log2为底的公式

看看你会不会！第一题， log 以二为底，六七一零八八六四的对数等于 log 以二为底，二的二十六次方的对数，所以它就等于二十六。正确！ 第二题， log 以三为零，二百四十三的对数，因为三的五次方等于二百四十三，所以它就等于 log 以三为底，三的五次方的对数，所以他等于五。也对了！ 第三题， log 以五为底，三千一百二十五的对数，因为三千一百二十五是五的五次方，所以它就等 等于 log 以以五为底，五的五次方的对数，所以它就等于五了，厉害！ 第四题， log 以三为底，五的对数乘以 log 以五为底，二十七的对数，它就等于 log 以三为底，二十七的对数，因为二十七等于三的三次方，它就等于 look 以三为底，三的三次方的对数，所以他就等于三啊！ 第五题， log 以 a 为底，九的对数乘以 log 以九为底， a 方的对数，它就等于 log 以 a 为底， a 方的对数就等于二。厉害！ 第六题， log 以三为底，五百一十二的对数乘以 log 以三为底，八的对数，是乘以吗？除以 log 以三为底，八的对数，所以它就等于 log 以八为底，五百一十二的对数，因为五百一十二十八的三次方，所以它就等于 look 以八为底，八的三次方的对数，所以它就等于 三。太棒了！第七题， log 以三为底，十七的对数乘以 log 以十七为底，三的对数 log a 为底， b 的对数乘以 log 以 b 为底， a 的对数，不管 a 和 b 等于几，它都等于一了。这道题的答案就是一 这，但是这里面你有错误， a 和 b 不能不管是题，除非 a 和 b 是零或者负数对，负数和零，无对数对。 第八题， log 以十五为底，七十五乘以三的对数，七十五乘以三是二百二十五，所以它就等于 log 以十五为底，二百二十五的对数。因为二百二十五升十五的二次方，所以它就等于 log 以十五为底，十五的平方的对数等于二。哇塞，全挣钱了你。对呀，厉害厉害，太棒了，全对耶耶耶。

听说你同学的朋友想成为学霸，那就让他来瞧瞧吧。你知道下面这两个数字的差异会导致有人游泳后眼睛变红吗？要回答之前，我们先要有个方法 来处理很小或很大的数字，这就引出了对数的概念。那么对数是什么呢？把我们把 b 当做是底数，然后其他的 p 次方就像二的三次方那样，结果等于数字就得到一个指数方程。十 b 的 p 次方等于。在这个例子里呢，二的三次方就等于吧。 所以说，指数屁，就算那对数同学有点意思都没，那咱继续。通常我们会写坐漏各一笔，未抵数的能等于聘。这堆东西要变得令人头大了，我们还是用例子来解释吧。 如果以十作为底数的一个万岛鱼，这个问题也能用指数的方式来问，使的几次方式一个万呢？ 使得四次方式一个弯，因此，以时作为底一个弯的顿数就是四啊。这个例子也可以很简单的用板砖的计算器来算呀。以时为底的顿数在科学里面透的太常用了，所以大多数计算机都会有这个按钮哦， 有同学就说了，计算器都可以帮我算对数了，那我还学个锤子啊哈，这就要提醒一下，对数按钮就只能算以时为敌的对数，嘿嘿，失策了吧，同学，那我们继续了。如果你想进入电脑科学的世界，用道 以二为底的对数怎么办？比如说，以二为底六十四的对数是多少？还没吸收是吧？那我们继续吧。我们换句话说吧，二的起次方是六十四，嗯，用手指说一下， 四，八十六，三十二，六十四压为底，六十四的队数就是六呀！这个游泳后只在某些泳池，我的眼睛会变红，有几 跟毛线关系吗？你别急啊，听我说，这就关系到对输在化学里的妙用了。计算溶液的 ph 值只会告诉我们溶液的酸碱性公式是 ph 等于减楼更是埃及加。其中括号内的 h 加是氢离子浓度， 我们可以轻易用计算出氢离子浓度。还记得上面这两个数字吗？他们偏爱去吃。 按下去这两个数据对数，再加上符号，你会得到值是七点四和八点四。因为眼泪的 ph 值大约是七点四，所以氢离子浓度是七个零及三九八的溶液 对我们眼睛刚刚好，但 ph 值八点四就会让你的眼睛又红又痒。看吧，对数是不是很好记？以 b 为敌人的对数视频，相当于在小 b 的几次方会深远， b 的几次方会示恩呢，嘿嘿。所以现在你了解到对手的威力了吗？他的用处就是在御处里很大或很小的数字哦。本期专用眼泪，比眼药水好用，如果感觉自己快下了，那你就哭出来吧！关注本派某，每天学习一个小知识哦！

大家好，今天我们来聊一下这个对数运算啊。对数运算，这肯定是要比指数运算那难的，为什么呢？因为这个指数运算的话，他 他虽然初中阶段，初中阶段的话，你肯定接触过吧，同底数米相乘，底数不变，指数干嘛？指数相加，初中的话，这个指数一般都是正整数了，到了高中的话，这个指数 mn 啊，都隐身为任意时数都可以，至少你初中是接触过，是见过的啊，所以指数印象呢，不会特别难。 但是到了对数印算，这就难了，因为初中完全没有接触过。那怎样来理解这样的对数运算呢？我先讲着，你就知道了。对数定义是这么说的啊，如果 a 的 b 四方等于 n， 那么我们就把 b 叫做以 a 为 dn 的对手。那怎么记呢？有专门的记忆法啊，现在研究的主要对象是上边这样一个小 b 了，然后等于什么？ log 以 a 为 dn 的对手，其中 a 呢？还是叫做 底数，只不过呢，前者是叫做指数运算中的底数，现在叫做对数的底数啊， n 就叫做真数了，这是定义，这个都好说。然后常见的对数的话，一个是什么？ 一个是以时为地，一个以意为地啊，这个常见对数是个专门的名字。为什么说以时为地常见呢？在很多工程里头，定义都是以时为地来定义的，比如说物理上对于这个音量的，那这个分贝啊，他就是通过这个对数啊，以时为地来定义的。然后呢，这个化学上呢， 对于这样一个酸碱度的定义，也是通过常见对数以式为敌来定义的，所以说他叫常见对数嘛，因为他真的很常见，然后自然对数的话，以异为敌，这个是在高等数学数学分析中非常常见的啊。然后现在来看一下 啊，对数横等式，这个对数横等式的话，只要你了解这个定义，自然就有这个对数横等式，当然要记住这样的形式，那为什么呢？咱就站 下来， x 等于什么？ x 等于 log， e， a 为 d， n 的对数，那转换成这样的指数运算的形式，那就变成了 a 的 x 四方等于 n， 然后你再把这个 x 转换成什么形式？你再把这样一个指数 x 再写复杂一点， log 以 a， v， d， n， 那最后不就出来这样一个对数横等式吗？这个都非常简单。那么接下来的两点，我就要重点讲这样的运算法则了。对数运算法则， 然后对顺算法则，详细的证明过程的话，我在八月六号的高一数学暑假同步课都已经讲过了，你一定要回头再看一下，然后再来听这一讲。然后对顺算法则的话，主要是这三个吧。第一个啊， 第一个的话，你如何来记，如何来理解呢？这样来记啊，真数的乘法可以转换成对数加法啊，对数加对数，好，那真数的除法，当然就 就可以转换成什么，当然就可以转换成什么呀？对数减对数了，对数的差。那最后一个呢？最后一个的话，他指的是 m 的 r 次方，其中这个 rf 他是可以作为系数出现的，一下来就可以了。 那下一个的话就是换地公式，这个也用的非常多，换地公式的话，原始是这样的，换底换地就是把底换了吗？如果你需要用到一道题目中，需要用到除了 b 和 n 之外的第三个数字，比如说 a， 那当然就需要引入这样的换地公式了啊， 你看啊，原来这个 b 是在下方的， n 是在上方，现在换体之后呢？还是满座？ n 在上方， b 在下方？接下来有这样一些推论，你也要知道。你看这个推论，这个推论怎么挣啊？你只要知道换体公式，就都会挣了吗？ 我们不妨都捞按 b 啊，捞按 a， 这是第一部分吧，换里了，那再继续啊，成第二部分。第二部分呢，那就是 老汉 a， 老汉 b， 那当然等于一了，后边呢，咱就不详细说了，你看一眼就行。行吧，那接下来的话，我们可就要练题了啊。嗯，现在第一道题目， 第一道题目的话，他问的是 m 分之一加上 n 分之一，那这个不知道，但是呢，我们可以先把 m 和 n 单独表示出来。怎么表示啊？ 二的 m 次方等于十，根据对数的定义，你都知道它等于 log 以二为底，十的对数啊，那行，然后呢，同理可得这个 n 的话，就等于 log 以五为底，十的对数没有问题。 那 m 分之一呢？好， m 分之一的话，有的可能就看不出来了，就会写成这个样子，等于一除 log 一，二为第十的对数。好了，不会了，怎么就不会呢？你不妨把这个一看成什么，看成 log 以二为第二的对数， 现在不就行了吗？然后根据换的公式，变成了 log 以十为第二，你看十二，这没问题吧？当然， log 以十为底的话，我们就简写 log 啊，写成 log 二就可以了。那同理可得 n 分之一，经过同样的处理方式，那不就变成了 log 五吗？所以说原是 m 分之一 加上 n 分之一，等于这个 log 二，再加上这个 log 五。那你看对数的加法，可以转换成真数的乘法吧。二乘五，原来 log 是 log 以实为第十的对数，当然只能等于一了，这不就结束了，非常简单吧。 那接下来练三道这个常见的计算题啊，你月考的时候，期末的时候一般都有这样的计算题的。咱看第一道。 第一道啊，对数横等式，一看就是多少，一看就是三。第一部分啊，第二部分话，我们把这个十呢，把这个一百 来吧，看成十的平方哦， log 十的平方，那你把二这个系数提过来，然后就变成什么了，就变成了二乘一了，所以是加上二啊，画圈不可能是二。 那接下来这部分的话不用多说了吧，根据换体工程师这样一个小小的拓展，你完全可以写成啊，劳恩五比上劳恩二，再乘劳恩二比上劳恩五，这最后一看就是一啊，三加二加一，当然等于六了。第一题就做完了，也不用看他啊。那继续来看这个第二题吧。 嗯，第二题是怎么说呢？第二题这样来说啊，都是这样一个形式，那不妨他既然都是 log lug lug， 那下边有一部分啊，这个一的话，写成这个 log 十，就这样来写不就可以了？ 那接下来下一步的话，我告诉大家怎么来写啊。好， log 二的平方，你看系数也可以移上来作为这样的指数吗？在 加上 low 个三，然后这个一的话，刚才我说过了啊，写成 low 个十，二分之一的话，我们写成 low 个零点三六的二分之一四方，二分之一四方不就是根号下零点三六？请大家告诉我根号下零点三六是多少？当然是 low 个零点六了，没有问题。 那同样的道理，这个三分之一 log 八一样的啊， log 八的三分之一次方相当于 log 三次根号下八，那不就是 log 二的意思？最后我们计算一下啊。 看，先看这个分子，分子的话其实不就是对数相加相当于帧数相乘，四乘三哦，等于 logo 十二。 那这个分母也一样啊，三个相加相当于三个相乘呗。十乘零点六六乘哦。唠个十二比上唠个十二，那当然等于一了。第二题又做完了，是不是只要你运用的熟悉，肯定每一个都能很快算出来的？继续来看第 三个吧，还是对数运算啊。但是前两部分的话是指数运算，这个的话我就直接写了啊，一除零点五得二， 然后这个二十七，二十七分之一，三分之一，四方分之一嘛，对吧？负三分之一四方，他相当于正三分之一四方分之一。这个的话我也直接写他最后的话，二十七开三次刚好等于三。反过来啊，确实呢，他是等于三的， 那接下来这一部分可能就麻烦了。说麻烦的其实也不麻烦， log 三和 log 九关系肯定是非常密切的。看根号里头这一部分啊， 那你这个烙个九的话，我们不妨写成三的平方。好，那二的话是不是可以作为系数啊？再写一，这个相信很多朋友都可以看出来是一个完全平方的展开的形式了，我就继续写了啊，它实际上就等于 log 三，再单独减去一再 复制的屏好，根号平方，带上根号，根号平方。我们什么时候？我们初二时候就学过了。根号下的平方不就是绝对号的意思啊，所以就变成了绝对号。 log 三减一，现在呢？有一个小小的问题，一大呀，还是 log 三大 连接。这个一相当于 low 个十，当然是一比较大了，所以我们反过来啊，一一减去 lock 三就写出来了，没问题吧？但接下来又变成这个样子了啊。 负哈，负一作为系数吧，负一作为系数的话，画圈部分是这样，可以直接写成这个三分之一的负一四方。 那不还相当于加了一个烙个三吗？好，加上烙个三哦，没问题，然后又加上，哦，那接下来就难了。但是你要注意，他这样一个指数部分是以三为底，我们八十一可能也要改成三十多少次方吧。八十一，十三的多少次方？ 三的四次方啊，三的四次方就是八十，再乘零点五，那我懂了，那就是三的四乘零点五，那不就是三的平方的意思吗？ 然后再乘 log 以三为第五，这个系数二可以一到五的上面作为这个什么作为指数。所以是二十五五的平方就是二十五吗？最后根据这样的对数横等式，对数横等式最后是多少，当然他就是二十五了。然后接下来我们简单的一算，最后就是答案是二三十一。算完了， 继续来看第三个啊，第三个的话算是一类题，给你两个比较简单的，二和三是后置的两个数字，然后呢，这个让你用这个 log 二和 log 三表示，完全可以表示出来这样的。嗯 嗯， log 以十二为例，十五对出这样的形式，这个怎么办呢？肯定是把十二和十五尽可能多的转换成 唠个二，唠个三。那首先可以想到的是什么？首先可以想到肯定是换底啊，那前头一致条件都是以十为底，我后边没有十换底呗。 log 十二为底，十五对数换底了啊，等于烙个以十为底啊，对吧？十五。 log 以十为底，十二。 那接下来我感觉这个十二还是好画的。为什么呢？因为你这个十二的话，相当于什么？你十二完全可以写成二乘二乘三。所以说嘛，真数的乘法，我们就直接转换成了 log 二加 log 二，再加上 log 三，转换成对数的加法了，很简单吧。 嗯，那接下来这个分子好像麻烦一点点。为什么呢？你马上看就看出来了，我们这个食物可以写成 log 三乘五，然后转换成加法，对数的加法，那就是 log 三，加上 logo 五。 log 三是我们以 知的，所需要的其实就是小 b， 但是你看啊，烙给啊烙个二是 a， 其他部分呢都。但是这个烙个五不知道怎么装啊，人家以这条件里头有这个烙个五吗？没有啊，有同学就傻眼了，说，老师我这个五的话可以写成二乘二分之五有啥用呢？不行。 所以呢，你有时候脑袋要转个弯吧，你非得想惩罚你就不能想想处罚呀？所以你说这个 log 五可以写成，哎， 这个 logo 我们完全可以写成 log 十比上二吗？现在就变成了什么？帧数里头帧数的除法，相当于对数的减法，那就很简单了，就变成了 log 三， 再加上啊，唠个十，唠个十，不就是一吗？再减去唠个二，唠个二，是不是你所需要的部分？是啊，分五部分呢，不变我就不再抄了啊，最终的话稍微整理一下就得二， a 加 b 分支好，这个是多少啊？分子的话就是 b 加一，再减 a， 这不就画完了吗？那就结束了，懂了吧。所以这个题的难点在于，刚才这个 log 五一定是用乘法，一定是用除法去画的。如果你只想乘法，做不出来这道题， 那接下来就要看最后一道了啊。第四题分两道小题吧，还是确实挺有难度的。一开始先看第一个， 这个第一题的话怎么办？嗯，第一题的话，我先这样写啊，五的 a 次方等于二的 b 次方 等于这个十根号十的话，我们不妨写成这个十的二分之四以此方。这个都好说啊，指数运算的性质嘛，写成这样的性质，那等于多少呢？等于 m 呗，你这样写就可以了， m 肯定是大于零的啊。那么接下来怎么去画？ 接下来就好话了，我们单独把 a， 根据对数的性质对数的定义， a 不就是 log， 以五为例， m 的对数好， 那 b 的话就是 log 一几为底， log 以二为底， m 的对数，那二分之四的话，不就是 log 以十为底， log 以十为底，咱们就这样写了啊，长的对数吗？ 好，写成这样的形式，写完之后的话，那接下来他让你算什么？一个是 a 分之四，一个是 a 分之 b 嘛，那个不着急啊，咱们第一步。第一步啊，我们用三比一下一就行了，左边相比的话就是二， a 分之四，这个其实好说啊，最后乘个二倍就行， 那右边的话就变成什么？变成了 log m 笔上 log 以五为 d m 写到这的话，同学就不敢动比了。嗯，别着急，咱先写第二部分吧。那肯定是三比上这个圈啊，比完之后 的话就变成了二啊。 b 分之 c 等于 log 以二为 dm， 然后再 log 十，写到这怎么办呀？ 啊，你想想怎么办呢？好说，我们先来看第一部分啊，上边这一行，上面这一行的话，你可不可以换底啊？ 他实际上相当，你看针数是一样的，我们是特别特别希望他这个什么他这个底数都变成 m， 换底换底，倒过来以时为底换一下啊。嗯 嗯，现在 m 变成了底了，然后十变成了这个帧数了，好，倒一下，然后这个分母的话，实际也一样， log 以 m 为底，然后五分之一， 然后经过处理以后分之一分之一，这样相比最终的话，我们就得出来怎样一个呢？得出来这个 logg emvd 十的对数，分之多少分之 logge emvd 物的对手。送到这的话，同学还不放心。那继续看第二部分呗。第二部分的话继续同样的处理啊，就是 log 分母啊， log 以 mvd 实的对数，然后这个分子呢，分子的话就变成了 log 以 mv 第二的对数。现在一和二可以相加了吧，相加以后的话，你发现分母是一样的呀，分母的话就是 log emv。 第十， log e m v d 二，再加上 log e m v d 五，现在很简单了吧，然后 log e m v d 二乘五，然后 log e m v d 十，这个一比不就是最后答案是一吗？所以呢，第一题这个答案是一， 答案是一吗？不是，你刚刚算的是二， a 分之 c 加上二， b 分之 c 等于一，但是人家问的是 a 分之 c 加上 b 分之 c， 那当然等于二了，左右两边得乘 多少？得乘二倍才行。所以答案上千万不要算到这，直接写一写二的啊。终于到了最后一道题了，数学竞赛的一道题， 好像是一五年还是一六年的一道题啊，肯定有一定难度，但是也不是说你就做不出来。嗯，现在来看吧，先看这个 p 和 q。 嗯，那这样我们还是记这些，总体呢，他都等于多少？那不妨还记为 m 吧。啊，就记为 m 啊。 gvm 的话，现在就转换俩转换成指数的形式好了。 p 的话，他就等于九的 m 次方。这个都能看出来啊，九的 m 次方，然后 q 的话等于多少？等于十二的 m 次方？ p 加 q 呢？ p 加 q 的话，它是等于十六的 m 次方。所以说嘛，这三点我们马上就会得出来这样一个式子。所以说， p 加 q 不就相当于这个九的 m 次方，加上十二的 m 四方，等于十六的 m 四方嘛。写到这的话，肯定是大有用途的，这样一个圈一这个式子，但是有什么用处？你要看问题啊，问题的话，他写的是这个 q 比上 p， q 比 p 的话，实际上带入以后，他就是十二的 m 次方，在比上九的 m 次方，稍微处理一下啊，就变成了这个九分之十二的 m 次方。九分之十二实际上相当于多少？相当于三分之四嘛。啊，写到这一步， 所以说圈一圈，所以我们这个圈应该往哪部去画呢？尽可能的让他出现三的 m 次方和四的 m 次方，那现在目标就明确了，好说，所以九的话肯定要写成三的 m 次方的平方吧，这个一看就能看出来。 然后这个十二的话，我们不妨先写成三乘四，根据指数运算法则，那不就相当于三的 m 次方，再乘四的 m 次方， 十六就好说了，十六的话就是四的 m 四方扩出的平方。好了，那接下来这一步怎么办呢？接下来别忘了啊，最关键的一步来了，左右两边 同除同除四还是同除同除三的 m 次方啊？因为你分五部分是三，那同除三的 m 次方，同除三的 m 次方的平方，第一部分就变成了一，第二部分的话就变成了三分之四啊， 好，就是我们要的这个结果，那下面这一部分呢？那右边的话就变成了三分之四 m 次方，最外头有这样一个平方了，变到这个结果，其实我想说的是，最终答案几乎都已经出来了， 你要求的不就是最终这个 x 的值吗？现在呢，我们把这个圈一带入圈里头，你看最终结果是不是很快就出来了，就变成了这个 x 平方，他就是 x 平方，然后一向啊减 x， 然后再把一移过去，不就是减一吗？等于零。这个方程太好算了，用判别式法吧，但是它等于 b 方，减四是等于五啊，肯定是有两个不同的结。然后呢，这两个结我就直接套了啊，它是等于一加减根号五，其中我们发现这个二 分之一加更好，我二分之一减更好，我一正一负，所以最后结果究竟是正还是负啊？请大家告诉我，肯定是正，为什么呢？对数，他必须要求真数，屁大于零， 这个 q 呢，也得大于零，两个大于零的数字相比较，肯定是正数吧，我们必须取正数，所以看右上角，经过分析以后，既然 p 和 q 这两个真数只能是正数的话， 所以说最终结果 q 以上 p 等于 x， 肯定是个正的。正数的话，我们就取二分之一加根号五，所以横向填的是二分之一加根号五。那么对数运算你应该学会了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下节课再见。

若 x 倍的 logo 以二为比三的对数等于一，则三的 x 四加上九的 x 等于多少？这道题是相当简单的，不看，因为呢，有它乘以它等于一，所以说 x 它就等于一。 除以 logo 以二为第三的对数，他可以写成 logo 以三为第二对数。这一步 不知道的同学没关系，请看。一可以写成 logo 以二为几，二对数 属于老哥以二为第三的对手，这是对手来说的这个换季就是你看他们俩有同样的这个技术，所以说他就等于老哥 以三。理解二技术。既然有这个式子，那么所以说由他我们可以得到三个 x 册。就等于二， 三的 x 四等于二，那么九的 x 四，它就等于三的 x， 四的平方它就等于四。所以说三的 x 加九的 x 就等于二，加四是六。

我们看一下这道一九九二年的高考题，让我们计算以八为底九的对数，除以以二为底三的对数，那这道题呢，是一道对数的计算问题，我们观察一下数据的特征， 底数八和二之间有关系，真数九和三之间也有关系。所以不难想到，这道题考察的应该是对数的换底公式，那换底公式有一个推广公式，我们一起来看一下，那就是以 a 的 m 四方为底， b 的 n 次方的对数， 他就应该等于 m 分之 n 倍的以 a 为底， b 的对数， 那因此袁氏我们先把八写成二的三次方，把九给他写成三的平方，于是袁氏就应该等于 以二的三次方为底三的平方的对数，然后除以分母保持不变，以二为底三的对数，那于是分子就变成了三分之二倍的以二为底三的对数，然后再除以以二为底三的对数。 所以这道题最后答案应该是三分之二。那如果我们掌握了这个公式以后，这道题呢，显得是比较简单的，但是如果这个公式我们不不知道的话，或者是不会的话，那这个题呢，就很难操作。 所以呢，我们需要对对数的计算公式要做到非常熟练，然后才得以灵活应用。

同学们好，我是董老师，今天我们继续来讲对数的换底公式。我们昨天已经讲了对数的三个运算性质，若 a 大于零，且 a 不等于 m， n 大于零的情况下，那么对数会将 乘法运算变为两个同底的加法运算，除法运算就变回变成两个同底的减法运算，乘法运算就变成一个乘法运算。注意，那这里面只有同底的对数相加减 才可以合并起来，否则的话，不同底的必须先变为同底才可以合并起来。那我们继续回顾对数的概念。我们在对数的概念里面，我们知道，若 a 的 x 方等于 b， 其中 a 大于零， a 不等于一， b 大于零，那根据对数的概念，我们可以得到 x 是等于 log ab。 对于等式， a 的 x 方等于 b。 我们假如在等号的两边取以 c 为底的对数，那么我们会有什么呢？我们这边看一下 两边求与 c 为底的对数，左边是 lock c a 的 x 方，右边是 lock c b。 根据我们昨天的一个运算性质，左边 指数 x， 它是可以提出来的，因此正面会变成 x。 log c a 等于 log c b， 这里面我们可以将 x 解出来，就会得到 x 是等于 log c b 除以 log c a。 又因为前面是等于 log a b， 因此我们可以得到一个 横等式，那这个式子就叫做换点公式。换点公式 log a， b 等于 log c b 除以 log c a。 其中 a， c 都是大于零， a， c 都是大于零，而且 a c 不为一。为什么呢？因为我们这里面底数要大于零且不为一，帧数， b 是要大于零的啊。特别的，当令上数的式子中的 c 等于 b 的时候，那我们就会有什么呢？ 左边 log a b 不动分子式 log c， 分子式 log b b， 因此分子是一， 而分母是 log b a， 因此我们就可以得到 log a， b 是等于一除以 log b a。 当然也得保证底数 b 是大于零且不为一的。类比下列 分数的变形，我们发现左边是一个分数变分母，而右边是一个对数换底。这两者之间他们都有相同的逻辑啊，是有一个欲取同工之妙。 那换底公式它的作用是什么呢？一般的科学计算器，我们通常只能用常用对数或自然对数进行计算，若是要计算 log 二三，我们该如何计算呢？这里面我们就可以利用到换底公式。 对于 log 二三，我们可以把它改成以十为底的常用对数，所以它是等于 log 三除以 log 二，而 log 三利用计算器算出来是约等于零点四七七一。 log 二是零点三零一零，因此相足会约等于一点五 五八五零。我们知道，一般的或者说以前数学家他并不会将所有的对数表列出来，一般只会选取一些常用的对数或自然对数进行列表。 可能一些以二为底的对数或以三为底或以五为底的对数，他可能列表列不出来，或者有很多。那此时利用换底公式，就可以将之化为我们很常见的一个或者以十为底或以自然底数一为底的一个常用对数 方法。我们正面是以十为底，也可以将之化化为以一为底的自然对数。 log 二三，它可以等于是 roin 三除以 roin 二， roin 三约等于一点零九八六， roin 二约等于零点六九三一，因此这个还是约等于一点五八五零。 那换底公式就是涉及到这里面的一个这样的用处。好，我们来计算下面三个题，我们来先来看第一个， 这里面是哪里计算？ log 九八乘以 log 三十二二十七。那这种计算该如何处理呢？我们可以这么来处理， 正面，我们将里面的底数，因为正面有底是九，还有三煞，我们将将其通通化为以十为底的，或者说以一为底的。我们这里面以十为底的对数运算。 所以第一个圆式，它是等于是 log 八除以 log 九乘以 log 二十七 除以 log 三十二。然后利用我们昨天所学的一个运算的性质， log 八是等于三倍的 log 二， log 二是七是等于三倍的 log 三分母， log 九是等于两倍的 log 三， log 三十二是等于五倍的 log 二。 这是利用到我们昨天所学的性质，将乘方变为一个乘法运算啊。那你现在就会发现，落个二，落个三正好全部消掉，分子是九，分母是十，因此此题是等于十分之九，这是第一个， 第二个我们也是同理的，我们可以将之全部化为以十为底的常用对数，那么我们可以得到，这是 log 二十五除以 log 二乘以 log 四除以 log 三乘以 log 九除以 log 五进行变形。 log 二十五可以改写成是等于两倍的 log 五 拿来， log 四是等于两倍的 log 四， log 九是等于两倍的 log 三除以 log 二， 所以 log 三，所以 log 五。你会发现 log 二， log 三， log 五正好跟分母相消，所以这个圆式是等二乘以二乘以二是等于八的， 这是前面两个换底公式的运算，我们就是第三个。这里面我们也可以通通化成以十为底的常用倍数，那么元数就等于 log 二十五，我们前面写了 log 二十五是等于两倍的 log 五除以 log 高。第二个是指是 log 二根号二除以 log 三，后面一个 log 五九就是等于 log 九除以 log 五。 好，我们整理一下，分子是等于两倍的 log 五乘以 log 二根号二啊，这里面是 log 二根号二，根号是二的二分之三次方，所以是二分之三。 log 二。 log 九是等于二乘以 log 三， 然后跟分母相消，是 log 二。 log 三。 log 五正好只留下了一个二乘以二分之三乘以二，因此得到的结果是为六。 这是第一个计算问题，可以先把它画成同底的对数，再进行运算。我们再来看一个 变式，第一个圆式正面是两倍的 log 根号二， log 根号在里面是相当于 二分之一的意思，因此咱们稍微可以改一下，就是两倍的正面是二分之一。 vlog 二 括号的平方加上后面 log 根号，又有 log 根号，所以是二分之一。 log 二乘以 log 五， 后面是一个根号，后面这个正好是一个完全平方公式，他是正好等于根号 log 根号二减去一括号的平方， 这个根式里面不大好，不大好。注意到那同学们可以稍微验证一下我这 logo 根号二减一或者平方是不是正好等于正面的啊？或者你把这 logo 根号二的平方拆开来， 你会发现它是等于四分之一。 log 二括号的平方减去 log 二加一，所以它正好是等于二分之一。 log 减一括号的平方跟里面的式的是一样的， 那后面我们整理一下，前面是二乘以四分之一，那就是二分之一 log 二括号的平方加上二分之一 log 二 乘以 log 五加上正面是一个完全平方，那此时我们可以开根号开出来啊，正好就是一减二分之一 log 二啊。那么咱们进行整理一下， 这里面我们全部对这几个式子，我们全部可以提个二分之一 log 二出来，因此它会等于二分之一。 log 二括号正面 是 log 二，加上 log 五减去一，剩下一个一是单独写在旁边这个括号里面。 log 二加 log 五正好是 log 十是等一，一减一正好是等于零，因此正面是零加一正好是等于一。这是第一个变试题， 我们继续看第二个。第二个 log 五百 log 五百加上 log 五分之八，减去二分之一 log 六十四，这里面都是同底的对数的运算，因此咱们可以先利用性质把它写成 log 括号五百 加就变成乘乘以五分之八，好，减就变成除除以。这里面二分之一是不能单独提出来的，二分之一应该先放到里面去，六十四的二分之一是方，那正好是 八，因此要除以八加上五十，后面是一个平方，而 log 二加 log 五，其实正好是等一，直接加五十即可，因此它是等于 log 正面五百乘以五分之一，正好是 log 一百加上五十，而 log 一百是等于二，因此它是等于五十二。第二个比较简单，前面是一个计算问题，我们继续看这里面的求职问题， 他说已经知道 log 七三等于 a， log 七四等于 b， 用 ab 来表示 log 四十九四十八， 前面是给出以七为底的对数，后面居然是以四十九为底的对数，因此咱们也可以把这个 log 四十九四十八改成以七为底的对数运算。所以点 log 四十九四十八改成以七为例，那就是等于 log 七四十八除以 log 七四十九。 对于分母来说，四十九正好是七的平方，因此是等于二分之一。 log 七四十八，那 log 七四十八我们又可以怎么办呢？这里面四十八其实是可以写成四的平方乘以三的，因此它又会等于二分之一。 log 七四的平方乘以三，因此它是等于二分之一 log 七四的平方加上 log 七三。整理一下，正面就是相当于二分之一括号两倍的 log 七四加上 log 七三啊，因此它是等于二分之一括号 log 七四是等于 b， 因此是二 b 加上后面是 a 啊，这里面就是二分之 a 加二 b， 因此 not 四十九四十八，它是二分之 a 加二 b。 我们可以利用 a 来 a 和 b 来表示这个数值。 第三，用换底公式证明以下两个很等式，一个 log a 的 m 次方， b 的 n 次方是等于 m 分之 n log a b。 那此时我们可以将这个通通化成以 a 为底的对数，将左边划就行了，左边推到右边，因此左边是等于 log a b 的 m 字， b 的 n 次方除以 log a a 的 m 次方。因此证明，对于分子来说，利用我们昨天的学的性质，三可以得到是 n log a b， 而分母正好是 m， 因此它是等于 m 分之 n log a b 即为所求 是第一个换题公式。第一个公式其实以后我们在解题里面也是可以使用的，而且使用的频率还比较高。 第二个我们也可以正面是证明很等式，三个正好都是不同底的，我们可以把它先变为同底。所以第二个左边就等于 log b， 所以 log a 乘以 log b， c 呢，就是 log c， 所以 log b。 然后呢， log c， a 呢，就是 log a 除以 log c。 而发现 log a 正好，分子也有，分母也有，也抵消了 b， log b 也是一样的， log c 也是一样的，因此全部相销正好是的一，因此第三个用换底公式来证明这两个式子是特别方便的。 那第三个其实在几个对数相乘底数之间是可以相互转化位置，帧数之间也可以互换位置的，同学们可以记住这个定理，以后在解题里面也是可以直接使用的。四个求职与证明， 已知 x y z 为正数，且三的 x 方等于四的 y 方等于六的 z 方等于 m。 第一问，求 on x 除以 y 的值， 我们使用它的时候，我们无非就是将 x 解出来，可即可。好，正面将 x 解出来，我们相当于指数或对数，因此 写 x 可以写成是多少呢？ x 是等于 log 三 m， 同理 y 是等于 log 四 m， 这个呢，是等于 log 六 m。 好，那正面要求二 x 除以 y， 二 x 除以外，带路过去就是两倍的 vlog 三 m 除以 vlog 四 m。 啊，那这里面我们通通化成以十为例，定常用对数，那这里面就是两倍的 vlog m 除以 vlog 三， 三除以 log m 除以 log 四。而这里面你会发现 log m 正好是相消，转化一下，它就是等于两倍的 log 四除以 log 三。 整理一下，它是等于多少呢？ log 四又可以写成是两倍的 log 二，因此它是四倍的 log 二，所以 log 三， 然后再进行化解，这里面可以写成是 log 三二，四倍的 log 三二，因此这里面它的答案就是等于四倍的 log 三二。 这个是需要注意的，换底之后还得换回来，我们继续看第二个，第二个他让你求证这个横等式，其实证明这个横等式也是比较简 简单的，我们可以利用前面的解除 s y z 带入过去就行了。那一除以二万，我们就可以得到。是等于一除以两倍的 log 四 m 一岁， z 是等于一岁。 log 六 m 一除以 x 是等于一除以 logo 三 m， 其实正面通通可以转化一下， 对，一除以二 y， 我们可以知道它是等于两倍的 log 四 m， 那等于多少呢？正好是等于二分之一。 log m 四， 这里面无二 y 分之一还可以稍微化解，它是等于 nog m 二，因为四是可以写成二的平方，平方 二放到前面去，跟二分之一正好抵消。好，这是二 y 分之一，那这一分之一，那我们就可以改写成是 log m 六。 x 分之一，它就是等于 log m 三， 此时你带路过去，所以 log m 二正好是等于一，所以 z， 那就是 log m 六。减去 log m 三， 正好符合我们昨天学的一个同底的对数相减，底数不变，增数相除， 因此它正好是等于 log m 二。那圆不等式，那圆等式我们就可以得正，所以二 y 分之一是等于 z 分之一，减去 x 分之一。那第二个它的证明是 思想，我这里面是相当于把 y z x 先求出来，然后利用换底公式，我们可以得到二 y 分之一，它是等于 log m 二 z 分之一是 log m 六， x 分之一是 log m 三，此时就化为同底，我们就很好判断他们之间是否相等了。 好，那么我们进行一个课堂小结。本节课学的是一个换底公式，正面 log ab 等于 log cb 除以 log ca， 特别的时候，当 c 等于 b 的时候， log ab 是等于一，除以 logba， 正好跟分数换分母是他们的原理是一致的。 当然这里面还有一个变式，你们说这两个式子，同学们以后大家也是可以记住的。对于第一个来说，这 a m 次方，如果他的次数占 底数上，那么我们就应该放在分母，如果这个指数指数密是在帧数的上面，那么我们就放在分子。 第二个式子，我们前面说过几个对数相乘，不管是同底还是不同底，他们的底数之间是可以互换位置，帧数之间也是可以互换位置的，这个需要同学们记住。好，本节课学习的就是一个换底公式，希望对大家有所帮助。

大家好，今天咱们就继续来讲一下这个对数比大小啊。昨天讲完了这个对数函数，但是比大小这一块呢，有些同学还不明白，咱来说一下。就这两道题，封面上也写了， 第一道题的话是 abc， 分别等于一个是 log 三六，一个是 log 五十，一个是 log 七十四，然后比较 abc 的大小，怎么比呢？咱们观察一下啊，你要直接画图的话，这个确实不太容易比出来，对吧？不太容易算出来， 然后怎么办呢？咱这样来，你三和六的话是什么关系？二倍的五和十又是二倍的关系，七和十四也是二倍的关系。 那索性我这个 a 的话，是不是可以把这个六写成什么形式？写成这个三乘二的形式，对吧？三乘二，这是没问题的。那看了啊，根据对数的预算法则，真数部分的乘法可以转换成对数的加法吧，相当于 log 三三， 再加上 log 三二，现在问题呢，就有了，他这个 log 三三是几啊？ log 三三当然就是一了，再加上 log 三几， log 三二啊，这个没问题。 那同样的道理，既然 a 已经算出来这个结果的话， b 和 c 是不是都算出来了？那我再重新写一遍吧，扔到一块，你比较一下大小就行了。 a 是 log 三二没问题，然后 b 的话是等于一加上 log， 这个很容易啊，把十写成五乘二， 那就是 logo 二，然后 c 的话是一再加上 low 个几啊，一再加上 log 七二十四，写成七乘二就可以了，对吧？ 那他比的是 abc 的大小，实际上我们分别比较的是谁的大小？只需要比较这个 a 片，然后 b 片还有 c 片， c 片的话，实际上就等于绕个圈，只需要比较这三个画圈部分 a 片 b 片 c 片的大小吧。怎么比较呢？这个咱们画图不就可以了吗？因为 a 片 b 片 c 片它三个帧数都是二，但是底数不一样， 那分别画出来啊？蓝色应该是 log 三 x 还是 log 七 x， 这个一定要注意啊，在第一线的线越远离这个外轴，它这个底数越大，所以这个蓝色的线呢？蓝色的出现实际上是 log glog 七 x， 那上面红色的话就是 log 三 x， 中间肯定是黑色的啊，是这个 log 五 x。 那画完直接以后，你看 a 片 b 片 c 片，人家自变量是 x 等于二吧，你都过一多少零画一个 x 等于二，这不就是 x 等于二，这不就画完了吗？ x 等于二的话，来看了， a 片在什么位置啊？ a 片他是正好等于 logo。 三二，这个不就是 a 片的高度重坐标啊，这个是 b 片，然后这就是 这片。所以说嘛，我们应该写什么？我们直接就写 a 片大于 b 片大于 c 片，实际上不就相当于你都加上一 a 大于 b 大于 c， 就整完了，对吧？这个是三个比较大小，然后拆成了这种一加上 log 三二， log 五二，然后 log 七二的形式。 但是下一个题下一个题就难了，别看起来简单啊，二三啊，行，然后 log 三四，还有 log 四五， 你说这个三十他不是大二倍啊，他绝对的差距呢，确实是三比二大了一，四比三大了一，然后五比四大了一， 参数比这样的底数呢，都大了一，但是啊，让你真正比较大，小时候直接画图，这个确实没办法，咱们还是画图啊。同样的道理，你如果画图的话，最下边就 变成了 log glog 四 x 吧，那中间这条黑线呢？就是变成 log 三 x， 最上面的话就是 log glog 二 x。 直接比较。真没办法呀，你 a 的话，咱们标一下它的高度啊，自变量是 x 等于三三的话，比如说啊，三大概在这，那这个呢？就是 a， 然后这个烙个三四的话，这个四大概。哎，四大概距离有多远？这个真不太清楚啊。不太清楚对吧？因为我们画的是草图，究竟这个四，这个位置，这个 b 和 a 究竟哪个高哪个低？肉眼看不出来，那怎么办？那没办法了，只能老老实实改一下形式了。 方法一，怎么办？跟刚才一个套路。什么套路呢？嗯，虽然哈，他的绝对差值是一，我们改成什么结果？我们能够把一个一提出来是最好的。啥意思？ 这个 a 他本来是 log 二三吧，我强行在这个其中给他提出个一来。什么意思？我强行把这个三改成二乘二分之三的形式，这个是没有问题，为什么要出现二， 你知道为什么吗？好说呀，我们就是为了出现这个，你看帧数部分的乘法转换成了根据对数预算法则， low 个二，再加上 low 个二，二分之三吧，然后 low 个二实际上不就等于一？所以说同样的道理，我们还是写一遍啊， a 的话 就是一，再加上 log 二二分之三，注意二分之三是真数，那同理可得。这个 b 的话，同样的方法，我们把这个四拆成三乘三分之四，那就改成了 log 三三分之四。哦，原来是这么这么个意思哈，那继续 c 的话， 那统一可得嘛，一加上烙个四四分之五就行了。现在的话，我画圈部分，你看，我们其实只需要比较这个 a 片啊， b 片，还有 c 片的大小，就其实代表了 abc 的大小，因为他们都分别加了一，现在我们标一下 a 片， a 片的话， 二分之三，二分之三，先比较一下二分之三，三分之四和四分之五哪个大？显然二分之三大吗？人家是一点五啊，三分之四的话是一点三，三三三三循环是吧？然后呢，这个四分之五的话，那不就一点二五吗？所以这是大小关系出来了，我们先标二分之三嘛，知道这个大家的关系就行。 好，红色的二分之三最大了啊，好，这个高度呢，他就是 a 片了，那这个 b 片应该怎么标啊？ b 片的话，他是跟黑线的焦点是 log 三几， log 三 x 啊， log 三三分之四，所以呢， 跟黑线的交点，这是 b 片，那继续来标吗？接下来改表什么？ low 个四四分之五，那不就是最小的这个四分之五和蓝线的交点吗？ low 个四四分之五，所以说这是 c 片， 现在应该懂了吧，肉眼可见的 a 片最高， b 片呢？次之啊，跟黑线焦点是 b 片，然后 c 片呢？跟蓝线焦点最低，所以就得出来什么结果。 a 片 大于谁？大于 b 片，大于 c 片，那分别加上一同样的道理，不就是 a 大于 b 大于 c 的这样一个结果吗？这个肯定是没有问题的呀。好了，我们就比完这个大小了，懂？ 好吧，再说这个在告的里头就是小题的，这是方法一，画图，但是画图之前必须强行把这个一给拎出来，如果你没有做第一题的话，你觉得很容易想到这种方法吗？很不容易的，其实来看方法二。 有人说，老师我知道，我呢，可以引入一个，你看 log 二三， log 三四，然后 log 四五。那我索性索性就引入这样一个函数啊， y 等于 log x， 然后这个帧数比底数大了一个单位嘛。我引入这样一个函数， 这个函数的话，直接处理不好处理，因为帧数含有变量，底数含有变量，我们换句公式嘛，这样的话就会稍微简单一些了，换成 log x 加一，以示为底啊，底上 log x， 现在写成这个结果以后，有人说，老师，我接下来求导。别别别，因为咱现在是给高一学生讲的，咱不要讲求导的方法，咱看有没有别的方法来求。 怎么呢？其实有的看了啊，别着急，咱们慢慢来。你现在的话实际上就想比较什么。我现在其实就想证明什么呢？我就想证明这样一个很 数， y 等于 log n， n 加一，因为最小是 log 二三，其次是 log 三四，所以这个正能数 n 的话，一定记住是大于等于二的。 那写成这样一个结果的话，我想证明他这样一个函数是怎么样的？他是单调递减的这样一个函数。注意啊， y 是因变量， n 呢？是自变量，如何证明他是一个单调递减的函数呢？ 好说，为了证明他是单调递减的函数，我们不就是想证明这个 log n， n 加一，减去后一项，对吧？ log n 加一，然后 n 加二，怎么样啊？大于零，这不就是前头减，后边儿大于零，那不就是单调递减的意思吗？ 但是变成这个结果呢？还不满意，因为你底数还有帧数都含有变量。 n， 现在的话，我们要 换底公式了啊，注意，下一步我们利用了一下什么？利用了一下换底公式，一定要回顾一下上节课的换底公式啊， 那换完底以后，索性就以十为底。刚才其实也说过了，你现在证明的是大于零嘛，实际上相当于我们把这个负的移到不能和右边去变成正的啦，相当于证明他大于他。这个其实是好说的，然后继续往后写。那继续嘛，右边的话就是 log n 加二换地公式嘛，比上烙个 n 加一， 想一想，因为你这个 n 已经大于等于二了，所以这四个画圈部分，不管分子还是分母都是正数，正数部分的话，我们直接相乘或者相处 不同的方向不变的。那接下来既然都是正数的话，我们就直接相当于证明什么？相当于证明 log n 加一改一下形式就行了，它的平方是大于 log n， 再乘烙 个 n 加二的。那如何证明这一点的？这一点的话就要需要用到什么？需要用到 y 等于 log x。 注意啊，这条图像 y 等于 log x， 它肯定是向上凸的，这个不用多解释吧啊，图像性质就是这样， 那既然如此的话，我们现在需要观察一下什么东西啊，大家现在观察这样一个不等式里头啊，最后这个不等式里头有 n， 有 n 加一，有 n 加二。首先我们就让 a 点它的横坐标等于 n 啊，注意， n 是大于等于二的，那 b 点横坐标，那就 n 加二呗。那中点的话，横坐标肯定就是 n 加一。 如果说我们先看直线啊，先不要着急，看上面这个点，先看这个直线， m 点是直线，是线段 ab 的终点啊，是 ab 的终点，那接下来怎么办呀？接下来我们根据均值不等式，均值不等式的话， a 点的 纵坐标实际上他就是什么，就是多少，就是烙个嗯，然后这个必点，这个纵坐标的话，你把这个横坐标带入，就是 n 加二吧。然后均值不等式的话，是不是大于什么东西？大于等于烙个 n， 然后再成一个 log n 加二。但是啊，我们要证明的，人家是怎么左边平方了，那就平方呗，左右两边分别平方，这样一个君子不能试改成这样一个结果，改成这个结果以后的话，我们还不满意，我们其实只需要比较一下什么，比较一下这一部分就行了。 还有一个，这个等于号什么时候取得到？等于号，只有当 x 等于外，只有当画圈部分这两项相等的时候，画圈部分这两项能相等吗？不可能，所以这个等于号其实是永远取不到等于号，只能取这样一个大于号。别着急，别着急，你着什么急？ 我们其实已经可以说几乎已经出来这个答案了，看了啊，同学们，我们来看这个恩典坐标是什么东西啊？显然这个恩典坐标我们可以写成 log n 加一，这是恩典的纵坐标吧， n 点纵坐标，它是大于什么的？ n 点纵坐标，它是大于这个 m 点的纵坐标的，这个 m 点纵坐标我们根据终点公式其实已经写出来了，它就是二分之 y a 加 y b， y a 就是烙个 n， y b 就是烙个 n 加二，懂了吧？所以说接下来 log n 加一的平方是不是大于这样一个二分之？ log n 加上 log n 加二，这是终点公式，对吧？这样一个整体的平方呢？大于这个整体的平方，那就大于 后边这一项。那我们圈一这个不等式不就证明完了吗？圈一证明完了，因为我们每一步都是等价变化过来的，所以说最终就证明了原来他是一个减函数。现在呢？你可以截图了，因为我要擦掉这一部分了啊。 也就是说最终我们证明了原来 y 等于 log n， n 加一，它是一个减函数。那既然是减函数的话，你看这个二三四，虽然越来越大了这个 n， 但是整体却越来越小了。因为是减函数，所以就是 log 二三反而大于 log 三四。 唠个三四反而大于唠个四五，这不就写完了吗？这是方法二。那如果让你选择的话，你会用哪种方法比较大小呢？分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下期课再见！

前面的视频我跟你讲过单个对数的计算，这个视频咱们来看看对数的加减法运算。比如这个题， low 个二加 low 个五，这俩对数都没法算，那咋算合呢？别急，接下来我就给你介绍几个对数运算公式。 先看第一个对住求和， log a m 加 log a n 等于 log a m 成 n， 为啥是 m 成 n 呢？我下面就来告诉你原因。 先求以 a 为底，他为指数的乘方，拆开得 a 的 log a m 次方，乘 a 的 log a n 次方。还记得这个横等式吗？他就等于 m， 而他就等于 n， 所以 a 的 log a m 加 log a n 次方，就等于 m 乘 n。 看到了吗？出现 m 乘 n 了吧，接下来继续化解。左边是底数为 a 的乘方， 那就把右边也改成以 a 为底的乘方。还是利用横等式， m 乘 n 就等于 a 的 log a m 乘 n 次方，那干掉底数之后，就有了对数求和公式。 log a m 加 log a n 等于 log a m 乘 n。 这个公式的意思就是同底的俩对数求和，底数不变，针数相乘。 比如刚才的例子，唠个二加唠个五，就等于唠个二乘五，也就是唠个十得一。再比如唠个七八，再唠个七八分之七，他俩不能算，那就用公式等于唠个七八乘八分之七，也就是唠个七七得一。 以上就是对数的加法运算，相信你已经会了。那对数的减法运算又是咋算的呢？其实和加法差不多，只要把这个乘改成除就行了。简单的说就是底数不变，针数相除。比如 log 三三十六 点 log 三四，他俩不能算，那就用公式等于 log 三三十六除以四，也就是 log 三九九十三的二次方，那答案就是二。怎么样？简单吧， 计算对数加减法时，除了这俩公式，还有一个也特别常用，比如这里的 n 如果也换成 m， 也就是二乘 log a m 就等于 log a m 方。 类似的，如果是三个 log a m 相加，那就是三乘 log a m 等于 log a m 的三次方。把三换成四，换成五，换成六，换成任意数，道理都是一样的， 这就是对数倍数的计算公式。要算一个对数的 n 倍，你把 n 从这挪到这，结果是不变的。比如五倍的 log 三二，你可以把五挪上去，就等于 log 三三十二。当然，刚才的一段过程反过来也一样，比如 log 三十六，也就是 log 三二的四四方， 你可以把四挪到前面，就等于四倍的老哥，三二。好了，对数加减法的三个积木公式都交给你了， 接下来给你俩 boss 练练手吧。先看这个两倍的唠个五十加唠个五零点二五等于几。先看这俩对数，他们都没法算，那就得用公式试试呗。 要算二倍的他，你就把二挪到这，变成烙个五十的平方，再加烙个五零点二五，也就是烙个五一百，加烙个五零点二五，底数一样，那就把他俩相成，等于烙个五二十五，二十五是五的二次方，答案就是二。搞定。 用同样的想法，再看一个落个二的平方，加落个四乘落个五十，再加落个五十的平方。咦，这根本不是对数的加减法呀，咋办呢？好好瞧瞧发现没，这个算是长得特别像完全平方展开式， 不过中间没有二啊，这好办，四十二平方，而烙个二平方，就等于二乘烙个二，这样算是就变成了烙个二平方加二乘，烙个二乘，烙个五十，再加烙个五十的平方。根据完全平方公式，他就等于烙个二加烙个五十的和的平方。 括号里是加法，那就把二跟五十相乘，而一把又是十的二次方，所以就等于二十平方次。这样问题就解决了。 看来在进行对数计算时，往往还需要用到一些常用公式，对算式进行适当的变形再计算。 前面的这些题目都是正着用公式计算对数的和或者差，其实反过来也一样。比如这个题目已知 log a x 等于零点七， log a y 等于二，求他俩 log a x y 应用公式就等于 log a x 加 加 log a y， 算一算得二点七。 log a a x 除以 y 方，应用这个公式，就等于 log a a x 减 log a y 方。 log a a x 就等于 log a a。 加了个 a x l a y 方，则等于两倍的 log a y， 也就是一加零点七减二乘二，得负的二点三。 好了，讲了这么多，总结一下吧。这个视频我就给你讲了三个基本公司，对数求和，就是底数不变，真数相乘。对数求差，就是底数不变，真数相除。而求对数倍数，你就把它挪到这再计算。怎么样，明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

前面的视频我跟你讲过单个对数的计算，这个视频咱们来看看对数的加减法运算。比如这个题，绕个二加绕个五，这俩对数都没法算，那咋算和呢？别急，接下来我就给你介绍几个对数运算公式。 先看第一个对数求和， love you m 加 love you a n 等于 love you m 成恩。为啥是 f 成恩呢？我下面就来告诉你原因。 先求以 a 为底，他为指数的乘方，拆开得 a 的 logo， a m 四方乘 a 的 logo a n 次方。还记得这个横同是吗？他就等于 m， 而他就等于 n， 所以 a 的 log a m 加 log a n 次方就等于 m 乘 n。 看到了吗？出现 m 乘 n 了吧，接下来继续化解。左边二是底数为 a 的乘方， 那就把右边也改成以 a 为底的乘方。还是利用横等式， m 乘 n 就等于 a 的落 a m 乘 n 四方，那干掉底数之后，就有了对数求和公式。 绕个 a m 加绕个 a n 等于绕个 a m 成文。这个公式的意思就是同底的俩对数求和，笔数不变，针数相乘。比如刚才的例子，绕个二加绕个五，就等于绕个二乘五，也就是绕个十得一。 再比如绕个七八加绕个七八分之七，他俩不能算，那就用公式等于绕个七八乘八分之七，也就是绕个七七得一。 以上就是对数的加法运算，相信你已经会了。那对数的减法运算又是咋算的呢？其实和加法差不多，只要把这个乘改成除就行了。简单的说就是底数不变，真数相除。比如绕个三三十六减 绕个三四，他俩不能算，那就用公式等于绕个三三十六除以四，也就是绕个三九九十三的二次方，那答案就是二。怎么样？简单吧，计算对手加减法时，除了这俩公式，还 有一个也特别常用，比如这里的 n 如果也换成 m， 也就是二乘 wlam， 就等于 log a m 方。类似的，如果是三个 log a m 相加，那就是三乘 lovelogam 等于 logam 的三次方。把三换成四，换成五，换成六，换成任意数，道理都是一样的，这就是对数倍数的计算公式。 要算一个对数的 n 倍，你把 n 从这挪到这，结果是不变的。比如五倍的落个三二，你可以把五挪上去，就等于落个三三十二。当然，刚才的移动过程反过来也一样，比如落个三十六，也就是落个三二的四四方， 你可以把四挪到前面，就等于四倍的绕个三二。好了，对数加减法的三个基本公式都交给你了，接下来给你俩 boss 练练手吧。先看这个两倍的 logo， 五十加绕个五零点二五等于几？先看这俩对数，他们都没法算，那就得用公式试试呗。 要算二倍的他，你就把二挪到这，变成绕个五十的平方，再加绕个五零点二五，也就是绕个五一百加绕个五零点二五，底数一样，那就把他俩相乘，等于绕个五二十五，二十五是五的二次方，答案就是二。搞定！ 用同样的想法，再看一个绕个二的平方，加绕个四乘，绕个五十，再加绕个五十的平方。咦，这根本不是对数的加减法呀，咋办呢？好好瞧瞧发现没，这个算是长得特别像完全平方展开式， 不过中间没有二啊，这好办，四十二平方，而绕个二平方就等于二乘绕个二，这样算式就变成了绕个二平方加二乘，绕个二乘绕个五十，再加绕个五十的平方。根据完全平方公式， 他就等于绕个二加绕个五十的和的平方。括号里是加法，那就把二跟五十相乘，而一百又是十的二次方，所以就等于二十平方四， 这样问题就解决了。看来在进行对数计算时，往往还需要用到一些常用公式，对算式进行适当的变形再计算。前面的这些题目都是正着用公式计算对数的和或者差，其实反过来也一样，比如这个题目 已知 logo， ax 等于零点七， logay 等于二，求他俩 logaxy 应用公式就等于 logax 加 绕个 a y， 算一算得二点七，绕个 a a x。 除以外方应用这个公式就等于 love a ax 减 love 外方 绕个 a ax， 就等于绕个 a a 加绕个 ax， 绕个 a 外方则等于两倍的绕个 a y， 也就是一加零点七减二乘二，得负的二点三。好了，讲了这么多，总结一下吧。这个视频我就给你讲了三个基本公式，对 求和就是底数不变，真数相乘。对数求差，就是底数不变，真数相除。而求对数倍数，你就把它挪到这再计算。怎么样？明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

数学最精华的部分是什么公式？因为有了公式，数学问题我们就可以轻松的解决掉。那有没有一个万能的数学公式，一下子把所有数学问题通通解决呢？还真有，他的确可以让我们一下子解决掉很多数学问题。 你有没有思考过一件事情，数学到底是干嘛的？其实数学就是教你学数的，什么样的数，变化的数，固定的数，有什么好学的？ 变化的才有意思，才好玩。那变化的数是什么？数是函数？那一说到函数，很多同学就开始咬牙切齿，一次函数、二次函数、三角函数、对角函数、指数函数、密函数、偶函数，即函数、证券函数、余钱函数等等等。 你要是没有一点数学思维，你去学这些函数，简直就是让直男去选口红，有区别吗？那为了解决这个世纪难题，一个男人出现了，这个薄就是泰勒，他把所有的函数都用一个基础逻辑单元给总结出来，这个作用实在过于强大，高中老师根本就不敢讲，他讲了 的话，高考压轴题就不存在了。快乐公式非常多，应付高考，记住以下四个核心公式就够。 那为了防止你觉得我在吹牛逼，那随便给你举个例子。比如这道高考压轴题，让比较 abc 的大小 b 和 c 就可以用泰勒展开式得到他们的大概数值。那简化了复杂的运算过程，直接秒杀压轴题。

这个视频我来讲讲对数函数的概念。前面我讲过指数函数 y 等于 a 的 x 次方，如果把它反过来用 y 表示， x 就变成 x， 等于落个 a y。 像这样，原来指数函数的直遇变成了定遇，原来的定遇变成了直遇，这就是对数函数。不过我们习惯把字变量写成 x， 因变量写成 y， 所以就把对数函数写成 y， 等于以 a 为底 x 的对数。 要注意的是，这里的 a 和指数函数里的 a 是一样的，所以也得满足 a 大于零且不等于一。简单总结一下，形式上是 y 等于落个 a x， 并且底数 a 大于零且不等于一的就是对数函数。 比如， y 等于落个二， x 就是对数函数。再比如， y 等于落个二分之一 x， 底数是二分之一，符合要求也是对数函数。还有 y 等于落个根号三 x， 底数根号三大于一，所以是对数函数。再看 y 等于 love 的 x， 这其实是以十为底 x 对数，所以是对数函数。类似的还有 y 等于 lovex， 这其实是以 e 为底， x 对数，所以还是对数函数。而如果是 y 等于落个三三 x， 把它改写一下，就等于落个三三加落个三 x， 这部分是对数函数，但再加上他就不是对数函数了。再比如， y 等于负，捞个二 x logo， 二 x 前面的系数不是一，那就也不是对数函数。所以对数函数形式上必须满足 y 等于 log a x， 其中落个 ax 前面的系数必须是一， x 前面的系数也得是一，并且 a 得大于零且不等于一。 给你一个函数判断他是不是对数函数，你明白了，那如果反过来告诉你， fx 等于 a 方减五， a 加五再乘落个 ax 是对数函数，你能求出 a 是多少吗？刚才说了，对数函数中落个 ax 前面的系数为一，也就是这坨应该等于一， 一项就等于 a 方减五， a 加四等于零，这个方程有俩，减 a 等于一以及 a 等于四，那 a 是有俩答案吗？别忘了，底数 a 还得大于零且不等于一呢。所以 a 等于一必须省去， 那 a 就只能等于四了。刚才的问题都有具体的函数解析式，所以你只要对着解析式分析就行，但有时候没给你解析式，那就得自己设出来了。比如告诉你对数函数 fx 的图像经过点四二，你能求出 fx 解析式和 f 拉的直吗？既然是对数函数，那就可以设 fx 等于落个 ax， 顺便把 a 的范围也写上。经过点四二，也就是 f 四等于二， f 四等于落个 a 四，所以落个 a 四等于二，也就是 a 的平方等于四， 所以 a 等于二或者负二。别忘了， a 得大于零且不等于一，所以负二这个解得舍去，那 a 就等于二，所以 fx 等于落个二 x， 接着要求 f 八就等于落个二八，也就是落个二，二的三次方就等于三。好了，以上就是对数函数的概念，关键掌握一点 技术，函数形式上必须满足 y 等于 lol 的 ax， 同时 a 大于零且不等于一。怎么样，你听明白了吗？如果明白了，就速度去刷题吧！

换体公司的第二个应用就是以 ledb 的对数乘以 bvda 的对数一。这个证明过程特别简单， 我们换底，把它写成 logb， 除以 log， a 乘以 log， a 再乘以 logb， 你发现不绝了正好， 我们怎么去用它呢？很简单，如果你令 s 等于以 a 为 d， b 等于数折，你发现 s 一等于什么，就等于 b 为 d， a 等于。 也就是说，如果两个数，一个是 s， 另外一个是 f 第一，那么他俩什么关系呢？他俩的底数和真数见到一下位置，像这道题，我们令这个位置等于 k， 那么 x 就等于以三为 dk 的对数，这个 y 就等于以四位 d k， 这个 z 就等于以六位 d k， 那么所以 id 一等于谁啊？ 底数和帧数点到以下位置外分的一等于谁啊？ a 以 k 为底次的对数内分的一等于谁啊？以 k 为底，留的。 然后咱的左边就等于这份第一，减完第一正好等于一 k 位第六的数减去一 k 位，第三就等于一 k 位。第六比三正好等于一 k 位第二， 右边啊，等于二分之一乘以 y 分之一，就等于二分。第一辈子以 k 为第一四，然后把这二分第一扔到这个位置， 就变成了 k 的四的二十一正好。等级以 k 为 d 二十一，左边和右边相等，这个正好。

下面我们来看一下蜜值函数换底公式的两个方法。在第一期视频中，我们已经复习了对数函数的公式，这边我们再把部分对数函数的公式快速的复习一遍。 指数函数和对数函数他们的底是一样的时候，就能够把他们同时约掉，变成 x。 当 a 为小 e 的时候，就为小 e 的隆 x 次方等于 x。 第二个隆 a 的 b 次方，把 b 提出来，就变成 b 乘以 l n a。 下面我们来看一下方法一， 在公式中，小易的轮 x 次方等于 x， 那我也可以从右往左写，变成小易的轮 x 次方。其 其实这里的 x 他是 x 的一次方，只不过因为书写的原因，我们不把一写出来，同理这里的 x 也是 x 的一次方。再利用罗恩 a 的 b 次方，把 b 提出来，就把这个一提出来，写成是一 乘以轮 x， 那由立体一我们可以看出一位于 x 的脑袋，他在轮的前面， x 是底，在轮的后面。方法一就是利用这一口诀，脑袋在前，底在后。 看一下第二题 x 的平方，这个二位于 x 的脑袋就在轮的前面， x 是底，在轮的后面。 下面来看一下第三题 fx 的即 x 字方。首先我们要确定哪一个是底，哪一个是脑袋，这边即 x 是脑袋， fx 是底，所以即 x 在轮的前面， fx 是底，在轮的后面。 那这是方法一，我们再来看一下方法二。方法二，他就是利用指数函数和对数函数的底是一样的时候，就能够把他们约掉了。 x 的平方，把它写成是 a， 罗格 a， 再写一个 x 平方，当我 a 变成小 e 的时候，就是小 e 的罗恩 x 平方，再利用罗恩 a 的比次方，把比提出来，就变成了 e 的二乘以罗恩 x 次方。 再来看一下第二题，其实也是一样的， fx 的及 x 次方，把它写成是底是 a 也是底位 a， 再补一补 fx 的及 x 次方， 那当 a 是小 e 的时候，就是小 e 的罗恩 fx 及 x 次方，再利用罗恩 a 的比次方，把比提出来，就变成了小 e 的及 x 乘以罗恩 f x 字方。其实可以看出这两个方法他们的本质和原理是一样的，同学们在做题的时候只要挑一个方法就行了，但必须要很熟练。

新招数学这个指数函数对传数的运算换算题。看完这两道题的技巧，学会了就明白了。先看这个二的 a 加 b 次方，二的 a 加 b 次方就是二的 a 次方，乘以二的 b 次方，他们的底数是一样的情况下，相乘就是指数这个密。相加就是二的 a 加 b 次方啊。 咱们要求的是不是这个二的 a 次方和二的 b 次方啊？ ok， 拿下来，以二为底，五的对数等于 a。 二拿下来，当父亲 a 过去当儿子副属赛，等于号。赵超这个五继续移过来，二的 a 次方等于五。再看这个拿下来， 以二为底，三的对数等于 b。 二拿起来，然后 b 移过去，当这个密等于号。照抄三拿过来，是不是你已经得出来了，也就是五乘以三等于十五。这道题直接选四。 d。 再看第二道题，设这个 a 倍的以三为底，四的对数等于二。问你这个四的负 x 方等于几？ 首先呢，咱们照抄下来，以三为底，四的对。说他呢是等同于这个 a 可以上来。这事啊，就是这个系数可以过来当这个帧数的次密，也就是三为底，四的 a 次密。好，你看这个和是不是和这个表 只不过一个负，一个不是负的。那咱们把它换算一下，还是让它等于二。三拿下来，二移过去等于平方，等于这个谁呢？这个四的 a 也是移过来了，等于四的 a 次方。好，四的 a 次方等于九，对不对？那四的 a 次方等于九，那四的负 a 次方不就等于九分之一了吗？对不对？他倒数选二 b， 你听懂了吗？

这个视频我来给你讲讲对数式之间的表示。也就是用已知对数式表示新的对数式。比如一只落个十四七等于 a， 落个十四五等于 b， 让你用 a 和 b 表示落个十四三十五。这简单。根据求和公式， love 十四三十五就等于落个十四七加落个十四五，也就是 a 加 b。 再比如，还是他俩，让你用 a 和 b 表示 love 三十五七。 现在底数都不一样，那就没法直接拆了，咋办呢？简单，用一下换几公式不就行了。把你换成十四，落个三十五七，就等于落个十四七除以落个十四三十五。 分子是 a 分母。你刚算过，拆开就得 a 加 b 搞定。看来，只要你能利用公式把新的对数拆成已知对数，问题就搞定了。如果底数不同， 那就用换题，公式变相同，然后再拆这俩题目，你都能轻松的把新对数拆成已知对数。但有的时候也会有意外发生，比如把新对数换成 logo 三十五二十八。还是用 a 和 b 表示。 底数不同，先换底，他等于 note 十四二十八除以 love you 十四三十五分母。简单，还是 a 加 b 分子可以拆成 love you 十四七加 love you 十四，他是 a， 那他呢？没法用 ab 表示啊。看来 love you 十四二十八不能这样拆，咋办呢？别急，我教你一招。 当你发现拆不了时，你就把真数拆成底数乘上或者除以一个数。这里的二十八可以拆成十四乘二，分子就变成了落个十四十四加落个十四二，也就是一加落个十四二。接下来这个落个十四二 也得这么拆。二能换成十四除以七，那落个十四二就等于落个十四十四减落个十四七，也就是一减落个十四七。 这样一来，整个式子就可以用 a 和 b 来表示了。整理一下，得 a 加 b 分之二减 a。 从刚才的过程可以看出，如果有个对数你不会拆， 那就试试把它的真数变成底数乘上或者除以一个数。一直这么拆下去，你就一定能把它用一系列一跟已知的对数表示。这个方法你可以放心大胆的用，只要题目没错，必然能做出来。好吧。

各位同学啊，在上个视频，我们和同学们讨论了指数的性值，那么这个视频我们将和同学们讨论对数，也就是老。首先这个视频的第一个部分，我们先来看看我们要如何找出在对数里面的未知数，那么我们要解得出像这样子的题目，我们就要在题目上画一个类似于大于的符号，但是我们是从下画到上， 以 d t 为例，以三分之二为底数， x 的对数是负三。首先我们要画一个好像是大于的符号，在这个题目上， 接下来我们就根据我们画的这个符号，把式子写成三分之二的负三次方会等于 x， 也就是说 x 会等于三分之二的负三次方 好。根据上一个视频，我们知道，当我们看到负指数的时候，我们就要将底数写成它的导数， 也就是说分子三的三次方会等于二十七，而分母二的三次方会等于八，所以 x 会等于八分之二十七。 好。来到第一题，现在未知数在底数的位置，同样的，我们也在题目上画一个像是大于的符号，那么根据我们画的符号，我们可以将它写成 x 的二分之一次方会等于二十五。 那么既然的 x 现在有一个二分之一次方，所以我们将两边都开平方，我们就可以找到 x 的值，也就是 x 会等于二十五的平方，也就是六百二十五。 好，来到第三题，当我们看到这样子的题目的时候，我们先将这串数字设为 x， 然后我们也在这个式子上面画一个相同的符号，那么我们 就可以写成五分之一的 x 平方会等于五的根号五，那么当我们看到这样子的四指的时候，我们就将四指的左右两旁都写成以底数为五的一个次数，那么五分之一的 x 平方，我们就写成五的负 x 方， 而五的根号五，我们就将根号写成二分之一次方，也就是五的一次方乘上五的二分之一次方。那么根据上一个视频，我们可以知道，同底相乘，指数相加，也就是说五的根号五，我们可以写成五的二分之三次方。 那么在这边既然底数一样，所以指数呢也会一样，所以负 x 会等于二分之三，那么 x 就会等于负二分之三。接下来来到第二个部分，我们来谈谈基本的指数的性质。第一，以任何数字为底数，那么一的对数都会是零。 再来，如果我们看到下面的底数和上面大的数字是一样的时候，也就是这样子，以 a 为底数， not a 就会等于一。 接下来如果看到一个这样子的形式，也就是以 a 为底数，然后我们要找出 b 的 n 次方的对数，以这样子的情况，我们就可以将那个指数 m 移到最前面，让它变成 m 乘以 low a b。 以这个为一个例子，当我们遇到这样子的情况的时候，我们可以将这边的四十九换成七的平方。 好，接下来我们就可以将七上面的指数二移到 log 的前面，然后让它们相乘。 最后我们来谈一谈有关一道相乘或者相除的情况，以这样子的情况相乘，我们就可以把他们相加，而相除，我们就可以将他们相减。以上 来说， low a x 乘 y， 我们可以将它写成 low a x 加上 low a y， 而下面 low a x 除 y， 我们就将它写成 low a x 减 low a y。 好，以这边为例，以二为底数，我们要找出九十八的对数，那么我们可以将九十八变成四十九乘二。 好，接下来我们就可以加四十九和二分开，也就是让它变成 not a 四十九加上 not a a， 从上面我们可以知道 not 二四十九会变成二乘以 not 二七，而以二为底数，二的对数就会是一，所以这边我们就可以将它写成二乘以 not 二七， 再加上一，最后我们来到 not 五十，那么如果这边我们没有标记底数的话，也就是说底数为十，那么五十我们可以写成一百除二。 好，现在我们将一百和二分开，也就是让它变成绕一百减绕二， 那么一百是十的二次方，所以 low 十的二次方就等于二乘以 low 十，而 low 十就会等于一，所以二乘以 low 十会等于二，所以这边我们就可以将答案写成二减 low 二。 好，这个视频我和同学们分享了一些我们要如何找到对数里面未知数的方法，也讨论了一些基本的对数知识，下个视频我们会去了解对数更深的知识，我们下个视频见。