3d计算公式精准100 教程

匀速直线运动的微计算公式想必大家都知道，而这是我们匀变速直线运动微计算公式，那么它们之间它背后的本质到底是什么？或者我们怎么样用一个更深的视角去理解它呢？它正是我们 x 关于时间的函数 的一个二阶麦克风点开。好，那么各位，今天我们要探讨一个比较有意思的事情，相信这个公式大家都见过，对吧？我们在高中时候就一起学过了 x 与 v， 零 g 加分这些地方啊，它是我们对匀变速直线运动它的微离计算公式 是吧？给大家用的也滚瓜烂熟了，但是他背后蕴涵着一些什么样的数学条件，有什么更深层次的数学道理呢？那么今天我想来跟各位简单探讨一下，那么也是我在学习过程中我所领不到的一些东西。好，首先我们先来看一件事情。好，假设我有个函数，我随便画一个函数吧，就画一个简单的抛物线， 那么假设我在抛物线上任意取两个点，一个点叫 a 点，一个点叫 b 点，那么 a 点的横坐标叫做 a， 横坐标叫 fa， b 呢？就是 b f b。 今天主要的问题啊，数学上我将不进行探讨，我将来更多的联系它和我们物理之间关系，以及我刚刚所说的这个简单的式子背后到底蕴涵着什么样的数学信息。 从 a 到 b， 我 们其实该可以干一件事情，我可以做一根直线，把它们两个连在一起，对吧？那么现在来说 问各位一个很简单的问题，请问 a b 这根直线它的斜率是多少？这应该很简单，对吧？就是 f b 减去 fa 除以 b 减 a 纵坐标的变化量，除以横坐标变化量，这是我们在初中甚至都已经学会的技能， 但是我想讲的是什么呢？接下来我要讲个小小的定律，以本人数学上他就有一个严格证明的，而且他对数学意义很大，但是啊，我们这里只做一个简单的理解，能理解他就 ok 了。我们接下来主要就对他怎么用，我们来进行一个探讨。什么样的事情呢？就是我在 a 到 b 这个过程中，如果我这个函数他满足一个条件，就是什么呢？光滑且连续， 或者说这其实就是什么条件，就是可导的条件。什么叫光滑啊？就是不要断中间，能理解吧啊？比如说像我们的反比例函数，它就不是个连续函数，因为它在 x a 零处断，断掉了，能理解吧？那什么叫 连，什么叫光滑呢？刚说完连续了，对吧？什么叫 什么叫光滑呢？就是他在这个过程中不能出现这样的小尖尖，不能出现不可导的点，因为在这个位置是问题找可以找出无数条切线来，能理解吧？啊，所以说这其实跟可导是一样的条件。那所以说我们这一只进行一个简单的叙述，只要是对于任何光滑连续的来说， 那么都满足于这样性质。什么样性质？从 a 到 b 这个变化过程中，函数描述的不正是我们自变量和因变量的变化关系吗？我总是能找到一个点，假设这个点叫 c 点，这个 c 点是有什么样的特点呢？在 c 点处，我函数的导数正好等于整个过程中，也就是我们刚刚所画的 a b， 它这根直线的斜率。我们先想下 ab 的 e 是 什么？ ab 反映的就是平均变化的效果。虽然整个过程中我从 a 到 b 啊，甚至我可以不用画这个二啊，这个二次函数，它可能是一根这样的曲线，对吧？它也可能是一根这样的曲线， 对吧？我可以画无数种，但是这根直线其实代表就是，只要你是从 a 到 b 的 一个光滑连续的函数，你的平均变化的效果就可以用 ab 的 斜率来表示。 而只要是光滑连续的函数，从 a 过渡到 b， 都可以在上面找到一个点， c， 这个 c 点，它的切线，就说这个点很特殊，特殊在哪？特殊在它的变化率顺时变化率也就导出正好等于整个函数过程的平均变化率啊。当然各位也知道，这就是我们拉格朗日中置定律， 对吧？而且这个 c 可能不止一个，就说这个点可能不止一个，对吧？只是，但至少有一个。那讲这个是为了引出什么呢？那接下来叙说一下。 首先我在这里取一个 a 点和 b 点，我就不不再用函数的图像去表示了，我一个大家更直观能理解的方式啊， 假设还是一样的， a 点它促使横坐标是 a， 函数值是 fa， 那 b 点它的横坐标是 b， 函数值是 f b。 还是那句话，我们刚所探讨的，真是在这个过程中必然会产生一个 c 点， c 点在哪不知道，但是我知道一件事情，就是函数在 c 点的导数等于什么？等于这个过程中平均变化的效果 啊，这应该没问题，那它当然它是个分式，我能不能把分母乘来左边？当然可以，那么就得到一些 f 一 撇 c 乘以 b 减 a 等于 f， b 减 a， 对吧？好，这个式子我们稍作修改，为什么呢？因为从始至终我并没有说这个 a 和 b 必须是什么样的两个点，我其实可以随便取，我们可以取任意的 a、 b 点，只要它们中间是被同一个函数连接，只要这个函数光滑且连续，对吧？所以说，但是在这我先干件事情， 我把 a 点作为一个固定点来研究，我们这样很多事情都是以 a 的 视角展开啊，当然你也 b 也行，或者说这么说吧，我把 a 点固定啊， b 他 其实无所谓，他在哪都可以，对吧？我没有要求说 b 必须在哪，所以说 b 其实可以代表函数上任意一点，也就是说 b 它的坐标我可以不用 b 来表示，它就是 x 或者 f x， 这个 x 可以 取，任意值都可以。那么接下来往下展开，那么这个时候，也就是说我原本这个式子，我稍微换一下，它就可以写成这样， 好，各位应该能理解，对吧？我再进行一个简单变换，我就可以写出来， f x 等于 f a 加上 f 一 撇 c 乘以 x 减 a， 对 吧？那其实是我们微分形式，但是我想讲的是什么呢？各位也发现它告诉我们些什么？告诉我了函数，这其实就是我们的函数，我们的函数其实可以用它上面那些特殊点进行一个拟合，有没有发现右边其实是个什么玩意？右边其实是个一次函数， 对吧？ x 是 我的变量，而这个 fa 是 个定值， f 一 撇 c 就是 我这个过程的平均变化率啊，它其实啊，各位要是知道的话，它就是我们刚刚那条 ab 连线，它其实代表就跟 ab 那 条连线是一个东西。 但是我们现在探讨的并不是 ab 联线，而是我想说通过这个式子我们能反映出什么事情？我们刚讲了这个式子。好，那么写出这个式子之后，这个式子告诉我们，就是我只需要知道函数上某些特殊的点，我就能进行对整个函数的拟合。哎，但有个问题，我刚也讲了， c 是 多少？ c 在 哪不知道， 对吧？根据我们刚刚那个操作，其实我们到现在为什么发现我们真正知道的点只有哪个点的信息，只有 a 点的信息？因为 a 是 我选的点，我固定的点，所以说我能不能把我的 c 这个不知道的东西换成 a 呢？用 a 去替换，当然可以，所以说接下来我们干一小件事情，对，我把这里 c 处函数导数换成 a 处起始点，我们所选的起始点处函数导数再乘以 x a。 啊，你可能会说这肯定不行，对吧？因为这两个东西我们不知道它们一不一样，那也确实 我不能随便换，而且往往这两个东西确实是不一样的，在 a 点处和 c 点处的导数，除非它是条平滑的直线，或者某些巧合情况啊，它那么一般情况下都是不一样的。所以说在这里我们肯定会出现一个什么，会出现一个误差。哎，那现在问题就变成了研究误差是多少？ 因为我们现在干了一件很好的事情，发现没有，我把我的函数变成一个只和奇数点有关的形式，我只需要知道奇数点的信息，我就能拟合成这个函数，但是多了个误差，所以说我们要来看看这个误差到底是多少？那怎么去把这个误差求出来？我们现在干件简单的事情就是同时对这个式子两边求导，求出来之后它就变成什么啊？ 同时对 x 求导，两边求出来之后，它就变成 f 一 撇 x， 而我的 a 是 个定值，它跟 x 其实没有关系，所以说它这一项的结果就变成零，而这一项结果就只剩下一个什么？只剩下了一个 f 一 撇 a 没了，再加上一个什么 误差对 x 求导，能理解吗？这时候我们来想一个什么误差对 x 求导，能理解吗？这时我们来想一个什么误差对 x 求导， 我们要求的是误差，我们误差到底是多少？所以说我们来看一下，误差对 x 求导，就变成了 f x 一 撇减去 f 一 撇， 这是不是叫做原函数的导函数？它本身也是一个关于 x 的 函数吧？为了各位更好理解一点，我能不能把它叫做 g x？ 好，毋庸置疑，当然可以啊，所以说右边这个式子其实可以写成什么 g x 减去几，它又变成一个新的函数，也说白了关于 x 的 函数的一个差值。那么在两边我同时能不能在这个式子两边除以一个 x 减 a 呢？ 可以吧，我们到从始至终在进行代数操作，那么现在观察一下，右边好像又变成了一个什么，又变成了。研究一个新的函数，叫 g x g x 从七十点 a 到我的中点 b， 这个过程中它的平均变化的效果， 哎，有没有发现好像跟我们之前的操作一模一样，那这个时候我只需要干嘛说明只要它函数可导，对吧？那说明它的导函数也是一个光滑连续的图像，那么这个时候我只需要再做一件事情，什么事情？ 我必然能在这个 g x 上，在 a 到起点到终点的过程中，我能找到一个点 d 啊，你要注意啊，跟我们上面那个 c 点不太一样了，它是个新的点，这个点 d， 它的变化效果等于我的这个诊断过程中的平均变化效果。也就是说它等于， 也就是说我这里能取出一个导数，一个顺时针，这个点叫 d， 它的导数能代表我整个过程中的平均变化效果。也就是说我的误差 对 x 求导，它就可以写成一个这样的形式，各位应该能看出来吧？我再把这一项移来左边，那说明我们误差对 x 求导 就等于这么一个东西。还是那句话，但是跟刚刚 c 点一样， d 是 多少？ d 在 哪不知道，那能不能想办法 把它变成知道的呢？一样的操作，我只需要干嘛把 d 换成 a 点，所以说把它变成这样就好了。 但又出现个新问题，他们两个之间是不是又有碰到我们刚刚一样的问题？他们两个不一样了，我的 d 点处 g 的 导数和 a 点处 g 的 导数并不相同，所以说这会导致产生一个什么新的误差。 但是这又有个好处，这个误差比我们最开始要求的这个误差是要更小的，因为在这个中间过程中，我多出来一个新的象，把这件事情精进了一步 啊。当然各位也能想象到这个新误差是多少呢？你肯定会问，其实跟刚刚一样的道理，你只需要进行一个类似于套娃的过程，你可以把这个新误差求出来，但是你又会想到新误差又会产生一个什么更小一点的误差，这个误差永远都会存在，我们只能通过不断的去优化让这个误差变小，但是这个误差在我们这个过程中一定会一直存在 啊，那所以说我要讲的是什么？但是首先刚给我讲清楚，就是误差永远存在，但是我可以通过永远只用我这个已知点去不断的优化误差， 我的已知点就是 a 点，那么把这个东西带回我们的原式啊，各位来看一下，那再变回去吧，因为我的基本上我们刚说了，它是不是就等于 g x， 它就是我的 f x 求导，对吧？所以说 g 一 撇对吧，它就等于 f 导数的导数，那所以说这个式子其实可以写成， 各位应该也能理解，所以说我原本要求的那个误差对 x 求导等于这么一坨东西，那我们现在要求的是这个误差到底是什么？所以说我们就来想一下，什么玩意求导等于这一坨啊？各位可以简单的凑一下，这东西并不算难凑啊，凑出来应该是一个这样的东西，就是 f a 的 二阶导 x 减 a 的 平方除以二，这是这一项啊，这一项你们大家可以看这一项求完导后，是不是正好等于我上面左边这一项啊，这应该能理解，对吧？然后加上一个什么？加上这个新的误差，求导的反向操作是什么？积分吗？啊，对吧？这新误差的积分， 但是我们不用管这个高大上名词啊，你也不用说实话，你都不需要，不需要知道积分是什么，你会求到就行。那我可以把这个干嘛？我是不是把我这一项带回去啊？对，我是可以带回我最开始我们所要求的这一，我这误差其实就被我优化成了一个什么， 优化成了一个二分之这样的情况。比如说我通过进一步加了一个什么，优化成了一个二分之这样的情况。比如说我通过进一步加了一个什么，优化成了一个二分之这样的情况。比如说我通过我的起始点 a 点 a 点有关， 我就把它用纸和 a 相关的一系列式子，而且这一系列式子你发现好像还有点规律，对吧？去把我的 f x 进行一个拟合， 当然我也说过了，这个更小误差，其实我们也有方法不断把它进行优化下去，那么如果把这个误差不断进行优化，把这个像素不断增加，它最后其实可以写成一个通向，因为我们发现它最终似乎满足某种规律。那么这个通向叫什么呢？各位可以看一下。 好，不知道各位能否看清，这就是我们最后所得到的结果。各位其实有没有发现这就是我们的什么？这就是我们的泰勒展开。好，这就是我们的泰勒展开。所以说我刚刚就用了一个 好比较通俗易懂的说法，给各位讲一下泰勒展开来源。但是别忘了误差永远都在，还要加个误差。 而我们通过这个拉格朗日中值定律的方法所推导出来的这个误差，它其实就叫做拉格朗日余弦，也就是你们书上所写的。而我们也讲了这个 a 点到底是什么，不知道，随便你选，而往往我们会选这个 a 点，如果这个函数允许情况下，我们会把 a 点选在圆点处，也就 x 等于零的位置处啊，不是圆点啊，选在 a 等于零的位置处， 能理解吧？就是我这个函数，只要它经过了 x 等于零的位置，那么我就可以把 a 选到零，那么那个时候就变成一个最容易计算，最特殊的情况，就是我们的什么呢？麦克劳林展开 好，所以说这又跟我们的物理有什么关系？也就是我最后想跟各位讲的，我们经过这么多一系列复杂推导之后，回到我们最开始的问题，各位有没有发现我的 x 等于 v 零 t 加入这一方是什么呀？首先谓仪，它必然是一个随着时间变化的关系，而我们也知道谓仪对时间的导数，也说谓仪变化的快慢就是什么， 他对时间求导就是速度，而我们速度本身其实也是一个关于时间的函数，他再对时间求导就是什么？就是加速度， 对吧？当然加速度也是一个关于时间的函数，但是在我们的匀变速直线运动过程中，匀是什么意思？加速度是个定值，也就不带变了，对吧？所以其实 x 等于 v 零 t 加二分之一 a t 方，他正是我们 x 关于时间的函数 的一个二阶。麦克劳林展开啊，这就是它背后的数学本质，那么其实也就是说了，本质上你也在用的东西都是一个什么，都是一个泰勒展开，其实我们早就会这个东西，只不过是一个阶数比较低的，而且是一个特殊情况，因为它没有高阶项，当我的 x 求导到第三阶的时候，你再求导它的长数就变成零了，所以说没有后面的余象了，也没有误差了，所以它是完全准确的， 对吧？啊？所以说通过这么一个简单的东西，我们能理解，或者说通过这么一件小事，我们所熟知一件事情背后他所牵扯到深层次的物理问题啊，数学问题，他所牵扯到深层次的数学问题啊，今天我给各位分享一下，也顺便可以告诉大家，我们这个泰特展开怎么样用一种通俗易懂的方式能够把它推导出来？好。