泰勒的课程原理可以概括为四个步骤

同学们，你们好，今天我们一起来做一个教育公共基础的问题。 泰勒关于课程设计的四个步骤分别是哪四个？ 第一个是确定目标，比如在上一节课之前，我们需要确定一下这节课我们准备达成怎样的目标。 第二个叫做选择经验。为了达成这个目标，我们需要去选择一些有利于我们实现这个目标的经验或内容。 第三，组织经验。当我们选择好了经验或内 内容之后呢？我们需要把这些经验或内容组织起来 教育给学生，有学生学习。最后一点是评价结果， 我们最终要评价一下这样的内容和这样的过程是否达成了我们预先确定的目标。

目标就是让所有的学生热爱冰雪运动，让所有的学生愿意去滑雪，感受滑雪中的勇气。我是一个滑雪健将，我特别爱滑雪，所以我能变出来啊，然后我就是比如说我这就这两三条目标吧， 就是热爱冰雪运动，了解冰雪运动，然后呢？喜欢滑雪，然后愿意去滑一些双板粘板的，然后有这种滑雪的这种勇气去面对生活。好，这就是我的目标。 然后呢？哎，那我应该怎么去达到这些目标呢？你看我要让学生热爱冰雪运动啊，我要让学生感受冰雪运动的乐趣，那我是不是应该把学生带到学场去玩一玩啊？好，我这套课程里面 我需要哪些教学经验呢？提供哪些教学经验呢？我要提供让学生滑雪啊，我要设置滑雪内容，我要设置聊 了解不同的滑雪项目的内容，我要设置了解滑雪历史的内容，我要设置这个让学生们就是感受滑雪的乐趣，比如说有一些滑雪的文章，有一些对于滑雪的感受的描述，这样子的这种文章啊，我让学生们去感受一下，这就是我选择了什么样的内容才能达到我的目标， 就是我要组织怎样的经验才能实现这些目标，就是我要找什么内容了，对不对？我设计了我的教学内容，那么这些经验应该如何组织起来呢？ 那你看啊，我是先阅读滑雪的文章，再让学生去滑雪呢？还是先让同学们去滑雪，再去讲冰雪运动哪哪些类型呢？哎，这就是方法了，比如说我这个课程里面我大部分的时间，我觉得时间出真知，我百分之八十的时间就给学生们安排 到滑雪场上去玩，越玩越开心，越玩越开心，越玩越喜欢。哎，那如果我百分之八十的时间都安排在课堂上读作文，读滑雪，真有趣，滑雪太好玩了，滑雪的历史太美好了。 哎，到底是这两种方式，哪个更有利于让他们感受到 我的这个目标就是热爱冰雪运动的。后来我讨论讨论，嗯，还是应该多带他们出去玩，让他们会真的喜欢滑雪。所以呢，我把这些经验呢，重要的组织是什么呢？靠实践。哎，这就是我设计了我的教学方法，我的教学方法就是把他们拉出去玩去， 然后最后评价如何确定这些目标正在得以实现呢？比如说，我设计的评价是，学完了我这十节课之后， 所有的学生呢，做一次调查问卷啊，然后呢，你喜不喜欢滑雪，你愿不愿意带你的爸爸妈妈去滑雪？然后呢，我再去考评一下所有的学生滑雪的成绩和所有的学生滑雪的这个时长。哎，如果给他们 半天时间自由在学场上，他们是会选择坐在那晒太阳呢，还是去自己玩？哎，都可以去看看我有没有达到我的目标，我有没有去实现我的这个课程。 好，这就是我用一套滑雪课来给大家讲了一下什么是人家泰勒的目标模式 这四个问题，其实它的本质就是什么呢？围绕目标这个词，把所有的东西都穿起来了。一是应该努力达到哪些目标？先想好你这个课程的目标是什么，然后呢， 再去想围绕目标要组织什么内容，再去想这些内容如何有效的组织，哎，就是怎么实施，然后就是实施了，然后最后如何确定这些目标正在实现，就是评价。所以呢， 泰勒模式的编写课程就是先去确定教学目标，再去选择教学经验、学习经验，然后再去组织学习经验，再去评价学习结果。 好在这里呢，泰勒模式我们最差也要背会这，这个啊，就是确定教学目标，选择教育经验、学习经验，组织学习经验，评价学习结果。课程模式就是这四句话，他的本质就是这四句话。 然后呢，实际上泰勒提出的核心问题就是这四个问题啊，四个问题是什么呢？一、学校应该努力达到哪些目标？二、提供哪些经验达到这些目标？三、 经验如何组织？四、目标如何实现啊？就是如何确定目标得以实现。这四个问题和这四个其实它的本质是一样的，这个是要求备的啊，同学们，泰勒的目标模式是要求备会的， 好，这个就是目标模式，我们花了很长的时间把它讲明白，同们记住了就可以了。你看，其实想明白这些问题，真的就编了一套课程出来了是不是？那么我们下面再来看一下， 那么下面我们再来看一下过程模式，过程模式撕腾好撕。哎，为什么我说大家都只需要记住目标模式就行了，因为这些模式不管是刚才的评价啊，还是现在的这个开发，他们都没想出方法，他们都是批判人家太乐， 然后说啊，你这样不对，但是他们说不出来我怎么做。我们来看过程模式，思腾好思他呢，内容就是非常强调过程 本身的育人价值，强调师生要互动，老师要去注重，哎，不应该去围绕那个目标，应该围绕过程，但是呢，他们说啊，老师自己去研发，老师在过程中你去想吧， 可是他没有说出我具体要怎么想才能设计出你的过程模式，所以呢，他没有系统的概括，不利于真的去用，然后在某种意义上，他其实呢，想象意义大于实际操作意义。 哎，这就是过程模式，什么意思呢？就是太乐的目标模式，太过于先想明白目标再去执行， 他就反对了，说不对，实际上课上成咋样，还是过程执行的好不好，所以过程很重要，过程很重要，那老师你要厉害哦，老师你要加油哦。那老师怎么去根据你这个模式编呢？对不起，编不出来，就这样， 过程模式撕成好丝，记住就可以了。下面我们来看环境模式啊，是丹尼斯劳顿和斯基尔贝克。哎，这两个人，这两个人基本上这个模式也没考过啊，同学们看一看就可以了 啊，他们呢，认为就环境模式呢，就叫情境，情境模式或者文化分析模式，就什么呢？就是我要开发这套课程的时候，我要分析啊环境，然后呢表述目标，制定方案，明确实施，然后检查与评价，至于具体怎么用呢，他也没有泰勒模式好用，他就是 强调了一下背后的环境，你看他后面的过程，其实跟泰勒模式是很像很像的，只不过他一直在强调这个课是给谁上的，他的实时背景，他的环境是什么好，这是环境模式，那么一般在选择题里面就会让你 判断啊，这个是什么模式，只要围绕目标的就目标模式，只要强调过程就是过程模式，只要有强调背景和环境的就是环境模式，大家知道就可以了，那么主要记住的人物呢？还是泰勒。好的，下面我们来看一下 这个施瓦布的实践模式啊，他认为课程的要素呢，主要是教师、学生环境啊， 批判这个学科主义改革态度，模式强调最终呢就是实践兴趣，把学生和教师看作课程的主体和创造者，反对过分依赖外来理论，强调的是课程理论的重建，强调课程开发与结果。然后呢，评价目标与手段，那么他认为课程的新模式是集体审议， 这个模式呢也不太重要，实践模式就是他的点都在于实践，实践实践也是比较类似于 在强调过程，那么他呢，基本上没考过啊，但是他唯一一个可能要考的点就是集体评议，那集体审议来解决课程问题，就是大家一起讨论这个课程应该怎么去做更好，好这块呢就是看一下就可以了， 我们来看这个泰勒提出课程与教学的这个理论，里面提出了四段式，就是他那四个问题，著名的泰勒原理，这模式被称为什么目标模式，因为他的四个问题都围绕什么呀？目标进行。

在教育学中，另一个常考的支付是课程评价支付泰勒。泰勒的头衔呢，也有好几个，他除了被称为课程评价支付之外，还被称为现代课程理论支付， 当代教育评价之父。他的成就和贡献主要是泰勒原理，泰勒原理是我们在考试当中经常会遇到的，那什么是泰勒原理呢？实际上和我们设计课程、开发课程有关，是课程设计的基本方法。 我们所有的课程，从幼儿园、小学到中学、大学，大家所学的知识，所上的课程， 包括现在我所讲大家所听的课程，都不是天生就有的，而是不断设计出来的。我们怎么设计或开发课程呢？他说要根据四个步骤来进行这四个步骤， 目标、内容、方法、评价。这四个步骤被称为泰勒原理。我们来解释，要开发课程，首先要确定课程的目标，比如说咱们现在这个短视频就是一段微小课程， 他的目标是让大家快速的了解教育学、心理学当中常考的几个支付，并能够实际在脑海当中围绕着目标要设计内容，而内容主要就梳理在这个九宫格里，并引申出九宫格中每个人物的主要思想。 说明好了之后采用什么样的教学方法让各位来学习掌握呢？我们通过录制小视频的方式，让大家边听边记忆，而最终呢，要对这一节课进行评价，看是否答 达到了相应的目标。你们是否知道了常考的一些支付，并且能够记得差不多，以此来对课程进行评价。这就是课程设计的完整的四个步骤，提出目标，选择内容， 选择适当的教学方法，并对课程进行评价，这也就是如何开发课程的泰勒原理。 这些观点呢，都体现在他的代表作课程与教学的基本原理一书中，这本书被视为现代课程理论的奠基石， 而泰勒也被称为现代课程理论致富。那为什么他又被称为课程评价致富，现代教育评价致富呢？这是另一个考点。泰勒提出了课程评价的基本模式。目标 模式。顾名思义，目标模式也就是围绕着目标对课程进行评价。课程设计实施成功与否，是否达到了效果，最终都要看是否达成了刚开始设计的目标。所有课程评价都要以目标为评定依据， 这样的课程评价方式被称为目标模式，这是泰勒最早系统论述的，所以泰勒也被称为课程评价致富，教育评价致富。

泰勒常考指数知识一人物介绍及评价泰勒，一九零二到一九九四美国著名的教育学家，课程理论专家、 评价理论专家，现代课程理论的重要奠基者，科学化课程研究的集大成者，被誉为当代教育评价之父、课程评价之父，现代课程理论之父。知识二，著作课程与教学的基本原理一九四九年 祝该书被誉为现代课程理论的圣经。知识三观点在课程与教学的基本原理一书中，泰勒提出了著名的泰勒原理，该原理设计课程编制的四个问题， 一、学校应当追求哪些目标？二、怎样选择和形成学习经验三、怎样有效的组织学习经验四、如何确定 这些目标正在得以实现？这四个问题可进一步概括为，目标内容、方法。评价展开就是，一、确定课程目标确定课程目标是最为关键的一步，其他所有步骤都是围绕目标展开的。二、根据目标选择课程内容经验 三、根据目标组织课程内容经验四、根据目标评价课程。泰勒认为，一个完整的课程编制过程都应包括这四项活动。泰勒原理的实质是以目标为中心的模式， 因此又被称为目标模式。目标模式是以目标为课程开发的基础和核心，围绕课程目标的确定、实现和评价等环节进行课程开发的模式。我们需要记住泰勒当代教育评价支付 课程评价支付现代课程理论支付剪辑两、评价易理论太乐园里的课程编制的四个问题一、学校应当追求哪些目标？二、怎样选择和形成学习经验三、怎样有效的组织学习经验 四、如何确定这些目标正在得以实现？这四个问题可进一步概括为，目标内容、方法、评价及 一、确定课程目标。确定课程目标是最为关键的一步，其他所有步骤都是围绕目标展开的。 二、根据目标选择课程内容经验三、根据目标组织课程内容经验四、根据目标评价课程。泰勒就分享到这里了，我们下期见，拜拜。

减速泰勒的目标模式的基本内容，一、学校应努力达成什么目标？二、应该提供哪些教育经验才能使？三、应该如何有效的组织这些教育经验？四、应该如。

三分钟一个教育学知识点，这个视频和大家分享的是我们课程开发中的泰勒原理，也是目标模式。 说实话，说到泰勒，大家后面如果去深挖课程与教学论，会发现泰勒是一个泰斗级人物，是绕不开的，那么他的目标模式有哪些观点呢？我们来分享。首先呢，泰勒说我们要先 去确定一个教育的目标，也就是学校应该试图达到哪些教育的目标，然后来选择教育的经验，也就是我们提供什么样的教育经验可以达到教育目标，就比如说小学生学拼音，对吧？ 我们提供什么样的方法让学生能把拼音很好的学会，就像说一个门洞，是呢，一根小棍，是呢，这是不是就是一种帮助学生去学会这种教育，对吧？达到 教育目标的一个过程。第三呢就是组织教育经验，我们怎么有效的把这些东西组织到一起，让学生的学习效率达到最高？第四呢就是我们评价这个教育计划， 我们既然已经确定了目标，选择好经验并且组织好了，那么我们需要有一个评价体系，对吧？我们要看这个目标怎么样才能看出来他确实达到了效果，对吧？ 所以说这个原理其实是言简意该的，他呢是形成了一种课程开发的经典原理和思路。就像说以后我们开发课程都是考虑这四点，定一个教育的目标，然后选择什么样的教育经验能把目标达到，然后我们把这些经验怎么组织起来，才能达到更好的效果。 最后呢对他进行评价，这就是一个非常言简意该的经典原理和思路，可操作性也是十分强的，并且 他突出了一个知识的连续性和系统性。还有呢，就是这个泰勒，他强调了目标的作用，就像说他最早是一直围绕着目标去确定去选择的，那么我们的一个目标感就会很强。 第五呢，就是他的适用范围非常广，他的任何学科都是可以使用的。第六呢，就是他突出了一个教师的主导性。那么 确定教育目标，选择教育经验和组织教育经验，包括我们的评价教育计划都是由老师来做的，那么教师的一个主导性自然就突出了。 但是呢，我们也要看到泰勒这种目标模式有一定缺点。第一就是他的课程开发非常的简单，非常的机械，那么有一些课程我们往里去插入一些别的东西，会不会更好呢？但按照泰勒的原理，他就不会再往里做了。第二呢，就是他不易发挥教师的灵活性，就像我 英语老师说我放一首英文歌，帮助大家串记单词，但是呢，按照泰勒原理，那这个东西能达到目标吗？他考虑了之后，没有放这首英文歌，教师的灵活性就发挥不起来，并且呢，他忽视了学生的情感和社会性， 有点像一种填压式的教育。这个呢，就是泰勒原理目标模式的一个观点，以及他的优点和局限性。

啊，大家好，欢迎来到我的小课堂，你是否常常被泰勒公式所困扰？今天我就来帮助大家通俗的理解泰勒公式。我们知道对于一些像这样复杂的函数，研究它的性质往往是比较困难的，而不像是函数的性质相对来说比较简单。 所以有的时候我们会想，能不能用一个多项式函数趋近死疑的复杂的函数，让我们来试试看。以数值得自然对数的指数函数为例子，自令出时，该函数的函数只为一，所以不妨用 a 等于一这个函数来禁死他。 我们可以看到近似函数的逆核效果十分一般，那要如何让近似效果更好一点呢？我们不妨从倒数的角度出发，如果两个函数再同一点出，估计函数 之相等，他们的倒数值也是相等吧，那两个函数应该会更近似一些。让我们来试一试。重新举一个你和函数，让他的一届倒数值和目标函数相等，很明显这样的思路是正确的。 那我们沿着这个思路一直下去。张金四函数在二阶岛，三阶岛一直到二阶岛都相等，让我们来看一看，效果非常明显，金色的效果是越来越好了。 我们再来看一看其他的函数是不是也是这样，比如这个三角函数，我们可以看到礼盒的效果也是越来越好。 那么太乐公式的弥合过程，就好像把一根笔直的铁丝不断的弯曲，一直到我们想要得到的形状为止。我们看完了图像的弥合过程，再讲一讲 故事的变换过程。我们给出一个函数的泰勒公式，我们给出泰勒公式的完整显示，可以看到泰勒公式的图像中含有很的基层以及函数自变量能自发，这样的象其实值得印象。消吧， 我们来看一看对塔求恩自导的结果，再将他们两岸相乘， 很明显，这两项相互抵消后，我们便得到了塑料灯四道数值。我们来看一个例子，再以我们熟悉的三角函数为例， 灯变亮为零时，灯饰的两边是相灯吧，对灯饰的双边求一次道， 等候，求令，再求一次 等号，毅然成立。所以我们求恩赐导数， 最终的等号都是成立的，这样我们就可以不断的弥合出最完美的拟和函数。是不是有所动了呢？关注碗猪猪侠，给你带来更多有用的知识。

我们今天来讲一讲这个泰勒，我们同学在这个考研中学到泰勒的时候，第一的话就是记不住，第二的话就是不会用，然后呢？这个还很喜欢考，那我们今天就用人话来讲一讲这个泰勒公式。 那首先我们同学要知道一个思想就是转移矛盾，假如说这个东西太难求了，那我就可以去找一个东西去替代他，但是你说替代就能够替代吗？那替代以后这个是不是准确的呢？那怎么办呢？就得试，那 我现在把这种思想提炼出来，说难求的东西等于简单并且可替代的东西，再加上一个误差，那我们现在的任务就是说去找到这两部分，那我们先看第一个部分，说简单可替代的东西，那在数学当中什么最简单？多项式最简单？你比如说 四减三的六十米，无论你是去求值还是去求岛，求值的话你就直接去带点去计算，求岛的话你多求几次的话，他的导数就是零了。这个东西基本上就属于是无脑计算，所以他很简单，那我们就选择这个多项式来作为简单或者说可替代的东西， 那我再让这个误差无限的小，那么这种简单的东西不就替代了这个复杂又难求的东西吗？那我们现在给定了一个复杂的函数是 fx， 那么呃，他按照咱们以前的思想就是说等于多项式再加上一个误差，那这个不就是多项式，多项式的数学写法吗？那么现在我写成这个样子以后，那么问题来了，那 a 零、 a 一、 a 二、 a n 这些系数都是什么呀？这一个个怎么去确定啊？那假如说 n 等于一 摆的时候，我需要去确定一百个系数吗？那这也太麻烦了，我本来就是想用简单的东西去代替这个复杂的东西，那现在更麻烦了。但是我们观察这个 发现有一个东西没用上，这个 x 零没用上，那如果说 a 零 a 一、 a 二、 a n 都能用 x 零来表示的话，那我不就只需要去确定 x 零，那么 a 零到 a n 不就自然而然的去表示出来了吗？那通过这种思路啊， 我们去研究，我们得出来说 a 零就可以写成 fx 零， a 一就可以写成他的一节倒数， a 二就可以写成二的阶层分之二阶倒，那 a n 写成了 n 的阶层分之 n 结倒，那么把它去再去带入，是不就写成了 这样的一个形式，那我写成了这样一个形式以后，就是你怎么去确定这个 x 零啊？那我们去观察这个算式，这 这个函数的大部分都是跟 x 零是有关的，那我们就找到这个函数信息最多的那个点，把那个点当成是 x 零，那么这个函数不就表示出来了吗？那我给你举一个例子，比如说 e 的 x， 那对于这个函数，我知道信息最多的点就是 x 等于零，那么假如说我去求一到二点七次米，那根据上面这个，那我是不是就可以写成 这个样子？那我们知道在零的时候信息最多，那我就让这个 x 零去等于零啊，那我们去代入去计算，那是不是就变成了这个样子？那我们这个一点二点七四米，他不就求出来了吗？ 那再比如说我再去求三按一等于多少的时候，那我们还是不知道，那我们就是把刚才那个东西拿过来再写一遍，那三三按一他是不是就等于这一堆？ 那 x 零选谁啊？那对于三 x， 我们知道当 x 等于零的时候，他的信息最多，倒数也好求，那就让 x 零等于零呗，那带入去计算那三一，他不就是求出来等于多少了吗？那通过上面这个两个例子，我们知道所谓的这个 x 就是你想求的那个复杂点， x 零是这个函数信息比较多的点，那我们就可以用这个信息多的点去代替这个复杂的点，那我们来做一个总结，那对于泰勒公式的本质其实就是用已知的东西去无限的逼近未知的东西， x 就 是你想要的 x 零是你已知的，那这也就是很多这个考研老师在去讲这个太热的时候，他告诉你说题目当中哪个点的信息最多，那比如说我给定你一个区间，这 个 a 到 b， 我知道这块 x 零的信息最多，我让你去求这一个点，比如说这个点叫 u， 那我就可以用这个 x 零的点去代替这个优点的这个信息，那 我现在我再取一个 w 点，那我就可以再用这个 x 零的点的信息去代替这个 w 点的信息，那 我再取一个 x 这个点，我就可以用 x 零这个点去代替 x 这个点，那这个也就是很多老师在去讲这个泰勒的时候，告诉告诉你的，说题目当中哪个点的信息最多，你就在那块去展开， 他就是这个道理。那么今天只是泰勒的一小部分，对于后面的误差还没做这个讲解，我们知道他有余项，是吧？那也就是说他有两种误差的表现形式，一个是皮亚诺，一个是那个拉格朗日，那我们下期再去讲这个误差，那我们下期再见。

哈喽，大家好，我是考研数学彬彬老师，我们今天呢给大家开始讲解泰勒中指定理，虽然叫泰勒中指定理，但其实在我们考研过程当中，无论是在证明方面还是在计算方面，他的应用都更为广泛。 那么首先我们今天呢先给大家讲一讲泰勒由来，也希望大家能够接受泰勒共识。那首先泰勒它的根源是在哪？是在近似计算上，就是有些情况下，我们在做近似计算的时候，普通类函数无法用具体的图像来表达， 或者说是一些呃复合结构比较多或者更为复杂的函数在预算当中呢不易花解，那么我们就会相应的考虑一些简单函数的替代，那么这个替代过程呢，其实最 为根源的是首先从拉格朗日种植定理开始，那么大家可以回顾我们前两天所讲解的呃拉格朗日定理，那么它是首先由函数差值啊，也其实在这个地方就是 fx 减 f x 零，那么除以 x 减 x 零可以写成其中某个点的一街道， 那么我们一旦一项就可以近似替代为原本的韩束 fx， 但是呢，不是所有的情况他的近似啊都是呃完全可以达到的，也就是说他的误差有时候呃是无法去忽略不计的，所以我们在这呢就要把它不断的提高精度啊， 来减少相应的误差，那么这个精度由何而来呢？就是后面这个多项式接触的大小啊，当他的这个呃倒的接数越高，他的 精度呃也就越高，那么就越趋近于 fx。 那么有的学生会说，那么老师这个泰勒公式既然要研究精度，那何必在这个地方还要在具体约束在一级岛还是二级岛等等呢？呃，是因为我们不同的情况下，对于精度的要求是不一样的。 那么举例子，比方说啊，大家在这个呃铁路，铁路他的这个呃建造过程和航天的这个建造过程，他的精度要求都是不同的。所以啊，同样道理，我们在计算过程当中呢，有些情况可能一阶精度就足够了，但有些情况呢，可能需要三阶精度等等。 那么这个精度，呃，根据我多项式来讲的话，其实可以不断的延展开啊。实质上，我们通过今天的这个学习，就要理解我们泰勒公式 在高阶可倒的情况下，可以利用一个 n 次多项式来近似表达 fx。 当然了，呃，很多学生呢，比较崩溃的是这个多项式的 a 零， a 一 a 二一指导 a 零的系数，其实这个系数哈，不难去求证，因为我现在就是想将 fx 拼 x 做一个高阶误差。那其实在满足 fx 近似等于上述多项式的时候，我们可以不断的在等式左右，在 x 零点处做高阶岛的运算，那比方说 现在这个等式，我左右直接令 x 等于 x 零，那么显然左边是 fx 零，右边是不就是 a 零啊？那就相当于 n 次多项式当中的 a 零就是 fx 零。那同样的等式左右同时求解一阶倒， 那么在求一阶倒的情况下，大家想一想，在 fx 在 x 零点处求一阶倒时，他会有一撇，那么在另外一侧的时候，这个 a 零求一阶倒，直接就是零， 但是二次方一次到 n 次方的时候，我们求一阶倒，将 x 零带入，大家会发现这些项都是零啊，也没有了啊，那很显然，这一项因为是一次方对 x 求导，直接就是常数，那么显然 a 一是不是就是 fx 零的一阶倒啊？ 啊，那么同样的妈妈，大家能体会到啊，那现在等式左右在干什么？在求二阶道那二阶道的情况下， fx 零现在是二阶道，那么等式另外一侧二阶道二阶道这都消失了，为零， 那么这个二级岛正好就是二的阶层吧。哎，所以啊，剩余像在 x 零点处也是零，我们会发现 a 二其实就是二的阶层，分 是 fx 零的二街道。那么以此类推，我们就会发现，泰勒虽然说是通过 n 次多方式来替代， 其实是可以具体把它出长数系数的一种哦，多少式？那么这一面呢？实际上屏幕前的这一面啊，也就是告诉大家哦，多项式在该点的 k 街道和 f 在该点处的 k 街道相同， 这样就是刚才我讲的，把 a 零一直到 a n 全部具体表达出来，那么最终我们就得到可以用这样一个多项式，就是拼 x 来近似替代我的 fx。 那么这个狮子是我们今天第一个泰勒展开的原油，当然这个 n 呢，可以达到无穷，他越去无穷就越等于 fx， 如果他不是去无穷呢？有时候是越 约等于需要一些鱼像去约束他。那么希望大家呢，今天就泰勒问题的由来，能够对他先做一个了解，那么整个这一部分多项式的由来能够理解到，那么明天我们就可以在泰勒的基础上啊，演练其他的知识点。好，我们今天的知识更新到这，明天我们再。

同学们啊，今天我们来研究太乐公式，前一节课学微分的时候，我们学了 dy 等于 fx 一撇成 dx， 其实它是 derty 与 dertex 的近似表达，那我们继续把它展开，就是 fx 减 fx 零，约等于 mx 的 e 街岛乘 s 金 x 零。那通过一项之后，我们发现 f x 约等于 f x 零加 f x 零，一撇成 x 减 x 零， 这样我们就把 fx 近似的表达为了关于 x 的一个依次表达式。那当然了，这样的表达式是非常的不精确的， 我们就想怎么提高他的精确表达度呢？这里是关于 x 减 x 型的依次表达式，我们能不能把它扩展到 n 次表达式来代替他呢？ pnx， 这里是关于 x 的 n 字表达。是啊，它能不能代替 fx 呢？当然也只是近似等于，所以我们认为 fx 约等于 tnx， 要想让他等于的话， fx 必须要等于 pnx 加一个余项。 这里的鱼像是比 x 减 x 零的 n 次方更高，接的无穷小。求 p n x 的关键就是要把前面的系数给他确定，我们现在就来确定他前面的系数。 a 零就应该等于 p n x 零，那也就是说 a 零 a 一等于什么呢？我只需要对 pnx 求一接导，前面求导就变成零了，这里求导就剩下 a 一，这里求导是两倍的 a 二乘 x 减 x 零，从这项往后求一， 一阶倒，把 x 等于 x 型带入，后面的结果都为零，那所以说 a 一 就等于 fx 零一撇。 用同样的思路，我们来看一下 a 二等于多少。刚才求完了一接倒，这里我们再求二接倒的时候，前面的 a 一就变成零了，这里就是 a 二，后面 a 三乘 x 减 x 零的三次方。求二街道之后还有 x 减 x 零带入 x 等于 x 零之后，后面又都是零的，所以应该是两倍的 a 二等于 fx 零的二街道。同样的推理方式的话，后面就是 三的阶层位的 a 三等于 fx 零的三阶段。 那一直写下去的话，就应该是 n 的接乘 b 的 a n 等于 fx 零的 n 接到， 这样我们就把 a 零到 a n 都给计算出来了。我们来看一下现在 fx 可以写到什么啊？那这样的话我们的公式就出来了， fx 在 x 零处具有 n 接到存在 x 零的一个淋浴， 对，淋浴淋的 x fx 就可以等于 fx 零加 fx 零的一接导除以一的接成乘 x 减 x 零加 fx 零的二接导除以二的接成乘 x 减 x 零的 二次方继续加加到 fx 零的按揭导 除以 n 的阶乘乘以 x 减 x 零的 n 次方，再加于项的形式。 这样我们就把 fx 给他近似的表达为了关于 x 的密函数的形式。

泰勒，科学管理之父，出身于美国一个富有的律师家庭，他做过机械厂的学徒、技师、主任、工程师。这些经历让他能够了解工人的种种问题和态度，直到一九一一年里程碑，只做科学管理原理问世。 本书主要探讨了管理的本质问题，其如何在有限的时间获得生产率最大化？这些答案在一百年前已经给出，让 我们惊讶的是，即使到了今天，依然能够清晰的帮助我们进行管理时间。本书的思维导图包括四个维度，维度一，科学管理间信什么。维度二，生产效率低下的三个原因维。 维度三，科学管理和通常管理的区别维度四，科学管理四要素本书用搬运、生铁、产运矿石、砌砖、精密铸件四个经典实力论证了 即便最原始、最初级的劳动也蕴含了科学，最高级的工种更需要分工协作与合作。本书也重点探讨了通常管理的最佳模式， 本质上是以提高积极性加激励模式的管理。管理者面临最大问题是，要想取得业绩，必须大规模调动工人积极性，但实际上很难。而科学管理的本质是在更大范围通过协作和体系化来调动积极性。 最后，泰勒得出科学管理的四原理，一，管理要形成科学而非经验。二、科学的选择工人。三，科学系统的培训教育工人，而非工人自我训练。

这个用太老，公式就这三个点，第一什么时候想到用？第二，用哪一个？第三在哪一点用。 这三点如果把握住了，其他都是一些具体工作。哪一点上用呢？也有很多同学有经验说端点上用啊。对啊，那不是一个一般规律。 确实有很多问题在端点用做出来了。但是也有很多问题在端点用做不出来，在哪一点上用啊？你注意，他右端的多项式的系数都是用这一点的，函数之各节导数之表示出来。 所以 x 零选谁啊？就是题目提供哪一点上函数值导数值信息多就在哪一点用。为什么？因为这一点提供的信息多。我写出这一点，他的公式我的系数就知道的多，处理起来就更方便。

如果从大学里面啊，偷学一个知识回去参加高考，你觉得选哪一个是最有可能帮助你上清华的？ 我的选择是泰勒公式，泰勒公式是大学里面的基本操作，但是如果把它放在高中的话，那真的是可以用来砍瓜切菜，大杀四方啊。参加竞赛的同学学了这个过后去做高考题，只有一个感觉，那就是降维打击 他的公式所做的事情啊，就是把一个函数按照需要把它拆解成无穷多项来进行叠加，比如说易的 x 次方等于右边这么一长串，这就是他的图像，这是只有一项的样子， 这是有两项叠加，这是三项叠加的样子，一直持续下去，就是哎哎哎哎哎， 没看清楚的话再看一遍，哎哎哎哎哎哎，就是这样，当他叠加到无冲向过后，两条曲线最终重合， 哎，且慢。为什么说他可以重合呢？凭什么说他可以重合呢？其中的根本原因是什么呢？先别 着急，我们来看一下车再说。假如有两个车起步速度一样，加速度一样，加速度的变化率一样，加速度的变化率的变化率一样，这样一直一样下去。那你说他们的运动轨迹是不是一样的？回到他的公式等式两边，在 x 零这个地方，他们的直是相等的， 他们的一借倒数也是相等的，二借倒数还是相等？以及啊，任意借倒数都是相等的。那你说这个函数以后的走向是不是就完全一模一样的呢？这样的解释你给几分？

很多同学私信我想听泰勒公式，今天我们来讲一下什么是泰勒公式。其实我们高中阶段所用到的泰勒公式就是泰勒公式当中的麦克劳零展开式。这个展开式的意思是指任意一个函数 fx 都 可以展开成 fx 的 n 接倒数的一个关系式。这里我们以 fx 等于 ex 举例，显然 f 零等于 e 的零次等于一， e 的 x 次求导还等于 e 的 x 次， 所以不论 e 的 x 次求几节倒，他在 x 等于零处的倒数值都等于一，所以我们就可以得到 e 的 x 次的麦克劳零展开式。同样的原理，我们还可以得到高中阶段常用的浪一加 x 的麦克劳零展开式以及撒 ex 的麦克劳零展开 开始。但是在高中阶段，不论是泰勒公式还是麦克劳林展开式，都是没有办法直接使用的。在答题过程当中，我们更多的是利用泰勒公式的二级结论，也就是我们常说的切线放缩去具体解决问题。这 还是以 e 的 x 四为例。显然 e 的 x 四的麦克劳零展开式的后半部分，也就是二分之一乘以 x 的平方加三的阶层分之一乘以 x 的三次向后累加，他的结果是大于 于零的。那么不等式左右两边同时加上一加 x， 我们就可以得到 e 的 x 四是大于一加 x 的这个结果，也就是我们常见的 e 的 x 四在零豆一处的切线是 y 等于 x 加一。同样，根据麦克劳零展开式，我们还可以 可以得到下面几个不等式。所以大家可以发现所谓泰勒公式以及麦克劳林展开式在高中阶段的应用与切线放缩其实并没有本质的区别。 根据刚才的结论，我们可以将 e 的 x 四放缩成 x 加一。大家注意，出现大于等于号或小于等于号的时候，一定要写清楚取等的条件。同样的，我们知道捞人 x 在一到零处的切线是 y 等于 x 减一， 那么 lon x 加 m 就相当于是这个曲线向右平移了 m 个单位，那么他的切线也同样要向右平移 m 个单位，所以我们就可以得到 lon x 加 m 应该是小于等于 x 减一加 m， 所以利用这两条切线，我们就 可以将 fx 放缩成二减 m， 因为 m 小于等于二，所以二减 m 大于等于零，所以我们就得到了 fx 大于等于二减 m 大于等于零。 但是因为两个大于等于号，一个是在 m 等于一时取等，一个是在 m 等于二时取等，所以二者是不能同时取等的。所以最终结果就是当 m 小于等于二时， fx 大于零下课。

关于泰勒为什么要引出泰勒尔公示，因为之前我们讲这个威芬是这么说的，但是 toy 啊，约等于 f， e， p， r x 乘以 dot x， 那这个就是我们用威芬啊做近似的时候是这样的公式。其实威芬那个公式是这样的， b y 啊，是等于 f， e， p， r， x， d x， d y 啊，是它的近四指吗？ d y 啊，是它的精确值，用 d y 啊来越等于的是 d。 如果我们把这个式子改写成 d y 啊，我写成 f x 减 f x 零，那你说变化以前的 x 是 x 零，变化以后的 x 是 x， 这样的话，就是 x， 那约等于什么呢？在 f 一撇 x 零乘以 x 减 x， 那等等 x 啊，就是变化以前的减变化以后的，所以就是 x 减 x 零。那这个是的，我们可以把它写成 f x， 约等于 f x 零，加上 f 一撇 f 四零乘 x 减 f 四零。那这个式子啊，因为这个 x 零啊，是个固定 的值，所以啊，在 x 零处啊，他的函数值，以及在 x 零处啊，他这个倒数值就已经不确定。哦，不管他了，我们想近视这个 ff 四，他的本质是什么呢？是用的 f 四减 x 零，但前面呢，又配了个这个长数，又配了个这个细数，对不对？他的本质啊，是用 f 四减 x 零，这样的一个依次的表达，是 来禁撕 ff。 所以啊，这就你看哈，不管这个 ff 死，它是个什么函数，我们都把它禁撕成了一个依次函数。

大家好，今天我们就来讲一下泰勒公式和麦克劳令公式，那什么叫泰勒公式呢？你来看啊，这讲内容分两部分，第一部分的话就是简单介绍一下这个泰勒公式和麦克劳令公式。第二部分的话，还得讲一下这个泰勒中式定理，还有拉格朗有一项究竟是什么东西。咱们先来看这个第一部分吧。 第一部分的话说这个态度定理啊，那什么叫态度定理呢？来看了，如果说函数 fx 再点 x 零处，由 n 阶倒数，你有 n 阶的话呢？ n 减一减二减二减零就都有了，对吧？然后那么就会有怎样的一个结论呢？ 那么就会有这样一个结论，这个结论指的是 fx 等于 fx 零，这个 fx 零指的是某一个点处 x 零，这个点处的函数值啊，这个带 x 的部分才是这个变量的啊， x 零是一个确定的值啊，然后这个 x 是一个变量，一定注意这一点， 然后就等于。哎呦，后边还是挺有意思的。二，那如他中间如果再继续往后写第一项，第二项，第三项，那接下来要写的话，那就是三的阶层分支 f 三街道的书，我就写成片片片 x 零。好，那后边是不是还得依据这样一个规律，还得写成 x 减 x 零或者三次方，懂了吧？那继续往后他有 n 接的话，但是究竟有没有 n 加一接，人家没说，所以后边的话，如果有 n 加一接，你可以一直往下洗啊。 嗯，但是如果再往下没有 n 加一阶倒数的话，那就只能写成这样一个鱼像的形式了。那究竟这个 rnx 究竟是什么东西呢？咱现在就告诉你啊， 这个后边啊， x 这个知道叫什么符号吧？这不就是一个无穷小量的意思吗？我写一下，其实这个就叫 fx 无穷小亮，他要这么写的话，那就指的是 x 减 x 零这样一个 n 次方 这样一个函数的无穷小量。好了，这是一个无穷小。那继续来说，那公式一的话就称为什么？实际上我想说的这个 r n x， 他指的他的名字叫做佩亚诺鱼像，知道这个佩亚诺是一个名字就行了啊， 然后称为带佩亚诺鱼像的泰勒公式。原来这个公式就叫泰勒公式啊，然后具体来说的话，就要带佩亚诺鱼像的泰勒公式，那有些时候用的还是挺多的，如果说哈，如果说我只保留这个前两项的话，咱们你喝一下啊， fx 等于 fx 零，加上 f 片 x 零，然后 x 减去 x 零，因为你后边很可能还有这个鱼像，对吧？所以我们暂时先写上这个约，等于你和了一下，就接近了一下。那我要再写的话，很多同学就知道了，你这个 fx 就是 y， 嗯，我这个 y 零，这个 x 零， fx 零的话，我不妨就写成这个约等于什么？约等于外零，给我移过来呗。外减外零等于，这个不就是某一店主的什么切线的意义，不就是斜率吗？ k x 减 x 零，我的天呐，所以呢，他经常利用这样一个 精确到哪，精确到一些导数的部分，经常来这样一个线性的礼盒，这个用的是非常多的，在数学分析里头，经过这样的线性礼盒之后呢，可以大大降低数学分析的难度，你到之后学数学分析自然而然就明白了。 那好，继续往后，接下我们就要证明一下这个态度定理了，那怎么去证明这样一个态度定理呢？告诉大家，实际上呢，并不难证明，我们需要这么来写，主要是想证明啊，这个 rnx 他是一个无穷小量，是关于什么呢？是关于这样一个 x 减 x 零 n 次方的无穷小量。嗯， 怎么去写？咱们一步一步来啊，那我就写这样画横线的部分啊，前头就写成什么，写成这样一个耒合的符号啊，这样一个求和，求和的话，这个求和下标是多少？那我就写成 i 等于零啊，因为是从这个零接到数，从原原函数开始写的， 然后 i 的切成分支 f 哦 i 街道数所对应的 x 零处的 ij 导数，然后再写 x 减 x 零 i 次方。好，这么来写， 那这么来写的话，那所以说呀，我这个 rnx 不就相当于 fx 减去红色的部分，红色部分我们就写成这样一个求和的部分啊，我指的是红色的部分，所以说这个 rnx 是不是变成这个样子了呀？当然需要注意的是一点什么呢？ 我们其实在中间是规定了，规定这个零阶岛数十项就是圆函数本身这个是已经规定好了，并且规定什么呢？规定这 零的接成，它本身就是等于一的，这样的话就符合要求了。那么我们再继续往下写啊，当你写出这个样子来以后，接下来我们是不是只需要证明什么？ 我们接下来只用证明，因为你是想证明后边他是谁的，是这样一个 x 键 x 零 n 次方的无情小量。无情小量的定义不就是写我们上边是不是可以一直去求到的呀？然后下边也可以一直去求到的呀？而且上边和下边都是当 x 去运用 x 零时候，都什么 啊？无穷小亮，所以说无穷小亮比上无穷小亮。零比零的性质，你看左边是不是零比零啊？他是一个零，既然符合零比零的不定时的话，那接下来是不是要利用诺贝达法则？诺贝达法则我们一直求道嘛，对不对？ 左边我就直接写了画圈部分呢，整体我就写成左边这个狮子了，左边这个狮子一接倒数，二接倒数，一只写到多少？一只写到 n 接导书我就一直写下去了，我省略了很多东西的啊。下边你经过 n 次求逃，第一次求导的话是 n 乘 x 减 x， 零的 n 减一次方，那第二次求的话就变成了 n 成什么？ n 乘 n 减一，再乘 x 减 x， 零的 n 减二次方，就一直求导下去，最终的话就求逃成为什么了？经过 n 次求导 就变成了 n 乘 n 减一，乘 n 减二，一直乘到一，那其实最终结果它不就是 n 的阶层？原来分母是 n 的阶层啊，那这个分子的话也不麻烦，因为分子的话，我们看 分子就是这个 r x 吧。 r x 分成两部分，左边这一部分的话，你经过 n 次求导，那不就是 f n x n 接倒数吗？对吧？那后边求和部分的话，大家一定要注意，求和部分的话，我们展开时间就是红线部分，大家能看出来这样一个红色的部分吧，这就是 r x 后边这样一个部分。你经过 n 次求导， 同学们告诉我经过一次修道画圈部分得几？因为他是一个常数，经过一次修道得零吧。但是我们要经过 n 次修道啊，经过第二修道时候他也变成零了， 第三个球岛时候他也变成零，所以经过第 n 字球岛以后只剩下最后一部分了。那既然只剩下最后一部分，最后一部分怎么写？我就直接写出来吧。我就直接写了最后一部分。经过 n 字球岛以后，这个 r x， 他就是 fn 接导数。谁呀？ x 零所对应的 n 接导数。 那最终结果，因为 x 需选 x 零，你把 x 零带入这个位置，最终结果不就是零吗？所以说这个 r n x 这样一个培养的鱼像，他是不是一个无穷小量啊？他当然是一个无穷小量，谁都无穷小量， x 键 x 零 n 次放的五成小料。是不是证明完了？证明完泰勒定律了呀？那继续往后说，接下来就是这个泰勒公式和买卡罗定公式啊。现在我们来说一下这个 泰勒展开的唯一性。刚才说过了啊，说过你展开以后呢？一次方，二次方这样一个规律，最后太带这样一个培养的鱼像， 那么他是不是唯一的呢？就是说展开成这样一个规律之后，这个 a 零是否一定对应的是这个 f x 零？那这个 a 二的话，是否就一定对应的是二的阶层分支？ f p r x 零是不是一定这样？我告诉大家，肯定是唯一的，一会我会帮助你证明一下的啊， 肯定是唯一的。后边告诉你了，这个鱼像也满足他就是 x 加 x 变蓝字方这样一个函数的无穷小， 那么一定有这样一个规律，发现了，发现了，没有，他就是告诉你，泰勒展开肯定是唯一的 a， 零是一个确定的数字，然后 a 一呢，也是一个确定的数字， a 二， a 三一直到 a 都是一个确定的数字。那具体来说怎么证明？我跟大家说一下。证明的话，因为需要用到红色部分这样一个公式， 我们先看题，接下来他让你证明什么？证明泰勒展开唯一性定理。怎样证明这个唯一性定理呢？我只能说是类似于数学归纳法，但是不能叫数学归纳法。那好了，我们证明了啊，证明的话，我们让 k 等于几啊？ k 最小，他是自然，那肯定是 k 等于零的时候啊， 可以等于零，可以等于零的话，那左边的话，我们就将 x 零带入第一个这样一个式子中， 那待会以后左边就变成了 fx 零了，右边就变成了 a 零了，后边你看这是多少啊？零啊， a 二乘零啊， a 三，后边都是零，我们就不写了。所以说你看第一部分球队老爸，第二部分我们看对不对啊？ 当这个 k 等于一的时候呢？他这个规律是告诉我们什么？告诉我们 a 一等于一的结成分值，实际上也就是 f px， 怎么证呢？这个呢，也要说我们先求到一次啊， f 片 x 对谁啊？对，这样一个式子求导一次，以后常数求导零，我们就不写了啊。好，第二部分求导以后就是 a 一， 然后第三部分呢，就是二倍的 a 二，再乘 x 加 x 零，然后后边的话就是一次方啊，然后继续往后斜那双写的就一样了，我们还是另外 x 等于 x 零，但是呢，带入上边这个式子里头，一带就带出来了 f 片 x 零，右边是 a 一，后边是什么呀？后边实际上他都是零了。有人来说他这样一个鱼像究竟长什么样子？你这个鱼像原来 这个 r n x， 他是谁的无穷小量啊？是 x 减 x 啊， n 减一啊， n 节的这样一个无穷小量。那如果你对人家进行了一次求导以后，我就写成这样一个符号了啊，那不就你看上边求导的话，括号里头求导谁都会吧，那不就变成了 x x 减 x 零， n 减一接这样一个无穷小了嘛，对吧？所以后边的话，实际上都是加零，那同理可得括三，当 k 等于二的时候，说你这个 f 片片 x 零是等于二倍的 a 一的 a 二的啊，那 反过来的话，你说你这个 a 二等于多少，那不就相当于 a 二，它是等于二的阶层分支， f 片片 x 零往后推，其实道理都是一样的， 最终我们会推出来这个 a k， 它就是等于可以接成分支，可以接倒数对应的这样一个值，这不就完了吗？这就证明了这个泰勒展开的唯一性了。那接下来我们就要总结一下这个泰勒公式的好处了啊。这个泰勒公式的话，你也看到了，它可以将一些复杂的函数， 毕竟近似的表示为简单的多项式函数，你看后边他是不是一个多项式的形式啊，因为 a 零 a 一，这些都是什么？都是系数，都是长数啊。正是因为他 公式有了这样的好处，这样的优点，泰勒公式呢，这种化繁为简的功能，才使得他成为分析和研究是一个数学问题的有利工具， 那接下来我想说的就是这个麦克劳林公式了。究竟什么是麦克劳林公式呢？其实非常好说，泰勒公式里头的话，我们是在哪个点处展开的？是在 x 就是自变量 x 零这样一个确定的位置展开的，现在我们让这个 x 零等于零复制就可以了，带进去吧。那 x 减零的话，那后边就不写了， x 减零的一次方， x 减零的二次方，是不是那后边都一样了？原来啊，麦克劳林公式它实际上就是泰勒公式的一种特殊情况，是泰勒公式在 x 零等于零处的这样一个展开，就叫麦克劳林公式了。麦克劳林公式就是泰勒公式的一种特殊情 情况，指导就行。那但是我们并不能满足以上对于像 r x 的定性表述。为什么 定性表述呢？因为我们只知道他是这样一个 n 次方的无穷小，包括这个太乐定理里头，太乐公式里头也说明了他只是一个无穷小，并没有定量的来描述，能不能用一个公式来定量描述出来呢？ 可以的，所以接下来我们就要介绍什么介绍这样的泰勒种植定理了。微分种植定理有有三个，他不包括泰勒种植定理，微分种植定理有什么？拉格浪日定理， 哦，还有什么罗二中指定理，还有克西中指定理。我想说的是，最后我们证明拉格朗日鱼性的时候，证明过程并不是用的拉格朗日定理，用的是克系中指定理。所以之前我们讲的克西中指定理，回去一定好好复习一下啊，那他的中指定理，他的表示是什么呀？ 如果韩束 fx 在 x 零某个开区呢？ a 到 b 内有 n 接一接啊，有 n 加一接的倒数，一定记住了啊，那么对于任 任意一个 x 在 ab 范围内，那此时的 fx， 你看展开的话，前头都是一样的，没有任何区别，就是泰勒展开， 那后边的话，这个 r n x 不是，不是说就是简单的这样一个无穷小就可以了，人家是定量好写出这样一个式子， 哎，这个狮子的话，我们发现这个规律还是符合的啊，只不过呢，你看，如果说他下一个写成 x 零，那 接下来是不是就符合这个规律了？但是呢，我想说的是，它里头这个科赛不是 x 零，它是介于 x 和 x 零之间的，所以呢，它这个东西叫什么？最后这个 r x， 如果你定量的这样写出来这个公式，它就成为 拉格朗日鱼香了。那如何去证明这样的泰勒种植定理呢？我想告诉你啊，如果你想证明泰勒种植定理，一定再看一遍，可惜种植定理的内容啊，上期我们都讲完了，那怎么去证明？现在就来说了啊， 这个证明过程并不简单，首先我们要构造两个函数，两个辅助函数，那另外一个辅助函数的话就是这一题，这一题的话好说，这个就很简单了， x， 注意一定要把 t 看成自变量啊， n 加一次方，那写完这个之后的话，显然我们两个函数，这两个辅助函数，因为什么？因为这个 ft 和 gt 呢？他在哪啊？在 x 零到 x 这样一个 b 区间是连续的，但是呢，这个 x 零和 x 不一定哪个大啊，或者说如果说这个 x 比较小的话，我们就应该写成 x 到 x 零这样一个 b 区间了啊，他是连续的，好 在 b 区间连续，而且在什么？在开区间。可倒吗？ x 到 x 间，哦，可倒。所以说是不是由科系终止定理，所以我们直接写科系终止定理，马虎就简写了啊。那科系终止定理的内容 指的是什么？指的是我直接写与 x 之间，后边我为什么没有写成这样的区间的形式？因为我们并不知道这个 x 零和 x 哪个大哪个小啊，所以，但是这个可在肯定夹在他俩之间。 那写到这之后的话，接下来一定要注意一点。注意什么？你自己带一下，你把所有的 t 注意啊，把所有的 t 都换成 x 以后，你这个 fx 是不是等于零啊？同样的道理， 你后边你把这个字变量 t 换成 x 是不是也是零啊？所以这是零，然后这一部分也是减到的零，那后边就好说了，咱就继续来算了啊。减零后边就不说了，他是等于这个 f 片的话。哎，他怎么算？你自己来好好算一下，最难的时间也就是这一部分，求职。 嗯，多算一算，多练一练，多花点时间，肯定可以写出这样一个结果来。分母这个球导就非常容易，我就直接写了，确实非常容易，一定要注意这个内存来说， 这个 t 前头自备辆，前头带有一个副号，所以这个位置我们也加上这个副号，那最终的话一处理就变成了。所以这个 fx 零等于什么？等于你把这个这个 x 零直接写到后边去啊，那就是 n 加一接，哦，这样的接成 f n 加一接 x 键。为什么 x 键 x 零 n 加一键？因为你已经把 gx 零给移到右边去了。写成这样一个指以后带入哪？带入这样一个式子，带入第一个式子里头啊，带入了 带入这样一个式子中，最终就写出来了。所以说 frx 等于等于什么？就等于这样一个你需要求证的形式。剩下我就不多写了，这个还是有难度的。 那么最后一点的话我就说一下这样的带拉格朗日鱼巷。什么叫拉格朗日鱼巷呢？咱们看着啊，将带有拉格朗日鱼巷的他的公式刚才已经说过了，就是后边这样一个形式，他就是拉格朗日鱼巷的。我们 这什么，我们让所有的 x 零都取成零，你看 x 零等于零的时候就变成了什么泰勒公式，就变成了麦克劳令公式。 嗯，然后这个可赛的话变一下形式，但是本质是一样的。最终这个形式的话就叫什么？就成为带拉格朗日鱼像的麦克劳林展开时。那这节课你学会他的公式和麦克劳林公式了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

每天起床头件事先背一遍展开式，我们数学就大气一提，八个文凭，一杯酒，一包烟，一到积分算一天大油腰欧米卡，请问这腰子有多大？