数学基础训练八下答案北师大版
今天来更新第五十一题。关于 x 的分式方程，它的解为正数，则 k 的范围分式方程的解为正数。那你先来找到分式方程的解。 找到分式方程的解呢？就把这里面的 k 看作是长数，然后去分母，那最减公分母是 x 减三， x 减去二倍的 x 减三等于 k， x 减二， x 减减负二乘负三呢？是加六等于 k， 那负啊， x 减二， x 是负， x 等于 k 减六，那 x 就等于六。减 k， 分式方程的减为正数，所以六减 k 是大于零的， 解为正数。分式方程的解为正数，说明什么？根据前面的分析，我们知道分式方程的解为正数，说明它第一个是有解 三 x 不等于三，也就是六减配不等于三，所以解为正数。它是可以说明两个结论的，可以带出两个条件。 那最后由一得，由一得。拿 k 六减， k 大于零， 六大于 k， 即 k 是小于六的，且 k 不等于六。减 k 不等于三，那 k 就不等于三。所以最后 k 的范围是 k 小于六，且 k 不等于三。
粉丝306获赞1048
相关视频
02:18
00:20
17:51查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来进行第一章第四节角平分线第二个课时的习题练习。 来看一下常见的题型一共是有两种好。第一种题型三角形三条角平分线性质应用。哎，大家可以自己暂停啊，回忆一下 在一个三角形中，三条角平分线是有怎样的性质对吧？他们三个呢，应该是相交于一点，并且呢，这个点呢，到三条边的距离应该是相等的，对吧？好，咱们一起来看题啊。第一题 如图，在三角形 abc 中，角 abc 和角 acb 的平分线相交于点 o。 哎，这 ob 和 oc 对吧？分别应该是这两个角的角平线。好，那么下列 结论正确的是问我们主要是这个角一和角二他俩之间的关系对吧？哎，那我们想一下啊，既然这个角 abc 和角 acb 这两个角的角平分线相交于点欧， 那说明什么呢？说明在这个三角形 abc 当中啊，他这三条角平分线一定是相交于点欧的。是不是这样？因为这三条角平分线应该是相交于同一点的，我只要确定了其中两条的交点，那么第三条一定也经过这个点， 对吧？哎，这样呢，我就知道什么呢。其实这个 a o 啊，他应该就是这个角 b ac 的角平分线。哎，既然他是角平分线，那么角一和角二的关系应该就是什么呀？他们应该是相等的，对吧？好，所以呢，这个答案应该就是 b 选项。哎，这也提示我们， 我如果想确定啊，这一个三角形当中三条角平分线的焦点位置，我不需要画出三条角平分线，我只要画出两条角平分线，找到他们的焦点，那么第三条角分线角平分线呢？一定也经过这个焦点对吧？好，接下来看第二题。 已知欧式三三角形 abc 那一点线点欧到三边 abbcc 的距离相等 啊。这句话很重要啊。他呀，到这三条边的距离相等，那说明这个点欧应该是什么点呢？ 是不是应该就是这个三角形 abc 的三条角平分线的焦点的对吧？哎，因为表平线的焦点到三条边的距离才相等啊。好，那也就说明什么呢？这个 b o 和 c o 啊，应该就是下面这两个角的角平分线 对吧？好，那已知呢？这个角 b ac 他啊，他呢，是等于一百度了。那求下面这个呗，求这个角 boc 的度数应该是多少对吧？这种题啊，我们以前在这个啊，七年级的时候应该就接触过是吧？应该怎么样来做呢？我想求这个角 boc， 我只要求出下面这两个角。 哎，我还不用分别求出来，我只要把下面这两个角的和求出来，然后用一百八一剪应该就可以了，对吧？哎，那我想求他俩助手怎么办呢？因为这个 bl 和 ceo 是角平分线的对吧？好，我给这个命名啊，我把他命为角一，他命名为角二。然后呢？他是角三，他是角四。哎， 根据这个已知条件，因为这个角 a 等于一百度嘛，对吧？所以呢？角一加上角二，再加上角三，再加上角四，是不是就应该等于这个一百八十度减去角 a 对吧？就应该等于八十度。哎，等于八十度之后呢？我现在想求的是角二加角四，对吧？那角一和角二是相等的，所以呢，这个角一和角二，角一加角二呢，我就可以写成是二倍的角二哎。 那么这个角三和角四也是相等的，那他呢就可以写成是二倍的角四对吧？哎，他俩相加呢，就应该等于八十度啊。那两边同时除以二，是不是就得到了这个角二加角四，应该就是等于四十度啊，哎， 他俩先加等于四十度，那么要求的这个角 boc 呢？就应该等于一百八十度，减去四十度。所以答案呢，应该就是 a 选项一百四十度对吧？ 我们当时在学习的时候啊，应该还总结出来一个规律，就是像这种图形啊，这下面呢两个角的这个角平行线相交一个点，哎。那么这个角的度数跟这个上面这个角的度数，他们俩之间其实是有一些关系的，对吧？有一个什么样的关系？ 应该是这个角 b o c， 应该是等于二分之一倍的角 a， 然后怎么办？加上九十度。 哎，应该是有这样的一个结论的。哎，以后我们在做这种选择题的时候呢，其实可以直接用这个结论去做。比如说你看这个题，给他减 a 是一百度，一百度除以二，是不是五十度啊，五十度加九十，那直接就可以得到答案是一百四了，对吧？哎，这个 关系的推导过程哎，请大家自己去完成，如果有问题的话，大家可以留言。总而言之呢，你把脚 a 当成一个椅子脚，还是用我们这个方法去做就可以了，这个难度不大。如果你能记住这个结论的话，以后遇到选择题或者填空题就 可以。怎么样秒杀他对吧？好，下面啊。第三题如图已知三角形 abc。 哎，然后呢，角 abc 和角 acb 的平 分线相交于点 o。 这个刚才有点像是吧？哎，这个 b、 o 和 c、 o 都是角平行线。然后呢，连接 a、 o 并延长交 b、 c 与点 d。 那这个 a d 是什么呀？是不是应该就是上面这个角 b a、 c 的角平行线啊， 对吧？哎，这个刚才我们已经说过了，这个角平行线肯定得经过这个点欧，这一点啊。所以这样一连 ad 就平分。上面那个啊，就这俩角应该是相等的。我先标一下啊，哎，他俩应该是相等的 好。然后呢？ oh 垂直于 bc 啊。这里有一个垂直，然后告诉我们角 b ac 等于六十度。角 b ac 他如果等于六十度，那这两个角应该各等于三十度呗，对吧？我先标一下啊，哎，他是三十度，他呢？也应该是三十度。 好，继续告诉我们。 o h 的长是三厘米啊。他他的长是三厘米。求谁呢？求这个 o a 的长 长啊。 o a 求他的长应该是多少？这道题啊，其实仔细一看，我想求 o a， 但是给了一个 oh 的长。那这个 o a 和 oh 之间有什么关系吗？好像看不出来有什么关系对吧？通常来说呢，我们想求这个线段长啊，最好能把它放到一个特殊的图形里， 比如说一个直角三角形，对吧？哎，那对这个图形来说呢？这个 ov 啊，他在三角形 abo 里面，这好像也不是一个特殊的三角形。同时我们注意到这两个角啊，是三十度。我们有一个结论啊，如果一个直角三角形， 一个锐角是三十度，他对着直角边等于斜边的一半对吧？哎，但是这两个三十度呢，也没有存在于一个直角三角形当中。那这道题怎么办呢？我们就要考虑来添加辅助线了。哎，现有的条件可能就不能满足我们解题的要求了，对吧？哎，那我们 应该怎样来添加这个辅助线呢？我们必须要利用好这个角平衡线。既然你这个 bocu 啊是角平衡线，我就可以考虑利用一下角平衡线的性质对吧？ 角平分线上的点到这个角，两边的距离相等，那这个 oh 呢，已经是垂直于 bc 了对吧？我如果过点 o 向 ob 再做一条垂线，你看那这条垂线段他 他的长度是不是肯定跟 oh 应该相等啊？因为这个 bo 呢，是这个角 abc 的角平行线的对吧？我如果这样做一个垂直，哎，那这个长度也是三同时呢，我还在这里构造出了一个直角三角形，对吧？ 哎，好像解题就有思路了。好，这就是我们思路啊，就是从这里来的啊。好，添加一个辅助线。我做一个 oe 垂直于 ab 啊，做一个垂直好，因为 oe 也垂直于 ab， oh 又垂直于 bc， 同时呢，这个 bo 又是角 abc 的角平分线对吧？根据角平分线的性质，我就有 oe， 应该是等于 oh 的哎，那么他呢？就应该也等于三厘米。 好， oe 的长是三厘米，那 oe 跟我们要求的这个这个 oa 他们之间有什么关系啊？在直角三角形 aoe 当中， oe 呢，是这个三十度的这个角所对的直角边对吧？哎，那他就应该等于斜边的一半。这是我们学直角三角形里学过的啊。所以呢，这个 o a 就应该等于二倍的 oe。 哎，所以呢，他就应该等于六厘米，对吧？所以呢，这个题啊，答案应该就是六厘米。那么，根据刚才的思路，其实也可以怎么办呢？我也可以过这个点，往 ac 这边做垂线。如果这样做一个垂线，比如说，命名为 f， 对吧？这里是垂直的。那 o f 和这个 oh 的长是不是也应该相等？因为这里也是甲平分线，对吧？哎，你把 of 的长度确定了，他是三，那在这个直角三角形 ao、 f 当中，是不是也可以用同样的这个性质啊，对吧？也能求出来这个 ov 的长度是六厘米，对吧？所以，这两个方法都是可以的啊。好，继续 接下来第四题。如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， o、 a、 o b、 o c、 o d 分别是这 四个角的平分线。哎，就这这个四边形四个内角的平分线呗，对吧？好，让我们求证。 ab 加 cd 等于 a d 加 bc。 这个呀，就是属于利用角平分线来确定这个线段之间的关系了，对吧？给了角平分线，我们就必须要考虑利用角平分线的性质。那得有谁知， 目前这个题目当中啊，一个垂直都没有。所以呢，我们就得考虑，还是得添加辅助线，对吧？我得过这个点后呢，像一个角的两边分别做垂线。比如说，我就像这个角 b、 ad 的两条边分别做垂线啊，我做一个 oh， 垂直于 a、 d， 然后呢，再做一个 oe， 垂直于 ab。 好，这两个啊，都是垂直的哎，那么，根据角平分线的性质，我就应该有这个 oe 啊，应该是等于 oh 的， 对吧？哎，但是呢，这个对我们最后证明这个四条线段之间的关系啊，没有太大的帮助，因为 uh 在中间了，对吧？我们要说明的是边上这个这个线段的他们之间的关系。但是不要急，既然这个 oe 啊，等于了 oh， 我们观察 中间这个边呢，又是公路边，是不是这两个直角三角形应该是全等的呀，对吧？哎，这个也是我们在学啊，讲评论线这部分内容当中很重要的一个结论。 你做完向两边做完垂直以后，你会出现两个全等的三角形。哎，他俩如果全等了，那你想想这个 ae 是不是就应该等于 ah 啊？ 哎，他俩相等他俩。对于我们得到最后的结论是有用的，因为他们分别在这个 ab 和 ab 这两条边上，对吧？好， ae 就等于 ah 了。 好，记住这个结论。那么接下来怎么办呢？我还要再去找其他的关系，对吧？哎，其他关系怎么找呢？参照的刚才的思路，我分别再过点 o， 再向 bc 和向 cd 这两条边来做随线对吧？我做一个 of 垂直于 bc， 然后呢， og 垂直于 cd 啊，这两个都是垂直的。好，那么参考着这个啊，刚才的这个结论是不是 be 应该等于 bf 啊，对吧？哎， be 应该等于 bf， 那同样这个 cf 应该就等于 cg 对吧？ cf 等于 cg。 最后呢，还剩下一个啊， dh 应该等于 dg 啊， dh 等于 dg。 哎，这几个啊，都是参照的刚才的这个，说明这个 ae 等于 ah。 这个方法是一样的。都能判定他有全能，对吧？哎，他俩是全能的。然后呢，他俩是全能的， 他俩也是啊，全能的对吧？好，得到这四个结论之后，接下来我们看我为了判明最后这四条线段之间的关系，根据我现有的结论，我就得把这两条线段呢，就得给他拆开了是吧？比如说，你看 这个 ab 加 cd， 我就可以把它写成什么呢？ ab 我可以把它写成是 ae 加上 be 对吧？哎，那就是等于 ae 加上 b， 然后呢，这个 cd 呢？在这他可以写成是 cg 加上 dg 对吧？再加上 cg， 然后呢，再加上 dg， 哎，把他的拆成这四条线段的合。然后这四条线段根据刚才上面的这个等量关系，他就可以写成什么呢？ ae 等于 ah 对吧？哎，那他就这里就可以给他改为 ah， 然后加上呢， b 是等于 b f 的。哎，就这里呢，就可以换成 bf， 然后再加上 cg 呢，是等于 cf 的啊，他就等于 cf， 然后 dg 呢， dg 等于 dh 啊，哎，把它转换成另外四条线段之和。 然后我们再来看这个 ah 加 dh， 他俩相加， ah 加 dh 是不就是 ad 啊？哎，他俩相加就等于 ad。 然后呢，这两个呢， b f 加 cf 等于什么呀？ bf 在这， cf 在这，他俩相加就应该等于 bc 对吧？哎，就等于 bc。 那你看，那是不是就相当于我们得到了 ab 加 cd 就等于 ad 加 bc 呀， 哎，那这就是最后的结论呢？哎，所以到这里我们就给他证明完毕了对吧？这中间用的都是等量代换是吧？哎，所以呢，这道题是一道什么呀啊？角平线与全等三角形综合的这样的一道题目啊，大家看一下。最后的这个步骤，可以自己核对一下。 好，接下来第二种题型角平分线与垂直平分线综合应用哎，这个呢，就找了一道题啊，也是今天的最后一道题。如图， 在三角形 abc 中， d 为 bc 的终点， d 为 bc 的终点。然后 de 呢，又垂直于 bc， de 又垂直于 bc。 哎，那是不是什么什么呀？这个 de 所在的直线应该就是这个 bc 的垂直平分线呢，对吧？ 好，我们继续啊。然后呢，交 b ac 的平分线 ae 与点 e， 也就是说告诉我们什么呢？这个 ae 是叫啊 b ac 的角。平分线，这两个角应该是相等的啊。 好哎，这里是小平行线，这里呢，这里有一个垂直，这里有一个垂直，对吧？哎，这是后面的一个条件告诉我们的，那是不是相当于告诉我们这个 ef 和这个 eg， 他俩应该是相等的？一边看条件，我们就一边能把一些常见的结论就可以得出来了，对吧？好，我们继续啊。他最后求证的是什么呢？ 求证 bf 等于 cg， b f 在这， cg 在这啊。这两条短短的小线段。哎，要证明的是他俩相等，他俩好像看着八竿子打不着关系的是吧？离得这么老远，也没 没在一个三角形里面是吧？那解决这个问题，我们常用的思路是什么呢？我们还是要考虑来构造全等三角形哎，我们呢，得到两个全等三角形。这两个全等三角形当中， bf 和 cg 啊，应该是两条对应边， 那我就可以得出 bf 等于 cg 了，对吧？那 bf 在哪个三角形当中呢？题目当中，只是在最小的这个小三角形里面是吧？那 cg 呢？好像根本就没有在三角形里。 所以呢，我们必须要添加辅助线了是吧？我可以怎样添加辅助线呢？根据条件，我已经得出了 ef 和 eg 是相等的。哎，那你看 bf 和这个 ef 啊，好像他 可以构造一个三角形，我只要连接 be。 大家思考一下啊，我把 be 连上，那这个 bf 和 ef 是不是都在这个直角三角形 bef 当中了，这个比较长一点的直角三角形，对吧？哎，那这边呢？这个 cg 和 eg 他俩呢？我只要连上 ce， 哎，那他俩也在这个直角三角形里面。我只要想办法证明这两个直角三角形全等，我是不是就可以得出 bf 等于 cg 了呀？这就是我们思路啊，就是这样来的。所以呢，根据以上的考虑，我把 be 和 ce 哎分别进行连接， 得到了两个直角三角形 b、 e、 f 和这个直角三角形 c、 e、 g。 我看看能不能证明这两个直角三角形是全等的啊。好，我锁定了目标带三角形 b、 e、 f 和这个三角形 c、 e、 g。 当中根据现有的条件，有一对直角相等。然后呢，有这个 ef 啊，等于 eg。 这是我们刚才根据角平线的性质得出来的结论对吧？哎， ef 等于 eg， 我现在写上啊，等于 eg。 还有什么条件可以利用呢？现在只有一边和一角，还缺一个条件，对吧？哎，不要忘了，我们刚才已经通过分析得出什么呢。第一啊，他所在的直线呢？是这个必飞的垂直平分线对吧？那我们是不是可以考虑利用垂直平分线的性质啊？ 你看这个 b、 e 和这个 c、 e 是不是应该是相等的呀？因为点 e 是并非垂直平分线上的点。根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离应该是相等的 对吧？哎。所以呢，这个 eb 他就应该等于 ec， 哎。那在这两个直角三角形当中，你看斜边这两条红色的是相等的， 然后呢，这两条直角边也是相等的对吧？我根据他俩利用什么呢？这个斜边直角边的这个判定定理，是不是就可以判定出这两个三角形是全等的对吧？好， 判定出全等之后，你看这个 bf 和这个 cg， 他俩是不是应该就是一组对应边啊，哎。根据全等三角形的性质，对应边相等， 所以我们就得出了 bf 应该就等于 cg。 哎。最后的结论我们就给他证明完了啊，哎。那么这道题呢，就是一道典型的角平分线和线段垂直平分线的一个综合的一个应用。哎，中间呢，还结合了全等三角形的判定，对吧？综合性也 是比较强的啊。大家呢？看一下解题的步骤，自己对照的检查一下。好，今天的习题练习就和大家一起做到这里。我们 我们下次课和大家一起来进行第一章的复习，欢迎大家收看，如果喜欢请关注明老师初中数学课堂，如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
363明老师初中数学课堂
06:44查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们继续来看百十大板八年级下册第一章 三角形的证明中的一道题目。有兴趣的同学可以先看一下这个题目。首先一知如图，三角形 abc 和三角形 ecd 都是等腰直角三角形， 角 acbacb 和角 dce 相等，等于九十度，点地为 ab 边上一点。求证一三角 行 ace 全等于三角形 bcdace 全等于 bcd。 朋友们，第一题看到这两个需要证明拳头的三角形，我们不难发现有已知条件，三角形 abc 和三角形 ecd 都是等于二直角三角形，所以 ec 等于 dcac， 等于 bc。 也就证明了在三角形 ace 和三角形 bcd 有两条边啊，有两组对应的边 是相等的，那想要再证明这两个，再进行全等，我们只需要再证明 剩下的另外一组对应边相等，或者再证明这两组对应边中的夹角相等就可以了。 很明显，我们想要再证明 a、 e 等于 b、 d。 通过已知条件要证明的话比较复杂，而且有一定困难。 所以我们现在的思路是证明角 eca 等于角 dcb。 因为角 eca 是 ec 和 ac 的加角啊，这两条边 他俩的加角，而角 dcb 正好是 dcb 和 bcb 的角组成的角。 所以第一步啊，在正的时候，我们因为啊，三角形 acb 他是一个直角，等上直角三角形，角 acb 等于九十度， 那所以这个角 dcb 就等于九十度减去角 acd。 而角 ecd 也是一个直角，他也等于九十度，那所以角 eca 他也等于九十度减角 acd。 因此 这两个角 eca 和角 dcb 也是相等的。因此由全等三角形证明方法中的边角边，我们就能把这两个三角形啊给全等证明出来了 啊。下面看一下这个解体过程，大家可以暂停一下。 康第一题我们来看第二题。第二题要证明 ad 的平方加 ae 的平方等于 de 的平方。 我们在图中找到这三条边，发现 ad 的平方和 ae 的平方啊，合起来等于 de 的平方，这三条边整好属都属于三角形 aed。 因此我们现在的解题思路啊，就是证明三角形 apd 是一个直角三角形。 因为最后等的这个第一的平方啊，是较长的这一条边，那所以我们现在要证明的是较长这一条第一的边所对应的角 ead 是一个直角。如何来证明呢？ 有已知条件。三角形 acb 是一个等上直角三角形，所以角 cab 它是等于四十五度。那么现在只需要再证明角 eac 等于四十五度就可以了。 因为有一个结论，三角形 ace 啊 ace 全等于三角形 bcd， 那所以角 eac 他对应角啊是 dbc， 他两个相等。因为角 dbc 这个角 b 他是四十五度，那所以角 eac 他也等于四十五度， 那所以角 ea d 就等于角 eac 加上角 dac 等于四十五度，加四十五度 等于九十度。所以三角形 ead 是一个直角三角形。那由股骨定理得 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。所以 ad 的平方加 ab 的平方就等于 db 的平方。下面我们来看一下第二轮的证明过程， 有兴趣的同学可以暂停观看一下， 往后我还会不定期的在平台上更新 八年级下册的数学，有兴趣的同学可以关注一下，谢谢大家。
5铁柱
16:29查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来进行第五章第一节认识分式第二课时的习题练习。 来看一下常见的题型啊，一共是两种。先来看第一种题型分式基本性质的应用。哎，大家可以自己按下暂停键，回顾一下我们所学习的分式的基本性质是什么。 这个呢，跟分数的基本性质是非常类似的，对吧？好，咱们一起来看题目啊。首先第一题，如果把分式 x 加 y 分之 x 中的 x 和 y 都扩大三倍， 那么分市的值将会怎么样发生变化啊？那这个考察的其实就是分市的性。那 xy 如果都扩大三倍，也就可以理解为 x 就会变成什么呢？变成三 x 对吧？好，那这个 y 呢，肯定就会变成三 y。 好，那分母中这个 x 也得变成三 x 对吧？三 x， 然后加上三 y。 哎，那么他应该等于什么呢？是不是我发现在这个分子和分母上可以同时除以三呢？对吧？同时除以三之后呢，是不是就变成了 x 加 y 分之 x， 因为他跟原来这个分式的值应该是 一样的，对吧？哎，所以呢，我们这个题啊，应该选择的就是 b 形象哎，这个呢，就是利用了分式的基本性质来把分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的只不变对吧？好，下面第二题这个等式啊，这个 等于这个哎，成立的条件是什么？我们首先得观察一下这个等号，左边是一个分式哎，右边也是一个分式。那从左到右，他是怎么样来进行这个变形的呢？ 我发现啊，应该是怎么样呢？分子应该是乘以了一个 a 减一对吧，哎，那分母怎么变的？分母其实他也成了一个 a 减一对吧，哎。因为呢，你这个 a 方减一啊，我们可以通过分解因式可以得到什么呢？他等于 a 加一，乘以 a 减一对吧，哎，这个分母他应该等于这个。那很显然，不就是在原来分式的分母上乘上了一个这个 a 减一吗？对吧，也就是把他的分子和分母都成了一个 a 减一对。所以写出来应该是这样的啊，分子哎，乘以一个 a 减一，然后呢，把这个分母原来是 a 加一，他 那也成了一个 a 减。哎，应该是这样进行变化的。但是呢，这里有注意我们啊，因为不知道这个 a 到底是一个什么样的区别。那么，你上下分子和分母同时乘以的，这个 a 减一，是不是对他必须是有要求的， 他是不是一定不能为零啊，对吧？也就是呢，这个 a 减一一定是不等于零的，只有在这个条件之下，你这个等式才能成立。否则，如果 a 减一等于零了，你就是在分子和分母上同时乘以零，对吧？哎，那这种情况肯定是不成立，这不符合分式的基本兴趣。 所以呢，这个乘以条件应该就是 a 减一不等于零。哎。那么 a 呢？就应该是不等于一对吧，哎。所以这道题啊，答案应该是 a 不等于一。哎。考察的呢，也是我们对这个分式基本性质，特别是对于那个啊， 不为零的整式，对吧？同时乘以或者除以不为零的整式，这个不为零这个点进行考察。好。 第二、第三题，下列分式运算中，正确的是首先 a 选项 b 分之 a 等于 bc， 分之 ac。 这个是怎么样变化的呢？是不是在分子和分母上同时乘以一个 c 啊，同时乘以 c， 这里要注意什么呢？ c 是否为零。哎，这个题当中啊，这个 a 选项没有说 c 是否为零，所以他是错误 哎。如果想把它改成正确的，必须在后边加个括号 c 不等于零。只有在 c 不等于零的情况下，你才能在分子和分母上同时乘以 c。 哎，这个啊，分时的时才不变。哎。也就是说什么呢，这种判断正误的题，我们在课上也讲过哈， 你看，对于等号左边的这个分式来说，他一定是有意义的啊。也就是说呢，这道题隐藏的一个条件是 bb 呢，一定是不来的。 但是等号右边的这个分式，因为他是让你判断正误对吧？等号右边这个分式啊，就不一定是有意义的。我们啊，就得看看题目当中有没有声明， 虽然 b 是不等于零的，但是你没有说明 c 不等于零。所以呢，你右边的这个分式就不一定是成立啊。我们做这样题时候，一定要注意，等等号左边默认他是有意义的，但等号右边必须要进行出好必选项。 哎。啊， x 加 y， 分之 x 减 y， 等于 x 减 y， 分之 y 减 x。 这个是怎么变化的呢？我观察分子，分子应该是变为原来的先缓数了，对吧？是， 是不是相当于在这个分子上乘了一个负一啊，对吧？哎，那同样道理，在分母啊，应该也是乘以一个负一。但是我发现，分母如果乘以负一，他根本就不等于右边这个分式的， 他应该是负 x 减 y， 应该是这样的一种形式，对吧？哎，这样呢，他俩才能够相等。对。 b 选项，这个等式根本就不能成立，对吧？哎，对呢，他也是错误的。好，这选项。这个 x 三四方加 x， y 分支， x 减 y。 这个怎么办呢？我们观察一下发现呢，这个分母好像可以提供应式，对吧？好，我不妨提一下试试啊。提，可以提一个 x， 对吧？还剩下一个 x 的平方 加上歪，哎。这个分母可以因是分解为这个，那他和这个分子之间，我们通过观察没有 有公因式对吧？哎，那没有公因式的话怎么办？我们就不能对他进行约分，或者说对他进行化解，对吧？哎。所以呢，他不能等于右边的这个。是啊，他也是错的。那就剩一个 d 选项了，对吧？好，我们一起看一下他应该怎么变的呢？首先，我们观察从左到右，分子 是不是应该是乘以十啊，对吧？哎，把这个分子呢，乘以一个十。好，那么分母我观察是不是也乘以十啊？这零点二 a 到这边是二 a， 这个零点五 b 到这边是五 b， 是不是相当于把它的分母 也成了一个十，对吧？哎。那这个呢，根据分式的基本性质，分子和分母同成一个不为零的整式。哎，这个分式的只是不变的，对吧？哎，所以呢， b 选项啊，他一定是正确的，所以答案就是 必选项。好，接来第二种题型分式的化解求职。这个同样是利用了分式的基本性质啊。好，第四题先化解再求职。哎，两个小题，大家自己按下暂停键进行思考。 好，我们看第一题。这个呢， m 平方减六， m 加九分之 m 平方减九，其中 m 等于五，哎，比方说，直接把 m 等于五带进去对吧？首先一个呢，这样算比较麻烦。另外一个，你也不符合题目要求，要求你先化解，你不能说不化解，直接求取，那可不行。 好，我们看第一题。他这里呢，可以怎样进行化解呢？哎，那也就是说我要找分子和分母，有没有供应式呗，对吧？ 通过观察，我发现直接好像看挂不太容易。但是呢，这个分子和分母都可以进行临时分解，对吧？哎，这个 m 平方减 九，很显他可以分解为 m 加三，再乘以 m 减三，对吧？ 好。然后呢，分母呢？这里是什么呀？这里很显然可以利用完全平方公式进行面式分解，他应该就等于 m 减三。括号的平方，哎，应该等于这个。 到这，我发现是不是他有供应式吧。这个 m 减三就是供应式对吧？哎，分子和分母同时除以 m 减三，那当然 m 减三是不不为零的，因为 m 等于五吗？不等于三，对吧。所以我可以同时除以 m 减三。除完了之后呢，分子就剩下 m 加三， 那分母呢？就剩下 m 减三，哎，到这应该不能再进行化简了，对吧？所以这个呢，就是化简的结果啊。然后呢，后面的步骤应该怎么写？就跟我们整式的化简球是一样的啊，当 m 等于 于五十，对吧。然后呢，这个原式啊，我简单写了啊，原式呢，就应该等于 m 加三，那就是五加三，哎， m 减三，就是五减三，对吧？就选这个，那应该是八除以二，哎，应该呢，剩下就等于四，哎。所以第一个题哎，到这就解决了啊。好，我看第二题。这里呢，分子和分母同样，还是得先进行音式分解对吧？ 分子呢，有一个供应式，应该是 n， 哎， n 提出来，还剩下 m 加 n， 哎，选这个。 那么分母呢？ m 方减 n 方，可以用平方杀公式进行一式分解对吧？那就等于 m 加 n， 然后再乘以括号， m 减 n。 就在这个哎，有公式了， m 加 n， 上下同时除以 m 加 m 加 n。 一看，肯定是归零了，对吧？好，那还剩谁呢？是不是分子 就剩下 n 了？分母剩下 m 减，就等于这个啊，然后当这个 m 等于五啊， n 等于四十，哎，然后呢，原式 他呢，就应该等于啊四，然后除以一个 m， om 等于三啊，看错了啊，这里 m 应该是三， m 等于三， n 等于四十，也就四除以分母，应该就是三减四，对吧？那就是四除以负一，所以答案呢，就是负四。哎，大家可以自己检查核对一下答案对不对啊？好，看下答案， 好在这啊。接下来第五题，已知 a 加二， b 等于二零幺八，哎，则这一个分是他的值应该等于多少？很显，我们通过 这个 a 加二， b 等于二零一八呀，没办法把 a 和 b 的值求出来，对吧？所以呢，这道题很有可能是用什么呢？用整体代入的这样一种方法来进行求持。哎，那首先我们还是要观察，看看给的这个分式能不能进行化解，对吧？ 哎，我们观察一下这个分子和分母啊，好像啊，不能直接化解。那我们还是考虑是不是能进行一式分解的，对吧？这个分子呢，哎，应该有一个公寓式，就是三 分母，应该有一个二，都是可以提出来的，对吧？好，咱们一起试一下。把分子这个三提出来，那还剩谁呢？就剩下 a 方加上 四 a b 再加上四 b 方，哎，是不是选这个了，对吧？好，那分母剩谁呢？可以提一个二哎，然后就剩下一个 a 加上二 b。 好。到这里 好像还没办法直接化解。但是呢，我们发现这个分子，他好像可以继续进行意识分解。这可以用完全平方公式对吧？哎，他就等于三。这里用完全平方公式分解之后呢，应该就是 a 加上二 b 括号的平方。哎。然后呢，分母就是二倍的 a 加上二 b， 就在这个哎，到这，我发现可以进行化解了，对吧？哎，有公式了，公式就是 a 加二 b 上下同时除以 a 加二 b， 就应该等于那分母就剩二了，对吧？分子就剩三倍的 a 加上二 b， 哎，就到这了。哎，到这我发现什么呢？这个 a 加二 b 好像已知条件里边也给了他就等于二零一八，对吧？哎，那把这个 a 加二 b 等于二零一八直接带到这个式子里面是不就行了？因为填空题吗？我不用啊，太在乎这个步骤啊。所以他就应该等于三乘以 二零一八，然后再除以二，对吧？就应该等于这个二零一八。除以二就等于啊，幺零零九，所以他就等于三乘以幺零零九。哎，这个值呢，算上应该就等于三零二七。所以，这个最主要问题答 同样是怎么样的？先把分式进行化解，然后呢？用整体代入求职的这种方法，求出最后的答案。 好，进来。最后一题已知 a 等于啊这大常数。第一个问题让我们化解 a， 那还是化解呗，对吧？那这个分子和分母怎么办呢？还得是先进行阴湿分解，尤其是个分子，对吧？哎，他不能直接进行化解。好，我们一起来看一下。那这个分子我们可以怎么样处理呢？首先我观察一下，他应该是有工艺室，工艺室应该就是这个黑方， 我可以把 a 方提出来，对吧？好， a 方提出来之后还剩谁呢？这里就得用中括号了啊。这个前面这一项提出来 a 方之后，还剩下 a 加上 b 括号的平方，哎。然后呢，后边这边提出来 a 方是不是还剩下一个四 a b 啊， 哎。所以呢，分子哎，提供运势之后应该这样的结果。分母呢？就是分母就没啥好分解的了，对吧？哎，我直接给他抄起来，就这个。 好，那他继续这个啊， a 加 b 括号平方减 cb。 如果说对完全平方公式比较熟悉的同学，应该可以直接看出来，他就应该等于什么呢？他这个中国号里面啊，就应该等于 a 减 b 括号方。 哎，如果说对这公式还不是很熟悉同学，我们再多写。哎。就是说这个 a 加上 b 括号的平方，减去四 ab， 哎，他等于什么呢？我把前面这个先用完全平衡 公式把它展开，就等于 a 方加上二 ab 加上 b 方，对吧？然后后面呢，再减去一个四 ab， 哎，那他就等于什么呢？这里先加上二 ab， 再减去四 ab， 他是不是就等于 a 方减二 a ab， 然后加上 b 方，就等于这个对吧？哎，那他又等于什么呢？他又可以用完全平方公式进行音质分解了。对，他就等于 a 减 b 括号的平方，对吧？哎，所以啊，我们如果说你对公式很熟悉的话，那做这样的题目肯定会减少很多时间了，是吧？ 所以呢，这时候分子就应该变成 a 方乘以括号， a 减 b 括号的平方。哎，就变成这个了。那分母呢？就应该是 a b 乘以括号， a 减 b 括号的平方，对吧？你看这样上下是不是就有公寓式了，对吧？哎， a 减 b， 这个括号 平方，他俩可以约掉，那这个 a 方和下面这个 a a 这个里，这样也可以约掉，对吧？所以呢，他就应该等于 b 分之 a。 看到这，是不是把这个 a 给他化解完毕了对吧？好，这第一个小问我们已经把它解决了。好，第二小问 他说什么呢？如果点批坐标就是 ab 啊，他在这个函数 y 等于负二 x 的图像上 求 a 的值。你看，这个又把分式呢，跟咱们这个一次函数给他结合起来，对吧？哎，很显示这个 y 等于二 x， 他不是个一次函数吗，对吧？ 既然你这个点在函数图像上，那也就说明什么呢？你这个点，他的横坐标和纵坐标一定要满足这个函数的关系式，对吧？好，那纵坐标是 b， 横坐标是 a， 所以 ab 之间是不是有 关系啊？应该有什么样的关系呢？应该就是把这个 y 用 b 来替换掉，把 x 用 a 来替换掉。也就是说呢， b 应该是等于负二 a 的。 有这样的一个结论哎，等一会我们还还可以可以看下具体的步骤啊，我们这里简单写一下。哎，因为这个点在这个函数图像上，所以呢， b 就等于负二 a， 有了 b 等于负二 a 之后，让我们求这个这个这个大 a 的值对吧？那大 a 我们已经化简得到这样的一个结果了，所以呢，我们就可以写这个大 a， 这时候就等于什么呢？因为 b 等于负二 a 对吧？所以呢， b 就可以用负二 a 来给他提供掉， 那就等于 a 比上这个负二 a 是不是等于这个哎，那剩下这两个 a 是不是就可以约掉了，所以他就应该等于负的二分之一。通过这个方式，我们就求出了这个大 a 的取值。 好，咱们看下答案啊。所以呢，我们每次啊学了一些新的知识之后，一定不要忘了把以前学过的知识一定要给他记清楚。看这个又结合了这个一色函数的这个图像对吧？哎，所以呢啊，咱们学知的时候一定要要给他全部的记清楚啊，不要学了新知识就把旧知识忘掉啊。 那以上呢，就是我们今天这次课要和大家做的练习。下节课和大家一起来学习第五章的第二节分式的成熟法，欢迎大家收看。如果喜欢请关注明老师初中数学课堂。如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
409明老师初中数学课堂
13:45查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来进行第二章第一节不等关系的习题练习。来看一下常见的题型，共有四种题型。 首先来第一种不等式的判别，这个呀，其实考察的就是大家对这个不等式的定义啊，是不是掌握了啊？好，来看第一题，下面五个式子，一二三四五，其中是不等式的有几个，哎，大家呢，自己按下暂停键进行思考啊。 好，第一个，七大于零，这肯定是不老实，对吧，他是用大于号来连接的啊。第二个呢，四 s 加三， y 大于零，哎，他也是不老实。 第三个， x 等于二，就是他是用等号进行连接的，对吧，所以他是一个等式，哎，那他就不是不等式了啊。第四个呢， x 减一，没有 有那个不等的符号，对吧？哎，这个他也不是。第五个呢， x 加二小于等于三，哎，他是用这个小于等于号连接，所以他也是不等式啊，所以呢，一二五这三个都是不等式，答案呢，应该就是三个，是吧，哎，必选项。 接下来第二种题型，利用竖轴来求不等关系。看一下第二题，若 a 加 b 小于零， b 大于点，那么则 a 负 a， b 负 b 的大小关系应该是多少？我们解决这样的问题啊，其实呢，最好啊，就是利用竖轴来解决，哎，直观，然后呢，哎，又比较清楚看的对吧？好，我把这个竖轴先画一下啊， 这是一个竖轴，然后呢，我还得画出他的那个圆点，对吧？这啊，原来这里零，好，接下来继续。他说 b 呢是大于零的，那我就假设啊，哎， b 在这好，然后同时他又说呢， a 加 b 是小于零的，你看 b 啊，他是一个正的，对吧？ a 加 b 呢，是一个负数，那说明什么呀？说明这个 a 的位置应该在哪里呢？是不是 a， 首先他肯定得是一个负数，对吧？他肯定得在这个圆点的左侧，那 a 的绝对值跟 b 的绝对值之间有什么关系？ a 加 b 啊，应该是两个异号的两个数相加，对吧？哎，所以呢，这个结果，这个和啊， 他的符号肯定是跟着那个绝对值大的那个数轴，对吧？那 b 呢， b 是正的，那结果是负的，所以说明什么呢？ a 呀，他不仅仅要是负的，而且他的绝对值还得比 b 大，哎，那绝对值大体现在数轴上，那就是什么呢？应该是离 圆点的距离更远一些，对吧？哎，所以呢， a， 哎，大概应该就在这么一个位置，他是在圆点左侧，并且呢，他到圆点的距离要大于这个 b 到圆点进去。 好， a 和 b 的位置我都找好了，接下来我还找一下负 a 和负 b， 那这个就好找了，对吧？ a 如果在这里，我找负 a 的话，那就是关于原点对称呗，对吧？哎，大概在这里。哎，负 a 就在这里了。 好，那腹壁呢，就做他关圆点对称呗，对吧？哎，大概在这里，这个呢，就是腹壁。你看，画出竖轴以后，他们四个大小关系是不是就一目了然了，对吧？右边的肯定大呀，那应该就是 a 小于腹壁， 小于 b， 再小于负 a， 对吧？哎，到四个选项里一找，答案呢，应该就是 d 选项。 好，第三题，已知有理数 mn 在数 轴上的位置，如图所示。哎，这个把竖轴直接画出来了啊，然后呢，让我们用不等号来填空。好，我们观察一下，点 m 在这里 应该是个正数，对吧？哎，同时呢，他应该是比这个一啊小在零和一之间，那这个点 n 呢，肯定他的对应的数应该是一个负数，对吧？哎，他呢？哎，应该是比这个负一啊还要小一点。 好，大小关系，我们大字的判断出来了，然后我们继续看啊，第一个问题， n 减 m， n 减 m， n 是负数，一个负数减去一个正数，这结果肯定是负的呀，对吧？哎，这，第一个扣啊，减小于号 啊。第二个， m 加 n， m 是正的， n 是负的，两个异号的数相加，对吧？哎，那结果肯定得跟着那个绝对值大的那个数的符号来走啊，对吧？那很显 n 的绝对值 是不是比较大？他的圆点距离比较远呢，对吧？哎，所以他们的结果一定就得是一个负的，对吧？哎，所以呢， m 加结果应该也是小于零的啊。 好，继续 n 加一的结果， n 加上一， n 是负数，加上一个正数，这不也是一号的两个数相加吗，对吧？哎，所以呢，最后那个和的符号也得跟着绝对是大命的走。 n 的绝对值和这个一，他俩谁大呀？很显示 n 的绝对值比较大一些，对吧？因为他的原点距离更远呢，肯定是大于一的。 哎，所以呢，他们 n 加上一的这个结果呢，他的符号肯定是跟 n 的符号是一样的， n 是负的呀，对吧？哎，所以他和了符号肯定也是负的，所以呢， n 加一的这个结果也应该是小于零的。好，第四个问题， m 乘以 n， 这个就比较简单了， m 是正的，恩，是负的，对吧？一号两个数相乘怎么样？结果肯定应该是是负的，对吧？哎，四个空啊，哎，都是填小于号。好，接下来第三种题型，根据简单数量关系列不等式。 好，根据下列数量关系列出不等式，一二三。哎，大家自己按下暂停键思考啊。好，选第一个，四 与 x 的五倍的和不大于六，我看一下啊，第一个问题，四与 x 的五倍， x 的五倍，首先应该就是五 x， 对吧？那四与 x 的五倍的和，那不就应该是四加五 x， 对吧？他说不大于，什么叫做不大于啊，那就应该是小于或者是等于，对吧？哎，对，他应该是小于等于六。哎，这是第一个问题了。好， 歪的二分之一与负十的差小于歪的二倍，那我先写了歪的二分之一，那表示肯定应该是二分之一歪呀，对吧， 与负十的差，那是不是减去负十啊，哎，说这里啊，一定要注意加括号啊，这是歪的二分之一与负十的差，他说小于歪的二倍，那就小于二歪呗，对吧？哎，这个就可以了。好，第三个问题，正数 a 与三的和的算数平方跟， 我们先看啊， a 与三的和是不是应该表示成 a 加三呢，对吧？哎，那这个和的算数平方跟，那我就加跟号呗， 哎，要求他呢是大于一的，对吧？哎，所以这个就是第三个问题的答案啊，哎，这个呢，给的出来的都是一些啊，比较简单的一些数量关系啊，你看下答案。 好，接下来第四种题型，根据实际问题列步等式。哎，这个呢，也是我们这块学习的一个重点的题型啊。 来看第五题，小刚准备用自己节省的零花钱购买一台学习机来学习英语，那么他已经存下来了五十块钱了，哎，并且呢，计划啊，从本月起，每个月再节省三十元，至少呢，需要存够四百八十元。 好，那么现在他设 x 个月以后，小刚啊，至少存够了四百八十元，那么可列出的不等式应该是什么？ 那我们现在怎么样？他这位数也是好了，是 x 个月，对吧？我得先找出图这个题目当中所包含的不等关系。不等关系应该是啥呢？就是 x 月以后，小刚至少存够了四百八十元，这个其实就是一个不等关系，注意关键字啊， 啊，至少。哎，那这个不等关系应该怎样来表达呢？是不是就应该是 x 个月以后这个啊？小刚他的这个存的钱 存在这个前数，对吧？哎，应该是怎么样呢？至少存够四百八，也就是他应该是大于或者等于四百八十， 是吧，这个就是不等关系，哎，因为大于等于所包含的意思就是至少这么多，可以比他多，但是呢，啊，不能比他少，也可以跟他相等，对吧？好，找出了不等关系之后，我们就可以开始列不等式了啊，他本来呢，一开始他已经有五十块钱了，对吧？哎，这五十块钱我先写上，然后一个月呢，他能省下来三十块钱， 那经过 x 个月，他可以省下多少钱呢？那是不是应该就是三十 x 啊， x 月之后，他能省下这么多钱，再加 原来的五十块钱，这个呀，就是他经过 x 个月以后，他所存钱的那个总数了。哎，那接下来后面呢，就应该是大于等于四百八十，对吧？哎，四个选项一检查，所以最后答案应该是 d 选项。 好，接下第六题。小王家的鱼塘有可出售的大鱼和小鱼，一共八百千克，大鱼每千克售价十元，小鱼每千克售价六元。如果将这八百千克的鱼全部售出，收入可以超过六千八百元。 哎，注意看啊，有关键字了，超过六千八百元，对吧？好问啊，其中可售出的大鱼至少有多少千克？哎，那么呢，如果射可售出的大鱼为 x 千克，这 x 表示的是售出的这个大鱼的这 的量，对吧？哎，可列柿子应该怎样的？我们还是按照原来的思路先找不等关系，对吧？哎，就根据这关系关系。是啊，关键字可以超过他是要超过六千八百元的，是不是？也就是说呢，他的这个收入 超过是什么意思啊？是不是应该就是大于啊，大于六千八百元，这个呢，就是题目当中给的这个啊，不等关系了 啊，接下来我们需要做的事呢，就是要把这个收入啊，又含有 x 式的给他表示出来就行，对吧？那收入很显应该分成两部分，一部分呢，是把大鱼卖出去以后的收入，另一部分就是卖小鱼的收入，对吧？ 好，咱们起来看一下，卖出大于的收入应该是多少呢？是不是得用大于的这个单价再乘以一个大于的这个重量啊，对吧？大于的单价是十 大鱼的重量在这啊， x 千克呀，所以呢，他卖出去的这个大鱼，他的收入就应该是十 x， 这就是卖出大鱼以后的收入。那么接下来再看，卖出小鱼的收入又应该是多少？小鱼呢？每千克是六元，对吧？好，六六再乘以多少呢？是不得乘以小鱼的重量啊， 那小鱼的重量应该怎么办？他告诉我们一共是八百千克，对吧？大鱼小鱼加起来八百千克，那大鱼如果是 x 千克，很显然小鱼就应该是八百减去 x 千克， 哎，这个呢，表示的就是卖出小于的这个收入，那把他俩加起来是不是就是总收入了？哎，总收入呢，最后要求是要超过六千八百元，那就是大于六千八就行了呗。哎，所以这个啊，这个式子就是咱们最后的答案啊， 你看是不是跟咱们这个啊，根据题的方程其实是很像的，对吧？哎，像是未知数，然后呢，找出不等关系，哎，然后呢，把这个不等关系啊，又含有这个未知数的式子给他表达出来就可以了啊。 好，接下来第七题。我是自来水公司，按如下标准收取水费，如果每户每月用水不超过十立方米，那么每立方米呢，收费一点五元。 如果每户每月用水超过了十立方米，那么超过的部分每立方米收费两元。超过超过十立方米以后呢，这个每立方米收费贵一点，对吧？然后他说呢，小亮家某月的水费不少于二十五元， 那么他家这个月的用水量，哎，这个 x 至少应该是多少？让列出来一个关于 x 的一个不等式， 哎，先找什么不等关系啊，对吧？不等关系应该是哪个？就是应该这个水费不少于二十五元，这就是不等关系，对吧？哎，所以我应该找到不等关系，就是水费不少于，应该怎么写？是不是应该就是大于等于二十五啊， 哎，这个就是不等关系了，接下来呢，我要把这个水费呀，给他用含有 x 的这个柿子给他表示出来，对吧？那首先我要看了，他这个用水量到底有没有超过十立方米， 那肯定是超过了，如果你没超过的话呢，是怎么样？他不可能超过十五元，你正好用了十立方米的话，他应该收费十五元，你现在都已经不少于二十五了，对吧？那你用水量肯定超过十立方米了， 好，那么既然你超过了十立方米，那前十立方米还是按照这个一点五元每立方米来收费，对吧？所以呢，前面十个立方米 收费呢，就应该是用一点五乘以十，哎，这是前面十立方米所需要这个交的费用，然后呢，再加上你超出了，对吧？哎，超出部分呢，每立方米收费两元， 两元乘以超出的部分，那超出的部分应该是多少呢？是不是就应该用这个总量，然后减去这个前面十个立方米， 对吧？这个就是超出的部分，哎，那他俩相加就是你这个月所应交的这个水费的总量呗，对吧？哎，他说那不少于二十五，那就他大于等于二十五呗，对吧？哎，所以呢，通过这个方式，哎，我们就把这个不等式啊列出来啊，好，咱们一起来看答案 啊，就是这个啊，哎，题目当中都没有要求我们解不能试啊，这是我们的在后面的课程当中要和大家一起去来学习的内容啊，大家主要来体会 啊，我们这个根据提议列不等式与这个根据提议列方程他们之间的一个联系啊，要类比的方法来学习。 好，那今天的习题呢，就和大家一起做到这里，我们下次课和大家一起来学习第二章的第二节不等式的基本性质，欢迎大家收看，如果喜欢请关注明老师初中数学课堂，如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。
753明老师初中数学课堂
06:37查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看一下北师打版八年级下册第一章三角形的证明一道题， 看题如图，过等边，三角形 abc 的边一点 p 做 pe 垂直于 ac 与点， e， q 为 b， c 年张先生一点，且 p a 等于 c， q 连接 pq 交 ac 边与点地，求证啊！第一问， pd 等于 dqpd 和 dq 相等。通过观察，我们发现 pd 和 dq 这样的两条边，他们并没有直接的关系，所以我们第一时间考虑把 pd 和 dq 分别放在两个三角形中，证明这两个三角形全等，那么 pd 就等于 dq， 因为 dq 他只在三角形 dcq 中，而 pd 他借在三角形 pad 就在三角形 pd 中。 通过观察三角形 pad， 三角形 pd 和三角形 dcq 好像都不是全等的关系， 所以此时我们就考虑可以做一条辅助线。大家看第二个图， 如图，过点 p 做 pf 平行于 a 那个 pc， 那此时多了一条 pf 的边，那么这个时候我们就可以想着证明三角形 pfd 和三角形 q， c、 d 全等。要想证明这两条这两个三角形全等，我们至少要知道他们都有一条边相等，还有两个角 或者是两条边，一个角或者是三条边。但是现在 我们暂时呢，无法证明，无法通过条件啊，直接证明出这两个人全等， 所以我们啊，就找条件中给了这样一个条件， pa 等于 cqpa 和 cq 相等， 那么我们可以找一条中间线，嗯，等于 pa， 然后这一条中间线他也等于 cq。 你看，因为我们做的线段 pf 平行于 bc， 那所以这个角 bcf 就等于角 afp， 因为三角形 abc 是等边三角形，所以角 fcb 就等于角。 afp 等于六十度，角 a 也等于六十度， 那所以三角形 apf 就是一个等边三角形，所以 pa 就等于 pf， 因此 pf 等于 cq。 又因为 pf 平行于 bcq 在 bc 的延长线上，所以九 d p f 就等于叫 dqc。 这里 还有一个对顶角相等，所以我们可以利用角角边来证明三角形 pdf 和三角形 qdc 全等 得到啊。 pd 就等于 dq， 这是第一问，大家可以先看一下第一问的证明过程，这里呢，大家可以暂停一下。 好，大家看完第一问，我们继续看第二问。若三角形 abc 的边长为一，求第一的长，我们要求的是这样一段长度， 要想求第一的长，我们可以直接利用题目中的条件，还有第一问中得到的结论来求。 由第一问，我们可以得到三角形 apf 为等边三角形，而 pe 垂直于 ac， 所以 e， 它是 af 这条线上的终点。因为等腰三角形中三线合一， 所以 ae 等于 ef， 就因为由一得三角形 pdf 和三角形 qdc 全等，所以 fd 就等于 cd， 那所以 de 就等 等于 df 加 ef 等于二分之一的 fc， 加二分之一的 af， 他就等于二分之一倍的 ac， 因为 ac 之一，所以第一就等于二分之一。我们一起来看一下解题过程。 好，这道题大家都学会了吗？ 往后我会定期更新类似的题目，有兴趣的同学啊，可以关注一下，谢谢大家！
11铁柱
01:22查看AI文稿AI文稿八年级下册考研练习零三零四二将听到十道算式、琴弦算式并存在。写出答案。一分式 h 减一分支分号 h 有意义。则 x 的范围是什么？ 二、三分之二，二负二，四方等于三。化解根号三分之六等于四。负二倍根号五乘以根号二十等于 五，十倍根号三十二除以负五倍根号八等于六。一加根号二的和乘以根号二减一的差等于七。根号三减根号二的差。的。平方等于八。 菱形两条对角线是六和八，面积是多少？九、正方形面积是十二，周长是多少？ 十是三个数字。十六二的 s 平方等于八。
06:46查看AI文稿AI文稿多结论问题第一题啊，圈一证明点 o 到三角形 abf 三个顶点的距离相等啊。这其实就是让证明 oa 等于 ob 等于 of 啊。啊，已知条件中说 ab 为等腰，只有三角形的斜边， 并且点 e 是斜边的终点啊。那么等腰三角形，然后有一个斜边的终点，说明点 e 是终点 ce 他就是底边上的中线。那么根据三线合一可以得出 ce 他垂直 ab 啊，本身三角形 acb 他就是等腰三角形 啊，是个等腰制药才行啊。所以可以得出角 cab 等于四十五度，那这个角是四十五度啊，这个角是九十度。所以可以得出哎，小的三角形 a ec 他也是个等腰制药材 行。那同理三角形 b e c 也是等于二角三角形。好。那么 刚才我们已经证明出来 ce 他是一条垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，就可以得出 aoa 等于 ob 啊，就转化出来这两个线段长度相等啊。然后啊，已知条件中还有这么个条件，说线段 fb， 他垂直平分线交 c 于 o， 也就是说 o d 他是 b f 的垂直平稳线，所以 ob 等于 of。 所以三条线段相当于是可以转化为相等的关系， oa 等于 ob， 等于 of。 所以圈一是正确的啊。然后看圈二，圈二的话是证明 of 垂直 ob。 这个题 哎，第二问啊，有点难度啊。但是这里边咱们用一个八字模型来解决的话非常简单。 首先看啊，呃， of 是这条线， ob 是这条线，这中间会出现一个假角，叫 fob 啊。这里体现一个八字模型在哪里啊？比方说 of 和 bc 的焦点是点 h 啊，那么八字模型就是这样的三角形 fch 和三角形 b o h。 哎，这一个八三角。八三角形是呃，不是全等的关系，但是咱们可以用来转化角之间的等量关系啊。 好呃，我们接着用刚才的这个点 o 到三个顶点距离相等去去转化角啊。嗯， oa 等于 ob， 然后 ca a 等于 c b， 然后 co 等于 co 啊，所以可以得出来哎，这有个燕尾模型能看出来吧。啊，三角形 coa 和三角形 cob 啊，这两个三角形其实全等啊。 sss 正全等。那么就可以得出角一等于角二 啊。然后又因为 o a 等于 of 啊，所以可以得出底角相等啊。等。幺三角形的底角相等，所以角一等于角三。等量代换出角二等于角三。然后再用上这个八字模型啊。 哎，角二等于角三，角四和角五是对顶角，所以根据三角形的内角和为一百八十度，可以得出最后的这两个角必然相等。而角 fc h 他是九十度角，所以角 fob 他 必然也是九十度角。所以可以得出 of 垂直无比啊。哎，他是根据这么一步八字模型的转化转化出来的哈。中间用了一次全等证明这么有一个哎，非标模型的全等。 然后全等得出对应角相等啊。角二等于角三。再根据这么一个八字模型，八字模型内角和为一百八十度，可以得出哎，这两个角是对应相等的啊。这两个角必然相等。所以圈是正确的。然后圈三 跟二倍的 ce 来 ce， 他是在一个等腰直角三角形 aec 装。 那么在这个三角形中，呃，我们我们总结过这个模型，基本模型啊，等腰直角三角形三边的竖 两关系是一比一比跟二。也就是说斜边是直角边的跟二倍啊， ce 他长度他就用 ce 来表示的啊，那么 ac 他他就应该是 ce 的跟二倍。所以这个跟二倍的 ce 其实就是 ac， ac 加上 fc， 他其实是 af， 他说等于 ab。 题目中并没有说 af 等于 ab， 所以这个结论 这可能是错的，他就不是绝对是正确的结论，那就有可能是个错误的结论。所以就不能说按照正确的来去对待啊，要把他当成个错误的来对待，因为他具有不确定性啊，所以不能把他当成一个正确的来对待。所以 三是不对的。然后看圈四圈四是证明三角形 a、 e、 c 的面积。 a、 e、 c 哎，这个等腰只有三角形的面积小于三角形 b、 o、 f buf， 这也是个等腰直角三角形面积。那么我们再去比较面积的时候啊，就可以去转化成比较边之间的关系啊。因为这两个三角形都是等腰直角三角形面积，公式为二分之一底层高， 那么底和高是一样的。咱们只要能证明出来这里边两条直角边的长度是相同的，所以就可以 比较出他俩之间的一个呃，面积的大小关系啊。咱来看一下三角形 a、 e、 c 的面积，其实就是三角形 b、 e、 c 的面积啊。那么 我们来比较三角形 b、 e、 c 的面积和三角形 b、 o、 f 的面积的时候啊，去转化比较他们的直角边就可以了。很明显 b、 e 的长度小于 b、 f 的。呃， b、 o 的长度啊， 这很明显斜边是大于直小边的，所以这个大小关系是显而易见的。三角形 b、 c、 e 的面积小于三角形啊， b、 f、 o 的面积。所以转化成三角形 a、 e、 c 面积小于三角形 b、 o、 f 面积是完全正确的 啊。所以啊，缺失他也正确。因为这是一道呃填空题啊。所以大家正在去了解这个思路啊。这个过程如果感兴趣，可以暂停看一下这个书写的过程啊。
03:17查看AI文稿AI文稿好，第九题。第九题的基础图形也是一个梯形，并且 a d 是六， b c 是十六， c d 等于八，然后角 c 等于三十度啊，又出现三十度角了。所以肯定会构造直角三角形。用三六九模型去求线段长度啊。好，点 p 点 q 是两个动点， 然后点 p 是从点 a 项点 d 运动速度是一，时间是 t， 所以 ap 的长度是 t。 哎。同理得出 cq 的长度是三 t， 那么我们可以表示出 pq 是六减 t， 然后 bq 的长度是十六减三 t。 嗯，这里边说 当点 q 停止运动的时候啊，点屁也随之停止运动，点 q 停止运动，那就三 t 小于等于十六啊。所以 t 的取值范围是大于等于零，小于等于啊，三分之十六啊。这是求数范围用来舍跟的。因为有的时候 取出来的 t 不在范围内，所以有必要先去把这个范围取出来。然后啊，第一问当运动时间 t 位合之时，四边形 pdqb 是平行四边形。 第一本很简单，不讲啊，你自己看下这个过程就行了啊。然后第二问求面积，求随便行 pdcq 的面积来用做叉法啊，不是直接法，直接求梯形面积就行了。 提醒梅姐，上底加下底的和乘高除以二，没有高，给他构造一条高啊，哎。过点击一下 b c 做高，然后三六九模型去求高八除以二，再乘以跟三，就得到 d h。 所以第二问。哎。具体过程你可以参考我写的这个 啊。然后啊，然后第三问。第三问就是纯粹的带数预算，也是 白送分了。第三问啊，先去求出平四边形 abcd 的面积，然后再根据他描述这个二分之一系列方程。所以啊，这题也能拿满分。第四问是否存在某一时刻 t 十点 q 在线段 cd 的垂直平分线上，那垂直平分出等腰啊。 所以我们就是 qc 等于 qd。 但是 qd 的长度啊，我们需要用勾股定理给他表示出来。因为他不是一条特殊线段，我们就把它放在直角三角形中。哎，用勾股定理去表示，那勾股定理表示的话，肯定会带根号。所以咱们先给他平方啊，平方 啊。因为点 q 在线段 cd 的垂直评分线上，所以 q d 等于 q c， 所以 q d 的平方，它就等于 q c 的平方。然后 q c， q c 长度能表示 出来。嗯，然后 q d 的平方也能表示出来。因为这里他没有说要写过程，所以我也我也简单写了一下。 简单写了一下这个 q h 的长度啊，上面是一个三 t 减四跟三，然后 d d h 长度是四啊，然后 c h 长度是四跟三， 这个三 t 减三个三。怎么来的啊？ cq 的长度是三 t， c h 的长度是四跟三，一座叉就是 q h 的长度啊。最后去求 t 啊，是一个九分，是八跟三。 选最后一个题，他他是只让写出题来，直接写结果，不用写过程。所以咱可以简略一点啊，这是第九题。
06:01查看AI文稿AI文稿第四题第四题的基础图形是一个直角梯形，并且这里面有两个动点 啊，点 p 和点 q 啊。点 p 是从点 b 向点 c 运动，速度是二，时间是 t， 所以 bp 的长度是二 t。 然后点 q 呢，是从点 a 向点 d 运动，哎，速度是一，时间是 t， 所以 aq 的长度啊，是 t。 那我们就可以得出 qd 是八减 t， 然后 pc 是十减二 t 啊，哎，得出这些呢之后啊，这里面还知道 ab 是 哎，是六啊，然后 bc 是十，那么 ad 是八。这些都已知条件告诉我们的好看。第一问啊，这还有个条件，说当点 p 到达点 c 的时候，两点同时停止运动。哎，这个条件有什么作用啊？他可以让我们求出 t 的取出范围来 啊。二 t 他是小于等于十的，所以 t 是小于等于五。嗯， t 是大于等于零，小于等于五的数啊。好。所以我们球员的 t 必须要在这个范围内。嗯，这个范围是用来舍根的，有的时候球员这个 t 不在这个范围内，他是不符合提议的， 要舍掉。好。然后看第一吻，第一吻说当气为何之时，四边形 p c d q 的面积是三十九。 嗯， pcdq。 那么先把 pq 连起来，他的面积是三十九。很明显，这是一个梯形哎，梯形的面积公式上底加下底和乘以高除以二。咱们已经把上底和下底表示出来了，高也是已知的。所以直接是根据这个等量关系列方程就行了。第一问是送分的，然后第二问， 如果以点 pqcd 啊为顶点的四边形是平行四边形 p q c d， 那么还是刚才这个四边形啊，所组成的图形，那么就是 p c d q 他他得是一个平行四边形的话，已经满足的条件是啊， q d 平行 p c 了。哎。只需要添加上一个 q d 等于 p c 这么一个条件，就可以实现让这个四边形是平行四边形。所以这里还是稍微一些啊。因为已经平行了，所以等 q d 平行等于 bc 时，他是个平行四边形啊。先去证明这个逻辑，然后根据 qd 等于 pc 这个等量关系缺裂方程求 t。 这是第二问，然后第三问。哎，当 t 大于零小于五十，并且他是给了一个条件说 dq 不等于 dp。 哎。这个为什么他给了这个条件啊。因为我算了一下，如果说这种情况讨论的话，要解一个一元二次方程，这属于超纲的，所以把这种情况给他踢掉了啊。所以这个相当于是在在初二的时候啊，不需要去去算他。但是上初三之后，这个条件也要讨论啊。 然后当 t 为何止时，三角形 dpq 是等腰三角形还是分类讨论啊。以点地为顶角，顶点的话，这个这个不用讨论了。那么就只能以点 p 和点 q 为顶角顶点。所以两种情况啊。先是以点 q， 哎，当点 q 是顶角顶点的话，就是 qp 等于 qd 啊， qp 等于 qd。 看一下用的是这个图吧。 q p 要等于 q d 的话， q d 的长度好表示啊。 有这个图啊，有这个图啊。 q p 的。 q d 的长度好表示他是一个八点 t 哎。关键是 q p 的长度啊，他长度啊，不能直接求哎。我们得用购物电力为它转化出来。 所以这个时候啊，因为购物经理的话，你转化这里边肯定有代替的，可能会出现根号，有根号这个运算量就变大了。所以咱们哎把这两条线段都给它平方，如果两条线段的长度相等，那么这两条线段长度的平方必然相等。所以咱们用平方等于平方 去建立这么一个等量关系。然后列方程啊。所以先构造辅助线哎，求出来这个 q k 的长度啊，他就是六。然后 p k 的长度啊，他就是一个，他是 t 啊，因为 b t 是二 t， 然后 a 就是 t， 说明 bk 也是 t。 你看这个四边形，这不是一个平行四边形啊，这个需要稍微一正啊，这地方是有实战分的，证明平行四边形是是。嗯，在在这个彩分点上啊。 然后求出来 b k 是 t 来表示，出来 pk 也是 t。 然后可以用公股定理求出 q p 的平方等于六方加 t 方，他就等于八减 t 的平方 x t 等于三分之七。然后第二种情况啊，是以点 p 为 这个顶角，顶点直接 pq 等于 pd。 那你看前面这个图啊， pd 等于 pq 的话，就是我们没有必要去表示说两条现在的长度啊，你要表示的话也行，但是他的计算量比较大。那么这种情况有一种特别巧妙的方法，叫等腰三角形三线合一法。 我们不点 p， 向 ad 去做高哎，点 h 他是个垂足啊，那么他也是一个终点，因为 pq 等于 pd， 然后 ph 还垂直 qd 啊，那么就说明了这个 ps 他还是 dq 这条边上的中线，所以点 h 他应该是 dq 的终点 啊。 bp 等于二 t 的话，就说明 ah 也是二 t 啊。而 aq 等于 t， 说明了 h q 他就是二 t 减 t 也是 t 啊啊。根据点 h 是 d， q 的终点得出 h， d 也是 t。 你看这 t t t 三个 t 啊，加起来一共是八哎。所以可以就是 t 来是三分之八这两种情况啊。两种情况最后再下个结论。别忘了下结论 理论是要占分的啊。这是这道题啊。具体的步骤可以参考我写的这个过程啊。
00:15
09:52查看AI文稿AI文稿啊。第二题啊。第二题是一道典型的根据塑形结合球 a、 x 曲式范围的这么一道题啊。这看着是一道结不等式的题，其实是一道依次函数题。 嗯，好。呃。首先看，这是个不等式，左边是哎，绝对值加绝对值啊，右边是一个 是一个就是。呃，不能说函数就是一个代数式啊，是 x 加二，但是我们如果给他加上一个 y 等于 x 加二的话，他就是一是函数的表达。是了啊，这里面有函数的思想啊，还有数行结合的思想，去把这个问题给他解决了了啊。啊，预备知识。 比如说我们已经学过了一元一次方程，还学过了一元一次不等式，还学过了一次函数。呃。利用这些依次模型和函数的 图像，可以解决以下一系列的问题。嗯，这里边他是给出了两个依次函数的图像。通过图像我们可以观察到，当 x 大于负二的时候， 这 y 等于二， x 加三。他的图像总是在 y 等于 x 加一图像的上方。 那我们知道啊，这个平面直角坐标系啊，越往上的图，他的外尺越大 啊。这是一个最基础的点，这是咱们应该。呃，归为常识的数学上的常识。在一个平面直角坐标器中，越往上的图，他所对应的外值就应该越大。但是他有个前提啊，就是说这个图的 x 似的相同，当横坐标相同的时候，图越往上，那么他所对应的外值越大。 哎。所以啊，咱们根据这个图像就可以得出，二 x 加三，他大于 x 加一的解决就是 x 大于负二。 你看，这就是负二以右的部分啊。二 x 加三，他总是在 x 加一的上方，就咱们在给 x 负值的时候啊，要负的是同一个值， 你付不同的值没有可比性，所以我们给他付同一个值，付同一个值的时候啊，这个二， x 加三总是大， x 加一总是小。所以你这相不能，这不相当于是个横成立吧。就说左边这个总是大于右边这个代入式结果。 所以啊，这个他的这个剪辑，这不就是 s 大于福尔 对吧。然后边还有个预备知识二啊，哎，他给了这种带绝对值的函数啊，就是一个函数外边加上了一个绝对值符号。这种函数啊，称为分段函数。 因为绝对值是可以去掉的，一去掉的话，他要分离讨论，一分离讨论，他就会出现就这种分段的情况。所以这种函数叫分段函数 啊。那么对于这种函数，我们常采用的是零点分段法啊。什么意思呢？零点就是让绝对值里边这个式子啊。这个代数是等于零的时候所求出来的。 x 的直那个叫零点。注意，零点不是点，他是一个 x 的值。你看，将零点 x 等于一， x 等于三。他没说个点吧，他说的是 x 的值 啊。后边还给解释了这个值怎么来的。就是绝对值里边这个代数，是让他等于零， 然后可以求出两个 x 来，然后在数轴上啊，表示出来。表示出来就会出现三部分，因为你把一个数轴，你把一个数轴，就是 用两个数来划分的话，肯定会出来三对。嗯，肯定会出来三对。那就说一和三，一和三，一以左，一到三之间，还有三以右， 左中右嘛，分成了这三段。哎。进行分离讨论， 还有一个预备知识三。预备知识三就是 y 等于 b， b 是个长数啊。这种函数呢，叫做长数图像啊。长数图像，他就是一条水平的线。你看这个，这个图啊，图一图三，这个。 哎，这个图像呢，就是水平线，就是外，是一个具体的数值。外等一，外等于二。他就是条水平的线啊，没有任何波澜，非常平缓，非常平直 啊。这样就叫函。嗯，长数函数啊。然后问题迁移，问题迁移就变难了。 看一下，嗯， y 等于 x 加一和 y 等于 ax 加 b。 教于点点 a。 点 a 的坐标是 m 三，那么点 a 他是。嗯，已经明确了，是在 y 等 x 加一上。那么 这个点的纵坐标都已知了。我们不妨把纵坐标带入函数表达式，去求出他的横坐标。哎，所以可以求出点 a 的横坐标是一个二三 啊。然后啊，他说 x 加一小一等于 a， x 加 b 的紧急，就 x 的取出范围。那也就是说，取相同的 x 的时候， x 加一的纸总是要小于等于 a， x 加 b 的纸。也就是说， a x 加 b。 这个还是图像，他应该在商。 所以咱把这个图一秒啊。外等 as 加 b 的图在上方的话，那就是这一块。 那咱把这个小的这块也描出来。你就说，哎，这个焦点位置以左的部分，就是要求的解决。而这个焦点位置的 x， 我们刚才求出来是个二。嗯， m 等于二。 所以啊，他已锁的部分就是 x 小于等于二。因为这里能取到等号，所以咱们也取到等号。所以这个简易，就是 x 小于等于二。 嗯。然后后边的问题解决。问题解决是来左边是绝对值加绝对值啊。像这种分道函数加分道函数啊，最好的方式呢，就是把图画出来。那你看题目多，人数图已经帮咱画出来了，根本就不需要再画图。然后大于 x 加二， 你这个图也画出来了是吧？然后啊，他他先把图像画出来了，是图五。然后啊，又把 y 等于 x 加二画出来了。图六，把它放在同一个平面直角坐标系中， 那么找到两个焦点，这两个焦点怎么求呢？如果函数图像有焦点，那么我们就一定可以得出， 哎，这么结论啊。在函数图像的焦点位置啊，他的外值一定是相同的， x 值也一定是相同的。那根据外值相同，我们就可以通过列方程去求焦点坐标啊。 我们让 y 等于 y， 哎，你比方说这个 y 等于二， x 加四减四，这是一个 y 等于二分之一啊，这个应该是减四啊， y 等于二分之一。呃，二 x 减四。 这条比比较比较陡的这条线啊，他和 y 等于 x 加二有一个焦点啊，就要有点 b 啊。 这个焦点坐标怎么求啊？在这个焦点位置，这两个函数的 y 一定是相同的，所以咱们让 y 等于 y， 那一定可以得出 x 加二就等于二， x 减四。哎。就可以求出点 b 的横坐标，然后带入到任何一个函数表达式，就可以求出动作表。 所以可以把点 b 的坐标取出来。同理，也可以求点 a 的。所以这两个坐标其实就是这么求出来的啊。让这函数啊， 函数的外值相同，去求出横坐标，代入表达式，求出纵坐标就结束了，这空就满分。然后再观察图像啊，他说 哎，左边这个函数的图像啊，他应该总是在右边这个函数图像的上方，叫大于号呢。那我把这个图像描出来， 描出来的话，那就是说两头的这两边的这一部分啊。所以你得出来这种解题是 x 小于三分之二，或 x 大于六 这个题啊，整体难度啊，不是很大，关键是理解透彻了。就我们用数学结合的思想，还有这种函数的思想，去解决这么一个复杂的代数问题啊，这其实是个代数问题。嗯，去求教。点坐标 就是点 a 的，然后同理球点 b 的。哎，这种思想很实用啊，他可以一直用到高中毕业，用塑形结合的思想去解决这种代数性的问题。求出求出这个解决，或者说 x 的取出范围。 嗯，那么这里面提前的一个逻辑啊，就是当 x 相同时啊，图像越往上外置越大。所以我们要去嗯，根据 一个一个外值大于另外一个外值哎，就可以判断出大小来，然后从而力推出这个 x 的取值范围。
08:39查看AI文稿AI文稿好，第三题。第三题是一道旋转的题啊。嗯，原始图形是一个等边三角形 aob 啊，边长是二，然后点 o 在呃这个圆点上，然后点 e 在 x 轴上，点 b 在第二项线。然后现在呢， 将三角形 abo 沿着 x 轴的正方向做无滑动的翻滚。这个无滑动的翻滚什么意思啊？无滑动的意思就是没有平移啊。翻滚就说他是绕着某一个旋转中心，他是旋转 啊。这这五个字是这么意思啊。无滑动翻滚，无滑动就说明没有平移。翻滚就说绕着某一个点去旋转好。然后啊，经过一 翻滚之后啊，得到了三角形 a， e、 b、 e、 o， 然后翻滚三次之后点 b 的对应点的坐标啊，要求坐标，找坐标的规律啊。我们就要盯准了这个点。 点 b 他第一次翻滚之后啊，相当于是从哎，从这个点 b 到了点 b 一这里啊，那么这两个点就是对应点啊。好，对应点与旋转中心连线的夹角，那叫旋转角。 旋转角很明显，他是一百二十度。角 bob 这个角度是一百二十度，因为角 boa， 他是六十度啊，那么这个大角旋转角就是一百二十度。也就是说这里边出现的 所有的旋转角都是一百二十度了。只要第一次旋转的时候出现的旋转角是一百二十度啊。后边每一次旋转的旋转角都是一百二十度。这是找规律题的特点了，风格单一。 然后第一次翻滚之后啊，点 b 一在这里，然后第二次啊，第二次翻滚的时候， 点臂他这个旋转中心了。所以翻滚之后啊，这个点臂的对应点还是他自己。 那么我们就把其他点的对应点的给他标记上，点 a 一的对应点就就到了这里啊，就到了呃 x 轴的正半轴这个地方，给他写上一个 a 二，然后点 o 的对应点就给他到这里。点 o 永远都是点 o， 咱们就不给他做分析了。 好之后啊点，然后再进行第三次翻滚。哎，第三次翻滚之后啊，点 b 一，他就他开始变换位置了，他就会 旋转到 ab 三这个位置到这里啊。所以三次翻滚之后啊，他的坐标其实是求点 b 三的坐标。 那么等面三角形的边长是二啊，是一个两个。然后我们去做条膏的话，这其实是一半啊，三线合一的性质给他用上。那么他的横坐标就是五重坐标，就是跟三啊，这里面又会出现三六九模型，所以啊，一二跟三的关系也可以用上哎。所以点密的 三次翻滚之后啊，他的坐标就是五跟三。然后现在男的是后边这个空啊，他说翻滚二零一八次之后， ab 的终点 m 他经过的路径长，这是要求胡长了呀。 因为这是这是旋转啊，旋转。他要说真的有有点的运动轨迹的话，他是以一种核的形式来去运动的啊。所以咱们先把他旋转一次。就是这个不能说旋转一次，翻滚三次，你就三次一循环嘛， 三次一循环。因为你看这个点哦，只要他回到了 x 轴的正慢轴，说明他已经做过一次循环了。后边的都是循环往复的啊，每一次操作都是一样的。所以我们只要去 表示出他他他第一次循环的长度啊，再给他求循环次数就行了啊。那么第一次循环，他其实是翻滚三次。嗯，形成一个循环。那么 点 m， 他和点 o 相连，然后再找到他的对应点，对应点应该是他永点 m 永远都是 a 一 b 一的终点。那么找到第一次对应点就在这里。哎，这得到一个这个弧长，这个弧长是一百二十度角所在的弧长。 那这个弧长怎么去算啊？哎，我们根据这个比例去算，就是如果我们把这个图给他补全了的话，应该是个完整的圆 啊。但是现在没有必要啊，就直接看这个壶就行了。那么这个壶所对的圆心角啊，就是这个一百二十度啊。一百二十度，他肯定是占了周角啊，与周角有一个笔直，就一百二十度，比上三百六十度， 这不是一个笔直吗？啊，这个角占了整个周角的几分之几，就说明了这条湖占了整个圆的周长的几分之几。它里面有这么一个内在逻辑，你上了初三，你上了高中，他的这个逻辑，他永远都是这样的 啊。这个圆心角占了周角的三百六的几分之几，就说明这个圆心角所对的弧占了整个圆周的周长的几分之几。 那么其实就可以得出，哎，湖长其实就是一百二十度除以三百六十度，再乘以二排二。 这得到这么一个逻辑啊。先把这块求出来了，然后点 m 现在在这里，然后他再旋转一次之后，啊，点 m 就到这里 里了。那这里啊，他的旋转角还是一个一百二十度。这个时候呢，他半径变成了这一块啊，这个半径就是一啊，刚才的半径是跟三，把 om 连起来之后啊，点 m 是终点，那么这个地方叫 amo， 是直角啊，是九十度角， 所以一二跟三可以求出来，那半径是个跟三。所以这里啊，他求出来第一段弧长是一百二十度除以三百六十度，乘以二拍二啊，乘以二拍，乘以跟三。然后第二部分呢，他是 也是一百二十度除以三百六十度，也是乘以二排二，但是这个数的半径呢，是一个一了。然后第三部分呢，第三部分也是同样的啊，嗯，他这个旋转角还是一百二十度，然后半径也是一，所以我就这里直接乘那个二，相当于是 后面两部分的加和好，然后每次循环啊，点 m 的他的运动轨迹的长度啊，他应该是得到这么一个三分之二跟三加四派啊，得到这么一个数，那他说翻滚二零一八次之后， 你就直接吹三，是不是先算一下他循环了几次嘛，吹三，然后得着了。他循环了六百七十二次，还余了，还余了两个。比如说了，他应该是循环完了之后啊，到了这么一个位置，然后还要再往前再走，再走两次啊，一次两次应该到这里， 好，到这里。那么我们可以让他这循环六百七十三次，然后再减去最后这一块啊，减去最后这一块，小胡就可以了，小胡的胡长。所以啊，我在这里我先成一个， 呃一次，他是三分之二跟三加四派啊，然后一共循环六百七十二次，然后我又加上了一次，又加上，加上了这一次，再减去最后一块了啊，最后这一个小的，很小的，这一块的啊，就一百二十度减三百六十度乘以二派。哎，半径是一的，这一块二派二。 然后上完之后啊，得到这么一个奇葩的结果。这个题这个题啊，稍微有点难度。嗯，仔细去消化，其实就是难在怎么去求这个弧长上。理解了这个本质之后啊，题目难度还行 啊。再讲一下这个球弧长。球弧长其实就是一个呃一个笔直啊啊。圆心角占整个周角的几分之几，就说明这段弧占了整个周长的几分。之 所以这不是圆心角除以周角，再乘以整个。哎，整个圆的周长其实就是其中一部分弧的长度啊。这跟我们小学的逻辑是一样的，其实可以理解的啊。
