马尔萨斯人口模型公式

有没有人担心过，如果地球上的人越来越多，那食物和资源不够用了怎么办呢？那他们最近考虑的问题真是越来越杞人忧天了啊。可以说在人口学当中，这是一个很复杂的问题。 那一七五五年，美国开国元勋弗兰克林，那就是风筝实验，哪位他呢？就曾经写过一篇论文，这论文当中啊，就分析了当时这个英国殖民地的人口数量，结论是呢，这个地区的人口数量大致是呈指数增长。 其实也不难理解，因为你不能保证每个家庭他只生一个孩子，而且你像早些年生孩子是不控制的，你像咱们父亲母亲那一辈呢，隔五六个很正常的。 那所以我们简单估算一下，呃，咱们假设，呃，每个家庭呢，这是一父一母啊，咱们按照呢每个家庭生四个孩子来估算，平均呢是两男两女，那就相当于是 二变四，四呢，到时候会变八八，再变十六，这么以此类推啊，这就是几何级数啊。但是如果每个家庭他只生两个孩子呢，那基本上你每一代的这个家庭数量他就是不会变化的啊，那理想情况下呢，人口数也就不会变。 所以像早些年有这么一句话说，一个不少，两个正好，三个就多了，这句话就是这么来的，那结论就是呢，如果人口不加以控制的话，理想情况下就是近似的指数增长的趋势。这个结论呢，就影响到一个人，就是马尔萨斯， 这可能是为数不多的啊，比较有争议的大佬之一，人口学大佬马尔萨斯呢，在一七九八年他就出版过一本书，就是著名的人口论。这基本论点呢，是这样的说，第一，如果不加以限制，那人口的增长呢，是呈指数趋势的。 第二，食物的供应呢，则是现行趋势啊，什么意思呢？就是你土地面积这是有限的啊，所以食物的产量就是有限的，而且你今年说产多少，明年基本上他还是多少，对吧？他不会说每年翻一番啊，这和生孩子是不一样的。 第三，食物是人类赖以生存的必要条件之一。那在这三条基本假设之下，马尔萨斯的结论就是 你人口的增长啊，这是指数啊，食物的增长呢，是现行，一个等比一个等差，那你长时间之后，食物呢，必将会供应不足，导致人类大面积饿死啊，疾病蔓延是战争爆发，这就是著名的马尔萨斯灾难。 有同说不对啊，你人口正常情况下不也有死亡率吗？啊，对啊，马尔萨斯也考虑了，咱们一会再细说啊，这个马尔萨斯灾难他的影响还是很大的啊，你比如说人口论啊，直接 影响到了达尔文啊，马尔萨斯是达尔文毕生的偶像，那要不然怎么会有说物竞天择，适者生存呢？因为你资源是有限的呀，那竞争这就是必然的。那马尔萨斯还说了，说如何避免这个马尔萨斯灾难呢？ 答案就是生孩子得控制，那这是根本呢，所以你像为什么计划生育是咱们国家的基本国策呢？当然咱们今天要讨论的不是说马尔萨斯灾难是不是马尔萨斯陷阱的这个问题啊，这是政治经济学的范畴呢，我们要讨论的是从人口学这个简单的模型出发，来探寻这其中的混沌现象。 妈咪说，知识就是力量，所以今天咱们就来介绍混沌理论当中另外一个著名的模型，就是 logistic map。 前面呢，我要讲一下这个方程是怎么来的啊？不喜欢推倒的同学，呃，也可以直接跳过这一段。那我们刚才说，如果人口数量是二变四， 四变八啊，八变十六，那这就是以二的 n 次方成如递增，也就是一个等比数列，对吧？那我啊，我可以这样写，这个等比数列啊，它可以由这样一个方程迭代得到，那就是 n 啊，然后 n 加上一等于二倍的大 n， 一个小 n， 如果你 n 一等于二，那我通过不停的迭代，最终就会得到这个等比数列， 对吧？其实呢，我们还可以这样写啊，就是 n n 加上一，他呢就等于 n n 再加上一个 r 倍的 n n。 这个式子的意思啊，就是说这是下一代的人口数量，他呢要等于上一代的人口数量，再加上一个增长的人口数量啊。所以这个小儿是什么呀？ 就是人口增长率，那我们再整理一下，那就是大 n， 然后 n 加上一减去一个 nn， 他就等于二倍的 nn， 哎，这就是马尔萨斯。人口模型如果要是写成微分方程的形式，那就是 d n 啊，比上一个 d t 就等于 r n 啊，但是我看了上一期，算了啊，这块不用管了。呃，咱们就看这个式子就行了。马尔萨斯说啊，是的确存在生老病死、自然灾害等等死亡因素，但是呢，我们仍然可以把它折算成这个小儿啊， 也就是我把这个增长率我给他降低些就行了，那你只要这个小儿他是大于零的，这就是指数增长啊，所以有的时候这个式子也叫做生态学的指数定律。可是问题就在于 你这个死亡率，他能不能直接折算成增长率呢？不能啊，一八三八年啊，比利时的一位数学家叫做 warhouse， 他呢就给出另外一个模型，他说为什么不行呢？因为死亡率并不是和人口数量相关的，而是和人口数量的平方相关的， 所以你这是增长项啊，死亡项呢，要单独计算，哎，就是他再减去一个阿尔法倍的 n n 他的平方，其中这个阿尔法就是各种因素引起的人口的这个衰减系数啊，这样你就既有增长项，又有衰减项了， 那这个模型就叫做 warhouse 增长模型。那我们再把它整理一下，我们重新定一个系数啊，叫大 k， 让大 k 呢，它等于 r 比上一个 f， 然后再化解一下，那 n n 加 加上一减去一个 n n， 它就等于 r 倍的 n n， 再减去一个 k 分之 r 倍的 n n 它的平方。那把 r 和 n n 提出来，也就是 r n n 再乘以一个一减去 k 分之 n n。 这个式子就是著名的逻辑四地方程 logistic equation， 在生态学当中有一个叫 r k 选择理论，哎，就是这么来的， 其中这个 r 呢，就是刚才说的这是人口增长率，对吧？这个大 k 呢？这是我们定义的这个系数啊，在生态区当中就叫做环境承载力， 什么意思呢？通俗的说就是你当前的这个环境，他能够承载的最大人数，所以这个大 k， 他是一个物种的最大承载量啊。这个方程不仅仅可以表示人口啊，什么马口、重口都可以。那如果这个承受力 k 要是无限大的啊，那这一项呢，就会趋于零，所以呢，那物种他就只剩下增长了，对吧？就随便涨我都能承受住。如果这个 k 刚好等于 n n 呢， 那整体这一项就是零了，所以你增长率再大也没有用，就你多增长的都饿死了，对吧？我就能承受这么多了。那如果这个 k 要是小于这个 n 呢？也就是当前人口数量他大于这个承载力了，那整体这一项，这就是负的， 就他是小于零了，那下一代的人口数量呢，就会减少啊，这就是这个公式直观的意思。在数学上呢，这个公式也是 s 曲线的一种啊，为什么叫 s 曲线呢？因为它的函数图像 大致是这样的，哎，一个 s 型啊。好了，那有同事说说，你这混沌在哪呢？别着急，很快就来了啊，说一九七六年呢，澳大利亚有这么一个生态学家啊，叫做 robert may， 他呢，在研究这个逻辑私立方程的时候，他就发现了一个奇怪的事啊，首先呢，他是把这个方程啊，他又化减了一下，说 n n 加上一，他呢，就等于 n n 加上一个 r 倍的 n n 啊，再减去一个 r 法倍的 n n 他的平方啊，就是把这个 n n 移过来， 那就是 r 加上一倍的 n n 啊，再减去一个 r 法倍的 n n， 它的平方。这个时候呢，我们重新定一个系数啊，假设是 k 撇，让它呢，就等于 r 加上一，再比上一个 r 法，它也是 这个环境承载力的意思，所以呢，这个式子这就变成了 r 加上一乘以一个 n n 再减去 r 加上一比上 k 撇， 再乘一个 n n 他的平方，对吧？然后注意啊，两边我同时除以一个 k 撇， 那左边就是 n n 加上一比上一个 k 撇。右边呢，那就是 r 加上一乘一个 n， n 比上 k 撇，再减去 r 加上一乘以 n， n 比上 k 撇它的平方。 然后我们把 n n 加一比上 k 撇和 n n 比上 k 撇，我分别用 x n 加上一和 x n 来表示，这个 r 加上 一呢，我们用 mu 来表示。所以最终这个方程啊，就化解成了 x n 加上一就等于 mu 倍的 x n 再乘一个一减去 x n。 妥了，你看，化繁为简。左边我们先不用看了，右边这是啥呀？这就是一个一元二次方程啊，这是抛物线呢，甚至是方程的两个根。我们都知道这零和一呗， 所以它的图像大致就是这样的，这是 x 轴啊，这是 y 轴，这是零，这是一 看一眼二十项是负的，所以这是一个开口向下的抛物线，其中这个 mu 值就决定了这个抛物线他的高度，你看很清晰，对吧？而且其实我们关注 的就是零和一这个区间内的这段函数啊，为啥呀？你看这个 x n， 他是啥呀？他是当前的人口数量比上一个最大承载力啊， 所以一般情况下，这个 s n 它的取值范围就是零到一之间的啊。好了，但是别忘了啊，我们这是一个迭代方程啊， 也就是说，我们想看的是，假如这个增长率和最大承载力是固定值的情况下，那给定一个人口出值，这个人口他的数量会如何演化呢？啊？就这些人，他的归宿是什么？能听明白吗？你比如说我们给定说 x 一啊，等于零点二， 那就是假设说啊，现在有个部落，他的最大承载量呢？呃，假设是一万人，那现在我们有两千人啊，两千除一万，这是零点二， 对吧？然后我们就来看不同的这个 mu 值，这个部落它的归宿是什么？你比如说让 mu 等于一，那我就把 x 一，那等于零点二就带进去，那就是零点二乘以零点八，所以 x 二呢，就是零点一六。 x 三呢，那就是零点一六，再乘以个零点八四，它等于零点一三四四啊，你这么以此类推，对吧？迭代几次之后你就会发现，那显然这个例子它是会收敛到零的。 为啥呀？因为喵他是增长率加一啊，对吧？这呢？这是二加一啊，所以如果喵是一的话，那增长率那就是零呗，也就是你每一代都没有人出生，那最终可不都死了吗？那对吧， 好明白这个意思，这就好办了啊。呃，那这种手算的方式显然是太慢了，那我们就通过几何的方式来考虑一下这个问题啊。那迭代在几何上怎么处理呢？你看啊，这右边，这是一个二次方程，是吧？这左边呢，这也是一个方程啊。 我们迭代的过程是不是这样的说呢？现在有这么一个 x 一了，然后把它带入进来，然后计算出这个函数值，再把整体这个函数值 输出给这个方程，只不过这个方程相当于什么都没干呗，他原封不动的又把这个函数值输入给这个函数了， 这么不停的循环，对吧？那我们看这个图啊，假设第一次说我们选取了一个 x 一，然后呢，你就会得到一个函数值啊，说这是 y， 那下一次呢？我们其实就是想用这个 y 一当做自变量，对吧？所以啊，其实可以这样，你看啊，我把左边这个方程啊，他的图像也给画出来，这就是 y 等于 x 这么一条直线呢，对吧？这一条四十五度的对角线吗？然后呢，我把这个 y 一给他传递给这个函数， 就是做一条 x 轴的水平线交于一点，那这个长度是不是也是 y 一啊？然后知道咋办了，你这是一个等腰直角三角形啊，所以这个长度就也是 y 一。 y 一是啥呀？那就是我们要找的 x 二啊，所以这就是 x 二，那现在我们要找 y 二，那就是这上去这一点，这就是 y 二，然后以此类推，所以在几 结合上，什么叫做迭代呢？就是我从一个点这 x 一出发，去找这个函数，再去找这条对角线，然后再去找这个函数，再去找这条对角线啊，再去找函数，再找对角线，这么不停的重复操作，这就是迭代啊， 这个办法的好处呢，就是我们可以直观的在图像上，我看到不停的迭代之后，这个函数值他的走向了啊，明确了吧？好，那咱们就开始上软件。

我们说一个概念和与这个概念相关的现象，马尔萨斯陷阱。马尔萨斯是两百多年以前的一个人类学家，他提出一个观点，那就是经济的增长呢，就会导致人口的增加，但人口的增加的速度呢，比经济的发展速度呢要快，人口呢是几何激素的增长，而经济呢，是线性的增长， 一旦经济的增长所创造的的财富不足以支撑更快速度的人，人口增加的时候呢，那就会出现很残酷的社会的重构。在人类的几千年历史里面呢，一直是用比如说战争，饥饿，瘟疫这样的方法去消灭一部分的人口，然后呢，让人口和经济的财富增长相匹配， 那么在最近的两百年时间里面，看上去好像马尔萨斯陷阱的不那么明显了。其实玛尔萨斯陷阱真的消除了吗？没有的，而且呢，是以更加残酷的方 是在出现，今天的社会呢，在分化。于是呢，有些人已经超出了马尔萨斯陷阱，比如说高科技的那些高附加至的那些人，富人，但是穷人呢？其实你看一下全世界的贫民窟的状况，他们呢，已经跌入了马尔萨斯的陷阱， 他们做蛋糕的能力不足以支撑他们的消费，所以他们越来越陷入了一种呃，因为自己的 成本和因为自己的收入的差距，陷入了一种被锁定在低端的一种贫困。这其实就是一部分人已经陷入了马萨斯的陷阱。在中国的古代出现过各种各样的王朝蝶 迭代，王朝迭代背后有一个逻辑，那就是经济增长了。中国古代的经济很容易增长啊，只有三个要素，那就是土地、人口、税收，只要把土地分给人，然后呢分给所有的人，然后把 税收降的很低，那么人口和土地的结合，加上低税收，就可以创造出很多的财富。那这个时候呢，光脚体系就会做大，那种大氏族啊，地主啊什么的就会做大，于是呢就会产生一个更加庞大的社会的运营的成本，包括国家机器的管理成本， 而这个管理成本呢，会越来越高，越来越高，以至于整个土地上所产生的价值不足以支撑了，那就会出现社会的动荡，出现各种各样的王朝的迭代。中国其实在过去的几千年时间里面，一直没有走出这样的一个循环。 那么今天呢，其实也一样，你只要看任何一个现象，他会随着经济的增加而增加，但是呢他的速度比经济要快，都会出现这样，我们叫玛莎斯现象。比如说一个城市好，一个城市一旦经济好了，发展了，那么房价就会上涨，而房价再上涨呢，一旦超 包括了城市的创造财富的能力，那么这个泡沫也是成本，以至于整个经济不足以支撑他的房价。 那么今天最现实的一点是什么呢？是金融，金融体系，泡沫体系，债务体系，也就是说今天经济在增加，但是呢金融增加的更快，泡沫更大，债务更大，尤其是今天， 尤其是疫情以后，全世界的这个债务都前所未有的高，已经是所有的 gdp 的大概三点三倍，甚至更高这样的一个水平了。那么整个金融的底层逻辑是什么呢？是你欠债要能还钱，而今天的状况呢，是由于经济增加下产生的债务的，增加的 债务成本已经让经济不能承受的，所以呢，不可避免的会出现因为债务的过高导致经济的重构。只是这一切呢，今天还没 有发生，但是按照这样的一个马克萨斯的陷阱，他一定会发生的。也就是说，像马克萨斯所描述的那样子，如果我们的作战工作能力，经济的增长能力不足以支撑人口的增加和人口的 呃消费的话，那一定会出现重构。同样的，当一个城市如果他的发展水平不足以折腾他的房价的时候，也一定会出现经济的重构。 同样的，今天债务水平特别特别的高，以至于很多地方和越来越多的地方，他的经济增长速度不足以支撑这样的债务水平了。你大概想一下吧，如果一个地方平均来说，他的债务的水平是 gdp 的三倍， 那么债务是有成本的，你就算是百分之三的这个债务成本的话，比如说融资的成本的话，那也相当于什么呢？相当于整个 gdp 的资 加量要达到百分之十以上，否则呢，否则你赚的钱都不够还债的。那么一旦出现了这样的马尔萨斯陷阱式的现象，一旦出现了这样的一个变量，他的成本高于经济的成本的时候，不可避免的就会出现整个的重构。 今天呢，人口方面的玛尔萨斯陷阱在一部分地方已经解决了，但是呢，债务方面的玛尔萨斯陷阱其实正在离我们越来越近。

好，你好，我们今天应该叫做正式的进入数学建模这样一个课程。 呃，今天呢，我们从一个非常简单的问题开始。呃，今天我们的目的呢？我想更多的告诉你说 一个问题，其实他可以有好多不一样的数学模型啊。那今天我们先先来讲这个问题啊。这个问题呢，就是叫做呃一个比如说一个群体， 比如说一个国家，一个地区，呃，说他的这个群体的增长应该能不能预测，或者比如说呃说整个今天世界的人口可能是七十二个亿，嗯，那我们能不能预测一下，比如说三十年以后，呃，这个地球上会有多少人呢？ 嗯，也可以不是人口，比如说某一个区域，一个比如说动物的群体啊，那我们可以问说，比如说当前在这个在这个区域，比如说有多少动物， 说，我们说啊，三十年以后会有多少呢？或者我们还会问这样的问题，呃，说这个动物的群体，呃，他未来的趋势，这个数学上一家一般一讲未来的趋势呢，我们就在问说那个梯啊，那个时间啊，呃， 比如说曲无穷或者叫曲极限的时候会是什么样？这就是我们今天的问题。其实这个问题非常简单。那通过这样一个问题呢，我真正想告诉大家的东西是数学建模，并不是说我有一个确定的唯一的答案。 呃，一个问题呢，我可以从不同的角度去描述他。然后呢？当然，从我们今天去讲的这个过程里边呢，你发现说我的模型是越来越复杂，但其实我并没有强调说啊，模型越复杂越好。 好吧，那好，那我们先来看从这个问题开始哈。比如说呢？说我们当前啊，呃，我有一个人口的统计。然后呢？呃，其实如果你有一堆的这样的统计数据，其实一个非常正 常的，非常自然的选择。比如说我可以做统计模型，对吧？比如说我可以做回归，嗯，这无疑可以是一个选择。但是我们今天呢，更多的，我想去讨论一下。所谓的机理型的模型，就是呃，数学模型呢，如果我做一个大的分类， 我可以把它分成两大类，一类呢，我们就叫做数据型模型。那一类呢，我们会跟他叫做激励型模型，就是激励型模型呢，大家和数据型模型相比， 嗯，更多的大概我们的思考方式是这样的，就是我希望这个模型能告诉我为什么，或者我建立这个模型，从原因、理由，然后到结果的这样的一个过程。而不是说啊，说我有一堆数据，那你告诉我结果吧。好，那我们就来看 这个啊。今天我们想讨论的这一个问题啊，从哪开始呢？说我们的问题是想问说呃，说如果我有一个群体，嗯，那他的这个群体增长的趋势是什么？ 其实呢，讨论这个问题呢，嗯，不能说第一人或者最起码非常早的一个人的话，叫马尔萨斯，或者呃，马尔萨斯的人口论应该说是蛮出名的。 这马尔萨斯这个人呢，是一个英国人，嗯，那他是一个牧师。嗯，实际上今天来讲呢，应该说他是一个人口学家，其实他也是个非常著名的经济学家。 这个呃，上个世纪呃，非常著名的经济学家凯恩斯曾经非常高度的评价了马尔萨斯的经济学， 那我们今天不去讲他的经济学，我们来讲他的这个人口学。马尔萨斯有一本非常出名的这个书，呃，叫人口论啊，或者我们经常也翻译过来，就叫人口原理，或者翻译成人口论，就是这样的一本书啊，你会发现说他居然有那么多的版本。 嗯，他居然有那么多的版本呢，那大概就已经啊印证了说。哦，那这本书应该是很重要。 那这本书里面他在讨论一些什么样的这样的问题呢？他的基本的论题就是我们刚才所描述的就是这个人口的增长啊，到底他应该是一个什么样的趋势？ 然后他的论证的基本方式呢？其实他采用的是一种啊，非常像，或者说应该是我们念数学的人非常熟悉的一种方式，呃，叫公里话。就是说 他首先说我基于这样的几个基本的假设，其实他给了两个基本的假设。然后呢，他说人口，哦，那所以人口其实应该是啊这样发展的。 呃，但是在他的人口论的具体展开里边呢，其实啊，和这两个公理呢，并没有那么大的关系。所以呢，反而其实我们不去展开这两个，去展开的去讲这两个公理了。 但是他的基本的这个论说方式的话，那他认为什么呢？他是认为说他说人口的增长啊，应该会是一个指数型的增长 啊。对，什么叫指数性的增长，比如说今天是一，明天是二，这还不算指数啊，但是后天是四，再后天就是八了，哎，这样的东西叫指数增长对吧？它是一个，比如说这是一个二的 n 次方的这样的一个增长方式。他说。但 但是呢，他说这个食物啊，就是整个这个地球，嗯，或者人所生活这个环境里边，嗯，能提供给人的食物。说这个东西啊，可不是指数增长的。所以他一个角度说，你那个人口可能是指数增长的，但是食物呢，他说只会是一种算数基数的。这种增长 就是今天是一，明天是二，后天是三，然后就是四五六。嗯，那这样两个增长方式呢，那他当然就认为是不匹配的。 那他的结论呢？就是两百多年以前的结论。他就是说他说人口啊，这个必须要控制他的这种无节制的增长。 嗯，他认为说人口的无节制增长，嗯，会给世界未来的发展，嗯，带来很大的问题。这是他两百多年以前做出的这样的结论。 那这个结论呢？我们今天呃，不一定我完全用马尔萨斯当年所使用的这样的一个数学模型。但是呢，我们所啊，我们的出发点是跟马尔萨斯当年的这种论句是一样的。我们来看一看，说基于马尔萨斯对人口的这样的呃认知。 那我们看看说，我们可以用一个什么样的模型来去描述他，或者我们用今天的这样的这个数学工具， 我们用什么样的一个简单模型，我们可以去描述这样的一个呃，一个现象，对吧？就是说人口增长的这样一个现象，或者群体演化的呃，这样的一个基本现象。嗯，这是我们今天想去看的一个问题。

好，这就是咱们刚才看到这个例子啊， x 零，他等于零点二，这喵呢，等于一的时候啊，然后不停的这么迭代，哎，最终这个函数值就会被这个零点所吸引，现在呢，我不断的增加这个喵值，我们先来看一下这个结果是什么样的。好开始， 哎，很好，这个时候人口数已经能收敛到一个正值了，哎，你看什么鬼？好像突然就乱掉了啊，我们再来看一遍， 你看，突然就乱掉了。好了，那我来解释一下啊，这个 x 零啊，他是始终没有变化的， 那就这个初始值，他就是零点二，变化的是这个谬，我们可以看到，当谬等于一的时候，这个 xn 呢，他最终就会趋于零。 其实没有大于零，小于一的时候，他也会趋于零啊，因为你此时这个增长率，他是复制了啊，只不过说现实当中不存在这个情况嘛，顶多就是不生孩子呗。啊，那当喵在一到三之间的时候， 哎，就是这一段啊，这个 x 呢，他最终是会趋于这两个函数，他的焦点的，这个焦点也很好解，他就等于喵分之二啊，只不过说这个时候这个 x 已经跑到上面来了啊，那也是吸引到一个点， 像这些个点，这就叫做不动点，这就是我们上期说的吸引子啊，对吧？不过当你这个喵他要是大于三的时候呢，我们看一下， 哎，你看这里边他出现了一个框，哎，这什么意思呢？一旦这个函数值他要进入这个框了，那他就出不去了，你比如说这个函数值他在这呢，是吧？我迭代了一次呢，就跑这来了，我再迭代一次呢，哎，他就又跑回来了， 能看明白不？你不要看这个直线啊，这个 y 等于 x 这条直线，这是我们做的辅助线，我们的函数值都在抛物线上了啊，这样换个颜色 也不要看这些浅蓝色的线啊，我特意做的这个颜色就是越来越深的浅蓝色，这都是之前的这个迭代过程，我们要看的就是这个最终他的归宿啊，所以这个时候呢，函数值就会被这两个周期点所吸引， 就来回的变，那再往后呢？哎，这也是周期二哎，但是 大概在三点四五左右，你看这又多出一个框了，这是什么意思呢？就出现四个周期点了啊，看这个抛线上的迭代点啊，这就是周期四啊，那再往后呢，这也是周期四， 看，这出现了四个框了，对吧？八个周七点了，你看再往后，哎，好像就乱了，混沌就来临了啊，其实八后边还有十六啊，三十二等等，只不过这这个参数他没有那么精细啊， 这种现象就叫做周期倍增现象，就是周期是以二的 n 次方递增的，如果你回忆一下这个豌豆卜赛，他一直往前走的那个小圆，就是周期倍增了啊，那好，我们继续来看，其实啊，这后边也不都是馄饨的，他有一些特殊的点，你比如说我们看这， 哎，这是周期几啊？这是一二三四五，对吧？这是周期五啊，再看这呢，这是一二三，哎，这是周期三啊，这混沌当中啊，好像还有一些稳定的周期啊，那我们这样，我们换一种方式来看一下这个现象啊， 我如果说我把现在所有的能够出现的这些个周期点都给他放在一张图上，会是什么样呢？哎，就是这张图啊，这个横坐标，这就是瞄值，从二到四啊， 重坐标呢，就表示一直迭代下去，这个 x 他会趋向的值，这样我们就能看到你随着这个喵，他的增加函数值呢，他先是会稳定在一个点，突然呢，到这里啊，看这啊，然后就分叉了，这就是我们刚才看到那个出现方框的时候了， 然后呢，到了这个三点四左右的时候，突然又分叉了，你看这二就变成四了，然后又分叉了，四变成八了，以此类推， 所以这个图就叫做倍增周期分叉图，在没有超过三点五七左右的时候啊，这整体就变得乱七八糟了，我放大了，我们看一下细节， 但是我们可以发现，在这后边还是会有一些稳定的周期点的，你比如说像这个瞄值，他对应的周期几啊？周期三， 各位先记住这个点啊，很关键啊，咱们之后再细说。但是这个图他的混沌我们是看到了啊，就是他确实是很乱，那乱中有序吗？这个序在哪呢？给大家 开个视频。 没错啊， 这个倍增周期分叉图啊，他虽然源于混沌，但是呢，他却也是一个分型图啊，那再次印证了咱们上期的那句话，分型 是混沌在空间上的描述，混沌呢，则是分享在时间上的体现，这回有点感觉了，对吧？这一个简单的人口增长模型，说白了他就是一个二次方程的迭代呗，他居然这样， 他也有混沌，那说明了什么呢？说明了，如果人口他的增长率要是达到一定值之后，那你人口的数量是很难预测的，如果是稳定的周期点，那还好啊，你比如说周期二的时候，那可能今年的人口数量呢，他就会比较高，明年呢，他又会比较低了，他总会在这两个值之间来回的变， 周期三，周期四，这都是同理的啊。但是如果你这个增长率他要是再高点，那就没有稳定的周期点了。这个模型告诉我们的就是人口的数量他就会忽高忽低，无法预测啊。 你想想也是啊，如果人口要是剧增的，那饥荒啊，疾病啊，战争等等不稳定因素他就也会更多啊，那你导致人口数量不稳定，这不也很正常？自然界当中这种增长模式啊，还真的挺多的，这就是混沌在自然当中的体现。那关于这张分叉图还有更多的奥秘啊，时间关系， 咱们得放在下期再说了。最后啊，我们再来看一下，如果这个妙值他要是超过了四会怎么样呢？哎，最终的函数值呢？哦，在这呢，已经向富翁发散了， 也就是说如果人口急剧增长，那就真的是马尔萨斯灾难了。好了，那今天就到这，我是妈咪树有交织的李公楠，咱们下期见，拜拜。

马尔萨斯主义是指十八世纪末由英国经济学家马尔萨斯提出的一种人口经济学理论。马尔萨斯主义认为资源是有限的，随着人口增长，人类必须面临贫苦、饥荒、汉战争。 马尔萨斯在其代表作人口原则和政治经济学原理中提出了这一人口经济学说，第一次明确的把人口问题同社会状况联系起来进行研究。马尔萨斯以两个假设为前提， 一、人的性本能几乎无法限制。二、食物为人类生存所必需。基于这两个假设，他论断人口是按几何级数比率增长，而粮食和其他生产却是以数字级比率增长的，因而人口增长的速度远远超过粮食和其他生存增长的速度。由 此推出人类必须控制人口的增长，否则贫穷是人类不可改变的命运。尽管马尔萨斯主义学说存在很多缺陷，但是却引起了人们对资源与环境的重视，并为人类实行绿色发展还可持续发展政策提供了理论依据。

马尔萨斯陷阱是一个由经济学家马尔萨斯提出的概念。他认为，人口增长的速度会超过食物供应的增长速度，导致贫困和饥荒的恶性循环。这一概念通常被用来描述发展中国家在经济发展上可能面临的困境。马尔萨斯认为，随着人口的增长， 人们对食物和资源的需求也会增加，而这种需求增长可能会超过食物和资源供应的增长速度，这样一来就会导致粮食和资源短缺， 从而使人们陷入贫困和饥荒的恶性循环。马尔萨斯陷阱的本质在于，无论人们如何努力增加生产力和资源，都无法跟上人口增长的速度。然而，现在经济学家认为马尔萨斯的理论已经被现实证明是错误的。 在过去几十年中，人口和经济增长的速度都有所放缓，而全球食物生产和资源供应的总量也有所增加。此外，科技进步和经济发展可以帮助人们提高生产力和资源利用效率，从而更好的满足人口的需求。 因此，尽管马尔萨斯陷阱仍然存在，但随着经济和技术的进步，他已经不再是必然的结果。