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20:52查看AI文稿AI文稿一九二六年，薛定鄂发明了薛定鄂方程，在比较简单的情况下，他是这个样子的。我们看到从数学的角度来看，他就是一个关于函数塞的二阶微分方程。在物理上他的名字是定太薛定鄂方程， 因为他描述的太不随时间变化。从物理上怎么理解这个方程？我们要从代表能量的哈密顿量出发。系统的哈密顿量是动能替加式能 位，而动能可用动量写出。为什么动能会使动量的平方除以两倍质量呢？我们只需要在动能的表达式中用动量替换速度即可。 薛定鄂的意思是说，在哈密段量的表达式中，用一个二阶岛替换动量，然后 h 作用在塞上面，等于一作用在塞上面构成一个方程。这个替换的原因以及这个方程实际上是薛定鄂用变分法算出来的，但不是本 期的重点，我们以后再说。我们可以认为薛定鄂通过某些方法得到了某个描述粒子运动的方程，而这里的神秘函数塞，虽然当时他的物理意义不是很明确，至少薛定鄂本人是没有搞懂。 现在一般认为是在某个 x 点发现粒子的概率符。概率就概率，概率符是什么意思呢？一般来说，拨函数赛是一个复数函数，这个复数作为向量有一个长度，其平方就是概率，所谓的符就是正符。薛定鄂方程提出以后，大家都很高兴， 奇怪的量子行为转变成熟悉的微分方程，接下来的工作似乎就是甩开膀子算就行了。但是他们很快就发现一个问题，那就是他们并不会算这个微分方程，这听起来有些搞笑，实际上细想也很有道理。毕竟大家数学都不是很好 阵，都不知道薛定鄂作为提出方程的人，很有必要在论文中带头算两个例子看看，毕竟不是不相信你，我们大家想开开眼界。薛定鄂的办法是抄书。对于依偎的情况， 他首先把凡人的系数归拢到一起，然后转化为一个看起来简单，实际上没啥区别的方程。这个方程中的波士 k 由德布罗伊关系连接到动量 p， 是一个开根号的形式。接下来，薛定鄂拿出科朗和希尔伯特的数学物理方法，对着上面的例子看， 哪个方程长得差不多就用哪个。科朗的数学物理方法是一九二四年出版的，薛定鄂要做的就是抄作业。当人们谈到薛定鄂的时候，总是赞叹他的数学水平，但是实际上他所做的更多是微分方程的搬运工，将科朗的式子赋予物理意义。在我们大学一年级的时候， 会学到解长系数的线性微分方程，从本质上来说就是这里的微曲长数的情况，我们等会会复习。这点薛定傲的超出之路其实也不算那么一帆风顺，因为实际上也没几个有解西解的，无非是平方 或者倒数。我们教科书上教的其实也快到他能找到的极限了，但是生活并不会按照书本发展。用薛定鄂的方程解决问题的物理学家很快发现，真实体系的势能函数千变万化， 不变的是科学家一个都解不出来。这就好像一个钢琴家拿到了乐谱，但是发现并不能弹奏， 可怎么办？对于数学家来说，解析解并不是个大问题，他们觉得只要解存在就行了。对于物理学家来说，解析解算不出来，我们总有办法做做近似看看吧。于是，就在薛定鄂发表论文的同年，一个方法被三个人发 发明了出来。这三个人的名字是文策尔、克拉莫以及不理员。后来大家用这三个人名字的首字母来给这个方法命名，叫做 wkb 方法，这也就是我们今天的主题。其实 wkb 方法并不是当时独创的办法， 而是一个不断被发明的办法。早在一百年前，意大利数学家卡利尼就研究过这个解法。一八三七年，格林和刘维尔研究了微分方程的近似解法，史称刘维尔格林方法。刘维尔是大家比较熟悉的， 薛定鄂方程的的本正态和本征能量以及微扰解就是薛定鄂基于对司徒姆和刘维尔二阶微分方程的工作搬运来的。接着这个方法由贝瑞利干斯杰佛里斯发明。瑞利勋爵大家很熟悉了，他是研究生学的，研究波动方程的近似解是最 自然的事情。结果李斯就有些可惜，他在一九二四年详细研究了包括薛定鄂方程在内的二阶线性微分方程的近四节。但是这个时候薛定鄂方程还没发明， 所以他的工作常被人忽略。实际上，他的名字首字母 j 常常和 w k b 做排列组合命名。这个方法包括， w b k b w k w k b j j w k b b w k j。 当然， 各个国家都喜欢把自家人排在第一。文侧尔是德国人，克拉莫是荷兰人，布里渊是法国人， wkb 这个名字估计就是德国人取的， 毕竟德国当时是科学的中心。那么这三个人和之前研究的主要不同在哪呢？一句话，他们给出了转变点的分析，连接了震荡解和衰减解。现如今的大多数物理教材，包括格里菲斯 这样的入门教材，讲述 wkb 方法的时候，都是直接代入你设连接用爱里函数，这样做不仅会吓跑学生，毕竟摸鱼大学生，谁知道爱里函数呢，还与史诗不同，毕竟当时科学家矩阵都不懂， 当然不会特殊函数。那么他们当时是怎么绕过特殊函数研究转变点的呢？接下来我就从最符合直觉的角度出发，带大家看看他们的绝妙思维。我们首先带大家复习一下大一的微分方程，考虑到大家都忘了，我们就讲的简单详细一点。 首先考虑这样一个弹簧震子，一个质量为 m 的震子连接在一个进度系数为 k 的弹簧上，那么把它拉开平衡位置时，他就会受到弹簧的恢复力作用。首先由牛顿第二定律，震子受到的力会等于其质量乘加速度，加速度就是他的位移对时间的二阶档。 所谓二阶岛，就是球两次岛，大家上高中应该都学过球岛位移，球一次岛是速度，再球一次岛是加速度。这个力的大小怎么得到？由胡克定律，他与物体的位移成正比，加一个回复符号，把两个 f 约掉，我们就能得到无摩擦的自由震子的运动方程。 因为这里 k 除以 m 是长数，所以也叫长系数微分方程。根据我们的生活经验，一个这样的弹簧阵子脱手以后，会在平衡位置震荡，而来回震荡最好的体现是三角函数， 所以我们可以猜测这里的解就是三角。在很多地方都会叫做拟设，意思就是猜一个含有未知参数的函数代入方程，看看能不能调到参数，得到真正的方程的解。这里我们猜一个正弦函数进去，该有的未知参数都有了。 scene 求导是 cos， cos 求导是复 thing， 也就是导两次导回来了正好可以消掉，接着只要将系数调一下就行了。在这里我们让频率等于 k 除以 m 开根号，然后用初值确定 a 和 five， 就得到最后的解了。所以这样一个弹簧震子的运动方程，无非就是一个三角函数，和前面的薛定鳄方程进行比较， 如果 k x 是一个长数，那么形式是完全一样的。这也就说，当这里的微取长数的时候，薛定鄂方程的解就是三角函数。真的是这样的吗？也不是，我们发现 弹簧振子系统中 k 除以 m 大于零，这样就是说方程一次项的系数应该大于零，而薛定鄂方程不一定。如果一大于 v， 那固然很好，三角函数直接套，如果不是这样，那就得多一个负号震动频率成为了一个虚数，这可如何是好？当然， 作为优秀大学生，三角函数里面有复数不会吓到我们，我们可以用欧拉公式写三角，比如 cix 就可以写成一指数形式，我们发现一指数上面的虚数消成实数了，意思就是说 c 里面带虚数，本质上就成为了指数函数。那么这两种情况就很明确了， 当能量大于势能波函数就是三角函数。当能量小于势能波函数，就是指数衰减或增加的波。那么这种指数衰减或增加有没有物理模型呢？ 我们可以举一个简单的例子，比如我们上高中时候在生物课上学过所谓的这一行曲线和 s 型曲线就是满足指数爆炸增加的。这一行曲线说的是在没有天敌、资源充分的情况下，种群的数量增长率与种群的数量成正比。虽然这是一阶方程，但是求一 下倒就变成二阶的了。从方程的解的角度来说，二阶方程有两个不相关的解，一个对应指数上升，一个对应指数衰减。现实中能量大于 v 和小于 v 是共存的，比如左边 v 等于零，右边 v 很大，比如说右边是一堵墙。 这个时候我们想到左边应该类似三角，右边类似甩减。这个事情有两个奇怪的地方，当我们认为拨函数从某种程度上代表粒子出现的概率， 就会发现粒子有概率穿墙。从波动的角度来看，这并没有什么大不了的，在光的全反射中，也会出现指数透射进物体的舒适波。但当你思考宏观物体的碎穿效应时， 就必须要同时考虑遂川的极小概率以及退香干效应。遂川效应已经广泛用于显微镜和传感器上，其真实性毋庸置疑。我们更加奇怪的地方 在于，为什么在两个不同区域的解会以这样的形式连接在一起。从数学上来看，这个事情不是那么复杂，既然塞满足这样的二阶微分方程，那他至少应该是二阶可导的。那拨函数连续和导函数连续看起来是显然的，事实上， 在大多数情况下都是用边界上拨函数和导函数连续匹配拨函数的。当然，有一些例外的情况，比如 delt 是中导函数不连续。在薛定鄂的早期论文中，对拨函数的限制非常强，他要求塞是实的，单值的有限的， 并且知道二阶连续可危。纵使你可以从数学上和哲学上找到非常多的返利，但是你不得不承认，在实际的应用中，大多数情况只要匹配拨函数和导函数就能解决问题。从简单和基础角度来说，我们可以认为 和祈祷函数是连续的，这就是连接两个不同区域解的办法。好的，现在我们知道了当时能不随空间变化或者至少方方正正变化的时候，拨函数的解是什么样的， 无非就是能量高，三角能量低，能量指数。事实上，我们也就只需要知道这两种情况。接下来我们将看看怎样用这两种解来近似得到所有形状的解。我们首先考虑一个经典的情况，一个小球在两个墙中间来回弹，我们知道用拨函数描述就是三角函数， 因为中间能量大，于是能。但是同时我们可以想到，如果这个小球在某个点的运动速度很快，那么平均来说，他出现在这个点的概率就会减小。这就像我们在马路上面开车快，车道上面车一般比较少，而堵车的时候因为速度慢，车子就多，我们可以用不确定 关系来描述。比如说我在某个点找到某个粒子的概率，按道理说是拨函数的模平方，他乘这一点的动量应该是一个不大的数。把 p 除过去，两边开根号， 按道理来说，拨函数应该还有个一指数，加上以后，这个函数似乎就可以用动量描述控制政府了。对于一个势能随位置变化的情况，假设势能变化的不是很剧烈，我们就可以用很多个方式类来模拟这个势能。每一个方式类就能确定一个局域不变的动量 p。 在一个局域中，我们就可以仿照前面的方式垒的三角函数解来得到拨函数了。与方式垒不同的地方在于，拨函数前面成了一个动量的根号，开控制正符。我们将所有的方式垒中的拨函数解出来，然后用前面说的连续条件连在一起。当方式垒取得很密的时候，不就相当于 得到原来是能的拨函数了吗？用很多个方式磊来代替，原是能，这就是 wkb 的核心思想。现在我们考虑两个方是磊连接的情况。为了简单起见，假设能量高于是磊，我们看到 一区的能量小于二区，所以一区的粒子运动速度理应较大，这样粒子在二区出现的概率较大，震幅较大，这是符合预期的。现在我们将这两个区的三角函数连接起来。 对于一区和二区，我们可以写出三角函数拟设差别在姓里面的参数。如果要在 x 一处连接，二者缓变条件要求政府近似相等， 所以只要适应相等即可。适应里面相位相等或最多相差二 k 拍，这是不影响结果的。接下来的区域如法炮制，将整体的势能函数分成几个方式类，前一个区和后一个区相位连接， 能够得到最后一个区和第一个区相位关联。这个求和的数学意义已经很明确了。离散化连续，当然就是 x 对 k 的积分。考虑到 x 十次变量，我们应该对其分布积分， 当然在离散情况下就是所谓的阿贝尔变幻。总而言之，我们可以用积分来表示这里的相位关系了。具体而言 是求和化成积分，然后分布积分，这样我们就完全得到三角函数里面是什么了。总而言之，利用这个办法，我们可以得到 wkb 的拨函数形式，系数与动量开根号成反比， c 里面是动量 k 的积分。我们说 w、 k、 b 是一个近似，它究竟近似在什么地方呢？近似在势能在德布罗一波长中的变化很小。假设势能变化的很快，那会发生什么问题？很明显，波函数没有扭几下，又换势能 了，就不能局域用三角函数代替。就像如果你出去旅游时不断切换景点，最后只会应接不暇，达不到和任何一个景区产生共鸣。最后一个地方都没有完好。在现在的教科书中， 关于 wkb 的推导是这样的。首先，对于这样一个方程，假设塞的形式是这样的，直接带入就会得到一串表达式，注意亦可以约掉，而实步和虚步可以分开。所以最后会得到这样两个方程，一个是 a 的二阶岛，另一个其实是一阶岛。在这里， 近似条件为 a 的二阶岛很小，所以第一个方程中 a 二阶岛去掉，这样就可以把 s 解出来，然后将 s 带入第二个方程，就能算出来 a， 综合一下就得到和前面一样的近似解了。这个方式看起来很简单，但是这样一来我们就比较难知道 到底近似了什么，变成了纯数学计算。现在我们几乎可以跳出薛定鳄方程来书写拨函数了。首先由能量和势能确定动能 p， 当然动能就等于波使 k 德布罗伊关系，然后直接把这个 k 带入到下面的函数， 就得到近四解了。这里 k 的绝对值实际上就是当 k 是虚数的时候把 a 去掉。但是我们还有一个问题没有解决， 那就是当一等于 v 的时候怎么办？这个时候 k 等于零，还在分母，这还得了？这说明物理的大厦轰然倒塌了吗？当然不是，只是 wkb 的近似条件不符合了， wkb 要求的缓慢是在这个地方不适用， 所以我们需要将两边的波函数连接起来。我们来看格里菲斯上面的一张图，图中左边和右边是自由电子，意思就是能量大于势能微，所以是三角函数。 在零到 a 的区间中，能量小于是能，所以是以指数衰减的。我们需要在一盒微碰撞的那一点，比如零和 a 找到两边函数的连接方式，当然如果是这样直直的撞上去问题不大。 我们有拨函数连续和导函数连续，如果中间的是是一个坡，那就不行了，因为分母会慢慢的趋于零。我们必须要在远离焦点的地方截断 wk b 线，在中间找到一个过渡函数。在这个问题上， 几乎所有的教科书都采用了将智能线性化，然后解这个线性式的薛定鄂方程。接着引入爱丽函数， 通过爱里函数的大计渐进表达式对两边的拨函数进行匹配，达到连接的目的。这里表达式和渐进展开大量的计算，足够把读者吓破胆了。这样做当然没有任何问题，但是肯定会给大家用 幼小的心灵带来极大的创伤。我们不禁要思考，当时发明这个方法的人，数学还得超书，怎么可能耍得动爱丽函数呢？事实上，他们没有用任何特殊函数。接下来我说的内容来自一九三八年破西科的论文，他几乎不会出现在任何教科书中， 但是你看后一定会赞叹奇经秒。我们假设势能的形式像这个抛物线那样，而能量一从中间穿过去和势能焦点在 x 轴上投影是 a 点，另一边交在 b 点。我们着重分析左边的焦点情况， 所以将 a 设为坐标原点。左边 ae 能量高，右边 a 二能量低。 ae 和 a 二之前的范围就是 wkb 不适用的范围。但是真的是这样的吗？答案是不一定。如果我用两个方式累代替能量，他就适用。量子力学的先驱的动键 在于将 a e 和 a 二选取成能量对称点。具体而言， a 一的能量和 a 二能量的平均值是 a 的能量 e。 既然 u e 减去 e 等于一减 u 二，那么这两个方式类的动量 k 一和 k 二就是相等的。这样， 将 a 一和 a 二往 a 推，这个式子依然成立，而这两个函数的链接是简单的，函数连续 a 等于 b， c 导函数连续 a， k 等于 b k cost 正是选取两边 k 相等，所以才能约掉我们，很快就能得到结果。 c 等于 cos， 那么这里的向位就是四分之一派，我们瞬间就得到右边的拨函数，向位也确定了。值得注意的是，当 x 等于 x 一的时候， c 里面是四分之派，而 c 最大值在二分之拍取到，所以拨函数的最大值在 a 点后四分之拍向 回答到。观察一下真正的爱里函数，就会发现在零点并不是最大值，还要往左来一点，从物理上很容易响，因为粒子撞墙一来一回两次，经过一点，找到他的概率一定比在墙上找到的概率大， 因为他仅仅在墙上待了一次。同样的，我们可以在 b 点给出相同的波函数，他们的形式基本相同，唯一不同的是积分上下线有些变化。现在我们考虑粒子在 ab 之间的运动，很明显经典情况，粒子在 ab 两边不断撞墙， 那么 k 对 x， 从 a 积分到 b 是什么呢？从左边的图像可以看到， a 离最大值四分之派， b 离最大值四分之派， c 里面两个最大值之间的距离是安派，这样从 a 到 b 的相位就是安加二分之一派，这是一个非常重要的事情。由三角函数的整数 性质，我们可以得到一个积分的整数化。当我们用动量 p 代替波士 k， 然后从 a 到 b， 再到 a 做环路积分，最后的结果恰恰就是波尔索。莫非量子化条件？我们说过，不论是波动力学还是矩阵力学， 都没有提到电子在原子里的运动，而波尔的脚动量量子化条件的提出似乎是一个幸运的巧合，由薛定鳄方程做 wkbg 四就能得到波尔量子化。这样波尔的那一套理论为什么成功就有了解释，也就说我们绕了一大圈， 发现最后还是回到波尔最开始出发的地方。这并不奇怪，因为科学就是发现验证在发现的过程。关于 wkb 解决实际问题的例子，我并不想举很多，因为都是书上的。我就举一个例子，斜震子。当我们把 k 用 e 和 v 代替的时候，会发现 其实这个方程是一个输入 v 给初一的过程。从这里我们看到能量意是不能乱取的，需要满足这个积分方程，也就是说在这种情况下，能量才是量子化的。现在我们把 v 的实际表达式带入看看，这个积分很好做， 其实就是一个半圆的面积，当然是面积，实际上就是向空间轨迹围成的面积。我们做出这个积分，会发现能量恰好就是精确的邪震子能量，当你把能量带回拨函数，就会飞快的得到邪震子拨函数。当然这个式子也不是百发百中的， 因为他受边界条件的限制。除了这种缓变的边界条件，还有两种边界条件，比如说硬边界条件，也就是两边是无穷高，是累，这个时候二分之一就去掉，或者说周期边界条件，他就没有转变点。但是在我们的一般情况下， 用这里的量子化条件都是正确的，即使用错了，差别也不是很大，毕竟都是近似。此外，当你实际用 wkb 计算波函数的时候，会发现能量越高的波函数算的越准。这个事情的解释是这样的， 根据节点定理，能量越高的钛等于零的根越多。也就说能量越高的波函数扭得越厉害。 你可以理解为波函数等于零会耗能。由于扭的多，所以德布罗一波长相对较小，与变化迅速的波函数相比，势能的变化相对就缓慢了。这恰好是 wkb 方法的适用之处。如果有人想知道具体是怎么回事，那我们就以后再聊聊吧。
619泰勒猫爱丽丝
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01:43查看AI文稿AI文稿不了解的时候呢，我只用一些简单的意识啊，比如用爱呀，用这些简单的意识，用包容啊，去调制这个可以吗？可以啊，这是江本胜的这个这个理论体系所涉及的部分， 但实际上背后还有更高境界的东西。更高境界的东西来自于什么呢？来自于我们人类的各个智慧系统里边的经文、咒语，这些东西，如果你会用这些东西去调制的话，就更厉害了。 所以我们知道很多寺庙里面他进行一些通过，通过这个，呃，比如大悲咒啊，这些加持了以后的税，他确实跟一般的税他不一样。 但这边有前提啊，那必须是你真正你达到那个境界啊，你所共振的一个能量场对他才会产生调制。另外还有一个很有意思的事情啊，大家知道我们现在这个量子技术发展到一种什么境界了吗？啊，在两年前 我接触一个公司，就在国内的一个公司，他们做量子啊，量子的这个疗愈的工作，其实这个公司他本身做量子，在那个之前只做了两年。在两年前他们还是做房地产，做这个， 那这个公司的老板做呃这个这个获得了财富以后，他想做一件事情，要做养老啊，要做老年人健康保健啊，他就想找一个现在世界上先进的这套仪器设备来做这方面的工作，就他去考察。结果到台湾的时候，他就选择了啊一台这个 量子治疗仪。这套量子治疗仪本身是美国人生产的，它有一个功能是可以远程治疗， 他是可以远程治疗的。大家知道这个量子仪器怎么可能远程治疗是可以的。今天我们已经知道有量子纠缠这回事了是吧？量子纠缠可以在远程发生效应。其实所谓量子纠缠啊，什么纠缠呢？就能量波干涉。
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