gamma使用教程

干嘛这个词对很多人来说可能既熟悉又陌生，我们在图像编辑软件或者游戏等等地方都会接触到这个词。其实在我们生活中，几乎所有数字图像的制作和显示都离不开干嘛较真参与。 那么在数字图像领域，特别是摄影摄像领域中，伽马矫正为何无处不在？他又发挥着怎样的作用？这期视频就让我们来探讨一下这个话题，那么欢迎收看这期黑道影记，我是卡尔，先让我们从伽马矫正的起源开始说起吧。 大家还记得以前所谓的大屁股显示器和电视机吗？它就是 c r t 显示器，使用应急射线管来显示图像。这个技术有一个特点，就是它的显示亮度随电压的变化，并不是线性的，而是呈密率响应。也就是说，把线性的图像内容 放入 crt 显示设备中，画面就会看起来变暗很多，特别是画面暗部难以看清。为了解决这个问题，一个方法就是先把输入的图像信号进行处理，使其变亮，这样就能抵消 crt 显示器本身的亮度响应的缺陷。这个变化的过程基本都是在摄像机上完成的， 原因就是相机的数量要远小于电视机，如果在每台 crt 接收器上加上额外的处理功能，这将会更加费钱。说到亮度的信号计算，一定是有一个计算方式的，最简单的一个方式就是使用密率表达式， 其中 v 是电压输出值， a 是一个长数， v in 是输入值，而它的指数用的是希腊字母 gamema。 当我们改变 gamema 具体的数值的时候，也同时改变了对图像亮度的计算方式，所以我们也经常能听到 gamema 加一个数值来表达 gamema 的大致使用标准，比如 满二点二等等。对信息使用类似的这种函数计算可以使画面亮度符合我们的期望。这个过程和方法便是我们一般所说的 dim 矫正。当数值为零到一 a 为一的时候，就构成了简单的乘方运算，我们可以用曲线图来更直观的表达不同的 game 值带来的影响。一为线性，也就是输入与输出是等同的，不做处理。大于一的时候画面的中间调变暗， 当小于一的时候，画面中间掉变亮。很多朋友应该有熟悉的感觉了，因为很多调整图像亮度的工具使用的就是类似这种算法 去改变图像的中间调。当然该买校正实际所使用的函数通常要复杂一些，并且也不是完全统一的，不同软件硬件都会有些许差异，在这里我仅用最简单的方式说明。就像上面提到的 c r t 设备的电光转换 函数 eotf 大致沉密率响应，这种响应曲线也可以看作这些设备的固有该码。虽然不同的 crt 设备有着不同的 eotf， 但是综合来看该码值大约都为二点五， 这时候只要使用倒数二点五分之一作为该满值去改变相机的信号，就能得到一个亮度比例还原的图像。 但最终 ntsc 也就是电视系统委员会给出的标准则是使用了该满二点二，这是为什么呢？其中一个重要的原因是因为考虑到电视通常是在一个比较昏暗的背景下观看的，这会导致人的主观感受出现，叫做对比效应和 crispin 的效应。 为了解释这种错觉，我们就以图为例。这是一组由黑到白的方块，当背景为白色 时，我们会感受到左侧方块间的对比度更强。而当背景换成黑色时，情况则相反，我们会感觉右侧方块的明暗跨度更大。现在，当我们把背景换成灰色，则可以感受到方块之间的对比度相对较为均匀。 当然，因为每个人的视觉感受不同，使用的设备以及光线环境不同，具体观看感受会有差异。这个例子仅作为参考。我们再来看看另外一个例子，依然是将对比主体放入黑白灰三种背景中，但这次我们仅对两个方块之间的对比度进行评价。 大多数的人会倾向于认为在灰色的背景中，两个方块的对比度更强。可以看出，明亮的背景会使主体显得更暗，反之，黑暗的背景会使主体看起来更亮。当背景亮度近似于主体时，我们对主体的对比度的感知将会增强。所以这 解释了在昏暗的背景下看 crt 屏幕，我们会感知对比度稍显不足。因此，在 gmr 二点五的 crt 上，使用矫正不足的 gmr 二点二，将会使得电视机画面的中间调转变得稍暗一点， 这反而会在实践中有更好的观看体验。这样一来，我们在 c r t 上接收的最终亮度大概在 gamer 一点一到一点二，而不是完全的线性。至于 gamer 这个称呼，有一种说法是源自于胶片。 胶片乳剂的感光曲线在亮部和暗部是缓慢变化的，呈现 s 型，在中间大概形成一个与 game 成正比的直线，因此这个词汇也迎到了 c r t。 的响应曲线上。 从我们之前讨论的内容可以看出，伽玛这个术语在图像领域的运用和数学中的伽玛函数的概念是显然不一样的。图像领域的伽玛这个词的运用非常广泛， 除了代表密函数曲线，还可以代表对数或者两者的结合。所以很多相机拍摄的 log 是使用的就是 log， 也就是对数曲线，很多时候也会被称为 gamma 曲线。而在 hdr 内容的讨论中，很多人也已经不再使用 gamma 来称呼 hdr 中的传递函数了。 随着 c r t。 时代的落幕，液晶屏幕时代的开始，液晶显示器 l c d 终于摆脱了 e o t f 飞线性的问题。 l c d 的 e o t f 基本是线性的，也就是和相机传感器是一样的。理论上，我们不必要再使用什么 game 曲线了， 我们把输入的信息直接交给显示器显示就应该不存在任何问题。但事实上，该买校证至今依然应用在几乎所有设备和图像数据中，这又是为什么呢？其中一个原因便是为了兼容以前的 crt 设备， 所以类似改码二点二这样的内容制作标准一直沿用，这样只要符合标准的内容都可以在所有的设备上播放。而另一个原因在当代可能显得更为重要，那就是改码纠正能使数字图像在有限的存储空间下或者更好的观感表现。具体体现在像素色深不足的情况下，图像的色彩带问题会得到有效的缓解， 而其背后的原理和我们人眼的飞泄性亮度感知有关。下面就让我们来更细节的探讨一下这个问题。 心理物理学是专门研究如何定量感知的学科。研究这门学科的大量实验表明， 人类的感知包括视觉、听觉、触觉等等，几乎都是非线性的。比如，在心理物理学家韦伯对重量感知的研究中发现，手持一百克的物体时需要继续添加重量，到一百零五克时才能感知到重量 变化。而在手持两千克时，则需要再增加一百克才能感知到变化。各类研究还发现，人的许多感知都符合飞线性的特征。 心理物理学家斯基文斯就认为，人的许多感知，其中包括亮度感知都符合密定律。这张图显示了主观感受的亮度和外界光线刺激之间的关系。我们可以从图上看到，随着亮度不断增加，我们需要更多的刺激才能感受到和之前一样的强度变化。 以生活中的例子来说明的话，在一个房间中打开一盏灯的亮度和打开两盏灯的亮度并不会差一倍，我们只会感受到开两盏灯比开一盏灯稍微亮了一点。 总的来说，人的视觉感知不是绝对的，而是飞线性的。而斯蒂文斯的秘法则在除了极暗和极亮的情况外，都是相对比较准确的。值得重申的是，亮度感知是复杂的，人与人之间的感知 有着个体差异。此外，具体的观察条件和观察方式也会影响观看者的亮度感知。如果我们使用客观的检测设备，比如测光器或者相机传感器，这些设备检测到的亮度将会还原光线真实的能量强度关系， 每一个单位的光子进入传感器，就会有一个单位的电子产生，所以相机传感器的亮度感知是线性的，而不像人的亮度感知那样是非线性的。如果人眼看到的是一个黑色到白色的均匀过度的场景，那么相机所能感受到的将会是一个大部分为亮色的图像。 虽然人眼和数码设备的亮度感知不一样，但是只要相机和 l、 c、 d 屏幕显示的亮度曲线一致，那么拍摄的数码文件用 l、 c、 d 屏幕观看就应该不存在问题。就像除了兼容 c、 r、 t 设备的原因外，使用干嘛较真的另一个原因则是为了在图像色深有限的情况下，更有效的利用存储空间，减少色彩带的问题。我们先来看看没有使用干嘛较真的情况下，用五 b 也就是三十二个色阶来记录数据的话，从暗到亮的渐变图像看起来会如何？ 我们可以很明显的在暗部看到颜色断层，这便是因为我们的亮度感知与相机不同导致的。我们现在再以图表的方式来进一步剖析这个问题。 从图上可以看出，我们人的亮度感知为曲线，而相机记录了亮度信号为线性。比如我们人眼感知到百分之五十左右的亮度时， 可能相机只会感受到百分之二十左右的亮度。如果我们用均分的方式来记录亮度信号的话，那么就会导致最终以人眼来看，暗部信息数据量要比亮部数据信息来的更少。 在这个例子里的话，我们用了两成的空间记录了暗部，用八成的空间记录亮部。这种不合理的结果也和刚才我们看的演示图片相符合。显然，这种存储方式是不合理的。一种解决方法是采用更高色深来记录图像，用数据量来解决问题。 比如十四 beats 的 roll 格式，有着十六万的色深，足以弥补亮度信息记录不符合人眼感知的问题。 我们可以看到，若格式记录下的颜色过度非常顺滑，而在不少影视特效或者三 d 工作流中，甚至会用到十六 bs 或者三十二 bs 在身的文件。那么另一种解决方法就是将原始数据转化为更符合人眼亮度感知的数据在进行存储。 线性亮度的数据将会套用一种色调曲线来进行校正，而目前最主要的校正方法便是改版校正。非常巧合的是，我们人眼对亮度的感知 和 c r t 的 e o t f 都是飞线性的，并且呈现的密率关系比较接近。这时的我们沿用 c r t 时代的 game 二点二时，也能正好使数码数据转变为更符合人眼亮度感知的数据。 以最常见的相机拍摄 japan 格式照片为例，标准的 japan 会使用 s r g b 或 adobe r g b 标准，这两个标准使用的是 gamer 二点二 线性色调的图像在存储时会先使用改码二点二分之一进行处理，这个过程称为改码 including， 使用的改码值叫图像文件改码之后，我们观看文件时将会使用改码二点二进行处理 一次来还原原有的线性该码，这个过程称为该码 decoding。 显示器使用的还原该码一般称之为 display， 该码最终经过层层校正之后的最终该码值称为系统该码也可以称作 o t f 光对光转换函数。如此一来，使用 game 纠正就可以解决记录下的图像亮度不符合我们人眼感知的问题，从而更好的利用数据空间。最终人眼接收的亮度和捕获场景亮度之间的关系可以称之为系统 game。 我们回到之前五 beast 图像例子，这时候如果我们使用 game 纠正， 那么使用同样的五比四的文件可以记录下更加合理的亮度分布。当然，一般拍摄 jippig 和视频使用的是八比四色神配合改买校正可以使得图片看起来几乎不存在颜色断层。改买的运用可以说是无处不在， 几乎所有我们能看到的数字图片和显示过程都有 game man 较真的参与。现在一般的显示器、电视机在显示非 hdr 内容时，基本上默认都是使用 game man 二点二的标准。操作系统方面， windows 和二零零九年 mac oa x 十点六厚的系统都默认采用了改码二点二。在此之前， mac 系统为了能更好的兼容商业打印机，默认使用的是一点八。 可以看到，目前显示器、电视机操作系统都以该码二点二或者近似二点二作为默认的标准。值得注意的是，上面所说的该码标准都是近似值，比如 srgb 里的该码二点二并非就是纯粹的密运算，而是做过一些调整， 这主要是数学上为了避免出现无限或零的斜率。当然也有不少显示器可以设置切换不同的该码值，并且也可以通过软件层面去改变该码的显示。 之前我们提到显示器和图片使用标准基本都是该买二点二，虽然这在存储文件时会有优势，但是却造成了计算图形内容上的问题。在像素颜色计算上，飞线性的图片应该 先解码，改满后再进行后续的计算，否则可能会出现颜色过度不自然、图像偏暗等等情况。相信不少熟悉三 d 渲染和游戏引擎的朋友会对这个问题有所了解，这也是改满二点二标准盛行之后带来的问题。 刚刚我们提到的图像标准中的 srgb 和 adobe rgb 都采用了 gamer 二点二的标准，而 sdr 视频中最常用的标准是 rec 七零九。 在 rec 七零九发布时本身是没有指定显示 game 标准的，这也导致了视频制作时 rec 七零九的输出可以有多种选择， 其具体对应的改码并不是完全固定的。除了改码二点二，我们在专业显示器或者视频编辑软件中还会接触到注入二点四、二点六等等改码。简单来说，这与制作视频的色彩管理 和最终观众的观看环境有关。比如在达芬奇中，我们可以看到包括 game 二点二、二点四以及 rec 七零九、 cin 等等选项。在为高清电视制定的标准 bt 幺八八六中， 瑞克七零九与 gamma 二点四绑定了起来，二点四也就在很多地方成了一般广播电视节目的标准，包括 netflix 的轿色环境，也推荐使用二点四来作为轿色环境标准， 同时二点四折改满值也和 c r t 二点五的 e o t f 相近。而二点六则是作为院线电影的标准。我们一般制作视频会接触的比较少， 使用这么多种类的，该买的原因主要还是和之前提到的对比效应和 crispin 的效应相关。我们考虑环境对观看亮度的影响时，不能只考虑到屏幕内的内容，屏幕外的内容对色彩感知也是有影响的。 如同一个视频在昏暗的卧室看，使用 gm 二点四，而在明亮的房间更适合使用画面更亮的 gm 二点二。而在电影院这种背景无光的环境则更适合使用 gm 二点六。 这几个视频虽然采用了不一样的该码输出，但是在各自的环境中的主观观看感受基本是一致的。可以看出，该码教程的另一个作用便是调控最终的系统，该码使得观看者在不同环境下看到的主观画面对比度一致。面对这么多的该码标准，我们在制作 sdr 视频时又该怎么选择呢？ 关于这方面的探讨和争论一直没有停止。从不严谨的角度讲，通常我们制作网络上传播的 sdr 视频使用改码二点二、二点四作为标准都是没有太大问题的，毕竟这两种改码在画面上的区别并不是很大。关于这方面的更多的内容，以后有机会我们可以再继续探。 总之，为了获得同样的视觉对比度感知，暗光环境下视频改码应该设置更安，亮光环境下反之需要更亮。 随着时代发展，传统 sdr 中使用的该买矫正方式也显现出了弊端。 现在网络内容成为了最主流的视频传播渠道之一，更重要的是用户也用着不同的设备在不同的环境下观看内容， 每个显示设备的屏幕亮度和对比度也不一样。而像 s d r 视频标准中那样，使用一个固定的系统 game 码值来决定最终用户屏幕显示的内容肯定是不合适的了。 原因在于 sdr 标准中屏幕最大亮度为一百尼特，但是现在的显示设备亮度基本都能远超这个数值，而屏幕的最大亮度也能影响 到最佳的系统该码在 b b c 的 w h p 三零九白皮书中就有测试，不同对比度的显示器将需要通过不同的系统该码来校正，才能看到主观感受相同的画面。因此，理想的情况是应该先把亮度信息转化为线性的数据， 在交由每个显示器单独判断视频的该码教程方式。这种方式的好处在于，每个用户的终端显示设备可以了解观看者的环境，再根据影片的原数据和自身设备的料读性能去改变最终提供给用户的系统该码。 然而， h d r 中的系统该码更多的是由制作端控制，而不是显示端。为了解决不同设备的亮度和对比度差异带来的问题， h d r 主流的两大标准 p q 和 h l g 就采用了两种不同的方式，在一定程度上解决了这个问题。 一般的 sdr 的干码不在乎显示器本身的亮度能力，统一使用一种显示干码，而 p q 与 h l g 的 e o t f 将会随着显示器的峰值亮度而调整。 p q 采用了绝对亮度的方法，而 h l g 采用了相对亮度的方法。 在暗部使用了 game 曲线，在亮部使用了 log 曲线，这使得 hlg 在低亮度显示器，特别是 sdr 显示器的表现比 pq 标准更加自然更多。关于 hdr 方面的内容因为较为复杂，我们还是以后有机会再来讨论吧。 改码较真和各种标准是非常复杂的，这期视频也只是粗略的和大家探讨了一小部分内容。改码较真的概念现在已经深度融入了数字图像的拍摄制作和显示中。 改码矫正流程带来了数据存储优势的同时，也同时提供了一种方法，可以通过调整最终系统改码去弥补背景照明给屏幕内容带来的感知变化。但是改码矫正在绝大多数情况下并不是完美的解决方案，毕竟每个画面在不同的观看条件，不同的屏幕通过不同的人都会有不一样的最佳改码值。 环境对人主观对比度感受造成的影响显然不是一个简单的干嘛较正能解决的，但可以看出，新时代的 hdr 技术已经在着手解决这些问题了。 除了标准的制定以外，显示设备厂商也将在同步创作者的意图和观看者的体验上扮演着重要的角色。之后的节目我们将继续把这个话题延伸下去，谈谈相机的动态范围和 logo 格式。那么本期黑皂影记就到此结束了。如果您还喜欢这样的节目，欢迎关注我们的频道，我们下期见。

伽马函数几乎所有的老师都会讲，但是大家一直记不住，没关系，交给我七分钟，让你永远忘不了。我们先看一下伽马函数的适用范围，它主要解决两种积分的计算。首先，这两种积分的积分区间都是零到正无穷，而且前面一定有一个逆函数 x 的 a 次方，只不过后面有一个乘的是 e 的 负 x 方的阶乘， 还有一个可能是 e 的 负 x 方次方的结成，那么这两个分别等于多少？我们给大家总结了一个记 e 的 方法，如果后面是 e 的 负 x 方次方，那么前面是几次方，结果就是几的结成。如果后面是 e 的 负 x 方次方，那么前面是几次方，结果就是二分之减一除以二的结成。前面如果是 a 次方的话，这个结果就等于二分之， 它减一除以二的结成。但是不要着急，这里需要注意两个问题，我们说结成呢，它是减一往后乘，比如说三的结成， 他就等于从三开始减一，往后乘好三乘，以三减一是二好，再乘以二减一是一，最后只能乘到一。所以说零的阶乘你是写不出来的，因为他只能乘到一，他不能乘到一个负数，那么这个时候呢？我们定义零的阶乘 等于一。其次，阶乘有一个性质，就是一个大数的阶乘，可以写成几个数乘以小数的阶乘。什么意思？你比如说四个阶乘， 他等于从四开始乘，往后每一项减一，那四减一是三，好，再乘以三减一是二，再乘以二减一是一，这个就是四的结成。而七的结成应该是等于从七开始减一，往后乘好七乘以七，减一是六。好，六乘以六，减一是五。然后一直往后乘，乘以四， 乘以三，乘以二，再乘以一。有没有发现这些他正好就是四的结成，所以说一个大数的结成可以写成几个数乘以一个小数的结成，也就是七的结成可以写成七 乘以六，乘以五。那么再往后我直接可以乘上一个四的阶乘就可以。而最初的阶乘的定义呢？它只适用于非负整数，比如说二的阶乘，三的阶乘，四的阶乘。而后面我们使用伽马函数进行拓展，定义了实数和负数的阶乘，同时也定义了分数的阶乘，而分数的阶乘也是减一往后乘。比如说二分之五的阶乘， 可以写成是从二分之五开始减一往后乘，二分之五减一是二分之三，二分之三减一是负的二分之一，负的二分之一减一是负的二分之三，负的二分之三减一是负的二分之五。好，一直乘 乘下去。那根据阶乘的运算性质，他一个大数的阶乘是不是可以写成几个几个数，再乘上一个小数的阶乘。所以说后面这一堆，我们可以直接减写成几个几个数，再乘上一个小数的阶乘。所以说后面这一堆，我们在代码函数里定义负的二分之一的阶乘乘等于根号派。 那我们有了这个定义之后，我们可以很容易的算出一个分数的阶层，比如说二分之三的阶层，他可以写成从二分之三开始减一，往后乘好，乘以 二分之一，再减一是负的二分之一。后面不写了，直接写一个负的二分之一的阶层，那结果应该是等于前面是四分之三，后面负二分之一的阶层，我们定义成根号派，所以结果就是根号派，那么这个时候二分之三的阶层就是四分之三倍的根号派。好，下面我们看一下 立体，先看一下第一组，首先呢，我们注意到后面都是一的负 x 次方，那么这个时候前面是 x 的 几次方，结果就是几的阶乘。那第一个前面没有 应该是 x 的 零次方，因为 x 的 零次方是一嘛，那么这个时候它的结果应该是零的阶乘，也就等于一的。第二个前面是 x 的 一次方，所以结果应该是一的阶乘，也就是一的。第三个前面是三次方，所以结果应该是三的阶乘， 也就是三乘。以二乘以一，结果应该是六的。好，看一下第二组，第二组呢，后面也都是 e 的 负 x 方次方，那么这个时候我们的方法是，前面是 x 的 几次方，结果就是几的阶乘。而第一个前面应该是 x 的 二分之一次方，所以它结果就是二分之一的阶乘。分数的阶乘乘到负二分之一后面全部都改成负二分之一的阶乘，二分之一的阶乘应该是二分之一，再乘以负的二分之一，后面就不要写，直接给上一个负二分之一的阶乘，这结果应该是 二分之一倍的负二分之一的结成没定义成根号派，所以结果就是二分之根号派。好，再看一下第二个后面是 e 的 负 x 方次方，所以前面是几次方，后面就是几的阶乘，而前面应该是 x 的 负的 二分之一次方，所以第二个积分结果就等于负的二分之一的阶乘，也就直接等于根号派。好。第三个前面是二分之三次方，所以结果应该是二分之三次方的阶乘。而分数的阶乘 一直乘乘到负二分之一，后面全给结成就可以了。它结成应该是等于从二分之三开始往后乘，乘以减一的话是二分之一，好，再乘以再减的话是负的二分之一。后面就不要写了，直接写成负二分之一的结成，前面是四分之三，后面我们定义成 根号派，所以结果就等于四分之三倍了，根号派。好，继续我们再看一下第三组，第三组后面全都是 e 的 负 x 方次方，所以结果应该是前面是几次方，结果就是二分之减一除二的结成。好。第一个，前面是 x 的 零次方，所以结果应该是二分之一倍的减一除以二的结成，也就是二分之一倍的 负二分之一的阶乘。而负二分之一的阶乘呢，直接定义成根号派，所以结果就是二分之一倍的根号派。第二个，前面是 x 的 一次方，所以结果应该是二分之一倍的 减一，除以二的结成，也就等于二分之一倍的零的结成，而零的结成我们定义成一，所以结果就是二分之一。第三个，前面是平方，所以结果应该是二分之一减一除以二的结成，也就等于二分之一倍的二分之一的结成。而二分之一的结成应该是等于 从二分之一开始往后乘，它减一是负的二分之一，后面用负的二分之一的阶乘来代替，那结果应该是四分之一倍的根号派。最后我们看一下第四组，它需要用到积分模板。我们说所有的积分模板都是由积分公式推过来的，举个例子，比如 sin x 的 不定积分 是等于负的，口乘 x 加 c 的， 这个就是我们的积分公式。而由积分公式怎么得到一个积分模板，只需要把整个公式里的所有的 x， 包括 d 的 后面的这个 x 全都改成框框，就会得到我们的积分模板。所以这节课我们有了两个积分公式之后，我们可以直接把这两个积分公式里的所有的 x 全都改成框框，进而推出 两个积分的模板。而在具体做题的过程当中，这个框框究竟是谁，得看一下指数函数。指数函数部分决定了最终的框框是谁。比如我们看一下第一个题，我们首先有一个积分模板，在领到正无穷上框框的 a 四方， 领到正无穷上框框的 a 次方 e 的 负框框次方 d 框框，结果就是 a 的 阶层。如果这个题我们要想用这个模板的话，这个框框究竟凑成谁，取决于这个指数部分，而根据这个指数部分可以确定框框最终是二 x 的。 那确定好框框之后，我们需要把所有的 x 的 地方全都写成二 x， 也就是这个积分，我们需要把所有的 x 全都写成 框框的形式，那前面的 x 需要写成二 x d， 后面的 x 也得写成二 x， 那 这样的话，它的结果就会等于三的结成，我们就可以直接用这个模板。但是现在的问题是，凑完框框的积分跟圆积分是不相等的，你这里多给了一个二的三次方，而这里多乘一个二，也就是多乘一个二的 四次方，也就是十六。为了保证它和圆是相等，你多乘一个十六，应该是再除以一个十六的，所以结果应该是十六分之一倍的三的结成，也就是十六分之 六，约分结果是八分之三。再比如我们看一下第二个题，如果我依然想用这个模板的话，我们得保证所有的框框的地方是一样的才行，那么这个时候最终决定框框是谁的，就是指数部分，所以这个题他的框框就是 a 分 之 x， 那 么下面我们需要把所有的 x 全都写成框框的形式，那前面 我们得除上一个 a， 后面也得除上一个 a， 那 么这样的话就可以凑成我真正想要的模板，而前面是框框的一字方，所以结果应该是一的阶层，也就是一的。但是凑模板之后，新的积分跟原来这个积分是不相等的，我们前面除了一个 a， 后面也除了一个 a， 所以 整体看应该是除了两个 a， 也就是整体应该是除了一个 a 方的。为了保证它和原积分相等，我们需要在前面额外的乘上一个 a 的 平方，需要在前面额外的乘上一个 a 的 平方，所以结果最终就等于 a 方。好，代码函数，我们先讲到这里，我们下期视频再见。

教你一件生成精美 ppt！ 第一步，注册干妈 up 账号首先打开干妈 up 官方网站，点击免费注册，然后输入邮箱账号， 点击使用电子邮件继续。第二步，验证邮箱，登录到我们刚刚注册使用的邮箱，在收件箱找到发件人维该码的邮件，点击 verify your email address， 完成邮箱验证，并完成后续注册流程。 第三步，生成大纲，选择演示文稿，输入主题，然后点击发送按钮，紧接着大纲就生成好了， 当然我们也可以重新生成或者手动修改，然后点击继续按钮。第四步，生成 ppt， 选择 主题，然后点击继续按钮，片刻之后，精美的 ppt 就生成好了， 当然我们也可以修改图片内容及主题等等。最后点击导出按钮，选择导出到 powerpoint， 然后就可以使用了。

最近评论区很多人问我， photoshop， lm 加上 jimmy， 再加上伽玛这个三件套的全流程到底是怎么样一整套用起来的？那我今天呢，就刚好有一个特别典型的职业场景 啊，我的老板呢，让我下周给他一份 ai 在 hr 里的应用的汇报，大概时间是十五分钟。嗯，你会发现真正难的从来不是 ppt 做不出来，而是你了解每个 ai 工具都擅长什么， 以及你到底该怎么样去问 ai， 他 才会真的帮到你。今天我就用这个例子把这个三件套从乱资料到成稿完整的录一遍。 第一步，我先用的是 notebook lm， 因为时间紧，没有时间找太多的资料，所以我就在网上临时找了两个行业相关的文章，然后把我手头上那些零散的资料汇总整理了一下。第一个就是我们老板的一句话，对我这个报告的要求。第二呢，我们就是内部的一个简短的会议纪要。 第三个就是我自己有一些零散的想法。第四个就是这两个行业的文章。然后我们第一步 notebook lm 点击新建， 它有几种方式上传资料来源啊，有网站，然后粘贴文字，还有云端硬盘。我们先把网址 copy 过来，因为它跑网站会稍微用点时间。 那可以看到其实他现在已经把我网站的这个内容做了一个总结，然后我们可以点击添加来源，再把我左边的这些相关的我自己整理的这些比较简短的一些想法会教，还有一些要求给他拷贝过来 好，然后点击插入，可以看到他现在已经在跑了。点击对话， 输入 prompt， 注意这里，我没有让他直接生成 ppt， 而是给他一些角色定位，给他明确的任务要求，比如说让他去关注核心的主线逻辑生成，汇报结构，要做一些取舍等等，然后点击生成。 那在这里边，其实他最主要的任务只是做一件事，他不是写内容，而是先去帮我判断。呃，这十五分钟，管理层到底该听什么？ 呃，也就是说，他真正要做的是识别管理层真正关心的问题，把乱资料生成一条故事线，帮我去完成战略性的结构设计。其实这是最难也是最值钱的一步，同时也是人最容易出错的一步。呃，到这一步，我只解决了一件事，就是我讲什么才是对的。 然后咱们把 notebook 生成的 ppt 的 大纲全部都 copy 到这么来，这是第三步， 是到这么来好，它这个格式最好是不要动。 那到这一步，你会发现， notepointlm 已经给了一个完全可用的 ppt 大 纲，其实已经能够直接做 ppt 了，后面的工具都只是锦上添花。那为什么我还要给放到 germain 呢？那其实我在 prompt 里边有一些明确告诉 germain 它需要做的事情， 比如说它是一个顾问的定位。同时呢，我明确告诉他，不要推翻结构，只是升级表达。注意，这里是最关键的。差一点， notebook lm 输出的是，我已经想清楚了，那 jimmy 要解决的是我站在台上这句话是不是企业里真的会这样说？ 你会看到 jimmy 的 回复，为了适应管理层汇报，表达上少一点描述现状，多一点业务洞察和行动承诺，标题要更具颗粒度， 他基本上都是按照这个原则来进行的一些优化，像原标题，然后优化后的标题呃正文的语言，他也会更接地气的去用一些企业实际在用的接地气的这些语言。那 你会看到其实这些优化后的变化就是从原来的描述型变成了观点型或者是行动型。其实这一步就是把原来那种咨询的味道表述成 hr 负责人在台上能够顺嘴就讲的口语化的语言。很多 ai 其实在做 ppt 的 时候看起来很对，但是很不好用，其实这个就是一个真正的分水岭， 如果你不进真麦，当然也不会发生什么，就是不会错，不会 low， 也不会影响你的专业度。嗯，但是可能会出现你的表述偏分析报告，不是演示文稿，个别页面偏长，需要你手动的再改，也不够口语化，当然如果你个人非常很会讲的话，那也完全 ok 啊。 到伽马这一步其实非常简单，点击黏贴文本，把刚刚正奈已经生成的确定好的 slides 全部都复制黏粘贴过来。在这里我没有写任何的 prompt 啊，直接就是确保让干嘛，他只有一个任务啊，把原本在正在已经确认好的 slides 完整的生成一副可交付的 ppt。 那 在这里有一部非常重要的一点，一定要点击保持此文本的原样，让他确保 slides 的 呃文字和相应的一些标准界限，不能再做任何修改。点击生成， 这就是伽马排版交付后的 ppt 啊，可以看到它基本上保留了文本的原样。那这里边的语言其实基本上都是企业目前的一些现状，经常在使用的一些语言啊，比较接地气，符合目前的一些啊，大家在企业当中经常用的。 那其实从这三件套的全部的流程来看，我自己也会有一个发现啊，就是 ai， 其实做 ppt 的 关键可能不是哪家的工具更强，然后一键生成，而是说可能我们更多的要去了解每一个 ai 工具它所擅长的地方，然后把你的 prompt 用在正确的位置上， 像 notebook 它的 promt 我 就更多的让它去想想，没想清楚啊，然后这么大的 promt 呢？我是让它给我说的更像一个企业的管理者。然后我越来越深刻感觉到，就是很多人都在研究 ai 工具，但真正的拉开差距的可能还是你敢不敢就把怎么去问问题这件事去认真的对待。 那如果你也对刚刚的三件套全流程包括 prom 的 感兴趣的话，评论区可以把我这两个真实在用的 prom 的 模板单独整理出来。好，那今天就分享到这里啦，下期再见。

我们今天来讲伽玛分布，然后因为刚刚录的视频没有把声音录进去，所以我就再讲一遍 啊，要说伽玛分布，我们得从指数分布开始说起，比如说，呃，你在等，在公交站等车，那么这个车每十分钟来一辆， 然后呃，我们把 t 就 设成从现在开始等到下一辆车来需所需要的时间，那么呃， t 是 不知不知道的， t 是 大于等于零的，因为时间永远一定是呃恢复的， 那么这个就是指数分布的啊，含义就是拉莫达可以表示每单位时间发生多少次，那么在这个例子中，十分钟发生一次 就是来一辆车，那么平均下来就是每分钟来十分之一辆车，就是每分钟发生十分之一次，虽然就是不能啊化成十啊，我们可以这样理解，就是每分钟发生十分之一次，那么啊，他的 他的期望就是拉姆达分之一就是十，然后 t 是 服从啊， exp 的 拉姆达的，然后他的密度啊。概率函数可以这样写，拉姆达乘一个 e 的 负拉姆达 t 字方，其实其中 t 大 于等于零， 当 t 等于零的时候啊， e 的 零字方等于一，然后 f 零， f 零就等于 f， 零就等于那么大，然后随着 t 变大， f 是 f 是 急剧的减小的，因为它这里是指数函数，它这里是指数，所以指数是非常剧烈的啊，因为还，而且这里是负数，所以它是非常剧烈的在减小的。当 t 变大的时候， 那么呃，我们经常就是问，就题目中会问的问题就是，呃超过 t 的 概率，就比如说每十分钟来一辆车，那么问，呃，如果有一个人在等车的话，等的时间超过十分钟的概率是多少？那就是 p 大 t 大 于小 t 就是 十的概率，等于它就等于呃 lama da 呃它，它就等于，我看一下它，它是等于，它是等于 e 的 负 lama t 字旁的。 而且指数分布有一个特性，就是它是没有记忆性的，就可以用这个式子来表达 p 在 t 大 于 s 的 条件下， t 大 于 s 加 t 的 概率就等于啊 t 大 于 t 的 概率。嗯，我们可以用它的用，用这个式子来用这个式子代入来看一下。 t 大 于 s 加 t 就是 e 的 负拉姆的括号， s 加 t 次方，然后 t 大 于 s 就是 e 的 负拉姆的 s 次方， 然后上下呃，把 s e 约掉，就只剩下 e 的 弗拉姆大 t 字方，也就是说呃，也就等于屁呃， t 大 于大于大于小 t， 所以 说它是没有记忆性的，就是呃你之前等了多少时间，跟你之后还需要等多少时间，它是没有任何联系的。 那么啊，这是伽玛分布的基础，就是指数分布，他是累积了好几次的指数分布，多个指数分布等待时间的总和。 比如说啊 t 一 到 t k， 然后每一个 t 都是满足一个相同的指数分布的，那么如果把它加起来，那，那就它这个大 t， 它就是满足伽马分布的。然后它有两个参数，一个是 k， 然后一个是刚刚指数分布的参数拉姆达， 它表示等到 d k 次事件所发生的总时间，然后 k 一 般叫，一般叫做肃立 rate。 然后啦，啊，伽马分布的概率密度函数是这三个部分啊，先是这，这里是阿尔法的部分，这里是 x 的 部分，这是 e e 的 弗朗曼， e 的 弗朗的 x 的 部分，然后啊， x 大 于零，而且前面这一部分其实就是呃，为了归一化的， 因为 f t f x， 它在总区间上的积分要必须要等于一，然后这一这一部分阿尔法是一个已知的它，它是完完全完全为了归一化的，我们可以把伽马阿尔法写出来，它就等于零到正无穷 t 的 阿尔法减一 e 的 负 t 次方抵 t， 伽马分布还有一个性质，就是伽马 k 等于 k 减一的阶乘啊，我们可以就是啊，伽马 x 加一等于 x 乘一个伽马 x， 我 们可以就是来推导一下， 用，主要用啊，主要用分布积分的方式啊， u 抵 v 就 等于 u v 乘一个 v 抵 u， 然后把伽马三代入，代入，可以算出来。最后啊，这里这里 u 就是 t 的 平方，然后 v v 就是 负的 e 的 负 t 次方，因为他的导数 e 的 负 t 次方的导数是负 e 的 负 t 次方，然后这里 这里这里是正的，所以我们在这前面要加一个负号，那么一般的呃，我们可以把 t 设成 u， 然后 v 就是 负 e 的 负 t 子方， 然后 u v 就是 t 乘一个它，然后减去一个 v v 底 u 在 这里， 然后还有然后前面这一项，前面这一项 t 趋近于无穷和趋 t 趋在零这一点，他这一项的值都是零，所以前面这一项就直接没有了， 然后后面这一项，这里是负号，这里是负号，负负得正，然后就等于零到正无穷 e 的 负 t 符号 d t， 然后他是，他是等于一的， 就是啊，因为它它是负 e 的 负 t 次方，然后零到无穷无穷的时候它等于零，然后零的时候 e 的 零，次方等于一， 然后我们可以，我们可以啊，算一下，伽马尔法加一，它就等于啊，它就等于这个是是 u， 然后这里是 v， 然后 u， v 和刚刚一样，他在无穷和零的部分，这前面这个十字都等于零，然后后面后面又是负负得正，然后乘一个 v， d， u， 然后在这里，在这里他就变成了阿尔法乘一个呃，零到正无穷上的积分，然后我们会发现这里的这个积分他正好就是伽马阿尔法， 所以所以推出来的这个式子就是伽马阿尔法加一就等于伽马乘一啊，阿尔法乘一个伽马阿尔法， 然后我们就可以发现啊，伽马三等于二，伽马四等于三乘，一个伽马三就 三乘二，伽玛五就等于四乘，一个伽玛四就等于四乘，三乘二，然后伽玛一就等于一，所以说呃，退出来，伽玛 k 就 等于 k 减一的阶乘，这就是伽玛分布的一些基本。

今天我们来介绍伽马函数，因为想不出来什么标题党，不如直接就开始吧。在开始之前，我们先看一下课本上是怎么讲的，这个是同济高数第七版，在目录上能看到伽马函数，来看看是怎么介绍的吧。 首先给出了他的积分定义，然后讨论了其合理性，给出了图像，这里用分布积分找到了地推关系，然后就能得到 s， 取安的时候确实是结成，这里空降了余元公式还不做证明，然后用干嘛函数表示了高斯积分。总结就是一句话 讲了，但是没完全讲，就像泰戈尔的鸟一样飞过而不留痕迹。这个视频叫做伽玛函数入门指北，只在让大家能够像看勒一样看伽玛。我们之前说过伽玛函数是阶层的拓展，然而几乎所有的介绍都是上来就给你一坨积分，这样的方式上来就能劝退 畏惧积分的人，所以我们这里采取一种符合直觉的方式。首先我们还是回归阶层，我们首先假设一个函数是满足阶层关系的，那么至少他应该满足这样的地推关系。我们说这个地推关系才是干嘛函数的本质，我们虽然不能很快求解出来这个方程，但是我们 可以不断利用地推式让自变量跑到很远的地方。我们让 m 比 z 大很多，所以对于按来说应该可以利用阶层的算法，这样有点胡乱的计算，所以我们可以得到这个函数应该具有这样的形式。接下来是一个天真无邪的想法， 如果自己很小而安很大，那么我们是不是可以让这些数基本上等同于 n 呢？因为我们有这两个都是等价的无穷大，所以我们就得到了一个这样的表达式，这是完全符合直觉的，所以我们就用这个极限 表示伽马函数。我们可以尝试把自己等于一代入，会发现结果就是一同理，代入二三，结果与阶层一样。也许有人会对极限定义函数感到恐惧，但是你看看下面的兄弟俩是不是就能接受了呢？做一点简单处理， 我们能够得到一个等价的形式，这个式子就是 game 函数的无穷成绩展开，其中小 game 是欧拉长数。从这个表达我们可以轻易看出， 伽马函数的倒数在最大于零的时候是横正的，当自以为非正整数的时候，倒数具有零点，就像这个图一样。由此我们就知道伽马函数在零和负整数处趋于无穷，就像这个图一样。这里我们发现一指数很多 似乎可以通过取消反数约掉，所以通过简单的推导就能得到这样的式子。这就是那个不做证明的余员公式。 我们并未通过什么复杂的积分计算，只是通过直觉得到了这个结果。成绩表达还能给我们带来更多的东西，比如说这两个相乘就能得到倍增公式，这个公式的重要性不亚于余元公式。然而很多地方在介绍的时候显有提及，比如说我们可以用它来计算二分之一的函数值。 乘积表达还有一个应用就是计算无穷乘积，如果这个乘积上面的和等于下面的和，就能用干嘛函数表示。比如这样的平方倒数和乘起来，结果就很容易计算。同样的道理，我们能够计算四次方的乘积。 也许以前你对这种无穷成绩避之不及，但是有了该冒函数后，这都是显然的事情。作为成绩表达的最后一个应用，我们研究一下该冒函数的渐进行为。我们之前聊过求和孤街的欧拉麦克劳林公式，用它可以计算这些求和 的渐进行为。类似的，将干妈取对数，就能得到其渐进的表达式，其中批是博努力多项式。然后我们带回整数，就能得到斯特林公式。斯特林公式是估计的好帮手，比如某些组合数， 估计只需要带入密词就行了。我们稍微做一个总结，我们提到干嘛函数的本质就是地推公式，是为了模仿阶层得到的关系。通过地推公式，我们能够得到成绩表达这个表达确定了干嘛函数的性质。我们知道干嘛函数没有零点， 负整数和零是起点。当 z 趋于无穷的时候，函数值也趋于无穷。由乘积表达式，我们可以得到两条基本公式，第一个是余元公式，他连接了正的和负的自变量值。比如说我们想计算负的值，只需要计算正的就行了。第二个式子是乘积公式，他连 接了成倍数的伽马函数，它和余元公式都能让我们得到二分之一这个特殊值。事实上我们也就知道这一个特殊值了，这个值就像 c 三十度一样，是不可多得的特殊值。最后我们得到了渐进展开， 然后得到了斯特林公式。我们注意到，以上所有的推导都与积分表达无关，我们希望大家在思考的时候可以抓住函数的本质及模仿阶层，而不是通过奇怪的积分被迫接受。但是积分表达是必不可少的， 接下来我们就来推出它。我们还是从成绩表达时入手，比较不好处理的事。分母上的很多 z， 于是我们单独另分母为一个数列。这个数列有很简单的地推关系， 促使我们使用生成函数的办法来求我们设出这样一个函数。很明显，求导一下就能得到这样一个微分方程。这个微分 方程怎么求？长数变异法很容易，想要获取案，只需要计算泰勒展开系数就行。这里我们得到了案的通向公式，容易用分布积分验证他是成立的，一般书上会空降这个式子。最后求极限就可以得到该满函数的积分表达了。注意，这个结果只对积大于零成立。 或许伽马函数最广泛的定义是这样的，但是考虑到解析延拓令大家闻风丧胆，这里就不多说了。伽马函数的兄弟叫 beta 函数，他的定义就是 x 和 e。 x 的成绩积分用伽马函数可以对其进行计算。 或许贝塔函数用的多的理由是，即便是有很多。第一个式子，我们也许能够解决各种开根号的多项是问题。第二个式子是三角函数密的积分，只需要令 q 为二分之一，很容易就能得到点火公式。 最后一个式子是关于分式类型的积分，我们平常碰到的奇怪积分基本上也就这些类型。接下来我们给例子说明。第一个例子是高斯积分，只需要换一下原 t 等于 x 平方就能得到正规的伽马函数了。第二个例子是点火公式， 其实就是贝特函数，也不需要去记忆三百二十一点火，直接用干嘛写就行了。注意这里对 n 加二分之一用了成绩公式，可以自己推导一下。 第三个例子是麻省积分竞赛题，答题的时间是四分钟，如果用 beta 函数的话可能就比较容易，听说两位决赛的选手都没做出来， 只能说 m。 最后一个例子不知道是哪里的，他有几何意义，但是因为很简单，直接写就行了。如果没有贝特函数，你会用什么方法做呢？这些例子看起来可能很简单， 但是可以从各个方面展示 game 和 beta 的使用。最后我们介绍一个 beta 函数的拓展，迪丽克雷积分我们考虑 n 重积分，其中积分线是一个广义的三棱锥，对任意 fn 重积分可以化减成一维的积分。很明显，当 f 为一积分为一重的时候，正是 beta 函数。 这个积分看起来很吓人，但是运用起来是很容易的。第一个例子是三重积分，这个在重积分的时候是基础的题目，你可以尝试用重积分的办法来做，看看是否容易。如果用迪丽克雷积分，直接看就知道答案了。 第二个例子是按围球体积的计算，同样处理一下很快就能得到答案。我们举的例子都是比较简单的，只在方便理解，并不想展示富有技巧的方法，那么你学会了吗？

今天带你设置泰坦军团显示器的伽马值。我们打开显示器的 o、 s、 d 菜单，在画面设置部分可以找到伽马值的调节功能。伽马用来调节 s、 d、 r 图像 显示亮度与输入电瓶之间的关系。显示器的每一种图像模式都有自己特有的伽马曲线，而不同行业所输出的影像的伽马值也不同，比如电脑操作系统的界面以及互联网的图像也不同，比如电脑操作系统的界面和视频，一般使用伽马二点二或者伽马 s r g b target， 电视行业使用伽马二点四，电影行业使用伽马二点六。当显示设备的伽马值与影像的伽马值一致时，会显示影像原本的亮度。 当显示设备的伽马值低于影像的伽马值时，影像的暗部区域会被明显提亮。当显示设备的伽马值高于影像的伽马值时，影像的暗部区域会被明显压缩。我们可以利用这 个原理来调整显示器画面的暗部细节强度。对于电脑行业来说，绝大多数的影像干巴值都接近二点二，所以当显示器的干巴值低于二点二时，画面暗部亮度会提升，更加适合用来打 f、 p、 s 等竞技类游戏。当显示器的干巴值高于二点二时，画面暗部会被压缩，更加适合用来刷剧、看电影或者玩 r p g 类游戏。 s r g b 模式的旮旯值为特殊的 s r g b 曲线，这是一条分段曲线，按部被略微提升。所以大家会感觉 s r g b 模式下的色彩，以及开启 a、 c、 m 模式之后的色彩好像有点泛灰，这个是正常的。