二次函数弓形模型证明 北大

教你一招搞定二参数压轴题！首先，在平面直角坐标系当中出现任意的二参数，与任意一条直线相交于 a、 b 两个点。 如果取抛物线中 ab 之间认取一个 p 点，连接 ap 和 bp， 形成三角形 abp， 这个图形就是我们的公形模型。 那什么时候三角形 a、 b、 p 的面积会有最大值呢？嗯，这个问题有一个快速的结论，那就是当你的 p 点取到横坐标为 a 点和 b 点 横坐标的平均数时，一定可以取到 a、 b p 面积最大。用这个结论填空选择题就可以一秒出答案了。如果是解答题，你可以用千锤法来推倒，也可以利用这个结论 来验证是否计算正确哦。先垂法，还不会的同学可以戳上一个视频好好学习一下哦。这就是公系模型的结论，你学会了吗？

哈喽，大家好，这还是一个二次函数的面积最值问题。在前面的视频中，我们已经介绍了解决他的方法步骤，并且还总结到了会用到的千锤法。球面积 虽然很有用，但是过程确实是麻烦。这里我们介绍一个新的公型模型，用它来解决，毫无夸张的话，十秒就能完事。铅水法在他面前都抬不起头来。我们先简单介绍一下，我随便画一个抛物线和一个直线相交于 ab 两点， 这里围出来的图形就是弓形。在弓形上随便一个点 p， 那么他和 ab 两个端点围出来的三角形 pab 就是弓形三角形。 那么什么时候这个弓形三角形的面积最大呢？我们有一个结论，就是在 p 点的横坐标刚刚好就是 a、 b 中点横坐标的时候面积最大。举例来说，假设 a 点的坐标为一，逗号三， b 点为五，逗号负一的话，那就是在 p 点横坐标等于一加五除以二是三的时候面积最大。那它的重坐标呢？把横坐标带进表达是算一下就可以了。 咱们以这道题为例，已知抛物线与 x 轴外轴交于 abc 三个点，我们可以先令 l 等零外等零把坐标都求出来，这是负一斗零，四斗零和零斗二。紧接着 p 点是抛物线上方， 位于 bc 上方已动点。当三角形 bpc 面积最大时，求点 p 的坐标。如果用我们传统的方法，就要先设位置数，用千锤法表示面积，然后整理配 方，换成顶点式求对直。这个过程得有这么长。所以我们如果用弓形的话，我们来看这个三角形， pbc 就是我们刚刚说的弓形三角形，所以在 p 点的横坐标是 bc 中点横坐标也就是四加零除以二是二的时候 面积最大。然后把 x 零二带进我们的抛物线表达式算一下，就是负二分之一乘以四加上三加二，也就是五加二是三。所以也就是 p 点坐标为二到三的时候面积最大。是不是很牛。

老师都不一定知道的方法，给出一个二次函数，与坐标轴交于 a、 b 两点，连接 a、 b、 p 点在直线上方的抛物线上运动，当三角形面积最大时，让我们求点 p 的坐标。这个题想直接求解非常麻烦， 但如果我们知道弓形三角形，那就完全不一样了。给出一个二次函数，再给出一个一次函数，二者相交。因为这个图形很像一个弓，所以我们把它叫弓形。在弓形上找一点连接两个端点， 那么这个三角形我们就把它叫做弓形三角形。如果弓形一个端点的横坐标是二，另一个端点的横坐标是六，那么当批点在哪的时候，弓形三角形的面积最大呢？ 其实很简单，我们只要把两个弓形端点的横坐标加起来除以二就可以了。一个横坐标是二，一个横坐标是六，相加除以二， 我们求出来等于四。也就是当批的横坐标为四的时候，弓形三角形的面积最大，给出一个二次函数，再给出一个一次函数，二者交于 a、 b 两点。 sorpap 是一个弓形三角形， 而我们知道整个公形的一个端点是一，一个端点是 b， 因为点在歪轴上，所以它的横坐标为零。 b 点的横坐标已经标注出来了，是四。把两个端点的横坐标相加除以二。 因此我们求出批的横坐标为二。那纵坐标怎么求呢？因为批点在二次函数上，把横坐标等于二。带入表达式中，我们求得纵坐标为六，搞定。

十秒钟搞定压轴题给了一个二次函数，与坐标轴交于 a、 b、 c 三点， p 是 a、 b 段一个动点过点 p 做 p， q 垂直于 a、 b。 当 p、 q 最大时，求 细点坐标。那这题如果你用常规思路算起来就比较麻烦了。那如果你知道弓形三角形，那就完全不一样。那什么是弓形三角形呢？给了一个 抛线二次函数，然后给一个一次函数，这个尾乘的部分就是一个弓形三角形。要想求这上面一点，到直线距离最大的时候， 那我们只用找到两个端点对应的横坐标，把它俩相加，然后再除上二，就是 p 点 的横坐标。那我们来看一下这一题。 a 点的横坐标是零， b 点的横坐标是三，零加三除以二等于二分之三。那当 pq 最大时， p 点的横坐标就是 二分之三了。那怎么求中坐标？直接往解释里面一代算的是四分之十五，所以屁顶的坐标就是二分之三，四分之十五。这题你学会了吗？

十秒一道压轴题，这也太牛了！给出一个二次函数与坐标轴就要有固定的三点连接， ab 产生一条固定的直线，点 p， 在二次函数这一段图像上运动过点 p 做垂线，当线段 pq 取得最大值时，求点 p 的坐标。巧用弓形三角形，这是一个二次函数。再给一个一次函数 相交，产生一个弓形，过弓形上一点做垂线，这弓形的一个端点是 a， 一个断点是 ba， 点在外轴上，所以横坐标等于零， b 点的横坐标等于三。只要把这两个点的横坐标加起来除以二，也就 就是当 p 点横坐标等于二分之三时， pq 最大。知道横坐标带入二次函数总坐标就求出了。

如图，抛物线，他与这个歪轴交于点 cc 点坐标是零到负二，所以 c 这里是负二，比点是三到零吧，所以这里是三。还告诉我们角 cao 他是等于四十五度，这个角是四十五度，那么换句话说，三角形 oac 他是一个 等幺直角三星，所以 oa 等于 oc， 所以 a 点它的坐标是不是也出来了，应该是负二到零？ 呃，要我们去求这个解释，一二三 abc 三点都告诉你，可以用一八四去做，当然这里是 x 焦点了， 所以我们用焦点式来做啊。设它的节日为 y 等于 a 乘以 x 加二，再乘以 x 减三，把这个零到这个负二带入吧，带入我们零， x 等于零， y 就是不是应该等于负二，所以回答到负六， a 等于负二，于是 a 就应该 等于三分之一，所以现在解释他就应该是这样子啊，当然要把它变成一般式，变成一般式，他就应该等于三分之一 x 方再减去三分之 x 再减二吧。 最后结一次出来了，看我们第二问，第二问，他说抛物先生是否存在一点 q 四的角 baq 等于角 abc， 那这里不就角的存在性与二三，所以角的存在心吗？对吧？ 那么怎么来做？先找 abcabc 是不是已知的这个角啊？那接下来他就找 biqb 点在这里， a 点在这里，那么 q 点呢？是不是有可能是这样，也有可能是这样，你这里马上要反应出来， 他有可能要分类讨论吧，对吧？所以我们现在来做第一种情况，如果这个扣点啊，这上方啊，这里是扣一啊，那么此时怎么样去求扣点的坐标呢？ 那么始终要记得 ab 和这个 bc 是什么关系，是不是平行的，对吧？平行的，而我们 bc 的解析是是知道的，因为这两个点， b 点和 c 点都告诉你了， bcas 你可以用带点技术法来做出来。那我就直接写了，他应该呃协律是 k 值，应该是 呃重比横应该三分之二啊， x 在减去二，这个 c 点是 y 轴的焦点吗？那所以现在 aq e 是不是也可以做出来了？ aq 一的 k 值跟这个 b c 的 k 值是一样的，是不是三分之二 x， 哎，还有个这 a 点你知道吧？所以 x 加上二加上零点些，是啊，呃，不行，你也可以带定系数法啊，再设一下，只有一个系数可以这一个系数，把这个 a 点单去也可以啊，你可以按自己的思路来，他就应该等于三分之二， x 加上一个三分之四，所以 aq 一他的这个解疑是知道了。接下来我们要求 q 一， q 一是什么来的？他是不是直线 aq 一与抛物线的焦点？所以我们现在要连立防城组了。把这个 二次函数的解疑是， y 等于三分之一， x 方减去三分之 x， 再减去二和这个三分之二， x 加上一个三分之四，给他连立出来，是吧？那我们就可以得到一个方程组来解一下。 嗯，这里把它整理一下，就是条三分之一 x 方，然后再减去 x， 再减去三分之十吧，等于零啊。呃，所以 x 方减去三， x 减十等于零， 一一五二要出负三，所以这里应该是负五，所以 x 一应该等于五， x 二应该等于负二，那么 x 二等于负二，那么也就是这里解出来肯定是 a 点呗，这个点肯定要舍去的，对吧？舍去那，所以 x 一应该等于五， 所以现在我们要去求的这个 q 一的坐标，是不是说了，把 x 等于五，我带入，随便带入，哪个是带入 啊？抛物线也可以，带入一参数也可以啊，那我们就带入一参数吧，所以它的横坐标应该是五中坐标来了三分之十加上三分之四，所以应该是三分之十四。 q 一是不是搞定了？那么接下来我们去怎么样去求 q 二呢？ q 二是不是就到下面去了，是吧？ 那么到下面来，那可能是这样子啊，这个脚下的，那么这个 q 二如何去求啊？两种办法来，我们先说一下第一种吧， 第一种，你来观察一下这个 aq 一和 aq 二他们的关系，他俩是不是应该是关于 x 轴对称的，他和他是对称的，那我们直接有 aq 一的解释，我们就能够推得 aq 二的解释怎么来啊？ 啊？对于，对于这个，这上面的每一个，呃，任意取一个点吧，他到这里，你看他们是不是横着标相同，重坐标是不是正好互为相反数啊，对吧？那所以我们直接把这个这个节约式里边啊，节约式里边歪吧，给它变成负 y， 是吧？负 y 就应该等于 这里是 aq 二啊，他的结是直接把这个正歪变成负歪，负歪就应该等于三分之二 x 加上三分之四，所以 aq 二的结是出来了，他就等于 y 等于三分之二 x 负三分之二， x 减去三分之四，对吧？当然啊，如果你看不懂也可以怎么做呢？对称吗？对吧？既然是对称，你可以这样子玩啊，来这里是，是不是 q 点， q 点呢？那么你过点 q， 做这个 x 的垂线， 把这个对称点给我找到啊。假说这是 q 的撇，可以撇，那么既然这个对称点找到这个点是不一致的，我们刚刚求出来了吧，刚刚求出来，那么这个点是不是也是一致的？ a 点是不是也是知道了哪里连接 aq 一撇，那么此时跟着焦点是不是也是 q 二，那么这个点知道，这个点知道是不是也可以求得他的解析是，就是这样子啊。 啊，那么接下来我们要去求 q 二的坐标，是不是右的连力防尘阻了，来把它写一下吧， y 等于三分之一 x 方减去啊，我就直接写了啊， 连力的最后连力最后整理啊，他应该是三分之一 x 方减去三分之 x， 再加上一个三分之二 x 吧，再减二加上三分之四等于零，这是连力抛物线和 直线的结，是最后得到得到他啊，所以应该等于三分之 x 方，呃，加上一个三分之 x， 呃，这里是减去三分之六再加上，所以应该减三分之二吧， 等于零，所以 x 方加上 x 减二等于零，于是一一二一要出正，正一吧，所以这里应该是正二，这里应该是负一，所以 x 一应该等于负二， x 二应该等于一，所以这个负二是不是又应该怎么样？跟这一样的是不是应该蛇去吧。所以啊，现在 q 二是不是出来了？ q 二，他的一个 来看， q 二的横坐标应该是一吧，横坐标我一带入这个式子，我们就可以得到他的这个重坐标，应该是负二啊，负二，所以抛物线上存在两个点啊，使得这俩角相等，对吧？那我们来看第三问啊 啊，接下来我们看第三问，他说这个抛物线与这个对称轴焦点焦于 x 轴的焦点教育地点啊，因为 a 点是知道的负二，然后 b 点是三，所以第一点啊，对称轴有什么意思？他俩一家取一半吧，所以应该对称轴这里应该是多少？是不是二分之一啊？ 啊？第一点是，第一点是二分之一到零，对吧？那么他说在歪轴上是否存在一点屁事的 啊？这个式子啊，看起来有点恶心，是不是？什么意思啊？这里是不是什么什么 pc 加上 pd 的最小值，这是将军一马对吧？带了一个技术虎不归，或者是什么什么阿斯圆之类的，是吧？ 那么这里应该是什么样子，我们再分析一下啊，他说这个屁点是在歪走上，那么屁点的运动轨迹是直线吗？那肯定是胡不归咯啊。 那所以我们现在转化二分之根号二倍的 pcp 点在哪里？还没还没，还没画出来，所以我们随便取一个 p 吧，假设他这里是 p 点，那么 pc 知道了，对吧？那我们要去找二分之根号二的 pc 呢？怎么怎么找啊？由于这里是不是有一个现成的四十五度，而我们这个 二分之跟号整好跟四十五度是有关系的，所以我们要把这个 ca 连起来，过点屁，做这个 ca 的 垂线啊，垂线，我们要来转化转化这个二分之根号二百 pc， 那假设这个点是 m 吧，你去看在三角形 lt 三角形 pcm 中啊， 并且这是一个什么是什么，只要什么三角形啊，他是不是一个等腰直角三角形？因为这个角为四十五度吗？我们做了锤，所以肯定也是一个等腰直角三角形 啊。那么现在是不是就有 pm， 他应该等于二分之根号二倍的 pc 啊？这是两边之笔，是因为根号二吧， 所以现在我们要去求的什么？求的这个？这个是指啊？求的他是不是把转化成 pm 再加上一个 pd 的最小值啊？那么这不就是我们将军一马的病逝吗？对吧？我们把这连起来，现在我们要 追求 来，我们要去求 pd 和这个 pm 的和的最小值。而 p 点是一个 动点， m 点是不是也是动点？第一点是定点，那这里不就是两动一定吗？当当屁点在运动的过程中，什么时候出现最大最小的三点贡献的时候，对吧？那所以你应该接下来就要做锅地点，做这个 ac 的一个垂线， 那么过点过点地做 a 色的垂线，假设这里垂足为 n 啊，那么此时我们现在要去求的他的一个最小值，是不是就应该等于 dn 的值啊？是吧？ dn， 那么 dn 怎么求？ dn 不就是在这个 rt 三角形 adn 中吗？对吧？ adn 中，那么 dn 等于多少呢？ dn， 这里不又是一个等于直角三角形 adn 吗？他应该等于 dn， 他等于二分之根号二倍的 ad 吧，对吧？ ad 的值等于多少？是不是现成的啊？第一点，在 yx 上对应的数是二分之一，这 a 点对应的是负二，所以应该等于二分之一，加上一个二，结果应该等于二分之根号二，乘以一个二分之 五，就应该等于四分之五倍根号二，对吧？其实像这样的题目我觉得知不知道胡不归的无所谓，关键是要转化，对吧？你要想办法把这个不会呃，把这个二分之根号二这个不常见的，把它转换成我们之前做 最多的，最多的就是什么 pc 加上 pd 这样不带系数的，是吧？你只要记得转化，那么这样题目也不会有太大问题啊。那么本题就涉及到胡不归求最值。然后第二问就是角的存在性啊。二三，注意角的存在性好吧。

再来体验一把极致的模型大题。二次函数 y 等于负 x， 方加二， x 加三，顶点为 d， 点 p 是对称轴 l 右侧第一象限内，抛物线上一点过点 p 做 p， q 垂直于 x， 周于点 q， 点 n 在 p q 上， 且 d n 等于二倍的 p n。 角 d n， p 加二倍的角 n， d p 等于九十度。过点 n 做 n， f 垂直对称轴于点 f， n， e 垂直 d p 交对称轴 l 于点 e。 将 e f 绕点 e 顺时针旋转 alpha 度得到 e r， alpha 大于零，小于一百八十度。连接 n r， 将 n r 绕点 n 逆时针旋转九十度，得到 n k 连接 p k 和 q r， 求 p k 加 q r 的最小值。 根据解析式，很容易得到点 d 的坐标。条件中三角形 d n， p 的两个关系显然是让我们确定点 p 和点 n 的坐标。根据角 d n， p 加二倍的角 n， d p 等于九十度。过点 d 做 p q 的垂线 d m 角 d n， p 加角 n， d p 加角 p d m 也等于九十度。所以角 n， d p 等于角 p d m， d p 平分角 n d m。 根据角平分线定理， d n 比 d m 等于 p n 比 p m， d m 比 p m 就等于 d n 比 p n 等于二比一。所以直线 d p 的 k 值等于负的二分之一。代入点地坐标，得到 d p 的解析式， 与抛物线连力求出点屁的坐标二分之三，四分之十五。还要求出点 n 的坐标 d m 等于二分之一， p m 等于四分之一。设 p n 等于 m， d n 等于二 m。 勾股定理就可以解出来 m 等于十二分之五。 看过我们前面的视频则可以直接看得出贪它角 m， d n 等于三分之四。通过求出 m n 等于三分之二，得到点 n 的坐标二分之三，三分之十，同时可以得到点 f 的坐标。下面就是求点 e 的坐标， n e 垂直 p d， 所以 n e 和 p d 的 k 值之间等于负一， p d 的 k 值等于负的二分之一。直线 n， e 的 k 值等于二。 带入点 n 的坐标，求出 n e 的解析式，带入点 e 的横坐标 x 等于一，求出 y 等于三分之七，由此得到点 e 的坐标和 e f 的长度。因为阿尔法是变量 点二的轨迹是以点一为圆心， ef 为半径的半圆。 nr 和 nk 垂直且相等。我们要利用手拉手模型将 pk 进行转移， 将 n p 绕点，按顺时针旋转九十度到 n g， n p 等于 n g， n r 等于 n q。 角一和角二都是角三的，与角也相等。三角形 n p， k 和 n g r 全等。 p k 始终等于 g r， p， k 加 q r 等于 g r 加 q r， 它们的最小值就是 q g 的长度。 n g 等于 n p 等于十二分之五， n q 等于三分之十。勾股定理球出 q， g 等于十二分之五倍的根号下六十五。

好，刘老师，我可以开始吗？好，可以可以！好 尊敬的各位学术委员老师们，大家好！我是来自湖南省郴州市第六中学的同志强老师。今天我展示的课例是建立二字函数模型，解决抛物线型问题。我将从以下四点展开解说。 本节课是相较版九年级下册第一章第五节二次函数的应用一节，内容 从具有抛物线形状类型的直观问题入手，带领学生进一步研究运用二字函数模型解决实际问题。本节课重点确定为从运动员跳水的轨迹中抽象出抛物线模型， 引导学生合理建立平面直角坐标系，构建二字函数模型，解决生活中抛物线型问题。 学生已经初步具备了建立函数模型解决实际问题的能力，但是对二次函数模型的应用有所欠缺。因此，本节课确定以下教学难点。 基于对重难点的把握，我确定以下教学目标 学生能从跳水情境中抽象出抛物线模型，建立二字函数模型解决实际问题，发展学生数学、抽象数学建模的核心素养，使学生进一步掌握代替期数法，让学生体会数学应用的价值， 激发学生学习积极性。为了达成以上教学目标，我将采取以下教法和学法。 我将以问题为导向，以活动为载体，让学生在情境中获得新知，提高能力，获取素养。我们重点来说教学过程。教学过程将围绕以下五个环节展开。 我们先看第一个环节同学们，东京奥运会上，中国跳水队取得了七经五营的辉煌成绩。 他们是如何取得如此优异的成绩呢？今天我们一起走进中国跳水队。 跳水是一项高速的运动，从起跳到漏水只有短短两秒钟的时间。中国跳水队在训练中采用了三 d 加 ai 技术，对动作、姿势等进行针对性的训练。 有了高科技手段的助力，教练员就可以针对运动员的相关量化指标进行针对性的指导。训练结束后，运动员还可以使用这套系统，像复习功课一样，及时的总结经验，改进不足，这对于运动员赛前的备战和准备工作非常重要。 优异成绩的取得，既有运动员的刻苦训练，科学技术的运用也至关重要。教练组在运用科学技术研究跳水过程中，对运动员跳水的各个方面都进行了定量分析。为了提高跳水 成功率，教练组对运动员跳水的轨迹也进行了研究。他们把运动员跳水过程中的重心相连轨迹是一条凹陷凹陷。今天我们就一起从数学的角度来分析跳水。 本环节通过视频引入创设情境，通过中国跳水队运用科学技术指导运动员跳水，让学生体会科学研究的必要性，引导学生从数学的角度分析跳水。 针对学生不会抽象出抛物线模型这一难点，我使用动态图片直观演示，结合静态图片描点画图，带领学生抽象出运动员跳水轨迹，是一条抛物线，发展学生数学 抽象的核心素养。我们再看第二环节。第二环。从情境中我抽象出如下数学问题，与学生共同探讨。请看题。 第二环节是突出重点、突破难点的关键环节。因此，我将其分为两个部分。我们先看第一部分。 看到题目，你想知道该抛物线的什么信息？什么是 我们知道第二次函数的图像是一条抛物线。想要知道该跳水轨迹抛物线的表达是 就要知道该抛物线上更多点的信息。我们一起来分析条件。点 a 在水面上方几米处十米。点 b 呢？十厘米。 a、 b 的水平距离是多少？一米？一米。 a、 b 的数值距离是多少啊？也是一米，也是一米。那么点 c 的相对位置明确吗？不明确，不明确。在抛物线上还有哪些点的相对位置是明确的？ vico 来你来说 点 a 水平向右两米，抛物线上有一个点，我们把它变为点 e。 为什么？因为抛物线具有对称性。 a 一离对称走的距离都是一米， a 一的水平距离是两米。非常棒！请坐这位同学根据抛物线图形的对称性，得到点一与 a、 b 的相对的位置。好，那么我们怎样把这三个点给表示出来呢？还少了什么？ 平面直角坐标系？我们要建立平面直角坐标系。那么根据已知条件，你会怎样建立平面直角坐标系呢？ 想一想，可以一点离间隔远一点，间离平面角度比较细。那你说一说 x 轴和 y 轴分别代表什么意思？ x 轴代表运动员水平方向上的位置，然后 y 轴代表运动员竖直方向上的位置。那你刻画的是运动员竖直方向的位置与 与水平的位置的函数关系是吧？你所以说已知点的坐标可以已知。 a 点为零十， b 点为一十一， b 点为二十， 非常棒！请坐还有别的想法吗？以 a 以点 a 为原点，水平向右为由正方向建立平面直角坐标。哎，讲的正完整，想法非常好。你也随意说。你这点的坐标点 a 为零零点， b 为一栋号，一点一是二栋号楼， 节奏非常好。还有没有？还可以点 b 为原点，水平向六 v x 左侧跑线就以平面指数表示， 这时候一为原点，坐标为零零 a 的坐标就是负一负一一的坐标就是一负一， 非常好。形状还有呀，以一为原点，向右为走肩，立平面的角度要细。 以点一为原点，水平向右 x 轴建立平面直角坐标系。你也说一说已知点的坐标点零四负二零一四负一一一四零零。好，非常棒！老师，有个问题，点心可以吗？ 为什么？因为点式的位置不明确，不能够表达出一致的坐标。 问题。研究中，我带领学生分析数据，通过已知数据在图形中明确相对位置，又通过图形的对称性得到点一新的数量关系。 从树到形，再从形到树，分析条件的同时渗透树形结合的思想。 针对学生不会建立平面直角坐标系这一难点，我与学生一起合作探究，使用几何画板动态演示建立平面直角坐标系，使学生获得直观印象，并引导学生用多种方法建立平面直角坐标系， 突出重点，突破难点。我们再看第二部分。 同学们，现在请大家以小组为单位，结合导学一起合作建立平面指导空调系求得抛物性的表达式。 都准备结果了吗？现在请小组拍电脑上来展示。哪个小组进来来，你们来 来，你说一说你们小组的想法。我们组是以点击为圆点，水平向右 x 轴建立平面直角坐标系，然后就可以知道三个隐居点， a 为零十， b 为一十一， e 为二十。然后因为我们知道顶点 b 的坐标，所以我们设了顶点表达式， 然后再然后再加 a、 b 两点代入顶点表达式。可以求出抛线表达式为 y 于负 x 减一差的平方再加十。同学们同意吗？同意，有没有别的疑问？ 老师有一个想法，知道 a、 b、 e 的坐标，你为什么没有设一般式呢？因为我们组计算过。嗯，如果设一般式的话，要带入三个点计算，但只但是设顶点式的话，只要带两个点计算就行了，而且计算也比较简单。嗯。

每天一个数学小技巧，我是荣哥，一分钟讲完下课，今天荣哥给大家分享的呢，是在二次函数当中啊，我们遇到的定角度的问题，这种定角度的问题呢？可能是像这种定九十度，我们应该如何来处理呢？哎，我们用的方法叫做构造三垂直， 那如何构造？比如说这道题目当中，我要找到一点 p， 使得这个 a、 p、 b 构成一个直角三角形，应该怎么办？哎，我们就构造三垂直，从 p 点做一条平行于 x 轴的一条直线，分别从 a 点做垂直，然后从 b 点做垂直， 得到这样一个三垂直模型。我们知道三垂直模型有个结论就是 a 乘以 c 等于 b 乘以 d， 是不是这条边乘以这条边等于这条边乘以这条边，就是我们所说的横乘以横等于竖乘以竖，就可以求出批点的坐标，这个题就解决了。那如果他不是九十度， 如果遇到了三十度，六十度、四十五度，或者是告诉你正切直，我们应该如何来处理呢？那比如说这个角是三十度或者六十度，或者四十五度，哎，我们还是构造三垂直，如何构造？我们从 pb 点做一个垂直这条线的一条直线，然后得到了这个点， 得到了这个 c 点，然后从 c 一点做一条平行于 x 轴的一条直线，分别从 b 一点跟 a 点做它的垂直线，看到吗？做垂直线， 同学们有没有发现这里面又有一个三垂直，这如果是 a， 这如果是 b， 这如果是 c， 这如果是 d 的话，我们是不是还是有 a 乘以 b 等于 c 乘以 d， 我们就可以通过这个横横竖竖啊求出 c 点的坐标， 题目当中会已知 a 点的坐标， c 点的坐标也知道，那我这条 ac 的直线方程是不可以解出来。直线方程知道，我二参数的直线方程也已经知道了，那我这个 p 点是不是就是它的焦点，我就可以求出 p 点的坐标，这个题我们就自然而然的把它给解决了。同志们，你们听懂了吗？下课。

做一道北京中考压轴题，这个在初三。锐角三角函数，这这是经常考试要考到的，尤其最近在全国各个省市的中考题中，压轴题中经常会考到一二三四五模型。好。什么是一二三四五模型？这里有什么重要结论，下面我们一起研究。首先看这道题， pab 都在隔点上，隔点每一个格的边长是一。让我们求角 a 加角 b 等于多少度？你可以暂停视频，自己试一下。好嘞，来，这道题难度很大，最后的答案是等于四十五度的， 你做对了吗？来，如果这道题正常去做是怎么做？你既然要想求 a 加 b 对不对这两个内角，那求两个内角，我们就要想到外角。来，我们把这里边的 ap 延长，那是不是就这个角的度 数就等于 a 加 b 啊？外角等于与他不相邻的两个内角的和，我们只需求他就行了。来，我再把这个一连。 你有没有发现这个三角形是一个特殊的三角形。什么三角形？等腰直角三角形。为什么？ 来，我们先看为什么等腰呢？七十。这里你可以构造出三垂直模型，这垂直最直直，还能正出他垂直的啊。来，这个垂直，这个垂直。这条边是一整个，这条边是二，一直角二， 这条边是一直角，这是二，一直角二。所以这两个三角形全等，全等之后是不斜边就等了，等腰正完了。那为什么是直角呢？全等的时候这个角是不就等于这个角啊？能跟上吧。好，那这两个角相等，而这点加这差是九十， 所以这个点加差就九十，所以他的九十没毛病吧。你可以正里边的这两个角，实际上也是差加点，也是等于九十的，总之九十度加等腰，等腰直角散行，这个就是四十五度。他是四十五度外角，那这两个内角的核就等于四十五度。你听懂了吗？ 但这是常规方法。我告诉你，这是北京中考题啊。来，那其实这个题是一二三四五模型，直接秒答。什么意思呢？一二三四五模型有这样的结论啊， 说如果两个角相加等于四十五，一个角的摊进的只等于二分之一，一个角的摊进的只等于三分之一。这三个条件只要有两个条件成立，那么第三个条件就一定成立。 记住这个结论，所以是知二推一的。那大家来看这里边我要求的是二这个角 a 加角 b 啊。其实可以理解成这里的阿尔法加贝特。为什么呢？你们有没有看到，这个角就是阿尔法，因为这个角的摊进的值是不是等于一比二的？对边比邻边叫摊进的值，对边是一，这条边是二，摊进的阿尔法是不等于一比二。 好，来，咱们再看这个角，其实他就是背他，他的摊念的值等于什么呢？一比上这条边，而这条边是不是三个单位，一比三是不是就是他？说明这两个已经成立了。在这个图形中，那必然上面这个也是成立的。所以直接阿尔法加背他等于四十五度拿下。听懂了吗？