欧拉公式的matlab7.0代码
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10:09查看AI文稿AI文稿我们来看一下欧拉公式，是我们多面体、棱、顶点和面三个数量之间存在的一个关系。先看第十九题吧， 根据上面的多面体模型，我们来数一数四面体，他的棱数应该是有六个， 正八面体的顶点数是六个，然后我们去观察这个表格，找出他们三者之间的规律， 我们发现四加四是等于八的，八加六是十四，六加八也是十四，二十加十二，三十二。这个规律很明显了吧，只要八减二，就等于他十四减二，也可以十四减二，三十二减二， 所以这个规律就有了，应该是顶点的数量加上面的数量，再减去一个二等于棱的数量。那有了这个公式，我们就可以做第二问了， 顶点是 v 吗？然后面数是 ff， 比 v 大八，那也就意味着 f 等于 v 加八，冷有三十条说明， e 等于三十。那我们根据这个 欧拉公式可以知道它的面数微啊，应该等于什么呢？一减去微，再加上二，就进行一个一项啊，把这个微和这个负二移过去，那此时呢， 我们 一起来把 f 给他替换掉啊，这个 e 也可以，或者说把 v 给替换掉，因为我求的是这个面 f 吗？那我现在可以把 v 给替换掉， v 应该等于 f 减八， 所以 f e 的话是三十，三十减去一个 v， v 是 f 减八吗？注意加个括号， 再加上二。 ok， 那这个时候 f 应该等于三十，减去 f 加上八，再加上二， 所以我们可以得到两倍的 f 应该是等于四十，所以 f 等于二十啊，一个计算题，那有了这道题的铺垫，那这道题自然就会 做喽，是不是跟他一样的啊？跟这个第二问是一样的，所以是二十。 好，我们再来看第三问，第三问稍微难一点啊，他说一个外围是由三角形和八边形组成的， v 呢？是二十四。 现在棱。不知道哎，每个顶点处都有三条棱， 那按理来说他的冷应该是二十四乘以三呀，但是你发现不可能，因为假设一个顶点出发，三条冷啊，随便画的。 那你想想，当我们去数这个顶点的时候，我们这条龙是不是又被数了一次？当我们数这个顶点的三条龙的时候，他是不是又被数了一次？所以你会发现每天 条棱都会被算两次，那每条棱都会被算两次，我除以二，这不就是真实的棱的数量了吗？所以是十二乘以三，三十六条棱。那根据我们的欧拉公式可以知道，由这个 v 加 f 减一等于二， v 加 f 减一等于二，可知。 那我们现在要求的是面数吗？我们可以把 f 求出来， f 就应该等于二加 e 减 v 进行一个代入， e 的话是三十六个，那 v 呢？减去二十四， 所以这个就应该是三十八。减去二十四是十四。因为我们知道一个三角形就是一个面，所以 x 加外其实就是面的数量，所以 x 加外等于二十四。哎，三十八十四写错了。 然后第二十题的话也是一样喽，这个应该是二。然后足球一般有三十二块黑白皮子缝合而成， 且黑色的是正五边形，白色的是正六边形。我们可以把足球近视的看成一个多面体。你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形，那我们来看一下它的每个顶顶有几条棱啊？ 三十二块黑白皮子，因为他的面是三十二倍，没问题吧？那我们可以设这个正五边形 有 x 个，正六边形有外个。好，然后根据我们的欧拉欧拉公式，我们就需要知道顶点的数量，还需要知道这个棱的数量，我们一起来看一下吧。 现在只知道面是三十二，也就是 x 加 y 等于三十二，那我们来找一找，看看这个规律吧。啊，我们随便点一个顶点，我们此时会发现每一个顶点处应该是有三条，冷， 一个，两个三个，那一共有多少个顶点不知道， 一共有多少个顶点我们暂时是不知道的， 所以我先 不看顶点了，顶点暂时不知道，等会没有思路我们再来想办法啊。类似于我们刚才上一道题的第三个一样，如果有重复的，我们可以利用除法吗？或者利用减法，这里逐渐得到第一个公式是 x 加外等于三十二， 等会肯定想办法再得到一个 x 和 y 之间的关系是，从而可以解除这个题。 好，顶点暂时也数不出来，棱的话，你数棱也行啊，那我们数棱试试吧， 你数，因为数棱的话，五边形，五条棱，六边形，六条棱吗？没问题吧？那我们来看一下这个棱的数量， 对于这个五边形来 说，那一共是有一个是有五条棱，那有多少个五边形呢？我们设为 x 个，那说棱总共是五 x 个，那六边形呢？总共是有六条棱，那我们就设为 一个六边形，有六条棱，那一共有多少个六边形呢？我们知道总共是三十二个，那 已经知道了，五边形是 x 格，那六边形就应该是三十二减去 x 格，那我们再来看一下每条棱被数了几次啊？就拿这条棱来说， 你看这条棱，我们在算黑色的时候算了一次，再算这个白色的时候算了一次，每条棱都会被算两次，所以我们棱的真实数量就应该是拿它再除以二，这才是我们棱真实的数量。 那化解一下，五倍的 x 加上一个三十二乘以六一百九十二，然后再减去一个六倍的 x， 五 x 减去六 x 应该是负 x 九十二，一百九十二除以二的话应该是九十六，所以答案是九十六，减去一个二分之一倍的 x。 好，棱的数量有了，那顶点呢？ 顶点有多少个呢？现在就差顶点不知道了，那我们来看顶点有多少个 顶点，来数数呗。如果是我们的正五边形，一个正五边形 呢？他是有五个顶点没问题吧？一个正五边形是有五个，五个顶点，那 x 四个正五边形一共是有五 x 四个顶点，还有别的顶点没有被数到吗？我们思考一下这个问题， 应该没有了吧？所有的顶点都被我们数到了，因为五边形和六边形是密切的挨着的，是吧？一个五边形，这顶顶有五个， 那 x 个五边形，它的顶点就是五 x 个。当然除了用五 x 表示以外，我们还可以怎么表示呢？我们还可以用六至六边形，因为我们知道 六边形一个顶，一个增，六边形顶顶有六个，有多少个增六边形呢？是三十二减去 x 格，所以他俩都可以，而且我们 知道他俩其实是应该是一样的，那我们选其中一个就可以了，那这样的话三者都知道了。我们来用一下我拉的公式是 v 加 f 减一等于二， 那也就是什么呢？ v 是五 x 加上 f， f 应该是三十二，减去一，那就是减去九十六，再加上二分之一倍的 x 等于二。那这里我们来计算一下啊， 五 x 加上二分之一， x 是五点五 x 当然也可以写成二分之十一倍的 x， 三十二减去九十六，应该是一个负的六十四那一项过来应该变成了一个六十六。此时我们解得 x 应该等于一个十二， 所以正五边形有十二个，正六边形，那就是二十个搞定了。
75好好搞数学
02:08查看AI文稿AI文稿今天上午的直播分享课呀，我们讲了立体图形的初步，在这里呢，老田分享一个欧拉公式，这个公式啊是关于棱柱、棱锥、顶点、面棱之间数量关系的一个公式。讲公式之前呢，我们先填写一个表格，我们看一下，摁，棱柱有多少个顶点？我们 知道 n 棱柱上下两个底面啊，都是一个 n 边形，那么这个底面呢，就有 n 条边和 n 个顶点，所以我们可以很容易写出，上面的底面有 n 个顶点，下边底面也有 n 个顶点，总共加起来啊，就是二 n 个顶点，那么有几个面呢？我们知道上下两个底面啊，这个数量是固定不变的， 唯独变化的就是 n 棱柱的侧面。因为底面啊是一个 n 边形，每一条边呢，都组成了一个侧面，所以就有 n 个侧面，所以 n 棱柱总共有 n 加二个面。那么有多少条棱呢？我们把 n 棱柱啊分成上中下三个部分，上底面 有 n 条棱，中间部分呢是 n 条立柱，下底面同样也有 n 条棱，所以加在一起正好是三 n 条棱。我们再来看一下棱锥， n 棱锥呢，我们知道他只有一个底面，也是 n 边形，也就是有 n 个顶点，但是他的上底面呢，变成了尖尖角的一个顶点，所以总共的顶点个数啊，就是 n 加一。那么 n 棱锥有几个面呢？我们知道 n 棱锥只有一个底面， 同样这个底面，这个 n 边形啊，每一条边形成了 n 个侧面，所以就是 n 加一个面。再来看一下 n 棱锥的棱数，我们可以看到竖起来的这个侧棱啊，总共有 n 条，再加上下底面的这个 n 边形， n 条棱呢？总共就是二 n 条棱。好了， 我用大写字母 v 来代表顶点数， f 代表面数， e 代表棱的条数。根据这个表格啊，我们很容易发现，无论是棱柱也好，棱锥也好， 好，他的顶点数量加上面的个数，减去棱的个数，哎，他等于一个长数。二，这个公式就是欧拉公式。其实比起欧拉公式啊，上面这个表格更加重要，因为你会发现，无论是能住也好，能追也好，我 只要给出你其中的一个变量，比如说顶点的个数，我很容易就能求出 n 等于几。那么有了 n 了，我就会很快求出另外两个变量的数量。关于欧拉公式，你理解了吗？
1363爱分享的老田
01:03
12:24查看AI文稿AI文稿之前的视频中多次用到了欧拉公式，也有同学私信我，让我好好的分享一下欧拉公式是怎么回事。那么今天我们就来好好分析一下欧拉公式。要理解欧拉公式，首先得理解数，最开始我们用到的就是自然数， 我们要数鱼补了多少条，我们要数苹果摘了多少个。刚开始的时候发现他们够用，但是到了后来发现他们不够用怎么办？有了欠债的时候，我们开始用起了负数啊，那么负整数和正整数合在一起就变成了整数， 用符号 z 表示啊，多余的负数呢？表示的意思就是减少或者说负债。而有了整数 z 发现的还不够用啊。比如说两个人要分一个苹果，每个人只能分二分之一，三个人分一个苹果，每个 怎么分三等级啊？增加了分数之后，分数和整数放在一块就变成了油腻数。我们用 q 表示吧，里面增加的分数往往表示的是分割的意思， 所以我们写的分数里面通常有一个红心啊，表示分割开来。再来看第三种，当有理数不够用的时候，有理数什么时候不够用了呢？算正方形的对角线的长度，得出根号二，他不够用了怎么办？拓展到了无理数和有理数的组合实数， 其中这个五里数典型的代表是正方形的对角线。接着啊，我们发现在球这一元二次方程的时候，出现了一个增根，而这个增根呢，可以用一个另外一个资源的数来表示，虚数 i 等于根号负一来表， 这个时候我们就拓展到了负数。 ok， 你以为这些数？我们再来理解一下为什么说实数实际上是虚数的一个表象。首先一般的一元三次方程值， ax 三次方加 bx 平方加 cx 加 d 等于零， 他都可以画上 x 的三次方，加上 px 加上 q 等于零这种形式。画这种形式之后，我们可以把它的三个根给求出来啊，求出来的四里面，我发现多了一个位置，说 w 啊，这个 w 实际上是 二分之负一加根号神癌。我们再看一下他的一个一元三次方程的一个图像，我们发现啊，他的解有可能是一 二三三个，也有可能是一两个，也有可能是一个，不管怎样，他总有一个结。 我们考虑三个解的情况，三个解都是实数解，那么这个时候我们知道 w 等于二分之负一加根号三挨，把它带到里面计算，我们会发现， 即使这里有虚数，但是他整体表现出来的还是一个时速，所以说时速 只是一个虚数的表象。从这个一元三次方程的的求中数我们就可以看出来，也就是说我们许久所认识到的一个实数，实际上只是虚数的一部分啊。理解完一元三次方程，我们再来看一看负平面上的单位元， 正常的鉴定一个 x 轴， y 轴是我们所熟悉的，当我们把 y 轴变成虚数轴， x o 变成时速轴，这个就构成了一个负平面。 如果在这个副平面里面选一个圆啊，画一个圆，单位长度是一的话，我们会发现任意点的坐标是什么呢？我们角色的角度是吉他的坐标是狂闪是一趟， i 沙也是一趟，这是他的一个坐标， 这个可以表示负平面上圆的一个坐标，你理解了这个坐标，我们再来看看负平面上加法和乘法的一个意义。我们举最简单的例子啊，一和挨在一起啊，一加挨表示什么呢？我们不知道，但是我们可以把它画出来啊。一表 的是这个点或者这个项链，从原点吧指向他的一个项链，而 i 表示这个项链，一加 i 这个点在哪里？在这里表示的是这个项链。 ok， 我们看这个加这个用平时变形的法则， 刚好就可以把这个项链给画出来，也就说一加 i 实际上是我们标个字母吧， o a 项项加 ob 项链，他是项链的一个项项，这是他加法的一个含义啊。而关于他乘法的一个含义比较理解啊，一乘以 i 一表示这个响亮，把乘以 i 变成了这个响亮啊，我们可以理解上把一旋转成九十度，我们再把这个 i 乘以 i， 发现到等于负亿啊， 在这里我们可以理解成乘以 i 又旋转的九十六万，所以说他可以表示一种旋转，但是他仅仅表示旋转呢？不只是啊，如果 i 乘以 六，哎，他就是负六了，所以说他从 i 这个单位一长度变成负六，他不只是旋转了九十度，他还身长了六倍啊。虚数相乘表示的是 长度的拉伸和角度的变化，这个长度是他到这个圆点的长度，这个角度变化也是他和圆点还有 xo 所形成的一个角度。理解的负平面的加法是项链的加法，负平面的乘法，长度的拉伸和角度的变化。 我们再来探究一下货拉公司最早是如何看出来的？是如何被发现的？首先有个叫太累的人啊，使用他的方法把三 s 给展开了，他同样把科三 s 给展开了， 接着呢，一的 x 方等于，他发现这三个数字很像，但是又有些区别啊，那这个区别到底在哪里呢？当他发现虚数的时候，他带入了一个虚数，然后每一项都带了一个虚数，最后他发现把虚步和十步写在一起， 竟然是和上面两个狮子成对应关系的红色 x 加上 id 三十。实际上这个在欧拉之前 就已经有人发现，只不过欧拉对这个公式的研究更深入，所以啊，这个事就叫做欧拉公式。他有 有哪些比较奇妙的应用呢？或者是该如何理解他呢？说到理解，他还得从一的一个本质说起吧，一是三底数，他等于根去向英雄，那的时候一加 n 分之一的人吃饭，但是他，但是当他碰到虚数 a 的时候，你的 a 吃饭，他是怎样一个减 n， 他实际上是等于 n 去 m， 那的时候 e 加 i 除以 n 等于吃饭， 那这个数字该如何理解呢？我们可以画附数平面，这个是实轴，这个是虚数轴。哀，我们可以把，恩从小到大开始取，就能发 现在的规律。比如说我们首先取这个 n 等于三，那么这个一加上 a 除以 n 的 n 次方，就写成了一加 i 除以三的三次方，这个是一加 i 除以三的一次方，他成了一个之后就变成这个点， 那成了一个之后，他变成这个点，我们会发现这个长度增大，角度也增大了。当我们把 n 取另外一只的时候， n 等于十的时候，我们发现啊，他的长度也在增大，但是增大的很缓慢，这角度也在增大。当我们取 n 非常大的时候啊， 这个是 n 等于一百，一加上二除以一百的一百之分，我们可以看到它的长度几乎没有什么变化，只是角度变化。角度变化了多少呢？这个角度将近是一啊， 也就是说 e 的 x 方等于一，加上 i 除以 n 的 n 次方。当喷去向右胸大的时候，他的这个长度半径是没有变化的，他变化的只有这个角度。 这个角度是多少呢？我们再把它写一遍，一的 i 乘以一，这就是一的 i 四方的一个几和一。你写成一的 i 四方的一个几和一啊。我们再来看一看一的 ipad， 四方的几个一啊，一的 i 四方可以写成这样， 而 e 的 ipad 脂肪同样可以写成这样。我们用相同的方法，当 n 取二十的时候，他是长度增加，角度也在增加。当 n 取一百的时候，我们会 发现他的长度几乎没了增加，但是他的角度会变得增加，这个转弯的角度就是派，那么 e 的 ipad 就很明显，他的意思就是 单位长度是一，胯部的弧度是派，就是这一点。或者说这个项链我跟你演。这个我们再来理解一个非常普通的，好多人都不明白二的 i 次方是什么意思， 我们稍微的把它化点一下，我们知道 x 等于一的 nonax 方啊，这个可以说是一个比较无聊的变化，但是当涉及到负数平面的时候，经常会用到这个，比如说二的 x 方可以写成一的 诺奥迪 s 等于一个 i 乘以诺昂，他的意思就是弧度是诺昂，你 立了这些，最后我们再来说一下欧拉公式与三角函数之间的关系啊。刚刚我们开了展开的方法，探究了狂乱式的 加二乘三四的等于一的 ic 的时候，但是能不能用几何的方式去讨论他们的关系。可以啊， 这是一的 ict 代表的一个圆，加上这个一还是一个相反的啊，这是一的负 ic 大一，这个角度是 c 的，那么这个角度也是 c 的。这两个是一个 等腰的，那么画条线，那么这个肯定垂直的，这个长度是这个总长的一半，这个总长是多少呢？ 是一的 ic 塔一减去一的负 ic 塔一啊，这两个项链先减了，再除以二，就是这个项链了，而这个项链是什么东西呢？ 刚好是 a 乘以三西塔呀，所以三西塔等于一的 i c 塔一减去一的负 i， c 塔一 除以二来，同理啊，这个扩散式的是这两个项链相加的，形成这个项链的一半。 ok， 我理解了，从三角函数推欧拉公式，从欧拉公式推三角函数，我们再来理解最后一个公式，一的 ipad 十方加一等于零，实际上他只是欧拉公式的一个特质。 一的埃西塔四方等于矿山西塔加上埃及山西塔，当西塔等于 pass。 一个 i 派十分等于科三派加 i 等于十二派，这个刚好是等于零，这个刚好是等于负一。 一项意大利派次方加一等于零。他之所以如此的著名，是因为他把自然数，把圆周率派，把自然底数， 还把虚数给紧密的联合在一起了，而且还产生了一个神奇的结果，您有关于欧拉公司的另外一些奇特的应用，我会放在本视频的合集里面啊，感兴趣的可以去看一下。
7401火星课堂
