挠曲线方程怎么速记材料力学

大家好，我是土木光头强，欢迎来到我的材料理学课。通过之前课程讲解，已经为大家介绍完了弯曲变形的内力，弯曲变形的内力图，弯曲变形的硬力，并且基于弯曲变形的硬力，为大家讲解了弯曲的这样一个强的条件。 那从本次课开始，将进入到弯曲变形的计算。那弯曲变形计算呢？需要涉及到一些相应的数学里边的一些知识。那课下的时候呢，同学们如果不明白，那需要回头补一下这样一个高等数学里边的相关知识。 那对应于弯曲变形的这样一个公式的这样推倒呢，大家也会感受到一些数学的魅力。因为说我们在进行一个量受弯的时候呢，我只是大致知道他从一个直线艾灸一卷他的时候给他变成弯了。那至于弯曲之后他是一个什么形状呢？我们可以严格的通过 数学的一些相关关系呢，就算出来他的这样一个形状是多少，也因此呢，通过这样一个弯曲变形，大家可以感受到数学的这样一个魅力啊。那首先我们就进入到这样一个弯曲变形的介绍。还是我们选取一个最简单的这样一个量的形式，这样一个减脂量，在某一个合载批重下， 我们来看一下他会踩上什么样的变形。首先呢，这样的一个梁上，我选择某一个位置的一个 c， 那虚线呢？就是这样一个梁在核载中下所产生的这样一个变形情况，乃产生的变形情况。那在核载中下原来的这样一个梁上的 c 点呢，它会产生一个树香味，也也就变成了 c 撇点。 那我们把这样一个梁弯举变形所产生的这个竖向位移，我们不把它叫做歪直，而把它叫做挠度。哎，叫做挠度。那一般呢，何在呢？ 都是从上往下作用的，而产生的变形呢？都是向下来的。因此呢，我多数情况下，把这样一个挠度的这样一个正方向定义为向下为证，来定义为向下为证。那什么是挠度？挠度呢？就是量弯曲时候，结面上某一点所产生的书香为宜。 那除了塑像位移，那在弯曲的时候，我们也知道这样一个洁面呢，会发生一个偏转。比如说我打的这个浅，这个这个比较细的这样一个竖杠，表示的像是这个杆件的横截面。那弯曲变形之后呢，他的这样一个横截面呢，将于这样一个 变形后的这样一个曲线的这样一个切线。哎，相垂直。也就是变形之后这个横截面呢，变为这样一个虚线的 c 撇点的发线方向，那发线方向，那所对应的对应的这样一个原来的这个界面和 变形后的这样一个结面，两个结面的夹角，我把它称之为转角哎，称之为转角。大家看一看能不能对应这样关系。这是原来的这样一个横集面，这是变形之后的这样一个横集面。那这个横集面首先转换的角度哎，就是这样一个死的角。 那我如果说过这个变形后的点 c 撇点做一条与 x o 相平行的线，那么很容易能看出来，那很容易看出来，那这个 c 撇点的切线方向上与水平线的这样一个夹角，也是这样一个 c 的角，那么根据这样一个关系，那 c 点的切线方向与水平方向，这个夹角，他的这样一个弹进直，哎，弹进直是不是就是这样一个，这条曲线的叫什么？这条曲线的他的血率，那些血率。那由于啊变形之 之后，他这条虚线呢？是一条连续的曲线，并且在这样一个指标轴轴中。既然这样一条曲线，我就可以用一个函数方程给他表示。我们把这个的方程呢，就叫做脑曲线方程。 而不同点的这样的一个转角也是不一样，他是也是个连续的。我们把这样一个不同点所对应的这样一个转角所形成的方程呢，称之为转角方程， 每层都在转角方程。那根据这样的一个变形趋势，我们很明显，如果你把它看成是一个函数的话，看成是一个函数的话，那对应这种情况，大家可以看一下这种弯曲面型，对应这个函数，这个虚线，这个虚线，这个脑曲线方程，这个函数他是凸的还是凹的？ 大家看这是凹的，不对哈，这是个凸的函数。为什么？因为我们把这样的挠曲线方程啊，定义向下为正，那么大家可以 看一下，这是不朝向下为正的，这是不。虚线是个凸的函数形状，那对应于高等数学里边函数的二阶倒数是不反应的，这样一个是函数的凹凸性啊，对不对？那如果这个函数是凸的话，那么对应为止的二阶倒数呢？他应该是小于零的，那也是小于零的， 那这是从数学里边对应的，那从前面所讲的才是六学里边所对应的这样的一个量，在集中力批重下产生的是不这样的一个虚线的一个弯曲趋势。那在这样的一个弯曲趋势情况下，是不产生的是一个下侧受拉上侧受压的这样一个弯曲趋势。 那对应于下侧收拉上侧受压的这样一个弯曲趋势在节面内所产生的弯距，它是一个在材料滤学里边定的是一个正的弯距的形式。在正的弯距形式，就说依据这样的一个变形 趋势，我们得出来了，从数学里边他的凹凸性，他是凸的，说明这个函数的脑曲线方程的二级导数是一个小于零的。而整个根据加一个量的变形情况，他在洁面内所产生的弯距是一个大于零的。哎，这样一个正的弯距值。 那依据我们前面在讲解弯曲正力所推倒出来的这个曲律的这样一个函数， 哎，曲律若干关系啊，这是曲律半径。哎，到处是曲律。他和弯距呢，有这样的一个关系，就是变形之后某一点的曲率等于什么呢？等于这点的弯距除以弹性模量，再乘以这个几面的惯性句。 而如果你把这样一个虚线呢，看成是一个在注标系里边的这样一个函数的话，在函数的话，那对应的函数里边，高等数学里边的这样应该是一级导数的应用的一部分。来说对应的取率的这样一个与函 函数的关系。它是这样一个函数的二阶倒数，然后怎么的取决对值，然后呢？分母呢？是一加上一阶倒数的平方，然后是二分之三七米内， 这些呢？是这个数学里边我们说对象呢，一个任意一个联系函数某一点处的他的这样一个取率的这样的一个公式啊，那带来呢对应这公式可以找高等数学里边的，应该是第一册啊，上面可以找到那对应这里边 我们来看一下。来对应看一下。那刚才说了，如果你把这样一个虚线看成是一个函数的话，那么所对应的这样一个某一点数的这样一个 倒数，哎，倒数是不是就是条这个点的切线的斜率啊，对不对？哎，切线的旋律。那很明显很明显，如果你把这个虚线看成是一 导数的话，那么这个一接导数，也就是这个挠度的一接导数，是不就等于这样一个 转角的这样方程对不对？哎，转角的方程也得出来的这样一个，这也算是脑曲线的一个微积分关系啊，脑曲线的微积分关系。那下想想一下，这个一个函数，一阶倒数是不是就是这里边的这项，这是不含数，是一阶倒数，对不对？哎，那等于转角。那在材料留学里边， 在叙伦里边给大家讲过，就是说我们所研究的变形呢，肯定都是一个小变形，对不对？哎，小变形，既然他是小变形，这个转角是不是也非常小，非常小的意思是不是就意味着他趋于零，对不对？哎，趋于零， 那如果他屈零的话，那屈零的话，你再给他平方一下，是不是又做到了？对，这是一个高阶无穷小的这样一个含义，对不对？哎，高阶无穷小呢， 我们可以怎么的，可以不考虑这里边这一项，哎，认为他呢是等，不能，哎，必须等于零了哈，他是趋近于零的，对不对？哎，就不考虑这一项，那么分母的话是不？这一项为零，是不是变成一了？那一的二分三四例是不是还是一样，对不对？那就意味着从数学里边哎，我们所得出来的这样一个关键词就是这个。 这里边是前面里边，财力穴里边是不应的关系。是这个两个公式里边左侧是不一样啊。来，然后把它进行连力， 爱心连力。哎，就会得出这样的一个特别重要的弯曲变形时候的脑曲线的微分方程。比如说变形之后的这个函数线，与这样一个 量弯距后截面的弯距是有这样的一个微分关系的啊，微分关系的，那大家不知道注没注意这里边这是一个绝对值对不对啊？绝对值你连 之后呢？为什么取的是一个符号哎，原因就在这块，你对应一这样一个变形，他的这样一个凹凸性哎，这样那个二级倒数是小一零的，但是他弯距值是大一零的，那你去掉绝对值之后，这块加一个，需要加一个符号的，需要加一个符号的， 那这里边就是脑曲线的二指导数啊，那不应这样的关系。那这个是非常重要的这样一个内容，也就是脑曲线的这样一个微分方程。哪个微分方程？比如说这个函数的 这样一个脑许圈的二阶倒数，和这样一个弯距这样有缘关系，那弯距我们很容易通过前面通过洁面法建立他的这样一个 弯距方程，对不对？哎，通过洁面卡线里弯那个弯距方程，那弯距方程得到了哎，那么通过他与脑曲线的这样一个二节导数，我如果把这个二节导数给他两边进行积分，那么这边是一个海， 两边进行积分，是不就得到了他的一阶倒数？一阶倒数是不是就是这样一个变形的这样一个转角方程？哎，我可以通过什么呢？通过对这样一个弯距方程的一次积分，得到他的这样一个转角方程。 c 呢，是积分常数， 然后呢，我对他再积分一次，相当于对这一项再积分一次，那么就会得到他的脑曲线方程。那基于这样的关系，我们是不是就可以看了，因为内地这个弯距方程我们比较好得到哎，通过洁面法就得到。然后只要把这样一个弯距方程通过这样一个关系，哎，积分两次， 是不是就能最终求解出他的这样一个脑曲线方程？脑曲线方程得到了，是不是就得到了他的整个这样一个受弯的时候变形的这样一个形状，具体什么样的？所以说通过这样一个脑曲线飞行方程就体现出来。数学里边我们不 不光知道哎，这样一个量，在喝奶的情况下，他变弯了，他变成弯的什么形状，我们都可以通过数学公式进行推倒。那这样的一个脑曲线微分方程是本次课的这样一个重点内容。 那相应的后边指示数学里边的这样一个积分的关系啊，积分的关系。那大家呢？一定通过本次课的讲解，要认真理解和掌握这样一个脑曲线威风方长的这样一个关系。本次课呢，先为大家介绍到这里，更多精彩内容敬请关注土木光头强。

大家好，我是土木光头强，欢迎来到我的材料留学课，上次课呢，已经为大家讲解了弯曲变形的这样一个脑曲线微分方程，那本次课呢，将通过一个典型例题，我们来具体看一下如何利用脑曲线微分方程，具体来算一下这样一个量的弯曲变形。 我们首先呢，先找一个比较简单的这样一个悬臂梁啊，悬臂梁的这样一个形式，要求一下这样一个梁在合窄作用下所产生的最大的挠度和最大的转角。很明显，通过这样一个梁的变形图，我们会发现它的最大的挠度，也是最大的。速箱位移还是在必点，最大转角呢，也是在必点啊，也是在必点， 那这个是我们求解的这样一个目标啊，目标，那怎么来进行计算，哎，那求解计算呢？最终呢，我们依据的就是秋凉的弯曲变形吧，对不对？最终 就是依据的这样一个脑曲线微片方程，那脑曲线微片方程里边需要用到的是不是这样一个弯距值的对不对？需要用到一个弯距值，那我就在这样一个梁上随便选一个洁面，一洁面，那假设一洁面呢，距离左端的这样一个坐标呢是 x， 哎，下一个是，那首先呢，我们根据这样的一个平衡方程，很容易能求出这样一个 a 点的，他的制作板栗是向上的 p 和这样一个 ps， 那这部分内容呢，我就是不再对数了，大家可以看看之前的这样一个 习题，看看如何来求这样一个制作的制作返利，那在直到制作返利之后，哎，对一点，给它砍开，取左侧进行受力分析的话，这个呢就暴露出来的是左侧的这样一个简历和玩具，简历和玩具注意还是注意提醒大家，我所设的这样一个简， 里面的内里都是正的内里，那我更关心的是什么？是即面的这样一个弯距方程，所以说我只要求这样一个 m 就可以了，我对这样一个分离体的一节面，取所有的立句的合力句为零， agv 零，那么对一级面有立句的有谁？ p， 对一级面有一个顺时针的转动趋势，拍成 ap 乘 x phtxa， 那么顺时针都没有负的，然后 这个 pl 是 a 的，那这样一个利友对不对？哎，利友，他就是个逆时针的 akpl， 然后 m 呢，也是个逆时针的，还有什么叫啥 m 加上 ps 减去 ps， 那进而呢，一向我们就得出来的这个我们说选择的这样一个一界面呢，他的这样一个弯距，那这个一界面显得上面是随着 x 变化的，那么近得出来这个弯距呢，说反应的就是这样一个量的，他的什么弯距方程， 那弯曲方程指到了，哎，把这样的一个弯曲方程带入到这样一个脑曲线微分方程里边，哎，脑曲线微分方程是不变的哈，不管你这样一个弯曲怎么样，这个是不是不变的啊？是不变的，这个大家要注意注意啊，一定注意，就是这个脑曲线微分方程是通式啊，通式，那把这样一个弯距带入里边， 哎，就会得出来脑曲线的二阶倒数，哎，等一看，哎，等一看，那对应于这样那个脑曲线分分方程， 哎，闹，时间为方长，那我把它积分一次，哎，那这个就简单就是多项式积分啊，那么这个我就不细说了啊，那这是长数，那么这个 s 积分呢？就是二分之 x 的平方为负的啊，然后这个是 l x， 那么这一项 c 是什么？ c 就是他的这样一个积分常数，也积分常数，那这个所得到的就是他的转角方法，那 把这样一个转角方程，也是把他脑曲线一一节倒数，再积分一次，哎，就会得到了脑曲线方程，那这个积分一次在二分 x 的平方积分是不，三分之 x 立方来，这乘以二分之一是六分之一，这个是二分之一 x， 然后这个长处的积分边缘 x b 呢，又是一个积分长数， 那我们这就得出来了他的这样一个转角方程和脑曲线方程。那接下来我就可以给予脑 挠线方程和转角方程来求助必点的这样一个最大的这个挠度和转角挠度和转角，那但是呢，这里边有两个基本长数，一个是十，一个是 d， 对不对？那他等于多少？哎，那我们来看一下 对应于这样的一个悬臂梁，哎，悬臂梁我们看他的边界条件是什么样的，那比如说当 x 等于零的时候，也是在这个最 有端的时候，由于 a 端呢， a 端呢，他是一个这个固定端子桌，那固定端子桌那他不会有竖向的挠度，也不会有端角，因此呢，你把这个 x 等于零， 分别代入前面所推导出来的这样一个转角方程和这样一个脑曲线方程的时候，是不是他都应该等于零了，对不对？哎，都等于零，那这里边你把等于零代入里边，这是不是零？这一项是零啊，这一项也是零，是不是竟然能推出来这个 c 和第一都是零， 对不对？还是两个基本场所都是这样，那基本场所确定出来了，哎，那么相对应的，在这样一个全臂梁集中力集中合点作用下，他所对应的这样一个转角方程和变形方程就这样。 那我们前边我们只只是说书，不知道了在何人的情况下，他是会产生这样一个弯曲趋势，对不对？那他这样一个弯曲趋势 到底是什么样的？哎，经过我们的一系列推倒，我们看出他是一个三次的这样一个函数线的这样一个弯曲式，对不对？虽然他是弯的，我们只知道是弯的，但他是一个三次函数线的趋势来进行弯的，那 这样的话，我们就得出来他的转角方程和脑曲线方程。得到之后，注意本题要求什么？求最大脑度和最大转角。最大脑度和最大转角呢？是不是在 b 端，也是在最右边这端，对不对？那最右边这端它的在 s 值是不是相当于等于 l 啊， 对不对？你再把 x 等于 l 带入到这里边，哎， x 等于 l 带入到上面这两个方向中，这样呢就能求出弊端的最大的挠度和最大的转角。那最大的挠度转角，那通过这样一个立体的讲解呢？我们即通过这样一个挠出纤维方程，求出来这样一个悬臂梁，在集中力度 用下，他的这样一个变形的这样一个函数，也通过这样一个挠曲线微分方程，哎，他的转角方程，挠度方，这个挠曲线方程算出来了这样的一个梁，他所产生的最大的挠度和最大转角， 那本部分内容呢？这个只是一个初步的这样一个，这个算是提纲系统的给大家一个引子哈，那么这一部分内容呢，相对来说是比较难的哈，那总体的思路呢？就是这样一个计算思路，那课后呢， 大家可以找一些相关议题呢？哎，给更深入的这样一个量的弯曲变形的内容呢，进行一个学习和掌握。本次课呢就为大家介绍到这里，更多精彩内容敬请关注土木保护条。

各位同学好，这一节啊，我们学习用积分法计算量的位移。积分法计算量的位移用到的是前面推出的脑曲线近视微风方程， 我们对该方程进行积分，积分一次呢，可以得到转角方程积分两次呢，可以得到牢度方程。 积分法计算量的位移适用于小变形线、毯型材料、细长量的对称弯曲，可以求解各种和窄的等截面或变截面量的位移。 积分法应用的是不定积分，其中的积分场数呢，可以由边界条件，连续性条件来确定。积分法计算来的位移使用范围广，计算 精确，但是计算呢较为繁琐。下面我们来看利用积分化求两者位移的分析过程。那么这个地方呢，我们是从右下左的这么一个过程， 也就说呢，先来分析弯距方程，再来讨论左侧的变形。下面呢，我们来看具体的分析过程。第一步呢，首先是建立坐标系，一般呢以量的左端呢为坐标原点，求制作返利。 然后呢分段列弯距方程。弯距方程的分段原则是 反核在有突变处，这个地方主要说的是集中力的作用处和集中力有的作用处包括中间制作，那么弯距方程 呢，应分段列出，那么这部分内容呢，我们在第四章弯曲内列呢已经讲过，那么在讨论到列弯曲的内列方程画内列图的时候呢，已经学习过如何列这个弯距方程， 如果这个地方大家呢，呃，掌握的不够牢固呢，建议大家呢再去看一下这部视频。 那么对于这个积分法计算量的变形，除了这个弯距要考虑分段以外呢，还有两个地方要考虑，那么第二个呢，就是洁面或材料发生变化的地方呢，也要考虑分段， 我们来看下这个方程，那么第一个分段呢，是讨论右侧这个弯距什么时候分段，那么这个的话是讨论左侧的这两个参数什么时候 分段？颈面变化的时候呢？惯性距呢发生了改变，那么惯性距变化的话呢，就要分段，那么材料变化的时候呢，是弹性磨亮意呢，这个发生了变化，那么这种情况下呢，也要分段。 那么第三个分段的原则呢，是中间角这个地方，那么可以看到这两段梁之间的一个联系，那么这个地方呢，我们也把它作为这个分段点啊，那么这个就是积分法计算量位的一个分段的原则啊。 那么接下来第二个环节呢，就是利用积分呢去呃讨论这个转角方程与这个牢度方程，分别对刚才的这个脑曲线近视微方程，积分一次啊，积分两次，这样来确定这个 转角方式跟劳动方式，那么这个里面的话呢，是一个不定积分，对应的有积分长数。那么接下来第三步的话呢，就是讨论这个积分长数的，那么这个地方呢，是利用边界条件跟连续条件来确定积分长数。 那么什么是边界条件呢？边界条件指的是量在其支撑处的牢度或转角呢，是已知的，那这样的条件呢，我们称之为边界条件 啊，那么有些约束的话，他会限制相应的位移，那么这些位移的话呢，一般都是确定已知的，那这些位置的话呢，对应的条件呢，我们称之为叫边境条件啊，所以说呢，我们也把边境条件呢叫约束条件。第二个是连续条件， 两的脑曲线呢，是一条连续光滑平坦的曲线，也就是说在两的同一个节面上呢，不可能有两个不同的脑肚子和转角子，每一个位置呢，它的脑肚子或转角子呢，都是唯一的， 这样的已知条件呢，就称为连续条件，那么这种情况呢，主要是在分段的时候呢，要考虑的这种连续条件，比如我们举个例子啊，那么这个梁呢，中间呢，有一个集中力 f， 那么按照这个分段的原则呢，两侧的弯距是不一样的，那么我们会列两段这个弯距方程， 那么这两段弯曲方程去求这个交界处的时候呢，那么对应的 挠肚子应该是相等的，因为呢，同一个位置呢，这个挠肚子转角子呢，都是不变的啊，所以说在分段的时候呢，在交界处呢，这个地方呢，会考虑到这个连续条件， 那么这个时候我们呃考虑连续条件的这个位置，大家去关注一下， 那么关于这个积分场数呢，我们还要确定啊，那么他呢有几个的问题， 那么这个条件的话，这跟这个积分场数是对应的，这个积分场数的这个个数的话呢，取决于啊，分段的这个数，就是你分了几段来分析啊，这个量的变形，那么这个里面的话呢，嗯，我们说，呃，一个方程啊，积分一次 转角，积分两个是这个牢度，这样的话呢，一段的话呢，它对应的将来就应该是有两个场数 啊，所以说呢，如果说整个梁呢，分了 n 段，那么对应的这个长数呢，应该是有二 n 个，那么这样的话呢，我们所对应的边界条件跟连续条件啊，他们两个合起来，这个个数呢，应该跟这个积分长数的个数是相等的 啊，那么这个是我们需要大家关注的一个点，下面呢我们来看这这么一个例子啊，那么这是一个悬臂梁，那么按照奋斗的原则 啊，只有弯距分段，集中力两侧弯距不同，那么 i 是相等的，弹性木量意呢也相等，所以说呢，这个的话呢，应该是分了两段，两段的话呢，他就有四个 个场数，对吧？这个场数的话，将来你的条件就得有四个，那么我们通过后续的学习，这个地方有两个条件，这个地方有两个条件啊，四个条件，四个场数，两段 啊，所以说我们在利用边界条件，连续条件确定积分长数的时候呢，首先要搞清楚这个条件的个数啊，条件的个数呢，取决于这个长数的个数，长数的个数呢又取决于这个分段啊，分了几段？ 好，那么下面的话呢，我们来看一下具体的这些条件是什么啊？首先呢，来看这个边界条件， 那么 b a 条件的话呢，先来看这种固定角质座滚动制作，对一个剪子梁来说呢，那么有一侧是固定角质座，一侧是滚动 制作，那么这种对应的呃鼻音小贴是什么呢？我们知道这个制作的话是限制线位移的，那包括这个牢度方向的位移，所以说呢，这个里面的话呢， 在固定角度做和滚动做到这两个地方呢，牢度应该等于零，因为限制了这个方向的这个位移啊，这是我们对应的第一种毕业条件啊，我们大家看到这种制作啊，无论是固定角度做，还是这种滚动制作，牢度都等于零。 在写这个条件的时候呢，我们建议大家呢，把这个位置写上去，一般呢，咱们这都有坐标器，我们以量的左端呢为坐标原点说清楚，什么地方有这么一个条件啊，所以说先写位置，比如 a 的话呢，我们用 x 等于零来表示对应的宾义条件的是它的牢度， wa 等于零， 我们加个下标，因为呢可能不同的地方，对吧，区别一下，那么这个地方的话，牢度也等于零啊，这个呢就是这种饺子座，他的这个 对应的条件啊，劳动等于零，这地方注意啊，转角的话是存在的啊，那么在后载作用下以后呢，这个地方的话，他是有一个倾斜的角度啊，转角是不等于零，这个大家注意。 下面呢我们来看第二种情况，固定端约束啊，包括自由端，旋臂梁啊，一侧是固定端，一侧是自由端， 固定端呢，它是既不能移动还不能转动，所以说对应的必定条件呢，应该是 这个地方的牢度等于零，转角呢也要等于零，这个是固定段约束对应的边界条件，那么自由段的话呢， 这个地方呢，不用考虑别人条件啊，因为他没有约束。下面呢我们来看连续性条件， 那么脑血线呢，是一条连续光滑的曲线啊，比如说呢，脑血的任意的位置呢，都有唯一确定的牢度和转角字。 下面呢我们通过几个图来验证一下啊，这句话就是说，嗯，每一个位置的话呢，都有唯一确定的脑肚子和转角 啊，大家看一下这种牢局是不是存在呢？这个地方的话呢，应该是有两个脑肚子啊，这个界面位置的话，牢度一对牢度二， 那么这种情况呢，显然是不存在的，对吧？所以说呢，就是我们通客观的呃，这个去看的话呢，我们这个界面 上就是每一个前面的话呢，应该是有唯一的脑肚子啊，不存在这种啊，两个脑肚子这种脑区的形状。 第二个呢，我们来看一下这个脑曲线，这个脑曲线这个地方就是有个尖角啊，就相当于折了一个角出来，显然呢，这种情况呢也不存在啊，在喝的作用下不可能有这么一个尖角啊，那么这种情况呢，表示的是 在每一个位置的话呢，应该是有唯一的转角值啊，你像这个地方的话呢，如果说有这个折角的话呢，它就是有两个转角值，显然这个情况是不存在的， 那么这个是我们对应的这个客观存在的一种脑曲线的形状啊，在这个地方的话呢，它的牢度是唯一的，转角的话就是这个倾角的话也是唯一的，这个是成立的 啊，所以说呢，针对这个脑血的客观的这个实际情况呢，每一个位置呢，他都有唯一的脑度和转折。 那么对于这种情况下，我们再去呃，写这个连续性条例的时候是这样来写的啊，那么这种情况呢，首先肯定是这个要分段去描述这个梁的变形方程啊，比如说这个地方有一个集中力啊，两侧的弯距方程不同，对应的这个变形的那个方程就不一样， 是吧？那么对应的话呢，在这个地方左右两侧都可以求解，他那么求出来这个挠肚子转角值，因为他是这个地方是唯一的一个值，那么两侧应该相等，这个写出来就是个连续条件， 那左侧去求这个地方的挠头转角，对吧？右侧去球这个地方挠头转角应该瞎挠，这个就是连续条件啊，就是我们在分 分段的时候考虑用连续条件利用的原则呢，就是唯一性啊，这么一个原则啊，这个地方呢，我们来找一种特殊情况啊，就是这个地方是一个组合量，有个中间角， 呃，这种情况下的话呢，我们要注意啊，那么也说这个脑曲线呢，呃，跟我们这种一般的情况不太一样的，因为中间角这个地方他是可以这个呃发生一个这个弯折 啊，所以说呢，在中间角这个地方呢，两侧的转角是不相等的，注意这个地方是有中间角的情况下，那么两侧的话呢，转角不相等啊，他有个折角啊，一般的这个情况呢，他是不存在这个情况的啊。 啊，所以说有中间角这个地方呢，它的连续条件是这样来写的，就是牢度是相等的啊，只能写这一个 转角的话呢，不相等，它可以这个地方有个弯折啊，这个就是关于延续性条件的一个介绍，我们针对我们这个实际的这个脑曲线形状给出这么一个条件来，包括这个特殊情况，大家注意一下 啊，下面呢我们再来看一些其他的这个变现条件啊，领域条件，做一个综合的一个应用嘛。 啊，这个地方呢，梁的左侧呢是一个角子座啊，固定角子座右侧的话是一个弹性子座， 一般情况下呢就是，嗯，比如说呢那个 d g 的层架啊，有一个位移，那么这种情况下会模拟是一个弹性制作。 那么对于这个里面的话，我们在写的时候呢，就是先来关注边界条件啊，再来关注连续条件，或者是从左向 这样一次写都可以啊。那么这种组合的这种既有边界条件还有连续条件的，咱们就是有一个顺序啊，或者是按照类型边界到连续，或者是从左向右这样来写啊。 好，那么这个地方呢，我们先从左前后这样写一下，首先呢 a 数的话，边线条件对应的这个 a 数的是个角字，做他的牢度应该是等于零。 然后呢我们再写 c 位置的话呢，是一个连续条件，这个地方两侧要分段，分段的这个交界处的话呢，有一个连续条件，我们把这个连续条件写出来，左右两侧求出来的牢度转角应该相等， 那么接下来再写右侧这一个，那这个地方是个弹性制作，那么这个脑度的话呢，应该是等于这个弹簧的变形量啊，这个弹簧变形量呢，用力比上这个弹簧技术 好，这样的话呢，我们就把一个完整的这个条件的写出来了啊，下面呢我们再来看移动情况，这个的话就是右边呢改成了一个拉杆。 好，那么这个里面呢，我们按照另外一种顺序来写，就先写那个边境条件，再写这个连续条件啊， 第一步呢边线条件，左侧还是这个地方等于零，那么右侧的话呢，应该是这个拉杆的这个变形量等于这个地方的挠度，变形以后呢，他有个挠度，这个挠度的话呢，跟这个杆的变形量应该是相等， 那写出来杆的变形量咱们在第二章学过啊，但是它 l 呢，应该等于 f， l 比上 e a f 这个轴力啊，然后呢 l 是这个杆的长度，这个地方 的 h 啊，这个是这个按照约束条件的先写出来，对吧？就是并线条件，我们再来写一下连续条件，应该就是这个 c 位置两侧的话呢，牢度转角相等， 这样的话呢，我们就把这个完整的这个条件呢都写出来了，所以说大家再去写这个条件的时候呢，就养这个顺序啊，因为有时候条件比较多，容易遗漏啊啊，这个是关于这个条件的这么一个说明， 那么这个里面呢，咱们着重来强调几种情况啊，第一种的话就是左侧这个位移的毕业条件呢，来看这几个情况，那么第一个地方是固定端，固定端的话挠度转角都等于零。第二个的话是固定角度，做这个地方是挠度等于零。第三个是活动角度，做这个地方挠度等于， 然后这两个呢做一个了解就行。然后呢我们来看这个连续条件啊，集中力的两侧呢，方程要分断裂，那么在这个交界处呢，左右两侧的牢度相等，转角也相等 好，那么集中猎物的两侧也是一样的，集中猎物两侧呢，这个要分段啊啊，要分段的话呢，在它的交界处，这个地方呢，牢度相等，转角相等， 对于军部合载来说呢，就是在这个死端还有这个末端啊，那么这个地方的话，两侧的脑度相等，转角相等，军部合载的话呢，在这两个地方呢，都要考虑连续性啊， 中间制作这个地方呢稍微特殊啊，他是连续条件跟这个边线条件合起来的。首先呢在这个地方呢，两 要分段列出，所以说在交界处的话呢，满足连续条件就是转角相等，牢度相等。另外呢这个地方呢又是个之作啊，就是跟这个地方一样的，除了相等以外呢，还要同时等于零啊，这个合起来是这个中间之作，这个地方啊，这个我们要注意一下 中间角，我们前面刚刚给大家介绍过，中间角这个地方呢，只有挠头相等啊，那么变形这个地方可以弯折，转角是不相等的， 那么这些地方呢，我们都要去注意啊，好，这个是关于这些条件啊，那么大家关注一下这几个我们经常遇到的这种，呃，对应的条件是什么？ 那么积分条件确定以后呢，利用这个条件就可以求积分长数，把积分长数求出来，把这个长数呢带入这个圆方， 就可以得到这个转角方程跟老企业方程啊，这个也是牢度方程啊啊，方程接力以后呢，一般情况下最后的话呢，我们都是来求指定洁面的牢度跟转角值，这个地方的话，主要是求那个最大转角，最大牢度 啊，以及他在哪个位置啊，这个是为后面那个钢度较合做准备的，所以说我们呃利用精华写的这个方针以后呢，最后的主要是求这个最大的位置对应的这个变形量啊，然后呢利用这个来去讨论钢度， 好，这个就是积分法计算量的这个位的一个完整的过程啊。那么我们就呃说到这关于这个积分法对应的这个例题呢，我们放到呢下节课呢再跟大家去讲啊，这几个就先说到这啊，谢谢大家。

oh， so？ 什么道理？人们也是如此的厚。 别走， 燕子燕子 燕子，你带我走吧，燕子。

大家好，我是土木光头强，欢迎来到我的材料律学课，上次课已经简单为大家介绍了一下压根稳定问题，并且呢为大家讲解一下临界喝彩的概念。 对应于一个细长的受压杆，如果杆件的外核载超过了杆件的临界核载的话，那这个时候呢，这个杆件将发生失稳破坏。如果杆件的外核载并没有超过杆件的临界核载，这个时候呢，这个杆件在受压的时候将继续保持直线的一个平衡状态。 因此呢，对应于一个细长的缩压杆，他的临界合载呢，是他是否发生湿稳破坏的这样一个最重要的一个标准。因此呢，我们在研究压杆稳定问题的时候，最主要的就是研究占用杆件的他的临界合载。 那么在接下来的几次课呢，我们将就几种不同的约束形式的感见，受压的时候，他所对应的理解和宰是如何得到的，以及 如何计算，为大家进行一个讲解。首先呢，我们选择的是一个两端是交接的这样一个形式，在这样一个受压状态下，它所产生的这样一个临界合载是多少？ 那对于这样的一个气场杆来说，在受压的时候，哎，那由于沿着杆线的走向，在他的这样一个支座所产生的这样一个反力呢，也是 fc 二。那么我们就讨论他 刚脱离直线平衡，达到这样一个曲曲平衡的时候的这样一个中间直以这个连接和来直，那当这样一个改建发生曲曲平衡的时候，这样一个改建呢，将从直线段变成了这样一个曲线的这样一个形式， 由于这样的改建发生了一定的这样一个脑曲，那他对应的脑曲线方程，也就是说这个改建变弯之后，他的挠度与对应界面的弯距呢，有如下的这样的脑曲线方程，比如说呢，我 距离感见制作的这样一个下端，哎， x 的位置选择一个洁面，假设呢，他所产生的挠度是这样一个 w 的话，那我可以根据平衡方程求解出这样的一个洁面上，他所对应的这样一个弯距值，哎，那由于下端呢，他的这样一个 制作法例呢，也是 fcr， 人家要跟这个平衡，那这里边呢，他的挠度呢？是 w， 那很明显呢，在这个界面里面说产生的这样一个弯距呢，就是 fcr 乘以 w， 把这样一个弯距值带入到这样一个挠曲线未分方程中，哎，就会有这样的一个形式啊，这样一个形式， 那我们把这样的一个 ei 和 fci 把它除过去，哎，然后用一个 k 方来代替的话，那这个时候呢，他的脑曲线微分方程就会简化成这样的一个形式，就是脑曲线的二铁导数，他等于什么呢？ 等于这个 k 方乘以这个，然后进行一项的话，哎，他就等于这样的一个形式，二级倒数减去 k 方，然后 说你的这个减级 w 等于零，那对应于这样的形式，这是一个函数的二阶导数，哎，然后这个是函数，哎，这是这个函数，那这个呢，是我们高等同学里边讲的，叫做二阶为分方程，对不对？哎，二阶为分方程，那对应于这样一个二阶为分方程，哎，当然这是个加的形式啊，这是个加号， 哎，他这边因为一向活，这是负的，哈，咱们我是加号。那对应于这样一个微分方程，二阶分方程，求解他的时候，我们需要找他的这样一个特征方程， 这部分普通知识呢，属于数学里边的，那怎么调节他？我们需要找他的这样一个特征方程，把它转化成什么二方，那这里边是不 q p 就没有了，对不对？ 癌症是没有一次的导数，对不对？那只有这样一条，那就加上 k 方，哎，等于零。那看一下这个特征方程，它有几个根，那么不同这样一个根的形式，它的这样一个微分方程的空姐是不一样的，那根据这样一个求解，那 r 呢？是不是等于正负 k 白， 那这里边他是不是得到了两个不同的供鄂的这样一个扶树根，那么对应于供鄂的扶树根的话，这样一个微分方程的这样一个通解，他等于什么呢？等于这样的一个形式，那对应的这样的一个结果来说， 我们来看他的 r 发数据等于零，而这样一个白，他呢是不是对应的这个解的话，这就是这个 k 就是 k， 然后把这两个分别带入这个方程里边，阿尔发是零，所以说这一项一的零字面，他等于一，对不对？还能不管他了？ 哎，我们看这一项，这一项 c、 c 二都是积分常数，我们不管了，那相当于白色等于 k 代入里边就得到这样一个脑曲线，这样的一个脑曲线。微分方程的这样一个通解的形式，这里边的 a 和 b 呢，就是这样一个通解的这样一个 系数，哎，系数，而且里面 k 呢？就是前面的这样一个结果，给他开张号就是他的空间，那接下来我们来看一下这样的一个空间，他的里面两边的这样一个系数， a 和 b 都是多少？ 那么要想求这样的技术，我们还是回过来看这样的一个受压的这样一个压杆稳定问题。那对于这样的一个受压杆来说， 在他的最下端和最上端，由于他是一个角的形式，因此呢他在这个横向上是没有挠肚的，对不对？还没有挠肚的，也就是说当 x 等于零的时候，这个位置他是没有挠肚的，挠肚是零， 当 x 等于 x 的时候，带到这里边，他的挠度也是零，那我把 x 等于零带到这里边，那么三因零不等于零，不管这一项了，那么这里边的挠度等于零的话，很明显这样一个扣三因零等于一，那么意味着背他就是这个 b 啊，这个 b 要等于零， 那 b 等于零的话，是不是这个通解的形式就变成这样一个形式了，对不对？那再根据上边的这样一个编辑条件，就是当 x 等于 s 的时候，最上面的点他也是没有什么没有挠住的，对不对？那就是把 x 等于 s 代入到这里边，这个是要等于零， 对不对？哎？就是就跟他这样一个试试，那我们来观察一下这样一个试试。首先这里边系数不能为零，因为系数如果为零的话，他没有意义了，那要想使这个四字为零，只能后边这个三人开海路等于零，那三人开海路等于零，那就意味着根据 三角函数，什么时候他是这样一个零啊，对不对？根据三角函数，是不是他等于恩派的时候，那就是 ks 等于恩派的时候，才会善用值等于零，对不对？那对应于这个恩呢？是从这样一个一二三开始，他不能等于零，等零没有意义，是不是 等于零，这没有意义，那他从一二三开始，那一二三开始谁有意义呢？还是一有意义？因为当恩等于一的时候，这样一个感见，他已经处于这样一个失本的情况了，他不可能，他要后边的这样一个结果。因此呢，对于这样一个结果呢， kl 应该等于什么？等于派，而这个 k 呢？ 根据前面这个假设来，根据前面这个假设，它就等于临界合载，除隐排气模量，然后呢和管控距对不对？然后把这两个四字连立，就得到了这样一个两端角枝的时候，两端角 的时候，这个杆件所能承受的这样一个临界核载。观察一下这样一个临界核载的这样一个公式来这样一个临界核载公式，我们发现拿过来一个气场杆，他的这样一个临界核载跟外力是没有关系的，他取决于什么？取决于派方，取决枪杆，依次 取决于弹性，磨料，取决于这个感见的他的材质，取决于什么？取决于这个洁面的他的什么惯性去对不对？然后取决于感见的长度，和外和在没关。但是呢， 为什么他是一个重要的因素是他是什么？拿过来一个杆件，只要约束确定了。哎，那他所对应的材质啊，洁面都都确定的话，那他的零结合点就是定制， 只不过呢，外核载，看看他是否超过了这个临界核载，超过了他就湿稳，没超过就是不湿稳。因此呢，这样是一个临接核载呢，是他的这样一个气场感受压的时候是否湿稳的这样的标准， 而他的临界和窄的这样一个继承公式，哎，就是这个，那这个公式适用于什么？适用于两端交接的形式，两端交接的形式。后续呢，我们还会讲解一下其他的这样一个感端约束的形式，他的临界和窄跟这个是不一样的啊。 那么本次课呢，就先为大家讲解一下两端角质的哎，这样一个细长的刷牙杆，它的理解和点的计算方法。那么本次课呢，就先为大家介绍到这里，更多精彩内容敬请关注土木光头强。

今天我们开始曲线系系列课程的第一讲原理部分。之前我们讲过，如果平面中有两条直线 l 一和 l 二，那么我们可以用 l 一加纳木达背的 l 二等于零来表示所有经过两直线交点的直线的方程，那么这个方程就叫做直线系方程。 同样的，如果平面当中有两个圆 c 一和 c 二，那么我们就可以用 c 一加纳姆达贝的 c 二等于零来表示所有经过两元交点的圆的方程，而这个方程就叫做圆系方程， 所以同理可得。如果平面当中有曲线 s 一和 s 二，那么我们就可以用 s 一加纳木达背的 s 二等于零来表示平面中所有经过两个曲线交点的曲线的方程，而这个方程我们 就把它称之为曲线细放程。这里我们再扩展一下我们课本上的圆锥曲线有圆椭圆、双曲线和抛物线，而这几种曲线我们都可以通过对下面这个方程的参数赋予不同的值来进行具体的表示。 而如果我们将两个直线的方程相乘，也会得到一个形如二次曲线的二月二次方程。 所以按照同样的道理， l 一乘 l 二加 namber 的 s 等于零也可以表示曲线西方城。下面我们来看一下题目中几种常见的直取问题。用曲线西方城的表示方法， 第一种是过两定点的曲线西方城，这里两点可以确定一条直线，也就是我们常遇到的一条直线和一个曲线的直曲问题，那么我们就可以直接将曲线斜 西方城写成 l a b 乘以 l a b 加 nam 达 b 的 s 等于零。第二种是经过三个及以上定点的曲线。西方城这里的多个定点经过排列组合可以产生更多的直线。如果题目中只涉及到两条直线和一个曲线， 那么我们可以按照所需要的直线，比如 a b 和 a c， 将曲线系方程写成 l a b 乘以 l a c 加纳木达比的 s 等于零。 而如果题目涉及到三条直线和一个曲线，那么我们可以将曲线系方程写成下面这种形式。对于如何应用曲线系方程解答实际的题目，我们下节课再讲下课。

记住口诀，三秒搞定圆锥曲线切线来看黑板，口诀是见面分一半，日后好相见，反抗啊要切线方程，现在曲线方程已经有了， 切线过点屁。那切线方程就是见面分一半， x y 分别分给 x 零 y 零， xy 分别分给 x 零 y 零， xy 分别分给零零 x 零 y 零。这个点好 拖延，少女线抛物线的切线方程就分别出来了，听懂没有呀？关注卢老师，数学更上一层楼。

今天我们来讲一下解析几何的重要技巧。直线系方程我们在做圆锥曲线的题目时，如果题目中出现的直线的方程是一般式，那么这条直线无论含参与否，我们都需要将它转化成点斜式，因为点斜式能给我们提供非常重要的几何信息 及直线的斜率和经过的定点。但是我们会发现一些含有参数的直线的一般式方程是比较难转化为点斜式的， 那么这个时候就需要用到直线系方程。我们假设平面中有两条直线 l 一和 l 二，这两条直线都经过定点 a， 那么平面中所有经过定点 a 的直线我们都可以设为 l 一加 namber 等于零，所以再碰到含有参数的复杂的直， 实现一般事实，我们首先应该提取参数，将一般是改写为 l 一加纳姆达贝的 l 二等于零的形式，此时我们就获得了经过定点的两条直线的方程，然后再将两条直线方程连立，就可以求得他们所经过的定点。 下面我们通过一道例题来看一下直线细方程的应用方法。通过观察可以发现题目中给定的直线一般是是含餐的，所以我们正好可以利用直线细方程来求出定点。按照我们刚才所讲的内容，我们首先应该提取参数， 所以经过化解，我们可以将这条直线改写为 k 倍的 x 加二减去外加一等于零。那么这里我们就可以将 x 加二等于零看做直线 l 一，将外加一等于零看做直线 l 二，所以定点 a 就应该是 l 一和 l 二的 焦点，所以我们将两条直线连立求得定点 a 的坐标是负二，豆负一，然后因为点 a 在 m x 加 n， y 加一等于零上，所以我们将点 a 带入这条直线解得二， m 加 n 等于一。 通过观察，我们发现这道题目的问题是一个最直类的问题。我们之前讲过，最直类的问题有两条根本的解题途径，一条就是转化为指域问题，通过函数的思路去求解。另一类问题就是利用基本不等式的方法去求解。 那么这里通过观察我们可以发现分母之和二 m 加 n 是定值一，所以这里我们可以利用基本不等式结合一的横等代换去求解。我们知道任何数都等于一乘以他自己， 所以 m 分之一加 n 分之二就等于 m 分之一加 n 分之二乘以二 m 加 n， 而这个式子就等于四加 m 分之 n 加 n 分之四 m。 很显然，这里出现了即位定值，那么和就有最值。所以经过计算， n 分之一加 n 分之二的最小值为八下课。

学会口诀，三秒钟一道高考切线题。口诀是，见面分一半，日后好相见。来，咱看题。 一只圆的方程，点 p 一括号三，在圆上求过点 p 的切线方程。我们把 x 方写成 x 乘 x， y 方写成 y 乘 y。 见面分一半，我们把一分给 x， 然后呢，我们把根号三呢分给外，日后好相见。好了，整理的切线方程如下，同理可得二的切线方程大家学会没有呀？跟着娄老师数学更上一层楼！

同学们好，我是微课网数学主要教师王平。今天咱们学习一下有关区间与方程这节课的内容。首先咱们看看区间与方程的关系， 一般地，如果某区上的点 x y 与一个关于 s y 的二元方程 f s y 等于零的时速节有如下的对应关系。这里边注意了一个二元方程有 x 有 y 啊，他和坐标这样的平面指导作标词上的点 s、 y 之间有 联系，那联系是什么？首先，第一，区间上的点的坐标都是这个方程的解，注意区间上的点的坐标都是这方程的解。 其次，这个方程的解，如写了一个作文形式的话，那这个点一定在这条区线上，也就是说这条方程是区线的方程，这条区线是方程所对应的区线。 这里边希望大家能把他的意思给他弄明白。另外呢，我这里边想纠正两个同学们经常出现的错误的认知。第一，这个字，念曲不念曲， 因为我曾经以前上学的时候就被数学老师害过，考语文的时候，这次我就说念曲，老师说不对，应该念曲，结果那题我就错了。另外，什么叫曲线？在很多人的脑海中对曲线的理解是错误的，请各位注意了， 视线都是曲线，他是对整个线的统称，直线也是曲线。请大家注意了，二元方程人没规定一定是二次的， 他可以是二元一次的，当他是二元一次方程的时候，他肯定就表示直线，所以说直线也是曲线的一种。这几个图片要注意。首先，咱们再看第二个曲线方程的基本方法 与步骤，如何求曲线的方程，他有几个步骤，第一，建立四张的平面直角坐标器，这个可不能少，设区呢，动点坐标为 sy。 当然，如果题目中已经给你建立好了，你直接设动点坐标就可以了。 紧接着第二个，写出他的适合条件。我经常把这一句话呢，给他贬成什么呢？就是要把题目里的中国字改成一个几何的语言。待会通过一个具体例子，咱们就可以看一看这道是怎么回事。第三个， 列出 s y 的关键是列出这个方程什么意思？由于几格的语言，则可以通过比如说两节间距离公式，比如说点到直线距离公式诸如此类的概念，列出一个关于 s y 的方程啊，关于 s 的方程，那么最后一步化解这个方程，就得到了一条 曲线的方程，这是求曲线方程的一般步骤啊。一般步骤，那好，咱们看两道题。 第一道例题，如果方乘 af 方加外方等于六的曲线经过点一二，问你 a 的值是几？ 那既然曲线，那方程就对于那个曲线经过这个点，那说明这个点应该满足这个方程。那既然点满足这个方程的话，咱们可以把点一二直接往里带住就行了， x 换成一， y 换成二，由此 咱们可以推出来 a 等于二啊， a 等于二，计算要准确就可以了。好，这是咱们第一个例题，非常简单，咱们看第二例题，已知动减 p 到定点 f 一零和直线 s 等于三的距离之和等于四，求动减 p 的诡计方程。那么这个题怎么做？首先咱们先设动点，读标为 sy。 注意了，这题就是已经杠你一零，杠你都三了，等于他做标题已经都定死了。如果做标题没定死的话，自己还得把间隙的过程写清楚，那么咱们由题可以得这个图 一零，在这里 埃俄三动电屁。假设在这 到 f 的距离与到挨得三的距离，那这样应该是垂直的，我讲这个垂足叫 a， 他们距离之和，这两个距离之和等于四等于 四，那么由此我可以列出这个式子，我这个式子就叫做把题目的中国字改成一个几何的式子。 pf 加 pa 等于次，那么接下来 pf 可以利用两点间距离公式， pa 可以利用特出的点到直线距离公式，咱们给它列出来，那就是这个样子。那么最后一步就开始了化解这个方程， 那么咱们在画这方程时，请他们注意了，这出现了绝对值，出现绝对值要进行画卷的话，咱们必须要进行零点分段， 就是当 s 大等于三的时候，他只是一个非负数，那绝对值就可以去掉了，他如果小于三的话，绝对这边是个负数，要注意这边要填符号，这两种情况咱们进行判断就可以了。进行化解型了，化解化成最简形式，当 s 大等于三的时候，我发现他 答案是外方等于四十八减十二 x， 当 s 小于三的时候，咱们同样还是这样的化解过程就能求来，他化解就是外方等于四 x， 所以最后是不同情况不一样，一定要注意了。绝对值去绝对值的时候要零点分段进行化解，这是咱们初一就取消过的了， 那么咱把这过程再捋一遍，跟大家说过了，求去远方程一共有四步走，第一步是建立适当的作报器，并设动作作报为 sy， 当然提供作报器人。警告你一零告你埃得三了。已经都定好了，那就不用再做了，那么 射对应图标应该有，另外呢，就要满足把他的一个关键是写出来这关系。是呢，就是我刚才说的，要把题目的中国字转成一个几何语言，另外呢，几何语言要转成一个代数方程，这是第三步，怎么转？两点间距离公式点 远道直接进行攻势，经常会用到，经常会用到。那么最后化解那个方程，在化解过程中注意绝对值初一老师就给我讲过了，怎么进行化解，你只要把这些以上步骤全掌握好了的话，那么这块的知识应该是不难的。好，咱们今天这节课呢，就讲到这里，咱们下次再见。

那我们今天来学习一下曲线方程，教练老师你看又有网友有问题了，这条曲线方程该怎么写？ 来秀个操作给你看看。曲线方程可以做很多复杂的曲线效果，这里给大家精心整理了大几十条曲线方针的模板，需要这些曲线方针模板文件的可以私信留言，或者进我主页找我搭档思琪，也就是可若一一，他会发给大家。相比其刚刚看到的那些曲线方程，这个曲线就显得 简单很多了。我们来看看这条曲线方程的编写。曲线方程命令是在几种曲线来自方程的曲线作别西，这里有三种不 不同的作别系、底卡、注册标和求作标。这里我们通过这三种不同的作别系做出同样的这个效果出来。第一个我们用默认的底卡坐标选择作别系，点击编辑进入曲线发生编写界面，点击这个 感叹号，可以把方针的介绍打开，我们复制这个方针模板下来自己编写。这个方针模板的意思是在 xy 平面上一个半径是四的圆，我们需要的圆半径为二十五，把四改为二十五，我们需要他从二十五开始往外渐变增大一圈，那我们就 再加一圈复制前面的，加到后面他需要慢慢变大，那么就乘以踢，这样就可以了，这条曲线就做出来了。隐藏第一条曲线，再看看注册标怎么写这个方程，同样把方程模板复制过来，半径从二十五变到五十， 这里就改为二十五加二十五乘 t， 他刚好需要一圈，就是三百六十度，下面就不需要变，这样同样的也把这条曲线做出来了，继续隐藏这条曲线，再看看九坐标的曲线方针怎么写。复制模板进来，同样半径改为二十五加二十五乘 t c 塔等于九十，就是他在球面上 中间位置角度是一圈三百六十度，所以下面就不需要改。搞定，同样也做出来了这条曲线，这样通过三种不同的方法就搞定了同样的一条曲线，后面就是拉伸操作，就没有操作了。有一个成语叫异曲同工， 做设计大家一定不能局限于某一个思路或想法，要多尝试不同的方法来做，这样才能有更多解决问题的办法。需要取现方式模板文件，大家可以找思琪，感谢关注与支持！关注我，每天学习一个世界知识。