阿基里斯追不上乌龟是真的吗

什么是阿基里斯悖论？阿基里斯悖论是公元前五世纪之诺的著名悖论。故事是这样的，古希腊英雄阿基里斯接受了一只乌龟的赛跑挑战，乌龟声称只要阿基里斯让他先跑，他就能跑赢阿基里斯。 阿基里斯欣然接受了挑战，他知道没有人能在赛跑中击败他。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面一百米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟，因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点。当阿基里斯追到一百米时， 乌龟已经又向前爬了十米，于是，一个新的起点产生了，阿基里斯又必须继续追，而当他追到乌龟爬的这十米时，乌龟又已经向前爬了一米，阿基里斯只能再追向那个一米。就这样，乌龟会制造出无穷的起点，他总能 在起点与自己之间制造出一个距离。不管这个距离有多小，但只要乌龟不停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟。这就是著名的之诺悖论的阿基里斯悖论。这个悖论认为，运动是不可能的，因为要从 a 点到达 b 点，必须走无数的步。 在到达目的地之前，我必须先走到目的地的终点，而在到达目的地的终点之前，我必须先到达终点的终点，如此循环往复。所以， 因此，他认为一个人要走无限长的路程，那么就永远无法到达目的地。然而，运动显然是有限的。我们知道现实中阿基里斯会很快超过乌龟。 人们对之诺悖论提出了许多解决方案，标准的解决方案认为，之诺假设阿基里斯要跑的距离总和是无限的，是错误的。 阿基里斯奔跑的路径是一个线性连续体，因此是由实际的无穷多个点组成的，或者说是由一组无穷多个点组成的。然而，随着数列的收敛，这些距离的总和是一个有限的距离。 虽然你可以将十米分割成自然的无穷多个点，但这些无穷点的总和仍是十米。相反，潜在的无穷点会随着时间的推移而变大，因此会发散。因此，巴基里斯一定会赢比赛。

一个人跑的再快都无法追上乌龟，一个人无法走过一条马路，射出去的箭是静止的，并没有运动，这就是有名的之诺悖论。这三个问题，在两千年的时间里啊，就把数学家和职业家彻底给搞蒙了。所以问题是，之诺的这三个悖论到底哪里有问题啊？ 我先说第一个，阿基里斯悖论，阿基里斯是当时已知跑得最快的人啊。那之诺就说，别看你阿基里斯跑得快，但你追不上乌龟， 为啥只落敢口出狂言呢？因为只落他有自己的逻辑。你看阿基里斯，你先让乌龟跑一段距离，然后你在后面追乌龟，当你追上乌龟的时候，在这段时间内， 乌龟他也没有闲着，他也向前跑了一段距离，当你在追上乌龟的时候，乌龟又向前跑了一段距离，就这样无休无止啊，你永远都在追乌龟，但你永远都追不上 乌龟啊。就这么一个逻辑啊，把数学家和哲学家都搞蒙了。根据当时人们对空间和时间的认识，以及当时的数学知识来看，之诺说的好像没有错呀，但在现实中，连小学生都知道人是可以追上乌龟的， 所以这就成了一个悖论啊。但你必须要指出人家赤诺到底他的话俩到底错在了哪里？有两点， 在知道的话中，他隐藏了两个这样的假设，第一个假设是空间和时间是连续的，他可以被无限的细分，所以在阿杰里斯和乌龟之间啊，就被分出了无限多个没完没了的时间和空间。第二个就是 这些没完没了的时间加起来，他等于无穷大。那既然时间啊，追的时间都是无穷大了，所以阿基里斯永远都追不上乌龟啊。这就是在芝诺贝顿中被默认了两个假设， 但你只要证明这两个假设，他说的这默认的这两个假设是错误的，就可以解决这个悖论了啊。你怎么知道悖论被提出来以后，呃，数学家就在思考无限多个小量加起来是不是等于无穷大， 而且在制作悖论中还第一次出现了无穷小量的问题啊，这也就间接的引发了电子数学危机。那哲学家就要思考的是，在物理现实中能不能像制作这样对时间和空间进行无限的分割啊，这些都是非常困难的问题啊。所以你现在应该知道制作的乌龟为啥这么厉害了， 那下面我们就看一下无限的累加为啥会出现有限的结果啊？现在我们假设阿基里斯的速度是乌龟的两倍，乌龟一开始在阿基里斯前面一米的地方，当阿基里斯跑完一米的时候，乌龟向前跑了二分之一米，当阿基里 李斯再跑二分之一米的时候，乌龟又向前跑了四分之一米，再追四分之一米，乌龟又向前跑了八分之一米，再追八分之一米，乌龟又向前跑了十六分之一米。如此这样循环下去， 那么阿基里斯所跑的总路程 s 就等于一加二分之一，加四分之一，加八分之一，加十六分之一，一直那么无限的加上去，那么这个数列最终的结果是二减去二的 n 次方分之一， 当这个人去无穷大的时候，这个数列是一个有限的值，也就是说阿基里斯追乌龟的路程他是有限的，那在物理学中， 一段有限的距离用一定的速度走完，只需要花费有限的时间啊，因为距离等于速度乘以时间吗？啊，所以阿杰里斯是可以在有限的时间内追成乌龟了，所以阿杰里斯可以追成乌龟。还有在上面的世子中，最后有一个爱的 n 次方分之一，当 n 去无穷 大的时候，这就是一个无穷小量。所以在知诺的辩论中，不仅包含了数学中的连续极限以及无穷集合这些概念，也让我们第一次看到了无穷小这么个东西。那后来关于无穷小量，到底这个等不等于零啊，就引发了第二次数学危机，因为他关乎到了危机分的基础是不是正确的。 关于这个问题就讨论了一百多年啊。最后由以科西为首的数学家对无穷小量做出了严格的定义，简单说就是无穷小量并不是一个固定的数，而是一个以零为极限的变量。 好呃，这是一个话题啊，那关于智诺的爱分贝论以及非死不动，我就用文字写在评论区了，有兴趣的可以看一下。如果这个视频啊，让你理解了智诺的乌龟，就帮忙点个赞，我们下个视频见，拜拜。

其实，短跑之王博尔特也跑不过一只乌龟，虽然看似不可能，但是在物理学界里，人永远追不上在他前面的乌龟。这一伪命题 却整整困扰了人类两千多年。古希腊哲学家之诺提出了一个猜想，即使是古希腊神话中善于奔跑的阿基里斯， 也永远不可能追上一只乌龟。众人听后都哄堂大笑，拥有神速的阿基里斯怎么可能跑不过一只乌龟？之诺解释道，先让乌龟以一米每秒的速度先爬一百米，然后阿基里斯以十倍的速度去追。 当阿基里斯跑到一百米处时，乌龟又往前爬行了十米，此时阿基里斯又要从新的起点去追赶，可当他跑过那十米的时候， 乌龟又往前爬行了一名。不得已的阿基里斯又要从新起点开始去追乌龟的那一名。如此循环往复，只要乌龟没有停下脚步，阿基里斯就会从无数个新起点开始去奋力追赶他面前的乌龟。这样一来， 虽然阿基里斯和乌龟之间的距离在不断缩小，但是却永远追不上乌龟。众人听罢，虽然觉得哪里不对，可又不知从哪反驳。 事实上，之所以不知道从哪反驳这一辈论，是因为我们默认时间是可以无限分割的，一段时间可以分割成无数个无限小的时间段，对应的就是阿基里斯需要从无数个新起点去追乌龟。这一悖论一直困扰着人们长达两千年，直到量子力学的诞生。在量子力学的定义中， 普朗克时间是宇宙中时间最小单位，也就是时的负四十三次方秒。所以在阿基里斯无限接近乌龟的时候，就会接触到普朗克时间的临界范围，而此时就是阿基里斯追上的乌龟的时候。是此，这一困扰人类两千多年的问题终于被解决。

今天我们来聊聊一个非常有趣的数学备论。之诺备论，古希腊哲学家之诺生活在约公元前四百九十到四百三十年，他提出了四个著名的运动备论，其中最著名的就是阿基里斯追乌龟。 阿基里斯是谁？他是希腊神话中最快的英雄，速度无人能及。但之诺却提出了一个惊人的观点，即使阿基里斯的速度再快，他也永远追不上一只慢吞吞的乌龟。这听起来完全不可能对吧？让我们来看看之诺是怎么论证的。 假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，初始时，阿基里斯在位置零，乌龟在位置一，两者之间的距离是一，现在追击开始了。步骤一，阿基里斯先跑到位置一，也就是乌龟的起始位置， 但在这段时间里，乌龟也在前进，它已经移动到了位置一。步骤二，阿基里斯继续追，到达位置一点一，但乌龟又前进了，现在在位置一点一。一。步骤三，阿基里斯到达一点一，一， 乌龟在一点一，一。我们可以看到，每次阿基里斯到达乌龟之前的位置时，乌龟又前进了新的距离，需要再次追击，这个过程可以无限重复下去。所以芝诺得出结论，需要无限次追击，阿基里斯永远追不上乌龟。让我们来分析一下芝诺的逻辑。 第一点，每次追击都需要时间，阿基里斯必须先到达乌龟之前的位置，这需要花费一定的时间。第二点，在追击过程中，乌龟也在前进，当阿基里斯到达时，乌龟已经在新位置了。第三点，这个过程可以无限重复，因此需要无限次追击，永远追不上。 听起来很有道理，对吧？但这里有一个关键错误，让我们用数学来证明之诺的错误。首先，我们考虑总时间，它等于阿基里斯追赶乌龟的每一段时间的总和。 每一次追赶的时间。可以这样计算，阿基里斯的速度是十。起初两者相距一，所以第一次追赶的时间是十分之一。 接下来，乌龟又向前爬了一小段，第二次追赶的时间是这一段距离除以十，也就是一百分之一。第三次追赶的时间更短， 以此类推，每次所需的时间都比上一次小十倍。把这些时间加在一起，就得到总时间。代入计算公式，我们得到一个无限的数列，十分之一，一千分之一，一万分之一不断递减。 这个数列实际上是一个几何极数，可以用几何极数的求和公式来计算，最终结果是九分之一。关键结论来了，总时间是有限的，阿基里斯会在时间等于九分之一时追上乌龟。那么，芝诺的错误在哪里呢？芝诺的错误在于，他误以为无限个时间段的总和必然是无限的， 但真相是，无限个时间段的总和可以是有限的。这就是无穷极数收敛的神奇之处，为微积分中极限理论奠定了基础。 从历史意义来看，芝诺辩论推动了数学对无限概念的深入思考，促进了数学的发展。所以，虽然芝诺的论证看起来很有道理，但数学告诉我们，阿基里斯确实能追上乌龟，而且只需要九分之一的时间单位。这就是芝诺辩论的真相。最后，大家有什么观点或者想法，欢迎评论区留言。

你能想象世界上跑的最快的英雄居然追不上一只乌龟吗？这就是历史上著名的之诺贝顿 之诺呀，是古希腊的数学家，他提出了很多有趣的悖论，比如他说，古希腊传说中有一位跑的最快，而且刀枪不入的英雄阿吉里斯，只有脚后跟呢，是他唯一的弱点。 有一天呢，阿基底斯遇到了一只乌龟，乌龟对阿基底斯说，别看你跑得快，你永远也追不上我。阿基底斯问，那就是为什么呢？乌龟说，你看，我给你解释一下啊，开始比赛的时候呢，阿基底斯在后方的 a 点，而乌龟呢，在前方的 b 点，二者同时起跑。 阿基底斯要追上乌龟，首先要追上乌龟先跑的这一段 ab， 但是在这段时间之内呢，乌龟也在往前跑。当阿基底斯到达 b 处的时候呢，乌龟已经跑到了 c 处，还没有追上吧，虽然此时 bc 的 距离已经小于 ab 了，那么阿基底斯呢，还要继续跑 bc 这一段，但是这段时间里，乌龟也没闲着，跑到了地处，虽然 cd 呢，也小于 bc， 但是阿基底斯还是没有追上乌龟，以此类推，阿基底斯和乌龟之间的距离只能是不断缩小，但是永远都不能为零。所以呢，阿基底斯就永远追不上乌龟了。 显然呢，之诺是在诡辩，可是问题出在哪里呢？如果你知道答案的话，不妨在评论区里留下你的看法。

古希腊英雄阿基里斯向一只乌龟发起了赛跑挑战。比赛时，他让乌龟先跑一百米，然后他在后面追，但是他却永远不能追上乌龟，因为当他跑到一百米的地方时，乌龟利用这段时间往前移动了十米，而阿基里斯往前跑完这十米时，乌龟又会继续往前移动一米。 就这样，阿基里斯只能一直在追，乌龟总能利用他追上自己之前位置所用的时间，再次往前一段距离，这样看来，阿基里斯永远也追不上乌龟了。这个悖论是由古希腊哲学家之诺提出的，他提出了四个关于运动的不可能悖论，除了刚刚说的，还有二分法， 飞屎不动以及运动场悖论。其中二分法跟这个阿基里斯贝论是有点相似的，他讲的是一个人若想下班回家，他必须先要达到路程的中间，这段路会花费一部分时间。当他走过终点后， 他必须要接着走，一直走到剩下距离的一半，这样时间又会花了一点，然后他要再走过剩下距离的一半，这样又会花费一点，就这样一遍又一遍的重复刚刚的循环。按照这样的逻辑推理下去， 后面的每一小段都会需要一点时间才能到达，这样他需要花费多少时间才能到家呢？我们可以把这些小片段加起来，但是问题是有无限的，这样的小片段他永远只能走到剩下路程的一半，而永远不能到达终点。 很明显，刚刚两个悖论我们看来非常荒谬，连小孩子都能确定运动员肯定能追上乌龟，下了班不出意外也肯定能到家，但是这些逻辑说辞的问题出在哪里呢？ 这些问题也类似，数学中零点九九九无限循环是否能等于一？他们最关键的点其实在于时间和空间是连续的，并且能无限细分。 这些个无穷多的有限时间段或者距离加起来是否是无穷大。这里我用最简单的方法来解释一下。德国的帅哥物理学家普朗克在一九一八年获得了诺贝尔物理学奖，与爱因斯坦并称为二十世纪最伟大的物理学家。 弗朗克发现，物质在能量不连续的情况下，只能以某个最小单位能量的整数被辐射，并且以此推导出黑体辐射公式。 量子力学就在这一理论下诞生了。也就是说，时间和空间并不能无限细分下去，他们都有一个最小的计量单位。科学家把最短的时间单位命名成普朗克时间，最短的距离被称为普朗克长度。由此可以得知，乌龟不可能制造出无数个领先距离， 下班回家的时间也不能细分成无数个终点，他们会在这个过程发生后的某一刻接近普朗克长度和普朗克时间， 这一刻就是超过乌龟和安全到家的时刻。而零点九九九无限循环是否等于一，也可以用数学中的微积分来解决，就是一个求极限的问题。零点九加零点零九，加零点零零九加零点零零零九，这样加下去 无限多个数字的和并不一定是无穷大，他的结果是可能为某个数字的。我国战国时期的庄子也提出过类似的观点，一尺之锤，日取其半，万事不竭。 最后，我想强调一下，很多人觉得之诺提出这样看似弱智的问题毫无意义，但是我认为之诺这种抛开经验而选择了推理和证明，是思想上的巨大进步。 他在面对问题时没有从众对惯性思维进行挑战。正是这种思想推动了整个数学和物理大厦的创建。

哈喽，我是大军。今天讲一个鬼神赛跑的故事。神是半神，叫阿卡罗斯。贼拉厉害。古希腊的一个狡辩能力一级棒的哲学家之诺，却说阿卡罗斯追不上乌龟。这句话把大伙都逗笑了。之诺说一开始阿卡罗斯落后乌龟，每次当他跑到乌龟之前的位置，乌龟都已经往前爬了一段距离。所以只要乌龟不停，阿卡罗斯就永远 追不上乌龟。看之诺这么一本正经胡说八道，大家也是惊呆了。之后之诺微微一笑，开始解释这个悖论。他说阿卡罗斯其实追的上乌龟。虽然 阿克刘斯追乌龟有无数个阶段，花了无数段时间，但这无数段时间加起来其实是有限的。比如想要过完一秒钟，先得过完一半，再过完剩下的一半，然后是一半的一半的一半，这么分下去，永远也分不完。随 虽然这些时间有无数个分段，但加起来就是有限的一秒。只诺用得罪半神的代价，推动了人们对极限的理解。这个故事告诉我们，不要跟哲学家吵架，他们嘴皮子很溜的周周。

跑的最快的人呢，也跑不过乌龟，你相信吗？这就是历史上非常著名的芝诺贝论，芝诺呀是古希腊的一个数学家，他说人类里面跑的最快的都跑不过乌龟，并且他给出了证明，我们一起来看一下他是如何证明的 啊？假如说呢，我们用 a 代表人，我们用 b 代表龟啊，并且人的速度呢，是龟的十倍啊，他说呀， 先让龟跑一百米啊，那假如说呢，龟跑了一百米到这个位置了，那人呢，此时还在起点这个位置啊，但是你不要忘了，人在往前走的时候，龟也在往前走，那人呢，需要先跑一百米到达乌龟现在所在的位置。 但是当人到达这个位置的时候啊，但是你不要忘了，龟也在往前走，那此时的龟呢，就到了这个位置， 他就到了这个位置，也就是说人在这的时候，龟就在这了啊，那这时候呢，人呢，就会产生了一个新的体检，他需要再往前走十米，那他再往前走十米的时候呢，乌龟就会往前走一米，也就说此时的人如果在这个位置， 那么龟就会在这个位置啊，那么按照这个逻辑的话呢，人只会无限接近于乌龟，但不会追上乌龟，但事实上人是可以追上乌龟的啊，这就是为什么称作悖论啊，那聪明的你发现其中的破绽了呢？那各路大神可以在评论区发挥了。

上一集我们说到一杯水，原理上是有可能被喝完的，这让我联想到古希腊有个著名悖论，阿基里斯追乌龟，每次追到乌龟原先的位置，乌龟又往前挪了一点。按无限分割逻辑，它永远追不上， 可现实中，人一步就能超越。这只能说明一件事，空间不能无限细分，不是平滑连续的，他像屏幕像素一样，到最小尺度就会直接跳动。空间是一格一格的像素，但宇宙的分辨率到底是多少？下一集揭晓宇宙真正的像素尺寸。