缓和曲线切线方位角计算公式

你们要的道路缓和曲线计算来啦，大家好，今天跟大家讲解一下关于道路缓和曲线的一个坐标计算方法。首先我们看一下什么叫缓和曲线，平面线形中在直线与圆曲线之间设置的一个曲率连续变化的曲线就叫缓和曲线，那么缓和曲线他是道路平面线形要素之一， 其实我们在做的道路是经常会碰到有缓和曲线这样的一个道路限行啊，他主要是在一个直线段与圆弧圆曲线段，他一个角度太大的问题，我们是为了一个舒适度，所以中间设施了这样一个曲率连续变化的一个缓和性的曲线。 那么我们首先看这个图，这一段缓和曲线，那我们如何计算这里面任意点的一个坐标呢？首先图纸上能够提供给我们的一些 限速，第一个是道路直线段的一个方位角，我们可以根据他的坐标来计算第二个直环点，这个 zh 是直环，就是直线与缓和曲线的交点，用字母的首字母代替直环点，还有这个缓源点坐标我们都可以得到，然后整个缓和曲线的一个长度， ls 等长度 啊，然后这个圆曲线的半径，那么我们如何根据这些参数来计算缓和曲线上任意一点的坐标呢？首先看这个公式，第一步我们首先要计算出这个缓和曲线圆心角的一个白塔值，他是等于 缓和曲线的长度，就是你要求的类的缓和曲线长度的平方，除上二倍的半径，在于缓和曲线总长度的一个乘积，再乘以 派分之一百八十，用公式表示就是白塔等于二 ls 分之 l 的平方呈上一个派分之一百八十度。第二步，我们要求出缓和曲线弦长， 那么弦长公式，弦长 c 是等于你要求的类段缓和曲线的长度减去 九十与半径的平方，与缓和曲线总长的平方的沉积 分之 l 的五次方就是你要求的类段缓和曲线长度的五次方。用公式表示就是 c 等于 l 减去九十二的平方 ls 平方分之 l 的五次方。 最后我们就可以求出缓和取上任意点的坐标，任意点的 x 坐标是等于 x 一，这个 x 一就直还点的 坐标就是你缓和曲线起点的 x 坐标。加上括三与括号耳法加上或者减去三分之白塔。白塔我们讲过的是圆形角，而法是直线段的一个方位角啊。那么再乘上一个弦长， c 是弦长，我们求出来的弦长。任意点的我爱坐标是等于我爱一 缓和取下起点的 y 坐标，加上三引括号阿尔法加上或者减去三分之白塔，再乘上一个 c 嫌长。 那么这些公式里面字母代表的意思， l 是代表曲线的长度，这里所说的曲线长度就是你要求的那任意一点与缓和曲线起点之间的长度。用 l 来表示， ls 是代表缓和曲线的总长，而是缓和曲线的半径，在这里我们 一般就是代表缓和曲线结束后的圆，曲线的半径就是这个缓和曲线。缓和曲线的起点缓和节中点，他中点所承接的这个圆，这个圆的半径就我们就代表是缓和曲线的半径。 耳法加上或者减去三分之白塔，那么这个加减是如何确定？我们就根据这个是直线段的方向，那么缓和曲线是朝左边缓的，我们就是去减法。 反之，如果这缓和曲线是往右边缓的话，我们就是取加法，而法是直线段的一个方位角，直线段的方位角我们可以通过图纸上的七直线段的碾头的坐标来计算出来的，那么 x 一 y 一就是代表 缓和曲曲线起点的一个坐标 xuy， 你明白了吗？

道路缓和曲线坐标计算举例讲解。大家好，今天来给大家讲一下道路缓和曲线任意一点坐标计算的举例讲解。看例题 如图所示一段道路，这是一一整段道路直线段的方位角为一百六十五点三六八，缓和曲线的总长两百五十五米， 原曲线段的半径为两千米， k 零加九二零处的坐标为 x 值是幺六零零点零幺零，我爱值是七六五点三六九。那么教我们求 k 一加零二零处的坐标。首先看这个图，这里是直线段，这一段是缓和曲线， 这里是圆曲线，直线段的方位角是一百六十五点三六八米。其实哪怕不给我们，我们根据直线段的，如果他给我们连点坐标，我们照样能求出来他的方位角。 这一段缓和曲线的总长 ls， 他是等于两百五十五米的。两百五十五米，原曲线半径是两千米， k 零加九二零处的坐标就是缓和曲线的起点， k 零加九二零，他的坐标是 xy 值。求 k 幺加零二零的位置的坐标，那么这里缓和曲线九二零到幺七五是两百五十五米， k 一加零二零， 比如这里一个点是 k 一加零二零，那么要求这一点的坐标，那么可以根据装好，我们可以确定这一段的距离是 一百米，也就是我们要求从七点开始过来一百米地方的坐标，那我们如何求？根据上节课我们讲的公式，首先第一步，根据缓和曲线的原 角控是白塔等于二 ls 分之 l 的平方，乘上派分之一百八十度，把数据带入白塔，就等于二乘上一个半径，眼前再乘上一个 ls， ls 是缓和曲线的正常两百五十五米啊，上面分子是 l， 就是 你要求的那段缓和曲线的长度与起点之间的距离是一百，那么就是一百的平方，在乘以后面是三点一四分之一百八十，那么结果算出来白塔值圆形角等于零点五六二。第二步，根据缓和曲线闲长公式， c 等于 l， 减去 九十二的平方， ls 的平方分之 l 的五次方，那么数级代入 c 等于一百 l 你要求的是一百减去九十乘以半径的平方，两千的平方乘以两百五十五等的缓和取向的长度 分子是 l， 你要求的那一段缓和曲线的长度一百米，他的五次方，那么结果就还是等于一百，其实是等于九十九点九九，我们约等于一百。第三步，根据缓和曲线坐标公式， x 等于 x 一加上扣三一括 r， 加上或者减去三分之白塔括乘以 c， 我爱等于我爱一加上三一括 r， 加上或者减去三分之白塔和乘以 c， 那么 x 数据代入就等于 x。 一是晚和曲线起点的坐标幺六零零点零幺零，加上考三页 括号阿法是直线段的方位角一百六十五点三六八，减去一个三分之零点五六二，被他指示算出零点五六二。括号后面再乘上一个，先乘一百，那么 我们计算出来 x 的坐标是幺五零三点三三六 y 坐标等于七点 y 的坐标七六五点三六九，加上三引括号一百六十五点三六八，减去三分之零点五六二，乘以一百， 那么最终得出来歪点的坐标是七九零点九四六，你明白了吗？

我们缓和曲线大家可以看到啊，在我们的图上面， 缓和曲线我们都是标的 a 啊，在直线和圆曲线，标的都是啊，半径啊，直线是啊，无穷大。 圆曲线的 r 是一个具体的数值，只有在缓和曲线，它不标 r， 是标 a， 那么这个 a 呢？就叫缓缓，取参数，缓和曲线参数。 呃，对于完整混合学员参数，他的计算公式是， a 等于半径，乘以混合学员长度，再开二次方根。 比如说我们这里啊，我们这里这一条缓和曲线，这条缓和曲线，我们可以看到，他是从直线过渡到半径 定为三百的这么一条缓和曲线，很显然，这条缓和曲线是完整缓和曲线，对不对？这有一段半径是无穷大的，那么它的缓和曲线参数我们计算啊，就等于 a 等于根号，半径是多少的？半径是三百，就是这一段的半径啊，它是三百，这段半径无穷大了，乘以 缓和弦长度，这个长度是多少嘞？长度就这两个桩号相减啊，等于二六幺点五幺六，减去幺八六点五幺六， 等于七十五米，这是黄瓜群长度，因此这里乘以七十五。哎，我们拿计算器 按一下啊，这个，这个计算器操作很简单，我就不演示了啊，大家给自己拿计算器按一下啊，算出来就是等于三百，而且缓和权参数他是有单位的，也是米， 这是，所以这个呢，就叫完整，还取参数它的一个计算。

句啊，因为我们刚才已经说了，通过坐标反算求出了圆心点到屁点的方位，叫 v f 距离为地啊，因为我们刚才通过坐标反算已经把地求出来了，这个地的长度啊，就是凹点到屁点的距离， 我们是通过坐标反算已经把它求出来了，他是 d 啊，那么我们的偏距就为 s， 对不对？偏距就为 s， 左为负，右为正啊，右为正。那么当我们路线 左转弯的时候，当我们路线左转弯的时候啊，我们这个天距，他是用地 减去 r 啊，因为我们这自定义了左伏都为负，右伏为正啊，当我们路线左转弯的时候，那么我们这个偏距就是 d 减去 r 啊， 当我们路线右转弯的时候，哎，那么我们这个偏距就是 r 减去 d 啊， r 减去 d， 他如果得出来的是一个负数的话，那表示是在左侧，如果得出来的是 s， 得出来是一个正数的话，那么就表示是在我们的右辅 啊，是在我们的柚子啊。好，那么大家通过我前面的讲解，是不是对那个缓和曲线段，他如果是在原曲线的时候，是不是很好计算呢？对吧？

那今天来接着给大家讲一下这个缓和曲线上任意一点的计算方法。首先这个案例是我从一个高速公路上面截取的一段以至 a b 为直线段， 其中 a 的组 a 的里程为 k 二零加零零零， b 的里程是 k 二零加一百二十八点七八八，并且 b 的坐标是三四零八四零零点二三八五零八六三九点幺零九。 然后这条 ab 直线，他的方位角阿尔法 ab 等于两百三十四点五八九四 是九九九度。然后 b c 段为缓和起线段。 嗯，一点是我们缓和曲线上任意点，它的里程是 k 二零加四百二十八点七八八，然后缓和曲线它的总长 b c 等于三百七十米。然后 c d 是圆曲线的，它的曲线半径而等于三千三。然后让我们求一下一点 他的坐标。首先根据上一节课我们计算圆圆曲线坐标的时候，圆曲 曲线上任意点的坐标计算，首先要算嗯，他的一个弧长所对应的悬长，首先要把他悬长算出来，然后要计算他的转角， 他在转角， 那么圆缓和曲线缓和曲线其实大致方向是一样的，只是我们这里他的转角跟他这个假角是不一样的， 它俩存在一定的倍数关系。首先我们来先算一下这个 b 一它的弦长是多少？ l b 一，这是公式 l b 一等于 b 一，它的弧长减去 b 弧长的五倍啊，它的五次方除以一个九十 乘以圆曲线半径的平方，再乘以缓和曲线全长它的平方。那么我们把这个已知的数据带进去。 l b 它的弧长 是等于呃 k 二零加四二八点七八八减去一个。 k 二零加一百二十八点七八八减出来，它等于三百，然后减去三百的五次方，也就是这段弧长的 五次方，除以九十乘以三千三，半径是三千三的平方，再乘以 全这个缓和曲线 b、 c， 它的全长三百七的平方，算出来是等于两百九十九点 九八幺八八九四米。然后我们现在来要要来算这个一点他的这个转角，他的转角指的是 e 点，它的法像有一个方位角与 a b， 它这个方位角，它的一个假角，它的公式是 我们用 beta beta 角来表示角， beta 等于嗯 l b e 就是弧线 b e， 它的长度除以两倍 圆曲线半径再乘以这个弧这个缓和曲线 b、 c， 它的全长再乘以一个一百八十度除以它， 所以把这个参数带下来就是小。 beta 等于三百的平方除以二乘以半径三千三乘以缓和曲线全长三百七乘以个一百 八十度除以拍算出来等于二点幺幺幺六三八零七度。那么我们算出来他这个转角， 算出来以后，我们要再计算推导出来它这个 b、 e 与 a b， 它的夹角是多少，它也有一个计算公式， 角一，我们用角一表示，角一等于三分之贝塔，也就等于说这个角它等于 角这个一点，它的转角的三分之一，那角 b 的算出来了二点幺幺六三八零，斜度除以三等于这 这个度数，那么我们这个转角算出来了。我们现在就可以计算 b 一它的方位角，因为它这个从 a b 到 b 一， 他是一个左转角，大家可以看一下从这条线然后转过来，转到这里，这是左转角，然后左转角就等于已知的他这个方位角减去转角值，就等于二和 ib 减去角，一 算出来，也就是用这个 alpha a b 减这个两百三十四对，然后减去这个 零点七零几，正好等于两百三十三点，等于这个度数，所以这个嗯 方位角算出来了，长度算出来了，那我们直接可以按照直线段的坐标啊，这个坐标计算的方法来计算，这个点 x e 等于 x b， 加上 l b e 的寻常乘以 k 三 a 阿尔法 b e， 阿尔法 b e 就是方位角，然后把这个 x b 是它三四零带下来，三四零八四零零点 二三八，加上这个 l b 的线长，乘以 这个科三，这个角度算出来是等于三四零八二三点四二九，然后这个 看 y 值， y e 等于 y b 加上 a l b 乘以三 a， 阿尔法 b e， 把这个坐标带下来，就是五零八六三九点幺零九，加上 l b e 的弧长啊，弦长两百九十九点几，乘以三，这个角度等于 五零八三九六点七七幺，还是还是跟上一个计算方法一样，我们计算完了以后， 我们要用这个软件验证一下我们计算的对不对。那么我们现在切换到这个手机录屏上面，打开这个测量员软件， 我们来先来打开这个工地通路测的软件， 点击这个路线放央点进来以后，我们把这个一点的 装后输进去，它是 k 二零加四二八点 七八八，其他的就不用数了，直接点这个下面的计算， 可以看出来，他算出来的 x 等于三四零八二二二三点四二九，我们算出来也是 三四零八二二三点四二九，这个是一点都不差的。然后 y 我们算出来是五零八三九六点七七幺，他软件也是这个值，所以我们算的是没有问题的，大家也可以用他的方法计算他这个缓和曲线，他的终点坐标 c 点。

大家好，今天呢跟大家一起讨论一下这个交点法的切线长直缓缓圆，圆缓缓直，里程的计算，还有坐标的计算原理，我们现在呢看到的呢，这就是一个标准的， 嗯，焦点法的一个示意图，这里边呢包含了这个焦点，然后呢这个直缓前面是直线，然后在缓和线，圆弧在后，缓和线在直线，这样一个情况，焦点的转角是阿拉法， 那这个曲率的变化呢？是什么情况呢？指环点位置接直线，他的曲率是零，然后呢变化到这个 去滤半径变化到这个圆弧上来，这个半径直渐变过来，然后再渐变，再渐变回到 直线上去，这样一个情况，那这个是曲率变化的一个示意图啊，这个 k 代表曲率，曲率是什么呀？曲率是半径的倒数一除以二， 然后曲率半径呢实际就是半径，咱们记住就是半径就行了，直线的曲率是零，他的半径呢是无穷大。然后我们看这个啊，我们来运算这个前线长啊， 图纸上给的里程是焦点的里程，你要想算这个指环 圆缓缓圆缓直这些里程呢？要以这个要算切线长的，要算切线长的， 嗯，这个切延长呢，公式给了 t 等于 r 加 p 乘以 t， r 就是转角的一半呗，再加这个 q 值，这里边设计到 p q 两个值， p q 两个值是什么呢？那在咱们 未插入混合曲线的时候，只插入一个圆弧，那么就是这个虚线这个位置呢？嗯，也就是虚线这个位置在插入以后，那整个的圆弧呢向内移动，这就是这个这个壁纸。然后呢 圆弧与前后直线相接的位置呢？有远离焦点向外移动，那这就是 q， 是，然后这个 pq 的公式呢，也有了 pq 的公式在这里，然后这个 名称呢，这样写了，这是教科书上的一些写法，然后呢，理解的话呢，对着这个图来呢，进行这个理解，加 p 等于 y， 减去 r 乘以 一剪口菜，你背他，那就背他，背他背他就是这个转角值了。那你圆弧有一部分转角，然后呢？嗯，在两端的缓和线呢，一部分转角再加一起等于这个阿拉法值，如果没有插入缓和曲线的话呢，实际这圆弧的转角都就是等于阿拉法值了， 这个是 p， 还有说到这个 y， 然后呢，这个 y 是哪的？ y 是缓和曲线上的得来的，那上次咱们讲的这个缓和曲线的方针和坐标计算原理里边有这个外直的运算， 这是技术的展开。然后呢，我们取了前面的两项，如果这个环环半径小，还有这曲线长要多取向啊， 这个是 y， 也知道了 r 口碑的全部都知道，那就能得到这个 p 值，然后这个 q 值啊，是 x 减 r 口在贝特零，这 x 呢，就是缓和曲线这个坐标的 x， 这个值啊， 嗯，这些数值都有了以后呢，你带入就可以求得这个 切线长了，那直缓减呢？里程呢？就是切线就是这个焦点的里程，减个切线长就得到直缓减里程，然后其他的里程分次加 点就可以了啊。然后呢，这个说起来的话呢，很难理解，我们在 cd 上呢，给大家展示一下吧。 cd 上给大家展示一下啊，嗯，从这个工地通路测软件里边呢，给大家导出一个 cd 的图案，就是焦点法的 cd 图好不好？ 这个第一个项目就是焦点法的已经编辑好的点这右上角这三个点，然后呢这有一个，这个导出随机平面图，你点一下，然后呢给他发到我们的电脑上来啊， 现在发到我们电脑上来， 现在呢他已经发过来了，然后我们在 发一个吧，再发一个什么呢？再发一个这要素表，这软件呢？他你给他编好了以后呢，他会把一个很完整的要素表呢 给咱们生成，你可以发到电脑上。好，元素表呢也到了，点打开就可以了 啊，这是钥匙表，包含了焦点的编号，焦点坐标，焦点里程，然后各个详细的参数，还有各个主典的里程。 那我们看这个图， 我们就以这个焦点为例呢，进行示意了，然后 我们这个圆的圆心能找到吧，你先把圆心给他画一下， 用蓝色，用蓝色，嗯，我们在未插入缓和曲线的时候是什么状态呢？我们画一个圆就可以了，那这个圆的半径是这里写着呢啊，八十， 八十，画一个圆 c， 然后是画个相切圆吧，跟咱们这个相切 前后的焦点镶嵌，然后半径输入一下，八十， ok， 那就画好了啊，这个圆跟这个圆是同心圆吗？那他肯定不是，如果是的话呢，他 两个圆的半径呢就不会一样了。好吧，我们再画一个圆的 啊，把这个这个这个切点给他，给他找出来 啊，垂直的位置就是啊， 看这个， 你看这个圆呢，他不是同心圆哈，他不是同心圆。 这内移值给大家标一下了，内移值，我们把这个蓝色的圆弧呢给它延伸 ex， 那这个就是内移纸了，这个就是内移纸，然后标语七， 好，这就是内遗址， 这就是内衣纸。嗯，还有一个是 叫 q 来着，叫 q 啊？ q 什么意思？ 是十一最终到这个直缓点，这个位置直缓点或缓直点，那他就是这个位置了， 嗯，从这个位置，从这个位置。 微信，嗯，倒在这里，倒在这里，这个字 q 值，这是，嗯，小 q 啊， q 值， 这是那一只屁， 基本上就是这样的一种情况，就是这样的一种情况，把这个不要的给他删了算了， 你从这个图上啊，确实不太容易看出来。然后呢，如果，嗯，咱们的话呢，这样操作一下，回家呢，再练习一下呢，就对这两个值的含义呢，就应该是比较清晰了。 嗯，剩下的呢，我们就是把这个数据呢带入到这个公式里呢，进行运算就好了，那 t 指就能求出来了。后面是那个， 这个这个各个主典里程的运算了，那直缓点就是焦点里程减去这个替了，减去替了，然后是这个圆，这个缓远点，缓远点就从直缓点里程 加入，加上一个缓和曲线的长度，他就到了。然后这个我们在说这个，这个曲中其实不是特别重要啊，就是加，按照这个公式搞就可以了。然后这里边比较麻烦的有一个问题呢，这个圆弧的长度没有是吧？圆弧的长度实际就是什么呀？ 嗯，我们知道圆弧的转角就行了，那焦点的转角是阿拉法，剪掉两个这个缓和线的转角就完了吗？然后缓和线转角怎么算呢？黄线的转角，黄线呢？转角在这里呢， ls 除以二一方就可以了，那二一方这些都是图纸上会给我们的啊，图纸上会给我们的，你看这个这个要素表上呢，那他这个混合曲线的参数都有了， 那都是完整的数据，你把它从这里边对号入座，带到公式里就 ok 了，带到公式里就 ok 了， 那这个那这个剪掉两个杯的，那就是圆弧的 那个转角，然后呢你通过圆的公式把这圆弧的长度给他算出来，就到了圆环了，然后呢到了圆环以后呢，你再搞一个这个，再加再加一个这个缓和曲线就到缓直了吗？ 那么这个呢就是关于这个标准的，这个 标准的对称的缓和线的一个切线长，还有逐点里程的一个计算。那么后面呢我们呢给大家呢 准备了几个这个这个视力，那么然后呢咱们呢可以看一下，可以看一下，看一下呢进行一个试算。 然后咱们呢可以从这个 你这个攻击通路册呢软件呢导出这个 cd 的平面图，然后呢进行一个 pq 值的标注呢，标注啊验算这个，还有咱们的取现的要素表啊，再取。好的，那么关于这个呢？嗯， 关于这个焦点法的曲线要素这块的问题呢，就说到这里，就说到这里，谢谢大家。

今天讲一下利用 excel 计算公式的变质对混合曲线进行放样 啊，最近收到一个项目是做这一帘五十五米的减脂钢枪梁啊，这这这边钢枪梁呢，是在两条混合曲线的交界位置上，而且这个混合曲线呢，呃，这个图纸没有给曲线要素饼， 也没有焦点坐标方位角之类的，所以说呢，呃，要把它进行放样呢，就需按照以往的写的那种插件的去画法啊，还有用那个已经编制好的那种程序什么的，基本上都挺挺难做的。 今天呢我就用自编的一个赛欧表把公式带进去，然后给大家做一下，先看一下这个这张图纸他都给了哪些呃要素 啊，他这个位置呢？呃，咱们先看这一条，呃，这一半撇，这个基本上他是属于第一缓和曲线，然后他只给的 只给了那个混混合曲线的长数，就是这个 a 等于二幺点六六，还有一个混合曲线的长度是七十米，然后呢还有这边的圆曲线呢，半径是六百四十米， 这只有这么几个几个数。然后呢，现在我们试着用一个三角编个公式，然后呢把这把这一孔的那个呃中线给放出来 啊，大家先看一下，这个是我已经编制好的啊缓缓和曲线的这个计算的表啊，里边呢有缓和曲线的，这 已知的有黄河曲线长数啊，黄河曲线的长度，还有黄河曲线的半径啊，这是这这三个是已知的，然后呢这个呢就是到那个黄河曲线的那个 就是直环点的距离，这个从咱们从零开始算，然后呢包括这些数字呢，都是我现在做的呢，都是 呃那高强梁的横隔板，然后距那个黄河酒店起点的距离，这个呢咱们编公式的时候呢，先可以随便输，然后最后呢再根据图纸进行把这个数进行填上，后边呢就是 那个计算混合曲线的啊，坐标的一系列的公式啊，现在我们用一张空表把它给算一下啊， 我们新建新建一个表，这个表头呢，我还是用这个给他复制过来吧 啊，序号我们先输入个一二，这个就无所谓了， 然后呢混合极限的长数，我们看一下图纸，混合极限的长数呢是二幺幺点六六， 黄河曲线的长度呢是七十米，这都按照图纸去 去去去去看的查的。然后这个圆曲线的半径呢是六百四十米，咱们把这个也收进去 六百四十米，然后呢距起点的距离呢？这个我们先在编公式的时候呢，随便来一个数输一下，比如说输入个十十米，然后呢接下去呢就开始计算切线织距横坐标和切线织距的纵坐标了。这个我们先看一下公式 啊，这个表呢就是缓和曲线的所有的一个计算公式，这个切线之距呢就是这个啊，这两个公式 x 和和和 y 的呃，计算 这个是计算期间之距的，然后呢第一缓和曲线呢是用啊这个公式进行进行计算， 我们先把切线切线直距计算出来，需要这个公式，我先粘到几个三二的 啊，先把它放在这啊，七线之一的横字标呢，就是这个公公式。我们现在用 excel 输入这个公式，先先填输入等于， 然后是 l 减去 l 是呃这个数，然后呢让他呢减减去。先是 l 的五次方，就是 p o w e r 括号，然后呢在这里边填上 l， 然后逗号五， 这就是 l 的五次方，然后呢他要呢除，除以四十，再除以 a 的四次方， a 的四次方呢？还是 p o w e r 括号 a 呢？ a 就是这个数，这个这个长数，他逗号他的四次方， 然后这个这块就输入完了，然后再加上 l 的九次方，基本上跟这个式子是一样的，把它复制一下， 复制一下，他是九次方，然后呢这个不是四十，这个是三四五六，然后呢只是 里的八字缝，然后呢再减去，后边这个数， 再粘贴一下，减去啊，这个是十三次方，十三次方，他是五九九零四零五九九零四零， 然后呢他是这个是十二次方，十二次方，然后这这个就是七仙之欲的横坐标，就已经计算完了，然后呢说咱们算一下，呃，七仙之欲的纵坐标，等于 这个是 l 的散色风，就是 p o w e r 括号 l， 这个 它逗号它的三次方， l 的三次方，然后让它再除以， 除以六，再除上， 这个是 a 的平方， a 呢就是这个逗号，平方就是二，然后呢减去， 减去，上面是七次方，七次方，下边是六次方， 我知道 这个是三，不是六，这是三三六，然后加上 呃，这个这洗脸的距离，这个 l， 这个是十一次方，十一次方，这个六呢？改成四二二四零， 然后呢他是十次 十次方，然后再减去，再粘贴一次，这个是十十五次方， 这个位置呢是九六七六九六七六八零零八零零，然后呢再除以这个哎的十四次方，这个是十四次方， 这个呢就是切弦之剧的重坐标了，这现在呢，这两个就已经求完了，现在我把它删掉，然后咱们再看一下这个公式吧，现在上边这个这块已经全刷完了，现在看这个缓和曲线的公式， 缓和曲线呢，现在需要求这个 a a 一， a 一是这个就是 咱们起点位置的方位角，因为我们要用一个用用谢丽把他给画出来，所以说他这个方位角呢，其实是无所谓的，最终我们把他用谢丽，只要能把这个线形画出来画出来就可以了。所以说我们在这个 a 一呢，我们先假定他一个数， 我们先把这个公式复制过来，公式我们先放在这， 这个一呢，我们现在假定，假定到一个数，比如说是三十度吧， 三十度呢，我们就给他等于 pi， 这是等于派除以六。这个其实把它 假设成任何一个角都可以先假设他啊为三十度， 三十度呢，然后呢，现在求这个着装坐标的 xx 值， x 值，但就用这个公式嘛， 现在呢，这里边有个 x 零和 y 零，就是这就是说这个也就是咱们对黄河学校的起点的一个坐坐标，这个起点的坐标呢？呃，其实我们在写写地上画单画这一这一孔的话呢，他的起点坐标呢，其实我们也是无所谓的，我们把它假定成假定一个数， 我们在这插入一下，比如说他在他的数是一百，横坐标是一百，中坐标呢也是一百。那么现在呢，我们就开始输入后边的足装坐标了，比如说， 嗯，他是等于等于 x 零呢，就是刚才我们输入这个数，等于他加上 x 呢，就是这个极限之一的横坐表， 再加上他，然后呢乘以，这是口才音，口才音符号， 这个阿尔法一就是这个数，乘以它口在这个数，然后呢？再 然后呢？后边呢？剪掉，后边剪掉这个数呢？这个这个符号呢代表的在这个位置，有有有解释的，他是一个转向系数，往左往左偏大为负，往右偏 为正，我们可以看一下我们这个图，我们这个图呢在这个位置看呢，他这个，呃，这边是起点方向，然后往这边看呢，他是往往右偏的 啊，他既然往右偏呢？右偏他就是，他就是正的，如果左偏呢？他会，他就是负的吗？呃，所以， 所以，所以呢？他是正的，所以说这个还有这个位置还是减号，所以说符号没有变，他就减掉。是 y， 乘以这个是 y， 然后再乘以 c， 阿拉发一，阿拉发一是这个，这是 a h 四，这个是 h 四，然后呢这个这个坐标 就输入完了，这个公式已经全部带入完了。然后呢再把 y 输入进去啊， y 呢也是等于这个 y 零加上 xx， 是这个，嗯，乘以 赛音，赛音阿尔法一，阿尔法一是这个， 然后呢还是加上 y， y 是这个， y 是这个之前这个动作表，然后呢大概乘以 头塞， 我也还是二十岁， 是这个，这呢这个呢就是纵纵坐标 啊。现在呢这个公式呢，我们整整体上就给他输入，输入完了， 这个位置是一，这个位置是二，然后呢可以把它复制上去，其实都是一样的。 呃， 把它拽一下，把它往下拽一下， 嗯，在这个位置，在这个位置呢？因为我们要呃这个位置呢是 i 三嘛，这个位呃这个 x 零永远都是一百和一百，所以说这个位置呢，我们要把它输入一个符号，让他往下拽的时候不变， 嗯，输入一个金钱的那个符号，这个符号，这个 i 和三后边都要都要加这个符号， 这个也是一样的，勾三也是前面都要加这个符号的， 然后呢再往下拽的时候呢，他就呃这个位置就就不不会跟着变了啊，现在是这个 呃至起点的距离呢，这个没有没有没有改，所以说，所以说后边得的数都是一样的，因为他的坐标是一样的，然后我们在计算好的时候，计算好的表里边有这个数，把它复制过来给大家看一下， 我把它呢粘贴到这个位置，然后呢他这个坐标就跟着跟着变了， 把这些都拽下来，拽下来跟他对齐，然后呢这个都是已知的条件都是一样的，但是后边这个就不一样了 啊，这两列呢就是我算的那个缓和曲线的横坐标和重坐标， 我们把它呢最终计算出来的横坐标和纵坐标呢，是要导入 c a d 里面的，所以呢我们要输入一个 c a d 的格式， a d 的格式呢，识别的是横呃 x 的值，逗号，然后它就 y 的值，所以说呢，我们输入一个公式，就是等于 这个纸，然后呢输入一个并级的符号，然后呢中间加逗号呢？逗号要用双引号给他引上，然后呢再输入一个并级的符号，然后呢再是 y 的值，然后一回车就变成了呃这个 一百多少一百了。然后呢我们把可以把它拽下来这一列呢，就是就是所有的吸引力可以识别的一个坐标了。 如果是为了表北关呢？把它把这个表格做好，这样呢我们就可以把它可以粘贴到 cad 里面了。 cad 没打开，我打开一下 cad 啊，这个这个所有的格式，所有的坐标已经选完了，所以说我把它用 ctrl c 复制一下，然后到那个 cad 里面呢，我们选择多段线 在这个下边，这个，呃，指定起点这个位置呢，我们用 ctrl v 进行粘贴， 这个粘贴完了，这个就是刚才我们算出来的黄河曲线的。嗯，那个 所以整整条混合曲线，虽然这个混合曲线看着就很小啊，但是我们也可以看出来，比如说我们拉一条直线看一下，他是他其实不是一个直线， 看他这个他其实不是一条直线，他是一条缓缓和曲线，他是往外边画弧的一条缓和曲线。

每天一个考点之曲线的切线的求法。求曲线的切线是专升本考试中很常见的题型， 你掌握住这部分的知识点了吗？其实我们只要记住一个公式就可以了。掌握如何求解曲线的切线？首先我们要先理解导数的意义， 导数的意义指的是函数在切点这一点的切线的斜率 k， 理解这一点后就很容易解决问题了。我们知道直线的方程可以用点斜式来表达，就是只要知道直线的斜率和直线上的一个点就可以了。 那么如图所示，切线的斜率就是切点的导数值，直线上的一个点，我们用切点 m 的坐标，所以就得出了切线的方程表达式。我们看这道题，我们先求导函数，接着求出切点的导数值为十二，也就是切线的斜率 k 为十二，最后带入切线的公式就可以了。好了，你听懂了吗？最后 后这道题你可以解出来吗？