相互独立事件的概率计算公式推导

这个视频里，我来给你讲讲独立事件。那啥叫独立事件呢？举个例子来说，扔一枚硬币，出现了正面和一个陨石飞过来砸中了月球， 这俩事之间八竿子打不着，因此他们的结果是不可能相互影响的。像这种结果互不影响的两个事件，就被称为相互独立事件。如果这俩事件同时发生，那他俩同时发生的概率就等于第一个事件发生的概率成第二个事件发生的概率，这就是概率的乘法公式了。 举个例子来说，大毛和二毛两人射箭，他们的命中率分别为三分之一和四分之一，如果俩人各射一箭，那他们都命中的概率是多少呢？很明显，大毛二毛各射各的箭，相互之间没有影响，因此就是相互独立的。 那要分大毛命中和二毛命中同时发生的概率，只需要根据乘法公式把相应的命中率乘起来即可，也就是三分之一乘四分之一，得十二 分之一了。都命中的概率，你会球了，那都不命中的概率又该咋算呢？在这里，大贸射箭只有命中和不命中这两种情况，这俩射箭是对立的， 纳命中率和不命中率的，和自然就是一了。要想算不命中的概率，只需要用一去减去命中的概率即可。因此，大毛不命中的概率就是一减三分之一，得三分之二了。同样，二毛不命中的概率也就是一减四分之一，得四分之三。这俩时间也相互独立， 因此他们同时发生的概率就也可以用乘法公式来算计。三分之二乘四分之三，算一算就得二分之一，这就是相应的结果了。 ok， 总结一下，所谓相互独立事件就是这样结果互不影响的事件，而独立事件同时发生的概率就是这俩事件各自概率的成绩，这就是概率的乘法公式了。怎么样，听懂了吧？赶紧动手试试吧！

大家好，我是裴老师。求机事件的概率一直是大家的难点，今天呢，我就来介绍一下概率的乘法公式。要是求两个事件的机事件的概率的话，如果这两个事件是相互独立的，应该是比较简单，他们机事件的概率就等于各自的概率之机。 那如果 ab 是任意事件，或者说根据题干的信息，我们不能得出他们两个是相互独立的，我们该怎么计算机事件的概率呢？那这里我们就要借助条件概率的计算公式， 把条件概率的计算公式进行变形，把 pa 乘过去，就得到了基事件的计算公式。这个公式的使用前提是 a 事件的概率是大于零的。那有了这两个点之后，我们想一想乘法公式能不能 去进行推广呢？答案当然是可以的了，我们现在写出他的推广形式来， a 一 a 二， a 三一直到 a n 这 n 个事件的机事件，他的概率应该怎么求呢？应该这样写， 等于 a 一的概率乘以在 a 一的条件下， a 二发生的概率，再乘以在 a 一 a 二共同发生的条件下， a 三发生的概率一直乘到 在 a 一 a 二一直到 a n 减一的条发生的条件下， a n 发生的概率，这样我们就得到了乘法公式的推广，你听懂了吗？

大家好，我是裴老师，今天啊，我们一起来学习事件的独立性。什么叫事件的独立性呢？就是如果事件 ab 是相互独立的话，那么 ab 是否发生相互是没有影响的，也就是说 a 发生与否对 b 是否发生，他是没有影响的。反过来也是这样的， 根据定义啊，我们就可以写出这样的式子来，在 b 发生的条件下， a 发生的概率就等于 a 本身发生的概率，他是不受 b 的影响的，那事件 ab 相互独立，他有一个重要的性质和判定。我来写出来， ab 机事件的概率等于 a 的概率乘以 b 的概率，这既是性质又是判定，那我们现在就来证明他。首先呢，我来证明充分性，也就是如果 ab 是 相互独立的，这个等式是成立的，如果在这里 ab 是相互独立的，那么这个等式一定是成立的，那我们现在就利用条件概率公式去把它展开。 根据条件概率公式呢，他应该是这个样子，最后他又是等于 p a 的， 把 pb 给乘过去，就得到了 pab 等于 pa 乘 pb。 然后我们再来证明 b 要性， 如果他们机事件的概率等于分别的概率之机的话，能不能推出他们是相互独立的呢？也就是在这个等式成立的前提之下，我们来写出 b 发生的条件下 a 发生的概率， 这时候我们把机事件的概率进行替换，最后约掉 b 的概率就是等于 pa， 那这样我就证明了，如果 ab 相互独立的话，这个等式是成立的。反过来这个等式成立， ab 就是相互独立的。在这里我要提醒大家，做有关独立性的问题的时候，这个公式是比较重要的，因为他用的比较多，你听懂了吗？

对于相互独立事件，他的概率的计算我们要学会。传说农历八月十五是我国的传统佳节，中秋节，赏月来是中秋节的传统活动之一， 如果天晴就可以赏月，根据天气预报，将中秋节假地天晴的概率是零点八，以地天晴的概率是零点九，假地将在这段时间内 两地是否天晴相互之间没有影响，那就表示相互独立，对吧？则至少有一个地方可以赏月的概率，那大家想至少有 有一个地方可以赏月，他的对内事件是两个地方都不能赏月，对不对？那第一个地方不能赏月的概率是一减零点八，对吧？第二个地方不能赏月的概率是一减零点九， 那就等于零点二，乘以零点一等于零点零二， 这是两地都不能赏月，对不对？那至少有一地赏月的概率是多少？那可就是一减掉零点零二等于零点九八，你清楚吗？

欢迎大家进入高中数学课堂，今天我们学习独立事件概率计算公式， 也就是独立事件的概率该用什么公式来计算？ 我们需要知道两个独立事件的概率计算公式。 n 个互相独立事件的概率计算公式 以及独立事件的概率计算公式的一、 我们现在看两个互相独立事件的概率计算工序。对于两个互相独立事件 ab， 我们根据条件概，得到事件必发生的概率， 正好等于事件 a 发生的条件下， b 发生的概率也就等于 ab 同时发生的概率除以 a 的概率，于是就得到 世界 ab 同时发生的概率等于世间 a 的概率乘以世界 b 的概率， 这就是两个互相独立事件的概率计算公式。 用语言表达的就是两个互相独立 事件同时发生的概率等于每一个事件发生的概率之急。哎，发生的概率的急。 如果我们把两个事件同时发生，叫两事件的成，那就是事件成疾的概率等于他们概率的成， 这就是概率计算公式啊。互相独立的事件的概率， 那如果 n 个事件 a 一 a 二一直到 a n， 他们是互相独立的。哎， n 个事件互相独立，我们前面说 是指的这 n 个事件两两独立，那每一个事件的发生与其他的 n 点一个事件是否发生没关系， 那么这 n 个事件的交事件，也就是 n 个事件同时发生的概率就等于这 n 个事件的概率。 哎， n 个事件的成疾，这么一个急事件的概率等于概率。 显然这是两个事件两个独立事件的概念。公司的推广 结论是，如， 如果 n 个事件 a 一 a 二一直到 a n 互相独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于每一个事件发生的概率的成绩。 那我们看看独立事件概率计算公式的运用。 好，我们看例子，例如甲乙两人篮球运动员分别进行一次投篮，两个人分辨进行。我们简单一点，假设这两个人投中的概率都是零点六， 那么现在要计算两个人都投中的概率， 第二， 其中才有一人头中的概率，第三至少有一人头中的概率。我们先分析一下啊，因为两名运动员分别进行一次投篮， 所以他们各自投众与否，我们认为是相互独立， 哎，我们认为是相互独立的。 哎。然后这两个人投中的命中率都是零点六。 好，为了表达清楚，我们设 a 是假投篮仪式投中， b 是以投篮仪式投中。 世界 ab 显然互相独立，那么世间 a 和世界 b 的概率都是零点零， a 交 b， 也就是 ab 同时发生，两个人都投中， 哎，两个人都投中，那他的概率呢？显然应该等于这两个人各自投中的概率的成绩，那就是零点六乘以零点六等于零点三六 来。这是第一题，下面我们来看第二题，其中恰有一人头重的概率。注意，恰有一人 头重，那就是假头重，乙不重，哎，乙头重，甲不重。这两种情况的概率，我们要把它计算出来，然后相加就行。 那么还是 a 时间， a 是互相独立的时间， a 的对立事件 是非为世间 b 的对立事件，我们用非 b 表示啊，那，那就是 常有一人投注，那就是 a 与 b 的对立事件同时发生， a 的对立事件与 b 同时发生，因为他也是互相独立的。 哎，所以计算起来也很方便。哎，那就是假投中了，已未中。哎，我们叫 a 交 b 非 已投中了，假未投中，我们叫 a 非交币。计算这两个概率，因为他也是互相独立的。哎，我们要知道的是， 假头重的概率零点六，头不重的概率是零点四，哎，一也是 头中的概率零点六，头中的概率零点四，所以应该是零点六乘以零点四，再加上零点四乘以零点六， 结果等于零点四八，这是强有一个人投中的概率。下面我们来看第三题， 至少有一人投中的概率。而要计算至少有一人投中的概率，至少有一人，那就包括刚才的恰有一人投中和两人都投中， 那至少有一人投中他的对立事件是什么呢？ 他的对立事件是两人都没，都未。哎，他的对立事件只有一种情况，两人都未。 那我们不妨把对立事件给他，他的概率给算出来啊。哎，我们把对立事件的概率算出来。我们来看 两人割头一次，至少有一个人投中，他的对立事件是两人割头一次均未投中， 那他的概率应该是都没有，投中的概率是零点一六，这是对立事件。 那么至少有一人投中的概率就应该是一减去对立事件的概率等于一减，零点一六等于零点八十。 哎，这样我们就解决了第三个问题，至少有一人不动的概率。好吧， 今天咱们这节课要求大家掌握两个独立事件的概率计算公式，理解 n 个互相独立事件的概率计算公式， 并能够运用独立事件的概率计算公式解决实际问题。好，这节课咱们就到这，再见。

这个视频我再来讲讲怎么计算概率。不过在讲计算前，咱先弄清楚两个概念，护士时间和对立时间。 先来看看啥是互斥。比如这个人是小孩，和这个人是老人，不可能同时发生，是互斥的。治投资时，正面朝上是一和，正面朝上是六也是互斥。 再比如，从红黄蓝三个球中抽一个球，那抽到红球和抽到篮球仍是互吃的。也就是说，互吃事件是不可能同时发生的，但彼此互吃的可以很多。像这种不可能同时发生的两个事件，就叫做互质事件，也叫做互不相容事件。再来看看侠士对立。 比如这个人是男的和不是男的就是对立的。是投资时正面朝上是一和，不是一也是对立的。再比如，从红黄蓝三个球中抽一个球， 那抽到红球和抽不到红球也是对立的。也就是说，对立事件就是有我没你，有你没我，咱俩之间必须有一个。像这样不能同时发生，且必有一个发生的两个事件，就互为对立事件。 其中事件 a 的对立事件记作 a 八。了解了这两个概念，咱进一步来判断一下。比如，从装有两个子球和两个绿球的口袋中任取两个球，那下列选项中哪个是护翅而不对立的两个事件呢？先审题，有题可知，所有的试验结果是两子、一子一律 和两律。再看选项， a 中恰好有一个绿球，就是一紫一绿，这个基本事件和恰有两个绿球是护士事件，但不是对立事件，符合要求。 b 中至少有一个绿球，包括一紫一绿 和两律。而至少有一个子球，包括一子一律和两子，所以他俩不互吃不符合。提议， c 中至少有一个绿球，包括一子一律和两律， 他与都是子球，使对立时间不符合。地中至多有一个绿球，包括一子一律和两子，他与都是绿球，也是对立时间不符合要求。 所以只有 a 是正确答案。弄清楚这俩概念后，咱就可以来计算概率了。如果从红黄蓝三个球中抽一个球，那抽到红球或蓝球的概率是多少呢？这里出现红球的概率显然是三分之一， 篮球的概率也是三分之一，他俩互斥，那出现红或蓝的概率就是他俩的和，算一算得三分之二。看来，如果要算互斥事件的概率， 那你只要把他们各自的概率加起来就行，这就是互斥事件的概率加法公式。而对于对立事件，比如事件 a 和事件 b， 因为他俩对立，要么发生事件 a， 要么发生事件 b， 所以他俩的概率和一定是一。 比如你吃晚饭和不吃晚饭就是对立事件，如果吃晚饭的概率是零点七，那不吃晚饭的概率就是零点三。总结一下，关键有两点，首先，互吃事件是不可能同时发生的，但彼此互吃的可以很多，求概率时，只要把他们各自概率加起来就行。 其次，对立时间就是有你没我，有我没你，咱俩之间必须有一个，求概率时，他俩的概率和就是一。好了，就说这么多，快快刷题去吧！

哈喽，大家好，今天又要解锁一组概率家族中的新人物了，当当当当，相互独立事件。 这俩人专业挖坑二十年，很多同学都栽在了他俩刨的坑里，从来没有把相互独立这个概念搞明白过来。今天就给你说道说道，到底啥叫相互独立？ 这个名字听上去就给人一种离得远远的感觉， 所以大家凭直觉猜想，相互独立指的应该是那种没什么关系的事件。比如昨天狗蛋他奶奶家的老母鸡下了蛋，今天美国总统决定早餐吃芥末炒蛋，这俩事 应该相互独立。再比如，果冻老师昨天去买了张彩票，刚出彩票店就被某大妈用刷锅水泼了一身，这运气点背到家了。 不过我们可是互联网时代的科技少年，很清楚别说刷锅水了，就是被地沟油泼也不会改变彩票是否中奖， 所以他们也相互独立。这两个例子都没问题，这种一眼看上去就不会相互影响的事件，肯定是相互独立事件。 那紧接着问题就来了，除此之外，如何判断其他事件是否相互独立吗？凭直觉吗？看似相关的事件就一定不独立吗？来给大家看一个该 率中的经典例子有，请可爱的筛子制一枚筛子，即事件 a 为点数小于五，事件 b 为点数为基数。你凭感觉来猜一下他俩相互独立吗？ 答案，选 a， 他们相互独立。嗯，没想到吧， 选 b 的同学肯定觉得这两件事明明有关系啊，点数为基数就是一三五，但点数小于五五就不能要了，只剩一三。这说明事件 a 对事件 b 产生了影响，应该不独立。

这节课呢，来讲概率问题的第二个知识点多次独立重复实验啊。大家在这个模块还是要抱着一个先学后想的心态去学习，要去记住公式，能够运用公式解决问题， 当有多余的精力，我们再去思考这个公式到底是怎么来的。当然了，在这节课当中，我也会给大家去讲啊，这个公式为什么是这样的？这个公式是怎么来的？大家能够记住是更好的。那我们来看一下这个多次独立重复实验。多次的进行。多次实验。 独立的是事件之间相互独立，互不影响。啥意思呢？给大家举个例子，例如抛硬币啊，我们大家都知道抛硬币的时候，正面朝上的概率是二分之一。好，那现在我假设我抛两次硬币， 第一次朝上，那我再抛一次正面朝上的概率是多少？是不还是二分之一？那已知我第一次那个结果是反面朝上，我想再抛一次正面朝上的概率是多少？是不还是二分之一？也就是说，不管我第一次 抛硬币的结果是什么，我再抛一次，他结果都正面朝上的概率都应该是二分之一。他们之间是不相互影响的。所以说他们之间是相互独立的，这就叫 独立独立实践。好，那什么叫多次独立重复实验？这个题是啥样的？我们该怎么去解决？这块给大家一道例题，我们通过这道例题去学习多次独立重复实验。好，那这块我给大家举例，就不再举抛硬币了，因为抛硬币正反面朝上的概率都是二分之一。 我们一会不太好理解啊。我们换一个事件，我们假设射箭，例如说假设，假设我每次射箭郑重打金的概率都是百分之六十， 中靶心的概率是百分之六十。好，那么我没中靶心的概率是多少？那是不是没中就应该是一减百分之六十，应该是百分之四十。那我每次 中靶心的概率都是百分之六十，那说明我每次射箭是相互独立，互不影响的。大家不要去给我去讲说老师，老师，你第一次没中，你就会影响心态，你第二次中靶的概率就会降低。 你不要给我讲那些没用的，我跟你我刚刚说过了，说我每次中把心的概率都是百分之六十，那就说明他每次射箭之间是不相互 讲的。甭管我第一次中与没中，我第二次正中马线的概率他都是百分之六十，他们之间是相互独立的。那我问大家一个这样的一个问题，说我一共射了三只箭，其中有两只恰好有两只 中靶心的概率是多少啊？中靶心的概率。好，那我们看一下三支箭当中有两支中靶心，那我们大家就要去分类讨论一下的。因为你三支箭中靶心，他可以分成这样的分成 前两次中了，第三次没中，我也可能是第一次中了，第二次没中，第三次中了，我也可能第一次没中的，第三次中了。这三种情况是不是都是射了三只箭，其中有两只中靶线的情况？好，那我们就分别去讨论一下他们的概率呗。 我们先来看第一种情况。我知道每次中马心的概率都是百分之六十，所以说我第一种情况，第一支箭我射中马心是不是应该是百分之六十？因为我每次射箭之间是相互独立，互不影响的。那我第二次射中还是百分之六十， 那第三次没中，是不是就百分之四十？好，那我们要把这三个数加在一起，还乘在一起，我们就可以按照排列组合那块分类和分部的思想去考讨论一下嘞。这道题讲的是两只重百斤，那一只没中。 那你这百分之六十表示的是什么？表示中一次把劲，这个百分之六十表示中一次把劲，这个表示有一次没中。 你都没有直接表达你最终的要求，你最终要求是两只中马心，一只没中，并没有直接去表达你最终要求，那应该叫分步，分步应该是相乘的。所以说 百分之六十乘百分之六十乘百分之四十。或者是说大家如果要对高中学过的这个概率有印象，这不就是我们曾经学过的条件概率吗？对吧？好，我们不想那么多，我们就按照分类分布的思想去想，这个过程属于分布。那同样道理，你第二种情况， 第一次中了，第二次没中，第三次中了，那就应该是百分之六十乘百分之四十乘百分之六十。 好。第三次应该是百分之四十乘百分之六十乘百分之六十。好，那现在你得到了三个式子，那把这三个式子你要加在一起，还乘在一起，还是要讨论一下是分类还是分部。 这道题讲的是两次射中，百姓一次没中。好。第一种情况表示两次射中，百姓一次没中。第二种情况，两次射中，百姓一次没中。都表达了你最终的要求，都满足 你这种要求。都满足你这种要求，那叫什么？那叫分类。分类要相加，你要把这三个柿子加在一起。好，那我们把它加在一起。大家就会发现一个问题，三个柿子它是相等的，都是两个百分之六十乘上一个百分之四十。 就是我们要把它加在一起，你就可以写成三乘以百分之六十，乘以百分之六十， 乘以一个百分之四十。是这样吗？好，那我们就讨论一下，总结一下他的公式。我们通过这道题来总结一下。 首先我们来看一下这个三是怎么来的？为什么是三？是三个柿子，来源于三种情况啊。那为什么是三种情况呢？回来讨论一下。是三只三只箭，其中有两只中了。那实际上你这个三是怎么来的？是不是你就要从这三 三只剑当中选出两只让他中？选择哪两只让他中的？是前两只中了，还是后两只中了？还是第一只和第三只中了？你要从三只剑当中选出两只让他中了，那应该是什么？西三二、西三二。为什么是西三二？ 第一次中，第二次中，一次中。选择相同元素改变位置，结果是一样的啊。所以说是 c。 三二乘上 两个百分之六十，两个百分之六十，那不就是百分之六十的平方吗？百分之六十的平方好，为什么是百分之六十的平方？因为是两个百分之六十。为什么是两个百分之六十？因为他中了两次。 也就是说这个事件发生了两次。好，乘上百分之四十。百分之四十，你是不可以理解为百分之四十的一次方。为什么是一次方？因为有一次没 体重。是不是就是说有一次没发生？那通过这个我们就可以总结出来这个多次独立重复实验的公式了。那怎么去表示？我给大家去写一下。我们假设 a 事件， a 事件 发生的概率为 pa， 事件发生的概率为 p。 好，那么没发生的概率就是一减 p。 说若 m 次实验， m 次实验， a 发生 n 次， a 发生 n 次的概率。好，那我们来看一下，若 m 次实验当中 a 发生 n 次的话，那咱就讨论一下一共有多少种情况呗。 那我们是不是要在 m 四实验当中选出 n 次让他发生，那就应该是 c、 m、 n 对三支箭当中有两次重马金了，我要从三次当中选出两次让他中 c、 三、二。 m 四 实验当中 a 发生 n 次，那就是 c、 m、 n。 既然发生 n 次了，那么发生的概率就应该是 p 的 n 次方。中了两次，那么中的概率是百分之六十，那应该是六十的平方。 好，那么这个发生 n 次就应该是 p 的 n 次方。好，那么 p 发生 n 次就说明有 m 减 n 次没发生，那么就应该是一减 p 的 m 减 n 次方。所以说这个多次独立重复实验的公式就出来了，应该这么记哈。说若 a 事件发生的概率为 p， 没发生的 概率为一减 p， 则 m 次实验 a 发生 n 次的概率就应该为 c、 m、 n p 的 n 次方。一减 p 的 m 减 n 次方。理解一下怎么来的？ c、 m、 n 怎么来的？是 m 次实验 当中发生了 n 次。我们要在这 m 字案当中当中，你去选择一下到底哪几次发生了？我要从 m 字当中选出 n 次。 c m n 有这么多种情况，因为发生了 n 次，所以说是发生的概率的 n 次方， p 的 n 次方。 那么既然有 m 次 m 次实验发生了 n 次，那么就应该有 m 减 n 次没发生，那就是一减 p 的 m 减 n 次方啊。所以说，当你去理解的时候，你发现这个公式好像也不是很复杂，或者说你去找一下规律啊，也是可以的。当然，有些公式它是这么记得 c m m 减 n， 然后 p 的 n 次方，一减 p 的 m 减 n 次方。也有这么记得，也有记 c m n p 的。不对啊，没有这么记得，没有这么记得， 还有这么记得。那其实大家会发现公式和这个公式是不是一样的，因为 c m m 减 n 和 c m n 是不是相等的呀， 他俩是相等的呀。所以说你看到公式长得不一样，但实际上是一个东西，你你怎么记都可以，怎么记都行，你能记住就可以了。这个是多次独立重复实验的公式，大家要记住了。我们下个视频带着大家去运用这个公式去解决问题。

大家好，今天我们来看一道比较特别的题目啊，就相互独立式演变的和呃一种特殊的题型，就是和物理里面的串变点电路连接在一起的一种题目。 有时候会觉得这种很复杂啊，因为他这种图形不仅像这个题一样，他可以是这种类型的，他还更复杂一些，他可以加多个串点或避免电动连接在一起啊，有时就觉得束手无策。其实这种题的话，你在研究之前应该搞懂一个东西啊。给大家举个例子，就是你如果是一个串点电路啊， 这是一个串联的好，然后这个电路的话，每个元件啊，这个电子元件他正常工作的概率是三分之二，这个是三分之二。 那么这个串联电路，如果我想要他正常工作啊，我想要他正常工作， 那么应该买什么条件呢？是不是应该满足这两个都得都得正常工作，那就三分之二乘以三分之二，因为是因为是串点的啊，所以是呃九分之四 好，这是第一个，这是一个串联电路好，如果是一个并联类型的啊，那么再画一个，如果是并联类型的啊，依然他对应的概率是三分之二啊， 把这个图搞清楚啊，都是三分的好。现在我想求他工作的概率， 那个怎么求了？你会发现正常工作的话，好像只需要其中有一个就行了吧。那有同学就直接看了哦。他正常工作或他工作工作，那就三分大加三分大，那肯定错的，因为你 你要考虑是有一个或者有两个吧，但这样情况是不是人多，要么他工作他不工作， 或者他不工作，他工作是吧？或者两个同事工作，这样就会有点麻烦。我还不如看看什么呢？我看反面是不是更好？反面就是什么呢？反面就是 如果我这个电路不正常工作，那你不正常工作是要整体都不正常工作吧。因为串联电路一个啊，并联电路一个特点就是他其中有一个正常工作就行了， 所以并且类型我要看他不正常工作就同时满足的话，那个是两个都不正常工作。那我刚才应该是一减去一减三分之二，就是他其中一个不正常工作，然后另一个也不正常工作啊。那么合起来的话，这样计算得到了，就是 九分的八。那么这是他并联电路正常工作的一概率。所以你在了解这两个呃基础上啊，这第一个串联，第二个并联他们工作，这样一概率 了解之后，相当于是他最核心的一个小的一个整体，是这样的一个。呃，运算规律之后，我再来研究其他的更复杂的显示，你心里就会清楚我应该怎么分析了。 好，那我们再看。那如图是某个闭合电路的一部分，每个圆电可耗性是三分之二，线从 a 到 b 这部分电路畅通的一个概率是多少？ 那么一样的我们来看。你看的时候我我们可以正常的把它运算的每一个啊，就把它当一个整体，这一个他正常运行的是一个三分之二，那我这个整体我们刚才已经求过了吧。来看这种并点 啊，我把它当做一个整体，不要把它当病人，把当整体啊，当做一个整体，那么他正常工作的概率是九分之八 啊，九分之八。好，一样的。继续看这个，这个单独的，所以他又是一个三分之二啊。好。现在这整体，这个，这个图形应该是一个怎样的一个电路呢？他应该是一个并点电路吧。 啊，并联电路，那你就想我们串联，串联电路的话，我们是直接看这两个同时运行的。并联是看反面对不对啊？只看的是反面， 只要记得这一个分析的方式啊。串联看正面，并联看反面啊。那么这是个并联的话，那他要正常工作。我应该看的是每个都不正常工作吧。好，不正常工作。那我再来看上面，我这是一个串联电路对不对啊？串联电路 让我去分析，再继续。再把它当做一个整体的话，这个创意电路当整体。他正常工作的概率应该是相乘对吧？相乘三分之二，乘以九分之八， 应该是二十七分之一十六。好，那底下三分大正常工作概率，那我两个是我要看反面的，所以要看不正常工作的概率。一减二十六分之一十一，二十七分的一十六。啊，不好意思啊，后面是一减去三分大啊，一减三分大， 所以一减去二十七分之一，十一乘以这个三分之一。 这也是八十三加二十一，八十一，八十一分之一十一。那么一减的话，就八十一分之七十，八十一分之七十。所以他 正常工作概率应该是啊，八十一分之七十。也是选 c。 好。我们呃，做完这道题，我们再来分析一下我们怎么去研究的啊。他先去看的话，就是我们先理解串联电路，就单个的串联电路和单个的并联电路，这样来看啊，把它当做一个组成整个电路，一个最基本的一个个体。 那么串联的话，我们看正面啊，看正面，然后两个都要同时满足正常工作才才行。那么并联的话，不需要并联的话，我只要其中有一个满足，也至少有一个满足就行了。所以我们这个时候看的是反面， 看反面，这样计算简单一些啊，就两个同时不工作，那么这时候再把它上传，用一减去他就行了。好，那么我们再看的话，我们就把它拆解，把这个当做一个整体，这是一个并联的并联，然后我看他正常运行的对不对，看正常运行的，然后运行的 之后把它看整体，之后再和这个看作一个整体，这是一个串联的，就是你在计算的时候，你始终是你要看他正常运行的概率多少，把它算出来啊，把它整体算出来，算出来之后，我再把它当做一个整体，就可以算他的一个正常运行的一个一个概率， 然后这个整体是和下面是一个相对于是一个并点电路。所以此时我们再来计算，就看反面来计算 啊，就需要你一步一步理清楚，如果你思路很混乱的话，那种你就很不好做。那么同学们学会了吗？

好，我们来看一下这个题目。这个题呢，考察的是独立事件的概率，当然他是以物理中这个电路的串并联，然后为背景的这个题，那所以就要求我们呀，需要先看懂这个电路对不对，然后这个电路中呢啊有就是他从这个电源出发 啊，这个是正极，然后这个是负极对不对？那这个电流呀，会沿着这个线路到这个位置的话，他有三条路可走，那所以这三个路呢，他是一个啊，并联的一个关系啊，就是说明这三条路都是可行的。然后那像 a 和 b， 他就是一个串联的关系。 所以我们先读一下这个题目啊，一个电路呢，如图所示，现在是有七个开关啊，其闭合的概率呢，都是三分之二，并且每一个开关他闭合 都是相互独立的，互不影响对不对？所以考察的就是独立事件的这个基本概率。他让我们求的是灯亮的概率，那灯亮的意思就是这个电路啊，啊，他是一个 嗯能行到通的一个电路。那所以这个啊，如果我们正面来看的话，他的情况就特别多，我们讨论起来呢，其实会特别麻烦。所以这样的话，其实我们应该是怎么样呀？正难则反对不对 啊，也就是从反面出发，那灯亮的，这个反面呢，就是灯不亮，灯不亮的话就说明，然后他一个通路都行不成。 那这样的话我们就啊很容易就写出来对不对啊，这个第一条通路啊，比如说我们标出这个一二三啊，现在是有三 条路嘛，然后第一条路他必须就是行不通，然后 ab 他是一个什么呀？是一个串联的关系，那就意味着只要 ab 中然后有一个不通，那么他就肯定是不通的对不对？那所以嗯，那这个第一种情况啊是怎么样呀？我们 在这里面呢，再用一个正南则反，我们现在求的是他不通，他不通的话，那应该其实正面也能写啊，但是我们从反面出发的话，那就是 ab 都通，所以他的概率呢是三分之二， 然后乘以三分之二，这个是啊，一路通的话，但是我们要求的是不通呀，所以我们需要让一减去一个他对不对？这个是一啊不通。然后第二种呢，就是第二条路也不通，所以这 一二三是必须要同时满足。他是一个什么呀？他应该是一个成的形式对不对？我们在前面学过 这个分类相加技术原理，以及分布相乘技术原理，那这个时间我们其实是分的三步啊，每一步呢都是不能通的。所以第二个我们需要让二不通，那二不通的话，那只能是 cd 都不通对不对？所以应该是三分之一， 然后再乘以三分之一，这个是二不通。然后三不通的话呢，第一个就是意不通，意不通的话也就是三分之一就可以，后面的话通不通无所谓，所以我们乘个一 啊，后面这个像这一块啊，无所谓，乘个一，然后再加上如果一通，那么一是三分之二，后面的话是呃，后面不通对不对？后面不通， 那么就意味着 f 和 g 都不通，那所以应该是乘以三分之一，再乘以三分之一啊，这个是一二三都不通。我们要求的是通的概率，所以拿一 减去都不同的求出来就是灯亮的概率对不对？那所以后面就有一个计算的问题。嗯，一减去一个，这个应该是九分之五， 然后后面这个是九分之一，再乘个多少呀？这个是三分之一，然后加上一个二十七分之二，所以通分之后应该是 二十七分之十一。所以我们求出来是一减去三的七次方分子呢，是五十五。所以最终我们选的是 a 选项。啊，这个是这个题。好，今天内容我们就分享这里我们下个视频再见。

像独立事件，平常我们模拟考练习考的时候一般不这么考，但是高考呢，他就会这么考。我们高考主要考两个东西，一个是基础知识，一个是基本能力啊。像这个题呢，就是在考基础知识，就是在考察你到底懂不懂什么是独立事件。 如果 ab 两个是独立事件的话，他一个非常重要的特征就是 pab 等于 pa 乘 pb。 如果是单纯的护斥事件呢，他是等于 pa 加 pb。 像我们在写这类公式的时候，你必须得写上前提， ab 到底是什么东西啊，他是不能乱算的。来看题，说有六个相同的球标，一二三四五六，然后有放回的抽取两次，每次取一个球。然后他告诉你了甲乙 丙丁四个事件，然后 abcd 是说谁和谁相互独立。那这种题的话肯定是排除法，我们一个一个看。先看 a 甲和丙相互独立，那甲的话第一次取出是一，丙的话，两次取出来的是八， 那如果两次取出来的球的数字之和是八的话，他可能是二八三五四四，或者反过来，他是不包含一的。所以假一旦发生了的话，饼是不可能发生的。 所以第一个呢就不对。然后再来看选项 b 甲和丁相互独立。这个地方当然它是可以用逻辑解释的，但是这里我想讲一下计算，我们算一下甲的概率，肯定是六分之一，六个里面 取一个吗？这个钉的概率，这个钉就是两次取出的球的和是七，那算他的概率就是我们经典的列表法，横着一二三四五六，竖着一二三四五六。 这样的话，前后两次数字组合的话，一共是六乘六三十六种。那这个丁事件的话可能是什么呀？应该是一六二五三四四三五二六一。那是不是有六种情况？那就是三十六分之六，也是六分之一。 那甲和丁同时发生呢？甲和丁同时发生的话，就是第一次拿一的时候，第二次拿六啊，所以就这一种情况，也是三十六分之一，他是不是刚好就是 p， 甲呈上 pd 啊。所以这个 b 是正确的。然后我们再来看 c。 c 的话说的是乙和丙啊，我们还是来算一下啊，那乙的概率的话，是不是也是六分之一？六个里面选一个 饼的概率的话，是这个数字之和是八，那数字之和是八的话，可能是二六三五四四五三六二。也就是三十六分之五。 那乙和丙同时发生的概率呢？他们同时发生的话，就是第二次取出来的是二，然后数字之后是八。那就这一种情况 六二嘛，所以是三十六分之一。他的话就不等于这个 p 乘 p b 啊。所以这个 c 呢， 就不是相互独立的。然后看 d 选项，饼和丁饼的话，表示数字之和是八，丁的话，数字之和是七。他俩是不能同时发生的，那他肯定就不是独立事件了，因为独立事件他俩是互相被影响的， 一个发声不影响另外一个发声。所以这个兵和精也就错了。这个题就选 b。