初二数学几何48个解题模型
初二全等三角形辅助线可以说是整个初中最重要的，在全等三角形这一块有很多模型，其中也有很多方法技巧，其中一个就是三垂直模型，那么这道题就是年年考，年年错，考了十几年的一道经典考题。来我们看一下啊，已知角 a 等于四十五度， 然后角 b 是二十二点五度，然后 bc 是等于六的，下面让我们求面积得多少？题干很简单，那怎么做？这道题？怎么去入手？结合已知条件 做题最重要是分析。首先我问你们想求面积，给了底边我们的辅助线想干嘛？是不就是做高啊？底乘以高除以二才是面积，所以目前缺的是高，我们只需求这个高 a、 d 就可以了，直接面积我们就可以得出来， 六乘以 ad 再除以二，对不对？所以是三 ad 没问题吧？好，下一步。现在怎么去求 ad 呢？再看已知条件，你见到四十五度想多少度？见到四十五想九十啊，这样才能出现等腰直角三角形啊， 但没有九十，需要构造九十的方法是什么？是不是就做垂直？好，所以这个 你经过试验，这样做过 c 点去做垂线，你这样做完之后发现好像不行，这样能出现四十五，能出现一个等腰直角三角形，再往下一步的时候不知道怎么做了，做不了了。所以这个思路是很多人都想到，但不行， 但你不要放弃，继续去尝试。我还可以怎么做，能构造出等腰直角三角形，还能 利用这四十五度这样去做，在 c 点处出等腰直角三角形，这样去做垂直，这四十五，这是九十，那么这就是四十五度，能跟上吗？这样是不？等腰直角，三角形也有了，哎，这个往下做就更好了，为什么呢？你们看 ebc 是个什么三角形， 发现了吗？首先你一开始见到四十五，又见到二十二点五的时候，是不是就发现二倍角了？在这里边，你看这四十五，这是二十二的五，那这个角得多少？是不就是二十二点五？外角等于不相邻两的小盒？ 好了，那这就是一个等腰三角形，等腰三角形是不是三线合一啊？这就是 d、 f 等腰三角形，三线合一。好，那么做到这，还有人记着我们这题要干嘛吗？求的是这高，只要求 高六乘以高除以二，也就是三 a、 d 面积就出来了。好，三线合一告诉我们，这两段相等，每一段是不是都得三，三线合一，每一段都得三。好，再往后看啊？再往后看来， 在这个三垂直模型里边，你有没有发现三垂直模型，这要是二十二点五，这肯定六十七点五，这就是二十二点五，有没有发现全能啊？是不？ a、 c、 d 这个三角形全等于三角形，谁？ a， c d， c e f a， c d 和 c e、 f 这两个三角形全等好，二十二点五等于二十二点五，直角等于直角，斜边等于斜边，所以全等，对吧？角角边来，全等以后， a、 d 是不是就等于 f、 c 等于三呐？这题做完了， a、 d 等于 f、 c 等于三，所以这面积是不 就等于九啊？ a、 d 等于三，底乘以高除以二，我们直接拿下，听懂了吗？这个题考的非常好，见到四十五想九十，见到等腰三角形，最常考的辅线三线合一，然后还有三垂直模型的全能，非常的经典，赶紧点赞收藏分享一下。
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00:42查看AI文稿AI文稿初中几何就这四十八个模型把他们搞定，数学其实一点都不难，这本书已经帮你总结好了，从初一的几何初步，再到初二的几何证明初三的几何综合问题。还有书上没有但是考试会考的经典模型这里面都有。 比如这个长得像铅笔头的就是铅笔头模型，以后遇到这种模型就知道这种模型怎么证明， 怎么画辅助线，直接套用这个模型的结论就能轻松解题。针对不会的模型呢，还可以看视频讲解啊，帮助孩子真正的吃透这些模型。如果您家孩子数学也不太好，赶紧点击左下角带一本回家吧！
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02:52查看AI文稿AI文稿来又是这个问题，在你的压轴题里边，他会反复出现一点，出三线到底怎么考？今天呢，我们通过这个题目给大家讲一讲鸡爪模型的应用。什么时候用鸡爪呢？例如正三角形 abc 里边， p a、 p b、 p c 一点发三线就像鸡爪，那么他问的问题是整个三角形 a、 b、 c 面积等 多少？那么大家要记住了，所谓鸡爪，鸡爪的特点就是三个齿，那我在这里边发现这是三个齿的鸡爪，那么这个地方也是三个齿的鸡爪，那到底用哪个呢？一定要记住它的小窍门叫做共顶点等线段， 鸡爪都来左旋转。所以在这个红色鸡爪里边，你发现 a 发射的这三条线段里边，你的 a、 ab 和你的 ac 是一模一样的，那么这种鸡爪就可以旋转转，谁随便找，有 abp， 有 apc， 比如说我们选的是 abp， 正三角形的特殊角是六十度，所以绕着 a 点旋转六十度， 那么转完了之后，这两个三角形会全等，而且我们在这里面会发现，这个边和这个边一样，中间的角又得六十度，那么我转完之后，如果把这连起来， 这个三角形一定是等边。所以我们顺一下这个思路，你会发现，因为 p a 得三，这个等边的每一个边都得三，那么 p b 得四，旋转过来 p e、 c 就得四。利用三四五推导出来，你的 p p e、 c 这个角 应该等于九十度，那么等边三角形这个角等于的是一个六十度，合起来就得一百五十度，那么在这里边，他要求的是等边三角形的面积等于多少。那么等边三角形有一个公式，也就是 面积就应该等于四分之根号三边长的平方值啊，就是一个底乘高除以二，那么我在这里边如果我想求 ac 的平方的话，有一百五十度，他的辅助线 一定是延长做垂直，那么把你的 a、 p、 e 延长过 c， 往这根线做垂直，一百五十度的外角是三十度，一比二比根三， 那我在这个大三角形里边就会有勾股定理，那么利用勾股定理我们就可以得到 a、 c 的平方，就应该 等于二的平方，加上三加二倍根号三的平方，算完这个数，直接带回我们的面积公式，整个问题就可以解决了。 所以在这道题里面大家一定要记住了，如果出现三个齿的鸡爪怎么想？一定是共顶点，等线段找到鸡爪都来左旋转，你看明白了吗？
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00:59查看AI文稿AI文稿很多老师都讲过手拉手模型，但实际做题中孩子依然不会找。小磊老师有秘籍，今天教大家四句话，先找公共点，再寻 角相等，不要六九十三边瞄拳等。那么在这里面一定要强调一点是，不要六九十度，那么补上一个小角，可以得到 b、 c、 e 和 d、 c、 g 这俩大角相等，三边 秒全等，可以得到 b、 c、 e 全等于 d、 c、 g。 是不是非常简单？那如果学会了的话，我们来看一道中考真题，例如有两个等边，三角形 公用，一个点 c。 利用这四句话，你就会发现，先找公共点，再寻角相等，不要六九十三边描全等。 所以你在这里边就非常迅速地发现三角形 a、 c、 d 和三角形 d、 c、 e 全等，你学会了吗？
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01:45查看AI文稿AI文稿用模型秒题呢，可以大幅提高咱们的解题速度。那这道题啊，我直接用两次飞镖模型，就可以直接把它秒掉。那首先什么是飞镖模型呢？先来画一个小飞镖。 那么飞镖模型有三个尖角，这三个尖角的核呢？就等于底下的这个角。一哎，三个臭皮匠，顶个诸葛亮。证明方法，会的可以打在评论区。我们来看这道题啊，已知这是五十度，这是十度。然后呢， b p 和 c p 是两个角平分线。最后求角 p。 首先教大家一招啊，当我们遇到角平分线的时候，哎，我们就可以把相等的两个角设为阿尔法，阿尔法或者贝塔贝塔。 b p 是角分线，那这两个角可以记为两个阿尔法。 c p 也是角分线，那这两个角可以记为两个贝塔。接下来啊，我们来找一下飞镖模型，你发现 a、 b、 d， 我的天呐， 这是不就是一个可爱的飞镖？所以在这个飞镖里，那三个尖角就是五十度。二阿尔法和十度 他仨的盒就等于这个大角二贝塔。那接下来呢，咱们再找一个跟角劈啊有关的飞镖。哎，跟角劈有关的飞镖不就是 pbd 吗？那这个里面我们可以得到角劈加上阿尔法，再加上十度，就等于贝塔。这里面啊， 咱们就可以解出来角 p 等于什么呢？角 p 就等于贝塔减阿尔法，再减去十度。所以要求角 p， 咱们需要知道贝塔减阿尔法的值。那再来看由第一个飞镖，咱们其实可以得到什么呢？ 五十加十六十，也就是二，贝塔减二阿尔法等于六十，所以贝塔减阿尔法就等于三十度。漂亮把这个三十度啊，往里一带三十减十，所以角劈等于二十度。你听懂了吗？
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14:54查看AI文稿AI文稿大家好，今天我要讲的是初二数学暑假同步课的第一讲八字飞镖，还有 a 字模型这三个模型呢？这三个几何模型都是用来倒角的，你知道就可以了。然后我首先要说一下为什么要做这样的公益课，原因有三个，我再重新说一遍。 第一个原因就是我从高中开始就是喜欢做老师的，当然毕业以后的话也顺利做了老师。第二个原因就是我现在教的学生里头有包括教过的啊，有这个广州深圳的学生，有江浙的， 然后也有比较偏远的，比如陕西啊，还有这个新疆的学生，我深刻认识到了这个教育资源分布是不均的，这我做公益课也算是尽自己的绵薄之力。 第三个原因就是我大学时候就入党了，我是党员吗？这个不就是为人民服务啊。那好，咱正式来上课了。第一点的话是讲两个模型，这个八字和飞镖用来倒角的。这个八字模型的话其实很简单了， 为什么这样一个类似的八字的模型，一定能够让这个角 a 角 b 可不一定相等，但是呢，这个角 a 加上角 d 一定等于角 b 加上角 c。 其实原因非常简单，你首先对顶角肯定是相等的吧，你左边角 a 加上角 d， 再加上角叉，是三角形，内角和一百八十度， 那你下边这个三角形 buc 里头这个角 b 加上角 c， 再加上对顶角相等的角差，他也是等于内角和一百八十度，你左右两边把这样的相等的角差消掉，所以这个结论就有了，这个呢，你直接用就行。 那继续来看第二个模型，这个八字和飞镖经常是结合到一块去考察的，那飞镖模型为什么叫这个名字？首先他长得就像飞镖，所以他叫飞镖模型。那怎么去得这样一个结论呢？结论说的是角 a 加角 b 加角 c， 一定等于这样的角 d， 注意这是 一个凹四边形，不是凸四边形啊。那么这个四边形为什么说 abc 加起来就是一定等于脚底呢？这个方法其实还是比较多的，我捣一下，你看好了啊，那我现在延长 bd 分 a、 c 交于点 e， 那此时你看了此时这个角 a 加上角 b， 根据三角形 a、 b 意中的外角关系，角 a 加角 b， 两个内角加起来等于不相邻的这样一个外角，所以我画的这个角等于角 a 加角 b。 那继续来看，再来看哪个三角形呢？在三角形 d、 c、 e 中，这个内角我们看的是角 c 和上边这样一个角 e， 那角 c 加上角 e， 不就相当于角 a 加角 b 加上角 c， 等于这样一个角 d， 所以最后就倒出来了两次外角关系啊，就可以倒出来，还是挺简单的。当然也有别的方法，比如说你延长 a、 d， 此时角 b 加角一，左边是 角 b 加角一，然后右边呢是角二加角 c， 那你最后加起来以后的话，不还是能够倒出来这个角 a， 角 b， 角 c 加起来等于角 d 吗？记住这两个结论，那接下来我们做小题的时候就特别快了，看第一道题， 这个第一道题这么说的啊，这个五角星不是说必须是规则，是不规则的啊，就这样一个形状，在这样一个五角形中 abcde， 我要看的话，直接就看出来一百八十度了，但是我要说一下原因，为什么是一百八十度呢？首先我们看一下 图中有没有八字模型，没有，你做辅助线不就有了呀，这多简单呢啊，我延长我连接这个 cd， 连接 cd 之后的话，此时你看了啊，角一加上角二，其实角一加上这样的角二，他就等于角 b 加上角 e， 你说为什么呀？原因很简单，因为这个 b、 e、 cd， 这不就是一个八字模型，八字模型的结论就有了，继续，那既然这个角 b 加角一，就等于角一加角二，那首先我就改成这个角一加角二， 角 a， 加角 c， 加角 d， 加角一，加角二，你直接告诉我吧，这个角 c， 原来的角 c， 他指的是这样一个角，哎，角 c 加角一，哦，我知道了，其实就是角 a、 c、 d 吗？ 那此时这个角地加上原来这个角啊，角地指的是这样一个角啊，角地，原来的角地加上角二，那不就是角 adc 的意思吗？角 a 的话，那你再写一遍， 哎呦，这三个角是什么呀？ a、 c、 d， a， d， c 加上角 a， 这是三角形 a、 c、 d 中的内角和，当然是一百八十度，所以我们就倒出来了，是不是特别简单啊？其实有朋友说，老师，这个题我不做，辅助键能不能做？当然也可以做了，你看，直接我们利用这样一个飞镖，在飞镖 a、 c、 h、 d 中，那此时这个角 h， 也就是这样一个角，他就等于 a、 c、 d 这三个角的和，那我们倒进去那 对顶角不还是等于角 a 加角 c 加角 d 吗？我们最终看哪个呢？看三角形，看这样一个三角形 b、 h、 e 就行了，在三角形 b、 h、 e 中，那内角和 a、 c、 d 再加上角 b 和角 e， 不还是一百八十度？所以其实你不做辅助键也可以，我们继续来看第二题， 第二题这个难度就直接上升了啊，七角形，他这个七角形的话，我可以跟大家说一下，怎么样一笔画成啊？一笔画五角形，谁都会 一笔画七角形，你想规则的均匀的点上七个点，一二三啊，四五六七。好，这七个点，那七个点的话，你每隔两个点就连一下啊，隔两个点连一下，隔两个点连一下，隔两个 点连一下，隔两个点连一下，隔两个点连一下，隔两个点连一下，最后再连好，七角形，一笔不就画成了吗？那画完这个七角形以后的话，只要你画的是这样一个类似的形状，那肯定是一个固定的值吗？要不然他不会这么问的。那么怎么倒呢？其实啊，还是非常容易倒， 我标其中一个点，这个点的话，我就标成点 m 吧，在非标模型 a、 d、 m、 e 中，哎，我这个角 m 实际上就等于谁啊？我这个角 m， 也就是这样一个角，他就等于 a 加 d 加 e 好吗？你这样一个红色的角，对，顶过去，他已经包含了原始的三个角的和了， a 加 d 加 e， 那行吧，那继续来看，我们再看一个飞镖模型，这个点的话，我标成什么点？标成点 n， 相信大家可以看出来，在哪个模型里头呢？哎，又是一个飞镖模型吧， 哪一个飞镖模型会写出来？在飞镖模型你千万别眼花了啊，你可以放大一点再看。在飞镖模型 m、 j、 n、 b 中，这样一个飞镖模型里头，我们直接利用结论吧。好， a、 b、 e。 这是一个整体的角啊，这个红色的角呢，再加上剩下的角 b， 再加上角 j， 他是 等于谁的？哦，原来等于这个角啊，好了，这样一个双横线，这样一个角呢，就代表他已经代表了包含五个角了，这五个角的话，我再继续对领过来。 怎么对领过来呢？能对领过来以后的话，不就是这样一个角 c、 n、 f。 哦，我知道了，原来他已经包含了五个角，这五个角分别是 a、 d、 e、 b、 g 的和，但是他问的是七个角，那你把剩下两个角角 c， 角 f 加起来好吗？在三角形什么 中，在最终这样一个三角形 c、 n、 f， n 点指的是这个点啊，一定别倒错了，这个是 n 点。在三角形 c、 n、 f 中，你看 看一共有几个角了，七个角吗？角 a， 加角 d， 加角 a， 加角 b， 加角 g， 再加上角 c， 再加上角 f， 这七个角正好凑成了三角形 cnf 的内角和，所以他还是一百八十度好吗？原来是这样一道题啊，看起来很复杂，实际上你学会了这两个倒角，模型特别简单。 再来看第三个，嗯，第三个的话，他问的是啊，已已知这个脚底啊，他是等于二十八度的，那为了方便表示的话，我就把这样一个二十八度用脚叉来表示了，这是个脚叉。 嗯，那角差标完了之后的话，咱们继续来看。角差标完了，他问的是哪四个角呢？角 a， 加角 c， 加角 b， 加角 f 这四个角的和。那这 四个角的盒的话，我们先看一部分，哎，先看第一个八字，哪个八字模型啊？这个 b f d dj， 他是构成了一个八字的，不信你画一下。 b f dj 哦，一个八字模型，那既然是八字模型的话，我此时这个角差的话，我就加上这样的角一了啊，角差加上角一等于角 b 加上谁加上角 f， 那同理可得呀。还有一个八字模型的下面也有一个八字模型，那个八字在 a c 啊， a， c， d， e 这样一个八字模型里头，那此时这个角差加上角二，它是等于角 a 加上角 c 的，那圈一和圈二左右两边相加就行。 这个圈一左边和圈二左边相加的话，是两个角差加上角一加上角二。那行吧，我写上吧，我把这两个角差分开来 写了啊，那等号右边的话应该写上什么？那等号右边不就是角 a 加角 c 加角 b， 再加上角 f， 就是问题中这样一个度数吗？怎么求呢？其实很简单，请大家告诉我加法结合力，我这个括号里头等于几啊？ 脚刹啊，括号里头不就是三角形这一地的内角和吗？一百八十度好吗？原来最终结果是等于二十八度，因为脚刹就是二十八度，在 加上一百八十度，原来等于二百零八度啊，所以说这个呢，是一百零五度啊，不是一百零五度的，你啊，这是二百零八度的，这样一个角不就完了吗？啊，这个歌太魔性了，咱们继续来看下一道题。 这个利二的话也是，不是八字就是飞镖，要么就是八字和飞镖倒一块，这个也太简单了，我呢给大家倒一下 abcd， 这个点是 f 点啊，这个焦点。那接下来我们先看一个，哎，这个 a、 b、 f、 c 是个什么角啊？哎呦，我这显示是个飞镖吗？既然是飞镖模型的话，我直接把这样一个角写成角 a 加角 b。 我简写了啊，你知道我的意思就行。加角 c， 那对顶角写过去的话，红色这个部分不也是对顶角？角 a 加角 b 加角 c， 那你还差哪个角啊？以这条件里头，人家除了 abc 还有第一好说吗？原来这个红色的这样一个角，他是其实就是角 a 加角 b 加角 c， 然后呢，再加上哪个角，再加上角 d， 再加上角 e， 那你看三个角，再加剩下这两个角，正好构成了三角形。三角形第一 f 的内角和还是一百八十度。天呐，难道这种题的答案都是一百八十度吗？ 这也不见得，咱们往后坐你就知道了。哎呦，这个题的话，其实是两种方法，他这个参考答案上这样一个图的话，给的是我们明天就下节课要讲的 老用抓小鸡的这样一个倒角模型。我就先不讲这种方法，我讲这节课的飞镖模型的方法。这个题是这么说的啊，有位同学呢，设计了一个零件，其实我觉得他设计的像一个风筝， 然后设计完这样一个图形以后啊，他是看左边这个图啊，右边这图咱就不看了，这是参考答案上的方法，不见得是最好的。我们看左边这个图，左边这个图他要是画成这个样子，哎呀，那我就可以说他就是个飞镖模型，但他不是飞镖啊，他有两个，两个火口，对吧？ abedc， 其实你不会拓展一下吗？对于左边这样一个图，他告诉你哪个角了，角 a 告诉你了角 b、 角 e、 角 d、 角 c， 就只剩这样的角 f 没告诉你，是让你求的是， 实际上你稍微拓展一下，他是一个类似的飞镖模型，此时这样的角 a 加上角 c， 加上角 d 加上角 b。 哦，原来这四个角加起来肯定是等于角 e 加上角 f 的。有朋友又问我，老师，你凭什么就这么说呢？哎，他是个双飞镖模型，你连接 ad， 你现在告诉我啊。同学们，你连完这个 ad 以后，你告诉我，左边 这个是不是一个飞镖？是啊，那左边我把角一换成圈加叉，那行，那角一就变成圈加叉得了。那这样的角地呢？哎，那我把角地分成这个角一加上角二不就得了吗？角一加角二，那实际上就分成了双飞镖模型。角圈加角 b， 加角一等于角一，没问题， 来一个飞镖，那角 f 不就等于角叉加角 c， 再加角二，最后肯定会导出来这样一个结论的。你自己捣一下双飞镖吗？这个竖线左边这个 ad 左边是个飞镖， ad 右边也是个飞镖，所以就倒出来了。 那既然有这样一个等式成立的话，那接下来非常简单了，我们带数字，这个谁也会算啊，这个小 f 是等于七十度的。嗯，继续来看下一个。 这个例三的话，是一个期末考试的例题啊，这个题的话简直就是在送分。咱们来看一下这个分有多多好得啊。有一块直角三角板 xyc 放在三角形 abc 上，此时点 b 和点 c 恰好在直角三角尺的边上。那别的都没说，他 告诉你，这个角 a 等于三十度了。他问，第一问，既然角 a 等于三十度，他，他问的是 abc 加上 acb， 这不逗人玩吗？三角形内角和一百八减去三啊，一百五十度。哎呦，那第二问呢？那第二问的话，有同学说了这个哎， xbc 和 xcb 是多少度啊？杨老师，哎呀，好说，直角三角尺这个角差不就相当于是九十度吗？那剩下这两 红色的角是直角三角形 bxc 中那两个锐角加起来当然是互余的关系了。又做完了，我们看第二个，第二个主要是看这个图二， 这个图二怎么说呢，他稍微换了一下位置，就是在变化的过程中啊，那么改变直角三角尺的位置，然后还是图二这样一种情况，那么此时这个 ab 叉加上 a c 叉变了没有？其实肯定没有变的，你很好说， 因为角 a 加上我们看这是个什么模型啊？哎呦，飞镖模型吗？大体笔头，你先证明一下飞镖模型的结论，角 a 加上角 ab 叉加上角 a c 叉， 他是等于角差的，那左边这个角 a 我们直接给他改成三十度，那右边角差我们已经知道是九十度了，所以说横线就括号里头这一部分，所以说括号里头这一部分也就是问他的角度，他当 当然等于六十度，然后就做完了呀，所以呢，是不变的，求出这个角度等于六十度就行了。那好，咱们继续往下来看啊，就是第三种模型了。第三种模型是这么说的， a 字模型， a 字模型，只不过他没有连接 cd 啊，这个其实点 c 和点 d 是射线上的点，你还可以继续延长。 那现在有个什么结论呢？你看我们这两个角，也就是告诉你，这个角一加上角二，他肯定是等于一百八十度加上角 a 的，这也太简单了，咱们算一下吧。那根据外角关系的话，咱们导一下。 此时这个角 a 就不多说了，这个角呢，我标成圈，右边这个角 a、 e、 b 的话标成叉。根据外角关系，这个角一肯定是不相邻两个外角，那就是角 a 加上角叉，那同理可得。根据外角关系，角二等于角 a 加上角圈。那这两个式子怎么样？左右两边同 相加呗。角一加角二，它是等于两个角 a， 我们把这两个角 a 分开来写，角 a 加上圈，加上叉，括号里头加法结合率。 这不就是三角形 ab 一的内角和等于一百八十度吗？所以角一加角二等于一百八十度加上角 a 好吗？原来是这么，倒出来，也挺简单的，就一个内角和外角关系就倒出来了。那接下来我们练一道题啊， 这个题呢是福建模拟题，咱马上就可以出答案了。这是不是一个 a 字模型？是啊，那角 c 是不是四十度？是四十度啊？那角 c 是四十度的话，根据 a 字模型，躺着的 a 字呢，它就等于九十度，加 多少加上角四了，那不就是九十度加上四十度？所以横向写一百三十度就行了。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨万老师，下节课再见！
2505会放羊的教书匠
05:30查看AI文稿AI文稿讲一道考试必刷题，像这样的题啊，在考试的时候呢，特别喜欢考，但是呢，很多人总是丢分，为什么丢分呢？因为这有几个方法和几何模型他不知道。那么通过这个视频，我们把这几个方法和模型给大家总结一下。 首先第一个叫将军引马十大模型，这里面考到了其中一个，第二个呢，就是垂线段最短哎，求最直的问题，总考。还有第三个，在直角三角形中三十多条所谓边斜边的一半，好了，什么意思？来，下面我们来看题。 首先这是一个等边三角形， a b c， 哎，等边三角形什么性质啊？是不？三条边都相等对不对？三个角都是六十度， 而且等边三角形也好，等腰三角形也好，里边最常用的辅助线是什么？叫三线合一，哎，这道题告诉我们了，说告诉这个 a d 是它的高线， 如果是他的高线，必然也是什么线，是不是必然也是中线还是什么线？还是角平纹线，对不对？还是角平纹线，那意味着这是不是都三十度，三十度啊。 好了，接着看一点是 a c 的终点，哎，这是终点啊，一点是终点哦，这边又来了一个终点， 然后说当 p c 加 p e 最小的时候啊，问 p c 啊，和二 p e 的关系是相等，怎么去正？这里边重点啊，说当 p c 加 p e 最小，见到线段之间相加最小，我们要想的就是将军马问题， 把两个线段转移到一条线段，利用两点之间线段做短来做好了，这里边什么意思？看这有个屁点啊，屁点啊， 以致我没有写啊，节省一点空间。 p 点是 a d 上的一个动点，问动到什么位置时，这个 p c 加 p e 就最小了。好的，遇到这种将军马，将军马问题最核心的一步就叫什么呢？辅助线叫做对称， 所有人都要把这几个字要记住，叫做对称啊。然后把两个线段转移到一条线段，怎么转移？来看这这里边。首先它是一个等边三角形，你做了三线合一，是不是就具有对称性了？ a b 等于 a c， 而且这个 b d 等于 d， c 还垂直，所以它具有天然的对称性。那我直接把 p c 啊转移过来，是不是就等于 p b 啊？ 对不对？垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，这既垂直又平分是不？ p d 相当于垂直平 平分线上面的点到线段的两个端点距离相等，相当于 b c 的垂直平分线。好了，那么 p b 就等于 p c 的没有问题吧？这个对伸都不用做了，就是 b 点， c 点是对伸点。我们马上知道 p b 和 p c 是相等的。 好嘞，他俩相等，那 p c 加 p e 就变成谁了，是不变成 p b 加 p e 了啊？那我问你一个事啊， p c 加 p e 变成 p b 加 p e， 我问你，最小值实际上等于谁？ 注意啊，点 e 是一个固定的点，终点不动，然后点 b 是一个固定的点，然后 p 点在这上面动的过程中，要让这两段相加最小。 p 点在哪的时候，是不是？这个图我画的还是很标准，在一条线上的时候就最小了，贡献的时候就最小了，对不对？ 这一段加这一段，两点之间线段最短。如果你屁点假设在这，各位如果在这，咱是不是得拐个弯，对不对？像这拐一个弯对吧？那拐弯的是不肯定比这要大呀？所以这个要知道不能在上面，那么就应该是在 这个位置，在一条线上好了。那最小值是谁？最小值是不就是 b e 的长， b e 的长，两点之间线最短。那怎么求 b e 呢？ 在这个图形中怎么求 b a、 b c 等边三角形点一又是终点，那你连完了之后是不是三线合一啊？他是中线，必然是不是也是高线，能听懂吗？ 必然是不也是高线呢？听明白这意思了吗？啊？那三线合一啊，就垂，所以他是高线，那高线会不会求啊？啊？高线里 怎么去研究这里的 p c 和 p e 的关系啊？啊？ p c 在哪呢？在这呢？ p c 是不是等于 p b 啊？ 啊？然后这有三十度来，你这三线合一，是不？这也是三十度啊，这是不也三十度啊？ 那这是不是相当于你 p b 就等于 p a 了，是不也等于 p c， 对不对？好，那 p b 等于 p a 啊？撇等于 p c 相当于 p c， 等于 p b 等于 p a， 然后咱们要研究和他的关系，对不对？来，这个小直角三角形 a e， p 里边三十度的角所对的这个边跟斜边什么关系？ 是不是等于斜边的一半啊？三十条左右边，斜边一半，那它是不是它的二倍啊？所以等于二 p e， 我们是不是就正完了？ 这道题听懂了吗？各位同学们，有的时候这道题啊，这道题稍微难一点，考了这两个线段之间关系，有的时候可能会告诉我们，等边三角形的边长，然后让我们求其中的一些线段的长，比如求最直，那求高，听明白了吗？我们也要会 好了，超级经典的题啊，这个将军引马的十大模型，以及在直角三角形中三十度角，所谓边斜边的一半，听明白了吧？好嘞，来迅速点赞收藏分享一下，把这道题整理完。
4748清华春哥讲思维
00:23查看AI文稿AI文稿初中几何考来考去就四十八个模型把他们搞定，初中数学一点也不难，三角形就考手拉手模型、雨伞模型、绊脚模型。每个模型的题型是什么？结论有哪些，证明过程怎么写，辅助线怎么画？这本书讲的很清楚， 而且学会了一个模型就会解类题，不懂。还有四十八节免费的名师视频讲解，手把手教孩子吃透每个模型，赶紧给孩子安排起来吧！
322乐悠悠爱生活
01:44查看AI文稿AI文稿结长补短是解决初中几何压轴题的常用方法之一。那么在具体做题的时候怎么去用呢？我们来看这个题目已知你的 pbc 这个角等于三十度， abp 等于八度， pab 等于 pac 等于二十二度。我们要求 apc 多少？那你在这道题的关键点是这俩角相等，出角分线。只要在题目中出现的角分线，一定要看有没有直角，没有直角就想结长不断。所以咱们的小秘籍是角分线无垂直结长补短。具体怎么操作呢？ 你看。因为你的 pa 平分的是这个角，那么一个边长，一个边短，可以结，可以补。如果我们把边给他补长，左右两个三 角型。 sas 全到全等之后，对应的角相等等于八度，对应的边 pb 等于 pq。 利用红色的飞镖模型，八度二十二度，二十二度八度可以得到 这个角等于六十度。等腰里边有六十度，连接 bq 就可以得到。 bpq 是一个等边，那这个角是三十度的话，那下面这个小角也是三十度等边。加角分线一定会出垂直还平分。所以 按照垂直平分线，这个角等于八度，上面这个小角也等于八度。在三角形 apq 里边， 用一百八十度减掉八度八度二十二度就可以得到 apc 等于一百四十二度。所以记住了，脚分线无垂直就想结长不断。这个方法你学会了吗？
4995董小磊讲数学
00:56查看AI文稿AI文稿初中学生最怕几何题了，一遇到几何头脑就晕了，学霸十秒钟出答案， 我们十分钟都没思路！你想知道学霸的秘籍吗？我们一线老师都给总结出来，都带这个几何模型力，你看这本书，里面有六十种常见的几何模型，记住他的规律，选择、填空，秒出答案。大题也有思路了， 每个模型一步步保姆式讲解，立体扫码，还有视频讲解，我们扫一下， 打开讲解。同学你好，欢迎观看本视频。今天我们讲解的是模型二的内衣，那么首先我们来看一下题目，如图， 这些都能帮你变成下一个学霸，一本书搞定整个初中的几何模型，初一、初二、初三的学生都需要背一本三十年资深老师诚心推荐，现在买享受双十一优惠哦！
1204数学之美
00:33查看AI文稿AI文稿这个就是初中数学书里没有，但考试经常考到的数学模型，很多孩子不知道就很吃亏。其实初中数学几何模型不管怎么考，就考四十八个模型，这套书都给你总结好了。初一模型十五个，初二模型十七个， 初三模型十六个。书里把每个模型对应的结论是什么，证明过程怎么写，辅助线怎么画，整理的非常全面。重点是一模型一码，扫码就能看！免费的名师视频讲解，不限次数，不分版本。需要的赶紧点击下方链接吧！
200乐悠悠爱生活
00:49查看AI文稿AI文稿初二数学的难度逐步提升，几何题可能出现丢分的情况，但初中几何就六十六个模型，把这些学会，其实数学也能很简单。但是这些模型孩子想要整理全就很麻烦，如果考到一漏的模型就傻眼了。家长帮孩子整理就要翻很多课本， 而且咱们家长不熟悉考点，整理起来难分轻重。还好，这本初中几何书帮我们把初中数学的六十六个模型都整理好了。猪蹄模型、铅笔头模型、将军野马模型等，还有经典考题 重点模型也标注出来了，可以做到有重点的学习，学习更有效率。考试的时候，这些知识点会以什么样的形式出现，一目了然。初中的孩子一定要好好利用这套书，好好学习，好好练习，考试其实没有那么可怕。
1194小闵爱学习📖
10:06查看AI文稿AI文稿好，同学们好，这节课呢，我们来看这道初二数学的经典几何题。那么如果熟悉这个图的同学应该知道，其实这是一个非常经典的几何模型，应该是手拉手模型 他的一个最基础的一个图是吧？下面呢，我们就借助这样一个图，去看看他这几个常见的结论怎么去证明来。如图，在直线 bc 的同一侧做了两个等边三角形， abc 和 ecd。 注意，这两个三角形呢，他都是等边三角形，连接 b， e 和 a， d 连接 b， e， a， d 交于点 f， 然后呢，连接 h， g 和 cf。 这是这样一个图，他的构成以及对他的描述。其实简单的说，这个图就是两个等边 三角形。然后呢，手拉手是不是形成的好，所以这种模型呢，我们一般把它称为 手拉手模型。好。呃，之所以手拉手，他主要的几个特征，第一个就是这两三角形有一个公共的端点。第二呢，就是 手拉手，他的左左边，这个左手牵左手，右手牵右手。我们可以这样去理解哈，一般是由两个等边三角形或者两个等腰三角形，两个等腰直角三角形或者两个正方形构成的。我们也可以 由旋转的角度去理解这样一个图形的构成。好，下面呢，我们就看他需要证明的结论有哪些。第一，让我们证明 b， e 等于 a， d， 也就是这两条手拉手线好，他相等。那么正线段相等。 一般呢，我们在初二主要学的就是全等三角形。所以呢，我们去找全等三角形即可。好，第一问，我们来找一下 bg， 显然他应该在 bcg 这个三角形当中啊， ad 应该在 acd 当中，也就是说我们来看这样两个三角形，就是 bce， 他是否全等于三角形。 acd 我们找一下条件好，这里面呢 bc 他是等于 ac 的等边了。然后这个角呢，是六十度是不是好。 同理，这边呢，这个角也是六十度，而且呢，这个 ce 又等于 cd， 那么中间夹了一个公共角，其实也是六十度是吧？所以整个呢，这个 两边的夹角呢，就是一百二十度，这边也是。所以我们可以利用边角边去证明全等。一旦这两个三角形全等之后，第一个结论他就成立了， b e 等于 a、 d 啊。当然有的题目当中呢，也可以直接把这个结论换成这两个三角形全等啊，让你去证明。 我们这里面呢是改改成让你这 b 的 a、 d 都是一样的。好。第二就是角 e、 f、 d 等六十度。我们来看一下 e、 f、 d， 也就是这个角，他说 让我们证明他等于六十度。那么其实就非常简单了。呃，这种图形呢，我们上来就需要正，不管他要不要你正。这一对三角形圈的，我们上来就需要找这一对三角形。好圈的三角形，我们把它称为基础性圈的。这里面还有 别的圈的好，同学们自己可以刻下去找一下。找到之后干嘛呢？就是为了得到这个边相等或者角相等。比如说哪些角相等了呢？ 对应的角有这个角一，他应该等于这个角，是不是这叫对应角？同理，这边呢，角二等于角二是吧？那么这边呢，有一个八字形， 然后呢，角二等于角二，这个地方是对零角相等。所以这个角 efd， 他就等于 fcd， 就等于六十度。好。所以第二个呢，也没有问题，角 e f d 就等于角 fcd， 就等于六十度。好。当然对顶到这边呢，他也是可以的。好，这是第二个，这个角是六十度，这里面呢，其实有很多的六十度。好。第三，让我们正 谁去记平行与 bc 要这两条线段平行，我们一般的做法是什么呢？就是找脚的关系。 主要有三类角同位角，内错角，同旁内角。这里面呢，显然我们应该最好去找这个内错角是吧？好，那下面我们来看一下我们怎么样正 这些角相等。比如说我们去找一个 ghc， 也就如果这个角他等于六十度，那么这两条线他就平行了是吧？ 好，我们看一下，如果这个 g hc 他等于六十度，那么其实这个 hcg 这个三角形，他就是个等边三角形是吧？要正等边三角形怎么正呢？这已经有一个六十度了，我们可以从边入手，我们只需要在这 ct 等于 hc 即可。那么又是要正这 线段相等。所以呢，我们还是需要去正全等三角形。那么这次是哪两个三点全等呢？已经非常明显了，角一等于角一， ac 等于 bc。 这个六十度等于六十度。角边角角边角。所以这一次呢，他应该是三角形 act， 好，全等于三角形 bc h。 这次呢是角边角。 同样这个需要的条件呢，仍然是由第一对圈的所创造的是吧？那么在这一侧呢，右侧其实他还有一半这样两个三点一 圈的啊。一旦这两个三年圈的之后，那我们可以得到什么呢？我们可以得到，所以 hc 就等于 cg， hc 一旦等于 cg 了，又因为 夹角是六十度，所以这个 hcg 这个三角形是等边三角形。那么显然 ghc 他就是六十度是吧？好，所以呢， hg 平行于 bc。 这个结论呢？就这样证明了。好，所以我们通过这个结论，主要仍然是想导出这一对全等，以及这个 hcg 这个三角形是一个等边三角形。 同样考试呢，他会把这个结论有可能换成这两个，同学们可以一并去击。第三， bf 等于 a f 加 fc。 好，我们找一下 b f， 他在这他应该等于 a f 加上 fc。 好，这个结论应该怎么正呢？ 这种结论我们知道，一般在初二呢，他主要考察一种辅助线的做法，叫结长补短是不是？ 那么下面呢，我们就来试着用一下这个结长不短这种辅助线的构造方法。好，那我们就选择结长。我们在 bf 上好截取一段，使他等于 af。 比如说 我们在 bf 上截取一个呃 bm， 使得 bm 等于 a f。 那么下面呢，我们只需要证明什么的呢？我们只需要证明 m f 他等于 fc。 证明这两段线段相的对吧？他剩了一节是 mf。 好，他剩的是 fc。 如果这两个相等，现在呢？我们是一个问号，还不不确定他是不是相的是吧？ 好，转换成正这两个线的相等了。那么这个应该怎么正呢？同学们需要注意，我们在使用结长不短的方法的时候，一般呢需要先利用一下他这个条件。怎么利用呢？就是先去正一下全等。 那么显然哪两三点一全能呢？就是由这个条件，我们可以得到三角形 bmc， 他就全等于三角形好 bmc a fc a fc， 呃，应该是边角边是吧？这个应该是 bm 等于 a f， 角一等于角一， bc 等于 ac。 显然边角边好。全等之后有什么用呢？全等之后，其实我们就可以得到 mc， 他等于 fc， 这是对应线段。但是注意，我们这里的 fc 是要等于 m f 的。那么说明是什么？说明 m f、 fcmc 他都相等，那说明这又是一个等边三角形是吧？所以呢，我们接下来干嘛呢？只需要正一个角是六十度就可以了。 那么怎么正呢？呃，非常简单，正哪一个都可以哈。比如说这组全能之后，我们还可以得到什么呢？还可以得到角得多一种关系。比如说角 bcm， bcm 他就等于角 ac f 啊， bcm 我们知道加上这个 mc h， 他加上角 mc h 等于六十度，所以这个 ac f 加上角 好， mc h， 他也应该等于六十度好，也就是 mc f。 最后。那么所以这个三角形 mc f， 他是等边三角形好，三角形 mc f， 他是 等边三角形。因为是等边，所以 mf 等于 fc， 那么所以 bf 等于 af 加 fc。 这样的话呢，我们就把它整完了。好， 这里面呢，我们使用了结长不短，实际上呢，你也可以理解为这种啊，旋转变换啊，都可以。那么这节课呢，我们就通过这样一道 题目，去证明了这样一个手拉手模型的几个结论。好，当然是针对这个图的。如果把它改换成其他的图，可能结论上会发生一些变化啊，同学们自己科研呢。呃，再去证明一下。那么这节课我们就讲到这里。
851毛老师数学课
00:15查看AI文稿AI文稿开学第二个同学，趁这个暑假一定要把下届几个模型好好，再利用这个假期把这个选好。听好了。背上中线斜长补短，手拉手一线三等角十字模型，半角模型。坚信一把记住没有！
1455大海数学
03:21查看AI文稿AI文稿初二，两极分化就是有几何拉开差距的，还有多少同学不认识模型，不会做辅助线呢？那就可以跟着文文老师的系列视频来学，帮助你提分。我们今天分享的是全等三角形当中非常重要的一线三垂直模型。 先来看它的基本图形，也就是由两个直角三角形任意的一组边相等以及斜边组成的角是直角 构成。一线三垂直，其实你可以理解为一条直线上存在三个直角，而这里的四个图呢，正好分成了两种情况， 前面两个图呢，它是这三个直角都在这一条线的同一侧。你看第一个图，他们是不是都在 d、 e 的上方，而 第二个图呢，都在 d、 e 的下方。后面这两个图呢，这三个直角是在这一条线的一侧。所以根据这两种情况，我们如何证明有全等的三角形呢？先来看第一种同侧的， 这里告诉我们有三个直角以及这一组边 b、 c 等于 a、 c。 如何证明三角形 b、 d、 c 全等于 c e、 a， 你看已经有两个相等的条件了吧。第三个条件呢，需要我们去转角看仔细了， 这里因为有一个角 b、 c、 a 是九十度，那我可以找到它旁边这两个角之和是不是也是九十度呀？角一加角二等于九十。 然后呢，你根据在三角形 b、 d、 c 当中，这个角 b 加上角一，是不是也是九十度呀？ 所以你这两个式子结合来看，都加上角一，都是等于九十度，那当然可以得到角二是等于角 b 的同角的与角相等。这个是我们经常要用到的方法， 由此就证明得到了这里的三个条件，证明全等，理由是什么？是两组角和一组边啊，所以是 aas。 这里弄懂了，我们再来看易测的情况呀，大家也可以跟着来思考，和刚刚方法是一样的，你关注到这个角 b、 a、 c， 他是 拆成了两个角吧，我把它标为角一和角二，他们加起来是九十度，然后你再放到这个三角形 a、 e、 c 当中来看，他是直角三角形，那么我是不是可以得到这个角？我标为角三， 他加上角二也是九十度，他们都加上角二都是九十度，所以得到角一等于角三， 你再根据这里的角 d 等于角 ad 以及 ab 等于 ac， 那么这三个条件还是能证明两个三角形全等 aas。 这里掌握的话，老师给大家留了一道举一反三的真题，请你把答案在评论区告诉我吧！
1703文文老师家长课堂
06:40查看AI文稿AI文稿哈喽，各位家长各位同学大家好，今天给大家带来的是初中几何四十八个模型当中的第十二个手拉手模型。 这是初中的一个高频考点啊。我们来看一下这个手拉手模型。首先我们来观察 abc 和 dce 分别都是等边三绕行，并且他们有一个相同的顶点，这个顶点位于点 c， 那我们如果把点 c 作为头的话，那他的其中的一边另一边对吧？ 那么这个如果做头的话，他的这个三角形就是一边一边。那同样的我们把这个称为左手。这个三角形的这里就是左手。你看他的大三角形拉上了小三角形的左手， 大扇形的右手拉上了小三角形的右手，所以我们把它这个称为手拉手模型。那他拉上了手以后，这里的拉手的两条线段，我们把它连接以后就可以整出来，就可以出现一对全的三角形，他是位于这样这个地方， 红色的三角形 ace 和蓝色的三角形 bcd， 他就全等了。那整个全等的证明过程，两组对边分别相等，其实是很容易去证明出来的。唯一的一个困难是在于倒角。很多同学在倒角的时候可能会 有一些障碍，那么我们来看角一、角二以及角三。因为角一 等于角二等于六十度，所以角一加上角三 等于角二加上角三。其实我们通过这个观察，如果深入思考一下的话，部分同学会发现这里等于多少度其实并不重要。 也说他的这个顶角是多少度，其实并不重要，因为只要他角一和角二是相等的，他加上一个根据等式的性质，同时加上一个相同的角度的话，他所得到的对应角也是相等的。那么我们就可以把 三角形 b cbcd 和三角形 ac 证明出来全等了。就刚刚我画的红色和蓝色的两个三角形，那以及这个角 bfab f a 等于六十度。那么我们来看一下 bfa， 这里少标了一个点啊，这个点是成为 fbfa。 为什么等于六十度？ 全等震出来以后， bfa 怎么证明六十度能？之前我们讲过一个模型叫做八字模型。八字模型 八字模型在题目当中，其实给大家讲的时候就发现，我们要去找这个八字，其实是成为很多同学的一个难点。那在这个里边，我们可以构建出来这样的一个八字， 看到了吗？我画，由于画板不太好画，我在这里画的有点扭曲，他就顺便看一下。那么刚刚我们 通过政权等力以后得到的一个得到的一组脚是这个和这个是相等的。如果把它称为脚而法，那它也等于等于脚。而法。如果这个我把它称为脚背塔的话，而法加背塔一定等于啊法加上这个脚，所以这个脚也一定等于背塔。而这个脚 a cb 我们刚刚说了，其实也就是刚才我们所说的角一，他是等于六十度的，那么这个角贝塔，他肯定也等于六十度，也就叫 bfa 啊。 bfa 他是肯定等于六十度的。 同样的，如果各位同学觉得左边的这个八字不好，正，你不习惯，你也可以正右边的这个八字。右边的八字，因为这个脚和这个脚是相等的，所以对应的这个 角和这个角就相等了，那角 dce 等于六十度，所以角 dfe 也等于六十度，那他的对顶角就是我们要得到的这个角 bfa 了。那么第二个结论 是出现在一个等腰直角三角形当中，刚刚我们讲了整个手拉手模型，只需要 只需要得到的是顶点顶在一块，并且他们手拉上手就可以了。那在这个大的等腰直角三角形当中，他的左手拉上了小的等腰直角三角形他的左手， 大的等腰直角三型三角形的右手拉上了小的等腰直角三角形的右手。这个 的时候我们根据所拉手的一个情况，我们就可以直接构建出来我们想要的全等三角形。那这个全等三角形 就是红色三角形以及蓝色三角形是全等的，那这个根本都不需要去倒角就可以证明出来了。那么全等这个全等非常容易出。而且角 bfa 我们来找一下， bfa 等于九十度， bfa 在这个位置我们来看一下跟刚刚的那个有什么区别呢？ bfa 他等于九十度，那是不是我们也是同样的构建一个八字，大家来看 这也是一个八字，因为对应角是相等的，所以这个九十度一定等于他，他也肯定是九十度了。那么这个整个的一个论证过程我们来回顾一下。想要形成等 这个手拉手模型，我们需要满足三个条件，第一个叫做共顶点，第二个叫等线段，第三个叫做 等顶角啊，等顶角。那么只要大家能够把这个手拉手模型掌握好了，碰到此类的手拉手模型的题目一定就可以很迅速的得到 我们想要的第一组权的。当然手拉手模型当中有非常多的权的，需要大家去慢慢去发掘，如果您有兴趣的话，可以自己去探索一下。好了，今天的课程就到此结束，我们下期再见。
126教书先生
01:54查看AI文稿AI文稿把上第一单元三角形的边和角重难点总结来了，学会轻松考满分。咱们先来说说三角形的边，三角形边，这里常考的知识点有三角形三边关系的应用，那这里呢，常考的题型有三类，第一类就是这种已知两边，求第三边取之范围的类型题，比较常见。 第二类呢，就是我们应用三边关系来化解绝对值，这个是个难点，也是同学们的易错点。第三类呢，就是应用三边关系来判断这个，呃，三个线段能否构成三角形，这就比较简单了。 那其中第二类考题是我们月考和期中考试当中的易错点，也是同学嘛十分的关键。老师在我的训练营当中，视频当中已经重点讲解了这类题型了，解题技巧，你一定要做好笔记，多去复习两遍。那三角形当中除了边，他还有三条重要的线段啊，分别是三角 题呢，讲平分线，中线和高线，那中线来说，中线平分面积这条性质会在考试当中出选择填空题，技巧性非常强，也是用秒题大招的。那老师在课程当中给大家总结的那个几种平分面积的图形，你一定要记清楚。 另外呢，就是高线，那高线的出现呢，一般会伴随着等面积法，所以我们说学习初中数学，尤其几何这一块模型的思想和解题技巧真的是非常重要，有了技巧，那你能够在题目当中事半功倍。 那当然这一章节啊，我们也会涉及到比较多的几何模型，这里主要涉及到的是角度计算模型，我们常见的三角形当中，角度计算模型我们说有 a 字型、八字型、飞标型或者是燕尾型，对不对？角平分线相关的模型，内内型、内外型、外外型，另外还有高线和角平分线结合的这种 高分模型，这可是我们亚洲体出题的偏爱，所以以上这些模型大家一定要重点掌握，可以参照我的暑假预习训练营，咱们一起一个暑假搞定八上全册数的预习。
875依依老师da数学
