均值不等式6个基本题型
以前咱们学过计算，两个数的平均值加起来再除以二就行，这样得到的平均值也叫做算数平均值。 除此以外，还有其他种类的平均值。比如分别用 ab 作为长和宽，画出一个长方形，保持面积不变，把它变成正方形，边长就是根号 ab。 这个书就叫做 ab 的几何平均值。那么问题来了，这两个平均值到底哪个更大呢？ 把两边做个叉试试看，把它俩通分一下，就是这样，再配个方分子，就变成了根号 a， 减去根号 b 的平方， 平方数一定不小于零，所以这个叉是大于等于零的，也就是算数平均值大于等于几和平均值。这个式子也被称为均值不等式，也叫基本不等式不。 这个式子有两点需要注意，第一，他有一个范围， ab 都得大于零。第二，这里如果要取等号 ab 必须相等。 用数学语言说，当且仅当 a 等于 b 时，等号成立。利用这个不等式，能解决一些求最值的问题。比如这个式子，把这部分看成 a， 这个部分看成 b。 利用均值不等式，把二乘过去， a 和 b 替换掉不等式。右边就是这样， 把他俩约掉，也就是四。当他俩相等时，等号成立，也就是 x 等于正负一时，这样就能求出这个式子的最小值了。 也就是说，通过均值不等式，如果两个正数的基是长数，他们的和就有最小值。类似的，如果两个正数的和是长数，他们的乘积就有最大值。那么如 我说， x 加上 x， 一的最小值是二，对不对呢？这一看，使用均值不等式计算的结果确实是二， 不过可没这么简单，均值不等式的使用条件是 a 和 b 大于零，这个 x 什么限制都没有，那可不行，如果加上 x 大于零才是正确的。再来看个例子， 这个式子的最小值是不是二呢？把它看成 a， 把它看成 b， 这回他俩都大于零了吧。可以使用均值不等式算一算，确实是二。嘿嘿，这又有一个陷阱了，取到等号的条件要求 a 和 b 相等，也就是他俩相等， 于是 x 方加五得等于一，这样的实数 x 咋能找得到？所以这个式子不可能取到等号，最小值也就不是二了。看来 在用均值不等式求罪之时，要格外小心。成立的条件除了两个数的均值不等式，也可以把它类比到三个数 算数，平均值就是他们三个加起来除以三几何，平均值就是他们三个乘起来再开三次方，这里是大于等于号。 同样的，这三个数都得大于零，并且，当且仅当三个数都相等时，等号成立。比如 x 加 x， 再加 x， 方分之八就大于等于这个式子，约分一下，也就是六。好了，以上就是均值不等式的全部内容， 简单的说就是算数平均值大于几个平均值，使用的条件是 ab 都是正数，取等条件是 ab 都相等。 当然，除了两个数的形式，还有三个数的形式，可千万别忘记喽！好了，就长这么多，赶紧去刷题吧！
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23:11查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来讲一下刚上高一就要学的基本不等式，那么为什么题目上写的是一个基本不等式呢？这是很多同学细称的，因为基本不等式他的变形很多，刚上高一 最容易遇到困难的，第一个遇到困难的知识点就是基本不懂事了，他的变形很多，很灵活。我们先来介绍一下什么叫基本不懂事啊？基本不能事，有另外一个名字也叫君子不懂事啊。 那么它的内容是什么呢？也就是说对于 a 和 b 这两个正数来说，这两个正数是任意取的哈，对于 a 和 b 这两个正数来说，那么肯定有根号加 a， b 小于等于二分之， a 加 b 是小于等于哈， 那么这个地方啊，什么时候能取到等于号呢？当且紧当，注意数学上的严谨的用语啊！是当且紧当，只有在 a， a 和 b 这两个正数相等的情况下，这个位置才能变成等于号，其他时候呢，都是严格的小于号。那么现在我们还是要给他起一个名字吧。啊，那么根号下 ab 叫什么呢？称为 a 和 b 这两个数的几和平均值。为什么叫几和平均值，一会我们证明的时候你自然就知道了哈， 然后这个二分之一加币，这个就不用多说了，这个就叫算数平均值吗？记着平均数的意思，两个数的，或者说数值上两个数字的这样一个终点都是这样来算的啊，他叫什么我写上吧， 他叫算数平均值。好，大家知道就行。那有了这两个平均值之后的话，接下来我们肯定是要说一下怎么去证明这样一个大于等于号的，那么怎么去证明呢？我们先来看第一个图弦图吧，照上弦图啊，这个弦图的话， 是咱们数学校才上的这样一个插图。这个图形的话，你看周围四个三角形都是全等的，中间呢，有一个小的正方形，外头是一个组成了大的正方形，那么显然大的正方形他是大于什么呢？他是肯定是要比谁大的呀？比四个 三角形的面积要大的吧。那这个大正方形的话怎么算啊？已知它的边长是根号加 a 方加 b 方吗？你看 a b 直角圆吧，根据勾股定理，你算出来就是根号加一方加 b 方。所以既然你大正方形的边长是根号加 a 方加 b 方，那就是 a 方加 b 方，平方一下嘛， 大于等于四乘二分之一 a b， 这就是它的面积吧。所以四乘二分之一其实就是二倍的 a b， 那么我们最终得出来的是 a b 小于等于二分之 a 方加 b 方，而是根号呢？ 去了，有时候不要那么死板嘛，你这样啊，因为 a 和 b 本来就是正数，我就让这个 a 等于根号 x， b 的话就等于根号 y， 那此时圈一的话，你看左边就变成了根号 x 乘根号 y， 就是根号加 x y， 右边不就变成了，你看 a 的平方，其实也就是 x 加上。哎，你说这个是不是基本不能是的内容？是呀，什么时候取等于号呢？看什么时候能够取等于号。很简单，一开始的时候，你必须让这个小正方形的面积等于零的时候，才能够画等于号吧。小正方形面积等于零， 那就是说四周这四个全等的三角形必须是等腰三角形啊，对吧？等腰直角三角形，那就是说当且紧，当什么当且紧？当 a 等于 b 这道题里头其实相当于根号 x 等于根号 y 的时候，这种情况下才能去 等于号，其他的时候都是严格的小于号。这个是第一个几何的正法，所以到现在大家应该清楚为什么他叫几何平均值了吧，就是这么来的，我们来看另外一个几何的正法啊。生用定律大家肯定学过吧，直角三角形中生用定律，如果你忘记的话，一定要看一下 我之前的关于摄影定理的详细讲解啊。那么看了这个有 a 有 b， 我们在这样一个半圆里头注意啊， a， b 是半圆的直径点， o 是直径的终点，其实也就是圆心。 那么现在的话，我们假设这个 ad 长度等于小 a， 然后 bd 长度等于小 b， 那么根据摄影定理的话，其中一个摄影定理就是说 dc 方等于 da 乘 db， 那不就是小 a 乘小 b 吗？所以 cd 的长度我们左右两边开一下屏 方就行了，就是根号下 ab。 那好了，继续哈。这个 ab 的话不用多说， a 加 b 嘛，那半径是多少？半径的话，其实也就是 co 的长度半径，那么就是二分之 a 加 b 啊， 所以你看图明显能够看出来，因为图中你这个半径明显是要比谁大的呀，比这个 cd 大的，一会咱们说一下取总条件啊。 所以说你这个二分之半径嘛，二分之 a 加 b 肯定是大于等于根号小于 b 的，这不就又证明完基本不等式，基本不懂式了吗，对吧？大家以后千万不要叫基本不懂式了，因为你通过这节课肯定能学懂了。好，那么学到这之后的话，咱现在讨论一下取等条件。什么时候取等啊， 不就是当 c d 和谁？ c d 一条垂线和 c o 重合的时候，那肯定是点 d 就 c d 平 平移往左边平移，当点 c 移动到我画的这样一个位置，当点地和点凹重合的时候，也就是说 a 等于 b 的时候，我们这样一个位置才能去等于号，其他位置都是严格的大于号的。清楚了哈。 那好，讲完这些方法之后的话，咱们也得说一说这个代数法，代数法是最快的哈，就是说大家肯定学过一个完全平方差公式吧，他等于平方 加平方再减两倍的交叉项，那么写完这个之后的话，肯定是大于等于，为什么大于等于零平方啊，一个数的平方肯定是非负数啊，对吧？ 所以根据这样一个不等号，那么就得出来二倍根号加 ab 小于等于 a 加 b， 那不就是 a 和 b 的几和平均值小于等于 算数平局。这不又整完了，什么时候取等，你就看这个地方什么时候能够取到等于号就可以了。什么时候啊， a 和 b 相等的时候吧，只有当 a 等于 b 的时候，我们才能去严格的等于号，其他时候都是小于号。所以说这个代数上的证明花费也是很简洁的哈。然后继续来看， 当你使用这样的基本不能式的时候，要注意一些口诀啊，就这几个，一正二定三相等，四同时同时就是同时取等于号的意思。这个我们之后呢会详细讲。首先你前三个是必须知道的， 这个一正二定三相等是什么意思啊？一正就是说 a 和 b 这两个数字，两个圆呢，必须都是正数，如果是负数，你可不能直接用啊，得变形。第二点的话就是定，要么就是你看，要么就是 a 加 b 是一个定值。我们现在呢，就能求 a 乘 b 的最大值了，要么就是 a 乘 b 是定值，我们就可以求 a 加 b 的最小值了，能清楚吧，一看就看出来了。 那么什么时候取等于号？一定哈，一开始我们学基本不懂事的时候，要养成取等于号的条件，什么时候就可以不用验证了，比如说只让你求一个最小值，然后当你算的特别特别熟练的时候，知道他一定可以去等于号的时候，你这个时候就不用去了哈， 刚开始学的时候一定要养成启动条件验证的这样一个好习惯。那好，现在来看第四点，第四点的话 这样说的常见的变形吗？你把二移过去之后的话，他经常用来干嘛？当经常用来求这个两数之和的最小值的成绩是一个定值啊，那就小于他就大于等于什么？这样一个定值也来用，求什么呢？也求这个成绩的最大值，也可以 这样来变。哎，知道这个圈是怎么变出来的吧，他其实就是在小于等于，就是在基本不等式的左右两边同时平方了一下，左边平方就是 ab 啊，右边平方就是四分之括号的平方啊，行了吧。好， 那么讲完这些之后的话，最重要的还是要从实践中来，到实践中去的来看，我们一定注意了，一正二定三相等哈。嗯，我先写上这个口诀吧， 三相等，我就简写上三等了啊。一正的话，正是要比零大点，所以这个式子相当于二 x 大于一，那么就是二 x 减一大于零。好，我们要凑的就是尽可能多的凑这样一个整体。二定的话不用多说哈，我们变形 看了哈。嗯，来，我们变形以成这样的形式，二 x 减一，尽可能出现这种形式嘛， 再加上二 x 减一，来，你这个二怎样变出负一来？来，我知道了，我不就把这个二变成了负一，再加上三，这不就是这个负二，这不就是这个正二变出来的吗？你既然是这样变出来的，那就简单了哈。好，二定。请告诉我，他俩乘积 就是第一项和第二项乘积，是不是个定值？是个定值一啊，所以接下来就简单了哈， y 大于等于二倍，根号下正数乘正数吧。那就二 x 减一，再乘二， x 减一分之一加三，那最后算出来不就是五呀，原来是大于等于五，其实当你算的熟练之后，这个时候可以直接写五的， 但是一开始我们学禁止不等式的时候，一定要养成验证取等条件的好习惯。什么时候啊，当且紧张，这个时候就不要写 a 等于 b 了，是这个地方什么地方全 取了，这样的大于等于号，是他开始的哈，从这个地方取到了大于等于号，所以就应该是这两个圆。二 x 减一等于二， x 减一分之一的时候，才能够取等于号。这不就是二 x 减一等于一吗？那最终不就算出来 x 等于一的时候， 只有当 x 等于一的时候才能够取等于号，其他时候都取不到。 x 能取一吗？能呀，只要是大于二分之一的数字，这个 x 都可以取啊，这不就结束了吗？ 清楚了吧。那来看第二个哈，它反了，最大值还是一正二定相相三相等。我们这个 x 大于一， 其实等加于 x 减一大于零，我们就是在式子里尽可能多的凑 x 减一这个整体，但是他给的是一减 x， 这个一减 x 可是负的呀。我们第一条就是一正嘛。哎，怎么办？遇到 复数怎么办？一提出那个负号来不就行了呀，这样的话就变成了看提出负号来就变成了 x 减一，再加上 x 减一分之四了。来，请直接告诉我这两项是不是正的。是呀，是正数就可以了哈。 因为你这样一个中号里头这个 x 减一，再加上 x 减一分之四，是大于等于二倍根号下就两者的乘积的哈，我就直接写了这个两者乘积不就是二倍根号下四就是等于四吧。 既然你这个括号里头啊，方框里头是大于怎么样？大于等于四的，那你加个符号之后，左右两边重复一把，里头我就不详细写了啊。来， 左边成了个负号，右边就变成负四，也成了个负号，但是不等号编号小于等于负四。原来这个 y 是小于等于负四的呀，填负四就行了，懂了吧，至于什么时候取等于号， 自己判断一下就行了。那行，我们继续来看第三题，第三题的话，你看专门考察你的曲等条件。看好了哈， 他说的是四， x 加上 x 分之 a， 把 a 看成一个正数啊。先把 a 看成已知的正数，在 x 等于三的时候取得最小值。四 x 加 x 分之正数加正数大于二倍，根号下两者乘积吗？咱直接利用群就不等式就行了。那么不就是四倍的根号下 a 吗？ 他现在问的不是说这个最小只告诉你是多少了，他是告诉你什么呢？当且紧当 什么时候能够取等于号？当天井当四 x 等于 x 分之 a 的时候，对吧？量着相等的时候，我们能够取等于号。他现在说了什么时候取得最小值取等于号啊，那肯定是当 x 等于三，那你把这个 位置的 x 都换成三吗？四乘三等于三分之 a， 那最终结果不就是 a 等于三十六，当 a 等于三十六的时候才能够取得最小值，行了吧。这个题就专门考察取等条件的。那行，我们继续往后哈。 嗯，这个的话是倒数形式的处理，倒数形式的话，大家一开始如果不做题，只看这些字母，可能看不出什么东西来，反而更迷惑了，咱们还是直接做题，有些东西你就看出来了。其实这部分的知识的话，我呢关于括号一，来，咱起个名字叫一等 代换，写到笔记本上了啊，为什么叫一的代换呢？来看好了啊，一其实就是常数的统称， a 加 b 等于一吧。我呢有两种方式来处理它，这个方法一就是代代入一。 什么叫代入一？就是你这个 a 分之一和 b 分之一里头这个一的话，我是完全可以写成谁是一， a 加 b 是一。那为什么你不把这两个一都写成 a 加 b 呢？行，我可以这么处理 来。这个上面这本来是一吧，这个一我也写上 a 加 b， 那稍微一处理，就变成了二加上 a 分之 b， 再加上 b 分之 a。 来，同学们，请告诉我， a 分之 bb 分之 a， 这两个正数乘积是不是一个定制？是啊， 互为倒数乘积为好，大于等于二倍，什么？二加上二倍？根号下两者相乘啊， 对不对？那最后原来是得四呀，当且紧当，什么时候当且紧？当 a 分之 b 等于 b 分之 a， 其实也就是 a 等于 b 的时候才能够取到这个四。反正能取到写多少就行了呀，写这个四就可以了吧。 是这样一道题，这是代入，那么有没有别的方法呢？其实更重要的不是这个方法一啊，方法二是你必会的。什么一的代换，咱们是要乘这个一的哈，为什么要乘这个一？他有什么好处？看了，这个方法是更重要的， 也就是说，原来你是不是要求 a 分之一和 b 分之一的这样一个最小值啊？我们 a 分之一和 b 分之一，你得结合到已知条件。这个 a 加 b 等于一吧，我就乘了个一，是不是相等啊？但是我希望把这个一呢乘的这个一改成另外一种结果，另外一种形式，已知条件。这种形式。好，懂了，知道了。 嗨，其实我要改一种更专业的写法。你知道吗？这个 a 分之一就是负一次方啊， b 分之一是负一次方，然后呢？你这个是一次方，负一次方乘正一次方啊。一般来说啊， 这个负一次方的代数式再成一个正一次方，代数式最后肯定会出现零次方，会出现一个数字的。哎，你如果能理解到这一点，你就是一个高手中的高手了，我们继续往后写啊，这样相乘之后的话，就还是会变成，然后二加上 a 分之 b， b 分之 a 大于等于后边就一样了吧。二倍 a 分之， bb 分之还是等于四，是不是？所以一定要先掌握第二种方法，第一种的话知道就行，就那个直接把字母里头一换成一加 b， 因为什么时候？因为这种情况下你直接换就不合适了吧。你把这个已知他告诉你，这是分开的两道题啊，已知 a 分之一， b 分之一加相等于让你求 a 加 b 的最小值，你怎么你把一带入，难道 a 先成一个？不行哈，咱直接来干嘛？咱们 直接来相乘就行了。你现在求的是 a 加 b 的最小值吧，那么我来乘一个一，它本身结果其实是不变的。我乘这个一，谁是一？已知条件告诉你吧，这个 a 分之一， b 分之一加起来就是一， 所以最后还是会变成什么结果？一加一二加上 a 分之 b， b 分之，那最后结果后边布线不再写了啊，跟前头就一样了，还是大于等于四的清楚了吧。所以那个乘一的一的代换这种方法是必须掌握的啊。 那好，再看一道题，这个题呢，也是啊，我呢先介绍一种方法，就是刚才做完了这道一题之后的话，大家有同学这么想的是，我求的是 x 乘外这两个正数乘起来最小值哈，我给他乘个一吧，可以这么处理哈， x 乘个一， 但是这个地方是二。没关系啊，我二分之一乘这个 x 分之二加上 y 分之三，这不就行了吗？二分之一乘，这个地方是二吧，所以其实还是乘了个一，没问题。 嗯，那么这么处理之后的话，咱们看一下得什么结果啊？里头的话其实就变成了，嗯，二 y 再加上三 x 吧，换一下顺序啊，三 x 加二 y 一个意思。好， 那改成这种结果好像又不会了。来告诉我是几次的？ x 的正一次， y 的正一次来，这个时候如果我外头有一个，哎，懂了懂了懂了懂了。 所以写成这种结果之后的话，我后边是不是还可以继续来乘啊？乘个什么东西啊？乘个一啊。关键是这个一怎么乘？来这个地方告诉你了，我再来一个，二分之一， x 分之二 再加上 y 分之三，两个二分之一相乘，我就直接写成四分之一了哈。然后括号里头乘的话就变成了多少呢？变成了 六加六十二再加上，呃，四 y b x 再加上这个是九 x 比上 y 来吧。请告诉我这两个是不是互道的结构啊？他倒不是倒数，但是是互道的结构，就是他俩乘积是等于一个长数三十六的，懂了吗？大于等于四分之一 乘十二，再加上二倍根号下他俩相乘我就不详细写了啊，其实就是四九三十六，三十六啊同志， 那最后结果算起来四分之一乘十二加十二，四分之一乘二十四六啊，就这个结果，这道题真的六啊。但是这个题有没有更简单的方法呢？其实我更推崇的还不是这个方法一我更推崇的还 还是这个方法二，你看他的变形是不是很多？变形是不是很灵活？一开始上来就让你学这样的军职不等式，你是不是就蒙了呀？但是这个是必须过关的军职不等式，其实他也包括科技不等式啊，他在初中的，他跟初中 类比一下啊，这个均值不能是在高中数学的地位，就相当于因式分解在初中的地位啊，非常重要。咱们来看啊，来，反而这样来做。我们通分一下 x 分之外，已知条件哈， 二 y 加三 x 等于二，那其实不就是三 x 加二 y 等于二 xy 吗？因为你最后求的就是 xy， 所以怎么办？你肯定是要只保留 xy 的形式。好，君主不等式，两数相乘大于 等于二倍，根号下三 x 乘二 y 吧，是吧？好，禁止不等式。那再处理一下哈，就这一步，二倍的 xy 其实二和二就可以消掉了。大于等于根号六倍，再乘根号 xy。 因为你 xy 都是正数啊，我所有我左右两边把这个根号 xy 消一下， 所以 x y 不就大于等于六。你说哪个方法优秀？肯定是方法二更优秀啊，他叫什么呢？其实当你写到方框里头这一步，他就叫另外一个名字，他是专门的这样一个基本不能说的考法，叫和 积共存式。什么叫合积共存式呢？我说一下啊，就是一个式子里头既有两个正数的合的形式，也有两个正数的成绩的形式，他就叫合积共存式。对于这样合积共存式的，我们怎么去 处理呢？你看一个式子里头既有两个元的加法，又有两个元的乘法，告诉你怎么处理。我们来做一道经典的题目， 这道题目怎么办呀？反正已知条件其实相当于 x 加 y 等于二倍的 xy， 他求谁你就保留谁，用什么方法保留？用军职不懂事保留呗，看军中不懂事的话。嗯，刚才这种形式关于这个圈一大家肯定很熟悉了哈。我这个 x 加 y 是大于等于二倍，根号下 x y， 这就是禁止不能杀。把二挪过来，他不就是二倍的 x y 吗？是不是好二小点。 嗯，然后根号 x y 它其实成了个一啊，也消掉，所以 x y 大于等于一。第一题的话就是一，你最后写一下驱动条件就行，但是另外一种形式 的话不太长，有同学可能不太记得了。你左右两边啊，根号 x y， 你这样 x y 小于等于四分之二 x 加 y 的平方。还记得这种形式吧，它其实就是在原来这样的军事部暖式的基础上，左边平方了一下，然后右边平方了一下得到的哈。好，现在我们继续 已知条件啊。他不是告诉你 x 加 y 等于二倍的 x 乘 y 吗？现在我只保留这个 x 加 y 了。 看 x 乘 y 小于等于什么。我已经说过了，小于等于四分之二 x 加 y 的平方来利用这部分吧。 那最终就变成了 x 加 y， 把这个二挪过来，小于等于 x 加 y 的平方。因为你本身这个 x y 都是正数，加起来也是正数啊。左右两边把同样的消掉， 所以不就是 x 加 y 大于等于二。这道题最小值就是二了，清楚了吧，这就是合计共存式，求什么你就基本不能是保留什么就够了。现在应该清楚了啊。那么我们来看这节课最后一个考点，用均值来求函数最值的考点啊。做一道题就行了， 这道题的话方法很多啊，我讲其中一种怎么办呢？你配凑也行，换圆也行，我这道题直接换圆了。什么意思？我们基本不等式的话，是一正二定三相的，这个正啊，就是比零大的意思，你已知条件已经强烈的提示你， 我谁比零大呀？ x 加一这个整体，它是比零大的啊，一正。所以我在处理这个函数形式的时候呢，我等号右边尽可能的保留 x 加一这个整体。行，那接下来我要用什么方法了？看好了啊，先 不告诉你。 x 加一没问题啊，分母就是这样一个整体，但是这两个分子里头两项啊，一个是加五，一个加二，我不喜欢，我希望把这个加五变成加一再加四， 对吧？我希望把这个加二呢变成加一再加一，这样的话。哦，我懂了，我可以换圆了。怎么换呀？肯定是 x 加一大于零的这个整体去换啊，这个 t 肯定是大于零的吧，对吧？所以此时换完之后，就变成了 t 分之 t 加四吧， 再乘 t 加一吧，那接下来就非常非常容易了啊，换元的思想或者整体的思想， t 方加五， t 加四，整理一下就变成了 t 加 t 分之四，再加上五大于等于两个数二倍根号下 t 乘 t 分之四加上五，那不就是九？ 这道题最小值就是九，但是作为大题，咱们是要写取等条件的判断，看能不能取到等于号的哈，能不能取到最小值。九当前仅当 t 等于 t 分之四，因为你在这个位置采用了大于等于号码， t 等于 t 分之四，也就说 t 等于二的时候，但是不够 t 等于二就是 x 加一等于二啊。咱们最重要判断的是 x 等于几啊？等于二，也就是 x 等于一的时候啊，只有当 x 等于一的时候才能取到最小之九。 现在应该学会了君之不懂时这几个常见的变形了吧。分享课堂知识，感受数学之美！我是杨帆老师，下节课再见！
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01:54查看AI文稿AI文稿初中不讲考试却会考，知道的直接秒题，不知道的被题目秒掉。今天我们讲个小众但大有作用的均值不等式。快速记忆的话，可以理解为 a 和 b 生了个 ab 儿子，天天男女混合双大。哈哈哈 的证明也很简单，由完全平方公式就可推出。 a 加 b 的平方大于等于零， a 方加二 ab 加 b 方就大于等于零，那么 a 方加 b 方就大于等于二 ab， 当且仅当 a 等于 b 时，等号成立，此时 a 方加 b 方也可取最小值。 那带根号的同理，戴个帽子隔着装神秘女巫作为正义的勇敢骑士，今天必须搂他看题填空先来读题， oa 垂直 ob 隔壁王奶奶都知道辅助线肯定再来俩垂直三垂直相似 递出 ab 关系明了，直接 ab 等于四十八。接下来如何搞定四 a 加三 b 这个条件？这是个问题，但在均值不等式面前，这不是问题。将 a 换成四 a， 将 b 换成三 b， 不情愿的代入后就可得到 四 a 加三 b 要大于等于二倍的根号下，四 a 乘三 b， 你以为要把它解出来？那太 low 了。题目已经告诉我们四 a 加三 b 取得最小值，所以这条件无异于自投罗网。直接四 a 就等于三 b， 这样他才能取最小值。 连力一二，用计算机口算可得。 a 等于六 b 等于八，则 a 的坐标就是六六 b 的坐标八负八。确定 ab 坐标后，凭感觉得出直线 ab 的解析式为， y 等于负七 x 加四十八。答案算个 屁，哈哈哈哈，屁的坐标就七分之四十八零 op 等于七分之四十八。均值不等式今天你学会了吗？懂得多就是好，做题时间用得少。记得关注我，你会变强，成为学霸。
14.5万远哥中考数学
03:15查看AI文稿AI文稿有多少高一的同学被基本不等式的基本两个字骗了？上课基本懂点，做题完全不会容易上，用三个例题让你彻底弄明白，一正二定三相等，还不会判断使用条件的同学赶紧上车了。我们先来看看他的字面意思， 很多同学到这一步就想投降了，有点难理解，但是问题不大，先把公式摆上面，从最基础的一正开始。 好，我们来看这里。首先观察一下这里的 x 是小于的，所以不能直接用这个基本不等式。我为了让这个 s 变成一个正数，我做一下横等变形， 也就是 y 等于负的负 x 加上负 x 分之一，显然这里的负 x 它就是一个正数了。那本来运用基本不都是应该是大或等于，但是前面这里有一个负号，所以说这个大或等于号，就 应该改成小或等于号。负的二倍的根号下，负 x 乘以负 x 分之一，所以它的最大值就是等于负二，是不是基本都懂了？其实二定的话也是一样的简单。我们再来看第二个例题， 这里观看一下这里的 x 乘以 x 减一分之一，它显然不是一个定值，我为了要构造定值条件，所以说很自然的想到把这个 x 减一看作一个整体，所以前面减去一个一，加上一个 x 减一分之一，后面就应该补一个一，变成这样的形式。 那么前面的两个式子我就可以用基本不等式，他就应该是大或等于二倍的根号下 x 减一乘以 x 减一分之一，再加上一个一，所以最小值是等于三的横中学一到 三相等，这步就学废了，我带大家再来经典例题帮助大家理解。来，我们来看第三个。首先观察一下，这里的分母是一个带根号的，所以很自然的我们可以运用一个换圆的方法。我们设 t 等于根号下 x 平方加上二，它显然是应该大或等于根号二的， 那么 y 的话就是应该是等于 t 的平方加上一，除以 t 分离系数以后，变成了 t 加上 t 分之一。很多同学想到了呢，这里就可以直接运用基本不等式了，他也就是大于二倍的根号下 t 乘以 t 分之一， 随他的最小值是等于二，这样对不对？显然这样是错误的，为什么给朋友们解释一下，因为这里的取等条件是 t 等于 t 分之一，我们解出来这里的 t 是等于一的，但前提条件是 t 是大于等于根号二的， 所以说它的取证条件是取不到的。那我们研究这个函数，它的最小值应该怎么办？我们就把它直接看作是一个关于 t 的函数，也就是 y 等于 t 加上 t 分之一，显然它是一个对勾函数， 在 t 大或等于一时，它是单调递增的，所以说它的最小值，也就是当 t 等于根号二十歪取最小值是等于根号二，加上根号二分之一，等于二分之三倍的根号二，大家都明白了吗？ 最后出道题目来检验一下大家的学习成果，没听懂的同学请明天到评论区补课哟！学好数学拿奖杯，不用试卷擦眼泪，关注农历上，带你找到学习的路！
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00:35查看AI文稿AI文稿能秒杀高中不懂事的公式都在下面了，就看你记不记了啊。
13.3万升学有铭师
07:51查看AI文稿AI文稿我们接着来看不等式的第四节，均值不等式。先来看知识书里第一条是均值不等式。提起变形公式，第一个 左边是二分之 a 加 b 大于等于个号 ab， 这是君子不等式的公式。左边是算数平均数，右边是几颗平均数。这里的条件要求 a 和 b 都是而正当且仅当 a 和 b 相等的时候取等号。 但实际上啊，实际上这里头的 a 和 b 都大于等于零，实际上就可以满足了，可以满足了，只不过是君子不能是给公式的时候限定了一个 a 和 b 都是正的，但实际上可以是零，懂吗？我把这个也申一下，如果是三个数， 左边是算数平均数，那么他也大于等于他的几颗平均数，当其紧当 abc 相当的 时候，成的等号成立。好吧，这就是均值，不能试。那第二个，第二个简单，就是由第一个左右都乘一个二就行了，还是当且仅当 a 等于 b 的时候启动第三个。第三个你可以理解成做个叉就是完全平放式了，对吧？ 很简单，但是第三个，你注意这里的 a 和 b 可以是负的了吧，所以 a 和 b 属于二，对吧？ 第四个，第四个，实际上呢，是由前三个推倒出来的一个，但是第四个是第七个里的一部分，所以咱们一会通过第七个就统一说一下，这里第四个咱们就不证明了先。好吧，来看第五个。 第五个 a 加 a 分之一大于零，二 a 大于零，如果 a 大于零， a 加 a 分之一，是不是就均值啊？ 是不是等于二，对不对？那 a 大于零什么时候去等呢？这两部分相等的时候，也就是解出来 a 等于一，这就是取等条件，是不是？ 实际上他跟对号函数是不是一个东西啊？这不就对号函数吗？只不过对号函数里面的 x 范围是 x， 不能等于零。你这里用均值的话，得要求 a 大于零，对不对？ 好了，第六个，第六个， a 分之 b 加呃， b 分之 a 加 a 分之 b， 大女儿还是直接均值呗。 但是你注意，我用均值的话，用要求 a 和 b 都是正的吗？用不着，他只需要满足这两个数大于大于零就行了吧。这两个数大于零，也就是 a 乘 b 大于零呗。所以他俩先加大于等于 二倍高下， a 分之 b 乘以 b 分之 a， 是不是等于二？什么时候去等啊？是不是就是 a 分之 b 等于 ba， db 分之 a 的时候，也就是 a 等于 b 的时候去等，是不是？然后第七个？第七个实际上，呃，第七个出来，第四个就出来了。所以咱们就第四个就没说，直接说第七个。 很多学生以为君子不能试，知道这么个东西就行了。这个东西是什么？是和和鸡的一个大小关系对不对？和和鸡的一个大小关系。但实际上你要想做好君子不能试的题，你除了和和鸡之外，还需要知道 平方盒还有到处盒他们的一个关系懂不懂？那这相当于这里有四部分，这四部分是有名字的，第一个叫做家全平， 第一个叫做加全平均数，第二个叫做呃，算数平均数， 第三个叫做几何平均数，第四个叫做条和平均数。这些名字无所谓， 重点你得把公式给我背下来，他们怎么挣呢？中间俩直接是公式的，剩下的实际上你都可以用平方呀，或者是做差呀，都可以挣，咱们就不细争了好不好？然后既然他们都是平均数的话，你要知道如果 a 和 b a 大于等于 b 大于零的话，那既然是拼语数，他们这四个肯定都得在 a 和 b 的中间，那所以 a 在最前面， b 在最后面，好吧？然后这一部分， 这一部分我可以把它变一个形式，分子分母都乘以一个二 ab 下面是不就是 a 加 b， 所以有的时候他给的是这个形式，你也得知道他表示的是调和平均数啊，这些不能是都是当且紧当 a 等于 b 的时候去等。哎，你注意，我这里头没写 科系不能试和全方合不能试。为什么呢？因为正常的这两个公式，他不是咱们高中需要掌握的内容， 对吧？而且你很多题，有的学生说，哎，很多题我用科技不能适合，全方和不能是，呃，可以做，对吧？但是你要知道，用我正常的方法，用咱们正常高中学过的方法，他也不复杂，所以有能力的学生呢，你可以背背 刚才我说的那两个科西和全方盒。那正常的学生，正常的学生，其实，呃，没有什么太大的必要啊，你用正常的方法就可以做了，好吧， 好，那接下来我们看第二条叫做均值不等式的使用条件。均值不等式的使用条件写了一正二定三相等。你注意均值不等式是指最上面这个对不对？ a 和 b 是不是要保证 a 和 b 都是大于零，这叫一正二定，什么意思呢？我举一个简单的例子，比如说， 比如说啊， x， 当 x 大于零的时候， x 加上 x 的平方，我用均值是不是大于等于二倍？个号下 x 乘以 x 的平方等于，那就是二 x 个号 x 呗，是不是这样的？我问你这个式子对不对？这个式 对不对？这个式子是对的，我用了均值是对的，但是有一个问题，你要知道你用均值是为了什么？咱们均值用均值不能是是为了求一个代数税的最大值或者最小值，那你说 这个东西是它的最小值吗？当然不是，为什么呢？因为这是一个变量，也就是虽然我均值不等是公式，我用的没有问题，但是没得到咱们想要的东西，咱们想要的东西是一个一个定值，但是这是一个变量，所以得要求 和式定值，或者是机式定值的时候，咱们才用均值，不能是这叫二定的意思，懂不懂？什么是三相等呢？举个例子，当 x 大于零的时候， x 加上 x 分之一，是大于等于二的用均值，对吧？什么时候去等 x 等于 x 分之一，也就是 是 x 等于一十取等，那也就是 x 和 x 加 x 分之一，最小值是二。但是我写一个 x 大于等于二的时候， x 加上 x 分之一大于等于二，他的最小值还是二吗？就不对了， 为什么呢？因为此时是 x 等于一的时候取等，但是明显此时 x 不能等于一，那你取不了等，取不了等，你就不能用均值，也就是此时态的最小值不是二，那是多少？咱们可以利用分那个叫对号函数 去结合对号函数的图像去求，懂吧？后面有对应的题，对应的题去做，所以俊职不能试的使用条件就是一正二定，赛前等我就解释清楚了。好吧， 那接下来那均值不等式的作用是什么？是解决合机平方合，还有到处合 这四者的相互转化以及求最值问题。相互转化以及求最值问题。嗯，那想过呃，深入的了解他，使用他。那咱们就通过 题呃后面的题型，一个题型一个题型的去练啊。好吧，那这个知识书里部分我们就讲到这里啊。
2407姜正霖高阶数学
01:35查看AI文稿AI文稿听说你的孩子很聪明，那就让他看看这个吧。这是一个长位 x 高位 y 的矩形，面积为 xy。 我们复制四份这样的矩形，总面积就是四 xy。 然后把这四个矩形拼成一个边长位 ax 加 y 的大正方形， 中间镂空的小正方形边朝外外减 a x， 那么四个矩形的面积可以表示为大正方形的面积。减去小正方形的面积， 也就是 a x 与 y 之和的平方减去 y 与 x 之差的平方，展开化减整理得到 c x， y 小于等于 x 与 y 之和的平方，进一步化解， 我们变得大了。算书籍和君子不等式。当然，我们也可以用另外一种方法来证明。首先我们画出一个底边长尾垒高位 b 的直角三角形，然后把这个直角三角形复制四份，拼成一个大正方形。再把 把每个直角三角形复制一份，沿着斜边向正方形翻转。显而易见，中间小正方形的边长位雷减地。接着我们就可以根据这个图形关系来计算大正方形的面积，也就是 a 与地之和的平方等于八的小直角三角形的面积，加上中间小正方形的面积， 花减之后的到 a 与 b 之和的平方大于等于四倍 a b。 换言之，打正方形的面积大于等于八个小直角三角形的面积之和。我们可以通过动态变化看出这一点。当前紧的 a 等于 b， 也就是指角三角形未等边指角三角形的时候，不等式可以取得号。于是我们用另一种方式得到了算数级和均值不等式。怎么样？很简单吧，关注本派盟，每天学习一个数学小知识！
15.8万派蒙科普
00:49查看AI文稿AI文稿均值不等式专课这种代数最值问题，我们来看说三 m 加四 n 等于二十四，求 mn 的最大值。那什么是均值不等式呢？那就是核定积最大，积定核最小， 核电机最大的意思就是当核是一个定值的时候，乘积一定有最大值，往这里面去，带三 m 带到 a 里面，四 n 带到 b 里面，我们来看一下，就是二分之三 m 加四 n 大于等于根号下三 m 乘四 n， 而这边是不是一个定值是十二啊，所以就能得到十二大于等于根号下十二 m n 在两边同时平方左边一百四十四，右边十二 m n 除以下去， m n 就小于等于十二了。
5069戴镜轩讲数学
00:51查看AI文稿AI文稿这种题直接写答案，让你写到手软。首先 xy 前面的系数写下来一二，再将 xy 上面的这两个数写下来一一好了，直接写答案，一一得一， 数字乘一，二得二，再加二倍的根号下。注意，哪个题都要有个二倍的根号，然后他们四个相乘 二，再比上一个等号右边的这个数二结束了，答案就是二分之三，加二倍的根号二。下一个方法一样，先简单一项写系数一二 ab 上面一二，然后竖着成一，一得一， 加上二，二得四，再加二倍的根号下，他们四个相乘也就是四，比上一个等号右边的数四，答案直接就是四分之九。点赞加关注，稳上九八五。
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00:21查看AI文稿AI文稿像这种简单的君子不等式，就不要再用乘以法了，完全可以口算出来，最小值就一定是大于等于。那么 x 前面的系数乘以 x 上面的数，一乘一。 总理 y 前面的系数乘以 y 上面的数数一乘四。再加上二倍的根号，下刚才四个数乘一遍，一乘一，乘一，再乘四，答案等于九。
3.1万宋骞极速数学
02:36查看AI文稿AI文稿每次考试都考一招制敌这种类型的题目，在我们月考里面超级爱考，一起来看一下。首先让我们求的这个题目，它的结构出现了分式的形式，我可以打包把你看成整体，打包把你看成整体，出现了你和你的倒数和。 那么在均值不等式篇非常经典爱考的方法叫一等妙用。一等妙用说的是题目出现两数有关的和出现两数有关的倒数和，我就可以给他乘起来， 乘起来之后就可以出现均直不等式的结构。所以呢，我就寻思着看题目有没有出现你俩有关的和呢？ 题目给的是 a 加 b， 没有 a 加二 b 和二 a 加 b。 哎，我就创造构造出你俩有关的和，而且你得结合提议去创造。我们来一起看一下到底能不能给他构造出来。如 如果我要出现 a 加二 b， 我还要出现二 a 加 b 的和行不行？如果有的话，你看，直接给他乘上去，展开就是我们均值的样子。这就是一的妙用，典型的结构形式。好，来看一下他是谁，我们是期待出现有他的 他。我刚好整理了一下三 a 加三 b， 我的天呐，题目给的是 a 加 b， 我带过来，这不就完了吗？三倍的 三乘以三分之五，相当于前面这一坨是五了。我给元氏乘了个五，我为了保证元氏不变，我再给他乘个五分之一，这事不就完了吗？直接打开，把它看整体，把它看整体。你俩一乘， 你俩一乘，你俩一乘，你俩一乘。回到我们经典的一的妙用里面来。四、加上二 a 加 b， 分之九倍的 a 加二 b， 再加上 a 加二 b， 分之四倍的二 a 加 b， 再加上一个九，来五分之一照抄。 九加四是十三，再加上我是不是给这一坨运用均止不等式就可以了。所以呢，他是大于等于二倍的根号。下 这两坨一乘，你俩干没了，你俩干没了。四和九一乘是三十六，直接搞出来二六一十二十二加十三，二十五，二十五除以五，他就是五。 什么时候取等呢？当且锦囊九倍的 a 加二 b， 比上一个二 a 加 b 等于四倍的二 a 加 b 除以 a 加二 b 之时，便是取得等号之日。这就是法一一的妙用之构造。当然，法二全方盒试一试，做起题目来也很方便。
261老胡模型数学思维提升
00:56查看AI文稿AI文稿考试必考题，三秒一个爽歪歪！出现两个数的两个数的倒数和求最值。我们直接分别拖拽他们的系数就可以了。他的系数是一和九，他的系数是一和二。你俩一乘，你俩一乘。直接带进来根号下一乘一加根号下九乘二， 括号的平方除以和对应的数据一。所以答案是十九加六倍的根号。下一个题目出现了 x 加二 y 看不了的和。 这里有 x， 这里缺二 y， 所以上下同乘以二。那么两个数的倒数此时变成 x 加一和二 y 了，那缺一个 x 加一怎么办呢？所以给他加一个一，这边变成二。两个数的和两个数的倒数和。直接拖转系数。他的系数是一和一， 他们的系数是一和四。你俩一乘，你俩一乘。根号下一乘一加根号下一乘四，括号的平方除以和对应的数字二。所以答案是二分之九。搞定结束。
4680老胡模型数学思维提升
12:09查看AI文稿AI文稿ok， 来提醒三。那慢慢的越来越难了啊，咱慢慢来。第一个，他说 x 大于二。好，咱 x 大于二，求函数的最小值。那管你的呢。那你说在这个式子而言，那要求最小值，你看 他肯定是一个整体，对不对啊？他作为一个分式，他是一个整体，那前面这个呢？哎，那你不能把二 x 分出来，你得是二 x 减四作为一个整体，对吧？你看 x 比二大，那二 x 减四肯定比零大，那所以呢？他刚好就 a， 他呢就是 b， 所以，因为他们俩相乘刚好是一个定值，是不是四啊？所以他就是 a， 他就是 b， 那我又投单了啊。那就是 a 加 b， 怎么着？大于等于二倍 根号下，我就不抄题了啊。 a 二 x 减四乘以二， x 减四分之四配成 b， 对不对？然后等于他俩直接约掉，是不是等于二倍根号下四，二倍根号下四等于四，对吧？所以你像这个题就做完了，做到这还得写什么 当前紧当，这个当前紧当每回都得写啊，自己要记住了。当前紧当什么呀？那是二 x 减四 等于二， x 减四分之四。那你真你就自己要去好好解了，知道吧。那记 x 等于三的时候我就不解了，挺好解的，你把这个二 s 减四乘过去就行了。 x 等于三十， y 的最小值等于多少？ 等于四呗。因为 y 大于等于四，那他的最小值就是四，那这个题咱就做完了，对不对啊？因为这里已经给你配好了，明白吧？他整整体，这个式子也可以整体去当做 a 跟 b 的啊。 ok， 进入下一个啊，不要吓一跳我这脑壳。 x 大于二函数的最小值。那现在让你求最小值的话，你说这个最小值。哎， 这里啊，我可以百分之百的。肯定有很多啊，极大多数同学都可以直接把他当做 a， 他当做 b 来做的啊。这个很正常，因为刚开始学的时候大家都会犯这种错误，你看如果你把他当做 a， 他当做 b， 我问 这个 a 乘以 b 等不等于一个数？ 他肯定不等一个数，对不对？等不了，你这约不了啊，对不对？他俩能约吗？约不了所以是错的对吧？哎，所以这种肯定不行啊。这你肯定不行，那你说我怎么办呢？ 所以你现在我肯定得用基本不等式，因为 x 大于二， y 等于他要求最小值必须得约。那你约不了怎么办？我能改分母吗？ 肯定不能赶父母对不对？嗯，因为我在补习班跟他们说的话就是什么呀，你今天是约也得约，不约也得约，因为我只能这么做。那怎么办？ 这个减四真的约不了，我是不是可以在这个 x 后边给他减个四啊，对吧？我分母动不了，我可以动钱的这个式子呀。哎，我二 x 减个四我不就可以跟你约了吗？对不对？ 减去四分之四对吧？我减，但是你要记住啊，你在前面减了个四，你得在尾巴怎么着？ 加上一个四对不对？就跟我们以前学配方一样的，你需要一个东西，你给他补了，你后边得补上，对吧？你得这个柿子跟前面柿子要香港，所以自己要记住了，可以配凑，自己拼出来就好了。那现在你看他 一正 x 比二大，那他是正的，他也是正的，对不对？二定他俩相乘是不是定值啊？是四对不对？那就完了， 他就是 a， 他就是 b， 那你说这个四怎么办呢？四是一个长数，咱可以不管，知道吧？所以 a 加 b 应该是大于等于二倍根号下 a 乘 b， 对不对？哎，我把它写全了，然后这个加四你就在尾巴给他带着就行了，然后等于他俩约掉得四，那就是二倍根号四加上四， 四加四等于八了，对不对？那就得八啊。那坐到这完了吗？没完对不对？哎，当前紧当啊，不要把他忘了，每回都得写大题，一定要写 小题啊，一定要检验一下。当且仅当什么？那是他跟他相当。 不是吧，咱说的是谁跟谁相等， a 跟 b 相等的时候，对不对？那就当且简单，二 x 减四等于二， x 减四分之四，哎，记 x 等于，那这个应该等于三吧。的时候外有最什么值？ 最小值等于八，对不对？哎，因为 y 是大于等于八的，所以他的最小值就是八，对不对？ 还有啊，这个题目你不要上来，你老想着啊，我要求最小值，我要求最小值，你不要想这个问题啊，你应该想着我能用什么啊，我能怎么去求。我看到这个式子应该，哎，叫做基定和最小，对不对啊？你得 想着我会什么，我能用什么公式，知道吧。那好，接着往后那来了，你看又来一个，还是一样的， y 等于二， s 加上二， x 减四分之四，你说哇，这回我会了，那你肯定会了，你应该是给他干什么呀？ 先给他减个四，对不对啊？减个四，然后再加上减四分之四，尾巴再加个四，对不对？ 哎，那你说哇，大于等于，别着急， x 比二小对不对？当然这是我一变式啊，肯定在变， x 比二小。那二 x 减四呢？ 是不是应该比零小啊？嘿，这挺好，我们已经是定值了，但是 现在是一个负的，对不对？不是正的吧？不是正的怎么办？他俩都比你小，你看他小于零，他也小于零，都小于零，咱说什么呀？左右同时乘以一个负一，对不对？ 嗯，我画的有点乱啊，就是讲讲思路，负万等于，那我乘个负一是变成四减二 x 加上四减二 x 分之四，那这个四要乘负一吗？ 都得成，做人要公平，对不对？要成都得成。然后你现在考察一下四减二 x 是个正的吧， 他也是个正的，对不对？二定他那三层是定值吧，所以他就是 a， 他就是我们公司里面的 b， 知道吧？ 那 a 加 b 就是他加他。大于等于二倍根号下 它乘以它，对不对？尾巴再减四，给它带上。这个尾巴长数可以直接带啊，带到后边就行了。那最后等于多少？二倍根号四减四，最后得零，对吧？ 那又来了，该什么了？当且紧当啊。这个当前紧当到后边我就懒得写了，咱这里先写一下。那应该是四减二 x 等于四减二 x 分之四 记 x 等于几的时候，应该是等于一的时候吧。啊，理解一下啊，如果错了，你要提出来就好了。 那这个时候负外的最小值是不是等于零啊？可以取到零，对不对？所以负外是大于等于零。所以外呢？ 小于等于零吗？你左右再同时乘个负一是不是就过来了？哎， y 小于等于零以后呢？那 y 的最大值就出来了呗。你看 y 的最大值就等于零，对不对？所以我说咱先不用考虑他，你求最大还是求最小，咱求出来以后自然的就出来了 啊。所以你要注意，其实就两点，一个是正，比如那边不行写这边，一个是正，你一定要记住，必须得是正数，一个是定。什么定啊？那我们刚刚念的这个题都叫做机定对不对？咱定不是分两 基定和核定对吧？啊？一定把它区分好啊。 ok， 我接着往后讲啊，不能太啰嗦了，不然讲不完。后边练习一你看又来了， 那 x 大于四分之五，求函数的最小值。那你这个题会了吗？应该是没有问题了，对不对？万等于四 x， 人家是减五分，母动不了，你只能在这减。那就四 x 减五， 然后加上四 x 减五分之一。你本来是减二，你现在减五了怎么办啊？给他 加一个三嘛，对不对？你是不是多减了个三？那现在没问题了， x 大于四分之五，那他就是咱公 是里面的 a， 他就是咱公司里面的 b， 对不对？那 a 加 b 就大于等于二倍，根号下 a 乘 b sex 减五分之一，然后尾巴再加个三，对不对啊？那就你应该没有问题吧。这个这个 哦，特别怕写错。那就二加三。那要算出来是不就是五啊？哎，后边你再写当且紧当，那我就不写了。这个主要就是你的方法啊，要 get 掉了。 get 到了就好了啊，自己要掌握。 ok， 那后边这个呢？ 那你看，又来了，我肯定先想到什么呀，先给他配个五。那就说 y 等于四， x 减五加 加上四 x 减五分之一，我多减了个三，是不是尾巴得加个三？但是你现在回来看， x 是不是比四分之五要小啊？ x 比四分之五小，那他就比零小，对不对？他小于零咱是肯定用不了公式的。他们俩都小于零 该干什么了？左右同时乘以负一，对不对？他这种题目来回就这种几种考法。那就复案，你改一下五减四 x 加上什么五减四 x 分之一再减去，对不对？我这里是把他的位置换了一下，本来四 s 减五改成五减四 x， 对不对？ 然后他就是 a， 他就是 b， 明白了吗？ a 加 b 大于等于什么？什么，对吧？ 我就简写了啊。那最后 a 加 b 应该大于等于二倍，根号加探点相乘得一减去三，是不是等于负一啊？哎，当且仅当不写了。那所以最后应该是负外大于等于负一。所以呢， y 就应该小于等于一，对不对？所以 y 的最什么值啊？最大值是不是得一啊？对吧？就这样做就行了。
578张蜀黍讲数学
02:15查看AI文稿AI文稿高一的同学注意了，今天咱们来讲一道需要使用两次均值才可以求出最小值的题目。已知 a 大于 b 大于零，求这个式子的最小值是多少。拿到这个式子之后，咱们先来看一下这个分数当中的分母，这一部分， b 乘以 a 减 b， 他俩的和恰好是 a， 所以如果这个地方先使用一次均值，就可以得到根号下他俩相乘小于等于二分之他俩相加，而他俩相加恰好是 a， 那么 b 乘以 a 减 b， 就小于等于四分之 a 方。那么对于这个分数来说，分母的范围有了，那当然分数的范围我也可以得到，就变成了 b 乘以 a 减 b， 分之一大于 等于 a 方分之四。当然这样做的前提是这两个数全部都是正数， a 大于 b 大于零。所以有了这个关系之后，我们会发现，那么圆式就变成了大于等于 a 方，加上 a 方分之四。 看到这个部分，大家很容易就想到了，再用均值大于等于二倍的他俩相乘开根号就变成了二乘二，也就是四，那么最小值是四。大家一定要注意均值使用的条件正定。等 两次使用均值，我们就要验证两次的等号是否成立。在这个地方，要想让等号成立，必须有 b 等于 a 减 b， 也就是 a 等于二 b。 而在这个地方， 我们要求 a 方等于 a 方分之四，也就是 a 方等于二， a 等于根号二的时候成立， a 等于根号二，此时的 b 就应该是二分之根号二。 所以两个均值不等式的等号可以同时取到，那么最小值是四就没有问题。 这个地方大家一定要注意，如果你多次使用均值不等式算最值，那么在一证二定三相等的基础上，一定要加一个四，同时同时取到才可以。
2141高中数学-李钰提分课堂
04:21查看AI文稿AI文稿高中数学其实真的不难，只要我们找对方法。那么这道题是一个同学问我了有关于基本不等式运算的一道题， 他的全班说是全军覆没，因为他不按套路出题。同学们如果说找不到合适的方法的话，那么这个题真的解不出来。我们一起来看一下。题已知证实数 x y 满足这样一个等式，也就是 x 分之一加上 y 分之四加四等于 x 加 y， 让求 x 加 y 的最小值。 还是用拆题法的思路给大家分享应该如何来解。那么首先看目标，目标是是让求这个 x 加 y 的最小值。 我们联想的基本不等式的话，那么最简单的想法就是机定和最小。如果能知道 x 乘以 y 的这个机，第一步就能求出来。那么我们一会看看条件是能否得出这样一个等式出来。那么第二 种情况，我们是否可以将 x 加 y 这个东西当做一个整体来看，找出有关于他的一个不等式，这是这个题的基本的思路。那么再看这个题，给定的条件是 x 分之一加上 y 分之四 再加四等于 x 加 y 这样一个条件等式。我们先目测一下，显然没有办法说直接求出 xy 的乘机为定值这样一个我们最理想化的一个状态。那么既然这第一个路子行不通的话，我们就看看第二步如何来走。 给定的这个条件是让我们第一眼看上去特别熟悉，特别亲切。 x 分之一加 y 分之四。 x 加 y。 让我们很容易联想到一的代换，但是这个一在哪里，如何来代换的话，我们就需要转换一个思路，将 x 加 y 当做一个整体。我们将条件是整理一步， x 分之一加上歪分之四，将大汉 x 加歪先分离开，将长处移到等式的右边。整理后的等式两边同时乘以 x 加为， 那么前面的式子即为 x 分之一加上 y 分之四，乘以 x 加 y， 后面 x 加 y 的平方减去四倍的 x 加 y， 就得到这样一个式子。那么前面的这个式子是让我们最熟悉不过的，这就是经常用一的代换当中出现来的式子。得到的就是五加上 x 分之 y， 再加上 y 分之四 x。 我们将后面的这两项直接利用，基本不懂事的话，那么他是应该大于等于五，加上四就等于九。也就是说 上面这个变形的这个等式左边是大于等于九的，是不是我们就可以推出等式的右边你大于等于九对吧。 x 加 y 的平方减去四倍的 x 加 y 是不是也应该大于等于九？ 那么直接就将 x 加 y 当做一个整体来解这样一个不等式。如果这样来看的话，这个不等式就清晰多了。 x 加 y 的平方减去四倍的 x 加 y 减九的 大于等于零。我们将它看作一个整体，解这个不等式的话，很容易的。能求出 x 加 y 大于等于二，加根号十三，就用球跟公式一算就好了。 或者 s 加 y 小于等于二，减根号十三。那么我们看看题目给听的条件。由于 x 和 y 都是证实数的话，所以这个肯定是要舍掉的， x 加 y 不可能小于零。从而我们就求出了 x 加 y 大于等于二，加根号十三，那么也就是求出了 x 加 y 的最小值，即等于二，加根号十三。那么这个时候我们回头再看看我们的取等条件能否取到等。那么取等条件其实就是在这一步， 也就是 x 分之 y 等于四倍的 x 比上 y， 也就是 y 等于二 x。 显然题目条件是可以取到等的，所以 x 加 y 的最小值记为二，加根号是三。 回头我们看一下。像这样一道题当中，我同学们如果是没有见过这一类题型，没有办法将 x 加 y 看作一个整体来找他的不等关系的话，那么不管是我们前面讲过了那么多种我们有关于基本不等式的这个解法的话，那么也是求不出这样的一个值出来。好，这个题 给大家分享到这里，更多的有关这类题的解法，同学们可以参照解题王，解题王告诉你高考命题的根本逻辑，想要在高考当中取得高分的同学，一定要去好好看这本书。
1966张文龙《解题王》主编
01:33查看AI文稿AI文稿来，今天这道题目，学过的一定会，没学过的一定废。设 x、 y、 z 为正数，并且这个式字等于四，让我们求的是它的最小值。三个位置量求最值的问题。 这道题目作为一道填空题，最快的办法是用均值不等式。均值不等式的最基本内容 a 和 b 都为正数的时候， a 加 b 是大于等于二倍的根号下 ab 等。 并且当且紧张 a 和 b 相等的时候，取到等号，它的证明过程就是完全平方公式。我们来用这个东东解决问题。 当我们求的这个式子乘开之后，变成了 x， y 加上 x、 z， 再加上外方，再加上 y、 z， 我们把能提公音式的部分给他拿出来，都提出外，就变成了 x， z 再加上外背的 x 加外再加上 z。 那么此时由于 x、 y、 z 都是正数， 这两部分咱们看成整体的话，他必定大于等于二倍的根号下他俩相乘。而这两个东东一乘，注意观察， 不就是这个式子吗？所以这里直接添四就好了。根号四就是二，再乘二，最终的结果不就是四吗？这道题目最终结果就是四，在填空题中，怎么快怎么来，大家听懂了吧，下课。
2817数学赵观察
01:48查看AI文稿AI文稿均值不等式虽然好用，但是一定要注意他的三个坑，一正二定三相等。我们来看题，这 fx 等于他，求他的值遇是什么？我们给他化解一下，下面保证不变。是根号下 x 方加上九，上面 x 方加上十，写成 x 平方加九再加上一，然后 x 方加九是这个的完全平方。我们给他化解一下，他应该等于根号下 x 平方加上九，再加上根号下 x 平方加上九分之一。连队员看到这啊，高老师，这个特别简单，因为如果 ab 都是属于二正的话，那么一定有 a 加 b 是大于等于二倍，根号加 a 乘 b 的， 但是这个有适用条件，一正二定三相等，有的人安老师给我用这个大于等于二，这就错了啊，同学们，那正确做的 应该怎么办？因为我们要检验一正二定三相等，看正肯定没问题，定也没有问题，我们需要看等是不是成立，我们检验一下，那他俩等的话，得保证 x 平方加上九等于一，这明显在除上是没有解的，也就是他是不成立的。那我们该怎么做呢？我们要考虑对勾函数， fx 等于 x 加上 x 分之一，我们画一下他的图像，他一定有一条渐进线，渐进线就是 y 等于 x 这条线，然后呢，这边大 x 一的时候取得最小值，二这边是这样的，这边呢是无限接近的，而我们知道这个整体的取值范围是大于等于三的，所以说我们一定要看，从三开始看， 这是一，这是三，那这边一定是单调递增的，也是在三处一定取得最小值，我们把三带进去，三加上三分之一，那么最小值一定是三分之十，那这边的话可以到正无穷，所以这个题的正确答案一定是三分之十，到正无穷。同学们，关于军之不等式这个坑你掌握了吗？
2505海淀数学高老师
06:42查看AI文稿AI文稿各位同学，我是你们的小学老师，今天我给大家讲的是基本不能是五类题型进行方法归纳。 那提醒一，直接利用基本步的是求坠值。那我们知道一般要使用基本步的是 要满足一正二定三相等。那我们先看第一题。第一题 x 代理， 因此 x 与 f 分之一都是正数。其次， a 乘以 f 分之一，它是等于定值一的， 因此这道题 a 加上 f 分之一，他就直接大于等于两倍的根号下， a 乘以 f 分之一 等于二， a 加 f 分之一大于等于二，因此最小值是二。那什么时候取得最小值？单且简单， a 跟 f 级相等的时候，也就是 a 的平方等于一，及 a 等于正负一的时候，等号成立。那因为 a 大于零，所以 a 只能等于一的时候， a 加 a 等级有最小值， 最小的就是我们的二。好，这道题是基式定制的时候，直接利用基本本是求垂直。那第二题我们看一下， a 在负一到一这个范围内，一减 a 是正数，同样的一加 a 也是正数， 那这个时候要求一减 a 乘以一加一的最大值。我们发现一减 a 加上一加 a， 他是等于定制啊。因此这里直接可用，基本不能是一减 a 乘以一加 a， 他要小于等于 一减加上 一减一加上一加一除以二这个整体的平方， 那这里里面二除以二等于一，一的平方还是一，所以一减二乘以一加一小于等于一，最大就是一。那单且仅 一减 a 等于一加 a 的时候，也就是二。 a 等于零， a 等于零的时候， a 加 i 分之一，不是 a 加 i 分之一，是我们这里的 一减 a 乘以一加二， 一减二乘以一加二，有最大值 为一。好，这个是合适定制的时候，也可以直接套用公式 求最值，那我们看第三题。 a y 均为正数，而且 f 级加 wifi 四等于一，求 x 乘 y 的最小值， 这个时候我们发现和是定值一要求 gx 乘外的最小值。其实我们也可以直接利用基本部分是求值求最值，那因为 a 大于零， y 大于零，那我们就有 f 分之一加上 y 分之四，他是大于等于两倍的。根号下他俩相乘。 f 级乘以 y 分之四， 即等于二乘以格号下是除以外。 那我们知道 iphone 七加 wifi 之四，它其实是等于一的。那这里我们建立了一个关于 x 乘以 y 的一个步骤，是记，一要大于等于两倍的根号线， 四除以 ay， 四除以 ay， 那因为我们知道 a 大于零， y 大于零，因此这里的 二乘以格号下四除以二也是大于零的，那一大于等于两倍，格号下四除以二，那我们知道两边同时平方也是成立的，那变成了四乘以 四除以 ay。 好，那这个不等式我们写在这里。一大于等于十六除以 ay， 然后因为 a 乘 y， a y 都是正数，我不认识。两边同乘以 x， y 变成了 x， y 要大于等于十六， x y 大于等于十六，最小值是十六，那什么时候去等号当且简单， 这里利用的基本部分是单且简单， a 分之一等于 y 分之四的时候， 那又因为 f 加 y 分之四等于一，所以 f 级等于 y 分之四都等于二分之， 也就是 x a 啊，弯腰等于八的时候， l y 有最小时 喂 十六，所以这道题 sy 最小时是十六。好，这是提醒一直接利用基本不等是求缀值，当和为定值，或基为定值，或者是 我们直接进人力一个我们所求所需要求的 x 乘外的不等式，求求他的对折 啊。这个就是提醒仪，喜欢的同学可以点赞评论。
3334新高考数学颜老师
01:17查看AI文稿AI文稿今天我们来讲一下均值不正式的母公式，所谓的母公式指的是咱们均制不正式部分的基础公式都可以通过这个不正式串给推出来，它是一个母体，那具体是怎样的，我们一起来看一下。首先呢，咱说下这四个结构，这叫 条和式，这个叫几何式，这个叫代数式，这叫平方式。我们做君主等式的题目的时候，其实前后之间的关系就对着其中的两部分，我们就可以接住这个不等式串，然后直接建立两者之间的连线。 比如说咱们现在知道 a 加 b 的值，然后现在让你求 a 乘 b 的对值问题，那么我们就可以用这个两者和与两者及，对吧？那么咱们 a 乘 b 两百平方下，是不是就小于等于 二分之 a 加上 b 的平方，对吧？那同样的，如果现在告诉你 a 乘 b 之之，让你求 a 加 b 之之呢？ 那么我把这二乘过去就可以了。这两块把二乘过去之后，得到的是 a 加上 b 大于等等于两倍的根号 a 乘 b， 同样的 a 乘 b 与 a 方加 b 方的关系， a 加上 b 与 a 方加上 b 方的关系，都可以通过这个去推到。 可以说在军人不正式题目里面，我们只需要确定出他是哪两块结构，我们就可以借助这个不正式串确定出他的公式来确定出他的解题思路来，一点不麻烦。
2081迈斯高考数学
