做 logrind 最大的技巧是什么？答案就是 time best。 好， 来我们看这道题。当我们要 simplify 这个 logrind 读 a single logram 的 时候，你第一个要看的就是它的 best 到底一不一样，那现在这个是三，这个是九，是不一样的，所以你就要想办法让它变一样， 所以呢，这个是 lot 三 hash 加，那我可以怎么把它变成一样呢？我把它拆开，那怎么拆开呢？就是这样子， lot key， 然后这个下面放 lot 九，然后接下来呢，你就可以选择你想要的 best， 既然我想要一样的，所以我会选择三为我的 best， 那 接下来呢？这个 lot 三 hash 造操，然后呢，如果你按计算机的话，你知道这个是等于二 lot 三 hash， 那 接下来呢？老师，我们回到这个小学的数学， 我们的 seven over two 其实是等于多少？是等于 one over two 乘给七，对不对？那我们把这个分解出来， 所以呢， law seven hash 加 one over two， law seven k。 好， 我们的 law of logrand 有 告诉我们这个 one over two 呢，其实是可以拉到这个 k 的 power 变成我们的 k 的 power， 所以 law seven hash 加 log 三， k 的 power 是 one over two， 那 这里的关系是加，那它就会变成乘，对不对？所以 log 三 h 乘给 k power of one over two， 这样子你就做完了。
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09:19查看AI文稿AI文稿这节课我们一起来学习对数的基本概念。首先来了解一下对数的定义，一般的，如果指数是 a 的， x 方是等于 n， 其中底数 a 大于零， a 不等于一， 那么数 x 叫做以 a 为底， n 的对数，记住 x 等于 lolg 以 a 为底， n 的对数，记住， a 叫做对数的底数，而 n 呢，叫做真数。怎么样来理解 a 的 x 等于 n， 那么我们化成对数形式是， x 是等于 lol 以 a 为底， n 的对数，指数写到这里，底数 a 在这边也是底数，而他的蜜值恩，在这里他变成了真数。这是我们有关对数的定义，其中对数定义要注意几点。第一点，对数的底数 a 要大于零，且 a 不等于一，对 数的真数 n 要大于零。为什么 a 要大于零， a 不等于一呢？我们知道，在指数里边，底数 a 要大于零， a 不等于一， 要在这里底数变成这边的底数的时候，他也要保证 a 大于零， a 不等于一是这么来的， n 为什么要大于零呢？ 我们在讲指数函数的时候， x 低于是属于全体实数，而 n 呢，它是属于零到正无穷这个区间，也就是 n 一定要大于零， n 在这边作为密值的时候大于零，那么在这边他作为真数的时候，同样也要保证大于零，这是要注意的第一点。 第二个，我们需要记住两个重要的关系式，第一， log 以 a 为底，一的对数，它是等于零。第二， log 以 a 为底， a 的对数，它是等于一。这两个式子怎么来 的？ a 的零字方是等于一，我们当 a 不等于零的时候，这个式子横成立，那么我们把这个式子化成对数式， 零指数零写下来是等于 log a 还是作为底数？而秘制一，我们作为真数，零是等于 log， 以 a 为底， 一的对数是这么来的。而第二个式子呢？ log 以 a 为底， a 的对数等于一，他这个式子怎么来的？我们知道 a 的一字方是等于 a 的，同样把它写成对数式的形式，一是等于 log， 以 a 为底， a 的 对数，这个第二个数字这么来的。这是我们需要记住的两个关系式。第三个常用对数，以十为底， n 的对数，那么我们通常记住 log n。 怎么理解？我们举个例， 例子， logo 以十为底，八的对数，那么我们通常去做 logo 八，而 logo 以十为底，三点五的对数，我们通常去做 logo 三点五， 也就是以十为底， n 的对数，我们通常底数十，我们省略不写，而 logo 这里的欧，我们也省略不写，这 是常用对数，以十为底的对数。接下来我们看一下自然对数，自然对数是以一为底的对数。一，我们在之前的课中有讲，一是一个自然常数，他约等于二点七，一八 二八是一个无限不循环的五里数，我们通常记住一等于二点七即可，那么 s 等于 logo 以 e 为底， n 的对数，我们通常记住漏影 n。 举个例子， lg 以 e 为底，三点八的对数， 我们通常记住 no 应三点八，那个以 e 为底十的对数，我们通常记住 no 应十，这是有关自然对数。我们关于对数的定义，需要记住的是四点，第一，对数的底数要大于零，且不等于一，对数的真数要大于零。第二， 第二个要记住两个关系四，那个以 a 为底一的对数等于零，那个以 a 为底， a 的对数是等于一。 另外要记住，常用对数，他一般写成这样的形式，而自然对数呢？通常写成这样的形式，常用对数是以十为底，自然对数是以一为底。 我们来看一下练习题。一，将下列指数式与对数式进行互画，什么叫做指数式？形如 a 的 x 次方等于 n， 这样的显示，我们称之为指数式。 而对数式呢，我们把这个指数是化成对数式的形式， x， 他是指数，我们挤到这里等于 logo。 同样以 a 为底 的对数，这就是指数式，而这边呢，是对数式。不管哪种形式，我们都要保证 a 大于零，且 a 不等于一，而且 n 也是大于零的。根据这个情况，我们看一下下面九小题。第一题， 三的 x 方等于八十一分之一，这是一个指数式，我们画成对数式 x， 我们把它写下来。三是底数在 logo 里边也是 底数，八是一分之一，我们是真数。最后得出 x 是等于 logo。 以三为底，八是一分之一的对数。第二题，二分之一的 x 方是等于八。一个指数是，我们把它画成对数，是 指数 x 把它写下来，底数二分之一在对数里边也是为底数二分之一，而他的蜜值八在这边变成了真数。 x 等于那个以二分之一为底八的对数。 第三题，同样指数式化为对数式，我们把指数负四分之一写下来，底数五写在 logo 的下边，然后五开四次方，分之一，我们作为真数存在。这是第三题。第四题， e 的零次方等于一异，我们刚才讲它是自然常数，自然常数，如果把它换成对数的形式，如果是 logo， 以 e 为底， n 的对数，通常情况下，我们写成 n， n， 这里同样他的指数是零，所以 所以我们把指数写下来，而现在是以 e 为底，所以我们写成录音的形式是录音一的对数。 第五题，十的三次方等于一千，那么十为底的话，有讲那个以十为底， n 的对数，我们写成那个 n， 三的话，是我们的一个指数三写下来是等于那个一千。 第六题，那个根号二为底，八的对数等于六，这个他是一个对数式，所以我们把它化成指数是根号二，他还是 底数，那么六呢？他是指数八呢？是他的一个蜜值。第七题，这里 logo 是以十为底，所以我们的底数是十，而他的指数呢？ 负四，最后他的密值是等于零点零零零一。第八题，漏影 a 等于五，这是以 e 为底的自然对数， e 为底，我们把 e 写下来，他的五字旁是等于 a 的，这是有关指数式与对数式的互化问题。 接下来看一下第二题，使对数式落个 a 减去二为底，负二倍 a 加上六的对数，有意义的 a 的取值范围是多少？我们在讲对数定义的时候，有讲过底数和真数的一个范围，比如说那个 a 以 a 为底， n 的对数，要注意 a 要大于零，且 a 不等于一，同时 n 也要大于零。那么这里我们做这个题来看一下， a 减去二，他是底数，所以他要大于零。写 a 减去二，这个底数不能等于一，同时他的针数负两倍的 a 加上六，他是要大于零的。我们来解一下， a 减去二大于零， a 要大于二， a 减去二不等于一， a 不等于三。 负两倍的 a 加上六要大于零，那么 a 要小于三。最后得出是二小于 a 小于三，这是我们有关对数的底数大于零不等于一且真数要大于零的情况的一个考察题。最后答案是，二小于 a 小于三。 最后我们来做一个小节。一般的，如果指数是 a 的一个字，方等于 n， 其中底数 a 大于零， a 不等于一，那么数 x 叫做以 a 为 为底 n 的对数。记住， x 等于那个以 a 为底 n 的对数， a 叫做对数的底数， n 叫做真数。 有关这个对数定义，我们要注意四点。第一，对数记号 logo 以 a 为底 n 的对数路只有在 a 大于零， a 不等于一 且真数 n 大于零的情况下才有意义，也就是说负数和零是没有对数的。第二个，我们要记住两个关系是， logo 以 a 为底，一的对数是等于零，那个以 a 为底， a 的对数是等于一。第三个，常用对数，也就是说以十为的对数，我们叫做常用对数。常用对数，那个十 以十为底 n 的对数，我们通常写成这样的形式， log n 自然对数。在科学进入中常常使用以无理数 e 为底的对数，以 e 为底的对数，我们叫做自然对数。自然对数的话， log 以 e 为底， n 的对数，我们通常写成 note n。
3105滴答课堂
03:22查看AI文稿AI文稿很多同学到高二了以后对对数还是不熟悉，今天我们就来讲一下，怎么通俗的去理解一下对数。什么是对数？ log 以 a 为底， b 的 对数。我们最开始学的时候，他讲的是 a 的 x 次方等于 b， 那 么 x 就 长这个样子。 但是很多同学可能会觉得不熟悉，对这东西很陌生，那么今天我们就来通俗的解释一下。我们小学的时候学过这么一个问题，叫做五除以三等于多少？答案很简单，对不对？三分之五。但是你仔细想一下，这个问题很有意思， 他是不是并没有回答你五除以三等于多少？因为这个东西算出来的小数应该是一点六，六六循环，但他又回答了你一个三分之五，他就用你的被除数和除数来描述你的结果，这不是一句废话吗？他并没有算出来你结果是多少。 就好像我问你，你中午吃了什么？我中午吃了我中午吃的东西，这不是一句废话吗？听君一席话，我每失去六十秒钟就失去了一分钟， 我上一次这么无语还是在上一次，是不是这个道理对不对？这个不就是一个废话吗？五除以三等于三分之五，你根本没有把答案算出来，但是不要急，这个东西对我们来说是一种很正常的数学表达方式， 他是用运算的过程在描述运算的结果，哎，就长这个样子，他只是印出了一个新的符号叫 log， 这个式子就表示 a 的 这么多次方等于 b。 像这样的废话文学，或者说像这样的表达方式在数学里面还有很多， 比如说根号二算出来了吗？很多同学说根号二确实是一个数，但是你并没有算出它具体的数值，它应该是在一点四一四左右，但是它表示的确实是一个数。一个正数的平方等于二，那么这个数就是根号二， 说了半天，还是在用二这个数字表示，对吧？所以像根号二，三分之五 log 以 a 为底， b 的 对数，它们都是相同的表达方式， 用运算的过程表示运算的结果，这就是数学里面的废话文学。但是因为这个形式比一句很长的话要更简单，对不对？我不需要跟你说，我现在有这么一个数， a 的 多少次方等于 b， 它指的这个数，我就用一个简单的符号就可以表示， 这就是对数。那么同时我们也要知道，像对数这样的形式，它不仅是一种运算，它本身还是一个数，还有两层含义，它是在算一件事情， 三分之五，它也是一个算式，对不对？它在算五除以三等于多少，它等于一点六六循环。根号二也是一个算式，它在算一个正数的平方等于二，那这个数是多少？ 所以洛 a b 也是一个算数，对不对？它也是一个算式，它是 a 的 多少次方等于 b， 同时它也是一个数，因为三分之五也可以在竖折上面表示出来，对吧？它在一到二之间，根号二也可以在竖折上表示出来。我们初中还学过，只会画图去画根号二的位置。 同样的道理， log 以 a 为底， b 的 对数，它也是一个实数，它也可以在数轴上表示出来。所以说今天我们就重新理解一下，对数对我们而言，它其实是一种废话文学，它不仅是一种运算，它也是一个实数。那么你现在对对数还陌生吗？
01:57查看AI文稿AI文稿对数 log 到底有啥用呢？大家上学的时候肯定都学过啊，但是大家脑子里估计现在只剩下这一个名词了，那具体对数是干啥用的？我猜你肯定不知道。这是一个非常重要的思维模式啊，就是大家记住数学的本质就一句话， 要么让数好算，要么让数好懂。就我给你举一个开公司的例子，你就明白了。假设第一年你挣了一万块钱， 第二年你赚了十万，第三年你赚了一百万，如果你直接画个收入图，那么你就会得到一根金箍棒，就竖上去了，就是前两年的收入在一百万面前连个影都没有，你根本看不出规律来。但是你用对数一换， 一万变成了四，十万变成了五，一百万变成了六，你一眼就看透了本质了。就这家工资在十倍速的增长， 稳的一批。是不是你发现了没有，对数干了一件什么事？就是他把指数爆炸的一种超速的世界，拉回了我们人眼能看得懂的匀速世界。 那 ai 为什么爱对数呢？因为 ai 的 神经网络里面，信号有时候就像核爆一样指示局域的放大， 有时呢像黑洞一样指数级的衰竭。如果我们不戴上对数的眼镜，那数据就几乎全是噪音，根本无法分析。对数就是把这些不老式的数值磨平，变简单， ai 才能更好的算概率，找规律。 其实啊，我们看人也一样，一个人身价一百亿和身价一亿，在绝对数值里面他差了一百倍。但是如果你用对数思维一看，也不过是九和十的区别。 对数能让你不被巨大的数吓住，也不忽略微小的变化，就是你既能平视高山，也能看见尘埃，这才是看明白这个世界的一个方式。希望大家都有对数思维，关注创业老灯，给你不一样的 ai 观点。
372逻辑因果
05:46查看AI文稿AI文稿晚安玛卡巴卡。来，今天讲一下这个定义域啊，定义你就找东西就行了，找根号啊，找这个一个数的零次方，找这带零次方的，然后找 l、 o、 g、 l、 g、 l、 n， 找这仨玩意，然后最后一个找这个 分母啊，分母上面爱是啥是啥，上面不管，就找这个分母，你就找这些东西，行，找完以后就给他限定范围。那我现在比如说 y 等于三 x 这个函数，它的定义域你找吧，在这里边有根号没？没有零次方，没有 log， log 这个 log， n 这三个玩意也没有，然后分母它也没有，所以它的定义就是 r， 就是 从富无穷到穷无穷，它都能取着，它没有限定条件。 好吧，那我们换一下啊，你看分式，找分母，找零次方，找真数，找偶次根式，找偶次根式，就找这些东西，所有东西都在这了。那么给大家写一下，首先找分母这一个数分之啥，对吧？上面这个爱是啥是啥？上面不管它上面不管它下边怎么办呢？分母它叫不等于零， 你看为啥？因为你初中咱们就学过，比如说 y， 比如说零分之一，这个零是不就没意义？所以它分母这就不能等于零，所以底下这就不能等于零。第二个叫找零次方， y 等于一个数的零次方， 一个数的零次方，那么这个数里边这个数它也不等于零。哎，我们应该学过，比如说这个一的零次方可以，负一的零次方也可以，它取正的也行，取负的也行，唯独它这个里边不能是零的零次方这个玩意不行， 这是第二个。第三个叫对数的真数大于零，这个里面啊，除了最基础的以 a 为底啊，这个对数，它还可以有 l、 g， 它还可以有稍微擦一点， 它还可以有 l、 n， 那 所有的这些框框里面的这个东西，它都得大于零，大于零大于零。 然后第四个叫找偶次根式，比如说 y 等于根号下方框，那么你这个方框里的东西，它是得大于等于零的，因为我们知道可以是根号二，可以根号五， 可以根号零，但是你根号负五这个玩意根号负五，这个就没意义，在咱们现在所学的这个状态下没意义。然后最后一个叫偶次根是做分母了，就是 y 等于根号做分母了。上面还是啊，上面不管你分子爱是啥是啥不管，那偶次根根号做分母了，它又得大于等于零，它又得不等于零，所以它是大于零。 所有的这些限制条件我都给你了啊，这里分母不等于零，然后零次方不等于零，然后所有的这个真数大于零，根号底下的大于等于零，还有做分母了大于零。 所以这些给你之后，你把只要但凡式子中有的，你就列出来啊，你就列出来。这个限制条件都列出来之后，最后叫求交集，所有的限制条件列出来之后，求交集就可以了，就这么简单。我们来看两道题， 来看看这个。第二题看 long， 这咱刚说了， long 后边跟着这个方框框一减 x 他 得大于零，对吧？然后这里做分母了，做分母这个玩意，做分母应该是不等于零，所以我把这个条条框框列出来之后，我只要去求这两个的交集就行了。第一个求出来是 x 小 于一，这个求出来是 x 不 等于负一， 所以应该是小于一。往回画，然后把这个负一给它一扣，就这两段呢，无穷到负一，负一到一，所以选 b。 再往后看十一题，函数定律看有分母了，分母应该是不等于零，他有根号了，根号里头应该是大于等于零，所以我列式子应该第一个式子是 x 不 等于零，第二个式子是一减 x， 他 得大于等于零，这个不用解了。然后这个解一下，是 x 小 于等于一。 来画个图，小于等于一，并且他不等于零，不就把零给扣了吗？就是这一节和这一节唯独没有零了，那应该就是富。无穷到零并零到一，一能取得，所以一，这里是 b 曲线，这是最终的解。然后我们来再看二十一题， 来看二一题，一样的啊，来求函数它的定域。首先来看，我说了，上面不管不用看了，底下这是不是又有根号又分母，所以它这里边这一坨东西应该是大于零，那 x 直接大于六，完事了，定域你可以写成六到正，无穷可以写成区间的形式就完了。 然后接下来我们看三道题啊，这个第二题，第五题和第六题，它们分别是二四年、二五年和二六年的河北单州。原题我们来看一下二四年的，看 log 见到这玩意后边跟着这个方框，它应该是大于零， x 减三大于零， x 大 于三。选 a 来看，二五年这个根号底下的这个方框应该是大于等于零，所以五减 x 大 于等于零，这是第一个限制条件。第二个他又有一个分母呢，这个分母应该是不等于零。好了，我现在两个限制条件，我去求交集就好了。 第一个是解出来 x 小 于等于五，第二个解出来 x 不 等于二，也就是小于等于五，把二给扣了，选二 b 是吧？这个是扣的负二，扣错了。然后再看二六年的这个真题，他就不是给你看，之前二四年二五年考的都是我直接让你求他的定义，求他定义就是我只算一个就行了，二六年他考，这样考，说下列函数定义域是领导正无穷的事，也就是你得把 abcd 都算出来，他的定义域你得算四个 啊，就比较尖了，它直接考你四个定律。你先来看 a 选项，根号里头的得大于等于零， x 大 于等于零，它应该是零到正无穷，对吧？零能取着，这里的是小括号，取不着，所以 a 错了。看 b 选项 log 后边跟的这个玩意，这个方块啊，得大于零， x 大 于零，哎，这不就 x 大 于零吗？所以二 b 可以 选。那看看 c 和 d 哪错了，它是分母，分母不等于零不等于零，有负的，有正的，它应该是负穷到零，并零到正无穷 啊，两个。然后看第四 d 选项， y 等于三 x 三 x。 这里头咱们看看，也没根号，也没零次方，对吧？也没有绕的那些玩意，然后也没有分母，四个条件都没有，所以他直接全体实数都能取到。那这道题选二 b 没问题吧？学会了吗？
81苇是芦苇的苇
01:30查看AI文稿AI文稿新的一周，大家早上好，现在是星期天的七点五十七分，我们开始新的一周的工开始改，今天的第一份作业 还有一沓，现在已经来到了星期一，因为今天有活动，已经完成了变装，接下来欣赏歌曲吧。 现在已经是星期四的六点过七分，现在要去帮班主任看一下晚一，所以今天晚上要上四个小时班，第一节晚自习下了，休息十分钟开始第二节晚自习， 自习太累了，没有录。谢谢徐老师。现在是早上的七点三十分才打完卡，现在要去三班上两节课，给三班讲一下这个星期的作业，主要涉及到的就是分布列，马上要下去跑操了，这是他们的状态。 现在已经来到了下午的两点钟，马上要去上实班的两节课。 周五的下午过得太快了，没有录上。那就以小八作为结束。谢谢观看，谢谢观看。
56🌈什么时候变海胆
26:50查看AI文稿AI文稿同学们好，从今天开始我们正式进入高中数学基础知识的一个系统的学习。那这一部分呢，是我们整个高中数学最核心，最基础，也是我们考试必须拿分的一个板块。 不管是我们平时的单元检测，还是期中期末考试，还是马上要到的一个高考， 这几块知识都会以选择呀填空的形式出现，难度不高，但是分值也都是稳定的，也是我们数学成绩必须要达到一百二十分的一个必拿的分数。然后今天这一节课我们一起学习四个模块，分别是集合、 复述、平面向量和逻辑用语。那这四部分呢？它看似是独立的，但是在考试里面经常会结合在一起考，所以大家在学习的时候不仅要把每个知识点去听懂听牢， 还要理解他们之间的一个联系，做到一个基础分咱们不丢，但是简单题要全部做对。 在上课过程中，我会把每个考点的定义呀，公式呀，还有解析方法都讲清楚，每一个知识点我们都会 嗯配上例题，然后带着大家一步一步去计算，一步一步的去分析。希望同学们在嗯听课的时候能够认真记好笔记，把我们容易出错的地方，容易混淆的地方重点标记下来。 然后我们今天把这节课的内容掌握扎实之后，后面的学习就会顺利很多。那现在就正式开始去学习今天的这四个核心的考点。首先第一个考点是我们的集合， 集合是我们高中数学的一个开篇啊，也是我们整个高中数学最最基础的一个语言，那在考试里面它主要考察就是我们一个基本运算， 交集、并集、补集，还有涉及一些子集个数的判断。那这部分题目整体是非常简单的，但会存在一些 特别容易丢分的点。我们先回顾一下基本概念啊，集合中的元素有三个 特征，第一个是确定性和无序性。我先简单说一下确定性，就是集合里面的元素他必定是必须是确定的啊，不能是模糊的一个概念。 那互异性呢？就是集合中的每个元素它必须是不同的，就比如说必须是。呃， a 是 a， b 是 b， c 是 c， 就 不能存在说 a a b 这种情况，那无序性呢？它就是一个不存在顺序的划分。比如说我们的集合有一 二三，那还有另一个集合是三、二一，这两个集合它是相等的，因为不是说它顺序变化之后，它就不是一个 就换了一个集合了，这个是集合的概念，这也是我们后续去判断集合中的一个必须要掌握的一个特征。那最重要的就是我们的三大运算，交集并集合、补集。那首先什么是交集呢？交集我们说了就是取两个集合中的公共元素， 比如说我们先用尾嗯图来表示一下，这是集合 b， 那 么他们交集的部分呢？就，哎，就是中间的公共元素就是这块部分， 这是我们的交集。那并集呢？就是把两个集合的元素合并在一起，然后重复的只保留一个，那我们画到尾根图里面呢？就变成了这是 a， 这是集合 a， 这是集合 b。 那 么什么全部元素？就是既包含 a， 又包含 b， 又包含他们重合的部分，哎，就是这块为什么要去重？ 因为我们刚说了集合里面有一个互印信，那你看这中间这部分，它既包既在 a 里头，又在 b 里头，所以它要去掉重复的一部分。那补集呢？补集就是全集里去掉 a 的 元素，就比如说现在全集 这是 u， 然后呢集合 a 呢？在这，那么去掉 a 的 元素，那剩下剩下什么了？就剩下这些抛去 a 之后外面这些部分，所以整体来说咱们补加就叫剩下的部分， 然后做集合。题目我们常用的方法有三种解法，第一个就是列句法，什么时候用列句法？ 就是当我们题目中是能直接把元素列出来的时候，我们直接用列句法就行。那什么时候用竖轴法？就是设计一些不等式剪辑的时候，我们画竖轴是最直观最容易解题的。然后当什么时候用维恩图法呢？就是关系比较抽象的时候，我们就比如说 啊啊，一位同学今天去干了，这又干了，那那么他们这种情况下，你直接用一个伪恩图法，就类似于咱们这种伪恩图，直接看就能够看的很明显。然后这里呢，我强调几个高频陷阱啊，第一个就是不要忽略咱们空集的情况。 第二个就是我们注意一个定义域的限制，就比如说我们可能会有存在一个对数函数零 x， 或者它是一个分数函数， 或者是题目要求它是整数、正整数或者是自然数的一些限制条件。第三就是我们不等式集的一个端点，看它在端点处能取到还是不能取到， 这个就是我们集合的一些常用的考点。呃，知识点是非常简单的，现在我们来看一道简单的例题。 首先设全集优啊，它是这样一个集合，是 x 方减一小于等于零的情况下， x 必须是整数。然后集合 a 呢？它是一个竖列的形式，就是零和一。问你，呃在全集优中， a 的 一个补集的元素的个数是什么？首先他问的是 个数，问的不是你，直接问的是这个集合的元素。第二个注意的注意点是什么？它是一个 整数，所以我们在做这道题的时候一定要注意这两点。那现在我们第一步是什么？要先求这个在全区优中 a 的 补集。那首先 a 的 集合是等于 零和一的，那么全集 u 呢？我们把它准确的写一下， u 等于什么？ 首先它是 x， 它是属于 z 的， 那么它也是可以写成像集合 a 一 样这种呃元素个数的形式，并且它是后面一个限制条件， x 方减一小于等于零，那我们看一下， x 方减一小于等于零可以得到。 哎，小于等于开口长上去的是中间， x 是 小于等于一，大于等于负一，然后 x 又属于整数的情况下，那么 x 只能是等于负一， 零和一，对不对。所以我们全集优它能写成什么？等于负一，零和一。那现在补集就是补集，刚刚说了就是全集中抛去 a 剩下，那抛去 a， a 是 零和一，抛去 a 剩下的就只剩下负一了，对不对？所以我们这个集合 它就只能写成负一。然后我们的元素个数是什么？它只有一个对不对？所以选择的是 b 选项， 那这道题的难度不大，最容易出错的地方就是没有注意到整数这个限制条件，直接把全集当成一个区间来算，就会导致我们的结果存在错误。所以大家做题一定要把题目条件看完整。 这是我们第一部分来看。我们的第二部分是复述，复述在高考中基本是固定的一道选择题，属于一个送分题，只要我们掌握基本的公式和运算规，运算规则就一定能够做对。 首先我们梳理一下咱们的核心知识点，第一个就是虚数单位，就是我们的英文里面的这个 i， 然后我们规定了 i 方是等于负一的，也就是说我们在计算结果中，它是不能出现 i 方的， i 方一定等于负一，要带进去出现 i 方，我们就直接按错误 来计算。第二个就是我们的复数的标准形式是 z 等于 a 加 b m， 其中 a 是 实步， b 是 虚步。这里要注意的一点就是虚步是 b， 不是 b， i 不 带 i。 这个是一定要注意的一点，因为有时候考试的时候他就会考你这一部分，很多同学在高考考场上就会出错。然后第三步就是我们的一个共恶复数， 那共卧负数，它这里是 z 等于 a 减 b i， 那 它和我们的负数有什么区别呢？这里记住，如果一个负数要求它的共卧，那么十步保持不变， 虚步变号。我们看十步原来是 a， 现在还是 a， 但，呃，虚步呢？原来是正的，我们后来变成负的了，那如果原来是负的呢？后来就是变成正的了，所以说咱们共卧负数就是十步不变，虚步编号。 第四呢，负数的模呢，就是 z 等于根号下我们实部的平方加虚部的平方。考试如果要考模长的话，就直接带公式就行。 最后呢，咱们这个负数的四则的运算啊，也很简单，就加法加减法，乘法和除法加减就是实部加减实部，虚部加减虚部，那乘法呢，就是我们像实数一样多项式展开，但注意点， i 方等于负，一定要带进去，不然答案是错的。 然后除法的也要注意，因为除法有时候我们的那个分母上会出现一个复数，然后在这种情况下你要怎么计算呢？第一步就是要分母实数化，那怎么去做到实数化呢？ 哎，就是分母和分字上下同时乘以一个分母的共讹，就能做到这个分母实数化。那接下来呢，我们来准确的去练一下，练一下 这道题啊，题目给出复数 z 是 等于二 i 乘五加 i， 然后问你十步和虚步之合，我们再来回顾一下十步和虚步之合，十步是 a， 虚步是 b， 那 你看这个答案其实给的还是比较简单的，他没有给你把 i 带上，如果这时候如果他把 i 带上，可能有的同学就会去忘，忘掉咱们那个虚步其实是 b， 不是 b i。 那现在我们来看一下这题，首先 z 是 等于两个负数相乘的，对吧？那我们用乘开之后，就是 z 等于二 i 乘五加 i， 然后用乘法分配律之后就变成了十十 i 加上二 i 的 平方，那 i 的 平方等于负一，所以单项去数就是负二加上 十二，如果这时候他告你答案的选项里面有一个负二加十二，你选不选？ 哎，是不能选的，因为咱们十步是十步，虚步是虚步，对吧？所以咱们这里应该是负二加十，十步是负二，虚步是十，加起来应该等于八，所以选择的是 c 选项。在这里再一次提醒啊，咱们的虚部啊，实虚部是系数 b， 不是 b i。 很多同学真的会在这里去做一个习惯性的出错，一定要记牢。而且咱们考试复述这一块考的就非常非常简单，这五分是一定一定一定不能丢分的。 再次强调一下，然后我们来看第三个知识点，第三个知识点是平面向量，也是我们高中数学中非常重要的一个工具，在考试里面也是出现频率很高的。然后题型考的也比较固定， 做向量的最稳妥，最不容易出错的方法就是一个坐标法，只要你能写成坐标，就尽量用坐标运算吗？那我把最常用最常考的公式给大家总结一下。首先 a 向量它是 x 一 y 一， b 向量是 x 二 y 二，那加减法呢？就是横向量， 横坐标加减横坐标，纵坐标加减纵坐标，然后竖乘的就是在向量前面乘一个数的话，那么你的横纵坐标都要相对应的去乘这个数。然后最重要的就是这个数量积，数量积的话就是 a 向量点乘 b 向量就等于它横坐标的乘积加上纵坐标的乘积，因为后面其实它涉及到一个三角函数的关系，所以这里给大家写出来就等于 a 向量的摩乘 b 向量的摩，然后乘考三 a c 塔， 这个 c 塔呢指的是我们 a 向量与 b 向量的夹角， 这个也是我们考试的时候常考的一个知识点，然后也是这个平行和垂直的判定呢，也是我们非常非常重要的，也是考试常考的，如果 a 向量和 b 向量平行，那么我们就有 x 一 乘 y 等于 x 二乘 y 一， 那这个是怎么得来的？因为向量是平行关系吗？所以我们有一个 横坐标的比值，是等于纵坐标的比值，那么交叉相乘不就得到这样一个公式啦？那垂直的话，我们是直接记 a 向量，点乘 b 向量等于零，也就是说 x 一 乘 x 二，加上 y 一 乘 y 二 等于零，这个也是很重要的一点，这两个一定要就是把这个公式记住，我们考试是能直接用的。然后最后呢，这个向量的模长，我们会发现他和前面复数的模长其实很类似， 他只不过是很很重标的一个平方加重作的平方在开根号，那其实你要把它放到一个平面几何坐标系上，发现他们的几何意义是相同的，所以他们魔长公式是相同的，这里也是大家直接记住这个魔长公式，考试如果要问的话，直接带进去 就行了。好，那我们现在来看这道例题。首先已知向量 a 向量是 x 加一， x， b 向量是 x 二，问你下面结论正确的是。 首先我们来看一下他前 a 四个选项中，他既是向量垂直，又是向量平行，那他考的什么？考的我们刚刚说的平行和垂直的一个判定，那当 a 向量垂直， b 向量，我们用他们的 双击等于零，然后又发现他又是这必要条件，又是充分条件，他考的是我们。其实我们第四部分学的个东西，那现在先给大家简单说一下什么是必要条件呢？当一个命题 p 能够推出 q 的 话，就成 p 是 q 的 一个充分条件， q 是 p 的 一个必要条件。那现在我们回归这四个选项中，我们不管他前面是垂直还是平行，不管后面 x 等于几，我们就来单独的说一下 这个必要条件和充分条件，是前面的推出后面还是后面的推出前面的。那必要条件。我们来看必要条件，当 p 能推出 q 之后，我发现 p 的 必要条件是 q， 也就说我们发现哎，前面的要推出后面的，才说明他是他的必要条件，对不对？那同样 b 选项也是前面的推出后面的。那咱来看 c， c 选项充分条件 q， p 是 q 的 充分条 件是 p， 也就我们要哎要后面的去推出前面的。 那这个推出关系确定了之后，我们现在就来分析垂直和平行的一个关系。那首先来看，如果是 a 向量，它是垂直于 b 向量的，我们就可以得到它们的点乘为零，点乘为零，也就是它的横坐标乘积加纵坐标乘积为零，那我算一下，就是 x 倍的 x 加一 加上二， x 要等于零。化解下角我们可以得到应该是 x 的 平方加上三 x 等于零，那么我们最终推出了 x， 要么是等于零， 或者要么 x 等于负三。也就是说 a 向量垂直， b 向量能够推出 x 等于零或 x 等于负三。比如说 a 向量前面的能够推出后面的。我们来看 a 选项前面的能够推出 x 等于负三吗？ 不一定，是不是他推出的 x 等于负三或 x 等于零，他少了一部分，对不对？也就是说 a 向量垂直， b 向量的时候， x 一定只能等于负三吗？不一定， x 等于零的时候也是成立的，所以 a 选项 不对。那我们再来看 c 选项， a 向量垂直， b 向充分条件等于 x 等于三，也就是后面要推出，前面呢？我们来看 x 等于三的话，我们带进去之后发现， 首先他这个点乘不为零，那点乘不为零的时候，他就推不出来垂直，所以 c 选项也是直接错误的，这是我们垂直的情况下。我们现在来看平行的情况下， 当 a 向量平行于 b 向量的时候，我们得到 x 一 y 二减去 x 二 y 一， 然后我们就算一下，就是 x 加一 二，然后减去 x 平方，它是等于零的，我们化解一下就可以得到 x 的 平方减二， x 减二等于零，我们得到什么？ 算出来 x 要么等于根号三加一，要么 x 等于一减根号三，也是，我们算出来 x 也是两个答案。那我们来看 b 选项， a 向量平行， b 向量能够推出 x 等于一减根号三吗？其实和我们刚刚的 a 选项是差不多的，他应该推出的要么是 x 等于一加根号三，要么是一减根号三，他只给出了一个一减根号三，他是 不完全正确的，对吧？所以 b 选项是错的。再来看我们 d 选项，它的充分条件是 x 等于一加高，也就是说后面的能够推出它平行吗？首先 x 等于高，三加一之后带进去确实等于零，带进去之后确实等于，带进去之后确实 它是平行的，所以交替选择的是我们的是四 d 选项，这就是我们典型的高考题型，它是把向量和平行，垂直还有逻辑判断结合在一起的，大家公式记牢之后，咱们一步一步的计算就不会做错。 那接下来我们具体的来看一下逻辑用语。很多同学对这部法觉得就是绕来绕去的，其实它规则就是非常的固定，只要我们记住方法，按步骤做题啊，就不会错。首先就是咱们的全称量词和存在量词， 那全正量词用这个叫任意啊，就是一个倒写的 a 来表示，它的意思是什么？对，所有的 x 都成立，意思，就只要有一个不成立命题就是假的。所以我们有这个一假则假，只要有一个是假的，就整体都是假的， 就像是一个一，一个老鼠屎毁了一锅粥的感觉。那这个存在命题呢？呃，用咱们这个反写的一来表示啊，就是存在，一个 x 成立，意思就是什么？只要你有一个 x 成立， 我这个结果就是成立的。所以咱们是一有一个，什么叫一真则真，一个是真的，就有种呃 呃余有容颜的一种感觉啊，就就是那种一人得道，鸡犬升天的感觉。第二个呢，就是我们一个嗯，命题的否定，大家记住啊，命题的否定就是这块 否，这个命题的否定是我们很重要的一点，为什么只要记住一个口诀，改量词否，结论也就是我们的 当一个原命题要求它的否定命题呢？我们就是任意和存在是互换的来看，原来是任意，后来变存在，原来是存在，后来变任意。这是第一步， 第二步否结论。结论是什么？原来是，哎， p x， 后来变成非 p x 原来是 p x， 后来变成非 p x。 其实还有一点就是我们任意和存在，原命题后面的任意和存在的这个它范围是不变的，就是说不管你 否定命题怎么变，咱们原来量词后面的这一块，原来是大鱼，现在还是大鱼，原来是小鱼，现在还是小鱼，是整体不变的。再来看一下咱们这个逻辑连接词啊。逻辑连接词咱们三部分，一个是且或非，什么是且且 q 且 q， 类似于我们呃，之前几何学的一个教的部分，也就是说它是呃， 就是命运共同体吧，只要有一个是假的，那整体都是假的。什么情况是真的呢？就是大家都是真的情况下，我结果才是真的，就是命运共同体的感觉啊。 那第二个是祸祸，类似于我们前面的病的关系，就是说什么你和我，哎，咱们俩只要有一个人成功都算成功。哎，所以说只要有一个是真的，咱们就都是真的了。那要你和我都不成功的情况下，我们才能叫做失败。 哎，这是这种感觉。那第三个就是非 p， 非 p 很好理解，就是原来命题相反的吗？就和我们刚刚说的这个否定命题差不多。那第三部分呢？就是我们这个充分条件和必要条件，就是我们刚刚上道题讲的那个。 首先啊，再来看一下什么是充分条件，当一个命题 q 能 p 能够推出的命题 q 就是 p 的 必要条件，那除了充分和必要之后，这两个还能结合起来就是充分不必要。就是，哎， p 能推出 q， 但 q 推不出 b， 那 必要不充分呢？就是哎， p 能 p， 推不出 q， 但是 q 能够推出 p， 那冲要条件，那大家就是相互，你能推我，我能推你，那既不冲，要也不冲，也是相互的，你推不出我，我也推不出你。那这里呢，有一个啊，记记忆那个重点就是咱们这个箭头指向的啊，就是咱们的一个 哎，必要条件，一定要记住这个，这个的话其实是很好判断的。那现在呢，我们来看一下这个命题四， 命题 p， 它是存在 x 小 于零，然后有 x 方加 x 小 于等于负二分之一，问你非 p， 也就问你这个否定命题对不对？我们再来回顾一下咱们否定命题的做题步骤，第一步就是什么？ 任意变存在，存在变任意，原来是任意，现在变存在，原来是存在，现在变任意。第一步，第二步， 哎，原命题量词后面的范围不变，也就原来是 x 属于 m， 现在还是 x 属于 m。 第三步，否结论原来是 p， 现在是非 p 这三步，所以现在我们跟着我们这三步来，首先它是存在， 哎，我们这里变任意，然后量词后，原命题量词后面的范围不变，原来 x 小 于零，现在还是 x 小 于零，然后否？结论结论什么？原来是小于，等于，现在变成大于，等于 x 方加 x 大 于负二分之一，哎，应该是这样子，所以我们看一下 abcd 哪个选项是对的， 我发现是 c 选项。所以这里最容易出错的地方就是容易有人啊，容易把咱们 x 小 于零写成 x 大 于等于零是错误的。再强调一遍，命题否定只改变量词和结论，它是 不改变变量的取值范围的，这一点一定要记死，因为这一点就是我们考试经常出现的一个错误。 讲到这呢，我们这节课的主要内容就全部讲完了，我带着大家再简单的总结一下。咱们第一部分呢，考的是集合，那重点掌握，交并拨，然后会用竖轴为 n 图解析，然后注意空几呀，整数呀，短点呀这些 一错点还有陷阱。第二部分呢，我们是负数，负数单位，首先是 i， 然后魔长的计算公式 i 十步的平方加虚部的平方开根号，然后共讷负数，是十步不变，虚部变负号。然后还有一个负数的除法，是先 哎分母实数化，然后怎么实除法，就是分子和分母同时乘一个负数的共讷共讷负数，对吧？ 那第三部分就平面向量，平面向量呢，我们优先用坐标表示，因为我们也这样子算的快，然后要记住这个平行和垂直的判定，还有一些数量积公式，计算的时候要认真新一点。 第四部分考了一个常用的逻辑用语啊，咱们比如说命题的否定，咱们要干嘛？ 改改量词否结论，还有一些对于充分必要条件的判断。那这四个模块呢，是我们高中数学最基础也是最重要的部分，是我们提升数学成绩的第一步。希望大家课后啊，把咱们今天的例题 再做一遍，然后这里是咱们布置的五道课后练习题，也是要认真完成， 然后错题及时整理，及时巩固，咱们把基础知识打牢，后面学习才会更轻松更有效。然后注意一点，咱们的题型答案在配套的资料中，评论区呢，就有免费的获取方式。那今天这节课就上到这里。
165期末闪学
05:57查看AI文稿AI文稿这边呢，我们来强化一个数学概念，就是这个 log n 啊，我们也常常用的这个 log n 啊， 就是默认二，一般会说取消掉嘛，就是这个 log n 这个级别啊，这个量级它是怎么出来的啊？你看到什么样的数字，你就感觉就能感觉到它是 log n 啊，这个直觉呢很重要，那就是看到什么八四二一折半涨的时候啊，就是当我们对 n 个数据进行操作的时候，进行折半操作的时候呢，我们一共要操作多少次？ 哎，这个操作多少次就是 log n 啊，这边呢啊，我们来看一下，我们看看一下。 那这边呢啊，我们来看一下，就是假设是吧？我们有八个数据啊，八个数据是吧？我们假设进行了某种操作啊，操作完一次之后就 就折半啊，我们只只只需要操作四个数据了啊，再操作一次，只要操作两个数据了啊，再操作一次，哎，就结束了啊，只剩一个数据了，就说我们遇到这样的操作之后，我们就要灵敏的感觉出来，他是洛克奥恩的一个量级的操作数量。 为什么呢？那这边呢，我们可以来看一下，我们可以来看一下，那这边假设是吧？我们有这个是吧？ n 个数据是吧？ n 个数据 是吧？假设是八是吧？然后我们这是数据是吧？ n 个数据， 然后是操作一次就折半，操作一次就折半，一直折到一，一直折到一就操作结束，那这边就是操作了第一次是吧？这就是操作了第二次，这操作了第三次，这边操作了第四次是吧？操作第四次，那这个操作的次数呢？我们用 k 表示是吧？ k， k 表示啊， k 表示，那就是这个是 k 对 一的时候，是吧？操作一次就就是 啊？这这个，这，这个假设。原始数据是一吧，是吧？那原始数据是八的话，那我们没操作的时候呢？零的时候，操作零次的时候呢？它是八，是吧？操作完一次就折半啊，操作完一次就折半啊，它是这样的，是吧？那假设， 假设是吧？这个时候我们数据变成 n， 是 吧？我们假设我们的数据变成 n， 是 吧？那对应的我们操作第零次的时候，这个数据还是 n 嘛？那当我们操作第一次的时候，是吧？它这个数据就变成 n 除以二了。 n 除以二了，是吧？那变成。那如果我们操作第二次的时候就是 n， 是 吧？除以二的 这个二次方嘛，是吧？折半嘛？再除以二嘛？再除以二就是，就是除以二之后再除以二就是除以四嘛？那就是除以二的平方嘛，是吧？那再操作一次的时候，是吧？那就是再除以二嘛，是吧？那就变成二的三次方嘛？就除以二的三次方嘛，是吧？ 那么一直除以到一直一直操作到 d k 一 次，那它变成就是 n， 是 吧？除以二的这个 k 次方，是吧？ k 次方。那什么时候整个数据处理完呢？那就是，那就是当 n 除以二的 k 次方等于一的时候嘛？等于一的时候嘛，它就处理完了嘛？那我们的目标是什么呢？我们的目标是 要知道，是吧？操作了多少次，是吧？操作多少次，那对应的次数就是 k 嘛？那对应的是吧？两边都 除以二的这个 k 次方，是吧？那就变成 n， 是 吧？等于 两边都乘以二的 k 次方啊，是吧？那就变成 n 等于二的 k 次方嘛。那同时对两边取 log 二为底嘛？同时对两边取 log 二为底，取 log 二为底，那那左边就变成了 log 二的，是吧？ n 次方嘛，是吧？就变成 log 二的 n 次方嘛。那右边呢？ log 二的 log 二为底的二的 k 次方就等于 k 啊，就等于 k 啊，这最基最。这是最基本的数学公式嘛。啊，你不知道也无所谓，反正你只要知道以 log 二为底啊的二的 k 次方， 就是我们这个以 log 二为底二的 k 次方， 它等于 k 啊，等于 k， 它可以把这这这给约掉啊。若干二的 k 次方呢？可以把这个给约掉，它就等于 k， 它就等于 k 啊，它就等于 k 那。 那那同时以若干为底，那不就等于等于 k 吗？是吧？那我们计算空，那么 k 不 就出来了吗？是吧？ 我们不就是同这个同时取 log 二为底，那这边就变成 log 二 n 嘛。右边的话 log 二二的 k 次方约掉变成 k， 是 吧？那就是 k 等于 log 二 n 嘛。那我们的公式 啊，我们的我们的这个公式不就出来了吗？不就是 k 就是 等于 k， 操作次数就是等于 log n 嘛。啊，就是我们一共有 n 个数据，如果我们每次对这个数据，是吧？每次对这个数据操作一次就会折半，那一直折到一，那我一共要操作 log 二的 n 次方次数。 操作这么多次啊，操作这么多次，那这个就是我们经常说的洛根量级。洛根量级啊，你看到八四二一，看到什么？十六八折半，折半，一看到折半啊，就是洛根二 n 的 量级啊，洛根二 n 的 量级 啊。有这个概念在心里啊。
02:33查看AI文稿AI文稿大家好，我们来看这道题怎么算？ 很多人可能会用呃，这个方法，但是这样算出来是错误的，那错在哪里呢？我们来看一下正确的解法。 首先我们使用待定号，把两个数连起来，用来构造一个新的不等式，这是待定号的基本用法，没有见过的同学可以了解一下。 我们这里使用自然对数进行了换底， 接着两边同时乘以一个数，用来交换左边的分子和右边的分母， 这是交换后的样子，这样两边的数值都变大了，方便我们后面变化。 接着左边分子分母同乘以五，右边分子分母同乘以四， 我们利用对数的性质，把乘数挪到对数里面， 接着我们来计算这些数字，我们来看一下这样的计算结果， 我们把这样的计算结果带入到这样一个不等式里面，这个时候你能看出答案吗？ 左边的这个分子大，分母小，经过比较，左边是大于右边的， 这样我们就得出了正确答案，这里的待定号就是大于号，你学会了吗？
6葛红儒
02:46查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我是数学刘老师，今天我们来讲解一道关于指数与对数的题目。 已知二的 m 次方等于三的 n 次方等于五，则四的 n 分 之 m 次方等于多少？那这边我们先来复习几个比较重要的公式。 第一个，如果 a 的 x 次方等于 n， 那 么 x 等于 log a n。 第二个换底公式， log a， b 等于 log c， b 除以 log c a。 这边就换成以 c 为底的对数。第三个， log a b 的 m 四方等于 m， log a b。 第四个， a 的 log a n 等于 n。 那题目中要求四的 n 分 之 m 次方，我们首先要求出 n 分 之 m 等于多少？前面告诉我们，二的 m 次方等于三的 n 次方等于五。我们可以利用第一个指数与对数的转换求出 m 等于 log 二五， n 等于 log 三五，所以 n 分 之 m 等于 log 二五，除以 log 三五。 接下来利用第二个换底公式将 n 进行转换，那就等于 log 二五除以 log 二五，除以 log 二三就等于 log 二三。 所以四的 n 分 之 m 次方等于四的 log 二三次方，那四可以转换成二的平方，也就等于二的二 log 二三次方。 然后再利用第三个式子将它进行转换，就等于二的 log 二三的平方， 那三的平方就等于九，所以它就等于二的 log 二九。然后再利用第四个式子， 最终就等于九，所以四的 n 分 之 m 四方等于九。同学们学会了吗？
1明正教育
02:43查看AI文稿AI文稿英数、倍数、质数和数，这是五年级的必考知识点，很多孩子呢容易混淆，家长呢也讲不明白。今天曹老师就用一个视频，一次性给大家讲清楚这四大概念，我们一起来看。 首先看到因数和倍数，先给大家举个例子，二乘四等于八。在这个式子中呢，我们可以说二和四是八的因数， 反过来我们说八是二和四的倍数。 通过这个例子，我们就可以知道，倍数与倍数它是相互依存的关系，也就是说有因数就有倍数，有倍数就有因数。 接下来我们看到质数与和数，其实这两个呢也比较好区分，它就是根据一个数的因素个数来决定的。举个例子，质数它是只有一和本身作为它的因素的数。 比如二，它是等于一乘二的，那么二这个数就只有一和本身作为它的因素。 再比如三，他是等于一乘三的，三这个数也同样是只有一和本身作为他的因素。那么这里我们就可以知道，质数是只有两个因素的数。 再看到和数，和数与质数相反，除了一和本身外，他还会有其他的因素的数，那就叫做和数。举个例子，四 它是等于一乘四，也可以等于二乘二，那么四这个数，它的因素就会有一、四、二这三个因素。当然其他数字可能会有四个因素，五个因素，甚至更多，所以和数至少有 三个因素。好，这里要特别注意我们没有提到的一这个数字，因为一这个数字呢，它的因素只有本身，所以它既不是质数，也不是和数。这些大家都学懂了吗？如果你喜欢我的视频，请点赞关注！
54汨罗曹老师讲数学
