密克尔点最难几何题答案
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371清北好课
07:29查看AI文稿AI文稿二零二二年的高考可以称为史上最难，像这个立体几何题，也是近十年里面最难的一个平行题。 这里首先给同学们最大的冲击就是这个图长得有点太空间感了，对于空间感稍微弱一点的同学来说，简直就是灾难。像这种非常抽象的立体几何平行题，我们如果单纯的使用眼睛去看的话，这个题可以说基本上是做不出来的。所以像这种复杂的这种平行题或者垂直题， 我们使用的唯一的方法就是推理，可以这样说，越复杂的图像用推理越好用， 那什么怎么去推？这个题怎么去做？我们来一块分析一下。首先说线面平行，我们思考一个问题，如果让你正一个线和一面，你怎么去正？ 那我们脑海里呈现两种方法，第一种方法，正线平面，只要正线平面里的一条直线就行，可能是中微线，也可能是其中的一个边，也可能是怎么的，反而要在这个面里做一条它的平行线。 第二方法的话，就是我们要把这个线放在一个面里，只要是这个面和这个面平行，那这个线和这个面就是平行的。这两种方法的话，哈，可以说证明所有的线面平行题， 那这个题的话，你也不例外，因为我们线面平行的几何法就只有这两个方法，没有。第三个，所以用方法，用推理思路去看的话，你就不要去想别的了。首先证明 o e 平行于这个 p a c， 利用方法一的话，你就要在这个 p a c 里 找到一条 o e 的 平行线，那在 p a c 里找 o e 的 平行线的话，那首先说你肯定是过特殊点做 o e 的 平行线，那过特殊点的话，你想过 a 或过 c 过 p， 这个地方同学们大多数能看出来应该是过 p 做，哎，这个平行线这样的话相对而言是比较好的。这样的话，做一条 p o 平行于 o e， 那 做是做出来了，也是说这个题大概率哈，大概率是证明 o e 是 平行于什么呢？ pm 的， 那我们做出来这种关键的问题还是需要去正，那这样好，我们再去思考一个问题，我们想要正这个线和这个线平行，同 学们仔细再观察这两条线他们的长度是不是一种一长一短的关系，但凡你看出来他的长度一长一短，那么可以了。两个线一长一短，还要证明他俩平行，那同学们就不要去想别的了，那这两条线一定会在一个什么呢？一定会在一个三角形中， 三角形中的话，这个点如果是这个点边的终点，这个点也必然是这个边的终点，如果他是三等分点，他必然也是三等分点，这就是我们的推理思路。我们想要证明这条线和这条线平行，那没有什么别的方法，你一定要把这两条线放在什么呢？同一个面中，那放在同一个面里的话，这个题你仔细观察， p e 延长过来是经过 b 的， 那换句话说，这个 o m 就是 这个 mo 延长过来，是不是应该是很有可能是经过 b 的？ 要想平行的话，它是不是必须得经过 b 啊？ 好了，那这样的话，我们连了之后，这样的话出来了一个什么三角形 p m b， 那 同学们仔细观察，这里边有一些问题就已经呈现出来了，这个步骤我该怎么去写？ 有同学说，哎，我做了一个平行线，我直接过屁做 pm 平行 o e 啊，直接写，那这样写首先是不合理的，因为我们目标是证明他俩平行，你肯定不能在试卷上写，哎，我做一条平行线，肯定不能这样说，那怎么说呢？那我只能就是先什么延长 b o， 延长 b o 交 a c 与 d m 连接 pm 啊，所以这个辅助线得这样去做才行。 那这样去做之后，我们呢，想要证明他俩平行，然后看这个 e 啊，是一个什么呢？是一个终点，所以这个题的所有的压力就出来了，我们只要证出 o 哎是 b m 的 终点来，哎，这个事就万事大吉了，这个题咱们就成功的给解决了。那 o 点是 b m 的 终点，如何去证呢？ 首先观察这个 o 点应该是底面 a b c 里边的一个点啊，这个 o 点是 b m 的 中点的话，那底面 a、 b、 c 长什么样子，我们就得好好研究一下这个底面了，对吧？好，我们来看一下这些信息， 想要研究底面的话，同学们可以哈，先把底面 a、 b、 c 啊，先把它给摘出来，先随便先画一下，这是 a， 这是 b 啊，这是 c。 然后呢，题干里说了， ab 和 ac 是 垂直的标上，那读完条件之后，这上有个 p 和 pp 相等， 同学们想根据推理思路，两个边相等， p 和 p b 相等，干什么用的嘞？同学们想两个边相等，根据推理思路，就是想告诉我们，三线合一的，就是说 p 和 p b 相等，你取一个 ab 的 中点 n， 然后呢，把它给连起来， 那连起来之后，这样话，我们就能得到一个信息，就是 ab 的 话一定是垂直于这个 pi 的。 哎，他要说你怎么想起来连这个东西，我怎么就想不到呢？这就是我们的推理思路。赵老师说过很多的正推反推法，正推的话题，概率给了我们两个边相等， 他的目标就是为了让你推这个三线合一，要不然他给你这两边相等干啥？只是为了告诉你这是个等腰三角形吗？不是的，他想利用这个等腰的这个特征推出来一个垂直。明白这个道理之后，咱可以推理思路，两个现象，垂直给我们的目的是啥？ 线线垂直，同学们，记住，它的作用就是让你证明线面垂直的，不要去怀疑别的，就是线线垂直的唯一目的就是想让你推线面，怎么去推呢？ ab 垂直于 c 啊，咱写下来，那这样的话，你会发现一个问题， ab 是 不是垂直两条线？ ab 垂直于它， ab 垂直于它， ab 就 必然垂直于它两条线所在的这个平面。然后再去思考这地方还有一个东西很容易忽视的哈，就是 p o 和底面是垂直的，那 p o 呢？和底面垂直是不是也和 ab 是 垂直的？那这样哈，同学们仔细观察这地方， ab 垂线太多了， ab 垂线太多了， ab 垂线干什么用的？是不是推线面垂直用的？好了，我们来看一下图， ab 垂直于什么呢？偏 ab 垂直于 p o， 那 出来了，他俩是不相交的呀，他俩相交形成了一个平面，是 p o n 呀，所以 ab 一定是和 p o n 垂直的，所以连起来。哎，有时候他两个推出来了一个哈 ab 垂直平面， 什么呢？ p o， n， ab 和中间这个三角形垂直是不是？ ab 是不是就和这个面里的啊？是不是这个 o n 垂直啊？然后呢？ a b 垂直， o n a b 呢？又和 a c 是 垂直的，那说明是没问题啊，是不是它两个就能说明这个 o n 是 平行于 a c 的 呀？那既然它俩平行，同你想想， n 是 我们自己取的一个终点，对吧？它两个如果平行的话，那这个 o 的 是不是就是 b m 的 终点？所以进而就能推出什么呢？就是因为这个 n 是 终点哈 啊， n 为终点，最后推出来什么？这个 o 是 是 bm 的 终点，我们就把这个题解决出来了， 推出来 o 是 他的终点， e 是 他的终点，所以这个线和这个线是不是这个线就中线，这个线就和这个线平行啊？ g r， 最后加上线在面内，线不在面内，所以这个线和这个面平行。按这个题第一问就正确了， 也就是说，同学们观察出来，为什么我把这个题定义为史上最难，原因是线面平行题。大多数情况下，只要简简单单正线平面的一条线就行了， 而这个题表面是一个线面平行题，实际上里边最重要的思想，同学们看大幅的篇幅都在证明什么呢？线线和线面垂直，也就是说这个题啊，是一个什么呢？套着平行的一个垂直题，所以导致比较难一些。
601郑肖老师直播号
05:51查看AI文稿AI文稿来，你能相信吗？今年北京一模几宗最难的区竟然是石景山区，而且这道几宗堪称是石景山近十年以来最难的一道几宗题。 这道题目呢，告诉我们，角 a、 c， b 是 九十度角 a b c 这个小角是阿尔法，同时呢， d 在 b、 c 的 延长线上，把 a、 d 这条线绕着 a 点旋转了一百八十度减去二，阿尔法转到了 a、 e 这个线段，所以 a、 e 和 a、 d 一定是相等的。 同时呢， e、 f 是 垂直于 bc 的， 又做出了 e、 f 的 中垂线，并且和 a、 c 与 ab 都相交，咱们把这条线做出来， 这个点叫做点 g， 这个点叫做点 p， 而此时与 a、 c 的 交点，这叫做点 q。 我 们要研究的是 p q 和 d、 f 的 长度。这道题目非常非常的经典，大家先来注意， 这是阿尔法，这是九十度，那么角 b， a、 c 就 一定是九十度减去阿尔法， 九十度减阿尔法就是一百八十度减二阿尔法的一半。看到了这种出题形式，一定要找到另外一个九十度减阿尔法的角，这就是北京近几年出题的风格， 而这有垂直啊，显然可以做对称呀，我们不妨呢延长 bc 这个点呢，我们叫做点 m 的 话，我们再连接一下 am， 我 们让此时 cb 和 cm 是 相等的， 那么我们就知道了， ac 是 垂直平分 bm 的， 那么 ab 的 长度显然和 am 的 长度相等， 而此时角一和角二的和就是九十度减去阿了法，而角二和角三的和也是九十度减阿了法，那么角一和角三一定相等，你会发现边角边， 边角边，咱们把 b、 e 一 连那一个全等，就出现了，此时三角形 m a， d 和三角形 b， a e 一定全等，那么此时这个小角由于和角 abc 相等，杀了法， 这是阿了巴，这个小角也是阿了巴呀，那么 a b 就 变成了 c b e 的 平分线。但是这道题目写到这，还没有真正进入到解决问题的环节。这道题目的核心其实在这 g 点是 e f 的 终点，并且 g q 是 垂直平分 e f 的， 那么此时 g q 和 f c 也一定平行，既有终点又有垂直。我一定要连接 e p， 我 连接 e p 并且延长这边的焦点叫做 n 的 话，你会发现此时 g 点是 e f 的 终点， 并且 p g 和 n f 平行，那么就是中微线。点 p 就 变成了 e n 的 中点，那么 p 既然是中点了，那么连接斜边的中线就变得顺理成章。咱们再连接一个 p f， 那 么 p f 的 长度和 p n 的 长度和 p e 的 长度一定是相等的。 而我们最终要问的是 p q 和 d f 的 关系。注意了，各位家长啊，各位同学，这道题目一个边长都没给， 没给边长的情况一定要设位置量。那么这种问题你会发现，这儿有垂直，这儿也有垂直， p q 是 能平移的，我只要过点 p 向 c f 做上一条垂线，这个垂足咱叫做 h 的 话，那么 p h c q， 它一定就是个矩形， 那么 p q 就 平移到了 c h。 而且我们又知道了 p n 呢和 p f 相等， p h 就 必定垂直平分 n f， 那 么这两段儿也一定是等的。 ok， 我 就设这儿是一个 x， 这儿也是一个 x。 同时呢，我又知道了 b e 的 长度和 b n 的 长度相等，因为点 p 是 e n 的 中点 p b 平分了 e b n， 所以 这儿我设成是 a 整个的。注意，从这儿开始啊， n b 的 长度也一定是 a， 同时我们知道了 d m 的 长度，由于全等它还是 a， 我 们再把 c d 设成 b。 大家注意， c m 和 c b 一定相等，此时 c m 的 一部分是 a， c b 的 一部分也是 a， 那 么剩下的这两小段 c n 和 c d 不 就都是 b 吗？ 写到这之后，你发现我的 p q 能表示出来了， p q 的 长度呢，就可以写成 b， 再加上一个 x， 而此时 d f 的 长度就是二 b， 再加上两倍的 x， 那 么显然 d f 等于两倍的 p q。 这道题目咱就做完了。 作为近十年最难的一道几宗这道题目的考点，大家注意，第一件事， 看到了二倍角，要找等角做对称。第二件事，看到了终点，有了垂直，要想到中位线， 然后在整个直角三角形中要有斜边中线构造等腰的意识。有了这些内容之后，这道题目你才能做的出来。下课！
1094数学赵观察
00:42查看AI文稿AI文稿行，今天这节课咱就上到这里吧。下课了老师，这个题我不会。大婷，昨天刚表演完，你自己发现最近特别好不容易的题，咱多问哈。 我的亲娘嘞，这是啥呀，米尔点吗？他从哪找到的？我服了，这讲完猪脚饭都关门了。哎，有了这就这就是米尔点吧，它很简单，完全四边形。呃我我 哎，电话来了哈。嗯嗯哦哦，体育老师请假了是吧。啊，下节课上他们班上课去。行行行，我马上到。马上到啊，这个题等下次，下次一定跟你讲啊。这能下次能下次啊。
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23小初资料宝库
01:05查看AI文稿AI文稿中考数学最难的压轴大题就这八道，从现在开始练起来，吃透了，考试直接躺赢！一，二次函数的最值问题二，取值范围问题三，二次函数与相似三角形四、最值问题五，二次函数的图像与几何综合六，公共点问题七，二次函数与一次函数的交点问题八， 存在性问题。那孩子自己不会练，家长又不会教的，可以直接用新华书店的这套中考数学压轴题选择填空解答。新题型四合一包含了中考数学能考到的所有压轴题，以下二次函数与相似三角形考察多个知识点的综合运用。很多孩子一看题就蒙了， 他直接把答题方法、答题步骤以及涉及到的考点在原卷上标注的清清楚楚，一步步教孩子踩准得分点关键。就连新情境、新考法，他也整理好了。你像传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等等， 这可是中考的方向标，把考点和题型提前吃透，上了考场就像背书一样简单。另外，扫码还有三十套中考真题，让孩子提前适应考试强度，考前用好这套卷子，中考数学得心应手，家有初三生的，抓紧安排上！
13:34查看AI文稿AI文稿二零二五浙江中考压轴题全网最优解法本视频致力于讲解压轴题的最后一小问，也是最难的一小问。看题， 在菱形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于五， a、 c 等于八，而数据标在图上。呃，除此之外呢，三角形 e、 a、 b 与三角形 e、 f、 b， 它们呢？关于 e、 b 是 对称的，也就是说，这个三角形与这个三角形呢，它们是全等关系。 呃，最难的这一小问啊，它求的呢，是什么呢？它求的是 pa 减 pp 的 最小值。先观察图像， pa 在 这， pp 呢在这，哎，当前呢， 我们是没有办法去找到说这个 pa 减 pp 之间有和什么样的关系。 所以解决这个问题呢，我们的第一大难点就是对问题进行转化。我们将 pa 转换成四加 po， 因为这个 a o 呢，等于四，是已知的，那么四加 po 呢，就是等于我们的 pa， 呃，不要小看这一小步的转化哦。完成这一步以后呢，我们对这个式子呢做整理， 把整数四放在左边，而右边的字母呢，我们加括号连放在一起。哎，此刻呢，这个问题就很有趣的， 我们原本要求的呢，是 pa 减 pb 的 最小值，哎，现在却成了我们要求 pb 减 po 的 最大值。问题是被转移了的， 因为在这个式子中， p b 减 p o， 它的值越大，我们说整体的值呢，就越小，也就是说， p a 减 p b 的 值呢，是最小值。那么我们接着看。 呃，下面我们的核心的问题呢，就是说，要研究 p b 减 p o 的 最大值。首先竖形结合，我们要 把这个 p b 与 po 在 图上有什么样的关联给他理清楚。 po 在 这， pp 在 这，哎，它是一个直角三角形，那么竖形结合在这个直角三角形中，我们要研究一下他们俩有什么样的一个关系。 这里这个 o b 等于三，这个值呢，是一个定值，它不可改变，这个直角也是不可改变的。呃，此刻 依据竖形结合的思想，我们设这个 p o 为 x， 那 么由勾股定律呢？我们可知， p b 呢，等于根号下的 x 方加三的平方。 呃，我们不是要去求 pp 减 po 的 最大值吗？竖形结合，我们就把问题转换成了求这个式子的最大值。 呃，但是此时此刻呢，我们的问题依旧很棘手，因为我们观察下这个式子啊，我们说这个 x 呢，它增大的同时呢，哎，这个负 x 呢，它这种减小的趋势。所以啊，当前我们想讨论这个式子的最大值是很难的。 嗯，这个时候呢，我们需要依赖一个武功秘籍吧，可以这么讲，呃，我们需要用到供恶士的这个理念。哎呀，供恶士这个理念呢，它是出现在高中数学的。 呃，但是高中数学对他的讲解其实也不是很多哎，所以我们今天的这个视频呢，对这个公硕式的讲解是非常的重视的。首先，我们先来理解一下什么是公硕式，嗯，直接看数据，他的公硕式是他， 呃，再精减一下的话呢，我们如果说上面是 a 减 b， 那 么 a 减 b 的 共轭式呢？就是 a 加 b。 哎，细心的同学们能发现啊，什么是共轭式呢？是不是说组成平方差公式的两部分呀？ a 减 b， a 加 b， 它们两者之间呢，是能够构成平方差公式的。哎，对，我们之所以写它的共和式呢，我们就是为了把平方差公式呢给引进来。呃，我们找到 p p 减 p o 的 这个式子，它的共和式， 并且我们让它的共和式与这个圆式相乘积，我们由由平方差公式呢可知。哎，这个式子呢，它是等于九的。 这里呢，也体现了共乐市最大的优点，它巧妙地把这个式子中的所有字母 x 全部消掉了。 那此刻我们再回顾问题，我们不是一直在求 p p 减 p o， 也就是它的最大值吗？ 呃，他的最大值我们搞不定，但是我们观察下这个柿子啊，呃，他追求于最大，那么这个柿子呢，一定是追求最小，也就是说左边的柿子是最小的时候呢，右边的柿子呢，一定是最大的， 因为他们的成绩是一个定值嘛。那么此刻问题再次被转移，我们原先求 p b 减 p o 的 最大值，被我们转移成了求这个式子的最小值。 呃，我们先来观察一下这个全新的式子啊，这个式子呢，它是可以求出最小值的，为什么呢？我们来看一下。首先 x 方， 它如果是减小的话呢，这个正 x 呢，它也是减小的，哎，对吧？就说这两项数据呢，它们的方向是，呃，同向的，对吧？你左边减小，右边也减小。 呃，如果看不懂的话呢，我们继续竖形结合。呃，这个是什么呀？它，我们在前面讲过这个式子呢，它就是我们的 p b， 那 x 在 竖形结合吗？ x 的 形是什么呢？ x 呢？就是我们的 p o。 哎呀，所以啊，我们的问题呢，竖形结合思想就转换成了我们要求这个 p o 加 p b 的 最小值。 嗯，呃，先把这个搞明白啊，就是说我们现在的核心任务呢，就是说要去把 p o 加 pp 的 最小值求出来。呃，目前依旧呢，可能说是有一点迷茫，没关系，别着急，我们现在呢，回归题目的主图，哎，也就是说这个图形， 呃，下面我们来观察一下这个 p 点啊。呃，这道题呢，其实它变来变去的话呢，像这个 p 点它怎么移动的话呢？这移动轨迹，其实，嗯，我们是看不见的， 但是并不影响我们去解决这道问题，因为我们现在追求是什么？我们要追求的话呢，是求 p o 或者 p b 的 最小值， 只要说能求出它们两者中的一条线的最小值，哎，那么我们代入进去就是这个整体 p o 减加 pp 的 最小值，因为它们是同向的嘛。 然后看题，嗯，首先 b 点是一个定点，这个点是不可改变的。然后呢，我们的这个 p 点的话呢，它是在 e f 上 可以移动的，那么甭管这个屁点，它的移动轨迹到底是什么样子的，呃，我们知道啊， 这个 b 点，它距离 e f 的 最短距离点到直线的最短距离一定是垂线，那就是说我们的这个 b p 呢，当它垂直于我们的 e f 时，此时此刻呢， b p 即使最小值， 而此时此刻呢， b p 取得最小值的话，那么 o p 也一定是最小值，那上述的所有问题就都可以搞定了。 ok， 那 我们当前的问题呢，又再次的发生转化，我们现在需要求出这个垂直于斜边的 p b 的 长度， 呃，我们如果说只看右边的话呢，目前 pp 的 长度依旧难求，所以我们又需要应用到这个角平分线的性质， 角平分线的性质中有这样的一个定律，呃，角平分线中过点 b， 分 别做它的两条边的垂线，就是 b p 和 b p 撇儿，都是垂线啊，那么 b p 一定等于这个 b p 撇儿， 哎，这个很多同学们都在学校里有教过的啊，所以此刻我们只要求出这个 b p 撇，哎，那么我们就搞定了这个 b p 的 最小值，呃， b p 撇呢，它是可以通过等面积法求得的， 我们看这里，在绿色三角形 a b c 中， 三角形的面积等于十二，哎，这个是没问题的啊。呃，因为已知的对角线嘛，它是菱形，所以这个六高是四，哎，所以它的面积呢，就是十二，那么有等面积法，面积我们有了，哎，这个底边呢，底边是 d p p， 底边是五，我们也是知道的啊， 所以有等面积法，我们是可以求出这个屁撇 b 的 最小值，哎，就是五分之二十四。呃，当这道题把屁 b 的 最小值搞定了以后呢，我们说这道题的最核心最难的地方呢，都已经解决掉了， 剩下的话呢，就是我们带着这个最重要的结论，一点一点的去回溯我们的思维，直到呢把这个题目的问题给解决掉，非常到了这里呢，已经不是很难了，我们只需要把这个思路呢给他回溯一下就好，别着急。 嗯，我们继续 刚刚的思维中呢，我们已经把这个 p b 的 最小值给求出来了啊， p b 呢，就是五分之二十四，然后竖形结合思想， p b 是 什么呀？ p b 的 话呢，它其实就是这个式子哎，但是我们暂时用不到这个根号下的的 x 方加三的平方了，我们现在呢，就是用五分之二十四取代这个， 取代这个 p b 的 原本的这个式子，哎，它就是五分之二十四， 然后呢， ob 呢是三，哎，那此时此刻呢，我们说这个 op， 也就说这个 x 值，由勾股定律是不是就可以求出来呀？ 由勾股定律，对吧？一个是三，一个五分之二十四，我们可以求求得呢，这个 x 呢，就等于这个五分之三倍的根号下的二十九，哎呀，这个数字呢，真的就看起来很怪的。 嗯，同学们在做计算的时候呢，要对自己的结果有有信心嘛，当然呢，计算的时候一定要追求稳。那么接着来我们当前啊，当前呢，我们已经搞定了 o p 的 长以及屁屁的长，对吧？已经都有了，然后我们再往上回档， 呃，再往上回档了，呃，然后呢，我们再往上回啊， 我们在最开始研究题目的时候呢，我们就把这个问题呢，它不是要求这个 p a 减 p b 的 最小值吗？我们是把它给转换成了这个四加 p o 减 p b， 或者说呢，是四减去这个 p b 减 p o 啊，这两个式子选哪个都一样，没关系，我们现在选它。 呃，我们看一下啊， 我们现在呢，就可以由这个式子呢求得这个，嗯， p b 减 pa 的 最小值 四嘛，我们就看这个式子啊，四加上 po， po 等于多少啊？呃， po 就 等于我们的 x 嘛，它就等于这个五分之三倍的 根号下三十九，哎，这个就是 po， 然后呢，四加上 po 减去 p b， p b 呢，它就等于这五分之二十四，哎，所以你看这里 主要是什么呢？主要是我们的这里已经把这个 p o 与 p b 的 长都给搞定了的，所以这个时候呢，我们只需要简单的把数据代入，把这个式子呢写下来。哎，那么这个结果即是 p a 减 p b 的 最小值。 呃，讲到这里，我们说这道压轴题呢就彻底讲完了。呃，整体来讲的话呢， 目前我的视频中所提到的这个方法呢，是全网最简单最呃精简的思维。呃，我其实也看了很多其他的博主他们对这个压轴题的一个讲解啊， 确实是有很多人用了更复杂的方法，并且把这个题呢是没有讲明白的。呃，所以小朋友们呢，看到这里时，如果对这道题感兴趣的话呢，一定要说在课下呢，自己把这道题呢再给写一写。好的，今天呢，我们的视频就先到这里，拜拜。
20熊坤巧解数学
