分数次方怎么算

预备，开始大学数学救命课第五期，今天我们来说一下密指函数的极限的求法，非常简单，题目都像我们面前这个样子啊，核心的核心就一句话，就是一的无穷四方，求完之后等于一 啊。我们看上面这个第一行，当代入 x 等于零的时候，这是不是一的无穷次方啊，对不对？下面这个啊，当 x 趋近无穷大的时候，这是不是一的无穷次方啊？哎，就完事了。所以说第一条，大家牢记，符合一的无穷次方，这个极限就是一，大家背下来就行。 好，第二条，我们仔细观察啊，这里 x， x 分 之一，下面这个 x 分 之一和 x， 所以 说务必有这个互为倒数的关系， 好吧，哎，第三条，一定得是一加上某一个东西的形式，好吧，才能用这个一的无穷四方等于一，好吧，你要么是一加啊，假如说这个三角形，然后是三角形分之一啊， 七完之后等于一，当然了，在这你为了满足一的无穷四方，那就是三角形趋近于零，或者是一加上三角形分之一啊，这来个三角形也是一，当然了，在这你这个三角形就趋近无穷。总之，满足三条，哪三条？第一个，一的无穷四方。第二个 啊，这个里面的这个自变量务必互为倒数啊，就下面的跟上面的务必互为倒数啊。第三个，必须得是一加上某一个东西形式，这三条缺一不可，好吧，哎，那既然这样，我们练几个题试试。 第一个题啊，当 x 趋于零，我们先判断是是不是一的无穷次方啊，哎，符合。第二个，找倒数关系，这两个家伙互不互为倒数啊？ 互为， ok。 第三个，是不是一加上某一个东西啊？是， ok， 直接就是 e 搞定啊。第二个，我们看啊，这是不是一的无穷次方啊？是带入 x 等于零啊，对吧？第二个， 五 x 和五 x 分 之一，互不互为倒数啊？满足。第二条，第三条，有没有是一加上某一个东西的形式啊？满足 ok 又是等于一，好的啊，接着往后来啊，这是整体趋于零的形式，一的无穷啊。是啊，哎，满足 n 趋于无穷吗？ 第二个，这两个家伙互不互为倒数啊？互为第二条也满足前面有没有一啊？有的，所以说直接又等于一就完事了。好，第三条啊，我们看 啊，这是不是一的无穷四方啊？是啊，这两个家伙互不互为倒数啊？互为，哎，前面有没有一啊？有的哎，所以直接就等于一完事了啊，非常非常简单，但是啊，考试的时候未必会这么直接，这么善良，所以说啊，他会有一些变形。我们接着往后看，比如说，我们来看一下这个立体五 啊，首先，我们还是找这个三条性质，第一个，一的无穷次方，满足不满足的啊，带入 x 等于零，非常简单就看出来。第二个，这两个加号互不互为倒数啊，哎， x x 分 之一有，但是后面却冒出个三来，哎，这该怎么办呢？所以我们是给他简单变个形就行了啊，来，我们来看一下， 把它变成这个样子。我们正常来讲啊，你要想用那个啊，最终等于 e 的 那个公式，你这 x 上面必须得是 x 分 之一啊 啊，然后紧接着我中括号外头的三次方就可以了啊，你求这一堆三次方的函数的极限，跟我先求里头的极限，然后再三次方一模一样，好吧，最终结果就是一的三次方，非常简单。好，再看一下例题六，还是啊，这符不符合一的无穷四方啊？符合，那就可以代公式。 你这是 x， 上面只能是 x 分 之一，不能有别的，后面加了个二，怎么办呢？非常简单，回想一下我们初中学的运算性质， a 的 b 四方乘 a 的 c 四方是等于 a 的 b 加 c 四方啊。这个题也是一样的，我们把这个极限变成这个样子就可以了，大家看，底数不变，指数要想相加的话，你这个把它拆开，这就得相乘， 也就是这个样子啊。我们求这一堆的极限啊，跟这个分别啊，求完极限之后再相乘是一样的啊，极限的预算性质决定的也就是这个样子。 ok 啊，前面这一堆跟公式一模一样，直接就是 e， 后面这个东西直接把 x 零往里带，最终相成就行了，最终结果还是 e， 好吧，哎啊，理解七也是一样的，还是那句话，这是不是一的无穷四方啊？可以，那就一定得找到三条，第一个，一的无穷四方。第二个，下面这个东西跟下面上面那个东西务必 互为倒数。第三个，必须得是一加上什么什么东西啊，然后上下互为倒数。好吧，哎，好，那这个东西没有一咋办？我给他凑出个一来就可以了，也就是这个样子。大家看， 我一加上的这一坨，得跟三分之 x 加一完全相等，也就是这个样子。 ok， 这完全是恒等变形了是不是？好，紧接着我上，你这是三分之 x 减二，为了跟公式看齐，你这务必是三比上 x 减二， 好吧，哎，不能是别人啊。好，那正好，我这一坨柿子怎么跟上面那个东西加五凑齐呢？非常简单，一样的道理，直接我这个底数不变 这五次方就可以了啊。好，还是那句话，分别求这两个极限相乘，跟求整个这一坨函数的极限是一模一样的，这一堆的极限是 e， 这一堆的极限带入 x 等于二就可以了，非常简单，就是一，最终结果还是 e。 好 吧，嗯， 那考试的时候还有可能更复杂，比如像力 t 八和力 t 九，这个样子还是一样的啊。我们先找这种秘制函数的形式，有没有一的无穷四方啊？有的， n 去均无穷大的时候很简单。 第二个啊，下面这个玩意跟上面那个玩意务必互为道数，现在互不互为道数啊？不会道数，那不会道数咋整？不会道数我们就想办法。你这是 n 加一分之一，那我下面就想办法给你变出个 n 加一出来就可以了。好吧，哎，具体咋变呢啊，大家看 好就是这个样子， 这不要动，加上，哎，符号给它拿到分子上去也就是这个样子。 好啊，你这里是负一比上 n 加一，注意同学们啊，我们原含原式， 这必须得是加号，大家看一下原始式子啊，你这里必须得是加号，减号不好使。 好吧，所以说这必须得是加上啊，把这个负号拿到分子上去啊，如果你用减号的话，那就错了，好吧，哎，一加上这一坨，然后指数务必是这一坨的倒数，也就是 n 加一 比上负一好。哎，横等变形，什么叫横等变形？你指数只能是这个 n 减一，不能是别人。好，我凭空出现了这个东西，我再乘上它的倒数不就得了吗？ 对不对？也就是啊， n 加一分之负一，后面再乘个 n 减一， ok， 那 老师，圈波浪线的这堆东西是不是跟 n 减一没区别呀？是不是？好的啊，然后接下来怎么做？大家看 我把这个极限啊，先求下面这一部分， 哎，老师，括号括起来这一堆东西，然后指数次方这一堆给它留在外面。 好，老师，用蓝笔圈上的这堆东西就是 e， ok 吧啊，这里这里，互为倒数， e 加上某个东西， e 的 无穷次方，这就是 e。 好， 紧接着啊， 求完这一堆的极限了之后，你这不还是有自变量吗？好，我这啊，在 e 的 指数次方上，我再计算一下这一堆的极限就可以了啊，也就是这一堆的极限。 好，这不就是一个无穷比无穷的极限吗？老师第一期就说了，是不是找到分子分母指数最大的项，哎，这分母指数最大的项是 n， 分 子指数最大的项是负 n， 对 吧？负 n 比 n 正好是负一，对不对？所以说指数算完就是负一，最终结果 e 的 负一次方啊，写成一分之一也行， 完事了，好吧，哎，所以就是说，大家遇到这种题，底下那个数跟指数那个数务必会倒数，如果不会倒数，我们就得凑出来个倒数的形式。再比如说看一下例题九啊，还是啊，想办法把它变成一加上某一个东西的形式，也就是这个样子， 一加上谁能变成三分之 x 加一呢？三分之这个东西就行。 还是那句话，这必须得是加号，不能是减号。好，你这里是三分之 x 减二，那根据公式，我这上面就务必跟他会倒数，也就是这个样子。好，紧接着为了保证是横等变形，我啊，这 x 减二分之三得乘个谁能变成原始的这个指数呢？哎，我再给他 乘一个三分之二， x 减一就行了，是不是？哎，啊，就还是那句话啊，这个必须得是横等变形，我们所有做的一切啊，务必得跟原始的指数保持一致啊。还是那句话，我们先求老师蓝色括号的这一堆的极限直接就是 e 就 完事了， 根据极限预算的性质，接下来你这不还有资本量吗？我在 e 的 指数上操作就可以了， 也就是这个样子啊，那这个极极限求起来不就特别简单了吗？直接把 x 等于二往里一带不就得了吗？是不是？哎，那最终结果啊，这个指数算完就是一，那最终结果一的一，四方就是一就完事了，非常非常简单。 所以说还是那句话啊，大家遇到这种一的无穷四方的极限，找三条，第一个一的无穷四方，第二个底下那个数跟这个指数务必会倒数。第三个啊，必须必须满足一加上某一个东西的形式， 好吧，哎，然后紧接着后续啊，如果要是不互为倒数的话，比如说老师刚刚讲过的最后一个题，我们一定利用横等变形给它凑出个倒数出来，然后呢？哎，利用这个运算的性质啊，跟原式保持一致就可以了。

嘿，同学你好，你是清华的吗？是啊，怎么了？你可以帮我猜下这道题吗？可以啊，这道题。六的 x 次方等于 x 十八次方。好，那我们把肯定要把 x 移到一边啊，那我们六的 x， 然后外面再套 x 分 之一次方， 在它外面再套 x 分 之一次方，那左边是不得六，右边是不得 x， x 分 之十八次方。好，那把右边只剩 x， 那 我们把十八分之一也拿过去，所以是十八分之一 x 十八分四方，再十八分之一是不得六的十八分之一次方，对不对？ x 的 x 分 之一， 那我是不知道。如果有一个什么 t 的 t 分 之一次方等于 m 的 m 分 之一次方，那我们就可以知道 t 等于 m 了，对不对？那我们是不是要右边是 x 等于 x 分 之一次方，那左边也要变成相同形式啊？那怎么变呢？那我们来看，左边是不是可以变成六 十八，变成二乘三十六分之一？为什么这么变？我们是不是可以把六的这个放在里面？那是不是六的平方，是不是三十六？那外面三十六分之一四方不变， 是不是有个相同形式， x 等于 x 分 之一四方，等于三十六的三十六分之一四方。所以按照这个形式，所以 x 等于三十六，你学会了吗？

在学完了乘除以后，还有一个重要的运算，就是分式的乘方。分式的乘方的表现形式就像这样，是一个分式被括号括起来，并且加上表示乘方运算用的指数。 关于乘方呢，我们以前学过 a 的 n 次方，就是 n 个 a 相乘，那么如果连续相乘的东西是个分式，也就是让这 aa 表示一个分式的话，这条规则是不是一样通用呢？那么我们来试一下，判断一下 y 分之 x 的三次方表示，为什么？ 答案是 a， y 分之 x 的三次方就等于三个 y 分之 x 相乘，也就等于 y 的三次方， 分之 s 的三次方。根据这个结果我们得知，当 n 是整数时， b 分之 a 的 n 次方就等于 n 个 b 分之 a 相乘，最后得到 b n 次方，分之 a 的 n 次方。也就是说，分式乘方里要把分子、分母分别乘方，不要只乘一半。 根据这个法则，我们来看稍微复杂一点的分式乘方这道题啊，分子中的 x 有系数，而分母中的 y 还有大于一的指数，所以运算起来要小心。 将分子、分母分别乘方先算分母，也就是 y 的三次方的三次方，属于密的乘方，底数不变，指数一定要相乘，得到 y 的九次方。分子中系数和字母分别乘方得到八 x 的三次方。那接下来你自己试着解一下这道题， 答案是 c。 这道题的分子中 a 有负系数，而分母中的 b 有大于一的指数。运算时，将分子分母分别乘方先算分母，底数不变，指数相乘，得 a 的平方， b 的六次方。 分子中系数和字母分别乘方，负数乘方得正得四 a 的平方。分式的乘方往往会和分式的乘除一起考察，比如这道题， 它就结合了分式的乘方和分式的除法。那么还记得我们学有理数混合运算式的运算规律吗？那就是先算乘方，再算乘除。 这个运算顺序在分式里面是一样的，我们要先处理这个运算中的乘方部分，有括号的话要优先处理括号内的。那你来试一下这道题， 答案是 b。 首先我们把括号外的乘方解决掉，括号外指数乘以括号内分子分母里的各指数，之后我们把除式分子分母位置颠倒转换成乘式，再来约分以及相乘。 这里要提的是负号位置对于最终值的影响。题里面分母里面的负 c 在括号内，所以经过平方以后就变成正的，但是如果这个负号呢，在括号外算出来的结果呢，就会是负 b 的平方， c 的平方。 所以遇到了分式的乘方，我们要将分子分母分别乘方，乘方时要按照密的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，注意其中的符号和数字。同时，如果在一个分式的混合运算中碰到了乘方的话， 一定要优先处理乘方运算，然后再做乘除或者加减。把这些规律和之前学过的分式乘除合到一起，我们就比较完整的掌握了分式乘除运算率。总结的来说呢，就是第一步先处理掉括号外的乘方， 下一步呢就是除式转为乘式，再来就是因式分解多项式， 之后呢，约分而最后相乘。在解题过程中，有括号的话要优先处理括号内的。另外一定要注意负号以及最后是否求的最减分式，或者是。

这是二六年专升本的数学押题系列，我会根据过往专升本的真题和老头出题的习惯来预测今年可能出哪些题目。当然我们会全国各个省份都会押你们，把你们的省份和你们想要押的章节比较难的题目，哪个知识点写在评论区，我会尽快，最近我会日更或者是一天 跟几个，就是为了加快频率在考前。然后第三一点，为了减少压的知识点，比如说一个章节他只考两道大题，那么我只压三到四个知识点，我就不压多了，压多了，那么就相当于重新学新知识，意义不大。然后第四一个点，有的同学说能不能多给一点模板题目 考试，他大概以哪一种形式来考？然后我这里就给了。比如说这里你看直接写了例题，我会把固定的题型给到大家，当然不可能完全一样，数学变，随便变动一个数字换一个函数，题目就不一样了。但是他的答题方法、解析套路 思想是完全一样的，所以我这里就把这种题型给模板化，你们把这种模板性的题目做题方法，自己把它弄懂就 ok。 有 些固定的套路我会写出来，当然这种比较简单的套路我就没写，有一些比较复杂，但是考试经常考的 固定套路我会写出来。好，这就是这个系列。然后我们这一期视频是出江苏省二六年多元函数的预测，因为二五年他没有考选择题，但是以前有考选择题，一般是考一道选择题， 而二五年没有考，二六年会不会考呢？可能考，也有可能不考，但是他只是一个选择题，所以我们就跳过，我就没有出选择题，我就直接来到计算题。 计算题在多元函数这里，他会出两道计算题，一道出在引函数，求全微分，另一道是出在二重积分。我们两道题，第一道题我给了两个方向，这个方向啊，他就只考一道题，而我就把这一道题只分了两 个题，所以相对中的概率就很大了啊，你们节省了大量的时间。所以我们先来看第一种。先说一下分数啊，多元函数他考两道题，一道题八分，所以一共就是十六分嘛，这个就不多说，来看具体的题目。 多元函数第一类题目就是多元引函数，然后求全微分。呃，引函数，求全微分，无非就是这种类型的例题，他给你一个方程，这是一个引函数啊，他就直接说 这是由它所确定的，这是一个引函数，然后求这个方程的权微分。权微分它可能直接写 d x， 但这就是代表权分的意思。还有一种可能就是写 d x， 这里打一个竖线，写个零和 e， 就是 写一个坐标，什么意思呢？你就是把这个权微分求出来，再把这个标带进去，那么就可以得到一个具体的数字， 这两个，其实这一个就多了一步，就是把它带进去嘛。所以核心思想，你们下去要看一下引函数、多元引函数是怎么求权威分的，这个考的概率非常大，我预测今年在这一块 考权威分的概率比考二阶偏导的概率更大。第一就是说第一个例子的考的概率，这种模板比 第二个例子考模板更大一点。好，第一个我就说完了，具体怎么求步骤。这一个是比较简单的，不管你们是线上线下考，线上线下学跟着学，还是跟着我们的内部学员学，还是跟其他老师学，应该都有讲过，复习一下，今年大概率会考。这是第一个题型的模板，第二个就是引函数，多元引函数 求什么？二阶偏导，多元引函数求二阶偏导，他还是一样给你一个引函数，但这个引函数和这个引函数是一样的。为什么我只是讲模板，就是说想考什么样的题型，然后用什么方法去求解， 怎么样来提问，就相当于我把题目模板先告诉你，你自己去把这个类型的答案把它学会。一个标准化的步骤啊，不难，标准化的步骤弄懂就可以。如果他还是问一个引函数求导，那么他就会让你去求，比如这一个 z 对 x 求导，再对 y 求导，求出它的表达式，或者是 x 对 x 求导，再对 y 求导，然后把这个值带进去。这两个问题其实是一个问题，只不过后面这一个比前面多带了一个数值， 其他的没有任何改变。 ok， 这就是在多元引函数求导的这里，然后也就是多元函数嘛，求导多元函数的。我这舌头又不听话了，每次我讲课讲的我思路 加飞出去了，舌头跟不上，舌头在后面就捣乱，就跟不上节奏，然后要么就嘴瓢，要么舌头就没说清楚。好，回来啊，回到课程当中，多元函数的部分就是考求导，但是这两个当中具体哪一个大家都看一下，就两个题也不多，一个题八分啊，非常值钱啊，这是多元引函数。 嗯，再说二六年江苏省多元函数的计算题。第二一道题预测就是在二重积分，这个每年都考，今年不例外，一定会考。所以说大家把我这里给你的两个题型，你去把对应的例题，你去找一个也可以， 然后看一下。我这里有一个啊，这一个没有，因为这一个相对比较简单。好多说一个题二重积分八分， 所以这里以下讲的它就值八分，所以江苏省的同学看好了。第一种二乘七分，最简单的啊，就是直接 x y 型。 x y 型最简单就是第一步把那个图形画出来，画出来之后列出对应的 x 型还是 y 的 表达式，然后再把它计算出来就可以了。这一个是非常常见的，只要你正常学过，二乘七分的基础你都学过，所以这我就不讲具体的例题，你们直接去做几道题就行了。那这是第一个。第二一个 江苏省到现在到改革，江苏省是二二年专升本改革，以前是不考限行代数，二二年开始考限行代数，考纲也改革，自改革以来从来没有出现过急坐标，我不知道为什么是江苏省出题的那些老头子 思维固化或者是太熟悉了，不想跳过，跳跃出舒适圈，他就没有出现过极坐标。今年不一定，因为他很多题型出了很多了。所以我今年给大家提一句，如果你在表达式里面看到了 x 平方加 y 平方，那么你就要想到用极坐标啊，只要看到这个东西， 就要想到用级坐标，以前从来没出现过，今年一防止他出现。好，这是第一种类型。第二种类型江苏省出现过是什么？就是他直接给你一个二重积分， 让你去计算，他不让你列表达式了，也不给你图形了，他直接就像这个例题一样，给你一个二重积分，让你把它算出来。有的同学一向一看，哎，这这老头子还挺好，怎么市值都列好了，我直接从这里定积分计算， 带进去再计算就可以了。就是大家不要低估了糟老头子的坏的程度，就是他们出了几十年，六七十岁了，呃，七八十岁了，出了这么多题目，怎么可能直接给你个题目让你算出来，这是一个大题，八分啊。所以说这个题目为什么能直接给你？ 因为这个是计算不出来的，这个积分叫做超越积分。比如说这一个积分啊，你是不是应该按道理来算？哦，我们平常的 正常的想法来说，是先把这一部分虚线部分算出来，虚框算出来，再带到这里面去再记，再把这一部分算出来就可以了。但是这个虚框你是算不出来的，它是超越积分，有很多积分是积分不出来，它就没有答案，它是不能被积分算不出来的，所以这个积分就算不出来。所以一旦你在真题里面， 尤其是二六年的真题里面，你看到了这些，老头子给了你一道这种直接大题啊，直接给了题目，让你计算出来，大概率是算不出来的，就老头子不会，不会有好心的。所以你要怎么样？你要交换积分次序， 这里是什么？这是不是先对 y 积分，再对 x 积分？你要把它改变为先对 x 积分，再对 y 积分，所以说你要先把积分秩序交换，然后再来求积分就没问题了啊。这是老头子的初心，但是他不会告诉你他就让你直接算，而道学蒙头算半天都算不出来。 ok， 这就是江苏二六年的内容，大家可以准备好，到时候来回看一下我有没有预测准。

大家好，我们来看一下这个算式啊，这个算式我们主要是普及一些就数学的知识啊。首先呢我们来看一下他第一个括号里面就括号八分之一，负三分之一次方，那负三分之一次方，首先他有负次方，就是我们就可以把它理解为一除以 多少？那八分之一的三分之一次方呢？就是根号八分之一的三次方，那我们就可以把第一个括号里面先做出来啊， 那就会等于这个数，那同样的这个也一样的，一除以括号三分之一的平方，那到了第三步，第三步它的二分之一，那就是根号二十七乘以根号三，对吧？那那我们到这一步，我们是不是可以解出来这个是二分之一吗？一除以二分之一，那就是等于二， 那第二个括号里面就是一除以九分之一，那就等于九。那第三步呢？就根号二十七乘以根号三，那算出来就等于根号八十一，八十一开 跟他就是等于九吗？那就减去九，那这种答案我们就出来就等于二。讲这一道题的主要目的就是他的负次方是什么样的概念，然后他的三分之一次方跟二分之一次方，我们需要怎么去解答他？哈，那这一道题我们就讲到这边，关注我，跟我一起学习吧。

现在来啦，我们今天来看一下关于我们分式里面乘方的这部分的一个内容。好，可以看到它说根据到分式的一个乘方，它依然 去遵循着我们这个整式否定乘方的一个形式，对吧？那就是 b 分 之 a 的 一个 n 次方，就等于 b 的 n 次方，分之 a 的 n 次方。在这里呢，我们可以复习一下关于密值方面的对到乘方部分的一个内容。 比如说我们同底数密的一个乘法，比如说 a 的 m 次方，乘上一个 a 的 n 次方，就等于 a 的 m 加 n 次方，对不对？这是属于 啊，我们同底数密的一个乘法，那当然还涉及到比方，我们这个密的乘方，就是 a 的 m 次密的 n 次方，就等于 a 的 m n 次密，对吧？就这样的一个模式，那当然还会受到我们这个 g 的 乘方，比如说 a d 的 一个 n 次方，就等于我们 a 的 n 次方乘以 b 的 为逆次方。那大家呢，可以复习一下关于我们这个属于逆值方面的一些这个内容，然后结合的我们这部分来一起来进行复习。 好的朋友们，我们现在呢来看一下我们对应的第一个题。那老规矩，大家先暂停之后我们再来进行分析。核心讲，那朋友们他最后让求的是 x 四次方， y 的 二次方这样的一个数值，对吧？那所以说呢，我们对于前方 来一句话，那就可以得到我们的 y 的 一个四次方，对不对？本质上还是用到我们可以啊，就这个密的一个长方，对吧？那还有 x 呢，就是二三得六， x 得六次方，那除这个数呢，就等于乘以它的一个倒数，对不对？那就等于乘上一个 x 的 我们的二次方，然后 y 的 六方，对吧？那最后呢，我们解出来这个结果呢？就是我们 x 的 四次方，然后 y 的 二次方，那对吧？朋友们，所以说前方的这个数值等于六呢？自然而然所对应的我们的 x 方， y 的 二次方，这个数值呢就是六，所以这道题呢，我们选 a， 朋友们，这道题大家听明白吗？ 好的，然后我们来看一下第二题，各位，第二条涉及到我们这个分式的这个一个运算判点对不对？那我们来看一下他利用到了我们分式的乘方这样的一个信息，那就是我们 x 的 啊，六次方，三分之二二得四，对吧？四， y 的 一个四次方，然后呢再乘上我们什么呢？由于它这里面是有个符号的，外面是一个三这样的一个例子，对吧？那所以说本质上我们利用刚才我们复习到什么样的七的乘方，那本质上这个符号我们仍然还是带着的，对吧？ 相当于我们乘了一个这个负一负一的这个三次方，对吧？再乘上一个什么呢？我们的这个 y 的 三次方，然后 x 的 六次方，对不对？朋友们，那这个时候呢，我会发现 y 呢这里面化解还剩下一个，那 x 六次方呢？被我们消掉了，最终呢我们得到的结果就是负四 y 这样的一个结果，那大家这里 有没有什么问题呢？那同学们去注意涉及到这个符号呃，对应的这个乘方的形式，我们可以用 g 的 乘方这种模式将它去拆解开来，对吧？ 好的朋友们，现在呢，我们来看一下我们对应的第三题，第三题呢，涉及到化解，那我们可以看到这个式子还是比较长的，那所以说呢，我们先将其进行一个啊，比如说因式分解啊等等这样的一个拆分，对吧？那首先第一个呢，是 x 方减一分之，哎，同学们会发现上方呢，它其实是五个， 这个什么呢？就是 x 的 完全平方公式的一个计算，对吧？ x 的 完全平方公式，我们可以将其写作为 x 减一的平方，没错吧，朋友们，那后面除除的话呢，后面这个括号里面有一串数，那当然呢，我们可以将先将其进行通分，对吧？ 比如说 x 加一分之， x 减一，然后减去呢？减去也可以减去相当于是 x 减一的 x 的 这样的一个纵值，那所以我们可以将其进行同分母，对不对？ 这样是 x 减一，乘上一加一，就可以是 x 方减一这样的形式，那么这个大家理解了吗？那好，其次呢，我们会发现，这里的话，其实我们会发现它分子分母可以做一个初步的化解，对不对？ x 方减一呢，可以变成 x 加一，乘上一个 x 减一这样的一个模式，那后面呢，它是除 图的话呢，后面就是 x 加一分之， x 减一，减 x 方加一，是吧？啊，那我们可以把 x 去提出来，就 x 变成一减 x， 那 朋友们，这个地方大家有没有理解啊？涉及到我们这个分母相同的时候，分数的一个化解，对吧？ ok， 在 这里呢，大家会发现，我们可以先将其消除一部分，这里就变成了 x 加一分， x 减一图这个数呢，就等于乘它的怎么样？朋友们，导数对吧？乘它的导数，那就一减 x 哦， x 加一， ok， 那 这样的情况下呢，我们就可以来进行化解，那我们会发现一减 x 和 x 加一它是互为相反数的， 就说我们在消除之后，我们要在前方去加一个符号，就负的 x 分 之一。朋友们，这道题大家怎么样？有没有去理解到这个问题啊？ 好的，那朋友们，这个题如果大家理解了之后呢？啊，我们会发现其实在我们这个分数化解过程中，很多都是利用了我们前期对于分分数这个知识的一个学习，对吧？那如果有哪个模块，比如说涉及到这个同分母的 一个通分啊，约分啊，涉及到这个过程，然后我们没有学清楚的情况下，就可以在课下有针对性的来进行复习。好朋友们，那这个部分的话呢，我们就到这里了，然后朋友们我们再。