圆锥体展开图计算公式推导
上一个视频里面，我们讲到了圆锥计算里面的两个大招公式非常的好用，那么很多人有疑问，这两个公式是怎么来的呢？如果死记硬背很容易遗忘，那么今天我们就教大家来推导这两个公式。好，我们来看一下。 首先在圆锥里面，我们知道圆锥的侧面展开图呢，它是一个扇形，那么圆锥它展开之后的话，有没有非常重要的关联呢？那么这一点一定要注意了，就是我们的两个大招的公式都是通过这个底层原理推导而来的， 那就是圆锥的底面的这个周长一定是等于侧面展开图的这一个弧长的，我们只要抓住这一点，就可以把这两个公式推导出来。好，我们来看一下，底面是一个圆圆的，周长的话呢是二派小 r， 侧面展开图的话是一个扇形，扇形的弧长，那这个公式我们应该比较清楚，就是一百八十度分之 n 派大 r。 好，那么通过这个公式我们就可以往前推你了。好，首先我们来看一看这个地方，这个公式来进行一个化简派的话呢，它其实就抵消了，那我们把这个地方的小 r 移到右边去，把一百八整到左边来，我们来看一下，得到的是 三百六十度乘以小二就等于 n 乘以大二，这样的话呢，我们用左边的小二比上右边的大二，就应该等于右边的 n 比上左边的三百六十度。 这样的话呢，我们就得到了第一个非常好用的公式，那就是底面的半径比上侧面展开图的扇形的半径，也称为母线，它就等于侧面展开图的圆心角来比上三百六十度，所以这是第一个大招公式。 好，接下来我们再来看一下第二个大招公式，那就是我们这个侧面积怎么算呢？那我们来看一下往下看。 首先这个侧面积，我们知道它是一个扇形的，所以扇形的面积应该是等于三百六十度分之恩派大儿的平方。 好，那我们来观察这个式子和我们前面的这个式之间有什么关联呢？你会发现它的右边有一个一百八十度分之恩派大儿，那这里的话呢，我们依然可以把这个整体给它构造出来，那么三百六十度我们就可以提二出来， 上面呢我们就提取一个 r 出来，再来乘以一百八十度分之 n pi 大 二， 那这个时候你会发现这个地方一百八十度分之 n pi 大 二，就应该等于左边的二 pi 小 二，所以我们将它进行一个替换，就可以得到是二分之大二来乘以左边的二 pi 小 二。 所以最终我们推导出了第二个超级好用的公式，那就是圆锥的侧面展开图的面积等于 pi 乘以大二，乘以小二，也就是乘以母线的长度，再来乘以底边的半径， 所以这就是我们的第二个非常好用的公式。如果这两个公式你清楚的话，在做题的过程中，你可以省掉非常的计算步骤，而且计算速度也会非常快。比如说我们接下来来看一道例题， 已知圆锥的底面的半径为五厘米，那就说小二是等于五的好，母线的长度呢为十二厘米，也就是大二是等于十二的， 则这个圆锥的侧面积为多少，以及侧面展开图的圆心角为多少？ 好，到了这里来以后，我们就会发现，底面半径给的，侧面的半径就是母线也给了，所以呢，我们这个地方的侧面积就可以直接用公式了呀，就是派乘以大二乘以小二，也就是派乘以十二，再来乘以一个五，所以就应该等于六十派。 好，那么第一个，那么面积出来了，六十派，注意单位不要丢平方厘米。好，这是这个。然， 然后呢，我们要求侧面展开图的圆心角，也就是求那个 n， 那 我们知道什么？我们知道小 r 比上大 r 是 等于 n 比上三百六十度了，那我们将数据带进去，那就是小 r 为五，大 r 为十二， 就等于三百六十度分之 n。 好， 那这样的话呢，我们来算一下，就可以快速得到侧面展开图的圆心角为一百五十度。所以掌握了这两个公式以后啊，那么在圆锥里面的计算就会显得非常的简单，你学会了吗？
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好，其实呢，在这里老师要给大家强调一点的，就是要求出我们圆锥的侧面积，刚才我们已经探究完之后，发现他是一个扇形对扇形的面积，我们直接套扇形面积公式。有的人说，老师，我能不能套一百八十分针拍耳啊？能，不能， 但是，但是你知不知道这个度数呀？不知道。对，所以咱们只能套哪个公式呀？ r l r 对 l， 刚刚咱们那同学都已经说清楚了，就是什么呀， 虎山下有老虎，爱眼的英雄，其实眼镜是什么啊？二太好，对半径就是乳腺好，所以推出太好。 l， 对 这个公式大家清晰吗？清晰，清晰。好，老师给大家展示出来，测面积，测 等于 pi r l 它的全面积公式就再加上一个圆的面积，哎，对，圆的面积， pi r 的 平方好，刚刚推倒的过程中，谁还有没有不同的结果呢？ 啊，就推着这一个公式吗？还有别的结果？你刚刚那老师引了一个什么问号？九九 好来，杨阿成举手，对，手，来，你来说，呃，当我们知道圆锥的，圆锥的，圆锥的那个，我们就是弧长和那个它底面圆的半径的时候，我们可以根据公式， l 等于一百八十分之 n， 帕尔，求出 n 的 度数啊，求出圆形角的度数是吧？好，你能上来给大家推导一下吗？来，写到写到黑板上吗？你告诉写到上面， 大家尝试着看看能不能推到圆心扇形的圆心角，我推推看，嗯， 要想知道圆心角，只需要找一个合适的弧长，哎，弯起弯起就一下弧长弧长弧长，阿培尔，哎，非常好。阿培尔，那你套公式吧，哎，套 l 点八十度， 嗯嗯。 哎呦，我的妈呀，这个是什么？这是母线，所以你想走吗？ 好，大家停下来，这个公式的推导看来是有点难度，因为这里面牵涉到由立体图形向平面图形进行转换，它们之间相等的元素量刚刚大家一清二楚，怎么到公式里 可能又糊涂了，好，我们看看羊是对不对？好，他先给出的是扇形的弧长公式，没问题再来看。哎，根据第一问的探讨结论，我们已经知道，展开图的扇形弧长用底面，也就是底面圆的什么中长，所以他用了啊，派号等于一百八十分的 n 派号。 这个地方有问题，咱们想想这个是什么小 l， 反应过来了是什么小 l， 是 不是？哎，所以这个地方换成小 l 了， 所以我们公式到最后出来这个地方应该是什么？ l， 对， 因为给出一个圆锥，有的同学说，老师，这个圆锥里面没有大 r 是 吧？我们只有一个圆锥的表面半径，还有一个什么母线 l 推这个同学请举手 哦，很好，请放。其实如果能够推出来这个公式，你可以直接运用，当然时间长了大家也可以自己再推一下。好，我们推了半天的公式，咱们还是为了解决实际问题，那现在咱们就来看一下， 帮小明解决一下计算毛毡的面子。你来看这一贴，来读一下啊，说话来，你 啊，你来读一下啊，他想上来解决啊，你先来读一下蒙古包，可以近似的看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建二十个底，面积为九块，高为五米，外围高为一米的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？ 其实刚才咱们就请一个同学上来去计算，说怎么帮小明，我们就是算谁的面积啊？圆锥，圆锥，圆锥的面积，圆锥的测面积，咱们刚刚推导出圆锥的测面积了。没有， 只需要求出谁就可以了。圆柱只要求出什么圆锥的，这是什么底线？还需要求圆锥的什么半径？底面圆半径。好，咱们看看这个题你能不能分析出底面圆半径二等于多少呀？ 因为，因为什么里面是韭菜，韭菜，韭菜出来了没有？出来了。那下面来看母线有没有？ 没有，没有，怎么办呢？可以，腰高。好，外围高五米。假如这是这个蒙古包，外围高五米指的是哪部分呢？这部分啊，从零点到最下面这个地面圆之间的距离是这段是五米啊？对哎，对，这段是五米，然后告诉我们外围高一米。哪个是外围啊？圆角，所以圆角的高四。哦，还是三 五五好坐吗？好，坐来，在学案上完成。好，四号接下来，来上来。 哎呀， 嗯， 哈哈哈哈， 还是还是二十三三加一二三五拍拍三拍加六十二。 哈哈哈哈， 好，我看这两个同学也写好了，来，咱们给这位同学点评一下，我们共同批判一下，看他写的对不对。因为派二方等于九派，所以写的时候 数学咱们都是竖着写对吧？好， r 一 三很好，怎么写？没事没事没事，等于五减一，这是不是得用文字介绍一下因为什么？哎，抱歉啊， 我们可以写啊，你说因为圆锥的高，这个蒙古包五米高，外围一米高，所以圆锥的高有无限延伸。哎，所以母线 l 等于三方加四方，所以他是不是直接套公式了？对啊，正确，然后他又算了一个，这是锥测是吧？对，所以同学们是不是要写上呀？对， 好，在这写在一起了哈，这个地方写的是注册呀。对，好，我们要写上注册，这样就很清晰了，等于二十一派，最后还要再乘二十二十八，对不对？对，好，写，对的请举手。好，挺棒，不错，接下来咱们进行，我们进入当堂检测环节，拿出我们的学案翻过来。好，大家迅速做， 哎呀， 这个这个， 哈哈 哈哈。 啊， 好，接下来我刚刚的作业已经完成了，老师拍的是罗荣慧做的悬案，我们来给他共同批改一下，有问题的请他上来跟我们讲解一下。第一 题，展开图是一个扇形，错，还有一个圆嘛？侧面展开图是个扇形，是吧？好，第二个， 对不对呢？对，错，圆锥底面半径就是圆锥展开图，扇形的半径怎么说呀？圆锥的圆锥展开底面圆，哎，对，是圆锥的。什么等于扇形的半径呢？细线， 细心一点啊。好，我们来看第三个。对对对对，好，来看，第一个，选 d， 对， 对了，好，来看第一个，选 d。 呃，因为他说，呃，展开图是个半圆，而且他的半径为二，所以我们就可以知道他的半径长其实是二，然后，然后我们再求出他的弧长，嗯，他，嗯，他的就是，呃，他的圆，他，嗯，他圆的那个弧长就是二派， r 就是 二派， r 就是 二，在这右边写出来，黑板上写出来，来，阿布阿布，粉笔反出， 呃，就是往上往下一些， l 母线就等， l 母线就等于二，然后我们可以求出它的，嗯，那个圆的周长就等于二 pi， r 就 等于二 pi， 嗯，乘以 二就等于四派，然后因为他是半圆，所以应该除以二，四派，除以二就等于二派，相当于什么等于二派啊？五场是不是底面圆的？周成好接着说。然后又因为二派而等于二派， 所以而就等于一。然后再套公式是，嗯，派 r l， 嗯，就是，就等于，就等于派，乘以一，再乘以二，就等于二派。 听懂了吗？听懂了，哎，非常好。来，我们来看一下，第二个选 c 对 吗？对，这个呢？这个还需要解释吗？不需要，请回，我们来看计算需要多少平方米的铁皮。最终答案是，二十平方米，对不对？对，好，做对的请举手。全部做对的。 好，有问题我们课下再来改一改画近况。接下来我们来进入本节课，我们对这个知识点进行回顾一下，本节课学了什么知识点 好？从刚开始的视频导入，我们见到了很多圆锥体的，什么 圆锥体的图片我们见了，比如说有圆锥体的一些箭头，还有一些圆锥体的什么，想象一下啊，还有空间啊，有好多图出来。好，还有什么呀？冰淇淋，冰淇淋，对，见到一些东西常用的。那对于这个圆锥体，我们是通过裁开圆锥体，然后探求 他们之间对校园周边的关系，然后推推倒圆锥体的侧面。前面，前面。对，大家最后的要求就是会求圆锥体的侧面积和前面的面积好对照。这些你掌握了吗？掌握了，非常好。下课，老师再见！同学们再见！
00:50查看AI文稿AI文稿这个叫数学派的网站能让知识点动起来，输入知识点或者课本内容，选择所需参数，设置生成讲解规划并整理讲解结构，确认内容后，一键生成格式化教学讲解视频。 比如讲圆锥体积与母长，学生最容易混的是高半径和母长的关系。在数学派里，我们把圆锥结构动态展示出来，先看母线怎么形成母长， 再看高半径和母长构成直角三角形，这样学生理解的就不只是公式，而是圆锥力的关系。
10:28查看AI文稿AI文稿快要高考的同学们，所以后面我就可能不会讲这么难的题了吧，复习点我们的那些基础的知识好不好，像这个就很棒，这道题就很棒，他复习到 那什么什么母线什么圆锥的，那个什么侧面肌的，嗯，复习什么圆锥的弧长公式 那什么的，还有体积公式，哎。这个挺好的，你看啊，这个嗯嗯。母线长相等是吧，然后侧面展开的圆形角质和为 oppo， 这说明啥？母线长相等说明它展开之后它对应的那个 就对应它它的那个扇形， 那个扇形就这个， 哎，其实其实它们相当是一个圆啊，你跟它互补嘛，这个谁的大啊？假的。面积大是吧，那这是假的嘛，这是乙嘛，对吧？ 母线上相等，那不就是其实这这个半径相等嘛，然后圆心之合为二派嘛，所以我才能大胆的把它变成一个圆。那其实 那其实它们的周长比，哎，不对，它们的角度比你们应该知道了吧，对吧？一个是二，一个是一啊，那不就是，呃。三百六， 三百六除以三是一百二是吧？是一百二，那就一个是二百四，一个是那个，呃。一百二嘛，所以 r 加，哎，这假的 阿罗是三分之二派嘛，对吧？一的贝塔三分之派嘛，对吧，应该没搞错吧， 拍是一百八是吧？好， sorry sorry 啦，呵呵。哇，其实我更喜欢用角度的，哎，以后角度出来对不对？ 那你要求这个呃。什么什么什么来着？体积，你要求体积，容积，体积是不是？你要知道它的那个 体积，只要知道它的底面积了，因为是等于底面积乘高乘三分之一嘛，那你要知道底面积，那既然你的角度出来了， 我们可以弄一下它的半径，看一下半径怎么弄。它说侧面积，侧 面积的比是 o， 侧面积 是乘以几吗？对，乘以几的比。是哦，你看。呃。我们有啥那个什么什么。哦，还记得圆圈的弧的公式吗？ 记得吗？那个圆圈的弧的公式 弧是是 r r l 这是母线又等于啥？等于 o 派二角有问题吗？ 没有吧。然后这个 b 台 l 等于 o 派 l e， 这是圆锥的下面的弧的长度，这是那个展开之后那扇形的那个 的长度。其实是一样的嘛。你你展开之后你的这这一条不是这一条嘛，就对于假来说嘛，展开之后你的这个弧，你觉得原来的弧不就展开那个上弦的这个外面这个圈嘛，同理一也是一样一，这个就是这里。好， 然后呢？然后我看一下这里是多少？嗯， 这是。呃，三分之四是吧？三分之四，然后三分之四移过去。四分之三四分之三 啊，好麻烦。三分之四拍，然后等于三拍二加，然后咔嚓咔嚓移过去。 一个是九分之十分 r 加，等于三分之十 l， 九分十 l， 然后这个是 这个是我看一下啊，这个三分之二百 l e， 然后 l e 就 等于三分之一 l。 太晕了，同学们，晚上有点审质不清啊。因为刚才做了做了做了那个难题，这也太难了，同学们高考的那个填空题的压轴题， 然后呢然后呢移过去？好的， 我脑子怎么有点不清醒呢？同学们， 就是应该是这样子吧，没错吧。 三分之四移过去，哎，那不能是三分之二吗？对吧？这是三分之四啊， 我的这个二移过去，下次一定要提醒老师啊同学们。呵呵， 然后呢高怎么求？那 h 甲就等于根号幺的平方减去 r 甲的平方吗？ 是吧。 h e 就 等于根号然后平方减去 r e 平分吗？哎呀，然后就是我们最喜欢的 v 加 b v e 了，就等于三分之一， 你说有必要吗？哎，咱们这一派 r 角的平方乘以 h 加咱们这一派 r 一 的平方 h 一 好的有。这是 r 角的平方嘛。 r 角的平方是吧 r 角的平方 九分之四 r 一 的平方呢？九分之一。我为什么不写这个 l 轮了？因为已经消掉了。 h 角是根号 l 平方减去 l 角的平方啊。 l 角的平方是多少？ 那是九分之四 l 方下面是 l 平方减去九分之一 l 平方。 同学们好麻烦呀好麻烦呀。但是没关系没关系。哎，你们怎么不看了呀。哦哼哼，这能怪我吗？你看我写的写的他又歪了无语了。 你放心，如果是我以前考试我肯定不会写这么久的。嗯当然了，我忘掉这个公司的概率会挺大的。你要把 l 方提出来就不用管了呀对不对。 这样子吧，要放提出来就消掉了，然后上面是 a 什么情况这不管了要放移出来消掉了。上面是九分之五对吧下面是九分之八 对不对？完了，好像算错了。 哦不知道算错好像没算错吧是有根号八分之五对吧然后呢然后呢？这是二吧。 嗯还有根号。呸，这个是这个是多少这个是。呃二分之根号十根号十。哎，没得说算对了。 你说难吗？其实不难吧但是唉， 对于一个神志不清的人来说确实有点难的。所以说同学们，你们一定要好好休息啊。同学们不要生病了。你看我干了一天的活，十二十三个小时的活， 又回来，已经神志不清了。哎，你看像我这种中上一上中上一点水平的都已经懵逼了。好记得这公式哦。这个， 这是弧长，这是展开之后那个扇形的那个，那边的长度。 哎呀，我不懂叫什么了，忘了，反正我算出来了。这老师讲的，可以点点赞点点关注喽。 好好休息，注意休息，好好吃饭，同学们，拜拜。拜拜。
48术学术学
01:11查看AI文稿AI文稿像这种锥形最简单的放样展开图，到底应该怎么画？今天一条视频教给你。首先我们先来一个空白的地方画一条直线，我那就取十厘米 之后的尺寸，可以看你们所需要的，然后把三个点连在一起之后，我们再借助圆规去画一个辅助线，从这里到这里， 好画一条辅助线之后我们再反过来这边画一个大一点的。 ok， 好， 我们现在需要用这里的距离去画六个等分，准备好， 画完之后把这条线和第六个这里画过来，放这里一二三四 五六。像这六个点是需要裁掉的，像这边呢就是我们画出来的需要的圆圈的展开的图，大家可能看到最后这一点，这个线画到我们刚才这个三角形的辅助线的外面了，这一点是不用担心，是对的。之后呢你们也可能遇到在这个画到这个线内放到这里了， 你们等分可能会小一点，也是六等分，这也是对的。像这个最简单的锥形的展开图呢，我们就画完了，大家画图呢一定要有自己的思维，可以灵活一点，还有一定的空间思维，大家都学会了吗？下期我们分享天圆地方的放养展开图，记得关注我哦。
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01:11查看AI文稿AI文稿正方体展开是六个一样大的正方形，圆锥体展开是一个扇形和一个圆形，孩子没办法凭空想象立体图形的平面展开图，拿在手里玩一玩，一目了然。透明设计方便孩子观察了解内部结构，明白从立体到平面的转化过程，对于孩子学习物体的表面积很有帮助， 小学一到六年级都适用。小学数学难的不是计算，而是孩子想象不出立体的几何结构。圆锥体展开是一个扇形和圆形，正方体展开是六个小正方形。立体图形的表面积公式不用死记硬背，动手变成平面展开图，孩子一下就理解了，就是这套透视几何模型， 同步小学的立体几何知识。透明的设计更有利于孩子理解立体的内部结构，让孩子直观的感受空间关系。这个透明几何体模型一定要给家里的小朋友安排上， 小朋友再也不会因为想象立体图形的展开图而发愁了。透明的设计有利于孩子更好地理解立体内部结构，它能够从立体转化为平面展开， 孩子通过展开与折叠的实践操作，能够更直观的感受空间关系，轻松理解并掌握立体图形的学习，整个小学都能用的到哦！
00:51查看AI文稿AI文稿今天我们来分享一个有趣的内容，如何快速计算圆锥侧面的面积？我们这里有个圆锥，先把它的侧面展开，展开过后就会得到一个扇形，扇形的半径就是圆锥的母线，而扇形的弧长就应该等于底面的周长二拍 r， 然后我们把这个扇形分成两个区域，每个区域内分成若干份， 然后对这些进行排列组合，我们会发现会得到一个近似的矩形，当分数分的足够多的时候，这个图形它就是一个矩形，而这个矩形的面积就是圆锥侧面的面积。矩形的面积计算非常简单，长乘上宽， 宽就是母线长 l， 而长我们可以观察发现实际上就应该等于底面周长的一半，所以圆锥的侧面面积就应该等于 pi r 乘上 l。
58GGB数学周老师
01:57查看AI文稿AI文稿别人的视频平平无奇，博博轩视频带你学习，今天博轩给大家分享到六项数学期末复习。首先咱们读题，一个圆柱的侧面展开读，是一个边长十二点五六厘米的正方形，该圆柱的底面积是多少平方厘米？ 同学们，呃，同学们，这是我们昨天讲的那道题的延伸，只要我们记住一个公式就可以了。如果我们 圆柱侧面展开图是一个正方形，那，那他的底面周长，也就是正方形边长，所以他，所以他说边长是十二点五六正方形，咱们来求他底面积 边长。呃，那我们周长公式是什么？是不是派 d？ 我 们先求出它 d， 也就是十二点五六除以三等于四， 十二点五六除以三点一四就等于四厘米。呃，四厘米是直径，然后我们再求出它半径也是四除以二等于二厘米。 然后我们再求圆柱底面底面积，也就是求 圆的面。呃，圆的面积。圆的面积怎么求呢？是不是？也就是 pi r 方，也就是用三角一四乘以二的平方，三角一四乘以二的平方等于十二点五六 平方厘米。所以，呃，该圆柱的底面积是十二点五六平方厘米。 同学们，你们听懂了吗？
29博轩小课堂
00:14查看AI文稿AI文稿沿着圆锥的高竖直切一刀，得到的结面是最大的三角形，沿水平方向横着切一刀，得到一个小圆锥与圆台，结面是圆。动画演示简单明了。
1356精简画数
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01:08查看AI文稿AI文稿课间缺乏亮点，不妨来看看这个交互动画。如图有一个三角形，我们可以点击拖动任意旋转观察。 点击开始旋转按钮，三角形自动旋转形成一个圆锥体，在变为圆锥体后 又自动恢复变为三角形，并且重复这个过程。 点击停止旋转按钮，三角形停止旋转。除此之外，我们还可以四行拨动滑轨，展示三角形旋转变为圆柱体的过程。点击重置按钮，图形恢复到初设设置。 本次作品讲解就先到这里，若有任何定制需要或定制教程需要，都可以随时联系。
