log基本公式大全

前面的视频我跟你讲过单个对数的计算，这个视频咱们来看看对数的加减法运算。比如这个题， low 个二加 low 个五，这俩对数都没法算，那咋算合呢？别急，接下来我就给你介绍几个对数运算公式。 先看第一个对住求和， log a m 加 log a n 等于 log a m 成 n， 为啥是 m 成 n 呢？我下面就来告诉你原因。 先求以 a 为底，他为指数的乘方，拆开得 a 的 log a m 次方，乘 a 的 log a n 次方。还记得这个横等式吗？他就等于 m， 而他就等于 n， 所以 a 的 log a m 加 log a n 次方，就等于 m 乘 n。 看到了吗？出现 m 乘 n 了吧，接下来继续化解。左边是底数为 a 的乘方， 那就把右边也改成以 a 为底的乘方。还是利用横等式， m 乘 n 就等于 a 的 log a m 乘 n 次方，那干掉底数之后，就有了对数求和公式。 log a m 加 log a n 等于 log a m 乘 n。 这个公式的意思就是同底的俩对数求和，底数不变，针数相乘。 比如刚才的例子，唠个二加唠个五，就等于唠个二乘五，也就是唠个十得一。再比如唠个七八，再唠个七八分之七，他俩不能算，那就用公式等于唠个七八乘八分之七，也就是唠个七七得一。 以上就是对数的加法运算，相信你已经会了。那对数的减法运算又是咋算的呢？其实和加法差不多，只要把这个乘改成除就行了。简单的说就是底数不变，针数相除。比如 log 三三十六 点 log 三四，他俩不能算，那就用公式等于 log 三三十六除以四，也就是 log 三九九十三的二次方，那答案就是二。怎么样？简单吧， 计算对数加减法时，除了这俩公式，还有一个也特别常用，比如这里的 n 如果也换成 m， 也就是二乘 log a m 就等于 log a m 方。 类似的，如果是三个 log a m 相加，那就是三乘 log a m 等于 log a m 的三次方。把三换成四，换成五，换成六，换成任意数，道理都是一样的， 这就是对数倍数的计算公式。要算一个对数的 n 倍，你把 n 从这挪到这，结果是不变的。比如五倍的 log 三二，你可以把五挪上去，就等于 log 三三十二。当然，刚才的一段过程反过来也一样，比如 log 三十六，也就是 log 三二的四四方， 你可以把四挪到前面，就等于四倍的老哥，三二。好了，对数加减法的三个积木公式都交给你了， 接下来给你俩 boss 练练手吧。先看这个两倍的唠个五十加唠个五零点二五等于几。先看这俩对数，他们都没法算，那就得用公式试试呗。 要算二倍的他，你就把二挪到这，变成烙个五十的平方，再加烙个五零点二五，也就是烙个五一百，加烙个五零点二五，底数一样，那就把他俩相成，等于烙个五二十五，二十五是五的二次方，答案就是二。搞定。 用同样的想法，再看一个落个二的平方，加落个四乘落个五十，再加落个五十的平方。咦，这根本不是对数的加减法呀，咋办呢？好好瞧瞧发现没，这个算是长得特别像完全平方展开式， 不过中间没有二啊，这好办，四十二平方，而烙个二平方，就等于二乘烙个二，这样算是就变成了烙个二平方加二乘，烙个二乘，烙个五十，再加烙个五十的平方。根据完全平方公式，他就等于烙个二加烙个五十的和的平方。 括号里是加法，那就把二跟五十相乘，而一把又是十的二次方，所以就等于二十平方次。这样问题就解决了。 看来在进行对数计算时，往往还需要用到一些常用公式，对算式进行适当的变形再计算。 前面的这些题目都是正着用公式计算对数的和或者差，其实反过来也一样。比如这个题目已知 log a x 等于零点七， log a y 等于二，求他俩 log a x y 应用公式就等于 log a x 加 加 log a y， 算一算得二点七。 log a a x 除以 y 方，应用这个公式，就等于 log a a x 减 log a y 方。 log a a x 就等于 log a a。 加了个 a x l a y 方，则等于两倍的 log a y， 也就是一加零点七减二乘二，得负的二点三。 好了，讲了这么多，总结一下吧。这个视频我就给你讲了三个基本公司，对数求和，就是底数不变，真数相乘。对数求差，就是底数不变，真数相除。而求对数倍数，你就把它挪到这再计算。怎么样，明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

前面的视频我跟你讲过单个对数的计算，这个视频咱们来看看对数的加减法运算。比如这个题，绕个二加绕个五，这俩对数都没法算，那咋算和呢？别急，接下来我就给你介绍几个对数运算公式。 先看第一个对数求和， love you m 加 love you a n 等于 love you m 成恩。为啥是 f 成恩呢？我下面就来告诉你原因。 先求以 a 为底，他为指数的乘方，拆开得 a 的 logo， a m 四方乘 a 的 logo a n 次方。还记得这个横同是吗？他就等于 m， 而他就等于 n， 所以 a 的 log a m 加 log a n 次方就等于 m 乘 n。 看到了吗？出现 m 乘 n 了吧，接下来继续化解。左边二是底数为 a 的乘方， 那就把右边也改成以 a 为底的乘方。还是利用横等式， m 乘 n 就等于 a 的落 a m 乘 n 四方，那干掉底数之后，就有了对数求和公式。 绕个 a m 加绕个 a n 等于绕个 a m 成文。这个公式的意思就是同底的俩对数求和，笔数不变，针数相乘。比如刚才的例子，绕个二加绕个五，就等于绕个二乘五，也就是绕个十得一。 再比如绕个七八加绕个七八分之七，他俩不能算，那就用公式等于绕个七八乘八分之七，也就是绕个七七得一。 以上就是对数的加法运算，相信你已经会了。那对数的减法运算又是咋算的呢？其实和加法差不多，只要把这个乘改成除就行了。简单的说就是底数不变，真数相除。比如绕个三三十六减 绕个三四，他俩不能算，那就用公式等于绕个三三十六除以四，也就是绕个三九九十三的二次方，那答案就是二。怎么样？简单吧，计算对手加减法时，除了这俩公式，还 有一个也特别常用，比如这里的 n 如果也换成 m， 也就是二乘 wlam， 就等于 log a m 方。类似的，如果是三个 log a m 相加，那就是三乘 lovelogam 等于 logam 的三次方。把三换成四，换成五，换成六，换成任意数，道理都是一样的，这就是对数倍数的计算公式。 要算一个对数的 n 倍，你把 n 从这挪到这，结果是不变的。比如五倍的落个三二，你可以把五挪上去，就等于落个三三十二。当然，刚才的移动过程反过来也一样，比如落个三十六，也就是落个三二的四四方， 你可以把四挪到前面，就等于四倍的绕个三二。好了，对数加减法的三个基本公式都交给你了，接下来给你俩 boss 练练手吧。先看这个两倍的 logo， 五十加绕个五零点二五等于几？先看这俩对数，他们都没法算，那就得用公式试试呗。 要算二倍的他，你就把二挪到这，变成绕个五十的平方，再加绕个五零点二五，也就是绕个五一百加绕个五零点二五，底数一样，那就把他俩相乘，等于绕个五二十五，二十五是五的二次方，答案就是二。搞定！ 用同样的想法，再看一个绕个二的平方，加绕个四乘，绕个五十，再加绕个五十的平方。咦，这根本不是对数的加减法呀，咋办呢？好好瞧瞧发现没，这个算是长得特别像完全平方展开式， 不过中间没有二啊，这好办，四十二平方，而绕个二平方就等于二乘绕个二，这样算式就变成了绕个二平方加二乘，绕个二乘绕个五十，再加绕个五十的平方。根据完全平方公式， 他就等于绕个二加绕个五十的和的平方。括号里是加法，那就把二跟五十相乘，而一百又是十的二次方，所以就等于二十平方四， 这样问题就解决了。看来在进行对数计算时，往往还需要用到一些常用公式，对算式进行适当的变形再计算。前面的这些题目都是正着用公式计算对数的和或者差，其实反过来也一样，比如这个题目 已知 logo， ax 等于零点七， logay 等于二，求他俩 logaxy 应用公式就等于 logax 加 绕个 a y， 算一算得二点七，绕个 a a x。 除以外方应用这个公式就等于 love a ax 减 love 外方 绕个 a ax， 就等于绕个 a a 加绕个 ax， 绕个 a 外方则等于两倍的绕个 a y， 也就是一加零点七减二乘二，得负的二点三。好了，讲了这么多，总结一下吧。这个视频我就给你讲了三个基本公式，对 求和就是底数不变，真数相乘。对数求差，就是底数不变，真数相除。而求对数倍数，你就把它挪到这再计算。怎么样？明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

好的，我们继续看一下对数运算，对数运算的公式有很多啊，大家一定要把这些公式一一的，对手公式怎么来的一定要会我。首先我们来看一下这个对数的加法运算，加法运算如果同底数的对数相加，那底数不变，他们真数相乘， 减法的话就是第十五遍，然后它的帧数相除，那数乘的时候就是说一个数乘以一个对数，那这个数作为系数的这个数就可以放在我们的帧数的指数里面。第四个 a 的 logo， 它就会等于 n， 下面讲的时候，这个公式的话，我们作为基础，然后去推到其他公式就容易理解一点。第五个，呃，烙 a 的 b 字方为底，然后 m， n 为真的，这个数可以画成一分之 n 的烙 a m， 这个相对比较复杂啊，待会我们讲的时候一定要认真的把它理解 写清楚，然后就是换底公式，换底公式的话就是说就是以 a 为底， n 为帧数的话，我们将底跟帧数可以分开，用另外的一个底，随便任意一个，我们可以用烙 b 或者烙 n 或者乱都可以， 然后就变成 l b n 以上 l b a 这个办理公式的话也比较常用啊，大家一定要知道怎么来的 都会细讲到啊，大家一定要把这些公式都弄懂，如果公式你都不熟悉的话，对数的这些题目你就没有办法驾驭好，所以一定要把公式背熟，而且要弄懂这些公式是怎么来的。好的，大家往下认真听。

各位同学啊，在上个视频，我们和同学们讨论了指数的性值，那么这个视频我们将和同学们讨论对数，也就是老。首先这个视频的第一个部分，我们先来看看我们要如何找出在对数里面的未知数，那么我们要解得出像这样子的题目，我们就要在题目上画一个类似于大于的符号，但是我们是从下画到上， 以 d t 为例，以三分之二为底数， x 的对数是负三。首先我们要画一个好像是大于的符号，在这个题目上， 接下来我们就根据我们画的这个符号，把式子写成三分之二的负三次方会等于 x， 也就是说 x 会等于三分之二的负三次方 好。根据上一个视频，我们知道，当我们看到负指数的时候，我们就要将底数写成它的导数， 也就是说分子三的三次方会等于二十七，而分母二的三次方会等于八，所以 x 会等于八分之二十七。 好。来到第一题，现在未知数在底数的位置，同样的，我们也在题目上画一个像是大于的符号，那么根据我们画的符号，我们可以将它写成 x 的二分之一次方会等于二十五。 那么既然的 x 现在有一个二分之一次方，所以我们将两边都开平方，我们就可以找到 x 的值，也就是 x 会等于二十五的平方，也就是六百二十五。 好，来到第三题，当我们看到这样子的题目的时候，我们先将这串数字设为 x， 然后我们也在这个式子上面画一个相同的符号，那么我们 就可以写成五分之一的 x 平方会等于五的根号五，那么当我们看到这样子的四指的时候，我们就将四指的左右两旁都写成以底数为五的一个次数，那么五分之一的 x 平方，我们就写成五的负 x 方， 而五的根号五，我们就将根号写成二分之一次方，也就是五的一次方乘上五的二分之一次方。那么根据上一个视频，我们可以知道，同底相乘，指数相加，也就是说五的根号五，我们可以写成五的二分之三次方。 那么在这边既然底数一样，所以指数呢也会一样，所以负 x 会等于二分之三，那么 x 就会等于负二分之三。接下来来到第二个部分，我们来谈谈基本的指数的性质。第一，以任何数字为底数，那么一的对数都会是零。 再来，如果我们看到下面的底数和上面大的数字是一样的时候，也就是这样子，以 a 为底数， not a 就会等于一。 接下来如果看到一个这样子的形式，也就是以 a 为底数，然后我们要找出 b 的 n 次方的对数，以这样子的情况，我们就可以将那个指数 m 移到最前面，让它变成 m 乘以 low a b。 以这个为一个例子，当我们遇到这样子的情况的时候，我们可以将这边的四十九换成七的平方。 好，接下来我们就可以将七上面的指数二移到 log 的前面，然后让它们相乘。 最后我们来谈一谈有关一道相乘或者相除的情况，以这样子的情况相乘，我们就可以把他们相加，而相除，我们就可以将他们相减。以上 来说， low a x 乘 y， 我们可以将它写成 low a x 加上 low a y， 而下面 low a x 除 y， 我们就将它写成 low a x 减 low a y。 好，以这边为例，以二为底数，我们要找出九十八的对数，那么我们可以将九十八变成四十九乘二。 好，接下来我们就可以加四十九和二分开，也就是让它变成 not a 四十九加上 not a a， 从上面我们可以知道 not 二四十九会变成二乘以 not 二七，而以二为底数，二的对数就会是一，所以这边我们就可以将它写成二乘以 not 二七， 再加上一，最后我们来到 not 五十，那么如果这边我们没有标记底数的话，也就是说底数为十，那么五十我们可以写成一百除二。 好，现在我们将一百和二分开，也就是让它变成绕一百减绕二， 那么一百是十的二次方，所以 low 十的二次方就等于二乘以 low 十，而 low 十就会等于一，所以二乘以 low 十会等于二，所以这边我们就可以将答案写成二减 low 二。 好，这个视频我和同学们分享了一些我们要如何找到对数里面未知数的方法，也讨论了一些基本的对数知识，下个视频我们会去了解对数更深的知识，我们下个视频见。

这个视频我教你一个对数运算中特别好用的公式， log a 的 m 四方， b 的 n 次方等于 m 分之 n， b 的 log a b。 这个公式为啥成立呢？下面我就来给你推导一下。 先用换底公式把它变成 logb 的 n 四方除以 log a 的 m 四方，也就是 n 乘 logb 除以 m 乘 log a， 拆开得 m 分之 n 乘 logb 除以 log a。 而右边这个逆用换体公式，其实就等于 log a b， 这样公式就出来了， 你瞧，从左边变到右边，你只要把上面这个指数写到上边，下面这个指数写到下边就搞定了。怎么样，很好记吧？ 应用这个公式，可以对一些底数和帧数比较大的对数式进行化解。比如 log 八九八十二的三次方，九十三的 二次方，那他就等于三分之二倍的 log 二三。如果让你算 log 八九乘 log 三二，也就是三分之二乘 log 二三，再乘 log 三二，他俩互为倒数，乘机是一，答案就是三分之二。 so easy， 公式你会用了，下面我得给你讲一种特殊情况，当 m 等于 n 时， log a 的 n 次方， b 的 n 次方等于 n 分之 n 倍的 log a b， n 分之 n 等于一。那就是说，如果底数和真数的指数一样，你就直接把他俩都干掉。 比如 log 二十七，一百二十五，二十七是三的三次方，一百二十五是五的三次方，都是三次方，直接干掉，就等于 log 三五。再比如 low 个三分之一，二分之一，三分之一是三的负一次方，二分之一是二的负一次方，都是负一次方，直接干掉，就等 等于烙个三二。类似的，如果是烙个根号三，根号二，他俩分别是三的二分之一四方和二的二分之一，四方都是二分之一，四方直接干掉，就等于烙个三二。瞧，他俩都等于烙个三二，是不是很神奇？ 好了，用公式化解对数式的方法我讲完了，最后再刷个题，帮你消化消化。计算。 loglog 八一千加 loglog 二， 根据求和公式就等于烙个括号烙个八，一千乘烙个二，其中八是二的三次方，一千是十的三次方，都是三次方，就直接干掉，所以他就等于烙个二十， 再乘上烙个二，他俩互为倒数，相乘得一，最后再算烙个一，按就是零。搞定好了，就讲这么多，总结一下吧。这个视频我就给你讲了，对， 是 log a m 四方 b 的 n 次方的化解，他等于 m 分之 n 倍的 log a b， 特殊的，当 m 等于 n 时，直接把他俩都干掉就行。怎么样，明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

大家好，我们来看一下这一道题。以十二为底二十七的对数等于 a， 现在让我们求以六为底十六的对数用 a 如何来表示？那我们看一下，这是一个对数， 那他们的底数一个是十二，一个是六，底数不相同，我们第一反应想到的是什么？换底公式，那我们先利用换底公式来进行啊，求解。 那这个时候第一个以十二为底二十七的对数，我们可以换成以十为底的比上 log 十二。一定要记住， 他的换底公式是，以 a 为底 b 的对数，他就等于以 c 为底 b 的对数比上以 c 为底 a 的对数。那这一个呢？ 以六为底十六的对数，他就可以写成唠个十六以上唠个六 来看，这里是二十七，这里是十二，这里是十六，这里是六，那你能想到什么？在这里最容易想到的就是十二是等于二乘六的啊，六呢， 这里已经出现了个二，他可以写成二乘三，那还能不能再继续拆分，那这个时候十二就 可以写成二的平方乘三，那二十七呢？拆成二和三哈，那他只能写成三的三四方，那十六呢？他可以写成二的四四方，那这一个时候我们把这些带入， 他就变成了 log 三的三四方比上 log 二的平方乘三， 那这一个时候他该怎么办？利用对数的运算，他就等于三倍的 logo 三，比上二倍的 logo 二，加上 logo 三， 那这一个式子呢？他就等于写 loganda 四次方比上落个二乘三，那他就等于四倍的落个二。比上落个二加上落个三，那这里都出现了谁？落个三和落个二， 那看我们要求的出现 logo 二的频率多一点，那我们如果把 logo 三用 logo 二来表示出来，那带入这里面，是不是就可以求出， 那这一个他是等于啊 a 的，那我们计算一下，就是二 a 乘唠个二，加上 a 乘唠个三，他等于三倍的唠个三， 那接着一项他就变成了谁二 a 乘 log 二等于三减 a 乘 log 三，那我们就可以得到中间的桥梁了。 log 三，它就等于谁 三减 a 分之二 a 乘上水啊，唠个啊，那我们把它带入这个柿子当中， 他就可以写成四倍的 logo 二比上 logo 二加上 二， a 比上三减 a 乘唠个二，分子分母都有，谁唠个二，我们可以约掉。所以这个时候 这一个式子我们换到这边来写，他就变成了谁四比上一加上三减 a 分之二 a， 那整理一下，他就等于四比上 三减 a 分之三减 a 加二 a， 最终等于三加 a 分之十二减四 a， 所以我们最终可以求得以六为底，十六的对手是 三加 a 分折十二减四 a。 在这里我们需要找出他们之间的桥梁，也就是唠个三，用唠个二来表示，当然也可以用唠个二，用唠个 三来表示，然后带入求解，这是要换底公式，那还有没有其他的方式呢？ 指数就是对数，与指数是联系的最密切的，那我们考虑一下，把它写成指数的形式，那这一个他就可以写成谁 十二 a 的十二的 a 次方等于二十七，那这个呢？我们就令他的值为 b， 那此时他就可以写成谁 六的 b 次方等于十六，那就是指数与对数的互换 指数形式。 那看一下，在这里 仍然像刚才那样分析的十二、二十七、二十七，最容易想到的就是三的三，四方六十六， 那这里十六是四的平方，二的四次方。但是这边我们尽量的少出现新的数字，那我们尽量的写成二和三的形式，那他就等于啊三的三次方，他就等于啊 二的四次方。那十二呢？可以写成二的平方乘三，那他的 a 次方，那这个六的 b 次方呢？二乘三的 b 次方。 那先看这一个已知的二的二一次方。乘三的 a 次方，等于三的三次方，那二 二的二 a 次方，他就等于三的三减 a 次方。那这边呢，二的 b 次方乘三的 b 次方等于二的四次方，那三的 b 次方等于二的四减 b 次方。那这一个时候该怎么办？ 我们看一下，可以考虑一下在这边二他就等于什么？左右两边同时取他的 a 分二， a 分之一次方，三的二， a 分之三减一次方。那我们把二等于他 带入这里面，那他就是三的 b 次方。等于三的二， a 分之三减 a 次方的四减 b 次方。 由于 y 等于三的 x 方，他是在定义上是单调递增的，所以只能出现 b 等于 二， a 分之三减 a 乘四减 b 次方。那整理一下，他就等于二 ab 等于三减 a 乘四减 b， 那这个时候我们就可以达到， 最终可以达到二 ab 等于十二减三， b 减四， a 加 ab， 那也就是 a 加三乘 b 等于十二减四。 a 最终可以求得 b 是等于 a 加三分之二，十二减四 a 的，那也就是求的，他的最终结果是等于啊 a 加三分之二，十二减四 a 这个利用指数与对手之间的相互转换形式也是可以得到结果的。

大家好，今天咱们就继续来讲一下这个对数比大小啊。昨天讲完了这个对数函数，但是比大小这一块呢，有些同学还不明白，咱来说一下。就这两道题，封面上也写了， 第一道题的话是 abc， 分别等于一个是 log 三六，一个是 log 五十，一个是 log 七十四，然后比较 abc 的大小，怎么比呢？咱们观察一下啊，你要直接画图的话，这个确实不太容易比出来，对吧？不太容易算出来， 然后怎么办呢？咱这样来，你三和六的话是什么关系？二倍的五和十又是二倍的关系，七和十四也是二倍的关系。 那索性我这个 a 的话，是不是可以把这个六写成什么形式？写成这个三乘二的形式，对吧？三乘二，这是没问题的。那看了啊，根据对数的预算法则，真数部分的乘法可以转换成对数的加法吧，相当于 log 三三， 再加上 log 三二，现在问题呢，就有了，他这个 log 三三是几啊？ log 三三当然就是一了，再加上 log 三几， log 三二啊，这个没问题。 那同样的道理，既然 a 已经算出来这个结果的话， b 和 c 是不是都算出来了？那我再重新写一遍吧，扔到一块，你比较一下大小就行了。 a 是 log 三二没问题，然后 b 的话是等于一加上 log， 这个很容易啊，把十写成五乘二， 那就是 logo 二，然后 c 的话是一再加上 low 个几啊，一再加上 log 七二十四，写成七乘二就可以了，对吧？ 那他比的是 abc 的大小，实际上我们分别比较的是谁的大小？只需要比较这个 a 片，然后 b 片还有 c 片， c 片的话，实际上就等于绕个圈，只需要比较这三个画圈部分 a 片 b 片 c 片的大小吧。怎么比较呢？这个咱们画图不就可以了吗？因为 a 片 b 片 c 片它三个帧数都是二，但是底数不一样， 那分别画出来啊？蓝色应该是 log 三 x 还是 log 七 x， 这个一定要注意啊，在第一线的线越远离这个外轴，它这个底数越大，所以这个蓝色的线呢？蓝色的出现实际上是 log glog 七 x， 那上面红色的话就是 log 三 x， 中间肯定是黑色的啊，是这个 log 五 x。 那画完直接以后，你看 a 片 b 片 c 片，人家自变量是 x 等于二吧，你都过一多少零画一个 x 等于二，这不就是 x 等于二，这不就画完了吗？ x 等于二的话，来看了， a 片在什么位置啊？ a 片他是正好等于 logo。 三二，这个不就是 a 片的高度重坐标啊，这个是 b 片，然后这就是 这片。所以说嘛，我们应该写什么？我们直接就写 a 片大于 b 片大于 c 片，实际上不就相当于你都加上一 a 大于 b 大于 c， 就整完了，对吧？这个是三个比较大小，然后拆成了这种一加上 log 三二， log 五二，然后 log 七二的形式。 但是下一个题下一个题就难了，别看起来简单啊，二三啊，行，然后 log 三四，还有 log 四五， 你说这个三十他不是大二倍啊，他绝对的差距呢，确实是三比二大了一，四比三大了一，然后五比四大了一， 参数比这样的底数呢，都大了一，但是啊，让你真正比较大，小时候直接画图，这个确实没办法，咱们还是画图啊。同样的道理，你如果画图的话，最下边就 变成了 log glog 四 x 吧，那中间这条黑线呢？就是变成 log 三 x， 最上面的话就是 log glog 二 x。 直接比较。真没办法呀，你 a 的话，咱们标一下它的高度啊，自变量是 x 等于三三的话，比如说啊，三大概在这，那这个呢？就是 a， 然后这个烙个三四的话，这个四大概。哎，四大概距离有多远？这个真不太清楚啊。不太清楚对吧？因为我们画的是草图，究竟这个四，这个位置，这个 b 和 a 究竟哪个高哪个低？肉眼看不出来，那怎么办？那没办法了，只能老老实实改一下形式了。 方法一，怎么办？跟刚才一个套路。什么套路呢？嗯，虽然哈，他的绝对差值是一，我们改成什么结果？我们能够把一个一提出来是最好的。啥意思？ 这个 a 他本来是 log 二三吧，我强行在这个其中给他提出个一来。什么意思？我强行把这个三改成二乘二分之三的形式，这个是没有问题，为什么要出现二， 你知道为什么吗？好说呀，我们就是为了出现这个，你看帧数部分的乘法转换成了根据对数预算法则， low 个二，再加上 low 个二，二分之三吧，然后 low 个二实际上不就等于一？所以说同样的道理，我们还是写一遍啊， a 的话 就是一，再加上 log 二二分之三，注意二分之三是真数，那同理可得。这个 b 的话，同样的方法，我们把这个四拆成三乘三分之四，那就改成了 log 三三分之四。哦，原来是这么这么个意思哈，那继续 c 的话， 那统一可得嘛，一加上烙个四四分之五就行了。现在的话，我画圈部分，你看，我们其实只需要比较这个 a 片啊， b 片，还有 c 片的大小，就其实代表了 abc 的大小，因为他们都分别加了一，现在我们标一下 a 片， a 片的话， 二分之三，二分之三，先比较一下二分之三，三分之四和四分之五哪个大？显然二分之三大吗？人家是一点五啊，三分之四的话是一点三，三三三三循环是吧？然后呢，这个四分之五的话，那不就一点二五吗？所以这是大小关系出来了，我们先标二分之三嘛，知道这个大家的关系就行。 好，红色的二分之三最大了啊，好，这个高度呢，他就是 a 片了，那这个 b 片应该怎么标啊？ b 片的话，他是跟黑线的焦点是 log 三几， log 三 x 啊， log 三三分之四，所以呢， 跟黑线的交点，这是 b 片，那继续来标吗？接下来改表什么？ low 个四四分之五，那不就是最小的这个四分之五和蓝线的交点吗？ low 个四四分之五，所以说这是 c 片， 现在应该懂了吧，肉眼可见的 a 片最高， b 片呢？次之啊，跟黑线焦点是 b 片，然后 c 片呢？跟蓝线焦点最低，所以就得出来什么结果。 a 片 大于谁？大于 b 片，大于 c 片，那分别加上一同样的道理，不就是 a 大于 b 大于 c 的这样一个结果吗？这个肯定是没有问题的呀。好了，我们就比完这个大小了，懂？ 好吧，再说这个在告的里头就是小题的，这是方法一，画图，但是画图之前必须强行把这个一给拎出来，如果你没有做第一题的话，你觉得很容易想到这种方法吗？很不容易的，其实来看方法二。 有人说，老师我知道，我呢，可以引入一个，你看 log 二三， log 三四，然后 log 四五。那我索性索性就引入这样一个函数啊， y 等于 log x， 然后这个帧数比底数大了一个单位嘛。我引入这样一个函数， 这个函数的话，直接处理不好处理，因为帧数含有变量，底数含有变量，我们换句公式嘛，这样的话就会稍微简单一些了，换成 log x 加一，以示为底啊，底上 log x， 现在写成这个结果以后，有人说，老师，我接下来求导。别别别，因为咱现在是给高一学生讲的，咱不要讲求导的方法，咱看有没有别的方法来求。 怎么呢？其实有的看了啊，别着急，咱们慢慢来。你现在的话实际上就想比较什么。我现在其实就想证明什么呢？我就想证明这样一个很 数， y 等于 log n， n 加一，因为最小是 log 二三，其次是 log 三四，所以这个正能数 n 的话，一定记住是大于等于二的。 那写成这样一个结果的话，我想证明他这样一个函数是怎么样的？他是单调递减的这样一个函数。注意啊， y 是因变量， n 呢？是自变量，如何证明他是一个单调递减的函数呢？ 好说，为了证明他是单调递减的函数，我们不就是想证明这个 log n， n 加一，减去后一项，对吧？ log n 加一，然后 n 加二，怎么样啊？大于零，这不就是前头减，后边儿大于零，那不就是单调递减的意思吗？ 但是变成这个结果呢？还不满意，因为你底数还有帧数都含有变量。 n， 现在的话，我们要 换底公式了啊，注意，下一步我们利用了一下什么？利用了一下换底公式，一定要回顾一下上节课的换底公式啊， 那换完底以后，索性就以十为底。刚才其实也说过了，你现在证明的是大于零嘛，实际上相当于我们把这个负的移到不能和右边去变成正的啦，相当于证明他大于他。这个其实是好说的，然后继续往后写。那继续嘛，右边的话就是 log n 加二换地公式嘛，比上烙个 n 加一， 想一想，因为你这个 n 已经大于等于二了，所以这四个画圈部分，不管分子还是分母都是正数，正数部分的话，我们直接相乘或者相处 不同的方向不变的。那接下来既然都是正数的话，我们就直接相当于证明什么？相当于证明 log n 加一改一下形式就行了，它的平方是大于 log n， 再乘烙 个 n 加二的。那如何证明这一点的？这一点的话就要需要用到什么？需要用到 y 等于 log x。 注意啊，这条图像 y 等于 log x， 它肯定是向上凸的，这个不用多解释吧啊，图像性质就是这样， 那既然如此的话，我们现在需要观察一下什么东西啊，大家现在观察这样一个不等式里头啊，最后这个不等式里头有 n， 有 n 加一，有 n 加二。首先我们就让 a 点它的横坐标等于 n 啊，注意， n 是大于等于二的，那 b 点横坐标，那就 n 加二呗。那中点的话，横坐标肯定就是 n 加一。 如果说我们先看直线啊，先不要着急，看上面这个点，先看这个直线， m 点是直线，是线段 ab 的终点啊，是 ab 的终点，那接下来怎么办呀？接下来我们根据均值不等式，均值不等式的话， a 点的 纵坐标实际上他就是什么，就是多少，就是烙个嗯，然后这个必点，这个纵坐标的话，你把这个横坐标带入，就是 n 加二吧。然后均值不等式的话，是不是大于什么东西？大于等于烙个 n， 然后再成一个 log n 加二。但是啊，我们要证明的，人家是怎么左边平方了，那就平方呗，左右两边分别平方，这样一个君子不能试改成这样一个结果，改成这个结果以后的话，我们还不满意，我们其实只需要比较一下什么，比较一下这一部分就行了。 还有一个，这个等于号什么时候取得到？等于号，只有当 x 等于外，只有当画圈部分这两项相等的时候，画圈部分这两项能相等吗？不可能，所以这个等于号其实是永远取不到等于号，只能取这样一个大于号。别着急，别着急，你着什么急？ 我们其实已经可以说几乎已经出来这个答案了，看了啊，同学们，我们来看这个恩典坐标是什么东西啊？显然这个恩典坐标我们可以写成 log n 加一，这是恩典的纵坐标吧， n 点纵坐标，它是大于什么的？ n 点纵坐标，它是大于这个 m 点的纵坐标的，这个 m 点纵坐标我们根据终点公式其实已经写出来了，它就是二分之 y a 加 y b， y a 就是烙个 n， y b 就是烙个 n 加二，懂了吧？所以说接下来 log n 加一的平方是不是大于这样一个二分之？ log n 加上 log n 加二，这是终点公式，对吧？这样一个整体的平方呢？大于这个整体的平方，那就大于 后边这一项。那我们圈一这个不等式不就证明完了吗？圈一证明完了，因为我们每一步都是等价变化过来的，所以说最终就证明了原来他是一个减函数。现在呢？你可以截图了，因为我要擦掉这一部分了啊。 也就是说最终我们证明了原来 y 等于 log n， n 加一，它是一个减函数。那既然是减函数的话，你看这个二三四，虽然越来越大了这个 n， 但是整体却越来越小了。因为是减函数，所以就是 log 二三反而大于 log 三四。 唠个三四反而大于唠个四五，这不就写完了吗？这是方法二。那如果让你选择的话，你会用哪种方法比较大小呢？分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下期课再见！

大家好啊，今天我们来学习一个新的函数啊， vlog 函数啊，这个函数啊，我们在数学啊运算中啊，会经常呃遇到 啊，那么今天啊，我们拿这些啊数据给大家演示一下啊，首先啊，我们来求啊，以二为底数的三的对数啊，我们还是要把这个公式给打出来啊， log， 然后这个数值啊，对应的是我们这个啊，帧数啊，我们直接点击啊，这个底数啊，就是我们这个啊，对应的是 a 二啊，但是这里需要注意 点是我们的底数啊，必须是大于零且不等于一的啊，然后我们直接按确定啊，我们直接就算出算出来了，以二为底数啊，三的对数 啊，然后其他数据我们直接按加号啊，同样这样结果就出来了啊，你学会了吗？啊，如果感兴趣的话，给老师点个关注，或者有其他啊疑问也可以给老师留言，谢谢！

第一个公式 logo 以 a 的 m 次方为底的 b 的 n 次方，我们可以写成什么？ m 分之 n 倍的 log 以 a 为底的 b。 这第一个要记得。第二个 log 以 a， a 为得 a 等于 blog 以 avd 的一数得零。那我们看这道题， log 以二十七为八，十一有二，十七有八，十一有九，我们全部想到三，那我们可以这么来做啊， 闹格以二十七为底的八十一，我是不是可以写成闹格以三的三次为底的三的是不是继续等于三分之四倍的那个以三为底的三，那么二以三为三是不是等于一？最后的结果是不是三分之四？所以答案选 b。

我们的车说完程序是一定要看 love 数据流的，因为 love 反映了你发动机的工况和油屏的好坏，甚至还可以看出来程序的好坏。录好的 love 是一个点 csv 后缀的文件， 你打开之后发现里面全是英文和数字表格，你可能根本就看不懂这个干货视频我教你认 love you 里面几个重要的专业英文术语的意思，学习完之后啊，基本上任何车的 love you 你都可以看懂， 语速很快，我们准备开课了啊！ sorry 的派到森斯油门踏板传感器，你可以通过他看到你的油门踩的多深。哎。 c f l f u v c 或者叫 m 的都是指的空燃比。空燃比是必须要看的，比如说不同的油品，九十八号汽油和一八五的空燃比设定是完全不一样的。叉 g l that 压缩空气温度，简称 c a t。 自吸车是没有这个的，很多车主往往忽略看 c at， 他们更看重的是什么？进气温度。 nkk lt。 简称 i at。 我想说的是 c at 对增压车型的性能影响更大。 ngsb 的发动机转速 love you 要结合转速一起去看，要看具体多少转，测了几度的，点火多少转，涡轮压力值是多少。一个菱形胎敏点火正视角 sotango 或者叫 sort 白里普追神，他是节气门角度看有没有锁节气门就要找这个单词。威斯 gat 废气旁通阀，俗称涡轮拉包啊，他控制了你的涡轮增压值。 任何带 boss 的单词都是与涡轮增压值相关的。 macsl 空气流量传感器 notet 爆震， 任何带 note 的单词都是看你爆震情况的，比如说 notetitty 就是爆震监测一个内身 time claken 点火角度 修正，比如说看每个缸的退火情况，就是一个内身太密出来的是 yontuce， 也就是一缸二缸三缸四缸。呃，退火情况 egt excastame 排气温度 ngow 抖音视频长短有限，我只是说了所有通道的冰山一角，但是把几个重要的都分享给你们了。刚刚说的那些，比如说空然笔啊点火脚，他的中文数字叫什么？叫通道，英文叫 把以上的英文单词记下来。我敢肯定你以后看任何车的 love you 都游刃有余啊！并且你在你的车友圈可能会是最靓的仔啊！嗯，你的车友都会天天追着你，让你看他们的 love you 我是小代，记得点赞关注下个视频，继续给大家分享干货知识。

比大小下巴的通关了，我教大家一个符号就行了，一个符号叫做这个叫约等，不要按照这个来来叫公式，这个来叫技巧，这叫约等大法，只要是你会这个约等，不管是粗略约等还是精确约等，还是超级精确约等，你弄这个东西做完之后，你就可以清晰的比较出来刚刚我那句，那 好了，那我们一个一个来吧。先说说第一关 dog 的粗略估算，既然是粗略估算这个约等一位小数，比如说这个拍，呃，拍和，你只需要知道这是个三点为一位小数，你知道他俩谁大谁小了。好了，那也就说第一关呢，我们先保留一位小数这种简单的一个玩法啊，然后第二关呢，我就会保留另一位小数。第三关呢，保留三位小数的意思好了， 那第一关的是什么题？大家看好，我给大家列现在这么几道这么几道题来说，他看就是一个整数，什么二三呐，三五呀，五八呀，什么解二分之一。好了，那接下来咱们一道一道给大家讲通关。好，先讲第一道题，第一道题呢，这是 高考里出现过两三次说第一题呢，叫做 a 等于二三， b 等于 log 三四， c 等于 log 四五。我们先讲的是，呃，这个第一个叫做略估算，那我咱们就来粗略估算一下，说 abc 大小关系，我知道大家很多同学会画图，嘿，不好意思，你这道题是不好做出来的，有同学说，老师我会公式什么换底公式什么什么公式，还会求导好这道题， 两秒钟之内，三秒钟之内搞不定他就不是个好方法。好，那么这道题该咋做呢？那我现在就教一下。大家好，这个呢，叫做 a 等于个 log 二三， a 等于 log， 二三 等于多少呢？大家看大胆的猜，这东西还真的约等于三除二，三除二啊，约法 log 盖着就行了，不看他三除二吗？好，行不行？行，有一定的公式，一会我给大家简单推一下。好，这就行了。好了，那 b 呢？就等于 log 三四，他就约等一个四除三， c 呢，就等于 log 四五，他就约等一个五除四。 ok， 这个是简历，一点 点五，这个是几了？一点三三，这个是几了，一点二五，你瞪眼法就把它瞪出来了。 c 小于 b 小于 a， c 小于 b， 小 a， 答案选 c， 答案选 c。 好，这个题就是一个哦。啊，这个题目该下去呢，算器啊，也可以用来算的方法，公式，推倒的方法，图像的方法啊，看能不能三秒之内。 那有的人说，老师是不是讲错了，咱们可能讲错，讲错是不可能的啊，只会存在试条件，哎，所以接下来给大家发试用条件这个标志呢，大家看好了，在碰到这个 log 的题 上，有同学说，老师，我这不是上下结构，这是上中下结构。那行啊，这，这一个数，这东西就约等于三除二，但是他有一个条件啊，他有条件。 第二呢，两数，两个数，一个范围，有个范围，这个范围是多少？这个范围二到五，这些数，随便抽俩数进去就可以了。你说老师，真的吗？来，咱看是不是真的，比如说你们应该知道 log 二四，那谁呀？四除二是不是二是二二。 这个推导过程。一会我给大家讲完，第二节我再给你们讲这个推导过程，他需要通过换顶构造函数推出来的给大家研究的小套路，这是通过这个倒数的方法研究出来的小套路。好了，适应条件就二到五。好了，那咱们大胆的发挥，同学们来看，谁在二到五呢？比如说拍 拍这个解，三点一四，那你说这个东西约等于几了？还除以二，对不对呢？哎，对，当然对，所以有一点五七，一点五七好，但是呢，这种东西他只估算到一位小数 就行了，所以他就是一点五，一点五。好了，这就是这个题，两个数范围是在二到五之间，二到五之间，大家一定要记好，那大家别着急，那不在二到五之间，我待会我另外一个东西变形，你们都知道，不在二到五之间，怎么做好？这叫估算大法啊，超级估算，粗略估算 好这道题，我相信同学们啊，好，那懂的家人们呢？评论区打个一，我给大家总结个小秘小秘籍啊，这个东西我换成个公式， ab， 他是 约等于 b 处 a， 这个就是范围啊，需要大家就是小学的计算过关，你不过关是不行的。好了，有同学说，老师，我想推倒推倒推倒推倒，待会我边讲你可以边推倒，有个公式叫换题，公式叫李宁李宁李宁李宁，我看行，这东西是不是约等于 b 处 a 呢？构造一个函数，这道题马上就出来了，他就是直的，直的， 但是不需要去推倒，你段位不高的话，你不用推。好了，那接下来看这道题，咱实战第二道题，给大家五秒钟把答案打出来，给五秒钟。 a 是等于个唠个三二， b 是等于唠个五二， c 是等于唠个二三五秒钟啊，五秒钟敲一下键盘， 落个二三三二五二啊，都是刚刚好。那复合那个题目的标志二到五之间，而且还粗略不算好。已经算出来的小伙伴。那个打在评论区，把答案打在评论区，哎，我看有同学答案选了个 d。 老同学啊，答案是不是选 d 了？ 好呢，哎，等于落个三好，约等于谁呀？二除以三等一个零点六落五，二落五，二有二，三是零点四，哎，零点五四和零点六他俩差距比较大呀，哎，零点四分一，你比如说一点六米跟一点四米的能一样不啊？一点八米的能，哎，不能一样吧。 李晓明，李明啊，姚明这里是比较大的啊，所以说这种零点四零点六他差距比较大，你一下就能可以用这个啊。西选项呢？是就是啥呀，落个二十三就三除二，哎，三除二是几五，哎，别说，保留一位小说，取个整数就就可以啊。一点零点六零点四，不需要那么精选。这道题大家选 b 选 b 叠一下啊，刚刚是不是又是一个 low 二三，哎，懒。好，那我就 low a b 吧。好，这俩数啊啊，数啊，同时在二到五这个区区间， a g 选数， a b 除 a， 但是一定要记好，这叫粗略估算，粗略不一位小数，你就这样做就对了啊，一点都有的，二点， 有的三点多，直接带干他好了。这是第一题，在高考里边出现过这种题，他都是是一六。一七年之前啊。 前进就 a 等于 logo 五四五四啊，这个比大小呢，禁用小数，小数好算，很直观啊，不要用分数，用它通分比较麻烦啊。好了，平方 a 四四五 看一下 abc 大小关系啊，能套上咱们刚刚说的题型，那复不复合刚刚的模型？这二到五之间呢？杀时肯定是在二到五到五之间，满足了吗？ 满足了，满足就直接能算了。已经算完的家人们，评论区打出来这个选项。这道题呢？还是我讲，因为这题太简单了，把这个难题留在后边，让同学们上来讲。有同学打的是四，有同学打的 d， 我懂你们，你们都答案想选最后一个吗？是不是？ 好，那这题咋做？刚刚好，复合二到五之间，直接就做出来了，这是多少还是零点八这个呢？三除五，三除五，平方等于一个 零点六的平方，这个呢？五除以四，一点二，五，一点二，五，大家好快，那必须好快，零点三，六，一点五，零点八。答案是啥呀？ d d， 真理掌握在多数人的手里， d d 小于 a 小。第三题，同学们啊，听懂了第三题，听懂的同学打个三。 通过大家打的这个，听懂的同学打个三，没听懂的同学打个五打个五，听懂的打个三，没听懂的打个五。让我简单的调查一下曾经上课，曾经，我，我记得我前几天啊，给同学们讲这个， 还有同学个别同学，同学啊，你就是在这个计算上稍微那么有一点点这个问题，但是你把计算补补出来，这应该是问题的。 好了，那么这就是第三题。同样啊，同样我也能够看到大三的同学确实认认真真听课的，但是如果从工地搬砖过来的，很多不是同学们的一些一些呃，人物来了就 一堆，我对，我很讨厌这种情况，影响大家的进度。好了，三季咱们就说完了，咱们总结一下，总结一下，刚刚的话，咱们已经讲了 log 二三 这种题了，落个三四，落个四五，像这种不可以利用。剩下接下来给大家再隐身，隐身一点点啊，有的时候他会有一个简写，叫什么呢？李宁，李宁，这玩意特别重要，他直接能把第二关全破解了，那大家知道李宁是谁不？他是个简写，简化版啊，简写 啊，那这个到他是下边有一个数，下，不是一一啊，有的人可能不知道这个数是十，这是一一是啥呢？一是高中最尿的一个数啊，这个数很重要，他叫二点七，一八啊，就大概啊，我，我的身高啊，对，加一米啊，点七，二点七， 这个咱记住啊，那你说这个东西能不能用二点七，在不在二到五之间呢？他不就当当然在二到五之间吗？所以这就是约等于二除二点七。好，大家 计算器一按，发现这是零点七，关，特别特别重要，所以你现在记下来这东西是个零点七。同样道理，你也会遇到任三，任三呢？李宁，三啊，这是啥呀？任三就是落个一三，哎，所以就三，所以他的结果一点一啊，一点一，如果记不着，同学们来看， 这个 n 呢？是不就是个 nn， 这个长得像个一点一， l 长得像个七，所以他就这么神奇啊。类二是零点七，类三，一点一，二到五之间，两个非常重要的，一会破解通关，第二章就用这俩数。

log 跟蓝银呢？在高考里边呢，除此啊，这个三个层次啊，还有 log 的一些粗略的估算，就可以直接把它搞定。还有一个就是需要你保留两位小数的，这种难一点的，蓝银的，还有一种超级精确的，像二零二二年高考题里边给你来个一零点一的，你问你这东西这种叫小数 啊，小小数，零点一，还有什么烂一，一点零一，让你比较这些东西的大小啊，需要把这三关呢全部给通了啊，你就自然知道比大小怎么做了。比大小想把它通关了，我教大家一个符号就行了，一个符号叫做这个叫约等， 不要按照这个来来叫公式，这个来叫技巧，这叫约等大法，只要是你会这个约等，不管是粗略约等还是精确约等，还是超级精确约等。你弄这个东西啊，做完之后呢，你就可以啊，清晰的比较出来，刚刚我列举那好了，那我们一个一个来吧。先说说第一关 log 的粗略估算，既然是 粗略估算啊，这个就是约等一位小数，比如说这个拍拍和这个十比大小，你只需要知道这是个三点一，哎，三点一是吧，这保留一位小数，你当然知道他俩谁大谁小了。好了，那也就说第一关呢，我们先保留一位小数这种非常简单的一个玩法 啊，第二关呢，我就会给大家讲讲保留两位小数，第三关呢，保留三位小数，其实就是这个意思。好了，那第一关的什么题呢？大家看好，我给大家列举的是现在这么几道，这么几道题 啊，相对来说他一看就是一个整数，什么二三呐，三五呀，五八呀，什么八十三呀，这种东西二分之一，三分之一。好了，那接下来咱们一道一道给大家讲，一道一道通关。好，先讲第一道题，第一道题呢，这是在高考里边啊，出现过两三两三次 啊。说第一题呢，叫做 a 等于 log 二三， b 等于 log 三四， c 等于 log 四五。我们先讲的是这个，第一个叫做 粗略估算，那我咱们就来粗略估算一下，说 abc 大小关系。我知道大家很多同学会画图，哎，不好意思，你这道题画图是不好做出来的，有同学说，老师我会公式什么换底公式什么什么公式，还会求导，好，这道题你两秒钟之内，三秒钟之内搞不定，他就不是个好方法。 好，那么这道题该咋做呢？那我现在就教一下。大家。好，这个呢，叫做 a 等于个 log 二三， a 等于 log 二三，这东西到底约等于多少呢？好，大家可以大胆的猜，这东西还真的约等于三除二。好，三除二， 约等于三除二，那也就说把 log 盖着就行了啊，盖着就行了啊，不看他们就三除二吗？好，行不行呢？行，这是有一定的公式，一会我给大家简单推一下。好，这就行了。好了，那 b 呢，是等一个 log 三四，哎，他就约等一个四除三， c 呢，就等于 log 四五，他就约等一个五除四。 ok， 这个是几了一点五，这个是几了？一点三三， 这个是几来一点二五，你瞪点法就把它瞪出来了， c 小于 b 小于 a， c 小于 b 小 a 啊，答案选 c。 好，这个题就是一个估算的啊，一一道啊，经典的题目，说一下这个适用条件，这个标志呢，大家看好了以后再碰到这个 log 的题，上下不是有两个数吗？有同学说，老师，我 这不是上下结构，这是上中下结构。那行，这一个数，这一个数，这东西就约等于三除二，但是他有个条件啊， 啥条件呢？这两两个数有个范围，这个范围是多少呢？这个范围呢？是二到五，这些数随便抽俩数进去就可以了。好了，那咱们大胆的发挥啊，同学们来看，谁在二到五呢？比如说啊，这个拍拍 拍，这个解三点一四，那你说这个东西约等于几了？拍除以二，对不对呢？那啊，当然对，所以有一点五七，一点五七好，但是 这种东西他只估算到一位小数就行了，所以他就是个一点五，一点五，这就是这个题。 好，这个两个数范围是在二到五之间啊，二到五之间，大家一定要记好，那大家别着急，那不在二到五之间，我待会呢？通过另外一个东西变形，你们都知道不在二到五之间，怎么做好？这叫估算大法啊，超级与超级估算啊，粗略估算， 这个东西换成个公式，哎， ab， 他是约等于 b 除 a， 哎，这个就是范围。那需要大家就是小学的计算过关啊，你不过关是不行的。 有同学说，老师，我想推倒推倒，推倒推倒，待会我边讲，你可以边推倒，有个公式叫换底公式叫李宁李宁，这叫李宁李宁，我看行，这东西是不是约等于 b 处 a 呢？你构造一个函数，构造一个函数，这道题马上就出来了啊，他就是直的，直的啊，但是 不需要去推倒啊，你段位不高的话，你不用推啊。好了，那接下来看这道题，咱实战第二道题，给大家五秒钟把答案打出来啊。给五秒钟， a 是等于个 log 三二， b 是等于 log 五二， c 是等于 log 二三。 log 二三三二五二啊，都是刚刚好啊，符合那个题目的标志 二到五之间，而且还粗略估算好银星算出来的小伙伴呢，那个打在评论区啊，把答案打在评论区。哎， 我看有同学答案选了个 d 啊。老同学，答案是不是选 d 呢？好呢， a 等于 log 三二好，约等于谁呀？二除以三等一个零点六啊，零点六， d 就等于个 log 五二五二就二除以五，答案是零点四。哎，零点五四和零点六他俩 差距比较大呀。哎，零点四分一，零点六，你比如说一点六米跟一点四米的能一样不啊？一点八米，那能一样不？不能一样吧。 好，这差距也是比较大的啊，所以说这种的零点四零点六他差距比较大，你一下就能可以用这个啊， c 选项呢？就是就是，啥呀， log 二三二三就三除二，三除二减一点五。哎，别说，保留一位小数，取个整数就就可以啊，一点五，零点六零点四，不需要那么精确。这道题选 b 啊，大家选 b 啊， 那咱总结一下啊，刚刚是不是又是一个 log 二三？好，那我就捞个 ab 吧。好，这俩数啊，他要在啊，这俩数啊，同时在二到五这个区区间啊。随机选数，他都是约等于 b 除 a， 但是一定要记好，这叫粗略估算， 粗略公算啊，粗略啊，就保留一位小数，你就这样做就对了啊，有的是一点多，有的二点多，有的三点他啊，直接干他。