弓形面积计算方法图解

大家好，今天分享已知悬长悬高如何，求半径湖长的计算公式。圆周率派三点一四，面积等于九度乘以圆周率乘以半径的平方除以三百六， 弧长等于九度乘以圆周率乘以半径除以一百八，轴长等于二乘以半径加九度乘以圆周率乘以半径除以一百八。悬长等于二乘以半径乘以 cn 九度除以二 半径等于括号悬高的平方加悬长除以二的平方除以两倍的悬高 面积等于三点一四乘以半径的平方乘以角度除以三百六，弓形的面积等于扇形的面积。减旋长乘以括号，半径减旋高除以二。学会的朋友们双击保存！

公形的面积怎么计算？在计算公形面积前，需把这个公形变成一个扇形。公形的面积其实就是扇形面积减三角形面积， 如图所示。先把这个扇形的面积算出来，扇形面积等于三十一点六三平方，三角形面积等于二十三点五平方。用扇形面积三十一点六三减去三角形面积二十三点五二，等于公形面积八点一平方。你学会了吗？

欢迎关注 nv 数学。大家好，我是袁老师，我们来看这个题，这是一个矩形，边长是四倍的根号三和二， 里面放着一个弓形，这是相切的啊，然后这一个弦和我们这个矩形的一条边是重合的，现在问阴影部分，也就是这个弓形的面积，这 题目不是很难，大家可以尝试的做一下，在弹幕里或者评论区秀出你的答案。我们说过，只要涉及到圆半圆、扇形，我们都要连接圆形和相关点，对不对？这是一个弓形，弓形是什么？其实就是一个扇形减去一个等腰三角形，对不对？ 那我们的方法还是一样的哈，连接他所在圆的圆形以及相关电啊，我们连一下，大概是这样子的，弓形所在圆的圆形是 o， 我们连接 这个 o 与这个矩形的边的两个短点 ab 啊，以及连接圆形与切点 p， op， a， b 相较于点 q， 比如说我们是这个弓形所在圆的半径是 r 哈， 那么 o a， o， b， o， p 就都是 r 呢？很明显这直角三角形是不是就出来了？那我们的 a q 就是这一个边长的一半，那就是二倍的点号三，而我们的 o q， 那很明显就是 r 减去二啊， 就是减去这一段，对不对？在这一个三角形中应用勾股的米是不是可以把半斤 r 给解出来，那于是有 r 的平方等于啊，就是二倍的根号三的平方， 加上二减二的平方化减一下，那就是十六减四，等于零， 很容易解得，二是等于四的，也就是说我们这半径都是四了哈，那你就说我们这个 o q 的长度是多少，是不是二啊？这是二倍的根号三。那你看一下这个斜边是不是这一个直角边的二倍呀？ 那很快我们可以得到，这是六十度，当然这也是六十度啊，那这个扇形所在的圆形叫就是一百二十度了，那我们先求出这一个扇形的面积哈，就是这一个扇形的面积， 那 s 就等于拍 r 的平方乘以那三百六十度周角啊，这个扇形的圆形角是一百二 二十度啊，那就是三分之一个圆，对不对啊？那就是三分之十六排啊，再求出这个三角形的面积哈，这个就很简单了哈， s 三角形，那就等于 底，就是这个矩形的长四倍的括号三，所以这个三角形的面积就是二分之一乘以四倍的括号三，乘以二，对不对？ 等于四倍的跟号三啊，那所以这个弓形的面积是不是就出来了？那就等于 s 减 s 三角形啊，就是他减去他，那就等于三分之十六排， 减去四百的根号三啊，这个就是最后的结果了，大家听懂了吧？那就帮袁老师点赞三连一下呗。

今天我们来看一道六年级的叶子形、工形和半叶形的求阴影部分面积的题目，其实它都可以采用一种通法进行计算，跟着李老师把这一种通法学会，看到这一个图形当中，它是有一个四分之一的 圆和一个三角形组成的，那这一部分我们叫做半叶形，就是叶子的一半，那这部分面积怎么求？很明显我们用面积相减就可以求出来了。用四分之一上行的面积减去这一个三角形的面积，是不是就可以啦？ 那四分之一上行，我们可以来写一下它的面积，也就是三乘三的平方乘四分之一， 通过计算可以得出最终答案，二点五六五平方厘米，这就是半叶形的做法。用四分之一上行的面积减去中间这个三角形的面积，就可以算出这个半叶形。 像前面的这个是叶子形，叶子形的话，它其实就是两个半叶形组成了一片叶子，那我们只需要再将中间的这个部分怎么样连接起来，它就形成了一片叶子。先把这一片半叶子算出来，算出来之后答案再乘以二就可以解决了。 后面第三个图也是一样的，空白部分是一个叶子形，那我们同样可以将这个部分连接起来，这个是第一个部分，这是第二部分。那和刚才的方法进行相比，就是用这个正方形的面积减刚刚我们算出来的那一片叶子的面积是不就可以了？

蛋弧或弓形面积怎么计算？蛋弧形也就是弓形，算面积需把它变成一个扇形，弓形面积就是扇形面积减三角形面积。图中扇形面积为三十一点六三平方， 三角形面积为二十三点五平方，用扇形面积三十一点六三减去三角形面积二十三点五二，等于藏弧或弓形面积八点一一平方。你学会了吗？

上午讲完恭喜三角形的面积最大值，我说这个题必考，学生说不考怎么办？不考你给我一百块钱。我说好，我说这个题必考把。期末考的概率是百分之八十，期末不考，那就是明年的一模、二模或者某次月考，你一定会考到的。恭喜三角形的面积最大值， 嗯，因为据往年的经验以及从试卷来看，他确确实实年年都考，这个一定是得掌握的。呃。然后今天也给他们讲了恭喜三角形的面积 最大值的那个特殊的结论，就是那个点，他一定是在那两个定点的那个横坐标的正中间。呃。学带学生练的一个题，以及体会一下这个结论，他们感觉还是挺轻松的。呃。但是计算过程还是得写大题还是得写过程。可能这个复杂一点，但是结论的话他们都已经掌握了。

这是一道关于求圆形角形三角形面积的一道题，我们来看题求阴影部分面积。这是一个这个图形是由大正方形、小正方形和一个不规则图形组成的， 我们看这个不规则图形，如果去掉这个弧形，我们就可以把把它变成一个三角形了。三角形是我们三四年级学过的知识，我们看能不能把它变成一个三角形， 我们把这个弧的地方去掉，发现它能变成一个三角形和一个弓形。那我们先可以求三角形的面积，是底乘高除以二。我们知道高是这里，因为它是一个， 它是一个钝角，三角形高是在外面的，也就是四乘三除以二等于六 平方厘米，那我们再算它的这个小公式的面积。公式的面积我们知道是这个四分之一圆的面积，再减去这一个小三角形的面积，我们知道四分之一 圆，也就是三点一四圆的面积是 pi r 方， pi r 的 平方，也就是三点一四乘半径是三三的平方，等于二十八点二六平方厘米。 那二十八点二六再乘以四分之一，因为我们知道要求四分之一元，也就是七点零六五平方厘米。 我们算出来后呢，我们再算这一个三角形的面积，他这个小三角形，然后我们减去就可以了。我们知道这个三角形，他的一个底是三厘米，高也是三厘米， 因为它是一个直角三角形，也就是三乘以三再除以二，因为底乘高除以二。答案是四点五平方厘米， 那我们知道四分之一元是七点零六五，这个三角形是四点五，我们就把它相减， 等于二点五六五平方厘米， 那我们知道这个公形的面积了，再加上三角形的面积就可以了。三角形的面积是六，加上二点五六五，等于八点五六五平方 厘米。谢谢大家的倾听，有问题也可以在评论区讨论哦！

来，今天我们来讲一道非常经典的二次函数结合面积求最值问题，看看如果这道题在这次考场上，你能不能做出来。如图，给了我们一个二次函数 y 等于负 x 方减二， x 加三，他说上面有一点 p， 此时 p 在 ab 的 上方， 同学们，你注意 ab 两点，它是不是就是这个二次函数和 x 轴、 y 轴的交点？所以说此时我们一求 a 点，它应该就是零三， b 点应该就是负三零。好，那么知道了 a b 之后，他说 p 点是在 a b 上方运动，让我们去求 p a b 面积的最大值， 你看知道 a 点和 b 点，我是不是现在可以求出 a b 的 解析式啊？ y 等于 x 加三，这个非常简单，现在想要去求这个三角形的面积的话，你看看它是不是规则的， 很明显是一个不规则的三角形，所以说我们要想办法把它转化成规则的三角形。怎么去转化？爱用割补法切割或者补形。现在我是不是可以过 p 点做 p h 平行于 y 轴，此时它与 a b 交于点 h， 那现在三角形 p a b 的 面积是不是就转化成了 p h b 加上 p h a 的 面积相加，现在我们以 p h 为底去做一条高线出来，哎，那这段儿应该就是 h e。 好， 那么这个三角形我们假设它的高是 h 二，那现在它的面积就可以用二分之一乘以 p h 乘以 h 一， 它的面积就是二分之一乘以 p h 乘以 h 二。好的，我们把二分之一 p h 提取出来之后，那你看 h 一 加 h 二，你来观察一下， 其实这两段相加，它是不是就是 a 点 b 点的横坐标之差啊，所以说应该就是乘以三，哎，也就是二分之三倍的 p h， 所以 说现在面积的最大值就转化成了去求 p h 线段长度的最大值。那线段长度怎么去表示 p 点和 h 点？想要表示这条线段，是不是要把它们的纵坐标表示出来？ 所以说我们可以设一下，现在设 p 点 i， 它的横坐标是 a 的 话，它在这个二次函数图像上，所以说它的纵坐标应该就是负 a 方减去二 a 加上三。 好，那现在 h 点，它跟 p 点横坐标是一样的，也是 a， 它在直线 ab 上，所以说代入解析式，纵坐标就是 a 加上三，那此时 p h 的 长度是不是就是这两个点纵坐标相减呀？它减去它应该就是负 a 的 平方，减去三 a。 好，那你看得到了一个二次函数的解析式，我们来简单画一下它的这个图像，应该是一个开口向下的，与 x 轴交于负三和零两个点，哎，大概长成这个样子， 那此时你看想要求它的最大值，是不是也就是当 x 处于负的二分之三的时候，哎，也就是 a 等于负的二分之三时， ph 最大。我们把负的二分之三代入这个式子，它应该就等于四分之九，所以说现在面积最大就可以表示了，应该就是二分之三，乘以四分之九就是八分之二十七，这道题就解决了，这就是用牵捶法去求面积最值。 那么这是如果在考试中出现解答题的做法，如果在选题看到这道题的话，老师教你一招绝杀的方法，叫做弓形三角形，也就是当一个 抛物线，它出现了一条直线，哎，把它切割，那你看是不是就长得像一张弓一样啊？然后往往会告诉你，在直线上方有一点 p， 此时求 p a b 面积的最大值，哎，此时 p 点的它的横坐标是什么呢？就是二分之 a 加 b， 这个里面的 a 和 b 就是 a 点和 b 点的横坐标，哎，你就可以直接带入秒杀这个面积求最值，问题你学会了吗？

如图，半径为两厘米，阴影部分是多少平方厘米？大家可以先看一下这个阴影部分，它是有名字的，它就像一个公一样，对吧？所以它是公形。 那么公形应该怎么去求面积呢？它是在扇形里面占了一部分吧，所以它应该是等于扇形 减去三角形得来的。看一下啊，这个扇形减去三角形。 好，那我们就可以来求一下了，这个扇形实际上就是什么四分之一个圆吧，所以啊，每四分之一个圆里面就会出现一个公形，那么其实在一个半圆里面，它就会出现两个公形，我可以把它一分为二，你看，左边有一个公形，右边有一个公形 啊，每四分之一个圆里面就会有一个角形，所以我们可以用四分之一个圆去减三角形，那我们分别去求一求。首先先求扇形的面积， 扇形的面积既然是四分之一个圆，那我们只要用四分之一去乘圆面积，派二的平方，派二的平方，也就是派乘二的平方，二得四，正好跟他一笑约掉，算到应该是派单位 平方厘米。好，然后再算一下三角形的面积，这是一个等腰直角三角形，因为它四分之一个圆，它是一个直角， b 和高都是半径二乘二除以二等于二平方厘米， 所以最后弓形的话，就应该是等于派减二，也就是三点一四减二，等于一点一四平方厘米。所以啊，这里大家可以直接写一点一四， 如有必要，对吧？那你觉得老师我想写算式可不可以呢？可以，但是你要记得这个派减二要用括号括起来。

他狂任他狂，清风拂山岗。他恨由他恨，明月照大江，冲刺二零二四中考数学时工行面积求解思路结的一个题啊， 他说在四分之一元中 a、 d 的长度，告诉你是四 d， c 等于二倍根号二 没了。求阴影部分的面积，这两个阴影部分的组成，他是以由两个弓形组成的，对于在圆中求弓形的面积只有一个思路，那么就是用整体减去空白的，那么也就是用四分之一 圆的面积派二的平方，这里的半径是 a、 b， 减去我们空白的，这个空白的是一个四边形，不规则的四边形，所以我们怎么样 应该求这个空白的话，应该是用割补法，如何操作呢？首先我们注意到这里 ab 等于 bc， 所以最好是什么连接 ac， 让这里构成一个等腰直角塞就行，是不是简单一点啊？ 啊？我们连接 a、 c， 那么这里是一个等腰直角三角形，如果知道 a、 b 的话，这个三角形的面积 也不在话下，是不是底乘高除以二是不是？好，那么这是一个钝角三角形，并且已知条件都在这里。你看四二倍根号二两个边长， 告诉你两个边长没用啊，他又不是直角三角形，是吧？我们求不出这一边或者是这个面积来，那是不是还少了一个什么特殊的角度啊，不然我们怎么都求不出来对不对？ 那我们是不是应该回到题目中去，是不是有什么角度告诉你啊？哎，角臂是九十度，那么怎么把这些里面的角和角臂挂上钩呢？角臂是一个圆心角，那么哪个角 和这个圆形角有直接或间接的关系呢？我们先把这个圆脑补一下，给他补全了， 补全之后，角地对的弧是不是这个弧啊？那么这个弧所对的圆心角是不是这个角啊？ 整个圆形角一圈三百六，中间九十，所以这个圆形角应该是二百七没问题吧？那么这个圆珠角就是他的一半喽。一百三十度啊，一百三十五度，这是一个重大的发现， 当你看到一百三十五度的想的什么？它的补角是不是四十五度啊？好的，那怎么得到四十五度呢？我们是不是做一个反向延长线，这样子找到它的零补角就会得到四十五度啦。么延长 a d 这个角出来了吧？四十五度哦。当你有一个四十五度的角的时候，你是不是应该想到什么？ 等腰直角三角形应该马上要出现了是不是？那如不破坏这个四十五度，怎么得到等腰直角三角形呢？是不是应该过这个点 做这条线的垂线？是这样好，这样子就会得到这样 d h c 是一个等腰直角三角形啊。告诉你 d c 的长 是二倍根号二了吗？那么一比一比根号二，这里是不是二啊？这里是不是二啊？好的，那么 d h 等于 c， h 等于二。 咦，那么这个 h a c 这也是一个直角三角形，并且这个 a d 是等于四的，所以 a h 就应该等于六啦。 好，那么 ac 是不是应该可以求出来了， ac 是他的平方加他的平方开根号啊？啊，六六三十六，加上四四十四十开根号等于二倍，根号十。 有了 a c， 那就更加简单了，你看，这里也是一个等腰直角三角形，那么一比一比根号二的关系，是不是半径出来 啊？半斤等于什么啊？用它除以根号二就是半斤了，二倍根号五八，那么这个四分之一元就应该是 出来了啊。把这个带进去，二倍根号五的平方是二十，二十乘以四分之一就是五，那么就是五派，所以五派减去空白的，空白的两部分，这个我们先求出来，底乘高除以二 就是二十，除以二等于十，是吧？那么这个钝角三角形应该是也可以求吧？你看这里为作为底的话，这里就是高了，所以是四乘以二，再除以二，所以就是四。那么答案就是五派减去 十四，你学会了吗？