数学log是什么意思

这个视频我来讲讲对数函数的概念。前面我讲过指数函数 y 等于 a 的 x 次方，如果把它反过来用 y 表示， x 就变成 x， 等于落个 a y。 像这样，原来指数函数的直遇变成了定遇，原来的定遇变成了直遇，这就是对数函数。不过我们习惯把字变量写成 x， 因变量写成 y， 所以就把对数函数写成 y， 等于以 a 为底 x 的对数。 要注意的是，这里的 a 和指数函数里的 a 是一样的，所以也得满足 a 大于零且不等于一。简单总结一下，形式上是 y 等于落个 a x， 并且底数 a 大于零且不等于一的就是对数函数。 比如， y 等于落个二， x 就是对数函数。再比如， y 等于落个二分之一 x， 底数是二分之一，符合要求也是对数函数。还有 y 等于落个根号三 x， 底数根号三大于一，所以是对数函数。再看 y 等于 love 的 x， 这其实是以十为底 x 对数，所以是对数函数。类似的还有 y 等于 lovex， 这其实是以 e 为底， x 对数，所以还是对数函数。而如果是 y 等于落个三三 x， 把它改写一下，就等于落个三三加落个三 x， 这部分是对数函数，但再加上他就不是对数函数了。再比如， y 等于负，捞个二 x logo， 二 x 前面的系数不是一，那就也不是对数函数。所以对数函数形式上必须满足 y 等于 log a x， 其中落个 ax 前面的系数必须是一， x 前面的系数也得是一，并且 a 得大于零且不等于一。 给你一个函数判断他是不是对数函数，你明白了，那如果反过来告诉你， fx 等于 a 方减五， a 加五再乘落个 ax 是对数函数，你能求出 a 是多少吗？刚才说了，对数函数中落个 ax 前面的系数为一，也就是这坨应该等于一， 一项就等于 a 方减五， a 加四等于零，这个方程有俩，减 a 等于一以及 a 等于四，那 a 是有俩答案吗？别忘了，底数 a 还得大于零且不等于一呢。所以 a 等于一必须省去， 那 a 就只能等于四了。刚才的问题都有具体的函数解析式，所以你只要对着解析式分析就行，但有时候没给你解析式，那就得自己设出来了。比如告诉你对数函数 fx 的图像经过点四二，你能求出 fx 解析式和 f 拉的直吗？既然是对数函数，那就可以设 fx 等于落个 ax， 顺便把 a 的范围也写上。经过点四二，也就是 f 四等于二， f 四等于落个 a 四，所以落个 a 四等于二，也就是 a 的平方等于四， 所以 a 等于二或者负二。别忘了， a 得大于零且不等于一，所以负二这个解得舍去，那 a 就等于二，所以 fx 等于落个二 x， 接着要求 f 八就等于落个二八，也就是落个二，二的三次方就等于三。好了，以上就是对数函数的概念，关键掌握一点 技术，函数形式上必须满足 y 等于 lol 的 ax， 同时 a 大于零且不等于一。怎么样，你听明白了吗？如果明白了，就速度去刷题吧！

这节课我们一起来学习对数的基本概念。首先来了解一下对数的定义，一般的，如果指数是 a 的， x 方是等于 n， 其中底数 a 大于零， a 不等于一， 那么数 x 叫做以 a 为底， n 的对数，记住 x 等于 lolg 以 a 为底， n 的对数，记住， a 叫做对数的底数，而 n 呢，叫做真数。怎么样来理解 a 的 x 等于 n， 那么我们化成对数形式是， x 是等于 lol 以 a 为底， n 的对数，指数写到这里，底数 a 在这边也是底数，而他的蜜值恩，在这里他变成了真数。这是我们有关对数的定义，其中对数定义要注意几点。第一点，对数的底数 a 要大于零，且 a 不等于一，对 数的真数 n 要大于零。为什么 a 要大于零， a 不等于一呢？我们知道，在指数里边，底数 a 要大于零， a 不等于一， 要在这里底数变成这边的底数的时候，他也要保证 a 大于零， a 不等于一是这么来的， n 为什么要大于零呢？ 我们在讲指数函数的时候， x 低于是属于全体实数，而 n 呢，它是属于零到正无穷这个区间，也就是 n 一定要大于零， n 在这边作为密值的时候大于零，那么在这边他作为真数的时候，同样也要保证大于零，这是要注意的第一点。 第二个，我们需要记住两个重要的关系式，第一， log 以 a 为底，一的对数，它是等于零。第二， log 以 a 为底， a 的对数，它是等于一。这两个式子怎么来 的？ a 的零字方是等于一，我们当 a 不等于零的时候，这个式子横成立，那么我们把这个式子化成对数式， 零指数零写下来是等于 log a 还是作为底数？而秘制一，我们作为真数，零是等于 log， 以 a 为底， 一的对数是这么来的。而第二个式子呢？ log 以 a 为底， a 的对数等于一，他这个式子怎么来的？我们知道 a 的一字方是等于 a 的，同样把它写成对数式的形式，一是等于 log， 以 a 为底， a 的 对数，这个第二个数字这么来的。这是我们需要记住的两个关系式。第三个常用对数，以十为底， n 的对数，那么我们通常记住 log n。 怎么理解？我们举个例， 例子， logo 以十为底，八的对数，那么我们通常去做 logo 八，而 logo 以十为底，三点五的对数，我们通常去做 logo 三点五， 也就是以十为底， n 的对数，我们通常底数十，我们省略不写，而 logo 这里的欧，我们也省略不写，这 是常用对数，以十为底的对数。接下来我们看一下自然对数，自然对数是以一为底的对数。一，我们在之前的课中有讲，一是一个自然常数，他约等于二点七，一八 二八是一个无限不循环的五里数，我们通常记住一等于二点七即可，那么 s 等于 logo 以 e 为底， n 的对数，我们通常记住漏影 n。 举个例子， lg 以 e 为底，三点八的对数， 我们通常记住 no 应三点八，那个以 e 为底十的对数，我们通常记住 no 应十，这是有关自然对数。我们关于对数的定义，需要记住的是四点，第一，对数的底数要大于零，且不等于一，对数的真数要大于零。第二， 第二个要记住两个关系四，那个以 a 为底一的对数等于零，那个以 a 为底， a 的对数是等于一。 另外要记住，常用对数，他一般写成这样的形式，而自然对数呢？通常写成这样的形式，常用对数是以十为底，自然对数是以一为底。 我们来看一下练习题。一，将下列指数式与对数式进行互画，什么叫做指数式？形如 a 的 x 次方等于 n， 这样的显示，我们称之为指数式。 而对数式呢，我们把这个指数是化成对数式的形式， x， 他是指数，我们挤到这里等于 logo。 同样以 a 为底 的对数，这就是指数式，而这边呢，是对数式。不管哪种形式，我们都要保证 a 大于零，且 a 不等于一，而且 n 也是大于零的。根据这个情况，我们看一下下面九小题。第一题， 三的 x 方等于八十一分之一，这是一个指数式，我们画成对数式 x， 我们把它写下来。三是底数在 logo 里边也是 底数，八是一分之一，我们是真数。最后得出 x 是等于 logo。 以三为底，八是一分之一的对数。第二题，二分之一的 x 方是等于八。一个指数是，我们把它画成对数，是 指数 x 把它写下来，底数二分之一在对数里边也是为底数二分之一，而他的蜜值八在这边变成了真数。 x 等于那个以二分之一为底八的对数。 第三题，同样指数式化为对数式，我们把指数负四分之一写下来，底数五写在 logo 的下边，然后五开四次方，分之一，我们作为真数存在。这是第三题。第四题， e 的零次方等于一异，我们刚才讲它是自然常数，自然常数，如果把它换成对数的形式，如果是 logo， 以 e 为底， n 的对数，通常情况下，我们写成 n， n， 这里同样他的指数是零，所以 所以我们把指数写下来，而现在是以 e 为底，所以我们写成录音的形式是录音一的对数。 第五题，十的三次方等于一千，那么十为底的话，有讲那个以十为底， n 的对数，我们写成那个 n， 三的话，是我们的一个指数三写下来是等于那个一千。 第六题，那个根号二为底，八的对数等于六，这个他是一个对数式，所以我们把它化成指数是根号二，他还是 底数，那么六呢？他是指数八呢？是他的一个蜜值。第七题，这里 logo 是以十为底，所以我们的底数是十，而他的指数呢？ 负四，最后他的密值是等于零点零零零一。第八题，漏影 a 等于五，这是以 e 为底的自然对数， e 为底，我们把 e 写下来，他的五字旁是等于 a 的，这是有关指数式与对数式的互化问题。 接下来看一下第二题，使对数式落个 a 减去二为底，负二倍 a 加上六的对数，有意义的 a 的取值范围是多少？我们在讲对数定义的时候，有讲过底数和真数的一个范围，比如说那个 a 以 a 为底， n 的对数，要注意 a 要大于零，且 a 不等于一，同时 n 也要大于零。那么这里我们做这个题来看一下， a 减去二，他是底数，所以他要大于零。写 a 减去二，这个底数不能等于一，同时他的针数负两倍的 a 加上六，他是要大于零的。我们来解一下， a 减去二大于零， a 要大于二， a 减去二不等于一， a 不等于三。 负两倍的 a 加上六要大于零，那么 a 要小于三。最后得出是二小于 a 小于三，这是我们有关对数的底数大于零不等于一且真数要大于零的情况的一个考察题。最后答案是，二小于 a 小于三。 最后我们来做一个小节。一般的，如果指数是 a 的一个字，方等于 n， 其中底数 a 大于零， a 不等于一，那么数 x 叫做以 a 为 为底 n 的对数。记住， x 等于那个以 a 为底 n 的对数， a 叫做对数的底数， n 叫做真数。 有关这个对数定义，我们要注意四点。第一，对数记号 logo 以 a 为底 n 的对数路只有在 a 大于零， a 不等于一 且真数 n 大于零的情况下才有意义，也就是说负数和零是没有对数的。第二个，我们要记住两个关系是， logo 以 a 为底，一的对数是等于零，那个以 a 为底， a 的对数是等于一。第三个，常用对数，也就是说以十为的对数，我们叫做常用对数。常用对数，那个十 以十为底 n 的对数，我们通常写成这样的形式， log n 自然对数。在科学进入中常常使用以无理数 e 为底的对数，以 e 为底的对数，我们叫做自然对数。自然对数的话， log 以 e 为底， n 的对数，我们通常写成 note n。

单招数学对数函数互换指数函数大法，一秒一个题。先用第一题以二为底八的对数，先让它等于 x， 二拿下来当父亲， x 过去当孩子就二的密次，然后等于号照抄，八移过去当这，然后 x 是不是等于三呢？因为二的三次方等于八，对吧？咱就求出来了，那正好就是等于三了。再用第二道题，这个以三为底，八是一的对数，也是让它等于 x， 三照抄，然后 x 移过去当密 尾，号照抄，八十一移过去，三的平方乘以三的平方，也就是三的四次方，对吧？那就是九乘九等于八十一，那正好是四，对不对？ x 就求出来等于四了。 再用最后一个，这个是以二为底， x 对数，这边是以三等于九，他们的底数不一样，但是先换算，三的平方是不等于九啊？在这是不是这边就等于二了？这以二为底， x 对数，然后这呢，就把它变成以二为底四的对数，对吧？那这边不就是二， xx 不就等于四了吗？ ok， 你学会了吗？

大家好，今天我们来聊一下这个对数运算啊。对数运算，这肯定是要比指数运算那难的，为什么呢？因为这个指数运算的话，他 他虽然初中阶段，初中阶段的话，你肯定接触过吧，同底数米相乘，底数不变，指数干嘛？指数相加，初中的话，这个指数一般都是正整数了，到了高中的话，这个指数 mn 啊，都隐身为任意时数都可以，至少你初中是接触过，是见过的啊，所以指数印象呢，不会特别难。 但是到了对数印算，这就难了，因为初中完全没有接触过。那怎样来理解这样的对数运算呢？我先讲着，你就知道了。对数定义是这么说的啊，如果 a 的 b 四方等于 n， 那么我们就把 b 叫做以 a 为 dn 的对手。那怎么记呢？有专门的记忆法啊，现在研究的主要对象是上边这样一个小 b 了，然后等于什么？ log 以 a 为 dn 的对手，其中 a 呢？还是叫做 底数，只不过呢，前者是叫做指数运算中的底数，现在叫做对数的底数啊， n 就叫做真数了，这是定义，这个都好说。然后常见的对数的话，一个是什么？ 一个是以时为地，一个以意为地啊，这个常见对数是个专门的名字。为什么说以时为地常见呢？在很多工程里头，定义都是以时为地来定义的，比如说物理上对于这个音量的，那这个分贝啊，他就是通过这个对数啊，以时为地来定义的。然后呢，这个化学上呢， 对于这样一个酸碱度的定义，也是通过常见对数以式为敌来定义的，所以说他叫常见对数嘛，因为他真的很常见，然后自然对数的话，以异为敌，这个是在高等数学数学分析中非常常见的啊。然后现在来看一下 啊，对数横等式，这个对数横等式的话，只要你了解这个定义，自然就有这个对数横等式，当然要记住这样的形式，那为什么呢？咱就站 下来， x 等于什么？ x 等于 log， e， a 为 d， n 的对数，那转换成这样的指数运算的形式，那就变成了 a 的 x 四方等于 n， 然后你再把这个 x 转换成什么形式？你再把这样一个指数 x 再写复杂一点， log 以 a， v， d， n， 那最后不就出来这样一个对数横等式吗？这个都非常简单。那么接下来的两点，我就要重点讲这样的运算法则了。对数运算法则， 然后对顺算法则，详细的证明过程的话，我在八月六号的高一数学暑假同步课都已经讲过了，你一定要回头再看一下，然后再来听这一讲。然后对顺算法则的话，主要是这三个吧。第一个啊， 第一个的话，你如何来记，如何来理解呢？这样来记啊，真数的乘法可以转换成对数加法啊，对数加对数，好，那真数的除法，当然就 就可以转换成什么，当然就可以转换成什么呀？对数减对数了，对数的差。那最后一个呢？最后一个的话，他指的是 m 的 r 次方，其中这个 rf 他是可以作为系数出现的，一下来就可以了。 那下一个的话就是换地公式，这个也用的非常多，换地公式的话，原始是这样的，换底换地就是把底换了吗？如果你需要用到一道题目中，需要用到除了 b 和 n 之外的第三个数字，比如说 a， 那当然就需要引入这样的换地公式了啊， 你看啊，原来这个 b 是在下方的， n 是在上方，现在换体之后呢？还是满座？ n 在上方， b 在下方？接下来有这样一些推论，你也要知道。你看这个推论，这个推论怎么挣啊？你只要知道换体公式，就都会挣了吗？ 我们不妨都捞按 b 啊，捞按 a， 这是第一部分吧，换里了，那再继续啊，成第二部分。第二部分呢，那就是 老汉 a， 老汉 b， 那当然等于一了，后边呢，咱就不详细说了，你看一眼就行。行吧，那接下来的话，我们可就要练题了啊。嗯，现在第一道题目， 第一道题目的话，他问的是 m 分之一加上 n 分之一，那这个不知道，但是呢，我们可以先把 m 和 n 单独表示出来。怎么表示啊？ 二的 m 次方等于十，根据对数的定义，你都知道它等于 log 以二为底，十的对数啊，那行，然后呢，同理可得这个 n 的话，就等于 log 以五为底，十的对数没有问题。 那 m 分之一呢？好， m 分之一的话，有的可能就看不出来了，就会写成这个样子，等于一除 log 一，二为第十的对数。好了，不会了，怎么就不会呢？你不妨把这个一看成什么，看成 log 以二为第二的对数， 现在不就行了吗？然后根据换的公式，变成了 log 以十为第二，你看十二，这没问题吧？当然， log 以十为底的话，我们就简写 log 啊，写成 log 二就可以了。那同理可得 n 分之一，经过同样的处理方式，那不就变成了 log 五吗？所以说原是 m 分之一 加上 n 分之一，等于这个 log 二，再加上这个 log 五。那你看对数的加法，可以转换成真数的乘法吧。二乘五，原来 log 是 log 以实为第十的对数，当然只能等于一了，这不就结束了，非常简单吧。 那接下来练三道这个常见的计算题啊，你月考的时候，期末的时候一般都有这样的计算题的。咱看第一道。 第一道啊，对数横等式，一看就是多少，一看就是三。第一部分啊，第二部分话，我们把这个十呢，把这个一百 来吧，看成十的平方哦， log 十的平方，那你把二这个系数提过来，然后就变成什么了，就变成了二乘一了，所以是加上二啊，画圈不可能是二。 那接下来这部分的话不用多说了吧，根据换体工程师这样一个小小的拓展，你完全可以写成啊，劳恩五比上劳恩二，再乘劳恩二比上劳恩五，这最后一看就是一啊，三加二加一，当然等于六了。第一题就做完了，也不用看他啊。那继续来看这个第二题吧。 嗯，第二题是怎么说呢？第二题这样来说啊，都是这样一个形式，那不妨他既然都是 log lug lug， 那下边有一部分啊，这个一的话，写成这个 log 十，就这样来写不就可以了？ 那接下来下一步的话，我告诉大家怎么来写啊。好， log 二的平方，你看系数也可以移上来作为这样的指数吗？在 加上 low 个三，然后这个一的话，刚才我说过了啊，写成 low 个十，二分之一的话，我们写成 low 个零点三六的二分之一四方，二分之一四方不就是根号下零点三六？请大家告诉我根号下零点三六是多少？当然是 low 个零点六了，没有问题。 那同样的道理，这个三分之一 log 八一样的啊， log 八的三分之一次方相当于 log 三次根号下八，那不就是 log 二的意思？最后我们计算一下啊。 看，先看这个分子，分子的话其实不就是对数相加相当于帧数相乘，四乘三哦，等于 logo 十二。 那这个分母也一样啊，三个相加相当于三个相乘呗。十乘零点六六乘哦。唠个十二比上唠个十二，那当然等于一了。第二题又做完了，是不是只要你运用的熟悉，肯定每一个都能很快算出来的？继续来看第 三个吧，还是对数运算啊。但是前两部分的话是指数运算，这个的话我就直接写了啊，一除零点五得二， 然后这个二十七，二十七分之一，三分之一，四方分之一嘛，对吧？负三分之一四方，他相当于正三分之一四方分之一。这个的话我也直接写他最后的话，二十七开三次刚好等于三。反过来啊，确实呢，他是等于三的， 那接下来这一部分可能就麻烦了。说麻烦的其实也不麻烦， log 三和 log 九关系肯定是非常密切的。看根号里头这一部分啊， 那你这个烙个九的话，我们不妨写成三的平方。好，那二的话是不是可以作为系数啊？再写一，这个相信很多朋友都可以看出来是一个完全平方的展开的形式了，我就继续写了啊，它实际上就等于 log 三，再单独减去一再 复制的屏好，根号平方，带上根号，根号平方。我们什么时候？我们初二时候就学过了。根号下的平方不就是绝对号的意思啊，所以就变成了绝对号。 log 三减一，现在呢？有一个小小的问题，一大呀，还是 log 三大 连接。这个一相当于 low 个十，当然是一比较大了，所以我们反过来啊，一一减去 lock 三就写出来了，没问题吧？但接下来又变成这个样子了啊。 负哈，负一作为系数吧，负一作为系数的话，画圈部分是这样，可以直接写成这个三分之一的负一四方。 那不还相当于加了一个烙个三吗？好，加上烙个三哦，没问题，然后又加上，哦，那接下来就难了。但是你要注意，他这样一个指数部分是以三为底，我们八十一可能也要改成三十多少次方吧。八十一，十三的多少次方？ 三的四次方啊，三的四次方就是八十，再乘零点五，那我懂了，那就是三的四乘零点五，那不就是三的平方的意思吗？ 然后再乘 log 以三为第五，这个系数二可以一到五的上面作为这个什么作为指数。所以是二十五五的平方就是二十五吗？最后根据这样的对数横等式，对数横等式最后是多少，当然他就是二十五了。然后接下来我们简单的一算，最后就是答案是二三十一。算完了， 继续来看第三个啊，第三个的话算是一类题，给你两个比较简单的，二和三是后置的两个数字，然后呢，这个让你用这个 log 二和 log 三表示，完全可以表示出来这样的。嗯 嗯， log 以十二为例，十五对出这样的形式，这个怎么办呢？肯定是把十二和十五尽可能多的转换成 唠个二，唠个三。那首先可以想到的是什么？首先可以想到肯定是换底啊，那前头一致条件都是以十为底，我后边没有十换底呗。 log 十二为底，十五对数换底了啊，等于烙个以十为底啊，对吧？十五。 log 以十为底，十二。 那接下来我感觉这个十二还是好画的。为什么呢？因为你这个十二的话，相当于什么？你十二完全可以写成二乘二乘三。所以说嘛，真数的乘法，我们就直接转换成了 log 二加 log 二，再加上 log 三，转换成对数的加法了，很简单吧。 嗯，那接下来这个分子好像麻烦一点点。为什么呢？你马上看就看出来了，我们这个食物可以写成 log 三乘五，然后转换成加法，对数的加法，那就是 log 三，加上 logo 五。 log 三是我们以 知的，所需要的其实就是小 b， 但是你看啊，烙给啊烙个二是 a， 其他部分呢都。但是这个烙个五不知道怎么装啊，人家以这条件里头有这个烙个五吗？没有啊，有同学就傻眼了，说，老师我这个五的话可以写成二乘二分之五有啥用呢？不行。 所以呢，你有时候脑袋要转个弯吧，你非得想惩罚你就不能想想处罚呀？所以你说这个 log 五可以写成，哎， 这个 logo 我们完全可以写成 log 十比上二吗？现在就变成了什么？帧数里头帧数的除法，相当于对数的减法，那就很简单了，就变成了 log 三， 再加上啊，唠个十，唠个十，不就是一吗？再减去唠个二，唠个二，是不是你所需要的部分？是啊，分五部分呢，不变我就不再抄了啊，最终的话稍微整理一下就得二， a 加 b 分支好，这个是多少啊？分子的话就是 b 加一，再减 a， 这不就画完了吗？那就结束了，懂了吧。所以这个题的难点在于，刚才这个 log 五一定是用乘法，一定是用除法去画的。如果你只想乘法，做不出来这道题， 那接下来就要看最后一道了啊。第四题分两道小题吧，还是确实挺有难度的。一开始先看第一个， 这个第一题的话怎么办？嗯，第一题的话，我先这样写啊，五的 a 次方等于二的 b 次方 等于这个十根号十的话，我们不妨写成这个十的二分之四以此方。这个都好说啊，指数运算的性质嘛，写成这样的性质，那等于多少呢？等于 m 呗，你这样写就可以了， m 肯定是大于零的啊。那么接下来怎么去画？ 接下来就好话了，我们单独把 a， 根据对数的性质对数的定义， a 不就是 log， 以五为例， m 的对数好， 那 b 的话就是 log 一几为底， log 以二为底， m 的对数，那二分之四的话，不就是 log 以十为底， log 以十为底，咱们就这样写了啊，长的对数吗？ 好，写成这样的形式，写完之后的话，那接下来他让你算什么？一个是 a 分之四，一个是 a 分之 b 嘛，那个不着急啊，咱们第一步。第一步啊，我们用三比一下一就行了，左边相比的话就是二， a 分之四，这个其实好说啊，最后乘个二倍就行， 那右边的话就变成什么？变成了 log m 笔上 log 以五为 d m 写到这的话，同学就不敢动比了。嗯，别着急，咱先写第二部分吧。那肯定是三比上这个圈啊，比完之后 的话就变成了二啊。 b 分之 c 等于 log 以二为 dm， 然后再 log 十，写到这怎么办呀？ 啊，你想想怎么办呢？好说，我们先来看第一部分啊，上边这一行，上面这一行的话，你可不可以换底啊？ 他实际上相当，你看针数是一样的，我们是特别特别希望他这个什么他这个底数都变成 m， 换底换底，倒过来以时为底换一下啊。嗯 嗯，现在 m 变成了底了，然后十变成了这个帧数了，好，倒一下，然后这个分母的话，实际也一样， log 以 m 为底，然后五分之一， 然后经过处理以后分之一分之一，这样相比最终的话，我们就得出来怎样一个呢？得出来这个 logg emvd 十的对数，分之多少分之 logge emvd 物的对手。送到这的话，同学还不放心。那继续看第二部分呗。第二部分的话继续同样的处理啊，就是 log 分母啊， log 以 mvd 实的对数，然后这个分子呢，分子的话就变成了 log 以 mv 第二的对数。现在一和二可以相加了吧，相加以后的话，你发现分母是一样的呀，分母的话就是 log emv。 第十， log e m v d 二，再加上 log e m v d 五，现在很简单了吧，然后 log e m v d 二乘五，然后 log e m v d 十，这个一比不就是最后答案是一吗？所以呢，第一题这个答案是一， 答案是一吗？不是，你刚刚算的是二， a 分之 c 加上二， b 分之 c 等于一，但是人家问的是 a 分之 c 加上 b 分之 c， 那当然等于二了，左右两边得乘 多少？得乘二倍才行。所以答案上千万不要算到这，直接写一写二的啊。终于到了最后一道题了，数学竞赛的一道题， 好像是一五年还是一六年的一道题啊，肯定有一定难度，但是也不是说你就做不出来。嗯，现在来看吧，先看这个 p 和 q。 嗯，那这样我们还是记这些，总体呢，他都等于多少？那不妨还记为 m 吧。啊，就记为 m 啊。 gvm 的话，现在就转换俩转换成指数的形式好了。 p 的话，他就等于九的 m 次方。这个都能看出来啊，九的 m 次方，然后 q 的话等于多少？等于十二的 m 次方？ p 加 q 呢？ p 加 q 的话，它是等于十六的 m 次方。所以说嘛，这三点我们马上就会得出来这样一个式子。所以说， p 加 q 不就相当于这个九的 m 次方，加上十二的 m 四方，等于十六的 m 四方嘛。写到这的话，肯定是大有用途的，这样一个圈一这个式子，但是有什么用处？你要看问题啊，问题的话，他写的是这个 q 比上 p， q 比 p 的话，实际上带入以后，他就是十二的 m 次方，在比上九的 m 次方，稍微处理一下啊，就变成了这个九分之十二的 m 次方。九分之十二实际上相当于多少？相当于三分之四嘛。啊，写到这一步， 所以说圈一圈，所以我们这个圈应该往哪部去画呢？尽可能的让他出现三的 m 次方和四的 m 次方，那现在目标就明确了，好说，所以九的话肯定要写成三的 m 次方的平方吧，这个一看就能看出来。 然后这个十二的话，我们不妨先写成三乘四，根据指数运算法则，那不就相当于三的 m 次方，再乘四的 m 次方， 十六就好说了，十六的话就是四的 m 四方扩出的平方。好了，那接下来这一步怎么办呢？接下来别忘了啊，最关键的一步来了，左右两边 同除同除四还是同除同除三的 m 次方啊？因为你分五部分是三，那同除三的 m 次方，同除三的 m 次方的平方，第一部分就变成了一，第二部分的话就变成了三分之四啊， 好，就是我们要的这个结果，那下面这一部分呢？那右边的话就变成了三分之四 m 次方，最外头有这样一个平方了，变到这个结果，其实我想说的是，最终答案几乎都已经出来了， 你要求的不就是最终这个 x 的值吗？现在呢，我们把这个圈一带入圈里头，你看最终结果是不是很快就出来了，就变成了这个 x 平方，他就是 x 平方，然后一向啊减 x， 然后再把一移过去，不就是减一吗？等于零。这个方程太好算了，用判别式法吧，但是它等于 b 方，减四是等于五啊，肯定是有两个不同的结。然后呢，这两个结我就直接套了啊，它是等于一加减根号五，其中我们发现这个二 分之一加更好，我二分之一减更好，我一正一负，所以最后结果究竟是正还是负啊？请大家告诉我，肯定是正，为什么呢？对数，他必须要求真数，屁大于零， 这个 q 呢，也得大于零，两个大于零的数字相比较，肯定是正数吧，我们必须取正数，所以看右上角，经过分析以后，既然 p 和 q 这两个真数只能是正数的话， 所以说最终结果 q 以上 p 等于 x， 肯定是个正的。正数的话，我们就取二分之一加根号五，所以横向填的是二分之一加根号五。那么对数运算你应该学会了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下节课再见。

好，接下来补充一下对数的这几个性值。对数的落个以 a 为几，一是等于零的，这里话随便换哪个数字都可以落个以二为几，一是等于零，落个以三 以一，这个也是等于零，落个一一，这里的话一也是等于零的。这个是怎么来的？就是把对数给写成指数，那是二的零次方是不等于一，三的 零次方是等于一，这里的话，一的一的零次方是不是等于一。这几个性质是掌握的，用的频率比较高，所以的话，另一个落个以外为底， a， a 是不等于一， 一啊，这两这几个乱一是相当于是落个以一为点，一是等于零，这个的话是仅写成这个要坏，这个乱一是等于一 也是一样的，就是跟这个把这个底改写成 e， 落个以 e 为底， e， 你看这个是不是我们是不是习惯，记住就是乱。 以易为题，这个是记作论的，所以这个数字就记作论义，照样是等于一的。这几个知识点 是要记记下的。接下来我们看一下，看几个公式，看一下对数的第一公式，对数中的 乘法就是加法，落个以 lv 的 m 乘安是在以落个以 lv 的 m 的对缩，加上落个 eled 的对缩，这是这个公式是比较重要的。 好，就按照这个公式来做一下这个题，这个公式是可以推导出的，你把对数改写成指数就给推出来了，推过程我就不推了，记一下公式就可以了。好，看一下简单的例景几，就用对数的形式 对数的。看到了加法是不可以写成乘法，只要底相同的，所以这个式子五跟五底是不相同的，所以对数的加法就可以写成乘法。落个与五点三加上落个 以五为点三分之一的对数，是不是对数的底是相同，加法就可以变成乘法，那若个以五为点，那三乘上 三分之一，那这个数字就等于六个与五点一，这个的话就等于零， 答案最后就等于零，这个就是这个公式的应用。那后面我们学过，如果出现这种落个什么以为底 这里的话，什么 x 加一，这里的话，再加上落个什么已为的这个 y 减一，这种式子的话，以后也可以和平出来，等于五倍 x 加一乘上 y 减一， 到后面写部分方程类似的会用得到，就是这个公式。好，下面在 接下来再看一下对数的第二个除法公式。第二个公式，诺格以 a 为底， a 五 除 n 的对数是等于落个以外为底， m 的对数减掉，落个以外为底， n 的对数。好，这个样的对数的除法就是减法，乘法就是加法，但是要注意底是相同的才能可以用好这个题，就用这个公式做一下， 好，看一下我们就直直直接做了。你看落个这个是不是以三为几，这个是不是以三为几？你看对数的除除法， 减法是不可以变成除法啊？是不是这个就可以直接写成落个以三为几？是五除上十五是不是就可以了？这个是不是就按了下面是不是加上 第二个，你是不是也是一样的落个一个为几，是不是六除上三是不是就完了？这个式子是不是刚好这个写成落个以三为几， 这个的话，一除是不是除了三分之一，三分之一是会写成三的负一次方，是不是再加上这个除，这个是不是除了二落个一个为点，二的对数就是一，这个的话， 后面的话公式马上就会下，公式会讲到这个的话三的负一次方，这的话对诉中的这个指数中，这个是可以提到最前面的，可以把负一提到前面， 那这里变成落个以三为零，三的对数，这边以二为一，二的对数就是一，以三为零，三的对数也是一，所以这个就是算的负一加一还是算 的理啊，这是这个公式的应用。好，对数的话，公式三落个以 led m 的 n 次方，这个 a， 你看了对数中的这个 n 的指数是给提到这个位置的， 下一个，你看样子这个是以 a 为底， n 次方，你看这个公式就更简单了，就是落个以 a 为底， a 把 n 提到前面，这个落个以 l 为底， a 是不等于一？ n 乘一是不是等于公式就很简单了？ 好，接下来就应用一下这几个公式啊，看一下利时机 几落个以十为几，零点零一的对数，那的话我们是不是可以写成落个，这个是以十为几，以十为几， 你这个零点零一是不是要写成十的倍数了？零点零一是不是刚好算得十的负三次方？ 这个的话看不出来的零点零一是不是一千分之一，一千分之一是不是十到三次方？分之一，十到三次方是分之一，是不是写成十到负三次方，所以这个落个这个零点零一个写成 落个以十为点，十到负三次方就可以了。下面另一个落个这个的话，你看 这个是不是一百，一百我们是不是给写成十的平方？这个话是不是开五次方？如果看不出来，我就先写成一百开五次方，开五次方就是五分之一，一步步的来，好，再 加上落个以一为顶，一开一个根号就收到分别去次方，好，再加上落个以三为顶， 这个的话，二是七，是不是写成三的三次方？因为底是三，你尽量的话，把它凑成三的一个次方数好消，这个九是不会写成三的平方的。再二次方，那是不是就四次方？是不是就可以了？好，这一步一步的花钱， 这个落个与时为敌。因为我们是不是学过公式落个啊？就看一下上面这个公式，你看这个的话，是不是可以把负三往前面提了？ 这个 m 的根次方根是不是把负三往前面提，负三往前面提底是十，这里是十，是不是剩下个一？所以就像 负三乘一，就是负三就完了。下面另一个式子可能看不出来，落个以十为底，这个的话，把一百可以写成十的倍数，是不是十的平方？十的平方再乘五分之一，是不是有十的五分之二次方？ 一百的五分之一次方，这里话可以写成十的平方的五分之一次方是不等于十的五分之二次方。 蜜的蜜可以的话，这次数可以写成密的，这两个相乘一乘就乘到十的五分之二次方。好，再加上这个的话，刚好只做是可以往前面提，可以写成二分之一百落个 论一是吧？后面这个数是不是写成落个以三为零，这两个用同理数面相乘， 底速变指数相加，那就是三的其次方就完了。好，最后就直接把答案写出来了。负三加上 八五分之二，往前面一提，这里话落根以十为几，十的对数就是一，八五分之后往前面一提就完了。下面这个论一就是一， 一样的，是不是就出来了？下面这个是把七往前面一拿，那是个七倍，莫等于三位减三是不是等于七，是不是出来了？就把这个单的话简单的化解一下。这个三加负三加七是不是四啊？二分之五加五分 之后通下分是变成十分之，这里是十分之四，十分之五是不是十分之九，所以最后等于四四又十分之九就可以了，可以写成这种带分， 所以可以的话再通一下时间，十分之四十九都行。好，这是这个题，这一个题的话就是这个公式的应用，这个公式的话应用的频率是点高的，可以看一下。好， 接下来来看一下六十二，六十二的话也是针对上面那个公式的应用，这个题的话比上面这个题还简单了一点， 好看一下这个落个以二为几，这个看不出来的。先把第一步四是不是写成二的平方的，其次下面是不是乘上二的五次方， 是不是第一个式子，第二个式子是不是加上落个以三为几？二十七是会写成三到三十八九 是不可以写成三的平方的五次，然后这个的话就用指数的性值把它做一下就可以了。落个一个为几二的平方的七次，那就呃， 过七是不是十四，那这里的话就变成二的十四乘上二的五次啊。后面这个式子落的以三为点，这个是不是三的平方？这里是三的平方的五次，那就是二五一十，那就是三的十四， 这里是三到三次，这里写错了。好，这里纠正一下。好，最后的话把这两个合并一下就可以了。落个以颚为底，这个的话是同理。送一相乘，以宿便，指数相加，那就饿到十九次， 再加上落个以三为几，三的，这里三加十，那就三到十三次， 是不就完了？这个的话把十九是不用对数公式，把十九指数往前面提，落个二二，刚好是一，就抵消了。后面这个样的，把十三一提，这里就加上十三，最后答案就十三加十九，那就是三十二。好，这是这两个公式的应用。

啊今天考数学符号第一个龙龙哥对数排数啊。这个简单哈哈哈送分点五等于侮辱我吧哈哈哈哈垂直哈哈哈大于等于。有点侮辱你了。哈哈哈好哈哈哈 是不是多写了一次哈哈哈大于等于哈哈哈哈哈哈横等。对确实很等平行对了 这是什么高中的吗焦焦急是是的高一的应该是 两个衣服。看上面的解释一下不是看四点二一。哦两点两点是什么点点数 哈哈哈哈哈哈循环点。对循环点。因为对所以所以。 哈哈哈哈哈哈哈哈哈不知道哈哈哈。 嗯错了哈哈哈我都忘了。我知道我忘了毕业好多年了。过分了我不知道吧。比例对这是比例 静思对的静思过分了啊哈哈哈这个不是一直用吗。表哥你没有求和。对了，求和约等于这个简单 正眼接近送分题。这也是送分题？送分题啊。这就不告我了啊。 就是哎我忘了我丢。哈哈哈无穷对对无穷。这是正比鱼。这挺好。这是集合的属于对的。这是可靠呀可靠。 这个是。完了完了。呃你是表演系的是吧。嗯哦表演系的。没掀过高速啊。分对积分 不应该是我知道的东西不是你应该知道极限。对啊极限。这 见我哈哈哈。这小学数学凑十法哈哈哈。凑十不在九九年义务教育范围内啊。九可以分为二合多钢了。哈哈哈我忘记了但我是记得我学我忘了。哎呦 毕业好多年了吧。哈哈哈哈你毕业你毕业我不说话了。你毕业几年了。留给评论区的课后作业哈哈哈。

单招数学这三种常考的定义预示题一定要掌握。咱们看这个第一种啊，第一种是根号下的，根号下的东西永远大于等于零，也就 x 加上一大于等于零，然后一个去 x 大于等于负一，你看这个 b 和 c 选项，他都有这个负一，选哪一个呢？选 c， 因为这个是中国号，中国号就是小于等于，还有大于等于这个小框呢，就是小于或者大于，用这个小框 再看第二种。第二种的话是用零次方，还有这个分母的零次方。记住了，括号里面不能为零，也就是 x 减三不等于零， x 不等于三。然后再来看这个分母，如果是这种形式，这样的话，就让 x 减二不等于零就行了。但这块底下是个根号，根号的话让它大于零就 ok， 也就是 x 减二大于零， x 大于二，也就是 x 大于二，且 x 不等于三。选 a 选项， 咱第三个，这个呢，是对准函数形式，对准函数要记住帧数部分必须大于零，也就是这块啊， x 加上二大于零， x 大于负二。那这道题直接选 c 选项，你听懂了吗？

听说你同学的朋友想成为学霸，那就让他来瞧瞧吧。你知道下面这两个数字的差异会导致有人游泳后眼睛变红吗？要回答之前，我们先要有个方法 来处理很小或很大的数字，这就引出了对数的概念。那么对数是什么呢？把我们把 b 当做是底数，然后其他的 p 次方就像二的三次方那样，结果等于数字就得到一个指数方程。十 b 的 p 次方等于。在这个例子里呢，二的三次方就等于吧。 所以说，指数屁，就算那对数同学有点意思都没，那咱继续。通常我们会写坐漏各一笔，未抵数的能等于聘。这堆东西要变得令人头大了，我们还是用例子来解释吧。 如果以十作为底数的一个万岛鱼，这个问题也能用指数的方式来问，使的几次方式一个万呢？ 使得四次方式一个弯，因此，以时作为底一个弯的顿数就是四啊。这个例子也可以很简单的用板砖的计算器来算呀。以时为底的顿数在科学里面透的太常用了，所以大多数计算机都会有这个按钮哦， 有同学就说了，计算器都可以帮我算对数了，那我还学个锤子啊哈，这就要提醒一下，对数按钮就只能算以时为敌的对数，嘿嘿，失策了吧，同学，那我们继续了。如果你想进入电脑科学的世界，用道 以二为底的对数怎么办？比如说，以二为底六十四的对数是多少？还没吸收是吧？那我们继续吧。我们换句话说吧，二的起次方是六十四，嗯，用手指说一下， 四，八十六，三十二，六十四压为底，六十四的队数就是六呀！这个游泳后只在某些泳池，我的眼睛会变红，有几 跟毛线关系吗？你别急啊，听我说，这就关系到对输在化学里的妙用了。计算溶液的 ph 值只会告诉我们溶液的酸碱性公式是 ph 等于减楼更是埃及加。其中括号内的 h 加是氢离子浓度， 我们可以轻易用计算出氢离子浓度。还记得上面这两个数字吗？他们偏爱去吃。 按下去这两个数据对数，再加上符号，你会得到值是七点四和八点四。因为眼泪的 ph 值大约是七点四，所以氢离子浓度是七个零及三九八的溶液 对我们眼睛刚刚好，但 ph 值八点四就会让你的眼睛又红又痒。看吧，对数是不是很好记？以 b 为敌人的对数视频，相当于在小 b 的几次方会深远， b 的几次方会示恩呢，嘿嘿。所以现在你了解到对手的威力了吗？他的用处就是在御处里很大或很小的数字哦。本期专用眼泪，比眼药水好用，如果感觉自己快下了，那你就哭出来吧！关注本派某，每天学习一个小知识哦！

好，接下来两种重要的对数来接，接着看。接下来两种重要的对数 叫做常用对数，以十为底的对数， 以时为底的对数称为常用对数，这个常用对数比就是 log 以时为底的 n。 注意，这个对数因为非常的常用 啊，非常的常用，所以每次都是以鞋以时为底，就很麻烦，所以我就既做注意。 log n， 你看，由于他用的 很多很多，对吧。用的非常的多，这两个对数用的非常的多，那么我就每次都写底数，是不是很麻烦，所以我干脆就把底数省略了，但是底数一省略，那么我怎么表示他和原来的对数不一样呢？我就把这个欧也省略了，就是 l g。 嗯， log n 就代表的什么以时为敌的对数啊？能看到啊。 log n 就代表的以时为敌的对数啊。好，再看一遍。这个 l g 怎么写？ log in l g log n n 是正数， 明白 l 级是什么？ l 级是前面的符号，他就代表的是哪个表达？是啊，他就代表的是谁啊？ 我拉长一点，哎，这个拉不长，只能放大。他就代表的是什么？他叫代表是 log 那个以实为底的。嗯，是吧，他就代表的是那个以实为底的。注意一下， 写在这啊， 他就就是那个。这两个，这两个表达是是什么一样的， 是吧，以实为底的。你就是老根啊，就为了我们的方便呢。书写啊，为了方便书写好，这是一个 啊，老根好。还有一个叫做自然对数，自然对数呢，我们要引入一个五里数，这个五里数叫做一 一跟派一样啊，很重要的一个物理书，这个物理书至于怎么出来的。呃，我们待会就今天，估计来不及了，我们明天我们看个视频啊， 这个五里数怎么出来的？二点七一八二八，你就记住这个数啊，是一个无限不循环小数一约等于二点七一八二八，二点七 啊，二点七八二八，这是一个自然对数，这个，这个数，这个数也叫做欧拉数，欧拉，知道吧？ 欧拉是一个大数学家，非常厉害的数学家，晚年双目失明，他还能算数学，对吧？他全是心算，对吧？那眼睛都看不见，就凭脑子心算啊，对吧？欧拉，那么这个数也叫做欧拉数啊，二点七八二八， 那么这个数是我们在现实生活当中，就是在自然界当中，也不是现实生活，在自然界当中我们出现非常多这个数，好，那么比如可以说是， 所以我，我们要最好要看个视频的，就更更好一点，对吧？看个视频算今天时间关系，今天时间关系， 然后，然后呢？比如我们的那个螺线，就是大家知道吧？海螺的那个 那个螺线啊，这样那个螺线，那么他就其实生成这个里边就有欧拉数，还有就是一个利率，利息， 利息的问题，不断的去利息，去无限循环，那么他最后也是无限，毕竟有拉数，等等等等，有很多很多，所以这里边我们现在我讲可能没有没有那个视频讲的清楚啊，所以 我们反正大家先记住，这是一个非常重要的一个五里数，叫做二点七一八二八啊，好，然后如果以一为底的对数， 就是 log， 以一为底的对数，好，那么我们也用的非常多，那么我， 我不能再写成罗印恩，嗯，那个恩了，所以我们写成罗印，罗印恩，罗印恩， l n l n， 看到没有？ l n 啊，所以， 所以大家看一下啊，就是相当于这样的一个，就是 log log 以一，这个一是二点七八，二八是一个五里数。 log 以一为底的 n 等于什么？ 我们可以写成什么？ loying ln 啊，这个 l， 我，我习惯了 loying， 就有个这个，其实应该是这样的 ln， 对不对？ ln 啊，注意啊， ln 啊， 呃，我，我很多很多次啊，我教那么多年，就是很多同学都一开始就 ln， 他喜欢型， 这是什么？这印对吧？不是 in 啊， ln， 而且这个 l 是小写的啊，明白， ln， 那么，呃，基本上很多老师都都喜欢这个 l， 就这样，我也，我也喜欢这样 ln， 对吧？这个字没问题，但是你不能写成硬啊，注意啊，不能写成硬，是 l 是小写的 l。 独坐罗隐恩啊，明白，独坐罗隐恩，好，所以前面的独坐什么？ log in， log in， 对吧？哎，那么 log 和 log 也有为底的什么？我读的都，如果我把那个 a 省略，我直接说 log n， 那么就相当于是 l 级 n 就相当于。默认底数是几啊？ 默认底数是几？默认底数是十，如果我不说底数，我就说 log 二十五， log 二十五就说明是 log 以十为底的二十五，明白吗？如果我说 log 以二为底的二十五，那么就是底数是二，对不对是吧？好，如果我说罗因，嗯，那么你就默认底数是一，这个一约等于多少？二点七，一八，二八， 对吧？二点七左右啊，这个数好，那么这是两个重要的对数啊，这两个重要重要的对数好。

各位同学啊，在上个视频，我们和同学们讨论了指数的性值，那么这个视频我们将和同学们讨论对数，也就是老。首先这个视频的第一个部分，我们先来看看我们要如何找出在对数里面的未知数，那么我们要解得出像这样子的题目，我们就要在题目上画一个类似于大于的符号，但是我们是从下画到上， 以 d t 为例，以三分之二为底数， x 的对数是负三。首先我们要画一个好像是大于的符号，在这个题目上， 接下来我们就根据我们画的这个符号，把式子写成三分之二的负三次方会等于 x， 也就是说 x 会等于三分之二的负三次方 好。根据上一个视频，我们知道，当我们看到负指数的时候，我们就要将底数写成它的导数， 也就是说分子三的三次方会等于二十七，而分母二的三次方会等于八，所以 x 会等于八分之二十七。 好。来到第一题，现在未知数在底数的位置，同样的，我们也在题目上画一个像是大于的符号，那么根据我们画的符号，我们可以将它写成 x 的二分之一次方会等于二十五。 那么既然的 x 现在有一个二分之一次方，所以我们将两边都开平方，我们就可以找到 x 的值，也就是 x 会等于二十五的平方，也就是六百二十五。 好，来到第三题，当我们看到这样子的题目的时候，我们先将这串数字设为 x， 然后我们也在这个式子上面画一个相同的符号，那么我们 就可以写成五分之一的 x 平方会等于五的根号五，那么当我们看到这样子的四指的时候，我们就将四指的左右两旁都写成以底数为五的一个次数，那么五分之一的 x 平方，我们就写成五的负 x 方， 而五的根号五，我们就将根号写成二分之一次方，也就是五的一次方乘上五的二分之一次方。那么根据上一个视频，我们可以知道，同底相乘，指数相加，也就是说五的根号五，我们可以写成五的二分之三次方。 那么在这边既然底数一样，所以指数呢也会一样，所以负 x 会等于二分之三，那么 x 就会等于负二分之三。接下来来到第二个部分，我们来谈谈基本的指数的性质。第一，以任何数字为底数，那么一的对数都会是零。 再来，如果我们看到下面的底数和上面大的数字是一样的时候，也就是这样子，以 a 为底数， not a 就会等于一。 接下来如果看到一个这样子的形式，也就是以 a 为底数，然后我们要找出 b 的 n 次方的对数，以这样子的情况，我们就可以将那个指数 m 移到最前面，让它变成 m 乘以 low a b。 以这个为一个例子，当我们遇到这样子的情况的时候，我们可以将这边的四十九换成七的平方。 好，接下来我们就可以将七上面的指数二移到 log 的前面，然后让它们相乘。 最后我们来谈一谈有关一道相乘或者相除的情况，以这样子的情况相乘，我们就可以把他们相加，而相除，我们就可以将他们相减。以上 来说， low a x 乘 y， 我们可以将它写成 low a x 加上 low a y， 而下面 low a x 除 y， 我们就将它写成 low a x 减 low a y。 好，以这边为例，以二为底数，我们要找出九十八的对数，那么我们可以将九十八变成四十九乘二。 好，接下来我们就可以加四十九和二分开，也就是让它变成 not a 四十九加上 not a a， 从上面我们可以知道 not 二四十九会变成二乘以 not 二七，而以二为底数，二的对数就会是一，所以这边我们就可以将它写成二乘以 not 二七， 再加上一，最后我们来到 not 五十，那么如果这边我们没有标记底数的话，也就是说底数为十，那么五十我们可以写成一百除二。 好，现在我们将一百和二分开，也就是让它变成绕一百减绕二， 那么一百是十的二次方，所以 low 十的二次方就等于二乘以 low 十，而 low 十就会等于一，所以二乘以 low 十会等于二，所以这边我们就可以将答案写成二减 low 二。 好，这个视频我和同学们分享了一些我们要如何找到对数里面未知数的方法，也讨论了一些基本的对数知识，下个视频我们会去了解对数更深的知识，我们下个视频见。

看看你会不会！第一题， log 以二为底，六七一零八八六四的对数等于 log 以二为底，二的二十六次方的对数，所以它就等于二十六。正确！ 第二题， log 以三为零，二百四十三的对数，因为三的五次方等于二百四十三，所以它就等于 log 以三为底，三的五次方的对数，所以他等于五。也对了！ 第三题， log 以五为底，三千一百二十五的对数，因为三千一百二十五是五的五次方，所以它就等 等于 log 以以五为底，五的五次方的对数，所以它就等于五了，厉害！ 第四题， log 以三为底，五的对数乘以 log 以五为底，二十七的对数，它就等于 log 以三为底，二十七的对数，因为二十七等于三的三次方，它就等于 look 以三为底，三的三次方的对数，所以他就等于三啊！ 第五题， log 以 a 为底，九的对数乘以 log 以九为底， a 方的对数，它就等于 log 以 a 为底， a 方的对数就等于二。厉害！ 第六题， log 以三为底，五百一十二的对数乘以 log 以三为底，八的对数，是乘以吗？除以 log 以三为底，八的对数，所以它就等于 log 以八为底，五百一十二的对数，因为五百一十二十八的三次方，所以它就等于 look 以八为底，八的三次方的对数，所以它就等于 三。太棒了！第七题， log 以三为底，十七的对数乘以 log 以十七为底，三的对数 log a 为底， b 的对数乘以 log 以 b 为底， a 的对数，不管 a 和 b 等于几，它都等于一了。这道题的答案就是一 这，但是这里面你有错误， a 和 b 不能不管是题，除非 a 和 b 是零或者负数对，负数和零，无对数对。 第八题， log 以十五为底，七十五乘以三的对数，七十五乘以三是二百二十五，所以它就等于 log 以十五为底，二百二十五的对数。因为二百二十五升十五的二次方，所以它就等于 log 以十五为底，十五的平方的对数等于二。哇塞，全挣钱了你。对呀，厉害厉害，太棒了，全对耶耶耶。

同学们好，我是董老师，今天我们来讲对数的运算性质，之前我们已经把指数以及对数的概念已经学习了， 我们先来回顾一下我们之前学习的一个内容，对数的定义是怎么定义的啊？在这里面我们是如果 a 的 b 次方等于 n 啊，相当于是把这个指数 b 解出来，得到绕 a， n 等于 b。 好，上节课还学习了一个对数的几个重要结论啊，落个 a 一横等于零，落个 a a 横等于一， 以及 rap a 的 x 方的 x。 注意这几个结论里面，或者说我们在对数里面，这个底数 a 一定是大于零，且不为一的，不 可能小零，这是第一个。第二个，这里面 n 一定需要大于零，这是我们上节课学的一个内容，那指数的应算性质啊， 今天还有第四个结论， a 的 log a x 方式等于 x， 特别是第四个性质，用的频率会稍微高一点，同学们在用的时候一定要注意啊，一定要注意。 再来回顾一下指数的运算性质，第一个从底和指数面相乘，底数不动指数相加， 第二个直接是区括号 mn 就行了。第三个同底的啊，指数相除，底数不动指数相减，这是第三个，就是我们之前学习一个内容啊，那对数的运算性质会有什么样的运算性质呢？ 他跟指数有没有关联呢？因为我们之前在学习带对数的时候，其实对数就相当于把指数解出来，相当于解方程一样。好，我们来看这么一个问题，正面是 alo 个 a m 等于 mlog， a n 等于 n， 是用小 m n 表示 l a m n 以及哎，这三个数啊，以及这三个数来，我们来看一下。 首先他给了条件，因为我们对数刚学如果不清楚，我们上节课说过，通通先把它化成指数再说。 正面第二条线，我们得到 a 的 m 式方案需要等于大吗？后面是 a 的 n 次方案就等于小 n 啊。你现在是要求落个 a m n， 那我们先来乘 m n 再说。 我们 m 是等于 a 的 m 次方，全以 a 的 n 次方就等于 a 的 m 加 n 次方啊。 然后对这个进行取对手税，落个 a m n 稍等于落个 a a 的 m 加 n 次方啊，跟我们刚刚的结论之一正好可以匹配，稍等于 m 加 n 好， a a 的 m 减 n 次方需要等于 m 减啊， m 减 n。 再来看 d 重量 m 的 n 次方 n 次方，那说明说 a 的 m 的 n 次方需要等于 m 的 n 次方，等于 a 的 m n 次方 c 你那个 a m 的 n 次方说的 a， 那个 a a 的 m n 次方是等于 m n。 因此这里面咱们已经就计算出了落个 a m n 是等于 m 加 n， 后面相除的话就变成相结，这个密的话就变成相乘啊， 这是正面的，那我们可以根据这个来总结一下证明的这里面的一些运算，得到的运算，我们可以刚刚知道 red e m n 说等于 m 加 n 啊， m 加 n 说等于 logo a m 加上 log a n 啊啊，同理，如果 log a m 除以 n 说等于 m 减 n 等于 logo am 减去 logo a n， 后面的 logo am 的恩词方案需要等于 n 倍的 m， 可以改一下 n 乘以 logo a m。 这里面我们就得到这三个结论，三个酒量，这三个酒量，只要他是有意义的，那么我们后面就是这个三个结论，就是一定成成立的啊，一定成立， 一定成立，所以 m n 一定要大于零，因为首先得保证真数要大于，所以这里面要标下 m n 大于零，这个就是我们这里面 对数的三个最重要的运，运算性质。最重要的运算性质，同底的对数，或者我们看同底的对 倍数相加减，底数不变，真数相乘除。你看加法变成乘法，或说乘法变为加法，正面减法就变为除法，所以乘法跟加法对应，除法跟减法对应，密跟乘法对应，你看这面是相当密的意思， 跟乘法相对应的啊，所以我们这里面就能得到。哎，我们稍微总结一下他的一个运算性质， rap m n 这么多相除的话就变为相结啊，指数密的话就变为相乘，变为相乘啊，你看正面相为， n 要放到前面去，放到前面去就行了，就是他的一个三个运算性质。 我们稍微来对比一下我们之前学的一个指数运算性质，还有对数运算性质，看一下他们之间有什么区别，有什么联系， 来看一下。第一个，你看同底的指数相乘，顶数不动，针对，就是在正面，是指数相加，对不对？你看那正面说相反过来了，这个相乘也是变为相加，正面相除变为相减，那正面相处也是变为相减。 正面是密的意思，那正面变为相似，所以他既有联系，他其实很像的，那前面就是他的一个利利， 就是他这里面包含了一个内在联系，是有有一定的联系的啊，在这里面一定不要产生以下的错误啊，我们一定要对照，就是在对数里面乘法跟加法，哎，你把它合起来就变成把它分开就变为加，你看前面的合 起来说变为乘，分开是变为加，如果合起来是变为除，那分开就变为解，对不对？一定不要搞混了，有的时候刚学的时候，有的同学会学这样的， log a m 加 n 等于 log a m 加，这个东西是不对的啊，后面的这个也不对， 这几个通通都不对的啊，通通都不对，不要产生以下的错误，四个都是错的啊，好，我们来看第一题是用 log a slog a ylogag 来表示下列各式 来，我们看第一个，第一个落个 axy 除以 z。 我们刚刚说了，除法就应该先，如果你把它写成两个对数的话，你你就应该变成相减，所以这里面说落个 axy 减去落个 aj 啊，好，那后面 绕个 a x 八又可以变，这里面是里面相乘，你把它分成两个 logo， 那就是两个 logo 相加，因此这里面是 logax 加上绕个 a y， 减去绕个 a z。 几位所求。你从这样的形式就表示出来了啊，这是第一个，第二个，同理，我们也可以先把它看成相处的形式啊，正面说相当相当于 loga x 方乘以根号外啊， 减去落个 a， 这个啊，刚好三次，那就这个三分之一次方吧啊。继续，前面是乘，把它分成两个落个，就是变成加了，说落个 a x 平方，加上落个 a y 的二分之一啊，然后减去后面利用前面的性指数，三 分之一落个 aj 啊，好，前面也可以说等于二，落个 ax， 加上二分之一落个 a y， 减去三分之一落个 aj 啊，好， 因此第三个我们就可以写成这么几个 log， a， xlogayloga， 这这样的形式来处理啊。这是第一个例题， 我们继续来看这个练习，他说落个二等于 a， 落个三等于 b 啊。同学们还记得这个 logo 是什么意思吗？是以多 多少为底吗？我们在之前学过常用对数，这个是以十为底的啊，这个是以十为底，他现在要表示 rap 十二。其实这个东西就像我们小学学的英式分解，就把十二表示成几乘几乘几这样的东西。 很明显你现在落个十二，你说得改成落个二加落个三这样的情商。那十二数等于二乘二乘以三，说落个二的平方乘以三啊。 把它分成两个 logo 的形式，说 alo 个二的平方加上落个三。前面有个本，大家说二落个二加上落个三，因此他可以写成是二， a 加 b， 正面是 a 加 b， 这是一种写法，这是一种写法，另外一种写法。我们直接可以利用指数的性质来算啊。指数的性质，这里面我们先可以， 我们可以怎么办呢？先把指数化，先把对数化为指数，我们正面可以得到十的 a 次方式等于二，十的 b 次方式等于三。我现在十二次等于多少，对不对？ 就等于四乘以三呢？就等于二的平方乘以三，因此我们都得到十二，就等于十的 a。 四方或二的平方乘以十的 b 之方，就等于十的二 a 加 b 啊。二 a 加 b， 那现在要表示那个十二，所以就是那个十的二 a 加 b 式方式等于二 a 加 b 啊，也可以这样来啊，也可以这样来，两种方法都行， 一条，这是一个计算，这种计算是我们刚开始学对数的运算的时候必须要掌握的。好，我们来看一下啊。第一个落个二六，后面是落个二三， 把它合并起来，那就是落个二六除以三，需要等于落个二呀。落个二，这个很明显是等于一的 一个。第二个，第二个啊，这里面是第二个啊，第二个也是同底，也是同底，所以呢，这两个合并起来，这是加号，就变成成了，所以落个五三乘以三分之一，说等于落个五一啊。而我们前面说了，说过落个 a 一横为零，所以他是等于零的啊。 成立第三个 blog， 二正面是四个七次方乘以二的五次方，我们尽量把它写成二的多少次方，这样的显示 四的七次方的时候，可以改成二的是四次方的乘以二的五次方，所以这里面说等于落个二二的 十九次方啊。根据前面的性质，这里面是十九前面的结构。你看，这是第三题，总理第四题正面。哎，就要搞考虑清楚，十的三次方减去十的平方 等于多少呢？十的三次方减去十的平方，需要等于一千减一百啊，这相当于六九百呀。九百， 这个题怎么来的？咱们可以改一下，说相对那个九乘以一百，说等于那个 九加上落个一百啊。好，整理一下，落个九九其实是三个平方，所以是落个三的平方，后面落个一百一百其实是二的十的平方，所以后面直接加二就行了。最后再写一下，就等于两倍的落个三加上二就行了。 对，这里面选第四个啊，这已经是最简啊，这已经是最简的了啊。啊。还有第四题也是一个计算性问题啊，计算性问题，我们来看一下这个里面，这个计算 一定要掌握本节课的内容，就是掌握刚刚所所学的一个三个公式，然后会运用这三个公式来计算啊。然后我们看一下第一个原式，原式正面我们看一下 分子十六个，根号二十七，根号二十七是多少呢？根号二十七，说二十七的二，二十二分之一次方，二十七又等于多少呢？二十七说三的三次方，三的三次方案说二分之一啊，因此这里面是三的二分之三次方啊， 所以落个三，二分之三次方，二分之三可以提到前面去，说二分之三，落个三，好，这是第一个。第二个落个八，八是等于二的三次方，所以三也可以提到，所以是三倍的落个二啊。这里面的减去三 乘以后面是根号十，根号十，十的二分之一，那个根号十，那不就是二分之一吗？二分之一要学分子就是分子，再看分母，分母时 logo 多少呢？一点二，一点二可以怎么办？挂一下说等于等多少呢？来 logo 十，十二除以十啊，因此我们把它变一下，对于分子来说，二分之三，落个三加上三落，我们可以变一下啊，说等于一个三出来，我说提个二分之三，这个二分之三出来，说二分之三落个三， 加上二落个二，说落个四啊，减去一啊，后面是落个一点二啊。这个分子其实分母其实还可以不动啊。 整理一下，说二分之三，分子，分子是落个三加落个四，后面是一说落个十啊，落个十，落个十好，所以改一下加法，就变成减法，就变除，所以是三乘以分子式，落个三乘以四，除以十。 然后呢？分母，分母还是落个一点二，你会发现上面正好是一点二，落个一点二，所以正面直接等二分之三就行了，直接等二分之三就行了啊， 这是这里面的一个运用啊，这里面的一个运用灵活运用，就是看第二个，就是看第二个。第二个里面我们会涉及到 a 的 logo， a x 或者 ab 会 等于 b， 咱们主要会用到这个公式啊。啊，我们看下第二个原式，正面是三的一加，落个三五，所以是等于三的一，可以改 落个三三，所以是落个三。这面是落个三三，落个三三加起来就落三十五啊，这是十五， 同理，正面可以写成这个四圈，落个二二的四字方啊，所以正面可以四改成多少了？落个二二的四字方需要等于十六啊，十六加三啊，就是变成乘法了，十六乘三，所以是落个二四十八啊。 再来看第三个，第三个是十十的 logo， 三放在前面去说三个三十放，说是二十七，好，继续看最后一个说加上 二的，哎，正面是二分之一，而这里面是落个二，所以咱咱，咱们正面可以改成是一除以一，或者说二分之一可以改成二的负，落个二五 负的，那就相当于二的 logo 啊。二五分之一应有把，就相当于五的负一次方，那就是五分之一了。因此咱们整理一下，只能十五减去四十八，加上二十七，加上五分之一 啊，所以正面得到的正面十五加二七四十二，负六，负六加零点二，所以呢是负五点八，负五点八啊，这是第二个，也是运运用到，主要是运用到这个公式啊，这个公式， 第三个，第三个，我们来看一下，这里面有落个四加落个五，落个二十加上落个五的平方 特别多啊，咱们来处理一下，落个四，后面有落个五乘以落个五，咱们可以先把落个四不动，后面是落 五 logo 啊，正面相当于是 logo 乘 logo， 这两个是不是可以提取一个 logo 出来，提取个 logo 出来说等于落个二十加上 logo 五啊，那这样的话就是等于落个四加上 logo 五 里面是落个二十加 logo 说等于落个一百啊，而落个一百一百是十个平方，因此这里面相当于是乘以二，乘以二啊啊，整理一下说等于落个四加上落个二，放到里面去，五的平方就是二十五， 正面加法，所以落个四乘二十五除以一百，整理下又等于二，因此第三个是等于二的啊，相当于涉及到一个因式分解的问题，或者说合并同类项就是正面。正面还需要说的一句话就是同底的同底的 对数相加减是可以有乘有除的，加法就变成乘，除法就变为减。但是如果这个几个对数相乘，有没有合并的东西呢？告诉你们是没有的，比如说那个 三乘以那个二三，这样的东西是不能合并的，合并不了，这样是不能合并的，知不知道加法只有同底的加减，同底的对数相加减才可以合并，这种乘法除法是合并不了的啊。 我们方法来总结一下方法来总结一下对于底数相同的对数式的化解。常用的方法，相一种是收，将同底的两对数的和差可以收成一个和就变为基，差就变为商的一个对数啊，相当于两个对数就变为一个对数了。 拆正面，将基或说商的对数可以拆成两个对数的一个和或者差。 对数的化简求值，一般是有正用，有利用，当然有的时候主要是对真数进行处理，这个真数到底可以分解成哪几个数相乘啊？这种这种需要我们的一个啊，对于数字的敏感度比较强，当然一般的数字也不会太复杂， 所以不用太担心我这速感不强啊，导致个这个处理不出来，一般不会出现这种情况啊，或者我们考的也不会太复杂 啊。那我们稍微来课堂讲小节，本节课其实讲的就是一个对数同底对数的一个相加减，相加减，那证明，证明的时候，我们其实是利用指数的运算 证明的，毕竟我们对于指数运算，他的一个运算法则还是特别熟悉的。那对数运算的法则就刚刚三个啊，以及之之前我们学的一个这个四个结论，加上今天学习的一个三个运算法则，这是 后面啊，这几个我们需要重点掌握，后面我们还将学习一个换底公式，当然难度是不大的，到时候我会具体来讲解他跟我们初中或小学学的哪个东西很像啊，希望同学们下节课们可以认真听一下。

前天我做了几道对数题，评论区里大家对对数的写法和读法有不同的认识，众说纷云，今天我就分享对数的三种形式，好的。第一种， a 的 x 次方等于 n， x 就等于 log。 以 a 为底， n 的对数， a 叫做对数的底数， n 叫做对数的帧数。 a 要满足大于零，它不等于一， n 要满足大于零，为什么呢？因为 a 已经是一个大于零不等于一的正数了， 那 n 那不管他的几次方，都肯定是一个大于零的正数，所以 n 也要大于零哦。第二种， 十的 x 次方等于 n， x 就等于 log n log l o g 可以写成 l g， 底数十不用写了，不用写了。对第三种， e 的 x 次方等于 n， x 就等于 loin n， e 是一个自然长数，也被称为欧拉数，它是自然对数的底，是一个无限不循环小数。 哦，那他等于什么呀？一等于二点七一八二八一八二八四五九零四五二三五三等等等等等等等等。哦， 无限循环对不对？对三种形式， log 以 a 为底， n 的对数 log nloyn 就分享到这里了。

数学最精华的部分是什么公式？因为有了公式，数学问题我们就可以轻松的解决掉。那有没有一个万能的数学公式，一下子把所有数学问题通通解决呢？还真有，他的确可以让我们一下子解决掉很多数学问题。 你有没有思考过一件事情，数学到底是干嘛的？其实数学就是教你学数的，什么样的数，变化的数，固定的数，有什么好学的？ 变化的才有意思，才好玩。那变化的数是什么？数是函数？那一说到函数，很多同学就开始咬牙切齿，一次函数、二次函数、三角函数、对角函数、指数函数、密函数、偶函数，即函数、证券函数、余钱函数等等等。 你要是没有一点数学思维，你去学这些函数，简直就是让直男去选口红，有区别吗？那为了解决这个世纪难题，一个男人出现了，这个薄就是泰勒，他把所有的函数都用一个基础逻辑单元给总结出来，这个作用实在过于强大，高中老师根本就不敢讲，他讲了 的话，高考压轴题就不存在了。快乐公式非常多，应付高考，记住以下四个核心公式就够。 那为了防止你觉得我在吹牛逼，那随便给你举个例子。比如这道高考压轴题，让比较 abc 的大小 b 和 c 就可以用泰勒展开式得到他们的大概数值。那简化了复杂的运算过程，直接秒杀压轴题。

单招高频计算题，这些知识点你需要知道到底是什么呢？没错，就是这两道题，涉及到很多单招考点，希望大家耐心的听。 第一个已知以二为底，五的对数等于 a 啊，以二为底，三的对数等于 b， 那这个二的 a 加 b 次方，咱可以把它拆成二的 a 次方，乘以二的 b 次方吗？对吧？因为相乘底数一样的情况下，相乘这个密以相加，对吧？然后 这个呢，以二为敌，五的位数等于 a， 这个怎么变呢？记住，把二拿下来当大数， a 拿过来当它的密， 然后五呢，放到这个等号右边，这样就等于五了啊。再给大家举个例子，这个以二为底，三的对数等于 b， 二拿下来当大数， b 过来当密等于这个三，对吧？移过来，你看，二的 a 次方有了，二的 b 次方有了，对吧？那就是五乘以三 等于十五了，这道题就解出来了。再看第二道题，计算八的三分之一次方，减去这个派减一的零次方，加上那个一，对吧？这种题的话很简单，首先把这个八的三分之一次方拿下来，这个怎么变化呢？ 这个就是八，然后这个横杠他变长了，生孩子了啊，变成根号了，三呢，放到外面当这个三层高下。 好，再给大家举个例子啊，这个八的四分之一次方呢，也是八放到里面，这个横杠变成根号了，这个四呢，放到外面，懂吗？那八的二分之一次方呢？他就等于根号八，平时他是不显示这个二的啊，咱默认就没有二等于 三次刚下八，减去任何数，包括套括号的零次方都是一，懂吗？包括零的零次方也等于一，加上那个一帧数等于一的情况下是不等于零啊？我在直播的时候也经常讲这个，就等于二， 二乘二乘二，对吧？然后开三个，那等于二了，对吧？再减去一，加上零等于二，减一就等于一了。这道题 ok， 你听懂了吗？

新招数学这个指数函数对传数的运算换算题。看完这两道题的技巧，学会了就明白了。先看这个二的 a 加 b 次方，二的 a 加 b 次方就是二的 a 次方，乘以二的 b 次方，他们的底数是一样的情况下，相乘就是指数这个密。相加就是二的 a 加 b 次方啊。 咱们要求的是不是这个二的 a 次方和二的 b 次方啊？ ok， 拿下来，以二为底，五的对数等于 a。 二拿下来，当父亲 a 过去当儿子副属赛，等于号。赵超这个五继续移过来，二的 a 次方等于五。再看这个拿下来， 以二为底，三的对数等于 b。 二拿起来，然后 b 移过去，当这个密等于号。照抄三拿过来，是不是你已经得出来了，也就是五乘以三等于十五。这道题直接选四。 d。 再看第二道题，设这个 a 倍的以三为底，四的对数等于二。问你这个四的负 x 方等于几？ 首先呢，咱们照抄下来，以三为底，四的对。说他呢是等同于这个 a 可以上来。这事啊，就是这个系数可以过来当这个帧数的次密，也就是三为底，四的 a 次密。好，你看这个和是不是和这个表 只不过一个负，一个不是负的。那咱们把它换算一下，还是让它等于二。三拿下来，二移过去等于平方，等于这个谁呢？这个四的 a 也是移过来了，等于四的 a 次方。好，四的 a 次方等于九，对不对？那四的 a 次方等于九，那四的负 a 次方不就等于九分之一了吗？对不对？他倒数选二 b， 你听懂了吗？

之前我们分享过手势根号，今天我们来分享一下手势对数。 logo 以二为敌三的对数。这个实际上是初中的压轴题啊，要求求他的前两位啊，大家挑战一下，能不能把前两位给求出来啊。 首先我们大概的去看一下他的范围啊，容易知道三是 大于二，小于四的。也就是说 no 个以二为第三的对数是大于 no 个以二为第二的对数。小于 no 个以二为第四对数的，这个是等于一的，这个是等于二的。也就是说一小于 nong， 以二为敌。现在对数要小于二，那么很容易得到他的低位有效数字。是一啊，是一点几呢？我们不知道，但是我们可以估满一和二 中间不就是一点五吗？我们比较一下这个一点五和 no 个以二为零三的对数的大小。怎么比较呢？一点五乘以 nong 以二为零二的对数，一点五乘以一还是不变嘛。比较这两个的大小， 也就是比较弄个以二为底二的一点五次方与弄个以二为底三的对数次方啊。也就是说比较这两个大小。二的一点五次方于三比较大小呀。两边同时拼方，大小关系不变。 二的三字方和三的平方比较大小，也就是八和九比较大小，八小于九，也就是得到了他们的大小关系啊。 弄个以二为底商量对数肯定大于一点五。如果我们能够证明他小于一点六，那么就可以推出他的前两位数必定是一点五了。怎么证明他会一点六 六之间的关系呢？同样的一点六乘以 logo 以二为第二的对数。我们要比较的是这两个的大小啊，也就是比较 这两个大小。同理啊，比较三和二的一点六次方的大小。我们可以把这个一点六换成整数啊， 五次方五次方不改变大小啊。这边是二百四十三，这边是二的八次方。等于四乘以四乘以四乘以四，等于二百五十六。二百四十三小于二百五十六啊。也就是证明出来的这个， 从而证明出来了 no 个以二为第三的对数在一点五和一点六之间，前两位只能是一点五。 ok。 更多的有趣的数学问题可以翻跟我的合集和转量，关注我，让学习变得更有趣一点。

大家好，我是罗老师。论的含义是什么？论是自然对数的意思，即论 a 等于落个以一为 da 的对数。 好，我们来讲解一下这道题。我们都知道落个以 b 为底 a 为真数，其中 b 代零， 且 b 不等于一，这样一个形式呢，就称为对数。而当底数 b 等于一的时候，那么落个以 b 为底 a 的对数，就等于了落个以 e 为底 a 的对数，而底数为一的一个对数。我们通常不这样写， 我们借助的是罗问 a 啊，来写他的这样一个对数，那这个对数呢？我们就称为一个自然对数，也是咱们对数里面比较常用的一个对数。那所以 我们只要看到罗文 a 就要想到它，底数呢就是字母 e， 而这个 e 呢，大概约等于二点几啊，这个就是罗文的含义，有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。