完全立方差公式图解

网友说，切太快看不清。画两个正方体，体积分别为 a 的三次方， b 的三次方放在一起相减新的图形即为所求 慢动作切开 哇， 分别算体积 提取供应时， 举一个例子， 把 a 的三次方减 b 的三次方用等号右边的换掉， 越掉 a 减 b， 合并同类项。在根据完全平方公式，看懂了吗？

用图形来推倒立方差于立方和的公式一看就懂。假设你有一个体积为 x 立方的立方体和另一个体积是 y 立方的立方体，这两个立方体的体积差就等于 x 立方减去 y 立方。但我们也可以将体积计算为三个不同长方体的体积之和。 计算每个长方体的尺寸是很容易的，我们将这些尺寸相乘，就得到每个长方体的体积，我们将这些体积加在一起， 然后我们提取 x 减去 y 的公因式，就得到立方体差的公式。一旦得到了立方差公式，我们只需要简单的将 y 等于负 c 带入进去，经过简单的运算，就得到了立方和公式，这就是立方差于立方和的公式。

body come on jump up like keeping getting tired 麻烦，别干净别简单。

whoa 今天开心吗 宝宝？

在初中你已经学过平方差和完全平方公式，而在前这个视频里，我又给你讲了三数和的平方公式，立方和立方差公式以及完全立方公式。 那这个视频咱就用这些乘法公式来做几道因式分解的问题。第一题分解， ax 立方减九， ax 方加二十七， ax 减二十七 a 这个题首先每一项都有 a， 咱先提供一式，就是 a 倍的 x 立方减九， x 方加二十七， x 减二十七。括号里剩下的是四个正负交错的式子，且二十七是三的立方，有点像差的完全立方公式。那利用公式验算一下， x 减三的立方就是 s 立方减三， x 方乘三加 加三， x 乘三的平方减三的立方化解一下，刚好就是 x 立方减九， x 方加二十七， x 减二十七，那原式就等于 a 乘 x 减三的立方。 搞定。 ok， 下一题分解， x 的六次方减六十四，显然六十四是八的平方，那咱把 x 的六次方看成 x 立方的平方就可以。先用一次平方差，就等于 s 立方加八乘 x 立方减八， 那接下来八十二的立方，这俩括号其实就是一个立方和与一个立方差。运用公式，前者就等于 x 加二乘 x 方减二， x 加四，而后者等于 x 减二乘 x 方加二， x 加四。习惯上我们把次数低的音式放左边，那整理一下，这就是最后答案了。好，最后一题 分解， x 方加 y 方加二 x， y 加 x 加二， y 加一减 a 方。这个式子后面的减 a 方和前六项显然没啥关系，那前面六项要是个平方，咱就能用平方差分解了。看一下这六项，我把它换个数， 前三项把一看作一的平方，就是 x， y 和一这三个数的平方和。而后三项系数都是二，可以看成两倍 x 乘外两倍 x 乘一和两倍外乘一，也就是 x， y 和一这三个数两两乘几的两倍。 因此前六项合起来就是 x 加外加一的平方，那利用平方差原式就等于 x 加外加一加 a 乘 x 加外加一减 a。 搞定 题都做完了，总结一下，讲这个视频，我就一个目的，就是能让你熟练的记住这几个公式，以后看到长得跟他们样子差不多的柿子，你就能识别出来，应用公式进行分解。怎么样，公式都记牢了吗？记好了，就赶紧用公式去秒杀题目吧！

又买豆腐喽，买一块豆腐回去做题喽，又做题喽，哈哈哈，爸爸，哎，咱今天晚上又要吃豆腐。是的，又要吃豆腐了。 那天我们前天做了推导了完全立方合公式，你知道完全立方合公式是什么吗？ 完全立方超公式就是 a 减 b 的超的立方等于 a 立方减三方， b 加三立方，再减 b 立方。哇，那你知道怎么推导出来的吗？那我不知道了，今天谁拿这个动作来学习好不好？好 好，你们看这个豆腐这个边长，这个棱长是什么？棱长是 a， 对，取后面一小块这一块， 这个线段 b， 那剩下这个线段是多少了啊？ a 减 b， 哎，对，这个 a 减 b 和 b， a 减 b 和 b， a 减 b 和 b， 所以棱长是 a 的正方体，我们中间切取一块 a 减 b 长短的正方体，我们就把这个 a 减 b， b， 好，再把这个 a 减 b， 好。哇，然后我们来看这个，好，这个正方体体积是什么？ a 减 b 的差的地方。好，你写上去， 你看看他和完全立方差公式相等相同，是不是啊？是好，那么这块体积是等于多少呢？ 他是怎么组成呢？我们就会要这么看啊。先呢，我们从底下把这块全切去，沿着，咦 哇咦，很长，第一块，这第一块，这个棱长是多少？ a， 廊长是 a， 那这个面积呢？顶面积是多少？ a 方，那它的高呢？ b 非常好，那它的体积呢？长方体体积 a 方 b， 写上一是 a 方 b， a 方 b 就是它的体积。 很好，我们再来这样，再来切一刀。嗯，今天很简单，把这块长方体又来一块长方体， 好，这是长方体。二，看这个它的面积，顶面积是多少？ a 减 b 的差乘以 b， 高度呢？ 也是 a 减 b， 很好，它的体积呢？ a 减 b 的叉的平方成硬币，太棒了，写上第二部分。 第二部分 a 减 b 的叉的平方乘以 b， 太棒了，那我们现在只剩只剩下了这第三部分，不不不，今天只用三部分，那天都用六部啊，对，这个很简单，这是不是一个什么题啊？ 长方体，这长方体的这个顶面积是多少？这个棱是多少？棱？长？ a， 很好，这个棱长呢？ b， 所以它顶上的面积是多少？ a， b 很好，高度呢？ 这个高度真棒，那它的体积呢？ a b 乘以减并的差，太棒了。第三部分写差， 太棒了，那我们再来用这个图帮你画的这个图来看一看。这个呢，中间这块是 a 减 b， 这个线上是 a 减 b， a 减 b， 这个正方体能长是 a 减 b， 那么它的体积呢？是什么呢？ 看到切了这一块，就是这一块， 哎，我们切出这块正方体了，这个正方体的体积呢？是怎么样呢？是有下面这一部分，看这块里边有一个正方体， 这个长方体的棱是多少？一，这个棱是多少？也是一，这个高是多少？ b？ b， 是不是？这就是我们的第一部分，对，是什么？ a 方 b 很棒， d 部分我们再去掉，去掉的第一部分，这个呢？我们又来了，这样切了一刀，是不是？是 在这个部分里面会有一块？ 好，一般会用这个，有这么一块， 哇，是不是有这么块？这一块有这么一块长方体，你看看 他们有没有一块长方体啊？有，那这块长方体呢？这个棱是多少？ b， 这个棱是多少？ a， 这个高度是多少？一减 b， a 减 b， 是不是他就是我们的第二 二块，是吧？这是第三块。哦，第三块，第三块是什么？ a b 成为减 b 的叉。哎， a b。 好，这块去除了以后我们再把这块擦擦掉， 一直躺一直躺在上面一样，哈哈哈哈， 看看 a 减 b 的长，算了，这么一块这么一个了。对，好，这个长方体的这个轮是多长？这个轮？嗯，就是 a 减 b。 很好， a 减 b， 这个轮呢？ b b。 这个轮呢？ 和这个人呢？也是 a 减 b， a 减 b， 这是我们的第二部分。那么它的体积是什么？ a 减 b 的，它的平方乘以 b。 哇，这是第三个，它就这一二三组成的。那你现在把它带进去做， 现在一个减 a 方 b， 两个减 a 方 b， 三个减 a 方 b 减三 a 方 b 加上 a b 分，再加 a b 分，加三 a b 分，现在再加最后一个 b 减 b， 立分。哇，爸爸飞走出来了， 怎么样？太棒了，我的天呐，回家吃豆腐喽，今晚你想吃的什么？豆腐？茼蒿小豆腐。茼蒿小豆腐吧，好，让妈妈做，哈哈哈，做茼蒿小豆腐喽。 哇塞，小豆腐好吃吗？好吃好吃，哎呦，我的妈，哈哈哈。

大家好，今天呢，我们来学习一下立方和以及立方差公式的一个推倒，这两个公式呢，相信大家应该不陌生啊，正式的学习呢，是要到高一， 而实际上呢，在初中阶段，一些拓展培育课程呢，老师也都会拓展讲这两个公式，更多的是让大家先把这个公式给背了，因为有的时候呢，可能在一些拓展题当中呢，我们会用的到，所以呢还是要把它先背下来， 但是很少会去像完全平房公司或者平房插公式一样去给大家去推导啊。那么这里呢，我给大家推导一下，这两个公式呢，到底是怎么推过来的啊？ 你看，如果我们去验证这个公式呢，非常简单，只要用后面这两块存起来，根据整式乘法，咱们乘过去就会得到这个对不对？这叫整式乘法，那么反过来是不是叫做分解因式啊，分解因式呢？哎，这个我们怎么分解因式呢？也就是我们今天要学习怎么把它推倒过来啊？首先大家看一下 a 的力 地方，减 b 的地方，你发现 a 最高是三次， b 最高是也是三次，那一次二次跑哪里去了？没有了对不对？所以这个时候我们介绍一个方法，叫做天象法啊，怎么去天象呢？你看 a 最高是三次， 你把第一项当做 a 的三次方， b 的零次方， a 非零数的零次方，一般是一吗？对不对？所以这个 b 的零次方呢，一般你不用把它写出来了啊，好，然后呢，你把 a 啊降低排列，那我是不是可以减一个 a 方 b 让 b 呢生命排列，那这里是 b 的零次，然后 b 的一次，但是你减了一个数，你是不是得加上一数，让他抵消掉，对吧？你不能无缘无故去天下。所以呢，我们又加上一个 a 方 b 啊，这样就抵掉了，对不对？好，接着呢，我们 a 再加密，我可以减去一个 ab 在生命 ab 方，对不对？然后你再加上一个 ab 地方啊，这样也会抵掉，最后呢，哎，没有了 a 的零次方，就一的不用写了，对不对？最后呢，只要超过来减 b 的立方数就可以了，中间这些呢，减一下减，加一下减加，是不是都抵消掉了？然后你会发现，这里一共有六项，我们可以两两分组啊，你看这两项分组， 这两项分组啊，这两个在一组。那我们可以提取公因式，我们可以提什么呢？这里最多可以提一个 a 的平方，对不对？提完 a 平方，也就是 a 减 b。 好，再看这边，这边我们可以提 a b 啊，把 a b 提出来，那也就是 a 减 b。 好，再看这，我们可以提 b 的平方啊，提 b 平方，也就是 a 减 b。 那接下来你有没有发现，哎，我们都出现了 a 减 b 这个英式了。好，再来一次提取公英式，是不是 a 减 b 符号存上 a 方加 a b， 再加上一个比方。哎，你看这 一个公式是不是咱们就这样天象的分方式呢？把它分离式，把它推倒过来了。好，跟我们前面这个公式呢，也是完全一样的。那么接下来呢，我们再来看一下立方和公式啊，能不能按照这个方法呢？一样把它推倒过来哈，我们试一试。 好，现在我们来看到立方和 a 立方加 b 立方，跟刚才一样，我们去填一下，刚才好像我们是先减的，对不对？我们 a 立方，然后你减去一个什么 a 方 b， 然后加上一个 a 方 b， 然后我们两两一组，你会发现这里会出现一个问题啊，如果这两两一组的话，你提出一个 a 方，他会出现 a 减 b， 对不对？ 那后面呢？你看你还是老规矩，你去写一个啊，这里又是减一个 a b 方，加一个 a b 方，这俩一组的话，你可以提出什么呢？提出 a b， 提出 a b 之后，你会发现又是 a 减 b， 这是 a 减 b， 对不对？好在后面呢，我们 把那个 b 的地方把它加上啊，加上 b 地方，这两呢，可以提取一个 b 平方，然后就是 a 加 b， 你看这个时候是不是出问题了？你这里有个 a 减 b， a 减 b， 但这里呢是 a 加 b， 那显然呢，这里是不行的，所以这个时候呢，我们稍微要调整一下，我们天下的一个顺序， 也就在前面这里啊，我们最好就不要去写这个剪了，应该是写加上一个 a b， 这样呢，我们能够造一个 a 加 b 这个英式出来啊，对吧？好，我们先清一下， 也就是说我们第一次呢，不要去剪，而是加上一个 a 方 b， 然后呢减去一个 a 方 b 啊，一加一减就抵掉了，对不对？ 下面我们会要注意到，我们到底是加还是减呢？你先别着急，我们看看啊，如果根据前面的经验，我们两两一组的话，我们可以提出一个 a 方，然后这个时候是不是有 a 加 b， 那么后面呢，你也得出现一个 a 加 b 这个英式，对不对？所以这个时候呢，你是不能 加的，应该是写减啊，先减后加，减什么呢？减一个 a b 方，然后你再加一个 a b 方，这个两个符号，在这里你可以直接提一个什么呢？提一个复 a b， 对不对？提复 a b 出来，你就会发现这其实就变成了 a 加 加 b 啊，提号要编号，对吧？提号号。好，这个时候你看 a 加 b 是不是都出现了，后面呢？一样的，我们最后是要加上这个 b 立方的啊。好，这两一组把 b 平方提出来， 也出现了 a 加 b 啊，也是，当我们提取供应式的时候，发现有不一样的音质呢，稍微要调整一下前面这个天上的一个顺序就可以了。好，接下来简单了，我们提取 a 加 b 就可以了。 好，然后呢，我会得到 a 方减 a b， 然后呢再加 b 方，这样呢，我们是不是就得到我们这个立方合公式了？这个公式呢也非常好背啊，你前面是减号，那我这前面也是减号，这这里面呢有一点像完全 办公室，但是中间向的不是二倍的收尾乘积，而是一倍的收尾乘积啊，然后前面是减号，这个中间向这里加号啊，这里是相反的符号，这加呢？这减啊， 前面的符号呢，一定是跟我们这个符号是完全一样的，后面的把它反一下就可以了。好，这是立方和以及立方差公式的一个退导，基本退导过程啊，这个方法不唯一，那我就先分享到这里。

课本上没有，但你必须掌握。很早之前课本上就删除了这两个公式，但是老曹告诉你，这两个公式非常好用，非常重要，一定要把它记住。举个例子， 一般来说我们要通过构造和配凑才能把这种柿子因式分解。哎，但是你要记住了，它岂不是一步就出来了？

a 的三次啊，实际上是不是？你看我们一开始有个 a 的陪法，减倍的陪法，我们考虑到他是两个正方形的，面积是差，是吧？哎，这个时候我们是三四哈，是不？我们就考虑他是两个立方体的体积正常，对吧？我们想到这里的时候，我们先给他做一个图传看看 啊，看看是不是能求全，对吧？证明，证明的过程中不是那种证明过程，一边说老师告诉你， a 的三次方减 b 的三次方等于 a 减 d， 括号 a 的退化，加 a b， 是吧？加 b 的退化，哎，这个时候让你去证明，对吧？ 结果你证明了，你拿这个写，把这个博士写出来，这个博士等于这个乘这个乘这个乘这个一块夹起来，然后再这个乘这个乘加起来，最后又画起来的这个，哎，说明这两个 我是小北，这种证明啊，完全没有任何意义啊，所以我们要证明的是我们要有一点的证明，好，我们要明白这是两个的体积之差，两个正方体的体积之差啊。然后我们就给大家把这个 具体的作图上画一遍，然后呢，希望大家在画图和作图的这个过程中啊，对整个这个竖写思想，无论是平面思想还是立体思想 有一个准备啊，有准备上到高中之后呢，我们会经常遇到，遇到的时候老师呢，已经默认为你已经掌握了啊，尽量把头发瞄准啊， 好，然后这个时候我们给他裁掉一份啊，我们给他裁掉哪一份呢？底层宽，层高，对吧？然后呢，这个时候就是 a 的三次码就出来了，是吧？然后我们减掉一个 ab 的三次码， 就是要减掉一个能他为必的立方体，是吧？减掉了他的一个体积，哎，我们假如说就是要减掉这个 啊，这个呢？能长 b， 我们要把这个国事算出来，我们要算到一百三十八减一百三十八的时候，实际上就是用这个大量导体的体积 在这个角上把这个棱朝并的正方形给他揭掉，对吧？揭掉了之后，那么大家就出来了，那我们看一下，我们应该揭一下啊，我们首先把它 才叫，我们看看剩下哪一块了，我们把剩下的体积给夹起来啊，哎，才叫完之后是不是就剩下，首先我们看看啊，往后看啊，是以这个 白线的部分，后面的部分我们就直接给他裁下来，假如说我们这算是体积液，是吧？我们看看体积液是有多长， 因为这个里边，这里是地，对吧？因为上面是个地，那么这条边跟这条边肯定是相等的，对吧？所以大家这里要要思考啊，这就是要立体，我就害怕同学们在这个平面上画个立体图， 这一下想不明白，你看啊，我们不能从上面这节奏里的冷场一闭的这么个力化，是吧？哎，对不对？那么 这个边上也就是 b， 那么剩下的我们要现在计算后面那部分，这个能长是多少，是不是就是 a 减 b 了，对吧？这个能长是多少呢？啊？是原来的高不变，他是 a 是吧？那么这块呢？他也 所以后面这部分的体积，他就变成了 a 的平方面的包弧， a 减 b， 是吧？好，这部分体积算出来，我们就 体积一整部分算出来，对吧？这个时候我们再看，我们再看，生怕后面的节奏了，还是前面这部分，那么是前面这部分，我们看看这部分的体积到底是多大啊？ 啊？就是把它上面截掉了之后，现在是不是这里还剩这个部分，哎？上面是不是还是就是这种， 拿这条这种颜色的给他画出来，这个时候啊，我们看看这个时候由这边是截掉的，所以这条虚线他就露出来了，对吧？哎，这条也就变成实线了，对吧？哎，对吧？ 现在就是这部分面积，哎，这部分的体积，那我们看看这部分的体积它等于多少呢？那么这一条盘现在是不是剩下 a 减 b 了， 因为这里节奏有 b， 原来是 b， 所以说可以解，对了，对吧？然后呢，我们看看这条高是多少呢？自然是 b， 对吧？那么这个斜二十分钟呢？自然也是 b， 因为这面节奏呢，它是一个冷调为 b 的这个话题， 对吧？所以这部分的面积我们把它说成面积二，他呢就是 b 的平方，对，他 a 减 b， 对吧？那么 这个时候我们还有一部分体积在哪呢？我们看看这部分体积，这部分体积是不是现在就是把从这个上面的都给截掉了，对不对？就是从 这条线上面呢？我们现在都截掉了，那么现在正式就剩了这部分了，哎， 就是个这部分，对吧？哎，我们把它说成是起击三啊，剩下的这部分我们看他的起击三， 那么体积才这块的体积等于多少呢？首先我们看着啊，这个能长 a， 对吧？这个能长是 b， 对吧？那么这个高是多少呢？因为结掉了一笔，所以说，并且对了，所以长就是 abb 的口红 a 减 b， 对吧？那么我们把这三个体积加起来，大家看一下， 是不是就等于 a 的平方？对的， a 减 b， 然后加上 b 的平方， a 减 b， 是吧？再加上 a b 倍的 a 减 b， 这把国际性题就是 a 减 b， 背的 a 的平方加 b 的平方加 a b 是不是就是我们要证明这个故事的最终结果，是不是啊？这个叫数学思想啊，一定要一体投入的体积来证明这个过程。

立方插功是 a 立方减 b 立方等于多少？同学们好，我是罗老师，欢迎来到罗老师数学课堂。 立方差公式， a 立方减 b 立方等于括号 a 减 b 乘以括号 a 方加 ab 加 b 方。好，接下来咱们看一下这个公式咱们是怎么推倒的，也就是 a 立方减 b 立方，他是怎么得到 a a 加 b 乘以 a 方加 ab 加 b 方的。咱们可以发现等号的左边是一个多项式，右边是成绩的形式， 也就说明咱们要得到这个公式。用到的方法其实呢就是应式分解法，所以咱们要想去分解 a 立方减 b 立方，就要想到 边项的方法，因为 a 立方减 b 立方只有两项，你猜的话是不好猜的。 好，这个地方如果比较有经验的话，我们可以直接去贴一个像，也就是 a 立方加 a 方， b 再减去 a 方， b 减去 b 立方。那为什么要这样贴呢？ 因为咱们这个地方有平方，所以没有贴一项出来，而且我们贴了之后，要保证咱们接下来呢能够继续的去分解，第一项和第三项结合，咱们就得到 a 平方 乘以括号 a 减 b， 然后第二项和第四项结合，咱们可以提一个 b 出来，从而就得到 a 方减 b 方，那这个呢就是平方擦过 公式，所以我们可以进一步写为， a 方乘以 a 减 b 加上 b， 被括号 a 减 b 乘以 a 加 b， 然后提取公因是括号 a 减 b， 那这个括号里面就还剩下 a 方，加上 a 和 b 相乘就是 abb 和 b 相乘就是 b 方，所以立方差的公式就为， a 加 b 乘以括号 a 方加 ab 加 b 方。 好，最后来总结下这道题，掌握立方擦公式的推倒过程是有利于立方擦公式的记忆的，你学会了吗？好了，今天就到这儿，感谢大家，咱们下期再见。

有十分以下，说啥也得背下来这四张表。

立方和拆公式为啥老是记不得？来这里看看？推倒吧， happy happy happy happy happy。