造桥选址模型使用方法
坚持假期每日一题，数学学习不再费力。造桥选址这个模型同学们听过吧？今天我们就来看一下将军印码这个系列中比较复杂的一个模型，叫做造桥选址模型。 那什么叫造桥选址模型呢？我们来看说这里有一条河 l 一 l 二，是这个河的两岸， 在河的两个岸边呢，有 a 和 b 两个定点。那现在我们需要在这条河上去建一座垂直于这个岸边的桥 p q， 它有什么要求呢？就是使得 a p 加 p q， 再加 b q 这三条线段和最小。比如说我们在这里建一座桥 p q， 要是 a p 加 p q 加 b q 三条线段和最小，那么这个桥 p q 应该建在哪里呢？好， 我们来分析一下这个问题。要使这三条线段和最小，这三条线段里面呢，有一条线段它的长度是确定的，是谁呀？就是这里面的 pq， 它的长度呢？就是咱们这条河的宽度，对吧？要使这三条线段和最短， 就转换成了 a p 加 b q 这两条线段和最短的问题。最后再加上一个 p q， 这个定长就是这三条线段和的最小值了，也就是这三条线段和的最小值。咱们转换成了 a p 加 q b 这两条线段和的最小值，加上一个定长 p q 的长度。 好，接下来我们想一下如何使这里的 a p 和 q b， 也就是这两条线段和最小呢？我们回忆一下以前讲过的将军印码，都是有一条直线 l， 在直线的两侧或者是同侧有两个定点，这里面我们 这画的是两侧的情况 a， 这是定点 a 和 b， 然后在这条直线上去找一个点 p， 使得 a p 加 b p 和最短，还记得我们是怎么做的吗？是不是直接将 a b 连接与 l 的交点 p 就是我们所要求的 最佳的点 p 的位置，因为两点之间线段最短，所以这时候 a b 的长度就是 a p 加 b p 的最小值。 好了，接下来我们来观察一下这个模型和我们这个问题，他们的区别在哪呢？就在于这个模型中 ap 和 bp 他们是共 p 这个端点的对不对？但现在这个问题， ap 加 bq 这两条线段这个端点是分开的，所以现在如果我们把这个题转化为他原来的这个模型，也就是说使得这两个 点 p 和 q 挨在一起，是不是就可以用原来的模型来解决问题了？那么怎么使他俩挨在一起呢？此时我们应该想到一个图形变换，叫做平移，怎么平移呢？我们把我们可以把这里面的 ap 往下平移一个 pq 的长度， 这个点记为 a 撇， a 平移到 a 撇的位置， p 呢？它平移到 q 的位置，那么此时 a p q a 撇，这其实是一个平行四边形， 那么 a p 的长度就转换成了 a 撇 q 的长度，所以 a p 加 q b 的最小值其实就转换成了 a 撇 q 加上 q b 的最小值，再加上一个 p q。 好，那他们俩的最小值该怎么去求呢？ a 撇，这是一个一个定点，因为 a 是一个定点， b 也是一个定点，我们把 a 撇 b 一连与 l 二交于一点，这就是点 q 所应该在的位置。所以你看这两条线段合的最小值就是谁呀？就是我们的 a 撇 b 的长度，因为两点之间线段最短，再加上一个 p q， 这就是这三条线段合的最小值了。 那么桥应该建在哪里呢？刚才我们已经确定了 q 的位置，我们只需要过 q 去做一个垂直于 l 一或者是 l 二的线段，那么它与 l 一的焦点就是点 p 所应该在的位置，我们的桥就在 p q 的位置上， 那么此时我们的这个路径和最小的时候对应的路径是什么呢？就是 a 到 p p 再到 q q 再到 b。 问题搞定。总结一下这个造桥选址的问题呢，它包括两 步，第一步是干什么？是平移，这里我们将 a p 往下平移了一个 p q 的长度， a p 平移到 a p q 的位置，当然也可以把这里面的 b q 往上平移 平到这个位置。第二步呢，直接连接 a 撇 b， 因为两点之间线段最短。好了，今天这个造桥选址模型我们就讲到这里，记得点赞收藏，回头多看几遍。
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04:24查看AI文稿AI文稿造桥选址模型同学们听过吧？今天呢，我们就来看一下将军一马这个系列下比较复杂的一个模型，叫做造桥选址模型。好，那么他说的是什么呢？说我这里啊，首先是有一条河 ledl 呢，是这个河的两岸， 然后在河的两个岸边呢，有 ab 两个定点，那现在我需要在这个河上啊，去建一座垂直于岸边的桥 pq， 然后我要使得这里的 ap 加 pq 加 qb 是最小的来，比如说，哎，我们建这样的一个桥在这里，所以要使得这三条线段和最小，那么此时这个桥应该建在哪里呢？ 好，来看一下这个问题啊。我们首先来看一下这三条线段， a p 加 p q， 再加 q b， 要使得他们的合作 最小，那么这三条线段里面有一个线段，他的长度是确定的，谁啊？就是这里的 pq， 他的长度呢，就是这个和的宽度，对吧？所以说其实现在我只需要让这里的 ap 加 qb， 哎最小，然后给你们再加上一个 pq 的长， 哎，就是你们三者格的最小，值了，对吧？好，那现在来想一下如何使这里的 ap 加 bq 最小？ 好，现在回忆一下我们之前所讲的将军一马，哎，我们之前的将军一马呢，都是有一条直线，然后在这条直线上呢，有一个动点，在这条直线的一侧或者是同侧有两个 定点啊，比如说我现在就画一侧的情况，那么这是定点 a， 这是定点 b， 我现在要在这个上面找一个点，使得 ap 加 bp 最短， 当时我们是怎么做的？是直接把 ab 连起来就行了。哎，和你这个直线的焦点就是我所要的那个屁所应该在的位置，对吧？好了，那么你来想一下啊，这个问题和我们现在的这个问题他的区别在哪呢？ 哎，就在于这个比较简单的问题， ap 和 bp 他们是共 p 这一个端点的，对不对？但是我们现在这一块呢，你看 apbq， 哎，中间这个端点好像 给他拉开了，是不是？所以现在呢，我们就要把现在的这个模型给他转变成原来的这个样子，也就是说我要使得这里的 p 和 q， 哎，能不能给他挨在一起？ 所以这里同学们应该要想到一个图形变换，叫做平移，怎么平移呢？啊？我把 a p 啊给他竖直向下平移，平移多远呢？平移 pq 这么长，对吧？那此时你来想一下， 哎，我的 a 是不是就移到了 a 一撇的位置了，然后我的 p 移到哪里了？哎，就移到了这个 q 的位置了吗？是不是？所以此时我们这个 apqa 撇，他其实就是一个平行四边形，我们要的 ap 就等于这里的 a 撇 q， 所以来这再看一下，他其实求的就是 a e p r q 在加 q b 的 最小值，哎，最后呢，再给你加一个 p q， 是吧？好，那么他俩的最小值怎么去求？哎，刚才这已经说过了吗？你看 a 片，他是一个定点八， b 他是一个定点八，对吧？然后我把这两个一连，哎，那么这个连线和 l 二的这个焦点就是 q， 所以 应该在的位置 q 一片，可以吧？所以你看他俩合的最小值是谁呢？就是这里的 a 一片 d 的长，后面你再加一个 p q， 所以这个东西呢，就是你们三个和的最小值了，那么桥应该建在哪里呢？来，我们这已经有 q 所应该在的位置了，你只需要过 q， 哎，再做一个 垂直于 l 一或者 l 二的线段，那么他和 l 一的这个焦点就是 p 所应该在的位置，那我们的桥就在 p 一撇 q 一撇的位置，对吧？那么此时我们的这个路径和最小的时候对应的这个路径应该是谁呢？哎，就是我这里的 a 到 p 一撇， p 一撇，到 q 一撇， q 一撇再到 b， 可以吗？ 好，所以说啊，这个造桥选址的问题呢？哎，他包括两大步，第一步是干什么？平移，那么我们这里平移的是 ap， 哎，往下去平移，当然你也可以把这里的 bq 给他往上平移，哎，第一步平移，然后第二步呢，直接 连接就行了，你看我平易下来之后，把 a 撇 b 连接，或者你平易上去把这个 b 撇和 a 连接，可以吗？好了啊，那么今天这个模型我们就讲到这里，接下来给同学们留一道这个模型啊，对应的中考真题，自己尝试着去做一下。
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09:36查看AI文稿AI文稿板块四，造桥选址问题，这个造桥选址问题呢，我又把它称之为叫做两定点一定长模型，那我们一起来看一下这种几何题该怎么解决呢？ 第一，如图，两地在一条河的两岸，这个 ab 两地在这条河的两边，先要在河上造一座桥 mn 桥造在河处，才能使从 a 到 b 的路径 amnb 最短。 甲定河的两岸是平行的直线桥要于河垂直。好，那这个呢，是非常典型的两定点一定长，一定长，就是这个河的宽度是固定不变的，这叫做两定点一定长模型。那么现在呢，这一座桥 mn 他架在什么位置？我们不知道啊，我们刚开始的可以随便画一个，假如说我把桥架在这啊，这个点呢是 m 点， 这个点呢是 n 点，那么你的路线呢，就是从这个 a 点到 m 点，再到 n 点，再从这个 n 点到这个 b 点，那么现在我要考虑就是这个路线它是不是最短的呢？ 那我怎么知道他是不是最短的呢？我们这样来处理就好了，我们只要把这个定点 a 竖直向下平移一个桥的宽度，或者说把这个定点 b 竖直向上平移一个桥的宽度， 随便哪个都可以，我们就把这个 a 点给它竖直向下拼一个桥的宽度，把这个点借为 a 撇，然后把这个 a 撇和这个 n 点一连接。 我们来标一下啊，这个是 a 撇，这个 a a 撇是垂直于这个和的，这个 mn 呢，也是垂直于这个和的，并且他们两个长度呢，都是和的宽度，所以他们两个是平行且相等的，那么这个四边形呢，他就是一个平行四边形， 所以这个 am 和这个 a 撇 n 呢，他们俩就是相等的，我要想知道这个 am n n b 这个长度是不是最短的，其实这个 m n 你是不是不用考虑啊？因为它是固定的，它都是这个和的宽度， 那你只要考虑一下这个 am 加上这个 mb， 他是不是最小的就可以了，而这个 am 呢，是等于 a pn 的，所以你只要考虑这个 apn 加上这个 nb， 他是不是最小的就可以了。那这不是一个标准的将 密码问题吗？现在呢，这是一个折线，他不是一个最短的吧？你要让他最短，是不是？你只要把这个 a 撇 b 给他连接起来，这个 a 撇 b 与这个和的一个交点呢，就是我们要的 n 点， 那我们来画一下，把这个 a 撇 b 给他连接起来，然后这边这个焦点呢，就是我们的 n 点，真实的 n 点，然后你再过这个 n 点做这个和的一个垂线段，然后这边的焦点呢就是 m 点，再把这个 m 点和这个 a 点一连接， 那么你从 a 点出发，到这，再到这再到 b， 这样话就是你的一个最短路径。好，那这是你第一次接触的时候呢，我这样带着你去分析了一下啊，那么你如果熟练了之后呀，其实我们做这种题目的话，不需要这么复杂的，我给大家演示一下我们熟 的时候该怎么去做的啊？也就是说我给大家总结一下，我在开始的时候呢，就给大家说明了这个造桥选址问题啊，他的本质上就是两定点，一定查模型， 那么这一类模型的话，我们都是这样来处理的，先找到这两个定点，我们把这两个定点中的任意一个点，沿着垂直于河的方向平移这个河的宽度，把 a 点平移，或者是把 b 点平移都可以， 那这里面我们就把这个 a 点平移，把这个 a 点垂直于和的方向平移一个和的宽度，那么这个点呢，就是我们的 a 撇，然后把这个 a 撇与我们的另一个定点 b 一连接， 这个就是我们的 a 撇， a 撇 b 一连接之后，他与这个和啊，这个边上 会有一个焦点，这个焦点呢就是我们的 n 点，然后再过这个 n 点做这个核的一个垂线段，做这个垂线段，那么这个垂线段交着核的另一边呢，就是 m 点，再把这个 m 点和 a 点一连接，这就是我们的 m 点，所以我们的最短路径呢，就是从这个 a 到 m， 再从这个 m 到 n， 再从这个 n 呢到 b， 这就是我们的最短路径。所以等我们熟悉了这个模型之后呢，我们解决这类问题的话，只要像我们第二种这种思路就可以了啊， 没必要像第一种那种思路比较复杂，那个是我带大家去啊，说明一下这个为什么是这样子的，相当于是给大家证明了一下啊。那我们接着看这个思考题，如果 ab 两地之间有两条平行的和，我们要建的桥 都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离呢？这个题目就比刚才要难一些了，现在是两条河，但是这两条河呢，他还比较特殊，他们两个是平行的，那么其实还是类似于我们刚才的方法， 把这两个定点其中一个啊平移，我们刚才呢是平移一个和的宽度，那么现在呢，我就要平移两条和的宽度，我们把这个 a 向下平移两条和的宽度，那么这个点呢就是我们的 a 撇，然后把这个 a 撇与 b e 连接， 那么与下面这条河他会有一个交点，这个交点呢就是我们要的一个，然后过这个点呢做这个河的一个垂线段，这就是我们架的一条桥，这个桥架好之后呢，我们再过这 这个点做这个平行线，哎，我们再做个平行线，然后这个平行线与这个和的这一条边呢又会有个交点，我们再过这个交点，再加一条桥，然后再把这个呢和 a 点一连接。哎，我们来看一下啊， 其实我们刚才在这边构造的，这边是一个平行四边形，这边呢也是一个平行四边形，哎，这样的话我们的路径就是最短的，我们再给他标一下我们的路径是哪一个？ 从 a 点出发到这个地方，然后呢再经过桥，然后呢再经过这个地方，再经过一座桥，再回到这个 b 点， 这个路径就是我们的一个最短路径。进一步思考，那这个更难一些了，如果 ab 两翼之间有三条平行的河呢？有三条平行的， 那么类似于两条平行的，和我们还是差不多的处理啊，把这个 a 点呢向下平移三条和的宽度，我们平移三条和的宽度，大概是这样子，然后再把这个点和 b 点一连接， 那么这个线呢与这个和会有一个交点，然后我们过这个点做一个垂线段，这是我们架的一座桥，然后呢再做一个平行四边形，那么这个平行四边形的这条边呢，与这个和会有一个交点，我们再过这个点架一座桥， 然后呢再做一个平行四边形，然后这个平行四边形与上面这一条河呢又会有一个交点， 我们再过这个点，再架一座桥，然后再过这个地方走到这个 a 点，这里面呢这个四边形他是一个平行 四边形，这个四边形呢，他也是一个平行四边形，这个四边形呢他也是个平行四边形啊，因为这个图形我刚才是随手画的， 所以最上面这个拼音视频显得看着他不太标准了啊。你在画这个图的时候，你拿这个刻度尺去测量一下这三条河他的宽度是多少，然后呢去精确的画一下，我刚才随手画了，所以这个误差呢就比较大了啊， 那么意思就是这个意思，那么我们的路线呢，应该是从这个 a 点出发到这个位置再过桥，然后呢再到这边再过桥，然后呢再到这边，然后再过桥，然后呢再到这个 b 点，这就是我们的一个最短路径 拓展。如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行，又该如何建桥呢？ 看这个图，他这个核呢是不平行的，这个难度好像更大一些了啊，那么其实还是类似的，我们这样来处理就好了，我们把这个定点 a 呢向下平移一个桥的宽度， 然后把这个定点 b 呢啊垂直于这个第二条河，然后呢也是平移一个桥的宽度，也就是说平移一个河的宽度，然后把这两个点一连接， 然后这条线呢与上面这条河的这边会有一个交点，我们在这个地方架一座桥，然后把它与这个 a 点一连接，去构造一个平行四边形， 然后呢在这个焦点地方架一座桥啊，这个垂直于河的，然后呢再把这个点和这个 b 点一连接，这边呢也是构造了一个平行四边形。注意我们的 核心点啊，我们都在构造这个平行四边形，然后我们的最短路径呢，就是从这个 a 点出发啊，到这个位置，再经过这个桥，然后呢再到这个位置，再经过这个桥，然后再到这个 b 点啊，这就是我们的一个最短路径。 好，那这个拓展题呢，还是有一些难度的啊，仔细的感受一下这个四种情况啊，这个题目就讲到这。
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08:26查看AI文稿AI文稿下面咱们讲将军一马的最后一个边是叫平移，最直以直 a 点和 b 点是和两岸的两个定点吧。然后 pq 它是和上面的一座桥，并且告诉我们这座桥始终和河岸是垂直的关系。题目问 这座桥建立在什么位置？这也就是 pq 是可以左右移动的是吧？那么这座桥到底建在什么地方的时候，能够使得 a 点到 b 点去，所走的路程也就这个路径啊，这三段之和最小。那我们要去求他的最小值。先来研究一下 pq 啊， pq 是最特殊的， 由于这个 pq 始终是跟我们这个核是垂直的，所以 pq 的长度是不会发生改变的是吧？那所以我们要把转化你要去求他的主要词。先看先生研究什么呢？是不是 ap 加上 qb 的？ 注意下，是 ap 在这里， qb 在这里。之前咱们讲基本的将军一码的时候， a 点在这里， b 点在这里，那么这个 p 点在核上面。你看不管他是几定几栋， ap 和 bp 始终有一个公共的端点是吧？而我们这题 ap 和 qb 有没有？没有怎么办？ 没有，还是要转化是吧？转化？怎么转化？你既然没有公共端点，那我得想办法把这个 ap 给他平移一下，使得他俩有公共端点是吧？我把这个 ap 这条线向下平移， 平移的这个长度啊，就是 p q 的长度。平移了之后，使得 p 点跟 q 点重合啊。 p 点和 q 点重合，那么这里就是 a 撇点呗，是吧？那我们现在现在研究的对象就变成了什么？是不 a 撇 q 加上一个 qb 了。哎，此时你看这条线段和这条线段已经有公共的短点了吧， q 点是动点， a 点是定点， b 点也是定点， 什么时候出现最小值，连接 app 是不就好了。那么此时他跟我们这个河岸是不是有个焦点？这个点就是我们要找的 q 点。那么 q 点确定了 p 点是不是唯一的过点， q 做这个河岸的垂线， 这里垂直。此时这就是我们要求的批点连接 ap 啊。 ok， 现在我们要找的这个路径，最短路径已经出来了，就是这个蓝色的这条线啊。蓝色的这条线 你也可以去模拟一下啊。你自己模拟一下啊。我们要找的这个 ape 加上一个 qb 吧。 ap 在哪里？ a p 是不是就这条线啊？我们把它平移到了这个 a， 相当于平移到了 aq 这个位置。 aaq 加上 qb， 此时三点功线的吧，一二三三点功线，这是不是就已经有了最小值，而 pq 的又是一个定制啊。所以啊，现在我们就给他确定了 p 和 q 的位置。 接着我们看下面一种辨识啊。呃，其实本质上跟我们上一题是一样的啊，所以估计会讲快一些啊。 啊，椅子还是 a 点是并定点， b 点也是定点。他说 pq 是可以左右平移，并且还是桥吧，还是那座桥是吧。他让我们去找 ap， 加上 pq， 还有一个 bq 的一个最小值。由于 pq 是不是固定的，所以我们还是不看他直接去找 ap 和 qbapqb 怎么找，是不还是得想办法平移，让他俩有公共的 短点。所以我们把 ap 向下平移到 apq 这个位置。那么接下来我们要去研究的这个 ap 加上 qb， 就把它转化成求 apq 加上 bq 的最小值是吧？ 这就是最基本的将军一码了吧。那么过点币做什么啊？做这个河岸的一个对称点呀，对吧？转化 bq 来把这个 b 皮点找到， b 皮点找到，那么接下来又把它转换成什么？求这个 aapq 加上 bpq 的最小值。什么时候最小？两点之间线段最短连起来啊。连起来 为什么啊？我们看一下 a 点是不是定点？平移固定剧烈之后， a 撇的点他也是定点，而 b 点是定点。那我们 过这个河岸做他的对称点，对称点是不是也是定点？所以两点之间线段最短，内压线段最短 两个定点啊，之间有最短距离连接他就好了。这是我们是不是扣点？那么扣点确定了， p 点是不是也搞定了？点击 ap， 此时他的最最短路径是不是又出来了？他就是 这样蓝色的一条路径啊。好吧，那我们来看下面一种情况啊。他说已知 ab 是两个定点， pq 的线段长度告诉我们长度为 a 啊。这是一个定制固定的， 这个 pq 在这个直线上也是可以左右移动的。 pq 它是不固定的啊。还是要我们去求 ap 加上 qb， 加上呃 pq 这一二三，这三 三段河的最小只。哎，是一样的吧。我觉得为什么？是不还是这两条线段 没有公共短点是吧？没有你怎么办？平移呗，把这个笔扣向左平移，移到这个笔撇位置来。那么 q 点和 p 点是不是就是重合了？此时我们要去转化的这个 ap 加上一个 qb pk。 我还是不看他啊。为什么不看？因为他是一个定制啊，不管他是吧。然后把他转换成什么什么 ape， 加上一个 bp pok， 他俩的最小只什么时候最小？两点之间，现在最短呢？连起来。此时这里不就是我们的这个 p 点吗，对吧？ p 点 p 点的搞定了。 q 点在什么位置？看一下 p 和 q 的位置关系。 p 点向右平移 a 一个单位，是不是就得到 q 点？ 所以你把这里的批点向右平移 a 一个单位啊，他可能大概在这个地方。这里就是我们的 q 点。连接 bq 啊，连接 bq 最小。只是说出来最短路径在哪里，是不就是难受的这条线段 加上 pq 再加上 qb 啊，对吧？所以皮点的位置在这里。 q 点的位置在这个地方对吧？那我们继续往下看啊。 啊，这里十四题跟十三题也是同类型的题目啊，只是现在必点的位置不一样啊。来还是这个 pq 的长度是一个定值是 a， 他说 pq 可以作业移动。问这个 appq 加 qb 的最小值来一二三。这三段之后的最小值仍然不没有公共的端点。所以我们要把这个 bq 向左平移，使得这条线段跟我们这条线段有公共的短点。向左平移了之后， q 点是不是和 p 点重合了？然后这个 b 点到了 b 皮的 啊。那么我们要研究的对象 ap 加上一个比 q 是不是又把转移了？转化成 ap， 加上一个比一撇 p。 ok。 那么此时又该怎么做呢？是不是做对称了？这个时候就要都做对称了啊。来过点币做和对面的一个对称点 比量，过点比一撇啊，比两撇啊。那么就把它转化成 ap， 加上一个比两撇 p， 他的一个最小值。此时是不是又该连接 ab 两撇了。 ok， 此时这里有一个 p 点， p 点搞， q 点是不是也搞定了？把 p 点向右平移 a 一个单位，这里是我们的 q 点啊。 q 点找到连接 bq。 ok， 最短路径已经出来了吧。 ap， pq 再加上 bq 啊。那么这两这四道题啊，有两种类型，其实本质上都差不多啊。差不多，只是有时候在同册，有时候在直线的易测。是吧？ 那我们要求这个最小值的话啊，通常都是要把它转化。为什么转化到预测去，然后通过两点之间线段最短来确定吧。是吧。 那么这样的类型跟我们之前讲的稍微有一点点不一样。不一样了，就是两条线，你要去研究的两条线段，他没有公共短点，没有公共短点的时候，你就想方把平移，使得他俩有公共点就搞定。好吧， ok， 那我们这个就讲到这。
467老锅数学6789
04:27查看AI文稿AI文稿造桥选址模型同学们听过吧？今天呢，我们就来看一下将军一马这个系列下比较复杂的一个模型，叫做造桥选址模型。好，那么他说的是什么呢？说我这里啊，首先是有一条河， ledl 呢，是这个河的两岸， 然后在河的两个岸边呢，有 ab 两个定点。那现在我需要在这个河上啊，去建一座垂直于岸边的桥 piq， 然后我要使得这里的 ap 加 pq 加 qb 是最小的来。比如说，哎，我们见这样的一个桥在这里，所以要使得 这三条线段和最小。那么此时这个桥应该建在哪里呢？好，来看一下这个问题啊。我们首先来看一下这三条线段， ap 加 pq 再加 qb， 要使得他们的核最小，那么这三条线段里面有一个线段，他的长度是确定的。谁啊？就是这里的 pq， 他的长度呢，就是这个核的宽度，对吧？ 所以说，其实现在我只需要让这里的 ap 加 qba 最小，然后给你们再加上一个 pq 的长哎，就是你们三者格的最小值了，对吧？好，那现在来想一下如何使这里的 ap 加 bq 最小。 好，现在回忆一下我们之前所讲的将军一马。哎，我们之前的将军一马呢，都是有一条直线，然后在这条直线上呢，有一个动点，在这条直线的 异侧或者是同侧有两个定点啊，比如说我现在就画异侧的情况，那么这是定点 a， 这是定点 b。 我现在要在这个上面找一个点， 只得 ap 加 bp 最短。当时我们是怎么做的？是直接把 ab 连起来就行了。哎，和你这个直线的焦点就是我所要的那个 p 所应该在的位置对吧？好了，那么你来想一下，这个问题和我们现在的这个问题，它的区别在哪呢？ 哎，就在于这个比较简单的问题， ap 和 bp， 他们是共 p 这一个端点的，对不对？但是我们现在这一块呢，你看 apbq， 哎，中间这个端点好像 哎给他拉开了，是不是？所以现在呢，我们就要把现在的这个模型给他转变成原来的这个样子。也就是说，我要使得这里的 p 和 q 哎，能不能给他挨在一起？ 所以这里同学们应该要想到一个图形变换，叫做平移。怎么平移呢？啊？我把 ap 啊给他竖直向下平移，平移多远呢？平移 pq 这么长 对吧？那此时你来想一下，哎，我的 a 是不是就移到了 ap 的位置了？然后我的 p 移到哪里了？哎，就移到了这个 q 的位置了吗？是不是？所以此时我们这个 apqa 撇，他其实就是一个平行四边形，我们要的 ap 就等于这里的 apq。 所以来这再看一下，他其实求的就是 aeprq 在加 qb 的 最小值，哎，最后呢，再给你加一个 pq 是吧？好，那么他俩的最小值怎么去求？哎，刚才这已经说过了吗？你看 a 片，他是一个定点八， b， 他是一个定点八，对吧？然后我把这两个一连，哎， 那么这个连线和 l 二的这个焦点就是 q 所应该在的位置， q 一撇可以吧？所以你看他俩合的最小值是谁呢？ 就是这里的 a 一片 b 的长，后面你再加一个 pq。 所以这个东西呢，就是你们三个合的最小值了。那么桥应该建在哪里呢？来，我们这已经有 q 所应该在的位置了，你只需要过 q 哎，再做一个 垂直于 l 一或者 l 二的线段，那么他和 l 一的这个焦点就是 p 所应该在的位置。那我们的桥就在 p 一撇 q 一撇的位置 对吧？那么此时我们的这个路径和最小的时候对应的这个路径应该是谁呢？哎，就是我这里的 a 到 p 一片， p 一片，到 q 一片， q 一片，再到 b 可以吗？ 好，所以说啊，这个造桥选址的问题呢，哎，他包括两大部，第一部是干什么平移，那么我们这里平移的是 ap 哎，往下去平移。当然你也可以把这里的 bq 给他往上平移。哎， 第一步平移，然后第二步呢，直接连接就行了。你看我平移下来之后，把 a 撇 b 连接，或者你平移上去把这个 b 撇和 a 连接可以吗？好了啊，那么今天这个模型我们就讲到这里，接下来给同学们留一道这个模型啊，对应的中靠专题，自己尝试着去做一下。
5草木一秋
04:19查看AI文稿AI文稿这个视频呢，我们就来给同学们解决一下上个模型流的这道练习题啊，来，一起先来读题。呃，说如图呢，已知这个直线 l 一和 l 呢，他是平行的啊，然后他们之间的距离是一个八， 然后点 p 到 l 一的距离是六点， q 到直线 l 二的这个距离呢，是一个四，好吧，这几个数字都记住啊。除此之外，还告诉了 pq 的长是一个四倍的，根号三十。 然后现在说在 l 一上有一个动点 a， 然后 l 二上有一个动点 b 啊，同时满足这个 ab 是垂直于 l 二的，当然他也是垂直于 l 一了啊。现在说当这个 p a 加 a， b 加 b， q 最小的时候，此时的这个 p a 加 b， q 的值是多少？ ok， 一起来看一下这三条线段里面， a 是动的， b 是动的，所以 pa 和 bq 他俩是动的，对吧？哎，这个线段长是不确定的，但是 ab 是啥呢？ ab 是两条平行线之间的一个距离， l 一 l 二之间的距离， 所以 ab 他是一个确定的场，是一个八，对吧？所以这个问题最后问的说这三个最小的时候， p a 加 bq， p a 加 bq 的值是多少？问的就是啥呢？问的就是这块的 p a 加 bq 的最小值吗？ 你把最小只求出来，往这一填就行了，能明白啊。好，那现在我们来看一下 p a 加 b 扣的最小值应该怎么去求？那么熟悉上一个模型的同学呢？哎，就知道这是造巧选址的问题了，哎，你看一下 p a 在这里， q b 在这里，那我们要求他 他俩的最小值的时候，哎，我们上个模型怎么说的？第一步先平移，然后第二步直接连接就行了吗？那么如果你不熟悉的话，你想一下，我是不是此时要把 pa 和这个 qb 哎，给他把某一个端点连起来， 让他共断点。那么怎么做呢？直接把 pa 往下去平移多远？平移 ab 的长八， ok， 那先来看一下 p 往下平移八，哎，他在 p 一撇这个位置， a 往下平移八，他在 b 的位置，那么我们要求的这个 p a 加 b q 的最小值此时就变成谁了？是不是就变成了 p 撇 b 加 bq 的最小值了？ ok， 我在这来写一下啊， p 撇 b 加 bq 的最小值，这个还不容易吗？最小值是谁呢？哎，是不是此 时我把这里的 qp 片给他连起来就行了，那么这个最小值就是 qp 片，那接下来的关键就是我们把这个 qp 片给他求出来就行了啊，这块应该怎么去求呢？来把刚才这几个数字用上了啊。 好，现在来看一下 q p 撇在这里，所以我们直接哎给他把 p p 撇延长，然后再做 q， 做刚才这条线的垂线段，那么此时这块我构造一个直角三角形。 ok， 那现在你来看一下，此时我把这个点记做一个 m， 那么我们的要求的这个线段就在 qmp 片这个直角三角形里面了啊，来 qm 的长可不可以求出来？哎，那么它指的是 p 和 q 这两个线段横向之间的一个距离啊，那么这块应该怎么去求呢？哎，是不是涉及到了 pq 的长了四倍的跟 号三十？所以我们首先要在 pqm 这个大的直角三角形里面啊，先把 qm 求出来，那么这边的 pm 的长应该怎么去求呢？他应该是 p 到 l 一的距离六，再加两个直线之间的距离八，再加一个 q 到 l 二之间的距离四， 对，这块的长度呢，是一个十八。好，接下来我们在 pqm， 根据勾股定理就可以把 qm 的长求出来了啊，二倍的根号三十九。 ok， 继续再来看，在 pparqm 里面， ppm 的长可以求吗？ 哎，那他是不是用这个十八减去 pp 一撇的长？ pp 一撇是多少？哎，是我们刚才平移的 ab 的长八，所以这块的 p 一撇 m 的长就是一个十。 ok， 那最后呢，我们就在这个直角三角形里面勾股钉里用起来，直接就可以把 p 一撇 q 的长求出来了啊，他的长就是一个十六，那么这块 p a 加 b q 的最小值啊，就是十六。那接下来再留一个同类型的题目，自己去练一下。
1355万唯中考
04:01查看AI文稿AI文稿前两天有粉丝在我们将军一马的视频下方留言，这个将军如果骑着马过了河，你还可以搞定吗？今天我就给你安排上。这就是将军一马模型中典型的造桥悬枝问题， ab 表示一条河 理想化，这个河啊，说的宽度是相同，并且是一直的， ab 在河的两侧，将军起码从 a 出发要到 b 出去，那这个河中假设它是架一条桥，并且这个桥是垂直于河岸的 球。将军从 a 出发过河到 b 点这一段路径的最小值，我们可以画一个示意图啊，随便画一个 a 对吧？ a 门搭一个桥再到 b， 那也就是说这个是 n 球的，是 am 加上一 mn 加 nb 的最小值，其中 mn 表示是和的，宽度已知的不用管，也就是说变成 am 加上 nb 的一个最小值。这就是典型的将军一码中照小选址的问题。 我对于赵小学子的概括可以这样去解释，其实就是将军马中两条相加的线段，只不过这两条相加的线段他们不再具有公共端点了。这类问题怎么去处理呢？ 我们可以取一个 aae， 垂直于 a 啊，就是垂直于和岸，并且长度等于和宽，比如说 aae， 然后呢，我们就会得到新的 m 点和新的恩典，这个是 m， 这个是 n， 大家观察一下， aaena 门是一个平行四边形，那么你的 aa 门就等于 aen， 我就可以把 aam 加上 nb 换成 aen 加上 nb， 那大家看一下， aen 加上 nb 的最小值，是不是就是 aeb， 就变成一个简单的将军版问题，提炼一下核心，造桥选址的核心是做平移， 构造平行四边形，然后进行限量的等待换，我们下面给大家看一道例题， 在举行 abcd 中， ab 的长度是五， bc 等于四， ef 是 ad 和 bc 终点各自为二， pq 在 ef 上并且满足 pq 的长度呢？等于二。问，四边形 apqb 周长的最好值，四条边 pq 跟 ab 长度已值合为七，就会变成七，加上 ap， 再加上一个 bq 的最好值。这个周长的最好值取决于 ap 加 bq 的最好值。 ap 加 bq 的重要的大家看一下，是不是就是我们刚才讲的典型的造桥旋转问题？ appq 再加 qb， 核心方法， 平移过去，勾到平移四边形，我们把 ap 沿在 pq 方向向右平移，使 p 根 q 重合，那这个里面有个 ap， 这样的话，你的 ap 加上 bq 就变成了 apq， 再加上 bq， 不就变成一个典型的将军来问题了吗？把 b 点关于耶夫的对盛点找到，那就是 c 点， bq 又等于 cq 转换成 apq 加 cq。 从图中看， apq 加 cq 的最好值就是 apc， a 撇 c， 怎么求呢？用勾股定理，这个是二，这个是三三四五，他就是五，整个中层的最好是就是七，加五等于十二，选择 boy 这个题目就 ok 了。 所以对于造桥取原子的识别就是两条线，那相加球最要值，但是呢，那两条线那没有公共点。核心方法是通过平移，然后把现在金等量代换变成简单的将军码搞定就行，你学会了吗？
174原理数学大静老师
04:56查看AI文稿AI文稿这个视频我们来学习一下最短路径第二课时造桥选举问题。先来看一个实际问题， a 和 b 在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥， mn 问，桥造在河处时路径最短，家庭河的两岸是平行桥，要与河岸垂直， 我们需要把这个实际问题转化成数据问题，饱和的两岸看成是两条平行线 a 和 b， 点 n 在直线 b 的动点，这个问题就是要找动点 n 在直线 b 的什么位置，是 m 加上 mn 加上 nb 最小。这个问题通常叫做造桥选址问题，从其意可得，造桥选址问题也是一代最短路径问题， 那么我们就一起来回复一下最短路径问题的相关内容吧。最短路径问题我们已经学习了两种类型， 第一种情况，两点在直线的一侧，根据两点之间线段最短，连接两点的线段与直线的焦点，这个焦点就是求做的点。 第二种情况，两点在直线的易侧，也叫做将军硬往问题，我们做其中一个点，关于直线的对称，这样就将同侧的两点转化为易侧两点问题，因此只需要连接这两点的线段与直线相交，这个 焦点也就是求做到点。这里运用轴对称变化把同侧转化为一侧两点的问题体现了数学的转化思想。内笔将军硬化问题运用数学转化思想来探究一下怎么解决造桥选址问题。 这个问题需要找一个动点 n 在直线 b 的什么位置？是 am 加上 mn 加上 nb 最小。其中何夸 mn 是固定的，因此只需满足动点 n 是 im， 加上 nb 最小即可。 其中点 m 和 n 在平行线 ab 上，平行线 ab 有固定的距离 mn， 因此只需将点 m 平移到点 n 时，从而直线 ab 重合，此时就可以看成一条直线，这样造桥选址问题就转化成预测两点路径最短问题。根据两点之间线段最短， 因此只需要连接两点的线段与直线 b 相交，这个焦点就是要求做到点，也就是造桥 mn 的位置。下面我们做图解决这个问题，并从中总结造桥选址问题的解题方法与步骤。 第一步，做平行，将其中一点沿着平行线的方向垂直平移， 这样把造桥选址问题就转化成一侧两点路径最短问题。第二步，沿线段连接平移后的一点与立点的 的线段，这样线段与直线 b 相交。第三步，得交点，根据两点之间线段最短，这个交点就是求做到点，从而找到造桥的位置。 下面我们对最短路径问题进行个对比和总结。在直线预测两点路径最短问题，根据两点之间线段最短，连接线段得到焦点即可。 将军硬码问题，即两点在直线的同侧，通过做关于直线的对称，从而转化为两点一侧问题来解决。 造桥选址问题，即预测两点，并且有定场，通过一点平移定场，同样也是转化为两点预测问题来解决。这两个问题 都利用了数学的转化思想，下面我们来做个练习，想想这个问题又该如何来转化呢？ 已知两个定点 a 和 b 和进场 p， k 要使四边形周长最小，分析题意可得，本题就是找动点 p 在什么位置，四条线的和最小， 其中 a 和 b 是定点， p 勾的长度不变，因此只需要满足 ip 加 q b 最小即可。类比将军硬瓦和造桥选址问题，相信你能解决，请动手试试吧！ 请暂停视频，扫描屏幕中的二维码，分享你的学习与收获，再见！
31数学蚂蚁
07:06查看AI文稿AI文稿我们一起来看一下这位家长的提问。这是一个造桥选址问题，也叫做两定点一定查模型。如果你还有类似的几何最值问题不会处理的话， 你可以购买将军一码问题十六个模型，或者购买初二上册同步课这个专栏系统学习。那我们来看一下这道题。这个题目已知这个 a 点坐标是二四， b 点坐标是一零， c 点坐标是负一零。 然后这个直线 a 二是垂直于 x 轴的，这个 p 点是 a 二上的一个动点，这是一个动点。然后这个 pq 是垂直于 y 轴的，这个是垂直的。 那这样话，这个 q 点他就也是一个动点，他会随着这个屁点的运动而运动，但是他始终是垂直的。那么 这个线段 pq 它的长度就是一个定制，它始终是等于一的。 a 点和 b 点是定点， 然后这个 pq 的长度是定长，所以出现了两定点以定长模型。也就是这个造桥选址问题。题目请你探究在直线 a 二上是否存在点 p， 使得 ap 加上 pq 加上 bq 最小。 请直接写出点屁的坐标，并证明你的结论。若不存在，请说明理由。 啊，那这个点屁呢？肯定是存在的啊。那么这样的一个问题我们该怎么去解决呢？啊，你记住这样的一个技巧啊，只要是两定点一定长模型啊，你每次都是把这个 a ap 或者说把这个 bq 沿着这个定长平移，平移之后让这两个动点重合。 那这里面呢，你可以把这个 ap 向右平移一个单位，也可以把这个 bq 向左平移一个单位。那因为这个题目是让你求这个点 p 的坐标啊，所以我们就把这个 bq 向左平移， bq 向左平移一个单位，这个 q 点呢，就平移到 p 点这个位置，这个 b 点呢，就平移到 o 点这个位置。所以你就把这个 op 给他连上，我们把这个 op 给他连上。 那么其实此时这个四边形 o b q p， 它是一个平行四边形，这个 b q 就等于 o p。 所以你要去 这三个线段合的最小值，就转化成了 ap 加上 pq， 再加上一个 po， 求这三个线段和的最小值。而这个 pq 我们刚才求了他的长度是一是固定不变的，所以你要求这个最小值的话，你只要求这个 ap 加上 po 的最小值就可以了。 那么 a p 加上 p o 他什么时候最小呢？那这样的话，这个 a 点和 o 点都是定点，这个 p 点是一个动点。那这不就转化成了两定移动型的将军码问题吗？ 那你只要按照这个两定移动型的将军码问题去解决不就可以了吗？那这个问题我们是这样来解决的。我们先找到这个动点 所在的这个直线，这个动点 p 在这个 a 二上运动。那我们就把这个 a 二看成是对称轴， 然后把这两个定点啊，随便拿一个关于这个 a 二走对称一下。这里面你可以把这个 o 点走对称过去，你也可以把这个 a 点走对称过去啊。那为了方便计算呢，我们把这个 a 点走对称过去。我们来找到这个对称点 a 撇， 那我们过这个 a 点做 a 二的一个垂线段，并且呢一倍延长啊。有尺子的话，你用尺子画一下就可以了。这里面我大致的画一下这个点呢，就是 a 一撇， 那么这个 a 撇的点坐标我们是不是可以给他求出来？那正坐标呢？就是四横坐标的话，这个是负一二到负一的话是三，那 那么这个距离也是三，负一减三，那就是负四，所以这个 a 撇的坐标是负四、四。然后呢，我们把这个 p a 撇给他连上。 好，那么根据轴对称的性质，这个 p a 和 p a 撇他们两个就是先等等。 所以你要求 ap 加上 p o 的最小值就转化成了 a 撇 p 加上 p o 的最小值。那么 a 撇 p 加上 p o 什么时候最小呢？那肯定是画折为值呀。现在这是一个折线，我们要把它变成直线，那直接连接这个 o a 撇就可以了。 我们把 oa 撇给他连上。那么这个 oa 撇与这个 a 二会有一个焦点，这个焦点呢，就是我们真实的 p 点的位置，我们把它记住是 p 撇。也就是 当这个屁点运动到这个批撇的时候，这个线段和他就是最小的。当然了，我们不是要求这个最小的线段和我们是要求这个屁点的坐标。 那我们现在呢？来求一下这个 p 减坐标。你要求这个 p 减坐标的话，我们需要把这个 o a 撇这个函数解决式给他求出来。那这不就是一个正比的函数吗？你设 y 等于 k x， 然后把这个 a 撇坐标淡句，你就可以求出这个 k 值，他应该是负一， 所以这个 y 是等于负 xy 等于负 x 的话，你要求这个 p 撇就非常简单了，这个 p 一撇，他的横坐标就是负一，然后你把负一带上去动作标的是一，所以这个 p 一撇呢，就是负一一。 也就是说我们要求的这个点屁的坐标就是负一一。那么这里面呢，他让你证明你的结论啊。那这个证明的话， 其实也是非常简单的，这个 pq 是等于一，你就不用管他了。你就是求证这个 ap 加上 po， 他在这个 pp 的位置时候，他是最小的就可以了。 那我们需要把这个 a p 撇给他连接上。那现在呢，你就是要证明这个 a p 撇加上这个 o p 撇，他是小于 a ap 加上这个 po 的，那怎么证明他成立了？我们就需要利用一下这个轴对称，根据这个轴对称，这个 pa 是等于 pa 一撇的， 所以把这个 ap 换成 a 撇 p 加上这个 p o， 这个 a p 一撇， a p 一撇，他就是等于 a 撇 p 一撇，转换成 a 撇 p 一撇加上 o p 一撇，那么这个成立吗？这个 a a 撇 p 撇加上 op 撇，不就是 a 撇 o 吗？你现在就是要证明 a p o 是小于 a 撇 p 加上这个 p o 的，那这个成立吗？啊，这个当然是成立的呀， 两点间这个线段最短吗？那么你证明的话，这样倒着正过去就可以了啊。好，那这个问题呢，我们就讲到这。
82老鹿说数学
04:56查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，我是你们的数学老师胡一刀，今天给大家继续带来二函数最值问题的第五个部分，造桥选址问题。造桥选址问题和之前的将军营马问题有一些联系，但有的地方呢，又不太一样，那这个模型到底是怎么一回事啊？咱们今天废话不多说，直接开始今天的课程吧。 首先呢，我们一起来看一看昭桥选址模型它是怎么衍生出来的？哈，其实呢，是这么个事，就说有 a 村庄和 b 村庄， 他们中间呢隔了一条河，现在呢，就想要修一条路啊，当然，这条路你要经过河，肯定就得有一个桥，对不对啊？现在的问题就是我这个桥的位置要怎么去选才能够保证 什么呀？ a 到 b 这条路他的距离最短啊，当然，看这个图我们可能看起来稍微有点费劲啊，我们可以把它抽象化，变成一个简单的数学模型，那这就是和，这就是桥对吧？那现在呢，意思就是要这三段加起来要怎么样？要最小哈，这就是所谓的造桥选址模型， 那这个桥的位置到底应该要怎么选？ a， m 加 m n 加上 n b， 它才是最小的呢？那这个时候一定要注意哈，我们有两种情况，一种是 e 侧哈， 也就是 a 和 b 呢，像刚才图片所显示的那样，他在和的两边啊，这个时候我们先要明白啊， am 加 mn 加上 nb， mn 始终是不变的，因为他始终都是和的宽度，所以呢，我现在需要的就是要把 am 和 nb 两段放到同一条直线上边去，具体怎么放，首先第一个，我们先把 a 往下 边平移，平移成什么？ a 一撇啊，然后呢，把 a 一撇，和 b 连接起来，这个时候就会和的一边产生的一个焦点 n 啊，过 n 点呢，再做一个垂线啊，这个时候就得到了 m。 好，我们看啊， a m 是不是就可以把它平移到 a e 撇 n 上边，那就和 n b 就怎么样就贡献了，对吧？就在同一条直线上边，所以此时呢，他一定是最小的。 当然呢，除了预测啊，还有一个就是同测，也就是两个村庄跑到了河的一边去了，那这个时候 am 加 mn， 加上 nb， 他应该要怎么样才最小呢？ 我们要这样想啊，如果他们两个在同侧啊，那里的 bn 和 am 始终不可能放到一条直线上边，对不对？所以呢，我要把 b 给他放到一侧，怎么放就通过对称啊，这个就和我们之前讲的将军引马问题是一样的啊，线段通过 对称就可以转移 b 点呢，做一条对称点就是 b 撇好， a 呢，同样道理，和刚才一样，往下边平移，和的宽度得到了 a 撇啊， a 撇和 b 撇连起来就产生了交点 n， 然后再朝上边做垂线啊，就产生了交点 m， 那这个时候我们看 am 是不是就变成了 a 撇 n 呢？ bn 呢，就变成了 nb 一撇啊，他们两个自然就在同一条直线上边，也就意味着此时呢就应该是最小的啊，这两个呢，就是造桥选址的基本模型，咱们要想把此类题型处理好啊，这两个模型一定要重点记住。 好，模型讲完了之后，我们来一起看一看他在二次函数的题里边怎么应用的哈，这里呢，为了简化，我们就直接把题条件给删了啊啊，一些条件呢，关键的条件咱们就标在图上边啊，咱们直接看这个题的问题是什么啊？他说已知呢，点 p 是 b c 上的一个动点啊，动到一个地方呢，就朝下边做垂线，就产生了 q 点，然后呢和 f 连起来啊，就问 p 点的坐标是多少的时候，这三段加起来要最小，那么拿到这道题看，你会发现他是不是就一个很典型的造桥选址问题啊，对不对啊？所以呢，我怎么去确定 p 点和 q 点？ 那你就可以直接套前边咱们讲的模型，什么模型？第一个，先把 e 朝下边怎么样平移啊？平移，那这个时候根据条件，我们看到 e 的坐标， c 的坐标就会发现啊， ec 的长度呢，是不是正好就是 pq 的长度啊，所以呢，一点直接就平移到 c 点，然后呢 再把 c 和 f 连起来，这个时候是不是就产生了焦点 q， q 点呢，再朝上边做垂线啊，就得到了 p 点，那此时呢， e p 加上 p， q 加上 q， f 是不是就应该是最小的呀？啊？图形画完之 后，咱们就可以直接求了，具体的步骤呢，就是这样非常的简单。首先第一个，我是不是先把 cf 的什么呀解析式求出来，因为 c 的坐标有， f 的坐标有啊，求出解析式之后呢，就可以求出 q 的坐标 啊， q 的坐标完了之后呢， p 的坐标也有了哈啊，当然，除了 p 的坐标之外，如果题目里边要让我们求他的最小值的话，我们其实也是可以求的出来的。最后的答案就是六倍根号二加上三啊，具体过程呢，我就不详述了哈。 好，这就是这一个题他的一个解法，那么我们就会发现，如果你掌握了这个模型之后，是不是就非常的简单呢？ 关于造桥选址的问题呢，咱们就讲到这里了哈，如果同学们有什么疑问的话，可以留言或者评论啊，我都会一一解答。好吧，本节课的内容就是这样，咱们以后有缘再见，拜拜。
167数学老师胡一刀
