泰勒展开式常用10个公式记忆
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06:30查看AI文稿AI文稿泰勒展开式在大学数学第一页却能解决百分之九十五的高考比较大小压轴题，这节课姐妹就用五个常见泰勒展开和三道高考题，带你吃干抹净。泰勒展开式，好，那我们来到非常重要的泰勒展开式了， 这在大学数学里面是第一课，在大学教材里面是第一页，所以你知道它的重要性了哈，重要也非常基础，也非常简单。 首先我们来看哈， f x 可以 写成是这样长的一串数，不用记，我只是想告诉你是什么？就是说无论咱们的 f x 啊，它多么的复杂，我们都是可以用一个一个多项式把它给表示出来的。 所以说泰勒展开式的本质就是说，我们要去用一个多项式的函数去逼近一个给定的函数的。 那么我们在高中期间哈，其实用到的就是什么呢？哎，一个函数，比方说 e 的 x 方，它约等于多少？我们就用一个多项式给它约等于出来哈，我发明了一个故事，给大家讲一讲，如果说你长得很像一个帅哥， 你的行事风格也很像帅哥，你的说话语气也很像一个帅哥，你各方面都特别像帅哥，那谁敢说你不是帅哥对不对？所以你就约等于帅哥，就是这样一个意思。 那我们来看到哈， e 的 x 方，它是等于一加 x 加上二的阶乘分之 x 方的，这个阶乘是什么意思嘞？就是说我从二乘到最后一项三的阶乘是什么意思嘞？就是从三乘、二乘、一乘到最后一项哈这个意思。 那么其实我们只需要去记前三位就 ok 了。我们只需要记住 e 的 x 方，它约等于一加 x 加上二分之 x 方就可以了。而在很多的导数大题里边哈，它让你去证明 e 的 x 方，它是大于等于一加 x 加上二分之 x 方的哈， 这也是它的延伸。那我们再来看到三 x 来，我们其实只需要记住前两位，它是约等于什么呀？约等于 x 减去六分之 x 的 方，这里就记六分之哈，因为它是三的结成乘开三乘二乘一嘛，也就是六嘛。 然后我们再来看 cos 来 x 来，我们就继承是它约等于一减二分之 x 方的，而啰一加 x 来，我们就记错是约等于 x 减二分之 x 方的， 而一加 x 的 n 次方来，我们继承是一加 n x 再加上二分之 n 乘 n 减一倍的 x 方的哈，这个也需要牢牢记住，它是非常常考的。 那么我们就来看到泰勒展开是如何解决不同难度的，只对比较大型题型题目哈，我们先来看到二二连新高考的一道题， 他说设 a 为这么多， b 为这么多， c 为这么多，哎，我一看，哎，一个一的 x 方，一个路 x， 那 肯定好做的，对不对？首先呢，我们把 a 给它展开一下子哈，我们套一下公式哎，这里的话就是约等于 多少，是不是一加上 x 也就是零点一再加上一个二分之零点一的平方哈，然后呢，我们给它算出来，它是大概等于零点一一零五的。然后呢，我们再去看一下， b 是九分之一哈，你其实可以算出来，它是等于零点一一一就是无限的循环小数的。而 c 呢，我们给它算出来负论零点九，要把它写成是 负论一加上负零点一的哈，所以你才可以构造成说是论一加 x 这样一个基础。然后呢，我们再给它展开约等于负号放在前面哈， 我们后面来就是一个负零点一，再减去二分之负零点一的平方的， ok， 此时你给它展开来，它是等于零点一零五的， 所以我们现在来比较一下，这三个数谁大谁小啊？是不是咱们的 b 是 大于 a， 大 于 c 的， 所以你看选谁呀？是不是选咱们的 c？ 选项一下子做出来了， 我们继续来看到二二年的一道题目哈，已知 a 为这么多 b 为这么多， c 为这么多 a， 三角函数也是可以展开的，妥妥的泰勒展开。 那么我们先来看一下哈，咱们的 a 嘞，它是等于三十二分之三十一，你其实可以给它算出来哈， 这等于零点九六八七五，你一会看能不能用上。而咱们的 b 嘞，给它写出来哈，括撒呀，四分之一是不是套的是这一个公式啊，对吧？ 也就是约等于一减二分之四分之一的平方的， ok， 你 可以给他算出来就是一减多少嘞，这里是三十二分之一，也就是等于三十二分之三十一的。哎，不得了，咱们跟 a 呀，一模一样了，不能这样搞，对不对？所以说我们继续往下面延伸，一位同学们注意了， 退了，展开时，你只要展开到你想要的那个位数就可以了。我这里展开了之后，我继续往下面展开一位就可以了嘛，对吧？ 所以说我们在这继续展开一位，那我继续展开的是什么嘞？你就要去找规律，由前面的两位去找规律哈，这里其实是一减二的结成分之平方，那 我下一位就应该是加上四的结成分之四分之一的四次方啊，对不对？所以说你其实这里不用算出来，你就知道说，哎，我前面这是什么？是三十二分之三十一，我肯定是要大于三十二分之三十一的， 就说由这两个式子你就会得到 b 是 一定要大于 a 的。 然后我们再去看一下 c 哈，它是等于四倍的。三眼四分之一的，它其实就约等于四倍的， ok， 然后由这一个式子我们套一下哈，也就是四分之一减去六分之四分之一的三次方的哈， 给他算出来，他其实就等于一减去六分之四分之一的二次方的哈，我们去算一下哈，他其实就等于一减去九十六分之十一的同学们，那么他其实算出来哈，是等于零点九八九几的。 那你会发现哈，我们从小数点后第二位开始就已经要大于 a 和 b 的 这个位数了，所以说 c 啊，他一定是大于咱们的 a 啊，所以选谁是不是一定选 a 选项啊？ 那么我也整理好了从第一期到第 n 期我所有的导数讲义，比方说端点效应啊，端点效应失效啊，还有咱们的极致点偏移，诺贝尔法则，隐名点，朗博同构切割线放苏哈，我希望大家一定要及时下载打印，跟着我的课多来几次，点击我的主页这里群聊就可以免费领取。 我还给前三十名添加到我的同学赠送一个一 v 一 的深度提问分析，看看你的数学到底是哪一个环节出了问题。数学从来都不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见。
4990北大糖的魔法数学
03:57查看AI文稿AI文稿好，下面我们来看这样一个题， x 趋向于正无穷， 那么大家注意，前面呢是个三次多项式无穷 e 的 零次方一，所以前面就是无穷，后面呢也是无穷，所以这是个无穷减无穷， 那么说无穷减无穷，如果分时差，一般是通风，但这呢不是分时差，这不是根时差，因为这是个根式，前面不是根式，那怎么处理呢？还有一种常理思想，就是提这个无穷因子，然后再做处理， 那么这的无穷因子是谁呢？大家注意，这个里边的老大应该是立方啊，所以我们就想往外提一个谁啊？ x 的 立方， 那么提一个 x 的 立方以后，这后面怎么处理呢？大家注意，这个 x 趋向无穷，这个 x 分 之一是趋向零的，那么这 e 上面这个 x 分 之一正好也趋向零， 所以我们这个时候就应该想到谁啊？泰勒公式，因为我们那个泰勒公式 e x， 这个是 x 趋向零的泰勒公式， 那么现在你 x 趋向无穷，这刚好是 x 分 之一，但是注意你要写这个泰勒，写到几次项？应该写到三次项， 然后两个相乘，可以做，工作量很大，这个地方也要写泰勒，当然也有书上做这个题，到这来做什么倒代化令 x 分 之一等于 t， 那么 x 趋向无穷， t 当然是趋向于零正，然后再用什么洛贝塔什么做的非常之烦，这有没有办法呢？这个大家注意啊，你看这个写出泰勒以后，这两乘很麻烦， 但是注意后面你要写泰勒的话，因为你只要写到三次，这已经四五次，所以我们往出提一个，他 就提一个 e 的 x 分 之一，因为它的极限等于 e， 可以 先算出来，这就变成 e 负 x 分 之一。 那么这个时候注意，我写泰勒的时候，在这个地方用泰勒，那就比较简单， 原因是什么？因为这是三方，我写这个的时候，那我只要一直写到三次项，所以这就是一减 x 分 之一加二 x 方分之一，减三结成 x， d 方分之一，这就小 o x 地方， 那么这个呢？用谁呢？他呢？因为是一加 x 四方分之一，加加加的二分之一次方，那么这个呢？要用泰勒写的话，他的第一项是一，第二项就是他乘上这个， 这个已经比第一方分之一高级的很小，所以这个地方只要写一就行了。那么这样的话，你看这两项乘的时候，那就是这个一和前面这个地方乘， 那就变得简单了。大家看这个一跟一剪没了，这个 x 分 之一跟 x 分 之一剪没了，然后呢？这个二次项看这是负，然后也剪没了，最后只剩下就这个三次 乘上地方进去，这个地方乘进去以后，这个第一项的极限应该是一个一， 那么这个地方乘进去以后，这地方有一个谁这个符号，那这个地方是六分之一，一加六分之一，应该是六分之七，那所以这样做的话，我们就得到了这个题的答案，六分之七，这道题你做对了吗？
00:45查看AI文稿AI文稿这五个展开式其实你也不需要死记硬背啊，你看，首先第一个 e x 好， e x x n 次的系数是 e x， 那 它在零这点处的 n 结导，你想那 e x 它导多少回？那都是 e x， 对 吧？然后你把 s 等于零带进去，所以它零这点 n 结导肯定是 e 吧，对不对？好，然后你把一加 x 分 之一给它记住了， 那么你对它的话积一下分，你想一加 x 分 之一积一下分，是不是对右边积分，对吧？ 然后的话，这右边对和的形式积分是不是也就是对他这每一项都积分啊？那他积分是不是就他因为积分的和，他就等于和的积分嘛？好，那你怎么样得到后面这个形式？ 就你只需要的话做一个换元令， k 等于 n 加一，是吧？他就变成了后面这个形式，然后你再把 k 变回 n 就 可以。好，最后这两个呢，你把这个散给他，记住了，那么的话你散求下倒，你想起来就是扩散吧？对，扩散自然也就记住。
338王志超考研数学
10:58查看AI文稿AI文稿本期视频一口气带你学完中直定理中泰勒所有展开形式完整版请放心使用，你可以先点赞收藏，以免找不到。 在开始讲解例题之前，我们先来整体性了解一下泰勒展开的特点。泰勒展开按类型主要分为皮亚诺型和拉格朗日型， 皮亚诺型多用于极限运算，拉格朗日型多用于证明。拉格朗日型是我们本系列的主角，它又细分为一般形式和增量形式。对于一般形式，我们关键在于找被展开点 x 和展开点 x 零。 我们一般把条件信息少的作为被展开点，而将条件信息多的作为展开点，尤其是导数信息多的点。 有时候预证结论的结构也会暗示我们应该怎么选展开点和被展开点，这在后面例题中会充分体现。 另外，展开点和被展开点一定其中一个选自区间端点，一个选自区间内部的某点，如极指点区间中点、区间任意点。根据这个特点，我们可以把泰勒展开的使用情景细分为这五种，我们之后就会结合例题做进一步理解。 然后再来看增量形式，其中 h 为增量，由自己决定，一般我们取一取的越大越不精确，可能导致证明不出来。增量形式下，我们只需要找展开点 x 就 行了，而展开点 x 一定是区间内部的点， 那么不涉及端点，所以这种形式适合无穷区间的泰勒展开。我们宏观上梳理完了泰勒展开的特点，那么现在就跟随主播进入微观视角，探索每一种用法在例题中是如何体现的吧。我们先来看第一种端点在极值点处展开， 我们看到题干的最值信息，遇到最值信息，我们一定要具体化，也就是把这个点给设出来，因为两个端点的值为零，那么这个最值点一定是区间内部的点，而区间内部的最值点就是极值点。 那么根据费马隐理可知，有 f x 零一接导等于零，所以一个最值条件可以得到两个信息，这是导数信息，那么自然就选择将其作为展开点， 因为前面说了，优先将有导数信息的作为展开点。现在我们把两个端点在 x 零处展开，因为 f x 零一阶导等于零，所以这部分为零。 我们把以上信息全部代入后，得到两个简化的终止等式，再整理一下，然后对极值点 x 零的位置进行分类讨论。当极值点 x 零在左半区间时，有 f 科赛一、二阶导大于等于八， 那么此时就取科赛等于科赛一即可。当极值点 x 零在右半区间时，有 f 科赛二阶导大于等于八， 那么此时就取科赛等于科赛二，那么就一定存在一个点，科赛属于开区间零到一，实得 f 科赛二阶导大于等于八。对极值点位置的讨论，这是中值定律涉及到极值点时经常会有的操作，比如二零二零年第一问， 现在我们来看第二种展开形式，我们看到第一问出现二阶导，我们首先考虑泰勒展开，而泰勒展开最重要的是找展开点和被展开点， f 零是中点， f 负 a 和 fa 是 俩端点， 那我们应该选择中点在端点处展开，还是端点在中点处展开呢？此时没有导数信息辅助判断，那么我们一般就优先考虑端点在中点处展开，因为这种展开方式更加对称，可以实现简化。 我们先代入已知信息进行一次简化，然后两式相加，消去一阶导后，实现第二次简化。然后用一下介值定理，这两个中值合并为一个中值了，最终得到我们的预证结论。 然后我们来看第二问， f x 在 区间内取到极值。我们在上一节说了，遇到极值或者最值信息，我们要具体化，也就是把它设出来，然后根据费麻引理得到 f x 零，一阶导等于零，这是一个导数信息。 而律政结论中有端点信息，那么自然就是要将端点信息在极值点处展开，然后带入极值点的导数信息，实现化简，两式相减。 因为律政结论中有绝对值，那么我们这里也两边取绝对值，出现绝对值加不等式。我们想到考研中两个非常常用的绝对值不等式，此处用第一个进行一次放松。 在证明不等式时，遇到两个中值想要合并为一个中值，我们应该用最值放缩，也就是设大 m 就是 两个二阶导中值绝对值的最大值，那么就可以实现进一步放大， 然后合并化解。因为 x 零在负 a 和 a 之间，那么可以进一步放大。根据一头一尾，我们得到大 m 大 于等于这一部分， 如果大 m 等于二阶导 e 幺一的绝对值，那么我们就取 e 幺等于 e 幺一。如果大 m 的 等于二阶导 e 幺二的绝对值，那么我们就取 e 幺等于 e 幺二。不管如何都有 f 二阶导 e 幺绝对值大于等于二 a 平方乘 fa 减 f 负 a 的 绝对值。第二问证明完毕。 现在我们来看第三种展开形式。我们看到预证结论出现二阶导，我们优先考虑泰勒展开，而泰勒展开的关键在于找展开点和被展开点。从条件信息可以看到导数信息出现在端点， 那么此时就该考虑终点在端点处展开，只有当端点导数信息都知道的情况下才会这么展开，否则一阶导消不掉会很麻烦。我们带入已知信息化简，然后两式相减， 因为律政结论中有绝对值，那么我们这里两边取个绝对值。根据考研中常见的两个绝对值不等式中的第一个，我们可以实现一次放缩， 碰到两个中值想合并为一个中值，我们可以用介值定理，因此存在科塞属于零到一实得 f 科塞。二阶导的绝对值大于等于四，证明完毕。现在我们来看第四种展开形式。 我们注意到条件信息出现二阶导，那么优先考虑泰勒展开，而泰勒展开的关键在于找展开点和被展开点。从律政结论可以看到和 x 有 关，那么就考虑端点在任意点 x 处展开，或者任意点 x 在 端点处展开。 因为第一种可以出现律政结论所需要的 f x 一 阶导，所以选择第一种，然后两式相减，并移向把 f x 一 阶导分离在等号左边， 因为律政结论中有绝对值，那么我们也两边取个绝对值。根据考研中极其常用的两个绝对值，不等式中的第一个，我们实现第一次放缩， 再根据题干信息，我们实现第二次放缩，因为 x 和一减 x 属于零到一，那么 x 平方加一减 x 平方就小于等于 x， 加一减 x 等于一，那么第三次放缩后得到 f x 一 阶导的绝对值小于等于二 a 加二分之 b， 证明完毕。 现在来看泰勒展开的第五种考法，任意点在端点处展开，这也是二零二四年的考研专题，我们看到题干发现有二阶导信息，那么大概率要用泰勒展开，而泰勒展开的关键在于找展开点和被展开点， 因为预证结论中有 f x， 并且导数信息出现在端点，那么我们自然就考虑任意点 x 在 端点处展开，因为这在第一期视频梳理泰勒展开特点时已经说了，优先在有导数信息的点展开。 我们再次细看预证结论的结构，发现是没有移解导的，所以我们需要在这两个等式中消去移解导。不难想到第一个式子乘 x， 第二个式子乘 x 减一，然后两式相减并移项，然后再取绝对值， 现在已经把主要结构给构造出来了。我们再根据考研中极其常用的绝对值不等式中的第一个进行一次放缩， 因为题干告诉我们，二阶导绝对值小于等于一，那么我们进行第二次放缩，因为 x 属于零到一，那么我们就可以去掉绝对值了， 合并化解得到我们想要的结果。再来看第二问，平白无故出现十二分之一，我们需要思考这十二分之一是怎么来的。注意到预证结论中有积分，那么我们有理由猜测这个十二分之一是第一问积分，而来验证后发现确实如此， 那么思路呼之欲出，我们对第一问的不等式两边积分，但这部分不是我们律政结论的结构，那么现在我们需要找到这两个之间的关系。 为了让积分能积到 f x， 我 们先不考虑绝对值，直接对没有绝对值的部分积分，这样就出现了我们律政结论的结构， 然后两边同时加绝对值，而这部分我们可以根据绝对值不等式中的第二个，把绝对值放到里面去，那么根据一开始的式子，就得到小于等于十二分之一，这两部分是一样的，那么就能得到红色框框内的这两个的关系。证明完毕， 我们来看最后一种泰勒展开的增量形式，看向题干，注意到出现 f 二阶导和三阶导，那么我们优先考虑泰勒展开，证明 f x 二阶导在零到正无穷上有界，根据有界定义，相当于证明 f x 二阶导的绝对值小于等于一个常数。 由于律政结论是无穷区间的，这种情况下我们需要用增量形式，这在第一期视频宏观梳理泰勒展开时已经说了，而且增量 h 一 般选一，选的越小越精确。 现在我们就在 x 处展开，然后两式相加，并把 f x 二阶导单独移到等号左边。因为律政结论有绝对值，所以我们这里两边加个绝对值。 根据考研中两个极其常用的绝对值不等式中的第一个，我们可以进行一次放缩，代入条件信息这部分小于等于 a。 小 于等于 a。 小 于等于二， a 小 于等于六分之 b， 小 于等于六分之 b， 那 么整体就是小于等于四 a 加三分之 b， 这是一个常数， 那么 f x 二阶导是有界的。然而做到这儿，你的解答过程并不完整，因为 f x 的 定义域在零到正无穷，那么这两部分中， x 加一和 x 减一都要大于零，也就是当 x 大 于一时，这两个展开式才能存在，才有后续的证明结论。 那么当 x 属于零到一时， f x 二阶导是否有界呢？此时 x 属于有限区间。那就简单了，我们在 x 的 范围内随便取一个点偏向减项，这里取的是二分之一， 前两个用一下拉格朗日，然后整体用一下绝对值不等式中的第一个，再带入条件三阶导进一步放松，这部分就是一个常数。那么这种情况下， f x 二阶导也有界。
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06:24查看AI文稿AI文稿呃，大家好，今天给大家带来泰勒展开的高观点记忆，然后借助逐项积分和反函数对称这两个小技巧，去从底层逻辑上去理解我们的泰勒展开。那我们的第一系列呢，就是我们的等比数列系， 它的核心就在于我们高中经常用的一个无穷等比数列的求和公式，也就是一减 q 分 之一，当然这边要求它的公比的绝对值要小于一，也就是 q 的 绝对值要小于一吧。 那我们现在就可以反过来拿到了一个一减 x 分 之一的话，他是不是就是一个公比为 x 的 无穷等比数求和啊？那第一项呢？因为是一，第二项肯定就是 x 了吗？然后第三项就是 x 的 平方一直加到无穷， 然后同理的，如果我们拿到了一个一加 x 分 之一呢，你可以把改写成一减去一个负 x 分 之一吧，那公比呢，就是我们的负 x， 第一项肯定就是一嘛，然后第二项就乘上一个负 x， 就是 减去一个 x， 第三项再乘上一个负 x， 就是 加上一个 x 平方，然后就这样加加减减，一直下去就可以了。 那我们得到这个一加 x 分 之一的泰勒展开之后呢，其实我们是可以得到这个 line 一 加 x 的 展开的，因为这个东西积分之后呢，他就是 line 一 加 x 嘛， 那对于这个式的积分，其实就是对他的泰勒展开进行主项积分，那这个一呢，他就会积分成我们的 x， 然后负 x 呢，就会积分成我们的负二分之一的 x 平方，然后加 x 平方呢，就积分成加三分之一的 x 三次方，这样依次类推下来， 这样子的话，我们其实就记住了这个 line 的 一加 x 吧，然后考研范围里面我们还需要掌握的呢，就是这个一加 x 的 平方分之一，它是不是可以改写成我们的一减去一个负 x 平方，然后分之一啊？ 所以说它的公比呢，就是负 x 的 平方，那第一项呢，还永远是一嘛，然后第二项就是负 x 平方，然后再呢就是 x 四次方，然后再减去一个 x 六次方都要乘上一个负 x 平方就可以了。然后我们注意到这个一加 x 平方分之一，它积分之后是不是就是我们的 arc 点 x 啊？ 所以说对于它后面这几项进行逐项的积分，我们就可以得到二个探点 x 的 泰勒展开了，那这个一呢，它会积分成 x， 然后这个负 x 平方呢，它积分成负三分之一的 x 三次方， x 四次方呢，就积分成五分之一的 x 五次方，这样依次下去。 那讲到这里呢，我们就需要介绍一下第二个小技巧了，也就是所谓的反函数对称，因为我们知道一个函数跟它的反函数的话，它是关于 y 等于 x 对 称的吧。那我们现在已经知道了 arc tangent x 的 它的 time 展开，它是 x 减去一个三分之一的 x 三次方。那我们的原函数 time x 呢？因为关于 y 等于 x 对 称嘛，而且正好它们第一项都是 x， 这是很关键的，那它第二项呢，就是会反号，因为只有这样反号的话，它才会相互对称吧， 所以说我们就得到了这个 time， x 的 time 展开就是 x 加上三分之一的 x 三次方，当然的话我们都不能判断了， 但正好呢，就是我们考研对 time x 的 要求就是只需要展开到第二项，你根本就不需要知道第三项是多少，所以说是不是就完美的契合这个式子呀？ 那总的来说就是如果你忘记了 f x time 展开，那你有两种方法，第一种呢，就是对我们的 f p x 做 time 展开，然后再逐项积分回去。比如说你碰到这个 time x， 你 忘记怎么展开了，你对它先求个导， 一加 x 平方分之一这个东西你总会它来展开吧，就是一减 x 平方，加 x 四次方，就是公比是负 x 平方嘛，然后你再逐项积分回去，你就可以得到二乘减 x 了。然后对于 line 一 加 x 也是一样的，你求导之后就变成了一加 x 分 之一吧，然后再拆了展开。 然后第二种方法呢，就是对 f x 的 反函数进行拆了展开，比如说我们的探点 x， 你 是不是会啊？我们刚刚是不是已经推过了， 他刚刚是不是就是 x 减去三分之一的 x 三次方啊？那正好他的第一项正好是 x， 所以 说 x 减 x， 想要跟他关于 x 对 称的话，第一项肯定还是 x 吗？第二项就是反号就可以了。 老同理的这个 x 三 x， 正常人也一般记不住它是怎么样的，但是你也可以推嘛，就是三 x， 它是不是要等于 x 减去三的阶乘分之 x 三次方啊？那你的 x 三 x 呢？因为它的第一项都是 x， 想要关于 x 对 称呢，这一项还是 x， 然后第二项反号就可以了吧。 那这种方法只能确定到第二项的符号啊。然后但是对于 x 三 x 这种东西呢，我们考研的要求就是只需要展开到第二项，所以通过这两种方式呢，就是基本上很多它的展开你都可以解决了。然后下面我们来看一下第二系列，也就是我们的阶乘系列， 这边需要给大家科普一个公式哦，当然这个估计大家高中也都学过，也就是我们的欧拉公式，我们把这个公式放在这的目的呢，就是告诉大家欧拉公式里面出现的这三个呀，这个 e， 这个 cosine 跟这个 sine 呢，它们都是带阶乘的，它来展开， 所以说你只需要脑子里有印象，这个欧拉公式出现了这三个东西，他们呢都是带阶层的。那我们首先来看这个 e x 哦，因为它在 x 区域无穷的时候，它是不是无限的大呀？所以说它中间肯定都是加号连接的。 呃，然后呢，因为 e 的 x 方，它不是奇函数，也不是偶函数吧，所以说它每一项都会出现奇数次方，偶数次方都会出现，所以说它最后的展开项呢，就是这个，这也是呃，大家你写多了也就记住了。 然后第二个 sin x 呢，首先它是不是一个正当的函数，就这样子波浪型正当的，所以说它会是减加减加这样子交替的，你涨多了就把你按下来，跌多了就把你扶回去，就这样子有加加减减的。然后因为呢，它是一个奇函数吧， 所以说它只出现基数次方的象，比如说，呃，一次象，三次象，五次象这样子，所以说三 x 你 写多了的话也是非常简单的，然后扣三 x， 就是 对三 x 求导嘛，所以说每一项的话就是逐项对应求导 也是非常好记的。然后我们刚刚讲了，你如果记住了三 x 的 话，你是不是要同理记住这个 x 三 x 啊？因为它们第一项都是 x， 所以 说想要关于 y 等于 x 对 称的话，第二项是不是肯定要反号啊？ 然后的重点就是 r 三 e x， 你 只需要展开到第二项，因为我们的反函数呢，它只能推出第二项是反号的。
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02:01查看AI文稿AI文稿本期视频给大家带来中值定律中泰勒展开的第五种考法，任意点在端点处展开，这也是二零二四年的考研真题。我们看到题干发现有二阶导信息，那么大概率要用泰勒展开，而泰勒展开的关键在于找展开点和被展开点，因为律政结论中有 f x， 并且导数信息出现在端点，那么我们自然就考虑任意点 x 在 端点处展开，因为这在第一期视频梳理泰勒展开特点时已经说了，优先在有导数信息的点展开。我们再次细看预证结论的结构，发现是没有一阶导的， 所以我们需要在这两个等式中消去一阶导。不难想到，第一个式子乘 x 减一，第二个式子乘 x， 然后两式相减并移项，然后再取绝对值。现在已经把主要结构给构造出来了，我们再根据考研中极其常用的绝对值不等式中的第一个进行一次放缩， 因为题干告诉我们二阶导绝对值小于等于一，那么我们进行第二次放缩，因为 x 属于零到一，那么我们就可以去掉绝对值了，合并化简，得到我们想要的结果。 再来看第二问，平白无故出现十二分之一，我们需要思考这十二分之一是怎么来的。注意到预证结论中有积分，那么我们有理由猜测这个十二分之一是第一问积分，而来验证后发现确实如此，那么思路呼之欲出， 我们对第一问的不等式两边积分，但这部分不是我们律政结论的结构，那么现在我们需要找到这两个之间的关系。为了让积分能积到 f x， 我 们先不考虑绝对值，直接对没有绝对值的部分积分，这样就出现了我们律政结论的结构，然后两边同时加绝对值， 而这部分我们可以根据绝对值不等式中的第二个把绝对值放到里面去，那么根据一开始的式子就得到小于等于十二分之一，这两部分是一样的，那么就能得到红色框框内的这两个的关系。证明完毕。下期视频我们来讲泰勒展开的增量形式考法。
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02:22查看AI文稿AI文稿学姐，高中数学为什么这么难啊？因为有函数啊，一次函数，二次函数，三角函数，对数函数，指数函数，逆函数，光名字你都记不完，因为函数总是在变化，但更变态的是什么？你要在一团乱麻般的变化中找他那种永恒不变的秩序，你才能答得出题。所以，这个问题不仅困扰， 更困扰着十九世纪以前所有的数学家。那个时候他们就在感慨，怎么会有这么变态的东西，不仅遮不住我们，还有这么一百年后的高中生呢！这个时候，一个神奇的男人出现了，他叫泰勒，英国数学家，他做了一件非常伟大的事情哦， 所有的函数都用一个共同的逻辑单元给表达出来了，嗯？有什么用呢？比秦始皇统一度量衡还牛，牛到啥程度，你的高中老师根本不敢讲。讲了之后，很多数学的压轴题可以被瞬间科学的秒杀掉，就像下面这些高考题一样啊，因为这些题都可以被泰勒展开，是轻松的秒。 为了防止你们又说我吹牛皮啊，我们随便的举个例子，二二年全国甲醛理科第十二道题，我们先来看看准方法是怎么做的好构造函数啊，求导判断单调性零点端点值写满一整页，蠢的吐血！但我只需要泰勒展开式 秒秒杀，直接带入 x 等于四分之一，所以 b 等于 cosine， 四分之一小于三十二分之三十一大于 a， 再带入 c 等于四倍的 sine， 四分之一等于九十六分之九十五，那最后不就是送分了吗？ c 大 于 b 大 于 a， 问题不过瘾，再秒一道。二零年全国三卷第十二题，同样的压轴题，这就值非常难求，当然是知道如下的，泰勒展开式， a 约等于一点二四， b 约等于一点九二， c 约等于二点七三。那么最后答案是不是很简单呢？ c 大 于 b 大 于 a 哦，泰勒展开式就完全被你掌握了，你想多了，如果你觉得泰勒展开式只能这样子，那么其实你没有学的必要，因为这种比较大小考的概率很低。所以泰勒展开式最有用的是什么呢？证明不等式 倒数啊，必须要证明！证明！必须要证明不等式！而要解决大概率是用泰勒展开式。我们来看这道题，这才是用泰勒展开式最美妙最酷的地方！ 高考状元一个小时做完数学试卷，考一百五开什么好？作弊？一些别人不知道的高级工具，像泰勒展开式这样的秒杀模型，高中数学一共有九十个，包含了函数、导数、数列、圆锥、曲线不等式。所有亚洲题型全部录制成了视频课，你想要吗？后台发送你的年纪加分数，每日只限一百个哦，快来吧，拜拜！
131暴雨学姐狂学日记
03:39查看AI文稿AI文稿同学们，你们知道吗？每年六月八号高考数学结束之后，必火的一道题，一定是比较大小二零二二年新高考一卷的第七题，当年就坑哭了无数学霸，今天呢，老师就教给大家搞定高中数学所有函数的万能公式，泰勒展开式 函数 f s 在 包含 s 零的某个开区间内，具有 n 加一阶导数。那么对任意 s 属于 a 到 b 上，我们都有 s 零呢？在这里边儿表示的是展开的中心点，最后一项 r n， s 呢，表示的是一项。其实在我们高中阶段，遇到真正的泰勒展开式很少，我们用的比较多的是迈克劳林展开式，实际上就是泰勒公式在 s 零等零时对应的特殊情况。 所以我们常见的超越函数，经过麦克劳林的展开式之后，可以得到这样一个形式，比如说 e 的 s 方，它呢等于一加 x， 加上二的阶乘分之 s 的 平方，加上三的阶乘分之 s 立方，加到一个无穷小量 绕。一加 x 呢，它的麦克劳林展开形式为 x， 减去二分之 s 方，加上三分之 s 立方。最后呢，加上无穷小量 x 的 n 次方， 其中的 x 一定要大于负一，否则就没有意义了。正弦的麦克劳林展开式为三 x， 等于 再加上五的结成分之 s 的 五次方，减去七的结成 s 的 七次方。同样口三 x 展开式为一，减去二分之 s 的 四次方，减去六的结成分之 s 的 六次方。以此类推下去， 这个二二年新高考一卷的第七题，我们就可以利用麦克劳林展开轻松获得 e 的 零点一次方呢，应该等于一加上零点一，再加上二的阶层分之零点一的平方，这是麦克劳林展开式的前三项，所以零点一的 e 的 零点一次方， 他应该约等于零点一。加零点一的平方，再加上二的阶层分之零点一的三次方， 所以它约等于零点一一零五，显然是小于九分之一的，因为九分之一等于零点一的循环，那因此我们可以获得 a 是 小于 b 的。 再来看一下这个 c 向量，负的向量零点九，我们可以把它改写成负的向量 一，减去零点一。那根据麦克劳林展开式，我们可以获得它呢，是约等于零点一。加上二分之零点一的平方，约等于零点一零五， 所以很显然他是比 a 小 的，那我们就获得了 c 小 于 a 小 于 b。 那 么这道题选 c。 实际上在高中阶段，我们用的最多的并不是麦克劳林展开式，而是切线放松。 什么是切线放松呢？实际上就是利用函数在某点的切线来对函数进行上下界的估计的一种方法，其本质呢，实际上就是泰勒展开式的一阶递次。 那么在高中阶段常用的切线放缩不等式呢？第一个， e 的 s 方是大于等于 x 加一的，这个其实很好记，大家可以想象，函数 e 的 s 方呢，是这样的，它的切线在这，所以切线时刻在曲线的下方。第二个呢，需要记的切线放缩形式是浪 x 是 小于等于 s 减一的，大家仍然可以借助函数图像去记这个不等式 浪 s 长这样，那么他对应的切线是 x 减一，切线始终都在曲线上方。这两个切线放松呢？在导数压轴题当中运用的频率很高，大家一定要牢牢记住。粉丝群当中已经为大家准备了同类的高考题型，下课。
250高中数学金垚老师
