初二数学全等辅助线的十种方法
一个视频带你搞定全等三角形六大模型，一线分垂直手拉手模型、绊脚模型、截长不断背长中线角平分线模型，赶快收藏学习起来吧！
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03:48查看AI文稿AI文稿我们北京初二的家长们快到期末了，是不是发现孩子一到几何的辅助线就卡科？这阶段确实是道坎，几何辅助线没思路，成绩很容易两极分化。张老师教了十几年的初中数学，带过不少孩子从怕辅助线到绘画辅助线， 今天把初二上学期必学的几类辅助线核心要点给大家讲透，抓住这些，孩子几何才能稳步向前。 第一类，背长中线。这个呢，是全等三角形的入门辅助线，他的核心用途就是遇到终点中线时，把线段延长一倍，构造全等。这也是张老师课上重点说的，三角形中有中线，中线背长是关键，八字全等立成线不难发现，平行线， 孩子们有时候常踩的坑就是他只知道延长中线，但不搞懂为什么这么做，其实是为了转移线段或者角，让分散的条件集中。这里边 大家要让孩子注意避坑，让孩子画辅助线的时候，一定要自己念叨，延长谁到哪，为什么全等。搞懂逻辑比死记步骤重要。第二类，截长不短，线段的和差的一个万能的方向，截长或者不短，把它转化为全等的问题。 这块呢，孩子也有一些常踩的坑，那就是他只会用其中一种办法，比如说只会截长，不会补短，或者只会补短不会截长，遇到复杂的题就卡壳，他没有搞懂什么时候用哪种， 比如说线段带这种倍数关系二倍的 a、 b 等于 c、 d， 那 这种的是更适合用不短，我们要注意避坑。那每种题让孩子尝试两种方法，对比哪种更简单，练出灵活选方法的意识，考试不耽误时间。 第三类就是角平分线的四个辅助线，单垂、双垂、截长补短出全等、平行出等腰，角度转化是关键。核心的运用图就是遇到角平分线，通过做单垂双垂构造对称、截长补短、 平行出等腰，完成角度或线段的关系转化。孩子在这块长踩的坑，就是只学辅助线的做法，他没有 get 到这个背后实际上是和轴对称相联系了，这其实才是关键。 也就是说，无论是角平分线四哪四个模型，你都可以考虑成他，相当于沿着角平分线给他翻折。这一在避坑，让孩子做完题后，观察他对称在哪，培养孩子看图形对称关系的习惯，比单纯的记辅助线的步骤要更有用。 第四类，中垂线的辅助线，这值，这可是最值问题的一个隐藏技巧，它的核心用途就是垂直平分线上点到线段，两边点的距离相等，通常来解决将军印码这类的最短路径问题。 那孩子呢？经常踩的坑就只知道连终点，他不知道和最短路径的关联，那遇到将军印马，想不到用中垂线来转化，呃， 快给孩子要避坑的，就结合具体题讲清楚为什么这么连。比如说两点之间线段最短，让孩子明白辅助线就是为了用这个功底。 更难的一个点就是特殊三角形的模型，那这个比如说我要直角三角形等边三角形的辅助线，他往往涉及到了手拉手模型，甚至有初步的旋转， 尤其是两个等腰直角三角形、共顶点、共角等构造全等这块。这类题目是期末压轴题的常客，孩子光想会辅助线不够，得练见图形想模型的这个敏感度。这些辅助线看着多，但其实有规律。 辅助线都是为了转化条件，把分散的线段和角集中，把陌生的图形变熟悉。张老师整理了初二上几何辅助线的方法清单，家长可以在评论区冲我要一下，怕孩子练透。什么时候画怎么画，为什么画这条辅助线？各位加油！
02:30查看AI文稿AI文稿我猜你现在需要史上最全数学辅助线做法，几何题最头疼的就是辅助线不会画，今天毫无保留给你分享辅助线做法，全是干货，没有废话。第一大类是关于求长度或者求角度具体数值的题， 看到题目中有中点，立刻想备长中线，中位线，构造全等，把分散的边集中到一起，看到角平分线，直接往两边做垂线距离相等，对称。解题， 看到等腰等边三角形优先做高用三线合一，看到平行线就延长相交走八字形相似三角形，看到正方形等腰直角想旋转九十度，看到六十度就旋转构造等边。 第二大类是证明题。一最常考的是线段相等，可以用一正全等三角形对应边相等。二 正等腰三角形，两腰相等。三用中位线。四用直角三角形，斜边中线等于斜边一半。五用平行四边形对边相等。六用等量代换都等于第三条边，因此辅助线一般是做平行线或者备长中线。 第二常见的是证明角相等。一正全等对应角相等。二正等腰底角相等。三平行线同位角内错角相等。因此辅助线一般是做全等三角形，或者做等腰三角形或者做平行线。 三、看到线段和差问题，用截长补短，长的截一段，短的补一段，直接证明。 四、要正直角或垂直。一用勾股定律，逆定律构造等腰三角。二用等腰三角形，三线合一，所以要做高。 三，用圆的直径所对的圆周角是直角，所以要连直径。第三大类是最值。问题一， 如果动点在直线上动，如果是球和最小做对称将军印码，如果是求点到线做垂线， 如果是求点到点，就连接这两点，两点之间线段最短。二、如果动点在圆上动，一般是一箭穿心模型，即连接圆心，和那个点，近的那个是最短距离，远的那个是最长距离。 三、线段前带系数求对值，比如求 p a 加 k p b 最小值可以使二分之一找三十度构造直角三角形变垂线段，可以使勾三二找六十度变垂线段，使勾二二找四十五度变垂线段。赶紧收藏起来，说不定哪天能用上，我们下期再见！
4.7万冬屿奈风.💭
01:22查看AI文稿AI文稿那天有一个家长问的，他说他那个几何服务线没有吸收好，你这个原题他都没有做起，他说他是不是上课没有认真听？绝对不是，我当时特别想给这个家长讲十句英文，我看他能不能在认真听的情况下，把这十句话记下来。就是认真跟你 记下来这十句话是两码事，我很认真的听你说话了，我能记住你刚才说话的主干思路，但是呢，你让我去复述，你让我去写下来，那我是需要复盘的。这就是数学难题的课程里边他的一个特点，所以我特别不想听到 监护人跟孩子说，哦，你这个科目没学好，是不是你不认真呢？你，你这样一说的话，我跟你说，是谁都不想再学了。 不是不认真，他真的可能很努力在学了，但是他没有复习啊，所以没记住吗？你应该做的是陪娃去复习，而不是质疑、指责他。我，我这么讲，能听一遍把我的课听懂的人，绝对不是第一遍学这个板块就这么简单。你，你听这一个板块，你学 复习两遍，复习三遍，能把这个题搞懂，就是一个很厉害的孩子了。正常人学难题，你没有达到那个变数，你是无法理解的，很通透的。我举这个例子只想告诉大家，你要想让娃啊，下了课之后立马做出来，那这是反人类的事，这是不可能的事。
04:31查看AI文稿AI文稿同学们好，今天这期视频继续给大家分享如何用中线来构造全等八字形解决问题。 这是一个题目，我画了两个图，因为这个题可以用两种方法来解决。咱先看已知条件， a、 d 为三角形， a、 b、 c 的 中线，角一等于角二，看这个条件我们就可以得出， e、 f 等于 a， f 都等于一点六，还知道 b、 e 等于的是四， 要么求的是 c、 f 的 长度。那么之前咱们讲过，出现中线的时候，第一种方法就是用倍长中线把中线延长出一倍来。第二种方法就是做平行线都可以构造全等啊八字形。这里咱们先把 a、 d 延长出一倍来啊， 延长 a、 d 到 m 吧，使 b m 和 a、 d 相等。那么接下来是连接 b、 m 还是 c m？ 同学们，有的时候连接他俩都行，有的时候你就得选选一选连接连接其中的一个才可以。 那么这个题你就看一看，咱是要转化谁呀？构造全部八字型的目的就是要转化已知条件了。显然在这个图上， ab 是 没有用的同学们，而 ac 是 有用的，它上面有一点六与我们要求的线段，所以我们肯定要转化的就是 ac 了。你要转化 ac， 那 你就得来连加 bm， 你再来连接 c、 m， 他 就没意义了。你把 c、 m 连起来，把 ab 转到这边来有什么用啊？和已知条件没用，联系不上，和未知的要求的线段也没有联系。所以说这个我们就得连接 b、 m 而不能连 c、 m 啊。 连起来之后，这个全等八字形就产生了 a、 d， c 和 m d b 这俩三角形，它就全等了。那 ac 等于一点六啊，加 x 了，一点六加 x， 我们还知道角一等于角二，角二又等于角三，那等于全等之后，角一又等于谁啊？这个八字形全等以后，角一显然又等于这个角 m， 所以这里角三就和角 m 相等了，等量代换。角 m 等于角一，角三等于角二，角一等于角二，等角等量代换，这俩就相等了，然后等角，对啊，等边这个是四，所以这个一点六加 x 也就等于四了。 一点六加 x 等于四，所以 x 等于二点四就 ok 了。那么做这个中线的时候，你也可以这样说，过点 b 做 b， m 平行于 ac 就 可以了， 过点 b 做 b， m 平行于 ac， 交 a、 d 的 延长线于点 m 也是可以的，这个也可以，这是同一种做法，两种不同的说法都可以。 这是我们以 a、 d 为基础构造的全等八字型。接下来咱们再来看第二个花瓣形啊，这里 d 不 仅是这个 bc 的 中点，你可以把 a、 d 看成中线，同时这里你看啊，我们也可以把 d、 e 这条边也给它看成一条中线，我们把 d、 e 给它延长出一倍来，其实也是可以的， 延长 d、 e 的 一倍到 m 是 dm 和它相等，这个时候就得连接谁呀？你看，这里有一个四，四显然在这个三角形里边啊， 所以说我就要转移四，转移四，那你就得来连接 cm， 你 连接 cm 就 ok 了，因为四就会转移到这边来了，它俩就全满了，也就这个八字型啊， 我们要的是这个八字型，看出来了吗？哎，我们延长出他跟他相等，他跟他相等，再加上一对对零角，所以这两三等于相等了，我们把四就转移到这里来了， 那全等之后，角 m 就 和角三是相等的，同学们对不对啊？角 m 等于角三，而角三又等于角二，角二又等于角一，所以角一等于角 m， 所以这个一点六加这个 x 就 等于这里的四了。跟这里答案是一样的，同样这个弧线的做法，你也可以说过，点 c 做 c， m 平行于 b， e 也行， 通过做平行交 a， d 的 延长线于点 m 都可以，也就是不仅仅可以用 a 得来构造 中线，你只要一利用上了这个中点，怎么用都可以构造全等啊八字形来转化线段，这就是典型的用中点构造全等啊八字形，希望能够帮到大家。
68初中数学柳老师
00:45查看AI文稿AI文稿初中辅助线速记口诀见中点坐等线段三角形全等。线段平行见两倍角和角平分线截长补短得到等腰三角形。 看见角平分线，左垂线得到对称，全等。两个等腰三角形，顶角相等，左手拉左手，右手拉右手，这两个三角形全等。故里有人兴业赶科场， 少年不知愁滋味，老来方知情路难呐。岂不闻光阴如骏马加鞭，日月如落花流水。
91数海拾贝
00:41查看AI文稿AI文稿七下全能辅助线怎么攻克？您看我的那个贴片上，我写了三步全能辅助线，他本身就难，这是客观存在的问题。第二就是 全能辅助线咱们没选到好的课，没有把知识学全，那么这是第二难。第三难就是娃娃学了这个东西，但是他没复习，他就应用不了， 就这几个问题，最后才是娃娃没刷题。嗯，咱们对号入座一下，然后我发一个全懂自测表，你们看一下辅助线有多少工具是没有学过的？我这块列的那个三十三个技巧，那个技巧要学了，以后你你在做题的过程当中，你才有工具呀。我就像做饭的时候，你的厨房里面得有那些锅碗瓢盆呀。
![第3集：[全等三角形]常见模型与辅助线满分攻略 这将是你看到的最详细关于全等三角形常见模型与辅助线构造的动态几何讲解过程，全程保姆级教程带你吃透半角模型的原理与运用过程！资料评论区留言即可，同学后面有想学习的内容也可以在评论区留言。祝天下所有妈妈，母亲节快乐！#初中数学 #辅助线 #母亲节](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/e5eda68e05d0a0129194d60894aef330~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2103048000&x-signature=MVAeyv65CuUVO4Hwmnx48Lf1los%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=202608260438472A1517BAEB5525F4AC69)
14:06查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，今天是我们全等模型的第三讲内容，绊脚模型这节课十五分钟带你们了解绊脚模型的几个基本类型，例如正方形、三角形、梯 形等，以及考试的方向和重点。在林中有风的数学课堂，你要做到的就是相信你自己的能力。接下来我们废话不多说，跟着风老师我们继续挑战。 第三讲，我们来讲一个绊脚模型。绊脚模型也是我们初中阶段比较重要的一个模型之一，他的出现场景一般是在中等偏上的题目当中会出现， 所以同学们也要去注意。好，我们来接下来我们看一下绊脚模型的一个定义，他这里说的是有公共顶点，锐角等于较大角的一半， 且组成较大角的两边相等，这个就很好理解了。比如说我们看下面这个模型，它这里说的是四边形， a、 b、 c、 d 是 正方形， ab 等于 ad， ab 等于 ad， b、 ad 等于九十度， e、 f 等于四十五度。那这里是不是完美符合我们的一个半角模型啊？ e、 f 是 较小的角，是锐角，它是不是等于较大角的一半， 且构成较大角的两边？ b、 a 构成 b、 a、 d 这个角是不是 ab 和 ad， 那 且 ab 等于 ad 相等吗？那这样的话不就完美符合我们的一个半角模型吗？那既然符合我们的半角模型，那它的解析做法就比较固定，就是延长一边，构造一个全等三角形，从而得到线段的之间的一个数量关系。好，接下来我用动这个动态模型给大家给同学们演示一遍啊， 比如说这个条件还是它是一个正方形，并且 b、 a、 d 是 九十度， e、 f 是 四十五度。比如它这里教我们证明什么呢？教我们证明 e、 f 等于一个薄 a、 e 加上一个 f、 d， 我 们如何去证明呢？好，看好了，你既然符合一个半角模型，那我讲了半角模型的一个做解的方法，比较固定， 它就是干嘛延长 f、 d， 比如说这里的延长 f、 d 是 点 g， 然后连接你的 a g， 连接 a g 之后，因为你的 d g 是 不是等于你的薄 e？ 因为你的 d g 等于薄 e， a、 d 等于一个 ab， 因为你是做延长，所以这个是九十度，这个也是九十度，所以是不是可以证明两个三角形全等啊？或者你这么说也可以，怎么说呢？你说把 a、 薄 e 旋转上去是不是也可以啊？因为常规的来说，我们是不是做旋转？我把 a、 薄 e 向上旋转， 旋转多少度？旋转九十度，旋转九十度之后，你这两个三角形是不是一定是全等的？你旋转上去的嘛？它肯定是全等吧？全等了之后，那我根据对应角相等，比如这个角是，比如这个角设为 alpha， 那 这个角是不是也是 alpha？ 接下来这个角，比如设为 beta， 你 看我的 alpha 加四十五度，加上一个 beta 角是不是等于一个九十度？那所以就意味着 alpha 加 beta 是不是等于一个四十五度？ alpha 加 beta 等于四十五度，这个角是 alpha， 这个角是 beta， 也就意味着这个大角是不一定是四十五度，这个大角是四十五度。之后，那我接下来去怎么去证明 e、 f 等于一个薄 e 加上一个 f d 呢？因为我的 f g， 它是不是等于我的 f d 加上一个 dog g？ 你 的 f d 和 f d 相同？那不对， e 是 不是等于你的 dog g？ 那 接下来的话，我只要证明 e f 等于 f g 不 就可以了吗？那又回归到我们之前所讲的一个问题，什么样的问题呢？我之前讲过了，我要证明两线段相等，怎么证明？是不是找全等？全等等要等来代换吗？是不是这样？那我如何去证明它全等呢？ 是不是很简单了？那这样的话有同学看出来没有？是不是这两个三角形干嘛是全等的呀？哎，这个全等很好证吗？在三角形 aef 与三角形 afg 中，因为你对应边相等，你的 ae 是 不是等于你的 ag， 并且你的角 eaf 是 不是等于你的角 fag， 且 a f 等于一个 a f 公共边嘛？那所以三角形 a e f 是 不是全等于你的三角形 a f g 全等了之后，那你的 e f， 你 的 e f 是 不是就等于你的 f g 啊？因为你的 f g 此时它是不是等于一个加上一个 f d f d f d 相等， b e 和 d g 相等，你这个 e f 又等于你的 f g， 那 这个不就相等吗？接下来是不是就占完了？ 哎，所以这就是一个绊脚模型的一个呃，固定做法，就是做旋转或者你做延长都可以，两个是一个意思。那接下来我们看一下两道例题 例一，如图，在直角梯形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 bc 角， b 等于九十度，这个角为九十度， ab 等于 bc 等于十二， e 是 ab 上一点，且 dogc 等于四十五度，这个角为四十五度。 陀螺 e 的 长度为四。教我们求一个 doge 的 长度是多少？那这道题目呢？它就是一个非常典型的一个绊脚模型，我在解读绊脚模型的时候的结尾处强调了绊脚模型它不仅仅存在于正方形当中， 它还存在于比如说常见的等腰直角三角形当中。等腰直角三角形当中，它还分为一个内涵型跟一个外延型，它还存在于邻边相等那个对角互补的一个四边形当中。 这道题目呢，他就是属于一个比较典型的一个正方形当中，这个角为四十五度，然后呢，邻边相等假角为九十度，那这个角为四十五度，那哪个角的一半是四十，那肯定是九十度的一半是四十五度，那所以我们就是把这个图形给他干嘛？给他补全？补成一个正方形之后，你看这里的四十五度，他是不是相当于是 半了？然后呢，我们解决这样的一个半角模型的一个基本思路，要么截长补短，在上面做一段补短，要么干嘛要么把这个小三角形 e、 b、 c 做一个旋转。其实两个思路是一样的，目的就是为了构造全等。那好比如说我在这里我把这个 e、 b、 c 三角形绕着点 c 给它旋转过来，我们这题要采用旋转来做， 旋转过来之后，因为你是旋转的，也就意味着你两个三角形肯定是全等的，比如说这个角为阿法，那你这个角是不是也一定为阿法？阿法阿法。之后，并且你的 c、 e 是 不是等于你的 一撇 c？ 因为你是旋转过来的嘛，那对应边肯定是相等的，对应角也一定相等，那这样的话，我们就构造出两个三角形，哪两个三角形呢？是不是构造出三角形 e、 d、 c 和这个三角形 d 撇 d 一 撇 c 啊？ 为什么这两个才行全等？这个角为 alpha， 比如说这个角我是为 beta， 那 我们是不是有 alpha 加四十五度，加上一个 beta 角是不是等于一个九十度？没问题吧？那这样的话， alpha 加 beta 是 不是就等于一个四十五度？ alpha 加 beta 等于四十五度之后，你这个角为 alpha， 这个角为 beta， 也就意味着你这个角它一定为四十五度， 这个角为四十五度之后，那这样的话，你看 dc 这条边，它为公共边，这两个三角形是不是全等的好？全等我们给它标示出来，标示出来之后，在三角形 e、 d、 c 三角形 e 撇 d、 c 中， 首先我的 c e 是 等于我的 c e 撇的，并且我的角 d、 c、 e 是等于我的角 dc 一 撇的，因为这两个角都为四十五度嘛，并且 cd 是 等于 cd 的， 所以三角形 edc 是 不是全等于你的三角形一撇 dc 啊？理由是 sas。 那既然这两个三角形全等了之后，那我们是不是要利用全等三角形的一些性质？全等了之后，他教我求一个 doge 的 长度。薄 e 的 长度为四，那就意味着对应边相等，也就意味着你的薄一撇一撇是不是等于你的薄 e， 也就意味着它的长度为四， 这个长度为四，那比如说此时我设 dog b 撇为 x 的 话，那你根据对应边相等，也就意味着你的 dog e 长度就是 x 加四，因为你这里构成的是一个正方形，你的 bc 长度为十二，对面相等，你的 a、 b 撇的长度是不是也为十二？ 那就意味着你的 ad 的 长度是不是十二减 x？ 因为总段长度为十二嘛，也就意味着你的 ad 的 长度为十二减 x。 那这样的话，我们再看三角形 a e dog 中，它是不是构造出一个直角三角形？那这样的话是不是满足勾股定律？也就意味着你的 dog e 的 平方，它是不是等于一个 a d 的 平方加上一个 a e 的 平方？这样的话是不是就有一个 x 加四括号的平方，是不是等于一个十二减 x 括号的平方加上一个 a e 的 平方？那这样的话是不是构造出一个应用二次方程？接下来我们是不是解方程就可以了？那这个方程我们给它解一下啊，那就是意味着 x 平方加上一个 八， x 加上一个十六，等于一个一百四十四减去二十四， x 加上一个 x 平方加上一个六十四。这里强调一下啊，一到二十的平方数，每个同学都要把它背出来，其实这个记下来之后，对于你的计算非常有帮助的啊。再根据等式的性质，你的 x 平方和 x 平方消掉 未知数，移一边意味着意味着二十四， x 移过来又变成了三十二， x 这边移过去一百四十四加上六十四，等于二百零八，二百零八减十六，所以等于多少啊？是不是等于一百九十二？那这样的话 x 算出来等于几啊？ x 算出来应该等于一个六，那所以一个多一的长度就会多少啊，四加六就等于 十。好，所以这题呢，解法就解完了。好，接下来我们看例二，在等边三角形 a、 b、 c 的 两边，那三角形 a、 b、 c 为等边三角形。嗯，所在的直线上分别有两点， m 和 n， p 为三角形， a、 b、 c 外一点， 且 m、 p、 n 为六十度， b p、 c 为一百二十度。所以这两个角之间是不是存在一个背叛关系？那这个角为 b p、 c， 这个角为一百二十度， b p 等于 c p， b p 等于一个 c p， 那就意味着你的三角形 b p、 c， 它是个等腰三角形，那是等腰三角形，且顶角为一百二十度，那也就意味着你的两个底角是不是为三十度啊？ 哎，这是根据条件我们能得到的一些信息。然后探究，当 m、 n 分 别为直线 a、 b、 a、 c 上移动的点时，探究他们的一个数量关系。那这个的意思就是说，你的 m 和 n 分 别是两个动点，他的意思估计就是这样在来回动，哎，能理解啊。好。然后呢，他说，第一问，如图一， 在当点 m n 在 边 a、 b、 a、 c 上时，且 pm 等于 p n， pm 等于一个 p n， 是 说明 m n 等于一个 b m 加上一个 c n 啊。看到这句话，熟悉我的同学应该比较知道啊，看到这句话之后，我们是不是这就要涉及到一个线段的和差关系，叫做线段的和差。我们采用什么方法？是不是采用截长补短法？ 那么看下这一题，那我怎么样去截长，怎么样去补短呢？截长补短的意思，就比如说你现在这里的 m、 n， 它为长，你的 b m 和 c n 就 为短。那我比如说这个，你的 n、 c 是 不是为短？那我在上面给你补一段长，补多少呢？ 因为它是 c n 加上一个 b m， 那 我就补上这段的长度，比如 b m 一 撇，使它的长度就等于你的什么 b m。 然后这样的话，我再连接 pm， 是 不是构造两个参数全等，对不对？然后再接下来接着证明一个大参数全等是不就可以了？这是截长不短的一个思路。但是这一题呢， 我们是不是已经学过了？我们现在是不是已经学过了一个叫绊脚模型，那绊脚模型当中我们是怎么去做的？这里我可以你的三角形，我们之前讲过的做法，是不是把这个三角形旋转过来？那我现在比如说把这个三角形 m b p 这样给它，哎，旋转过来， 旋转到这个位置，因为你是旋转过来的，那你意味着你两个三角形是不是全等？比如说这个角为 alpha， 那 你这个角是不是也为 alpha？ 因为刚刚你看刚刚我们讲过的一些小结论是不是就有用了？因为你是等边三角形，所以这个角是不是为六十度？ 底角为三十度，也就意味着三十加六十，这个角为直角，那同理这个角也为直角，因为你是旋转过来的，你的 m b p 是 旋转过来的，意味着你的这个角是不是也为直角？因为你旋转过来之后是不是就有三角形 m b p 是 不是全等于三角形 m 撇 c p 啊？这两个三角形是全等的，那就意味着你的角 m b p 是 不是等于你的角 m p c p 是不是等于一个九十度？那多为九十度的话，两个九十度加在一起，所以这个角就为一百八十度。一百八十度的话，那就意味着你的 ncm 撇是不是三点公线？ ncm 撇三点公线的话，那这里是不是就是 我们所熟悉的一个角半角模型了？这个角为 alpha， 比如这个角为 beta， 那 我们知道 alpha 加六十度，再加上一个 beta 是 不是等于一个一百二十度？这条件给的嘛，那就意味着 alpha 加 beta 是 不是等于一个六十度？ 你阿法加倍它为六十度，你看这个角是不是恰好为，那就意味着这个新角是不为六十度？那新角为六十度之后，那这样的话是不是构造出两个三角形全等？ 这个全等的证明过程呢？我们之前也写过很多遍了，所以在三角形 m n p 与三角形 m p n p 中，你的因为你的 pm 是 不是等于你的 pm？ 撇，它是旋转过来的，且角 m p n 是 不是等于你的角 n p m 撇都等于六十度，并且你的 n p 是 不是等于你的 n p？ 两个是公共边， 所以三角形 m n p 是 不是全等于你的三角形 m p n p？ 理由是不是 s a s？ 那 既然两个成语全等了之后，那我是不是就有我的 m n 是 不是等于我的 m 撇 n？ 因为 m 撇 n， 它是不是等于我的 n c 加上一个 c m 撇 n c c m 撇它是不是等于我的 b m？ 也就意味着我的 m 撇 n 等于我的 b m 啊，等于我的 n c 加上一个 b m， 此时 m 撇 n 是 不是等于我的 m n？ 那 把它换成 m n 之后，那是不是等于我的 n c 加上一个 b m？ 那第一问的结论不就挣出来了吗？接下来我们看第二问，第二问，他说的是当你的点 m n 依然在 a b a c 上，且 pm 不 等于 pm， 我 们现在这个图是不是 pm 还是等于 pm 的？ 他的意思就是说你 pm 不 等于 p， 那 么就搞一种 pm 不 等于 pm 的 情况呗。那比如说这样斜下来的你此时你的 pm 不 等于你的 pm 吧？但是就算他现在不相等了，但是我这个三角形做旋转过来之后，你这两个小三角形是不依然是全等的？ 哎，这两个小三角形是不是依然是全等的？那全等了之后，那你的大三角形也就意味着你的这个大三角形两个三角形依然也是全等的。那全等了之后，你的结论是不是依然不改变？你的 m n 是 不是依然等于你的 c m 啊？依然等于你的 b m 加上你的 c n 呢？是不是这样？因为你的 c m 撇始终等于你的 b n， 所以 你这个结论它是永远是成立的。无论你这个角，如果你的 p n 是 如何去走的，它始终是全等的， 没问题吧？只要这个全能的条件依然存在，那你这个结论就永远成立，对不对？跟因为我从事中并没有用到你的 pm 和你的 p n 的 之间那个关系。
172林中有风数学课堂
05:28查看AI文稿AI文稿几何难，难在哪？难在全等辅助线上。就目前的中考而言，大家彻底想把辅助线弄透，一定要掌握四大境界，分别是第一个叫做基本判定哎，也就是 s s， s 啊， s， a， s 啊五大基本判定定律。第二个境界就叫做常用辅助线 做法，比如说见着中垂线哎，应该连两段角分线呢，一节二垂三长中间中线呢？备长中线，最后接长不断再往下，就叫做常见的模型了。常见模型就是多个条件的固定搭配，这种东西大家要往本质上学，学到本质 只需掌握十五个，你要学不到本质，这玩意要多少有多少，他无穷多个。但是真正全等中最高境界是谁，就是咱们的构造法。那么今天表妹给大家来一个最顶级的构造法，有了这个方法，大家随便给我们一些条件，我们都能把这个辅助线给他创造出来， 一起来看吧。一个直角三菱斜边等于六，然后这块是九度，让我们求 ab， 加上他的三分之根号三倍的最大值，哎，那有同学就头疼了，毕老师怎么研究一个边长的三分之根号三倍啊，大家，这个东西我们就得构造一下了。 其实啊，在特殊直角三角形应用勾股定律的时候，我们都知道说，在一个直角三角形中，三十度所对的直角边，哎，刚好等于斜边的一半，也就说你是一倍，我这就是二倍，那么勾股定律一算，这边自然就是刚好三倍 哦，那就意味着什么？长边现在就是短边的根号三倍，那倒回来，短边就是长边的多少哦，三分之根号三。所以你想构造一个边长的三分之根号三吗？我们只需让它是这里面的什么 长的直角边，哎，那么对应的短的直角边就是它的三分之二三，那就意味着，哎，我们是不是要把 b、 c 装在一个直角三角形里啊？哦，并且我让这个是直角三角形的长的直角边。哎，那接下来 有一个新的问题产生了。新的问题是什么？你是长的直角边没问题啊，那也就是说你一边菱角三十度，一边菱角九十度呗。哎，那我是让三十度在这，九十度在这，还是我让三十度在这边，九十度在这边啊？哦，到底哪个比较好啊？哎， 各位，显然，根据咱们这个题的已知条件上来看，是不是把九十度放这边比较好啊？为什么放这边比较好啊？两个原因，第一个原因，已知条件上，你这九十跟我这九十拼在一起了。哦，所以咱们这三点就 贡献了。第二个更好的在哪？你不是 bc 吗？我不就是三分之根号三倍的 bc 吗？这个三分之根号三倍的 bc 和你要加的 ab， 各位，怎么样？是不是已经加在一起了？哦，所以你要求这个家伙的最小值其实就是这个线段的 最效值。哎，你看，这样构造成一个线段是不是要好得多呀？哦，那新的问题就产生了，那这里面谁动谁不动啊？你看原本的三角形， a， b， c， a， c 边长得六，那我就可以认为 a 点和 c 点它们两个是 固定点。那么接下来我这个是固定点啊，我动点最值，动中找不动，不动是它，那我所有的动点地长在哪呢？ 哎，这就要说到下一个基础知识点了，各位，你这个边长永远得六不变，那我这个角呢？哦，他是三十，这是九十，这是得六十吧，所以他会形成一个叫做边对角不变。 既然边对角不变，那么这样的所有顶点长在哪？毕老师教过大家一个系统的知识哎，就是边对角做辅助圆， 假如说我 a c 已经不变了，那么在平面上给我找到所有的点屁，让什么让角？屁是九十度，哎，那所有的九十度在哪？哦？所有九十我不知道，但是一个九十我可以画吧。画完以后，斜边中线永远等于斜边一半啊， 那你这个 o 点是 a c 的 中点，中点不变，斜边中间又等于斜边一半哦，斜边不变，斜边一半也不变嘛，所以定点定长，这样所有的点 p 长在哪？哦，就长在这样的一个圆上，这就是边对角的特点哦，那么九十度咱会画了，咱这题上画啥呀？ 要画六十度，那有人就要问了，六十度怎么办？各位啊，毕老师先教你们画一个六十度，你肯定会吧？那就画一个等边呗。哦，那跟他共圆的呢？各位，同侧圆周角都相等啊，所以在这个圆上随便连一下，这个角跟他相等是不是都得六十啊？ 当然，上边有等变，底下是不是也有等变呐？跟他共圆的是不是也都是六十度啊？所以六十度最终长在啊一个葫芦上，当然，所有的锐角最终画出来的共圆图形都是葫芦形。当我们学会这个知识点，这道题是不是就结束了？ 哎，我这个边长六永远都不变吧，边对角六十度永远都不变吧。所以这样的点的长在哪？是不是就长在我这个圆上啊？那在我这个圆上这条黄线什么时候最长啊？这条黄线是不是圆中的一条弦？圆中所有的弦什么时候最长？哎， 直径最长，也就是过圆心时，此时就是最长了。那么这个最大值等于几呢？也很简单，我不是知道这个边长已经等于六了吗？啊，那我就把它连上啊。你是直径，直径对九十。不仅如此，你是六十度，我这也是六十度。那么长的直角边得六，短的直角边就是六，除以 根号三，也就是二倍，刚好三。又因为他是六十，他是九十，这是三十度吧。三十度所推直线等于斜边一半，也就是斜边直径刚好是他的两倍。答案就是四倍，刚好三。所以这道动点最值，问题大家轻松拿下。
668毕老师讲初中数学
05:46查看AI文稿AI文稿今天继续加深学习一下十七题。十七题这个题目我们在第一个板块里讲过，它主要考察三个知识点，第一个是勾股定律，第二个全等三角形，第三个中位线啊，在第二个视频里，我们重点讲了中位线是如何去考察。 今天这个第三个视频，我们重点讲一下全等三角形它是怎么去考察的。 在这个十七题里，全等三角形的证明也是非常有规律的。一般来说，重点考察两类，一类呢是八字全等，八字全等，一类呢叫弦杵全等 八字全等。我们前边讲过几个例题了啊，前面讲过几个例题了，我们这里再加深一下啊，主要就是两种题啊，一种呢是根据这里有一个中点，你比如说 o 是 ab 的 中点，这样你只要做一个平行线，就会出现两个八字全等。 第二种八字全等呢，是容易做完了平行以后，容易证明这条线等于这条线啊。反正是你只要想用八字全等，你必须得有一组对应边相等，这组对应边怎么给呢？哎，第一种情况是根据终点给， 第二种情况是根据对边给。这个我们等会看一下题，你就了解这两种啊，正全等的方法呢哈，八字全等是考的最多的啊，考的最多的 在去年开始呢，又考察弦图前等了，在我们的模拟题里也经常出现弦图前等，弦图前等是通过省是什么意思呢？是一个正方形或者长方形啊，利用正方形的性质，边相等和角是直角来正出两个三角形全等啊，像这个三角形 abc 全等三角形 b、 d， e 吧啊，这两个垂直啊，怎么证 a、 b、 c 和 b、 d、 e 垂直呢？首先根据正方形边长相等， ab 等于 bc， 其次再根据两个直角都是九十度啊，然后我们还需要证出这个角一等于这里的角二，我们就可以用 啊，角角边 a、 s 就是 全等来了，那最后一个角怎么正呢啊？最后一个角往往用的是与角的等，角的与角相等啊，你比如说角一和角三，假设这个角是角三吧，在这个 b、 c， b、 d， e 这个三角形里，角一加角三等于九十度， 在这个 b、 c、 f 这个三角形里啊，角二加角三等于九十度，就所以就能正数角一等于角二 啊，也就全等了啊，也就全等了，所以这种题也经常挨考哈，也经常挨考啊。所以说，如果看到这个题用导证全等三角形的话，那我们尽可能的先考虑用这两种方式来证明全等啊。下面我们用例题来看一下这两个题型。 好嘞，这三个题就是我们的中考原题，都是用的八字全等，你比如说这个题是过 o 向 f、 c 做垂线 啊，交于 p 吧啊， o， p， h 和 c， e， h 全等，八字全等，这个利用的就是 h 啊，这个利用的是 c， e 等于二，而 o、 p 也等于二，用的是这一组对边相等，再加上对零点相等，两个九十度，就整出全等来了啊。还有这个是过 f 向 d， e 做垂线，这个也是用的八字全等，是 a、 e， j 和 f、 g， p 全等啊，这个用的也是对顶角九十度，加上这个边是一，这个也是一啊，来挣出来的全等啊，来，这一个也是过 e 向 a、 d 做垂线，然后再延长 啊。假如说教育这里是 p 吧，那这个三角形的八字全呢，就是 abf 和 b、 p、 f 全等啊，这也是个八字全等，这个用到的边相等是 f， 是 b、 e 的 中点啊， f 是 b e 的 中点，就能得到 b f 等于 f e 一 组对应边相等，然后根据平行啊 内错角相等，就能够证出这两个三角形全等来了。你看这是连续三年考察的都是八字全等， 然后呢，还可能考什么呢？还可能考弦数全等，你看这个是去年的十七题啊，这个题需要正到的就是三角形 a、 b 一 和三角形 e、 c、 f 全等啊，这个 ab 是 二，这个是三呢，它是在两倍，那这个是一，这个是二，这个是终点的，这是一。再根据九十度啊，这两个三角形就全等了啊，就全等了，全等了以后，我们才知道这个角一 等于这里的角二，因为角二加角三等于九十度，所以角一加角三等于九十度啊，那进而我们就能求出这个角是直角来了，然后根据全等呢，我们才知道这两个边也相等， 然后这就变成了 a、 e、 f， 就 变成了等腰直角三角形，那么这个角呢，就出来四十五度了，你看，这就是典型的弦数全等，那这两种全等都是非常需要我们注意的，在解题过程中啊，非常注意的也说，如果我们没有思路，一定要考虑一下这两个全等。 好，下面这个题是两个题哈，下面这两个题，其中上面这个用到的就是啊，虽然难一点。这个是今年的模拟题，刚考过的啊，河西的大家可以做一下哈，因为今年我们天津出数学的老师应该是来自河西区，所以河西区的模拟题可以重点练一下。你看这个题就是典型的八字圈的 八字全能啊。八字全能朋友们可以自己先做一下，看看能不能做出来哈啊，如果你不会的话，你可以私信我，然后我给你讲一下啊。我给你讲一下，这个就是一个典型的八字模型，虽然这个题的难度有点大啊，但是用八字模型，八字全等挣出来就比较简单。 下面这个呢，是显图全等啊，这个是个显图全等，显图全等哎，同学们可以自己也做一下啊，做一下，如果这两个题你都能做出来，那么这两个全等你一定是没有问题了啊。如果你做不出来，评论区说一下，我下节出一个讲解课程。好嘞，今天到这。
11:15查看AI文稿AI文稿五十个视频，五十种积累，从图形特点出发，理解辅助线构造的过程，在此期间培养标设放猎的习惯，痛观几何。今天我们讲的是 需要电子版讲义，可以免费分享给大家。那接下来来看一下我们的三垂直怎么玩？好吧，那三垂直的话，首先第一部分就是我们等值斜放可以去造全等，啥意思？ 假如说他现在告诉我们一条直线，哎，在这条直线上给他放了一个等值，那放这个等值，我们发现，哎，他不好用的时候，哎，当我们发现题目告诉我们的等值不好用的时候，那可以怎么办？我们是不是就可以过 a、 过 c， 分 别向底下这条横线做垂之后，我们就一定能够得到这两个蓝色三角形是全等的，对吧？那具体全等是咋来？那首先我们要考虑一下在我们这幅图当中出现了啥？ 是不是出现了直角？那我们想在我们这张的第一节，哎，第一节就是倒角，那里，我们当看到图中出现直角的时候，我们要有什么意识？是不是图中会出现大量的互余关系？那有互余我们要干嘛？ 有关系我们是不是肯定要去倒角看一下？ ok， 那 你观察一下，我现在记旁边这个三角形，它的两个内角是互余的，那互余的话，你观察这有直角，同时 d、 b、 e 这三点贡献，那也就意味着这个贝塔是不是跟这个小角他俩是互余的，那他是不是就是阿尔法？那同时阿尔法跟这个角在同一个直角三角形内，那么他俩是不是也互余？那他是不是就是贝塔？ 那你观察一下，我们通过导互余关系，是不是又得到了两组新的等角，那有了等角加上等值提供给我们的等边，我们是不是就证明出了他俩是全等的？那这就是我们等值斜放，我们可以通过三垂直 哎去构造全等，当然这是第一种构造方式，我们除了这一种以外，是不是还有另外一种构造全等的方式？ 就是说，哎，现在假如告诉我们这个等值长这个样子，我现在过直角顶点随便画一条竖线，那你看一下，那此时怎么构造全等？我们是不是就可以过 b 向这条边做个垂线，过 c 向这条边做个垂线？那做完垂之后，我们途中是不是又出现了一堆的直角， 那直角多是不依然要去考虑导弧于关系？那你看一下，那这个时候我们就可以记这个角是 r 法，这个角是贝塔，那他俩作为我们直角切割之后的两个锐角是不一定是互于的，那同时你观察贝塔跟这个角在同一个直角三角形内，那他俩互于这个角是不就是 r 法？ 那当然阿尔法跟这个锐角在同一个三角形内，那他俩互余这个角是不就是贝塔？那你观察阿尔法，阿尔法，贝塔，贝塔。我们是不是通过导互余哎，又得到了两组等角，那等角加上等值提供给我们这里的等边关系，我们是不是又能证明这个蓝色三角形跟这个蓝色三角形是全等的？ 所以在之后我们再去看到一个等值哎，不好处理的时候，我们就可以通过构造三垂直哎去给他造全等， 去玩这里的等值， ok， 那 么这是等值这块的第一个用法， ok， 那 我们来一块看一下题目吧，来吧，同学们一块看一下这道题。他现在告诉我们在四边形当中，这有个直角，两条已知边，以及告诉我们这两条绿边是相等的， 现在让我们求 b、 d 这条边的长度，那我们想一下题目，让我们求线段长，那首先求线段长，我们要有一个什么意识？我们求线段长，我们是不是肯定要把线段给它放进三角形中去看呀？ 对不对？那你观察一下，那现在 b d， 哎，在我们现有的途中，它能放进哪？它首先能放进上面这个三角形当中， 那你观察一下，在上面这个黄色的三角形当中，只有一条已知边，那想要去求 b d 的 话，显然条件是不够用的，对吧？那除此之外它还能放在哪？它是不是还能放进下面这个黄色的？ 哎？就是这个 b c、 d 这个三角形当中，那在这个三角形当中，同样也是只有一条已知边， 没有角度信息，也没有其他边的信息，那要求 b d 是 不是还是条件不够？那这个时候想，那既然现有的这些图形我们去求 b、 d 的 话，那求不了，那肯定是想着去给它怎么样，是不是构造辅助线？那构造辅助线的话，那你想怎么构造？图中还有啥条件？ 图中是不是还告诉我们这有一个啥？这是不是还有一个等值？哎，那你会发现，如果你此时不做辅助线的话，你就会发现这个等值就用不起来，对吧？一定要找到这个感觉，那等值它作为一个特殊条件，我们在做题的时候肯定是要利用的，那怎么用？你想一下，那这个时候 有一个直角，同时这还有个直角，那等值不好用，可以怎么办？我们是不是就可以延长 bc， 哎？我过地再向底下做一个直角，得到一二三三个直角之后，我们就可以干嘛？ 是不是就可以去岛户鱼玩全等了，对不对？你观察一下，那此时我记这个角是阿尔法，哎，我记这个角是贝塔，那他俩肯定是互鱼关系了，贝塔跟他在同一个直角三角形，那他就是阿尔法，阿尔法跟他在同一个直角三角形，哎，那他不就是贝塔？ 那我们通过构造三垂直，我们是不是就能得到这个三角形跟这个三角形全等了？那有全等要注意啥？同步信息嘛？那这是二，那同步过来 这条边就是二，那这条边是六，那同步过来这条边是不是也是六？那你观察一下，此时我们做完这个垂直之后，那么 b d 这条边，这条所求边，他是不是就被我们放进了这个蓝色的直角三角形当中？ 那你现在看一下，在这个蓝色的直角三角形当中，一条直角边已知，两条直角边已知，那现在要求 b d 的 话，直接口算 十，问题是不是就结束了？所以来看这块思路，首先第一步还是一样要求线段长，我们是不是要肯定给它放进三角形当中？那怎么放呢？ 怎么放？我们是不是就关注到了这块有啥？这块是不是出现了等值？那等值不好用，可以怎么办？我们是不是可以通过构造三垂直去利用它造全等，那得到全等之后，那此时 b、 d 是 不是就被我们放进了直角三角形 g、 d、 b 中？ 那勾股定律问题是不就结束了？兄弟们， ok， 那 么接着来看下一题，来吧，兄弟们一块看一下这道题目，他现在告诉我们说在四边形当中，哎，告诉我们这三个蓝色的圈线段相等， 同时呢告诉我们这有个直角，然后说底下这个阴影图形它的面积，我们写一下 b、 c、 d， 它的面积是一，现在让我们求 bc 这条线段的长度。那首先来观察一下，你拿到这个题目之后，首先你能看到啥？最直观的条件是不就是这三个圈线段相等？ 那首先这俩圈线段相等，我们能得到啥？那这个三角形 abc， 这个三角形 abc 就是 个啥， 是不就是一个等腰三角形？那你看到这有等腰三角形，你有啥想法？那看到等腰三角形，是不就去给他做三线合一吗？对不对？我们看，那此时做完三线合一之后，我们能够得到啥？我们就能够得到这个叉和这个叉相等， 哎，那题目让我们求的是 bc， 同时呢我们又得到，哎，他俩相等，那我就记他俩是 a， 好吧，有等量想要用的话，我们是不是就可以把等量给他设出来？那设完之后，其实现在求 bc 求的就是谁，求的不就是 a 吗？ ok， 那 好，那现在做完这个三线合一之后，哎，又卡住了，那你观察一下题目，还告诉啥条件，他是不是还告诉我们这个三角形的面积是一， 那你想有面积条件，我们怎么去用？那有面积，我们无非就是，哎，要不然把它表示出来，要不然就利用面积去转化条件，那你觉得在这道题当中，我们是去表示还是去转化？ 首先你看有了面积之后，我们刚才三线合一做完以后，我们是不是得到了 bc？ 这条边现在的长度是二 a， 对吧？那要求 a 的 话，我们是不是可以把二 a 当做一条已知边？那有面积，有已知边，你有什么想法？我们是不是肯定要做已知边上的什么？ 高吗？对不对？那要做高的话，我现在是不是可以延长 b c 过 d 做条垂线，那么此时我是不是就得到已知边上的这个高 d h？ 那 也就是说我现在如果把 d h 表示出来之后，那么我们这个三角形它的面积是不是就可以表示了？ 那好，那现在问题来了，那怎么表示 d h？ 那 你想我们是不是还有条件没有用题目告诉我们是这三条蓝色线段相等，那你看一下，那这个红圈跟这个红圈它俩相等，相当于题目告诉我们啥？加上这个直角，不就相当于题目告诉我们这有一个等值吗？ 那有等值，同时一个直角，两个直角，三个直角三垂直。我们有了，这个时候要去考虑什么？ 是不是导互余得全等，对不对？那你看那此时互余在哪？我记这个角是阿尔法，这个角是贝塔，那他俩肯定互余嘛？那阿尔法跟他互余，他是贝塔，贝塔跟他互余，他是阿尔法，我们是不是就一定能够有这个黄色三角形？跟这个黄色三角形啥关系？ 是不全等？那全等之后同步信息，那这条边是不是就跟 d h 相等了？那这是 a， 那 d h 是 几？ 那 d h 是 不是也是 a， 对 吧？那你观察一下现在底下这个三角形 b、 c、 d， 它的面积能不能表示？你看一下，那此时我们是不就能得到三角形 b、 c、 d 的 面积是等于二分之一乘二， a 再乘 a 等于一，那 a 等于一的话，那 bc 是 二， a 等于二，问题是不就结束了？好，那我们来看一下这道题。首先第一步， 拿到题目之后，我们看到他告诉我们啥？他是不是告诉我们这里有等腰三角形，那有等腰怎么处理？ 是不是就去给他玩三线合一吗？那三线合一之后，我们接下来又干嘛了？我们是不是有面积条件，对不对？这个时候，哎，我们有了面积的条件，同时我们又知道了这个三角形的底边，也就是说有面积，有底边，那这个时候想要去表示面积怎么办？ 是不就去给他做已知底边上的高？做完高之后，那你看一下得到了啥？得到了等值，同时一、二、三是不是得到了三垂直？那第三步，那对于这个等值来说，哎，我们又有了三垂直，那这个时候我们是不是一定能够得到图中的全等关系？ 那有了全等同步信息之后，此时面积这个条件是不是就被我们表示出来了？那表示完之后有了 a 的 方程，那么解出来之后， bc 是 不就结束了？ ok， 那 么这就是我们这道题。
16凡哥跃动数学
03:38查看AI文稿AI文稿很多同学做几何题，最头疼的就是辅助线怎么画呢？是不是总是感觉拼命运气蒙的，蒙对了，哎，就做出来了，哎，蒙不对，那做题就做不出来的了。那今天呢，孙老师就用四分钟把中考的辅助线的底层逻辑，还万能步骤，还有备考的模型呢，一次性讲透！ 听完这节课呢，你做几何题的辅助线呢，就不用瞎画了。首先记住一个核心的一句话，辅助线他不是瞎画的，他是补全模型，转换条件。中考呢，百分之九十的辅助线，他的目的就四个， 一、补全，全等相似。二、构造直角等腰。三、转移线段角度。四锁定动点轨迹，全靠这个逻辑。那接下一步呢？接下来，大孙老师教大家一个三个万能的步骤吧， 任在任何的题目里面，按照这个顺序来，绝对不会踩坑。第一步呢，就读题标条件，找残缺的模型。 拿到题呢，先别着急瞎比，先把题目里面的线段，等角、终点角，平分线、直角这些关键信息标出来，你一看，想到那个模型，就像这样的长正方形，里面出现那个四十五，哎，立马反应过来，哎，有一个半角模型。 第二步呢，定目的，选方向，要证明线段相等，那肯定是构造全等，算长度，正比例关系呢，肯定是要相似，有终点呢。想到了背塘中线，引圆中微线，角平分线，就做垂直，目标要明确，辅助线才不会跑偏。 第三个，也是最容易犯错的一个地方，画完呢，一定要立刻推倒。很多同学呢，画完线就结束了，大错特错，必须要跟着写。根据辅助线加已知的条件，能推出新的角，新的线段，有了推的没有推倒的辅助线呢，中考呢，是直接扣分的， 那流程掌握了，那孙老师再教大家一个八大必考的模型的口诀吧，覆盖呢所有的中考题型。第一个， 中点类，一旦遇到中点的，就三个方向，要么背上中线，勾到旋等多个中点连接中位线，直角的斜边连接中线，斜边的是一半，三招呢，中考里面是必考的。 第二个，角平分线，遇到角平分线，做垂直到两边的距离相等，勾到等腰或者是双平模型。 第三，等腰类的呢，三线合一，如果是等边就照旋转等腰呢，做高角平分线，等边圈的六十度照选等，这是刮豆里面常用的吗？定角定比。第四，直角类的，遇到直角呢，照矩形 连接斜中线多个直角，三角形，一线三垂直就结束。到了第五个，引圆类的压轴体，定角定边找引圆，然后呢，定点定长，也是个引圆 对角互补。然后呢，经常搞的刮斗嘛，繁衍考的比较少一点。第六个，坠子问题，将军引马两个线段相差最小，找对称，然后定点加线段呢，就要平移动点在圆上面的，连接圆心加减半径。 第七类，也是最近比较南京联合体考的多的一个折折叠类的问题，折叠呢，一定要连对应点，折合呢，是他的垂直平分线，也是延长线的角平分线折叠之后一定会有一个全等配合，勾股会轻松结束题目。 最后呢，还有一个四条避坑的铁律，千万不要犯了。第一个就是辅助线呢，必须画虚线，如果你实线的话会扣分。第二个，必须写清楚过哪一个点做谁谁谁的垂线和平行线，不写他也扣分。第三爆完辅助线一定要推倒，没有推倒呢他也扣分。 第四个绝对不能自己随便下加条件啊。辅助线不能创造题目里面没有的信息。学会了这些中考了几何的辅助线呢？轻松拿捏，再也不用蒙了。
2360雨花数学孙老师
01:34查看AI文稿AI文稿如图，正方形 a、 b、 c、 d 内部有一个点 e、 b、 e 垂直于 e、 c， 其中只给了我们一个数据，就是线段 b 的 长度等于四。让我们求三角形 a、 b、 e 的 面积，要求这个三角形的面积，那我们就求出底和高。 正方形的边长呢？我们并不知道，但是呢，我们知道线段 b 的 长度，那我们不妨就以线段 b 为底，过 a 点做 b 的 垂线，与 b 的 延长线相交于 f 点， 线段 a、 f 的 长度就是这个三角形 a、 b、 e、 b、 e 这条底上面的高。那么如何来求出高的长度呢？我们只要用好这个正方形的角点，求 abc， 它是一个直角， 直线边上有三个垂直，这个时候我们就很容易想到一线三垂直，全等模型。正方形的边长 a、 b 和 b、 c 是 相等的，这个角呢，又是直角，那么角一和角二必然是互余的，而这个角 b、 c 是 个直角，角三和角二它也是互余的， 同角的，与角相等，角一就等于角三角 f 和角 bc 呢，有，都是直角，再加上 ab 等于 bc。 直角三角形 a、 f、 b 与直角三角形 bc， 根据角角、边，我们就很容易证明它们的全等。 转转之后，对内边相等的 a、 f 的 长度必然就等于 b 的 长度，也等于四。那么要求的这个三角形 a、 b、 e 的 面积，它就等于底 b、 e 的 长度四乘上一个 b、 e 边上的高，也就是 a、 f 的 长度四，再除以二，也就等于八，轻松搞定。
36木子老师初中数学
09:33查看AI文稿AI文稿初中数学啊，有三座大山啊，尤其是一个全等辅助线，头一座大山，很多同学都爬不过去，也也经常有家长问，哎，毕老师，我们家孩子就是那个全等辅助线的压轴题，那个辅助线啊，老是想不着到底该怎么做，那么今天这期视频，毕老师帮大家开个窍， 让大家真正见识一下毕老师是如何帮助毕家军建立起完整的思维体系的。我们那个辅助线是一定能分析出来的，而不是蒙猜，凑 一起来看，说有这样一个题， a、 b 等于 a， c 啊，大的是等腰，然后角 a 等于一百零八度，那么等边对等角你得一百零八，这两个加和就是七十二，两个还相等，各得三十六 啊，这都好简单啊，继续说， b、 d 呢？平分这个角 a， 我 有一个特征性条件了，这个条件就叫做角线。再继续啊，说交叉于点 d， 让我们证明什么，证明这个边长 它等于 a、 b， 再加上 c、 d， 嗯，也就是一加二想等于三啊，这么样一个结论，对吗？好，那接下来很多同学说，老师，这个该怎么办呢？啊，我这一个边长也没有，那，那计算是肯定是算不了了，对吧？那这个时候我们就要用到全等了。那说到全等， 大家那全能辅助线在哪呢？哎，毕老师来帮大家开窍啊！第一个所谓的开窍就是掌握逻辑思维的方法，那么逻辑他是有顺序的， 通常我们有两个顺序，一个是从已知条件下手，我们叫做正向思维。那么已知条件里面说，我这又有等腰，又有角度，又有角分线，哪一个才是特征性条件呢？见到这个条件就能做出来辅助线呢？ 哦，显然就是咱们的这个角分线了啊。那前面视频中呢，毕老师也给大家讲过，说角分线这个家伙你一定要学的时候就掌握好， 他常用辅助线的做法呢，就叫做一截二垂三延长，说我已知角分线，哎，然后我见到任意三角形，我就可以在背平分这个角两边上截边长相等，这么一连三角形就全等了。 s a s 证明的 第二个呢，说如果我有个角分线，并且这块有个垂直，哎，见垂直做垂直，那说一个垂直都没有呢，你只要有角分线，你还可以做双垂直，这是他第二个做法。第三个做法呢？三延长啥意思？说当我有一条线垂直于角分线的时候，我只需把它延长就可以了。 那么实际上这三个方法呢，并不需要背，因为角分线所在直线本身就是角的对称轴，所以你就相当于把一个三角形已知三角形，你给它对称过来。好，那接下来大家如果你有这个想法了，你这个条件反射建立起来，这道题就可以轻松了解了。 来看我角分线呢，是不是在这，哦，那角分线这边是不是有一个任意三角形，所以我就在这条边上截一个 b， a 一 撇等于 b a， 我 先让它俩相等，然后我只要把它轻轻连上，哎，这两个红色三角形就怎么样？ 全等吧，它一旦全等了，那接下来我不是想证明这个 a 边长加 b 边长等于我这个 c 边长吗？ a 已经在这了，只要证明这个得 b 就 行了，要想证明它得 b， 那 这就是一个等幺三角形就行了吧。哦，这回你再看还有什么条件没用上？第一个等幺我可以推出来，这三十六度又有一个一百零八， 你是一百零八全等过来。这哥们还是一百零八吧，他是一百零八，隔壁就是七十二度吧。啊，而这一旦是七十二三角形，内核一百零八，减掉他俩，你会发现这货还是七十二度。于是乎，等角对等边，这个边长就是 b， a 加 b 等于 c， 也就证明出来了。这是咱们这道题的第一路想法。当然按照这个想法，比如说，老师，哎，我这个长的可以截短的，那短的能不能截长的呢？ 当然可以啊，你把 b a 延长，倒点 c 撇，使 bc 撇等于 bc， 也就说我这变长等于 c。 那 你这样连上以后，大三角形是不是就全等了？ ok 哦，这个全等以后， b 就 对称过来了。当然他是一百零八啊，这个角就是七十二，这个角还是等于他等于三十六度。这块依然能证明是等腰三角形，所以第二个辅助线的方法 他也就会了。当然，如果有同学说，老师我应用双垂直能不能行也是可以的，但是倒起来稍微费点事，中间还得自己再做一个等腰才行。好，继续 下一种说。老师，那这道题除了从角分线入手，还可以说什么入手呢？一起来看。我们还有一种想法叫做逆向思维， 逆向思维是从结论下手，那咱这块有没有特征性结论呢？当然有了，是不是我有一个边长加一个边长等于一个边长哦，毕老师要给大家讲， 在代数里面，你想实现一加二等于三超级简单，你算就行了，一加二等于三，对吧？永远都成立是不是？但是在几何里面，你想实现一个边长和另外一个边长加在一起有意义。 什么叫有意义？就是在我这途中还有一个边长跟这两边长加和相等。各位，这可不简单。比如有人说，老师，哎，我把这一连，不好意思，三角形两边之隔怎么样？大于第三边这条边并不等于一加二。那你想让它等于一加二该怎么办呢？ 很简单，想实现两个边长的加法，你只需让它们两个共线，换句话说， 我这一已经长这了，哎，我在这边延长个二，好嘞，一加二就等于这整个，当然可以往这边延长二，能不能往这边延长？可以吧，那我二往这边延长一也行吧，往这边延长一也行吧。哦，把两个短的让它共线加在一起，这就叫做补短。 哦，那我可以补短。各位，我移向过来一个，我，是不是？我想证明一加二等于三，我也可以证明三减一等于二啊。哦，那从长的里面砍掉一段短的，这就叫什么？ 就叫做截长。所以无论你是已知一加二得三，还是要求一加二得三，截长补短都是你一个必备的全等辅助线技巧。好，那既然我们知道这个了，各位，咱们这道题另外的方法又来了啊，一起来看 说，你想证明一边长加上二边长，那么思路一，哎，我可以在三上这边砍个一吧， 砍完以后结合其他条件，还是证明刚刚那个全能吧。然后这边是等幺，对吗？那有同学就要说了，哎，老师，我就不先砍那边，我先砍这边得二行不行？我做一个 c d， 一 撇得 c d 行不行？ 各位，你是一百零八度大的，是等幺小角三十六，那我只要把它做一个，等幺连上以后， 你顶角三十六，那底角各得七十二，你是七十二，你隔壁就是一百零八，那么这个时候一百零八跟我这一百零八是不是相等啊？不仅如此，角分线角是不是相等，公共边是不是相等？所以 a a s a a s， 三角形一样全等。 也就是说，我不仅三可以结一，三还可以结二，又多了一种方法。当然，这道题如果你先进行补短，你先让一加二，是不是也可以证明啊？所以到此，大家逆向思维我又打通了，但是所有的粉丝朋友们，你们都别着急， 因为全能辅助线啊。我们在学习研究的时候是有这样几重境界的，第一个可能我们认为是学渣的感觉， 如果你十二能做出来，十二做不来呢？那可能还是学弱啊。普娃是至少有一种方法，很多种方法的时候，恭喜你，你已经是学霸了，但是你距离最顶级的学神还差一个层次，真正的神，他能够体会出 这各种方法中细微差别。画家说他能在众多方法中瞬间找到最简单的一个，其实这种境界并不难，我启发一下你，你也能做到。老毕来启发大家，啥？你说有没有一种方法既跟我这个已知条件有关系，又跟我这个结论有关系 啊？大家来看啊，我再重复一下啊，如果是根据角分线做弧线呢？一截二垂三线长，如果是根据结论做角分线呢？那就是截长补短，这里面有哪个字是重复的， 是不是就是一截中的截和截长中的截啊？所以这道题你只要敢在这上截相等，那既能用到我这个条件，又能够符合你那个结论。这个方法一定是众多方法中 最简单那个，也就是毕老师第一个给大家讲那个方法。当你一个题能有 n 多种方法，并且能在 n 多种方法中瞬间找到最简单的一个的时候， 各位，你的全能辅助线已经融会贯通了，但万丈高楼平地起， 整分线怎么做？截长不短怎么做？你都已经了然于胸了吗？如果还没有，在毕家军的培养计划中，我们都给大家准备好了。想要了解的家长可以下方评论区留言，或者直接私信联系老毕。
278跟着毕老师学数学
03:11查看AI文稿AI文稿家长们好，我是教了六年初中数学的熊老师。最近呢，很多初二的家长问我，孩子前面的基础题都可以做对，但是一到二十三，二十四题他就崩盘了，这个数学要怎么样突破这个一百零五到一百一十分？好，那今天呢，我就用两分钟给大家一套能够落地的，并且能够提分快的一个终极方案。 首先第一点啊，大家都要明白，地基不牢的话，那我们基础肯定是白搭的。初二的二十三题，二十四题，他难，不是说题目真的非常难，而是说你的基础没有做到那么牢固。 那孩子要做到三点啊，第一个计算，你必须得是零失误的，像整式、分式解方程，每天呢，如果孩子有问题，一定每天做到十分钟的限时练啊，错一道，你要给他发一组，保证他能够全部都做对。 那么第二点呢，定力我们都是必须要脱口而出的，像全等的五种判定，平行四边形的性质，中位线，勾股定律这些不背熟的话，你的辅助线肯定永远都是画不出来的。然后像对角互补模型， 手拉手模型，这些都是我们必须得掌握到的啊。好，第三个基础题呢，你要秒做出来，选择填空前十题啊，解答的前四题必须又快又准，给压轴题呢，要留出充足的时间出来。 那么做好了以上呢，我们就是要开始第二步了，专攻二十三题的几何模型，死磕辅助线的模，死磕辅助线的模型了啊， 二十三题，我们心中要做到，他肯定是要考全等，折叠旋转最直的那核心就是一句话，缺什么你就补什么，我总结了几个比较常考的，也是万能的模型，像背长中线，截长补短，做平行线，做垂线， 折叠找边，旋转找角，终点呢，连中位线，不要忽略了斜中线啊，角平分线，你要做垂线啊，必要的时候也可以截长补短。那搞清楚这一些，你每周必须最少做三道真题啊，不求多，但是要彻底吃透。每道题做完了呢，必须要搞清楚，最好在旁边备注一下本题用了什么辅助线模型。 那么第三呢，搞定二十四题的待解综合，就要抓住分类讨论了。二十四题，考坐标，考面积，考动点，考存在性，它其实最大的坑呢，还是在于漏解了。所以说，当我们看到等腰直角点在直线上这些地方的时候，这些题眼的时候， 立刻就要想到多节了。那训练的重点我们可以放在什么地方呢？第一个面积问题，记住割补法是万能钥匙，但是必要的时候利用铅锤，然后转移线段，其实都是很好用的方法。第二就是存在性问题，等腰直角平行四边形分类讨论啊，我们要做到不重不漏。那么第三呢，就是你 计算了还是计算，必须要做到满分，步骤写完整啊，千万不要因为抄错题而丢分了。那最后呢，老师给到你几组 提分的一个规划，大家根据自己的需要照做就可以了。第一期呢，还是要狂补计算和定力，打牢基础。那么做好了第一期，第二期你就专攻二十三题，建立结合错题本总结辅助线啊，这个是非常重要的一步，因为他到初三的时候也是可以用起来的。 第三期呢，就是要专攻二十四题了，专项突破，分类讨论和计算，尤其要训练自己分类讨论的这样的一个思路啊以及思维。 第四期呢，就是要限时套卷训练了，整理错题，形成你的肌肉记忆。那么搞定了以上二十三题，二十四题其实就是帮助你突破一百一十分的一个最大的敲门砖了。
222熊老师本地数学
00:42查看AI文稿AI文稿刷题越多的孩子越学不好数学几何，我从来不让学生靠刷题去学几何，尤其是辅助线问题。为什么？因为孩子差的根本不是几何题的刷题量，是不知道辅助线背后的规律。如果你把所有的辅助线题目放在一起，去找这些题目的共同点，你会发现不同题 幕中的辅助线思路，归根结底用的都是同一种逻辑。孩子只有真正掌握了辅助线背后的底层逻辑，辅助线才能真正做到不丢分。现在我把给学生整理好的辅助线全部 典型题，加上已经整理好的通用规律，全部打包在一起，分享给各位家长，拿回去给孩子打印出来，学会了，再也不在这上面丢分，数学找老钱，进步会很甜！
109老咸讲数学思维
