矿体垂直纵投影图绘制方法

同学们大家好，今天给大家严谨地剖析直三棱锥 s、 a、 b、 c 它的投影规律。首先咱们进行精准地界定它的形体。 s、 a 是 一条铅垂线， 垂直于底面 a、 b、 c， 其为水平面，其中 a、 b 和 b、 c 为水平线 a、 c 我 们这里界定为侧垂线， s、 a 和 a、 c 共同构成的面， s、 a、 c 是 正平面。 接下来，我们会按照先 一般规律再到特殊位置时来分析线面垂直的投影规律。 嗯，首先我们先重申一下线面垂直的投影规律，若一条直线垂直，若一条直线垂直，一个平面在平面内若存在着投影面平行线，或者说这条直线本身是投影面垂直线时， 线面垂直直接表现为同面投影的相互垂直。在我们这样个三成锥中， s、 a 垂直于底面 a、 b、 c， 也就意味着 s、 a 垂直底面上的 a、 b、 b、 c、 a、 c 三条直线 在投影中，在投影，在投影中垂直规律是否表现，还需要结合线各条线及各个平面的位数性来判断。 我们先说水平，我们先说水底面， a、 b、 c 作为水平面时的投影特性。 a、 b、 c 是 水平面，所以它的水平投影反映实形。在正面和侧面投影平行于 o、 x 轴， 且是一条水平线段。 a、 s 是 一条铅垂线，它的水平投影积聚成一个点，和底面的水平投影 的点 a 重合，而 a、 b 和 b、 c 四条水平线，它们是 h 面的投影面平行线，所以此时线面垂直的投影规律直接成立。在 s、 a 的 正面投影和侧面投影均四条竖线， a、 b、 c 的 正面投影和侧面投影分别和构成的直角三角形 分别垂直，直接反映了直接反映了一般投影面垂直线和投影面平行线 垂直时同面投影相互垂直的投影规律。我们再看特殊情况， 特殊线面， a c 是 条侧垂线， s a c 是 一个正极面， a c 在 侧面上积聚成一个点，在水平投影、正面投影和水平投影上平行于投影轴，且反映时长。 s a c 是 一个正平面，在正面上反映实形，在另外两个面上积聚成直线线段。因为 s a 是 条铅垂线，那么它必然决定了 s a 是 垂直于 a c 的。 在侧面投影上， s a 的 投影和积聚成条竖线， a c 积聚 a c 的 投影积聚成一个点，直接反映了 线面垂直的投影规律。在正面上，因为 s a c 是 一个正平面，反映实形直接有 s a 和 a c 垂直， 这就体现了特殊位置直线和特殊位置平面，他们能够简化投影分析。 所以说这个是一遍过的，就讲成这样吧，感谢收听啊，谢谢大家！

同学们好，这节课我们来学习实习一的内容，这一个模型呢，在上个视频中我们已经讲过了，所以我们直接从这个模型开始上来呢，就是一个对大家来说可能会比较难以理解的一个模型，因为它这个图片画的有点抽象，大家没有看到实物的话，可能觉得难以想象， 但是没关系的，在真正的十级课中呢，你手里会有一个真实的模型，到时候你一看模型就明白了，这模型呢，其实这个这也是个特别特别著名的一个特别常考的一个单行，在第五章怎么讲？单行的时候会讲到他这个叫做菱形十二面体， 那么在一年的考试中呢，也经常考，但是他是以其他角度出题的，还是依然说像我之前所说的那样，和这个第三章的知识点呢，关联不大，他是在后面的知识点与之关联，然后经常出题。好了，我们题外化，省时，我们开始看这个怎么画啊？ 我先给大家拆解一下这个图形它到底长什么样子？首先这个图形呢，它是有四个，四个这样子竖直的面，也就说这个面，还有还有两个面，其实它们是四个竖直的直立的面，也就是分别对应着。 呃，我在观测的时候这样观测，就是你在观测的时候，你首先看它的，你，你怎么拿它呀？我是这么拿的，就是你人在这里，你面对的是这个面，然后咱们从这个面开始看啊， 依然是从中心，然后呢怎么做呢？怎么做这个极速视频投影呢？是从中心做垂直于这条面的直线，然后呢再交交于投影球上，有一点依然是这个，就是在赤道上的点了， 然后赤道上咱们规定的是算上半球的点，所以呢，上半球的点咱们要找 n 和 s， 谁离它远啊？ s 离它远，因此两点之间连一直线，看在机缘上。我，那也再换个机缘吧。 呃，我这个绿色的假装它是基圆，然后 在基圆上两点之间连直线，大家看基圆就在这里有一焦点，其实这个就画在这里了，因为是上半球的点，所以我们要画成一个圈圈，那么这个面我们就画好了，然后我们看这个面，这个面它在右手边，对吗？我们人现在站这里，然后这是右手边，依然是从中心 连一条直线，垂直于这个面。交于投影球上，有一点找 n 和 s， 谁离太远？ s 离太远。为什么 s 离太远？ 上节课我讲过了，这个是规定的，在赤道上这一圈上的这样的投影点，在 n 和 s 之中，把这个赤道上的点按上面球的点来算，所以说 s 离太远，然后呢？ s 离太远，然后两点之间连直线，会在投影球上有那么一个交点，就是这个点所本身。因此我们直接在这里画画一个圈圈， 那么相应的在这个点的后面，它还对应着一个点，对应着一个面，在这个点的这边也对应着一个面，我们相应的就可以画出来。 然后接下来看这两个面啊，我先擦一部分，这样大家看的会更加清晰一些。然后这两个面啊，它其实是倾斜的，也就是说面对我们的时候，这里是有一个面，然后它是这样子，嗯，倾斜过去的。好吧，我画的还不如这个图片呢， 就是他是这样有有角度的倾斜，所以说这两个面是倾斜的，那么倾斜的面依然是从从这个中心啊，中心就是这个整个立方体啊，不是立方体形，菱形十二面体最中心，然后引一条直线做垂直于这个面， 然后交投影球，有这么一个点， n 和 s， 谁离这个远与谁离这个点远啊？ s 离这个点远。然后呢，我们要从 s 点出发，这样连直线， 大家记得吗？谁是机缘？绿色的圈圈是机缘，机缘内的平片是平面，我们看这个线与机缘内的平面交着这么一个点， 所以呢，我们就可以顺理成章地画出一个圈圈了。然后呢？哎，还会小窍门啊， 呃，首先大家看，大家一定要记住啊，他这个和这个他并不是在一条线上的，如果在一条线的话，这个面应该再往左偏偏一点，才是和这个面在一条线，而才在他的右手边，因此我们这个圈圈就不能画在这个位置上，而是要画在这个位置上，这个正确的位置， 我们就画一个圈。然后大家这个时候有个小窍门啊，就是它上下眼的面是对称的，对称的面的话，它最终投影出来会在机缘上的同一个点。然后这种时刻我们要怎么画来着？我们要画成一个圈圈加一个点，这是一个小窍门。我给大家回忆一下上节课的内容， 上节课的课间上面也写的很清楚，看在这里我有有说道说，若上半球和下半球的同轴点位置恰好重合，则用书上是这么表示，所以我在举例的时候也是这么表示的， 因此这里是这样。然后呢，在这个的右边依然是与它有一定的 倾斜啊，它并不是这个面和这个面，它不是在一条线上的，所以说最后我们画出来的圈呢，也是在这个位置上，依然是你看啊，从中心，从这个零七十二面体的中心，一条线垂直于这里， 然后交机缘上，加上啊交交投影球上会有一个投影点，投影球我就没有换了，要不然太乱了，这个画面大家可以想象一下。大家知道什么是投影球吗？我给大家回忆一下，嗯，像这种，像这个大球，立体大球就是投影球。 好，然后呢，依然是 n 和 s， 谁离太远？ s 离太远，好，两点之间连线， 最终你看他在这里交了，交了一个点，依然是什么呀？他上面和下面的面是对称的，所以说是圈圈和点。然后这边在咱们看不到这个图片上没有展现的那边依然有相应的，只是对称面，依然有相应的，只是对称的两个面， 所以说我就这样画出来了。可能这个图片大家看的很抽象，因为这个模型的话，现实生活中可能没怎么见过，但是没关系的，在你等你上课之后，你就能看到真实的模型，到时候你就会豁然大悟，一会发现哦，这个其实是很简单的。 然后咱们来看这个模型，这个模型大家应该是见到过的，大家都见过一样，生活中这叫好画， 刚才那个卧室，其实这些你也可以通过这个规律，大家还记得上集和咱们讲过那个规律吗？就是你在做这个十几亿的时候，你可以通过这个规律，那什么水水平的面，它晃在机缘中心，直立的面在机缘上，倾斜的面在机缘内，可以辅助你，辅助你来画这个图， 看啊，水瓶的面在机缘的中线，如果我一利用刚才的规律，我就直接就把这个面，这面是水瓶的，这里面还有个面画不太好 啊，底下还有个面，里头这两个面都是水平的，水平面在接触线，而且只要你发现他在上下对称的话，那么他你到时候画的时候，如果有两个面他是上下对称摆放的，那你画就画成这个样子就可以，因为他们势必会在机缘的同一个点出现，也就是重合，上半球和下半球位置重合， 这里是机缘中心，我画的可能没有完美的画在这个圆圈的中心，但是实际上应该是中心啊，画的稍微偏了一点点，画歪了，然后这次我我人站在这里， 我是这么观测，然后直立的面没有规律上是怎么说呢？直立的面在机缘上，咱们这次这个模型利用规律来做，大家可能会记得更简单，直立的面就会画在机缘上， 看这个是不是直立的面，直立的面在机缘上，也就是依旧是从中心，从这个中心连连出一个直线，我再画一个机缘 在机缘上连出来了，然后，然后依然是赤道上面，按上面去算，然后呢？上面球的点，我们按圈圈来画，这里也是从中心连到 这，基本上其实就一个六边形啊，这其实就是一个六边形，我现在画一个俯视图啊，我现在这个视角，我的眼睛在这里， 我的眼睛眼睛在这里，让俯视他伸出个六边形，让这从基圆中间，让每一个每一个每一个每一个每一个每一个你都会射，射在投影球的那个基圆上，有那么好多个点，这些点就是我们要画 同音点嘛，对吗？只有同音点本身，其实最后就是我们要的那个吃品头，那个急速吃品头型点，像这种执意的面，你画出来的那个同音点本身的位置，其实就是我们最后想要的急速吃品头型点的位置，因此看这里圈圈， 哦，这里的圈圈，然后这个圈圈就是这个面，然后这里再倾斜，倾斜的面，这个也是倾斜的面，倾斜啊， 看倾斜的面会是这里，这里，这样子我们就画完了，利用这个规律，是不是大家就觉得很简单了？ 好，这个面，这个这个图形大家也见过，这个是倾斜的面了，那么我再咱们再次利用规律啊，再次给咱们回到规律，那一看，这里倾斜的面在机缘内， 那依然是很简单啊，这个呢，我就我就站在这里画，这次，这次我的我人是面对的这个面啊， 人站在这里来观测，你选一个位置观测嘛，对吗？因为你站在这里画，和你站在这里画就会画出来的这个图是不一样的。那么有同学可能会问说，那我的要站在哪里画呢？这个你到后面会学一个，就是会学到那个什么对称啊，对称形啊，然后他会有一个什么定向原则，到时候你就知道到底要怎么定向， 现在就先先这样随意的来嘛，因为你还没有学到那一步，我是站在这里画，依然这个面是正对着我们的， 然后倾斜的面是在看看，你看这个面它上下对称的，所谓上下对称的话，是以中间的机缘分开，然后它上下对称，对吗？所以说到时候咱们画的时候上下对称的面，你画的时候先画一个圈圈，加一个点就可以了。 所以说咱们只要搞定其中一个灭的位置，就自然而然知道另一个灭的位置，因为他们在机缘上是在同河的， 然后他是正对着我们，我们正对着这里，然后要画在机缘内啊，因为刚才咱们贵队长说了呀，倾斜的灭在机缘内，所以我们直接这样子画一个圈圈，一个点就可以了。 他的背后还有一面，他们是不是在同一条直线上？你看现在咱们都站在同一条直线上，你看这两面，咱们搞定后面两个面，你就往后走两步嘛，对吗？往后走两步，注意不要画在机缘上，否则就变成竖直的面。这边呢，在咱们右手边，基本上他们就成了一个 四十度角的关系，这样这个方向有两个面，这我现在依然。我这样画的话，依然是俯视啊，眼睛在这里看， 嗯，这样子竖直下去有两个面，这里竖直下去有两个面，这里竖直下去有两个面，这里竖下去有两面。因此我们分别是这样画，因为你看这四个啊，对，八个面，他们成的是一个九十度关系，这样就画好了，很简单，很简单，我们就画好了。 然后这个呢，依然是如此啊，首先我们先画简单的，谁最简单？我个人截的是水平的面最简单，因为它就在机缘中心，机缘中心就是这个圆的心啊，规向上说了，这个水平的面就在机缘中心，这有一水平的面，这里面还有一，但是 它是那样对称的，当然这个图没有展现出来啊，这里是凸出来的，大家会看这个图吗？啊，这里是往外凸的，知道了这个模型，然后这里也是有倾斜的。这样 啊，先画这里，咱们先画水平的面，水平的面在机缘中心，因为上面有阴面，下面有阴面，二者是上下对称的，所以我们直接画一个尖尖加一个点， 然后接下来呢，我们来画这个竖直立的面，因为我觉得除了水平的面以外，就直立的面比较好画了，他在机缘上嘛，就这个在那个虚线上。 我们看啊，先画最简单的这个面和这边的阴面，他肯定和咱们。哦，我忘说了，咱们人这次是站在面对的这里，我们的人是站在这里观测。哦， 你看在咱们的右手边和咱们这个来的和面向咱们的外，基本上成九十度，对吗？右手边有这么一个竖直的面， 左手面还有一个竖直立的面，然后呢，这个也是直立的，这是稍微倾斜一点的直立。嗯，虽然说啊，他对于他面对着咱们是倾斜的直立，但此倾斜非彼倾斜，这个倾斜是指他垂直水平面的斜， 也就是说这个面是垂直于他，依然是垂直于水平面。水平机缘的，这个不能叫做倾斜的面，他依然是叫做直立的面。我只是想说他摆放的时候和咱们的横面向咱们的方向有一定的斜交角度罢了，而这个就不行了，你看这个，他是这个面整个是往下偏的， 然后呢，他和他和这个机缘，他不是，他是有一定角度关系的，因此这个是倾斜的面，倾斜的面按照规律来讲是在机缘内，而这个算直立的面，按照规律来讲呢，是在机缘上。好，咱们左边、右边、左手边、右手边分别有一个，因此我就这样画， 这里也是在他的后面对称的方向依然是这里有一个后，他后面对称的方向和他是和他前面是一样的，到时候大家见到实物模型就知道了，然后对称的画一下就可以了， 然后咱们来搞定这个倾斜面。同学们可能说，哎，不是说对称的面直接画一个圈圈加一个点就可以了吗？那为什么这里不是一个圈圈加一个点呢？因为我说的对称啊，是指上半球和下半球 这样的一个面的上半圈，一个面的下半圈，这样子有那么一个对称，那么我们我们才在基圆上画一个圈圈加一个点，可是你看这里它是前后对称，都不是一个意思啊，还不是什么球，它不是上下对称，它是前后对称，所以说不符合我说的一个规律。哦，好，咱们先来画这个倾斜的面哈， 这个倾斜的面依然是，呃，找中心，然后这次我就没有用规律了，我用那个最原始的方法给大家演绎啊，找中心，然后做垂直于这个面的一条直线，交于基圆上有一个点， 然后 n 和 s 谁离太远， s 离太远，二者之间连直线，然后出了一个这样的一个 点，依然是上下，它上下是对称的，所以说下面这个点和这个点是一样的，也就是说上下对称的点，上下对称的两个面，我们可以画一个圈圈加一个点，以此我们再称画一个圈圈，加一个点， 然后背面它背面和这个图形的背面和这个正面是完全一样的，你在背面的话，你翻过来还会看到这样，因为这样子上下对称的一个尖尖面，因此我们是依然是画一个尖尖加一个点，最终我们就得到了答案了。 然后我们来看这个图啊，这个图大家应该可以看出来，我这是一个他这里前面这一些面都是在向前向前突出的，然后这里呢是有一个尖角弧度的，上面这个面依然呢咱们先从最简单的开始画， 我看看，我喜我喜欢，先找有没有水平的面啊，没有水平的面，那咱们找直立的面，直立的面好看，因为他就画在机缘上啊，这次我人选择站在这里，我现我现在站在这里来观测看正对着我就有一个， 有一个直立的面，我们先画一个圈圈，它背面这个图形也和刚才那个是一个意思，就是你前半部分和后半部分它长的是一样的，只不过这个图上没有呈现， 然后前面有一面，后面还有一个跟这一样的面，我们再画一个圈圈，然后在我们的我喜欢先画，我喜欢先这样子九十度方位的找面，然后再这样找，我就这样标有规律，我喜欢这么找，所以说咱们现在找完了， 我这个识字啊，依然是俯视啊，俯视，这是我的人眼，我依然是这样俯视的在看，然后我人在这站在这里的时候呢，就是上下俯视的看嘛，然后我找左右两边 a， 这里有一个面，与它对应的，这里还有一个面，所以说左右咱们再画一个圈圈， 然后看还有哪里有直立的面，这里有一个直立的面，这里有一直立的面，这里有一直立的面，这里有一个直立面，也就说在这个面和这个面之间，我们再画两个圈圈就可以，大家知道这个面，嗯，我这样涂一下， 就是在这个面和这个面，这两个面对应的，就是这个位置和这个位置之中，我们再画，再画这样两个圈圈，就像这两个还有两个圈，因为两个指力的念嘛，也就说在他们俩之间再画两个圈，就是在他们俩之间画两个圈， 然后这里也是，这里也是一样，同样画两个圈，然后这里也是一样，同样画两个圈，然后这里也是一样，同样照抄就可以 念是两圈，两圈，两圈。然后这个难点就来了，这个倾斜的念，大家看啊，他这个实物图形，如果你见到你会发现他其实是不是上下对称的，因为你再从我看，我不知道我这样画能不能画出来那种感觉 啊？从中心做垂直于这个的线，然后将画垂直于这个面，做垂直于这个面，交于投影球上一个投影点，然后 n 和 s， 谁离它远， s 离它远，然后这样子， 嗯，在投影球上就连出来了这么一个点，然后下面的面呢？它是那个样子的，就是你在下面画下面这个面的时候，你见到实物你可能就会更加的理解了，你下面它的下面这个面和上面这个面，它并不是一个出格的，它是另外一种角度的， 所以说你到时候划出来你又会发现是那样，他是这样子做这个垂直于下面那个面的那个线，然后再找出做叫出一个图形点，然后因为它是下半球的点啊，所以 n 和 s 谁离他远？ n 离他远，然后两者之间连线，连线之后呢，他就会在后面 这样交出来一个点，因此因此什么下半球的点，它是交在后面，我们画这样的一个点点，而上半球的这个点呢？还交在偏前一点， 等等你们上十七课上拿到模型可能会感觉更加直观一些。然后这个面也是同理啊，和右边那个面是同理的，画法也是完全一样，所以说我们直接复制 复制，复制右边的画法就可以，所以说它是有一定对称的，但是这个唯一的特殊之处就是它上下和下面两边它不是对称， 见到实物的话你可能会更好的理解。然后接下来咱们又迎来了一个，这个虽然看起来很多面，但其实很好画。首先咱们找水平的面，我喜欢先找水平的面，这样水平的面在界面中心有，而且上下对称，我们直接画一个很简单，一个圈圈加一个点，然后接下来，我不，我人站在这里看啊，这个 好，咱们接下来看啊，面对直立的面，直立的面咱们前方后方就有一个，所以说先画前面这个吧，前面有一个，哦，对了，我是正其实在看这个图的时候是这样子，我人站在这个位置， 然后后面还有一个面，然后接下来找左右，我喜欢先这样找，就是我喜欢先找出这四个方位的，然后再找其他的， 然后看右边是不是有一个直立的面啊？有，再画一个圈圈，然后左边是不是有一个直立的面啊？有，再画一个圈圈，然后呢？这倾斜还有一个直立的面，也就是说在这个和这个之间，他有这么一个面，画在后面之间，就可以每两个之间就有这么一个倾斜的面，像这里也是倾斜的面，然后背面依然是这样， 所以说我们去再画一圈圈，然后接下来我们要画这个倾斜的面啊，倾斜的面的机缘内啊，先画这里，这个面和这个面，它是上下对称，所以说我们画的是一个均匀加一个点。 呃，我，我建立一个坐标系好了，我突然想起来，我可以建立一个坐标系，这样大家看也会很直观，这样子，数学里那 x y z 坐标系 x y z， 这也是 x y， 这样子是不就就显显显 yeah 了？然后我画的这个图的话也是这样，哎，我，我发现我这样建一个坐标系的人很简单，这个后面会写会讲的，这个是理想原则，那一张你会，你会学到这个其实。 好，我们刚才也讲到啊，哦，讲到这里了，看啊，在这个 x 轴方向，你看这两个面，它是上下对称的，然后呢，所以我们就画一个圈圈加一个点，因为它是倾斜的面，倾斜的面要画在基圆内，所以我们这样子在 x 轴方向 画画这个，然后它后面还有与之对称嘛。嗯，我先画前半部分好，因为它 这半部分和后半是一样的，所以我先画前面部分，好让你看在右边。依然，我每次都是喜欢找不论倾斜的面还是直立的面位，我依然喜欢找找完 x 轴找外轴的这样子方向，因为这样很规整，末节的。然后咱们看外轴，外轴这里是不是有一个 外轴，这条线是不是一个上下对称的面，而且它是倾斜的，倾斜的面呢？位于机缘内，所以说我们在这里画一个圈圈，加一个点，然后它的它的左边也是如此，依然是如此啊， 但这个图上没有呈现，这个图上没有呈现到它的对称的这一面，然后在这个和这个 x 和 y 方向之间，它又有一个倾斜的面，因此我们在 x 和 y 之间再画一个倾斜的面，也就是再画一个圈圈和一个点，看这个面，甚至和这个面它在数值范围上是不是在 一个一条线上，其中你在画的位，注意一下，这样画就是他们在，哎，一条线上，这里也是啊，这里我先来画这个，这个就画在这个位置，然后后面，后面的话和前面是完全一样的，你去直接复制前半部分这样子的画法，因为后面和前面是长得一样的。 当然我我这个拿鼠标画的不太好，画的有点歪了，这个是完美的画 好。接下来又来了一个比较猎奇的图形啊，这个图形大家也应该没有见过，首先这个面它是，它是长成这个样子，它这个是倾斜的，并且呢，它这个上面不是仅仅这两个面倾斜，它是一个，它是有三个面在倾斜啊，我看我这样画，大家能感觉到它有三个面， 嗯，这一个面，这一个面，这一个面，我这个姓应该这样画， 好吧，我还画不出来了，反正大家就知道这里有一个面，这里有个面，然后他后面还有一个面，他们三个三足鼎立，弄，弄成了一个锥形，类似于那种感觉。脚上有三个面，下面也是有三个面，然后他三个面，我来一个俯视图，我现在急需一个俯视图 看啊。嗯，他不说这里有一个面，这里有硬面，这里有一个硬面，这三个都是倾斜，但是到下面和上面又不对称了，要么我怎么说这个头更加的列齐了呢？但下面你要从这里看，你要从底下看的时候呢，他就变成了，嗯，他就变成了这个，前面是一个面，然后后面是两个面，这立体了， 我依然是人站在这里，也就是说从上面看的时候，靠近我们人这个方向，这是有两个面倾斜的，而下面呢，就只有一个倾斜的面，而在我们对面有两个倾斜。所以说我说这个图更猎奇了。不过没关系啊，咱们继续看啊，依然是有水平的面吗？没有，全场没有水平的面。那我们来看竖直的面啊，直立的面， 这是直立的名依然。我给大家画一个 x y z 坐标吧，我相信上次很帮助大家理解。嗯，其实这种啊，这种图的话，好像不应该建那个 x y x y z， 这应该是建那个，他就是建那个 x y u， 但是反正无所谓了，先这么画着， 这个其实应该画那个 x y u 图的 x y u 坐标轴到定向原则的时候，大家会讲的 这个，其实这个图不适合画 x y g， 没有。嗯，但是现在大家也不知道 x y x y u， 就是 你这样 y u， 然后它每一个都是一百二十度，所以说这种这种图形好像应该是那么纤细的，算了，无所谓了，开始看吧。嗯，首先啊，大家看面，对于咱们这个这个面有一个直立的面，对吗？直立的面要画在基圆上画一个圈圈，它背面还有一。 然后呢，它也咱们的我这个，我这个画的是 x y z 吧， x y， 因为这个大家比较好接受一些，它这个直接是在这个棱上面出去了， 就是在这个位置，它并不是在这个面上穿出去的，所以说这个面其实是在 x y 之间加的 x y 之间，因此我们在 x 这个是 y 方向，这是 x x y 之间有这么一个面，直立的面如果在这里画一个圈，右边也是正面，也是 x y 之间画一个圈。然后呢后面 三个面和前面这三个是完全的对应着的，因此呢是这样画 好的。同学们，我再次来强调一下这个土摊到底有哪里特殊之处？因为我们刚才已经把六个直立的面都给它画完了，接下来我们要画一个倾斜的面，倾斜的面就是直立啊，不是，就是特殊之处所在了，大家看啊，我们人站在这里观测， 然后离咱们最近的上面，他是有三个面长成这个样子，只是一个俯视头，也就是说离人最近的话，上面是有两个面， 而下面呢只有一个面对着我们，而那两个面呢跑到对面去了。所以这个也是我说的他独特之处所在，正是因为他上下成一种颠倒的关系，因此他这六个面上下一共六个面，他是完全完全的不上下对称的，所以我们没有办法把它划成一个圈圈加一个点点的形式， 我们必须得单独画出这六个面，我们先画上面的，好吧？再看啊，距离我们最近呢有两个面，看这上面的图，距离我们最近有两个面，因此他在上半球，上半球的点我们要画成圈圈。所以说呢， 还有一个窍门，就是你看这个面和谁是在一个数值线上呢？他和这个面是不是在一个数值线上呢？对吗？因为他们在一个数值线上，所以你画的时候在这个圆上呈现的也是在一个线上， 知道吗？因此我们在一个线上画一个圈，在这里又画了一个圈，然后他背面那个面呢，其实是对应着就是背面竖直的这个面和这个，就是说这个面和他背面竖直的这个面是在一条直线上，因此他是这样子 在一条直线上，所以说这里画一个圈，我们现在把上面画好，我们先来画下面，先看这个面，这面他和前面的这个竖直的面在一条竖线上，因此我们在画的时候呢， 这是前面那个数值的面，对吗？我们是画这个点的时候呢，因为他在下半球吗？下半球的点，下半球的点我们要画成实心的点，然后接下来画对面，也就是这两个， 其实重复上就是这两个的动作也是一样的，看这个的话大概在后面的一个位置，然后他也是和和这个面是在一条竖线上的，因此我们在这里画了一个实心的圈圈。 而在而这个面呢，它是和后面有一个直立的面，和它在一条线上，也就是说这个面后面的直立的面和它在一条直线上这样画，因此这里画一个实心的圈， 那么这样子呢？我们就画完了，也就画出了这个标准答案。看最后呈现出来的也是这样三个，这种空心的圈代表着上面这三个面，它也是一一对， 而这三个实心的里代表着下半球的三个面，刚好和他们三个的摆放方式是一样的，一个是让正三角，一个是倒三角，所以说我们就画完了这张图片。

同学们好，这节课我们来讲解关于极设视屏投影规律中的平面的相应规律，也是我们上个视频中没有讲完的一部分内容。 原本我是想把这部分的内容和实习二进行一起的讲解，但是后来我发现实习二胎涉及到了对称要素的内容，所以说实习二到时候我再讲完第四张的对称要素之后再一起讲。 那咱们来看啊，上节课咱们剩的这个小尾巴极设视频投影规律中，我们上节课学习了关于发现的内容，然后咱们这节课来学习一下关于平面它是怎么样进行直设 极设视频投影的。首先咱们来看啊，与赤平面平行的平面，那么就是与机缘重合。首先我来给大家解释一下，什么叫做与赤平面平行的平面，大家还记得什么是赤平面吗？我们来回忆一下。这里大家说的很清楚，机缘内的水平面称为赤平面， 也就是说这里是赤平面，这里是赤平面，与赤平面平行的平。与这个赤平面平行的平面，其实就是水平的面嘛， 其实跟上面这个水平基面一个意思啊，与尺平面平行的面，然后他说以与基圆重合。大家还记得什么是基圆吗？我上节课很多次强调，咱们再重复一下，基圆是指通过投影球球心的水平面与投影球球面相交的基线类基圆也就是 这个线才是机缘，而这个线之内的平面是赤平面，这个蓝色的线才是机缘。因此咱们看第一条规定，他说与赤平面平行的平面就是与机缘重合，那么也就是说水平的面，你在画的时候与机缘重合，那怎么呈现出来与机缘重合呢？ 到时候你会有这样的一个虚线，你只需要把这个虚线给它描实，就证明这是一个与赤平面平行的面了。当然我这个画歪了，同学们到时候描的时候要描得好一点。 接下来咱们看第二条规律，垂直于赤平面的平面，其实这个垂直于赤平面的平面就是直立的经念嘛，就直立的面，然后他说什么画成既圆的直径， 也就是画成几圆的直径，这个测虚线代表几圆，它的直径，大家会画一个圆的直径吧，这样画不就直径吗？我随便画都是直径，当然我话说有点歪了，它这三条线应该交于圆心一点，我这画的有点歪， 那么到底是怎么画的？以这个为 d 啊，就是这样的一个直立的面。大家看啊，假设这里有这么一个直立的面，其实它和刚才上节课讲的那个那个法线的技术是不是也非常像？你看这样的一面依然是从一个点，然后呢，你对它进行每一处，每一处、 每一处，这样一个一个一个的进行连线，最终你会发现在这个机缘上它会呈现成这样的一个竖线，最终你会发现在这个机缘上势必会呈现成一个竖线。 也就是说上节课我们学习的是某一个点，在 n 和 s 之中选一个圆观点，然后进行连线，然后在机缘上交于一个点，这次我们变成了一个面，这面上有很多点，因此很多点在机缘上，这样连续的交于机缘，最终成了一条线，因此我们再画成就画成线， 像这种直立的面，你看他是这个方向直立，倘若他是这样，这个方向直立呢？就是假如说这样的一个方向的一个直立的面 长成这样，那我们画的时候呢，依然是他和看他和机缘交交出一条线，直接这条线就是我们所需要的。可能这上面画的有点乱啊，我给大家在旁边单独画一下，这个呢是机缘。 然后咱们有这样竖直立的一个面啊，直立的一个面，直立的面和机缘，它是怎么交的？它是不是，它是不是这样交交交，再交出来一条竖直线，同理，我们在这样子书上给你的一个虚线中，你就只需要画这样子一个线就行了， 是不是很简单？然后接下来咱们看第三条规律啊，与赤平面斜交的平面要画成圆弧，那么同时要注意圆弧的弦为赤平面的直径。大家知道什么是圆弧的弦吗？假如说这样子是一个圆弧， 那么我绿色的部分就是弦，那么在这个图上就很好的呈现了。你看啊，它这个就是一个倾斜的面， 像倾斜的面依然是 n 和，因为你看这个面，它这个这一部分，它交于同球，都是在上半球，对吗？上半球我们看 n 和 s， s 离这个上半球更远，因此我们同于 s 这个远观点出发，依然是连连连连。最终呢，再与机缘相交，因为这个面是倾斜的，最终交出来的效果就是一个有弧度的 圆弧了。如果这个面是直立的，那再交出来就是一个直径，那么在那个虚线里，我们要这么画， 大概画成这个样子，大家画成这个样子，大家看啊，这圆弧弦的话就是连接这个弧两边嘛，你看它刚好就是直径，就是这个机缘的直径，也是符合我们这三条规律的。 可能大家听完我讲之后觉得还是有点迷茫，但是没关系，咱们结合实力的话就会感觉很清晰。后面我会有一个视频， 专门的给大家解析一下这个平面的即时视频投影究竟是怎么回事，就是结合实习二的例子进行讲解，可能现在单纯的听理论没有进行实践的话，大家会觉得有点抽象，那也没有关系。然后这一张呢，还有一个第四节即时视频投影网和第五节无尔夫网， 因为它在考试中基本上是不会出现的，然后咱们从考试的角度来看，因为它不会出现，也不怎么考，所以呢我们就不讲了。

大家好，呃，今天我们讲可变轮廓洗策略里面的垂直于驱动体和朝向驱动体。首先我们先看垂直于驱动体，这里我们选择部件驱动方法，我们选择曲面区域，这里我们选择呃外侧这个片体作为我们的一个驱动导轨，这里我们材料反侧啊，不用管它， 因为他不论是在外侧还是内侧，包括我们这个刀具，他是对中还是相切都没有关系，这里我们直接选择默认不变，然后我们点击确定，这里我们生成导轨，这里看到我们的一个道路就投影在了部件的最外侧，然后我们接着看下面一个， 这里我们什么都不变的情况下，我们只切换了一个曲面区域的驱动体，这里我们的驱动体选择里面这个片体做我们的一个驱动导轨，其他我们还是不变，我们这个材料方向我们还是不管他啊，无所谓。然后这里对中相切都没关系，然后我们还直接生成道路，这里看到我们的导轨依旧是投影在了部件的最外侧， 由此就可以得出一个结论，我们的垂直于驱动体的话，他的导轨始终投影在你部件的最外侧。 好，这个是我们的一个垂直驱动体，下面我们讲朝向驱动体。好，其他我们都是默认不变的。一个情况下，我们这里只切换了一个朝向驱动体，然后我们的驱动体是中间这个，呃，片体是我们的一个驱动导轨，然后我们的朝向驱动体的话，就跟我们这个材料反侧有关系了。呃，当我们的一个箭头的话 是在内侧，然后我们的多轨会向外投影，当我们的箭头在外侧的话，我们的刀具会向内进行一个投影，跟我们这个刀具位置是没关系的，我们的刀具不管是对中还是相切都没关系，就跟我们的一个材料方向有关系。我们看到我们的箭头是在外侧，我们的刀轨应该是向内进行投影，这里我们生成刀轨。 好，这样我看我们的刀轨就在内侧了，然后我们直接把这里，我看到我们的刀轨在向外投影， 然后我们再看一下我们这个刀具位置，其实它是没关系的，比如说我们切换对中啊，我们依旧是在在外侧，然后我们向内投影。好， 这里看到我们那个刀具的对中和镶切，它都是不影响的，这就是我们的一个朝向驱动体啊，我们朝向驱动体多一个后退距离， 当我们的安全范围小于十的话，他的刀轨是生成的，当我们的退刀距离呃在十的范围施展不开的时候，那他的那个刀轨就会投调，就会投影到部件的最外侧，这里我们呃切换成一百个毫米，我们这里看一下 啊，这里看到我们的刀轨就投影在最外侧了，然后我们切回原来我们刀具版本的时候，我们生成看一下，我们可以测一下啊，这个大概量一下，大概在二十多，那我们要在二十一范围以内，他的刀轨都是 可以生成的，是有效的。那我们这里可以设置个十九，然后我们直接生成他是可以的，那我们我们这里给他呃，多给一点，给个三十，呃，这样我们的导轨就投影在最外侧了。好，今天我们就垂直驱动型、朝阳驱动型讲到这里。好，下个视频我们会对刀轴进行一个讲解。好，谢谢大家。

今天分享三 d 三点投影图，选择 c 列绘图，三 d 三 d 三点图生成基础图，双击图形，弹出窗口， 单机 layer。 一、 平面选项卡 x、 y 位置选择在等于的位置百分比零，再勾选下面的 x、 y 位置在等于的位置百分比负一点五、 再点击原始数据垂直选项卡，勾选平行于 z 轴线条选项卡，勾选连接三点应用，再把其他三个投影都勾选了。 z x 投影和 y、 z 投影都是一样的操作，平行于 z 轴和连接三点。我们再双击坐标轴，网格选项卡， x、 y 轴都取消显示显示选项卡方向改成全部都在轴平面内，这样三 d 三点投影图就做完了。这种图我们写出稿的时候就可以插入进去， 这个超好用的辅助工具，能帮大学生快速完成初稿，不管什么类型的图片都可以一键插入进去，效果就完全不一样了。格式规范，逻辑清晰，样式美观，导师看了眼前一亮！

演示的是八 k 六十多屏保四乘一，可以看到背部连接了四路 hdmi 输出和一路 d p 输入。本次测试环境采用四乘一垂直拼接模式。通过 web 进入控制界面，我们可以看到当前的配置界面。 在系统设置中，我们将行列设定为四乘一，此时总输入分辨率达到了超高清的三千八百四十乘八千六百四十。在 windows 系统中，显示器被识别为 b t、 s x 桌面模式和活动信号分辨率均为三千八百四十乘八千六百四十 at 六十赫兹。查看单台显示器端的信号， hdmi 输入分辨率为标准的三千八百四十乘两千一百六十 at 六十赫兹。 设置完成，四台四 k 显示器完美拼接，呈现出完整的八 k 级纵向超高清画面。

像一个投影面的投影式图，怎样看懂机械制图？像 v 面投影就看这个 l 型带斜面的立体，直接上干货往正立面。 v 面投影就是把所有点线面垂直投到这个平面上， 前面的斜面会变成直线，后面的直角轮廓直接显出来，看得见的话，实线 被挡住的部分不用画。记住，投影只看形状，不管深度，所有竖直线投影还是竖直线，水平线投影还是水平线， 就这么简单。机械制图入门第一步，看完直接能画！赶紧收藏，下次画图再也不蒙！关注机械讲堂，每天学真技术！

各位同学大家好，今天我们学习三式图。 本讲的学习目标是，一、绘画直楞柱圆柱圆追求的三式图。 二、能判断简单物体的式图，并会根据式图描述简单几何体发展空间观念。三、了解式图在现实生活中的应用，提高应用意识。 同学们，你还记得什么是正投影，即正投影的规律吗？ 我们把平行投影中投影线垂直于投影面所产生的投影叫做正投影。请你说说，下面的投影中哪一个是正投影呢？对，最后一个是正投影。 正投影的规律是，当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状大小完全相同。 当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个示图。示图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。 对于同一物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同。 你能说出下面三个视图分别是从什么方向观察时得到的吗？ 没错，它们分别是当将书直立时，从书的正面、左面和上面观察而得到的仕途。 我们知道，单一的矢图通常只能反映物体的一个方面的形状。在生产实践中，为了全面的反映物体的形状，往往采用多个矢图来反映同一物体不同方面的形状。 本章中我们只讨论三矢图。 我们用三个互相垂直的面作为投影面，其中正对着我们的平面叫做正面，下方的平面叫做水平面，右边的平面叫做侧面。 对于一个物体，例如长方体正对着物体看物体左右之间的水平距离是物体的长，前后之间的水平距离是物体的宽， 上下之间的竖直距离是物体的高。 将这个物体在三个投影面内进行正投影，在正面得到的由前向后观察的示图叫做主示图。 在侧面内得到的由左向右观察物体的示图叫做左示图。 在水平面内得到的由上向下观察的物体的式图叫做俯视图。 三式图中，主视图与俯视图可以表示同一个物体的长， 主视图与左视图可以表示同一个物体的高。左视图与俯视图可以表示同一个物体的宽，因此三个视图的大小是相互联系的。 画三士图时，三个士图都要放在正确的位置，并且注意主士图与俯士图的长对正。主士图与左士图的高平齐， 左士图与俯士图的宽相等。 请同学们按下暂停键，你可以把三式图的对应规律记在你的笔记上，然后再继续学习。 下面看例一、画出基本几何体的三式图， 注意，画图时看得见的轮廓线画成实线。因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线。 请你按下暂停键，试着画出这些几何体的三式图， 你画完了吗？请一起来看一看。一、圆柱的三式图， 注意三式图的对应规律。 二、正三棱柱的三式图，注意，看不见的轮廓线画成虚线。 三、球体的三式图 你都画对了吗？画这些基本几何体的三式图的具体方法是，先要确定主式图的位置，画出主式图 之后，在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正。在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等。 为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在式图中加画点画线表示对称轴。 下面我们试着画组合体的三式图，请按下暂停键。画出三式图后继续学习 画组合体。三式图要遵循的法则，一、位置方面，一般先画主式图，再把左式图画在主式图的右面，把俯视图画在主式图的下面。 二、大小方面，长对、正、高、平、齐、宽相等。三、画出的构成组合体的各个部分的仕途也要注意长对正、高、平、齐、宽相等，注意组合处轮廓线的变化。 前面我们学习的都是游物画图，下面请同学们有图想物，即看三式图，试着还原立体图形，请看例三， 不难看出，图一中从三个方向看，立体图形是矩形，可以想象这个立体图形是长方体 图二中从正面和侧面看，立体图形是图，都是等腰三角形。从上面看是图是圆，可以想象出这个立体图形是圆锥。 下面试着根据三式图描述物体的形状。由主式图可知， 物体正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看到物体有两个面的式图是矩形，它们的交线是条棱， 可见到另有两条棱用虚线表示的被遮住。由左式图可知，物体左侧两个面的式图是矩形，它们的交线是一条可见的棱。综上物体的形状是正五棱 柱。将三式图还原成实物图，我们可以从哪些方面考虑呢？ 一、通过式图分析几何体是简单几何体还是组合体。二、联系三个式图，分析该几何体的各基本部分的形状，如左式图与左式图都是三角形的，一般为锥体。 三、弄清楚图上各图像的意义，是轮廓线还是轮廓线的投影。四、注意图中的虚线和实线。五、将画出的实物图和三式图对照检查。 第四，根据下面三式图，请画出粉笔盒的实物图，并说出实物图中长、宽高的尺寸。 请你按下暂停键，完成例题后继续学习。 不难得到长为二百，宽为一百，高为五十，你做对了吗？进而你能求出这个粉笔盒的表面积和容积吗？请你刻下。完成 这节课，我们认识了三式图，知道了三式图的对应规律，并学会了如何画三式图和如何由三式图想立体图形。这些知识你都学会了吗？ 你可以通过完成课后作业来巩固一下今天我们所学的知识。好，同学们再见！

教你一天学会 r t k 全部操作，测量放线，一个人就能搞定！就是这份 r t k 培训教程，图文结合，讲解详细，附带 r t k 动画演示，跟着步骤一步一步学，分分钟拿捏 r t k 测量新手必备！

今天来教大家这种主图模板怎么做，用这张场景图来做案例，先画一个矩形，颜色填充绿色， 用钢笔工具添加一个锚点，再用直接选择工具来移动我们的路径， 再画一个长方形， 再画一个圆角矩形，圆角像素 给我们的矩形再添加个投影， 接下来是打上我们的文字， 可以给我们的价格添加点投影来突出我们的价格。 再复制一条矩形到我们的左上方快捷键， ctrl 加 t， 选择垂直翻转， 再复制一个颜色，改为白色， 最后写上我们的店铺名字， 这样一张主图就完成了。点赞加关注哦！

两直线在空间的相对位置分为平行、相交、交叉和垂直四种情况， 其中垂直是相交和交叉的特例。那么，如何判断两直线垂直？两直线垂直有什么投影特点？ 两直线之间的夹角可以为锐角、钝角、直角。一般情况下，投影不反映两直线夹角的真实大小。 如果一个角不变形地反映在某一投影面上，那么这个角的两边平行于该投影面。 但是，对于直角，只要有一边平行于某一投影面，则该直角在该投影面上的投影仍然是直角。如画面中图一所示，空间两直线 a、 b 和 a c 相互垂直， 其中直线 a、 c 平行于 h 面，则这两条直线在 h 面上的投影 ab 和 a c 互相垂直。 证明如下，因为 a、 c 平行于 h 面， a a 垂直于 h 面，所以 a a 垂直于 a c。 由于 a、 c 同时垂直 a b 和 a a， 故 a、 c 必须垂直 a b 和 a a 所决定的平面 a b b a。 又因为 a c 平行于 a c， 即 a c 也垂直于平面 a b b a， 所以 a c 垂直于 a、 b。 反之，如果两直线在某一投影面上的投影互相垂直，而且其中有一条直线平行于该投影面，则这两直线在空间一定互相垂直。下面我们讲解几道例题 例一过点 c 做直线 cd， 使之与直线 ab 平行，并使 ab 比 cd 等于三比二。 分析，要使 cd 平行于 ab， c 撇， d 撇平行于 a 撇、 b 撇即可。 要使 ab 比 cd 等于三比二，则应根据定比性，先在 ab 上取一点 e， 使 a e 比 e b 等于三比二，再取 cd 等于 a e 即可。 作图方法一过 c 和 c 撇分别作 c、 l 平行于 a、 b、 c 撇、 l 撇平行于 a 撇、 b 撇。 二、过 a 做任意直线，在此直线上截取三等分。等分点为一、二、三、 三连 b 三过二做 e。 二平行于 b。 三交 a、 b 于 e， 求出 e 撇。四、在 c、 l 上取 c、 d 等于 a、 e 在 c 撇、 l 撇上取 c 撇、 d 撇等于 a 撇 e 立二、 作一条水平线 m、 n 与直线 a、 b 和 c、 d 相交，且距水平投影面 h 的 距离为 i。 见图三 分析，所求直线 m、 n 是 一条距水平投影面 h 的 距离为 i 的 水平线， 所以它的正面投影 m 撇儿、 n 撇儿平行于 o、 x 轴，并相距为 i。 它与已知直线的同面投影的焦点为 m 撇儿和 n 撇儿。 在 c、 d 和 ab 上分别做出水平投影 m 和 n 连线，即为所求的水平线。作图方法 一，在正面投影图上距离 o x 轴 i 做 o、 x 轴的平行线分别与 a 片、 b 片和 c 片、 d 片交于 n 片和 m 片。 二、过 n 撇和 m 撇做 o、 x 轴的垂线，分别交 a、 b 与 n 交 c、 d 与 m。 三连接 n、 m 即为所求的水平线。 例三，如图四作式过 a 点作直线 a、 b 与水平线 c、 d 相交。垂直 分析，已知 a、 b 垂直于 c、 d， 其中 c、 d 平行于 h 面， 故其水平投影 a、 b 垂直于 c、 d。 由此即可确认 a、 b 的 水平投影 a、 b， 进而即可求得 a、 b 的 正面投影 a 撇、 b。 作图方法， 一，过 a 做 cd 的 垂线，与 cd 相交于 b。 二、 过 b 做 o、 x 轴的垂线，与 c 片、 d 片相交于 b 片，连接 b 片 a 片，即得 ab 的 正面投影 a 片、 b 片。 例四，已知矩形 a、 b、 c、 d 的 一边平行于 h 面。根据图五所给的投影补全矩形的两面投影 分析因矩形的两邻边 a、 b 垂直于 a、 c， 又知 a、 b 平行于 h 面，故 a、 b 垂直于 ac， 又因矩形的对边互相平行，所以 ab 平行于 cd， a 撇 b 撇平行于 c 撇 d 撇 a、 c 平行于 b， d、 a 撇、 c 撇平行于 b 撇、 d 撇句子可补全该矩形的两面投影。 作图方法，一过 a 做 ab 的 垂线，过 c 片做 o、 x 轴的垂线，这两条直线的交点即为点 c 的 水平投影 c。 二过 b 和 c 分 别做 a、 c 和 ab 的 平行线，这两直线的交点即为点 d 的 水平投影 d。 三过 b 片和 c 片，分别做 a 片、 c 片和 a 片、 b 片的平行线，这两条直线的交点即为点 d 的 正面投影 d 片 四边形 a 片、 b 片、 c 片、 d 片和 abcd 即为矩形 abcd 的 两面投影。 请思考，两直线互相垂直，在什么情况下，他们有一个投影反映垂直两直线互相垂直的投影特点是什么？

好，同学们，今天我们看一下投影的这个问题，投影的话是我们向量这一部分很重要的一个知识点。好，我们先对投影知识点进行一个复习，你比如说这是一个 a 向量，这是一个 b 向量，我一定要把 a 向量和 b 向量给他放到同一个起点上， 然后的话， a 在 b 上的投影只需要过 a 的 末端向 b 做一个垂直，这一部分就是叫做 a 在 b 上的一个投影。 如果说 a 和 b 的 夹角是一个塞它的话，这部分投影的话是不是就等于 a 的 模乘以个口塞？塞零比斜等于口塞。好，接下来我们看一下这道题， 这道题是这么说的， a 的 模是个三， b 的 模是个二等三。好，重点来了，他们俩互相垂直，让我去求 b 在 a 上的一个投影，根据公式， b 在 a 上的投影是不是等于个 b 的 模乘以口塞？塞它吧。好，同学们，想想哪个地方可能会出现口塞， 是不是 a 乘 b？ 所以 说我一定要构造出来 a 乘 b， 怎么去构造这个东西啊？它俩其实是不是说明 a 乘一个 a 加个 b 是 不是等于个零？而把它一展开，是不是就等于个 a 方加个 a 乘个 b， 这样的话是不是就有个 ab 了，对吧？好，然后的话， a 方是不是等于个 a 魔方？ a 乘 b 是 不是等于个 a 魔乘一个 b 魔乘以它俩的夹角的口塞 c 啊？等于零。我们求的是不是就是个 b 乘以口塞 c 呢？接下来把 a 魔往里带， a 魔的话是个三，往里带是个九， 对吧？然后是不是加上个三倍的 b 模乘以一个 cosine theta 等于零，我们会解出来， b 模乘以一个 cosine， theta 等于一个负三。好，那这道题最终的答案就是一个负三，同学们学会了没有？

圆柱三投影如何看懂圆柱的三面投影？看这个圆柱轴线垂直，水平面直接上干货水平面投影是个圆，和上下底面一模一样，侧面全聚在这个圆上。 正立面投影变成矩形，左右边是最左最右数线，高度就是圆柱高。 侧立面投影也是矩形，和正立面一样大，只是换成最前最后素线。 记住口诀，一圆两矩形，长对正高平齐宽相等。机械制图再也不蒙，赶紧收藏，考试画图直接用！关注机械讲堂，每天学真技术！

正等轴侧投影是当投射方向 s 垂直于轴侧投影面 p 时，形体上三个坐标轴的轴向变形系数相等，即三个坐标轴与 p 面倾角相等， 此时在 p 面上所得的投影称为正等轴侧投影，简称正等侧。 那么，如何画平面立体的正等轴侧图？画平面立体的正等轴侧图有什么方法？ 由于三坐标轴与轴侧投影面的倾角不同，其轴向伸缩系数 p、 q、 r 值及轴尖角也随之变化，可有无数种情形。 本着既要立体感强，又要容易化的原则，最常用的是正等轴侧图，即 p 等于 q 等于二， 当 p 等于 q 等于二时，三坐标轴与轴侧投影面夹角相等。如画面中所示， p 等于 q 等于二等于零点八二、角 x 一 o 一 y 一 等于角 y 一 o 一 z 一 等于角 x 一 o 一 z 一 等于一百二十度。由于正等轴测投影的 x 一 轴和 y 一 轴与水平线的夹角都是三十度， 因此可直接用丁字尺和三角板作图显示图 b。 为使作图更加简变，将各轴向伸缩系数减化为一，即 p 等于 q 等于二等于一， 这样就可以直接按正投影图测量作图。这种用简化技术画出的正等轴侧投影比实际轴侧投影要大，轴向放大比例为一点二，二比一。接下来就为大家介绍平面立体正等轴侧图的画法。 一、坐标法先根据形体上各点的坐标画出点的轴侧投影，再连接轮廓线。下面我们来看一道例题，已知三棱锥的投影图，画出三棱锥的正等轴侧图。 分析，在图中对形体引入坐标系 o 杠 x y、 z， 这样就确定了三棱锥各顶点的坐标，如顶点 a 的 坐标是 x a y a o 一 顶点 s 的 坐标是 x s y s z s。 作图一，画出轴侧轴 o 一 x 一 o 一 y 一 o 一 z 一 二，按照各顶点的坐标画出它们的轴侧投影。 三、连接各顶点，并区分可见性。在轴侧投影途中，一般不画虚线，但为增加立体感，三棱锥底边虚线虚画出。 二、端面延伸法。对于棱柱体，先画出其反应特征的可见端面，再画其可见侧棱及不可见端面上的可见底边。立，画出图 a 所示的棱柱体正等轴侧图。 分析，为方便作图，可把投影轴的圆点设在棱柱前面的右下角，先画出棱柱前面的轴侧投影，再沿 o 一 外一轴的方向画出棱柱的宽度。 作图一，先画轴侧轴，求出棱柱前端面各角点的轴侧投影，再画出前端面的轴侧图， 再过各角点做 o 一 外一轴的平行线。二、沿 o 一 外一轴方向量取外，分别做与前端各边对应平行的直线，并与 o 一 外一轴的平行线相交，即得棱柱体的正等轴侧图。 三、切割法有些形体可以看成由简单形体切割而成。画图时，先画出完整的简单形体，再进行切割，画出形体的轴侧图。 立画出图 a 所示木笋头的正等轴侧图。分析，木笋头可视为由一长方体左上方被一水平面和一侧平面切去一块，再被一千锤面切去一角而成。作图 一，画出长方体的正等轴侧图，并在左上方切去一块。二、切去左前方的一个角，一定要沿轴向两取 b 二和 l 二，以确定切平面的位置。 三、擦去多余的作图线，加深可见部分的轮廓线。四、叠加法 有些形体可看成有几个简单形体叠加而成。画图时一般先画较大的形体，再加上较小的形体，特别注意它们的相对位置要正确。立画出图 a 所示形体的正等轴。测图 分析，此形体由底板一、肋板二和肋板三组成，三部分都是棱柱体，可根据它们之间的相对位置关系逐一画出其轴侧图。作图 一，做出底板一的轴侧图。二、做出立板二的轴侧图。三、做出肋板三的轴侧图。四、擦去多余的线并加深，完成形体的正等轴侧图。 用这种方法做图，当叠加的两平面连续成一平面时，其间不应有界限。请思考什么是正等轴侧投影的轴尖角和轴向伸缩系数。有几种方法画出平面立体的正等轴侧图。