内圆外方和外圆内方的面积公式

我们看这一道六年级的考试题啊，两道求应面积的题目，一个是外圆内方，一个是外方内圆，大家可以思考一下这道题该如何解答。 我们先看第一种情况，圆的半径是三厘米，你要求应用面积，很显然，用圆的面积减去正方形的面积， 那么 s 等于圆的面积派 r 的平方， 正方形的面积可以用正方形的边长乘边长，但是边长不好求吧，但是我们知道他对角线，而这个对角线恰巧是圆的直径，圆的直径是多少？ 六厘米，所以减去正方形的面积是二分之一长对角 线的平方，这个之前我们讲过了， r 等于三，那代入就是啊，九派 减去啊，三十六除以二，那就十八。我们看第二种情况，是不是用正方形的面积减去圆的面积啊，而正方形的面积就是六乘六减去圆的面积派 r 的平方， 直径是六吧，那半径这一段是不是三厘米啊？ 所以剪辑派乘三的平方，那么就等于三十六减去啊，九拍。大家看一下这道题目啊，还是非常简单啊，使用的方法呢？都是面积差。

有句古话叫外方内圆，那我们今天看一下在外方内圆和外圆内方里，如何来求一下大正方形的面积和小正方形的面积。 我们看他告诉我们说圆的面积是三百一十四平方厘米，那我们说圆的面积知道了，我们是不是可以求出半径来？ 那我们都知道圆的面积公式是 s， 等于配阿尔方，那现在既然面积是三百一十四，我是不是就可以求出阿尔方了？那么我们说阿尔方是不是就等于三百一十四？面积除以三点一四，那就等于一百 厘米啊。一百平方厘米。那我们说二分等于一百二，是不是就等于十厘米？也就是说半径是十厘米。那我们看这个圆里，它的半径是十厘米，那么直径是多少呢？直径是不是就应该是二十厘米？所以 我们说半径是十厘米，直径就是二十厘米。那我们想要求这个正方形的面积，正方形的面积是不是和我们的直径是相同的？所以正方形大正方形的面积就等于边长是二十，那就是二十乘二十， 所以它的面积就应该是四百平方厘米。那我们再看一下这个小正方形，它的面积该如何求解呢？我们说整个这个直径啊，我们说正方形这一边，我们只知道它的直径是二十，但是我们会发现这里面 是不是还有一条半径呀？那我们说直径是二十半径，所有圆里半径是不都相等，所以这里边半径就是十。那我们把这个绿色的正方形是不是可以分成两个三角形，三角形的面积是不是底乘高除二，所以我们小正方形的面积是不 就等于两个小三角形的面积啊？两个三角形的面积，那我们说三角形的面积，点是二十，高是十，那么再除以二，那就应该是点乘以高除以二。这是 半个三角形，就是上面这个三角形啊，这是上面这个三角形的面积，下面这个呢是还有一个三角形，是不是跟他面积一样大，所以我们就再乘以二，所以那他的面积就应该是二百平方 厘米。所以大正方形的面积是四百平方厘米，小正方形的面积就是二百平方厘米。你学会了吗？关注老师，学习更多知识！

一分钟讲清楚外圆内方的面积公式推倒，那么外圆内方的面积公式推倒，就是我们把圆的面积减去正方形的面积， 假如我们的圆的半径为一米，这个时候我们要求正方形面积，因为我们不知道正方形的边长是多少，所以这个时候呢，我们要去看，将正方形平均分两份对角线连接，那么这个对角线就相当于圆的直径， 而这形成的三角形的高，其实就是三角形的高呢，就是我们圆的半径。由此我们可以得出， 如果想求正方形的面积的话，我们这里面用圆的直径乘半径，相当于求三角形的面积，然后再除以二，但是我们有两个，所以再乘以二，最后得出圆的直径乘半径就相当于正方形的面积，那么圆的面积呢，就是三点 一四乘一的平方等于三点一四平方，那么最后我们用圆的面积减去正方形面积，用三点一四减二，等于一点一四平方米。那如果我们用公式来代表的话，那么正方形的面积呢？这里面由于 把它分成两个三角形，那么三角形等于 s 三角乘二，那么这个三角形的面积公式呢，就用底乘高，底是直径，也就是二啊，乘高是一个半径， 也就是一个啊，然后再乘二分之一，因为是两个，我们再乘二，所以呢这里面应该等于二啊，平方，也就是正方形的面积公式应该是二啊平方，那么圆形的面积公式呢， 应该等于派二平方，最后我们要用圆去减去正方形的，所以用派二平方减二，二平方，应该最终答案等于一点一四二平方。由此得出结论， 外圆内方的阴影部分的面积公式直接就是一点一四二平方。我们在填空选择题里直接可以套用，将半径带入一点一四二平方，就可以得出外圆内方的阴影面积。同学们，你学会了吗？

圆中方，方中圆。 哇，好漂亮的地方啊！俗话说，上有天堂，下有苏杭，这朱政源可是苏州最大的古典园林， 并且呢，这拙政园里面还隐藏着很多数学问题哦。哎，这里面怎么还会有数学问题？你看，这里 方方的墙里面是一扇大大的圆门，也就是在这个正方形里面画一个最大的圆，这个正方形是这个圆的外切正方形， 整个图形叫做外方内圆组合图形。这四个奇形怪状的图形 在正方形与圆之间，你们知道他们的面积怎么求吗？ 求这四块图形的面积，就是求正方形比圆多的面积，所以用正方形的面积减圆面积就可以啦。一只圆的半径是一米， 所以面积是三点一四平方米。要求正方形的面积，就要知道正方形边长是多少米。 咱们知道这个正方形 是这个圆的外切正方形，所以正方形的边长等于圆的直径，圆的半径等于一米，所以直径等于两米。正方形的边长也就是两米啦， 他的面积等于四平方米，那么这四块图形的面积等于四减三点一四，等于零点八六平方米。博士，你太厉害了。哈哈，走吧，咱们到前面看看去。 哇塞，好漂亮的窗户啊。不是，快看，这个不就是你刚刚说的外方内圆组合图形吗？酷酷，你看仔细啦，这个是外圆内方组合图形， 在这个圆形里面画一个最大的正方形，这个正方形是圆内接正方形。你们看，在圆与正方形之间这四个奇形怪状的图形，你们知道他们的面积怎么求吗？ 简单，用圆面积减去正方形面积就可以了，咱们知道了，圆的半径是零点五米，所以面积是零点七八五平方米。呦，还不错嘛！ 那么这个图形中圆的直径和正方形的边长相等吗？ 快瞧，这条线段既是圆的直径， 又是正方形的对角线，所以圆的直径和正方形的对角线相等，正方形的对角线就是一米， 只知道对角线的长度，这怎么计算正方形的面积呢？咱们能不能把正方形分割成其他的图形来求他的面积呢？ 图形中正方形的对角线把正方形分割成了两个相等的三角形，可以通过求这两个三角形的面积来求正方形的面积。 三角形的这条边长是一米，可以把它作为底，但是要求三角形的面积，还要知道这条边对应的高是多少米。 正方形的两条对角线是相互垂直平分的，所以这条线段是三角形的高，长是对角线的一半，等于零点五米。这个三角形的面积 就是零点二五平方米。两个三角形面积相等，那么正方形的面积就是零点五平方米， 圆的面积是零点七八五平方米，所以这四块图形的面积是零点二八五平方米。 今天咱们来捉政源游玩，通过观察方 墙原门和漂亮的花窗，学会了如何求外方内圆和外圆内方组合图形的面积。快去立体里大展身手吧！

很多孩子外方内圆面积不会一招教你搞定外方内圆，那么外方内圆的本质就是求这个正方形减去圆形的面积。那么这么看，这个正方形的面积减去圆形面积，也就是求正方形比圆 多的面积。那这里面呢，我们看圆形的直径，其实就相当于那么正方形的边长，所以说我们求正方形的边长就等于圆的直径，而圆的直径呢，是由圆的半径乘二。这里面我们先假设二等于一米，所以它的直径是二米，边长也等于二米。 由此呢，正方形的面积就等于边长乘边长等于二乘二，等于四平方米。而圆形的面积呢，是 s 等于拍二平方，等于三点一四乘一的平方，等于三点一四平方米。那最终我们求出外方内圆阴影部分的面积呢，就 应该等于正方形的面积减去圆形的面积等于零点八六 m 平方。那这里面呢，我们要注意了，这是数字。假如说我们把半径设为二，那么这个直径呢，就应该等于二二，因为正方形的边长为 a， 而正方形的边长又等于 圆的直径，所以也等于二二。由此我们正方形的面积就应该是二二乘二二等于四二的平方，而圆形的面积呢，应该等于三点一四二平方。所以我们用字母公式 外方内圆的公式应该是四二平方，减去三点一四二平方，最终答案等于零点八六二平方。也就是说，这公式可以足以我们直接利用。在填空题和选择题当中，我们直接可以将半念 代入求外方内圆的公式，由此我们可以得出外方内圆，其实我们一个公式就可以搞定，就是零点八六 r 平方，将 r 直接代入，直接算出，可以大大提升我们的计算效率。

哈喽，大家好，我是你们的西瓜老师，今天呢我们继续来学圆的面积，今天我们学习的是两种圆的面积，第一个是外方内圆，他的公式呢是零点八六二的平方， 那我们是怎么得出来的呢？首先这也很好求，先求出这个正方形的面积，减去这个圆的面积，就等于这个这里的部分的面积阴影部分， 然后他们的面积差呢就是零点八六，所以说呢，我们可以直接用零点八六二的平方来求出来了。然后是外圆内方，这个有点难度了，他的公式面积呢是 一点一四二的平方，为什么是这个呢？因为他们的面积差就是一点一四。首先呢，我们求出了这个圆的面积以后，我们不能直接求出正方形的面积，因为呢这里只是半径，我们不知道这里是多少，不过呢，我们可以这么看着， 哎，我们把它分成了两个三角，那么这里是不是一条直径，对吧？而这条呢是半径， 我们就可以求出这个三角形的面积，三角形的面积是不是底层高除以二啊？ 但是呢，我们这有两个就底层高，哎，那再加上这个是直径，就是半径，所以就是直径乘半径就等就等于 这个 正方形的面积了，所以说他们的面积差呢是一点一四二的平方啊，不对，是一点一四，所以他的公式呢就是一点一四二的平方。 我们学会了就看这道题，这道题呢，我们只知道这个边长是四厘米，但是呢，我们不知道这个圆的半径，所以我们先求出半径，半径就是四除以二等于二厘米， 然后这个套房公式零点八六二的平方，就是零点八六乘二的平方，等于零点八六乘四，等于三点四四平方厘米。 好了，今天呢我们学习的呢是外圆内方和外方内圆的面积， 外方内圆呢是零点八六二的平方，外圆内方是一点一四二的平方。好了，同学们，你们学会了吗？我们下期视频见，拜拜。

同学们好，今天我们一起来学习人教版数学六年级上册第五单元元。 今天我们学习不规则图形的面积。同学们在中国建筑中经常能见到外方内圆和外圆内方的设计，你看这样的设计是不是很漂亮呢？那外方内圆的图形是怎样组成的？他有什么特点呢？ 外方内圆的图形，他是圆外切正方形。外圆内方的图形又是怎样组成的？他有什么特点？ 外圆内方的图形是圆内接正方形。同学们来看一下这两个图形，一个是外方内圆，一个是外圆内方，那 上图中的两个圆的半径都是一米，也就是说这个圆的半径和这个圆的半径都是一米。你能求出正方形和圆之间的部分的面积吗？正方形和圆之间部分的面积， 这里就是这四个部分，那这个图形就是这四个空白的部分，也就是正方形和圆之间的面积了。那该怎么求呢？ 我们先看题目中都告诉我们什么呢？题目中只告诉我们两个圆的半径都是一米， 那左图中的正方形要比圆的面积要多，那右图中圆的面积要比正方形多。那左图中其实求的就是 正方形的面积比圆的面积多多少。右面这个图形求的就是圆的面积比正方形的面积多多少。我们先来看外方内圆的， 这个图形中正方形的边长和圆的直径是一样的。 题目中告诉我们圆的半径是一米，那圆的直径就是两米，圆的直径是两米，那正方形的边长也是两米。 也就是说我们已经知道了正方形的边长是两米了，所以我们很容易的能够求出正方形的面积是二乘二等于四平方米， 圆的半径是一米。根据圆的面积公式，我们可以求出圆的面积是三点一四平方米，那圆和 正方形之间的面积就是这些图色部分，那就是四减三点一四等于零点八六平方米。 这个题目是比较简单的，正方形的面积比圆的面积多了零点八六平方米。这个题目做起来是比较简单的，因为圆的直径正好是正方形的边长， 这是外方内圆的图形，那外圆内方的呢？我们看外圆内方的图形中，我们依然也是知道圆的半径是一米，圆的半径是一米，我们很容易能够求出圆的面积，但是正方形的面积该怎么求呢？ 要想求正方形的面积，我们要知道正方形的边长，那这个正方形的边长是多少 少呢？不好求，但是我们可以把这个正方形分割，我们可以把正方形看成两个三角形， 这样一个三角形，这样一个三角形，那每一个三角形的底其实就是圆的直径， 那三角形的高是圆的半径。所以就算我们不知道正方形的边长，我们可以把这个正方形分成两个一样的三角形，求出三角形的面积也是可以的， 那三角形的底是直径，也就是二，三角形的高是半径，也就是一，那所以我们能够求出正方形的面积就是两个三 三角形的面积，一个三角形的面积就是二分之一，底乘高，二分之二乘一，那两个三角形的面积呢，就再乘二等于二平方米，所以正方形的面积就是二平方米。 我们根据圆的面积公式能够知道，圆的面积是三点一四平方米，那圆的面积是三点一四平方米，正方形的面积是二平方米， 那圆就比正方形多了一点一四平方米，那这个一点一四平方米就是圆和正方形之间的那个部分的面积， 所以圆的面积要比正方形的面积多一点一四平方米。同学们，外圆内方或者是外方内圆这些你们都会吗？ 所以如果两个圆的半径都是二，我们不说两个圆的半径是具体哪个直了，而是说两个圆的半径都是二，结果又是怎样的呢？我们一起来看一下。如果两个圆的半径都是二，那么对于左图来讲，我们知道正方形的边长是直径， 那所以那正方形的边长就是二 r， 正方形的边长是二 r， 那正方形的面积就是二 r 的平方。减去圆的面积三点一四乘二方，这样我们算出来的是零点八六 r 的平方。对于右边这个图， 我们知道圆的面积是拍二方，三点一四乘二方，那么像刚才我们的方法是把正方形分成了两个三角形，那三角形的底 就是直径二二，三角形的高就是半径二，所以一个三角形的面积就是二分之一，底层高二分之一乘二，二再乘二，然后两个三角形的面积也就是正方形的面积，我们再乘二， 算出来之后是一点一四二的平方，那所以对于外方内圆的图形，只要知道半径二，我们就可以求出正方形比圆多了零点八六二的平方。 对于外圆内方的图形，那圆的面积就比正方形的面积多了一点一四二个平方。 所以像例题中二等于一的时候，代入确实一个是零点八六平方米，一个是一点一四平方米，那到二等于一的时候，核心的结果是一样的。 答，左图中正方形与圆之间的面积是零点八六平方米，右图中圆与正方形之间的面积是一点一四平方米。 好了，下面我们来做一道题，试一下。右图是一面我国唐代外援内方的铜镜， 铜径的直径是二十四厘米，那么外面的圆和内部正方形之间的面积是多少？这是一个外圆内方的铜径。那所以跟我们前面说，那个图形跟我们前面学的那个外圆内方的图形是一样的。 外圆内方的图形，那他们之间的面积就是用圆的面积减去正方形的面积，那已经知道半径是二十四厘米。所以我们可以根据我们刚才总结出来的公式，你看圆的面积是三， 圆的面积是判二方，那就是三点一四乘二十四除以二的平方，直径除以二就是半径，这个是圆的面积。 然后我们再把这个正方形分成两个三角形，三角形的底就是圆的直径，三角形的高就是圆的半径，所以三角形的面积二分之一，底层高两个三角形呢？再乘二计算出结果，等于一百六十四点一六平方厘米 达，外面的圆与内部的正方形之间的面积约是一百六十四点一六平方米。 好，再来看这道题，求下面图中图色部分的面积，我们看一下。首先同学们，我们要能看清楚啊，这个图猛然一看没法求， 但是同学们，这个半圆和这个半圆什么关系呢？ 对，是一样的，也就是说这个半圆和这个半圆的面积是一样的。我们要求的阴影部分面积，其实求的就是一个大的半圆的面积，那么这个大的半圆他的半径是十厘米， 所以我们就可以根据面积公式求出大元的面积，然后再除以二，因为我们要求的是一个大元的一半嘛，三点一四乘十的平方除以二，这个十其实就是大元的半径。 做这道题目，首先呢，我们要知道，这个空白部分和这个阴影部分他的面积是一样的，因为他们都是直径是十的，圆的一半，那算出来就是一百五十七 平方厘米。下一题求下面图中阴影部分面积来看一下。这是一个外方内圆的一个图形，而且里面是一个圆环的， 我们看这个小圆的半径是两厘米，大圆的半径是五厘米。那我们要去的阴影部分面积其实就是正方形的面积，减去大圆的面积，再加上小圆的面积。为什么要加上小圆的面积？孩子们 看啊，我们用正方形的面积减去大元的面积，在你减去大元的面积的时候，是不是已经把这个小元的面积也减掉了？ 但是我们要求阴影部分面积，小圆的面积是阴影部分啊，所以我们要把这个小圆的面积再加回来，才是阴影部分的面积。那么正方形的边长是什么呢？ 正方形的边长和大圆的直径是一样的，所以是十厘米，那正方形的面积很容易能够求出来，十乘二小画的平方，正方形的面积求出来了，减去大圆的面积，其实也就是这四个角阴影部分面积， 然后再加上我们减去的小圆面积。因为小圆面积是阴影部分嘛，要把它再加回来，所以我们可以列一个这样的式子， 五乘二其实就是正方形的边长，也就是大圆的直径，那十的平方表示的就是正方形的面积 减去大元的面积，大元的半径是五啊，根据面积公式，三点一，四乘五的平方减去大元的面积，因为你减去大元面积的时候，又把小元一起减掉了，但是小元的面积是阴影部分啊，所以我们再把它加回来，加上 小圆的面积，三点一，四乘二的平方，这样我们就表示出了阴影部分的面积，最后算出来结果是三十四点零六平方厘米。 好了，来看最后一题，已知阴影部分的面积是十平方厘米，那么求圆环的一个面积。我们知道，我们在求圆环面积的时候，其实他有一个公式，就是拍成小块，大二方减小二方。你看题目中阴影部分面积， 阴影部分面积是什么？阴影部分面积是一个大的正方形的面积，减去一个小的正方形的面积。对的，那再来看大的正方形的边长是什么呢？它是大圆的半径， 小的正方形的边长呢？他是小圆的半径。那所以阴影部分其实就是大正方形的面积，减去小 正方形的面积，也就是大二方减小二方。所以我们先思考阴影部分面积是十平方厘米，那说明了什么呢？说明大二方减小二方等于十， 大二方减小二方等于十。我们在学习圆环面积公式的时候，知道圆环面积公式 s 环是等于拍成大二方减小二方的， 所以我们这里就很容易能够求出圆环的面积，就是拍成大二方减小二方。我们刚才说了，大二方减小二方其实就是阴影不分面积吧，等于十，所以他是三点一四乘十等于三十一点四平方厘米。 同学们，这道题目呢，要求圆红的面积，不要着急。要求什么？呃，大大圆半径啊，把大圆半径求出来，把小圆半径求出来。其实没有必要的，我们只要能够知道大二方减小二方 领多少就可以了，而且就算想求大二，想求小二，你也求不出来。因为题目中没有给，所以阴影部分面积是十平方厘米。这句话能告诉我们，大二方减小二方其实是等于十的 好，图中环形的面积是三十一点四平方厘米。好，下面我们一起来总结一下我们这几个学习的内容。这节课我们学习了不规则图形的面积，学了两个基本的形状，一个是圆外接正方形，一个是圆内接正方形，也就是外圆内方或者是外方内圆的。 那对于圆外接正方形，也就是外方内圆的，我们是用正方形的面积减去圆的面积。对于外圆内方的，我们是用圆的面积减去正方形的面积。 以上就是我们这节课学习的主要内容，课下时间请同学们找些题目做一做，如果你喜欢这节课，欢迎同学们评论转发，拜拜！

今天我们讲六年级数学外方内圆和外圆内方，今天这个视频啊，主要是讲第一点，外方内圆和外圆内方这两张图之间的面积关系。二，再讲一个练习题， 先看这张图，我们叫外方内圆，它的大正方形面积比圆面积等于四比派。这张图叫外圆内方，它 圆面积比小正方形面积是得拍比二。如果这个笔不清楚的话，你可以去看这两个视频，这两个视频讲的很详细， 那么我们说这两张图中的两个蓝色的圆，他的大小是一样的话，那么我们可以把它合并成一张图，合并的时候只要把这个紫色的正方形画到里面去就可以了，这样一来的话，我们就可以得到大正方形面积比圆面肌比小正方形面积等于四比八 拍比二。有了这张图以后的话，我们得到了这个比，我们也可以知道大正方形面积是四分，圆面积是拍分，小正方形面积是两分。我们说啊，这个比啊，这个四比拍比二 和这个份数，我们在做题的时候是可以直接用的，只要知道三个图形中的任何一个面积，就能快速的求出另外两个图形的面积。 接下去我们再讲一个题目，圆的面积是十二点五六平方厘米，求小正方形的面积。我们刚刚知道啊，我们把这张图分给先分成这样一部分，这张图的话是外圆内方，我们就知道外圆内方当中圆面积是派分，紫色的正方形面积是两份， 所以我们先用十二点五六除以派份，对吧？等于四平方厘米，每份也就是一份的面积是四平方 方厘米啊，这个紫色的正方形面积是两份，所以紫色正方形面积等于四乘二，得八平方厘米。再接下去我们来观察一下紫色正方形跟黑色小正方形面积之间的关系。 好，这样一来的话，我们把这个黑色的小正方形的对角线一连连了以后呢，看起来更加清楚。这个紫色的正方形他有这样的三角形，有一二三四五六七 八，对吧？黑色的小正方形他有四个小三正小的三角形，那这样一来我们就知道紫色的正方形面积比黑色正方形面积是二比一， 所以的话黑色正方形面积就是等于八除以二等于四平方厘米，答不上去就可以了。好了，今天我们就讲到这里，希望对你有帮助，谢谢。

大家好，藐视数学现在开课，今天来讲一讲内方外圆，内圆外方。 什么是内方外圆，内圆外方呢？我们来看一下题目，如图，正方形内画一个最大的圆，圆内再画一个最大的正方形， 求大正方形圆与小正方形的面积比是多少？ 首先我们来看图，正方形里面画一个最大的圆， 再在这个圆里面画一个最大的正方形，我们来看里面的正方形和圆 在一起，是不是内方外圆啊？那这个圆和外面的正方形在一起是不是内圆外方啊？ 所以啊，这个图形是内方外圆和内圆外方， 哎，如果去掉外面的大正方形，它就是一个内方外圆，去掉里面的小正方形，它就是内圆外方 啊。像这个类型的题啊，到以后我们还是会经常遇到的，他们之间的面积关系啊， 是一个非常有用的东西，这节课呢，我们就在研究他们面积之间的关系。 求大正方形圆与小正方形的面积比。 大正方形 圆约小正方形 他们之间的面积的比啊，这面积我没有写啊，简写了啊，这个大正方形的面积，圆的面积和小正方形的面积的比。 那我们来想一下，既然有圆啊，要求面积啊，就得找到半径这里呢，我们画出圆的半径， 哎，我们连接圆的半径，半径用二表示。 那我们来看一下这个大正方形的面积怎么计算呢？大正方形的边长是不是就是圆的直径啊？ 既然大正方形的边长是圆的直径，那就是二 r， 那正大正方形的面积不就是二 r 乘二 r 的吗？二 r 乘 二二对吧？那圆的面积啊，没有疑问， 那就是 pa 二的平方， 关键这个求小正方形的面积啊，这里知道二，但不知道正方形的边长，那这个小正方形的面积怎么求呢？ 哎，我们就得想办法啊，就不能用边长乘边长了，那我们要借助这个 r 去计算它的 面积。哎，你看我这样一连，这里是不是有一个三角形啊？并且啊，这个三角形还是直角三角形， 为了直观，我们把这对角线都连上， 哎，这样的话，这一个正方形就被我平均分成了四个直角三角形，每一个三角形它的底和高都是 半径啊，都是二，所以这个小正方形的面积是二乘二 除以二，然后再求四啊，继承。高除以二是一个小三角形的面积， 然后乘四，这四个三角形的面积就是小正方形的面积，对吧？那就是二的平方。二乘二吗？二的平方除以二，得到的是一个小三角形的面积，再乘四就是四个三角形的面积，那 就得到了小正方形的面积。那这样的话，它们的比呀， 怎么去做呢？我们来化解啊。二二乘二，二等于四二的平方派二方， 这个呢，是二二的平方。哎，大正方形面积圆的面积和小正方形的面积比是四二的平方比上派二的平方比上二二的平方， 它每一项都有二的平方，我们根据比的基本性质，每一项 都除以二的平方，于是化减以后，得到一个四笔派 比上二，这个答案不就揭晓了吗？对吧，大正方形 圆和小正方形的面积比是四比派比二，那答案有了，从这个答案当中，我们能够得到哪些信息呢？那也就是说 大正方形与圆的面积比是四比派， 圆的面积与小正方形的面积的比是太比二，那大正方形与小正方形的面积比呢？是 四比二，也就是二比一。这个关系啊，在我们以后的关于元的计算当中啊，是经常用到的啊，这个知识是非常重要。哎，大家要记住啊，我们 这里面是没有多大的困难的，重点就在于求小正方形的面积，是借助半径 求出一个小三角形面积，然后乘以四，就这点技巧，那既然我们知道了大正方形圆和小正方形的面积的比了，到以后很可能有变势器，怎么变呀？哎， 说一个正方形里面画一个最大的圆，那圆的面积是正方形的几分之几啊？ 圆的面积是正方形几分之几，是不是四分之派啊，对吧？同样，这个正方形面积是圆的面积几分之几啊，是派分之四，对吧？ 当然也会出现这样一个题，说在圆内画一个最大正方形，那这个正方形的面积是圆的几分之几啊，当然就是派分之二，对吧？相反，那圆的面积是正方形的几分之几啊，是二分之派。 你看这一个题啊，它的作用是非常大的，在我们以后啊解这里题的时候都能用到， 听懂了吗？好，今天的题讲到这里，关注点赞，下期再见！

六年同学这个视频，老师给大家讲一下外圆、内方、中圆和正方形之间阴影部分的面积。那么在外圆内方中，咱们要知道两个知识点，就是圆的直径等于正方形对角线，第二个正方形的面积等于对角线乘对角线的一半。 这个是因为我们把正方形给他分成两个相等的等腰直角三角形，每一个直角三角形的面积就等于对角线是底，然后呢，对角线的一半是高，底乘高除以二，然后总共是两个三角形，所以乘二。 接着我们通过图发现，阴影部分的面积就等于圆的面积减去正方形的面积，那么同样我们设圆的半径是二，那么他的对角线就是二二，所以说圆的面积 就是三点一四二的平方，而正方形的面积是它的对角线成对角线的一半。对角线是啊， 二 r， 它的一半就是 r， 所以就等于三点一四 r 的平方减二 r 的平方等于一点一四 r 的平方。所以说外圆、内方、中圆和正方形之间阴影部分的面积公式就是一点一四 r 的平方， 在考试中可以直接运用，比如这一道题，知道圆的直径，让我们求面积，知道直径我们知道半径，所以直接用公式一点一四二的平方就可以直接求出阴影部分的面积，非常简单，那么公式大家必须记牢固了。

同学们好！今天我们来学习有关外方内源、外源内方的实际问题。 中国建筑中经常能见到外方内圆和外圆内方的设计。外方内圆、外圆内方的图形是怎样组成的？他们有什么特点？ 外方内圆，也叫圆外切正方形，简单来说就是正方形内部有个最大的圆，也可以称为方中圆。 外圆内方，也叫圆内接正方形，简单来说就是圆内部有个最大的正方形，也可以称为圆中方。请看例题。上图中两个圆的半 镜都是一米，怎样且由正方形和圆之间部分的面积呢？这就是今天我们要探究的问题。 请看图一。这是一个外方内圆的图形，一只圆的半径为一米，要求正方形和圆之间部分的面积，也就是求图中阴影部分的面积。 我们连接圆的两条直径。从图一可以看出，左图中正方形的边长就是圆的直径。 我们先来求正方形的面积，半径乘二。这是正方形的边长，根据公式，边长乘边长等于四平方米。我们再来求圆的面积， 根据公式，派二的平方三点一，四乘一的平方等于三点一四平方米。阴影面积就等于正方形的面积，减去圆的面积等于零点八六平方米。 下面我们再来看图二。这是一个外圆内方的图形，以之圆的半径为一米， 要求正方形和圆之间部分的面积，也就是求阴影部分的面积。我们可以用圆的面积减去正方形的面积， 但是正方形的边长未知。通过进一步观察，发现连接正方形的对角线。从图二可以看出，左图中正方形转化成完全相同 两个三角形。这个三角形的底就是圆的直径，三角形的高就是圆的半径。 下面我们先来求正方形的面积。根据三角形面积公式，底乘高除以二 列式为二分之一乘二乘一，这是一个三角形的面积，刻起来乘二，这是两个三角形的面积，也就是正方形的面积。最后等于二平方米。圆的面积，三点一四乘一的平方，等于三点一四平方米。 阴影面积就用圆的面积减去正方形的面积，等于一点一四平方米。如果两个圆的半径都是啊二，结果又是怎样？ 左图二二的平方，这是正方形的面积，减去三点一四乘二的平方，这是圆的面积，等于四二方。减三点一四二方，等于零点八六二方。 右图三点一四乘二的平方，这是圆的面积，减去括号里面二分之一乘二啊。二乘二二，这是一个三角形的面积，刻起来再乘二，这是正方形的面积，等于三点一四二二方，减二二方，等于一点一四二二方。 同学们通过我们的探究得出的这两个结论是否成立。下面让我们来验证一下。左图外方内圆，正方形和圆之 线部分的面积是零点八六阿二方。当阿尔等于一米时，我们带入左边的代数是等于零点八六乘一的平方，等于零点八六平方米。 右图外圆内方，正方形和圆之间部分的面积是一点一四阿尔方。当阿尔等于一米时，我们带入左边的代数是等于一点一四乘一的平方，等于一点一四平方米。 通过刚才的验证，当阿尔等于一米时，和前面的结果完全一致。 同学们，这节课你们都学会了哪些知识？让我们来小结一下。求外方内圆和外圆内方中 正方形和圆之间部分的面积。外方内圆用正方形的面积减去圆的面积，等于零点八六 r 方。外圆内方用圆的面积减去正方形的面积，等于一点一四 r 方。 好了，今天的课就上到这，谢谢收看！

学习是一种习惯，是一种力量，是一种享受，需要我们天天坚持。今天我们讲外方内圆和外圆内方，这样题相对难一些， 家长一定要收藏，看看你的孩子到底会不会。我们一起来读题。已知圆的面积等于三十一点四平方厘米，让我们求大正方形的面积和小正方形的面积。图形已经给出红色的部分是 大正方形，蓝色的部分是小正方形，白色的部分是圆。我们已知只有圆的面积，那我们首先把圆的面积公式给写出来， 有的变异公式是派八二的平方 等于三十一点四，这样我们可以把半车的平方，二的平方求出来，等于三十 一点四，除以三点一四，结果等于十。而在小学阶段，二个平方等于十，我们是无法求出半径等多少，但是这道题只要我们知道半点的平方，我们同样可以把这道题给解出来。 我们再看正方形的面积是边长乘边长，那么大正方形他的边长是多少？我们首先把圆的直径标出来， 他就是圆的直径正好和大正方形的边长相等，别说大正方形的边长是直径，这样我们就可以表示 大张片的面积等于边长，乘以边长等于直径。和半 半径也有一个数量关系，就是直径等于两个半径，那么就可以写成二乘以二，结果等于四二的平方， 而二的平方等于十，四二的平方等于四十，这样就把大这么小的面积取回来。 我们在他小正方形的面前，小正方形的面积我们直接求是求出来，但是我们直接把小正方形的 图形分成两个直角三角形，我们再把半径标出来 r， 这是直径。先求出这个等腰直角三角形的面积，这一乘二就是整个小正方形的面。 s 啊，三角形的面积上面多，三角形的面积等于底儿乘以高，直径相当于底，半径相当于高，再乘以二分之一 等于还。还是同样的道理，直径等于两个半径就等于二，乘以二，再乘以二分之一，结果等于二的平方， 而二的平方就等于十平方米。小正方形的面积是这个三角形面积的二倍，所以 s 小正方 面积就等于二个三角形的面积等于二十平方厘米。你学会了吗？关注我，数学不迷路！

缘和正方形组成的图形在生活中非常常见。像我国古代建筑上，妈妈的梳妆镜摆台上、夏天所用的电风扇上，以及我们最爱的手表上，都能看到外方内圆和外圆内方的设计。 外方内圆，外圆内方？嘿嘿，是不是这样的？ no no no！ 不是任意的圆和正方形都能组成外方内圆和外圆内方，那可是有一定要求的。 像这样正方形内有一个最大的圆，这样的图形我们称之为外方内圆。而像这样圆形内有一个最大的正方形，这样的图形我们称之为外圆内方。哦，原来是这样啊！外圆内方和外方内圆里隐藏着许多数学秘密呢，我们一起来探究一下吧。 下面是一个外方内圆，圆半径为 r， 你能计算出圆形与正方形的面积关系吗？看到问题，先不要着急计算，先观察一下图形，看看圆的直径与正 方形边长之间有什么关系。这个圆形的直径与正方形的边长是相等的。因为圆的半径为儿，那么直径就是二儿，所以正方形的边长也是二儿。那现在你会求这两个图形的面积了吗？ 因为圆的半径为 r， 圆的面积等于派 r 的平方。正方形的面积等于边长乘边长等于二 r 乘二 r 等于四 r 的平方。没错，那这两个图形面积的比例关系是什么样的？ 远的面积比上正方形的面积等于派 r 的平方，比上四 r 的平方等于嗯，派比四。你说的真好，所以我们可以得出结论，在外方内源中，远与正方形的面积比是派比四。 下面我们再看外圆内方，这时圆的半径还是耳？你能用我们刚才的方法推倒一下圆与正方形之间的关系吗？给你一点小提示，还是先观察圆的直径与正方形边长之间的关系。哦哦哦！呃，我发现在这幅 图中，圆的直径不再是正方形边长，而是正方形的对角线了，而且正方形的这两条对角线不将垂直。你真是具有一双慧眼呐，太会观察了。那怎么分别球面积呢？ 因为圆的半径为儿，圆的面积还是为太儿的平方。由于不知道正方形的边长，所以这时就正方形面积不能再用边长乘边长了，而是要将这个正方形看成两个一样大的三角形。三角形的底就是正方形的对角线，也就是圆的直径为二儿。 三角形的高就是正方形对角线的一半，也就是圆的半径为二。所以正方形的面积等于三角形面积。乘以二 等于比，乘高除以二乘二等于二乘二，除以二乘二等于二的平方。 因此，在外圆内方这图图中，圆的面积比上正方形的面积等于派 r 的平方，比上二 r 平方等于派比二。你今天的表现非常棒，根据你的分析，我们可以得出结论，在外圆内方，中原与正方形的面积比是派比二。

这是一个圆形，我们把这个圆形啊分成若干个等份，然后 把这几个等份再分成两两等份，哎，分成两等份， 然后把它穿插到一起，大家看，哎，拼成一个什么形啊？近似的平行四边形。 那么这个平行四边形的面积和原来圆的面积有什么关系呢？ 这个圆的面积和平行四边形的面积相当，因为他们只是形状发生变， 而他们这些大小，这个面的大小啊，面积大小没有发生变化，所以圆的面积和平行四边形这个近似的平行四边形的面积是同样大。 平行四边形的面积我们学过，平行四边形的面积等于什么？是不是等于底乘高呀？哎，我们写出来平行四边形的面积， 四边形，它的面积等于底乘高。我们看 这个平行四边形的底是谁？来，我把它还原成圆形，你看一看他是圆的谁？这是圆的周长。那么现在看他变成平行四边形， 这个底边是谁呀？是不是圆周长的一半呀？我在合合住，它正好是圆周长的一半，所以这个圆形的面积 就等于我们把这个底边变成圆的。什么呀？它是周长，它的周长一半，一半就除以二。 好，然后我们再乘高，我们再看，大家看这个平行四边的高是谁呀？是圆的。什么？是不是圆的半径呀？高就是圆的半径， 高是圆的半径，底是周长的一半。我们只要求出平行四边形的面积就是圆的面积，因为他们只是形状不一样。再推， 那么圆的面积等于周长除以二。周长等于什么？圆的周长等于二派二，接着 除以二乘半径，半径用 r 表示圆的面积，接着 算二除以二等于一，一乘 pr 是不是等于 pr 呀？接着后边乘 r， 一个 r， 两个 r， 两个 r 相乘，是不是等于 r 的平方呀？因为两个三相乘就等于三的平方，两个四相乘就等于四的平方，那两个 r 相乘就等于 r 的平方。所以 s 圆 就是 s， 代表圆的面积，圆的面积等于派 r 的平方，这就是圆的面积。公式， s 圆就是圆的面积，就等于派 r 的平方。派是一个固定时是三点一四，它是不变的。那么我们要求圆的面积，必须知道 谁呀？必须知道半径。记住啊，求圆的面积，必须知道半径，如果知道半径，直接用公式求，如果不知道半径，那么必须先求半径。

今天我们来看一下圆的重点知识，这个外圆内方啊，老师跟大家说一下，这个是我们的必考题型， 那外圆内方圆和正方形有什么关系呢？好多孩子区分不开，观察一下，题中告诉我们的是正方形的面积是八平方厘米，让我们求圆的面积， 那你就要想个圆的面积，得啥呀，太二的平方。所以我们要么知道半径，要么知道半径的平方，我们才能求出来远的面积，对不对？那题中也没给我这个信息啊，题中只告诉我正方形面积了， 所以你就得想，势必正方形的面积能用寒而的表示出来，只有这样我们才能求出来他，对不对？那我们再观察一下正方形的面积，那我们都知道正方形的面积是边长乘边长，那我们观察一下这边长是多少，貌似不知道，所以那也不能用二，不要四表示，那我们就又要想 另外一个想法，好多孩子并不知道的啊，来连接正方形的对角线，我们会发现正方形的对角线 就是我们圆的直径等于二倍的半径，这样他俩就建立了连接，这就是半径和我们正方形之间连接。那面积又跟对角线有什么关系呢？ 这个老师告诉你，正方形面积公司还有一个叫二分之一乘上对角线，再乘上对角线，等于我们正方形的面积，进而就有二方等于八，二方等于四，二方等于四，往这里带四派等于十二点五六平方厘米，所以这就是十二点五六。 明白，这就是我们的这道题。好多孩子说，那老师我不知道正方形的面积等于二分之一，对角线乘对角线，那我就给你正一下。来， 我设正方形的对角线是四正方形，你要知道对角线互相垂直切平分，如果他的对角线一共是四，那这两半各是二，这个高也是二，这高也是二。我把正方形看成两个三角形，上面三角形的面积是二分之一，底层高底是谁？底是这条 四，高是谁？是二，对不对？这是一个，这边是不是还有一半啊？所以是不是两个完全一样的，我再乘以二啊？经过变形，二分之一乘四，二和二，我也乘以四，来观察一下四和四是不是两条对角线相乘，所以这就叫二分之一。两条对角线相乘就是我们正方形的面积，可以当个公式直接去用啊， 或者说你要记住外圆内方，你就直接记住二二方等于正方形的面底也可以啊。当然，我不推崇你死记硬背啊。下个视频给你讲，外方内圆，注意避坑啊。

图解员的面积公式推倒。

淘淘课堂今天给大家分享外圆内方求阴影面积的变化与方法。我们知道六年级学房里面的面积以后， 组合图形的面积变化多样，我把这同一个类型给大家总结如下，遇到这个类型的题，大家脑子里有这个转化过程就容易很多。我们看这几个图的转化，这是一个外边是一个圆， 里边是一个正方形，把它切成两部分，那就变成了一个半圆和一个等腰直角三角形，求阴影。 再切掉一半就成了一个九十度的一个扇形和一个等腰直角三角形，求这一块阴影，那这一个图形 两个萝莉的一块就组成了这个中间像梭子型这样的一个深色的，这个阴影的部分不包括这两个角，那么这这样的四个在联合就组成的 这个样子，梅花瓣形的一个形状，我们看到它的转化过程，再看看下面我给条件怎样计算的。下图所在圆的半径都是一厘米， 前三个图求阴影面积，很明显的前三个图都有个阴影，后两个图求深色的面积，也很容易看出来，深色的 两边浅色不算，求深色的这些部分的面积。我们看第一个图，外圆内方外边圆的半径是一厘米，那圆的面积就是拍二平方三点一，四乘一的平方里边，这 正方形是没法求他的边长的，那么这个正方形我们可以连接他的嘴角线，这个角是垂直的，这样的话就变成了四个等腰直角三角形， 每一个等要直角型的直角边的边长正好是半径，那么它就是一的平方除以二是一个三角形的面积，再乘四，就是这样的四个三角形的面积，然后圆的面积减，这四个三角形的面积就是阴影的面积，把它算出来 等于一点一四平方厘米。这是第一个图，我们看第二个图，其实第二个图要是有第一个图的话，直接第一个图除以二就可以了。但是在没有第一个图的时候，我们看看怎么做，我们知道他怎样来的就可以了。 先求半元的面积是三点一四乘一的平方除以二，再求这个大的三角形的面积，和刚才是一样的，也是根本就没法求 这个大的三角形的两条直角边，这个时候就可以连接圆心与这个三角形这个顶点，它是一个等腰直角三角形，所以这个角也是一个直角 啊，求一个三角变成两个瞪眼直角三角形，这一个瞪眼三角三角形的边长，这 一个等二，三角形的直角边的边长是一，那么一乘一除以二，两个直角三角形，所以乘二，这个地方乘四，这个地方乘二，因为它四个，它有两个，把它算出来等于零点五七平方厘米，也确实这个阴影正好这个等于 这个阴影的一半，他是这样转化过来的啊，有他的时候可以直接除以二，但是没他，咱们自己算的话就用这个方法来算，我们看第三个，第三个图形就是有第二个图形，这样剪切下来也切了四分之一， 那么没有前面这些图的时候，我们这样做是求原面积的四分之一，三点一四乘一的平方除以四，然后再求这个直角三角形一的平方除以二，把它算出来等于零点七八五 减，零点五等于零点二八五平方厘米啊。第四个图呢，其实有第三个图，两个阴影变化来的，我们这样画上这个虚线，你仔细观察会发现 相当于他放到这来，这是一半，我们先求这个一半，哎，求他的面积，然后求出来以后乘二就可以了，看这计算过程，整个的就是这个算式，原封不动的搬下来，然后因为他有两个这样的， 所以乘二算过程和的非常类似，等于零点五七平方厘米啊。大家还可以看看这个图形和这个图形的关系，相当于从这切开以后，这个转上去， 和这个图形一样，所以这个图形的阴影面积和这个深色面积是一样的，零零点五七。我们再看最后一个图形，相当于四个他罗列起来，我们先不用这种方法，这个图还可以 这样去想，是由这个图转变来的，那这个图就是四个半圆的面积和一个正方形面积的一个叉，我们看一看， 是不是就这个图呢？所以我们再回去 看出来了，所以是这四个半圆的面积减这个正方形的面积， 其实就是这四个梅花瓣的面积，那么就是三点一四乘一的平方这圆的面积。因为刚才我们看了四个半圆是两个圆，所以长二减 正方形，注意这个正方形的边长是二厘米，刚才我们说了，因为他半径是一厘米，直径不就二厘米吗？所以六点二八减 减四，等于二点二八平方厘米。当然也可以用我们第四个图求的这个零点五七，因为他相当于四个这样的半，零点五七乘四等于二点二八厘米，但是 第一次出现这个图的时候，你可能很难想象的这样剪下来以后就一一半，这两个方法都行。 看到这五个图形之间的联系，再遇到类似的题，希望你迅速的能想到，迅速的能计算。喜欢我的视频关注转发一下吧，如果怕看不到的话可以收藏，谢谢大家关注！

一个圆的半径是四厘米，在这个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？ 我们看这个条件。园内画一个最大的正方形。通过上一节课所学的知识，我们可以知道，在园内画一个最大的正方形，他们的对角线就是圆的直径，并且对角线将不追直。咱们来画一画， 这就是圆的两条对角线相互垂直，圆肩到每一条顶点的距离就是圆的半径都是二。 把这个正方形就分为四个小三角形。我们只要求出来这一个三 三角形的面积乘以四，也就是正方形的面积。咱们来算一算。 s 三角形等于底，底不是半径四，高也是半径的四，底乘以高除以二，等于八平方厘米。 s 正方形等于四倍的 s 三角形等于四，乘以八 等于三十二平方厘米。细心的同学可以发现，我们可以把这个正方形分为两个大的三角形， 上面这个三角形和下面这个三角形是一样的。并且这个三角形他的底是两个半径的长度，也就是直径的长度，高是半径的长度。这方法二，咱们先写上正式方法一。 方法二。 s 三角形也就等于底底是两个半径的长度，四乘以二，直径乘以高，高是四，除以二，就等十六平方厘米。 s 正方形等于两倍的三角形的面积等于二，乘以十六等于三十二平方厘米。这两种方法你可以选择任意一种来解答。最后别忘了答案， 这个正方形的面积是三十二平方厘米。 你学会了吗？