我们需要的数据给它射出来。二面角，也就是角 oeeo 二，我们把它设为埃尔法 oee， 我们把它设为 mo 二 e， 我们把它设为 n。 这里的点一 就是交线 ab 的终点，交线 ab， 我们把它设为 l。 那么 oa 的长度很明显就是大儿，怎么才能计算出大儿呢？就是在三角形 oea 当中使用勾股定理下来，我们先来看一个四边形， 对于这个四边形 ooeeo 二而言，其实就是两个直角三角形拼接在一起的，那么也就是说这个四边形它的对角互补， 也就是说这四点一定会共圆，那么这个 oe 就是两个直角三角形的公共斜边，也就是这个外接员的直径，那这个外接员的直径还可以怎么来计算呢？我们可以在三角形 oeo 二 e 当中使用正线定点来进行计算，所以 oe 的长度会等于 oeo 二的长度比上塞眼阿尔法。 那这个 oeo 二的长度怎么来计算呢？当然就是鱼线定理了。下来在三角形 oea 当中写出勾股定理，把我们刚才得到的数据进行替换，就可以得到外界球半径的计算公式。而这里边我们需要知道四个非常重要的数据， 就是 mn， 二面角埃尔法以及郊县 l。 下来我们来看一个练习题，已知三人追 dabc， 所有顶点都在球球的球面上。三角形 abc 是以边长为两倍，根号三的正三角形。三角形 abd 是以 bd 为斜边的直角三角形，且 ad 等于二二面角， cabd 为一百二十度，则球的表面积为多少？ 这里出现了非常明显的模型特征。下来我们大概画出一个图，然后明确一下我们的目标。我们需要知道四个数据， mn 以及胶线长和二面角。而胶线和二面角题目中已经告诉我们了，这里的 mn 呢，分别是两个三角形的外支圆圆心到胶线 ab 的终点，也就是点一的距离。 那么对于这个三角形 abc 而言呢？因为它是一个等边三角形，所以 oe 的位置就会在 ce 的三等份点上，所以 m 等于三分之 ce， 而 ce 的长度可以通过勾股定理来进行计算，所以我们可以得到 m 等于一。那对于这个 三角形 abd 而言，因为它是一个直角三角形，所以这个 o 二的位置一定会在斜边 b d 的终点，那么我们把 o 二和 e 连起来，根据中位线我们就可以得到 n 会等于二分之 a d， a d 题目中告诉我们等于二，所以我们可以得到 n 等于。一下来我们摆出公式带入数据就可以得到 r 方等于七，然后带入面积公式就可以得到外接球表面积。
855求索数学
02:09查看AI文稿AI文稿今天我们来讲一下外接球问题当中的三者模型。布尔教双距离单交线问题，这种模型的应用场景是已知或者可求得二面角的椎体，方法直接套用公式即可。下面首先我们对这个公式进行一下推导。这里我们做两个面的交线的终点为 点 e， 两面所夹的二面角为角。阿尔法 o 一 o 二分别为三角形 abc 和 abd 的外结圆圆心点 o 是这个椎体的外界球的球星。 昨天我们讲过，外星是中垂线的焦点，所以 o e e 是垂直于 ab 的， o 二 e 也垂直于 ab， 那么很显然， ab 是垂直于面 o 一 o 二 e 的。因为直线 oe 是属于面 oeo 二 e 的， 所以 a b 是垂直于 o e 的。那么在直角三角形 o a e 当中，根据个股定理， o a 的平方就等于 o e 的平方加 a e 的平方，也就是 r 方等于 o e 的平方加四分之 l 的平方。然后因为 o o e 是垂直于 o e e 的，所以三角形 o o e e 就是一个直角三角形。昨天我们讲过，直角三角形的外星在斜边的终点上，所以这个三角形的外形就在斜边 o e 的终点 p， 那么他的半径就是 op， 同理可得三角形 oo 二一的外资源圆心也在点屁上，半径也是 op， 那么我们可得 oo 一 o 二一 四点共圆，半径就是 o p。 所以这里我们就可以利用正弦定理，二倍的 o p 就等于 o e o 二。比上三银耳法，因为 o e 等于二倍的 o p， 所以可得 o e 就等于三银 r 法分之 o e o 二。而根据余弦定理，我们可得 o e o 二的平方就等于 m 方加 n 方，减去二倍的 m， n 不赞扬而法。经过整理我们就可以得到这个公式。下面我们通过一道立体来看一下这个模型的应用方法。这里我们做 ab， 终点为点 e。 根据题意，三角形 ab， c 和 abd 是全等的等边三角形，那么中垂线 c， e 就等于 d， e 等于三倍根号三。因为我们知道等边三角形的外星是在中垂线靠下的三等分点上，所以我们解得 m 等于 n 等于根号三。 然后又因为 e， c， d 是等于三角形，并且 bncd 等于九，所以我们可得二面角 o 一， eo 二等于一百二十度。然后题目已经给出公共边 ab 等于六，所以将这些信息都带入方程，就可解得外界球的半径下课。
1952高中数学蒋一刻
04:36查看AI文稿AI文稿上节课我们讲了一个技巧，结论利用他可以三十秒秒杀做题都背下来了吧。那这节课老师讲一下他的原理，同学们试着推倒，可以加深记忆哦。 呃，同学们大家好，我是朱朱老师。今天依旧朱朱老师带领大家冲刺高考数学幺四零。上节课讲了一个结论啊，就是在三棱锥中啊，在三棱锥中如果有两个直角三角形怎么办？有公共斜边。那么这个三棱锥的什么 外接球半径就是什么？二分之一斜边对不对？ 二分之一斜边。但是呢，咱们今天讲下什么？为什么呀？对不对？为什么呀？你想想球星是什么东西啊？球星是指的是 到各个。你想你要是外接球的话，你是不是各个顶点都在球面上？就是 a b、 c、 p。 既然是外接，一定各个顶点都在球面上，对不对？这才叫外接。那什么叫球星呢？球星应该到各个顶点的距离怎么办？都相等。所以说如果 如果这个鱼球心在这个位置的话，咱们刚才说的是斜边的一半吗？那说明这个球心在这个斜边的终点。如果球心在这位置的话，说明到若 o 是终点。你看 o p 等不等于 o c 啊？当然等于了。你看，咱们连接 o b 啊， 把 o b 连接起来。你看在直角三角形 p b c 中斜边中线。你看 o p o b 啊， o b 是三直角三角形 p b c 的斜边中线，斜边中线等于斜边的一半。所以说 o b 得谁？ o b 等于 o c 等于 o p。 同理，连接谁啊？连接 o a 在直角三角形 p a c 中。然后呢？ a o 是斜边的中线，斜边中线等于斜边的一半。所以说 o a 等于 o， p 等于 o c。 你看 o p 等于 o， c 等于 o， a 等于 o b。 这些边都相等。你看顶点到各个顶点距离相不相等，相等了。那当然 o。 就是嘛，就是 这个三棱锥的外接球的半径了。外接球就什么半径了？外接球的球心对不对？那这就是今天讲的原理啊。原理咱懂的话太简单了。太简单。你看这个题啊，他说什么一个四边形，随便画一下呗， 我们随便划划一下。这么这么地 啊，这角多少度啊？ 这角 b 吧。角 b 九十度半。然后呢？呃，我看一下，这是角 b。 这是角，我看角。还有哪角？角 d 也九十度半。然后呢？你看他说角 a c d。 假如这是 a 呗，这是 c 呗。 a c d 多少度啊？ a c d 三十度，能标照呗？ a c d 三十度。然后呢？他说 a b 得几？ a b 等于二， b c 得啊。那根据购物定理呢，这个 a c 得几？二倍杠二百根本就不用算了。为什么呢？你看它是沿着三角形， 将三角形沿着 ac 折叠，然后呢？这二面角。这东西看着好唬人啊。这一看，哇，好难啊。其实跟这个知识点没啥关系的，但是通过这个知识点也能算啊。但比较麻烦。你看他说的是三棱锥的外机球半径。外机球面积啊。那当然先算半径了。 那你怎么办呢？咱教过的就是三分之一的外机修半径，因为它是有两个，就是两个制药三线，有个公共斜边。那所以说外机修半径是什么？是二分之一公共斜边对吧？那公共斜边是谁啊？是 a c 呗。 a c 的算成几啊？ 是二倍根啊。所以答案就是啊根啊。那所以说那外求并外求的表面积怎么算呢？四派啊的方，那就是四派乘以什么根号二的平方。答案就是 八派。呃，如你懂的话，其实你不用像我这么麻烦，其实看一眼啊，这公共斜边 ac 一算，然后呢？外界修半径就是一半，就跟啊，然后四排牙的方。最后多少秒？三十秒 怎么办呢？一道选择填空 so easy 对不对？三十秒到选择填空 so easy。 呃， 我希望大家呢就是把我的视频呢多看几遍。呃，彻底学会这个模型。这样话，咱们在做题的时候中就是胸有成竹嘛。你看看一道会一道。哎， 看一眼，答案出来了，是不是可以装一装在同学面前。哎呀，我还蛮厉害的嘛，是不是？今天就到这里吧。呃，谢谢大家，拜拜。
73高中数学猪猪老师
00:57查看AI文稿AI文稿只要题目中含有二面角，我们都有一个球，外接球半径的一个终极公式。今天呢我们要强调一点，看例题， a 的等于二， b 的等于二， a 比等于两倍的根号三，那就说明 a 比的是一个钝角三角形，那么他的外接员的圆心应该在外面， 我们这里呢可以补一个三能追，那么大家会发现三能追的 a 比 c 和三能追一， a 比 c， 他是供球的，也就是他们外接球是同一个球。 那么问题来了，这里面这个阿尔法这个二面角，我们是用这个角还是用他的补角好？这个题我们要说一下，他是用他的补角这个原理还是在于我们怎么样去推出这个外接球的终极公式？ 本题为什么要用它的补脚这个二面角，大家一定要把原理搞清楚，这个原理大家可以看我前面的一个视频。
1178高考数学米青老师
00:0822.4万大头
14:58查看AI文稿AI文稿大家好，现在讲一个傻瓜法球四面题的体积，以及他的外界球和嫩切球的半径和二棉角的简便方法，具有初中水平的学生都可以学会。 现在看市民体，他的三条愣分别是 a、 b、 c， a 的对愣是 m， b 的对愣是 n， c 的对愣是 p， 那么他的体积就等于十二分之一。根号下 fs 加 gs 减 hs。 我们写的第一步是把对楞写在一起， a 写成 a 的平方，他的对楞写成负的 m 方， b 写成 b 方， n 写成负的 n 方， c 写成 c 方， p 写成负的 c 方，负的屁方就是写成坐标，并对重坐标添势。 fx 是四倍的横乘，四倍的横坐标乘横坐标，我们简单说四倍的横乘， 这是 fs， 那么 gs 就是一中加两横，三相乘相乘一中，这是中坐标加两横 负 m 的平方加 b 方加 c 方负 n 的平方加两横加 a 方， c 方负 p 的 平方加两个横坐标，一中加两横，三个相乘。我们得到了 gs， 这一步一定要好好记住，我们把这个算出来，这个算出来具体数字的时候， a 的平方乘他的平方，横坐标乘以他的平方， b 的平方乘以一中加两横他的平方负 p， c 的平方乘以一中加两横他的平方。然后代表这里求的就是失眠题的体积， 如果不适用这个公司，很多人是算不出来的。这是我们的老祖先秦九勺 在很早的时候就算出来，中国的工匠们， 比如鲁班 他们都会用这种方法来进行计算。下面我就讲一个立体， 如图所示及数据求体集。这个市面体二二二右侧面是一个等边三角形，后侧面也是一个等边三角形，他们的边长都是二， 这个右侧面他是二二跟六，底面是二二跟六，求他的体积。首先我们找一个 点 fs 就是 s 为顶点，二和他的对愣，二写成四，对愣根号六写成负六， 然后红色的二写成二的平方，二写成二的平方天号，这个蓝色的他是二，二得四， 那么他也得是写成富豪。这一点我想每一个人都可以写出来。先上 fx， 四倍的横城，四倍的横的相城是城市，城市就这个市走到这里，这个市走到这里，这个市走到这里， 这是 fs 有了，下面说 gs， gs 叫做一横加两横， 一重加两横，负六加四加四，负六加四加四，然后是负四加四，再加负四， 然后是负四，一重加两横加四加四。那么算出来之后，我们不要算出具体的结果，是二乘四乘四， 下面我们来算，这是 g s， 下面来说 h s h x 是四乘以二的平方， 写到这里。第二个是四乘以四的平方，写到这里是加的四乘以四的平方，写到这里，那么 fsgshx 都有了。到最后的时候我们把它带到这里十二分之一根号下，第一个是的是脂肪， 第二个二乘四的是指方减四乘二的平方加四乘四的平方，加四乘四的平方 走到这里，然后我们都提出一个四的平方，那这个提出四的平方变成四的平方，这个提出来之后剩二了， 这个提出来省一，他提出来四的平方省四四，所以四十六加二十十八，这个是九，那么得到他的体积就是一，这 那我们就算出了这个体积，如果不用老祖先的清酒勺工式，那么我们算出他的体积 不是太容易，尤其是这个题，我把它变成了等边三角形。如果这些问题在实际问题中， 数字波不是简单的整数，你算起来就非常的麻烦，几乎是算不出来的。下边我们再来算一下他的外接球的半径。 外接球的外接球的半径相对冷成机，我们把相对冷 a 和他的相对冷 m 的成机 b 乘以他的相对愣 mnbncp 相 对了的成绩作为一个三角形，虚拟的三角形的三条边，然后求他的面积，他的面积我们仍然使用的是秦酒勺公司 秦酒勺面积公式，这在我们教材中是选读内容，教材中有选读内容， 那么它的面积系数是四分之一。 am 加 bm 的平方减 cp 的平方， 整个用中国号扣住，然后是对 o 写法 cp 的平方减 vm 减 bn 的平方。有了 这个虚拟三角形，三边长是 ambn 三角形的面积，那么外接球的半径就是 s 除以六 v 六倍的体积， 这就是外接球的半径，他是一个傻瓜型的方法，所有的人都可以学会，对任意的外接球，我们都可以用这种方法来算，下面我们举一个例子， 求外接球的半径，如图这个图我们已经上过，他的体积是一，求他的外接球的半径， 下面我们求他的虚拟三角形。我们首先来看一看，二乘二 等于十，红色的二相乘也等于十，然后黑色的相乘二和跟六相乘二倍的根号六，这相当于虚拟的三角形的山边， 那么他的面积面积系数是十分之一，四加四的平方减二百跟六的平方，然后用对偶， 外国人称之为共恶的，我们叫做队友，我们主先说他是队友，等于二百的跟六的平方，减四减四，四减四的平方，因为这里可以保持是零， 那么这里八八六十四，这个减上二十四，四十， 这个是四二十四。最后中算出来的结果是二倍的根号五，这就是虚拟三角形的面积是二倍的根号五，那么外接球的半径就等于 s 二倍的根号五，除以六 v 就是六乘一，因为体积是一二倍的根号，五月份之后，他的外界球的半径是三分之根号五。 下面再讲一这个问题，就是球嫩嫩切球，不是借嫩切球的板筋 嫩气球的弯径如图微等于一，还是把它 的体积算出来，九嫩接九的半径二小二嫩使用等体积变换。在这里，这个面和后边的那个面是等边三角形，所以 s 一等于 s 二都等于二分之根三 二分之三。因为等边三角形的面积公式是十分之三乘以边长，这是等边三角形， 这是他的面积。然后还有两个等幺三角形，全等的就是他的右侧面和底面三角形，两边都是二二二，这边长是跟六，所以 s 三等于 s 四 就等于四分之二加二，然后指使跟六的平方再乘以跟六的平方减二 二乘二。这个摆布是有讲究的，如果我们这里写成二加跟六，算起来是比较复杂的，但结果都是一样的，所以说他的面积是二分之根号五，二分之根号五，那么有了这两个车面的面积， 我们这套的内切球的球星到三四个面的距离相等，他就是内切球的半径，所以微就等于三分之一的二。内切球的半径成一个底面，两个地面，三个底面，四个底面， 因为我们假设了这个球的体积是一三分之一零点九的半径，这两个相加就是二分之二倍的根，三加二分之二倍的根号十五，我们把二 那些球的半径解出来，在分一亩油里画结，结果就是四分之一根乘以根号是三，减根号五，这就是球嫩切球的半径。下面我们来讲一下球二面角的平面角， 如图给出数据，体积为一，求二面角 a、 b、 s 是 b、 c， s 的正选址， 使用空间正弦定理，空间正弦定理或者是空间正弦定理的类比。因为我们原来的 面积是二分之一 a b 三一 c， 那么他要变成体积，那他就变成三分之二， a， b 就变成两个面积 s 一 s 二，那么这个三 ec 就变成了三 ec， 他二面角的平面角除以他所在的愣， 这一点你要记住他的体积等于三分之二这条愣了，那就是 a、 b、 c 这个平面和这个平面同一愣，引出两个半平面所在的两个三角形的面积， 他代替了这里的 a 和 b， 这是类比的三 c， 他就是以 bc 为愣的二名角的平面角，这时候我们不能 直接的写个三 c 他，因为他类比了以后，他变成空间图形了，还需要除以楞长 bc， 那么现在三角形这个底面和这个底面三角形是相等的的，四分之一前面已经算过是二分之根和十五， 那么他的体积就等于三分之二乘一个面加这一个面，二面角的这两个面二分之根五，二分之根五三一 c， 他就是二面角平面角的正选子，再除以愣长，这样我们就解得了 他的二明角的平面角的正悬直是五分之根号六，五分之根号六，究竟他是锐角还是钝角，你 根据图形来加以判断。这就是当我们知道了体积如何求外接球的半径和内切球的半径以及二棉角的平面角， 这些傻瓜的算法就是算到这个时候，大家需要用到了体积公式，那么前边的算法当中初中学生都可以解出来。 那么在高考中这些问题就是求外接球的半径，另切球的半径以及求二棉角的平面角都是比较难的题。 好，今天我就用傻瓜方法讲到这里，当然对你有所帮助，请关注和点赞！
14:29查看AI文稿AI文稿好，各位亲爱的同学们，我又来了，今天我们来说一说外接球的最后一种模型，叫鳄鱼模型， 那这种模型为什么叫鳄鱼模型呢？好，我们首先来了解一下鳄鱼他的嘴的一个特点啊，比如说这里有个鳄鱼，那我们可以把这个鳄鱼嘴的上颚跟下颚看着这两个平面吧， 当这个鳄鱼张嘴或者是闭合嘴的时候，可以看成是两个平面之间的一个折叠，所以这个模型主要是解决这种告诉我们一个立体图形的两个平面之间的夹角，然后让我们去求外接球的一种题型吧。那么接下来就来推导一下，假如说我们知道这个 abc 与 bcd 两个平面的夹角为阿尔法，我们要求出这个 abcd 这个四面体的外接球的半径的话，必须找 球星吧，还是按照我们之前说的过的那种哈。首先我们找一个平面的外接圆吧，比如说我们先找到 bcd 这个平面的外界的圆形 oe 好，然后把 b cd 所在洁面的外接元给他画出来，然后我们再过 oe 做一条垂直于平面 bcd 的直线，那么这个球形一定在这条直线上面吧，那我知道一条直线是没有办法确认这个球星的吧，于是我们再对 abc 做同样的操作，先找到他的外界圆圆形，然后把外界圆画出来， 过这个 o 二做一条垂直于平面 abc 的直线，那么这种直线跟刚刚我画的那个直就会相交吧，那么他们的焦点就是这个外接球的球星的哈，然后我们就可以把这个外接球给画出来哈，好，那 ob 就是这个外接球的半径，我们用大阿表示吧，我们只需要求出这个大阿来就可以吧， 为此我们会做一些辅路线吧，我们会取 bc 中点为 e， 为什么取 bc 中点为 e？ 因为他是 abc 与 bcd 这两个平面的交线嘛， 同时他是欧一欧二这两个圆的公共弦啊。好，我们取他重点之一，然后把他与两个圆的圆心连起来，这样子吧，再把欧意也连起来吧。好， 好，我们这里由于这个两个折叠的平面不具有特殊性，我们还需要把欧一欧二给连起来哈，那由前面我们讲折叠模型，我们很容易得到这个 bc， 他是垂直平面一欧一欧欧二的吧，这四个点一定是共念的吧。其实这个证明很简单的哈， 由于原有垂进店里， bc 是欧一二两个元的公共弦吧，然后这个 e 又是终点，我们很容易得到 bc 啊，他垂直 o 二 e， 同样，到底 bc 应该也垂直 o e 吧。哦，所以 b c 呢，他就会垂直平面 o 一 o 二 e， 然后呢，这个 o o e 跟 o 二呢，是做的这两个平面的垂线吧，自然 o o e 就会垂直 b c， o o 二呢，也垂直 b c 吧，那 b c 就会垂直 o o e o 二这个平面。 那我们来看一下啊， oel e 跟 ooel 这两个平面同时被 bc 垂直了，他俩要么重合，要么平行吧，再加上他们有两个公共点，那就重合了，是吧，那么这四个点就共灭了吧。好，这是我们关于这个四点共灭 以及 bc 垂直这个灭的一个简单的证明啊。那么今天主要是推导一下，利用这个 bc 的长度以及 o 一 e 的长度跟 o 二 e 的长度这三个线段长度计上这个球的半径吧。好，为了怎样推导方便，我们给他设三个字母吧，假如这个 bc 他是 l 的，就是两个平面的交线吧，然后 o 一 e 呢等于 m， o 二 e 呢等于 n， 假如有这三个尺寸，我们看一下哈， 外接球半径 r 是不是就是 ob 啊？所以我们只需要求出 ob 的长度来，就求出这个外接球的半径吧。哎，我们发现这个 ob 他处于 oeb 这个直角生形当中，于是我们可以用勾股定理把它算出来吧，我这里为了方便呢，我们就不算 r， 我们算 r 的平方吧，这样子的话就不需要开翻了，是吧？ 那么他会等于 oe 的平方加上 be 的平方吧，那我们知道 be 的平方是 l 的一半的平方 是，这里就是 oe 的平方加上二分之 l 的平方吧，所以我们只需要利用 mnl 这三个字母把 oe 的长度算出来，那么这个题目就解决了吧。好，我们会发现 oe 是这个四边形的一条对角线吧。好，于是我们把这 四边形单独的拿出来啊，是这样一个四边形吧，我们知道这里做的是垂直，这应该是直角吧， 这里也是直角，然后呢，这里是 m， 这里是 nm， 我们需要把 oe 求出来就可以了哈，那我们之前讲到过，如果一个四边形对角互补了，那么他应该是一个圆另一节四边形，我们发现这个四边形是不是满足对角互补啊，因为 这两个角是直角，那么怎么求出 oe 呢？当然我们还知道这个角度的吧，因为实际上这个 eo 二跟 eo 一都垂直， bc 的话， bc 是交线，那么 eo 一跟 eo 二之间的夹角就是这个二面角吧，所以这里应该是阿法。 知道这样的三个条件，我们需要求助欧议来吧。好，这里利用了一个非常巧妙的方法哈，我们会发现这个四边形，他除了内结于一个圆之外，这个地方还是一个直角，对吧？啊，这个欧二在这个圆上的话，这个角应该是一个 圆周角吧，我们知道圆周角所对的形式直径，所以这个欧翼应该是这个外接圆的一个直径，对不对？我们只需要求出这个外接圆的直径来，就求出欧翼了吧，我们看一下怎么求出这个外界圆的直径啊，那么在这个三角形当中啊，知道两条边一个角吧，我们先把欧一欧二的长度算出来， 用余弦定理就可以了，是吧？啊，加上它的平方应该等于 m 的平方，加上 n 的平方减去二 m n 乘括算阿法吧，那么发现我们知道这个边求出来了，那这个边除以这个阿法的正弦值，不就是二 r 了吗？好，于是这个欧 e 他是等于二 r 的直径啊，这个 r 是这个四边形外径圆的半径啊，那么他会等于 o 一 o 二除以三也 r 法，那我们这里求的是 oe 平方吧，于是 oe 的平方，我们就把 平方下等于欧一欧二的平方除以三引阿法的平方吧。好，我们把它带进去，得到欧亿的平方，等于这个欧一二，刚刚用于心里求过了吧， 那就是 m 的平方加上 n 的平方减二 m 和三也阿法除以三也平方法吧。好，那么这个 oe 就求出来了哈，现在把这个 oe 带到这个 r 的这个式子当中去，就把 r 求出来了啊，那 r 平方应该会等于 oe 的平方，就是 m 平方加上 n 平方减 二 m n clon 阿法除以三银平方，阿法吧，再加上二分之 l 的平方，对不对？那我们就把这个外接球的半径给球出来了哈，因为其实这种外接球问题，不管他是球体积还是球表面结，都是球半径，他这个结果看上去有点复杂，是吧？如果我们同学记的话，可能是有难度的哈， 我不建议我们同学去记住这个答案，我们记住这个推导的过程就行了啊。这个推导的过程区别于前面那些模型的话，主要是他运用了正形定理跟圆形定力吧，巧妙的利用了这个圆内结四边形，那么这个就是关于我们一个鳄鱼模型的一个推导过程啊。好，我们拿个题目来解一下哈，这个题目可能会比较难一点点，他说 二面角 p abc 的夹角是一百二十度，然后呢？ pab 跟 abc 都是九十度吧，那应该是两个直角三角形吧，然后呢？ ab 等于 ap 哦，可能有一个直角三角形，是等腰直角三角形，然后呢？ abc 等于六，他给了一个尺寸，两个边之和等于六吧。如果 p abc 都在同一个球面上，那 四面体应该是一个求内阶四面体吧，求该求的表面积的最小值，因为他给的这个线段长度啊，不是某一个线段确定的长度，那么 ab 跟 bcd 两线呢？都是可以变化的，这个外接 球肯定也是变化了，那当他半径最小的时候，表面就会最小吧，所以我们只需要求一下这个外接球半径最小的时候是多小，那就自然能够求出他的表面就最小吧，我们根据他的描述画一个图出来哈。好，我们把这些条件给他标上去吧。 这里应该是九十，那么 pv 是一个直角三星，这里也是九十。 abc 也是一个直角三星级吧。 ab 还等于 ap 哦，这个侧面是一个等 腰直角三角形吧， ab 加 bc 等于六，好，那就是这条加这条是等于六的，然后呢，求他的外接球面积最小，是吧？好，我们先把他的外接球球星给找到，因为这两个都是直角三角形，我们找这两个平面的外接圆圆形的时候就非常好找吧， 就是鞋垫上的中点吧，我们找到 abc 的外接圆形，就是 ac 中点，然后呢，过这个中点做一下垂直平面 abc 的直线，那么这个球形肯定在这条直线上吧。啊，同样的道理，我们找 到 pb 中点，因为 pab 也是一个直角三线， pb 是斜边，那他的外界的圆形就是 pb 中列吧。好过这个偶尔再做一下垂直平面 pab 的直线，那这两个直线相交的地方就是 这个外接球的球星呢？接下来就是把这个外接球的半径的最小的给球出来吧，可能会发现我们这里面并没有外界球给他画出来，是吧？为什么？因为这个四面体是我随手画的，然后这个外界就非常的不好画，就画不出来。好，那没关系啊，我们不需要做那个外界球长什么样子，我们只需要球半径就行了吧，哈哈哈哈 哈哈哈哈哈哈哈哈哈，好，我们同样按照刚刚的操作，取这两个平面交线的中点，假如是 d 吧啊，然后把 d o 一跟 d o 二都连起来，那么这里就会形成一个四边形吧，然后把这个 半径也连起来，就是 oa 吧，我们把 o 一、 o 二以及 od 都给连起来吧，那我们能够求出 o a 最小值，那么就 把这题目解决了啊，我们来看一下啊，这个地方要求最直，那么求最直有两种途径，第一种是通过几何的方法，比如说我们初中学过的将军引马问题，三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边，这些都会产生最值吧，以及我们点到圆上的距离的最小的以及最大值吧，这些都是几格的方法啊，那函数的方法是什么样子呢？啊？就是比如说我知道一个三角形的面积跟他的边长是满足这样的关系，这个就是一个二次函数，我去求这二次函数的最值就可以了吧， 像这种几何跟代数呢？也就是函数他没有一个明确的边界哈，有时候几何的最值问题可以用函数的方式来解决，同样的，有时候函数的最值问题也可以用几何的方法来解决哈，我觉得这个是高中数学的一个魅力所在，是吧？啊， 好，我们同学们一定要把握好啊，那这个是用几何的方法还是用代数的方法来解决呢？好，个人倾向于用代数的方法，因为这里几何他不像是平面几何，可以用那些什么两边之后大于三边是不是？那既然是用代数的方法来解决，我们就需要设一个限量长度啊， 好，肯定设这两条线呢，当中的某一条吧，其实你设哪一条都是一样的哈，那这样子，由于这个 ab 啊，跟另外一条边有相等的关系，我们就把这个设为 x 吧。当然你设 bccx 也是一样的哈。那假如这个 ab 是 x 啊，也是这个是 x 吧， 那么这个 a p 也是 x 吧。那我们需要知道 d o 二跟 d o e 的长度以及 a b 的长度，再加上这个夹角的话，就可以算出这个外接球的放进了吧。那我们看下这个夹角哈，由于这个 a b 是 o 一二的公共鞋，然后 d 是这个鞋的终点吧。根据垂进定理， 这个 d o e 会垂直 a b， 这 d o 二也垂直 a b 吧，那这个 a d o 二就是这个二面角了，平面角的吧。好，所以这里是一百二十度哈，好，那我们接下来就可以做了吧。如果 a b 是 x， 那么 b c 应该是六减 x 吧。然后呢，这个 b o e 跟 d o 二分别是两个三点的中位线吧，所以我们得到 d o e 等于二分之六减 x， d o 二呢，等于二分之 x 吧。我们用鱼形定理把 o e o 的平方算出来吧， o 一 o 二的平方应该等于 d o 一的平方，加上 d 二的平方，再减去他们的二倍，再乘以扩散一百二十度吧，所以他会等于二分之 x 的平方，加上二分之六减 x 的平方，减二乘二分之 x， 乘二分之六减 x， 再乘括乘一百二十度，是 负二分之一，是不是我们把它化解一下，可以得到欧一欧二的平方等于四分之 x 平方减二分之三， x 加上九啊，好，那么接下来直接可以算好欧 d 的长度吧，因为这个欧 d 就是中间这个四边形的外接圆的直径吧 啊，所以这个 od 的平方他会等于二 r 的平方，而二 r 是等于 o 一 o 二除以三一八十度吧，那么他的平方就会等于 勾一勾二的平方除以三以一百二十度的平方吧，那就是四分之 x 方减二分之三， x 加上九除以 大于八十度是二分之高，三平方一下就是四分之三咯，我们画几下可以做到， od 的平方等于三分之一 x 平方减去二 x 加上一十二吧，那么这个 r 平方他应该等于 od 的平方，在 再加上 ad 的平方吧。 ot 的苹果刚刚求出来了， ad 是 ab 的一半， ab 是 x， 那 ad 就是二分之 x 吧，所以这里应该是三分之一 x 方减二 x 加上一十二，再加四分之 x 平方吧，我们把它整理一下啊，平方就会等于 一十二分之七， x 平方减二 x 加上一十二吧。那么这是不是得到了一个 r 关于 x 的函数啊，而且他还是一个比较简单的二次函数，是不是 我们要求这个表面的最小值，也就是求啊的最小值，我们只需要求这个二次函数的最小值就可以了，我们同学们可以去直接套公式，用顶点式算出他的最小值，但是你需要注意的是，这个 x 是指长度，并且他跟另外一个边长加起来是六吧， 所以这个 f 的范围应该是零到六之间啊，所以他定义是有要求的吧，为了谨慎一些，我就把它画成顶点， 是吧，我们把它画成顶点式之后，他会等于一十二分之七乘以 x 减去七分之一十二的平方，加上七分之七十二吧，那么可以看出来，当 x 等于七分之一十二的时候，他的 r 平方的最小的应该是七分之七十二吧， 来看一下，七分之一十二是否在零到六以内呢？啊，七分之一十二是一点多，自然在零到六以内吧啊，所以 l 的最小值可以取到七分之七十二，那么 s 等于四派啊，平方就等于四派乘七分之七十二吧。啊，等于七分之二百八十八派。 好，那么就把这个题目算出来吧，外接球的表面积最小的是七分之二百八十八派啊，好，那么这是利用这个鳄鱼模型求解的一个这样子的外接球的题型啊，我们同学们一定要去理解一下这个推导的过程。那到今天为止呢，我们就已经把外接球的八种模型都给大家说到过了啊， 尤其是最后这种比较难吧，那我们同学们学习这一派的内容呢，重要的是理解这个推导的过程，因为这个结果呀，你短时间可能记得住，一段时间一长你可能就会忘记吧。那么今天的内容就说到这里，如果你还有什么疑问，或者是有什么想知道知识点都可以在评论区留言啊，那我下期再见。
4695大斗师
03:00查看AI文稿AI文稿大家好，这个视频我们来讲一下外接球的第五个模型，切瓜模型。首先我们来看一下什么是切瓜模型，这里有一个棱锥，他有一个侧面和底面相互垂直，同样后面这个棱锥也是一样的，那我们就找到了这两个棱锥的一个共同点， 他们有两个相互垂直的平面，这也是我们在做题过程中需要去寻找的题目特征。我们要找到外接球的球星所在位置，并得到外接球的半径计算公式，那我们就需要知道外接球的球星所具备的性质，他到所有顶点的距离都是一样的，那我们就可以从这两个相互垂直的平面出发进行研究。 首先找到底面外界原型欧一以及侧面外界原型欧二，然后呢分别引垂线，这两个垂线就会有一个焦点，焦点就是球星。那我们计算的话需要知道哪些数据呢？首先我们需要知道底面外界源的半径而一以及垂面外界源的半径而二，这两个通常情况下都是使用正线定理进行求解。其次 四呢，我们需要根据题目条件得到 bc 的长度，也就是交线的长度，这是我们的一个解题关键，也就是说拿到一个题目，如果我们判断出了他是一个切瓜模型，那我们需要寻找的就是这三个数据来。下来我们来看一下，在三角形 o 二 ec 当中，我们通过勾股定理可以得到 oo 一的平方，他会等于 r 二的平方减去四分之 l 的平方。 同样的道理，在三角形 ooec 当中，我们可以得到大 r 的平方，会等于 ooe 的平方加上 re 的平方，然后把两个狮子中的 ooe 的平方进行替换，我们就可以得到外接球半径的计算公式，也就是大家非常熟悉的双半径单交线公式。好了，下来我们来看两个练习题。 第一个题目，已知四面体 d、 a、 b、 c， 三角形 ab、 d 和三角形 b、 d、 c 都是等边三角形，二面角 ab、 d、 c 为值二面角。若 ab 等于四倍钢化三，则四面体的外接球表面积分多少？那这里出现了非常明显的模型特战， 那明确一下我们的目标，我们需要知道的是两个半径以及一个交线，那这两个都是等边三角形，我们如果知道它的边长是四倍跟二三，那就可以直接列出正线定点，可以得到二一等于二，二等于四。 然后呢，胶线的长度，也就是 bd 的长度，很明显他等于四倍，跟了三，直接带入公式就可以得到 r 方，带入表面积公式就可以算出他的外界球表面积。 ok， 我们来看第二题，已知三人追 sab 的各个顶点都在同一个球面上，告诉了三角形 apc 的三边的边长，侧面 sab 为正三角形，且与底面相互垂直，则外接球表面具备多少， 那这里还是一样，出现了非常明显的模型特征。明确一下我们的目标，我们需要知道两个半径以及一个胶线，那胶线的话，这里是三角形 sab 以及三角形 abc， 所以胶线就是 ab， 那胶线的长度我们已经知道了，所以我们来看一下两个半径， 两个半径的话，这里有一个等边三角形，那我们先研究一下它边长等于三，那我们就可以直接写出正向定理就可以得到 r 二， 然后呢，三角形 abc 织到三边，那我们需要知道任意一个角的正弦值，我们可以利用鱼线定理得到考三页 a， 它会等于负到二分之一，然后根据同角的三角函数之间的关系，得到三页 a 等于二分之高三，列出正弦定理就可以得到二一的值。 然后呢，我们又知道胶线等于三，然后带入公式就可以得到阿尔方，带入面积公式就可以得到外界球的表面积。
1023求索数学
11:55查看AI文稿AI文稿最近有一个公司非常的火，几十万点赞，几十万收藏，几百万播放，那这到底是个什么公式呢？叫做外接球半径万能公式啊，到底有多万能呢？我们稍微的看一下他怎么写的，好的老师教他外接球万能大招， r 的平方等于 m 的平方加 n 的平方减二 m， n consent 除以 上细它的平方加上四分之 l 的平方啊，就是这个公式啊，那这样繁琐的公式为什么这么多人收藏呢？ 一个是因为高考里面经常考外接球的问题啊，而且往往用一个四面题去求一个外接球的半径， 需要比较好的空间想象能力，作图能力，还有很好的基础啊，特别是计算能力啊， 所以球外地球半径啊，近几年考的比较火，那这个大招到底是怎么回事呢？我们来看一个例题啊， a、 b、 c、 d 是个四面体，知道 ab 等于 bc 等于 a， c 等于 c， d 等于二角， b、 c、 d 等于一百二十度，二面角 a、 b、 c、 d 是一百二十度。现在要求这个四面体的外接求半径啊，大家也可以暂停挑战一下。 好，我们看看如何解决这问题啊。解决这个问题之前，我们先来回顾一下比较基础的初中之 和高中知识啊。首先确定如何去确定一个圆，再来看如何确定一个球啊。我们知道一个三角形，无论是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，都可以比较容易的确定他的外结缘呢。 而外接源的说法就是做每条边的中垂线，只要他圆心的就可以做出外接源，而做出这个外接源，实际上可以推出一个非常有趣的事实啊，叫正线定理， 假设三个边长分别是 a、 b、 c， 对应角是 a， b， c 啊，那么我们连接 c 与圆心，再连接这个假设这个点 c m 吧，这个弦所对的这个角等于这 角，这是圆的一个芯子啊，而这个是直径过圆心的直径吗？这个是九十度，所以啊，直径二啊，乘以三， 这个角三 a 等于这个边 a， 也就是说二啊，等于 a 除以三 a 啊，同样的，可以推出他是 b 除以三 bc 除以三 c 啊。 这个正弦定理是非常容易求出来的啊，初中就可以理解啊，通过这个正弦定律，我们明白一个三角形就可以推出他的圆， 只要我们知道边长和对应的角，我们就可以求出他的直径。那如何确定一个球呢？啊，我们知道啊，把一个球不论怎么切，切出 的洁面都是圆，而通过一个洁面和洁面外的一点，我们就可以确定一个球，这是一个洁面 和洁面外的一点。如何确定一个球呢？做这个圆的圆心的中垂线啊，垂线，做这个平面的垂线，过圆心过这点，同样的，做这个面的垂线啊， 做这个面的垂线，然后连接连接这个点，这条线，这条线和这条线在同一个平面上。我该明白了这一点， 我们过这条线左中垂线，那么这个点就是球形了，所以我们可以退出来 一个圆和这个圆外的一点啊，和圆不在同一平面，可以构成一个球，而我们又知道三角形可以构成一个圆啊，可以求出他的外结缘。 所以一个三角形和三角形外的一点，他们不在同一平面上也可以做出一个球啊，就是四面体的外界球。我可以理解的这些基础知识，我们就可以通过这些方法去求 一个四面体的外接球的球星呢和他的半径。再来回顾一下这个题目啊， a、 b 等于 a， c 等于 b， c， 这是个正三角形 b、 c， d， c、 d 是二，这个是一百二十度。现在我们要确定一个圆和圆 员外的一点， b、 c、 d 所在的圆是一个小圆， 我们可以求出小圆的圆心和小圆的半径连接 容易吃到。这个角度六十度，这个角度六十度，这是半径啊，同样，这是六十度，六十度。 b、 o、 c 是等边三角形， c， o， d 是等边三角形啊。 b、 o 等于 o， d 等于 o， c 等于 b， c 等于二， 这是 b、 c、 d 所在的平面的所在的圆的半径啊。 ok， 我们过 o 做垂线，那么球星肯定在这条垂 垂线上啊。同样的，我们过 a 做垂线，交 b， c、 d 所在的点圆，然后连接 o、 m 交 b， c。 圆啊，连接 a、 n， 好容易证明 b、 c 是垂直于这个面 a、 m、 o 的，所以 b、 c 垂直于 a， c， n 也垂直于 m、 n 啊。 假设球星在这里连接 o、 e 和 n， 同样的，我们知道啊，这个 a、 b、 c 的圆形是 o， r 的话，过 o， r 做这个面的垂线肯定也 过 o、 e 啊，我们可以求出 o， r， n 啊。 a、 n 长度 等于 a， b 乘以十二六十度等于 二，乘以二分之根号三，等于根号三。而在三角形 a、 b、 c 的外接元里面，可以求出他的半径啊，他的半径是 a、 o 二，等于三分之二倍的根号三。 o， r， n 等于三分之根号三。求数 n 啊，而 n o 呢？ n o 等于 二，乘以十二六十度，等于杠三。而连接 o e a 或者 o e c， o e d， o， e， d 都是它的半径啊，我们连接 o， e， c， 那 o， e， c 的平方是半径的平方，它是 n c 的平方， 加上 o e， n 的平方 n， c， 我们知道它是二分之一 b c， 而 o， e， n 怎么求呢？ 我们可以连接 o r， o， 连接 o， r o， r， 我们把它换一下 n o， r o， 这个是三分之根号三，这个是根号三，这个是二面角一百二十度。 那么 o， r o 的长度啊，用余弦定理，它是三分之根号三的平方，加上根号三的平方，减二倍的根号三 乘以三分之，根号三乘以扩散一百二十度，这是 o 二 o 的长度啊，那这个长度 跟 oen 的长度有什么关系呢？我们知道啊，把这个除以对应的角度，一百二十度的平方，实际上是它外接圆直径的平方， 它的外接源是这个的垂直平面线和这个的垂直平面线啊，这一点到这个的距离。而 o， e， n 是怎么得来的呢？它是过这个垂线又过这个垂线啊， 这一点到这个的距离啊，相当于把它延长一倍。 更大的三角形的 y 结缘半径啊，大家可以体会一下啊，是这个 n， h， f， 这个三角形 y 结缘的半径 n， h， f， 这个三角形 y 结缘的半径啊，那它 n o 二 o 和三角形 n， h， f， 它们是相似的，边长之比是一比二，那么 y 结缘半径之比也是一比二， 所以这个三角形的外接圆半径乘以二，实际上 就是这个半径啊，这个半径 oen 啊，我们就把 oen 给求出来了，大家可以自行画图推导一下。而我们知道 o、 e， n 的平方加 n， c 的平方的是等于半减的平方，也就是二分之一 b， c 的平方，加上这个， 我们把 p、 c 等于二带入其中，就可以求出它的平方九分之六十一，那么半径就是三分之根号六十一啊。那回到最开始 的那个问题啊，外接球半径的万能公式，好的平方等于 m 的平方加 n 的平方 减二， m n 空三， c 塔除以十二， c 塔的平方加上四分之 a 二的平方啊，这个公式的 m 指的是什么呢？指的是这个三角形的外接源 圆心到这两个面交线啊，也就是 b、 c 的距离，这是 m、 n 指的是 o 到 b、 c 这条交线的距离啊，也就是底面这个外接圆圆心 到 b、 c 的距离。 c 大角就是这个二面角啊，这个 l 就是 b、 c 的长。 如果知道整个的推导过程，那么这个公式就很容易理解了，也比较容易记啊，那如果实际的话，是很容易记错的啊，建议大家自行推导一下。 ok， 关注我，让学习变得更有趣点！
4252火星课堂
00:28查看AI文稿AI文稿你的老师都不知道？很多人都不知道。其实含有二面角的三棱锥的外接球是有公式可以直接算出来他的外接元的半径， 就比如说我们前两天刚考的这个题，对吧？把阿尔法白塔 c 塔 m 往狮子里一带，一分钟不到，直接算出来外接球的半径，三分之根号十三。那他的外接球的表面积不就是九分之五十二派吗？答案直接选 b， 轻松搞定。
5015中科院超神讲数学
07:56查看AI文稿AI文稿说一下这个外接球的问题啊，这个题它里面虽然有二面角，但是呢，这个题不是用这个公式来做， 就是我们在讲外接球的时候啊，一般来说会按照模型去讲什么的墙角模型啊，垂心模型啊，汉堡模型啊之类的啊。但是这个地方我们总结一下啊，外接球他就两种做法，要么是勾股定理，要么是这个二面角预警定理。 那这个题呢，他其实用的是勾股定理。这个勾股定理的原理呢，我说一下啊，不管我前边说的那些什么墙角模型啊，垂心模型啊，他其实都是一回事。 勾股定理呢，经常是在考察这个三角形，这里面呢，他是球星，他是这个 oe， 是这个洁面园的圆心。 假如说这个洁面是 alpha， 那我们知道这个 o o e 这条线，它是垂直于平面 alpha 的。这个证明很好证就是这个垂径定理嘛，用两次垂径定理就能把它正出来。 这是一个勾股定理。然后我这边如果延长一下，把这里延长，把这里延长，这里还有一个直角，还是勾股定理， 就是这个角是直角，刚刚我们在正这个的时候是用的线面垂直，那我正这个的时候是不可以用中位线，因为他俩都是直径，他俩都是圆心， 那中位线的话，能正出来，他跟他垂直，或者是什么直径，所对的圆周角是九十度。那刚刚说的模型啊，要么是用的这个 勾股定理，要么是用的这个勾股定理啊。那这个题里面呢，用的是他，但是这个题难在哪呢？外接球第一个难度在于他不给图，大多数外接球题目他都不给图，所以你需要自己画图。 另外一个呢，就是你得找到这个垂直啊，虽然人家给了两个垂直，你还得自己去找这个垂直。 那这个题的话，我就从头给你讲啊，就是说如果是我做的话，我会怎么去做？那第一步的话肯定是画图啊。这个画图的时候啊，有一个小技巧，就是什么呢？ 让这个尖冲外，如果这么画图的话，应该这一条是虚线对吧？如果说我要这么画图，这个尖 送礼的话，这里按理说啊，这三条都是虚线，那他肯定就不好看。 然后这个 a、 b、 c、 d 我怎么标注这个地方，他不能瞎标注哈，因为人家给的条件非常多。这里有两个原则。第一个原则呢，就是他给的这些条件里面，哪个三角形，他给的条件多，就是哪个三角形，我能确定下来，我让他当底面。 你像这里我们观察啊， a、 d、 c 是二分之派， a、 d 又等于 d、 c， 是不是说明三角形 a、 d、 c 是一个等腰直角三星。所以呢，我就让这个 a、 d、 c 啊，是底面， 那 b 就是顶点，这是第一个原则。另外一个原则呢，就是这个二面角，我尽量让这个二面角中的其中一个面是底面， 你不然的话，这个二面角很难看出来。你想假如说是这个面和这个面，他们的夹角是三分之二派的话，这个题就很难画图了。 那这里刚好啊， a、 c、 d 是不是也是二面角其中的一个面。所以让这个 a、 c、 d 做底面， 那基本框架就有了。然后我们再根据具体的条件去调整这个图就行了。我们把剩下的条件补上啊， a、 c、 b 是二分之派，所以这里是二分之派。 然后这个 a、 d 等于 d， c 是二，它俩是二， b、 c 也是二。 他说 b、 a、 c、 d 是三分之二派。那我这个图的话，他就没有二面角，是钝角的地方，所以这个东西我得 调整一下，让他们两个得是三分之二拍。那我接下来画图案，就画一个完整的图了哈。我直接在球里面画了，那这个 a、 d、 c 啊，它是这个直角三星啊，那 a、 d 的话，相当于是这个面上的直径啊。假如说我这么画， 然后 b 在这 这么画的话，他们两个角就看起来像是一个钝角了。 这里 a、 c 应该是直径哈。 a、 c 就画在这。让这个 c 来左边吧。 因为这个 b、 c a， 它是九十度，这个是九十度啊。嗯，那现在的 的话，他是九十度，他是九十度。你想啊，这两个面既然出现九十度了，我要去找他的话，就好找了呀。 因为我底下这个圆心就能找到了。 adc 是等腰直角三角形，那 ac 的终点是不是就是这个三角形外接源的圆心啊？那我这里直接做一个终点出来，这个点是不是右边这个图的 o 一， 我网上做垂线，做这个三角形 a、 c、 d 的垂线，那这个球星 o 是不是一定在这条上面？我们假设 o 就在这个位置， 然后我干脆把这个三角形画出来，我这边这么一连，这个三角形就有了。然后我们把这个数都标上啊， 这样的话，这些条件我们都画出来了，是不是还剩这个三分之二派没用上？ 这个三分之二拍怎么用啊？我们先把这个二面角表示出来吧，你看 a c 是交线，它跟它垂直，我这边再做一条垂线，出来的话，是不是这个角就是三分之二拍？ 那这条线很好做，因为 b c 本身垂直于 a c 嘛，我做它的平行线就行， 那平行线是不是也是中位线？因为 o e 是 a c 的终点，所以我做出来的这条线，它的长度应该是一， 然后这个角是不是也是九十度？这个角是九十度的话， a b 是不是也是直径，那我这个点是不就是 o r 跟这边是一样的道理啊，我这个 o 和 o r e 连起来也是垂直啊， o o r 是垂直于这个三角形的， 那里面这些数我是不是可以算了？你看啊，它是二，它是二，所以 a c 是二跟二，然后这是斜边上的中线嘛，那这一段的话，它就是根号二， 然后我们刚刚画出来这个角是三分之二 pi 嘛，那这里又有垂直，是不是这个角就应该是三十度， 那它是三十度，它的零边是一，是不是 o o 二就是三分之跟三， 然后这个 o o e 就是三分之二零三，这条有了，这条有了，这条是不是就是半截， 所以我们这个二方，也就是说 o d， 它就等于三分之二跟三的平方，加上这个根号二的平方，这样算出来是三分之四加二，那就是三分之十， 所以它的表面积就是四拍啊，方就是三分之四十拍。那这个题就做出来了。
15数学老师在备课
03:01查看AI文稿AI文稿外接球最牛攻势了，好，跟着超哥走，首席 su， 今天来给大家讲一下我们的前两天考的合肥二模的第十一题， 也就是这个外接球跟二面角。外接球和二面角结合呢，有一个非常经典的公式，也就是这个公式，这个公式呢，看起来比较复杂，量比较多，其实也比较好记啊，来给大家解释一下， m 和 n 呢，指的是面 b， a， c 和 b， a， c 外接员圆心到交线 a， c 的距离，那怎么样去记呢？你看他的分子是跟余弦定理的 分子是一样的，分母是一个三以四大方，对吧？那个再加上一个四分之 l 方，那 l 是什么呢？ l 指的是这个二面角，你要表示二面角 b， acd， 那 l 呢？就指的是 ac 的一个长度，对吧？那这个 c 塔是什么呢？ c 塔就是二面角。这个公式呢，其实非常好用，但是呢，比较难记， 我们就给大家解释了这些量表示什么来，你来看这道题，这道题题目告诉 a、 c， b， a， d， c 都是二分之排九十度，对吧？然后又告诉你了， a、 d 等于二， d， c 等于二，那它是直角呢？就是二倍根号二， b， c 也是二，那 a、 b 也不就是 根号十二吗？那就是二倍根号三，对吧？好，他现在呢，告诉二面角是三分之二派，他问的是四面体 abcd 外接球的表面积， 我们想来这个公式来 r 的平方写出来，对吧？好，三亿 c 塔方，那你想这个 c 塔不就是三分之二派，那这个也不是四分之三吗？ 对吧？那你要注意到 mn， 关键就在这个 m 和 m 和 n 的表示两个面外接圆的圆心到交线的距离，你要知道，直角三角形外接圆的圆心，这个 o oe 呢，他就在 ac 上，所以 oe 到 ac 的距离是零，也就是说 m 等于零， m 等于零呢，这里不就剩下 n 方再加上一个四分之 l 是谁？ l 不就是 ac 的长吗？ ac 长是二倍根号，那不就是八吗？对吧？那这道题只要知道 n， 我们就搞定了。那你想一想来， a b c， 对吧？面 a b c 外接员的圆心 o 二在哪里？他同样是一个直角三角形，他外接员的圆心是不是就应该在 a b 上？ o 二， o 二在 a b 上，那你想，你用 o 二向我们的 ac 做一个垂线，大家来看， o 二是他的一个终点，那， 那你是一个终点做垂线，你不就等于 bc 的一半吗？那 bc 的一半不就是一吗？对吧？那 bc 一半是一呢？ n 的平方就是一，所以呢，就是三分之四再加二等于三分之十，那儿的平方等于三分之十呢？ 四派而方再乘以四派，那不就等于三分之四十派吗？对吧？好，所以答案选 b。 好，接着来给大家说这公式怎么推到？这公式其实非常简单， 就是呢，我们在算任何外接球，复杂外接球的问题呢，往往都是找两个面的外接圆的圆心做垂线，两个垂线的焦点就是外接球的球形。这句话很观点， 通过这个思想，你去列表达式，你就可以列出来这个表达式，对吧？好，这个呢，我们就说到这里。
4139中科院超神讲数学
04:53查看AI文稿AI文稿棱锥的外接球两心模型你听过吗？我们知道正方体、长方体的外接球半径是体对角线的一半，其实考试最常考的题型还有棱锥的外接球。棱锥的外接球就是要保证所有的顶点都在同一个球面上， 其实棱锥可以看成是棱柱的一部分，我们只要搞清楚棱柱与他的外界球的关系，那棱锥的外界球就是小问题。出现频率比较高的是侧棱与底面垂直的棱锥。 这里我们要先达成几个共识，一是拿任意一个平面去接球体，得到的洁面一定是圆，并且球心与洁面圆的圆心这两心的连线，它是垂直于洁面的，既然垂直，就能做出来一个直角三角形在这里边呢，会有勾股定理，我们把两心的 连线给他，假设成 d， 那这个洁面员的半径即为 r， 那外接球的半径即为大 r， 就会得到勾股定理， d 方加 r 方等于大 r 的平方，这个就是两性公式，这模型非常重要，一定要印在你的脑子里。 在求外接球半径的时候，只需要求出来两性的距离以及洁面员的半径小 r， 在办公室就可以求出来外接球的半径大 r。 第二个共识就是我们把棱柱放在一个球里边，先来确定球心的位置，球心一定是在棱柱终结面的那个平面上。 第三个共识就是要知道一些特殊图形的外结缘半径怎么算，正方形、长方形、 三角形等。那三角形的外接圆半径有个通法非常好用，就是正线定理，知道一组对峙的边角，就能直接求出来外接圆的半径。这些知道了之后，我们来研究棱柱的外接球半径如何算。根据刚刚的结论，棱柱放在一个球里边，外接球球形一定是在最中间的位置。 第二点就是，不管是几棱柱，他上下两个底面都落在球面上，得到两个洁面圆。这个洁面圆其实就是上下底面的外接圆，这里我们只看下底面，先找下底面洁面圆的圆心，然后连接球星与圆心， 两心确定了之后，再来做直角三角形。在这里边，假设棱住的高是 h， 底面是边长为二的等边三角形就可以知道两心的距离等于一。要求外接球的半径需要知道洁面圆的半径， 洁面员的半径就根据正弦定理来算。那最后呢，带入勾股定理这个公式就能解解出来，外接球的半径大 r 等于三分之根号二十一。说了半天都是棱柱，还是不知道和棱锥的关系。其实任意的棱锥都可以还原成棱柱， 这里我们只看侧棱与底面垂直的棱坠，他还原成棱柱的过程，以垂直于底面的这个边为基准，在其他的顶点上也做出来垂线，然后把上底面补齐，他就是一个棱柱。棱柱的外界球和棱柱的外界球是一样的， 因为棱柱的外界球是所有的点点都在球面上，棱锥是棱柱的一部分，必然棱锥的所有点点也都在球面上。现在问题就转化成球，棱柱的外界球就可以了。先找两心，球心一定是在棱柱的终结面上，然后找底 面外界圆的圆心，两心确定了，那这个直角三角形就能找到。假设棱柱的高是二，侧棱与底面垂直，底面是边长为二的等边三角形，那两心的距离就是一， 外接球的半径即为大 r， 那这个洁面圆的半径小 r， 我们就可以用勾股定理求出来，求出来之后带入公式就能求出来外接球的半径大 r 等于三分之，根号二十一。 下面我们来看一个立体三棱锥 pa 是垂直于底面 abc 的，然后这个底面 abc 角 bac 是等于一百二十度，并且两个边长，告诉我们了这个高呢，又知道 求这个三棱锥 pabc 他外接球的体积，我们可以想象一下，把这个三棱锥给他还原成棱柱，还原成棱柱了之后放 放到这个球里边，但这个球星呢，必然是在这个棱柱最中间的位置找到球星下面呢，找到这个底面外界的圆心连接两心，两心确定了之后，做出来一个直角三角形， 根据已知条件可以知道两性距离等于一。假设外接球的半径是大 r， 我们只需要求出来这个洁面员的半径小 r 就可以。这个洁面员半径小 r 怎么求呢？利用正线定点 求出来了之后，带入勾股定理就可以求出来外接球的半件大还是等于根号五，那现在要求体积，体积呢，等于三分之四，派二的三次方，带入公式就能得出来他的值。想要学习更多的解题技巧就关注我吧！
1282丰丰老师
