换底公式的推导
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04:02查看AI文稿AI文稿换底公式的重要性无需老师多说，这是我们对数运算的重中之重，我们来看这道题啊。 呃，三的 a 次方等于四的 b 次方等于十二的 c 次方，那么 a 乘 b 乘 c 不 等于零，那么意味着是不是 a、 b、 c 都不为零，那么让我们求 a、 b、 c 和 b c。 呃，但是呢，你看，这是三个指数形式，而且呢，我们用到的 a、 b， c 都是这个指数， 那你说呢？我们要想给它表示出来呢，我们必须要进行一个只对互换，那么关键是怎么办呢？我们可以这样，哎，令三的 a 次方等于四的 b 次方等于十二的 c 次方等于 k， 是吧，那这个 k 肯定是大于零的，这是毫无疑问的。那所以根据只对互化，那么 a 就 等于以三为底 k 的 对数， b 等于以四为底 k 的 对数 c 等于。 啊哈，那怎么样啊？以十二为底，那么 k 的 对数是不是啊？啊，这个只对互化我们要先会，那么我们 abc 总算表示出来了，表示出来之后呢，我们来算 a 分 之 c 和 b 分 之 c， 所以 a 分 之 c 加 b 分 之 c， 哎，那直接给它带进去不就行了吗？那么 log 三抵 k 分 之 log 十二抵 k 加 log 币是多少啊？四底 k 分 之 log 啊，十二底 k 好， 哎呀，这些东西呢，它们的这个 底数不一样，但是真数一样，我们想要的是什么呢？底数一样我们才好判断嘛。 底数一样的话呢，那么乘变加加变成除变减减变除嘛，你只要底数一样，我们就好办。那这个该怎么办呢？其实我们用到一个非常重要的公式，哪个公式呢？我们来复习一下， 就是我们换底公式的推论， log a 抵 b 就 等于 log b 抵 a 分 之一，意思就是说呢，你交换它的底数和真数，就变成了它本身的倒数， 那么这个好办啊，那所以我们这里呢，我们给它交换一下不就完事了吗？所以你看它等于什么呀？它等于 log k 抵十二分之一，除以 log k 抵三啊，分之一， 你都把它的底数转化为 k 啊，加 log k 抵四分之一 啊，那你一除，那么就好办了，你除以它就等于乘它的倒数嘛，你除以 log k 底三分之一，就等于乘 log k 底三，所以它是 log k 底十二分之 log k 以 k 为底三的对数 加，那这个呢？还是 log 以 k 为底十二的对数分之 log 以 k 为底四的对数。 那你看到这里的话呢，我们就转化为了同分母的分数相加，哎，那同分母的分数相加， 那么最终等于 log 以 k 为底十二的对数，那么上面是呃，两个同底数相同的相加，那么相变长，所以它就是 log 以 k 为底三乘四 加变成吧。那这还不是以 log 以 k 为底十二的对数吗？那么除以它，它俩一样，那么最终结果就等于一 看懂了没有？那你看这个呢，它是利用我们换底公式的，变形公式还是非常重要的啊，所以你的换行公式呢？其实到我们高中的话呢，这个公式的运用呢，它就很灵活啊，关注老师，学习更多高中数学知识。
150许仙讲高中数学
05:15查看AI文稿AI文稿对数运算换底公式不会用，我今天教你不用公式怎么算，现在我有一个小小的要求， 给我学会，再点赞，不用换底公式，把这些题都做出来。第一题你说太简单了，口算都出来了，是不是二乘二得四？好， 那第二题呢，你还能口算出来吗？不太能了吧，但是我能是吧。三为什么很简单啊？这个四和这个四怎么着能够消掉，就变成 log 二八， 也就是解，也就是三，原理就是什么呢？ log ab 乘以 log bc 等于 log a， c 就是 这两个 b， 怎么着，只要一样一上一下就干嘛消掉？那你看第三题，是不是这个二和这个二怎么着消掉，变成什么 log 三三， log 三三是几，是不是一呀？ 懂了吗？能做所有的乘法题啊，然后再来。哎，你知道第四个怎么 不一样了是不是？那怎么办呢？那咱就给它变一变啊，在对数当中呢，只要这个数能写成几的几次方，就给它写一下，你看 log 三八就可以写成什么 log 三，然后呢？八写成二的三次方， 这个三呢，是可以往前提的啊，就变成三倍的 log 三二， 那下一个呢？落个四九，我就可以写成什么啊？这个四变成二的二次方，这个三呢？变成三的二次方，这个二往前提变成分子，也就是和这个三一样啊，也就是二倍的。 那这这个二呢？要干嘛？变成分母，也就是二分之二。注意了啊，上面这个数往前提 变成分子，下面这个数变成什么分母？二除以二，是不是一啊？所以就变成这个东西啊，就变成 log 二三了， 最后就变成什么三。 log 三二乘以 log 二三等于几啊？等于三，为什么？这俩玩意一一乘是不是变成一了？剩个三能跟上吗？ 第五题怎么做呀？你看啊，这个 log 二二十五，我是不是写着什么 log 二五，是不是五的平方呀？我直接怎么着往前写乘以什么呀？这时候我已经看见了啊，看着 log 三二 二能跟上吗？为什么？因为四，我要写成二的二次方，再乘以什么 log 五三二， 然后啊，你看啊，我先把这些数都乘一块，二二二是不是得八呀？ log 二五 乘以 log 五三，就变成 log 二三，因为五五怎么着消掉，那 log 二三再乘以 log 什么三二是不是一呀？最后答 八。那你看第六题啊，第六题毁了，是不是出什么了？出这个分母了。那怎么办呢？ 一除以 log 三二十一，就会写成 log 二十一三， 老师，为什么呀？就因为这，你看他俩相乘是几是一，这叫什么？互为倒数，也就是 log 二十一三加上 log 二十一七， 这怎么用啊？这个有一个公式叫做里积外合，你现在不会也没关系啊，以后我会讲到里积外合。什么意思啊？现在？现在是合给它变成里边变成积二十一，三七，二十一等于一， 就这样直接去倒数就行了。那第七题怎么做？ log 三四乘以 log 四八乘以 log 八 m。 你 说老师我已经都会了啊，四四怎么着消掉乘 log 三八八，再怎么着消掉 log 三 m， 等于 log 三分之一七。那接下来怎么做呢？它是不是这是三呀？这是什么？三分之一我就给它变一下，我给它写成什么 log 三的负一次方，然后七，这个负一是不能往前提。当然了啊，记着一提变成什么？ 变成分母负一分之一，是不是还是负一？所以这个啊，注意了这个式子，这有点乱了，就写成负的 log 三七，但是还没有完呢啊，他说 log 三 m 等于什么？我再把这个负一啊， 摆到这个什么七上边，就变成 log 三七的负一次方是七分之一，所以 log 三 m 等于 log 三七分之一， m 等于多少 七分之一。记着啊，这个方法所有的乘法都能用，这只是换底公式的一个。嗯，叫什么变换，讲完你听懂了吗？
1969百分高考数学
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03:43查看AI文稿AI文稿黑板上的这道题呢，百分之八十的同学呢，期中考试的时候都没有做出来啊，为什么呢？呃，因为他只会死记硬算啊，你看啊，前面这个括号里边有三项，后边这个括号里边也有三项， 那如果我要是用多项式乘对式，我给他展开的话，那是不是要有九个式子呀？那你还不一定能算出来，而且非常容易出错。这道题呢，我们就需要先观察，先别忙着算对不对？你看啊，他的底数是二四八， 真数的一百二十五，二十五五，那么二四八有什么特征呢？二的一次方，二的平方，二的三次方，一百二十五，二十五五呢？五的三次方，五的平方，五的一次方。那么后边这个呢，底数是五二十五，一百二十五，真数是二四八。 那么其实在这里边的话呢，我们就可以怎么样啊？利用我们换底公式或者换底公式的推论，先进行一个转化。怎么转化来，先喊他声姐， 对吧？原式等。哎，这个步骤你太会啊，所以第一个呢，它第一个括号里面 log， 二底五的三次方加 log， 你 看啊，这个四是多少呢？是二的平方，五的平方。 哎，这个真数是五的平方加 log， 这是二的三次方和五，这个五呢，你可以看成五的一次方， 然后乘 log 五抵二加 log， 那 么二十五呢？是五的平方，四十二的平方，这个一百二十五是谁呢？是五的三字方，八呢是二的三字方。哎，这个能看懂吧， 对不对啊？那你看，都转化为二和五乘上去了哈，你看前面这个是多少呢？三倍的 log， 二抵五加，呃，这是二分之二，你提到前面去， 这个公式会不会 a 的 m 次方的 b 的 n 次方的对数，那么是不是就等于 m 分 之 n log a 抵 b 啊， 对不对？那你二分之二倍的 log 二点五，所以这是一倍的 log 二点五，然后加三，这可以看成五的一次方，那就是三分之一倍的 log 二点五。反正我们第一个括号里面全都转化成了 log 二点五啊。后边 啊，一样的 log 五抵二加，这是二，二分之二是一，那么 log 五抵二，再加三分之三是一，那么一倍的 log 五抵二。哈，你看这两个括号其实都是同内向，也类比着这个意思啊，那我们就可以给它合并哈。 三加一，再加三分之一，那就是三分之十三倍的 log 二抵五乘啊。后边是三倍的 log 五抵二，那么三分之三分之十三乘三，那就是十三倍的 log 二抵五乘 log 五抵二。嗯，那这个公式该咋算呢？那么大家记不记得我们的换底公式还有一个推论叫做什么呀？ log a 抵 b 乘 log b 抵 a 等于一， 他俩互为倒数，对吧？所以我们这个 log 五抵二乘 log 二抵五就等于一，所以他的最终结果就是十三。哎，这道题你学会了没有？呃，你要是没学会的话呢？前面我们换底公式的几个推论一定要给他姥姥掌握住啊，关注老师，学习更多高中数学知识！
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