严格单调和单调的区别

单调递增就是任取 x 一小于 x 二，都得有 f x 一小于 f x 二。而单调递减则是要 f x 一大于 f x 二。那这次我就来教教你如何用定义来严格证明函数的单调性。 首先咱来看函数 f x 等于二 x， 图像是斜向上的，显然是单调递增的。那要怎样严格证明呢？ 利用代数定义，你就认取 x 一小于 x 二，然后去证明 f x 一小于 f x 二，那咱就把他俩做个叉，正他们的叉小于零即可。 根据 f x 的解析式， f x 一减 f x 二等于二， x 一减二 x 二，也就是两倍的 x 一减 x 二，因为 x 一小于 x 二，也就是 x 一减 x 二小于零，那它的两倍也小于零。于是 f x 一减 f x 二，显然就小于零了。证明完毕。怎么样？简单吧，咱 来看个难点的，已知 f x 等于 x 三次方，它的单尿性是什么样的呢？ y 等于 x 立方的图像是这样的，肯定是在尿地增的，证明它其实就是任取 x 一小于 x 二，证明 f x 一减 f x 二小于零，那作差可得。 f x 一减 f x 二，就是 x 一立方减 x 二立方。 x 一小于 x 二，可以直接得到 x 一减 x 二小于零，但不能直接得到 x 一立方减 x 二立方小于零，这时就需要把它变变形。 那由立方加公式， x 一立方减 x 二立方，就等于 x 一减 x 二，乘以 x 一方加 x c， x 二加 x 二方， x 一减 x 二，显然小于零。要证明整个式子小于零，只需证明后面这部分大于零就行，这是个二次式。那想要说明它是正的，咱就把它配件方算一算，就是 x 一加二分之 x 二的平方，再加 四分之三倍 x 二的平方。这个式子是平方和显然大于等于零，而且要等于零，就得让 x 一 x 二都得零。但由于 x 一小于 x 二，它俩不可能都是零，所以式子就是大于零的，因此整个式子就是负的，成正的也就小于零了。 这样你就证出了 f x 一减 f x 二小于零， f x 就是在而上单调力增的了。 ok， 以上两个例子说明证明单调性，就是任取 x 一小于 x 二，去证明 f x 一减 f x 二的正负。 在证明差的正负时，其实都是通过代数变形，把 fx 一减 fx 二变成乘积的形式，而且乘积的每一部分还都得判断出正负。有的时候你可以直接看出正负，有的时候则需要通过配方等手段才行。不过还有时候正负不明确，你得会分区间讨论。 比如这个例子，讨论并证明 f x 等于 x 方的单调性，就是这样。要讨论它的单调性，你先认取 x 一小于 x 二，然后分析 f x 一减 f x 二的正负。 f x 一减 f x 二等于 x 一方，减 x 二方。那咱把它分解一下，就是 x 一减 x 二乘 x 一加 x 二， 其中 x 一减 x 二是负的，但 x 一加 x 二是正是负就不确定了。此时你必须根据图像分区间讨论。这是个二次函数，它的单调区间有两段，在负无穷到零是递减的，在零到正无穷是递增的。所以，那咱就分两部分说明。 首先看负无穷到零这部分，咱现在就取 x 一小于 x 二小于零，比刚才多了小于零这个条件。 f x 一减 f x 二等于 x 一减 x 二乘 x 一加 x 二，那因为 x 一 x 二都小于零，所以 x 一加 x 二就小于零。又因为 x 一减 x 二小于零，那乘以起 f x 一减 f x 二就大于零了。所以在负无穷到零， f x 就是单调递减的。 另一边零到正无穷也类似取零小于 x 一小于 x 二， f x 一减 f x 二。还是这个式子，因为多了 x 一 x 二都大于零，此时 x 一加 x 二就是大于零的了。 f x 一减 x 二小于零，乘起来 f x 一减 f x 二就小于零了。所以在零到正无穷， f x 就是单调递增的。 怎么样，明白了吧？像这种单调性分段的，你就先通过图像把 x 分段，分段以后你就多了个判断正负的条件，再在每一段里分别做差，便形成乘积，就可以判断出每一部分的正负，进而判断 f x 一减 f x 三 二的正负了。好例子都看完了，总结一下，这个视频讲了利用定义法证明函数单调性，方法也很简单，就是先假设 x 一小于 x 二，再通过作差去判断 f x 一减 f x 二的正负。 在判断正负时，一般都会把这个叉变形成几部分乘积的形式，其中有些可以直接判断正负，有些需要通过配方等其余手段解决，有些则需要根据函数图像分不同的单调区间来讨论才行。 但无论如何，关键都是便形成乘机形势，再逐个判断正负，得到最终的结果。怎么样？是不是觉得也不过如此？那就赶紧去秒杀题目吧！

大家一定分清楚这两个概念，一个单调，区间和区间上单调，特别是在填空做题的过程中，单调，区间和区间上单调。同学们好，我们一起来看下这道题。若函数 fx 等于 x 的平方加上二，乘以 a 减一倍的 x 加上四的单调递减区间是负无穷到四，问 a 的取值范围是多少？ 这道题也是一道容易出错的题，我们首先来看一下解，将函数的解析式进行整理，函数 f x 等于 x 平方，加上两倍的 a 减一 加上四，那么将它整理一下，就是 x 加上 a 减一的平方，前面加了一个 a 减一括号的平方，那么后面也减去一个 a 减一的平方。那么我们通过这个式子很容易看到函数图像的对称轴为直线 x 等于一减 a。 由于函数的单调递减区间是负无穷到四，所以就推出一减 a 大于等于四， ga 小于等于。 这个题很多人会这样来解，同学们看一下这样解到底问题出在哪里？之所以这样解释，很多同学对这个单调区间和区间上的单调这个概念没有理解。单调区间是一个整体概念，函数在某一个区间上单调，指的是这个区间是在相应的单调区间的一个子级。 这个地方大家一定要分清楚单调区间和区间上单调这两个概念，一定要分清楚这两个概念。由于题目给出的条件是函数的单调递减区间是 五到四，我们通过函数的解析式的整理化解得出函数图像的对称轴是直线 x 等于一减 a。 由于函数的 单调递减区间是负无穷到四，所以会推出一减 a 等于四，从而求得 a 的取值为负三，当 a 等于负三的时候，才能满足函数的单调区间是负无穷到四。 像上面这个错误的解答， a 小于等于负三，他求出的只是一个函数在这个区间范围内单调，他不是函数整个的单调递减区间。 a 小于等于负三，或者是 a 等于负四，那只是函数在负无穷到负四这个范围内单调递减，但是这个不是函数一个单调递减区间， 大家一定分清楚这两个概念，一个单调区间和区间上单调。特别是在填空做题的过程中，如果这个题说函数 fx 在不无穷到四的区间上说他在这个区间上单调地结的话，那么上面的解答是对的。这道题的讲师关注我，做更少的题，给更多的分析。

上个视频中，你已经学习了函数单调性的严格代数定义。单调递增就是认取 x 一小于 x 二，都得有 fx 一小于 fx 二，而单调递减则是要 fx 一大于 fx 二。那这次我就来教教你如何用定义来严格证明函数的单调性。 首先咱来看函数 fx 等于二 x， 图像是斜向上的，显然是单调递增的。那要怎样严格证明呢？ 利用代数定义，你就认取 x 一小于 x 二，然后去证明 fx 一小于 fx 二，那咱就把他俩做个叉，正他们的叉小于零即可。 根据 f x 的解析，是 f x 一减 f x 二等于二， x 一减二 x 二，也就是两倍的 x 一减 x 二，因为 x 一小于 x 二，也就是 x 一减 x 二小于零，那他的两倍也小于零，于是 f x 一减 f x 二， 显然就小于零了。证明完毕，怎么样？简单吧，咱来看个难点的，已知 fx 等于 x 的三次方，他的单调性是什么样的呢？外，等于 x 立方的图像是这样的，肯定是单调递增的，证明他其实就是任取 x 一小于 x 二，证明 fx 一减 fx 二小于零， 那做差可得， f x 一减 f x 二，就是 x 一立方减 x 二立方。 x 一小于 x 二，可以直接得到 x 一减 x 二小于零，但不能直接得到 x 一立方减 x 二立方小于零，这时就需要把它变变形。 那由立方加公式， x 一立方减 x 二立方，就等于 x 一减 x 二，乘以 x 一方加 x e， x 二加 x 二方 x 一减 x 二，显然小于零。要证明整个柿子小于零，只需证明后面这部分大于零就行。这是个二次式。那想要说明它是正的，咱就把它配 这下方算一算，就是 x 一加二分之 x 二的平方，再加四分之三倍 x 二的平方。这个式子是平方和显然大于等于零，而且要等于零，就得让 x 一 x 二都得零。但由于 x 一小于 x 二，他俩不可能都是零，所以式子就是大于零的， 因此整个柿子就是负的，成正的也就小于零了。这样你就正出了 fx 一减 fx 二小于零， fx 就是在 r 上单调率增的了。 ok， 以上两个例子说明证明单调性，就是认取 x 一小于 x 二，去证明 fx 一减 fx 二的正负。 在证明差的正负时，其实都是通过代数变形，把 fx 一减 fx 二变成乘机的形式，而且乘机的每一部分还都得判断出正负。有的时候你可以直接看出正负，有的时候则需要通过配方等手段才行。 不过还有时候正负不明确，你得会分区间讨论。比如这个例子，讨论并证明 fx 等于 x 方的单调性，就是这样， 要讨论他的单调性，你先认取 x 一小于 x 二，然后分析 f x 一减 f x 二的正负。 fx 一减 f x 二等于 x 一方减 x 二方。那咱把它分解一下，就是 x 一减 x 二乘 x 一加 x 二，其中 x 一减 x 二是负的， 但 x 一加 x 二是正是负就不确定了。此时你必须根据图像分区间讨论。这是个二次函数，它的单调区间有两段在，负无穷到零是递减的，再零到正无穷是递增的。所以，那咱就分两部分说明。 首先看副无穷到零这部分，咱现在就取 x 一小于 x 二小于零，比刚才多了小于零这个条件， fx 一减 f xr 等于 x 一减 xr 乘 x 一加 xr， 那因为 x 一 x 二都小于零，所以 x 一加 x 二就小于零。又因为 x 一减 x 二小于零，那乘以起 fx 一减 fx 二就大于零了。所以在负无穷到零， fx 就是单调递减的。 另一边零当中，无穷也类似取零小于 x 一小于 x 二， f x 一减 f x 二。还是这个式子，因为多了 x 一 x 二都大于零，此时 x 一加 x 二就是大于零的了。 rx 一减 x 二小于零，乘起来 fx 一减 fx 二就小于零了。所以在零到正无穷， fx 就是单调递增的。 怎么样，明白了吧？像这种单调性分段的，你就先通过图像把 x 分段，分段以后你就多了个判断正负的条件，再在每一段里分别做差，便形成成绩，就 就可以判断出每一部分的正负，进而判断 fx 一减 fx 二的正负了。好例子都看完了，总结一下，这个视频讲了利用定义法证明函数单调性，方法也很简单，就是先假设 x 一小于 x 二，再通过做叉去判断 fx 一减 fx 二的正负。 在判断正负时，一般都会把这个叉变形成几部分乘机的形式，其中有些可以直接判断正负，有些需要通过配方等其余手段解决，有些则需要根据函数图像分不同的单调区间来讨论才行。 但无论如何，关键都是变形成成绩形式，在逐个判断正负，得到最终的结果。怎么样？是不是觉得也不过如此？那就赶紧去秒杀题目吧！

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确定函数单调区间的关键是要来判断这个函数增减区间的分界点，函数递增递减，生活多姿多彩。 同学们好，从今天开始，我们来讲解函数的另外一个考点，划分函数的单调区间。首先来一起看下这道题，是求函数 y 等于 x 平方，加上 x 分之十六的单调区间，并指出其 单调性。我们按照这个教材当中给出的函数单调性的这个定义来一起做下解。首先给出这个函数式，他的定义欲是 x 不为零，分母不为零，那么我们设 x 一不等于零， x 二不等于零 七， x 一小于 x 二，则按照定义， f x 一减去 f x 二，我们把 x 一 x 二分别代入上面的式子，那么就是 x 一的 平方加上 x 一分之十六，减去 x 二的平方加上 x 二分之十六。将这个式子因式分解成几个式子相乘的形式， x 一减 x 二， x 一加 x 二 减去 x 一， x 二分之十六。那么接下来我们另 x 一等于 x 二等于 x， 将这个 x 一等于 x 二等于 x， 代入这个式子，我们求出这个使的 fx 一减 fx 二等于零的这个值，我们代入 r， x 减 x 平方分之十 六等于零，解的 x 等于二，那么求出这个零点。我们结合函数的定一域，很容易知道上面这个函数 y 等于 x 平方加上 x 分之十六，有三个单调区间，那么的分别是不无穷到零，零到二，二到正 无穷这三个区间。那么我们接下来分别看一下函数在这三个单调区间的单调性。首先看第一个，当 x 一小于 x 二 小于零时，我们看这个式子， x 一减 x 二小于零，那么当 x 一小于 x 二小于零时， x 一加 x 二是小于零的。十六除以 x 一乘以 x 二，那么这个式子是大于零。一个负数减去一个正数，那么它是小于零的。 所以后面这个式子， x 一加 x 二减去 x 一， x 二分之十六，这个式子也是小于零的。 所以 fx 一减去 fx 二大于零，那么这个函数在这个区间内是一个单调递减函数，当 x 一小于 x 小于零时候，连函数单调递减。再看第二个区间，当 x 一大于零，小 小于 x 二小于等于二十，前面的还是 x 一减去 x 二小于零，那么 x 一加 x 二是大于零小于四，那么 x 一乘以 x 二也是小于四的一个数。十六除以 x 一乘以 x 二，这个比值，那么肯定是大于四， 所以很容易推算出 x 一加 x 二减去 x 一， x 二分之十六，这个式子是小于零的，那么负负得正。我求的 fx 一减去 fx 二大于零，函数在这个区间内单调 递减。再看第三个，当 x 一大于二小于 x 二时，那么 x 一减 x 二小于零。后面的式子 x 一加 x 二大于四十六，比上 x 一和 x 二的乘积小于四，后面的式子大于零， 所以 fx 一减去 fx r 是小于零的，那么原函数单调递减。坐在这里我们就知道，函数在负无情到零这个区间内是单调递减，在 零到二这个区间内也是单调递减。在二到正无穷这个区间内，函数是单调递增的。那么这道题到这里就解完了，回头我们一起看一下。确定函数单调区间的关键是要 要来判断这个函数增减区间的分界点，就是我们说的开始求出使得这个地方等于零的一个点，我们只需要找出这个单调递增和单调递减这个临界点，从而就很容易找到函数的单调区间这函数进行划分。这道题的解决就是关注我做更少的题，提更多的分。

大家好，今天给大家分享一下麻将里边这个单调是什么意思啊？大家可以看一下我手里的这个牌一共十三张，然后还差一张就要胡牌了， 其中二三是克子，九也是克子，五六七是顺子。然后目前如果说我再来抓来一张红中的话，我这个牌就胡牌了。比方说我现在抓牌抓来一张红中，哎，那我胡牌了，那我胡的这个牌就叫单调啊。首先他这个单调是有两个必要的因素， 第一点就是说你抓来这个牌和你手中的其中一个牌，他组成了将牌。对，单调在麻将里边也叫单调将，就是你抓来这个牌和你手中的 其中的一个单张组成了一个降排，这是第一点。第二点就是说唯一性。什么是唯一性呢？就是说你抓来你这个降排只能有这么一 种形式的奖牌。比方说，嗯，咱们把这个红中改一改啊，咱们是改成八万， 如果这个牌你也抓，你也抓牌抓来一个八万，虽然你这个八万和你手中的一张单张的八万组成了一个降牌，但是这个就不叫单调了，因为他不是唯一的。为啥不是唯一呢？因为如果说你这个时候你抓了一个五万， 也是这五万也是储存降排，然后六七八再组成一个顺子，所以他不是唯一的。你这个时候你假如说胡排的话，他是有两种降排的形式， 五万和八万这两种降排的形式。而如果这个八万换成红中的话，他只有这一种单调的形式，只有红中这一种降排的形式， 所以他是唯一性。第二点就是说你你抓来那个牌形成了一个降牌唯一的，然后降牌这个就叫麻将里边就叫单调。 好了，关于麻将里边这个单调是什么，就跟大家分享到这里啊，如果大家有什么疑问的话可以下方留言啊，我喜欢我的视频啊，可以点点关注，最后谢谢大家的观看。

上个视频中，你已经学习了函数单调性的严格代数定义。单调递增就是认取 x 一小于 xr 都得有 fx 一小于 fxr， 而单调递减则是要 fx 一大于 fxr。 那这次我就来教教你如何用定义来严格证明函数的单调性。 首先咱来看函数 fx 等于二 x， 图像是斜向上的，显然是单调递增的。那要怎样严格证明呢？利用代数定义，你就认取 x 一小于 x 二，然后去证明 fx 一小于 fx 二。那咱就把它俩做个叉正，他们的叉小于零即可。 根据 f x 的解析式， f x 一减 f x 二等于二， x 一减二 x 二，也就是两倍的 x 一减 x 二。 因为 x 一小于 x 二，也就是 x 一减 x 二小于零，那他的两倍也小于零。于是 f x 一减 f x 二 显然就小于零了。证明完毕。怎么样，简单吧，咱来看个难点的。已知 fx 等于 x 三次方，他的单调性是什么样的呢？ y 等于 x 立方的图像是这样的，肯定是单调递增的，证明他其实就是任取 x 一小于 x 二，证明 fx 一减 fx 二小于零。那做差可得 fx 一减 fx 二，就是 x 一立方减 x 二立方。 x 一小于 x 二，可以直接得到 x 一减 x 二小于零，但不能直接得到 x 一立方减 x 二立方小于零。这时就需要把它变变形。 那由立方加公式， x 一立方减 x 二立方，就等于 x 一减 x 二，乘以 x 一方加 x e， x 二加 x 二方， x 一减 x 二，显然小于零。要证明整个柿子小于零，只需证明后面这部分大于零就行。这是个二次式，那想要说明它是正的，咱就把它 配件方算一算，就是 x 一加二分之 x 二的平方，再加四分之三倍 x 二的平方。这个式子是平方和显然大于等于零，而且要等于零，就得让 x 一 x 二都得零。但由于 x 一小于 x 二，他俩不可能都是零，所以式子就是大于零的。 因此整个式子就是负的，成正的也就小于零了。这样你就正出了。 fx 一减 fx 二小于零， fx 就是在 r 上单调率增的了。 ok， 以上两个例子说明证明单调性，就是认取 x 一小于 x 二，去证明 fx 一减 fx 二的正负。 在证明差的正负时，其实都是通过代数变形，把 fx 一减 fx 二变成乘机的形式。而且乘机的每一部分还都得判断出正负。有的时候你可以直接看出正负，有的时候则需要通过配方等手段才行。 不过还有时候正负不明确，你得会分区间讨论。比如这个例子，讨论并证明 fx 等于 x 方的单调性。就是这样。 要讨论他的单调性，你先认取 x 一小于 x 二，然后分析 f x 一减 f x 二的正负。 f x 一减 f x 二等于 x 一方，减 x 二方。那咱把它分解一下，就是 x 一减 x 二乘 x 一加 x 二。 其中 x 一减 x 二是负的，但 x 一加 x 二是正，是负就不确定了。此时你必须根据图像分区间讨论。这是个二次函数，它的单调区间有两段。在负无穷到零是递减的，在零到正无穷是递增的。所以，那咱就分两部分说明。 首先看副无穷到零这部分。咱现在就取 x 一小于 x 二小于零，比刚才多了小于零这个条件。 fx 一减 s， fx 二等于 x 一减 x 乘 x 一加 x， 那因为 x 一 x 二都小于零，所以 x 一加 x 二就小于零。又因为 x 一减 x 二小于零，那乘以起 fx 一减， fx 二就大于零了。所以在复活球到零， fx 就是单调递减的 另一边零。刀种无穷也类似。取零小于 x 一，小于 x 二， f x 一减 f x 二。还是这个式子，因为多了 x 一 x 二都大于零，此时 x 一加 x 二就是大于零的了。 ix 一减 x 二小于零，乘起来， fx 一减 fx 二就小于零了。所以在零到正无穷， fx 就是单调递增的。 怎么样，明白了吧？像这种单调性分段的，你就先通过图像把 x 分段，分段以后，你就多了个判断正负的条件，再在每一段里分别做叉变形成成绩， 就可以判断出每一部分的正负，进而判断 fx 一减 fx 二的正负了。好例子都看完了，总结一下。这个视频讲了利用定义法证明函数单调性。方法也很简单，就是先假设 x 一小于 x 二，再通过做叉去判断 fx 一减 fx 二的正负。 在判断正负时，一般都会把这个叉变形成几部分乘机的形式，其中有些可以直接判断正负，有些需要通过配方等其余手段解决， 有些则需要根据函数图像分不同的单调区间来讨论才行。但无论如何，关键都是变形成成绩形式，在逐个判断正负，得到最终的结果。怎么样，是不是觉得也不过如此？那就赶紧去秒杀题目吧！

哈喽，同学们，今天我们开始讲这个十七列函数的凹凸性及函数图形的描绘。首先看第一题，他说函数 f x 满足一阶导数小于零，一阶导数小于零是不是递减？ 那么二阶导数大于零是不是凹的？因为我们说了二阶导数大于零，凹，二阶导数小于零呢？凸。所以开始选 f x 递增全部去掉吗？ 然后形状应该是凹的，所以是不是应该选 c？ 这个就是单纯的考察十六年和十七年的基本概念，就是通过一阶倒数判断单调性，然后通过二阶倒数来判断是凹的还是凸的。 那么第二题他是直接给了一个具体的函数，问在这个区间里面是真真还是减，还是凹还是凸？ 是不是讨论一阶倒数的正负和二阶倒数的正负就好了。所以首先是讨论一阶倒数等于多少，是不是等于十二的 x 的三次方减去十二 x 的平方。 后面的一求导是零，不用管。那么这个时候横向是不是可以提一个十二 x 平方出来？那么还有一项是 x 键去一， 那么我们知道在一到正五球里面，前面是正的，后面呢？后面一定也是大于零。所以整整个一阶导数是不是一定大于零。那么一阶导数大于零就是单调递增，所以 a 不选， b 不选，只有 c 和 d 是单调递增的嘛。然后通过凹凸性来判断，继续判断二九倒数等于多少，是不是应该等于三十六 x 的平方减去二十四倍的 x x， 那么这个时候又显然是不是可以提一个十二 x 出来。那么另外一项就是三 x， 然后呢，减去二， 那么三 x 减二是不是一定大于零？为什么？因为三 x 加二，它的图形是这样的，过零零负二这个点。然后呢，过三分之二 零这个点，所以它的图形是这样一条直线，那么超过一的时候，它一定，超过一的时候一定是个正的，十二 x 也是正的，所以这一项是大于零。那么二阶导数大于零是不是一定有，它是一个 out 呀。所以这个题选 c。 我们再看第三题，第三题他说 f x 严格单调提升且遭的。那么一般来说递减是什么？递减是不是一件 导数要小于零，那么凹的呢？那么二阶导数是不是要大于零？所以我们开始选第一个一阶导数，他写的大于零肯定排出来啊，大于零也排出了，只有 c 和 d 是小于零。然后再看二阶导数，二阶导数应该大于零，他 d 选项是小于等于零，肯定不选，那么就只有选 c 了，所以用排除法可以选 c。 但是这里我们要就是一般来说，如果大家是零基础，不管是机构还是你们去找那种辅导的，一般不会给你讲第一轮，不会给你讲的特别严格， 就是都是教一些基本的概念。那么一般我们只会教单调递减的时候，是一阶导数小于零，或者是小于等于零。那么什么叫严格单调递减呢？我们都知道一阶导数小于等于零，我们说只要不是横等于， 那么他是递减的。但是他他因为带了一个等号，我们把它叫做非严格单调递减。什么叫严格呢？严格就是 一直保持一个向下的趋势，但是当倒数等于零的时候，他是有一个水平的趋势的，所以他不叫严格。单调递减。严格就在于他不能去等，必须是很小于零或者很大于零。所以这个题 c 选项他这里是没有等于号的， 但是后面他没有说是严格凹或者是怎么样的，所以你看后面他是带了等号的。当然我们一般说严格单针单减，一般是针对 真这个单调性来说呢，我们凹凸一般不说严格单凹不说严格凹或者说严格凸，这个我们没有，我们都是针对单调性才说严格对，这个 要注意一下。然后第四题他说函数 f x 等于 x 的四次方，这是一个具体的函数，他问 f x 怎么样？这个时候其实如果大家真的是把我前面讲的听进去了，这个时候 有些同学肯定会觉得不好做，肯定想着要求导数，求一阶导，二阶导。但实际上这个题利用图像法会非常快。首先是一个偶函数，然后随着 x 的增加，他是不是递增的呀？ 所以他的图像是这样的，类似于一个抛物线，他类似一个抛物线，对称的。所以我们一看过去，他有没有极大值？没有，只有一个极小值，所以有极大值去掉，有极大无极大值，这个是对的。有极小值确实有极小值，无极小值也是错的。那么有没有拐点呢？我们说拐 是凹凸的交界点，但是整个图像是不是都是凹的呀？所以他是没有拐点的。这个题就选 b， 用图像法，这个是这么判断。那么如果你非要通过一阶倒数呢？那么就是一阶倒数等于多少？等于四 x 的三次方， 四 x 的三次方。那么我们另外撇大于零能推出来什么？是不是 x l 大于零， 同里外撇小于零呢？那么 x 要小于零，是不是说明有一个极值点，就是 x 等于零吗？ x 等于零，你看左边的时候，左边是递减，是不是？因为外撇小于零吗？那么是先减再增，所以它是一个极小值。 这是用这，这是用常规的方法去判断有几小子。那么拐点呢？是不是继续判断二阶导数可导函数 数的拐点一定是二级导数等于零，二级导数等于十二 x 的平方。但是这里要注意外撇是不是横大于等于零？不，我们说拐点一定也要二级导数，两边要一号，但是这个时候二级导数一定大于等于零，是不是不是拐点？ 我们说拐点可导函数的拐点一定是二阶导数等于零。但是我们有没有说过二阶导数等于零一定是拐点？没有，就这个一定要区分好。其实他和我们一阶导数求极致点一样，我们说过只要是可导函数， 他的极致点去求导的话一定等于零。但是呢，我们有没有说过，有没有说过这个一阶导数等于零的这个点一定是极致点，不一定是不是。他是触点，但是不一定是极致点。必须要通过左右导数要一号才能 判断它是否是极值，那么拐点也是一样的。所以这样就把它统一起来记，这样会方便一点。 然后我们看填空题，第五题，他说 y 怎么样怎么样？他说求拐点。那么是不是通过二阶导数可导函数吗？一看就是可导。那么 y 撇等于多少？等于三 x 的平方减去六 x， 一阶倒数与我们没有关系吗？我们要求的是二阶倒数等于六， x 减六，那么这个时候另外两撇等于零，是不是得到 x 等于一，那么这个拐点是不是就出来了？这个时候不需要继续判，不需要判断他是不是拐点，因为题目问拐点是什么，就一定有啊， 然后你求出来了，只有一个一，那这个拐点就是一多少带进去是一，减去三加一是不是等于负一？一负一是拐点，那么这个就是一， 一个非常大的坑。我们真题，我们这个真题里面就经常这样出填空题，他问拐点，那么有些同学前面写习惯了，因为我们前面经常说连续点，间断点，还有什么点？还有这个极致点，我们都写的是 x 等于 x 零 这种形式，但是只有一个是例外，那就是拐点一定要写成点的形式，写成 x 零 y 零的这种形式，点的坐标的形式。这是一个坑。 第六题他说已知曲线外，怎么样怎么样？这个时候你说他是具体函数吧，但是有参数说他不是具体的函数吧，但是人家有形式给出来了呀， 但他只不过是含有参数问题。我们说了含有参数问题的题目无非就是解方程是不是一个未知数，解一个方程两个未 字数呢？连立二元方程吗？两个方程减两个未知数吗？这是我们初中学的，他说他的拐点为二零，那么这个时候要解 a b 是不是通 两个未知数，一定要列两个等式出来，是不是首先它经过二零这个点，是不是能带到这个方程里面，使它的等号成立，所以就是零等于多少呢？二带进去是不是八 a， 然后呢加四 b， 然后加上十六， 这是过二零。但是我们只利用了这个点的坐标的形式。我们经常说题目做不出来，一定是你还有条件你没看到是不是，人家还说他是一个拐点，拐点有什么特征？能告诉我们什么？是不是？在这个点的 这个地方，它的二阶导数要等于零。那么一阶导数等于多少呢？一阶导数等于三 a x 的平方加 上二 b， x 加八，然后二两就是二阶导数呢？等于六 a x 加上二 b。 那么二阶导数是不是在这个点处应该要等于零？那么把 x 等于二带进来啊， 那么就应该是零等于十。二 a 加二 b 等于零，是不是把他们两个连立起来，一减就可以了。那这个时候怎么写呢？第一个等式是不是可以除以一个四啊？那么就等于零等于二， a 加 b， 然后加四， 下面也可以。下面这个方程也可以除以二，那就是零等于六， a 加 b 是不是然后两个都有一个 b。 我们初中学的就消元法嘛，我们用下面的减上面的，那就是零等于四， a 减四，那么 a 是不是就等于一？ a 等于 e， a 等于 e 的话， b 是不是应该等于负了？对，这个题解出来就是这样。那么像这种含有参数的题目，我们其实从第一章求极限的时候，我们就一直在做这种题。所以大家不要怕，这种题无非就是列个方程把它解出来嘛。 那么第七题给了一个具体的函数问凸区间。我们都知道什么时候为凸呀？是不是二阶导数要小于零？那么你就要先把二阶导数解出来，然后是不是解不等式就好了。解不等式我们第一章第一节是不是就交过了呀？ 我们求定义的时候都是解不等式吗？所以先要求一阶导数。一阶导数等于多少呢？这是一个除法的求导法则，这个时候上面也不是下面的整数倍，所以这个没没必要用我们之前说的那个。呃，也用不了那个除法。这个 直接用除法的法则。上面求到等于多少是一。那么一乘以 x 的平方，减去二 x 乘以 x 加一，再除以分母的平方 x 的四次方。所以上面 x 平方减二 x 平方是负 x 的平方。然后呢，减去二 x 除以一个 x 的四次方，等于多少呢？可以把负提出来，然后上下除以 x， 那就是 x 加二。然后呢，再除以个 x 的三次方。这是一阶倒数，那么二阶倒数等于多少呢？二阶倒数等于。 还是一样的。图法法的负号放在前面不动，上面写到是一。那就是 x 的三次方减去三 x 的平方，乘以 x 加二， 再除以 fm 的多少次方平方，也就是 x 的六次方。那么等于负 x 的三次方。减去三 x 的三次方，是不是负二 x 的三次方。然后呢，再减去一个六 x 的平方， 就是除以 x 的六次方。最后负号跟里面的负号可以约掉，那么就变成加里面，变成加上下都可以约掉 x 的平方。那是多少呢？是不是二 x 减去加上六，除以 x 的四次方。 这个轴我们要突区间，突区间应该是二级导出小于零，下面是不是很一定是一个正数啊。所以另外两撇小于零的时候，把 x 的四次方可以往右边乘，而且不改变符号，那就是二 x 加六小于零。最后解出来是不是 x 要小于 负三呀？因为移过去是负六除以二嘛。对， x 要小于负三。那么这个时候，呃，这个题目当然我没有挖坑，如果要挖坑，大家想一下应该是怎么挖坑，让你基本上会做，但是一分都得不了。就是我们说过的定律问题。 这个时候我们算出来的范围是 x 小于负三，但是先考察一下定义是什么，定义是 x 不等于零， 所以零刚好在这边。然后呢，小于负三。所以这个题的凹，这个凸出去就是负无穷到多少到负三。 但是如果我只要把这个凸字变成一个凹，大家想一下，我估计错的人就多了。因为如果是凹，如果是凹区间，大家点出来是 x 大于负三，很多人就 就会直接写负三到正无穷，这样一分都没有。因为定义要求 x 不等于零，那么如果是凹区间，这个题就只能写负三到零。并。呃，要不要并？我们说过，嗯，这个时候要不要加并？想一下，定义是一定要加并的， 这个时候建议大家不加冰。我们前面总结过，只有定语加冰，其他的都不要加 负三到零。然后呢，和这个零到正无穷应该是这样做。 所以只是一个字的差别。而且大家不要忽略这种东西。真的，如果真的坑你们，你们一错就错三分，太可惜了。英语选择题一个才零点五分，想一下你要做对六个知识点，才 才能把这三分弥补过来。但是数学是不是最好提分呢？平常平常，养成好习惯。就就像我前面说的那么，我为什么每次都是做了之后，然后就是把正把一个思路走完了之后，再来考虑定英语。这是因为我形成我的我的习惯了。我这我就是考研的时候就形成这样的习惯了， 就是我习惯最后考虑，因为而且我能控制的住。我我我一定会告诉我自己，就是我要考虑一下定律。但是你们不一样，你们如果还暂时没有形成我这种坏习惯，就一定要先让自己形成一个更好的习惯。 这种题目真的或者干脆整个试卷上只要有函数，你先把定义写在旁边，这样是最好的提醒自己不要掉到坑里。