二面角外接球半径计算公式
在做立体几何的外接球的问题的时候，我们常会遇到这样一类问题，就是把一个平面的图形，把它进行翻折，变成一个立体图形，然后告诉我们这个翻折之后这个二面角的大小，让我们球对应外接球的半径。 这类问题呢，往往是在压轴体的这个位置出现，难度较大，但是如果我们使用下面这个公式，我们就可以轻松来解决，我们把这个公式叫做双距离单交线公式，那也就是这个公式。 下面我们具体说一下这公式是如何推倒的啊？好，我们看这个右侧这个图形，它是一个四边形 abcd， 我们沿着 ab 把它折起来，形成一个二面角的大小是阿尔法。那么现在呢？我们怎么去求对应折完之后这个 几何体外接球的半径呢？那我们一般的思路应该是先找到这个几个体外接球的球星，然后我们构造一个直角三角形，利用勾股定理来求他的半径。 好，我们具体来看一下。首先我们先找到这两个面所在的外接圆的圆心 o 一 o 二，我们再取这个公共栏的终点 为 e， 那这个时候连接 o e o r e， 显然 o e e 是垂直 a b， o r e 也垂直 a b， 我们再过 o 一做这个面 a b d 的垂线， 做过欧二做面 abc 的垂线，那这两个垂线的交点 o 就应该是球星 的位置。好，那我们现在看一下，我们得到以这样一个四边形，就是欧欧一一欧二， 那我们注意到这里边的这个 a b 这条线，因为他和 o e e 和 o r e 都垂直，所以他和这个面是垂直的，那现在呢？我们如果连接 o e， 是不是 a b 和 o e 显然也是垂直，我们再连接 o a， 再连接 oa， 那 oa 是不是就是这个外接球的半径啊？我们把这个三角形单独拿出来啊，这是一个直角三角形 o e a 是吧？这是支架，那这个是外界球的班级 r， 我们现在想要求这个 r， 只需要把这两个边表示出来就可以了，一个是 o e， 一个是 ae， 是吧？好，咱们去求这两个边呢？我们下面具体来看一下，那这里面我们设一些量，呃，首先我们设这个 oee， oee 这个长度是 m， 那 o 二 e， 这边是 n， 然后呢？ ae 是二分之 l， 包围就是圆的半径二，那我们现在看啊，我们先把这个蹭掉了，把这个三角形蹭掉，我们看这四个点， o o e e o 二是不是应该是四点公园啊？因为这个是直角，这个是直角，所以这四个点是公园的，并且我们能得到这个 o e， 应该是这个圆的直径吧？啊？直径组队员，正角直角四点公园，那我们现在怎么去求 o e 呢？ 我们是得说一道解三角形的问题，我们把这个四边形我们单拿出来看一下啊， 单独拿出来看，这是 o， 这是一，这是 l 一，这是 o 二，是不是？ 那这个，因为我们说这是 m， 这是 n， 然后这个角呢？是二面角，这个是不是二面角二法？我们说这二面角是二法，因为这里面这个 o 一 e 和 o 二一都和这个狼吹直，所以这个角是不是就二面角平面角，所以这角是二法。那现在我们利用鱼选定理， 是不就能把这个 oeo 二表出来，这是第三边，他的平方等于 m 方加圆方加二， m 口才二法，这是完全能求出来的。好，那么 oeo 二能求出来，我们怎么去求这个 oe 的长呢？ oe 是这个四点公园这个圆的直径， 那这里边我们可以利用正线定理，因为这个 o 一 eo 二，他的外接员是不是也是这个员？那他的这个外接员的直径等于什么？是不是利用正线定理，他应该等于这个 o 一 o 二 比上三也。阿尔法正好是外剧员的直径，也就等于谁欧意，所以欧意咱们是不是就能表示了？ oe 能表示之后这个 a e 这个长度是谁啊？是这个 ab 的一半是二分的 l， 那这两个都知道，我们就可以把这个 r 方表出来， r 方就等于 o e 方加上 a 方，那 o e 方呢？我们这里边看 o e 方是不是 欧一方等于欧一？欧二比上赛尔法他的平方呗。所以下边就赛尔法方，上边是欧一，欧二的平方 就是这个 m 房间 npc 二 m 口才二放，再加上 ae 的平方就是四分之一了方，我们就得到了这公式。好，那么这个公式里面我们看社交一共四个量，分别是 mn、 l 和阿尔法，这四辆分别表示什么？阿尔法表示的是这个二面角的大小， l 表示这个是公共弦的长度， mn 分别代表的是对应这两面 外界圆圆心到这个棱的距离。那这个 m 怎么求呢？那我们看一下啊，咱们比如说这个 ab 底下这个面 abd 是吧？这个外接员的圆心是 oe， 那这个应该是终点是 e 是吧？怎么求这个 oe 的长呢？我们可以连一下这个 oea， 因为 oea 就应该是这个外界有二的这个半径，小二，我们说小二一，然后这个 aeee 是二分之 l， 我们可以使用勾股定理，是不是就能求出这个 oee 的长度？同样这边这个 o 二 e， 我们一样也是利用这个去求， 所以说我们这里边只要找到这四个量，我们就可以解决这类问题，利用这个公式可以快速的求出这个几个体外界球的半径。那么下面我们就具体举一些个例子来看一下。
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11:55查看AI文稿AI文稿最近有一个公司非常的火，几十万点赞，几十万收藏，几百万播放，那这到底是个什么公式呢？叫做外接球半径万能公式啊，到底有多万能呢？我们稍微的看一下他怎么写的，好的老师教他外接球万能大招， r 的平方等于 m 的平方加 n 的平方减二 m， n consent 除以 上细它的平方加上四分之 l 的平方啊，就是这个公式啊，那这样繁琐的公式为什么这么多人收藏呢？ 一个是因为高考里面经常考外接球的问题啊，而且往往用一个四面题去求一个外接球的半径， 需要比较好的空间想象能力，作图能力，还有很好的基础啊，特别是计算能力啊， 所以球外地球半径啊，近几年考的比较火，那这个大招到底是怎么回事呢？我们来看一个例题啊， a、 b、 c、 d 是个四面体，知道 ab 等于 bc 等于 a， c 等于 c， d 等于二角， b、 c、 d 等于一百二十度，二面角 a、 b、 c、 d 是一百二十度。现在要求这个四面体的外接求半径啊，大家也可以暂停挑战一下。 好，我们看看如何解决这问题啊。解决这个问题之前，我们先来回顾一下比较基础的初中之 和高中知识啊。首先确定如何去确定一个圆，再来看如何确定一个球啊。我们知道一个三角形，无论是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，都可以比较容易的确定他的外结缘呢。 而外接源的说法就是做每条边的中垂线，只要他圆心的就可以做出外接源，而做出这个外接源，实际上可以推出一个非常有趣的事实啊，叫正线定理， 假设三个边长分别是 a、 b、 c， 对应角是 a， b， c 啊，那么我们连接 c 与圆心，再连接这个假设这个点 c m 吧，这个弦所对的这个角等于这 角，这是圆的一个芯子啊，而这个是直径过圆心的直径吗？这个是九十度，所以啊，直径二啊，乘以三， 这个角三 a 等于这个边 a， 也就是说二啊，等于 a 除以三 a 啊，同样的，可以推出他是 b 除以三 bc 除以三 c 啊。 这个正弦定理是非常容易求出来的啊，初中就可以理解啊，通过这个正弦定律，我们明白一个三角形就可以推出他的圆， 只要我们知道边长和对应的角，我们就可以求出他的直径。那如何确定一个球呢？啊，我们知道啊，把一个球不论怎么切，切出 的洁面都是圆，而通过一个洁面和洁面外的一点，我们就可以确定一个球，这是一个洁面 和洁面外的一点。如何确定一个球呢？做这个圆的圆心的中垂线啊，垂线，做这个平面的垂线，过圆心过这点，同样的，做这个面的垂线啊， 做这个面的垂线，然后连接连接这个点，这条线，这条线和这条线在同一个平面上。我该明白了这一点， 我们过这条线左中垂线，那么这个点就是球形了，所以我们可以退出来 一个圆和这个圆外的一点啊，和圆不在同一平面，可以构成一个球，而我们又知道三角形可以构成一个圆啊，可以求出他的外结缘。 所以一个三角形和三角形外的一点，他们不在同一平面上也可以做出一个球啊，就是四面体的外界球。我可以理解的这些基础知识，我们就可以通过这些方法去求 一个四面体的外接球的球星呢和他的半径。再来回顾一下这个题目啊， a、 b 等于 a， c 等于 b， c， 这是个正三角形 b、 c， d， c、 d 是二，这个是一百二十度。现在我们要确定一个圆和圆 员外的一点， b、 c、 d 所在的圆是一个小圆， 我们可以求出小圆的圆心和小圆的半径连接 容易吃到。这个角度六十度，这个角度六十度，这是半径啊，同样，这是六十度，六十度。 b、 o、 c 是等边三角形， c， o， d 是等边三角形啊。 b、 o 等于 o， d 等于 o， c 等于 b， c 等于二， 这是 b、 c、 d 所在的平面的所在的圆的半径啊。 ok， 我们过 o 做垂线，那么球星肯定在这条垂 垂线上啊。同样的，我们过 a 做垂线，交 b， c、 d 所在的点圆，然后连接 o、 m 交 b， c。 圆啊，连接 a、 n， 好容易证明 b、 c 是垂直于这个面 a、 m、 o 的，所以 b、 c 垂直于 a， c， n 也垂直于 m、 n 啊。 假设球星在这里连接 o、 e 和 n， 同样的，我们知道啊，这个 a、 b、 c 的圆形是 o， r 的话，过 o， r 做这个面的垂线肯定也 过 o、 e 啊，我们可以求出 o， r， n 啊。 a、 n 长度 等于 a， b 乘以十二六十度等于 二，乘以二分之根号三，等于根号三。而在三角形 a、 b、 c 的外接元里面，可以求出他的半径啊，他的半径是 a、 o 二，等于三分之二倍的根号三。 o， r， n 等于三分之根号三。求数 n 啊，而 n o 呢？ n o 等于 二，乘以十二六十度，等于杠三。而连接 o e a 或者 o e c， o e d， o， e， d 都是它的半径啊，我们连接 o， e， c， 那 o， e， c 的平方是半径的平方，它是 n c 的平方， 加上 o e， n 的平方 n， c， 我们知道它是二分之一 b c， 而 o， e， n 怎么求呢？ 我们可以连接 o r， o， 连接 o， r o， r， 我们把它换一下 n o， r o， 这个是三分之根号三，这个是根号三，这个是二面角一百二十度。 那么 o， r o 的长度啊，用余弦定理，它是三分之根号三的平方，加上根号三的平方，减二倍的根号三 乘以三分之，根号三乘以扩散一百二十度，这是 o 二 o 的长度啊，那这个长度 跟 oen 的长度有什么关系呢？我们知道啊，把这个除以对应的角度，一百二十度的平方，实际上是它外接圆直径的平方， 它的外接源是这个的垂直平面线和这个的垂直平面线啊，这一点到这个的距离。而 o， e， n 是怎么得来的呢？它是过这个垂线又过这个垂线啊， 这一点到这个的距离啊，相当于把它延长一倍。 更大的三角形的 y 结缘半径啊，大家可以体会一下啊，是这个 n， h， f， 这个三角形 y 结缘的半径 n， h， f， 这个三角形 y 结缘的半径啊，那它 n o 二 o 和三角形 n， h， f， 它们是相似的，边长之比是一比二，那么 y 结缘半径之比也是一比二， 所以这个三角形的外接圆半径乘以二，实际上 就是这个半径啊，这个半径 oen 啊，我们就把 oen 给求出来了，大家可以自行画图推导一下。而我们知道 o、 e， n 的平方加 n， c 的平方的是等于半减的平方，也就是二分之一 b， c 的平方，加上这个， 我们把 p、 c 等于二带入其中，就可以求出它的平方九分之六十一，那么半径就是三分之根号六十一啊。那回到最开始 的那个问题啊，外接球半径的万能公式，好的平方等于 m 的平方加 n 的平方 减二， m n 空三， c 塔除以十二， c 塔的平方加上四分之 a 二的平方啊，这个公式的 m 指的是什么呢？指的是这个三角形的外接源 圆心到这两个面交线啊，也就是 b、 c 的距离，这是 m、 n 指的是 o 到 b、 c 这条交线的距离啊，也就是底面这个外接圆圆心 到 b、 c 的距离。 c 大角就是这个二面角啊，这个 l 就是 b、 c 的长。 如果知道整个的推导过程，那么这个公式就很容易理解了，也比较容易记啊，那如果实际的话，是很容易记错的啊，建议大家自行推导一下。 ok， 关注我，让学习变得更有趣点！
4251火星课堂
04:20查看AI文稿AI文稿讲一下一直在用的这个公式啊，它是那什么呢？二面角背景下的外接球公式，这种题目呢，一般会给你一个三棱锥或者是四棱锥，然后给一些冷场，还有呢就是有两个面的夹角， 根据这些条件让你求这个外接球的东西啊，那这个公式的 m n， c， 他还有 l。 我说一下啊， m 呢，就是他， n 呢是这条 l 呢，是这个 ab， 也就是这两个平面的胶线，然后这个 c 他是什么呀？就是那个二明角，那在这个图里面呢，那个 c 他的话就是这个。 那我具体的说一下， m n， l 到底意味着什么？这一条 m 它是什么呢？ 他是这个侧面 pab， 这个侧面外心到交线的距离，这段 n 呢，也是底下这个平面外心到交线的距离。 这里具体是三龙锥、四龙锥无所谓，他只要是外芯到底面的距离就行了。那既然都是外形的话，这个点 m 是不一定是终点垂进定理吗？ 然后那个 l 是胶线的长，我们就不用说了啊。我先说一下这个阿芳，他到底是哪个勾股定理算的啊？ 他是用的这个三角形 bmbo om， 这样连起来是一个直角三的形貌，假如说这段是 x， 那这个 bm 的话是不是二分之 l， 然后 ob 的话就是半径啊，所以 x 方加二分之 l 的平方等于二方，那我这个 l 我是知道的， x 怎么算？ 所以这一部分其实就是在算 x。 那我再来解释一下这个东西啊，这个东西其实很好解释的，你先看分子啊，分子是不是很显然他是一个鱼弦定理啊，这个东西他就表示了谁，他所对的那个边的平方吗？ 所以他肯定是一个 d 的平方，然后除以三平方。你想啊， d 除以三 c， 他这个这个 c， 他和 d 他俩是对着的呀。所以其实什么就是正前定理， a b 三 a 等于 b， b 三 b 等于 c， b 三 c 嘛， 他是不是等于二二？还记得这个是什么吗？是这个三角形的外结缘直径，你从这个角度去触发去想的话，其实很好理解，这个东西就是一个鱼线定理和一个正线定理，求的是什么呢？求的是一条直径的平方。 我们把 mn 单独拿出来啊，这段是 m， 这段是 n， 因为 o o e 垂直整个平面嘛，所以这个是直角，这个也是直角。现在我们要求的是 om， om 是那个 x 吗？那我们来看啊，既然这两个角都是直角的话，这四个点是不是共圆啊？ om 是两个直角，三形的斜边是不是就是直径啊？那这条直径是不是可以这么算？可以算 o o e o r m 这个三角形，它的外接元直径，对吧？这个三角形的外接圆和这个四边形的外接圆是一样的，所以 o e o r 的平方，它就等于 m 方加 n 方减去 r m n 扣散 cet。 那我欧一欧二比上 sanseita 是不是就是 om？ 他就是外星人，致敬吗？所以 om 的平方就等于他的平方，这样的话就等于我们这边这个东西了。 那这个 om 是我们刚刚设出来的 x， 然后带到这里面就行了，所以 r 方就等于这个 x 方， 然后最后再加上这个四分 g l 方就行了，那这个公式就推倒出来了。
260数学老师在备课
01:37查看AI文稿AI文稿数学的学习公式更重要还是方法更重要？好多同学说我找了外星，我也做了垂线，我找到了球星，但是最后我的球的半径怎么去计算，这就是关键。我们最后的公式不重要，重要的是推倒的这个过程。 我们来看二面角类型的外接球问题。三龙锥一定会有外接球的，我们假设这个二面角题目告诉你是 c 塔角， bc 公共棱是 l 这个长度， 第一个圆的外接圆的半径是 r 一，第二个圆的外接圆半径是 r。 根据具体的题目，你还能求出这两个外星到公共楼的距离，一个叫 m， 一个叫 n， 那么我做出垂线，两垂线的焦点就是球星，那球星外星所在的这个平面 一定要把它构建出来，那这就是个平面几个问题。那凡是二面角这一类，我们做这个四边形啊，一定是 两个角为直角的四边形，这两个角都是直角，也就是说 o o e m o o 二 m 都是直角，两个角都是直角的话，这个四边形会四点共圆，与 o e m o 二这个三角形的外接圆是同一个圆。 那我们 o 一 mo 二这个三角形两边及夹角你都知道。你可以先用鱼线定理算对边，再用正线定理算出外角线的半径，也就是 om， 你就可以计算出来了。而 omb 这个是个直角三角形， o m b 是直角三角形，呃，外球员的直径和 m b 也就是二分之 l， 再过固定力，那就是球的半径就出来了。还是那句话，公式是其次，你要学会推倒的过程。
164我爱备课
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00:57查看AI文稿AI文稿只要题目中含有二面角，我们都有一个球，外接球半径的一个终极公式。今天呢我们要强调一点，看例题， a 的等于二， b 的等于二， a 比等于两倍的根号三，那就说明 a 比的是一个钝角三角形，那么他的外接员的圆心应该在外面， 我们这里呢可以补一个三能追，那么大家会发现三能追的 a 比 c 和三能追一， a 比 c， 他是供球的，也就是他们外接球是同一个球。 那么问题来了，这里面这个阿尔法这个二面角，我们是用这个角还是用他的补角好？这个题我们要说一下，他是用他的补角这个原理还是在于我们怎么样去推出这个外接球的终极公式？ 本题为什么要用它的补脚这个二面角，大家一定要把原理搞清楚，这个原理大家可以看我前面的一个视频。
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06:24查看AI文稿AI文稿在做立体几何的外接球的问题的时候，我们常会遇到这样一类问题，就是把一个平面的图形，把它进行翻折，变成一个立体图形，然后告诉我们这个翻折之后这个二面角的大小，让我们球对应外接球的半径。 这类问题呢，往往是在压轴体的这个位置出现，难度较大，但是如果我们使用下面这个公式，我们就可以轻松来解决，我们把这个公式叫做双距离单交线公式，那也就是这个公式。 下面我们具体说一下这公式是如何推倒的啊？好，我们看这个右侧这个图形，它是一个四边形 abcd， 我们沿着 ab 把它折起来，形成一个二面角的大小是阿尔法。那么现在呢？我们怎么去求对应折完之后这个 几何体外接球的半径呢？那我们一般的思路应该是先找到这个几个体外接球的球星，然后我们构造一个直角三角形，利用勾股定理来求他的半径。 好，我们具体来看一下。首先我们先找到这两个面所在的外接圆的圆心 o 一 o 二，我们再取这个公共廊的终点 为 e， 那这个时候连接 o e o r e， 显然 o e e 是垂直 a b， o r e 也垂直 a b， 我们再过 o 一做这个面 a b d 的垂线， 做过欧二做面 abc 的垂线，那这两个垂线的交点 o 就应该是球星 的位置。好，那我们现在看一下，我们得到以这样一个四边形，就是欧欧一一欧二， 那我们注意到这里边的这个 ab 这条线，因为他和 oee 和 ore 都垂直，所以他和这个面是垂直的，那现在呢？我们如果连接 o e， 是不是 a b 和 o e 显然也是垂直，我们再连接 o a， 再连接 oa， 那 oa 是不是就是这个外接球的半径啊？我们把这个三角形单独拿出来啊，这是一个直角三角形 o e a 是吧？这是支架，那这个是外界球的班级 r， 我们现在想要求这个 r， 只需要把这两个边表示出来就可以了，一个是 o e， 一个是 ae 是吧？好，咱们去求这两个边呢？我们下面具体来看一下，那这里面我们设一些量，呃，首先我们设这个 oee， oee 这个长度是 m， 那 o 二 e， 这边是 n， 然后呢？ ae 是二分之 l， 包围就是圆的半径二，那我们现在看啊，我们先把这个蹭掉了，把这个三角形蹭掉，我们看这四个点， o o e e o 二，是不是应该是四点公园啊？因为这个是直角，这个是直角，所以这四个点是公园的，并且我们能得到这个 o e， 应该是这个圆的直径吧？啊？直径组队员，正角直角四点公园，那我们现在怎么去求 o e 呢？ 我们是得说一道解三角形的问题，我们把这个四边形我们单拿出来看一下啊， 单独拿出来看，这是 o， 这是一，这是 l 一，这是 o 二，是不是？ 那这个，因为我们说这是 m， 这是 n， 然后这个角呢？是二面角，这个是不是二面角二法？我们说这二面角是二法，因为这里面这个 o 一 e 和 o 二一都和这个狼吹直，所以这个角是不是就二面角平面角，所以这角是二法。那现在我们利用鱼选定理， 是不就能把这个 oeo 二表出来，这是第三边，他的平方等于 m 方加圆方加二， m 口才二法，这是完全能求出来的。好，那么 oeo 二能求出来，我们怎么去求这个 oe 的长呢？ oe 是这个四点公园这个圆的直径， 那这里边我们可以利用正线定理，因为这个 o 一 eo 二，他的外接员是不是也是这个员？那他的这个外接员的直径等于什么？是不是利用正线定理，他应该等于这个 o 一 o 二 比上三也。阿尔法正好是外剧员的直径，也就等于谁欧意，所以欧意咱们是不是就能表示了？ oe 能表示之后这个 a e 这个长度是谁啊？是这个 ab 的一半是二分的 l， 那这两个都知道，我们就可以把这个 r 方表出来， r 方就等于 o e 方加上 a 方，那 o e 方呢？我们这里边看 o e 方是不是 欧一方等于欧一，欧二比上赛尔法他的平方呗。所以下边就赛尔法方，上边是欧一，欧二的平方 就是这个 m 房间 npc 二 m 口才二放，再加上 ae 的平方就是四分之一了方，我们就得到了这个公式。好，那么这个公式里面我们看社交一共四个量，分别是 mn、 l 和阿尔法，这四辆分别表示什么？阿尔法表示的是这个二面角的大小， l 表示这个是公共弦的长度， mn 分别代表的是对应这两面 外界圆圆心到这个棱的距离。那这个 m 怎么求呢？那我们看一下啊，咱们比如说这个 ab 底下这个面 abd 是吧？这个外接员的圆心是 oe， 那这个应该是终点是 e 是吧？怎么求这个 oe 的长呢？我们可以连一下这个 oea， 因为 oea 就应该是这个外界有二的这个半径，小二，我们说小二一，然后这个 aeee 是二分之 l， 我们可以使用勾股定理，是不是就能求出这个 oee 的长度？同样这边这个 o 二 e， 我们一样也是利用这个去求， 所以说我们这里边只要找到这四个量，我们就可以解决这类问题，利用这个公式可以快速的求出这个几个题外界球的半径。那么下面我们就具体举一些个例子来看一下。
124延龙高中数学
14:58查看AI文稿AI文稿大家好，现在讲一个傻瓜法球四面题的体积，以及他的外界球和嫩切球的半径和二棉角的简便方法，具有初中水平的学生都可以学会。 现在看市民体，他的三条愣分别是 a、 b、 c， a 的对愣是 m， b 的对愣是 n， c 的对愣是 p， 那么他的体积就等于十二分之一。根号下 fs 加 gs 减 hs。 我们写的第一步是把对楞写在一起， a 写成 a 的平方，他的对楞写成负的 m 方， b 写成 b 方， n 写成负的 n 方， c 写成 c 方， p 写成负的 c 方，负的屁方就是写成坐标，并对重坐标添势。 fx 是四倍的横乘，四倍的横坐标乘横坐标，我们简单说四倍的横乘， 这是 fs， 那么 gs 就是一中加两横，三相乘相乘一中，这是中坐标加两横 负 m 的平方加 b 方加 c 方负 n 的平方加两横加 a 方， c 方负 p 的 平方加两个横坐标，一中加两横，三个相乘。我们得到了 gs， 这一步一定要好好记住，我们把这个算出来，这个算出来具体数字的时候， a 的平方乘他的平方，横坐标乘以他的平方， b 的平方乘以一中加两横他的平方负 p， c 的平方乘以一中加两横他的平方。然后代表这里求的就是失眠题的体积， 如果不适用这个公司，很多人是算不出来的。这是我们的老祖先秦九勺 在很早的时候就算出来，中国的工匠们， 比如鲁班 他们都会用这种方法来进行计算。下面我就讲一个立体， 如图所示及数据求体集。这个市面体二二二右侧面是一个等边三角形，后侧面也是一个等边三角形，他们的边长都是二， 这个右侧面他是二二跟六，底面是二二跟六，求他的体积。首先我们找一个 点 fs 就是 s 为顶点，二和他的对愣，二写成四，对愣根号六写成负六， 然后红色的二写成二的平方，二写成二的平方天号，这个蓝色的他是二，二得四， 那么他也得是写成富豪。这一点我想每一个人都可以写出来。先上 fx， 四倍的横城，四倍的横的相城是城市，城市就这个市走到这里，这个市走到这里，这个市走到这里， 这是 fs 有了，下面说 gs， gs 叫做一横加两横， 一重加两横，负六加四加四，负六加四加四，然后是负四加四，再加负四， 然后是负四，一重加两横加四加四。那么算出来之后，我们不要算出具体的结果，是二乘四乘四， 下面我们来算，这是 g s， 下面来说 h s h x 是四乘以二的平方， 写到这里。第二个是四乘以四的平方，写到这里是加的四乘以四的平方，写到这里，那么 fsgshx 都有了。到最后的时候我们把它带到这里十二分之一根号下，第一个是的是脂肪， 第二个二乘四的是指方减四乘二的平方加四乘四的平方，加四乘四的平方 走到这里，然后我们都提出一个四的平方，那这个提出四的平方变成四的平方，这个提出来之后剩二了， 这个提出来省一，他提出来四的平方省四四，所以四十六加二十十八，这个是九，那么得到他的体积就是一，这 那我们就算出了这个体积，如果不用老祖先的清酒勺工式，那么我们算出他的体积 不是太容易，尤其是这个题，我把它变成了等边三角形。如果这些问题在实际问题中， 数字波不是简单的整数，你算起来就非常的麻烦，几乎是算不出来的。下边我们再来算一下他的外接球的半径。 外接球的外接球的半径相对冷成机，我们把相对冷 a 和他的相对冷 m 的成机 b 乘以他的相对愣 mnbncp 相 对了的成绩作为一个三角形，虚拟的三角形的三条边，然后求他的面积，他的面积我们仍然使用的是秦酒勺公司 秦酒勺面积公式，这在我们教材中是选读内容，教材中有选读内容， 那么它的面积系数是四分之一。 am 加 bm 的平方减 cp 的平方， 整个用中国号扣住，然后是对 o 写法 cp 的平方减 vm 减 bn 的平方。有了 这个虚拟三角形，三边长是 ambn 三角形的面积，那么外接球的半径就是 s 除以六 v 六倍的体积， 这就是外接球的半径，他是一个傻瓜型的方法，所有的人都可以学会，对任意的外接球，我们都可以用这种方法来算，下面我们举一个例子， 求外接球的半径，如图这个图我们已经上过，他的体积是一，求他的外接球的半径， 下面我们求他的虚拟三角形。我们首先来看一看，二乘二 等于十，红色的二相乘也等于十，然后黑色的相乘二和跟六相乘二倍的根号六，这相当于虚拟的三角形的山边， 那么他的面积面积系数是十分之一，四加四的平方减二百跟六的平方，然后用对偶， 外国人称之为共恶的，我们叫做队友，我们主先说他是队友，等于二百的跟六的平方，减四减四，四减四的平方，因为这里可以保持是零， 那么这里八八六十四，这个减上二十四，四十， 这个是四二十四。最后中算出来的结果是二倍的根号五，这就是虚拟三角形的面积是二倍的根号五，那么外接球的半径就等于 s 二倍的根号五，除以六 v 就是六乘一，因为体积是一二倍的根号，五月份之后，他的外界球的半径是三分之根号五。 下面再讲一这个问题，就是球嫩嫩切球，不是借嫩切球的板筋 嫩气球的弯径如图微等于一，还是把它 的体积算出来，九嫩接九的半径二小二嫩使用等体积变换。在这里，这个面和后边的那个面是等边三角形，所以 s 一等于 s 二都等于二分之根三 二分之三。因为等边三角形的面积公式是十分之三乘以边长，这是等边三角形， 这是他的面积。然后还有两个等幺三角形，全等的就是他的右侧面和底面三角形，两边都是二二二，这边长是跟六，所以 s 三等于 s 四 就等于四分之二加二，然后指使跟六的平方再乘以跟六的平方减二 二乘二。这个摆布是有讲究的，如果我们这里写成二加跟六，算起来是比较复杂的，但结果都是一样的，所以说他的面积是二分之根号五，二分之根号五，那么有了这两个车面的面积， 我们这套的内切球的球星到三四个面的距离相等，他就是内切球的半径，所以微就等于三分之一的二。内切球的半径成一个底面，两个地面，三个底面，四个底面， 因为我们假设了这个球的体积是一三分之一零点九的半径，这两个相加就是二分之二倍的根，三加二分之二倍的根号十五，我们把二 那些球的半径解出来，在分一亩油里画结，结果就是四分之一根乘以根号是三，减根号五，这就是球嫩切球的半径。下面我们来讲一下球二面角的平面角， 如图给出数据，体积为一，求二面角 a、 b、 s 是 b、 c， s 的正选址， 使用空间正弦定理，空间正弦定理或者是空间正弦定理的类比。因为我们原来的 面积是二分之一 a b 三一 c， 那么他要变成体积，那他就变成三分之二， a， b 就变成两个面积 s 一 s 二，那么这个三 ec 就变成了三 ec， 他二面角的平面角除以他所在的愣， 这一点你要记住他的体积等于三分之二这条愣了，那就是 a、 b、 c 这个平面和这个平面同一愣，引出两个半平面所在的两个三角形的面积， 他代替了这里的 a 和 b， 这是类比的三 c， 他就是以 bc 为愣的二名角的平面角，这时候我们不能 直接的写个三 c 他，因为他类比了以后，他变成空间图形了，还需要除以楞长 bc， 那么现在三角形这个底面和这个底面三角形是相等的的，四分之一前面已经算过是二分之根和十五， 那么他的体积就等于三分之二乘一个面加这一个面，二面角的这两个面二分之根五，二分之根五三一 c， 他就是二面角平面角的正选子，再除以愣长，这样我们就解得了 他的二明角的平面角的正悬直是五分之根号六，五分之根号六，究竟他是锐角还是钝角，你 根据图形来加以判断。这就是当我们知道了体积如何求外接球的半径和内切球的半径以及二棉角的平面角， 这些傻瓜的算法就是算到这个时候，大家需要用到了体积公式，那么前边的算法当中初中学生都可以解出来。 那么在高考中这些问题就是求外接球的半径，另切球的半径以及求二棉角的平面角都是比较难的题。 好，今天我就用傻瓜方法讲到这里，当然对你有所帮助，请关注和点赞！
00:35查看AI文稿AI文稿只要是求外界球的表明或者体积，如果遇到二面角，直接用勇哥大招输第七十一页的这个公式，双距离单挑公式，一定让你爽到爆！我们来看一下其中 m 代表什么， n 代表什么？分别代表两个外界圆心到交线的距离， l 呢？就是交线的长度。好，我们看这个广东一模的这道题啊， 已经告诉了我们，两个三角形的加角是一百二十度，这两个三角形都是等于三角形，我们直接求出 m 和 n 都等于三分之三， c 的角一百二十度，胶线 l 等于二直径公式，砍瓜切菜就这么简单，你听懂了吗？
3877勇哥超级数学
03:01查看AI文稿AI文稿外接球最牛攻势了，好，跟着超哥走，首席 su， 今天来给大家讲一下我们的前两天考的合肥二模的第十一题， 也就是这个外接球跟二面角。外接球和二面角结合呢，有一个非常经典的公式，也就是这个公式，这个公式呢，看起来比较复杂，量比较多，其实也比较好记啊，来给大家解释一下， m 和 n 呢，指的是面 b， a， c 和 b， a， c 外接员圆心到交线 a， c 的距离，那怎么样去记呢？你看他的分子是跟余弦定理的 分子是一样的，分母是一个三以四大方，对吧？那个再加上一个四分之 l 方，那 l 是什么呢？ l 指的是这个二面角，你要表示二面角 b， acd， 那 l 呢？就指的是 ac 的一个长度，对吧？那这个 c 塔是什么呢？ c 塔就是二面角。这个公式呢，其实非常好用，但是呢，比较难记， 我们就给大家解释了这些量表示什么来，你来看这道题，这道题题目告诉 a、 c， b， a， d， c 都是二分之排九十度，对吧？然后又告诉你了， a、 d 等于二， d， c 等于二，那它是直角呢？就是二倍根号二， b， c 也是二，那 a、 b 也不就是 根号十二吗？那就是二倍根号三，对吧？好，他现在呢，告诉二面角是三分之二派，他问的是四面体 abcd 外接球的表面积， 我们想来这个公式来 r 的平方写出来，对吧？好，三亿 c 塔方，那你想这个 c 塔不就是三分之二派，那这个也不是四分之三吗？ 对吧？那你要注意到 mn， 关键就在这个 m 和 m 和 n 的表示两个面外接圆的圆心到交线的距离，你要知道，直角三角形外接圆的圆心，这个 o oe 呢，他就在 ac 上，所以 oe 到 ac 的距离是零，也就是说 m 等于零， m 等于零呢，这里不就剩下 n 方再加上一个四分之 l 是谁？ l 不就是 ac 的长吗？ ac 长是二倍根号，那不就是八吗？对吧？那这道题只要知道 n， 我们就搞定了。那你想一想来， a b c， 对吧？面 a b c 外接员的圆心 o 二在哪里？他同样是一个直角三角形，他外接员的圆心是不是就应该在 a b 上？ o 二， o 二在 a b 上，那你想，你用 o 二向我们的 ac 做一个垂线，大家来看， o 二是他的一个终点，那， 那你是一个终点做垂线，你不就等于 bc 的一半吗？那 bc 的一半不就是一吗？对吧？那 bc 一半是一呢？ n 的平方就是一，所以呢，就是三分之四再加二等于三分之十，那儿的平方等于三分之十呢？ 四派而方再乘以四派，那不就等于三分之四十派吗？对吧？好，所以答案选 b。 好，接着来给大家说这公式怎么推到？这公式其实非常简单， 就是呢，我们在算任何外接球，复杂外接球的问题呢，往往都是找两个面的外接圆的圆心做垂线，两个垂线的焦点就是外接球的球形。这句话很观点， 通过这个思想，你去列表达式，你就可以列出来这个表达式，对吧？好，这个呢，我们就说到这里。
4143宋老师高中数学
00:28查看AI文稿AI文稿你的老师都不知道？很多人都不知道。其实含有二面角的三棱锥的外接球是有公式可以直接算出来他的外接元的半径， 就比如说我们前两天刚考的这个题，对吧？把阿尔法白塔 c 塔 m 往狮子里一带，一分钟不到，直接算出来外接球的半径，三分之根号十三。那他的外接球的表面积不就是九分之五十二派吗？答案直接选 b， 轻松搞定。
5014宋老师高中数学
