如何判断多项式是几次几项式

来，抬头看我，我们来看一道关于多项式的必考题，已知这个多项式是关于 x y 的五次三项式，让我们求 m n 的值，我们先不去管 m n 在哪里，老师问，考点是什么呀？ 是不是什么是五次三项式啊？来跟老师一起回顾一下啊！这是一个多项式，多项式啊，是由几个单项式组成的，那么 它包含了几个单项式，它就是几项式。哎，我们数一数啊，一二三四个单项式，按理说它应该就是四项式，但是这里有一个非常重要的易错点， 如果某一项系数为零了，零乘以 a 不就是零吗？这是一个常数啊，按理说应该加到常数项 上面，但是加不加他是不是不影响结果呀？也就是说，如果某一项系数为零了，这一项我们就是他不存在，所以这是一个一二三 三项式。确定项数之后，我们再来看次数，我们就找一找每一个单项式次数分别是几，谁的次数最高，谁就代表着这个多项式的次数， 也就是说这个队伍当中谁的能力最强，它就代表着整个队伍的能力啦。来数一数吧， 单项式的次数如何去确定啊？是不是找字母的指数和呀？哎，看第一项，字母只有 a， 次数是五，那么他就是五次。第二项，字母 a 是一次， b 是三 次，加起来不就是四次吗？第三项常数，它的次数就是零啊，最高次是五，所以它就是一个五次式，结合起来五次三项式啊。来，我们回到题中， 这也是一个五次三项式。我们先从项数入手来看一二三四， 按理说他应该是一个四项式，但是题中告诉我们他是一个三项式，说明什么？必然有一项他的系数为零了，对不对？来看谁的系数可能为零啊？ 这一项系数是负，三不是零，这一项他就是负，三不是零，这两项必然存在，而这一项和这一项的系数是可 可能为零的，究竟谁是零，我无法确定啊。再从次数入手呗。这是一个五次式，我们就看一看每一项次数分别是几，找到这个五次是谁？好， 第一项次数暂时无法确定，我们先略过，看第二项找谁呀？找字母的指数和。同学们，这是关于 x y 的多项式，除了 x y 以外 都视为常数，那么这里 x y 指数都是二，求指数和它就是四次， 对不对？好，这里 n 视为常数，我们不管它 x y 指数都是一，指数和不就是二吗？它是二次，常数项是零， 零次，如果这一项系数为零，它不存在。同学们，这是一个四次三项式，不符合题，对不对？所以它必然存在，并且它就是这个 五次项啊，好，也就是说他不存在，对不对？那么不存在系数就为零啊。负的 n 减三等于零，也就是 n 减三 等于零啊，我们得到 n 等于三啊，这就是那个五次项，指数和就应该等于五啊。 m 的绝对值加上一，再加上二就等于五，对不对？并且还要满足这一项必须存在，也就是系数不能为零。 m 加二不等于零，对不对？来，我们解 丽姐，一加二，三移过来，负三五减三不就是二吗？ m 的绝对值等于二， m 就是正负二， a 由他我们得到 m 不能等于负二，所以 m 不就是二吗？ m 是二， n 是三啊，你看懂了吗？

在复数中，不可约的多项式只有一次，而在实数中呢，有一次和二次，但是在有理数中，什么次的都有。 i 四四的判别法可以帮助我们判断一个多项式是否是不可约的。 不可约暂时没有学到更好的翻译方法，就已经有反证。可约学过呀。可约表示 f x 可以 分解成两个一次数多项式乘积。 给出了这样子的式子，我们先来关注哪一项是最容易判断的呢？应该是最高次项和最低次项。第一步，反转拿射。第二步，翻译。这里指翻译最简单的那一部分，最高次和最低次 a n， 最高次是 b l 乘以 c m， a 零，最低次是 b 零乘以 c 零。接下来第三步，构造矛盾是这题证明的主要部分。 第三步完全是依赖于第二步，还有第一步的等式。先来看这两个，大家准备先处理哪一个？ 它们哪里有关系吗？这里 a n 的是不整除的关系， a 零有整除的关系，整除的关系一般是比不整除的关系要好处理的。所以我们先处理 a 零。 p 整除 a 零，说明 p 整除 b 零，或者 p 整除 c 零。因为 p 是 一个素数， 而这两种情况如果同时满足呢，就是 p 既整出 b 零，也整出 c 零。大家想一想，是不是 b 零里面有 p 的 因子， c 零里面也有 p 的 因子，它俩成在一起变成了 a 零，是不是 a 零里面就有 p 方的因子？这就不成立， 因为 p 方不整出 a 零，所以说 p 不 能同时整出这两个值。 不妨设 p 整除 b 零，但是 p 不 整除 c 零， 这是翻译的第一个条件。第一步，进一步翻译，然后接下来呢，需要看它 a n 等于 b l 乘以 c m， 翻译它了。 题目中已知的 p 不 能整出 a n， 那 肯定说明至少有一个不是 p 的 倍数， p 不 能整出 a n。 推出 这里面应该每一个都不是他的倍数，不是至少有一个，每一个都应该不是他的倍数，因为这里是素数，所以每一个都只能不是题。既不整出 b l， 也不整出 c m， 这就对了， 关键是我们要用哪一个呢？这要用了，反正用了取速数，还用了一个方法，叫做一次检查，这是高代理常用的方法， 我们写出 k 词项的技术，这依次检查检查到底 k 项。我们来观察一下这是什么样子的。 a k 可以 表示成以 p 为主体的， b k 乘以 b k 减一，分别乘上 c 零和 c 一。 也可以表示成 以 c 为主体， c k 乘以 b 零，加上 c k 减一，乘以 b 一。 这都可以取决于我们这两个条件中要用哪一个。那到底要用哪一个呢？ 我们试一个嘛，这是第一个 p 整除 b l， 已知它不整除 b l， 这里的 k， 我 们就设为第一个不能被 p 整除的。 至于是 b k 还是 c k， 取决于我们待会要选哪一个。现在的关键就需要确定我们到底选哪一个。因为已知的 k 是 第一个不能被 p 整除的，所以前面的应该都可以被 p 整除，那么这些都能被 p 整除， 这里也是都能被 p 整除。而我们要得到 a k， 在 这里都是可以整除的，它能整除，它能整除，说明这一个这一个也必须能整除。那我们刚才得到什么？得到有一个不能整除的， 刚才我们说的是 p 不 整除 c 零，要构造矛盾，就要让 p 整除 c 零，所以选第一个选它，用完这个就可以不要喽。 对，这里我们为什么要说 p 不 能整除 b l 啊？这里是为了保证 k 的 存在性，因为如果没有一个不能整除的，显然就不一定会有这个 k， 但如果有一个不能整除的，那肯定会有一个 l 垫底，前面有没有无所谓，反正有一个， 这倒保证了 k 的 存在性。所以 p 整除 c 零矛盾， 整体来看证明是不难的，关键是要说明白，就这里为什么要选 p 不 整除 bl， 而不选 p 不 整除 c m。 如果大家前面设的是 p 整除 c 零，但是 p 不 整除 b 零，那再来这里就选 p 不 整除 c m 作为反证的材料，感谢大家的收看！

多项式乘多项式是整式乘处理丢分的重灾区，很多同学以为会用分配率就万事大吉，结果一做题就相成漏项，符号出错。今天这个视频带你扣准每一个计算细节，拆解易错步骤，考试再也不在基础题上丢分，需要电子版刷题的可以免费分享。话不多说，我们直接开始 这一讲。我们学习多项式乘以多项式，这里呢，首先我们看一下知识点部分， 多项式与多项式相乘，就是用多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相家 用字母表示呢，它是这样一个式子，这是一个多项式，这也是一个多项式。那首先呢，用这一项去乘以后面的每一项，所以这一个就是 am， 这一个呢就是 an。 然后再用这一个去乘以后面的每一项，它们相乘的结果呢就是 b m， 还有这个 b n， 所以它的计算步骤我们可以分为三步，第一步呢，肯定是逐项相乘，这里一定要注意不重不漏。第二步呢，就是确定符号，同号得正，异号得负。第三步就是合并同类项，能够合并的就把它合并。 下面我们通过题目练习一下。首先第一种题型就是计算这种多项式乘以多项式，这里的第一题它有两项，后面的这每一项都要分配一下，这里一定注意要带上前面的符号。 所以首先是它们三个相乘，它们俩相乘，运算结果是八 x 的 三次方，这一项与这一项的运算结果，它应该是十二 x 平方， y， 这一项与这一项的运算结果加上十八 x y 的 平方。然后就是这一项与后面三个分别计算一下， 这里就注意了啊，一定要带上符号，算的时候千万别出错，它们俩相乘呢，结果是负的十二 x 平方 y 这两项运算一下，它结果应该是负的十八 x y 的 平方， 最后这一个与这一个运算一下，负的二十七 y 的 三次方，下一步合并同一项，这个是 x 平方 y， 这里也有 x 平方 y， 所以 它们俩抵消这两项，你发现也可以抵消， 所以最后呢，就剩下这一个与这一个，那它的结果你就直接把它写下来，减去二十七 y 的 三次方。看一下第二小题，前面这里是多项式乘以多项式，三 a 乘以这个，那就是三 a 的 平方，它再乘以后面这一个，减去十二 a， 然后就是这一项与这一项加上二 a， 最后它们俩相乘，结果就是负八。后面这里千万要注意，这是非常容易错的地方，因为它前面还有一个减号，所以你一步一步来，先把后面这一部分计算出来， 所以前面这里减三，我先不动，先写下来，我先计算后面的结果，这两项运算一下，它与它相乘，结果就是 a 方， 这一个与这一个相乘，减去 a， 它们俩相乘减去二 a， 最后就是这两个加上二。接下来呢，我们把里面这里可以合并一下，所以前面的我直接抄下来，括号里就是 a 方，减去三个 a， 再加上二， 到下一步呢，你再把这个括号去掉这里你去括号的时候一定要注意符号，不要出错，所以前面还是不变，写下来，这里去括号，那就是减去三 a 的 平方，这里应该是加上九个 a， 再减去六，最后一步合并一下，这两个它可以抵消掉。 这里有两个 a， 这里有九个 a， 加起来总共是有十一个 a， 十一个 a， 前面又减去十二个 a， 所以 它们合并应该是负 a， 最后负了八个，这里负了六个，所以总共负了十四个，所以它的结果就是这一个。我们在计算的时候，这个符号千万要注意，下面再看这一个变式，这里第一题先拿这一个与它们俩分别计算一下，首先是六倍 x 的 平方， 它们俩运算应该是减去四倍 x y， 然后它们俩运算一下，结果是加上九个 x y， 最后就是它们俩运算减去六个 y 方，把结果合并一下，它负了四个，它正了九个，所以正五 x y， 减去六个 y 方。再看第二小题，前面这里它是单项式，乘以多项式把它展开，应该是五 x 的 三次方， 加上十倍 x 的 平方，再加上五个 x。 后面这一部分一定要注意，它前面是一个减号，所以符号一定不要出错， 你可以先写一个减号，先把后面这里运算一下，它们俩运算结果是二 x 的 平方，这两运算减去十 x， 这两项运算加上三 x， 最后就是减去十五， 下一步再把这一个括号去掉，那前面这里先不动，直接写下来，这里去括号应该是减去这一个，加上十 x， 减去三 x， 加上十五。下一步合并同类项，这里加了十个，这里减去两个，所以还有八个 x 平方， 这里呢总共是十五个 x， 再减去三个，加上十二 x， 最后再加十五，所以这里计算的时候一定要细心，不要漏乘，也不要算错符号，不要出错。下面看第二种题型，不含某一项，求字母的值， 这里不含某一项，那就说明它前面的系数等于零。这道题说这一个多项式的乘积中不含有 x 的 立方向，求 n 的 值。那首先你肯定是把这一个展开，首先运算一下，它们三个分别算一下 x 的 四次方，它们俩相乘，加上 n 倍的 x 三次方，加上二 x 平方。然后就是这一项与它们三个分别相乘。这里符号不要出错，减去四倍 x 三次方， 减去四 n， x 平方减去八个 x。 下一步合并同类项，这里有三次方，这里也有三次方，这里是平方，这里也是平方。所以把它们合并一下 x 的 三次方，它的系数应该是 n， 减去四。再看后面的 x 的 平方向，它的系数应该是二，减去四个 n， 所以 合并完了是这么一个结果。题目说这个乘积里面不含有 x 的 三次方，那就是不含有这一项，不含有它就让它前面的系数等于零。由 t e 你 知道 n 减四，它是等于零的，所以这个 n 它就是等于四。 这种不含某一项，你就让它的系数等于零就可以了。如果这道题说它也不含有 x 平方向，那你就让它前面的系数等于零就可以。 那下面我们再练习一个变式，这道题说它们的乘积里面不含有 x 和 x 平方向，求 p、 q 的 值。首先还是把它展开，这一项与它们俩分别相乘。计算一下，负 x 的 三次方，加上三个 q， 然后 x 平方， 然后就是这一项与它们俩分别相乘，减去 x 的 平方，加上三 q x。 最后就是这一项与它们俩分别相乘，加上三分之一 p， 然后 x 减去 p 乘以 q， 把这个同类项合并一下，这里是 x 平方向，这里是 x 项，所以 x 平方，它的系数就是三个 q， 再减去一，后面这里 x， 它的系数是三个 q， 再加上三分之一个 p， 最后减去这个 p q 写下来。题目说不含 x 与 x 平方向， 那就是不含这个，不含这个，那就让它们的系数等于零就可以了。所以你根据提议，这一个三 q 减去一，它是等于零的，后面这个三个 q 加上三分之一 p 也是等于零的。把它们俩解一下， q 是 等于三分之一， 解出来 q 之后把它带进去，把这个 p 求出来， p 是 等于负三的。第二小问呢？他让你求这么一个代数式的值，先观察，你发现这两个代数式好像有点复杂， 如果你把这两个值直接带进去，你算的应该比较麻烦，所以先把原式给它整理一下。这一部分呢，它有一个平方，我们先把这个平方算一下，因为这个平方具有非复性呢， 所以它计算完应该是 p 的 六次方， q 的 四次方，加上后面这一部分，先写下来，到这一步，再看一下有没有简单的方法。你发现这里肯定都是 p q 相乘， 那它们俩相乘结果刚好是负一啊，所以可以让 p q 凑在一起，前面这里有六个它相乘，所以你先拿两个出来，它就是 p 的 平方， 再写一个括号，里面就是 p q 的 四次方。后面这里也是一样，这里你拿一个出来，那就是 p， 再乘以 p q 的 二零二三次方，下一步再把这两个值带进去，它们俩相乘，结果是等于负一的，所以这里 p 的 平方，那就是负三的平方， 这里就相当于乘以负一的四次方，加上这里就是负三，再乘以后面这个负一的二零二三次方。前面这里运算一下，这里呢，它就是九九乘以一，加上这个是负三，乘以这一个呢，结果还是负一， 所以它应该是等于九加上三，所以结果就是等于十二。所以这道题呢，它的第一小问就是这种不含问题。 第二小问呢，它是一个求值的问题。下面看第三种题型，这种混合运算的题目，比如说这道题，这里是单项式乘以单项式， 这里是单项式乘以多项式，这两个呢，就是多项式相乘。这种题主要就是计算，你算的细心一点，符号不要出错就行了。前面这里运算一下负的十二 x y 的 平方，后面这里运算一下，加上十二 x y 的 平方，再加上四个 y， 它们俩合并刚好可以抵消，所以结果呢，就是四个 y。 第二小题，这一个与它们两项分别计算一下， a 的 平方，减去三个 a， 然后是这一项与它们两相乘，减去 a， 再加上三。后面这里也是一定要注意，你看有符号的时候千万要小心，不要出错，减去 a 的 平方，加上四个 a， 合并一下，它们俩没有了，前面这里减去四个 a， 加上四个 a， 刚好也没有， 所以结果呢，就等于三。这种混合运算的题目，就按照运算法则把它展开计算就可以了。下面再看第四种题型，化简求值的题型。 这类题你肯定是先化简再求值，所以把这个式子化简一下，前面这里把它展开，这里是二。 a 的 平方，减去六个 a， 这里是加上两个 a， 再减去六，后面这里也是符号，不要出错，减去 a 的 平方，加上三个 a， 合并一下， 两个 a 方，减去 a 方，还有一个 a 方，这里两个 a， 这里三个 a， 总共五个 a， 减去六个 a， 所以 还负了一个 a， 最后再减去六，下一步把这个值带进去， 把 a 等于二，带入这个式子，它就相当于二的平方，再减去二，再减去六，所以这里就是四，减去二，再减去六，结果就是负四，这个就是化简求值的题目。先化简再求值， 这个代入的过程一定要有啊。下面第五种题型，它是这种类型的多项式相乘，我们通过这一道题来看它的特点是什么。首先它是让你观察下列各式，让你总结这个公式。首先看一下 x 啊， 你发现它们 x， 它的系数都是等于一的，也就是说 x 的 系数必须是一。展开之后，它的第一项呢，都是 x 的 平方，所以这一个公式把它展开，它的第一项也是 x 的 平方，所以这是第一个特征， x 的 系数，它必须是等于一。 第二个特征就看这一个一次项，它们的系数是有特征的。系数是跟谁有关呢？跟前面这两个是有关的。怎么样找到这个关系，你可以把它展开， 如果按照常规方法把它展开，它应该是等于 x 平方，加上四个 x， 再加三个 x， 最后再加上十二，中间这两项合并之后，它刚好是这一个七 x， 所以 你可以猜测一下，它这一个依次项的系数肯定是这两个数的合，你可以再随便展开一个验证一下。比如我把这一个给它展开，它应该是等于 x 的 平方，加上四个 x， 减去三个 x， 再减去十二，它们俩合并刚好是正 x， 那 也就是这一个正四加上负三，结果就等于一，所以这个一次项的系数就等于一，所以你这个公式啊，这个一次项的系数，它就是这两个数的和，所以这里呢就是 a 加 b。 最后呢，再看这一个长输项 它的特征，你通过我们刚刚举的这个例子，你也可以找到，这个是怎么得到呢？是它俩相乘，这个也是一样，它俩相乘，所以这里已经告诉你了，这一个长数项，它就是这两个相乘，所以这种类型的多项式它的特征。你可以记住这个依次项，它的系数就是这两个数的和， 这个长数项呢，就是这两个数的乘积。我们随便写一个例子，比如说 x 减去三，再乘一个 x， 加上八，我们随便写的， 你知道这个特征之后，你可以快速的把它展开。首先就是 x 平方依次向的系数呢，是这两个数的和，它们俩的和是正五，所以就是加五。 x 长数项就是它们俩的乘积，所以就是减去二十四，所以这种类型的多项式相乘。记住了啊，前提必须是你这个 x， 它的系数等于 一。下面看这个第二小题，他说这三个均是整数，并且告诉你这一个多项式展开，它等于这个结果，求 m 的 值， 把这个式子展开，那它的一次项系数应该是这两个数的和，所以你得到 a 加 b， 它应该是等于 m 的， 就是等于这个一次项的系数。这个长数项应该就是它们俩的乘积，所以这个 a 乘以 b， 它应该是等于七的。 根据这个条件， a 乘以 b 等于七，它们又都是整数，所以我们可以猜一下，组合一下，一乘以七，它就等于七或者是七乘以一， 或者是负一乘以负七，或者是负七乘以负一，它应该就是这四种可能吧，它们都是整数，所以你根据这个条件，你分析出来了四种可能， a 等于一， b 等于七，或者是 a 等于七， b 等于一，或者是 a 等于负一， b 等于负七，或者是 a 等于负七， b 等于负一。 最后题目问你是 m 的 值，那 m 的 值是他俩的和，这种可能，他们俩的和是等于八，这个也是等于八，这种情况，他们俩的和是负八，他的和也是负八，所以这个 m 的 值应该是两种可能， 他应该是等于八或者是负八。这道题你需要记住的就是这样一个公式，以后遇到这种类型的多项式相乘，你就可以快速的直接写出答案。那下面再看第六种题型，多项式乘法中的规律性问题， 这道题呢，他给了你这些式子，让你观察规律，这里你发现第一个呢，他肯定都是 x 减一。到这里呢，就是一次方、二次方、三次方，这样依次的加下去，从三次加二次加一次，一直加到 x 的 零次方， 他的结果等于什么呢？等于 x 的 四次方减去一，每个都是减一。再看他这一个四次方，他是比这个三大一的三次方呢？比这个也是大一，所以规律大概找到了。 第一小问，让你根据规律写出这个式子的结果，这里呢，应该就相当于这里的左边，它应该是等于 x 的 多少次方再减去一， 那这一个次方呢？你肯定是比这一个数要大一，所以把这个东西再加一，它就是 x 的 n 次方减去一。下面第二小题，让你利用上面的结论来解决下列问题。首先第一小题呢，它跟你这里的规律应该是一样的， 这个左边，你按照它的规律，它应该是等于 x 的 多少次方减一呢？它应该是等于七次方减一，所以左边 x 的 七次方减去一等于多少呢？这个式子的结果是负二，所以这里把它移向一下 x 七次方应该是等于多少负一，所以这里 x， 你 可以解出来，它应该就是等于负一的。 最后题目问，你求这个东西的值，那就把这个 x 等于负一带进去，它就相当于负一的二零二一次方，结果还是负一。再看最后一问，他让你求这么一个式子的值， 这个式子的值，你跟上面对比一下，你发现它缺少了哪一部分呢？缺少了前面这一部分，所以你可以把它加上去，后面这里你先不变，直接给它写下来。这个式子的值，你是没有办法直接算的，所以用我们刚刚学的这个规律， 如果它前面有一个三减一，那你就跟你发现的规律是一样的，这里的三，它就相当于这个 x 嘛，所以前面你可以加一个减去一，那就是 x 减一， 这一堆式子的值，你是可以算出来的，按照这个规律，它应该是等于多少呢？等于这个 x 的 n 次方减去一， 这里的 x 呢？它是三，所以就相对三的多少次方减一啊，三的一百次方减去一，所以这一堆的结果就是三的一百次方减去一。知道了这个式子的值，题目要求的是这一堆的值，所以这一堆的值，你把它当做一个整体，这里呢是二，二 乘以这么一堆东西等于这一个结果，所以这一堆东西你是可以求出来的，它应该是等于这样一个结果， 再除以 r 就 可以了，就是把这一个 r 给它除过来就可以了。所以这个式子的最终结果，那就是这么一个结果，这个就是规律性的问题，你找到规律就好做了。下面第七种题型， 多项式乘法与这种图形面积的问题。这道题说，学校计划用一片空地建造一个矩形的车棚， 为了方便取车，要在这个车棚的内部修建几条小路，其余的部分停放自行车，那这些阴影部分都是路。现在告诉你，车棚的宽等于 x 米，那就是这一段是 x， 长是这么多，现在告诉你，小路的宽等于两米，求停放自行车的面积，它的宽是 x， 它的长是这么多，路的宽度是两米，所以这个是两米，这里都是两米。现在要求的就是这些空白部分的面积， 那这里非常简单，我们直接用拼图游戏，你把这些当做拼图，把它们全部往中间拼，拼到一起去，拼到一起去呢？它应该是一个长方形，这一个长方形呢，它的宽就相当于减少了二， 所以它的宽应该就是 x 减二，它的长呢，应该是在原本的基础上减去两个二，所以应该是这样一个结果，减去三就是在这个基础上再减去四， 那它的面积应该很好求，就是长乘以宽，所以把它的面积计算一下， x 减二乘以这一堆东西把它展开，这里是二分之三， x 平方，这里呢就是减去三 x， 然后是这两个运算，减去三个 x 加上六，合并同类项减去六个 x 加上六，所以停放自行车的面积就是这一个结果。最后一定要记得加上单位平方米， 这是与图形面积有关的题目。下面看第八种题型，整式运算中的新定义问题。这道题他说定义， 如果 a 减 b 等于一，就是它们俩的差等于一，则称 a 与 b 是 关于一的单位数，所以单位数的定义就是什么呢？就是它们的差等于一就可以了。第一小问，他问的是三与多少是关于一的单位数， 那你就看三与谁的差等于一啊。如果三在这个位置，三减去二等于一，对不对？所以他有可能是二。如果你三在这个地方，四减去三是等于一的，所以还有一个答案，他可能是四， 所以这个就是单位数。 x 等于一就可以了。现在他问你 x 减三与谁是关于一的单位数，那这里如果 x 减三在这个位置，那就是 x 减三减去 b 等于一，所以这个 b 你 可以求出来，你把这一个移项移到右边去，把它移过来。 b 应该就是等于 x 减去四，所以它与 x 减四。另外一种情况，如果你这个 x 减三在这个位置，那就是 a 减去 x 减三等于一， 那这一个求出来它应该是多少？ x 减去二，所以另外一个答案， x 减去二。第二小问呢？他说 a 等于这一堆， b 等于这一堆。判断 a 与 b 是 否是关于一的单位数，说明理由， 单位数就是叉等于一，所以这里你可以作叉，你拿 a 减去 b， 或者是 b 减去 a， 看它们的叉是否等于一就可以了。这里我们就直接运算一下， 如果你是拿 a 减去 b， 把这两堆给它抄下来，减去后面这个 b， 它是这一堆。下一步呢，就是把它们展开计算一下，这里就是三 x 的 立方加上六 x 平方减去二 x 加一， 这里是减去三 x 的 立方减去六 x 的 平方，再加上两个 x 合并一下，你发现它俩抵消这一项与这一项抵消，这一项与这一项抵消，所以结果刚好是等于一，所以 a 和 b 它们俩就是关于一的单位数。 做这种新定义的问题，你就按照题目给你的定义去做就行了。最后总结一下我们这节课主要讲的多项式乘以多项式，需要注意的就是我们在计算的时候一定不要漏乘符号，不要出错。最后我们讲的这八类题型，如果你还不熟练，听完之后一定要多练习。

下面黑板这个题大家去看，第一个多项式里边有几项两项，第二个多项式里面有几项两项？好，那我们在算的时候，是不是依然要用这个多项式的每一项去乘另外一个多项式的每一项，并把所得的积极相加， 所以我们这个看一下怎么去算，老师给大家演示一遍啊。好，来，前面第一个 x 与后边的三个分别相乘，第一个 x 与二 x 方相乘，大家口算一下他等于多少 xxx 方，所以第一个可以了。好了，第二个 x 与负 x 相乘，大家估算一下，应该是 我儿子的儿子。好，第三个孩子加孩子。好，前面的第一项和后面的三项就是完了。好，第二个从这个的第二项开始来和这个的第一项相乘，他俩应该是有多少？我的儿子 两个方来，他俩下场 x， 他俩下场负一。好，接下来合并合理一下来， i x 方没有，就直接写下 ix 的三次方来，这里的 fx 方和 fx 方来合并一下，哪个呢？ fxx 非常好来，后面这两个和平在一起，变成了二 x， 二 x 最后长角只有负一，这下是加长 三个。以前我们学的时候是有几个两个，有三个咋办？两个两个，两个，两个相乘，再和第三个相乘，是吧？好，也就是说我们先把前面这两个给他算出来，再和后边这一个相乘就可以了，对不对啊？大概一个问题来， 请问和他相乘的是不是算出来的这个整体是吧？是，那既然是整体，他们要放在一起， 放在一起，我们用手把它们放在一起啊。还好加括号，首先加上括号来开始算了，三 x 乘二 x 等于 u x 二幺八，三 x 乘三， 九 x 负二乘二 x 负四 x 负二乘三，负六， 是不是变成体再乘 x 减二。嗯，对呀，好，现在是变成多长时间多长时间是吧，这样就可以用了啊。为了预算更简便，于是我先把前面的给他合并，同理一下，合并完之后，前面六 x 方不变，他俩一合并变成了五 x， 后面五面减六，再去乘 x 减二是不是就可以了？好了，来，后边这个怎么算？半边转起来算， 直接说结果排号六 s 三十号来负十二，负十二 x 来 平方加五 x， 平方负十 x 来，接着就它了，是吧？来得它了，十二加十二，你看这样的数就算出来了。最后合并就可以了啊。来，合并开始啊，六 x s 方我不动，下面把它俩合并到一起啊， 很好，来把它呀，合并到一起。负十 x 减六 x 非常好，后面加四十二就可以了。 来前面三个相乘的会了，是吧？来，看这个，你发现了吗？不仅有多项式与多项式相乘，他们之间还有预算，对不对？对，这样的方法是一样的啊。好，前面两个相乘，那就按多项式与端式相乘预算就可以了啊。 我要开始画了，你要好好去看。来二 x 是 x 得出来。二 x， 由于前边两个的整体太减后边的整体，所以前边加括号，后边也加括号。先提前给你说，然后面呢？接着算啊，来括号他俩也算是二 x 方，来他俩也算 减六。哎，算他一算，减他一算三，是不是？好嘞，后面算的时候怎么说啊？ 你想先算谁呀？先算负二呗。先算他跟他相乘是吧。嗯，你是算负二和他相乘还是二和他相乘？负二可以，负二可以啊，那前面我们就可以把它写成加了啊。 记住了，所以前面说明加号了。嗯，然后来负二和他加上负二和第一个三 x 相乘，得出来的是六六 x 方块加上负六 x， 把负二和负二相乘四加上四，括起来。好，后面是 x 减三，是不？前面放完了，前边的整体和后面相差啊，又到多少乘二十？ 为了简单方便，所以我把前面这样合并，等一下，二 x 八减七 x 八三，非常好。后边来加他没想成啊，他换了啊。来，他俩想成得负六 s 八，非常好。来，他俩想成得 十八正十八，是吧？来，他俩相乘得 x 几四四 x。 来，他俩相乘四个十二，合起来。 这样吧，好了，来，四八 x x， 这个是个 x， 是吧？对，负六 x 乘负三是加十八 x， 是这样吗？好了，来，接着啊。来，前面合并完了，直接把括号取 去掉啊，就是二 x 减七 x 加三。后边呢？来，我先合并，再去括号里吧。你可以直接去了，因为前面是什么？正好里边各项都不变。去吧，那我直接去了啊。来，去完之后，这个是负六 x 方，他俩一家变成了二十二二十二二十二 x， 后面减啊，四二 首长。来，接着合并二 x 方减六 x 方，得负六 x 方，负四 x 方，负七 x 加二十二 x 十十五 x。 来，正三减十二，负负九。

这是一道七年级上册有关多项式几次几项的培优题，那我们现在来一起读一下题。若多项式负三， x 的三次方， y 的 m 减一次，加上 x， y 的三次，加上 n 减一，乘 x 平方， y 平方减四，它是一个关于 x y 的六次三项式。那么现在求 m 加一到二， n 次方减三的值。 首先通过题目我们可以知道这是一个关于 x y 的多项式，证明 x y 在这个多项式里是作为字母出现的，而 m 和 n 这里是作为数字，那么它是一个六次三项式。我们说多项式的次数是由 次数最高的一项决定，那我们就要找出每一项的次数，然后由最高次来决定他的次数。同时他现在是三项式，他最终是个三项式。而我们现在目前有一项两项三项四项，那也就说项数上面也是不符合的，可可能需要消掉一项。好，那我们先来看看韩字 母的啊，然后指数上含字母的。例如来看第一项啊，第一项我们看看它的次数是几次。现在字母 x 是三次， y 是 m 减一次，也就说它的次数是 三，加上 m 减一次，这就是它的次数。好，再看第二项，第二项是几次呢？ x 是一次， y 是三 三次，所以它是四次。好，再看第三项，第三项， x 两次， y 两次，所以它是四次。好了，最后一个长竖向它是 零次，那么现在目前来说，六次还暂时没有出现，最高次也就这两个是四次，所以呢，六次会落在三加 m 减一这一项上面。好，所以我们会让三加 m 减一等于六，那么 m 就等于 四了。好，既然 m 等于四，已经知道了，再看一下，要满足是个三项式，现在每一项它的系数，例如第一项它的系数是负三，已经 确定了。第二项他系数是一，也确定了。长数项是负四，他也不可能消向。所以呢，唯一能消向的只有系数为 n 减一的这一项，要把这一项消掉，只能让他的系数为零。所以我们让 n 减一等于零， n 就等于 一。这道题的解题关键就在于解出 m 和 n， 利用这个六次三项式来把 m 和 n 解出来，解出来之后，我们把 m 和 n 代入到我们要求的这个式子里面去。 m 等于 四，四加一的二， n 二乘一，那就是平方减三。好，等于五的平方二十五减三，最后答案等于二十二。这道题你听懂了吗？

这是重点学校的附加题，里边会考到的内容是大除法，很多一般的学校的学生根本就没有见过这种题目，他考察的是多项式除以多项式，就比如说这个三次四项式除以二次三项式，我们可以采用类比的方法来解决， 我们可以把它理解为是一个四位数除以三位数，所以说呢，我们采用列数式的方法来进行计算。我们先观察这三项和这三项， 你会发现，如果说呢，要想让这个变成三 x 的三次方，那么我们就需要去给它乘一个三 x， 所以说呢，我们在这里边直接写上一个三 x， 那么这样的话，我们的最高次项就对上了，最高次项就是我们的三 x 的三次方，其次 第二项呢就变成了九 x 方， 然后呢我们的第三项就变成了减三 x， 接下来我们让上下相减，第一项刚好减没了，而第三项减完之后呢，应该是负十三 x 方， 第二项减完之后呢，应该是一个加上八 x， 然后呢这儿还有个减一减一呢，我们跟着落下来，其实就是类比我们的一个除法。 接下来我们再来看，要想让这个 x 方变成负十三 x 方，那我们需要去乘一个负十三，所以在这里边写上一个负十三，那我们乘下来之后呢，就应该是负十三 x 方，第二项乘完 正算，应该是负三十九 x， 第三项乘完之后呢，应该是加十三， 然后呢我们再次让这两个式子上下做叉，你会发现第一项剪没了，第二项剪完之后呢，应该是四十七 x， 第三项减完之后呢，应该是等于负十四，所以我们就得到了这个式子的一个结果，它应该是等于三 x 再减去十三，这是它的商式。 然后呢还有一个余式，这个余式呢就是我们的四十七 x 再减去十四，这就是我们的最终结果。那大除法你学会了吗？

欢迎来到代数的世界。如果把数学看作一场建造游戏，那么我们首先需要认识最基本的建筑材料。看这里有各种各样的数字，还有代表未知数的字母。 当我们把这些数字和字母仅仅通过乘法这一种粘合剂连接在一起时，就诞生了代数中最基础的单元。 比如把负三 x 和两个 y 相乘，就得到了这个式子。这种只由数与字母的乘积组成的代数式，我们给它起了一个名字，叫做单项式。哪怕是单独的一个数，或者单独的一个字母，它们也是单项式家族的成员。 现在让我们把这个单项式放到显微镜下仔细观察。它由两部分组成，数字因数和字母部分。首先看这个数字因数负三，它被称为单项式的系数。 请务必记住，系数是包含前面的符号的，千万不要把符号弄丢了。再看字母部分， x 和 y 的 指数分别是多少？ x 虽然没写指数，但默认是一， y 的 指数是二。 我们将所有字母的指数加在一起，一加二等于三，这个和就叫做单项式的次数。所以这是一个系数为负三次数为三的单项式。特别提醒，如果系数是一或负一，那个一通常是省略不写的。 如果我们把几个单项式加起来，会发生什么呢？看这个式子， a 的 平方加上三， a 再减去二。像这样有几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。在这个多项式里，每一个单项式都叫做它的项。 特别注意，项是包含前面的符号的，所以这里有三项，分别是 a 的 平方，正三、 a 还有负二， 其中不含字母的项，比如这个负二叫做常数项。那么多项式的次数怎么算呢？我们不能把所有指数相加，而是要看老大。在所有项中次数最高的那个项的次数就是整个多项式的次数， 这里最高是二次，所以这是一个二次三项式。 单项式和多项式虽然长相不同，但它们是一家人，统称为整式。判断一个式子是不是整式，有一个核心标准，看分母。如果分母中含有字母，比如某分之一或者 y 加一分之三，它们就不是整式。 记住，整式的分母可以有数字，但绝对不能有字母，这是整式家族的门槛，只有满足这个条件，才能进入我们今天讨论的范围。所以看到分母有字母，直接排除，它既不是单向式，也不是多项式。 最后，我们来快速回顾一下今天的重点。第一，数与字母的乘积构成单项式。几个单项式的和构成多项式，它们统称整式。第二，计算单项式时，系数要带符号，次数是所有字母指数的和。 第三，多项式的次数由最高次项决定，长数项是不含字母的项。掌握了这些基本概念，你就拿到了开启代数大门的钥匙。下次做题时，记得先观察分母，再找系数和次数，细心一点，你一定没问题！