今天我们要聊的呢，是一些非常著名的不等式啊，比如说均值不等式、科西施瓦茨不等式、赫尔德不等式、明可夫斯基不等式，还有 jensen 不 等式。对，然后看看他们是如何从函数的突性和几何的视角来统一的看这个问题。 没错，这些东西看起来好像是非常抽象的数学，其实他们在信息论、概率论、几何学还有优化这些领域都有非常深远的影响， 那我们就直接开始吧。首先我们要讨论的主题是算数平均和几何平均的不等式，那这个不等式到底是在说一个什么事情？它在数学和其他的领域里面有什么样的意义呢？算数平均和几何平均的不等式，就是对于任意的一组正实数， 他们的算数平均值总是大于等于他们的几何平均值。那如果我们用数学式子来写的话，就是这一串数 a 一 一直加到 a n， 然后除以 n， 这是他们的算数平均。那他们的几何平均呢？就是这 n 个数相乘，再开 n 次方，那这个不等式就表示 前面这个算数平均是大于等于后面这个几何平均的。然后等号成立的条件是，当前仅当这所有的数都相等。听起来这个不等式还挺简洁的，但是它的用处是不是很广泛呢？对，这个不等式，其实别看它形式很简单，它的影响特别大。 比如说在几何里面，面积固定的所有矩形里面，正方形的周长是最短的，这个就是可以直接由这个均值不等式得到的一个非常直观的结论。嗯，然后包括在热力学里面，它还可以用来描述商增的方向，所以其实它是很多物理现象 和几何现象里面的一个非常底层的控制关系。紧接着我们要讲的就是凸函数和 jason 不 等式这个凸函数它的几何特征和代数特征到底是怎么对应的？从几何上来看的话，凸函数它的定义就是函数图像上的任意两点之间的弦 总是在这两点之间的函数曲线的上方。对，那如果我们要从代数的角度来描述的话，就是对于任意的在定义域内的 x 和 y 以及任意的 lamb 的 属于零到一之间， 我们都有这个 f 括号， lamb 的 乘以 x 加上一减 lamb 的 乘以 y 小 于等于 lamb 的 乘以 f， x 加上一减 lamb 的 乘以 y。 这个其实就是把函数图像上的弦在曲线上方这件事情给写成了一个带数的形式。那 jason 不 等于呢？它的一般的形式和连续的形式分别是怎么写的？然后它的等号成立的条件是什么？ jason 不 等于，它是这么说的，如果我们有一组非负实数 them 的 i， 然后它们的和是等于一的， 以及任意的一组实数 c i， 那 对于一个凸函数 f， 我 们就永远有 f 括号， lamb 的 i 乘以 c， x 从一到 n 求和。小于等于 lamb 的 i 乘以 f， c x 从一到 n 求和。然后等号成立的条件是， 当前仅当所有的 c x 都相等的时候，那如果我们把这个离散的形式变成连续的形式的话，我们就可以得到 f 括号随机变量 x 的 数学期望小于等于 f x 的 数学期望。嗯，然后它的等号成立的条件也是类似的。哦，詹森不等式感觉还挺重要的，那他在这些经典的不等式的证明里面，到底是扮演了一个什么样的角色？ 其实詹森不等式它就是整个经典不等式体系的灵魂，因为几乎所有的著名的不等式，比如我们后面要讲的 amg m 克希施瓦茨、赫尔德这些不等式，其实都是詹森不等式在不同的突函数下面的一个特殊的情况。 对，然后它的这个几何的本质就是弦永远在曲线的上方。原来是这样，下面我们就来具体的看一下 a m g m 不 等式，就是我们的算数平均和几何平均的不等式，它是怎么通过 jason 不 等式来证明的，以及它和对数函数的突性到底有什么关系。我们可以取一个严格突函数，就是 f t 等于负的 l n t， 然后我们把这个等权重的 lamb 的 i 等于 n 分 之一代入到 jason 不 等式里面，我们就可以直接得到 a m g m 不 等式了。具体的过程是这样的，我们先写出 jason 不 等式的左边就是 负的 l n， 括号 n 分 之 a 一 加 a 二，一直加到 a n， 然后它是小于等于 n 分 之一乘以负的 l n， a 一 一直加到负的 l n a n。 嗯，然后我们整理一下右边，就可以得到 负的 l n。 括号里 a 一 乘 a 二，一直乘到 a n 的 n 分 之一次方，然后我们两边同时去掉符号，这个不等号就会反转， 所以我们就可以得到算数平均是大于等于几何平均的。对，这个其实就是对数函数的突性的一个直接的体现。这个证明过程还挺巧妙的哈。对，然后接下来我们要讲的是央不等式和共讷指数。 嗯，这两个东西到底是怎么定义的？然后它们之间是怎么联系起来的？所谓的共讷指数，就是指两个时数 p 和 q， 它们都大于一，然后满足 p 分 之一加上 q 分 之一等于一。然后央不等式。说，对于任意的非负时数 a 和 b， 我们有 a 乘以 b 小 于等于 p 分 之 a 的 p 次方，加上 q 分 之 b 的 q 次方。那这个不等式它的证明也是可以用 json 不 等式对这个对数函数来进行证明的。嗯，然后这个央不等式，其实它是可以看成是 amgm 不 等式的一个推广。 嗯，它在我们后面研究积分和函数空间的理论里面是一个非常关键的桥梁。明白了之后啊，咱们再来讨论一下 hold 不 等式。嗯，这个东西是怎么来的？它和央不等式之间到底有什么联系？ holder 不 等式，它的一般的形式是这样的，对，任意的两组实数 a i 和 b i， 然后 p 和 q 是 一对共轭指数， 我们有 a i 乘以 b i 从一到 n 求和的绝对值，小于等于 a i 的 p 次方，从一到 n 求和的 p 分 之一次方。乘以 b i 的 q 次方。从一到 n 求和的 q 分 之一次方。哦，这个形式看起来还挺复杂的。对，那它的证明过程是不是也用到了央不等式？是的，是的，它的证明其实就是对央不等式做了一个非常巧妙的归一化，就是我们构造两个新的序列， 然后把它们带入到央不等式里面，再经过一些整理，就可以得到我们的 hold 不 等式了哦。然后等号成立的条件就是这两个序列是成比例的，就是存在一个常数变量，使得 ai 的 p 次方等于 lamb 的 乘以 b i 的 q 次方。对，所有的 i 都成立。好的，那我们现在来关注一下科西施瓦茨不等式，它其实是 holder 不 等式的一个特殊情况。 对，那我们怎么从 holder 不 等式来得到科西施瓦茨不等式？然后它的几何意义和代数意义又是什么呢？科西施瓦茨不等式就是当 holder 不 等式里面的 p 和 q 都等于二的时候的特殊情况。对，那它的形式就是这样的， ai 乘以 b i 从一到 n 求和的平方小于等于等于 a i 的 平方，从 e 到 n 求和。乘以 b i 的 平方从 e 到 n 求和。然后它的几何意义就是两个向量的夹角的余弦的绝对值是小于等于一的 哦，那它的代数意义可以通过拉格朗日恒等式来看，就是一个平行四边形的面积的平方一定是大于等于零的。嗯，然后等号成立的条件就是这两个向量是共线的。 了解了解，那 mincosky 不 等式呢？它又是怎么描述 lp 空间里面的三角不等式的？然后它的证明的思路是什么？ mincosky 不 等式说的是对于任意的 p 大 于等于一和任意的两组实数 ai 和 bi， 我 们有 ai 加上 bi 的 p 次方，从一到 n 求和的 p 分 之一次方。小于等于 ai 的 p 次方，从一到 n 求和的 p 分 之一次方，加上 b i 的 p 四方，从一到 n 求和的 p 分 之一四方。嗯，然后这个其实就是 lp 空间里面的三角不等式，这个证明是不是也挺有技巧性的？对，它的证明的话，就是要把左边的这个式子展开，然后用两次 hold 不 等式就可以得到这个结论了。 然后要注意的是，如果 p 是 小于一的话，这个不等号是要反向的，而且这个时候单位球就不再是一个凸极了哦，所以我们现在就已经把这几个非常重要的不等式都串起来了。嗯，那他们之间的逻辑依赖关系是怎么样的？然后他们又是怎么统一在凸函数这个大的框架下面呢？ 其实这五个不等式，它的逻辑关系就像一棵树一样，嗯，它的根就是这个几何的直觉就是弦在曲线上方。然后 jason 不 等式就是在这个突函数的定义上面长出来的第一个主枝， 那其他的所有的不等式 a m， g m 科西施瓦茨， holder， minkowski 都是从 jenson 不 等式这长出来的。这样啊，那我们现在来做一个表格吧，就是把这五大不等式的核心的概念，参数的范围，还有等号成立的条件都给总结一下。 行，那我们这个表格的第一行就是 a m g m 不 等式，它的本质是凸函数负的 log 的 json 不 等式的一个特例，然后它的参数是 n 个正数，等号成立的条件就是这 n 个数都相等， ok。 第二行是科西施瓦茨不等式，它的本质是 l two 空间里面的内基的不等式，然后它的参数是两个向量， 等号成立的条件是这两个向量是线性相关的。嗯，然后第三行是 holder 不 等式，它的本质是 l p 空间里面的一个乘积的积分的估计，然后它的参数就是共轶指数， 满足 p 分 之一加 q 分 之一等于一等号成立的条件是这两个序列是对齐的，就是乘比例对。然后第四行是 minkoski 不 等式， 它的本质是 l p 空间里面的三角不等式，它的参数就是 p 要大于一等号，成立的条件比较复杂，要分情况讨论。是的，然后最后一行是 json 不 等式，它的本质就是凸函数的性质，然后它的参数就是一个凸函数，还有一组权重。 等号成立的条件是所有的字变量都相等，或者是说这个函数本身是一个向量都相等，或者是说这个函数本身是一个向量都相等。没错，接下来我们就要进入到不等式的应用的部分了。嗯，那第一个我们要讲的就是在信息论和概率论里面的应用。 那整数不等式到底是怎么来帮助我们得到相农商的这个上界以及 k l 散度的非复性的相农商，它的定义是 h x 等于 x 的 概率分布的对数的倒数的数学期望。对，然后我们用整数不等式，因为对数函数它是一个 o 函数嘛，所以我们可以直接得到 h x 是 小于等于 log x 的 概率分布的倒数的数学期望，然后这个就等于 log n ok， 然后等号成立的条件就是当 x 是 一个均匀分布的时候，这个时候商是最大的，原来商的这个最值性质也是可以这样来证明的。涨知识了，对，那 k l 散度的非负性呢？ k l 散度它的定义是 d k l p 平行 q 等于负的 pi 乘以 log q i 除以 pi， 然后对所有的 i 求和。 ok， 那 我们把它稍微整理一下，然后用一下 amg m 不 等式，或者说用一下 jason 不 等式， 我们就可以得到它是大于等于负的 log 括号里面， q i 对 所有的 i 求和，然后这个就等于零，所以它是非负的。 对，那这个性质在信息论里面是非常重要的，因为它是我们定义两个概率分布之间的距离的一个基础。好，那这些不等式在几何和极值优化里面又有哪些神奇的应用呢？比如说在几何里面，我们可以用 a m g m 不 等式来证明， 在周长一定的所有的矩形里面，正方形的面积是最大的哦。然后在优化里面的话，有很多不等式也是非常有用的，比如说 t two 引力， 它其实就是科西施瓦茨不等式的一个变形。对，它经常用来处理一些对称的分式的和的形式的优化问题。哎，那这个 t two 引力具体是怎么写的？ 然后它在竞赛或者说在实际的问题里面到底有多好用？ p 图引力是这样的，就是 a i 的 平方除以 b i， 然后对 i 求和，它是大于等于 ai 求和的平方，然后除以 b i 求和对所有的 i， 嗯，然后它的等号成立的条件就是当这些 ai 和 b i 是 成比例的时候。 ok， 那 这个东西为什么说他在竞赛数学里面，或者说在一些比较复杂的对称和分式的优化问题里面非常有用呢？就是因为他可以一下子把这个复杂的式子给你简化， 然后直接给你一个非常紧的界，听起来确实很有用啊，那这些不等式和统计学里面的相关系数之间有什么联系吗？有啊，就是样本的相关系数二，他的绝对值是永远小于等于一的，这个东西其实他的本质就是 随机变量的。这个科西施瓦茨不等式， ok， 然后等号成立的条件就是这两组数据是完全现象相关的。 ok， 那 我们来总结一下，就是这几个不等式，它们背后的统一的几何直觉到底是什么？然后它们在解决问题的时候分别都有什么鲜明的特点， 其实他们都是从突性这个核心的概念出发的。对，然后几何上面的话就是弦在曲线上方这个非常简单的一个事实，然后把它们都串起来了，所以说突性是整个理论的灵魂，没错没错。然后 amg m 就 适合处理一些均值或者乘积的这种最值问题， 然后科西施瓦茨和 t two 引理就适合处理一些内基啊，或者是说分式的这种对称的形式，嗯，然后 hold 不 等式就是处理一些 lp 空间里面的乘积的估计， 然后 mikoski 就是 处理向量的和的模长的这种不等式， ok， 然后 jason 不 等式就是用来把握突函数的这个整体的大小关系。行吧，我们今天就是给大家梳理了一下这五大不等式之间的来龙去脉，然后从突函数的几何意义一直聊到了他们在各个领域的应用。
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把一个向量空间里面的两个元素，是吧？ 他把他对应到呃，某个域上面啊，或者说，呃，不，不是域对应到 某个数值上面，对吧？对应到这个实数上面，我们就称为他是一个这个，这个这个内级是这样一个映射，对吧？当然他还满足三点性质，第一点呢，就是他要对称，是吧？这个 f 和 g 的 那一级呢，要等于 g 和 f 的 内级。 然后另一方面呢，他对第一个变量呢，要保持限行，是吧？第一变量要保持限行， f 加上这个 h 啊，和这个 g 作内积，一定要等于 f 和 g 作内积，然后加上 h 和 g 作内积， 对吧？这是第一变量陷阱。然后第三点就是 f 和自己的那一级一定要是非负的，对吧？一定是非负的镇定性，这样的话就构成了一个内级，就是希尔伯特怎么接出来的，对吧？这个东西很好，那么这个是一个内级以后呢？他们怎么说呢？他们说那你就可以这样做 啊？他们的想法说这个积分他就是一个内级，我们来看一下，就是他大家如果是学这个陷阱，代数里面应该是不学内级，所以我说就普通人考数一数二的应该他不会， 不会想的到这这件事情，这个必须要是数学系的可能他才想的到，就说这个。呃，怎么说呢？积分他可以看作一个内级，很简单，因为积分他就满足那三条性质，比如说我定义这样是一个内级吧， f 成绩我定义这个是个内级。当然这一点也有个问题，就是 他是不是一个内级空间？就是他定义内级空间，我们刚刚是不是说了他要有两个 v 啊？不是 v 和自己的低卡尔级，对吧？这个东西，那，那你这个 f 是 在哪里？ f 应该是定义在哪里？应该是定义在全体连续的 全体连续函数组成的这个函数空间上面，对吧？它不是离慢可积的函数组成的那个函数空间。为什么就说这一点？很显然，因为如果是离慢可积的函数，你看这个函数它是不是可积的？比如说 f， x 它等于 零，当这个，呃，比如说 x 它不是有理数的时候，就是它不是 不属于，不属于有理数是 q 了，是吧？它不属于 q 的 时候，它全是零，然后它属于有有理数的时候，我通通把它定义成一好了。 x 属于有理数的时候，这个东西它是不是离慢可击的？首先这件事情对于 外系的同学来讲，他不显人，是吧？但他一定是可积的，并且他是离慢可积的，是吧？而为什么呢？因为他的不连续点构成了一个零策积啊。可以翻翻我的往期视频，我说过这件事情，只要他的不连续点构成一个零策积的话，他一定是可积的，所以这个东西他是可积的，他的积分值是多少？他的积分值是零， 但是问题它这个函数，它这个函数它并不是等于零的，对吧？但是它的积分值是等于零，那它积分诱导的那个内积就是零。但是另一方面来讲，我们说了， 呃，它必须要保持这个镇定型，那么这个就不太好，因此这个东西就不太行。所以我们不是把它定义在黎曼可积函数所组成的这个空间上面，我们是把它定义在这个 连续函数所组成的空间上面。那我们来看它这个内积是什么？他们这个内积的话呢？定义出来呢？就是这样， 这个是一个内内积，我们来看它保不保持。第一个，那肯定是显然的，是吧？从 a 到 b， f 乘 g， 这个积分一定是要等于从 a 到 b， g 乘 f， 这个没有问题，它是交换式，肯定没问题的在里面。然后第二点，它是不是现行的 积分，他肯定是现行的了，是吧？我我们上一节课说过，他肯定是保持加法的，这个东西他一定可以写成 ab， 这个 f 乘积加上 ab h 乘积，对吧？所以这个他也对，第一个也对，然后第二个啊，第三个从 a 到 b， f 和 f 自己的那级就是 f 的 平方。 d x 这个东西肯定是非负的啊，上一节课我也说过了，是吧？证明那个 switch 的 式的时候，这个你把它写成离曼和的样子， 这个嘛，这个 f 平方啊， k c i， 对 吧？然后乘上这个 tail x i 这个东西肯定是个非负的，因为它是非负的，然后这个 tail x 也是非负的，所以这个东西一定是大于或者等于零的，所以它一定是一个内积。 既然这个东西是一个内积的话，我就说我就可以用，是不是就可以用科西不等式内积空间里面的就是 f 和 g 的 内积的绝对值，一定是不会超过 f 的 泛数，乘上这个 g 的 泛数，是吧？ 那从这样的话，那就很显然可以得到左边呢，就是 a b， 因为是积分定义的那一级，所以就是 f 成绩。注意这个内级是用由积分定义的，所以这个东西的意思就是做这个积分，这个需要一定的抽象思维在里面，并不是普通的 学生他能够就第一时间能接受，但是说了以后，他慢慢的应该是可以接受这件事情一定要大于 f 的 范数。 f 的 范数内级诱导的范数是什么？ 我们说泛数的定义是不是说，哎，或者说魔是吧？ f 的 魔是什么？ f 的 魔是不是就说根号一下 f 和自己的那一级，在这个我们定义的这个欧式那一级下呀？它应该是这样的，是吧？但是我们这里是由积分诱导的那一级，所以这个东西它一定是写成从 a 到 b， 是 吧？ f 和自己的那一级是不是这个是他和他自己的那一级乘上 ab g 平方 d x 一定是这样的，所以这样也可以证明十万次不等式。但是这里有一个问题，就是你在证明这个科西不等式的时候，你是怎么证明的？ 有没有想过呢？其实你证明这个科西不等式的时候，你还是在用这个 a x 的 平方加 b x 加 c 等于零这个方程，然后你看他的这个雕法，你们可以去翻，不管是谢启宏的书也好，还是呃这个邱维生的书也好，他们都基本上都是用这个想法去做， 一定是这样。所以其实你要用这样的方法来做，除非你的思维很高，那你可以，如果你思维没有那么高的话，你没有必要走这个弯路，因为你证明这个不等式的时候，你还是跟上次那节课一样，你也是在用二次方程做，所以没有必要绕这个弯。那么今天呢，我们主要的内容呢？是说这个， 呃，叫什么？敏克夫斯基不等式，对吧？所以刚刚那个呢，是回答一下上一节课，呃，不是上一次分享应该这样说啊，这两位同学他们提出的这个疑问我觉得很好，就是他们能说出来，说明他们真的是有思考过这个问题。 呃，但是呢，这个并不适用于任何一个人，就说每一个人他并并不适用，所以，呃，大家可以按照我上次那个来，就我觉得是最好的考试的时候 啊。那么像这个怎么证明？其实这个呢，相比上一次那个就要简单很多了，为什么？因为 mikoff 司机不等式，只要你有了 schwartz 不 等式以后，他是很容易能够挣出来的。那么证明这种不等式的想法是什么？是这样的， 就说这个 f 和 g 加一起的平方，这个要跟后面这个比较，是吧？那首先我们就来处理左边的就是不等式，这种证明的话，除了这个十万次不等式，当然十万次不等式可以用 younger 不 等式来证明，大家应该知道，可以搜一搜。那那个证明也很巧妙啊，但是呢，我觉得其实上一次那个证明就是 初中生都能做，那个可能更好一点，秧歌不能试的话，你还得再证明一次秧歌不能试啊，不太好。所以我们来看这个怎么证。这个的话，我们的想法其实没有任何想法，我们只知道中间就是左边这一坨，是吧？ 我们可以对左边这一坨进行处理，为什么？因为左边这一坨他可以展开，他有个平方在里面，然后积分他是一个限性算子， 他又可以把它展开成三个积分，那我们就把它展开看一下。 这第一步你一定是这样做，很多数学题，你不是说一拿到题你就有思路，你一定是你也不知道怎么做，你，你就是在乱做，可以这样说，然后在乱做的过程当中，你找到了思路，这个才是正确的，而不是说你看见题你就知道怎么做，那除非是你见过这个题，否则是做不到的。所以这个呢，是加上 f g， 然后呢，再加上这个 g 的 平方，他一定是写成这样啊，不是，这，不不不，不好意思，这不是不等号，我这个， 呃，他是等号，对吧？他是一个等式。好，这个等式，然后根据积分的限性，他一定可以拆成三个 a 到 b、 f 的 平方，然后呢加上这个 a 到 b， 然后把二写外面吧两倍的 f、 g， 然后呢再加上这个这个 a 到 b、 g 的 平方，一定可以写成这样。那这样的话我们看到中间这一项，中间这一项其实它很好，为什么说它很好呢？就是因为根据我们上一次的这个十万次不等式，对吧？由十万次不等式啊，我们知道这样一件事情，就说 从 a 到 b、 f 的 平方 啊，呈上从 a 到 b 的 平方，对吧？这件事情是我们上次已经知道的，所以中间这一项其实是可以处理的，我们可以把它进行放松，是吧？所以这个叫做一式，那么一式的话他一定是不会超过，把这 我我我像这样放松是把它放大了，把这一项放大了，是吧？所以一是不会超过，我把这个放成这个是放大了，所以一是不会超过 abf 的 平方，然后这一项呢用它带进来，就是加上，呃，这个系数要写两倍的 a、 b、 f 方，乘上 a、 b、 g 方，一定是这样，然后再加上一个 a、 b、 g 的 平方。好，他一定可以写成这样，然后写成这样以后呢？可能你还是不太容易看得出来，就是除非你这个初中那个时候你被这个东西 呃，就说学的很透彻，否则你一会你也看不出来，就说这个东西，是不是就是说他是不是就是下面这个东西了？他应该是很像的。为什么？你看这里这个东西和第一项这个东西长得是不是 还是有一些差不多的？就是，当然这里我有点没写对，因为这里有个平方，你要把平方弄到右边，是吧？所以那我再补充一下好了。我把这个平方拿到右边的话， 我把这个平方拿到右边，就整体的二分之一次方，是吧？而这个是乘法，根据密的运算，这个二分之一可以弄到里面去，是吧？所以这个就是相当于他的二分之一， 还有括号他的二分之一，因此这里写的时候也没写对，应该是这个括号的二分之一，对吧？然后这个括号的二分之一，你看这个是不是一个完全平方？这个应该是一个完全平方的，是吧？因为第一项我可以把它写成 a、 b、 f 的 平方，整体的这个二分之一次方的 平方吧？这两个二分之一和二可以约掉，是吧？嗯，这种变形其实是初中它比较多，然后 a、 b、 f 的 平方，然后二分之一次方，然后呢？这个 a、 b、 g 的 平方，然后二分之一次方。 右边这个 g 呢？我也是做同样的处理，我把它处理成这样， a、 b、 g 方，然后呢？打个括号给他，呃，开个方二分之一，然后呢？再来个中括号，零再平方，然后你看这个是不是一个完全平方公式， 是的，对吧？第一项的平方和最后一项的平方，然后这两项乘一起的两倍在中间，所以他一定是，所以他可以变成这样一个式子。变成什么呢？变成 a、 b、 f 的 平方的二分之一次方，然后再加上 这个，呃， ab 这个 g 的 平方的二分之一次方，整体的 完全平方，对吧？也就是说一式要小于这个东西，而一式是什么？一式是这个，所以我们抄一遍的话呢，就是从 a 到 b 啊，我看一眼 f 加 g 的 完全平方是吧？ f 加 g 的 完全平方一定不会超过这个东西， a、 b、 f 的 平方的二分之一次方，加上这个 a、 b、 g 的 平方的二分之一次方，然后再弯曲平方，这个是不是就是我们要证明的十万次不等式 啊？对的，是吧？我只要把这个二分之一弄到左边是吧？把二分之一弄到左边嘛，你看嘛，这个不不把二弄到左边是吧？把这个二弄到左边，就是两边乘二分之一是吧？就可以得到这个免考费司机不等式很简单。所以免考费司机不等式的证明，实际上只要你有了十万次不等式以后是很容易的 啊。因此呢，我觉得这个证明呢是也是比较好的，大家可以参考一下。但是有的时候十万次不等式他需要取一些特殊的东西，像这道题，很多人他做的时候可能会取什么？是在用十万次不等式的时候，可能会取 g 等于，比如说 让这个 g 等于 f 分 之一或者怎么样的，当然当然这个一乘是等于一了，就是他可能会做这样的一些变换，但是并不是这样做，而是直接把它展开了来看，可能效果会好一点啊，那么希望这个视频对你有帮助啊，再见。
32Wingin
01:13查看AI文稿AI文稿很多同学遇到这种题，第一时间想到的就是竖形结合，确实是非常方便的解题方式。根号 x 平方加四相当于直角边为二和 x 的 三角形，求斜边长。 根号 y 平方加九就是直角边为三和 y 的 三角形，求斜边长。根号 z 平方加一，就是直角边为一和 z 的 三角形，求斜边长。三条斜边长的和的最小值就是首尾两点直线的距离。 整理得到两条直角边分别为 x 加 y 加 z 和二加三加一的三角形。球鞋边长 圆是等于根号 x 加 y 加 z 的 平方。加二加三加一的平方等于根号九加三十六等于三倍根号五。 这道题还有一个非常简易的方法求解，就是使用民可夫斯基不等式，也就是根号 x 一 平方加 y 一 平方加根号 x 二平方加 y 二平方加根号 x 三平方加 y 三平方大于等于根号 x 一 加 x 二加 x 三的平方， 加根号 y 一 加 y 二加 y 三的平方。所以根据民可夫斯基不等式可得原式等于根号 x 加 y 加 z 的 平方。加二加三加一的平方等于根号九加三十六等于三倍根号五。你学会了吗？
93采一颗小竹荪
01:18查看AI文稿AI文稿我猜你也想知道明可夫斯基不等式的两边到底代表什么？取两个直角三角形，直角边分别为 a 和 b、 c 和 d。 勾股定力得到斜边。原来不等式的左边代表两条斜边之合。 再看右边的 a 加 c， 这是两条直角边。我们拼接图形，总长就是 a 加 c， 同理， b 和 d 也是两条直角边，平移总长就是 b 加 d。 看绿色三角形还是勾股定律。原来不等式右边也代表一条斜边。 三条斜边构成一个三角形，两边之合大于第三边，左侧是两边之合，右侧是第三边， 三角关系始终成立。只有当两个小三角形相似时，可以取等号。这就是名可付司机不等式的几何意义？ 这将大学像字典一样，把初中数学总结为六十种思想和方法，每种方法先讲核心思想，再通过典型立体 告诉你思路是什么，过程如何写，多方法多维度引导你理解思想原理。精选例题帮你巩固学习，还可以扫码看视频讲解孩子完全可以自学，不可错过的数学方法字典！
132数理世界
