圆柱体积公式推导动态图乘分数
同学们好呀，今天咱们来聊聊怎么推导出圆柱的体积公式，其实一点都不难，跟着我一起思考就好了。大家还记得长方体的体积公式吗？对了，就是长乘宽乘高，也可以说成是底面积乘高， 这个公式咱们先记在心里。现在想象一下，我们有一个圆柱体，比如一个罐头或者一个柱子，如果我们把这个圆柱体切成很多很多非常非常薄的小薄片，就像把一根黄瓜切成无数片很薄的圆片一样， 每一片虽然很薄，但他还是一个圆柱体，不过因为太薄了，我们可以近似的把他看作是一个非常薄的圆盘，就像一张圆形的纸片。 那如果我们把这些圆形的小薄片一片一片的叠起来，是不是又能重新组成原来的圆柱体呢？现在关键来了，如果我们把这些圆形薄片想象成是一个一个非常非常小的长方体，可能有同学会问， 圆形怎么能变成长方形呢？其实啊，我们可以把一个圆分成很多很多个小扇形，就像切披萨一样，切成很多小块，然后把这些小扇形巧妙的拼在一起，是不是就能拼成一个近字的长方形呢？ 这个长方形的长大概就是圆周长的一半，宽就是圆的半径，所以圆的面积公式 pi 平方就是这么来的，这个大家应该还记得吧。 好，那我们把每一个薄圆盘都这样近似看成一个底面积是 pi r 平方高非常非常小的长方体。那这么多小长方体叠在一起，总的体积不就是所有小长方体体积的总和吗？ 每个小长方体的体积是底面积乘高，那所有小长方体的体积加起来，底面积都是 pi r 平方高，加起来就是原来圆柱体的高 h 了，所以总的体积就是 pi r 平方乘 h， 也就是底面积乘高。 你看这样一想，圆柱的体积公式是不是就和长方体的体积公式联系起来了？都是底面积乘高，只不过圆柱的底面积是个圆形而已。 其实数学里很多知识都是相通的，用我们熟悉的东西去理解新的知识就会简单很多。那大家现在明白圆柱体积公式是怎么来的了吗？或者你们还有什么更巧妙的理解方法？欢迎在评论区分享哦！
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01:16查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来推导圆柱的体积公式，那么之前我们已经学过了圆的面积公式，而圆柱无非就是 圆拉高了高这么多的长度，我们由这个思路就知道，因为圆就知道圆柱的体积就是 底面积乘以高，这是底面积，就是这个圆的面积乘以高，所以就知道了 v 等于 s h， 那 s 就是 底面积，是圆的面积， s 等于 pi r 的 平方，就是圆的面积乘以 h， 所以 我们就知道了 v 等于 pi r 的 平方乘 h。 现在我们来做一道题，当底面积的半径等于三厘米，而高等于五厘米的时候，这个圆柱的体积是多少呢？
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04:21查看AI文稿AI文稿圆柱的体积， 古代的劳动人民真是太让人佩服了，他们仅用自己的智慧和双手就建造出了这么雄伟的建筑。这么粗的柱子得需要多少木材呀？ 这个柱子是一个圆柱体，是不是算出圆柱体的体积就知道了。是的哦。那圆柱体的体积应该怎么求呢？ 别着急，先想一想你们学习过哪些立体图形的体积？我们学过长方体和正方体的体积都等于底面积乘高，也就是 v 等于 s h。 那 你们再想想圆柱和它们有联系吗？ 圆柱体也有底面积和高，我猜圆柱的体积可能也等于底面积乘高。 我们不仅能猜想，还要去验证我们的猜想。在学习圆面积的时候，我们采用了画趋为直的方法，就将圆转化成了一个近四的平行四边形。 那我们也可以沿着圆柱的底面直径并垂直于另一个底面切开，再将每部分都八等分，然后将它们拼在一起，这样就能将圆柱转化成为一个近似的长方体。 哎，我们还可以将圆柱进行三十二等分、 六十四等分、 一百二十八等分 观察，发现越来越接近长方体了。观察拼成的长方体与原来的圆柱有什么发现？ 转化前后的底面积高和体积没有发生变化。长方体的体积等于底面积乘高。最初的猜想，圆柱的体积也等于底面积乘高是正确的。 按照长方体体积等于长乘宽乘高这个公式，我们也能推导出圆柱的体积公式吗？善于思考，给你点赞！ 通过观察，我们知道长方体的长就是圆柱底面周长的二分之一等于派 r， 长方体的宽就是圆柱的底面半径， r 长方体的高就是圆柱的高 h 长方体的体积 v 等于派 r 乘 r 乘 h 等于派 r 的 平方 h， 派 r 的 平方就是圆柱的底面积 s 得到 v 等于 s h， 所以 我们依然可以得到圆柱体的体积等于底，面积乘高。 嗯，那现在只要知道这些信息，就可以求出圆柱体的体积了，咱们赶紧找找有没有对这个建筑的详细介绍。 嗯，快看，这上面有一根柱子的底面半径为零点四米，高为五米，圆柱的体积 v 等于 s， h 等于胎儿的平方 h 代入得出结果。这个地方要注意，可以运用乘法结合律计算会简单一些。 没错，那我手中的这个水杯能装多少毫升的水呢？我来计算，水杯底面直径是六厘米，高十六厘米，列示为。 如果忽略杯子的边缘和底部的厚度，就可以看成它的容积是四百五十二点一六毫升。 啊，这个杯子装的水也太少了，这游玩一天下来都还不够喝呢，你看这是啥？哈哈哈，咱们接着去别的地方游玩吧。
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03:44查看AI文稿AI文稿狗蛋和小锤因为该用谁的圆柱产生了争执，要想方设法求出圆柱的体积， 在借鉴圆的面积的切割重组之后，他们终于得到了一个体积和圆柱体积相同的长方体。接下来，只要找到长方体的底面积和高，算出它的体积，就知道圆柱的体积啦。 那么我们要怎么知道长方体的底面积和高呢？你得考察一下他的出身，他可不是路边一个普通的长方体，他是由圆柱变化来的。所以要找出这个长方体的底面积和高，就要回到圆柱里去。你看看在切割重组的过程中，他俩的底面积和高发生了什么变化呢？ 答案是 c。 先看底面积，长方形的底面是由圆柱底面的圆经过切割重组得到的吧，它们的面积自然是相等的，那长方形的底面积就是 s。 再看高，圆柱是这样竖着切开的吧， 变成长方体后，高没变吧，所以长方体的高也是 h。 现在底面积和高都找着了，这下简单了吧，体积等于底面积乘高，也就是 s 乘 h， 那 圆柱的体积也就呼之欲出了，也等于 s 乘 h。 你看这个 s 也是圆柱的底面积也是也是圆柱的高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。这就是我们要找的圆柱体积公式，可以把体积用字母 v 来表示，这个公式用字母表示，就是 v 等于 s、 h。 怎么用呢？举个例子，比如圆柱的底面积是二十五平方厘米，高十四厘米，那体积等于底面积乘高就是二十五乘四，结果就是一百立方厘米。 下面该帮狗蛋他们解决难题了，狗蛋的圆柱底面积是三十八派平方厘米，高是十厘米，体积是多少呢？ 选 b， 圆柱的体积等于底面积乘高，这里底面积是三十八派平方厘米，高是十厘米，体积就是三十八派乘十等于三百八十派立方厘米。如果派取近似值三点一四，那结果就是一千一百九十三点二立方厘米。 再看小锤的圆柱，底面半径是五厘米，高是十六厘米，可体积是底面积乘高啊！现在只知道底面半径，看来要先用底面半径把底面圆的面积求出来才行。那你思考一下，应该用哪个公式计算体积呢？ 选 c， 先用 pi r 的 平方求底面积，底面半径是五厘米，底面积就是 pi 乘五的平方，要求体积还得乘高，使 pi 乘五的平方乘十六，算一下，结果是四百 pi 立方厘米。 如果 pi h 进四值三点一四，结果就是一千二百五十六立方厘米。比较一下，虽然小锤的圆柱只比狗蛋的圆柱大一点点，但毕竟还是大嘛，最终当然是用小锤的啦！ 最后我们来总结一下，可圆柱的体积可以用底面积乘高，也就是 v 等于 s h。 不 过当我们只知道圆柱的底面半径 r 和高 h 的 时候，要先求出底面积是 pi r 的 平方， 再乘高 h。 所以 圆柱的体积公式也可以写成 v 等于 pi 的 平方 h。 你 都学会了吗？
04:06查看AI文稿AI文稿同学们，今天的每日一题呢，是基于圆柱的体积公式的推导过程。我们在课上研究圆柱的体积公式的时候呢，带领大家操作，也动画演示过，我们当时呢，是将一个圆柱转化成了一个近似的长方体， 从而推出了圆柱的体积，通过观察转化前后的圆柱与长方体的变 与不变，而推导出了圆柱的体积公式。我们先来回顾一下当时的推导过程吧，大家请看这里呢，有一个圆柱，这个圆柱我们先把它十六等分，现在呢，我们把这个圆柱交叉展开， 展开以后呢，我们再把它拼成一个长方形，大家请看现在这个圆柱，由于转化前后的圆柱和长方体的体积是一样的， 而长方体的长刚好就等于圆柱的底面周长的一半，用字母表示就是 pi r， 长方体的高就是原来圆柱的高， 而长方体的宽呢，它是圆柱的底面半径，因为长方体的体积等于长乘宽 再乘高，所以圆柱的体积公式就等于派 r 的 平方 h。 这是我们上课的圆柱体积的推导过程。而今天的每日一题呀，我们在这个长方体的基础上，再把它进行一个翻转， 大家请看他现在就成了这个样子。第一题，观察上图，我们发现翻转后的长方体的底面积等于圆柱的什么呢？ 同学们，回顾我们刚刚拼成长方形的过程，大家请看现在，现在红笔涂出来的这一部分，大家可以清楚的看到，它就等于圆柱侧面积的一半， 而现在长方体的高大家可以看到是这里，这里呢，它刚好就是圆柱的底面半径， 大家请看这个翻转过来的长方体，长方体的体积呢，就等于底面积乘高，所以呢，它就等于侧面积的一半再乘高 r， 所以 啊，圆柱的体积还等于侧面积的一半乘底面半径呢。 现在用我们的发现来解决一下下面的问题吧，告诉了我们圆柱的侧面积和半径 要求它的体积。我相信如果没有刚刚的分析，很多同学会这么去做，他看到侧面积是八十平方分米，他就会想到二 pi r h 是 八十， 又根据半径是五，然后呢，先求出来圆柱的高，再通过 pi r 的 平方 h 求出来它的体积。而经过我们刚刚的分析，大家知道了，圆柱的体积还可以通过侧面积的一半乘底面半径直接求得。 所以这道题我们可以直接用八十乘五除以二求得是二百立方分，而不需要再通过测面积求出来 h， 再用原来的 pi r 的 平方 h 去计算了。所以同学们，任何时候我们换一个角度，就可能让事情变得简单。 这道题我们一旦把这个长方体翻转一下，我们就得到了另外一个求圆柱体积的公式。当呢，遇到已知条件中有侧面积有半径的时候，我们就不需要再翻回去重新求高，而是可以直接用侧面积乘半径来计算啦。 所以我们求圆柱的体积啊，可不一定要知道高哦。学们转化思想让我们的数学变得有趣又简单， 应用公式的时候，我们同样可以灵活的去转化，去翻转，从而从另外一种角度理解圆柱体积的推导过程， 这样在某些已知条件中就能很快的得到应用。希望大家都能把转化的数学思想牢牢的刻在你的脑海里，遇到题目的时候灵活变通。以上就是今天这道题的讲解啦，我们明天再见！
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