动画演示什么是傅里叶变换
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02:10查看AI文稿AI文稿天呐，在高分子材料检测中，竟然有一台仪器几乎是实验室的标配，更是实验室的常驻嘉宾，那就是富力液变换红外光谱仪。但很多人对它的理解还停留在能测分子结构，甚至觉得它 高深莫测。这条视频带你了解红外这台仪器的设备，他又能帮我们解决哪些问题呢？那么什么是红外？他的魔法又来自哪里呢？光听他的名字是不是有点头？ 别慌，让我们来拆解一下富里页变化听起来是不是很复杂？其实它是一种数学方法，可以把复杂的信号变化成更容易分析的数据，让我们在短时间内获得清晰的光谱 图。那红外光谱又是什么呢？我们先来理解红外是什么？我们来看这张图，可见光波长范围大概在三百八纳米到七百八纳米之， 而红外光波长范围约在七百八纳米到一毫米之间。简单来说，红外就是我们人眼平时无法直接看到某一段特定波长的光。打个比方说，你可以把红外想象成一个听诊器，他通过听材料对红外光的反应来判断他的健康状况，也就是化学组成。 所以说，红外设备会发射稳定的红外光，照射到材料后，材料里的化学键会以特定频率振动并吸收对应波长的红外光。不同的分子结构会在红外光谱上留下独特的吸收风，就像分子的指纹一样，具有很强的识别性。这也是为什么红外能用来分析物质的成分和结构。 那么为什么它能识别材料呢？想象一下，你用手拉一个橡皮筋，它会有自己的振动频率，同样的道理， 同的化学键，比如碳氢键、氧氢键、碳氧双键也会在特定的波长范围内震动。当红外光照射到样品上时，某些波长的光会被材料吸收，而另一些则会透过通过分析哪些光被吸收，我们就能知道样品里有哪些化学键。 我们看到图上的这些小坑，它就是我们刚才提到的材料的指纹，告诉我们它的成分和分子结构。那么红外又能帮我们做什么呢？ 红外可不是学术摆设，而是一个极具实用性的工具，它能帮助我们在高分子领域进行材料成分分析、材料老化与失效分析和胶水涂层的固化程度检测。
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09:15查看AI文稿AI文稿信号处理当中的三大变换啊，就是复联变换、拉普拉斯变换和 z 变换。其实这三种变换呢，本质上都是在从不同的角度去观察信号，可以把它们理解成是一张地图的三种不同的仕途。嗯， 通过这三种变换呢，我们就可以把一些非常复杂的微积分的问题啊，变成简单的代数问题，这样的话就会让我们的信号和系统的分析变得更加的简单和高效。没错，这个其实是很多工程领域的一个基础啊， 那我们就直接开始吧，我们第一个要探讨的主题呢，就是这三种变换到底是从哪些实际遇到的难题当中产生的？或者说数学家和工程师们到底是遇到了什么样的瓶颈，才会去想要发明这些变换。其实每一次新的变换的提出，都是为了去弥补上一个变换的不足嘛， 你比如说负离子变换，就拓展了它的适用范围，然后这变换呢，又是专门为了离散时间信号而设计的。 虽然这三种变换看起来长得很像，但是它们背后的物理意义和应用场景还是有一些差别的。其实这三种变换是同一个数学家族的不同成员。原来是这样， 负指数函数为什么在信号处理当中会有这么核心的地位？它到底是怎么能够把震荡和增长或者衰减这两种运动统一在一个式子里面呢？负指数函数的形式就是 e 的 sigma 乘 t 四方嘛。对，如果 sigma 是 一个实数的话，它就可以描述增长或者衰减， 如果 sigma 是 一个虚数的话，它就会变成一个纯正大，那如果 sigma 是 一个负数，它就可以同时包含增长或者衰减和正大 哦，所以它就成为了我们用来拆解各种复杂信号的一个最基本的积木。确实是这样，我想问一个问题啊，就是为什么我们一用到负指数函数作为 lti 系统的输入， 这个卷积计算就会神奇的变成乘法？因为当你把一个负指数函数 e 的 st 次方输入到一个 lti 系统当中的时候，输出其实就是输入再乘上一个关于 s 的 函数 hs 哦，这是负指数函数非常特殊的一个性质， 所以就相当于把卷积 yhtxt 变成了一个简单的乘法 yhtse 的 st 次方。 这也是为什么所有的这些变换都是以负指数为核心的，因为它把系统的分析从一个非常麻烦的时域卷积变成了在 s 域里面的代数运算。好的，下面咱们谈谈负利率变换啊，它的物理意义和它的局限性。 对，负利率变换到底是怎么帮我们在频率当中去理解一个信号的？它有哪些特别适合的应用场景？就负利率变换，其实就是把一个信号拆解成了一系列不同频率的纯虚数，指数函数 e 的 j、 w、 t 次方的叠加哦，那它的这个系数就直接反映了 每个频率分量的幅度和相位，所以他的物理意义是非常直观的，就是信号在每个频率上有多少能量。嗯，所以他被广泛的应用在通信系统当中，比如说信号的调制和解调， 然后还有音频的频谱分析，还有图像处理的一些领域。听起来负离子变换确实很有用，那他在处理哪些信号的时候会遇到一些根本性的困难？他最根本的问题就是要求这个信号必须是绝对可击或者平方可击的。 但是在工程实践当中，经常会遇到一些比如说指数增长的信号或者是阶跃信号，那这些信号就没有办法直接进行负利率变换，因为他的积分是发散的。对，所以这是他的一个非常大的局限，这时候就不得不寻求更强大的变换方法了。 然后我们再来看看拉普拉斯变换，它到底是怎么通过这个衰减因子让原本无法进行负利率变换的信号变得可处理的？然后它跟负利率变换之间到底有什么深层的联系？拉普拉斯变换其实就是在负利率变换的基础上，给这个信号乘上一个指数衰减因子 e 的 负 sigma t 四方， 所以就是先把这个信号驯服，让它变得收敛，然后再去做负利率变换，哦，它的这个积分就更容易收敛，所以就可以处理一些更广泛的函数。嗯嗯，如果我们把拉普拉斯变换的那个 s 限制在虚轴上，也就是 sigma 等于零的时候， 拉普拉斯变换就变成了负离子变换，所以负离子变换是拉普拉斯变换的一个特例。原来是这样，那 s 平面这个概念到底是怎么帮助我们从几何的角度去理解拉普拉斯变换和负离子变换之间的关系的？就是在 s 平面上面，这个横轴是 sigma， 纵轴是 j omega， 那当我们固定 sigma 等于零的时候，我们就是在看虚轴，而这个虚轴刚好就是负离子变换，所以可以这么说，负离子变换就是拉普拉斯变换在 s 平面的虚轴上的一个切拼。 哦，那整个 s 平面其实就可以看成是由无数个不同的衰减因子所对应的负离子变换组合而成的，这样我们就可以很直观的看到这两种变换之间的联系。 明白了，然后我们来说说 z 变换，这个 z 变换到底是怎么来的？它跟拉普拉斯变换之间到底有什么联系？其实 z 变换就是拉普拉斯变换的离散时间版本， 就是当我们把一个连续时间信号进行均匀采样之后，嗯，然后再经过一个 z 等于 e 的 s t 次方的变量替换，这里面的 t 是 采样周期，就可以直接从拉普拉斯变换推导出 z 变换，所以 z 变换就是专门用来处理计算机能够理解的这种离散的采样信号的。 所以 s 平面和 z 平面之间到底是通过什么样的数学映射关联起来的？这个映射关系就是 z 等于 e 的 s t 次方，这个变换会把 s 平面上的直线 映射成 z 平面上的圆， s 平面上的袋状区域会卷起来变成 z 平面上的一个圆环。对，所以这是一种非常特殊的卷曲和折叠的对应关系， 也让我们可以用 z 平面来分析离散时间系统的特性。没错没错，我想问问这个极点到底是怎么来的？为什么它在连续时间系统和离散时间系统当中会有这么举足轻重的地位？极点其实就是系统函数的分母等于零的点。 对，然后它的位置就直接决定了系统的稳定性和动态特性。比如说在 s 平面上面，如果极点的十步是正的，那这个系统就是不稳定的。 在 z 平面上面呢，如果极点落在单位圆外面，那这个系统也是不稳定的哦。而且极点的实部还决定了这个响应是衰减的还是增长的，虚部呢，就决定了正当的频率，所以它就像是系统的 dna 一 样，完全决定了系统的本质特性。确实是这样， 三大变换到底是怎么把微积分运算变成代数运算的？这中间到底有什么巨大的好处？这三大变换其实就是一个桥梁，它把我们原来在实域里面的微积分方程 变成了在复频域里面的代数方程哦，比如说在拉普拉斯变换里面，对时间的微分就直接变成了乘以 s， 积分就变成了除以 s， 然后在 z 变换里面 延迟一个向量周期，就直接变成了乘以 z 的 负一次方。嗯啊，所以就把原来那种需要拆解，然后再去凑系数的这种微积分的难题，变成了一个像解方程一样的简单问题，所以就会使我们的计算量大大减少，而且也更有系统性。好的， 然后我们来比较一下富立业变换、拉普拉斯变换和 z 变换，它们的核心变量基函数频域的几何形态和稳定性判据到底有什么异同？首先它们的核心变量是不一样的，富立业变换的核心变量是 j w， 它是一个纯虚数。 然后拉普拉斯变换的核心变量是 s， 它是一个负数，就是 sigma 加上 j omega。 而 z 变换的核心变量是 z， 它等于 e 的 st 次方，也是一个负数。嗯， 从奇函数来看的话，负的变换的奇函数是 e 的 j、 w、 t 次方，它是一个纯正大。而拉普拉斯变换的奇函数是 e 的 s、 t 次方，它是一个带有包络的正大。 然后 z 变换的奇函数是 z 的 n 次方，它是一个离散的负指数序列。哦，再从频域的几何形态来看的话，负的变换是在一条实数轴上面分析频率，拉普拉斯变换是在一条实数轴上面， z 变换呢，是在 z 平面的单位圆上面， 最后是稳定性的判据，负离子变换只能判断系统的稳态稳定性。拉普拉斯变换是看极点是否在左半平面，而 z 变换是看极点是否在单位园内。没错没错，我们在实际遇到一个信号处理或者系统分析的问题的时候，到底该怎么去选择？ 是用负离子变换还是用拉普拉斯变换还是用 z 变换？这个其实主要是看你的信号形式和你想要分析的问题是什么。比如说你想要知道一个信号的频谱分布，或者是想要对通信信号进行调制，对音频和图像进行编码压缩，那一般都是用负离子变换，特别是快速负离子变换 fft。 嗯嗯，但如果你这个系统本身是不稳定的，或者说你需要考虑它的初始状态，或者说你想要分析它的 transient， transient response， 那 你就应该选择拉普拉斯变换， 然后你就可以借助 border 图或者是跟轨迹这些工具来进行分析。那如果你的信号本身就是离散的，或者说你这个系统是在单片机里面跑的一个数字滤波器，那你肯定就是要用 z 变换，因为它是专门用来处理这种采集数据和地推关系的。 所以说这三种变换其实是同一个数学体系下的不同的表现形式，他们本质上是在帮助我们从不同的角度去理解和分析信号与系统。
1.2万北游知
10:10查看AI文稿AI文稿假如有人扔给你一段声音，里面钢琴、吉他、古人声全部叠在一起，糊成一根扭曲的波形，让你只用一个数学工具，就把这四种乐器一个一个拆出来，你觉得可能吗？说真的，你手机里那个降噪耳机，每秒都在做几万次， 背后就是副理业变幻。这里面还藏着一个秘密，连很多理工科毕业生都没真正搞懂它到底在算什么。 傅里叶变换这五个字，第一次听到的时候，很多人反应都是一样的，就是一堆积分，一堆虚数，一堆看着像天书的公式。哪怕你没上过大学，只是刷手机时描到这几个字， 你多半也会本能的划走。因为他给人的第一印象就是男士，抽象是跟普通人没关系。但今天，我想请你把这种预设先放一边，因为副理页变换真正的核心思想，其实一张动图就能讲清楚，一个初中生都能听懂。 接下来这一条，我打算给你讲透三件事。第一，副理页变换到底在算什么公式先扔一边，我用一个原讲给你听。 第二，他凭什么能把混在一起的声音一个一个拆出来？第三，这个诞生在两百年前的工具，为什么今天从你手机通话，到医院里的核磁共振，再到量子医学，全都在偷偷用它？ 咱们从你手上这部手机说起，你上下班挤地铁的时候，带上降噪耳机，车厢里那种沉闷的轰隆声瞬间就消失了，剩下的只有音乐或者你自己的呼吸。你想过没有，那副耳机每一秒都在干什么？ 他再把外面涌进来的所有声音一根一根拆开，分出哪根是地铁的低频轰鸣，哪根是空调的中频嗡嗡，哪根是别人手机里的高频人声，然后针对性的反着拨一遍，把这几种成分顶消掉。这个动作一秒钟要做几万次。 再说一个更常见的，你在餐厅里吃饭，头顶音响里放了一段旋律，很好听。你掏出手机，打开十个软件，三秒钟歌名就跳出来了。 他凭什么能在满餐厅的噪音里只挑出那一首歌？说白了也是把混在一起的声音切成一根一根干净的成分，然后跟数据库里的声音指纹比对。这两件事的底层都是同一的动作，就是把叠在一起的复杂波形拆成一根一根规规矩矩的正弦波。 问题就出在这里，你现在耳朵里听到的每一个声音，说白了都是空气压力的一次上下波动。麦克风记录的时候，其实只干了一件事，就是一毫秒一毫秒的测空气压力。他只看到最终那根总和曲线，根本不知道里面藏着几种乐器，几个人声，几种环境音。 所以核心的问题就出现了，给你一根看上去乱七八糟的波形，你怎么反推出里面到底混了几个纯音？每个纯音的频率又是多少？你想象一下，这就像有人把红黄蓝三种颜料倒进一个桶里，搅成一团脏脏的棕色， 然后端到你面前，让你说清楚里面到底用了几种颜料，每种颜料倒了多少，听着就是干这件事的那把刀。 但接下来这个方法，你在数学课上从来没听人这么讲过。他的核心不是公式，而是一个动作，简单到你拿一根铁丝就能亲手做出来， 你准备好了吗？我要开始讲那个动作了，他叫做把波绕圆。你就想象你手里有一根柔软的信号波形，就是刚才那种叠加了几种声音的复杂曲线， 你把它平铺在桌子上，然后你在桌子中间摆一个圆盘，把这根曲线的一头粘在圆盘边缘，让他绕着圆盘一圈一圈卷起来，就像卷蚊香那样。 关键在这里，你在卷的时候，可以选一个绕圈的速度，每秒转一圈，波形就每秒绕圆盘一圈，每秒转两圈，三圈，卷出来的花纹就完全不一样，你换不同的转速，就会得到不同的缠绕图案。 到这一步，事情就开始变得神奇了。波形上原本是波峰的地方，卷到圆上以后，就是那些鼓出去离圆心远的点， 原本是拨鼓的地方，卷上去就变成那些凹进来离圆心近的点。整根缠绕出来的图，随着你转速的不同，就像一朵花或者一个不规则的旋涡。 现在请你集中注意力，假设你手里这根信号其实就是每秒震动三次的一个唇音，你去慢慢调你的绕圈速度，从每秒一圈、两圈一直往上加，前面几档卷出来的图都乱七八糟， 可是当你的绕圈速度刚好也调到每秒转三圈的时候，一个奇迹发生了，所有的波峰全部集中到了圆盘的同一侧，所有的波谷全部跑到了另一侧，整张图像突然从均匀变得极度不对称，明显一头沉。 咱给这个不对称起个名字。你把这张缠绕图想象成一根有质量的铁丝，那他的质量中心就是这根铁丝挂起来能保持平衡的那个点。 绕圈速度不对的时候，至心就老老实实待在圆心附近。绕圈速度一旦对上信号里的某个频率，至心一下就被拽到远离圆心的位置。它就像一个报警器，对上就亮灯，不对就熄灭。 所以你只要从慢到快转动绕圈速度，同时盯着这个至心跑没跑偏，就能把混在一根波形里的每一个频率一个一个的摇出来， 就是这么简单。我第一次看懂这个动作的时候，真的服了一个我大学里怎么学都学不明白的博士级概念，居然可以画成一张会转的图，一目了然。 但你别以为傅里叶变换的威力就止步于分离声音，接下来这一段才是他真正让人后背发凉的地方。他掌握着一个连整个宇宙都在偷偷用的秘密。 你现在打开手机拍一张照片，比如那张你女儿春游时拍的照片，手机存下来的时候，为什么他只占几百 k 而不是几十兆？ 答案是 jpeg 格式。 jpeg 的 压缩原理说穿了就是把一张图片的每一个色块进行一次二维的复历页变换， 他把复杂的颜色变化拆成一堆频率成分，然后把人眼看不见的那些高频细节直接扔掉，你眼睛感觉画质没损失，硬盘却省下了几百倍空间。这就是我们生活在图像洪水里，却还没被存储成本压垮的根本原因。 再往下讲，你现在用手机跟远方的家人打视频通话，你的声音其实现在你手机里被切成一段一段，然后每一段都被做了负离子变换，压缩之后再通过基站传到对方那边， 这背后就是所有四 g 和五 g 通信的底层数学。没有负离子变换，你没法给远方的爸妈打一个清晰的电话。 再讲一个更狠的，你去医院做核磁共振，医生给你打一针造影剂，让你躺进那个咚咚响的大铁桶里。这个铁桶并不是直接给你拍照，他是让你身体里的清源子核在强磁场里震动，震动出来的电磁信号被收下来， 然后医院的电脑把这对信号做了一次副理液变换，才把你身体内部那张切片图一层一层的重建出来。医生看的 ct 片和磁片说到跟上都是一次副理液变换的产物，它是现代医学看穿你身体的那双眼睛。 我告诉你最狠的。一个量子力学里，一个粒子的位置和他的动量，这两个东西在数学上就是一对负逻变幻的关系。也就是说，一个粒子的位置越确定，他的动量就越模糊， 反过来，动量越确定，位置就越模糊。你可能听说过一句话，叫做海森堡不确定性原理，他讲的就是这个事。你为什么没法同时精确知道一个电子在哪里，又跑多快？不是因为咱们仪器不够精细， 而是因为宇宙本身从数学层面就不允许整个微观世界为什么长成量子的样子？追根溯源就是因为这个宇宙的底层本来就在用复理液变换的语言在说话。这不是我说的，这是海森堡薛定讷迪拉克那一代物理学家一起签字画押的事实。 我在开头跟你埋了一个秘密，现在我可以给你揭开了，那个秘密就是傅里叶变换不是一个算法，也不是一个公式，它是一句话，这句话就是任何一个再复杂的信号，都可以被拆成许许多多的正弦波之合。 这个想法一旦被证明是对的，就意味着声音、图像、光、无限电、量子概率、宇宙里所有的波动全部可以被同一把刀切开， 而这把刀就是把你那根扭曲的波形绕在一个圆上转一圈。所以我想说一句金句留给你，这个世界看起来千变万化，其实全都是一堆正弦波在合唱。你听懂了傅里叶变换，就等于听懂了宇宙背后那只交响乐的乐谱。 回过头，你再看一眼手机里的四 g 通话医院里那张核磁共振片子，微观世界里一个粒子的位置和动量全都指向同一件事情，就是把一个扭曲的波形绕在一个圆上转一圈。 我做这条视频之前，其实挣扎了挺久，因为傅里叶变换这几个字在我大学时候是最痛的一门课。当时我坐在阶梯教室最后一排，看着黑板上密密麻麻的积分，脑子一片空白。直到很多年之后， 我在网上第一次看到那个绕园的动图，才真正搞懂它。所以今天这条视频说白了是讲给当年那个自己听的。 如果您也曾经被这几个自劝退过评论区，告诉我你当年是在哪门课上第一次碰见他。下一条，我想跟你聊聊，为什么爱因斯坦晚年最爱推着黑板画的也是一堆正弦波。
313老刘的笔记本
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01:38查看AI文稿AI文稿点围着另一个点绕圈圈， 我们记录下单数值方向上的轨迹，就得到了一个波，可以看到人的半径是他的政府 点，旋转的周期也是波的周期，一个圆就代表了一个波，我们再来一个点绕圈圈，两个点一启动，这就是两个波叠加的效果。 再加一个点，四个点，五个点，六个点，七个，八个， 九个十个点，一直加到三百二十个， 他就是方波了，叠加的波越多，也就越逼近方波。如果用其他的波叠加呢？回到最初的一个波，我们叠加另一些频率的，他就像是锯齿一样， 还可以随便叠加一些波，就得到了奇奇怪怪的波。所以对于任何一个周期函数， 都可以看作是一些不同频率的播的叠加，这就是复礼液变换，看完了就点个赞吧！
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15:00查看AI文稿AI文稿先听一个声音，它很纯，像一条规则起伏的波。屏幕右边只需要一根频率柱就能写下它的成分。 现在把三个音同时按下，耳朵听到的是一个和弦，左边的波形却已经纠缠在一起， 可右边仍然能分出三根清楚的柱子。电脑究竟怎样从一条复杂曲线里找出藏在里面的频率强度和起始角度？傅里叶变换就是在时间世界和频率世界之间做翻译。 先把和弦拆开看，第一条波每秒重复的比较慢，第二条更密，第三条最快频率就是一秒钟重复多少次。 波峰有多高，表示这个分量有多强。这叫浮值。波，从周期的哪个位置开始，则由相位决定。现在把同一时刻的三个数值相加下面就得到总波形 暂停。其中任何一个分量，总波形都会立刻改变。请注意，相位变化时，频率和浮值都可以保持不变，可波形的结构仍然不同。所以一张完整的频率配方不只有每种频率有多少，还要记录它从什么角度开始。 复杂波形并不是被神秘的拆碎，我们只是换了一组更适合描述震动的坐标。 接下来做一个看起来奇怪却非常关键的动作，把时间轴绕起来。黄色时针以某个测试频率旋转，蓝色信号在每个时刻改变它的长度。于是原来排在直线上的彩样点被放到负平面上。 测试频率不匹配时，点云向各个方向散开，平均以后大多互相抵消重心留在原点附近 慢慢调快旋转速度。当它正好与信号中的某个频率匹配时，每个周期会落在近似相同的方向点，云不再均匀，平均向量突然变长。长度告诉我们匹配有多强，方向则保留向位。 这里的原不是说信号内部真的装着转轮，它只是把余弦和正弦两个方向放进同一个负数坐标里。 一台绕圈机只能测试一个频率。傅里叶变换要做的是让测试频率从低到高连续扫描。左边是原始复杂波形，中间是正在旋转的匹配器，右边记录重心到原点的距离。 扫过不相关的频率时，曲线贴近底部。扫到三赫兹、五赫兹和八赫兹时，重心依次锁定右侧长出三个峰 风的高度，表示浮直重心的角度，给出向位。换句话说，我们把同一段信号逐个拿去和许多正弦或负指数比较，并记录它们的匹配程度。负里叶变换没有凭空创造频率，它测量的是信号在这些基底层上的投影。 看，这两条波，频率相同，幅值也相同，只是起点不同。它们的弧度谱完全一样，象位谱却不同。对二维图像也一样。 保留原来的弧度，换成随机象位，能量分布还在，结构却几乎消失。保留原来的象位，即使改变幅度轮廓，往往仍能辨认 复制告诉我们各个频率有多强。相位告诉我们它们怎样对齐。丢掉相位就会丢掉信号组织自身的方式。 现在公式终于可以出现了，蓝色波形就是 xt， 黄色旋转时针就是负二派 f t 的 负指数。沿整段时间把缩放后的向量累加变成积分号， 最后得到的负数 xf 同时带着浮值和相位。这条式子没有在做神秘魔法， 它只是在每一个时刻用原信号缩放一个旋转时针，再把整段时间的结果加起来。欧拉公式告诉我们，一个负指数同时装下余弦和正弦两个正交方向。逆变换则把所有频率分量重新叠加回到原来的信号。 逆变换可以被划成一串相连的旋转项链，先用一个项链尾端画出最简单的正弦，再加入第三、第五和更高的。其次，斜坡曲线越来越像方波。 十五项以后，平坦部分已经很接近，可跳变附近仍会出现过冲，继续增加到五十一项，震零区域变窄了，最大过冲却不会简单消失，这就是 dip 现象。 周期信号用负离子束表示为离散斜波。非周期信号，可以理解为周期不断拉长的极限，对应连续频 谱。旋转原画出的闭合图形很迷人，但它主要展示的是负数负离子束如何重建周期曲线。真正的主线仍然是用一组基底测量，再把测量结果叠加回去。 现实里的电脑看不到无限连续的曲线，他拿到的是有限个彩样点。彩样率足够高时，这些点能描述原来的震动。彩样率太低，同一组点却可能落在另一条更慢的坡上。高频就被误认成低频，这叫混叠， 最高可无奇异。辨认的频率是采样率的一半，也就是 nichrist 频率。有限个离散样本经过离散负离子变换，得到有限个离散频率。 负离子束是周期信号的斜波配方。连续负离子变换属于理想的连续事件。 dft 是 电脑处理的有限数组。 fft 不是 新的变换，而是一组更快计算同一个 dft 结果的算法。 直接计算 d f t 可以 想成每个输出都连接全部输入，计算量随 n 的 平方增长。 f f t 利用旋转因子的对称性和周期性，把偶数点与基数点递归拆开，再通过叠形结构合并 八个点时，所有复用关系还看得清。扩展到一千零二十四个点，差距就非常大。典型直接算法需要大约 n 平方次工作，而 f f t 只需 n 乘以对数。 n 定义没变，结果没变，改变的是组织计算的方式。 如果观察窗里正好放下整数个周期，首尾能够接上频谱能量集中在少数频点，把频率改成五点四个周期。窗口边界突然切断，波形能量就向周围泄露。 f f t 没有算错，是有线观察制造了边界不连续。呈上横窗可以降低旁瓣，却会让主办变宽。窗函数总是在主办宽度、旁瓣高度和幅值准确性之间折中。 零填充，只让频谱彩样看起来更密，不会凭空提高真实分辨率。真正的频率分辨率主要由有效观察时常决定。 一段真实声音里，低频嗡声、语音和高频噪声会同时存在。普通傅里叶变换告诉我们有哪些频率，却不告诉他们何时出现。 把一个短窗口沿时间滑动，每到一个位置就计算一次频谱，便得到短时傅里叶变换。 声谱图的横轴是时间，纵轴是频率，颜色表示能量。短窗口能更准确定位突发事件，但频率分辨率较差。长窗口能分清更接近的频率，却模糊了发生时刻。时间定位与频率分辨率是一对不能同时无限提高的尺度。 此时我们还可以圈出五十或六十赫兹附近的窄峰，用限波器压低嗡声， 把一维时间换成二维空间。富里叶思想仍然成立。程序生成的测试图里有大色块、锐利边缘和细密条纹。 二为 fft 测量像素值沿不同空间方向变化的有多快，只保留中心附近的低频，整体轮廓还在，但边缘变得模糊，只保留外围高频。大面积亮度消失，边缘和细纹突出 旋转原图的条纹，屏谱中对应方向也随之旋转。再交换两幅图的幅度与相位结构往往更跟随相位。这些频率不是声音的赫兹，而是空间变化率。 屏谱中的每个点都会影响整幅图像不对应某一个像素。 j pad 主要使用分块离散于弦变换，它是负离子思想的近亲，不能简单说成直接用 f f t 压缩。 在 m r i 里，我们可以从程序生成的仿体出发，对图像做二维复熨液变换得到 k 空间。 先开放中心数据重建，图已经出现整体对比和缓慢变化，再逐步加入外围数据，边缘与细节不断补齐。 k 空间中的每个点都参与整幅图像重建，不和某个像素一一对应。这只是教学模拟，也不代表所有扫描都采用同一种轨迹和简单重建。在 n m 二中线圈，先记录随时间衰减震荡的自由感应衰减信号，也就是 fit 附里液变换，把它变成不同化学位移位置的普峰。衰减越快，时间信号越短，频域普峰通常越宽。 同一个变换可以面对完全不同的信号音频把波形送进均衡器，特定频段被抬高或压低。无线通信，把多个正交子再拨，用 if 合成接收端再用 fft 分 离。 机械监测，从加速度频谱里寻找转频、背频和轴承故障边带电力系统用斜波分析评估三次、五次、七次成分与电能质量、 ct 的 滤波反投影、天文干涉的空间频率采样、光学的原厂演示图像去除周期噪声以及用谱方法求解偏微分方程，都在利用同一种转换，把原坐标里纠缠的问题放到频率坐标中分开处理。 应用不同原始数据，不同背后的数学语言却彼此相通。 现在回看整条旅程，复杂声音变成三个纯音波形绕在圆上重心找出匹配频率，二维图像变成空间频率， fape 变成 n m r 普风 k 空间重建出 m r i。 图像复联变换没有改变信号，只改变了我们描述信号的坐标。 很多在时间或空间里纠缠在一起的问题，换到频率世界后就会分开。最后留三个问题，为什么幅度谱相同信号仍可能不同？为什么延长观察时间能提高频率分辨率？ 为什么 f f t 不是 一种新的负离子变换？当你能用图像回答它们，负离子变换就不再只是一行公式。
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01:12查看AI文稿AI文稿拉普拉斯变换到底在干什么？它是富里页变换的升级版。富里页变换把信号拆成不同频率的正弦波，但它有一个前提，信号必须是稳定的。 负离子变换的核心是乘以 e 的 负 i omega t 次方，这是一个纯旋转因子，魔长永远是 e， 所以 它只对稳定信号有效。但如果信号在增长呢？指数增长的信号，负离子变换会发散。积分算不出来，负离子就失效了。 拉普拉斯的妙招，加一个衰减因子 e 的 负希格玛 t 次方，让增长信号强制衰减。 衰减包络线是这两条橙色曲线，信号被压住之后，积分就收敛了。拉普拉斯变换的公式长这样， s 是 一个负数，等于 c 个码，加 i omega。 当希格玛等于零，它就退化为负熵液变换。希格玛大于零就是拉普拉斯的独门武器。衰减加旋转一举解决发散问题。 一句话总结，拉普拉斯变幻就是复理液变幻加上衰减因子，它把微分方程变成代数方程，是工程和物理中最强大的数学工具之一。
627秒懂公式
15:27查看AI文稿AI文稿我们有一个 x 轴和一个 y 轴，让我们也创建一个代表角度 theta 的 轴， 绿线按角度 theta 旋转。 对于每个 theta 值， x 坐标代表 theta 的 余弦， y 坐标代表 theta 的 正弦 角度。 theta 的 取值范围可以是负无穷到正无穷。 这种二维模式就是我们所说的正弦波。 我们可以改变正弦波的振 幅、相位 和频率。 假设有两个相同的正弦波，只是它们的振幅不同。 如果我们把这两个正弦波相加，结果可以用图形表示如下， 现在假设这两个正弦波还具有不同的象位， 这两个波形的和可以用图形表示成这样。 只要这两个正弦波的频率相同，它们的和将始终是另一个频率完全相同的正弦波，但具有不同的振幅和象位。 现在假设这两个正旋波还具有不同的频率。 如果我们把不同频率的正旋波相加，那么得到的波形就不再是正旋波。 我们可以 把四个正旋波相加， 我们可以把五个正弦波相加。 事实上，我们可以将无限多个正弦波相加。 在这里，通过将无限多个正弦波相加，我们产生了一个看起来像这样的图案。 现在让我们将另一组不同的郑贤波相加。 通过将无限多个正弦波相加，我们产生了另一个看起来像这样的图案。 事实证明，所有存在的波形和函数都可以通过将不同组的正弦波相加而生成。 在此处显示的两个视力中，所有正弦波的总和恰好形成了重复的波形。 在这些情况下，只需要某些频率的正弦波， 且每个正弦波都有可测量的振幅， 非重复波形也可以通过将多个正弦波相加而生成。 但在这些情况下，可能需要所有可能频率的正弦波， 且每个正弦波的振幅都无限小。 当无限多个振幅无限小的正弦波相加时，结果可以是我们能看见并测量的波形。 这和我们把无限多张无限薄的纸片叠在一起一样。尽管每张纸片自身的体积为零，但它们的组合可以形成我们能看到并测量的实际体积的物体。 有些纸片可能比其他纸片大， 尽管每张纸片自身的体积为零，但当我们把无限多张纸片叠在一起时，我们将能够测量该物体的密度。物体某些部分的密度会高于其他部分的密度。 类似的，当我们把无限多个正弦波以无限小的振幅叠加起来时，就能衡量频率的密集程度，而某些频率附近的频率密度会高于其他频率。 这就是我们所说的波形的频谱。 所有信号和波形都有自己的频谱， 当信号和波形与物理对象相互作用时，他们的频谱会发生改变。 通过理解频谱如何被改变，我们就能理解信号和波形如何被改变。 现实中看到的信号和波形都有起点和终点， 然而，这些信号和波形中的每一个都可以看作无数个正弦波的组合，而每个正弦波都没有起点或终点， 只是所有这些正弦波在除信号存在的时间以外的所有时刻恰好完全相互抵消。 因此，现实中看到的所有信号都可以看作无数个自时间起始以来就始终存在并将永远持续下去的正弦波的组合。 更多数学信息可在本频道其他视频中找到，请订阅，以便在新视频发布时收到通知。
23领跑
06:14查看AI文稿AI文稿大家好啊，讲了这么多期的护理液啊，好像没怎么讲过频谱图是怎么看怎么画的啊，那么这一期呢，我就专门给大家讲讲频谱图的第一印象，他应该怎么看怎么画啊。护理液变换的一大作用啊，就是把一个信号从食欲变换到频率啊。 食欲信号就是看一个信号他的能量啊，随时间变化的波动状况啊，就好比这个信号啊，他是随着时间的流逝而波动增强的。我们得知道一个事实，波他是会叠加的， 同样的波形叠加呢，他只是正幅会变大啊，形状什么的都还能保持啊。但是如果不同的波形叠加起来，那么原来的东西呢，就面目全非了啊，就像声音一样啊， 一个人唱一首歌可能好听，一群人同时唱同一首歌呢，也可能好听，但是如果一群人各唱各的，那场面就堪比稻花香里说丰年了，哈哈。 护理液变换的作用呢，就是把这些叠加的毫不讲理的波给拆了，就像现在的通话降噪功能，虽然你的声音和环静音呢混杂了在一起，但是护理液变换呢，可以把它拆开，再把不属于你的频率成分给打掉啊，然后剩下的再合回去啊，这其实就是滤波的原理了。 说到这我们就明白了，知道一个信号能量在不同频率上的分布有多么的重要了啊。如果你要画出能量在不同频率下的分布，也就是频谱图，那你是不是得把频率作为质变量呀？ 好，那我就换一条坐标轴来表示频率。答案，既然是能量在频率上的分布，那么纵坐标呢，就得是能量了， 但是对于波形来讲啊，他的能量是和他的正符的平方成正比的。哎，那我就直接把正符作为重坐标啊，那不也挺直观的吗？假如有一个频谱图是这样的啊，横坐标频率的单位呢，是赫兹啊，他的 间隔为一，就像这样啊，一赫兹，两赫兹，三赫兹，四赫兹啊等等，我们随便挑两个频率来看一下啊。二赫兹的位置高度是三，意思呢，就是组成圆信号的成分里面呢，有一个频率是二赫兹的余弦波形，而且他的正符呢，是三 五赫兹的位置的高度是零点五，意思呢，就是频率是五赫兹的余弦波形呢，他的正幅是零点五啊，大家注意一下啊，频率的间隔呢，主要是和原信号函数的周期是有关的，这个后面会细讲。 于是呢，我们就得到了一个横坐标为频率，重坐标为正符的图像了，这就是最基础的频谱图了。 大家注意到一个事情了没有？政府代表了什么？物理量和他的单位是什么？我没有说，那是因为众坐标这个政府，他所代表的物理量是跟你研究的对象是相关的。如果你研究的信号是声音，那么政府呢，就是声压， 单位是 pass 卡，也可以是相对升压，单位是分贝。如果你研究的是电压信号，那政府代表的就是电压，单位是福特啊。 哎，大家看这个拼补图，这不就是一个函数图像吗？以频率为之变量，然后对应到不同频率上的正符作为函数值。那这个函数值和复理页变换的公式的关系是什么呀？我们是如何由复理页变换得到这些一个个频率上的函数值的呢？ 之前说复利业级数的时候讲过，一个普通的函数可以分解成一个个正余弦函数的线性叠加公式呢，是这样的， 大家看这里的 a 一 a 二 a 三等等等等啊，这些是什么来的呀？这其实就是每一个波形的政府呀，就好比三眼 x 是这样的，在它前面乘个二呢，它就变得高一些，乘以三三三 x 呢，就更高了啊。举个简单的例子啊，假如有 有一个函数经过复理液级数的分解之后呢，就变成了这样啊， f t 是等于五扣上 t， 加三，扣上二 t， 加零点四，扣上三 t， 再加二，扣上四 t 的。我们先把横坐标画出来先啊， 扣上 t 呢，他所代表的角频率是一弧度每秒啊，扣上二 t 的角频率是二弧度每秒，然后这个呢，是三弧度每秒啊，等等等等。 至于角频率、弧度每秒跟频率赫兹之间的关系，我在前传中就讲过了，这里呢，就不展开了啊，我们来看一下长竖向，也就是零频率的位置啊，他是零，也就是正幅为零，不用画啊， 一弧度每秒的位置，对应的正幅呢是五，所以呢，我们这里的函数值就是五。二弧度每秒的位置啊，对应的正幅呢是三，所以这里的函数值呢，就是三。以此类推，我们就把其他的都画好啊，这样子呢，平谱图就画出来了。所以大家明白复利业级数 为什么要求 an 了吧，因为它就是频谱图里面的函数值呀。可能有同学就会问啊，如果有正弦像，也就是有 bn 怎么办呀？好比上面的这个例子多了一个 sant 啊，简单习惯上呢，我们会把它们都化成于弦的形式啊， 毕竟 a 零长数项呢，它是由抠三点零作为积德来的啊，我们用辅助角公式处理一下啊，全部都变成了余弦的形式，于是呢，就变成了这个样子啊， ft 是等于根号二十六，抠三点 t 减去零点一九七，后面的呢，照抄下来就行了啊， 刚刚的平谱图呢，就得改改了啊，一弧度每秒的位置的正幅呢，就变成了根号的二十六了。哎，那这个负的零点一九七弧度是什么来的呀？这个其实是他的向位啊，向位是相对原来的位置往前或者往后挪了多少啊，因为对 波形来讲啊，虽然大家都是同样的组成成分，但是你往前挪一点，往后挪一点，他们叠加起来的东西啊，可就大不一样了。你想想，一万个人同时唱一首歌啊，那叫做气势恢宏。如果一万个人各自在不同的时间开始唱，哈哈，那画面简直就太美，不敢多看一眼。 所以呢，我们一般呢，还得再画一个向位谱，来记录一下不同频率成分的向位信息啊。这里呢，只有一弧度每秒的时候啊，有负的零点一九七弧度的向位，其他频率向位为零啊，也就是其他频率呢，都是在初始的位置同时开始正的啊，那么向位谱画出来就是这样的啊。 好，至此呢，我们就完成了对频谱图的第一印象的建立了，我们还可以再深入一点，是不是有同学还发现了，有些频谱图是有负频率的，可你上面的这个频谱图的频率却是从零开始的，非负数。不光这个啊，从上面 频谱图来看啊，频谱图反映的是一个离散的函数，但实际上我们常常看到的频谱图却是连续的，那这又是怎么回事呢？还有一些频谱图，他是对称的，而你上面所讲的这些频谱图啊，他一点也不对称呀。哎，别慌啊，这不才第一印象吗， 不过刚好到了我视频长度的极限啊。当然，这不是我的极限啊。可以下期细说，我们下期见。
6494有趣的理工男
04:52查看AI文稿AI文稿图屏压缩医学影响雷达探测 物理变换真正解决的核心难题就是吧，难以看懂的信号随时间怎样变化？ 物理变换会把 x 国号 t 转换 成经过物理变换来到平宇观察图像会在二合子和五合子 大频率没有留下明显风。
445边rap🤘🏻边讲
05:27查看AI文稿AI文稿拉普拉斯变换是副理业变换的升级版，是的，你没有听错，就像功能手机升级到智能手机一样，非常厉害的。那么为什么要升级副理业变换？又有哪些问题呢？ 你可能觉得复理业变幻已经很强大了，既然这么强大，那除了处理信号之外，能不能用它来干点别的？ 比如解危分方程？还真有这个可能，因为复理业变换有一个重要的性质，那就是函数 n 解导数的复理业变换等于其复理业变换乘以 i o m a， g r 的 n 次方。 现在有一个微分方程， y 的二节导数加 y 等于负的 f。 解微分方程就是要把 yt 的函数解析式求出来。我们将微分方程的等式两边同时进行 行复理页变换，再利用函数倒数复理页变换的性质，就能把微分方程变成简单的代数方程了。这里的大 f omega、 大 y、 omega 分别是小 ft 与小 yt 的复理页变换， 这样就很容易求出大 y omega， 然后再通过复理页逆变换就可以得到 yt， 很完美，像变魔术一样就把微分方程解出来了。 这就是传说中的解危分方程的神器吗？还不能高兴的太早，马上就要面临问题了，因为富力爷变幻存在着比较严苛的限制条件，他要求函数必须是有限个断点，有限个集值， 最重要的是他要求函数绝对可击，意思就是信号函数在富无穷到正无穷上必须是有限的，因此无数的常用函数，诸如指数函数、 二次函数，甚至连常数函数都不能进行复理页变换。与此同时，复理页变换在处理信号衰险的时候也面临困难。比如在物理学中，单摆的运动会被看作是一种简协运动， 用一个关于时间的函数来表示他近似于一个正弦曲线。用复理页变换就能得到更简单的疲欲表达，看起来很完美，但是在自然界中却无法真正找到这样的间隙运动，因为真实世界总会受到阻尼的影响，所以实际的运动函数可能是这样的。 事实上，单百会按照一种指数衰减的模型逐渐变小。自然界中有许许多多现象符合指数衰减的规律，比如地震波的传递，放射性物质的衰变。再比如人们记忆的遗忘曲线护理液变 换能告诉我们函数中存在哪些正弦曲线，却不能很好的处理衰减因素。如此一来，拉普拉斯变幻便应运而生。拉普拉斯变幻本质上是复利业变幻，更一般的泛化形式。为了说明什么是拉普拉斯变幻，我们通过一个例子来展开接下来的讲解。 对于不满足复理页变换要求的二次函数 f t 等于 t 的平方，把这个函数乘以一个衰减系数 e 的富伽马 t 次方。这样一来，当 t 趋于无穷大的时候， t 的平方乘以 e 的富伽马 t 次方，在无穷大处的极限是零。 为了把小于零的部分过滤掉，我们再乘以一个单位积月函数，这样就可以得到一个可以进行复理页变换的新函数 g t 了。把 g t 的复理页变换展开，在 把指数部分合并到一起是这样的。然后把伽马加 iomega， 用一个复数 s 代替，这就是拉普拉斯变换，它是一个从食欲到复数欲上的积分变换，其中复数的虚部代表频率，食部代表着衰减因子。 这个函数的输入输出都是负数，所以涉及到四个变量，它的图像可以用一个立体图形来表示。 输入 s 用负平面上任意一点表示。输出 fs 的模长用 s 到曲面的垂直距离来表示，而 fs 的香味就用颜色来表示。 当你把图像画出来，就会知道，复里叶变换其实是三维图像中伽玛等于零时的切面，也就是过须轴的那个切面。这就是为什么拉普拉斯变换使复里叶变换更一般的泛化形式。 现在我们可以结合衰减系数，把任意的函数分解成若干代指数衰减因子的正弦函数的线性组合。这样一来，我们就可以按照真正的衰减规律分解信号了。 更重要的是，拉普拉斯变换没有复利业变换那么多的限制条件，他可以轻松地用于求解微分方程。 现在我们去试一下函数一阶倒数的拉普拉斯变换是这样的，二阶倒数的变换是这样的。再回到刚才的微分方程， y 的二阶倒数加 y 等于负 f， 对方程两边同时进行拉普拉斯变换就是这样的。同样的道理，我们可以得到关于大 ys 的代数方程。求出 ys 之后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以求出函数 yt 了。因为不存在复利 变换那样的限制，他对于大多数函数都适用，所以他被广泛用于求解线性常微分方程、偏微分方程和积分方程等问题。怎么样？关于拉普拉斯变换你了解了吗？今天的讲解就到这里，您可以关注梯度世界，了解更多精彩内容。
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