初中数学几何辅助线
看懂这个视频，辅助线就不可能学不会，今天一个视频帮你们彻底搞定几何辅助线。我全网首创的辅助线的底层逻辑，就是对几何模型和几何性质的补充和完善。为了让这个底层逻辑更有说服力， 今天我选的例题是全国卷王之王海淀区刚刚考完的初三二模的倒数第二题，也是最后一道几何大题，这个绝对够难度了，并且呢，二模的难度是最接近中考的， 而且全国最好的两所中学，人大附中、清华附中都在海淀，所以这个题绝对是很有代表性了。如果这个题的辅助线都符合这个底层逻辑， 那么几何辅助线他就再也不是难点和痛点了。那咱们来看一下题， 在三角形 a、 b、 c。 中角 b， a， c 是 个九十度， a， b， c 等于阿尔法点 d， 在 b、 c 的 延长线上， e 是 c、 d 的 中点，连接 e， a 将 e、 a 绕点， e 逆时针旋转一百八减二，阿尔法得到线段 e、 f。 如图一，若阿尔法等于四十五， c， b 等 c、 d 连接 c、 f， 让咱们证明 c、 f 垂直 bc， 那 阿尔法等于四十五的话，所以呢，这个角 a、 e、 f 就是 个九十度 三角形， a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形。咱们刚说了，辅助线的底层逻辑就是对几何模型还有几何性质的补充和完善，那这里面的已知条件，它和哪些几何模型、几何性质有关呢？首先呢，点 e， 它是 c、 d 的 中点， 和中点有关的几何模型，几何性质有八字全等中位线、斜边中线，还有三线合一，咱们用哪个呢？你看哈，这个三角形 a、 c、 e 哈，它正好就是以点 e 分 成的两条相等线段中的 c、 e 为边的， 所以说这个非常容易构造八字全等，咱们过点 d 做 a、 c 的 平行线和 a、 e 的 延长线交于点 m， 那 就有了八字全等。三角形 a、 c、 e 全等。三角形 d、 e、 m， 那全等之后，咱们就有了这个 a、 c 等 dm 还等 ab， 并且点 e 是 am 的 中点，所以呢，这个 ef 它就是 am 的 垂直平分线。那根据垂直平分线的性质， f a 等于 f m。 目前呢，咱们加了两组辅助线，其中一组是对八字全等的补充和完善， f a 和 f m 这一组呢，是对中垂线的性质的补充和完善。这第一问呢，只让咱们证明这个 c、 f 垂直 bc， 因为点 c 是 b、 d 的 中点，所以如果这个垂直成立的话，那 c、 f， 它就是 b、 d 的 垂直平分线， 那必定就有 f b 等于 f、 d。 那 反过来，如果咱们能证明 f、 b 等 f、 d 的 话，那根据三线合一，也就有了 f、 c 垂直 bc。 所以 接下来咱们就要想办法证明 f、 b 等 f、 d。 那 你看哈，咱们已经有了 dm 等 ab， 还有了 f m 等 f a， 那 如果 f、 b 还等 f、 d 的 话，那必然就有三角形 f、 d、 m 全等三角形 f、 a、 b。 很明显呢，这是一对手拉手全等。并且呢，想要证明他俩全等的话，咱们已经有了两对相等边了，只差一对相等角了，也就是咱们只需要证明角 d、 m、 f 等于角 b a、 f 就 可以了，那证明角相等，那就是倒角嘛， 咱们刚才有了八字全等，所以呢，这个角 c、 a、 e 就 等于这个角 d、 m、 e， 咱们把他俩呢都记为贝塔。 因为三角形 aef 是 个等腰直角，所以这个三角形 a f m， 它也是一个等腰直角。所以呢，这个角 f a e 等于角 f m e 都是个四十五度，那所以呢，这个角 f m、 d 就是 一个四十五加贝塔， 那这个角 f a c 呢，就是四十五减贝塔。所以这个角 b a f， 它就等于角 b a c 减去角 f a c， 也就是九十度减去角 f a c， 所以 角 b a f， 它也是一个四十五加贝塔。 所以咱就有了角 f m d 等于角 b a f s a s 三角形 f d m 全等三角形 f a b， 那所以呢，这个 f b 就 等于 f d， 根据三线合一 f c， 它就垂直 bc， 那 这个 f d、 m 全等 f a b 哈，它就是一个手拉手全等。所以这个题的第一问，它的辅助线就是对八字全等，还有中垂线还有手拉手全等的补充和完善。 那咱们来看这个题的第二问，第二问，相比第一问呢，只是少了一个四十五度角，其他的构图特征完全不变。 那在这呢，再教你们一个大招哈，一道几何大题哈，他的第一问，第二问和第三问，如果构图特征是不变的，那么辅助线也是不变的。 所以咱们在第二问中，直接把第一问的辅助线进行一个还原，还是构造八字全等三角形 a c e 全等三角形 m d e。 第一问，咱们是通过证明三角形 f d m 和三角形 f b a 这对手拉手全等，从而完成了题目。那在第二问里边，因为没有四十五度，所以就没有了 ac 等 ab， 也就没有了 md 等 ab， 哎，所以第二问里边就没有了这个手拉手全等，那咋办呢？哎，没有全等，有相似吗？很明显，三角形 f b a 相似三角形 f d m 从第一问的手拉手全等进化到了第二问的手拉手相似。咱们第一问是用的 s a s 正的全等，那第二问，咱们就用 s a s 来证明相似，用 s a s 证明相似，那就是要证明 md 比 ab 等于 m f 比上 af， 并且呢，角 b a f 等于 ab， 那 就等于 ac 比 ab， 那 a b c 是 个直角三角形，那 a c 比 ab 哈，那不就是贪尽它阿尔法吗？哎，所以 dm 比 ab 等于 ac 比 ab 等于贪尽它阿尔法。那因为这个角 a e f 是 个一百八减二阿尔法。并且呢， e a 等于 ef， 所以呢，这个角 f a e， 它就是一个阿尔法。并且呢， 这个 em， 它还等 e a， 所以呢， emf 就 等 ef， 所以呢，这个角 emf， 它就是一个九十减阿尔法。所以三角形 a f m 是 一个直角三角形， 那 f m 比上 fa 也是贪婪的阿尔法。所以咱们就有了 f m 比上 fa 就等于 m d 比上 a b。 所以呢，咱们就只剩证明角 b a f 等于这个角 d m f 了。那方法呢？和第一问一模一样哈，还是设未知数倒角？咱们还是设角 c a e 等于角 d m e 等于贝塔。 所以呢，这个角 d m f 就是 九十减阿尔法加贝塔。那这个角 f a c 呢？就是个阿尔法减贝塔。那这个角 b a f 呢？还是九十减 f a c， 所以呢， b a f 也是个九十减阿尔法加贝塔。所以呢，咱们就有了三角形 b a f 相似三角形 d m f， 那 它俩呢？很明显是一对手拉手相似，那有了手拉手相似哈，就会立刻增加一对相似， 就是三角形 b f d 相似，三角形 a f m， 所以呢，角 b f d 等于角 a f m 等于九十度。所以这个题的一问和两问哈，都是对八字全等模型和手拉手模型的补充和完善。 所以全国卷王之王的模考压轴题是完全符合我规范的辅助线的底层逻辑的。 那有些人肯定会有疑问哈，只有这一道题符合的话，会不会是巧合呢？或者说是不是不够有代表性呢？ 那我明确的告诉你们哈，这次北京每个区二模的几宗压轴题，全都符合我这个底层逻辑。 西城区的就是考的等补四边形加上斜边中线。朝阳区的就是考的绊脚模型加八字全等。顺义的就是考的绊脚模型加方程思想。 海淀区的就是考的手拉手加八字全等。昌平的就是考的手拉手加方程思想。门头沟的就是考的构造手拉手。石景山的就是考的构造手拉手加中卫线。 房山的就是考的绊脚模型加中卫线。大兴的就是考的对折型加一角，一边够全等。平谷的就是考的三垂直全等，八字全等，还有构造中卫线。
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02:30查看AI文稿AI文稿我猜你现在需要史上最全数学辅助线做法，几何题最头疼的就是辅助线不会画，今天毫无保留给你分享辅助线做法，全是干货，没有废话。第一大类是关于求长度或者求角度具体数值的题， 看到题目中有中点，立刻想备长中线，中位线，构造全等，把分散的边集中到一起，看到角平分线，直接往两边做垂线距离相等，对称。解题， 看到等腰等边三角形优先做高用三线合一，看到平行线就延长相交走八字形相似三角形，看到正方形等腰直角想旋转九十度，看到六十度就旋转构造等边。 第二大类是证明题。一最常考的是线段相等，可以用一正全等三角形对应边相等。二 正等腰三角形，两腰相等。三用中位线。四用直角三角形，斜边中线等于斜边一半。五用平行四边形对边相等。六用等量代换都等于第三条边，因此辅助线一般是做平行线或者备长中线。 第二常见的是证明角相等。一正全等对应角相等。二正等腰底角相等。三平行线同位角内错角相等。因此辅助线一般是做全等三角形，或者做等腰三角形或者做平行线。 三、看到线段和差问题，用截长补短，长的截一段，短的补一段，直接证明。 四、要正直角或垂直。一用勾股定律，逆定律构造等腰三角。二用等腰三角形，三线合一，所以要做高。 三，用圆的直径所对的圆周角是直角，所以要连直径。第三大类是最值。问题一， 如果动点在直线上动，如果是球和最小做对称将军印码，如果是求点到线做垂线， 如果是求点到点，就连接这两点，两点之间线段最短。二、如果动点在圆上动，一般是一箭穿心模型，即连接圆心，和那个点，近的那个是最短距离，远的那个是最长距离。 三、线段前带系数求对值，比如求 p a 加 k p b 最小值可以使二分之一找三十度构造直角三角形变垂线段，可以使勾三二找六十度变垂线段，使勾二二找四十五度变垂线段。赶紧收藏起来，说不定哪天能用上，我们下期再见！
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09:12查看AI文稿AI文稿全等三角形辅助线的添加是很多同学考试时候的噩梦之所在，今天薇薇老师一个视频教会你全等三角形半角模型的实际应用，带你考试轻松拿满分。我们先来看题，若 a、 d 平行， bc 一 组对边平行， 角 b 等于九十度，这个角是九十度的角，角 e、 c、 d 等于四十五度，出现了四十五度的角， a、 b 等于 bc 等于十八，这一组零边相等，长度都是十八，求三角形 a、 d、 e 的 周长，也就是这个三角形三边之合是多少？ 薇薇老师已经优中选优，为大家整理了全国各种版本的期末模拟试卷，孩子念完考试直接充满分，需要的家长我发您一份电子版取件码。九九九。我们先来观察一下这个四边形 a、 b、 c、 d。 在这个四边形当中，有一组对边平行，还有一组邻边相等，同时呢，又有一个九十度的角，所以这个时候我们不难想象，如果我把这个图形的右边部分给他补充完整，我们会得到一个特殊的四边形， 这样我们就得到了我们的辅助线，我可以过 c 点去做 ab 的 平行线，交 ad 的 延长线于 f 点。 接下来我们就来判断这个四边形 abcf， 它是一个怎样特殊的四边形， 这个时候它的两组对边都是平行的，并且呢，还有一组邻边相等，而这个角 b 呢，又是一个九十度的角，所以我们不难判断出这个四边形 a、 b、 c、 f 呢，它其实是一个正方形，而正方形的顶角呢，都是九十度。 题目上又告诉我们，角 e、 c、 d 等于四十五度，这里出现了一个四十五度的角，那么四十五度刚好是九十度的一半，所以这是一个典型的绊脚模型。同学们，如果你熟悉绊脚模型的相关结论，这道题其实是可以了解的， 那么接下来我们就来梳理一下半角模型和它的相关结论。半角模型首先会给出一个正方形 a、 b、 c、 d， 在 这个正方形的顶点 a 点处引出了一个四十五度的角， 也就是角 e， a、 f 等于四十五度，这个时候它剩下的两个小角阿尔法和白塔的和也应该是四十五度，我们就有阿尔法加白塔等于四十五度。 在这个半角模型当中，它的第一个重要结论就是四十五度所对的这个角所对的边应该等于另外两条短边之合，也就是 e f 等于 b e 加上 d f。 第一个结论， e f 等于 b， e 加上 d f。 接下来我们该如何证明这个结论呢？当我们看到两条短边之合等于第三边的时候，我们就会联想到辅助线截长补短，那我们究竟应该是去截长还是应该补短呢？ 结合这里的 r 加贝塔等于四十五度，我们就会想到如果我们把这两个小角给它倒到一起，那么我们就会得到一个新的四十五度的角，那么我们如何把这两个小角 r 和贝塔倒在一起呢？ 我们可以选择补短去构造全等三角形，然后利用全等三角形再进行倒边倒角，所以我就可以选择延长 f d 到达 g 点，使得 d g 的 长度呢和 b、 e 相等，这样我们就把两条短边给它连在了一起，然后我连接 a、 g， 我们就得到了一组全等三角形，因为 d、 g 等于 b、 e 九十度等于九十度， a、 d 边又等于 a、 b 边，所以三角形 a、 d、 g 和三角形 a、 b、 e 全等判定方法是边角边，这样就有了我们的第一组全等三角形。三角形 a、 d、 g 全等于三角形 a、 b。 判定方法是 s、 a、 s 全等过后，我们就可以进行导边导角了，这里的 a、 e 边就应该和它的对应边 a、 g 相等。同时白塔这个角呢，也可以导到它的对应角，那就是 这一个小角也应该是白塔，这样我们就把 r 和白塔给它导在一起了， r 加白塔的和应该等于四十五度，出现了一个新的四十五度。现在我们就出现了第二组全等三角形。 我们来看 a、 e 等于 a、 g 四十五度等于四十五度，这里的 af 呢，它又是公共边，所以我们就有三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 g、 f 同样是边角边， 我们的第二次全等三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 g、 f。 判定方法仍然是 s、 a、 s。 这一组三角形全等过后， ef 就 应该和它的对应边 g、 f 相等， 而 g、 f 呢，它恰恰又是这两条短边连在一起的，这里的 d、 g 应该和 b、 e 相等，这是我们的辅助线。所以这样我们就证明出了我们的第一个结论，那就是 ef 这条边等于另外两条短边 b、 e 和 d、 f 的 和。 接下来我们继续观察这一组全等三角形，它的对应角。我们已经有三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 g、 f 了，那么角一和角二这一组对应角也应该相等，这就是我们的第二个结论。角一等于角二， 这个时候 fa 这条边，它其实是一条角平分线，它平分角 e、 f、 d， 在 这个图形当中，除了角一和角二这一组相等的角之外，还有一组相等的角，同学们你们找到了吗？那就是我们的角三和角四 他们两个相等，这又该如何证明呢？我们先来看第一组全等三角形，在三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 d、 g 全等的时候，角三就应该和它的对应角角 g 相等，也就是这一个角。 接下来我们来看第二组全等三角形，三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 g、 f， 这个时候角四和角 g 成了对应角，所以角四等于角 g， 那 么角三和角四都和角 g 相等，所以我们就有角三等于角四，这就是我们的第三个结论。 然后呢，这就是半角模型里边经常用到的三个结论。我们来简单总结一下，当一个正方形的一个顶点 引出一个四十五度的角的时候，这个时候四十五度角，它所对的这条长边就应该等于另外两条短边之河。同时构成这个四十五度角的两条边 其实是两条角平分线，其中这个 fa 平分角 e、 f、 d， 那 么就有角一等于角二，同时 e、 a 这条边平分角 b、 e、 f， 那 么就有角三等于角四。 接下来我们就来看看这个绊脚模型在我们刚才的问题当中是如何运用的。根据题目当中的已知条件，我们已经知道了这个四边形 a、 b、 c、 f， 它是一个正方形，同时在这个顶点 c 点处呢，出现了一个四十五度的角， 我们来看问题，它是要求三角形 a、 d、 e 的 周长，也就是这三条边之和是多少。 三角形 a、 d， e 的 周长就等于 d e 边加上 a d 边，再加上 a e 边， 其中这个 d 一 边呢，它恰好就是这个四十五度角所对应的这条边，那么这一条边就应该等于另外两条短边之河，所以我们可以把这个 d 一 边等量替换成另外两条短边之河，它等于 b e 加上 d f， 再加上 a d 加上 a e。 现在我把 d f 和 a d 给它结合起来， d f 加上 a d 就是 我们的 af 边， 所以它就等于 af。 接下来我把 b e 和 a e 这两组边呢结合在一起， b e 加上 a e 就是 我们的 ab 边， 所以我们要求的这个三角形的周长就变成了这个正方形的两条边之合，而正方形的边长呢，它等于十八，所以这道题就是十八乘以二，也就等于三十六。 同学们，这道题用半角模型的结论是不是可以瞬间秒出答案呢？你听懂了吗？关注微微老师，学习如此简单！
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02:34查看AI文稿AI文稿这道题百分之九十的孩子想不到要画这条线，给出一个直角三角形 a b c 已知 b c 中点 g， 在 三角形内部做一个直角交两边于 e f， 已知 b e 等于二， c f 等于三。让我们求图中 e f 的 长度是多少。这里很多同学看到直角三角形，马上想到用勾股定律计算， 结果算了半天发现两条直角边根本求不出来。那既然不能用勾股硬算，这道题应该怎么做呢？注意看，这里有一个关键条件， b c 中点 g。 因此题目中出现中线或者类中线，咱们可以通过倍长中线的方式来去解决。我们可以选择倍长 e g， 将它加倍延长到点 h， 使得 g h 等于 e g。 因此我们来描述一下辅助线延长 e g 至点 h， 使得 h 等于 e g， 我 们可以连接 c h。 那 么这里因为 g 是 中点，所以这两条线段长度相等。又因为 e g 等于 g h， 且对顶角相等，角一等于角二，所以很容易判定这两个三角形全等， 也就是三角形 b e g 全等于三角形 c h g， 因此对应边 b e 和 c h 的 长度相等，所以这里就是二。这里因为点 g 处出现了一个直角， 同时它又是 e h 的 中点，那么很显然 f g 就是 底边的垂直平分线，所以垂直平分线上的点 f 到线段两个端点的距离相等。那这里很容易联想到咱们可以连接 f h， 也就出现了一个等腰三角形。 所以原式让我们所求 e f 的 长度就等于它的对应边 f h 的 长度。那怎么来求 f h 的 长度呢？这里我们来观察角，这个顶角是一个九十度的直角，这个条件咱们还没有用上。 我们知道在大的直角三角形当中，两锐角是互余的，所以我们记作角一和角二很容易得到角一，角二 和为九十，又因为这两个三角形全等，所以角一和对应角角三相等。这里我们将角一换成角三，就可以得到角二和角三的和也是九十度，所以这里就是一个九十度直角。 那么在这个直角三角形 f、 c、 h 当中，直角边分别为二和三，所以斜边我们可以直接用勾股定律来计算，根号下二方加上三的平方，也就是根号十三搞定。同学们，你听懂了吗？关注小明老师，带你解锁更多压轴题型！
154清华小明讲数学
20:20查看AI文稿AI文稿第一个，倒角，倒角是我们初中数学学几何的最基本的操作，最基础的知识点，也是最重要的知识点。记住一句话，万丈高楼平地起，地基是最重要的。记住几个字叫做等角，余角补角，外角放图上列方程。 哎，什么意思呢？一个看啊，第一个等角，哎，等角是什么意思呢？啊？顾名思义，两个角相等，对不对？好回顾一下啊，我们在整个初中在哪些位置会出现等角？一个看，第一个， 对顶角，对顶角是我们初中学几何接触的第一个等角，什么意思呢？那两条线相交，对顶角相等， 再来再想还有什么？第二个角分线，哎，这个也非常常见啊，说那 abc 这个角被 b、 d 平分，那 b、 d 平分角， abc 出现了角分线，一定会出现等角条件反射标等角，角一等于角一， 再来等腰三角形，等腰三角形，等边对，等角对不对？哎，什么意思呢？你看三角形 abc 对 不对？ ab 等于 ac 好 了，等边对等角，这两个角应该相等，角一等于角一 好再来。初中还有哪个地方会出现等角啊？慢慢想啊，特别重要，平行啊，非常经典的一幅图来了，两条直线， l 一 和 l 二，对不对？ 那第一个内错角相等没有任何问题，角一和角一内错角第二，同位角相等，角一和角一同位角，对不对？再来猜一下，还会有什么东西？圆周角，哎，这个要学了圆以后才知道啊，那什么意思呢？这是一个圆 a、 b、 c、 d 同一个圆内同一条弧所对应的圆周角相等 啊，这是一个定律啊，如果说你们很多小伙伴学到这个位置，你不知道波哥在说啥，你就去学一下这个圆啊，把概念学一下，我大概给大家讲一下，那就是一个圆，这是一个圆 ab， 这条线呢？ ab 叫做弦， 叫做圆的弦。这第一个同一条弦所对应的圆周角相等，你看 a、 b， 这是一条弦，对不对？什么叫圆周角了？在这个圆上，圆上取一个点，比如说取一个点 c 连接 a， c 连接 a、 b， 这两条线所组成的这个角就叫做弦 a、 b 所对应的圆周角。哎，等于角一，对不对？再来，再取一个点，取个点 d 嘛， 连接 a， d 连接 b， d， 这个叉和这个叉所组成，这个角也是弦， a、 b 所对应的圆周角也等于角，同一条弦所对应的圆周角相等，就叫圆周角。定律好。再来， 这是在同一个图形内，在不同的图形之间转化的时候，还会出现等角，什么意思呢？一个来看啊，第一个全等， 哎，这个小伙伴要非常熟悉啊，只要出现全等，条件反射会有等角，会有等边，特别重要，全等的目的就是为了去倒边。倒角什么意思？举个例子，比如说 abc， 三角形 abc 和三角形 d、 e、 f， 那 这是个全等，三角，角二等于角二，角三等于角三。 哎，只要这两个三根全等，看着啊，只要出现三根全等，对应的角应该相等，哎，角一等于角一等角，对不对？角二等于角二等角，角三等于角三等角。 这第一个再来，有了全等，哎，有一个全等的兄弟，对不对？相似对吧？啊？相的相似和全等是兄弟关系，对不对？再来，相似，相似什么意思呢？还是一样 abcdef 还是一样？波哥讲到这里的时候，有些小伙伴是初一的小伙伴，在看这个课的时候啊，如果没有学到相似，你就理解这个概念就 ok 了好不好？相似本质上面是编程比例小，角相等什么意思呢？你看，比如说这两个单词选相似，我写的这个符号呢？这个是全等的符号啊， 然后这个是相似的符号。两个相似的三角形，它所对应的角是相等的，那角一等于角一，哎，角二等于角二，角三等于角三， 哎，出现了这么多等角，对不对？这个叫相似啊，相似和全等的唯一的区别是，全等不仅仅是角相等，那而且它所所对应的边也相等。 ab 这个边 是等于 a e 的， a c 这个边是等于 af 的。 bc 这个边是等于 e e c， bc 这个边是等于 ef 的。 那么到了相似以后，只有角相等边是成比例关系啊。这个你们后面学了相似以后再研究啊。但是你记住一个点，出现了相似就会出现等角。 ok， 继续在我们初中啊，两个图形之间他会出现等角。 ok， 继续在我们初中啊，两个图形之间他会变化，什么意思呢？比如说拼一 平移，什么意思？就是把一个图形沿着一个方向平移，那 abc 这个三角形平移到 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇。好了， 三角形从这里平移到这个位置。记住了，平移的本质就是全等平移前后只是位置关系不一样，它的大小关系一模一样。说白了，这两个三角形就是前面咱们讲的全等三角形。既然是全等三角形，就应该出现等角，对不对？那 角一等于角一，角二等于角二，角三等于角三，没有任何问题。好，再来，初中几何三大变换呀，平行旋转，轴对称对不对？平行还有再来旋转， 哎，什么意思呢？你看三角形 abc 绕着这个 a 点，那朝这个方向，逆时针方向旋转到这个位置，这是 b 一 撇，这是 c 一 撇。好了， 旋转前后，本质上面也是两个全等三角形，他和平泥是一个意思，只是位置发生了变化，大小没有发生变化。 ok， 好， 那么对应的角，这个角 b 对 应这个 b 一 撇，应该相等，对不对？角 c 和 c 一 撇，出现等角，哎，这个角三等于角三，对吧？好，第三个轴对称，那， 哎，什么叫轴对称呢？比如说 a、 b、 c 这个三角形，沿着这个黄色这条线把它对称过去，对不对？ a 点 a 点对称，对称到 a 一 撇， c 点对称到这个位置呢？ c 一 撇， b 点对称到这个位置， b 一 撇，这个时候怎么样？ 两个三角形对称前后，本质上面也是全等的三角形啊，这个逻辑非常清晰啊，说这么多都是全等，全等对应角应该相等嘛，对不对？角一等于角一，哎，角 b 等于这个角 b， 对 不对？ b 一 撇，角 c 等于 c 一 撇。 好了，这是到目前为止，三大变换里面会出现等角。好，到这里以后，基本上咱们的等角就已经结束了， 再往下走，等角与角，补角外角，放图上列方程，等角过了以后，咱们看与角。与角什么意思呢？那首先顾名思义，与角是两个角的和，等于九十度，对不对？写一下啊，那 阿尔法加上贝塔等于九十度，哎，阿尔法与贝塔互余对不对？ 一句话，鱼角的本质就是两个角的和等于九十度。互鱼，你是我的鱼角，我是你的鱼角， ok， 那 很明显，鱼角第一个概念应该把它放到直角三角形里面去看，对不对？ 那看这个图，直角三角形 abc 中，哎，这里垂直，那么这个货呢？这个阿尔法和这个贝塔就应该是互余，对不对？看明白啊，这是一幅非常经典的一幅图，直角三角形里面两个鱼角，鱼角互余，对吧？ 再来，那直角三角形在斜边上做了一条高，哎，这里如果也垂直啊，一旦这个位置垂直以后，这个阿尔法加这个角是九十，对不对？阿尔法加贝塔是九十，这个角是贝塔，对不对？ 贝塔加这个角是九十，哎，这个角是阿尔法，这个叫岛户鱼。后面我会专门讲的啊，有这个概念在。再来， 除了很直白的直角三角形会出现互余以外，还有哪些位置会出现互余啊？说白了就是还有哪些位置可能会出现直角或者直角三角形，对不对？想嘛，第一个 直径所对圆周角为直角，什么意思呢？你看这是一个圆对不对？ ab， ab 是 直径， o 是 圆形。好了，在圆内，直径所对应的圆周角等于直角，那直径 a b 所对应的圆周角，假如这是 c， 哎，这个角就应该是九十。再来， 哪些位置还可能出现互余余角，哎，矩形正方形的内角对不对？矩形正方形的内角都是九十度呀，你看 九十，九十，九十、九十对不对啊？出现了九十以后，咱们连对角线嘛。 abcd， 只要把这个对角线随便连一条啊，就会出现直角三角形，这是个直角三角形，这是个直角三角形，对不对？那非常明显，假如这个角是阿尔法，哎，这个角就是贝塔互余了，对不对？阿尔法加贝塔九十，贝塔加这个角也是九十，这个是阿尔法，对不对？阿尔法加这个角是九十，这个是贝塔， 哎，波哥的这个操作是导护鱼啊，后面我会专门讲这个的。好，再来，哪些地方还会出现鱼角？继续想啊。在四边形里面，四边形除了矩形、正方形，还有一个非常特殊的正方形， 菱形，哎，菱形什么意思？菱形对角线互相垂直平分，对不对？那 a、 b， c， d， 这是个菱形，连接 a， c 连接 b、 d， 这个九十。好了，这个角是阿尔法，这个角就是贝塔，这个是九十，阿尔法加贝塔等于九十，互余，对不对？非常清晰的看到啊。再往下看，等角与角，补角，补角， 哎，补角特别有意思啊，补角和鱼角是兄弟对不对？鱼角是两个角的，和等于九十度。补角是两个角的和等于一百八，什么意思呢？阿尔法加贝塔，如果等于一百八十度，哎，则阿尔法与贝塔五互补啊， 说白了还是两个角的角度关系和等于一百八十度。想一想嘛，我们在初中几何里面哪些位置会出现互补？一个个看啊？第一个平角啊，这个太常见了，对不对 那？哎，哎呀， ab 这条直线，这是 c 过 c 引的一条直线，好了，这一条直线 d 吧， cd 把 ab 分 成两段，这两个角呢？阿尔法和贝塔， 他的和等于一百八，互补对不对？没有问题。那阿尔法加贝塔等于一百八十度，哎，这个很多小伙伴没有问题，再来接着想，哪些位置还会出现补教？在我们初中几何里面，那平行平行会出现补教什么意思呢？你看 l 一 和 l 二平行平行哪里会出现补角同旁内角互补，对不对？非常清晰啊？那比如说这个角是阿尔法，这个角是贝塔，哎，阿尔法加贝塔同旁内角互补，阿尔法加贝塔等于一百八十度，没有任何问题。再来 第三个圆内接四边形对角互补，什么意思呢？你看圆 ab、 c、 d 在 这个圆内内接了一个四边形 a、 b、 c、 d 四边形的对角互补啊，什么意思呢？这个是阿尔法，这个是贝塔，对不对？那么阿尔法加上贝塔就等于一百八十度， 好，没有任何问题啊，再来，哪里还会有再想啊？啊？第三个，第四个，这个特别重要了啊，这个是用的非常多，叫做三角形的内角和，只要提到了三角形的内角和等于一百八十度，哎，这什么意思呢？你看三角形 abc 加这个角是角一，这个角是角二，这个角是角三，对不对？好，三个角的内角和等于一百八啊。当然我们说的互补是指两个角的角度关系，现在是三个角，当然没有办法直接说啊。互补，咱们可以这么理解啊，比如说角一 与角三的和他与角二互补，能理解啊，那由于角一加角二加角三等于一百八嘛，对不对？给大家写一下，角一加角三加上角二等于一百八， 哎，那么角一和角三的和与角二应该是互补的，没有任何问题。那么在实际的题目里面他会这么用，那比如说我把这里延长了， 这个是我们接下来要讲的啊，这个角呢？这个角是三角形的外角，它等于角一加上角二，哎，那么这个角和角三就互补了，对不对？好了，这个角和角三互补，这个货就变成了这个货了，对不对？ 哎，你发现这个补角也是一样，不同的关系，可以来回转化，对不对？好，有这个概念，以后咱们接着往下看啊，这个课非常精彩啊，慢慢的品，慢慢的看，等角与角补角讲完了，最后一个外角， 哎，外角什么意思？顾名思义，外角指的是三角形的外角，对不对？那三角形 abc， 这是角一，这是角二，这是角三。哎，好了，三角形的内角和等于一百八十度，这个没有问题，我跟大家学一下啊，这个很重要， 角一加角二加，哎呀，加上角三等于一百八十度，对不对？这个前面也写过一次，再来，你看，我把 bc 这条边延长了，看到没有？ bc 延长延长以后，这个角呢？哎，这个角就等于角一加角二， 哎，加角二啊，用一句话总结一下，就是三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，你看，这是三角形的内角，对不对？角三和它不相邻的两个内角，角一和角二。那三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和 等于角一加角二，对不对？好，我给大家正一下啊，加这个角呢，这个大角是阿尔法，非常好正啊，角三加上 加上阿尔法是等于一百八，对不对？那角三和这个大角阿尔法，这个是前面我们讲过的，互补吧，对不对？再来， 角一加角二加角三也等于一百八，三角形的内角和等于一百八，对不对？好，角三加上角一，加上角二，等于一百八，哎，那非常明显，这个阿尔法就等于角一加角二咯，没有任何问题。 ok， 有 了这些基本的概念以后，咱们再来做题，再来感受题目，再来倒角，就很清晰啊，思路非常清晰，好看！题 说如图，在三角形 a、 b、 c 中在 ab 上存在一点 d， 那 abc 中在 ab 上存在一点 d， 使得 a、 c、 d 等于角 b， a、 c、 d 这个角呢？好了，我就标这个角是阿尔法罗，等于角 b， 阿尔法好。再来说角 c、 a、 b 的 角平分线交 a， e 于交 a， 交 c、 d 于 f 点，那，那说明 a、 e 平分角 c、 a、 b 喽，对不对？好了，那这个就是贝塔喽，这个就是贝塔。再来 说 b、 a、 g 的 角平分线所在的直线与直线 m、 n 与 bc 的 延长线相相交于 m 点，什么意思呢？那说这个 b、 a、 g 的 角平分线 m、 n 与 bc 的 延长线相交于 m 点，说明这两个或相等，对不对？ 好了，这两个货，那就是角一吧，这是角一，对不对？再来，题目说要我们求若 m 这个角呢？这个角是三十五度，求角 c、 e、 f 哎，这个角 c、 f， e x 喽，好看一看啊，跟着波哥的思路看怎么样，通过等角与角补角外角，把这个题做出来。题目要求 x 对 不对？只知道这个角等于三十五度，然后这个角一等于角一，这个贝塔等于贝塔。 好了，看完以后，咱们非常清晰地看到 x 这个角就是阿尔法加贝塔，有没有问题？第一个反应啊，外角 x 是 等于 alpha 加上 beta， 那 在三角形 c、 a、 f 这个三角形里面去看 x 这个角就是 y， 就是 三角形 a、 c、 f 的 y 角等于 alpha 加 beta 没有任何问题。第一步，第二步去再来， 由于这个角遇加这个角，遇加这个贝塔加这个贝塔这个角，这四个角应该是和等于一百八，对不对？那写一下啊，二倍的角遇加上二倍的贝塔等于一百八十度，这个没有任何问题，对不对？ 好，那么角一加上贝塔就等于九十喽，哎，说明这个货是九十嘛？角一加上贝塔是九十，没有问题，对不对？好，再来，哎，说明这个货也是九十喽， 看到没有呐？这两边互补没有问题。再来，这个是九十，这个是三十五，哎，这个角就出来了，对不对？ 好，给大家解一下啊。角 a、 e、 m 就 等于九十，减去三十五，这个是什么？怎么样做的？叫做导互余余角对不对？直角三角形里面这两个角互余就是九十，对吧？那么就等于五十五喽。 好，再来，这个角是五十五，哎，观察，其实这个角就是阿尔法，这个，这个阿尔法加这个贝塔，对不对？通过外角再导一下嘛？ 再看一遍啊，这个五十五就是三角形 a、 e、 b， 这个三角形的外角等于阿尔法加贝塔，对不对？好， 所以最后这个阿尔法加上贝塔就等于五十五喽，哎，咱要求的就是这个 x， x 就是 阿尔法加贝塔，对不对？那就是五十五 结束了，非常丝滑啊，你发现整个整个过程，波哥在做这个题的时候没有搞什么模型对不对？就是这些底层逻辑去导，很快就导出来啊，有这个概念在，最后咱们总结一下。总结一下啊，用了哪些知识点？第一个用了外角对不对？那导外角吗？ 外角还用了补角对不对？那这两个角的和这个大角和这个大角的和等于一百八，对不对？这个大角是二倍的角，与这个大角是二倍的贝塔，对吧？第二个补角。 好，那基本上这两个细节就把它做完了。还有一个库余，这个是三十五，这个是五十五，对吧？ 啊？你们在讲义上面把这个继续记一下啊？每一个题用了哪些知识点？底层逻辑是哪些细节？你要在讲义上面那个位置，我，我留给你们做笔记那个位置把补上去。啊，这个动作非常重要。好，咱接着往下看。
1134武汉波哥数学
07:14查看AI文稿AI文稿几何难，难在哪？难在全等辅助线上。就目前的中考而言，大家彻底想把辅助线弄透，一定要掌握四大境界，分别是第一个叫做基本判定哎，也就是 s， s， s 啊 s 啊五大基本判定定律。第二个境界就叫做常用辅 助线做法。比如说见着中垂线哎，应该连两段角分线呢？一截二垂三长中点中线呢？背长中线，最后结长不短，再往下就叫做长线的模型了。 常见模型就是多个条件的固定搭配，这种东西大家要往本质上学，学到本质只需掌握十五个，你要学不到本质，这玩意要多少有多少，它有无穷多个。但是真正全等中最高境界是谁， 就是咱们的构造法。那么今天丁老师就给大家来一个最顶级的构造法，有了这个方法，大家随便给我们一些条件，我们都能把这个辅助线给他 创造，说在正方形 a、 b、 c、 d 中边长等于二，并且 b、 e 等于 d、 f 这小段还等于这小段。最后如果我们啊把这两个动点给我连上，动来动去，这小段什么时候最小？哎，那大家 这个题该怎么办呢？大家不妨给自己一点时间，先暂停自己分析一下，你就知道这道题的难度有多高了。而且就算毕老师把答案给你贴到屏幕前，有同学都会问这样一个非常有价值的问题，那就是老师 答案这个辅助线他是怎么想到的，怎么想到才是这种构造法的关键。那你要想想通他，大家毕老师教你两大原则，掌握了这两大原则，哈哈，没有构造你解决不了。第一个原则叫什么？叫做条件 集中原则，说有些时候我们题做不了，为什么？是因为条件就好用了。第二个原则叫做特殊化原则。 什么叫特殊化呢？哎，越特殊的东西，条件越多，条件越多越好用。那么这两个原则就是咱们构造一切辅助线的两大基准了。那一起来看咱们这个题，如果从已知条件下手，咱们这题唯一一个特征性条件是啥？ 是不是就是这个边长跟这个边长相等啊？哦，那么咱们问一下，两边相等，如果条件的位置合适，本来咱应该有个什么三角形， 是不是应该有个等腰三角形？但是咱们这个题，这两个黄边构成了一个等腰三角形吗？并没有说明什么，说明咱位置不合适，那么位置不合适我可以怎么办？ 哎，我就可以挪位置了，但是挪位置咱们有三种方法呀，一个叫平移，一个叫对称，一个叫旋转。这道题到底用哪一个呢？这个时候你再观察它第二个特点，什么特点？就是这两个黄边，它不仅边长相等，而且它的夹角还是个 特殊角啊。有的时候老师这一题他也没教上啊。那怎么看？假角，你把它延长一下不就得了吗？啊，你把这条边延长一下， 把这条边也延长一下，大家来看啊，说我是一个等边三角形，那这个角肯定得多少？得六十度吧？哦，那我上边这个角得多少？ 等于三十度？哦，那么到此我们会发现，我这个两边呐，他又相等，夹角又是特殊角，所以这种特殊角咱是不是都得保护好啊？哦，那么三大变换里面只有什么变换才能保护好我这个夹角呢？对的，答案就是 平移变换哦，所以我只要把它平移过来就行了。那紧接着下一个问题就来了，老师，到底沿着谁平移啊？哦，你再看一下这道题的结论，结论是不是让我们求 e f 的 最小值啊？但是 e 和 f 有 个不可爱的地，就是它们两个都是什么点 哦，都是动点，双动点。大家好求最小值吗？不好求，所以我最好把它也转化了。哈哈，一下思路就清晰了， 我要通过一个平移让他两个在一起，在一起就有特殊的等腰三角形，我要通过平移把这条边还给它挪个位置。哎，它是双动点，我现在要一定移动才比较好。所以最终咱怎么办？不就是过点 f 做一个 b e 的 平行且相等吗？ 啊，那这么做完有什么好处呢？我只需连接 b 到这个点，假设这个点叫做 m 好 吗？那你俩平行且相等啊，黄线就过来了，跟我连上了，那咱们只要连上就是等幺。不仅如此，一组对边平行且相等的四边形是什么？是平行四边形，所以上边的子线 又挪到底下来了，底下 b 点不动，只有 m 点在动，是不是双动点就转化成了单动点呢？而单动点你不是会吗？是不是这道理哦，那紧接着大家就要问了， 那我这个时候要求 e f 最小值，就是求 b m 最小值，那 b m 最小值在哪啊？那就要问所有的点 m 在 哪了，对吗？哦，刚刚咱说了，两个黄在一起， 你俩已经是等腰了。不仅如此啊，我为什么选择的是平移啊？啊？是因为这两个边的夹角不变，夹角得多少呢？得三十。那我平移过来以后呢？哦，他跟他延长线，这个夹角依然是多少度？哎，两只线平行，同位角相等，这个角依然得三十 哦，那一个黄等腰 y 角得三十，请问内角等于多少啊？哎，内角是他一半，也就是 十五度哦。最终我们会发现， em， 一 旦改变，带着 m 点改变，但是无论 m 点怎么改变， m， d， c 这个角都等于十五度，那就说明所有的点 m 长在哪啊？ 过点 d 假角等于十五度的这条黄线上，毕老师说清楚了吗？那最后一个问题， bm 什么时候最短呢？你这个点固定不变，我这个点在这条直线上动，所以 啊，垂线端最短。哎，这个垂直就是我们的最小值了。那有人要问了，老师，这个最小值该怎么解呀？哦，你看， 咱确定这条线的时候添加了一个条件，叫什么十五度？十五度是个特殊角吧。哦，要求边长，先求角度。十五度这种特殊角在我们解三角形里，他还不太好用啊，因为好用的是三十、四十五和六十。那怎么转化呢？还， 你不是正方形吗？正方形我只要连上对角线，那这个大角应该等于多少？哦，大角九十的一半，也就是四十五度，四十五砍去一个小的十五，剩这边这个角就得多少， 他就得三十。接下来一切瞬间打通啊！说你正方形边长得二，那么代表我的对角线长就是二倍根号二，他是二倍根号二。那三十度所在的直角三角形中，直角边等于斜边一半，他就是根号二， 那这个根号就是 b m 的 最小值，你是 b m 的 最小值，也就是 e f 的 最小值。所以答案老毕讲清楚了吗？ 最后给大家总结一下，全等一定要学到几个境界，哎，学到四个境界，当你到第四个境界构造这个境界的时候，你就 无所不能了。但是构造为什么是最难学的？因为看答案都看不懂，那个答案都是飘忽不定，不知来源原因是什么。因为大多数老师给你讲构造的时候，他只是给你讲要这么构造，但是为什么要这么构造呢？ 他并没有给你讲清楚，没讲清楚那就思维没有方向了。所以两大基本原则才是构造的灵魂。李老师说清楚了没？
1479毕老师讲初中数学
05:38查看AI文稿AI文稿初二数学如果要想考满分，其实比初一要难十倍，就是初一的学习重点和初二学习重点完全不一样。初一绝大部分内容都是代数，代数就是学啥考啥，孩子既容易抓住目标，也容易学会方法，练的难度也不是太大，只要你计算物体，其实初一你的分数差不了哪去。但是初二绝大部分内容是几何。 几何这个东西，知识点又散，辅助线又多，然后呢？压轴题很容易没思路，一个辅助也没做出来，导致整个这道题都不行。如果你真的想在初二也考到高分的话，到底应该怎么学？抓住哪些章节核心？用什么样的方法点赞收藏这条视频，也让你家孩子 跟着多听几遍。我们先来说第一个事，就是几何这部分到底该咋学？你看刚刚上初二开始上来，你学的这些内容，基本上大部分就都是几何了。首先对大家来说，最重要的一个章节叫全等，那全等这个章节对于孩子们来说，迎接的第一个挑战是， 全等这个东西到底是个啥？全等是个工具，它是用来解决问题的，这个东西叫做工具。所以你看真正到大考的时候，哪个题最后会让你挣？全等没有这样的题，最后的几何大题 一定是在求什么？一定要么求边，要么求角，求边得多长，求角得多少度，或者边和边的关系，或者角和角关系，最终要求的东西一定是这个。那你说跟全等有啥关系？全等就是个工具，你出了全等之后，你用这个工具搞定 求边，求角，求边关系，求角关系，一定是这个思路，所以如果你们连这个思维都没有的孩子，把全等当成了学习目的，我告诉你们会很惨。所以家长们在这要提醒孩子啊，就是全等的工具的这个思想 一定要建立起来。那第二个点，在这块会有各种各样的辅助线就开始呈现了。有时候我就发现这是全国教育差距巨大，有的老师讲了一些常见的辅助线做法，有的老师压根没讲，有的老师不光讲了辅助线的做法，还把这事讲的很透，所以你看 师资的差距会带来孩子学习上的巨大的差距。所以在这块各位家长你们听清楚，孩子们也要听清楚，在全等这块的各种各样的特殊条件都有哪些辅助线做法，比如说中点四个辅助线做法都知道吗？角平分线，三个辅助线做法都知道吗？二倍角有什么样的辅助线做法都知道吗？特殊的图 形，比如说等边三角形，等腰直角三角形，这些东西辅助线做法都知道吗？如果不知道，立即马上行动起来，因为这个东西它就直接决定了你这学期大概在什么样的段位的分数，比如说你这些东西都不会， 别说上优秀分了，我觉得你可能能将将及格，也就大概那么个水平。然后呢？拳头的辅助线也就完，晚上你就会迎来第二个问题， 就是倒脚，我说了，拳头做完之后，这个题没结束，你还得往下做，你还得出现什么边关系啊，角关系，那在这块就涉及到倒脚，倒脚目前来说，全国我看了百分之九十八以上的孩子，他们的老师是不讲的， 就是完全没有总结，完全没有回答到了这道题，把这个角反正该做就给他做出来，没有总结。为什么这样倒角，倒角有什么样的方法，什么时候用哪种倒角方法压根不讲，那你们基本上绝大多数孩子要么辅助线都过不了，但这道题一分不得，要么辅助线过了，这道题顶多能做一半就 丢一半的分，所以倒角也一定是你们要突破的第二个难关。记住刘校长讲的都有方法，就看有没有高手给你们总结出来，如果这部分你们不行，记得评论区回复几何大专题，因为在这个大专题里，什么辅助线方法，什么倒角方法，我 我都给你们总结完了。接下来一个比较难的东西，这刚才讲的是最重要的就是轴对称，轴对称很多孩子学习的时候还没感觉到，但是做题就傻眼了，为什么我要给大家讲讲轴对称里边最出名的题型叫将军一马，其其辨识题能有多少种？辨识题十种，咱就这么说，只要考将军一马，考最基本的基本上都会，只要考辨识题 基本上都不会。所以往年的数据就是这样，一个年级五百个孩子考了加运码的辨析题，会做的不超过五个，所以他就是很有难度。那这个东西的难点在于哪？第一，他考察的是一种辅助线的思想，叫轴对称 思想，就不是每个孩子上来就能学明白的，他就需要通过很多题来提炼，让孩子去实践，去感知，这才会有这个思想。第二，涉及到辅助线的思想，还有涉及到用什么样的知识点，那在这块的知识点很多孩子都忽略了，都没有想明白， 其实是书上的那个中垂线的性质，他如果一旦能想明白我刚才说这两个点，又会发现，其实别管将军一马有多少个辨识，其实底层逻辑都 没有变过，一直就是我说这点东西，我们也专门给孩子们讲过将军一马及其十种辨识题的，这个专题你去听一听，其实只是看起来花里胡哨，变来变去，但是核心的方法都一样， 所以这一招对孩子来说很难，我希望家长们一定要重视。咱这么说，那个压轴题基本上最后一小问，大概率都是要跟将军密码结合在一块来考的，考到这个对孩子来说就是一个大难题。当然你说代数这部分，其实我认为也比 初一要难，那代数这部分你想什么？讲整式乘法、因式分解，讲分式都有一些难度，我重点强调一下整式乘法、因式分解这块。那这部分我为什么要强调？因为现在的教材经过了几次改版之后，有些非常重要的东西 已经没了，但是我说它非常重要。你比如说一日分解里的十字相乘法，比如说整式乘法里的一些重要的公式，它像立方叉、立方盒、完全立方公式、三元平方公式啊，这些东西都很重要。你在后续 的学习，比如说初三讲 u s 方程，讲 x s 数，到高中都很重要，但是你的教材上没有，那你会出问题的。所以这部分要么你自己查资料给他补上，要么你学校老师好，老师给你补了，要么你来听我的代数大转体，我们代数大转体是把这部分完整的都给你补充完了， 你补充完了，你会发现将来什么做 s s 啊， u s 方程啊，甚至到新高一需要你拿出来这部分基础的时候，你是会的。但是那些不会的孩子，他就会面临一个巨大的问题，上了新高一，他不适应，他听不懂课，那些题别人会做，他就不会做，这个事会很麻 麻烦很麻烦。所以我讲了这么多，我就希望所有的咱们初二的家长一定要重视我这条视频，带着孩子反复多看几遍，你一定要每一条都告诉我，这样你家孩子成绩才会有保障。好吧，如果大家仍然觉得搞不定，可以在评论区回复大专题，关注李学长，助力你家孩子数学拿高分，中号冲名校！
2454状元数学思维力培养
09:59查看AI文稿AI文稿欢迎回到初中几何辅助线系列，我们将用五十期视频系统讲解贯穿初中阶段的几何辅助线方法，从不知道怎么画到清楚该填哪条线。今天我们来到第四十九期共点等线加对角和定需要电子版讲义，可以免费分享给大家。我们刚才讲了 你造旋转的基本条件是啥？造旋转的基本条件是不就是，哎，有了共点等线，咱就可以去造旋转。 那如果我说我在这个基础条件上哎，我再给你去加上一些特殊的条件，再给你加上一些特殊的条件，我会得到啥？那比如说我们现在要看的这个对角和定哎，你观察一下，咱们画一条一起还是一样，我先给你画一组共点等线 a、 b、 c， 我 告诉你这两条边相等，同时呢，我这有一个点 d， 我 现在告诉你，这个角阿尔法跟这个角贝塔，阿尔法加贝塔他俩的和是一个定值。 那你观察一下我们在造完旋转之后会得到啥？那造旋转的话是不是跟前面是一模一样的？那我连接 a、 d 之后，那我是不是只需要绕着共点哎转至等线重合就行了，对不对？那此时咱是不是只需要将 a、 d 哎也给他 转一个 r 法角，那转完之后，那这个 d 跑到了第一撇，然后我现在连接 c、 d 撇， 那你看现在上面这个三角形是不是就被我转到底下这个三角形了？那你看现在这个 a 跑到了这个 a， 这个 b， 哎，跑到了这个 b， 这个 c 是 不是跑到了这个 c？ 那 你观察一下，那现在他说的这个对角和定，他能够带给我们啥？那现在好像咱转完之后，这个阿尔法跟贝塔看不出来，对吧？ 那看不出来的话，不着急，我们知道四边形它的内角和是啥？内角和是定值吗？对不对？那也就是说阿尔法跟贝塔的核是定值，也就意味着我们这里的伽玛 跟 c 塔，他俩的核是不是也是一个定值，对不对？阿尔法加贝塔是核定值，那所以这里的伽玛加 c 塔，他俩的核是不是也是定值？那他俩的核是定值的话，那此时我这个伽玛是不是就被我们转到这个位置了， 对不对？那转完之后，那你想，那现在 c 塔跟伽马被我们放在一起了，那也就意味着此时我们这个角等于谁？他是不是就等于阿尔法加贝塔？那也就是说咱做完旋转之后， 我们是不是可以得到一个啥？是不是得到一个新定角？这个阿尔法加贝塔是不是就是我们得到的新定角？那此时，哎，我们看连等幺，我们连接完 d、 d 片之后， 那就是说我们现在能够得到啥？是不是得到这个三角形 d、 c、 d 撇当中，哎，这又出现了一个已知角，那你想一下，那这个已知角你觉得出替人会怎么考？ 兄弟们，这个阿尔法加贝塔的这个新的已知角新定角，你觉得出替人会怎么考？他是不是会给你考？哎？阿尔法加贝塔如果等于一百八，你觉得这是啥？那我是不是就能得到 d、 c、 d 撇？这三点怎么样？ 是不是就贡献了？那这是不是一种情况？那同时，哎，如果我告诉你这个阿尔法加贝塔，哎等于九十度，那等于九十度，那也就是说我们在做完旋转之后，这是不会出现个啥？是不会出现一个直角三角形， 对不对？那或者说他再告诉你其他的角度，比如说什么六十度呀，对吧？两个核是六十度，两个核是一百二十度，那是不是都是同样的操作，对吧？总之 我们要知道共点等线加上对角和定这个新条件，我们在做完旋转之后就一定会得到一个新定角，那么这个新定角是不是就是我们在解析的时候要去着重关注的目标？那么接下来咱就来看一下对角和定这块的题目，好吧，来看一下对角和定这块的题目，来吧，兄弟们看一下， 他现在告诉我们说在这个四边形 a、 b、 c、 d 当中，哎，这两条边相等，那他说明啥？那这是不是就有共点等线了？然后告诉我们这是六十度，这是三十度，这是根二，这是二。现在让我们求 b、 d 这条边的长度， 那还是一样。首先我们还是要去观察，那在这幅图当中我想要去求 b、 d 的 话，我发现他就跟我们的已知结合不了， 他要放在底下这个三角形当中，这个六十，这个三十我没法用，那放在上面这个三角形当中的话，那还是一样，这俩角我始终都把它切开，没办法用，那所以咋办？所以现在我是不是就该去给他想着挪挪地了，对不对？ 那挪挪地咋挪？有了共点等线的条件，那咱第一步是不是就可以去给他造旋转了？那你造旋转的时候，那你观察，那现在咱有两种造法，我要不然去转上面这个黄色的三角形， 哎，要不然呢，我是不是还可以去转底下这个蓝色的三角形？那我具体转谁想一下？我们刚才说的转的那个目标，他首先必须得包含啥？他必须得包含我们的等线，哎，他得有等线。 其次是不是要尽可能多的包含我们的已知边，哎，同时又包含咱的所求边，又包含咱的等线，那其实这两个三角形是不是等效的转谁都没毛病， 对不对？那这个时候，哎，咱就随便选一个，哎，就选上面这个，咱给它转下来。转的话是不还是一样绕着共点转至等线重合？那转下来之后，那接下来呢？接下来就是旋转的三步走啊，旋转的三步走，再强调一下，那首先六十度标上， 然后其次呢，是不是这个二，哎，转下来了，那还有没有了？六十度二？完了，完了以后，那接下来呢？第三步是不是去给他连等腰？那连等腰的话，我是不是只需要连接 d e 就 完事了？那连完之后，兄弟们来观察一下，我们最开始转的这个四边形有啥特点？我们是发现，哎，这六十度， 这三十度，那这个四边形是啥？是不对角和定吗？那我记这个角是阿尔法，记这个角是贝塔的话，那你问啥？此时阿尔法加贝塔，再加上个九十度，是不是就等于三百六？ 没问题吧？那我转完以后，这个阿尔法是不是被我们转到这了？那此时这个角它等于啥？这个角它现在是不是就等于三百六？减去阿尔法加贝塔 等于几？是不是就等于九十度？那也就是说，哎，咱们在转完之后是不是得到了一个新的定角？ 没问题吧？那这个新定角是不是就是由咱们对角和定带给我们的？在转完之后是不是得到一个新定角？那得到这个新定角之后，那你说接下来这个问题简单不简单？得到这个新定角之后， 那你想这是根二，这是二，那这个三角形 d、 c、 e 当中这条边是不是就根号六了？那得到这个根号六，你说那根号六跟咱所求边 b、 d 是 啥关系啊？你这也没说。兄弟们想一下，这是啥？ 这是六十度，那我们连 d e 当时是连，为啥要连 d e？ 是 不是因为我要去连等幺嘛？这个问号边是不是在旋转之后，它被我转到这了， 那他俩相等，同时顶角又是六十度，我连完这个 d、 e 之后，那外面这个三角形 b、 e、 d 是 个啥？是不就是一个等边三角形？那等边三角形它的一边是根号六，那我所求边多少 是不？根号六？问题就结束了，那你看这道题玩的是啥？这道题是不就玩了？我利用共点等线造完旋转之后，哎，我通过对角核定得到新定角，整个问题是不就结束了，对不对？他就两步 来。兄弟们看下这道题，他现在告诉我们说在四边形 abc 当中，这是六十度，这是一百二。同时又告诉我们 ab 跟 bc 这两条线相等，又告诉我们说 ad 跟 cd 的 和是二。兄弟们 看到这样的核差关系，我们要用的话一个字，啥？看到这样的核差关系，要用的话，怎么用？数据给他设出来，那我就设你是 a， 那你是 b， 那 我是不是就给你知道你是 a， 那 你是 b， 那 我 a 加 b 不 就等于二吗？那接下来他让咱求这个四边形的面积，那刚才有兄弟说那截长补短可以没问题？确实可以，但是咱这块想的是不是就是练共点等线去转化解决问题的方法？ 那这块可以怎么办？那还是一样，那我是不是连接 b、 d 之后，那我现在转上面和下面两个三角形，我这不转谁都可以，那咱就把上面这个三角形 a 绕至共点，转至等线重合。那转完之后，兄弟们首先一一看旋转角， 对吧？六十度二同步信息，那这个 a 是 不是同步下来了？那第三步连等幺的话，那咱是不是得连接 d、 e？ 但是咱现在发现 d、 c、 e 这三点是怎么样？是不是贡献的？为啥贡献？那是不是因为这个六十度 一百二十度，那他俩对角互补，也就意味着此时这个阿尔法跟贝塔是不是也是一百八十度？那我这个阿尔法我们转下来之后，他是不是跑到这了？那阿尔法加贝塔一百八呢？所以此时 d、 c、 e 是 不是三点就贡献了？它三点是不是就贡献了？那贡献之后，那你来观察一下，那我现在能够得到啥？那我现在是不是能得到这个 d、 b、 e？ 它其实是个啥？ 它其实是一个等边三角形，没问题吧？同时这个等边三角形边长我知道不？那不就是 a 加 b 吗？那边长是不就是二？那得到这有啥用呀？ 那你观察一下，那我原来这个三角形它的面积不就是这个大 a 加上这个大 b 吗？那这个大 a 现在被我转起来转到这个大 a 了，那我现在这个 a 加 b 是 谁？是不就是我这个等边三角形？ 那也就是说我们通过旋转是不是完成转化？就啥将我们原来这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，现在转化成了我这个正三角形 d、 b、 e 了？那正三角形边长我知道是二面积了，面积是不是就是四分之根号三倍的边长平方就是二的平方， 是不是就是根号三？问题就结束了，最后是不是就根号三？那这道题是不是还是一样利用我们？哎共点等线做转化，那这里对角和定对吧？对角它刚好是互补的情况， 所以互补就会导致我们在转完之后会怎么样？转完之后是不是会出现共线？那这是咱们讲的哎，共点等线加上对角和定，在旋转完之后会出现啥？
44凡哥跃动数学
15:05查看AI文稿AI文稿欢迎回到初中几何辅助线系列，我们将用五十期视频系统讲解贯穿初中阶段的几何辅助线方法，从不知道怎么画到清楚该填哪条线。 今天我们来到第五十期共点等线加绊脚，需要电子版讲义，可以免费分享给大家。最后一种情况就是咱的绊脚模型，那啥叫绊脚模型啊？那比如说咱们现在举一个例子，我告诉你这有一个正方形， a、 b、 c、 d， 然后我在这个正方形里面给你 放一个四十五度，那你想一下，那放这个四十五度，你有啥想法 是不？感觉没啥想法呀，对吧？你想，那咱们之前讲过啥？咱们之前是不是玩过等角？我们知道等角才是有用的，那你像那这里的半角，那其实本质上就是我这个大直角是四十五度的二倍吗？那二倍角没有用，是不等角才有用，那你想那等角这会咋来？ 那你这个角是四十五度，外面大直角是九十度，那也就意味着我旁边这两个小角阿尔法跟这个贝塔，那他俩的和是不是应该是四十五度？那所以我现在想出等角的话，我可以怎么办？ 那我是不是想着把阿尔法跟贝塔把他俩怎么样？是拼一起？把他俩拼一起，我四十五度和四十五度是不是就出现了等角？那有等角我是不是就可以继续去玩了？ 那你想，那现在阿尔法贝塔怎么拼一起？那你想，那它现在拼一起肯定要换位置，换位置咱现在就有啥，是不是就有正方形提供给我们以 a 这个点为共点的这组红色的等线了？兄弟们，是不是就有以 a 为共点的这组等线了？那共点等线的条件有了，那接下来呢？ 那接下来咱是不是就可以去给它造旋转了吗？我记这个点是 e 啊，这是 f， 那 你来观察一下，那现在我是不是只需要把 a e 给它转九十度， 哎？转到这个位置，然后 e 跑到 e 撇，那我现在连接 b e 撇，那我是不是就把这个三角形，哎给它转过来了？那转过来之后，那你观察一下，那我们现在还是一样是旋转三步走，首先 直角直角，对吧？第二步，同步信息，同步信息，阿尔法，哎，他转到这之后，你观察一下阿尔法跟贝塔现在是不是就放到一起了？那放到一起就意味着此时咱是不是就把这个四十五度给它做出来了？ 那做出来不着急，哎，先把它放这，那接下来还有啥？那这个直角同样是不是也被我们转过来转到这个直角了？那你想这是直角，那这也是直角，那也就意味着一撇 b f 这三点什么关系？是不是就贡献了？ ok， 那 现在 完事以后，那你想一下，那既然咱现在说绊脚模型，那绊脚模型他得到这个等角有啥用啊？兄弟们，咱现在把这个四十五度，哎，四十五度都找出来了，阿尔法，贝塔拼一起，我现在已经找到这个等角，那等角现在摆到这有啥想法？ 那你就想那等角我们怎么用啊？等角他在同一个三角形里面，咱是不是可以去给他玩等幺，对吧？那在不同三角形里面呢？那咱要玩他是不是只能去玩全等？ 那你观察现在这两个四十五度什么关系？是不就不在同一个三角形里面？那咱现在想玩它的话，是不是就要看一下，哎，这能不能去给它搞全等？那搞全等的话，那咱除了有这个四十五度的等角以外，咱是不是还要去找一下有没有其他的等量关系？那首先是不，最直白的就是我们 a f 这条公共边， 那除了这条公共边以外，其他的等量是啥？其他等量是不就是我这个 a e 这个圈边，它绕着点 a 旋转到了 a e 撇这个圈边，那现在边角边边角边我都找到了，那现在连谁出全等？兄弟们，我现在是不是连接 ef 就 出全等了？ 你看连完之后咱是不是就能得到这个三角形 a f 就 出全等了？你看连完之后咱是不是就能得到这个三角形？ a f e 撇 这俩三角形是不是就全等了，对不对？哎，那这个就是我们绊脚模型在转完之后会带给我们的。首先绊脚模型咱们为什么要去转呢？是因为，哎，我看到这里的绊脚我没办法用，啥好用？等角才好用，所以我想着把另外两个角给它拼一起，我是不是就能得到等角了？ 那得到等角之后，兄弟们，等角怎么玩？等角，同一个三角形去看等，要不同三角形去玩全等，那这块咱是不是要去找等量去玩全等？ 是不是找等量玩全等？那这组全等是不就是我们绊脚模型在旋转完之后会带给我们的新信息？那你想一下，那既然正方形的绊脚模型哎，咱们已经搞定了，那搞定之后，那你觉得出题人他会怎么考你？那这个时候你想，那他出题人无非就是，哎，我记这条边是 a， 哎，我记这条边是 b， 我 记这条边是 c， 我 现在想问你，我在正方形里面给你放一个四十五度，我连接 e、 f 之后，我现在让你讨论 abc 这三边的关系。 啥关系？那 a 在 转完之后，它是不是跑到这？那 a 加 c 跟 b 是 不是就是作为我们全等的这组对应边？那我是不是就等于有了一个 b 等于 a 加 c， 那 咱再画一个，再画一个，画一个等值的，好吧，画一个等值的。假如说我这有个等值 abc 这两边相等，这是四十五度， 这是四十五度，咱们一起画一下。好吧，我现在假如说我在中间给你放一个，哎，给你放一个四十五度， 那你想那等值里面给你戳一个绊脚可以怎么玩？那是不是还是同样的思路？那我首先看到这个四十五度我就浑身不舒服，因为绊脚不会用，什么好用？我是不是等脚我是会用的。那这里我是不是就想把这个阿尔法跟贝塔， 哎，把它俩拼一起，那怎么拼？是不还是要利用我们等值提供给我们的 a b 和 a c 的 这组共点等线？ 那接下来要转的话，那咱们就去转这个三角形吧。好吧，随便转一个，咱就把这个给它转过去，那转过去你观察一下咱会得到啥？那首先 ab 转到 ac， 那 接下来我是不是只需要把这个 a e 也给它转个九十度就行了？那 a e 转九十度的话，那我看一下，哎，它就大致到这个位置啊， a e 撇，然后我现在连接 e c 啊，连接 e c， 那 我是不是就把这个三角形 a、 b、 e 绕着点 a 啊？给它转过来了， 那转过来之后呢？接下来是不是还是我们旋转的三步走，对吧？所有的旋转都是一样，我们都是通过造旋转，用旋转之后，哎，我们发现的这些特殊信息，所以这块基础我们是一定不能忘的啊，一定不能忘，就是，哎，直角，对吧？这是直角， 那旋转角看完了以后二、同步信息，那同步信息有啥同步的？那这个 a 他 是不是被我们转到了这个 a， 然后这个 b， 哎，他是不是被我们转到了这个 b， 同时这个四十五度， 兄弟们，是被我们转到了这有个四十五度，哎，你看到了啥？兄弟们，这个四十五度，四十五度，你看到了啥？那是不是？这其实，哎，告诉我们有一个小小的直角，是，还有这个阿尔法，是不是又被我们转到了这个阿尔法，哎，那接下来阿尔法贝塔被我们拼在一起了， 那此时咱是不是就得到了我们想要的那个四十五度？那这有四十五度，这有四十五度，那接下来来告诉我连谁出全等？是不是要去想，我去连全等的时候，我除了要去关注这里的四十五和四十五以外，我是不是还要去找其他的等量关系， 对不对？是不是还要去找其他等量关系？那等量关系在哪？首先是不是就是我们 a f 这条公共边？那其次呢？其次是不是就是我们这个 a e 这个圈边被我们转到了 a e 撇这个圈边？所以边角边，边角边，我要把等线等角放进三角形，我是不是就得连接谁？ 是不是连接 e 撇 f， 那 此时这两个红色的三角形，它是不是就全等了？哎，我是不是就得到了这两个红色三角形？ a、 e、 f 全等于三角形 a e 撇 f， 那全等之后，那来兄弟们想一下，那刚才咱不是在这得到一个九十度吗？那你说这个九十度，兄弟们，你觉得出题老师会怎么考你？我现在记这条边是 a， 我 记这条边是 b， 我 记这条边是 c， 哎，同样，我现在又有了三条边，那我现在问你， a、 b、 c 这三边满足什么样的关系？你说主体人，他无非就只能这么考你，对吧？因为他想玩的啥玩的就是。哎，我在得到这组全等之后，除了有全等，我这还有个直角全等能带给啥？那这个 e、 f 的 这个 b， 他 是不是就被我们转化到了 f、 e 撇这个 b a， 他 又被我们挪到这？哎，此时我发现 abc 这三边是不是被我们放进了同一个直角三角形当中？那我现在要讨论他三边关系啥？是不是就是 b 方等于 a 方加 c 方，你说这 模型咱自己是不是都能推出来？咱就是通过啥，通过最底层的逻辑，通过最基础的辅助线构造的方法，以及我们旋转的使用，这些东西是不是咱自己就能推出来？咱还需不需要去记那些什么所谓的模型和大招， 是不都不需要了？ a 方加 c 方等于 b 方，就是现在这三边他是不是被我们放进了这个直角三角形当中？ 所以咱直接就可以发现这三边就满足勾股定律吗？那比如说他现在告诉你其中两条边让你求，第三边能不能求，是不是也可以求？ ok， 兄弟们，那来我们一块做一道题感受一下，好吧，一会看一下这个，咱们刚才其实讲的是啥？是不是讲了我们正方形的绊脚模型以及我们等值的绊脚模型， 那这道题的话，它既不是等值也不是正方形，那怎么办？那咱们还是一样这些模型，兄弟们我给大家讲一下，对吧？讲一下就是我们对于模型这个东西应该怎么样去学习，就是我们看 现在是不是市面上很多老师都是说给大家讲一下，哎，我们这个模型怎么用，那个模型怎么用，给大家总结了一堆模型和大招， 那其实这些东西我们要学，就是我们不能说是哎，完全不学他，我们要学，但是我们学的时候千万不要是以这些模型和大招的结论作为我们学习的目的， 一定不是以结论作为我们学习的目的，而是说我们要通过这些模型和大招干嘛作为主体，兄弟们我们一定要把它们作为主体去干嘛？去通过他们 练习我们的基本功，那啥是我们的基本功，基本功就是我们指的标射放猎的习惯，还有我们的基础辅助线的积累，我们就一定要知道这个结论他是怎么来的。那不然的话，你像刚才咱们讲了正方形的绊脚模型，如果你只是单纯的去记结论，你说，哎，我记得就是正方形，我绊脚模型我在转完之后， 对吧？我装完之后，哎，我得到这两个三角形是全等的，全等完了以后我知道这三边的关系，哎，他就在这个直角三角形里面，你给我说你记这种东西有啥用？你如果只是去记他的话，那我现在同样我给你换一个等值，你会不会玩？ 结论是不是就变了？那结论变了之后，那你像咱刚才那道题，他是不是就变成正三角形？哎？等边三角形我给你放一个绊脚模型，那你是不是还是要去记结论？你说这些结论你记到啥时候是个头啊？ 这些模型，这些大招永远都不是我们作为学习的终极目的。目的是啥？目的是我们要通过这些经典的例题去熟练的掌握我们的基本功，我们要学的是它的逻辑，它的过程，这些东西才是我们最主要学习的东西。那你来看这些东西，如果我们掌握好了之后，那你想 这道题咱不是随便解决吗？那首先我观察到现在这个四三这个问号，加上这个三十度，还等边三角形，我啥都求不了，那怎么办？ 那我看到这有三十度，哎，我想着那等边三角形，这不是六十度吗？那六十三十我想到了啥？我是不是想到了绊脚模型？那所以此时旁边这个阿尔法跟贝塔他俩的和是不是就是三十度？那我现在想把他俩拼一起怎么拼？ 是不就可以去旋转了吗？那这两个三角形我是不是转谁都可以，对不对？那我就去，哎，把这个三角形 给他绕至点 a， 转至等线重合，我给他转过来，那转完之后来看一下这块的结论，我们怎么自己推出来，对吧？怎么自己推出来？那推的话是不是还是一样？有旋转的话，那首先旋转三步走，那第一步我是不是给他先看旋转角？二 干嘛同步信息？阿尔法被我们转过来呢？阿尔法、贝塔拼在一起呢？这个想要的三十度等角是不是就出现了？兄弟们，还有啥？这个四过来，那同样这个六十度他是不是也过来？那这本身还有个六十度，哎，也就是说咱这是不是得到了一个一百二十度的角？ 那接下来绊脚模型咱们在转完之后一定要去注意这块全等怎么来？因为咱绊脚模型转完之后就是为了获得等角， 那等角它不在一个三角形里面，怎么去用？等角不在三角形，咱是不是就只能去玩全等或者是相似？因为这块旋转是啥？是全等变换，我们有等量、有等量，有等量、有等量，所以想着给它放进三角形去玩全等，那这是不是就是我们标射放列里面放的这个意识？ 这是不是就是我们的基本习惯对不对？那你看，那此时我连接 fe 之后，我是不是就能得到这个三角形 a、 d、 e 跟三角形 a、 f、 e 全等了？那全等之后，那你想一下，那这个问号边 它被我们转化到哪了？它是不是就被我们转化到这了？那你现在要去求 e、 f 的 话，怎么求？兄弟们，那求线段长，求 e、 f， 是 不是还是一个放的意识？那放哪？那肯定放底下这个 e、 c、 f 这个三角形嘛？ 我们说了，我们再转完之后，我们这些新条件是不是还是要往新三角形里面去放去看？那你观察，现在在这个三角形当中，两边已知同时又有一个一百二十度角，怎么玩？那特殊角做垂线是不是就是我们辅助线的积累， 对不对？哎？特殊角去给他做垂线，这是不是就是我们平常对于这些基础辅助线的积累？因为我们知道这个时候，哎，我去给他做垂线， 我就能得到一个三六九的直角三角形，那三六九的直角三角形，它的三边比我就知道，那同时 f c 是 四的话，那这条边是二，那条边是二倍根号三， 那我现在想要去求 f e 的 话，我是不是只需要在这个大直角三角形 f e j 当中勾股定律问题是不就结束了，对不对？最后 ef 他是不是就等于根号下二倍根三的平方加上一个五的平方就多少？二十五加十二、三十七是吧？ 是不是就根号三十七，问题是不就结束了？那你看这道题，如果你把它当做一个模型来说的话，咱们刚才讲过的三幅图，你就完全当做三个模型去学， 那你说学到啥时候是个头？我现在这是个六十度，那假如说我现在再给你变一下，我给你变成一个一百二十度角的等腰三角形，那你是不是又得去记一个模型？那你说这些模型记到啥时候是个头？ 它没有头，那咱们学习模型就是要把它当做载体去锻炼，我们的基本功就是啥？就是咱们 标设放列的习惯，这是我们的习惯以及我们这些基础辅助线的积累。特殊角做垂线，我求线断长放三角形对不对？以及，哎，我这块等角等线，我给它放三角形，这是不是就是所有的这些大体，这些难题，这些综合题，这些压轴题 都是可以通过我们拆解的方式，把它转化成我们的习惯和基本的辅助线去给它解决掉的。
39凡哥跃动数学
04:27查看AI文稿AI文稿辅助线这种题简单太简单了，别再瞎画辅助线乱套模型了，抓准题目中的关键条件，理清准确思路，把底层逻辑摸透，几分钟就能做一道题，考试拿下满分，轻轻松松，高分稳稳的。 先来看一下这个图，这个图中出现了一个三角形 a、 b、 d， 三角形 a、 b、 c、 c、 d 还连上单看图看不出来有什么样特殊的结构。那咱们再来看一下这个题的题干中能带给我什么信息。他告诉我们， ab 和 ac 是 相等的， o 有 相等， 有线段相等的关系，就意味着会出现什么三角形。等腰。接下来告诉我，角 a、 b、 d 等于六十度。好，咱们别管什么样的辅助线速度，什么样的辅助线模型，什么样的几何题目，永远离不开的是你对几何知识的熟悉程度，以及你的功底。 你看到一个六十度角，你脑子中会冒出什么念想？我第一反应，等边三角形。除此之外呢？你只会想到等边三角形吗？那可绝对不够。其实对于很多出家的同学来说，你看到六十度，往往会想到，哎，他和三十度角 构成的这样的一个三角形，就是一个三六九的经典直角三角形。其实在它们这一块，你想到等边三角形也行，为啥呢？因为本质上来说，如果出现这样一个三十度、六十度、九十度的直角三角形，我再给他整一个过来，拼到一起，这玩意就是一个等边三角形。接下来题目给出一个角 b、 d、 c 加上二倍的角 a、 d、 b 等于一百八十度， b、 d 在 这里看到他想到什么，想到了追配角，这不就是满足阿尔法加上二倍 beta 等于一百八十度，所以阿尔法角 和 beta 角，它应该是满足所谓的绝配角的关系。绝配角的关系里面，我往往借助两个思路去做题，这个一百八十度，我可以想到的是可能会出现一个三角形，也可能会出现到这样的玩意。 而对于这个题目中这两个角的位置，它其实是一个很简单很基础的绝配角考察。因为题目把 b、 d、 c 放在这，把二倍的 a、 d、 b 它俩合等一百八十度，而 a、 d、 b 就 放在这一块，所以我的辅助线思路非常直接，两个方向 我可以选择直接延长 a、 d 出来，这两角相等，同样我也可以选择延长 c、 d 出来。那么这两种连延长方法优先延长哪个呢？我的建议是优先延长 c、 d 这个把这两个等角放一边，因为两个等角放一边以后，此时 d、 a 这个线，这哥们他的名字可就变了， 它叫什么？它叫做角平分线。所以这道题目我们要求的是 b、 d、 c、 d 以及 a、 b 的 关系。现在我们顺利地把这个角平分线做完以后，你要意识到这个 b 点是这个角 其中一个边上的一点，它连接了角平分线上的点。 a 遇到角平分线，你的辅助线思路一定是一边长啥样，右边照猫画虎给它画出来，所以你一定要照着 b 点的位置，在这找到这么一个位置，然后一连接两边关于 a、 d 对 称就完事了。这个具体的辅助线做法叫做截取。在 c、 d 的 延长线上截取一段长度和 b、 d 长度一样，比如说我就截到这了，就截到这了啊，假设我往这放上一个屁，使得 b、 d 的 长度和 d p 长度一毛一样，所以接下来咱们只需要干一件事，连接 ap。 当我把 ap 连出来以后，此时 角 a、 p、 c 这个角一定是多少度？做截取，然后做连接，把这边和左边一模一样的给它画出来，你不就相当于左右两边是全等吗？把这个角就给他喷转移过来了，刚刚我们说了半天，这玩意是个六十度，咱们研究了半天它应该怎么用，现在 转移过来了，这个角是六十度，而且你会发现，因为两边是完全一样的，所以 a、 b 就 被你等长度的转移到了 a、 p 的 位置。而在题目的最开始的信息中， a、 b 还是等于 a c 的， 所以你发现把 a、 p 挪过来以后， a、 c 这个线段 和我们刚刚做完的 ap 这个线段，这俩线段长度永远一样，等腰三角形，而且其中还出现了一个角是六十度，你一定可以推出它的三个角都是六十度，所以它一定是一个什么呀？三角形。 a、 c、 p 这玩意一定是一个正三角形，也就是一个等边三角形。那正出等边三角形这个题我们就做完了，你看 d、 d 被我们转移到了 d p， 这 c、 d 就 在这待着呢，而且它俩是共线的，你自己做的延长线嘛，所以 c、 d 加上 d p 刚好等于这个等边三角形的边长，也就是等于我们的 a p， 或者说等于我们的 a、 b， 最终你推导出来的关系是，它俩之合是等于 a、 b 的。 这个题完整的搞定了，数学找老钱，进步会很甜！
252老咸讲数学思维
19:55查看AI文稿AI文稿那我们接下来呢，来看一下将军一马，好，我们先来梳理一下原理，好吧，来看一下。首先呢，它给了这样的一个三角形，那么其中呢， a b 是 两个定点，它给了这样的一幅图， a b 是 两个定点， a b 呢是距离是八。接着呢，它说 p 呢，是平面内的一个动点，它可以平面内任意跑 o 平面内的一个动点。那么让我们去求的是来这两条线段，绿的和黄的这两条线段合得最小值。来，你想一下，合最小是几两点之间线段最短呗，它们俩合得最小值呢，就是八。 好，那么你再进一步想一下，来，取得八的时候，这个点 p 它跑在哪里？在线段 a b 上，它跑到这里的时候来，这是 pa， 这是 p b， pa 加 p b 等于八。 首先呢，它两的和最小是八，为啥呢？因为两点之间是线段最短，所以说首先最小值是个八，最小值是八的话，那你想一下取得最小值，这个 p 点得在哪里？ p 点得在线段 a b 上， 那他一旦跑到外头去，你会发现 p a 加 p b 显然大于八了，取得和最小是有前提的，有啥前提？这个动点要能够落在定边上。来，这句话，这快要想明白来，再盘一遍，再盘一遍， p 点得落在线段 a b 上，它俩和的最小值才是等于八。 你试一下在线段外头，或者说在延长线上，你会发现它两的和一定大于八了。第一个点它两和最小是八。第二个点取得和最小的时候，这个动点要能够落在这条定边上，在线段 a b 上。那你这块想明白之后，来瞅一眼， 看一下这幅图， p 点在这条线上跑， a b 是 两个定点，距离是三，他让我去求的是圈叉这两条线段和这个最小值，来，直接告诉我，此时 p a 加 p b 和的最小值是这条定边三吗？ 来等于三吗？打个问号，等于三吗？我们刚理出来的，它要取得这条定长，它得落在这个定边上那这里要取得这个定长，它得落到这个定边上。 屁点在这条线上跑，他在这跑，你说能跑这来不？屁点轨迹在这，他能跑到 a b 上不？他根本跑不到 a b， 他 被这条线给拴住了，能不能想来他只能在这条直线上走，他咋走都走不到这去。所以说肯定是不等于三的，肯定是不等于三的，不等于三的话落不到怎么办？那在这里落不到，求不了的话咋整？换？ 我给它换个位置。 ok， 咋换呢？ a 我 可以给它做对称，所以说这里落不到，我就去做对称。那我标到这里对称的话咋对称呢？对称的时候呢？我一定是以动点的轨迹，动点的轨迹为对称轴，我去对称 a 还是 b？ a 和 b 对 称，谁都行，那我就把 a 对 称下来， a 下来之后呢？圈跑这来了，来，圈跑这来了，此时问题就变成了什么？问题就变成了它量和最小，求它量和最小一模一样吧。那你会发现，哎，这里又出现啥了？又出现地边了？ 圈叉和最小能否取得这个 a 撇 b 这条定边上？刚才取不到，是因为动点落不到定边上，哎，这里点屁能够落到这个 a 撇 b 的 定边上吗？能落到就是焦点，能落到就是焦点。 也就说 p 档跑到 p 一 撇的时候能够落在这条定边上，圈叉能够取得最小值呢？就是和最小呢，就是 a 撇 b 有 问题，没？谈一下这个逻辑。首先第一个事情，两条折线段取得和最小的时候， 动点要落在定边上，折回来看一下，求它俩和最小呢，发现 p 点咋跑都跑不到，这所以说它俩没办法，直接求咋整？换呗， 直接求不了，换个位置看看呗，咋换？对称，我给他对称过来，对称完之后求的是它量和最小，哎，此时还是要想一下，动点能不能落在地面上，能不能落到，能落到哎，和它的轨迹有交点，这个交点正好就是取得最值时点 p 的 位置。那你这块想明白之后来同样的 给我来一条 d 线，他说 p 点呢，是这条线上的一个动点，让我去求的是这两条 p a p b 这两条线段合得一个最小值来，此时 p a 加 p b 合得最小值是多少？那同样的我要看啥呀？求它俩合最小，我要看一下能不能取得这条定线呗。取得定线有前提啥前提？动点要能够落在地面上，能不能落到？ 显然跑这呗， ok， 跑这呗。那你再想一下，我刚才为啥对称了，这里为啥没对称呢？因为刚刚动点落不到顶线上，这也是可以落到的。那么你再想一下，那我接下来所有的这类问题，我从头再盘，有点麻烦了吧？来，你总结一下，啥情况下 我是需要对称的，你通过对比你会发现，哎，这两条折线段在异侧，我不用做对称，而在这里，这两条折线段圈叉，这两条折线段在同侧的时候，我是需要做对称的， 对称到异侧直接求， ok， 也就说啥情况下做对称来同侧我去做对称，也就说 那我接下来再做将军一马，再做折线段和最小问题的时候，我不能再背什么再背那一套模型了，这一套底层逻辑你一定要自己从头到尾去推一遍。 ok， 每一步你要知道咋做，你心里做着才踏实嘛。那大家平时可能学到的是，哎，我背下来了，记下来了。同次我要去做对称， 一定要想一下为啥同侧就要做对成，为啥？因为同侧落不到，放同侧的时候动点落不到定边，所以才去做对称的每一步一定要想明白为啥这么做，你不能说别人告诉我这么做，我背下来就完事了。我一定要想一下每一步为啥 你多问自己几遍，为啥现在真正通透了之后来练个题，首先呢，来了个矩形，他说这六，那这也六，这九，这也九， 他说易是中点。然后在线段 a b 上取个点 f， 哦，随便取一个呗，来瞅一眼。随便取个点 f， 取个点 m， 他 让我去求的是圈叉勾它们三和的一个最小值。首先第一个问题， 那你说老师我们刚刚梳理的这不是两条线段吗？这三条咋整？那两条我给他同侧做对称，三条也一样吧，三条我不会处理，我还会处理两条的，那我就两个两个看呗。 ok， 也就说那你给个我十条八条，我是不是也是这个方法，也是这个思路，给个我十条二十条的，我还是两个两个的看。 来瞅一眼啊，两个两颗看的话来，那我就先看圈叉呗。要求圈叉和的最小值，你把它挡住，圈叉和的最小值来圈和叉，它在哪里？它俩是在轨迹的同侧，异侧来圈叉在轨迹的同侧还是异侧？ ok？ 在 同侧，同侧怎么同侧？我做对称呗。 那对称的话来，你说对称 e 还是对称 m 肯定对称 e， 为啥 e 是 个定点？其次，你说把 m 点对称过去，这都断开了，这我咋求呢？我肯定想着我对称 e， ok， 那 么 e 给它对称过来来看一下，对称完之后圈跑这来了。圈叉的话，它俩和最小，那就是一撇 m 呗， 那么一撇 m 和这个勾，那你说它两和最小哪一段？我直接拉直，我直接把它们三给它拉直，所以说它们三和最小直接是谁？直接就是 c， 一 撇来，答案直接是多少？ 答案是就背根。二，你说我把这一套逻辑想明白之后，他咋变我都能求，我们还是一起盘一下好吧。首先呢，拿到题之后发现他是一个求三条折线段，也就说他是一个多折线的问题，那我们刚刚讲的都是两条折线，你说咋整？那两条我只会处理两条的，给过我三条十条都一样， 怎么办？我就两个，两个看呗，我只会处理两条的，所以说对于多折线呢，我就两两看，两两看的话还是看啥？ 还是给他同侧做对称， ok， 当然你用它的前提一定是底层逻辑那一套，为啥做对称 一定要想明白了， ok， 所以 说第二步呢，同侧做对称，然后呢，做完对称之后，他们三就大家说的拉直了， ok， 给他扯直了。贡献时取得和最小， ok， 贡献和最小，好，来再来一个。那么接着呢，我们来看一下这个多动点型的将军一马。那首先想一下，啥叫多动点呢？ 我们刚刚讲的是，哎， p 呢，在这条直线上动，我要求的是它俩 a 是 一个定的， b 是 一个定的，我要求它两和的最小值，那此时呢，哎，我把 a 或 b 其中的一个定点变成动点， 多动点，那有啥不一样呢？处理思路一模一样。 ok， 你 先试一下，给个题，你先试一下完全一模一样，咱一起瞅一下，好吧，来 a b c 里头，他说这是直角，然后这是二， 这是三，那么这条边根是三线标标上呗。 ok， 接着呢，他说啥？他说 p 是 中点，然后 d e 它俩是动点，让我去求 p， d 加 d e 圈叉和的一个最小值，那还是一个将军密码，只不过呢，哎，它是个动点。 ok， 那 怎么处理一模一样吧。 那既然求它俩合的最小值，我是不是肯定还是要关注一下，同侧，异侧来圈叉同侧，异侧，那肯定同侧呗，那异侧还有啥考的呢？ ok， 所以 说肯定是它俩在同侧地点，这是它的轨迹， 它俩呢，在轨迹同侧同侧，我要去给它作对称来对称 p 还是对称 e， 因为 p 是 个定点， ok， 所以 说我把 p 点给它对称过来。好，这里呢，有一个非常关键的点要给大家强调一下， 在将军一马所有将军一马的计算里头，最最重要的一个点是啥？将军一马所有的计算都要依赖于他的 同步信息， ok， 对 称带来同步信息，他自己做题的过程中，这个一很容易漏掉了，所以说一定要跟过来。 ok， 对 称，对称这一，这也是一对称完之后来圈跑这来了，要求他两核最小，啥时候最小？按照我们刚刚思路，最小就这一段吧。 ok， 共线是最小，走到这里呢，我一定是能够推出来 p d 加上这个 d e， 它俩呢，一定是大于等于这个 p 撇 e 的 圈叉呢，一定是大于等于这一段的，这一段就最小了。但是呢，有个问题，共线了，但是呢， e 还是个动点，咋整？ e 在 这条线上动， 哎，也就说我还要干个啥？那么走到这里呢，如果说，如果说 e 是 一个定点的话，这个题就结束了， 但是 e 是 一个动点，那么 p 撇 e 的 话，我就能够再进一步，求最值，咋求呢？ e 在 这条线上动，一定一动，你说咋求？做垂吧，垂线段最短，垂线段最短，所以说最直呢，就是 p 撇 h。 来，咱先盘一下啊， 所以说能够得到它是大于等于 p p h， 首先呢，拿到题之后，它是求什么？求折线段和最小，还是求折线段和最小？所以说，我还是干嘛？还是给它对称 加贡献呗，但是呢，多动点，贡献还没完，还得干嘛？我还得再来一步，垂线段最短，最终呢，能够找着圈叉和最小就是 p p h 来整个的处理思路，你会发现呢，和普通的一模一样， 和两个定点的一模一样，只不过做完之后还要再来一步，垂线段最短。 ok， 前面处理思路逻辑一模一样。那这里呢，第一步找我就结束了，那第二步就算呗，算的话来屁撇 h， 你 说咋算？那么要求屁撇 h， 屁撇 h 是 啥呀？它不是一条普通的线，它是一条垂线， 那么求垂线，我自然而然就想到等积了，用等积的话来屁撇 h， 它做高的话，谁来做底？那么找一下三角形呗，在哪个三角形里面使用等面积 p 撇 h 它来做高的话，谁来做我的底？我找底有个啥要求？找底我得找一条已知边来当底，谁是已知边？那 p 撇 h 垂，这条只有 ab 是 已知边， ok， 只有 ab 这条边是已知边， 它就是一个根，号是三百， ok， 来高，有了底，有了三角形，能不能定下来？我是不要连接 b p， 高，有了底，有了，使用等积法的三角形，我就可以定下来，就是三角形 a b p p， 在这个三角形里面，我使用等积法的话，首先一组高已经找着了，就是二分之一底是根，十三高是 p p h。 好， 有底有高，我要整个式子，那必须再来一组底和高吧，来另外一组底和高是谁？那找的话只有这有垂了，我就只能盯着这看吧。这有啥，这垂，哎， bc 就是 高， bc 做高的话它来做底，所以说第二组呢，就是底是三，底是这一段高也是个三 三乘三。走到这里呢，找着了和的最小值。那么接下来要求的话，发现什么？发现是求垂线，求垂线，所以说，哎，我就可以用等级相等级列式子结束，等级有问题，前面直接看视频，虽然说是一个多动点，但是呢，处理思路和普通的一模一样， 只不过在结束后多了一个垂线的最短。 ok， 结束之后呢，求最值的时候要注意啥？发现是垂线，求垂线，那我自然而然想到用等积法，那我们再来啊，那多折线呢？多折线长这样子吧，让我去求圈叉勾他三和的最小。 怎么处理？前面呢，我们一直在处理两条的，我只会处理两条的。那给了三条咋整？那我还两个两个看吧，我就先求圈叉他两和最小，再去求他两和 勾和的一个最小值， ok？ 所以 说对于多折线呢，咋整，我就量量看。这里的思路是，我只会处理两条的，给个三条，十条还是八十条？我都是两个两个的看。那你这块想明白之后来瞅一眼。首先呢，它是在这个四边形里头，这是九十度， a， c 是 二， a c 这一段黄色的线是二，然后三十度和十五度。接着呢，他说他俩是动点，然后让我们去求这个绿色三角形的周长，求周长，也就说，哎，求圈叉勾和的一个最小值， 求三条折线段和的最小值。定位问题是个啥？多折线呗。多折线求和最小怎么处理来着？想一下，多折线我们刚梳理了， 不管，给个三条四条，超过两条我就不会做了，我只会处理两条的。那咋整？我就两个两个看呗。两个两个看的话，你会发现，哎，圈叉勾 两两看的话，这个组合还真不少。那我先看谁呢？来试一下叉和勾组一组行不行？叉和勾两两看的话，你会发现他两咋求两两看的话，我先求叉和勾行不行？ 求叉和勾和最小的话，我要关注什么？我要关注一下它俩是在拐点轨迹的同侧还是在异侧来。叉勾它俩是在同侧，异侧来。那先把拐点找着吧，拐点是个 c 点，看一下 c 点在哪动呢？ c 点是个啥？ 四边形 a b c， d 里面 a， c 是 个二， c 点它是个定点， c 点它是个定点。定点来，你说定点哪来的轨迹？所以说，哎，虽然说两个两个的看，但是呢，这个定点能做这个拐点吗？来你这块，如果说还想不来，来瞅一眼啊， 我们普通的最最基础的这个将军一马图长这样子，圈叉求和最小这个 p 点啥？ p 点是 l 上的一个动点，也就说将军一马的话，它的拐点必须是个动点。来，这 c 点能不能做拐点？ c 点是个定点，它根本动不了，它是个定点， 那定点哪来的轨迹？来理一下啊，理一下，首先明确了两两看，但是两两看有前提，我不能任意选。有啥前提？它的拐点必须是动点， ok， 拐点必须是动点，如果它是定的，那对称咋对称？根本没办法做对称，更没办法往下一步推了。所以说 将军一马，它的拐点必须是动点，拐点必须是动感的话，也就说叉和勾就没办法组合，那我就只能圈和叉，圈和勾呗，那都来试一下好吧，来圈和叉，圈和叉， 求它两和，最小的话，来圈和叉，它两是在拐点轨迹同侧还是异侧？找轨迹吧。 r 点是 a d 上的一个动点，圈叉呢，是在拐点轨迹的同一侧同侧，我要去给它做对称。来做对称的话，对称 q 还是对称？ c 有 定点，优先对称定点， q 是 一个动点， ok， q 是 一个动点，有定点我肯定优先对称定点。所以说我把 c 点给它对称过去。来瞅一眼啊， c 点跑这来，这是 c 一 撇， c 点对称完之后，我的叉线段就跑这来了。那么接下来看圈和勾，要求圈和勾的话，同样的，它俩是在 拐点轨迹的同侧，同侧，我还是要去做对称嘛。来，此时对称谁有定，优先选择定点， ok， 所以 说我把 c 点呢，照常给它对称下来，那么这里呢？ c 一， 这是 c 二， ok， 所以 说我的勾线段呢，就跑这来了，勾线段呢就跑这来了，那走到这一步呢，你会发现，哎，问题就变成了，求圈叉勾他们三和的最小值，来他们三和的最小值，直接告诉我是哪一段，我给他拉直了呗，我给他扯直了，所以说最小值呢，就是 c 一 c 二这一段，走到这里，我算是把最小值找着了，那我接下来要算了，找的话咋找呢？盘一下啊，不着急，我们盘一下。首先呢，它是一个多折线的问题，那多折线的话咋整呢？两个两个看，那两两看的话，我能任意组合吗？我得干嘛？ 我得关注一下它的拐点呢，必须是个动点，这里一定要注意啊，拐点必须是个动点，所以说 c 点就不能做拐点， q 和 r 做拐点，我把叉线段对称上去，把勾线段对称下来， 求它们三和，最小的话，最小值就是 c 一 c 二， ok， 走到这里找着了，最小值，这是第一步，那么再进一步找着了，我要算了， 我要求 c 一 c 二的话，咋算呢？那么求线段长，我们第一个想法肯定是我要给它放三角形，放三角形的话，这个 c 一 c 二，那就只能和这个 c 放到一起吧， 但是这个三角形里面啥都没有，求线段长，放三角形，此时 c 一 c 二呢，就只能进到这个红色三角形里，但是啥都没有， 那我就只能再从头捋一下呗，放进去之后算不了，那我就换呗，换的话从何换呢？我们来盘一下啊，我们这个题呢，唯一的操作是干了啥？我唯一的操作是做了对称，来做对称要注意什么来着？做对称，我要去啊，同步信息啊， 来，我们一个个来看一下，我把这个叉线段对称上去，有没有能同步的信息。我刚刚把叉线段同步上去， c 点给它对称上去了，那与 c 点有关的信息也要跟上去，谁能标呀？ c 点对称上去与 c 点有关的信息，二，我是不是得跟上来？ 也就说，哎，我连了 a c 一 撇的话，这也是二，那么再进一步，边要跟过去角，我是不是得跟上来？十五度， c 点对称下来之后，与它有关的信息也得跟下来，这是二的话，那么这也是二，同理，这是三十度的话，这也是三十度。来结束了，没标到这里，你会发现，哎，此时我的 c 一 些二往哪放？此时这是已知边，这也是已知边， 他们可以一起放到这个红色三角形里面，而且这啥，这是个直角， ok， 这是个直角，所以说二二，答案就是一杠二倍根二，结束， 我盘一下这个思路啊，盘一下这个思路，首先第一步呢，两两看，我去找，找的过程中，第二个算的话要注意什么？算的话我们要利用好对称性，我去同步信息两步，第一步找，第二步算， 第一步找的话，两两看，看的过程中，两两组合的过程中要注意什么？拐点是动点，啥叫个拐点呢？比如说来， 我要求圈叉和的最小值，这个点就是拐点点，屁呢，必须是动点，我才能够进行下一步的操作。通过对称找着了最值 c 一。 c 二算的话，咋算呢？我要利用好对称性， c 点对称上去，与 c 点有关的信息也得跟上去，二上去，十五度上去，那么接着二下来，三十度下来，最终呢？得到了一个等值，解决了问题。
77跃动伊一数学
05:14查看AI文稿AI文稿二零二六中考倒计时几何辅助线到现在了，还是靠灵感，靠感觉吗？我告诉你今天这条视频，结合二零二六最新的考试说明历年的命题规律，为你精准预测十大必考辅助线， 从基础题到压轴题都有，看完之后你就会知道，看到什么就添什么，两分钟帮你打通任督二脉。第一个部分是基础部分， 第一个，看到角平分线，看到角平分线，第一个，向两边做垂线，不要犹豫， 这个题呢，可能是基础题，也可能是亚洲题的其中一个过程，做垂线是什么？角平分线的性质，然后还有可能是可以在上面截取线段，构造全等三角形， 还有可能是角平分线加平行线得等腰三角形，所以角平分线很重要。这几个具体考哪种你都要去搞定啊。然后第二个，看到终点 或者中线要干什么？看到中点看情况，如果说是直角三角形斜边中线，那就是要 直角三角形，斜边中线等于斜边一半，如果是普通三角形中点，那肯定是中线平分面积。如果是，呃，两个中点或者只有一个中点，可以构造中位线平行于第三边和等于第三边的二分之一，对吧？ 第三个，看到线段和差，比如求证 ab 加 cd 等于 e f， 你 的辅助线就是截长或者补短，要么在长的上面截一段，要么把短的补过来，证明题，压轴题里面必考。第四个， 看到等边等腰九十度三角形的旋转，那你一定要做的就是左手拉左手，右手拉右手的手拉手模型，当然他也可以是正方形，对不对？等边三角形他可以都可以去转。 第五个，圆的综合体，圆的综合体里面出现弦，只要出现弦，然后完了之后有弦中点或者没有弦中点，你都可以去做垂直垂径定力，利用勾股定力去求线段长，这个是一个非常非常常用的辅助线思路。 第六个，圆里面只要出现直径，只要出现你就去构造直径，所对圆周角为九十度， 这个是倒角的神器，这个是解直角三角形的必然步骤。第七个，看到等腰三角形，我经常会说的是等腰三角形会存在在每一年的题里面， 三线合一，不管三七二十一，你都去连接顶点和底边，中点得到角平分线，底边高还有中线。 第八个，压轴题的常客，这个压轴题是圆的压轴题，二次函数压轴题还有大压轴都会出现相似二次函数和相似结合，圆中相似求线段长，然后大压轴最后用相似求解，那你第一种只要看到线段比例，那必然有相似， 平行和八字相似优先考虑，所以他如果 非套路没有模型的相似，那你就去按照相似的最基本的判定的法则， a a 两角相等，或者是两个夹边，两个边分别乘比例，夹角相等 去判定。第九个，几何最值问题，几何最值问题里优先学的就是将军印马，不管它是两个动点还是三个动点还是一个动点，它的核心原理是通过对称 转化线段化为预测，两点之间线段最短，一定要把它的核心原理搞清楚，而不是背模型。最后一个终点与斜边中线，看到直角三角形的直角三角形和终点，立马要想到连 构造斜边中线。当然我为什么要在亚洲体里说这个呢？但因为他会逆运用。逆运用的意思就是告诉你两边 是，比如说啊，两边一个边是三，另外一边是六，然后他们假角是六十，你在脑海里画这个图，或者实际画这个图，这个是中考中真实考过的。实际上这道题呢，需要去构造这个三角形，然后截取六那个边的中点 连接之后你就会发现它是个等边三角形，那么就会存在出现三十度、六十度的直角三角形，这个叫做逆运用。直角三角形斜边中线逆运用，但是这个呢，很多学生是没有想到的，他一般只会正着用，所以 要么就是辅助线做的复杂计算简单，要么就是辅助线复杂计算难，中考总会有一个点难倒你。
06:15查看AI文稿AI文稿欢迎回到初中几何辅助线系列，我们将用五十期视频系统讲解贯穿初中阶段的几何辅助线方法，从不知道怎么画到清楚该填哪条线。今天我们来到第三十八期定线定距离， 那么来看一下我们第七章动点轨迹这块。我们知道在我们初中阶段，其实判断动点轨迹的话，他就两大类，对吧？一个就是我们动点轨迹是直线，另外一个就是圆弧。那么今天咱们先来看一下我们如何判断我们动点轨迹是直线呢？我们知道判断动点轨迹是直线，是不是一共有三种方法？ 那首先第一个我们就是定线定距离对不对？那第二个是啥？第二个是不就是我们定线定夹角以及第三个，哎，就是我们在学完坐标系当中之后， 我们是不是还可以通过间系法去判断我们在坐标系内点它的一个运动轨迹是直线？那么首先来看前两个，那么对于前两个我们要想去判断动点轨迹是直线的话，首先我们是不是都得需要一个定线作为参考？ 那对于第一个来说，哎，我们告诉这有一条定线 l， 那 么此时呢？假如说告诉我们平面有一个动点 p， 那 么此时这个 p 到我们直线的距离， 哎，一直是一个定长的 d， 那 么此时 p 点它的轨迹是啥？那 p 点它的轨迹是不就是一条跟我们 l 平行，并且呢距离是 d 的 一条直线 对不对？那这是我们第一个，哎，通过定线定距离判断出来我们屁点它的轨迹是直线，那么再来看第二个，第二个呢是定线定夹角，啥意思呢？哎，我们这块同样也要有一条定线作为参考， 那么此时定线上，哎，他还会有一个定点，那么像我们一般在做这种定动问题的时候啊，就是我们动点轨迹或者是最值问题的时候，像这些端点的一些定动情况，我们是一定要去关注的啊。那么这块告诉我们这有一个定点 m， 并且呢说这有一个动点 p， 他 说 p 在 运动的过程当中始终保证我们 pm， 哎，以及对这个点即为 d 吧，就是我们这条定直线上一个点始终保持这个夹角，是一个 r 法，是一个定夹角，那么此时你想一下 p 点的轨迹是啥？ 那屁点的轨迹是不是就是这条直线？没错吧？那这个就是我们啥定线 a 定夹角，我们可以判断出来屁点的轨迹是直线， 那这是前两个，我们通过几何法啊，通过几何法来去判断我们动点轨迹的一个方法。 那么来看一下我们这块的题目吧。一块来看一下我们这块的题目，他现在告诉我们说，在直角三角形 abc 当中，这是五，这是八，告诉我们 d 是 中点，那该标的标这是四，这是四。然后他现在告诉我们说，哎， p 是 ab 边上的一个动点，哎，他告诉动点了，那定动情况咱是不是也得标？ 然后呢，他现在告诉我们说， p 绕着点 d， 哎，逆时针旋转了九十度，得到了点 q， 那 你想一下，通过这个条件咱们能够判断出来啥？ 首先 q 是 由 p 旋转得到的，那 p 是 动点，那 q 一定也是动点，并且呢，哎，这个圈和圈什么关系？是不是也是一组等线呀？ ok， 那 么现在题目让我们去求 c q 这条边的最小值，那你来关注一下，对于这种一定移动线段求最值的话， 那我们首先是不是得去研究 q 的 轨迹？它是个啥东西？那要去研究 q 点轨迹的话，那你观察一下现在我们有啥条件？ 一个直角三角形以及 p d 垂直，并且等于我们的 q d 能想到啥？兄弟们，这个垂直加上这个圈和这个圈相等，你能想到啥？我们之前在脚那一张讲过的，告诉我们一条直线上孤零零的戳了一个直角，那这个直角可以咋玩？咱是不是就可以去给他构造三垂直？ 构造完三垂直之后，我是不是一定能够得到这俩三角形是全等或者相似关系？那如果他这个时候再告诉你这个圈和这个叉相等呢？ 那这不就全等了吗？那你看一下，那对于我们这块我们已经有这个圈和圈相等了，那这一个垂直，这还有个垂直，那现在怎么办？我是不是只需要过 q 再去做一个垂直？那现在一二三三个垂直，我倒角的互为关系，我是不是一定能够得到？这两个三角形是怎么样？ 是不全等的？那他俩全等之后，那你来看一下这块我们能够得到哪些信息？同步一下，那是不是就是 a d 这条边是四，咱就可以同步到 q h 这条边的长度是四了？那你现在判断出来 q h 这条边的长度是四之后 q 点轨迹有没有？ q h 是 啥？ q h 是 不是一条垂线？那你观察你屁，在动的过程当中，这条垂线它的距离始终是四，也就是说我们 q 到 ac 这条直线的距离是四，所以说 q 点的轨迹 是不就是跟我们 ac 平行，并且距离是四的这条直线，那这是不是就是我们 q 点的轨迹？那现在 q 点轨迹有了，求 c q 这条边的最小值，简不简单？ 什么时候最小？我们判断出来 q 点轨迹之后，现在 c q 什么时候最小？你看这是一个定点，这是一个动点，动点它的轨迹，哎，我们已经确定了是这条定直线，那现在要求 c q 这条边的最小值就是垂线段最短吗？ 是不是就是垂线段最短？那这条垂线段等于谁？是不是就等于我们 q h， 哎，就是四，所以说我们最后 c q 的 最小值是不是就是四？来看一下这道题，总结一下。首先我们拿到题目之后，他让我们去求 c q 的 最小值，那去研究 c q 的 最小值，我们是不是肯定要去搞定一下 q 点的轨迹？ 我们用啥搞的？我们首先是不是第一，哎？通过三垂直，我们得到了 q h 这条线段， 它是一条定长线段四。然后第二步，是不是通过定线定距离，哎，我判断出来 q 点的轨迹是直线，那第三步呢？第三步，我有了 q 点的轨迹之后，我去研究一个定点到一条定直线上，动点距离最直，那不就是咱的垂线段最短吗？对不对？把这个图再画一下， 一个定点到一条定直线上的动点距离求最值，是不就是咱的垂线段最短？ ok， 你 看一下，那这道题是不就一共三层结构？
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16:24查看AI文稿AI文稿欢迎回到初中几何辅助线系列，我们将用五十期视频系统讲解贯穿初中阶段的几何辅助线方法，从不知道怎么画到清楚该填哪条线。今天我们来到第三十四期，三角形宽成高， 那么面积这块呢，我们其实主要是讲两部分内容，一个是面积如何去算，以及面积如何去转化。 那么这两部分内容，首先第一部分内容，我们知道面积这块有个最基本的公式，就是 s 是 等于二分之一底乘高的，对吧？就是我们三角形的面积吧，那么当然我们在这块不去介绍这个面积啊，那这个东西太简单了，学校里面肯定大家都已经用的非常熟练了， 那我们这块主要是去介绍一些其他的面积有关的计算公式，那么这些公式呢，他可能学校他并不会提及到，但是啊，就是我们在一些压轴题当中啊，或者是在一些复杂题当中，他会有这方面的条件给到你，哎，那这个时候我们使用一些新的公式，或者是你有这个意识哎，你就可以判断出来 他告诉我们的这些条件，我们可以通过什么样的方式哎去得到我们想要的一个结果。好吧，那么接下来来看一下我们这块面积有关系的今天要介绍的三个公式。 那首先第一个呢，就是我们三角形的一个面积公式，就是水平宽成千锤高，我相信大家在学完函数之后，对于这个公式当然是一点都不陌生，对吧？我们像在坐标系内，最常见的就是在坐标系内，让我们去求一个 哎，三边都斜的三角形，就是形容这种三角形，哎，计算它的面积的时候，我们是不是就可以利用水平宽乘铅垂高来计算？ 当然还有另外两个就是我们三角形的另外一个面积计算公式，两边及其夹角。这个是我们在学完三角函数之后，哎，这块我们可以推得的一个衍生公式。那么当然还有第三个就是我们四边形的两对角线啊及夹角，利用它来去计算我们四边形的一个面积。那么首先来看第一个水平宽乘铅垂高， 那么这是啥意思呢？我们首先得对这个水平宽和铅锥高咱得给他一个定义，那么水平宽他指的是三角形内任意两点的水平距离，那你想他这块指的是任意两点的话，那咱这块是不是随便可以取两点哎，我就可以取 ab 两点， 那 ab 两点之间的水平距离指的是啥？水平就一定是横着的方向，对吧？水平方向，那么此时咱们是不是只需要看一下，我过 b 做一条竖线， 然后再过 a 做这条竖线的垂线，那么此时，哎这个距离是不就是 ab 这两个点之间的水平宽？那么铅垂高是啥意思呢？那铅垂高就指的是，哎，我们刚才找水平宽是不是已经用掉三角形内的两个点了， 那么宽他就指的是，哎第三点到对边或对边延长线上的数值距离。完整说一下，就是我们铅垂高，他指的是第三点到对边或对边延长线上的数值距离。 那数值距离来，大家思考一个问题啊，我们指的数值距离他应该指的是啥？他是不是应该是这条竖线呀？对吧？这才是数值距离的方向，有些小伙伴在我们找水平宽和铅垂高的时候，他往往绕不过来这个数值，哎，数值距离是啥意思？ 他总理解为说，那第三点到对边或对边延长线的数值距离，那我直接过 c 做条垂线，那这个东西他能是铅垂高吗？ 肯定不是嘛，他指的是啥？他指的是一个高或者是一个垂线，我们铅垂高，他一定指的是数值方向上的距离。 ok， 那 么这点我们一定要搞清楚，那搞清楚之后，那你看一下，那现在第三点 c， 哎，显然到我们对边的数值距离 它没有交点，那怎么办？那是不是就可以延长 a b 这条边？那延长完之后，哎，我们记这个点是 h 啊，那此时 c h 是 不是就是我们这个三角形它的铅垂钩，那么当然我们记这个点是 m， 那 a m 是 不是就是它的水平宽？ 那也就是说我们现在得到，哎，这个三角形 abc 的 面积，它是等于二分之一，乘以一个 a m， 再乘以一个 c h。 那 么首先我们了解这个公式之前，一定一定要先会找， 会找，一定得会找，你若不会找的话，那接下来所有东西都是空谈，对吧？所有东西都是空谈，一定要清楚。水平宽，它指的是任意两点之间的水平距离，我可以取 a b， 当然我是不是也可以取 b c， 没问题吧？找完水平宽之后，那么剩下那个点到对边或对边延长线的数值距离，记住一定是数值距离，那么这部分就称作它的铅垂高。那么接下来我们来看一下，那我们得到这个公式之后呢？这个公式它具体是怎么来的，咱是不得给他正一下？那证明的话， 还是一样围绕着我们这里面出现的两个线段， a m 和 c h 开始。那你观察一下 a m 和 c h， 你 觉得它俩谁看起来好像更有内容一点，更特殊一点， 是不是？显然是咱的 c h 嘛？你看 a m 这块，它不管是在我们这个三角形当中，还是在这个三角形还是这个三角形当中，它是不是都不能作为底或者是高出线呀？是不是只有咱的 c h， 你 感觉，哎，它好像可以作为我们这个三角形，可以作为它的底， 同时是不是也可以作为我们所求这个三角形 abc 的 底？哎，那找到底之后，那你想一下，我现在想要求这个 abc 的 面积，我就可以用。什么？我是不是就可以用割补法吗？ 我是不是可以用这个大三角形 hbc 的 面积减去这个小三角形 hac 的 面积，咱就得到了这个蓝色阴影三角形的面积。 当然你看一下这个小三角形，小黄色三角形 hac 跟大三角形 hbc， 他 俩是不是底都是我们的 ch？ ok， 那 这个时候来看一下，此时我们是不是得到三角形 abc， 哎，他的面积是等于大三角形 bhc 减去小三角形 ahc。 那 接下来我们之所以哎去看作是这两个三角形的面积差来表示咱的面积的话，是不是主要就是因为他俩有一个公共底，我把这个公共底给咱画出来。好吧， 那么有了公共底之后，那我们想要去表示面积的话，我是不是只需要做出来这条底上的高就可以了。那首先这个小三角形，哎，他的高，哎，我一做，我记为 h 一， 那么这个大三角形 b h c， 那 他的高，我是不是就可以这样做一条垂线？我记他是 h 二，那高有了，底有了，那这两个三角形他俩的面积咱是不是就可以表示了， 对不对？你看一下这个大三角形 bhc， 它的面积是不是就是二分之一乘以 hc， 再乘以个 h 二。再减去一个小三角形的面积就是二分之一乘以 hc， 再乘以个 h 一。 那咱们化简一下，就是二分之一乘以 hc， 把这个公式提出来，哎，括号里面变成 h 二减 h 一。 那你现在看一下我们这两个公式，它现在变成 h 二减 h 一。 那你现在看一下我们这两个公式，它现在变成 h 二减 h 一。 那你现在看一下我们这两个公式，它现在变成 a m， 哎，你这是一个 h 二减 h 一。 那你观察一下 h 二减 h 一， 是不是就是我们 am 这条横线的距离， 这是垂直，这是垂直的，那这显然是个啥句型吗？那句型对边相等，那 am 是 不是铁定等于 h 二减去 h 一？ 所以这块我们知道 h 二减 h 一， 它是等于 am 的， 那咱这个公式是不是就等于二分之一乘以 am， 再乘一个 h c， 就 证明完了？你看一下这个东西，它的证明过程其实就是两个思路。 那首先第一个思路就是我们无论再去搞什么样的面积算公式，它围绕的底层逻辑啊，它围绕的底层逻辑永远都是我们最基本的。 s 三角形等于二分之一乘以底， 再乘以高啊，你无论再怎么变，这个东西它永远是不变的，我们肯定要围绕着这个东西去出发。然后这块我们又用到了一个什么面积处理的思想来想一下，你看一下，我们要表示我们这个三角形 abc 的 面积用的啥？是不是用了大三角形的面积减去小三角形的面积？那 其实这是不是我们非常常用的一种面积处理，就是割补法，对吧？我们三角形可以去割补，不规则四边形也可以去割补。哎，任意这种多边形，咱们如果没有直接的面积公式去计算它的话，我们是不是通常都是使用割补法去处理的？ 或者是说在我们的坐标系当中，对吧？对于这种，哎，三边都斜或者四边都斜的四边行，那怎么处理？是不还是一样通过割补法去处理面积？那没有问题之后我们刚说了，对于我们水平宽成千锤高这个东西，我们第一 证明铁定是要会的，那么这个证明的过程就是你理解这个公式的过程。那会证以外，咱是不是还得会找呀？ 咱还得会找，那找的话，我们刚才说过，对于我们这个公式来说，任意两点之间的水平距离都可以作为我们的水平宽出现，那假如说我现在告诉你这个三角形，我想让你去找水平宽的话，可以找到几组。兄弟们， 我们是不是说了，任意两点之间的距离都可以作为我们的水平宽？那三个点我要找两个，两两组合的话可以找几个？我可以找 a 和 c， 我 也可以找 a 和 b， 那 同样我是不是也可以找 b 和 c？ 所以 我们任意一个三角形我都可以找到三组水平宽和前垂高， 哎，记住是三组。刚才我们在证明的时候，我们是不是取了 ab 作为水平宽，对吧？取了它俩作为水平宽，那这个时候如果我取 bc 这两点作为水平宽的话，来看一下它的宽应该多少？是不是我只需要过 c 做条竖线， 再过 b 做条垂线，那么此时 b m 是 不就是它的水平宽？ b m 是 不是它的水平宽？那铅垂高呢？ 还是要去想定义。铅垂高，它指的是第三点到对边或对边延长线的数值距离，一定记住是数值方向上的距离。所以那这个时候咱是不是只需要过 a 做一条竖线就行了？ 那做一条竖线的话，那刚好交 bc 于点 n， 那 么此时 an 是 不是就是它的铅垂高？ ok， 那 么再来找一下，那刚才 bc 找了， ab 也找了，那现在以 ac 为一组水平宽来找一下。那 ac 水平宽的话，我只需要过 c 做一条竖线，哎，再过 a 做这条竖线的垂线， 垂完之后呢？这个 m 是 不是就是它的水平宽？那铅垂高呢？铅垂高我是不是只需要过 b 做 ac 边的竖线？怎么做？ 我直接做一条竖线，我过 b 做一条竖线。那现在跟 a c 不 相交咋办？那不相交给他延长出去呗， 对不对？交对边或对边延长线的数值距离，那此时我记这个点是 n 的 话，那么 b n 这段是不是就是他的铅垂高？这个东西一定要自己下去练习一下啊？你就随便啊，就随便画一个三角形， 你随便画一个三角形，你现在就随便固定两点，你让他俩作为水平，宽的话，你去找一下前垂高，这个东西一定要自己练习。 ok， 那 么接下来来咱们一块做一道题来感受一下，好吧， ok， 兄弟们来一块看一下。 他现在告诉我们这有个边长是二的正方形的，拿到题目，哎，先去把这些已知给他标上，标完以后他告诉我们说，屁是内部的一个动点，那有动点信息是不也得标上？ 告诉我们说现在这个角 b p c， b p， c 是 九十度，然后直线呢？ e， f 是 过点 p 的， 那你想那 e， f 这两点是定点还是动点？ 是不是它俩铁定也是动点？那现在又告诉我们说，哎，过 p 做了 a、 d 边的垂线啊，垂足为 j， 现在让我们求里面这个阴影三角形 g， e， f 的 面积啊，求它的最小值。那我们想 题目，现在让我们计算这个三角形 e， f， g 面积的最小值的话，你首先要思考一个问题，如果这道题我们用常规的二分之一底层高去表示这个三角形的面积的话， 你会发现一个什么问题？兄弟们，现在 g 点它作为过屁向 a、 d 边做垂得到的垂足，那么 g 它一定也是一个动点，那就说我们现在要求的这个三角形面积最小值，它的三个端点都是动点， 那三边都动的情况下，你想要去找到一条底，然后再去找到这条底上的高，会出现一个什么情况？ 我的底它在动，同时呢？底在动的同时，那高是不是也在动呀？那所以两个变量的话，你想去处理它面积最小值，是不是显然感觉非常麻烦，这个东西要想到那，想到之后，那你再想一下，那如果我用底层高去表示它的面积表示不了，那可以怎么办？ 那你观察一下这个三角形还有什么特点？你看 e 和 f 虽然是两个动点，但是他俩的轨迹 a b 和 d c 咱是清楚的，那他俩在这组平行线上移动会导致啥？那是不会导致他俩之间的水平距离永远都是我们正方形的边长 是二，你看一下。哎，那现在我知道 e、 f 的 水平距离永远不变的话，那你能想到啥？那我是不是就可以利用我们刚才说过的 s 三角形等于二分之一乘以一个水平宽，再乘以一个铅垂高去表示它的面积了？那你看一下，那此时水平宽是一个定值，哎，我知道它等于二分之一乘二，那此时铅垂高是谁？ 铅垂高不就是第三点 g 到对边的数值距离，是不就是我们 gp 这条竖线的长度？宽有了，高有了，那咱是不是就等于二分之一乘以二，再乘以一个 gp？ 那你观察一下，那这个式子一旦列出来之后，我们现在想要去求这个三角形面积的最小值，其实转化成了去求谁，是不是转化成了去求这个线段这一 p 它的最小值了？我们看第一步是不是就利用了我们面积的公式转化了？问题， 那怎么想到的？是不？因为发现它的三边都在动，利用常规的底层高来去表示面积很麻烦，对吧？那这个时候我们发现它的两个端点，哎，水平距离是一个定值，所以想到利用水平宽成千锤高来去表示它的面积， ok， 那 么接下来我们就只需要研究那 g p 这个家伙，它什么时候最小，是不是就完事了？那你想，那研究 g p 的 话，我们得把目光放到哪，那谁旁边定量多，咱就去看哪呗，对不对？那显然屁这个东西，它旁边是不是有一个直角三角形？ 屁旁边是不是有一个直角三角形？那你观察一下这个直角三角形，你能发现它有啥特点吗？兄弟们，我们现在去研究 g p 的 最小值，咱目光是不是得看谁放到屁这个洞点上？ 那放这个洞点上，它旁边有一个直角三角形，你能发现什么？兄弟们，其实我们会发现这个直角三角形，它的斜边怎么样？它的斜边是不定长啊？ 来回想一下，我们讲过斜边定长的直角三角形，看到之后要想到什么斜边定长，咱是不是可以取斜中给它连接斜中，对不对？取斜中连接斜中之后，那么此时 pm 这条线段， 它是不就是一个定长线段？一，那这也是一，这也是一，那么现在连完之后，那你想一下，那我现在想要去研究 p g 的 最小值，那 g 作为一个动点，那我是不是就可以看一下 gp 加 pm 这两条线段什么时候和最小？ pm 是 一个定长线段，我想要去研究它的最小值，我是不是只需要看这个圈和这个叉，它俩和什么时候最小就完事了？ 那你告诉我啥时候最小？是不是垂线段最短嘛？是不是就是垂线段最短？那就当我们 m n 以及我们的 p 此时应该大致在这个位置啊？是不是当这三点共线的时候，哎，他们取得最小值，那此时肯定也是垂直情况嘛，对不对？因为过 p 做垂得到 j， 那 所以它们最小的时候是不是就是和为二？你看一下， 我们最后去研究它的最小值，是不是可以把它转化为，哎，我去求这一 p 加 pm， 这个和什么时候最小？那他们最小时候等于谁？是不就是大于等于我们的 n m， 那 n m 是 几？那不就是二吗？那所以这一 p 它的最小值应该是多少？是不就是一？因为我们 pm 是 一个，定值是一吗？ 那所以 g p 它最小值就是一，那它是一的话，那这个面积最小值是几？是不是给它带进去？这是一的话，那面积最小值也是一。结束。那么来看一下这道题，那这道题一共就两个步骤，首先第一步我们要去通过这个三角形的特点，哎，判断出来，这块可以利用水平宽和铅垂高来去表示面积， 从而转化我们的问题，对吧？从面积最小转化到啥？转化到求线段最小，那第二步，线段最小的话，那怎么办？那线段最小，我们这块是不是利用斜边定长，连斜中，然后连完斜中之后，哎，我们去求这个和线段的最小值，最后利用啥？ 可以利用共线，也可以说垂线段最短，哎，得到它的最小值之后，那么整个问题是不是就结束了？两层结构先转化，然后转化完问题之后去求一个线段最小值的话，那这块就是我们求线段最小值的一些方法。
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16:10查看AI文稿AI文稿首先，手拉手，一句话总结，两个等腰三角形，绕顶点旋转开，什么意思呢？你看， abc 就是 个等腰三角形， a、 d、 e 就是 个等腰三角形。 等腰三角形有一个特点，顶角相等，这个是阿尔法，这个是阿尔法，顶点重合， a 和 a 重合，绕顶点错开，那两等腰。写一下啊，两等腰就是 a、 d、 e， a， d 等于 a、 e， 这是个等腰。第二个 a， b 等于 a， c， 这是 b， 这是 a， 这是 a。 ok， 第二个 a、 b 等于 a、 c， 这第一句话啊，两个等腰，第二句话，顶角相等， 这个是阿尔法，这个也是阿尔法喽，那第三个，第三个阿尔法等于阿尔法，对不对？好，就是这三步啊，这就是手拉手的 底层逻辑，底层底层的图形，至于这个图形咱怎么玩，有什么结论？我们一个个来看啊。你看，那么这两个三角形错开以后，我们的第一步居然是手拉手， 第一步我们就是把手拉起来呀，记住六个字叫做左手拉左手，右手拉右手，什么意思呢？你看这个三角形 a、 d、 e， 我 们这么想象啊，把这个三角形这么放下来呢？如果把它旋转放下来，和这个三角形一样，放到水平的位置放下来， 那么这个三角形放下来以后，左边这边呢，就应该是 e， 这个点对不对？看明白啊，那么大三角形 abc 左边就是 b 这个点喽，对不对？就把 b 和 e 相连，哎。再来，右边 abc， 右边是 c 点喽，这个三角形右边就是 d 点，对不对？连接 dc。 好， 把这个连接以后，咱们自己观察。你看，由于 a、 d 这个边是等于 a、 e 的， 这个没有问题。再来， a、 b 是 等于 a、 c 的， 这个也没问题。再来，这个角呢，中间这个公共的角假如是被他吧，这个大角呢，就应该等于这个大角都等于阿尔法加中间公共这个角，能明白吗？ 看明白啊，好，那此时此刻，三角形 a、 d、 c 就 应该全等于 a、 e、 b， 对 不对？我给大家写一下啊，这就全等太重要了，三角形 a、 d、 c 全等于三角形 a、 e、 b。 原因就是因为第一个小 a 等于小 a， 对 不对？小 a 等于小 a， a 等于 a， 第二个中间这个大角呢？夹这个大角是就是阿尔法加上贝塔，对吧？阿尔法加上贝塔等于这个阿尔法加这个贝塔，这个大角对不对啊？ e， a、 b 还等于 a、 c 咯，小 b 等于小 b， 哎，这应该是 s a、 s 全等边角边对不对？好，记住啊，手拉手永远是边角边，左边拉左边，右边拉右边，加上中间这个夹角。好，这对全等出现以后有什么意思呢？我们一起来看一下啊。 那这两条红色的边相交的交点与这个屁点好看一看有什么结论？第一个， 它就是这两个或前等嘛，那 a、 b、 e 和 a、 c、 d 就是 我写这写这两个三角形，它的标的顺序不一样，对不对？好，再来第二个结论，角 b、 p、 c 等于角 b， a、 c。 我 给大家画一下啊， 这个三角形呢？哎，这是三角形， 全等于这个货，那，那没有任何问题，对不对？好，第二个结论，角 b、 p、 c 等于角 b， a、 c， 角 b， p、 c 这个角呢？等于角 b， a、 c 等于 r 法。 哎，怎么证呢？我们证明一下啊，非常简单，你看，由于这两个货 a、 b、 e 全等于 a、 c、 d 嘛，那么这个角呢？ 假，这个角是角一喽，就等于这个角一，对不对？没有任何问题。再来，这个对顶角角二等于角二嘛，对不对？好在这个八字里面， a、 b， p c 这个八字里面对顶角相等，角一等于角一，这个角就应该等于这个角等于阿尔法了，对不对？ 想明白啊，阿尔法就出来了嘛，阿尔法出来以后，再来第三个结论， pa 平分 bpd。 好， 我把它擦一下啊，这个擦掉了， 好看啊，什么意思呢？这个焦点左边拉左边，右边拉右边的焦点，这个 p 点 连接这个旋转中心顶点的交点连接 pa， 这条线是平分角 b p d 的， 也就是这个角呢，这个角应该等于这个角加，这是角三，这是角三。好了，大概证明一下啊，怎么证明呢？你看，我就过 a 点做 d、 c 的 垂线喽， 哎，这里垂直，这是 m。 再来过 a 点做 b， e 的 垂线，这里垂直呢，哎，这是 m， 哎，这是 n。 好了，我做了以后， a m 就 应该等于 a n， 喏，对不对？好观察啊，为什么？因为 a、 d、 c 这个三角形和 a e、 b 全等嘛？全等。那么 b， e 上面的高 a a n 和 d c 上面的高 a、 m 应该相等，对不对？没有任何问题。 那相等以后，那这两个货自然就相等了吗？对不对？此时此刻 ap 就 应该是角 dpb 的 角平分线吗？对不对？给大家学一下啊。推出来 pa 平分角 bpd， 哎，这个时候就能推出这个结论，对不对？ 那看明白啊，现在是角平分线定的逆向运用，就是一条边上到角两边的距离相等，那么这条边 p a 应该是平分这个角的。能理解好 这三个结论不是我们今天要讲的重点啊，但是我把这个给你们介绍一下，你们在看这个视频的时候把这个记住，如果考的时候他考的比较深，他会考。后面两个结论就是 b、 e 和 d、 c， 他的夹角是个定角 r 法， 就是左边拉左边，右边拉右边这两条，这两条边的夹角是个 r 法，你想一想，这个 a、 d、 e 是 在动，对不对？这个三角形旋转嘛？他动的过程中， 这两条边左边拉左边，右边拉右边，中间这个加角阿尔法居然是一个定角，就等于这个等腰三角形的顶角阿尔法，对不对？哎，你说老头如果想把这个题考完，他考不考这个点，他一定会考， 但如果他不想为难你们，考的很简单，那就只会考前面这一对全等啊。今天我们这个课程全部是围绕着前面这一对全等来做俯卧撑线，就是左边拉左边，右边拉右边，拉了以后，三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 c、 d。 我 们接下来慢慢感受啊。这一对全等变化的包括这两个结论呢， 咱们刚刚在在看的时候也看出来了，全部是通过这些的全等推出来，对不对？好，有了这个逻辑以后，我们往下看，老头会怎么出题，会怎么样做辅助线， 记住了。关于手拉手做辅助线，记住一个字，这个字特别重要，这个字是贯穿我们整个初中几何做辅助线的底层逻辑思维，叫做不？ 哎，什么意思？补什么叫补？缺什么咱就补什么，一个个来看啊。比如说这个图呢？ abc 这个图 a、 d、 e， 那 题目会这么给 ab 等于 a、 c， 说明三角形 b， a、 c 是 个等腰三角形，对不对？再来再给题目说， a， d 等于 a e， 哎，说明三角形 d， a、 e 也是个等腰三角形，对不对？再给 第三个说，角 b， a、 c 等于角 d， a e， 哎，这两个货相等阿尔法等于这个阿尔法，对不对？ 哎，只要看到这个，应该条件反射，就是两个顶角相等的等腰三角形，绕这个顶点重合，然后错开了，对不对？只要出现这个货啊，条件反射，手拉手，左边拉左边拉，右边，一个个来看喽，你看，我给大家画一下啊， 哎，这个三角形对不对？等腰三角形，好，再来和这个等腰三角形呢？手拉手了，看到没有？ 顶点重合好，这个时候我们做辅助线的逻辑就是把左边和左边拉起来，右边和右边拉起来，去玩了一对全等， ok， 很 明显 b、 d， 那 这条边已经连了，左边已经连了，我连右边，我应该把 c、 e 连起来，哎，这一条辅助线就是我们要画的， 画完以后画这个辅助线不是我们的目的，我们的目的是为了去玩这一对全等，对不对？它很明显，这两个它也全等喽，把它看出来啊，给大家写一下，它就是三角形 a， b、 d 全等于三角形， 三角形 a， c， e， 对 不对？那第一个 ab 等于 a c 喽， ab 等于 a c， 再来 ad 等于 a e， a d 等于 a e， 好， 再来，中间这个角呢？这个角 b， a、 d 应该等于 c a， e， 对 不对？都等于中间这个，这个大角呢？这个大角减去公共的这一部分，对不对？因为 b， a、 c 是 等于 d a e 了，对不对？好，我这里这么写啊，都等于角， b、 a、 c 减去夹这个大角是背它 好，减去被它等于角， d、 a、 e 减去被它。没有问题啊，因为 b、 a、 c 等于 d， a、 e。 好， 我为什么要这么写呢？就是为了方便你们理解，你们在做题的时候，在考试上面不能这么写啊，你要写具体的角度，我这么写是为了方便你们在看这个视频的时候，能够图形化，图形和思维连起来。 ok， 这第一个 再来。还有时候老头出题，他会稍微变一变，比如说这个图呢，还是一样两个等腰三角形， a、 b、 c 是 等腰三角形， a、 d、 e 是 等腰三角形，而且它们的顶角相等，那这个阿尔法等于这个阿尔法。你看 a、 b 等于 a、 c 等于三角形，第二个， a、 d 等于 a、 e 等于三角形，对不对？ a、 d、 e。 好， 再来第三个角， b、 a、 c 这个角等于角， d、 a、 e 等腰三角形的顶角相等。 哎，出现这个货，咱就应该想到手拉手嘛，左边拉左边，右边拉右边嘛，对不对？连一下喽，你看这个时候 b 和 d 左边没有连，右边 c 和 e 也没有连，那这个时候我就应该把两边同时连了， ok， 能理解啊，连嘛，那就是连接 b、 d 连接 c、 e 喽。哎，连了以后，三角形就应该是 b， a、 d 全等于 c， a、 e， 对 不对？我们在写这个三角形的时候，读的时候最好以这个顶点开始啊，就是 a、 b、 d 全等于 a、 c、 e。 好 吧，这个我就不写了啊， 不写具体的，就得全等于三角形， a、 c、 e， 这个我不写啊，你们自己补一下。好，有了这个逻辑以后，我们再看一下常见的和手拉手结合的会有哪些题目？ 我们一个个来感受啊！说如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 中 ab 等于高号六，哎，这个或是高号六。再来， bc， 这个边是一角， abc， 哎，这个角是三十。 再来，分别以 a、 b、 a、 c 为边，向右边做等边三角形 a、 b、 b 撇和 a、 c、 c 一 撇。好了，那说明 a、 b、 d 撇，这个是等边三角形，对不对？这个是六十喽，对不对？这个也是六十， 这个也是六十，这个就不画了。再来， b、 b 撇，应该也是根号六，对不对？ ab 撇也是根号六，对不对？再来， a、 c、 c 撇也是等腰直角三角形，也是等边三角形，这个就是六十，这个也是六十。 好，再来，题目要我们求 bc 一 撇的长度， bc 一 撇这个货的长度好了，特别有意思啊！这个题就稍微灵活了一丢丢，你看他没有直接给两个等腰三角形，他以这种方式，以两条边向右边做了两个等边三角形 a、 b、 b 一 撇和 a、 c、 c 一 撇。很明显，此时此刻就是手拉手，对不对？你看 a、 b、 b 一 撇和 a、 c、 c 一 撇手拉手。看出来啊！第一步，三角形 a、 b、 b 一 撇与三角形 a、 c、 c 一 撇手拉手， 因为他们都是等边，对不对？他满足两个等腰三角形，顶点重合绕，顶点错开。满足这三个条件，当然就是手拉手。而且在广场， 此时此刻 bc 左边呢，已经连了，我应该条件反射连右右边，对不对？ c 一 撇， b 一 撇相连。 好想明白这个细节点啊，我就应该把 b 撇、 c 撇相连，我是这么操作的，你看我这条浮直线底层逻辑非常丝滑，我没有硬推吧，对不对？ 想明白这个细节，好，连了以后要干嘛？左边拉左边，右边拉右边，连了以后永远都是去去玩。这一对全等对不对？好，哪个三角形应该全等的？那就应该是 abc 和 a b 撇 c 撇喽，对不对？好，写一下啊。 嗯，这个边角是 a， 这边也是 a， 对 不对？等边三角形吧。好，这个角 r 法应该等于这个角 r 法对不对？都等于六十度，减去这个角， ok， 好， 就是三角形 abc 全等于三角形 a， b 一 撇， c 一 撇。好， s a s。 这个我就不写了啊，为什么？你们自己你们自己在写时要补一下，我写一下吧还是。第一个是根号六等于根号六， 这两个边相等对不对？再来，阿尔法等于阿尔法，这两个角相等 a 等于 a。 好 了，全等以后有什么用呢？全等永远都是去转化边转化角吗？你看，非常明显，这里给了一个三十度，好了，把这个三十度转移过来， 哎，特别有意思。这第一个再来 bc， 这个边等于一转移过来， b 一 撇， c 一 撇，这个边就应该是一对应边，对不对？好，这个三十，这个是六十，这个后是九十呀， 看出来啊。哎，这个后是九十，这个边是一 bb， 一 撇是根号六，要求 bc 一 撇， 一目了然，太清晰了对不对？各五丁里，根号七结束了，非常清晰啊， 这每一步是怎么推出来？想明白这地方我给大家写一下，我为什么要正正这一对全等怎么用的？第一个是 b 一 撇， c 一 撇，等于 bc 等于一，这个用了对不对？再来，这是转化边，转化角角 a， b 一 撇， c 一 撇，这个角呢？等于这个角 abc 角 a、 b、 c 等于三十。好了，把这个后转过来以后推出来，这个是九十吗？这个边已知刚好六，这个边是一个五乘以三，这个边刚好七，结束了。好，那这个题。
92武汉波哥数学
03:36查看AI文稿AI文稿初中几何一共有七十四个常见的模型和辅助线，而这里的绊脚模型它既在全等当中应用，又在旋转当中考察，又在我们正方形性质当中出现，所以它出现的频率太高了。今天我一个视频再带大家复习一下我们绊脚模型解析的 宗旨，那我这里只把绊脚模型相关的题型就都能秒出答案了。 那有关于咱们初中几何必会的这些模型辅助线，我都给大家梳理出来了，如果咱们孩子做到复杂压轴题，还没有思路，做不出辅助线的，一定要打印出来啊，咱们逐个模型的配合着老师的讲解来去学习好不好？ 下面咱们就来一起看一下这道题。已知 a、 b、 c、 d 为正方形角， f、 d、 e 等于四十五度。来，下面呢，我们有了正方形的直角，有了四十五度，那在九十度当中包含了一个四十五度的角，这个我们就叫做半角。 后期呢，我们还会研究到一百二十度当中包含六十度，这也叫绊脚。那无论是哪一类绊脚模型，咱们解析的本质永远都有一个哎，我们用一个技巧就可以解决这类题了，我们叫做拼好角的方式， 哎，大家都完成过拼好饭是不是？拼好饭系统对不对？今天我们用拼好角系统来解决这种题， 什么意思啊？就是你看九十度当中含一个四十五度，剩下这俩角我标上小叉和小圈，你就会发现小叉和小圈相加，永远都等于四十五度， 哎，这也是四十五度，他俩拼在一起也是四十五度，你有没有一种冲动想把他俩拼在一起，拼好角，拼成新的四十五度角，所以这种题解题的思路就有了。我们其实可以把哎，这里的这个大的三角形怎么样？ 哎，旋转到这里，这个时候你会发现两个小叉，哎，一个小叉，一个小圈，这个时候不就拼在一起拼成一个四十五度角了吗？ 那有一些初一的孩子说，我没学旋转，那这里怎么做呀？那你用截长补短的思路就行了，这不是九十度吗？你延长出来这一段，让他和谁相等啊？和这一段相等，你也是可以证明这两条边和这条边相等，看没看见， 所以在这里面我们就实现了通过全等三角形把角度进行转移，小叉挪到这，和小圈拼成好朋友。四十五度角，原本有一个四十五度角，两个四十五度角出现了，它是相等的角， 中间又有一堵公共的墙，叫做公共边，所以这里有一边有一角来，只要再找一个条件，就能正全等了。又有一组新的三角形，而这个条件在哪呢？ 是不就在这啊？这两个三角形全等，所以这里面蓝色的这个 f、 e、 d 和这边的三角形，假设是 m a、 e、 d， 它俩就是全等的喽。那两个三角形全等，我们就有对应的边角关系啦，对不对？哎，那剩下的这些边角关系就可以为我们后续的证明提供更多有利的条件了。 那这就是绊脚模型。总结一下，核心就是利用拼好角。你说旋转全等也好，截长补短正全等，构造全等也好，我们只要把它拼到一起，就能构造出二次全等的三角形，为我们后续的证明提供更多的条件，那你学会了吗？
417依依老师初中数学
01:11查看AI文稿AI文稿全等三角形这个章节太重要了，它是我们整个初中几何的基础，那全等三角形对应的判定定理一共就有五大类，分别是什么呢？边边、边角、边角边角、角角边和 h l。 这个呢是我们在初中阶段非常啊重要，且需要大家熟练掌握的一部分内容。那有了判定定律，那接下来就是判定定律高级应用了，我们该解一些压轴题，怎么解呢？那这就需要我们孩子有一种思想，叫做几何模型的思想。 那有关于初中几何全等这里的模型辅助线一共就有十大类，分别是什么呢？北长中线法、 截长补短法、一线三垂直三等角模型、手拉手模型、半角模型考旋转、 对角互补模型考延长以及角平分线的四大名辅。那有关于全等三角形这十大模型辅助线，老师啊都给大家做了一个针对性的梳理，每一类题型的方法技巧都总结出来了， 如果孩子还没有答题思维，哎，大题、压轴题没有思路，不会做辅助线，证明题写不清楚，答题过程一定要打印出来，带着孩子逐个去刷透。
4173依依老师初中数学
