泊松分布进球概率计算公式
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03:42查看AI文稿AI文稿拓端 tic dat 语言贝夜斯 poison 颇松正态分布模型分析职业足球比赛进球数原文链接， tactic 二三零九九在本文关于如何在 r 二中进行贝夜思分析，我们介绍贝夜思分析 这个例子是关于职业足球比赛的进球数模型。首先，我们认为职业足球比赛的进球数来自分布， 其中是平均进球数。现在，假设我们用一位足球专家的意见来得出足球比赛的平均进球数，即参数。 我们得到我们想知道什么？在这种情况下，我们想知道的后宴分布是什么样子的？这个分布的平均值是什么？为了做到这一点，我们将在三种情况下分析。我们有一个观察值 x 一，来自分部位 总体。我们有三个观测值 xs 一三五来自一个具有分布的总体。我们有十个观测值 xu45434 4327245 来自一个具有分布的总体理论方法在这里我想告诉你贝叶思分析是如何分析的。首先， 我们又一个来自具有未知参数的颇松分布的人口的释然函数。我们知道参数的鲜艳分布 p 是由以下公式给出的最后的后宴分部位，其中常数 c 的计算方法如下，而后宴分部 h 对的平均值有以下公式给出计算方法在 在这里，你将学习如何在 r2 中使用蒙特卡洛模拟来回答上面提出的问题。对于这三种情况，你将最 遵循以下步骤，一、定义数据首先，你需要根据方案定义数据。二、计算长数 c 现在使用蒙特卡洛模拟来计算积分，为此有必要从鲜艳分布中产生 n 一万个值 i， 并在释然函数终评估他们。最后，为了得到 c， 这些值被平均化 l 中的代码如下， 1n100000 模拟值的数量 2 第零二、鲜艳分布三 prod pass xlamba batte 释然函数三，寻找后宴分布计算完 c 后，你可以得到后宴分布，如下所示， 1 for the tag noss attack 四、计算后验分布的平均数最后，你可以使用蒙特卡洛模拟计算积分来获得后验 分布的平均值。一、 integraming ox 2 posterior integralt 结果如前所述，上面介绍的代码用于所有三种情况，唯一根据情况变化的是 x。 在这一截中，我们将为每种情况展示一张图，其中包含的鲜艳和后艳分布。 后宴分布的平均直蓝色虚线和观侧直粉红色的点。第一种情况一 craft norms 二五零二靠四， xx i airplane landfix 二， lane lampasterere legend top rat legend thou yang 鲜艳第二种情况第三种情况，结论从结果中我们可以得出这样的结论，当我们有很少的观测数据时，如图一和图二。由于缺乏样本证据， 后宴分布将倾向于类似于鲜宴分布。相反，当我们有大量的观测数据时，如图三，后宴分布将偏离鲜宴分布，因为数据将有更大的影响。我希望你喜欢这篇文章，并 了解贝夜思统计。我鼓励你用其他分布运行这个程序。
53拓端tecdat
25:13查看AI文稿AI文稿大家好，我是老 k， 那 今天我们一起学习离散型随机变量的概率分布， 那今天内容主要是有以下这个部分，第一小部分会和大家一起回顾一下随机变量以及伯努利实验的定义，那接下来会把离散型随机变量三个比较典型的这个分布给大家做个介绍，零一分布、 二项分布以及拨冲分布，最后会给客让这个小节。好，下面我们先把这个概念做一个回顾。 第一个是随机变量，那随机变量指的是取值无法预先确定，而是由随机试验的结果决定的一个变量。比如说我们抛一枚硬币，它的结果其实是无法确定的。那假设说我们正面把它标记为一，反面标记为零，那这个时候我们就通过 随机随机变量把这个四件把它做了一个数量化的一个表示。那这样做的好处在是说我们通过这个数量化就实现了随机四件，我们把它做了一个数量化，那我们就实现了从定性的分析到定量的转变，那这个很重要。那抛硬币， 那这个时候我们通过数量化之后得到了一个随机变量，它的起色可以是零，也可以是一，那零我们可以把它定义成这个反面朝上，一把它可以定义成这个正面朝下，那这样就说我们就把这个随机试验把它做了一个塑量化。 那离散型随机变量就说他通常指的是说他这些值可以被一一列起出来，那大家记住这里是关键一一列起。比如说抛硬币零一，那么掷骰子，假设说随机变量等于 y， 他 这个时候可以有一点、两点、三点、四点、 五点、六点，那这个是另外一个随机变量，那他的概率分布通常指的是说正面以及反面朝上的概率。那我们刚才讲的套硬币他有可能起零，有可能起一，那这个时候我们可以给他定义一个概率 概率 p r x 等于小 x i 的 时候，它的概率，比如说零的时候可以是零点五，一的时候也可以是零点五， 那这个时候他的这个概率怎么表示？比如说起他可以起零，那你比如说等于零点五， 他这个随机变量起一的时候零点五，那这个就是抛硬币的时候实验他这个概率的分布。好，那接下来我们讲一下伯努利实验，那伯努利实验他的核心定义是说，如果说你做了一次实验，他只有两种可能的这个结果的单次，大家记住他只是只做了一次 单次试验，那通常的话帮结把结果定义成成功或者失败。比如说抛硬币，刚才我们讲的零或者一，那点击广告，你要么点，要么不点，对不对？那不点零点成一。 产品检验通过不通过或者通过，那这个时候假设我们是说通过把它定义成零， 那不通过通过定义成一，不通过定义成零，那一样的道理。那这种实验单次的，这种单次的，这种只有两种结果的实验，就叫我努力实验，他的关键特点叫独立性，每次实验的结果他是并不互相干扰。比如说抛硬币抛第一次， 你抛第二次，每抛一次他都是独立的，而且每次的实验成功的概率，这个 p 值他都是保持不变的。比如说你抛一枚硬币， 那从长期来讲，如果说你的这个硬币是质地均匀的，那他基本的概率要零点五左右。他每次的试验的概率和 p 始终是恒定的，大家一定要记住他是恒定的， 因为他只有两种结果，要么是零，要么是一。那这里一次勃鲁力的实验的结果，其实呢他就是服从零一分布的，以层勃鲁力分布，他是统计学中最基础的分布。 好，那下面我们就把这一分布详细的展开一下。那基本概念主要是单次薄努力实验成功或者失败， 他在理解中最简单的分布，那成功的概率为 p， 那 失败的概率它就一减 p， 因为它两个概率之合，它是等于一的，那是不是只等于一？ 那他的表达是我们可以用表格法，当然也可以用函数法。那表格法，比如说像这种第一个表格法，比如说这个 x， 假设抛硬币，他这个时候他可以起零，也可以是起一，那他的概率值。这个时候，比如说假设你定义成零点五，这个地方也就零点五，这个就是他 表格法表示它的概率。那数学表达式呢？你也可以采用这种方式来进行定义，比如 p 随机变量 x 起某个值的时候，它是失败的概率 x 乘一点 x， 我 们代入看一下第一种，当 p x 等于零的时候，那是不是等于 p 的 零次方，再乘下一减 p 的 一减零次方就是一次方，是不是？那最后这个值等于多少？是不是等于一减 p？ 是 不是一减 p？ 我 们成功的时候 对不对？ x 等于零的时候，它的概率就是一减 p， 那 第二个 p x 等于零的时候，它的概率是不是 p 一 次方乘上 一减 p 的 一减一次方是不是零？次方是不等于 p， 那 两个概率之合刚好就是一。那这个是通过概率这样函数来进行定义，它这里的期望，它是等于这个 p 方差等于一减 p， 那期望之前我们也曾经给大家讲过，那期望其实他就是一个加减平均，只不过说这里的这个元素，它是我们的每次的概率值。那比如说我们刚才这个例子，以 x 起零的时候，那他总的期望，以我们这个举例，他就等于起零的时候，概率是一减 p， 乘上一减 p， 再加上起一的时候，他是多少？他是不是概率就是一乘上 p， 那 最后加起来 这个是不是等于 p？ 因为这里就变成零了，这里就是他的这个概率。那同理他的这个方差计算方式也是一样的。那方差只不过是说我们用每一次的取值，每一次的概率的取值， 再减掉他的这个期望，再减掉他的期望。我们记新的定的随机变量，那我们求了平方之后再去求和，那就求和定他的平方，这个平方每一次的概率再去求和，那就得到了这个期望。 那我们这个例子求期望，其实它也是一样的，那给大家求一下这个方差怎么求方差？那我们这里就应该是等于这个 v、 v、 x 就 等于好，我们随机变量第一个起值，我们起零的时候， 零再减掉，它的这个期望是 p 对 不对？零减 p， 那 这个它的概率是多少？零减 p 为零的时候，它的概率是不是？ 是不是一减 p 乘上一减 p， 再加上我们起一的时候，它的这个期望是不是也是 p？ 对 不对？ 它的平方再乘上，此时它的概率为一的时候，它的概率是多少？是 p 对 不对？那最后我们这个值起出来的值就是多少， 那是不是 p 乘一减 p， 那 这里呢？这个时候 p 的 平方是不是零减 p 的 平方就是 一的平方，再乘一下一减 p， 然后呢再加上一乘一下一减 p。 好， 我们这个时候把 p 乘一减 p 提出来，我们这个时候把 p 我 们写到这里。这个例子，我们把 p 乘一下一减 p 一 提出来，那这个时候一乘一减 p 提出来，这边是不是就只剩一减 p？ 那 就一减 p， 再减掉 p， 那 最后的这个值就等于 c， 这边就变成一了 一减一减 p， 此时他的方差就是 p 乘一减 p， 通过刚才的推导，大家我相信大概也就知道了。好， 我们再看一下零分布，他的一个分布，刚才这种方法，这个表格法随机编了个起值，起值为一的时候是 p， 零的时候一点 p， 那 这个方法叫表格法。 当你比如说我们假设定义一下数值一是零点三，零的话是零点七，他的意思就是说在这次博动的实验中， 那 x 等于零， x x 等于一等于零，表示成功发生的概率是百分之三十，那等于零，大家说失败发生的概率是百分之七十，这个就是典型的零一分布。那我们其实把它数量化了之后，我们通过随机变量，把这个随机试验从 定性把它转变成了定量的目的就是为了更好的去进行这个应用，这样我们就可以去计算他的一些 杜绝特征。杜绝特征那在实际的这个工作中怎么应用？说像很多场景，比如说像这个广告的点击，像邮件的触达、用户的留存、产品的质量等等，那其实都是比较典型的零一分布。因为他核心特征都是说 单次的随机试验，他的结果是互斥的，只有两种可能，比如说广告要么点，要么不点，邮件要么打开，要么不打开。其实你看 他从单次来讲都是只有两种情况，要么点，要么不点，而且他这个概率是很低的，因为你发给用户去邮件出导他的大概点击的概率 p， 基本上讲他都是要另一个值。好，下面我们通过一个简单案例给大家讲解一下。 那假设现在就说我们已知历史，我们就用 app 去推送这个邮件，点击率大概是百分之十左右。假设现在我们新生成了一个文案，他要么量，假设我们推个两百个人， 那按照我们之前讲的这个概率的说，因为你历史点击大概是百分之十，那两百人大概他的点击就是二十人，但是现在我们实际产生的人数是二十八人， 那此时你的一个疑问就是说我们新闻是不是说显著提升的？那多出来这八个人说是不是属于正常的波动？那这个我们的一个需要解决的一个实际问题。 那这个时候通过刚才分析我们知道那他每一次的推送，其实这一次，这一次我努力的实验只是说这里我们是推了两百个人，那每一个人其实整整个的分布，他就服从一个 多努力的分布。那此时我们就要看一下这个一大于等于二十八，它的一个概率到底是不是一个合理。我们知道因为整体的概率它是一整体的概率它是一对不对一。那我们比如说你现在求 p x 大 于等于二十八的概率，那是不是等一减掉 p x 小 于等于二十七的概率，你把这个值求出来，我们大概就知道这个概率是多少。那 整个求解，你可以通过这个博鲁地分布的这个 excel 的 公式把它带进去，这个是你的成功的这个次数。比如说你两百次里面二十二十七次成功，他的每一次大概他金值是 p 是 零点一，你把这个参数求进去之后，我们大概算出来，这个值算出来之后，大概应该是一等于百分之二点二 一零百分之二点二的，相当于说，呃，这个小概率事件发生了，通常以五作为显著性水平，那我们通常认为如果这个事情超过百分之五以内，它就是小概率事件。如果大于百分之五，其实它就是一个正常事件，不属于小概率事件了， 那就证明我们的新闻啊是有效。因为这么小的概率它都发生了，那就可以判定这个八它就是一个有效的一个提升了。那这个我们做了定性分析之后，它的一个好处， 定性，那我们就可以针对这个事件的时候做一个把一个不确定的东西，我们可以用量的方式进行描述，是吧？那这个算出来这个 p 大 于等于二十八的概率，约等于大概就是二点二，你看我们是不是说把随机事件作为一个一个 定量化的一个描述，那这样是不是更方便大家去做这个评判？那有了一个数据之后，那我们是不是 通过统计学的公式啊？那我们就可以做了一个定量的一个判断，那最后得出的百分之五十，你这八个人他百分之二点二小于百分之五，他有效，新闻案有效。那我们这个时候就通过概率实现了用素计， 用素计来决策，我们就不再是说做个定心这二十八个人很有效，但是这个时候我们用素计来做定量的决策，这样是不是更科学，对不对？ 那这个题是为什么我们要去学习概率的概率学的统计学的原因。好，那接下来我们看一下这个二项分布也比较有意思，我给大家举一个简单的例子。现在呢就说我们假设是要给三位用户发邮件， 那已知三次打开率大概是百分之二十，我们发四个人，通过历史的观察，大概有两个人会打开他，这个概率大概是百分之二十。现在他就问你恰有两人打开的概率是多少？那我们这个时候我们做个穷极发，三个人有两个人打开的情况是什么？比如说第一种情况， 第一个打开，第二个打开，第三个没打开，是不是第二种情况就是第二种情况，一人打开，第二人没打开，第三个打开了，第三种情况， 一个人没打开，后面两个都打开了，因为每次成功的概率他都是零点二，失败的概率是零点八，而且每一次我们说了单次他都是互斥的，单次他都是独立的，因此单次实验的时候，他的比如说第一次， 那我们算下来他的概率直接相乘就好，因为他是独立事业，因为他的你现在要算成功率，你就把这三个人就说他的成功零点二，成功零点二，失败零点八，乘起来就是三次的概率，因为我们这三次其实最终乘下的其实值都是一样的，第一次是零点二，零点乘以零点 零点八，那第二次他是你看第一个人成功零点二，第二个人失败乘以零点八，第三个成功零点二。 第三次的时候，第一个人失败了，零点八，再乘下第二个，再乘下第三个，你看每一个的值，其实你把它互换一下位置，就是零点二乘零点二，再乘下零点八，那最后三次情况次数再乘上三次的概率，那最后得出来的值就是零点零九六。那此时我们也知道， 在我们的场景之下，恰有两人打开邮件的概率就应该是百分之九点六左右，百分之九点六左。如果说我们把刚才这个过程把它稍微归纳一下，那我们发现 三次恰好两次成功，其实他就这个组合数对不对？ c 三二对不对？那就是一个 c c 三， c 三二恰有两次成功，那就是说从三次线中都显出两次的这个组合数就是 c 三二， 那每一次的概率我们就用这个什么，你看三次试验， n 等于三， k 是 什么？ k 是 成功的次数，那是不是相当于说我们这里的 p 就 等于这个 c c 三二对不对？再乘上 p p 的 k 次方对不对？再乘上一减 p， 那 失败的这概率再乘上 n 减 k 次方对不对？这里是三次三减二，刚好就是一对不对。 这个是我们的一个特殊情况，如果说把这个特殊情况把它做个一般化，那其实你成功的概率就是 c， 继续把这个展开一下，那就是等于 c n k c n k， 那 你做了 n 次实验，那成功几次？那 p 的 这个 k 次方，再乘下 e 减 p 的 n 减 k 次方，对不对？这是成功的次数，这是失败的次数， 那我们把它做了一个一般化，其实就得到了我们二项二项分布的他的一个概率的计算公式啊，这个是成功的次数， k 是 成功的次数，对不对？ n 是 试验的次数，那这个屁的是说屁是我们每次成功的这个概率。 因此我们就从刚才这个例子的话，就推导出了我们更普适的一般的二项分布的他的一个 代理的计算公式。那呃，这里的期望，大家记住 n p， 因为相当说你是 n 次 n 次零一分布， n 次零一分布，我们刚才讲过，那每一次其实你在零一分布的时候，它的期望它都是 p， 那 它那最后的结果就是 n p， 那一样他的方差是 p 减一减 p 乘一减 p， n 乘 p， p 乘一减 p， 那 这个就是二项分布的一个推导以及这个性质。好，那下面我们给大家看一下分布率的一个规定，那这个公式刚才已经给大家说过了， 那我们把它带进去算一下，那分别说假设现在我们总共的实验次数是三次，那每一次单次实验假设是零点二， 那这里的 k 成功零次，一次，两次、三次，那我们分别代入这个公式， a 三零，这是成功的次数，零次 n 减 k， 这里是 k， 对 不对？那算下去零点 零点五幺二，那零点成功一次的时候，怎么算出来？就用这个组合数，三次成功一次成功是 k， 就是 等于一，那这个二就是 n， n 减 k， 那 就等于三次减的一次得到二， 最后算出来的概率就是零点三八四。那刚才我们这个例子发了三次邮件，对不对？两次打开的概率，那最后就是这个组合数，这一三二，这是成功的概率，这是失败的概率，那最后算出来的就是零点零九六， 这个就是他的一个分布的一个一个二项分布的一个概率的一个计算的一个方法。接下来我们看一个例子，那邮件营销， 那假设场景，现在是说我们向一千名一千名用户去发邮件，根据历史的经验，打开的概率是百分之二十，那此时我们这个重复实验的次数和 n 就 等于了一千， 对不对？那 p 等于零点二，那我们这样就知道，那你的这个期望，我们是用样本量乘上概率，你大概就说你平均打开的次数应该是两百人，那此时我问你的问题是说，如果说打开的人数不低于一百八十人，这概率怎么算呢？就是说 p x 大 于等于一百八， 对不对？那等于多少我们都知道，那这个他懂的概率是一，那 p x 大 于等于一百八，那其实就可以用一减掉 p 乘以 x 小 于等于一百七十九做一个计算。这里 我们算出来之后大概发生的概率就是百分之九十四左右，那可以说他就百分之九十四的这个可能性。打开人数应该是大于一百八的，那这个概率其实也跟我们的义气是比较相符的， 那你两百跟一百八其实也没差多少。那如果说假设现在本次活动打开人数只有一百五十人，你这个时候赚一个概率之后，你就可以做一个定量的评估了。如果说你发觉他最后赚的概率就是小一 小于百分之五时候，就你要注意一百分之五是我们的一个显著性，如果说你小于百分之五，你你这个地方如果小于百分之五的，我们就有理由怀疑你打开率其实是低于百分之二十的，这个时候可能就要去检查一下，哎，你的这些文案标题是不是有问题？好，我们接着看一下最后一个分布，拨松分布， 那拨松分布它是描述的单位时间之内危机发生的事件的一个规律，这种事件其实它的特点概率极小，而且比较稀有。比如说我们每个小时，假设说你现在是个客服团队，每小时接到的投诉电话， 比如说两次，每小时接到电话投诉两次，那这种这种现象，其实这种问题的一个分布就可以把它归纳为拨松分布，他这个参数他只有一个，就是那么大 单位时间内发生的这个次数，这个比如说 number， 它就等于二了，每小时他的客户投诉的次数就是两次，他的数学期望他的均值就是 number， 他的方差也是 number 啊 number。 那 下面我们通过一个例子给大家讲一下，大家会有一个更深入的一个体会， 比如说这个时候我们看一下这个水杨色素体积变量，我们就说打电话每小时接到的投诉， 假如那么等于两次，那这个时候我们来看一下，就说那一次的可能性等于多少？也零次，一次、两次、三次、四次，那怎么算？我们通过代入他的公式，那这个时候是我们接到的投诉，每小时接到投诉的这个次数， 这是次数的一个定义，那这个次数你可以起起零一，一直到无穷都可以，那他的参数只有一个，你看这个一是自然对数， k 是 我们这个给定的这个值，那通过代入这个公式你就可以算的出来，比如说当每小时等于零的时候，它概率是多少呢？算下来是百分之这个 十三左右，等于一的时候是百分之二十七，那等于二的时候大概是等于百分之二十七，那等于二的时候怎么解释？就是说当平均发生次数的那么大，等于二的时候，恰好发生一次或者两次的概率，它其实都是百分之二十七左右。 因为你想想你每小时，比如说一点早上发生两次，两点也发生两次，其实两次的概率其实你看看到没有？是不是说是比较接近，大概就是百分之二十七左右，这个就是一个波动分布，他的大概的一个你，你往下算的更越来越小， 本来我们平均是两次，你接到五次的概率大概就只有百分之三左右了，是不是？你看接到零次的可能性其实还是挺大的，百分之十三，你越往越往后，这个概率越来越小，你接到十次的时候，他的概率基本等于零了。 我平均每小时才两次，你说你一小时要要截到十次，这种事情我觉得基本上不大可能发生，但是这种不大可能发生。我刚才讲的是定性描述，那如果说你想定量描述，你就用拨松分布给定的概率公式，你可以精确的把它计算出来，那平均发生两次的时候， 那你的这个该发生三次，发生四次概率，我们可以把它做一个精准的定量的一个估计，那这个就是剥松分母它的最大的用处。我们比如说举个例子，网站，它通常网站的监控假设说我们 每小时我们这个网价，他的一个访问量是五十次，假设这个概率说我们这个拉姆达不是概率，他的这个访问的次数是五十次，那此时每小时差有四十五次的这个概率是多少？你这个时候把它输入 excel， 那 借助这个公式大概就算出来，大概说是四点二， 百分之四点二左右，那这种可能性其实也并不大。那比如说你超过六十五次，它的概率大不大？算出来只有一点五，其实也不大，因为我们总的是五十次左右，那你通过这个次数去把它计算一个概率，这个时候我们就可以做一个定量的一个风险的判断。 那超过八十次，你看他最后一个等于零呢？这种可能性基本上不大。那课程基本讲完了，我们给大家做一个归纳， 那三大分布，零一分布、零一分布，我努力分布，他其实描述的是单次，你要么要么成功，要么就失败，他的期望是零，他的这个方差，他是等于他的期望是 p， 他的方差是 p 乘一减 p， 那 这个叫什么？那这二项分布，他就是 n 次独立的 n 次单次，他就是多次的单次实验，他就是叫薄努力，他就叫二项分布，他就普通二项分布，那这个是他核心的参数，那还有个 t， 这个是指的是说他的成功的次数，大家想想这个一千次的点击的这个场景大概就清楚了。那波动分布他是描述的是说单位时间内他的稀有事件和一个概率分布的一个情况，他只有一个参数，那就是事件发生的概率或者说次数。想想这个网站的这个反馈的例子， 你就明白了。那他跟你联系是这样的，大象分布中 n 次无利的盈利分布的叠加， 那波旋分布，当这个 n 很 大的时候， p 又很小的时候，其实 n 乘拉莫达说基本上是相等的，那此时的二项分布跟波旋分布是比较接近，那我们可以用波旋分布的一个这个计算的值进四二项分布。因为二项分布它的计算比较复杂，它涉及到组合数，还有一系列的计算， 那那如果说 n 拉莫达就是说大概相等的时候呢？我们就可以就说用这个波旋分布的值的话去进四二项分布了。 那还有第二个这个区别主要是实验次二项分布，它是固定的次数是 n 次波松分布，它是没有固定的实验的次数，它主要是观察这个发生的概率，你给另一个 k 值，那我们就可以依据这个拉姆达这两个参数，最后就可以做一个定量的计算，一个定量的概率出来。另外一个就是特性波松分布， d 等于一，等于这个那么大，那二项分布的方差其实要比金级要小一点。最后再稍微总结一下，我努力分布这种单次的这种两种结果的实验零一分布其实就是最典型的单次的， 我努力实验了那二项分布，次次是多次波次分布，主要是用于分析单位时间内或者空间内的稀有事件的一个分布。 那掌握了四以上四种分布之后，那其实我们就可以把随机试验呢，就从定性的描述，把它抽象化之后，我们就可以做一个判断，定量的计算， 也可以算每一次这个算每一次的指定的成功次数的概率，那有了这个概率之后，其实我们就可以对我们的决策 有一个会更有信心，因为现在你就可以积累的一个准确的一个素质来去做你的推断了，那这样我们的决策你就比这种定性的头脑的要更加科学。那这次的课程就讲到这里，大家有啥问题欢迎评论区讨论。
62老K带你考CDA
18:09查看AI文稿AI文稿今天咱们来聊一聊随机变量函数的分布啊，这是一个在概率论和数理统计里面非常非常重要的一个主题， 因为他在很多领域都有应用，包括信号处理啊，金融工程啊，还有误差分析等等。确实这个东西在实际当中用的特别多，那我们就直接开始吧。咱们第一个要讲的主题呢，其实还挺有意思的，就是为什么我们要去研究这个随机变量函数的分布， 也就是这个 y 等于 g 括号 x， 对 吧？嗯，我其实特别想知道，就是这个东西在现实世界当中到底有什么用？实际应用中呢，我们经常只能观测到 x 这个变量， 但是呢，我们真正关心的，或者说我们做决策的时候，真正需要的却是和 x 存在函数关系的 y， 所以说观测到的和最后我们用到的它不是一回事儿。没错没错，比如说在信号处理里面，信号 x 通过一个非限性的器件之后，它的输出就变成了 y， i 等于 g， x 再加上 n 这个声， 那我们要分析的其实是这个 y 的 统计特性，而不是原来的 x 了。明白了，那在金融领域也有类似的例子吗？当然有了，在金融里面，资产的价格一般是服从对数正态分布的。嗯，但是我们要研究它的对数利率，那其实就是 y 等于 l、 n、 x 这样的一个关系。 包括在物理实验或者说数据科学里面，我们测量的误差它也是会通过一些公式不断的传递，那这个时候我们就需要知道误差的传播之后的分布，这样才能够去计算最终结果的执行区间。了解了，那我们怎么能够快速的去选择出 求这个随机变量函数分布的方法呢？这个其实有一个非常清晰的思考路线图，就是首先我们要判断 x 是 离散型的还是连续型的，还是说多维的随机变量。 那如果是离散型的话，我们就用直接映涉法，如果是连续型的呢？我们接下来还要再看 g、 x 是 不是单调的，如果是单调的，那我们可以用公式法，如果不是单调的，那我们可能要用分布函数法，或者说分段的去处理。 哎，这个思路听起来还挺挺系统的。对，那这个图会很复杂吗？一点都不复杂，这个图就是一个非常简单的流程图，对，他就是会非常清楚的，一步一步的告诉你每一步你要做什么。 嗯，所以你遇到不同的问题，你只要按照这个图走一遍，就可以很轻松的找到你要求解的这个方法。 对，所以它是一个相当于说是一个导航的框架，整个这部分内容的一个导航框架。好的，我们先来看理算型随机变量函数的分布。那如果是用直接映涉法的话，它的核心思想是什么？直接映涉法其实特别直观，就是你把 y 等于 g x 所有可能的值都给它算出来， 然后呢，把相同的 y 的 值所对应的那些概率全部都加起来就可以了。那这个具体怎么操作呢？我们能不能通过一个例子来看一下？当然可以了，比如说我们有一个 x， 它的分布是取负一的概率是零点二， 取零的概率是零点三，取二的概率是零点二，然后呢，我们的这个函数关系是 y 等于 x 平方， 那你看啊，这里面负一和一的平方都是一对，所以 y 取一的概率就是负一的概率和一的概率相加，也就是零点二加零点三等于零点五。然后 y 取零的概率就是 x 取零的概率也就是零点三， y 取四的概率就是 x 取二的概率也就是零点二。对，所以新的这个 y 的 分布就是取四的概率是零点二。我懂了。那对于连续型随机变量函数的分部分部函数法的基本步骤是什么？分布函数法的话，它其实就是三步走。 第一步，你先把 y 的 分布函数按照定义写出来，也就是 f y 等于 p y， 那 它其实也就是 p g x 小 于等于 y。 第二步，你要把这个不等式 g x 小 于等于 y 给它解出来，解成 x 小 于等于某个关于 y 的 函数，或者是 x 大 于等于某个关于 y 的 函数。 嗯，然后第三步，你再对这个分布函数求导，就可以得到 y 的 概率密度函数，也就是 f y y 等于 f y y 的 导数。哦哦，那具体我们这个方法，再比如说像 y 等于二， x 加三 这样的一个现象变化里面怎么用呢？比如说我们的 x 是 服从标准正态分布的，那我们来求一下 y 的 分布。第一步，我们先把 y 的 分布函数写出来，也就是 f y， y 等于 p 二 x 加三小于等于 y， 然后我们把它整理一下，就可以得到 p x 小 于等于二分之 v 减三， 那这个其实就是标准正态分布的分布函数，我们把它写成 five 二分之 y 减三。好，然后接下来我们对这个 f v v 求导，就可以得到 y 的 概率密度函数，也就是 f v y 等于二分之一 times p 二分之 v 减三。 对，那这个时候我们就可以看出来， y 是 服从正态分布 n 三逗号四的。懂了，那如果说这个连续型随机变量的函数，它是一个单调函数，那我们有没有什么更简单的办法可以直接把它的分布求出来？如果说这个 g x， 它是一个严格单调的函数， 并且它的反函数 h y 是 可导的，那我们就可以直接用这个公式， f y y 等于 f x， y 乘以 h y 的 绝对值。 这个其实就是把原来的 x 用 y 表示，然后再乘上一个几何修正因子，也就是反函数的导数的绝对值。 对，其实这个绝对值就是为了修正因为变量替换所带来的空间的拉伸或者压缩。哦哦，这个听起来还挺方便的，那我们来举个例子，看看这个东西怎么用行。比如说我们有一个 x 是 服从零到一上的均匀分布， 然后我们要求的是 y 等于负的 l n x 的 分布。那我们就可以这样做，首先第一步我们先把反函数求出来，也就是 x 等于 e 的 负 y 次方。然后第二步我们再把这个反函数求倒，并且取绝对值，也就是负 e 的 负 y 次方的绝对值，那它还是 e 的 负 y 次方 好。然后我们就可以直接写出 y 的 概率密度函数了，就是 f y， y 等于一乘以 e 的 负 y 次方， y 是 大于零的， 那其实我们就可以看出来， y 是 服从参数为一的指数分布。原来是这样啊，那如果说这个函数它不是单调的呢？ 比如说像 y 等于 x 平方这种，我们怎么去处理它的分布？如果遇到这种非单调的函数呢？我们就要把它的定义域分成几个单调的区间，然后对每一段分别去应用这个公式，最后再把它们加起来。哦，这个就叫分而治之。 对，那它的这个概率密度函数就是 f y y 等于求和 from i f x h i y 乘以 h i prime y 的 绝对值。那这个具体怎么操作呢？我们能不能通过一个例子来看一下？比如说我们还是考虑 y 等于 x 平方，但是这一次我们的 x 是 服从标准正态分布的， 那我们就可以把它分成两段，当 x 小 于零的时候，我们的反函数就是 h e y 等于负的根号 y， 当 x 大 于等于零的时候，我们的反函数就是 h 二 y 等于根号 y， 然后我们分别对这两段去应用这个公式，最后我们把它加起来，就可以得到 f y， y 等于二倍的根号 y， 分 之一乘以 f x， 根号 y， 这个 y 是 大于零的。对，那其实这个就是自由度为一的卡方分布。明白了， 那我们在求这个随机变量函数的分布的时候，这个定义域的确定到底有多重要？定义域真的太重要了，很多人就是只记得去套那个公式，然后把雅克比行列式算出来，就以为结束了。但是其实你不把这个 y 的 取值范围写对的话，整个这道题就全错了。 对，所以这个是一个大家很容易丢分的地方，所以说有没有什么比较标准的步骤可以让我们去避免这种错误是有的，就是你首先要找到原来的 x 的 非零区间，比如说 x 是 在 a 到 b 之间取值，然后你把这个 a 和 b 带到 y 等于 g， x 里面 算出来 y 的 这个区间，比如说 y 是 在 c 到 d 之间取值，然后你最后写这个 f y y 的 时候，你就要用大括号写成分段函数，就是在 c 到 d 之间是那个密度函数的公式，其他地方都是零，你必须要这样写才算完整。 那我还想问一下，就是标准正态分布经过一些常见的变换之后，会变成什么分布？这个其实就有几个非常经典的结果，比如说如果我们的 x 是 服从标准正态分布的，那 y 等于 x 的 绝对值，它就是一个半正态分布。 然后如果 y 等于 e 的 x 次方，那它就是一个对数正态分布，自由度为一。哎，这些分布的形状差别大吗？ 它们都有什么实际的意义？它们的图像差别还蛮大的。就是半正态分布，它是指在零到正无穷上有值，然后它是关于 y 轴对称的对数正态分布，它是在零到正无穷上，但是它是一个右偏的分布。 卡方分布也是在零到正无穷上，但是它的形状会随着自由度的变化而变化。对，然后这些分布其实在金融里面经常会用来做资产价格的模型，在统计里面也会用来做一些假设检验。好的，我们接下来看一个新的内容啊，就是二维随机变量函数的分布。 然后我们重点来讲一下 z 等于 x 加 y 这个和的分布以及卷积公式。嗯，我想知道这个卷积公式到底是怎么来的？它背后的直观意义是什么？我们可以这样想啊， 就是当 x 和 y 是 两个相互独立的随机变量的时候，我们要求 g 等于 x 加 y 的 概率密度函数，那其实它就是 f z z 等于 f y z 减 x d x， 对，那这个公式其实它的本质就是把所有能够让 x 加 y 等于 z 的 这些点的概率密度都给它累积起来。听起来这个积分里面还挺有讲究的，它的积分区间是怎么确定的？ 积分区间，其实你可以这样来看，就是它是让这个 f x 和 f y 括号 z 减 x 这两个密度函数有重叠的部分的 x 的 范围。 对，那你如果要从图像上来看的话，你可以把 f y 括号负 x 看成是 f y 这个函数关于 y 轴对称过来，然后再把它平移一个 z， 哦，那它和 f x 重叠的部分就是我们要积分的范围。对，所以这个卷积的计算其实你可以想象成是一个滑动窗口，在这个密度函数上面滑，然后把每次重叠的面积都算出来，就得到了 f z。 好， 我还有一个问题，就是 如果我们把两个独立的正态分布，或者说两个独立的 gamma 分 布相加，会得到什么结果？这个结果是非常简洁漂亮的，就是如果 x 和 y 是 相互独立的正态分布， x 是 服从 n mu 一 sigma 一 方，然后 y 是 服从 n mu 二 sigma 二方， 那它们的和 z 就 一定是服从 mu 一 加 mu 二，然后 sigma 一 方加 sigma 二方。对，就是正态分布相加还是正态分布，只不过参数做一个相应的叠加， 那伽马分布相加也是类似的吗？对，伽马分布也是有类似的性质的，就是如果 x 是 服从伽马分布，参数为 alpha 一 lambda， 然后 y 是 服从伽马分布，参数为 alpha 二 lambda， 并且它们是相互独立的， 那它们的和 z 就 服从 gamma 分 布，参数为 alpha 一 加 alpha 二 lambda。 哦，特别的，如果是两个相同参数的指数分布相加，那它就会变成一个 gamma 二 lambda。 懂了，那我想问一下，就是在实际计算卷积的时候，有没有什么 比较好用的工作方法？有的，我们有一个叫做 f s m i 的 四步工作法。嗯，第一步我们要做的叫做翻转，就是我们要把 f y y 变成 f y 负 x， 相当于我们把其中一个随机变量的密度函数沿着 y 轴翻折过来。第二步呢？第二步的平移具体是怎么操作的？第二步就是我们要把这个翻折后的函数再进行平移，就是变成 f y z 减 x。 对，这个 z 其实就是我们要求的那个和的取值。然后这个时候我们要确定积分的上下限，就是我们要找到使得 f x 和 f y z 减 x 都大于零的 x 的 范围，那这个范围就是我们的积分区间。哦，那最后两步相乘和积分又该怎么做呢？ 第三步，我们就是要把 f x 和 f y z 减 x 这两个函数相乘。嗯，然后第四步就是我们要在刚才确定的积分区间上面对这个乘积进行积分， 那这个结果就是 z 等于 x 加 y 的 概率密度函数。好的，那我们在求这个卷积的时候，这个积分线的确定是不是就是最关键的一步，绝对是 积分线，你要是找错了，后面就全错了。对，那我们一般是通过这个连立不等式组来确定，就是我们要让 f x 和 f y z 减 x 同时大于零，然后把这个不等式组解出来， 得到的就是 x 关于 z 的 一个范围，那这个范围就是我们的积分的上下限。我明白了，那除了这个和的分布之外，如果我们遇到两个随机变量的商或者基，那它们的分布有没有什么通用的公式？如果我们令 z 等于 x 除以 y， 那 z 的 概率密度函数就是 f z， z 等于积分，负无穷到正无穷， f x z x 乘以 x 的 绝对值 d x。 然后这个其实就是它的一个通用的公式，就是你只要知道 x 和 y 的 联合密度，你就可以用这个公式把商的密度求出来。明白了，那这个 f 分 布它是怎么来的？它有什么实际的用途？这个 f 分 布它是这么定义的，就是如果 u 是 服从自由度为 m 的 卡方分布， 然后 v 是 服从自由度为 n 的 卡方分布，并且 u 和 v 是 相互独立的，那我们就可以构造一个统计量， f 等于 u 除以 m， 再除以 v 除以 n， 那 这个 f 就 服从自由度为 m n 的 f 分 布。 哦，然后它这个分布的话，最常见的就是用在方差分析和假设检验里面。好的，那我们下面要讲的这个内容呢，是关于极值分布 啊，就是最大值和最小值的分布。那这个东西在系统可能性分析里面到底有什么用？是这样的，在可信工程里面呢，我们经常会遇到这种串联系统和并联系统。 对，那比如说像并联系统，它是只要有一个原件正常工作，整个系统就可以正常工作，那这个时候系统的寿命其实就是所有原件寿命的最大值。 那如果是串联系统呢？它是只要有一个原件坏了，整个系统就坏了，那这个时候系统的寿命就是所有原件寿命的最小值。 哦哦，那我想问一下，就是这个最大值和最小值的分布函数我们是怎么得到的？如果我们设这个系统的寿命是 z， 然后各个原件的寿命是 x 一 到 x n， 并且它们是独立同分布的分布函数都是 f x， 那对于并列系统来说，它的这个最大寿命 m 的 分布函数就是 f max z 等于 f z 的 n 次方。对，然后对于串联系统来说，它的这个最小寿命 n 的 分布函数就是 f my m z 等于一减去一减 f z 的 n 次方。 嗯，特别的，如果说这个原件的寿命是服从指数分布的，那这个串联系统的最小寿命它还是服从指数分布的。我懂了。那常见的一些分布经过宪性变换或者函数变换之后，有没有什么快速可以知道结果的方法？ 有的有的，其实我们是有一个非常实用的速查表的。就比如说如果 x 是 服从正态分布的，那 a x 加 b 还是服从正态分布的。对，然后如果 x 是 服从标准正态分布的，那 x 平方就是服从自由度为一的卡方分布。 还有比如说 x 是 服从零到一上的均匀分布的，那负的 l n x 就是 服从参数为一的指数分布。然后还有比如说 x 是 服从指数分布的，那 c x 还是服从指数分布的。 对，然后还有比如说 n 个独立的指数分布的随机变量相加，它就是服从伽马分布的。然后还有比如说 n 个独立的指数分布的随机变量的最小值，它还是服从指数分布的。好的，那我们在面对不同类型的随机变量的时候，我们应该怎么去选择这个合适的方法来求它的函数的分布？ 这个其实是有一个很清晰的方法来求它的函数的分布，这个其实是有一个很清晰的方法的随机变量，那我们最基本的方法就是直接映射法， 嗯，也就是把相同的函数值所对应的那些概率全部都加起来。那如果说是连续型的呢？连续型随机变量我们又该怎么处理？如果是连续型的话，那我们就要看这个函数是不是单调的， 如果是单调的，那我们就可以用公式法，也就是通过反函数和雅基堡行列式来做哦。如果不是单调的话，那我们就要把它分成几个单调的区间，然后分别去计算，最后再把它们加起来。 如果遇到比较复杂的，或者说你不确定的情况，那我们就还是回到最原始的分布函数法，也就是先求分布函数，再求导。好的，那我们最后要讲的就是 随机变量函数分布的一些实际应用。嗯，你能给我们举一下例子吗？当然可以了，比如说我们的 x 是 服从负一到一上的均匀分布的， 然后我们要求的是 y 等于 x 平方的概率密度函数，那这个就是一个基础的练习。对，然后你就可以去练习一下我们前面学的那些方法，这听起来像是一个巩固基本技巧的一个问题， 那有没有稍微难一点的？有啊，比如说我们要证明两个独立的 gamma 分 布的随机变量相加，它还是一个 gamma 分 布，那这个就是一个稍微有一点难度的证明题。 嗯，然后还有比如说在信号处理里面，我们经常会遇到 y 等于 x 加 n 这种信号加噪生的模型，那如果说这个噪声 n 是 服从正态分布的，那我们接收到的这个信号 y 它也是服从正态分布的 哦。然后这个推导的过程其实就是会用到我们前面学的卷积的一些性质，那我们今天把这个随机变量函数分布的原理，然后常用的方法以及在实际当中的应用都串讲了一遍。嗯， 最后还补充了一些常见的错误和注意事项。好了，那就是这以上就是我们今天的全部内容啦，然后感谢大家的收听，我们下期再见，拜拜。拜拜。
1138北游知
03:20查看AI文稿AI文稿博松分布，他的概率在也是有种的计算，嗯，先看一下他的定义，这个是他的概率公式，就是他发生哀赐他的 概率，然后中间有一个参数囊大，囊大的话，他的取值就是他的期望或者是他的方差， 然后在 excel 里计算的话，他共是用的是这个，等于 我们看到这有三个参数，第一个就是他发生的次数，比如说他这个要计算他不发生错误的概率的话，他的次数就是零。然后第二个参数命命的话， 就是他的希望就是这个公式里的能量，所以是零点零七， 因为我们是要计算出现零次的错误，所以应该这个参数应该是零。如果说我们要计算，比如说小于 两次的概率，那这个地方这个参数就应该写一，但是因为我们是计算零次，所以呢这个地方参数是零， 然后他的概率就是零点九三。之前讲的二项分布的话，当他试验的次数很大，比如说超过一百次，然后呢他发生的概率又很小，比如说小于零 点一的时候，就可以用泊松分布去见四计算二项分布，因为二项分布当他试验次数非常大的时候，他计算出来的这个排列他的数字是非常大的， 就不利于计算。所以呢可以用泊松分布去近视计算二项分布， 然后指数分布，指数分布，他的概率的公式是那么大，乘以 e 的负那么大 x 次方， 他主要用在就是电子元件的寿命以及随机服务系统中的服务时间，然后他的那个期望的话，是等于那么大分之一，然后方差是 囊的品方分之一， 然后看这个例子，在一个 ceo 中的计算的话，他的公式用的是 bxpon 两件 st， 然后 x， 比如说像这个 一只狼大等于零点一，然后要计算他小于等于二十次的概率，然后这个 x 的话他就是二十，狼大的话是等于零点一，因为他这是要计算小于等于二十次，就是 需要这个参数的话，就需要用哪击分布函数，这个地方可以选数，也可以选，也可以写一。
82苹
02:08查看AI文稿AI文稿上节我们讲了博生分布啊，是二项分布的特殊情况，当然去无穷事，并由二项分布的期望值和房产推导出了这个博盛分布的期望值和房产，那么我们今天试试由定义来直接推好，我们有定义之推，我们首先复习一下泰勒技术， 那么一的 x 方，那么是对一加上 x 除以一的阶层，加 x 平方最大的阶层，然后一直加下去， 如果你不记得这个公司，那也没关系，我们有这个概率，我们可以求出来，那你当 x 去掉所有的知识，他的待遇和是不是一啊？所以 c 干嘛 一辅栏的，那么开始放出一个阶层，他合应该是一，那么也就是索然的开一次方，属于 k 的阶层， 一二三四方，是不是就跟上面一样了？那么现在且有了七万子，那么七万子是什么？ 是每一点的子成和概率对不对？那么就是 k 啊，每他觉得只是 k， 完全以 k 的阶层， 好了好了，可以吃好，那么可以等于零食，这一下是零，那么我们可以可以从一开始啊，这里是零开始，这样，因为这里的话，我们可以把这个零去掉，所以我们可以从一开始， 那就等于是一个码，一辅栏打次方，然后乘以栏打，可以减一次方。 好，然后 k 减一，写成啊，上面是当你的 k 吃完，这就变成了 k 减一，那说明什么？还要乘一个 烂的，对吧？好，那么烂的提出来，一的输烂的字法也可以提出来， 那么可以剪一，可以剪一个切成啊，是不是跟上面一样呢？因为我们这里可以从一开始我们把你去掉， 那么说一句，对，难打啊，后面一项是一，所以把期望值很难打。那么方丈推倒了，我们就留个作业，大家回去思考一下。
35易老师
00:27查看AI文稿AI文稿一分钟学会一个总结，一个概念。今天我们学的是坡松分布，什么意思呢？假设我们部门每周一平均有五个人请假，我想知道下周一有没有可能也是五个人请假。于是我通过坡松分布的公式计算请假人数为五的概率。 例如，下周一请假人说我的概率就是零点零六七，而请假人数所谓的概率分布就是坡松分布。所以我们可以通过坡松分布计算在制定时间、空间或其他约束条件下某一事件发生次数的概率。又请假。
754数据分析看Stone
01:02查看AI文稿AI文稿所谓的博松分布，指的是当发生事故的概率中不存在个体差异，也就是每一个人都一样没有差异化， 那换而言之就是不存在事故频发倾向者的时候，在一定的时间内，事故发生的次数，他的曲线图会服从波松分布。那么排除了事故频发倾向者以后，在普遍的人群中， 以一定时间内，事故发生的次数就服从脖松分布，你能了解到这个程度可以了。所以脖松分布针对什么？针对于普遍人群， 那么一般这种情况下，事故的发生是由工厂里面的生产条件、机械设备以及一些其他的偶然 因素引起的，因为普遍的人群是这些，大家没什么个体差异，也就是意味着我们几乎已经排除掉了人的因素，那不是人的因素，就只能是人以外的因素了。
03:46
21:55查看AI文稿AI文稿啊，你看咱们有句成语叫啥呢？叫居安思危是吧？一般我们说啊，中华民族是一个有危机意识的民族，经常这么说，这为啥呢？好了，那下面呢我们再接着往下说啊，现在呢我有一种设备啊， 比如说这个厂子呢，它有这种织布的机器啊，这个织布机呢发生故障的概率是百分之一零点零一，然后呢这个机器只要有故障了，我就得有维修人员得去负责维修 啊，这个就说这个，呃，维修办公室是吧？它里边呢有这么几个人啊，我们怎么去维修呢？有下面的两种方案啊，第一种方案 就是一个人呢，负责三十台设备 啊。张三，这三十台就归你管，李四，那三十台就归你管啊，你这有坏了你就去修，他那个坏了你不用管，跟你没关系是吧？第二是三个人呢， 负责一百二十台设备，这样平均下来一个人就负责四十台了，对不对？平均下来是一个人多负责十台的，但是呢他不是我一个人负责四十台，是我们三个人一起负责这一百二十台 换了一个，张三去再换一个，李四去再换一个，王五去再换一个，没人去了啊，这人人就不够了是吧？是这样的啊，现在我求什么呢？ 求这个设备发生故障以后啊，它不能及时维修的概率啊， 求这个设备发生故障之后它不能及时维修的概率， 设备故障的概率是零点零一，这也够小的了，一个人负责三十台，一个人负责一百二十台， n 等于三十 n 等于一百二，这也够大的了啊。所以说这个问题呢，本身是一个二项分布的问题，但是我可以近似的把它看作宽松分布。 我们用 x 呢来代表这个损坏的设备 啊，来代表损坏的设备。那现在呢，第一个问题啊， x 服从 b n p， 我 有三十台设备，每台设备损坏的概率呢是零点零一， x 服从 b 三十，零点零一，二项分布不好算啊， n 也够大了， p 也够小了，干脆我们近四成对称分布吧，就把它近四为了 p。 阿拉伯阿拉伯等于 n 乘 p 嘛，对不对？这就是 p 零点三 啊。好了，怎么叫不能及时维修呢？你这设备没坏没问题，坏了一个我一个人负责，三十台，我去修去，没问题，要是坏了俩，我就一个人，那我就不能及时维修了啊。 所以说我们算的概率呢是损坏的设备大于等于两台，这个时候就不能及时维修，求的是 p x 等于二啊。显然呢，你用一减去 p x 等于零， 再减去 p x 等于一就可以了啊，还是往破损分布的分布列里边带是吧。最后呢，算出结果啊， 中间的计算过程呢，我们就给大家省略了啊，不详细展示了，最后得到的这个概率是约等于零点零三六九 啊，大概也就是你这个工厂运行一百天嘛，就三个月是吧，运行一百天大概有那么三天或者四天呢，你是不能及时维修的啊。第二个问题， x 服从 b n p， 这个 n 呢，就是一百二十台了， 这个 p 呢？还是零点零一啊？这个 n 也够大了， p 也够小了。 x 服从 b n p， 我 就近似的让它服从宽松分布。 lamb 的 等于 n 乘 p， 这个时候这 lamb 的 呢，就是一点二了， 什么时候不能及时维修啊？ 没坏，有一台，有两台，有三台都行，我仨人啊，对不对？ 你要是有四台以上的设备坏了，那人就不够了，就不能及时维修了啊。这件事发生的概率呢？显然应该是一减去 p x， 得零，得一得二得三吧，对不对？应该是这个啊， 把这几个概率呢都减掉啊，带式子，最后把这个值算出来。这个值是多少呢？是约等于零点零三三八， 也就是我这个工厂呢，运行一百天是吧，就三个多月啊，大概也就是三天或者四天左右，是来不及及时维修这个设备的，这两个概率呢，就算完了，算完了以后，你一看， 这是一个人负责三十台，这是平均一个人负责四十台，但是这个效率和这个效率应该差不多的嘛，对不对？非常接近的啊，所以说你看你这个厂子一个 维修小组或者说一个维修车间是吧，他还是几个人呢，一起去负责这个设备维护，这样效率高啊。你要是把这个活分的特别清楚，你就负责这三十台啊，我这三十台没坏， 他那三十台坏俩坏俩跟我没关系，我不管对不对。你这样其实效率是不高的，效率是低的啊，有这么一个小问题，很有意思啊， 下边还有啊，这个泼松分布啊， 他比较擅长描述什么样的事件，你得讨论这个，他比较擅长描述什么样的事件。看泼松定律， n 角大， p 角小啊，这是他比较擅长描述的情况，一个事件发生的概率很低， p 比较小， 但是呢，他实验的次数足够多， n 非常的大，这是他比较擅长描述的啊，这类问题呢，我们就都称之为小概率问题。坡松分布给了我们一个非常重要的结论，叫小概率原理， 叫小概率原理啊。小概率原理一共是三句话，第一句话叫小概率事件不会总发生 小概率事件不会总发生，什么意思呢？一个事件发生的概率非常低啊，他是不会频繁的出现的啊，说 咱们这个冬天啊，下了雪，地面上结冰了，又是冰又是雪的，走路的时候呢，就容易摔屁墩。 这摔屁墩，这是个小概率事件啊，谁说老师我去年一个冬天我摔了四十个屁墩 也没有吧，对不对？也没有啊，因为他事件发生的概率非常低呢，所以他不会总发生，这是第一句话， 第二句话，但总会发生，它早晚有发生的那一天啊， 因为你实验的次数足够多，你反复的去做这个实验，它虽然发生的概率低，它也有一定的时间，到那个时间点，它自然就发生了，自然就发生了啊，这是前两句话啊，小概率事件不会总发生，但总会发生。 咱说这个摔屁墩这个事呢，发生的概率很低啊，他不会说我今年冬天天天摔屁墩是吧？也不会啊，但是你说谁从小到大就说大家都二十来岁的人了是吧？你从来没摔过屁墩，没摔过跟头， 这好像也不是吧，都摔过，都摔过啊，这个小概率原理呢？其实还有最后一句话，这句话是比较重要的 啊，小概率事件他发生的时候是以什么样的特点发生，以什么样的特点发生啊， 这是比较重要的小概率事件发生的特点是他会扎堆发生 一件事啊，发生的几率非常非常的低，他往往表现出这样的状态，就是他沉寂了很长很长时间一直不发生，只要一旦发生就叮了当啷的发生几次，然后又沉寂了很长很长的时间又不再发生了 啊，这是小概率事件发生的特点。那我们想坡松分布用来描述稀疏事件。稀疏事件？什么是稀疏事件呢？ 你看咱们学校那个校园那个花坛是吧，里边种的绿草很漂亮，里边呢会开这个小花，比如说啊，再过一阵子这蒲公英就该冒出来了。蒲公英啊，故事的小黄花， 你看这个，咱们学校就后记园嘛，后记园那一大片绿地，它的小黄花开的是特均匀吗？特均匀？ 不是，它往往是这块开几个，那块开几个，对不对？你看它都是扎堆发生的。都是扎堆发生的啊，很多事件呢也都是这样的啊，比如说 你很长时间都没摔屁墩了啊，等今年冬天呢，下台阶没注意啪，摔个屁墩，哎呦，磕的屁股挺疼， 你就要注意了。为啥呢？因为他很有可能扎堆发生，哈哈哈，可能过两天你还摔个屁墩是吧，你要特别的小心要特别小心啊，就这个事呢。呃，以前我的一个学生啊，就是讲完这个小概率原理之后啊， 他就跟我说，他说老师，这个小概率事件呢，在我身上突然应验了啊，我说怎么应验了呢？他说，呃，那个，那个时候咱们学校还用那个饭卡呢，还有饭卡，学生卡，饭卡是吧？他说我一个礼拜之内我捡了三张饭卡 啊，然后我又捡了个手机，我又捡了个平板电脑，说点捡了个 pad 是 吧？我说你这个，你这可真是小概率事件扎堆发生了啊，就半个月之内捡这么多东西是吧？但是你看这个，这个中国人呢， 他也有这种智慧啊。啊，你看咱们有句成语叫啥呢？叫居安思危是吧？一般我们说啊，中华民族是一个有危机意识的民族，经常这么说，这为啥呢？ 如果你的生活呢，经历了长时间的这种平稳的状态，很长时间都很平稳，是吧，那就有可能会发生一些不好的事啊，你也要接受它， 就人生就是这样的，是吧？这我们从概率的角度可以解释吗？对吧？可能你在某一个时间段内呢，接二连三的经历了很多挫折 啊，你就要跟自己说说，没事，焦老师说了，这是小概率事件扎堆发生了而已，等这段过了，你自然就好了嘛。自然就好了啊，所以说中国两句成语，一个叫居安思危，一个叫痞疾泰来。这两句话说的就是小概率事件 啊，如果你现在生活很平稳，那你就要预见到未来可能会发生的一些问题，就要为这些问题做好准备 啊，如果你最近非常的不顺是吧？就是水逆啊，水逆？我最近水逆是吧？啊？赶紧看看星座，我这星座是今天是出啥问题了是吧？啊，也无所谓的啊，就小概率事件扎堆发生了，过一段时间他自然就好了，自然就平稳了，就是这样啊， 所以你看我们这学概率也有用是吧？哈，能解释你人生中的一些一些现象啊，这个啊，铺松分布呢，我们就说完了， 下边呢还有一个几何分布，一个超几何分布，这两个分布呢，我们就只做介绍啊，给大家讲一下就就过了啊。 几何分布 x 服从 g p 啊， 它呢，比较简单，就是一个事件发生的概率为 p， 然后呢，你始终是不成功，始终不成功。我用 x 呢来表示你取得首次成功的实验次数啊， 它的概率含义啊， 某实验 成功的几率为 p 啊， 用 x 来表示取得首次成功，也就是你的第一次成功。它的实验次数啊， 取得首次成功的实验次数，那么它的分布列 p x 等于 k 呢？ 这就很容易写了，你也不用 c n k 了，对不对？你也不用 c n k 了，如果 x 等于 k， 就 代表着我直到 d k 四才取得了第一次成功，那我前 k 减一次呢，都失败了， 那就是 q 的 k 减一次方啊，前 k 减一次都失败了，最后一次成功了，成功。能记住是 p 吗？就 p 的 一次方了吗？它就是少了那个 c n k， 不 用挑次数了，不用挑次数，就最后一次成功了啊。 q 的 k 减一次方乘以 p， 然后它的数学期望和方差 啊，数学期望呢？呃，应该是不用背，你自然就能理解哈。说我投篮，我投篮命中率是零点一 啊，那我平均投几次才能中一个呀？十次呗， p 分 之一啊， 这不完事了吗？对吧，这特简单啊，方差呢？我们也不算了啊，到后边有机会再给大家算，就直接给这个结论了，方差是 p， 方分之 q 啊，这就是几何分布啊，给大家介绍一下就完事。 最后一个超级核儿分布，这个超级核儿分布啊，这名字挺吓人是吧？其实就是抽球模型，跟抽球模型是一模一样的啊， 它这个参数就比较多了，有三个参数，小 n、 大 n 和大 m。 啊，这就是抽球模型，它呢，也几乎不需要你背啊，你不用背，你正常算它就可以了， 我们看它的概率含义啊。现在呢，我有大 n 件产品， 这里边呢含有大 m 键次品。 含有大 m 键次品啊，现在我任取小 n 键， 从里边随便抽一部分任取小文件啊，用 x 呢来表示这里边的次品数， 表示你抽到了多少件次品，是不是就是抽球一模一样的？这分布列你应该不用背吧，你自己会算吧，对吧？ 如果我抽到了 k 件次品，这 k 件次品是咋抽出来的呢？ 从大 n 件产品里边任取小 n 件，所有的取法是 c n n 啊，现在呢，我要有 k 件次品， 先从 m 件次品里抽出 k 件来， c m k， 剩下的都是正品的嘛，对不对？再乘以你有多少件正品呢？ n 减 m。 这么多正品，你还差几个没抽满呢？还差小 n 减 k 吗？还有这么多没抽满的啊？所以说就是 c n n 分 之 c m k 乘以 c n 减 m， n 减 k 就 完事了， 它的数学期望。 这数学期望有点意思啊， 是这个大 n 分 成大 m 乘以小 n 啊，方差呢？这就不要求掌握了， 因为这个题的方差非常的大，非常不好算啊，我们也不要求掌握。回去想一个问题，这个数学期望为啥是它？怎么理解 啊？大 n 分 之大 m 乘以小 n， 那 大 n 分 之大 m 是 啥 是啥呀？ p 次频率对吧？ n 乘 p 是 不是出来了？对了啊，这就记住了。好了啊，咱们这节课就讲到这。
70锄禾在线
02:46查看AI文稿AI文稿讲了二项分布，那么今天来讲博生分布，博生分布可以说是二项分布的一个特殊情况， 你看一下啊，二项分布是 n 和 p， 像博士分布这个参数难打，那么难打，我们可以看的是 n 和 p 在 n 趋近无穷的时候的极限情况，那我们再推导一下啊。好，我们先学习二项分布 来展开啊。我是 n 的阶层，除以 n 减 k 的阶层，除以 k 的阶层，那么 p 就是 nander 除以 n 这个方，然后乘以一减 p， n 减 k， 哈，那么当 n 区禁于无穷的时候， 当 n 去进入什么时候？那么上面的狮子呢？就有什么 n 的阶层除以 n 减 k 的阶层， ok， 很小，可以忽略了，那么相当于是 n 个 k， 对不对？ n 个 k 次方， 然后有个 k 的阶层， 嗯，这边是蓝的除以 n， 蓝的可以吃饭，可以吃饭。好， 再去约掉。好，那么后面 e 减 p， 我们也写成 n 打除以 n， 那么 e 减 n 打除以 n 啊， n 减 k， 那么 n 是我用大脑 k 给忽略。这边这样 好，那么 k 的阶层和朗朗的 k 词方跟这都一样了，那么是不是剩下是不是等于一的辅导导词方呢？那我们稍微注意一下，他可以变形为， 嗯，水上的，然后再成一个湖南的，那么这一块 啊，这个就是一根据我们的重要极限啊，也是一个定义，再踩这个指数， 所以就是伊的夫拉满射方，那么在特殊情况下，也是恩君无穷的时候，那么二线分布就可以变成博生分布。 好，那我们 nana 等于 np， 那么这个 np 啊，在这种情况下就是男的啊，我是从不想他的期望就是男的。好了， 我们再看方叉单曲无穷的时候，那 p 是一个很小的数，那 q 就接近于一了，所以他也是烂的，所以我们通过特殊情况来了解博盛分布的七万子和方叉都是烂的。
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