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03:46查看AI文稿AI文稿球面胶线问题是立体结合的一个难点，但是他借助的原理却是非常简单的，就是我们知道任何一个平面去和球面去相交，胶线是一个整个圆，就是洁面是个圆， 那这时候的话，比如说球星是在这个位置，而的话，那个截面一个平面去截，形成了一个圆，整个圆的轨迹，那这就是圆的圆心。也就是说我们的话，在这个普通的平面去结球的时候，我们有一个固定关系，这就是球心和当时截面圆心的距离的。然后就是 这个洁面员的半径，这是球的半径，也就是咱们都清楚大二方等于小多方，加上个小二方。那我们现在要去做的球面交替问题是什么呢？是一种平面图形去解球啊。如果是一种平面 图形去接球的话，咱们要清楚哈，他的轨迹基本上可能就是这么一段呼，就不是一个完整的这个名了啊， 也就是说轨迹基本上是一段活啊。但是他寄托的过程就是我们的话，第一个要找什么呢？就是这个球星 o 二 啊，在底面上就是你要往那个面，不是有一个平面图形吗？那个面就是我们现在这个圆所在的面，要去把他的头顶给 oe 找到，也就说 the 我们就可以去求出来。而的话求的半件我们正常去处理这个关系。用上去之后，那我们就清楚的话，就是这个 这个平面图形中的这个小二是多少了，那有了这个小二我们的话再去啊，跟一个圆心角啊相关的一些数据啊，去求这块火场就可以了。这 就是一种的话，由这个平面去接球，转化到平面图形去接球的一个过度啊，这就是一个原理性的过程。那我们看一下这个题，这个题的话是在一个正方体当中啊，我们先把正方体给他，简单一句话啊， 他说是这个 a b c 的 a 一 b 一， c 一得 e。 他说以 a 一为球心，二跟二就是球的半径是个二跟二。与侧面哈。同学们， 大家要清楚侧面，侧面是个平面图形哈，底面和侧面都是平面图形，并不是一个完整的平面。所以与侧面 a 一 b 一， c 一得一啊。与这种平面有点交 线长，基本就是换圆弧。说明要做的是什么呢？哎，就找这个这这个 a 一是球星嘛，那就到那个面的投缘点，就是圆的圆形，那投缘点在这个题当中非常简单，就是 a 一，所以 a 一哈，就是我们现在类似于这个位置的一个状态。 所以的话，接下来的话你找这就是个得呀，所以这个题的得就很好。求得的话就是一个正方体的蓝长是个二，所以的话，而我们求的半径是他嘛，所以我们用上这个，咱说的这个关系就是二跟二的平方，就等于的的平方加上一个 小二方，所以的话，也就是说这个小，这是一个小二，就是一个正二，对吧？啊，所以的话，也就是说这时候小二是个正二的话，我们的话就把这个现在要求那块长度，你看这块长度哈，正好是个给这个平 出现当中，这个也是个二，所以他才正好形成的就是这么一块，就是四分之一个正好是这样。因为这个题的小二和蓝长一样，所以胡长长这是个九十度是吧？所以的话，那整个圆的这个东西就是这块胡长 带二长度就等于我们圆心角二分之派对吧。这个圆心角再乘个二啊，所以答案就是个派。
01:15查看AI文稿AI文稿这是一道关于球级投影的迷惑题。球级投影形象的说就是在球的顶部放上一盏灯，在灯光的照耀下，球面上的图像投影到一个平面上。 球级投影有一个重要的性质，就是投影后角度不变。我们可以看到球面上的经线和尾线之间的夹角一直没有变，我们转动球体，夹角也一直保持不变。 反过来，我们把平面沿着从球级引出的射线包到球面上， 平面上纵横线的夹角也保持不变。 再来看这个 三角形，我们知道他的内角和等于一百八十度，这是三角形的一个重要性质，我们把它投射到球面上，他的三个角都保持不变， 那么他的内角和还是一百八十度。但是球面几何中有一个重要的性质三角形的内角和大于一百八十度。问题到底出在哪里呢？
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01:32查看AI文稿AI文稿球与平面相交得到是个圆，而留在几个点的表面上是一段段圆弧，那这些圆弧的计算应该怎么算呢？圆弧弧长等于圆形角成半径，圆形角用弧度制，那么每一段弧长你应该认真思考他应该在哪个圆上。 球星到截面的投影，那就是圆心，那我们根据 d 和大 r 可以计算出这个圆的半径，这是我们求截面问题的一个核心。我们先看前面那个圆， 前面那个圆是以球星为圆心，那个圆，这个好计算，根据题目意思，这是二，这是刚好三，那么这段就是一， 也就是这么一个角是三十度，这个角也是那么圆心角就是三十度了，三十度弧度至就是六分之派，六分之派呈上半径，那么弧长 三分之派就出来了。跟前面那个面一样的，还有左边那个面，下面那个面，我们来看上面那个面，球星在上面那个面的投影是 a 一，所以 a 一就是那个圆的圆心 半径就是刚才计算的一个一，所以这个圆呢，也是比较好计算。圆形角是二分之派，半径是一好，上面那个面二分之派跟上面那个面一样的， 还有后面那个面，右边那个面，那么相加，答案就出来了。总之这种洁面的弧长问题，关键是先找到圆心，然后再求出圆心角。一道高考真题，可以检验一下自己到底有没有学会，试试看吧。
1743河北石家庄高中数学刘老师
06:58查看AI文稿AI文稿今天来看一道非常有意思的几何问题，球面上任意两点间的平均直线距离是多少？注意是直线距离啊，而不是球面距离。 这道题呢，涉及到一个概念啊，叫做平均距离。那在这种立体图形中，平均距离是怎么定义的呢？ 先看一下我们熟悉的图形啊。比如说我们都学过二重积分，在一个区域上对一个立体图形求体积，我们就需要使用二重积分。 那这个体积呢，可以看成是无数多个小长条给你累积在一起对吧？那每一个小长条呢？都有它的高度。那 所有小长条加在一起，就是他整个的体积嘛。如果再除以一个底面积，那就相当于是他的一个平均的高度吧。也就是，如果用图形表示的话呢，其实就是大 这个样子啊。所以啊，平均距离就是所有的距离加在一起，除以他所占用的面积。那我们就用这个思想来看一下这道题怎么做。那这道题求的是任意两点之间的距离啊，所以说这两点是均匀分布的。 那我就可以把其中的一个点，比如说北极点，我固定住进为叫大恩，那么从大恩出发，你就可以做出无数多个距离吧，对吧？ 那这些距离的总和怎么求呢？我们这块还是采用微圆的思想。我首先按照纬度把这个球给你横着切成很多很多非常窄的球带。 比如说我画的这个样子啊，我选取其中的一个球带，相当于就是这个阴影对吧？大家注意啊，这是一个立 立体图形，也就是说他是绕了一圈，是一个袋子。那我就先计算一下，在这个小的球袋上所有的总和是多少。 那比如我先记这个角度为 c 塔哈。然后因为这个袋子是非常非常的窄，所以说这个小的角度，我记为叫得他 c 塔。 那这个词它 c 弹呢？要非常非常的小，要曲径于零哈。然后我先求一下 n 到这个球带上点距离是多少。那我就先连接 n 到这个点，比如说记为叫 a 吧。那我先看一下 a n 的长度是多少。那很显然，如果我记 n o 是半径 r 的话，那 a o 也是 r 吧。所以说，这就是一个等腰三角形啊。所以我就连接一下他的中线哈，等腰三角形里面三线合一嘛。那于是这个角 呢，就变成了二分之 c 塔。所以啊，这一块的距离，那就是 r 乘以 song 二分之 c 塔。所以 a n 的长度就等于两倍的塔嘛。因为这只有一半，这就是二倍的 r 乘以 song 二分之 c 塔。好，我的第一项工作已经完成了， 接下来来干第二件工作哈。还是用威远的思想。当这个球带非常非常窄的时候，我就可以把它近似的看成是一个圆柱体的侧表面吧。 那他的面积怎么求呢？那就相当于是底边这个圆的周长，乘以这个圆柱体的高度就可以了。那周长怎么求啊？那其中这块就是他的半径吧。很显然，这个角度是 c 他呀，所以他半径就是 r 乘以三 c。 他那圆的周长呢？就是二 派乘以 r 撒引 c 塔对吧？周长就有了啊。那他的高度是哪呢？高度就是这一小块吧，就是近似的啊，就是这个小的湖长嘛。 无偿公式我们也知道啊，就是半径乘以圆心角，那圆心角现在就是泽他 c 他嘛，对吧？所以我们把它写在这里哈。那这个球出来近似的就是这个球带。 再次使用威远的思想啊，当这个球带非常非常窄的时候， n 点到这个球带上的每一个点的距离，就约等于 n 到 a 的距离吧，对吧？因为你可以把它看成是 距离相同哈，都是 n 到 a 的距离。所以在这个小的球带上，他的这个距离之和就是 a n 的距离乘以他的面积。那球带上的这些距离和，有了那整个球面上所有点的 距离和，就相当于对所有这些球带做积分就可以了，对吧？所以我们就可以把这个积分式子列出来了哈。那就是 ct 的范围，从零走到派好 an 的距离，二 r 乘以 sion， 二分之 ct， 对吧？然后 球带上每一点的距离都近似的看成 a n。 所以说再乘以这个球带的面积，那就是二派乘以 r， 乘以 sion c 塔再乘以 r。 注意啊，后边这个得他 c 大，他要屈均于零啊。所以在定期分式这边，我们就写成 d c 他就可以了。那这个式子呢？就是所有的距离合。那如果要求平均距离呢？那我只需要再除以整个球的表面积就可以了。 所以表面积公式哈，四派 r 的平方。好把这个数算出来就可以了哈。那上边这个式子里边二二二派 r、 r 这些全是常数吧，所以可以提出来，就是四派 r 的三次方，然后后面啊零到派 sign 二分之 ct sign sit dct 比上四派 r 的平方，那上下就消了一个 r 出来，然后剩下哈零到派。 后面这个式子呢，我们为了能把它积分积出来啊，前边的上一二分之 c 他保持不变。后边呢，上一 c 他，我给你拆成二倍角公式，二倍的上一二分之 c 他乘以扣上二分之 c 他 d c 他。 所以我只需要再做一个简单的换元就可以了。把二分之 ct 呢给你整体替换掉。于是呢，就变成了二倍的零到派。撒引二分 支 c 塔二倍的 c 二分之 c 塔口 c 二分之 c 塔 d。 我把这个二分之给它挪进去哈。那我把二分之 c 它呢整体设成一个 u 吧。于是呢，这块儿就变成了这有一个二，这有一个二哈。所以承在一起是四 r 倍的。 前边 u 是二分之 c 他吗？所以他的范围是从零走到二分之派。后边哈两个散，这就是散方 u 乘以一个 co 散 u du。 后面这个式子就很好算了哈，我们就可以利用华理式公式就可以了。那就变成一一减掉 q 散方 u 乘以 q 散 u d u。 所以就变成四二乘以零到二分之派的。前边的话呢，就是 q 三 u d u。 后边的话呢，就是 是扣三三四方有 d o 对吧？然后简单的算一下哈，那就是四分之 r 乘以一，减掉三分之二结束。结果算出来三分之四 r。 好了，这个就是他的平均距离。
599数学救火队长马丁
01:23查看AI文稿AI文稿这里有一个平面，它上面有纵横交错的网格，纵线和横线相互垂直，每个角都是直角。 我们在它上面放一个球，准备把平面包到这个球上，并且保证每个角仍然是直角。 在三维建模软件里边，有一些工具可以将平面包裹到球面上，但我们很容易能够看出那些纵横交错的线不再互相垂直。那怎么办好呢？ 在球的顶部，也就是北极放一个点，然后引出一些射线毛固到平面上。 我们把这些射线看作绳索，保持他们的方向不变，然后逐渐缩短。在他们的牵引下，平面就会慢慢包到球面上。 这样包出来的球面纵横交错，线仍然保持互相垂直，每一个角仍然是直角。这就是数学中球级投影的一个重要性质。
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04:15查看AI文稿AI文稿说实话，能够用间隙做出踢老贡的题目，我相信这是人生的一大乐事。好，我们一起来讲一下这道 非常简洁，但是难度特别大的一道外界球啊。首先我们先把图给画一下时间关系啊，我这边间隙已经建好了，根据什么样的理由呢？这很简单，就是我这里有个面面垂直的条件对不对？有一个 a、 b、 c 跟这个底面垂直的条件，所以自然你做底面的这个垂线做过来，本身 a、 d 会垂直 b、 c， 所以说这就意味着我这一段这个 b、 c 会垂直于 a、 h、 d， 对不对？是这个道理吧，大家，我就可以建立空间直角坐标系。 那咱们建完戏之后，现在主要有个难点啊，什么难点？就是他任何的长度都没有，就有光边的长度都没给啊。那这种情况的话，咱们该怎么办呢？其实我们就稍微拼一下，把所有点桌不要都设出来，字母多点没关系，这个时候狭路相逢勇者。 比如说我们先设这个 c 点，设这个 c 零零 b 点的话，就是负 c 零零，字母多点嘛，一点是零 d 零，没关系的， a 点是零零 a 至少是一个前进的方向，然后 o 点就是零 e、 f。 为什么是零 e、 f 啊？其实很简单一点，因为他毕竟面面垂直，他不会投影到 x 轴上。 当我们把点设好之后，我们先把体积表达一下，其实体积就正好是坐标轴所在的三条直线的乘积表达嘛。所以咱们说这个 v 啊，就会等于三分之一乘二分之一的 b、 c 乘 d、 h， 再乘以 a、 h， 正好就是三分之一的 a、 b 和 a、 c、 d， 对吧？这大家应该没问题，就体积表达式，你先放那边，至少是一个方向，对，那接下去我们所有的方向就是围绕着 a、 c、 d、 ef 这五个字母如何画成一个字母了，所以接下去方向我们写一下好，写好之后，那接下去我们就不断的利用这个勾股定理。首先一开始我们说这个把三角形给它连起来一下，是这个绿色的这一块，下去我们这样写， 因为 c h 为 x 轴，所以此时咱们的这个 c h 肯定是垂直于 l、 z 这个平面的， 那咱的 c h 就垂直于 o h， 所以是不是就有 o h 的平方加 c h 的平方等于多少？ c 的平方就意味着 b 方加 f 方加上 c 方等于九，这个条件很关键。 那你写完这个条件之后，那我们说本身这个体积表达式当中的这个 ad 对不对？他会干嘛？他会小于等于二分之 a 方加 d 方，当 a 等于 d 时成立。 那这样子，首先我们 a 等于 b 这个条件就已经出来了，下去我们继续去寻找鼓鼓的三角形，我们用红色的给它连起来。啊，还有几个 rt 三角形，还有这样的 rt 三角形，有两个，大家可以看仔细一下，有这样的两个 rt 三角形，所以我们就说在 rt 三角形 aooe 与 rt 三角形 o、 o、 e、 d 当中，对吧？那其实的话它就很明显了，你会得到这样的两个式子，分别是 a 减 f 的平方加上 e 方等于九。哦， a 减 e 的平方加 f 方等于九，它是对称的，那这样是不是就意味着我的 e 是等于 f， 是吧？ 那既然 e 等于 f， 那所以我这个就可以得到 e 等 e 等于 f 等于多少？你带到这上面去，那就是根号下二分之九减 c 方啊。接下去的话，你把 e 的这个取值啊，你给我带到这个方程里面，对不对？ 那是不是还会有这个 a 减去根号下二分之九减 c 的平方，加上二分之九减 c 方等于九，对不对？这个时候咱们把它平方展开完，算完之后就是 a 的四次方加上 c 的四次方，正好等于多少？ 十八 a 方吧，这大家应该没问题啊，反正我这边过程已经讲的很清楚了，那这样的话我们说最后我们就可以得到什么 a 方，对不对？他会等于九加上根号下八十一减四方， 这里 c 四次方，这里用的就是一个主元法，对吧？把 a 用 c 表示，那最终这道题不就基基本结束了吗？ 一是三分之一的 a 方程， c 乘上九加根号下八十一减 c 的四次方，那最后这个式子对不对？我们就很容易通过求导算出最值，那他的这个最大值就应该是等于五根号下四十五的开四次方。
09:18查看AI文稿AI文稿这节课我们一起来学习旋转体中的球。首先来聊一下什么叫做球半圆，以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面呢，我们叫做球面。来看这个半圆，这是半圆的直径。好，我们把整个半圆给画下来， 以他的直径所在直线为旋转轴，这是他的旋转轴。旋转一周三百六十度所形成的曲面呢，我们叫做球面，那么他就是一个球面，球面所围成的旋转体呢，我们才叫做球体，简称球，整个这个就是一个球。 关于球，我们要掌握三个知识点。第一个，半圆的圆心，我们叫做球的球心，这是半圆的圆心，我们叫做球的球心。第二个呢，连接球心和球面上任意一点的线段，我们叫做球的半。 只要连接球心和球面上任意一点的线段，我们都叫做球的半径，这条红色就是球的半径，球的半径呢，会有无数条。 第三个连接球面上两点并经过球心的线段呢，我们叫做球的直径，比如说这个紫色，这一条就是球的直径，球的直径。球面上两点和这个圆心的一个关系呢？他们是弓线的三点，弓线 了解了球的相关定义，我们再来了解一下球的性质，用一个平面去结球，结面是圆面，我们随便拿一个平面去结球啊，得到了一个结面呢，他必定会是一个圆面，比如说这个，他是一个圆面。 球心和洁面圆心的连线呢？垂直于洁面，这是球心与洁面圆心，这是洁面圆的圆心， 他的连线呢，肯定会垂直于这个圆面啊，垂直于这个洁面。第三个，球心到圆面的距离，地 与球的半径大和结面半圆的半径小二的关系呢？小二是等于根号大的平方减去 t 的平方。这里来看一下，这里欧到欧一撇，他的距离是 d， 而球的半径呢，是大二， 这个洁面圆的半径呢是小二，因为这里球心到圆心，他是垂直于这个圆面的，所以这是一个直角三角形，这样是一个直角直角三角形。我们利用勾股定理，大二的平方是等于 d 的平方，加上小二的平方，两直角边的平方和 等于斜面这平方，那么把它移过去，最后我们得到小二是等于根号大的平方减去低的平方。了解了求的一些相关知识，我们再来做一个练习题， 半圆绕着他的直径所在直线旋转一周，得到的轨迹是什么？有些同学很容易选 a， 但是要注意，半圆以他直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成曲面，我们叫做球面， 球面所围成的旋转体，我们才叫做球体，所以他的轨迹呢，其实是一个球面。答案应该选 b 选项。 接下来我们再来做练习题，来巩固一下过球面上两点可做球的大圆的个数有多少个？什么叫叫做球的大圆呢？了解一下球的大圆和小圆。球面被经过球星的平面截得的圆呢，我们就 叫做球的大圆，比如说黑色这个就是球的大圆，这个平面呢，一定经过球心，比如我们再画一下这个，他也是球的大圆，这个平面里边呢，也包含这个球心。 而被不经过球星的平面截到的圆呢，我们叫做球的小圆，比如说红色这个就是球的小圆，我们再随便画一个，他也会是球的小圆，你看这是他的球的小圆圆，球星不在这个洁面里边，这是球的大圆和小圆。那么反过来我们再来看这个题， 过球面上两点可做球的大圆的个数会有多少个呢？他会分为两种情况。答案应该选 b 选项， 哪两种情况？第一种呢，过球面上两点可做无数个大圆，当这两点呢？当这里 两点和球星他们三点，一二三点在同一条直线上，也就是他们是直径的时候， 球面上两点连接以后呢，他是直径的时候，会有无数个大圆，旋转一周都可以，这个这个大圆旋转一周都是可以的，所以会有无数个大圆。 那么过球面上两点可做一个单元的情况呢？如果当一二两个点他们的连线呢？不是 不是直径的时候，那么与球星，也就是说这个球星一定在圆里边的话，组成大圆的话只有一个，为什么不在同一直线上？三点，尤且只有一个面？ o 点， a 点， b 点，只能组成一个面，不在 在同一条直线上，这个后面大家会学习好，所以这最后答案选 b 选项。接下来我们再来做一个练习题，用一个平面结一个半径为十三厘米的球，得到一个面积为二十五派平方厘米的圆， 是球球心到该截面圆心的一个距离是多少？这个题呢，我们先把图给画出来，用一个平面截一个半径为十三厘米的球，这个半径是十三厘米，这个球的半径是十三厘米，得到一个 面积为二十五派平方厘米的圆啊，这个面积是二十五派平方厘米。二十五派，他是等于多少圆的面积？公式是派二平方，派二的平方。派和派约去二呢，就是等于五小二等于五，他的半径是等， 而这个球的半径呢是等于多少？球的半径是等于十三，这样球的半径等于十三，因为他是一个直角三角形， 十二、五十三，他们刚好组成一组勾股数，所以他这里的值呢是等于十二，十二的平方，加上五的平方是等于十三的平方，那么 球心到这个结面缘的圆线呢，是等于十二厘米。第二个用一个平面结半径为五厘米的球，这里他的半径呢是五厘米。球星到结面距离为四， 这个球的半径呢是五厘米，而球心到洁面的距离呢为四厘米。现在问洁面圆的面积，洁面圆的面积，我们只要知道这个洁面圆的半径就可以了，因为他是一个直角三角形， 三四五刚好组成一组勾股数，那么得出前面圆的半径呢，二是等于三，根据圆的面积公式呢，是等于派二的平方，所以是等于三三得九九派，最后他是九派平方厘米，这是这个练习题，主要利用呢关于 d 是等于根号大的平方减去小二的平方，这个呢是球星到结面圆心的距离，这个呢是球的半径，而这个呢是减面圆的半径。第二个呢，我们利用圆的面积公式 s 是等于派二的平方，这个呢是圆的半径。 最后我们来做下小结，这节课我们学习了球的定义性质，以及球的大圆小圆的一些项概念，进来看一下球的定义， 半圆，以他的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面呢，我们叫做球面，这就是一个球面，而球面所围成的旋转体呢，我们才叫做球体，简称球，这边就是一个球。球呢，我们需要掌握三个知识点，半圆的圆心呢，我们叫做球的球心，这个是球的球心， 而连接球心和球面上任意一点的连线呢，线段呢，我们叫做球的半径，这条线段叫做球的半径。另外呢，这一点，这一点和这一点在同一直线上，那么他是球的直径，球的直径和半径呢，都会有无数条。 另外我们要了解球的性质，用一个球，用一个平面，用一个平面去结球，结面呢是圆面，比如说任何一个平面去结球， 然后呢，得到的一个洁面呢，他必定会是一个圆面。球星到洁面，圆心的连线呢，他会垂直这里，他肯定会垂直于洁面，他是垂直的，那么在连接这里 会发现这是球的半径，这是圆球心到圆心的距离地，那么这个是解灭圆的半径，刚好是一组勾股数 d 的平方，加上二的平方是等于大的平方，那么得出小二是等于大平方，减去 d 的平方开根号。 另外我们了解球的大圆和小圆的相互概念，球面被经过球星的平面截得的圆呢，我们叫做球的大圆，也就说球星一定会在这个节面里边， 而被不经过球星的平面截到的圆呢，我们叫做球的小圆，这个球星一定不能在这个洁面里边，那么叫做球的小圆。好，这节课我们就讲到这。
340滴答课堂
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04:13查看AI文稿AI文稿这是二零一九年全国一选择题的压轴题，考察的是外接球，让我们求他的体积。这是立体结合中的一个难点。 因为现阶段的同学对于立体几何部分，尤其是空间想象这一块是有很大的缺陷的，所以高考数学特别重视这一块。这也提醒我们二零二零年的考生一定要重视的就是自己空间感的培养。 我们来具体解一下这道题。这一道题一共有两种思路可以去考察，我把它详细解一下，希望同学们能够把它认真听完 看。把这个文字语言转化成图形，画出来是这个样子的。他告诉我们三轮追 p a、 b， 然后 p a 等于 pp 等于 pc。 三角形 abc 是边长为二的等边三角形 ef 分别是 ap 跟 ab 的终点， 然后角 c、 e、 f 等于是九十度为我们这个球的体积。要求这个球的体积，我们得证他的半径。那我们根据他这个弧形， 先把已知条件标上。知道 abbc 是个等边三角形，那么他就是二，这一段就是个二，这一段也是个二，那么相应的 cf 就等于跟三。我们不知道 p ab、 p a、 p p pc 他们的长度，所以我假设一下 p a、 p b、 pc 分别是二 x。 我为啥要假设是二 x 呢？因为这边我们清楚 ef 是三角形 abp 的中微线，假设他是 x 的话，那么运算相运算起来会比较麻烦， 那么 papbpc 都是二 x， 那么我们知道 ef， 那就是 x。 那么在这个直角三角形中， ec 的长度不知道。 我假设他是个 y， 那这个时候我们就可以在三角形 p ac 中以及三角形 aec 中用对这个角用两次语弦定理。如果看见我看到过，我之前讲课时那个同学一定能够回忆起来这个题。我之前类似的题型是说过的，就是要用两次语弦定理 对这个三角形用两次语弦定律。最后我们可以导出来 x 平方减 y 平方就等于的是负二，这是一个式子。然后再直角三角形 e fc 中，我们知道 x 方加 y 方 等于的是三，那么两个式子一连立，我们就可以求出来 x 的值了。那么这个时候就可以求出来 pc 的长度就等于的是 跟二呢？那我们知道 p a 等于 pb 等于 pc， 都等于的是跟二，那么他是跟二，他是跟二。 bc 等于的是二。那么显然 pbc 是个等腰直角三角形。这个模型，这三个面互相两两垂直。 这个模型是我们高中数学非常常见的一种墙角模型。墙角模型的话，这个题应该倒过来，想到他是正方体的一部分，用补全法做模型求出来。 我们求出来这是一个边长，是根二的一个正方体。这个时候他的外接球踢击就非常简单了。这个题最后算下答案，题应该是 这第一种方法。还有一种方法思维不是用数字进行预算，而是用我们立体几何中相关的垂直进行验证。我们可以 假设 ac 的终点，我重新画一个图看一下这这个图形。我假设 ac 的长， ac 的终点是个 h， 连接 ph 跟 bh。 我们知道 ef 这个三角形的中位线， ef 平垂直于 ec， 那么 pb 平行于 ef， 那么 pb 就垂直于 ec 了。又因为 ac 是垂直于 ph 的， 而 ac 还垂直于的是 bh， 所以我说三角形。我说我，所以我说 ac 就垂直于平面 pbh， 那么 pb 就垂直于 ac 了。 pb 既垂直于 ac， 还垂直于 ec， 而这两个两条线是相交的，所以 pb 垂直于平面 p ac 红鲤 pc 垂直与平面 pab。 我们就可以知道这三个面是两两互相垂直的。那么又回到刚才那个问题上，这是墙角模型。
802高考数学
03:02查看AI文稿AI文稿二零二零年山东卷的填空压轴题，把很多同学考哭了。其实这道题难度并不是很大，他就考察了一个求的截面问题。来，我们看一下这个题目说十四棱柱，他的棱长均为二 角， b、 a、 d 是六十度，这个是六十度。当然了，这里也是六十度对吧？说以第一为球星跟五为半径的球面与侧面的交线长为多少。 来。我们想，一个球相当于被侧面所截截着的图形，得是一个圆对吧？那我们就研究下这个圆就可以了。那怎么去研究呢？我得先找圆心。 圆心和球星的连线。他是和那个洁面垂直的。所以我们要看一看，过第一的哪条线能和 bccebe 这个侧面 垂直。我取 b 一 c 一的终点 m， 我连接 d、 e、 m， 那这个地方它必然是垂直的，因为这里是六十度对吧？这段长度是一，这段长度是二，正好是一个直角三角形。 好，那既然是这样的话，那这段长度是跟三。现在我们要求的是，你看求的半径是跟五对吧？那现在这段是跟三了。要想半径是跟五， 那跟三和跟二，股骨定理能变成跟五。那我们想一想，我们就要找到 m 的距离等于跟二的点。来。我们想想，那其实就是以 m 为圆心，以 以根二为半径的一个圆呗。那这比较好，画了这段长度为一。然后呢，我取这个终点，我取这个终点，它为 e， 它为 f。 来我们看一下 m、 f 的长度，他其实就是跟二对吧？一一跟二。同理， m 一的长度也是跟二， 那么 e、 f 这一段弧实际上就是圆的一部分。 但是你要注意，他说的是球面与侧面 b c c 一 b 一的交线。说到底，他不是整个圆，他只是这一段弧。那我们要算一算这个角度大概有多少度，对吧？好，那很明显，这个是根二，这个是根二，这个四十五度，这个四十五度。这是个直角， 相当于他是九十度，是四分之一圆的周长。好，那既然是这样的话，我们再求交线长就出来了。那四分之一圆的周长，那就二派二。 二是多少？刚才算出这个得是跟二。哦，这样我一算，他就是二分之跟二拍。于是这个题就出答案了。交线长为二分之跟二拍。各位爱图，这道题目你学会了吗？
511展神数学思维提升
13:20查看AI文稿AI文稿你们好，今天我们一起来看这样的一个问题。呃，我的同事周老师呢，是一个非常厉害的地理老师， 他在朋友圈发了这样的一个视频，在地球上北纬四十五度，上面有两个点， 那么这两个点也就是这两地之间的距离啊，什么时候最短？他猜想呢，应该是大圆， 然后呢，他用用一个西瓜，用实验的方法来证实了他的猜想。 但作为一个有点这种完美主义倾向，或者叫强迫症的这样的一个数学老师，我总觉得这里面还有一点什么东西，是不是可以从数学的角度，我们来更加或者稍微 准确一点来说明他呢？我们看一下周老师的这个图，这是一个非常漂亮的西瓜，分为四十五度，有一个点 a， 这里一个点 b， 然后呢， 我们大概率的可能会想啊，最短的不就是沿着这个北纬四十五度线这样过来吗？最短， 但周老师用事实证明了不是，而应该是经过 ab， 我们做一个大圆，大圆上的这段圆弧 ab 才是最短的。那么问题来了，什么是大圆呢？ 大圆就是是球体里面的这样的一个术语，所以啊，这是 首先是一个立体几何问题，这件事情是发生在球当中，那什么是大圆呢？ 就是大圆的圆心就是这个球的球星，而大圆的半径就是这个球的半径，也就是啊，我拿一把刀去切这个西瓜， 也就是用一个平面去结这个球体，结得的最大的那个圆，大家可以想想，是不是肯定经过这个球的球星，那么结得的那个是不是一个圆形，那个圆就是 大圆了，那么为什么这个大圆上的这段圆弧 ab 就比我们这个呃这个绿色的，就比这个 呃橙色的他就要短呢？除了实验证实的话，我们还有什么数学上面的方法呢？我们用几个画板来一起演示一下， 他就是这样的一个球，球面上面有任意的两点 ab， ab 呢，是在一个小圆上，然后呢？ 嗯，经过 ab， 我们做一个大圆，也就是以这个球的球星 o 为圆形，以 olb 为半径，做一个大圆，然后做出一段圆弧，一个红色的跟一个深绿色的，我们现在要证明什么呢？ 证明这个绿色的呀，要比红色的要长，也就是红色的比绿色的要短。红色的是什么？是大圆上面的这段圆弧，那这又怎么证明呢？ 这个是在一个空间当中，是在是一个立体的图形，那么我们思考他是比较麻烦的，那我们有没有什么别的想法呢？哎，对了，空间的问题啊， 我们把它平面化，同时还要注意到里面啊，有哪些关键的信息， a 点， b 点啊，是两个定的点， 说明 ab 这两点之间的距离啊，是确定的。现在呢，经过 ab， 我做一个小圆，再做一个大圆，我要证明大圆所对的那个弧长，相应的弧长啊，要比小圆的要短一些，那么是不是可以转化成这样的一个问题了？有这样的一个定点， a 和 b 连接， ab 是一个线段，在所有的以 ab 为弦的这样的圆当中啊，这个圆的半径月 大，他对着这个弧长， ab 他就越短，因为在球体当中大圆是半径最大的那个嘛。那我们知道所有满足这样条件的圆，他的圆心在哪里啊？对了，就在以 ab 为 呃 ab 的中垂线上，我们可以用几个花板演示看一下，当半径减下来的时候，他在增大，当半径增大的时候，这个圆变大，哎，这个弧长反而变，怎么样？变小了，那这究竟又是为什么呢？ 大家再观察一下，在变化的过程当中啊，当这个圆的半径变大的时候，我们是不是可以看到这段弧长跟 ab 这个线段是不是越来越接近啊？两点之间 线段最短，但在球面上面他是无法做到这一点的，他是不能在球内部连接起来，他到底球内部了吗？弯曲的长度 他在逐渐的减小，无限的接近哪一个呢？哎，接近这个线段 ab 的长，我们作为有完美主义形象的数学这个工作者，那么觉得他还可以再努力一下，能不能继续的再说的更清楚一点呢？ 哎，也就是啊，我要证明这样的一个结论， ab 呢为定场，则以 ab 为弦的所有圆当中， 半径越大，那么经过 ab 的这个裂弧的长度，也就是上面这个小的短的这一段，这个裂弧的长度啊，他就越短， 我们要震半径越大，这个弧长越短的话，就是证明半径 可能对这个胡常有影响，是吧？那我们就得找这个胡常啊，跟半径有什么关系？而我们知道胡常跟半径是什么关系呢？我们 根据扇形的弧长公式， 根据扇形的弧长公式，我们可以得到这个扇形的弧长，也就是这个猎户的弧长，我们把它叫做 l 吧，就等于这个半， 进而再乘以这个角 amb， 那这个角 mb 当然是用弧度表示了这个 mb， 我们如何去描述呢？因为我们最后要跟什么建立联系啊？ 对了，跟 ab 的长是不要建立联系啊，怎么把半径，角度还有这个弧长建立联系呢？哎，这些是我们常见的辅助线了， 垂进定理好过 m 点做这个 ab 的垂线垂直，我们记为一，那这时我们看到我们可以把这个角表示出来了，这个角如果记为 x 叫 ame 等于 x， 那么 l 就等于儿乘以二 x， 那么不妨设 a， e 等于 a， 那么我们就立刻可以得到。在三角形 a， e， m 当中， c x 就等于 a 除以 r， 也就是儿就等于 a 比上 三 x。 那么我们为什么表示成这个呢？因为 l 等于 r 乘以二 x， 这里面有两个字母， r 和 x。 那我们要研究他们之间的关系，是不是要干嘛呀？想到校园 两个位置是我们不太好处理吗？那这里我们削哪个呢？削 r 还是削 x 啊？可以看出来，削 r 得到 x 是比较容易的，带入进去就得到 l 等于二 a 乘以 x 比上 thanks x 当然有范围应该在零到二分之排。 这时候啊，我们想要证明什么呢？我们的证明的是半径越大列弧弧长越短，而半径越大的时候，很容易看到这个 x 是越小的。 所以啊，我们其实就是在证明什么呢？证明这个关于 x 函数， x 比上三 x 是单调递增的，这样的话就是 x 越大，那么 l 就越大，而 x 越大，说明什么呢？说明儿是越小的，也就是儿越小， l 越大， r 越大， l 越小，是不是就得到证明了？接下来我们就继续我们要研究 x 比上三 x 单调性 最常见的想法是干什么呢？对了，用倒数，所以我们求挡 fe px 就等于 sign x 平方分至 x， 一撇乘以三 x 减去 x 乘以扩散 x， 我只要正的 f e p x 大于零是不就可以了哦，那么如何正 f e p x 是大于零呢？看分子， 他显然又是一个哎，看起来稍微有一点点复杂的函数。我们关注到啊， x 在零到二分之派上面， g 零刚好是等于多少零，所以我们就想啊，如果这个 gx 也是单挑递增的问题不就解决了吗？那看看事实是不是像我们想的那么如意啊。 我们继续研究 gx， 他的单挑性，求到三 x 撇括三 x 减去 x 撇乘以 扩散 x 加 x 乘以扩散 x， 皮肤的三 x 扩散一次，扩散一次，我要消掉负负得正 x 三 x 哦，显然在零到二分之排上大于零，所以我们就可以得到 gx 啊，就大于 g 零， 嗯，因为 gps 单大于零嘛，所以 gx 单量要底深， gx 就肯定比 g 零要大， g 零刚好是零，所以我们可以得到 f epx 大于零，也就是 fx 在零到二分之排上单调底层，所以我们就可以得到 x 越大， 这个 f x， 也就是这个 l 等于二 a 乘以三 x 分之 x， 他就越大，那也就是半径越大，这个弧长就越短。 所以在这 好回顾一下刚才我们这个解决这个问题的过程啊，我们是从 实际生活当中啊，本来应该是研究地球上面的这个两点间的距离问题，从当中抽象出来一个 具体的球的模型，也就是从生活实际当中 抽象出数学的问题，当然周老师也给我们做了很好的示范，当我们有了一个猜想的时候，我们干什么呢？对了，我们用实验去验证，他如果想要更 更加精确的表达，那我们就可能要用到数学。所以我们从实际生活当中啊，抽象出 数学问题， 当然这里啊，他是一个什么问题呢？他是一个立体结合的问题，解决这个立体问结合问题，我们是如何做的呢？ 把它平面化，但这里我们抓住了一个关键的点， ab 两点的特点是什么？ 他是两个定点，从而我们就解决了这样的一个问题。当然对于周老师的这个视频啊，呃，最大的疑问是什么呢？就是这个西瓜他究竟甜不甜？好，开个玩笑。那我们今天呢，就聊到这里。好，同学们，再见。
96小闲地理![[高一春季8]内切球与外接球问题，牢记几个常用模型就可以 #高考数学 #立体几何 #外接球 #内切球](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/cad39b148603f4ae3c71686d8e54d2d6~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2099815200&x-signature=8X%2Bl6oMiwsrwcdBl9nsFJzgeKuU%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260719182708F73058988B3912EB90C7)
12:36查看AI文稿AI文稿大家好啊，今天咱们来讲一下立体几何中的外接球和内切球的问题，实际上这节课除了外接球和内切球之外，还有一个什么球呢？还有一个棱切球，什么叫棱切球？你听下去就知道了啊。咱们先来看一下第一个问题吧，外接球问题， 外界球问题的话，主要是长方体或者正方体这样一个外界球问题，也会有一些这个四面体的外界球问题，咱们来看一下。首先这个长方体外界球问题的话，他有很多变形 这种外接球，咱们先来看第一个图， a、 b、 c、 d 是一个四面底，或者说是一个三轮锥吧，这个三轮锥的话，他也画出来了，在这样一个三轮锥中，他很特殊。特殊在哪呢？就跟你们家里的墙角一样，墙角的地方，这个 cd 这条缝，还有 cb 这条缝，还有 ca 这条缝啊， cd、 c、 ab 和 ca 两两之间是互相垂直的，所以我们也经常把这样一个丧命追叫做什么呢？叫做墙角模型的这样一个丧命追墙角模型能理解吧？这是第一个图， 那第一个图的话，它特点咱已经说清楚了，那关键是第一个图，它这个外接球的直径，如果是长方体的直径的话，它是非常好求的。这个二 r 或者说二 r 的平方，它等于什么呀？它的话上帝和咱已经说过了，它是等于 a 方加 b 方加 c 方的，这个 abc 分别指的是长、宽、高，对吧？ 那么外接球的直径那怎么求呢？外接球的直径实际上你求的还是。咱们现在必须先下一个结论了，在平面结合里头，大家知道三个不贡献的点，确定一个圆，这个是没有任何问题的啊。在平面结合里头，三个不贡献的点 确定一个圆，但是现在到哪了呢？现在是立体几何，现在咱们可以类比一下，写另外一个定力了啊，在立体几何中哦，四个，四个。什么四个不共面的点？四个啊，最少得四个。四个不共面的点。 确定一个什么？确定唯一的这样一个球体，比如说 abcd， 这是四个顶点吧，这四个顶点就是可以确定唯一的一个球的，这个就是四个不公平的点。确定一个球体，这个就是立体几号里头这样一个定理了，这一定要知道， 那现在咱们看了啊，对于第一个图来说啊，如果你想求他外界球的直径，还是很好求的，只需要把原来的四面体或者说这样一个墙角模型补全成为一个长方体就可以。这个长方体的长方高分别就是小 a、 小 b 和小 c， 你也能看出来吧。所以说，对于第一个图来说， 他这个外接球的直径还是等于什么？外接球的直径还是等于 a 方加 b 方加 c 方的。继续来看第二个啊，第二个图的话也特殊，嗯，然后特殊在哪呢？特殊在他这样一个四面题。哪个四面题啊？ a、 b、 c、 d 这样一个四面题，或者说三分之一以后这样一个四面题的话，他四个面都是直角三角形，比如说，嗯，看哪四个面呢？首先第一个三角形啊， abd 是不是直角三角形？是啊，因为 ab 垂直于整个底面啊，那么还有那三角形 abc， 看第二个图啊，这个图，哎，是不是直角三角形？也是啊，因为 a、 b 垂直于 b、 c 啊，还有别的啊，还有别的面，还有哪个面呢？比如说三角形 c、 d、 b 这个三角形是不是直角三角形？是啊， 因为 cd 垂直于整个侧面， abd 这样一个侧面还有什么？还有三角形哦，还有一个 cda 啊，他是不是直角三角形是因为 cd 这条棱，他是垂直于 ad 这样一个面对角线的，他俩肯定是垂直的， 所以说他四个面就这样一个四面体，他特殊的地方就在于他四个面都是直角三角形，所以有些面系体里头，他问你 是否存在这样的四面题，他的四个面都是直角平角性，你不要下意识的去说没有，其实是有的啊，要记住了， 前头这两个模型是最重要的，最后一个反而不是那么重要啊。对于中间这样一个模型来说，这个 abcd 他的外接球直径怎么球啊？也是啊，我把这样一个四面体拼成一个完整的长方形不就可以了吗？当你补完这样一个长方形 后，你发现他的长宽高分别就是小 a、 小 b、 小 c， 其中小 c 也是 ab 的长度啊，小 b 也是 bd 的长度长宽高吗？ 所以他的结果仍然是直径等于 a 方加 b 方加 c 方。其实你现在也知道了，直径，他实际上就是补全以后的长方体的。什么长方体的体育点儿线嘛， 那最后一个图形咱就不说了啊，最后一个图形反而就更简单了。现在我们来练三道题，第一道题的话，其实人家都没有图，都得你自己去画。已知一个正方体，正方体就是长方体啊，特殊的长方体，他的所有顶点 都在同一个球面上，那不就是球这样一个外接球吗？球外接球的体积，他告诉你，这个正方体他的表面积呢，是十八，表面积是十八的话，那咱写啊，表面积等于六 a 方嘛，如果每条龙长是 a 的话， 等于十八，所以说小 a 算出来是根号三，那么这个小 a 有啥用呢？咱们看了啊，你应该把右边这样一个长方体看成是什么，看成是正方体了啊，正方体他这个小 a， 小 b， 小 c， 他实际上都应该写成小 a 都等于根号三。所以首先咱们求 这样一个外接球的直径，直径的话，那好说呀，其实就是正方体的体对角线 a 方 a 方 a 方取完以后的话，这个 r 是等于二分之三的。好，既然说外接球这样一个球体的半径知道了，所以说体积，咱们套一下公式，三分之四派 r 的立方，对吧？ 最终算完以后就是二分之九拍了，答案呢，就是二分之九拍就可以了，理解我的意思吧，图的话，其实需要你自己来画啊，咱们来看第二个，第二个题，这个题 的话，你看 p a， p b， p c， 两两之间互相都是垂直的，这就是墙角模型吧，那墙角模型的话，你需要先把图画出来啊，而且这个墙角的话，分别它的长度是什么？ p a 等于二， pb 和 pc 呢？都等于一，没问题吧？那现在咱们看一下这个图啊，这个图我稍微改一下顶点就行了，这是 papb， 这个就是 pc 吧。 哦， p a， p b， p c 的长度咱们都知道啊，其中 p a 等于二，然后 p c 呢？还有这个 p b 都等于一，注意啊，这个点是点 p， 我再标一下吧。 好，这不就是墙角模型吗？墙角模型补全成为一个完整的长方体之后的话，它的长方高分别就是刚才的二、一一啊，所以说它外接球的直径其实就是补全的长方体的 对角线的长度，那不就是二的平方加一的平方，再加一的平方，所以说他这个半径呢，其实是等于二分之刚好六的，你半径都求出来了，那体积的话，我们还是掏空值三分之四派 r 的立方， 那最终求案是多少？那，那就是根号六派就可以了，没问题了吧。那我们继续来看第三个啊。这个第三题的话是这么说的啊，已知四面题 abcd， 他四个面都是直角三角形， 你看对应的是我们刚刚介绍的中间那样一个四个面都是直角形条形的四面提拔很重要的啊， 并且告诉你 ab 是垂直于 bcd 的，然后 abbcd， 如果你刚刚学这个立体集合的话，不画图的情况下确实很难做出来啊。我的话，先把这个图画出来吧，稍微改一下这个顶点就行了啊。大家现在看一下这个蓝笔， 然后其中这个的话就是点 c 了啊，这个点是点 c， 然后改一下位置就行了，这个点是点 d。 哦，他是这么说的，四个面都是直角平角型吧，他的长度分别是，哦，这个 ab 等于二， b、 c 等于二， c、 d 呢，也等于二。那你既然四个面都是直角三角形，我们把这样一个四面题 a、 b、 c、 d 补全成为一个什么补全成为一个图中的长方体， 长方体的长宽高显然都是二，其实也就是一个正方体啊，所以说他这样一个外接球，直径是多少？直径就是二方，二方就是三个二的平方加起来，那不就是二倍根号三啊。 我们把这个球体的半径等于根号三，其实是已经算出来了，那算完这个之后的话，表面几乎就是四派 r 的平方，最后等于多少？ 等于十二派就结束了吗？讲完了这个外接球之后的话，接下来就得看一下这个内切球和棱接球了。什么叫内切球呢？你看第一个图啊，第一个图的话肯定大家都熟悉啊，对于这样一个正方体来说，因为他的啊，八个顶点吧，八个顶点的话，他都是在哪， 都是在某一个球体上，所以这个球体的话叫什么名字啊？叫做正方体的外接球，主要看后两个啊， 第二个图，第二个图的话，谁跟这个球体相切啊？你一定要注意的是每条棱他一共有十二条棱啊，每条棱他都是跟这个球体相切的，此时他不叫内切球，人家叫什么？ 哎呀，人家叫棱切球，这个东西叫棱切球的哈，一定要区分清楚。然后呢，最后一个题，那最后一个图，他当然就是内切球，什么叫内切球啊？内切球就 指的是一个球体，他跟正方体每一个面都是相切的，这个就叫内切球了，一定注意这个名字，那我们分别来球一下吧。 第一个图啊，他这个外接球半径这一号球吧，首先你这个直径的话，是等于根号下 a 方， a 方再加上 a 方的这个没有任何问题， 那么整理之后的话，这个 r e 不就是二分之根号三 a 的意思吗？这个没问题的啊，咱们主要来看第二个和第三个，第二个图的话是什么呢？第二个图注意了， 这个叫什么名字？这个叫棱切球，棱切球的话，其实我们应该看的是他这样一个立体图形，他的主视图当你把这个主视图也就是这个平面图画出来之后的话，就很简单了，主视图的话我就直接画了啊，先画一个正方形肯定是有的。另外你画完这个主视图，画完正方形之后的话，还得画圆， 圆的话，你注意看啊，他这个主视图主视图的话，实际上就是垂直于 abcd 这个面去垂直的看他们，然后他这个圆在哪啊？这个圆实际上是这个正方形在主视图里头啊，这个圆是正方形的。什么呀？这个圆是正方形的这样一个外接圆， 你注意他这个长度等于多少？每条冷长都等于 a 吧，那你说这条长度等于多少呢？也就是说这样一个半径，半径的话好说呀， 你看图中这样一个 oab 形成了一个什么？形成了一个等要直角形角形，所以我们直接写二分之根号二就行了。这个呢是第二个图也没什么问题，来看第三个图啊，第三个图那就更简单了，第三个图我们只需要改造一下这个主视图的样子就可以了。第三个图，首先你告诉我啊，他叫什么名字 啊？他叫内切球啊，对于内切球来说的话，我们现在还是先把这个正方形主视图里头啊这个正方形给画出来，画完之后的话，主视图里头你肯定也能想象到这个圆呢， 实际上是跟每条边都是相切的。既然你这个边长都是等于 a， 所以我这个半径肯定等于二分之 a 吧，所以最后一个写二分之一就行了。当你了解了这个内切球和棱切球之后，接下来这个问题肯定难不住你了。我们来看啊 啊，二十四，他这个表面节二十四的话就意味着二十四等于六 a 方嘛，也就是说这个正方体每条棱他都是等于二的。 二算完之后的话，你看先算什么？先算？那就先算外接球吧。这个外接球的话刚刚刚说完，他这个半径是二分之根号三，然 然后这个是 a， 对吧？然后这个 r r 的话是内切球，那内切球的话应该是等于多少的内切球？内切球正好是等于二分之一的啊，二分之一 a 算完之后的话就是等于多少，就是等于一的。二十三的话，实际上就是棱贴球啊，这个球体呢，跟每条棱都是相切的。那既然相切的话，还记得刚才那样一个比制吧？刚讲完啊，二分之根号二 a， 那么算完之后的话，其实就是根号二了。我们最终整理一下，既然你球体的半径咱们都分别算出来了，那表面积很简单吧，表面积的话分别是四派二方。第一个是十二派吧，那第二个攻守就不写了啊，第二个的话算完以后是四派， 第三个呢？第三个算完以后是八派呗。所以说横线上的答案就是十二派，四派还有八派就结束了，应该理解了吧。分享康康知识，感受数学之美。我上班老师下集和再见。
1.2万会放羊的教书匠
01:47查看AI文稿AI文稿球的形成如图所示，球的表面可以看作是以一个半圆为母线，绕其自身的直径，即轴线旋转而成。 球从任何方向投射的投影都是与球直径相等的圆，因此其三面试图都是等半径的圆。但三个投影面上的圆不能认为他们是球面上同一个圆的三个投影，而是从三个不同方向投射后球轮廓宿线构成的圆的投影。 因为球的三面投影都是等半径的圆，所以绘制球的三十图很简单，首先画出个仕途中圆的中心线，然后画出等半径的圆，即完成球的三十图绘制。 如图所示，以直球面上点 a 的正面投影 a 一撇和点 b 的侧面投影 b 两撇， 求做这两点在其他仕途中的投影。根据主仕途中点 a 一撇可知该点是不可见的点。因此点 a 位于球面的右上部分，且位于后半球面上。用辅助面法作图。作图步骤如下， 一、过 a 点做一平行与水平面的辅助平面与球体相交，辅助平面与球体表面的交线，在正面的投影为过 a 点的水平线段，在水平面上的投影是以这条水平线段为直径的圆点， a 的水平面投影必定在这个圆周上 做 a 点的投影线与原相交，焦点为 a 点在水平面上的投影。二、根据高平起与宽向等的投影关系，画出 a 点在左视图中的投影， b 点的投影作图，以之左视图中的 b 点是可见的，且位于球体下半部分的左侧前面上作图思路与 a 点类似。
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