洛伦兹变换公式推导过程

发明落轮子变幻的真是个天才，总算明白光速为什么不变了。假设你开车去接你女朋友，不留神，一脚油门开过了，女朋友生气说他没动，你向前跑了。你 心绪辩解称你没动，他再向后退。在爱情世界，你们对错与分，但在物理世界，你们输赢未定，因为运动是相对的，只是参考系不同。我们进入四维时空，再来看看，把你们运动的每一针对叠在一起， 随着时间不断前进，你女朋友留下一条垂直的世界线，而你则留下一条倾斜的世界线。现在以你为参考，西边换一下， 你留下了一条垂直的世界线，你女朋友则留下一条垂直的世界线。这就是理工男治圣法保之伽利略变换。再比如，你开车向前扔一个球，你女朋友红颜一怒，决定跟你既分对错，又定输赢。他说根据伽利略的理论，此时的球速肯定变快了， 等于求抛出时的速度加汽车速度。这似乎听上去非常合理，但别急，你还有制胜法宝，那就是斯坦大哥的光速不变原理。你们同时打开手电筒，你说你女朋友光速是每秒两亿九千九百七十九万两千 四百五十八米，你女朋友说是的，光速是每秒两亿九千九百七十九万两千四百五十八米，地球人都知道。你说你的光速也是每秒两亿九千九百七十九万两千四百五十八米，你女朋友说是的，光速是每秒两亿九千九百七十九万啊， 千四百五十八米，地球人都知道。你说根据伽利略的理论，此时的光速应该变快了，等余光发出时的速度加汽车速度，这听上去似乎也非常合理。于是你女朋友在做矛盾中走向爆发。但别害怕，这是你还有制胜法宝。你可以用落轮子变换去哄她，告诉她，你我接凡人众生。 不错，只需要同时移动空间和时间切片，就可以让光速在任何参考细下都不变，这就是落轮子变换的厉害。而空间和时间的扭曲方向取决于观察者。比如，当你开车时向你女朋 朋友时，你女朋友会发现你的时间变慢了，车辆长度也变小了。这就是狭义相对论的神奇。就好像从地图上看，你们家旋转时好像位置和方向都变了，但现实世界什么也没发生。同样的，在落轮子变幻中，改变参考系也不会对宇宙产生什么影响。不同的是，旋转地图轨迹是一个远， 而裸轮子变换轨迹则是一个双曲线，他改变了点与点之间的距离。但是这不重要，因为双曲线上所有点到中心距离是相同的。这就是哄女朋友的令的制胜法宝，打开时空几何的蜜月，宁可夫四季度归。他指出是空图是抽象的，点与点 之间的图表距离并不是实际距离。就像把地球一变成世界，地图中心到各点的距离实际上都是一样的。而且变换参考戏时经典地图是三百六十度旋转，落轮子变换则是沿着双曲线无线旋转， 旋转的角度相当于运动的快慢，我们称之为快度，它可以衡量两个参考系的相对移动速度。当你车速无限加快时， 最终会达到光速。因此，当你打开手电筒时，并不是汽车的速度和光的速度相加，而是汽车的快度和光的快度相加。由于光的快度经是无限大，光的速度也只能处于最大值，即在任何参考卸下，光速都是不变的。

啊，洛伦兹变换最早的时候，洛伦兹啊，是为了解释为什么我们找不到光的参考器，找不到以太而所提出的一种理论。他说，因为在物体运动的时候，他长度会收缩啊，相对以太运动的时候长度会收缩啊，所以你才没找着实际上以太是存在的。 后来洛伦兹呢，又把它进行了细化一点，那就做出了一种变换，这种变换下，麦克斯伟防守组就邪变了，就你换个参考器，麦克斯伟防守组还是成立的，这叫邪变是吧？但是洛伦兹的理解是错误的，洛伦兹认为以太是存在的，我只是通过这种变换来解决一些矛盾点， 所以洛伦兹虽然正确的提出了变换，但他的理解是错误的。爱因斯坦呢，后来提出了狭义相对论，爱因斯坦提出狭义相对论的时候呢，他的想法跟洛伦兹完全不一样，爱因斯坦认为以太根本就不存在是吧，所有的参考器都是 是平权的，那么他也可以得出同样的结论，论文字一看，我靠，你怎么跟我的结论是一样的，你跟我的这个理解又不一样，所以论字说，咱俩不要，你不要管你的变化叫论文字变换，你管你的变换叫相对论，对吧？哎，这个相对论这三个字啊，是 路伦兹给爱因斯坦起的，爱因斯坦一看，啊，这三个字还行吧，于是就一直用下来了是吧？啊，其实呢，这个变换最早是路伦兹提出的，但是路伦兹没有进行正确的解释啊，所以我们认为相对论的确还是爱因斯坦提出来的。那么爱因斯坦到底提出哪些说法呢？啊？爱因斯坦呢？提出了两个基本假设啊，相对论的 相对论的基本假设。爱因斯坦提出的这两个基本假设是什么呢？第一条就叫相对性原理。他说呀，啊，任何参考，任 任何惯性参考器下，所有的物理规律都是斜变的，就是 max 为方程组，你在地面上你成立，你换成车厢，你也应该成立，对吧？你在地面上算出光速是三乘十的八字方米，你在车厢运动的时候，你算出光速还是这个值， 所有的物理规律在不同的惯用参考器下都是斜变的，那这是他提出的第一条假设。第二条假设就是什么呀？啊？光速在真空中是保持不变的， 光速在真空中是保持不变的，这就叫光速不变原理。那就说，假如有一辆车发出了一道光，你相对于车厢去看，这道光的速度是三乘十的八字光，你相对于地面来看，他还是 是吧。为什么这样做呢？因为它必须要满足相对性原理。你满足相对性原理的话，麦克斯的方程组在不同参考线下都成立，你算出的光速只能是 相同的，对不对？所以第二条假设呢，跟第一条假设它是融洽的啊，它不是互相矛盾的。有了这两条基本假设，我们就可以研究一下如何去理解相对论了。 我们来看啊，从这两条基本假设出发，推到洛伦兹变换，大家注意，这是爱因斯坦提出的方法，不是洛伦兹的方法啊，因为洛伦兹的理解是是错的。好，咱们来看这样一件事啊，我们已经知道了一个事件， x t 和 x t， x 比 t 撇，我们想求他们之间的关系，那么上面这个变换关系呢，它是不正确的。但是我们认为啊，这两个参考系之间进行变换的时候，一定是线性变换的，所以我们假设 x 等于 k 倍， k 撇倍的 x 撇加 v t 撇， 什么意思呢？就是原来你的这个加利率变换不是直接 x 撇加 v t 撇吗？对吧？我现在呢，进行一下伸缩啊，成一个 系数， k 撇，为什么成一个系数？因为我认为它还是线性呢，对吧？好，反过来说，那 x 撇等于什么呢？在车厢看来， x 撇应该等于 k 倍的 x 减 v t。 大家注意这个左右两个式子的区别啊，第一个区别呢，就是加号变减号了，原因是什么呢？因为车厢相对于地面以速度微向右跑，所以地面相对于车厢以速度微向左跑，所以他方向不一样，因此会有个符号。 其次呢，就是第一个式子的右侧全都是带撇的，表示这些数都是在车厢参考器下看算出来的。 第二个式子呢，他右边都是不带撇的，就表示呢，这些数都是在地面参考器下看，对吧？得出来的结果。好，我们在想啊，根据相对性原理，他是啊，这个没有一个参考器，他是特殊的。那既然如此的话，我们应该得出这样的结论，结论 k 等于 k 撇， 这俩系数不应该有什么区别，那么你就是换了个参考器，他不应该有什么区别。这是第一个啊，第二个呢，就是根据光速不变原理。咱们想一想，假如啊，在最开始的时候啊，在这个车厢和原点重合的时候，我就发射了一道光， 发射了一道光呢，等这道光打到猴子的时候，猴子刚好出现。我再重说一遍啊，就是在车厢位于原点时，在这个位置发出一道光，然后这道光呢，经过一段时间，刚好打中了猴子。 咱们思考这个事，这个事如果在车厢看来是什么样子？在车厢看来啊，这个光的速度是 c， 经过的时间是 t 撇，然后打到了猴子，对不对？所以在车厢看来啊，这个猴子的坐标 x 撇就应该等于 c 乘以 t 撇，在车厢看来就是这样，对吧？你在车厢这发了一道 光，经过了时间， t， 这个打中了一个猴子，所以猴子的位置就应该是 c 乘以 t， 你在地面上看来呢，也是一样的，你在地面上看来的时候，你也是发了一道光，你这道光经过一段时间， t 打中了猴子，所以 x 也等于 c 乘以 t。 哎，这就是利用光速不变原理得出来的结论。现在我们把这几个式子结合一下，你看一看，会得出什么啊？神奇的事马上就发生了，我们让这两个式子相乘，左边乘左边，右边乘右边， x 乘以 x 撇等于 k， k 撇乘以一个 啊， x 撇加 v， t 撇乘以一个 x 撇减 v t 撇。然后我们做一件事，把这个 x 和 x 撇换成 c t 撇和 c t， c 方 t， t 撇等于 k k 撇再乘以一个 c 加 v 乘以 c 减 v 乘以 tt 撇，你看是不是这个道理，对吧？然后呢，你再把这左右两边的这个 t 和 t 撇啊，你把它约了， c 和 t 撇约了，那么你就会发现，原来 k k 撇是可以得出一个结论的，对不对？所以从这个啊，我们就写到右侧，你就可以得出来， k k 撇，它其实是等于 c 方除以 c 方除以 c 方减 v 方的好，你不要忘了啊，这个 k 是等于 k 撇的，对不对？所以呢，我们就说 k 等于 k 撇，等于把它开根号， c 除以根号，下一减 v 除以 c 的平方，对不对？好，这样一来，我们就得出了这个系数，系数有了我们再带回去就 得到的。洛伦字变换的表达是， x 等于 x 撇加 v， t 撇除以根号，下一减 v 除以 c 的平方， 反过来 x 撇等于 x 减去 v， t 再除以根号，下一减 v 除以 c 的， 听吧，这个就叫做洛文字变换。也就是你告诉了我 x 撇和 t 撇，我怎么求出 x， 你告诉我 x 和 t， 我怎么求出 x 撇？而且呢，你会发现这里面呢，有四个变量， x， x 撇， t 和 t 撇。你既然可以用 t 和 t 撇表示出 x x 撇，你也可以反过来解，对不对？反解 啊，反解，你就可以反解出两个式子来，就是 t 等于 t 撇加上 v， x 撇除 除以 c 方，再除以根号，下一减 v 除以 c 的平方，以及 t 撇儿等于 t 减去 v， x 除以 c 方除以根号，下一减 v 除以 c 的平方。 哎，就会得出这么四个式子的。有同学可能会觉得这四个式子非常复杂，实际上他就只有一个，你只要得出第一个，剩下的不是通过对称性得到的，就是通过反解得到的。而这个式子表示什么含义呢？这个式子的含义就是说呀，你在车厢参考西亚看，看到一件事，这事比如猴，猴子吊一吊的， 这个是，它的坐标是 x 撇，时间是 t 撇，你换到地面参考器下看，它的坐标变成这个样子，对吧？同样道理，它的时间呢？它的时间变成这个样子，是不是所以我们就可以从一个参考器下发生的事件换到另外一个参考器下看？本质上来 讲，他和这种加乐乐变换的意思是差不多的，只不过他比加乐乐变换多了一个系数，看到了吗？多了底下这个系数啊，多了一个叫做洛伦兹因子的东西。 好，那么现在呢？这个变换我们就知道了，有了这个变换，侠义相对论你基本上就了解了。啊，为什么这么说呢？我们可以说侠义相对论有很多很神奇的这个结论，对吧？但是这些结论呢，其实你都是可以看作是通过洛伦兹变换得出来的。

大量相对论客户内容还在用在火车上的观察者看来，在地面上的观察者看来，这样的局势。这种描述的误导性非常大，给人感觉施工伸缩并没有真正伸缩，而仅仅是一种视觉错觉。 抛弃在叉叉叉观察着看来。这种句式。一个物体以速度 c 匀速直线运动，以他的运动轨迹为 x 轴建一个坐标系 s， 在 s 中，这个坐标系从十克零到 t 的位移是 x， 再建一个以匀速 v 相对于 s 直线运动的坐标系 sp。 在 s p 里面，这个物体从十克零到 t p 的位移是 x p。 从图来看， x 比 x p 长。在加力列变换中，这个物体相对于 s 以速度 c 之间运动，那么相对于 s p 就是以速度 有 c 减肥运动。 t 等于 tpa， 所以 x 比 xpa 多了个 vd vd 片。因为 t 和 t 别想等，所以从数值上不用区分 t 和 tpa。 单位的多变换的严谨性需要区分。加利略正变换， xpa 等于 x 减 ct 没变换， x 等于 x p a 加 v t p。 现在速度 c 不变了，这个物体相对于 s p a 也是一次运动了。 x 虽然等于 c t， 但 x p a 不再等于 c 减肥背的 t p， 而是等于 c t p 了。这么一来，佳丽的变换肯定是成立不了了。 以正面号为例， xpa 不再等于 x 减肥 t 了，那就设 xpa 等于 k 背的 x 减肥 t， 把这个 k 算出来，就知道变成什么样了。这个成熟因子 k 就 是肉轮子英子。我曾经在这钻牛角尖，为啥这么射呢？为啥不射 x 等于 x 减肥 t 加 k 或者是个密指数开个根号之类的，怎么就想到给 xpa 等于 x 减肥题弄一个成熟因子呢？ 有的时候就是因为时空伸缩是线性的，所以用成数，听起来很有哲理，不过更有道理的解释是，没什么物理上的理由，只有数学上的，把数学方法从一到南挨个试 用加法得不出来，自驾结果比加法难一点的就该惩罚了。密指数、开关号等等得往后稍稍结果，用乘客仪式就得出圆满结论了，那自然就不用再试后面的了。 正如洛伦兹所说，只是一个数学技巧最核心的神操作来了。根据相对性原理，所有惯性系都平等，那么既然设了正变换 x 别等于 k 倍的 x 减肥 t， 你 变换就应该是 x 等于 k 倍的 xpa 加 vdp， 正变换和你变换的洛伦兹因子是同一个 k。 先来一句哲理解释，如果不同冠性系的洛伦兹因子不相等，就可以从十公分所比例来区分不同冠性系了。 k 值等于一十，这就是加利列变换，也就是加利列变换是洛伦兹变换的因子等于一十的特例。 哲理解释总是富含哲理，若轮子正变换和泥变换的因子相同，这一点不够直观，有两个原因， 第一，两个坐标细化的不对等。坐标细化在一个背景上， s 系相对于这个背景静止，给人感觉背景恰似绝对空间， s 系恰似相对于绝对空间静止，进而给人误导，以 s 系为基准的路径才是这个物体的 真实路径。以 sp 系为基准的路径是变换的路径，做图只能以背景为基准参考，这点没办法，但可以让 s 系也动起来， s 和 sp 分别向相反的方向一起动，相对速度仍然是非。这样看起来两个参考系就对等了。 这时候再看这个物体的运动路径，你是否以为存在途中所是绿色这条真实路径？事实上不存在这条绿色的上帝视角路径，只存 在红色的 s 系路径和紫色的 sp 路径。 s 系路径和 s p 路径的地位是对等的，都是真实路径。 既然对等了，为什么画出来长度不一样呢？这就是第二个原因了。运动物体和 sp 系运动方向相同，和 s 系运动方向相反，造成了两个参考系不对等。那就再加一个以 c 反向运动的物体起点，放在第一个物体的起点下面一点点。 经过同样的时间，两个物体各自分别在两个坐标系产生两条路径。第一个物体在 s 系和 sp 系的路径分别和第二个物体在 sp 系和 s 系的路径画出来一样长，交叉相等。从 s 变换等 spa 用正变换 spa 等于 kb 的 x 减 vt， 从 spa 变换到 s 用泥变换 x 等于 kb 的 xpa 加 vtp。 从图来看，第一个物体是正变换，从长变到短，泥变换从短变到长。第二个物体反过来，正变换从短变到长，泥变换从长变到短。 这种对称是不是能让正变换和泥变换的洛伦滋因子相同，变得直观一点了？这里说的长啊短呢，都是以背景做基准参考画出来的效果。如果 s 系做基准呢？更贴切的画风是这样的， 这次让坐标轴跟着一起伸缩，以 spc 为基准是这样的。这下正变换和泥变换的洛伦兹因此相同更直观了 了吧。只要确信了正变换和泥变换的路轮子因子相同，就这四个等式来回倒腾，反复带换，只要注意别弄成循环就行。 计算过程只用到了加减乘除乘方、开方，而且乘方和开方也都只是平方， 确认完全都在初中数学范围内。记者目的是 x 撇的表达是小区 t 撇， x 的表达是小区 t， t 撇的表达是小区 x 撇， t 的表达是小区 x， 最终就能得到路轮子变换。这些个加减乘除平方、开平方就是路轮子所说的数学技巧。

如果从运动的火车上发出一束光，在站台的人看来，他的速度应该为光速加火车的速度，但事实上，光的速度依然为每秒三十万公里，这与牛顿力学相矛盾。 后来，荷兰物理学家洛伦兹提出了一个有为常识的大胆假设，那就是当一个物体运动的时候，其运动方向的长度是缩短的。 这就解释了为什么站台上的人看到的光速不会超过三十万公里每秒。洛伦兹不仅提出了长度收缩假设，还基于这一假设对长度的缩短进行了数学量化 及提出了所谓的洛伦兹变换公式。但洛伦兹的观点并未受到大家的重视，除了爱因斯坦。爱因斯坦 主张迈克尔逊莫雷实验的实验结果表明仪态构想是不成立的。同时他坚信麦克斯维方程组和洛伦兹公式的正确性，因为当时很多实验测定了光速是恒定不变的。 爱因斯坦花了一年的时间，想尽各种办法来解决这个矛盾，都没有好的结果。 有一天，爱因斯坦去找朋友被锁讨论这个问题。突然，爱因斯坦清楚了这问题的关键所在，那就是不同速度地方的时间是不一样的， 时间会因相对速度而改变。第二天，爱因斯坦见到了贝索，说到，谢谢你，我已经把这个问题解决了。贝索听了觉得莫名其妙。五个星期后，爱因斯坦发表了震惊科学界的侠义相对 论。侠义相对论认为，运动物体的速度越大，越接近光速，会发生尺缩中慢和质量变大的效应。时间本身是有弹性的，空间也是如此，提出了所谓的时空概念。 在爱因斯坦解释了光速恒定现象的十年后，发表了广义相对论。他认为任何有质量的物体都能使时间和空间弯曲，这也解释了牛顿提出的那一问题，物体为什么会落地。但随后发生了连爱因斯坦也没有预料到的事情。 德国数学家卡鲁扎对数学的优雅情有独钟，受到爱因斯坦解释引力的启发，卡鲁扎才想，光博会不会是更为复杂的时空扭曲现象，而这正是闲理论的数学 基础。虽然有了这样的灵光乍现，可卡鲁扎生不逢时，他的主张被一个物理学分支打入冷宫，后者对一切都提出了质疑，那就是量子力学。 以波尔为代表的物理学家们把注意力放到研究宇宙中微小粒子的时候，人们发现园子内部的宇宙是一个奇怪而又混乱的世界， 我们熟悉的那些规律在那里似乎并不实用。通过一个看似简单的实验显露无疑，一束电子透过两条狭缝被发射到一个检测器上。 常识告诉我们，电子通过狭缝后会打在两条高亮度的区域内，但结果并非如此。 事实上，检测器检测到的撞击区域有很多条。这一实验结果完全违背了人们对电子或者任何粒子行为的预测，电子似乎是在违背物理学定律。