二次函数平行四边形存在性问题
二次函数压轴题不会做斗地主搞定平行四边形存在性，给我们一个二函数与 y 轴、 x 轴交易固定的 ab 两点点批在对称轴上运动，点 q 在抛线上运动， apbq 为平行四边形时，求点 q 的坐标。这里我们要用到一个斗地主法则， 那么这种方法的原理呢？实际上是终点坐标公式，平行四边形的对角线互相平分，因此对角线的焦点既是 pq 的终点，也是 ab 的终点。 根据终点坐标公式，终点的横坐标等于 a、 b 两点的横坐标相加除以二，也等于 pq 两点的横坐标相加除以二。接下来我们只需要做的就是斗地主 让 a、 b 再对角，让 a、 p 再对角，让 a、 q 再对角，然后就分别求出这三个答案。这四个点中有三个点的横坐标是已知的， 分别是零、一、三。下面我们就要来斗地主，第一个零当地主，那么三加一减零等于四，第二以一当地主， 那就是三加零减一等于二比三当地主，那就是一加零减三等于负二，这三个点就是点 q 的横坐标。我们把这三个点分别带入抛线的解析式中，即可求出点 q 的纵坐标。
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07:51查看AI文稿AI文稿二次函数存在性问题最近啊，有很多同学私信小杨老师说能不能讲一下考试的压轴题呢，总是会考到 ok， 今天他就来了，先选其中四边形的存在性之手，平行四边形教你一个方法彻底搞定！ 首先来看一下什么是平行四边形的存在性问题，如图，如果你以后在考试的时候看到以点 b、 e、 pq 为顶点的四边形为平行四边形啊，存在求出点坐标 这种类型的，他就叫做平行四边形的存在性问题。今天我们所讲的方法，能够帮助你求解出所有的平行四边形存在性问题，而且非常非常的简单，还是一样看一 模型的构建。平行四边形的存在性问题呢？把它单独拿出来放到平面照做标系里面 abcd。 大家观察这个平行四边形，除了边对边相等，对角相等之外，他还有一个什么特征？ 对对角线是互相平分的，把 ac 和 bd 连起来， 他们会同时相交于一点，就是一点。这个一点的话，他的表示方法有几种， 有两种，注意哦，可以既用 ac 表示，也可以用 bd 表示，如果用 ac 表示的话，那就用 ac 的终点呗。如果是 bd 表示的话，那就是 bd 的终点。 最核心点是什么？终点坐标公示同学们，解决平行四边形存在性问题的核心关键就是我刚刚说的几个字叫终点坐标公示。现在来表示一下一点，先用 ac 来表示， 是二分之 x 一加上 x 三，逗号二分之 y 一加上 y 三，这是 ac 的终点。再用 b、 d 的终点，他又可以表示二分之 x 二加上 x 四，逗号 二分之外二加上外四。同学们，这两个是不同一个点啊，那既然是同一个点的话，咱们就直接让他相等不就完了吗？所以直接就得到这样一个 是字，横坐标和横坐标相等。纵坐标和纵坐标相等，但又因为他们都有二，太麻烦了，直接把二削掉，就变成 x 一加上 x 三等于 x 二加 x 四， y 一加 y 三等于 y， 二加 y 四。观察一下，其实就是他 对角线上两个点的横坐标相加，这和是相等。比如说 ac 的横坐标相加，就等于 b d 的这个横坐标相加， 然后 ac 的重左边相加，又等于 b d 的重左边相加。总结一下，它其实就是横加横等于另外一个横加横，重加重等于另外一个重加重。 好，那这种题目的做题步骤想老师也给大家总结一下，第一步，一定要把点坐标射出来，你没有点坐标就没有办法弄的， 那有的时候我不知道点坐标的话，你就自己设个未知数就好了。第二个，按照对角线进行分类讨论，因为对角线是我们解决这一类题目的核心关键点，对角线啊。再来，烈士相等，烈士相等，我刚刚说 用什么烈士的对中点坐标公示，用中点坐标公示来烈士求解即可。现在这个方法呢，我已经给大家讲了，来看一下题目，秒杀一下。 首先这里的话，第一问呢，还是一样的老规矩，把第一问的式子呢，直接给大家写下来， y 等于负 x， 方加五， x 加六。好，接着来看一下第二问，刚刚已经说过了，它是一个平行四边形，存在性问题。 按照我们刚的做题步骤，第一步，射点坐标，这里有几个点，坐标是 b、 e、 p、 q， 那先来看看这里面的点坐标有没有知道的，比如说 b 点，知道了六零 好，再来看一点呢？一点在哪里呢？他说一点的横坐标是二分之三，因为他在抛物线上吗？刚刚抛物线也有了，所以这个一点就有了二分之三，逗号带进去是四分之四十五。 再来看屁点，屁点是抛物线对称轴上的一点，但并没有说具体是哪一点，所以屁点的横坐标就是知道的二分之五，但是纵阻标不确定，设为 t 好。还有一个 q 点， q 点他， 他说只是在一个普通的抛线上的一点，所以直接射出来 q 点，横坐标不知道 m 纵左标就是负 m 方加上五， m 加六。射出来了之后，到了第二步，按对角线进行分类讨论，分类一下， 这四个点谁都有可能成为对角线是不是？那你就认定一个点啊，去讨论。第一种，如果说 b 和 pq 对角线，就他们两个是对角线的话，横加横是不等于另外一个横加横。好想让老子列式子啊。六加 二分之三等于二分之五加 m， 这是第一种。第二种是四分之四十五，零加四分之四十五，等于 t 加上一个负 m 方加上五， m 加六。朋友们看，其实像这种题目呢，你做题的时候还有一点小技巧，当你练出来这个式子之后，他是只让你求 q 的坐标，而 q 的坐标只和 m 相关。 其实你第二个纵多标加纵多标等于另外一个纵加纵的时候，那个可以不用写，因为你只需要把 m 求出来就可以了。第一个是子， m 是笔就已经出来了，所以直接求出来， m 等于五， q 一就等于五，逗号六，这是第一个 b e 和 pq 为对角线的时候再来第二个 b e 合并过了，再来 bp 和 eq， 他们两个人也可能为对角线。那我刚刚说直接列 第一个是就行了，因为这道题目他没有让你求屁，所以就可以不用练，很多题目都是让你求两个点的，就都要练啊。那直接就是二分之五 加六等于 m 加二分之三。好吧， m 求出来， m 就等于七， q 二就等于七，逗号腐败。第三种，以 bqep 为对角线， 三， 还是跟刚刚一样，横加横等于另外一个横加横，那就可以了， bq 就是六加 m 等于 ep 的横加横，二分之三加上二分之五。好， m 有轻松出来了，就等于负二，求出来第三个点， q 三横坐标是负二，纵坐标是 负八。同学们来看一下。这样子我们就把三种情况都讨论出来了，这个就是平行四边形的存在性问题，你学会了吗？
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01:43查看AI文稿AI文稿一道复杂的压轴题，怎么一分钟解决？学会这个结论就够了。已知抛物线解析式， e 是对称轴上的动点， f 是抛物线上的动点，当 a、 c、 e、 f 构成平行四边形时，求 f 点的坐标。 用常规方法做，需要结合图像构造全等三角形比较复杂，但用了这个结论就可以不看图，不做辅助线，甚至不计算就解决问题。 假设四边形 abcd 是平面内的一个平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，那这个点 o 就即是 ac 终点又是 bd 终点，换句话说， ac 和 bd 的终点是同一个点。 然后我们利用终点公式就得到了这样两个等式，不知道终点公式的话，可以看我前面的视频，然后把这两个式子 化解，就得到了这个结论。接下来我们就用这个结论解决这道题。首先根据已知的解析，是可以得到平行四边形 efc 的其中两个顶点坐标 a 点坐标三，逗号零。 c 点坐标零，逗号三。 由于点一是对称轴上的动点，所以设一点坐标是移动号 a， f 是抛物线上的动点，所以设 f 点，坐标 b， 逗号复辟方加二， b 加三。然后我们根据刚才的结论列方程。 在列方程之前还有一点需要注意，题目只说了 ac 是边，并没有说 a 和 e 相对还是和也相对， 也就是说图像还有一种可能是这样的，因此我们就要分类讨论。第一种情况，如果 ea 相对， cs 相对，那就这样做。第二种情况，如果 ec 相对， as 相对，那就这样做，轻松搞定。
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08:26查看AI文稿AI文稿如果你学会这个方法，解决二次函数压轴题平行四边形存在性问题，其实非常非常的简单。那么这个方法是什么呢？就是一定要掌握终点坐标公式， 这个终点坐标公式啊，给定你任意的一个点， x 一 y 一和 x 二呢？ y 二，那么它的终终点呢？坐标公式就是什么？横坐标之和除以二，纵坐标之和除以二，也就是后面这一个点。 说说来讲啊，我们利用这个终点坐标公式啊，可以解决我们平时视频这种存在性问题，非常的简单高效。那么关于这个终点坐标公式的来历来讲，我们在前面的视频呢，详细给大家证明过。那么不会的呀，我们可以观看前面的视频。 那么已知如果说是一个平行四边形，我们知道呢，对角线一定是要相互平分的，那么 a c 和 b d 就应该是相互平分。我们假设呢，这个中间的这个焦点为 o， 我们可以得到对应的，那就是 o a 是等于 o c， o b 等于 o d， 那么 o 点呢？就应该是这个 a c 中点也是 b d 中。 那我们此时呢，用 a c， b d 它们的坐标就可以表示出这个焦点的坐标。我们假设 a 点的坐标啊，就是 x a 和 y a， 那这样的话来讲呢，我们 c 点坐标是 x c 和 y c， 那这样的话来讲呢， o 点的坐标我们就可以表示。来利用终点坐标公式，那就是 a 点的横坐标加上 c 点的横坐标之和除以二，那么也就是 o 点的横坐标就应该是二分之 x a 加上 x a， 同样的道理，那么 o 点呢？也是 b d 的重点。那这样的话来讲，我们也可以写成二分之 x， b 加上 x， d。 所以说来讲，我们就可以得到这样一个等式。分母都为二，我们可以把它约去。这样的话就可以得到一个等式，那就是 a 点的和 c 点的横坐标之和，等于 b 点和 d 点的横坐标之和。也就是说对折的这个对角线上面的两个端点的横坐标之和，等于另外一条对角线，这两个端点 两横坐标之后。那么同样的道理啊，众坐标之后也成立。所以说我们在解决平行四边形这类问题的时候，我们就要一定要学会利用好这个中点坐标公式。也就是这个结论，大家一定要看清楚了，是对角线上的这两个端点啊。好，接下来之后呢，掌握这个方法之后呢，我们解决这个呃压轴题的话，一定要注意我们数学思想， 那常见的就是一个分类讨论和一个塑形接口。我们看一下下面这个立体如何来应用。这是一个抛物线，这个 p 点在对称轴上，对称轴是 x， 等于三分之五 q 点呢，在抛物线上面，那应该是这样运动， 这个时候告诉你 m、 n、 p、 q， 然后这四点呢构成了一个平行四边形。这个时候我们会发现呢，你看他没有给你写成什么， m、 n、 p、 q 看见没有，他只跟你说了是什么。这四个点构成了一个平行四边形。所以此时我们就应该进行分类讨论。因为我们不知道这里面呢 m、 n 是边长，然后呢这个还是对角线， 也不知道这个皮扣是边长还是对角线。所以这个时候我们就要进行分类讨论，你看这就是这一类的，一定要注意分类讨论，他考察的是我们数学的思想对吧？那么另外一个来讲啊，就是一定要结合这个图形，在图形上来观察一下这个点在哪里运动，大概长什么样子，对不对，这叫什么塑形结合，一定要学会这两种数学思想， 然后掌握掌握这面三上面这个方法。那这样的话来讲呢，在解决这一类的问题来讲，基本上就是游刃有余。好，我们一起来分析一下具体来操作。 这个 n 点和 m 点呢，是一个定点，那既然是定点的话，那 m n 肯定就是个定长对吧？那 m n 是个定长的话，那这条边长的话， 在四边形中是不是有可能作为边长，四边形的边长，也有可能作为平行四边形的一个对角线。所以说此时我们自然的就应该把这个 m 连起来。这个时候进行什么分类讨论，分两种情况对吧？刚才我们分析了，那就第一种情况，那就是 m n 是不是为边长的时候，为边， 那么第二类来讲，那就是 m n 是不是为对角线的时候，为平行四边形的对角线的时候。所以说我们就要分这两个大类。好，接下来之后呢，我们一起来分析一下 第一种情况，那么 m 如果是正方形的边长，那既然是边长的话，那另外一个边长就应该是 p q， p q 的话，我们来看一下，那 p q 还是 q p 呢？这个时候其实也不知道，所以这个时候来讲也应该分情况讨论，听清楚啊。所以这个来讲呢，因为 p o q 的顺序我们也不知道，那这个时候来讲，我们来看一下，假如说是 p q， 那这样的话来讲啊，那这个图是不是应该大概是长这个样子，你看这是 p 点，这是 q 点对吧？应该是长这个样子，平行呢，且相等，所以说我们可以把这个图案可以给他画出来，那大概应该是长这个样子。 那假如这个就是 q 一，这个就是 p 一对吧。那么此时呢，这个 p q 就是作为我们呢这个平行四边的 一个边长。那么还有一种情况来讲，是不是就是 qp 作为这个平时边的边长，一定要注意这个顺序，一定要分类讨论啊，分类讨论。那么 qp 作为这个边长的话来讲呢，这个时候我们这个顺序啊，然后那有可能这个 q 点呢，就应该在左边应该长这个样子对吧？所以我们呢可以把这个边长可以给他画出来， 那大概应该是长这个样子。我们假设来这个点呢，就应该是 p 二点，那这个点就应该是 q 二。好，这两种情况我们分析完了之后呢，这个就是以 m n 为边长，这个时候啊，应该是有两种情况。 好了，第二大类，那就是 m n 为对角线的时候，那么 m n 为对角线，这两个顶这两个点呢，是定点，那么它们的终点呢？一定是一个定点。 那这个时候来讲，我们要找的是 m 为对角线，找对角线的时候一定要注意要找终点。那这样的话来讲，另外一个 ip 和 q 是不是应该是一定是过这个终点的。所以说来讲，我们可以啊大概把这个图像大概画出来，那 这个应该是过终点，大概可能是长这个样子。我们假设这个点呢，就假设这个点呢，就应该是 p 三， 上面这个点呢，是 q 三。好，这种情况来讲就是什么？就是 m n 为对角线的时候，一定要过终点，那就是 p 和 q 大概长这个样子。 那你说有没有可能这个 p 在上方， q 在下方呢，这个也有可能呢，大可能是长这个样子，也有可能呢，但是这个图形上来讲呢，我们具体可以把它算出来是多少就是多少啊。说这个呢，谁在上方谁在下方来讲啊，都是有可能的。好，接下来之后呢，我们一起来算一下这个具体怎么来列式子。 好了，第一步啊，我们看第一种情况，那就是 m n 和这个 p e q e 这种情况。好，具体我们来看就是用我们上面这个方法怎么来利用求点 q 的坐标。好了，这个时候你看这个视频，视频长这个样子，我们就要利用刚才讲的这个对折的这两个顶点的横坐标之和，之和 和等于另外呀，两个对折的这两个顶点之和横坐标之和对吧。说出来讲，我们直接就可以写出对应的这个点的横坐标，这个应该是 x n， 再加上了 x q e， 就应该等于 x p e 再加上了 x m 对吧？横坐标之和。我们来看一下 这两个点横坐标之和等于呢这两个点的横坐标之和对吧。好，接下来之后呢，我们看一下 n 点坐标是知道的，这个 p 一点的这个横坐标也是知道的， m 点的这个横坐标也是知道的。那换句话说，这个 q 一的横坐标是不是秒杀 直接口算就可以算出来，那么他的横坐标算出来呢？我想问一下，你要求他的坐标重坐标能算吗？因为这是一个抛物线，是不是直接带到这个抛物线解析室里面来，就可以算出这个 q 点的重坐标。所以这个第一类以下就可以算出来，你看见没有？你掌握这个方法，这种非常简单啊，三十秒就能出答案。好，那么第二种情况来讲呢，就是这种对吧？那这种的话，我们注意观察， 他就应该是长这个图形，长这个样子，找对折这两个点点，他们的横坐标之和，那就是 n 点和 p 二，我们把它写出来，那就应该是 x n， 再加上呢 x p 二，就应该等于呢 x q 二， 再加上 x m。 好，这一个等式里面来讲啊，我们会发现 m 是知道的，这个呀， p 二也是知道的。然后呢， n 点的横坐标也是知道的，那 x q 二的横坐标也一定能算出来。然后用同样的方法，那么众坐标也可以解出来。 好了，第二大类，那就是 m 为对角线的时候，这个是我们注意观察一下， m 为对角线呢，还是一样的。刚才你看这两个定点呢，它的横坐标之和就应该等于 p 点和 q 点的横坐标之和。好，我们把它写出来， 那就应该是 x m， 再加上 x n， 就应该等于 x p 三，再加 x q 三。好了，这个时候我们注意分析一下，你看啊， m n， m n 这个横竖表白都是知道的， p 掉 横坐标也是知道的。换句话说，这个 q 三的这个横坐标是不是也是一个定值，看见没有，是一个定值，所以说来讲啊，这个 q 三只有一个值，因为这个点呢，它实际上的横坐标确定了之后，这个 q 三的横坐标它就确定了。 q 三的横坐标确定了，那么这个在抛物线上运动，那这个 q 三的重坐标也就确定了。所以这个 q 三 就只在这个地方，只有一种情况啊，只有一种情况，所以就没有刚才我们说的这个的话， p 在上方，然后扣在下方这种情况。那么最终总结出来。然后啊，我们求客人坐标，就这分成两大类进行分类讨论。 然后呢，我们每一种啊求的时候，利用我们上上面讲的这个对应的这个方法，那就是直接利用啊这个对角线上的这两个端点的横竖标之和相等， 那么这样建立一个方程，建立方程之后啊，我们就可以求出对应的这个横坐标，然后再带入到这个抛物线解析式，直接就可以求出送坐标。说像这一类的，你只要掌握这个方法，其实说简单一点，真的非常非常的简单。希望大家的话多去揣摩一下我们常见的一些分类讨论和书心结合。
598中考数学大熊
12:06查看AI文稿AI文稿二二年中考有八个省份都考察到了拼音思维你的存在性问题，那今天二二中教大家一个大招，这是一个解题模板，你只需要像背英语作为模板一样，你把这个模板背下来以后，我们就可以直接秒杀这一类压轴题的。 那我们现在来看一下这一道点例啊，我们扫一点这个题干，其实你就已经知道它是属于拼 inspect 你的存在性问题，对吧？因为它题干到最后就直接问 是否在平面内存在一个点 g， 使得以 a、 c、 d、 g 这四个点为顶点的四边形是平四边形，那如果存在，让我们去把这个点 g 的坐标给它求出来，对吧？所以扫眼提亮，我们就已经定这个确定了这一类问题的它到底是属于什么问题，那它只要是平行四边形的存在性问题，我们的解题模板到底是什么？第一步， 先把这四个点的坐标给他写出来，如果这个点的坐标明确能求出来，你就求出来， 如果这个点的坐标不知道，那你就必须要把它射出来，能理解吗？那接下来我们的第一步，先把这四个点的坐标给它写出来，那根据题干 a 点的坐标是不是已经给我们了？是一斗零，对吧？然后第二个点我们是不是要去求这个？ 那 a 点的坐标，它已经点我们了，对吧？就是一斗零。然后接下来我们再来看一下它第二个点是不是求点 c， 那点 c 是怎么产生的？题干说是抛物线与 y 轴相交产生的， 那抛物线与外轴的焦点坐标是不是就直接令这个点的 x 为零，对吧？我们带入到抛物线表达式里面，是不是可以算出来 y 等于四？所以这样的话，我们是不是可以直接得到这个 c c 点的坐标，也就是零到四？再往后我们去求这个点地的坐标，点地是怎么产生的？是这条直线和抛 抛线的对称轴相交产生的。那你是不是先抛线的表达是已经给我们了，我们可以先把这个抛线的对称轴给他求出来，对吧？ x 等于负二，一分之 b， 我们带进去可以很快的解出来这个抛线对称轴，就是 x 等于负二分之三，对吧？也就意味着这个点 d 他的横坐标已经出来了， 就是负二分之三。逗号，纵坐标是多少？纵坐标怎么来求啊？横坐标都知道了，这个点 d 是不是又在这一条直线上？所以我们把负二分之三直接带入直线的表达式里边去，我们可以直接解出来他的 y 应该是等于多少， 应该是等于二，对吧？你可以自己带进去算一下哈。然后最后我们是不是要去看这个点记的坐标到底是多少？那因为题干说了，点记是在平面内，到底在平面什么位置我们完全不知道，所以我们只能怎么办？把点记的坐标给他设出来，对吧？那我们不妨设这 这个点记很重要，也不知道，重多也不知道，所以意味着我们要引入两个位置数 m， o， n， 对吧？所以现在相当于我们引进了两个位置数，那这样的话你的第一步就完成了，所以 ps v i 显示存在性问题很简单，第一步，先把四个点的坐标给他写出来，不知道的点就给他设出来，然后再接下来第二步，干嘛？分类讨论。 这个分类讨论是什么意思？你直接画一个平行四边形，哎？你直接画一个平行四边形，这四个点到底是这平行四边形对应的哪四个点，你是不是现在不知道，对吧？那我们的方法是什么？到底怎么去分类讨论呢？你从这四个点里边随意的抽出两个点， 随便你取两个点，一般情况下，我们是在这四个点里边选择两个定点，对吧？你比如说现在是定点，是不是 a 点是固定不动的点， c 点也是固定不动的， d 是不是也是固定不动的？我们这三个点当中，你任取两个点都可以啊，比如说我就选择这个 a、 c， 可以吧？那 a、 c 这两点抽取出来之后干嘛呢？我问你啊，这两个点它构成的线段到底是这个平行四边形的边还是对角线，你知道吗？你是不是不知道，对吧？因为 a、 c 到底在哪我们都不知道，对吧？所以我们的分类讨论很简单上来，如果 a、 c 是对角线， 对吧？那你说另外一条对角线剩下来的两个点， a 点和 c 点已经在对角线的这两个点了，那你剩下来两个点铁定了一个是 d， 一个是 g 吗？对吧？我们都不用去管到底哪个是 d， 哪个是 g， 因为我知道另外一条对角线一定是 dg， 对吧？那里的第一种情况就已经出来了。 然后再接下来第二种情况，刚才我们是不是把 a、 c 作为对角线去讨论的，对吧？那剩下来一条对角线就是 d g 嘛？那现在 a c 有可能是对角线， a c 也有可能是边呀，对吧？那如果 a c 是边的话，我问你，你说这个点对应的 到底是点 d 还是点 g， 你知道吗？如果这个点对应的是点 d， 对角线是不是就是 a d， 那这个点是不是就一定是点 g， 对吧？但是如果这一个点它对应的 是点 g， 那左边这个点是不是就是点 d， 对吧？那这个时候对角线是不是 a g 和 c d 了？现在是不是 a d 和 c g， 对吧？所以这样的话，你的三种分裂讨论的结果就已经全部出来了，所以很简单，我们现在再来回忆一下，就我们讲完一道题，你一定要把这道题听透，对吧？我们的分裂讨论方法是什么？ 平行四边形的存在性问题，他就三种情况，这三种情况怎么来讨论？第一步，你是不是把四个点的坐标都写出来了？第二步，你直接画三个平行四边形，哎，你就像我这样竖着给他罗列下来，然后呢？你从这四个点里面是不是抽取出来两个定点，对吧？这两个定点构成的线段到 是对角线还是边？我不知道，所以我先从对角线开始。如果这两个定点对应的是对角线，那另外一条对角线是不是一定对应的是剩下来两个点，对吧？你的第一种情况结束，然后第二种情况是不是 a c 它是边？ 那这个点对应的有可能是点 d， 也有可能是点 g， 所以你两种情况是不是直接就出来了？所以你的第二步也很简单，对吧？三种情况写出来，然后再接下来第三步，干嘛？一种情况，一种情况分别去进行计算。怎么计算？ 利用平行四边形最最重要的一个性质，我为什么过程当中不停的在提到对角线这三个词，对吧？因为平行四边形是不是有一个性质？它的对角线是互相平分的，对吧？互相平分意味着什么？意味着 a、 c 这个线段的终点和 d、 g 这个线段的终点是不是重合的呀？对吧？这个才叫他们对角线互相 平分，是不是？那这样的话，我们只需要把 ac 这个线段的终点坐标我们给他求出来，可以吧？那 ac 线段的终点坐标应该是多少呀？ a、 c 线段的终点坐标怎么来求一个线段的终点？这是我们前面一个视频一直在说的，你中考压轴题必备的四个公式，对吧？其中第一个公式是不就是终点啊？第二个公式对吧？是不是终点坐标公式啊？任意给你两个点，我们把它写在这里啊？ 任意给你两个点， a x 一到五二一点 b， x 二到五二二。那 a、 b 这个线段它的终点坐标是什么？ 这不就是二分之 x， 一加 x 二，二分之 y， 一加 y 二，对吧？任意给你两个点，我们都可以直接求出来这个线段终点了，所以现在 a 点坐标已经知道了， c 点坐标在这，那你说 a、 c 线段终点 坐标怎么来求？是不是就是二分之 x 一加 x 二，是不是就一加零除以二，是不是就是二分之一？然后他的纵坐标终点的纵坐标是不是二分之 y 一加 y 二，是不是就零加四除以二，是不是就是二，对吧？所以你先把第一条对角线 ac 的这个对角线终点坐标给他求出来，这里应该是 ac， 哈，刚才笔误写错了。 然后第二个，我们是不是把另外一条对角线 d、 g 它的终点我们也给它，坐标也给它写出来？我们还是利用终点坐标公式，对吧？那 d、 g 它的终点横坐标是不是就是二分之 x 一加 x 二，也就是负二分之三加 m， 负二分之三加 m 除以二， 是不是它的横坐标，对吧？然后再接下来我们再去算一下，它的动作标是不是就是二分之 y 一加 y 二，对吧？那二分之 y 一加 y 二是不是就这个 n 加二 再除以二，是不是就二分之 n 加二，对吧？对应的是不是就是这个对角线 d、 g 这两个点的终点坐标？那我们说拼音四边形，它的性质是不是就是对角线互相平分？互相平分就意味着 a、 c 这个终点和 d、 g 这个终点是重合的，那也就是说我们求出来的这两个点其实是什么东西？这两个坐标对应的都是同一个点的坐标，是不是 他对应的？既然是同一个点的坐标，是不是就代表他们的横坐标应该对应相等，纵坐标是不是也应该对应相等？这样的话你是不是就直接得到了一个等式啊？是不是有二分之一，应该是等于二分之负二分之三加 m， 纵坐标对应相等，是不是应该有二等于二分之 n 加二。那接下来不就直接去解两个一元一次方程吗？你不就直接把 m 和 n 解出来吗？ n 解出来了不就是这种情况对应的这个点记的坐标吗？不是直接结束了吗？对吧？第一种情况结束，接下来我们再来看 下第二种情况，我们我把这里直接擦掉了，方法一模一样。你说第二种情况是不是还是利用对角线互相平分？所以你先去求 a、 d 终点，再去求 g、 c 终点，对吧？所以我们去求一下这个 a、 d 它的终点是不是还是利用终点坐标公式？那现在 a 点是它， d 点是它，对吧？所以它的横坐标是不是就二分之 x？ 一加 x 是不是就一加负二分之三再除以二？除以二，千万不要丢啊，对吧？一加负二分之三，是不是负二分之一再除以二，是不是负四分之一？ 纵坐标是不是二分之 y 加 y 二？要看清楚，现在是 a、 d、 a、 d 的终点，对吧？是这两个点，所以 y 一加 y， 二再除以二，是不是就是一，对吧？那 a、 d 这条对角线的终点出来了，我们再去求这个 c、 g 它的终点坐标， 横坐标是不是还是一样的？ c 点在这， g 点在这，它的横坐标是不是二分之 x？ 一加 x， 也就是二 分之 m 加零，是不是就二分之 m？ 送坐标是不是就二分之 y 加 y， 是不就四加 n 除以二，对吧？是不是就二分之四加 n？ 那这样的话，是不是就把这两条对角线的终点坐标是不是全都写出来了？那还是如果他是一个平行四边形，那他的对角线一定是互相平分的， 所以这两个线段的终点是同一个点，是不就意味着你求出来的这两个线段终点坐标对应的是同一个点的坐标，所以他们俩表示的是同一个东西，对吧？那是不是就意味着横坐标应该对应相等，重坐标应该对应相等？你是不是还是一样的得到了两个等式？ 第一个等式是不是就是负四分之一等于二分之 m， 第二个等式是就是一等于二分之四加，那接下来不是一样的吗？你直接去解两个一元一次方程，把 mn 解出来，第二种情况对应的这个积点的坐标是不是也出来？那第三种情况不用我说了吧？是不是直接你先利用 ag 把这个线段终点坐标求出来， 再把 cd 装点坐标求出来，然后横坐坐标分别相等，是不是直接把解两个一元一次方程，直接把 m n 解出来，这样的话整个这道题结束做完了，怎么样？这个就是阿强跟你说的平易斯单写问题，他的解题模板就是这个，你就把这个三步模板背下来就可以了。我们再来提炼一下三步模板是什么样？ 我们在那个亚洲有大招里面其实是有完完整整的过程的。他的解题模板第一步是什么？就是你把所有点的坐标，对吧？我们这里都有啊，这道点例他完完整整解答过程啊， 他的第一步就是把所有点的坐标全部写出来，对吧？然后第二步干嘛分类讨论三种情况，很简单，三个拼音四边形，先竖着给他写出来，然后选出其中两个点，这两个点是对角线。讨论意思，这两个点如果是其中一个边，这个点对应的有可能是这个。我们刚刚是不是说有可能是点 d， 这个点对， 也可能是点记，是不是三种情况很快可以写出来三种情况只要出来了，那最后一步更简单，是不是分别把 这拼音四边形三种情况对应的这个对角线，对吧？终点坐标全都给他求出来，然后这两个线段的终点对应的是同一个点，对吧？所以你求出来两个坐标，他是同一个东西，所以横坐标对应相等，纵坐标对应相等，是不是就可以直接把拼音四边形的问题直接 结束了？这个就是大招我说的解题模板，所以在中考里面他就是这样，有一些题目他真的是有模板的，你只需要把模板背下来这一类问题就可以直接秒杀的。所以接下来你去看我，我刚有说过吗？ 这个二二年有八个省份都考到了，对吧？都考到了。 pensen 问题啊，大家可能在想到底是哪八个省份，对吧？我跟你说东北三省内蒙古，哦，应该是九个省份，对吧？东北三省内蒙古，然后什么贵州，湖南，四川啊，还有哪个什么我忘了，反正都考到了， 可以自己去看一下啊。那这个二二年辽宁中考的真题，然后第三问，我直接把最难的那个第三问拿出来了，你看他是不是考察的就是扫眼题干，就知道他是拼音三型的存在问题， 对吧？然后让我们去求这个点 q 的坐标怎么来求？你就按照我刚跟你说的方法，那个模板你自己去试一下。好吧，如果不好用你过来找我。那今天拼音四边形存在性问题，他的解题大招我已经教给你了。那我们下个视频再见哦，拜拜。
1713二师兄讲数学（非直播号）
02:11查看AI文稿AI文稿在数学中考中，函数结合平行四边形存在性问题的解决方法考法二已知三定点要确定平行四边形 主要解题步骤为连接三个定点构成三角形，再分别过这三个定点做其对边的平行线，两两相交的焦点即为平行四边形的第四个定点。 我们还是以这道中考一模题为例。图中点 a、 点 o 和点 c 为三个定点，要确定在坐标系内能使四边形 a、 o、 c、 m 为平行四边形的第四个定点坐标。 按上述步骤，首先连接三定点 a、 o、 c 构成三角形， a、 o、 c 分别过三个顶点做其对边的平行线 l 一、 l 二和 l 三，而这三条直线两两相交的三个焦点即为我。 我们要确定平行四边形的第四个顶点 m， 再根据对应边上对应点之间的平易关系和距离关系，得到点 m 的具体坐标。 而在答题书写时，可按三定点各自的对边不同来进行分类讨论，或仍按 ac 为边及 ac 为对角线的情况来进行分类，避免遗漏。 考法三已知一定点要确定平行四边形遇到这类题目，需要我们仔细审题，通过分析发现题中隐藏条件，从而挖掘转化出第二个定点 或其中两动点之间的联动关系、等量关系，使两动点的点坐标可用含有同一个参数的代数式来表示，最终将一定化为两定，将三动化为两动或联动，再使用说过的方法一、方法二来解决问题。就像这道中考 第三问看起来点 p、 m、 m 是三个未知点，但经过审题，我们可以发现点 p 的位置符合第二问中的条件，即此时 p 为定点，那题目又变成了已知两定点。要确定平行四边形的问题。 特别要注意的是，在直线平移后确定对应点的点坐标或找联动关系时，我们要善于利用两直线平行依次向习数 k 相等的结论。学习的本质是思考，做题的精华是总结。
948自主学习戴
05:33查看AI文稿AI文稿大家好，我是三观比五官更正，思想比套路更深的小风老师。今天小风老师要给大家继续带来的是我们二次函数压轴八大考点第十五集， 今天我们要分享的几何存在性问题是有关于平行四边形的，那我们来看如果在四边形里面出现了几何存在性问题，我们应该怎么样去解决？我们先来看这道题， 他说若剖腹线的几期试试， y 等于 f 平方减二十四加三。现在问我们坐标平面内是否存在一点 p， 使得我们的 p a、 b、 c 为顶点的四边形是一个平行四边形？好，然后让我们求出 p 点的坐标， 那我们是不是要先把 abc 三个点的坐标求出来？那？因为抛物线的形式是知道的，所以说 abc 都可以求出来。 a 点我们坐标求出来是一斗零，然后 b 点坐标求出来是 扶三斗领，然后 c 点坐标我们求出来是零斗三，而 p 点不知道，但是他告诉我们是在皮面内扔一点，所以说我把 p 点的坐标设为 m 斗 n， ok， 那这四个点的坐标是不是就都出来了？今天小吴老师就要教会大家一个极其巧妙的方法，可以解决这一类平行四边形存在性问题。 那什么方法啊？你甚至都不需要画图，我们就可以把这道题解决掉哇。但是我们在解决这道题之前，你需要先来熟悉一下平行四边形的性质，我们先画一个平行四边形出来，画出来了之后，然后我们把他的对角线给他连接起来。 我们知道平行四边形关于对角线的性质是什么？是不是两条对角线相互平分？对不对？那就意味着他们的焦点欧点是不是既是 达 f 的终点，也是一级的终点？那现在在我们的平面主要坐标系当中，我就可以用什么就可以用终点坐标公式把欧点表示出来，那欧点是达 f 的终点，我就可以表示为二分之 x， 达加上 xf， 对不对？然后斗二分之 y 搭 加上 yf， 看到没有？这就是我们的终点坐标公式，那同样 o 点是不是也是一 g 的终点？所以说同样我们还可以表示为二分之 x 一加 x g， 好，然后斗二分之 y 一加上 y g， 那这两个是不是都是表示 o 点？那我们就可以怎么样对应相等？那 x 部分是不是跟 x 部分相等？ y 部分是不是跟 y 部分相等？好，那我们就可以列出等式来，因为都除了二，所以说 两边同时乘个二，就可以把二抵消掉，那我们就可以得到一个怎样的等式？我们就可以得到 x 八加 x f， 它是等于什么的？这是不是等于 x 一加 x 七， 而 y 也是同样的， y 搭加 y f， 他是不是就应该等于 y 一加 y g？ 看到没有，我们就得到了这样一个等量关系？那么观察一下，是不是就是对角线的两个顶点， 他俩的 x 之和就等于另一组对角线两个顶点的 x 之和 y 是不也是同样的道理？好，那我们把这个原理掌握到了之后，我们再来做这道题就显得轻而易举了，我们就用这个方法。那我们是不是就要以对角线来划分 a 可以和哪些组成对角线是不可以和 b， 还可以和 c， 还可以和 p， 最终没有三种情况， a 分别和这三个点组成对角线的时候，那我们就一种一种来搞定他。 首先当 a、 b、 c、 p 为对角线的时候啊，那这个时候我们就应该是 a 加 b 等于 c 加 p， 对不对？那这个时候我们是不是就可以列出一个方程组， x 一个式子， y 一个式子，那就是 a 和 b 的 x 加在一起，就是一加负三 等于 c 和 p， x 加在一起，零加 m， 那下面是不是 y 也是同样的道理，那就是零加零等于三加 n， 从而我们就可以求出 mn 的值，一个 m 等于负二， n 就等于负三，所以说我们 p 点的坐标就出来了，就是我们要找到第一个 p 点负二的负三，看懂没有？好，那我们继续。当我们以 a 和 b 作为对角线了之后，我们还可以 a、 c， b， c 作为对角线，那就应该是 a 加 c 等于 b 加 p， 同样我们可以利用 x 和 y 去列出一个方程组，那么我们就可以得到一加零等于负三加 m， 然后零加三等于零加 n 啊，从而求出 m 和 n 的值，我们可以得到第二个我们所需要求的 p， 他的坐标为 p 二，我们得到的是四斗三， 看到没有？好。最后我们还剩一种情况， a 分别和 b 和 c 作为对角线之后，我们还有一种，当 a 和 p 作为对角线的时候，那就是 ap 和 bc 为对角线时， 这个时候是不是应该是 a 加 p 啊，等于 b 加 c 的坐标？好，然后我们一样的列出一个方程组， x 一个方程，然后 y 一个方程，我们就可以得到一加 m 等于零加负三，然后零加 n 等于三加零 啊，同样的道理啊，我们把 m 和 n 算出来， m 等于负四， n 等于三。好，然后我们的 p 点就出来了， p 三的坐标就是负四斗三。 那这就是我们所需要的三个 p 点，这三个 p 点都可以和我们的 abc 构成一个平行四边形。那这就是利用我们的对角线相互平分来解决这一类问题。 是不是很简单，都不需要画图，我们就可以轻松找出所有的 p 点。学会了吗？那我们下期再见。拜拜。
224小疯数学
00:13查看AI文稿AI文稿初中数学二十函数是边形问题，建议收藏，不严，耍着耍着就找不到了， 收好下课。
890独立学霸养成记
04:36查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到高老说题。好，我们接着讲这个二次函数压轴题哈。呃，那第二个题呢？第二种考法第有可能是我们当上个视频讲的是什么？是三角形面积的最大值，那 也有可能也有可能考什么？考平行四边形的存在性问题啊啊，甚至特殊平行四边形的存在问题。然后我们这里直接讲一个平行四边形的存在性问题。怎么讲好？ 首先我们先呃举个例子哈，一般全要考呢。比如说他说啊， b 好， c 好， m， q 四点和构成一个什么平行四边形，那么 m 和 q 是哪呢？一般全都会告诉你 m 会在哪上面， m 会在抛物线上面， q 呢？会在什么？会在那个呃对称轴上面。那么这样一个四边形，他说构成一个平行四边形，那么呃，有两个动点，两个定点对吧？这种题呢，我们 很多学生是不容易把那个平行四边形找出来的好。但是啊，遇到这种题呢，老师教你们一个非常简单的方法，直接看动点是谁，定点是谁。首先定点是不是 b 和 c 好，我们首先把 bc 连起来。首先把 bc 连起来。 好，连起来之后哈， bc 是什么？ bc 是一个定点。那我们可以当做第一种情况讨论，当 bc 为 平行四边形的边的时候，哎，当 bc 为平行四边形的边的话，那么 mq， 那自然而然就是 bc 的什么对边对吧？那么他与 bc 一定是什么平行且相等的。那好，那么我们 可以把图画出来，也可以不画出来，也可以画个草图啊。我们画一个草图，假设这是 b， 这是 c， 那这是 m， 这是 q 的话， 那好，我们看一下我们直接做的话是不是很难做？那么可以利用什么？利用对角线，利用对角线互相平分， 对角线互相平分的话，而且他们的终点 bm 重点是不是既是 cq 的终点，那么我们可以利用终点坐标公式列方程。好， m 的坐标我们是不是可以射出来？ q 点坐标是不是同样也能射出来？那么是只有两个位置数对吧？那好，我们可以利用终点坐标公式。好， bm 的终点坐标就是二分之 xb 加上二分加上 xm 等于二分之， xq 加 xc， 这个是两个 重点指标公式是相等的。好，同理。那中坐标是不是也可以二分之 y b 加 y m 等于二分之啊？ y q 加 yc 两个未知数。两个方程是不是直接能够求出 m 点坐标和 q 点坐标？那好好，这是第一种。当 m 在这里， q 在这里的时候对不对？那也有可能 m 在这里， q 在这里啊，是不是？那是不是有可能是啊，这是 b 字 c， 那这是 q， 这是不就是 m？ 好，那么这里是不是 b 和 q 就是对角的， m 和 c 是不是对角？那所以说我们另 用同样的用什么？同样还是用什么终点设备公式。那就是二分之 xb 加上 xq 就等于二分之啊， xc 加上 xm， 那 同样的 y 是不是一样的？二分之 yc 加上 ym 好，那么我们这个是不是当 bc 边的时候就做出来了？那同理，当 bc 为什么对角线的时候是不是啊？好，当 bc 边 还要讨论他为对角线的时候，当他为对角线的时候是不是同样的方法好，对角线的话，那说这个是 b， 这个就是 c， 这个是 m， 这个是 q。 那好，有学生就要说了。哎，高老师，那你这里是不是又要讨论两种方法？那有可能这边是 q， 这边是 m， 对不对？但是你会发现，当 bc 是对角的时候，他的方程永远只会有一个。因为 xm 加 xq 永远等于 xb 加 x a， 或者用 xq 加 xm， 是不是一样的？所以说二分 xb 加 xc 是不是等于二分之 xm 加 xq？ 好，另外一个二分之 yb 加 yc 等于二分之 ym 加 yq。 这种题的答案呢？一般情况下是三个，也有可能是五个等等哈。那么你要你要去通过这种算法，然后去什么去？呃取舍好。同学们听懂了吗？记得关注和点赞哦！
10:01
06:15查看AI文稿AI文稿二次函数中的平行四变性问题是属于在考试中经常考到的一类代级综合，尤其在中考里面已经出现很多次了。 那么二十函数中的平移四边形，我们应该怎么去解决它呢？我们来看一下这道题目。那么首先题目告诉我们，抛物线是 y 等于二分之一， x 方减二分之三有一条直线，这个直线是 y 等于 k， x 减一，它里面有一个未知数 k， 也就是直线是未知的。 然后题目说平这个四边形 a、 p、 b、 q 为平行四边形，我们会发现这个 a 点和 b 点呢，是直线与抛物线的两个交点， p 点在抛物线上， q 点在 y 轴上，那么它满足它是一个平行四边形，让我们求 q 点的坐标。好，那么这个时候我们该怎么去解决它呢？首先你会发现这四个点的坐标没有一个是 知道了，因为 a 和 b 他也是未知的，因为直线是未知的。好，那么首先我们先搞定第一个问题，就是遇到了平行四边形，我们该怎么办呢？那如果你知道平行四边形的坐标公式，那么解决这类题目相对比较容易，那么这个公式是什么？我们一起来看一下 平行四边形的坐标公式。那么下面是一个平行四边形 a、 b、 c、 d， 我们可以得到一个什么样的公式呢？那就是它的对角顶点的坐标之和是相等的，也就是 x a 加 x c 等于 x， b 加 x d， 同理， y a 加 y c 等于 y b 加上 y d。 好，那么这个结论到底是怎么来的呢？这个时候我们要用到平行识别一起的一个非常重要的性质，那就是他的对角线互相平分，所以我们将对角线连接起来，假如他的对角 线的焦点，我们把它叫做 m 点，那么这个时候我们知道 m 点的坐标啊，或者 m 点坐标，我们怎么样才能求出来呢？那么根据平行四边形对角线的性质，它的对角线是互相平分的， 也就说 m 是 a 和 c 的终点，对吧？那么这个时候我们从 a 和 c 来出发，我们知道 m 点的坐标呢，它是 a 和 c 的终点，那就用一个终点公式，二分之 xa 加上 xc， 众多标志应该是二分之 ya 加上 yc， 同理， m 点的话呢，也是 b 和 d 的终点。所以说从 b 和 d 的角度出发，我们知道 m 点坐标应该是二分之 x b 加上 x d 好，众坐标呢，二分之 y， y b 加上 y d， 好，那么这样的话，我们知道此时的话呢，他们横坐标啊，应该是一样的，重坐标呢，也应该是一样的，对吧？所以这个时候我们就可以得到 xa 加 xc 等于 xb 加 xd， 所以说推导出这个公式的核心在于对角线互相平分以及终点坐标公式。 好，那么有了这个结论以后，那么在这个题目中，我们依然可以进行使用，也就是我们会发现啊， x a 加上 x b 肯定是等于 x p 加上 x q 的，当然 x q 应该是零，因为它在 y 轴上， 同理 y a 加上 y b， 它也应该是等于 y p 加上 y q 的，我们要求的就是 y q 好，那么这个时候我们发现这个 a b 的坐标都不知道呀，那这个时候我们该怎么办呢？啊？我们会发 这个 a 和 b 啊，虽然说不知道，但是他是直线与抛物线的两个焦点，当我们看到直线与抛物线产生两个焦点的时候，这两个焦点坐标虽然都不知道，但是呢，对我们这个题目却很重要的时候，我们就会联系到伟达地理， 也就是我们可以将直线与抛物线进行连立，将直线 y 等于二分之一 x 方减去二分之三。啊，直线是 y 等于 k， x 减一，连立之后，我们就可以得到一个关于 x 的一元二次方程， 那么这个方程的话呢，我们知道它的两个根呐，就应该是 a 点和 b 点的横坐标，所以我们可以得到 xa 加上 xb。 啊，用这个根语系数就应该等于二 k， 对吧？好，那么这样的话呢，我们就可以代入就可以得到二 r k 是等于 x p 加上 x q， x q 的话呢，是零，所以我们知道 p 点的横坐标应该是二 k。 好，如果 p 点的横坐标是二 k， 那么 p 点的重坐标我们就可以带入到抛物线，把它求出来，那么 x y p 我们就可以得到它，应该是等于二分之一 乘以四 k 方，然后再减去一个二分之三，所以 p 点的重坐标就应该等于二 k 方减去二分之三。 好，接下来呢，我们再来看下面这个重物坐标的和啊， y a 加 y b， 那 y a 加 y b 怎么办呢？啊，我们这个时候知道 a 呀，他应该也在直线上面，也说我们的 y a 可以用 x a 来替代，那也就是 k 倍的 x a 减一，加上 k 倍的 x b 减一，就应该等于 y p， 也就是二 k 方减去二分之三，然后再来加上一个 y q， 好，那么这次我们将 k 提取出来，得到 x a 加上 x b， 然后呢减去一个二，就等于二 k 方减二分三，我把它抄上来。 好，接下来我们再继续这个 x a 加 x b 两个之和就是我们刚刚写的二 k， 所以得到二 k 方减二，就应该等于二 k 方减去二分之三，加上一个 yq， 好，这次你会发现呢，这个 k 方啊，他就抵消了，所以啊， y q 的坐标我们就可以写出来等于负的二分之一，那么这个时候也出现了一个整体抵消的思想，所以这道题他是除了 平行四边形以外，还考察到了这个二字函数与伟达定理的综合。那么什么时候用伟达定理，我们下一个视频再来给大家进行讲解。 所以这个时候我们得到 q 连坐标应该是零负的二分之一，所以二是函数中的平行四边形，如果你知道这个对角的坐标的公式，哎，那这个时候解决这类题目就会非常的容易。
1596丁哥数学
10:01查看AI文稿AI文稿来讲一个非常重要的内容平行四边形的在二次函数中存在性问题。我们简单的回顾一下三角形啊，特殊三角形的存在性问题。我们说特殊三角形存在问题啊，通常给出的已知条件是两定 移动。什么意思呢？也就是说啊，三角形的存在性问题啊。因为三角形有几个点呢？是三个顶点对吧？三个顶点。那么一般来讲是给出了两个已知的点，那也就是给出了一条已知的边。问第三个点的存在性， 那四边形的四边形，尤其是平行四边形是几个点啊？是四个点对吧？四个顶点，四个顶点。那么通常就有两种题型，第一种呢，是三定 移动，第二种呢，是两定两动。我们今天啊，这一次课来讲三定移动啊，也就是三个定点， 已知一个点，两个点。这三个点呢，都是已知的。问第四个点的存在情况在哪个位置？哎，这个是三定移动。 三定一动是比较简单的情况啊。这种情况呢，我们有两种方法。第一种方法叫三平三焦三定点啊，什么意思呢？ 我们来举个例子。比如说啊，这里呢，已知了三个定点叫 abc。 问地点在什么位置，能够使得 abcd 构成平行四边形。第一种方法叫三平行三相交， 得到三个顶点的位置。你看，我们分别过已知的三个定点， abc 啊，去做对边的平行线。我举个例子，过 a 点做对边 bc 的平行线，再过 c 点去做对边 ab 的平行线， 再过 b 点做 ac 对边的平行线。三条平行线啊，也有三个紫色的线，他们会有三个焦点， 这三个焦点就是我们所得的地点的三个不同的位置，叫山顶点，一共有三种情况。这是第一种情况，第二种情况和第三种情况。所以呢，地点有三种情况。这是我们的第一种思路啊，做三平行，然后呢，得到三个焦点，每一个焦点的位置啊，就是我们这个 要求的第四个顶点的位置，一共有三个顶点对不对？好。第二种情况啊，更加简单，我们用中点啊，这个中点呢，是对角线的中点重合。 什么意思呢？我们知道，假如这是一个平行四边形的话，他有一个非常特殊的性质，是对角线平分对不对？ ab、 cd， 那么对角线互相平分。那么也就是说这两条对角线 ac 和 bd， 他们的终点是不是重合的？互相评分。换句话来说就是终点重合。那这个就非常好做了。你看，如果我们已知 a 点， 已知 b 点，也已知 c 点的位置和坐标了，那么我们利用终点重合，利用第四个点，我们设为 xy， 然后去建立一个终点重合的方程组， 我就能够把 x、 y 给求出来。这个方法经常用到，尤其是在小题中啊，可以直接秒杀啊。我们来看啊，刚才总结一下，我们说这个 平行四边形的存在性问题，有两种情况，第一个呢是三定移动，第二个呢是两定两动。我们这次课讲的是第一种情况三定移动的情况。那么三定移动有两种方法。第一种方法，我们做三平行，得三条相交的直线， 两两相交得到三个交点，这三个交点就是我们平行四边形这个动点第四个点的位置。第二种情况呢，利用对角线重合构造方程组，直接秒杀。 来看这个例题啊。这个题目呢，抛物线方程啊。然后呢，以 x 轴两个焦点与 y 轴焦点为 c， 那么 a o 的长度， oc 的长度高。 告诉我们了啊， d 呢？是顶点啊。好，现在啊。首先我们能够把这个抛物线方程给写出来对吧？抛线方程 y 等于 x 平方，加上二， x 减三啊，这个没有问题。现在呢，做垂直于 x 轴的直线， x 乘负一， 垂直于 x 走的直线， x 负 e 交直线， ac 与 m ac， 这条直线与 x 负一的交点是 m 交抛物线于 n 点。那实际上我们知道啊，这个抛物线的对称轴就是 x 等于负一对吧。那么 n 点和 d 点呢？是同一个点啊。 我们不管这些啊。我们现在呢，问的是什么？问以 am n e 为顶点的平行四边形，求第四个点一点的坐标。你看这是不是就是平行 四边形的存在性问题？这是第一个。第二个呢？这个平行四边形他是没有顺序的，发现了吗？他不是说平行四边形 am n e。 如果是这样的话，那么这个形状就只有一个。因为他告诉了我们 am e 的顺序。但是这题问的是以 a 点， m 点， n 点和 e 点，只要做紧顶点就可以了，没有顺序关系。要 表示平行四边形的话，那么第四个点 e 的坐标。这是三定移动。哎，三定移动，我们可以直接用终点重合来进行秒杀。你看，我们把三个定点的坐标先给求出来， a 点的坐标很容易求，是等于多少。负三和零。 n 点的坐标也可以直接求出来，等于负一和负四。 m 点的坐标啊，我们把 ac 直线给求出来 l， ac 直线的方程很容易求出来是 y 等于负 x 减三。然后呢，把 x 等于一， x 负一带入到这个方程中去，很容易得到。 m 点的坐标是负一和负二。 你看三定移动求平行四边形，这三个定点的坐标是不是我们都知道了，那么我们就另第三个点啊。第四个点，我们要求的这个一点，他的坐标呢？是 x 和 y。 我们根据刚才说的三平三交有三个点可以知道啊，这个一点肯定是有三个答案的，对不对啊？好，这个时候啊，我们怎么讨论呢？第一种情况啊，以 a， n 和 m， e 为 什么？对角线的情况。此时啊，对角线的中点，我们将记点的话，对角线的中点 a 点和 n 点我们知道了吧。那么 a 点和 n 点求得对角线中点的位置是负三减一除以二，零减四除以二啊。基点呢？应该是 啊。第一种情况叫记一，是负二和负二，那么记一我们知道了啊，这个记点知道了。 m 点的位置我们知道了。那么 e 呢？列方程，负一加上 x 除以二，就要等于负二 以及负二，加上 y 除以二也要等于负二，很容易求出来。 x 等于负三， y 呢，等于负二。 好，我们就得到了。第一种情况，一点的位置是负三和负二。好，我们把下面的这个过程给擦掉了。 同样的方法啊，如法炮制，嗯。第二种情况，如果以 am 和 ne 为对角线的话啊，那么此时呢，我们 记点是 am 的中点。那么记点的位置呢？很容易求出来是负二和负一。那么同样的列方程，负二就等于 负一，加上 x 除以二。以及呢，负一等于负四，加上 x 除以二，加上 y 除以二。可以解得 x 等于负三， y 等于二。那也就是啊，此时一点的坐标呢，是负三和二啊。 第三种情况啊，以 mn 为对角线，那此时呢，这一点的坐标啊，就是负一和负三。那列方程之后，就得到负一等于 负三，加 x 除以二，负三等于零，加 y 除以二。可以得到 x 就等于一， y 等于负六。那也就是一点的坐标是一和负六。好，这个题就做完了，一共有三个答案啊。我们用到的方法呢，就是对角线终点重合啊。得到了三个答案。这是第一个答案，第二个答案，第三个答案。分三种情况讨论。这三种情况就是对角线的三 种情况啊，分别呢，我们以 a， n 为对角线，然后呢，以 am 为对角线，以及呢，有 m， n 为对角线。求出第四个点。一点的坐标，列的是方程。 好，这种平行四边形的存在性问题啊。在解题的时候，首先要注意的就是平行四边形。我们要求的这个平行四边形，他是有顺序还是没有顺序？通常呢，都是没有顺序的情况。如果有顺序的话，那么答案一般来讲只有一个啊。 这种一，他只告诉我们四个点构成顶点，没有说这四个点的顺序。那么这个时候就要分类讨论啊。我们讲的是三定点，一个动点的情况啊。这个时候呢，往往有三个答案。方法 有两种。第一个方法呢，是三平三交啊，得三个交点。第二种方法秒杀法，就是利用终点重合。谁的终点啊，是对角线的终点重合。
421跟涛哥学数学
03:55查看AI文稿AI文稿一道让学霸兴奋又害怕的题是什么样的？来看这道题，这道题无论是综合性、运算量还是思维都是天花板级别的难度。但是如果你能认真揣摩我后面讲的内容，哪怕只是理解一半，都会让你的数学思维得到提升。跟好了，我们开始 题目条件比较复杂，我们提取下信息。首先，二次函数的解析式是这个，我们可以算出来顶点坐标是这个，因此对称轴是 x 等于负一，对称轴与 x 轴的焦点 h 是负一，逗号零。 除此之外，点 p 不知道，只知道在第二象限点 q 不知道，只知道是直线与抛物线交点点按不知道，只知道是 p q 终点。最后问题是在抛物线上找一点验构成菱形。我先帮大家梳理 一下整个题目，题目中虽然有四个点坐标不知道，但他们之间却是有联系的。根据题目描述，直线 ph 过定点 h， 所以直线 ph 在绕着 h 点转动。由于直线在动，所以直线与抛物线的交点 pq 跟着动，继而导致终点 m 跟着 pq 动。 根据这个变化过程来分析这道题思路。为了方便分析，我们需要先把点 n 在图中画出来，连出四边形，这是题目要求。要想让 dp 为对角线，那点 n 必须在这上面动， 那我们就假设图像是这样的题目要求找菱形，那我们的思路应该是先满足平行四边形求出点的坐标，再验证林边是否相等。接下来，如果我们能把这三点坐标表示出来，就可以找到满足平行四边形的条件，最后再 验证零边是否相等即可。确定了思路，我们来求坐标。首先是 m， m 是线段， pq 终点，这是第一个重点，直线与抛物线相交，这条弦的终点该怎么求呢？最典型的方法是连力解析式，用维达定理， 比如这道题，根据直线过 h， 可以表示出直线的解析式是这样的，然后连立直线和抛物线，解析式把外销掉，就是这样 将它化解，就是这样，这个方程的两根就是 pq 的横坐标了。接着利用这个方程，结合维达定理与终点公式，就可以算出来 m 的横坐标是这样。 同理， m 的纵坐标就可以这样算。这里 y 一 y 二是利用直线解析式算出来的，所以 m 的坐标就表示出来了。 接下来求问，要想满足菱形， d n 和 p， m 一定平行，所以可以得到 d n 的斜率也是 k。 结合地点坐标，可以把 d n 解析式表示成这样，同样利用连力解析式可以得到这个方程。 化简后就是这样，那按点坐标就算出来了。最后是 p 点坐标，这是本题的第二个重点，目前 dm 第三点坐标表示出来了，想根据平行四边形求点 p 坐标，怎么求？ 方法不为一，这里我推荐用对角线平行四边形，对角线互相平分，也就是说 pd 和 mm 的终点相同，根据终点公式就可以得到这个结论。这个没看懂的可以看我前面讲过的平行四边形的存在问题，里面有详细讲解。然后把已知的三点 坐标带入，就可以求出批点坐标是这个。接下来由于点批在抛物线上，那把批带进去，不就求出 k 了吗？最后解出来 k， 注意直线下坡，所以 k 小于零， 把 k 带入坐标，就得到了这三个点的坐标，然后就可以进行最后一步了，验证此时这个四边形是不是零边相等，如果相等，那就说明存在，不相等， 那就说明不存在。用两点间距离公式算出来这个，发现零边相等满足条件，所以答案出来了，搞定。
339高老师数学思维
15:04查看AI文稿AI文稿下面咱们日思夜盼又闻风丧胆的二三书压轴题终于来了。一只直线 y 等于 kx 减一与抛物线有两个焦点，分别是 a 点和 b 点。直线在这里啊，抛物线在这里，他们的焦点是 a 点和 一点八。那么第一问他说 k 等于四分之三，要我们去求 ab 两点坐标，那么 k 等于四分之三，你是不是可以代入啊？然后再连立方程组， y 等于四分之三， x 减一。 那么此时两个方程两个位置数可以把这个方程解出来吧。那么 ab 两点坐标就自己算了。剩下就是计算啊， a 点的坐标是负二分之一，然后八负的八分之十一。 b 点啊，他的这个横坐标为二，重坐标为二分之一。下面咱们着重讲第二问和第三问。 第二弯他说屁点在直线 ab 的下方，并且在抛物线上。屁点是在抛物线上运动的。 q 点在 y 上，并且四边形 apbqapbq。 这个四边形，它是一个特殊的平行四边形。如图一，在一的条件下，也就是 k 等于四分之三的时候，让我们去求四边形 apbq 的面积。四边形，它是一个平行四边形。 a 点做标知道 b 一点的坐标，是不是也知道我们四边形的面积，你是可以转化的，可以转化成三角形的面积来做。我们可以先去解这个三角形 abq 的面积是吧？ a 点坐标知道， b 点坐标知道，你现在去求 q 点的坐标就好了。那么如何要去求 q 点坐标？这里有一个特殊的四边形。平行四边形肯定跟这有关系。那么其实这样呢？ 题目的套路我们在八项依次函数与平行四边形的存在性内内个视频里面有讲过啊，不会的可以回过头去看一下啊。 那么这里面要既然要求 q 点坐标，我们就把 q 点坐标给他设一下吧，他的横坐标应该是零吧，在歪着上吗？那么他的重坐标，我们假设他是 t， 然后还有一个 p 点啊， p 点我们设他的横坐标为 m， 那么重坐标是不是可以带入啊？带入到 毫无限的解决是就可以得到二分之 m 方减去二分之三是吧？那么此时怎么样去建立这个方程？ 我们此时就要用一个公式。那么对于平行四边形这个对角的顶点 a 和 b 而言， xa 加上 xb， 他应该等于什么？是不是 xp 加上 xq 啊？怎么来的？其实就是终点公司推出来的啊，我们给他左边和右边同时除以二，这不就是 ab 终点的什么坐标 横坐标吗？对吧，这个 xp 加上 xq 出烟了，他就是 pq 终点的横坐标。由于平行四边形 的对角线是互相平分的呀，所以这两个终点的横着标是不是应该是相等的呀？于是 xa 加 xb 就等于 xp 加上 xq 对吧？那么同理还有一个 aa 加上一个 yb， 他是不是应该等于 yp 加上一个 yq 啊。我们就用这个这个两个式子啊，就可以建立两个方程，把这个 m 和 t 都给他求出来，来这里做一下吧，分别代入了代值很应该会吧。来 xaxb 是不是就他和他相加，于是我们就可以得到负二分之一，加上一个二，他应该等于 xp 是 m 八。 p 点的横坐标是 maq 呢， q 点的横坐标是零，零就不写了吧。所以我们直接就可以得到 m 应该等于二分之三对吧？那么接下来还有一个方程， 那么歪 a 加上一个 ybya 加 yb， 是不是就应该是负八分之十一？这里和这里啊，加上一个二分之一，他应该等于这个屁点的重坐标。屁点中坐标是 是二分之 m 方减去二分之三吧，再加上一个 q 点的中坐标，是不是加上一个 t 啊，对吧？那么这里 m 四等于二分之三，到你完全可以把这一部分给他算出来。我们直接先把这个 p 点的坐标给他算一下吧。 那么屁点横坐标为二分之三，重坐标的话，你把这个 m 带入这里，然后就可以得到这个地方是二分之 四分之九对吧？再减去二分之三，结果应该等于八分之九。减去八分之呃，八分之十二吧。结果应该等于负的八分之三，对吧？所以屁田坐标是负八。 呃，二分之三到负八分之三啊。 p 点坐标搞定了。那么这也就是意味着这一部分是多少？是不是就是负的八分之三呀？我们把它写下吧。来这里，他不就是他吗？是吧。所以他应该等于负的 八分之三。那么此时要求 t 那那会。所以你现在把这个负的八分之三移到左边去，那就可以得到 t 等于 负八分之十一，加上一个八分之三，再加上二分之一，结果 t 应该等于多少了？这里和这里抵消了。呃，没有抵消啊，他应该是等于负的八分之八。负一 负一加上一个二分之一，结果应该等于负二分之一吧。所以我们现在解得 t 等于负二分之一，那么此时 p 点有了， q 点是不是也有了，对吧？ q 点的 乘坐标为零，重坐标为负二分之一。现在我们 a 点知道， b 点知道， q 点知道。我们要转转化的这个平行四边形面积，把它转换成任意一个三角形的面积是不就搞定了，对吧？那所以我们现在要去求什么？是不是要去求 s 三角形 abq 他的面积应该怎么求呢？三点坐标都知道了， a 点， b 点， q 点都知道，是都知道。你如何去求他的这个 啊，这个面积方法非常多吧，非常多。那么这里啊，我用这个呃千锤高乘以一个水平宽吧。那么假设这个 ab 与这个歪轴的焦点，这个点他是一个 恩典啊，恩典。那么我们现在他就面积就应该等于二分之一乘以千锤高，千锤高是 qn 再乘以一个水平， 水平宽就是 xb 再减去 xa 对吧？那么 qn 怎么来求呢？ q 点的坐标， q 点的坐标是知道的， q 点坐标我们现在给他标一下， 他是零到负二分之一吧。 q 点坐标是零到负二分之一啊。那我们怎么样去求 n 点的坐标？ n 点坐标不就是 ab 这条直线跟歪轴的一个焦点吗？ ab 这条直线又应该如何去求呢？ 那么这里面有两个点是不是知道了？那么我们可以用待定系数法去做吧。那么我这里直接把这个 kab 的 呃这个斜率，也就是他的这个 k 值给他算一下啊，他应该是重减，重比上很减横吧。那也就是二分之一减去负八分之十一，结果应该是加上八分之十一，再除以二减他应该是二分之五。结果应该等于八分之十。 十一加上十一，加上四十五，再除以二分之五。这里和这里约了是四，这里和约了是三。所以 ab 的 k 值 kab， 他应该等于四分之三的。然后再再入任一个点就完了。 那么 ab 的解疑是 ab 的解疑是他就应该等于 y 等于四分之三，乘以带入必点吧。 x 减二，再加上一个二分之一对吧，那带入啊。那么此时他应该等于四分之三， x 再减去二分之三，再加上二分之一，应该减一对吧，减一。所以现在这个解疑是 ab 的解疑是直线， ab 的解疑是我们已经做出来了，他是这样一个解释。 我们要怎么样去求这个恩典的坐标？也就是跟这个歪轴的焦点在这里边啊，令这个 x 等于零，是不是就可以得到了？所以歪 n 他应该等于负一对吧。 y n 等于负一，那么这也就是这个点他是负一。二分之一和负一他们之间的距离是多少？所以 q n 的距离是不已出来了。所以我们现在由这里啊可以得到 qn， 他又都就应该等于 yq 减去 yn 对吧？结果应该等于二分之一吧。做完。所以我们这里可以代纸啊，他就等于二分之一乘以二分之一，再乘以 xb 在减去 xaxb 是谁啊？是不是他呀？减去 xxa 是不是二分之五啊？结果应该等于八分之五。所以现在这个三角形的面积出来了。平行四面形的面积不就等于这三角形的 两倍吗？是吧，面积等于他两倍，所以平行四边形的面积就应该等于八分之五，再乘以二，结果应该等于四分之五。当然这里还有很多种方法可以去求的这个三 形的面积，包括我们直接去求这个平行四边形的面积也是可以的。比如你把这个平行四边形呃给他补齐啊。补完补齐那个什么？这是一个三角形，这是一个，右边是一个梯形吧，对吧？梯形。然后再减去什么？减去这个三角形和这个三角形也是可以的是吧？格补啊。呃，我这里用这个 用的最多的应该还是这个签水平宽和签字高啊。 ok， 这个推到啊。关于他的推到应该是在七下平面这样坐标系里面那一张张杰啊，有推到啊。好吧，那我们第二问就讲到这里。那么接下来我们来看一下第三问啊。第三问估计会不会复杂一下， 那一二问是不是都是在 k 等于四分之三的前提下来做的？那么第三问就没有这种事了是吧？他说 k 点变化的时候， q 点是否是歪轴上面的一个定点？那么 如果是，请请求出这个 q 点坐标，那么肯定是了对吧？那么对于第一问和第二问，我们对我们这个 q 点实际上有一点点启发的。那么 k 等于四分之三啊，这是一个随意取的字吧。那么他推出来 q 点的坐标应该是什么呀？是不是零到负二分之一啊？如果 这个 q 点是一个定点的话，那我们可以无论取何值，那么 q 点都应该是他才对是吧？那我们接下来如何去推倒他？那么此时就要用到根与稀疏的关系了，那么接下来又应该如何来做？套路是完全一样的。 那么既然有 ab 的焦点，我们是不还是连立几方程啊？方程组我们要去找 ab 两点嘛，对吧？把这个方程组和我连立了之后， 那可以得到二分之一。 x 方减去二分之三，他应该等于 k， x 减一，那么剩剩下的就有二分之一。 x 方减去 kx 减去二分之一等于零吧。那么此时 x a 加上 x b， 这不就是根与系数的关系了吗？我们要去连立这个方程组。直线方程和抛物线的方程，我们是求得 ab 两点的坐标吧。那所以 xa 和 xb 一定是这个方程的解对吧？他俩加起来的核应该等于多少？是不是等于负的？ a 分之 b 就应该等于二 k 吧？ xa 乘以个 xb， 它又应该等于多少呢？是不是应该等于负的啊？应该等于 a 分之 c 应该等于负一对吧。至于后面用哪个或者哪个用的到，或者两个都用到。呃，后后后面再说。我们先把它分析出来啊。这是 a 点和 b 点，我们已经大致能够分析到这里。那么 关于 p 点和 q 点，是不是仍然要看这个平行四边形？我们还是跟上上一题一样的套路，我们要去求这个 q 点，我们还是让它为零到 t。 那么 p 点呢？ p 点他我们就把它射成是 xp 和这个 yp 吧。好吧， xpyp。 那么此时我们用平行失眠型的知识，是不是还是有 xa 加上一个 xb， 他应该等于 xq 加上 xp 啊。 那么我们还是可以得到一个方程。那么可以得到什么？他俩之和是等于谁啊？是不是等于二 k 啊？所以二 k 应该等于 xq。 是零加上 xp， 零加上 xp。 所以现在我们现在 xp 是不是就已经错了？ xp 它就等于二 k 对吧？ xp 等于二 k。 那么这个 yp 呢？那也就是 p 点的坐标是不是已经出来了？他就是二 k p 点坐标啊，有这两个啊，可以得到 p 点坐标。呃，横坐标为二 k， 那么重坐标你是不是就带入他了？就可以得到？呃，二分之一乘以一个四， 可以方法减去二分之三，那么结果应该等于二倍的 二倍的 k 方减去二分之三。所以 p 一点的坐标是不是也出来了？接下来我们要去求的什么？是不是求的是这个 t 啊？求的 qt 是跟什么谁什么有关系？是不是 yq。 所以接下来用下面一个等式， ya 加上一个 yb， 他应该等于谁了？ 呃，应该等于 yq 加上一个 yp 吧。呃，剩下就是计算了。那把这个 yayb 给他表示 yaa 点和 b 点不都在这个解释啊，这个直线上面吗？所以 ya 怎么表示啊？ ya 从这个解释来看的话， ya 他是不是应该等于 kxa 减去一啊，这是我们的 ya 啊，然后还要加上一个 yb。 y b 就是 k 一层一个 x b 呗，再减去一对吧。这是两部分啊。他是他，他是他， 他等于谁呢？等于 yqyq 的不就是 t 吗？再加上 ypyp， 刚才我们已经算出来了吧。 yp 他应该等于这里的二 k 方减去二分之三对吧？那么接下来我们怎么样去求这个 t 呢？ 啊？只能硬着头皮往下算了是吧？暂时你还看不出来，但是我相信应该有人已经明白了啊。啊，这里我们就可以提供一次了。提一个 xk 出来，他就应该是 k 生意， x 再加上一个 xb， 然后这里负一。这里负一是不是合并的就是成了负二，所以 t 加上二可以方再减去一个二分之三样。 那么 xa 加上 xb 等于多少？是不是二 k 呀？再带入就可以得二 k， 乘以 k 就是二 k 方减二，等于 t 加上二 k 方减去二分之三哦。这里和这里可是可以抵消的。我们虽然瘦了这么多的参数啊。实际上这里是点餐吧。我们瘦的是点餐对吧？ 呃，射了这么多他参数，但是我们最终射好而不求那么踢可以直抵消了啊。那么踢他就等于移过去得到踢等于多少？是不是负二分之一啊，对吧。 记得 t 等于二分之一啊，负二分之一。所以现在 q 点坐标，他是不是就应该是零到负二分之一啊？那么跟我们这个 k 值是没有关系的。 所以 q 点它确实就是一个定点对吧？那我们来看第三题啊。第三题，呃， 用的什么？是不是就是简单的用的这个根据系数关系啊，对吧？知识点就是根据是系数关系，也有伟大定理。然后方法呢？方法我们用设的是点的坐标吧，根据根据点把这个点的坐标设成参数，用点餐法来做的对吧？ 呃，还好啊，不是那么难。好吧。好，把这个题理解一下。我觉得这道题可能第一个啊，这两个等式很多人是不知道的啊。不知道的回过头去看八下依次函数与平行四边形存在性那个视频啊。第二个还有可能这个 三角形 abq 的面积啊，怎么样去用这个千最高和水平宽来做啊。可能还是有人不理解，也可以去网上看一下别的视频吧。好吧，那么这一题我们就讲到这里。
334老锅数学6789
04:25查看AI文稿AI文稿存在性问题是中考当中压轴题的常驻嘉宾，尤其是平行四边形的存在性问题，使得很多学霸都望而却步，今天呆哥教你一招对点法，强行暴力破解平行四边形存在性问题。 我们先来看原理，假如说在平面直角对标线当中有一个平行四边形 a、 b、 c、 d， 我们连接它的对角线， 相较于点 m， 我们知道平行四边形的对角线是互相平分的，所以说点 m 是 ac 的终点，那么我们根据终点坐标公式，我们就能够得到点 m 的横坐标应该是 ac 横坐标之和的一半，点 m 的纵坐标是 ac 纵坐标之和的一半。同样的， 对于 b、 d 而言， d、 n、 m 同样是它的终点，那么这样的话，我们就能够得到类似的式子， d、 n、 m 的横坐标呢，也 是 b、 d 横坐标之和的一半，纵坐标也是 b、 d 纵坐标之和的一半。咱们来对比一下这两个方程，你会发现 x、 m 是一样的呀。 所以如果说我们让右边直接相等的话，就能够得到 a、 c 横坐标之和，等于 b、 d 横坐标之和。 同理，下面这两个也让他们相等，就能够得到 a、 c 纵坐标之和，等于 b、 d 纵坐标之和。我们可以用个口诀来快速记忆，就是对点 坐标之和相等。掌握这个方法之后，我们来看一下他在题目当中到底有多好用。我们来看一道中考改编题，现在已知告诉我们点 a 的坐标是四二，点 b 的坐标是七四，然后呢，还告诉我们点 c 在 x 轴上，点 d 在 y 轴上。现在说以 a、 b、 c、 d 四个点为顶点的四边形是一个平行四边形，让我们去求出所有满足条件的点 c 跟点 d 的坐标。注意了，这种描述 就意味着我们这个题需要分类讨论。现在我们假设啊，点心的坐标是艾克特零，点地的坐标是零 y， 那么根据刚才的对点法，我们需要去确定谁跟谁是相对的两个点。 我们会有以下三种情况，分别是以 a、 b 为对角线，以 a、 c 为对角线和以 a、 d 为对角线。 这样的话就把所有的情况不重补漏地考虑在内了。我们先来看，如果以 a、 b 为对角线，那么 c、 d 就是另外的一条对角线。我们就可以利用对点法， a、 b 坐标之和等于 c、 d 坐标之和。 我们先来看横坐标，横坐标的话，那就是四，加上七等于 c、 d 横坐标之和，那就是 x， 加上零，纵坐标的话就应该是二，加上四等于 c、 d 纵坐标之和，那就是零，加上 y， 从而就能够口算出 x 跟 y 的值，我们就能够求得点 c 的坐标应该是十一 零，点 d 的坐标应该是零。逗号六。接着我们再来看一下以 a、 c 为对角线，那么 b、 d 就是我们的另外一条对角线了。 我们来看一下，我们让 a、 c 坐标之和等于 b、 d 坐标之和 a、 c 的话，那就应该是横坐标。四加上 x 等于 b、 d 的横坐标，它就应该是七，加上零。再来看纵坐标， a、 c 纵坐标的话就应该是二加上零等于 b、 d 纵坐标是四， 加上 y， 从而咱们能够得到点 c 的坐标应该是三零，而点 d 的坐标应该是零 负二。最后咱们再来看一下第三种情况，如果以 a、 d 为对角线，那么 b、 c 就是另外一条对角线，也就是说 a、 d 坐标之和等于 b、 c 坐标之和。 先来看横坐标 a、 d 的横坐标的话，就应该是四，加上零等于 b、 c 横坐标之和，那就应该是七，加上 i、 x。 再来看纵坐标 a、 d 纵坐标之和，那就应该是二，加上 y 等于 b、 c 纵坐标之和就是四，加上零。从而咱们就能够求得点 c 跟点 d 的坐标，点 c 的坐标应该是负三零，点 d 的坐标应该是 零。逗号二，这就是咱们的对点法，解决平行四边形存在性问题，它能够解决繁琐的画图，我们只需要利用纯代数计算，就能够强行暴力破解这类题目，那你听懂了吗？
4045希望学−李再春老师
