分层抽样方差的计算公式证明
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04:04查看AI文稿AI文稿新教材中的第五个新知识点是分成抽样中平均值和方差的计算，那其中他会给出两组数据 h y， 他们的个数分别是 m 个和 n 个，那他们的平均值分别是 f 八和 y 八，那方差分别是 s 一的平方和 s 二平方，那这把这两组数据组合到一起， 他形成了这新的一组数据的平均值和方差。我们就可以用到这两种公式进行计算，那也就是相当于我们把原有的平均值 a 表和外八进行了一个加权，就可以得到我们新的一组数据的平均值。那所谓的加权就是按照每组数据的个数占比进行 分配。那方差就是记住我们的原有数据的方差和原有数据的平均值以及新的平均值的差的平方进行一个加权，也就得到我们新数据的方差。那公司的推导他是这样子的， 新数据的方差它是等于原有数据 a， i 减去平均值，这把的平方全部加在一起。从一到 m 和原有数据 y， i 减去这把的 平方全部加在一起之后，除以我们中的个数 m 加 n， 那其中我们把第一部分 i 等于一到 m， 这组 ai 减去这把的平方。我们来提出来，它可以变成我们每一组数 里面 a i， e 到 m， 其中的括号里面可以用 a i 减去 a 八，再加上 a 八减去 z 八的平方来表示。那计算过程中我们把它展开，它就可以写成， i 等于一到 m， a， i 减 a 八，这部分的平方加上两倍的 i 等于一到 m， 其中 ai 减 a 八乘以 a 八减 z 八，再加上 i 等于一到 m， a 八减 z 八的平方， 那需要注意到的是这边的这一部分，这一部分他是一个长数，那这一部分我们给他展开，他其实可以写成两倍的 a 八减，这把这个单独提出来，其中他就可以写成一个零加号， i 等于一到 m ai 减， 减去这边是 m m 倍的 a 八这一部分，那注意到所有数据加起来之后，其实他就等于 m 倍的 a 八，所以这一部分一整个是等于零的，从而我们这一部分他就等于 i 等于一个 m a i 减 a 八的平方，加上 i 等于一个 m， 一把减，这把等于八，那带入到式子就可以得到这个式子，根据这个我们就把具体的数据，我们把它带入进去就可以了。其中像这个问题里面，我们的平均值这把它就等于总共是八百个，加上一千两百个分之八百 乘以原有数据的九，加上八百，加上一千二，乘以除以一千二乘以原组数据的八，这个我们就可以得到它的平均值 八点四，那方差就等于这边是相当于八百，加上一千分之八百，那就是我们可以算出来这是五分之二乘以这边原有数据的方差。一个是一， 加上二八，原来是九，减去八点四这部分的平方，再加上五分之三乘以原有数据的方差零点五，加上 原来的平均值八，减去八点四，这部分的平方只有算出来他就等于是零点九四，那我们这边要注意到，零点五这边的方差已经是平方过得到的反差啊，不能够再把它一次平方。
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07:52查看AI文稿AI文稿接下来我们来讲一下分层抽烟的方法公式。那首先讲一下这公式什么样的题目可以用啊？也就说题目里面如果提供两组数据的平均数和方差，然后将我们求新的这一组数据，也就是两组数据混合在一起的这个数据的方差的时候，那我们就可以用这个公式， 那接下来我们来证明一下这个公式，那证明之前的话，我们首先来看一下那个基本的放大公式啊，那 se 的平方的话，它可以写成 m 分之一倍的 c 个码，括号 x i 减去 x 八括号的平方，那么这个是基础的方差的定义式啊，也就说每个数字减去平均数括号平方，这个 c 个码 底下是二，等于一，上面是 m。 在接下来的正品的过程中啊，我们那个 c 个码的上标和下标动画我都省略掉啊。好，那么这个公式啊，他还有另外一个变形形式，他可以写成 m 分之一倍的括号 c 个码 x i 的平方，再减去 m 倍的 x 八的平方。好，那么这个公式啊，我们简单推导一下啊，那首先看这个，这个的话你可以写成，因为这两边 m 分之是一， m 分之一是一样的，我们只推到 c 个码这一部分啊， 那这一部分展开的话，应该是 x e 的平方，加上一个 减去一个两倍的 x 一 x 八，加上一个 x 八的平方，加上 x 二的平方，减去两倍的 x 二 x 八，再加上一个 x 八的平方，一直加加到最后一个 x m 的平方，减两倍的 x m x 八，再加上一个 x 八的平方。 然后这里面我们发现前面啊，这有 x 一平方， x 二平方，有的 x m n 平方，也就是我们的 c 个码 x i 的平方，都可以 这样来写，是不是？然后中间这一部分减两倍的 x 一 x 八，你可以统一的提取一个两倍的 x 八出来，那里面应该是 x 一加 x 二，一直加到 x 八啊， x m x m， 然后后面还有一部分是 x 平方，是不是这里面总共有多少个 x 八的平方啊？ m 个是不是所以叫 m n b 的 x 八的平方， 然后再往后化解 c 和马 x 二平方，其中这里面这括号里面的 x 一加到 x m 是不是相当于 m 个数字的和，他应该等于 m 倍的 x 八， 也就是说 m 乘以 x 八，肯定正好也等于这一组数据的和，所以相当于减去二 m b 的 x 八平方，后面的加上 m b 的 x 八的平方，所以这个化解一下之后，得到 c 个码 x i 的平方， 减去 m 倍的 x 八的平方，那这样的话就得到我们公式的另外一个表达形式。那这个公式啊，经常在信息回归方程 里面进行用到，因为信息恢复发展里面那个斜律的表达式啊，有两个，是不是？这两个转换的本质其实也就翻查公式的转换好，那么这是标准的翻查公式啊，那这翻查公式在我们后面的推导过程中啊，会用到，哪里会用到呢？ 那么在这个形式当中，我们发现是一个吗？ x i 的平方啊，他是不是可以写成道啊，是不是 mb 的 s 一的平方，再加上一个 mb 的 x 八的平方，可以吧？有上面的公式啊，你说这个公式，这公式等会在我们推倒的时候啊，会用到。 好，那接下来我们来推这个分层抽烟的发展公式。那 s 方的话，它总共是有 m 加 n 个数字，所以前面的系数是 m 加 n 分之一，然后画画里面的话有第一个数字，是不是 x 一减去一个新的平均数 z 八画平方， 然后加上第二个数字 x 二减去一个 z 八括号的平方，再加加到 x 的最后一个数字是 x m 减去一个 z 八括号的平方，然后开始是 y 的数字 y 一减去一个 z 八括号平方，加上 y 二减去 z 八括号平方。 记得加到 y 的最后一个数字 yn 减去个 z 八括号平方。然后接下来啊，我们需要把它全部打开来得到 m 加 n 分之一倍的， 这里面是 x 一平方加 x 二平方，加一直加到 x m 的平方。我把前面的所有的 x 平方啊放一起，等会可以统一代换。 然后中间是减去两倍的 x 一乘以 z 八，减去两倍的 x 二乘以 z 八，然后一直减减到两倍的 x m 乘以一个 z 八，然后后面还有 m n 个 z 八的平方。好，这是关于 x 的完全平方公式展开的结果。那通常到的 y 也是一样的， y 一平方加上 y 二平方，再加到 y n 的平方，然后减去两倍的 y 一 z 八减去两倍的 y 二 z 八，然后减一直减到最后减去两倍的 y n z 八，后面加上 n 倍的 z 八的平方。好，然后这个展开之后啊，那我们有哪些式子可以进行的话呢？那前面这么多 x 一平方一直加到 x m 的平方啊，那就可以写成刚才这个式子， 是不是也就是这里面可以写上 m 倍的 s e 的平方，再加上 m 倍的 x 八的平方，然后中间这一部分啊，跟刚才一样，他可以减去两倍的 z 八。记住了，里面是 x 一，一直加到 x m 可以写成 m n 倍的 x 八， 然后后面的加上 m 倍的 z 八的平方，那后面的 y 可以利比着去写了，那就是 n 倍的 s r 的平方，加上 n 倍的 y 八的平方，然后再减去两倍的 z 八，后面是 n 倍的 y 八，然后再加上 n 倍的 z 八的平方， 好，然后等于 m 加 n 分之一倍的，那前面关于 x 的这一部分啊，统一的提个 m 出来，里面应该是 s 一的平方，加上，那后面应该是 x 八的平方，减去二 m n 倍的 x 八。好， m 已经提取出去了啊， 两倍的 x 八， z 八后面的加上一个 z 八的平方，然后在后面是 n 倍的括号 s 二的平方，再加上一个 y 八的平方，减去两倍的 y 八， z 八加上一个 z 八的平方，好，然后在最后一步，这个 m 加分值 m n 倍的括号 s e 平方，后面正好是一个完整平方公式，也就 x 八减去 z 八括号的平方， 然后后面是 m 加 n 分之 n 倍的 sr 的平方，再加上括号外八，减去 z 八。好的评判，那到这这公式就证明结束了。 好，咱这个公式的推导过程啊，大家不需要掌握，然后推导的过程中可能会体现出一个大家的逻辑思维，然后大家最主要的是把这公式啊，他的本质给掌握，然后考试的时候能够带带出公式就可以了啊。接下来我们通过一个例题来感受一下这公式怎么去应用啊？好，那这个例题里面他说 贾同学抽取了一个样本容量为十的样本，然后算得样本的平均数为五，翻差为九一。同学也抽取了一个样本容量为十的样本，然后平均数是七，翻差为十六，然后合成一个容量为二十的新样本，然后求新样本数据的平均数和翻差，是不是？那我们先求新样本的平均数， 那新样本的平均数的话，因为这里面加一两个样本是一样多的，所以就直接把两个平均数相加，除以二就可以了，所以新样本的平均数是六。如果以后的题目加一两组数据，样本容量不一样多，那你应该拿样本容量乘以每组的平均数，然后加起来，再除以总数，从而求出新的平均数， 然后这是平均数，求来等于六，然后反差的话，那因为两组数据啊是一样多的，所以前面的系数啊，都是二分之一，然后甲组数据以前的反差是九，加上甲组数据，以前的平均数和新的平均的差值是 一，平完之后呢？还是一，然后加上一组数据，那以前的反差是十六，然后再加上一组数据，以前的平均数和新的平均数的差值正好也是一，平完之后呢，还是一。 c 占的话等于二分之二七，也就是反差等于十三点五。好，那么这个内容就讲到这里。
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08:04查看AI文稿AI文稿补充分成抽样后的 x 平均和方差的计算。首先在这里面我们要讲一下抽样，我们把数据抽出来了对不对？有的时候数据他会变模糊，就再也观测不到了， 就比如说我们后续会学的频率分布脂肪图，他再也看不到原始数据。举个简单的例子，好吧，我们现在分成了两层，可以吧？ 我们有男孩有女孩，我单独测了男孩的平均数，我也单独测了女孩的平均数，我单独测了男孩的方差，单独测了女孩的方差。可是我想知道，就是 每一层我是知道的，那我想知道整体的平均数和整体的方差怎么办？有些同学讲，我把两个平均数相加除以二不就是整体的平均数。方差相加除以二不就是整体的方差吗？这并不是， 因为男女生所占的比例不一样，他如果是一比一，当然可以这样做，他这个比例啊，我们在数学里面称为权重，哎，说白了就是比例啊，那这个是怎么办呢？这个是有专门的公式啊， x 平均就等于西个码， i 从一到 n， w i 乘 x i 的平均数， x 方等于 西格马， i 从一到 nwi 乘上括号 si 方加 xi 的平均减 x 平均的平方。 有些东西看不懂什么叫做西格马对不对？所以这个公式我给你打开讲一下啊，西格马是求和符号哎， 有这个求集符号叫大帕哎，但是我们现在不关心这个西格玛球和符号，你不要去看他 后面是 w i x i 方， x i 平均对不对？这个 i 代表从一一直到 n。 那你把一带进去，这个四就是什么 w 一乘 x 一的平均，那把二带进去呢？ w r 乘 x r 的平均，一直代的 n 呢？那就是 w n 乘 x n 的平均，然后西格马是求和，把他们都加在一起，这就是这个意思啊。同理，这个也是的，公式需要自己记， 能理解吧？我再举例一下。好吧，上节课讲的平均数是不是 x 一加 x 二一直加到 x n 除以 n， 我完全可以用。上面你没发现是 x 一加 x 加 x m， 只不过下标不一样，所以我用 x c 个码， i 从一到 n， 其实它的展开不就是它吗？一代进去 x 一，二代进去 x 二从一一直代到 n 就到 x n， 然后取和再除以 n 吗？所以你会发现平均数有的时候公式是这样的， n 分之一，西格马 i 从一到 nxi。 同样的，上节课的方叉是有这个的。 嗯，是 n 分之 x 一减 x 平均的平方，一直加到 x， n 减 x 平均的平方，其实他也能写成，你看他每一个长得都很像， 那就是 x i 减 x 平均的平方。西格码 i 从一到 n， 所以它也可以写成 n 分之一 c 个马， i 从一到 n， x i 减 x 平均的平方。我们随便写个例子可以吧。 x i 从一到 n， x i 乘以 y i， 你看一下他应该等于什么？ 一代进去，二代进去，三代进去，四代进去，五代进去， n 代进去去和，一代进去 x 一 y 进去，二代进去 x 二 y 二，三代进去 x n y 三 n 代进去 x n y n 七个码求和 不就这个意思吗？垃圾。好，我们这次补充呢，我想讲的是分成错样，这个如何计算？原来要问问这个 wrs 什么 w i 就是权重，说白了就是比例。来看一道题目， 班级有男生二十五，女生二十人，说白了全班就是四十五人。 w 男生男生的权重就是二十五，除以总数四十五，对不对？除以五的话九分之五呗。 w 女生就是二十除以四十五，那就是九分之四呗。这就是权重啊。我用的是 w 男 w 女， 男的平均，若有男的方差有女的平均，若有女的方差有。现在求全班平均身高套公式。 这是 w 男乘男孩子的平均身高一七零加女孩子的权重 乘以女孩子的平均身高，也就是幺七零乘九分之五加幺六乘以九分之四，算一下就可以了。 方差吗？对吧？是拿 w 男乘上的。哎，男孩子的方差加 这个男孩子的平均数幺七零减去这个平均数 x 平均的平方加上。答， w 女乘 s 女孩子的方差加女孩子的平均数减去整体的平均数。哦，那这样一写的话，我还得把平均数算出来， 幺七零乘以九。哎，好麻烦啊。一百七十乘以五五七三十五写五进三八百五十幺六五乘四四五二十写零进二四六二十二十六 二六六六零六六零零一一五一零九分之一五一零带进去七分之五乘上的六。这个这个 s 方可不是平方，他就是方叉 六加幺七零减九分之一五一零的平方加九分之四乘上呢。二加上幺六五减 九分之一千五百一十的平方，这样一算就是他的放大，高考不会让我们去算，他会给我们一部分值。所以就需要你看得懂西马那个符号。
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