怎么理解材料力学左上右下剪力为正

大家好，我是土木光头强，欢迎来到我的材料留学课，本次课将就弯曲变形的内力为大家进行讲解。提到内力啊，大家已经应该不陌生了，那么在拉压的时候，剪切的时候，扭转的时候，我们都涉及到构件的内力的求解， 那么求解内的基本方法呢？依旧是一成不变的这样一个洁面法，大家可以简单回顾一下如何来通过洁面法求解构解的内力。 那在弯曲变形里边洁面法呢，求解出来的内力呢？有两个，一个是简历，一个是弯距。那我们先看一下如何通过洁面法来求解弯曲变形的他的内力。 首先呢，我们选择这样一个简单的减脂梁，在这样一个集中力 f 的这样一个外合眼中下，看一下它在构件内部会产生什么样的内力。那么 在外合眼中下，首先两个支座对于构建来说也会产生一个支座返利，那会产生相应的支柱返利，那么这个支座返利对于构建来说也是外定， 那么制作返利的求解呢，应该在理论学里边大家应该接触过哈，大家回头看一下如何来用平方层求解构件的制作返利， 那如果大家忘了的话呢，我们这个在后续的这样一个典型例题中呢，也会帮大家简单回顾一下。那首先呢，我们对应于这两个支座所提供的约束返利，我们认为他是已知的， 那接下来呢，我就想知道，在这样一个构件上，距离 a 端 x 这样的位置的一个一洁面，在这样一个竖弯情况下，会产生什么样的内力。那么根据洁面法，既然我确定好了一洁面，我就通过一个假想的洁面把它分开， 然后取左侧作为分离体呢，对它进行一个受力分析，那这样一个 ya， 我们可以把它看成是已知的，那对于这样一个分离体来说，如果有这样一个左侧的这样一个 ya， 对它产生一个向上的作用力，那这样一个构件呢，肯定会产生一个向上的运动趋势， 那为了使这样一个分离体处于平衡，那因此呢，在这样一个你所卡开的这样一个洁面内部，必须给他产生一个 反向的这样一个力。好了，根据平衡方程，这样的一个构件在竖直方向上，他力的头顶的带数和为零，那么向上的力 减去向下的力，或者是向下的减去向上的都可以，因为它反向，那么等于零，就能求出在这样一个洁面上所产生的这样一个内力，那由于这样的一个内力跟这样一个歪肯定是反向的， 那么反向的，那但是呢，他于这样一个我们所选择的这个洁面，我们看这样一个 q， 其实际上啊是在这个一这个洁面内的，那么为了我们方便观察呢，我们首先把这样一个简历呢， 沿着这样一个结面稍微往外侧画一点，那么也可以看出这样一个简历跟这样一个面它是一个平行的关系，那么一般呢，我们把与面平行关系的这样的内力呢，把它称之为是简历， 那这就得出来这个弯曲变形的第一个内地，哎，这个 q， 哎，简历，那根据这样的一个平方程，我们知道了这个 q 和 y 他俩是大小相等的 方向呢？还是相反的，那这个时候这样的一个等大反向，但是不贡献的两个力，虽然使这样一个分离体在竖直方向上是不能动了， 但是他又产生了一个顺时针的一个转动效果。哎，顺时针的转动效果，那为了使这个构件平衡，也不能让他转，因此呢，在这样一个洁面内部， 必须产生一个跟他反向的这样一个理由的形式。哎，反向理由形式，那么这个理由大小等多少呢？我们可以根据再根据平衡方程对一点的取力句， 那所有力对某一点起立句的代数格为零啊，那么这个是第二个平方程，那我们看，对于这样分离体，我如果对一点起立句的话，那 ya 对于一点来说，这是 ya 的方向， x 就是他的立地，那相对于一节面产生的是一个顺时针的转动趋势，那么 ya 乘以 xa 立乘以立地，就是他的立句。然后呢，顺时针呢？我们 假设是负的，他也是负的，那这个 q 对一级面有没有例句？实际上呢，这个 q 是重在这样一个洁面上的，还在这个一级面上的，因此呢，这个简历是没有。对于一节面来说，那他是没有例句的，但是如果说其他洁面他是有的啊， 大家一定要特别注意，列平方程的时候，要特别注意你说取的这样一个取句的点是哪个位置，所以说，一般情况下，我在列平方程的时候，都习惯把这样一个曲句的点标出来啊，曲句的点标出来， 那 y 对一点的例句，我们求完了， q 没有，那这样一个力友，不管你对哪一点曲剧，力友，他就是一个逆时针的转动方向，那逆时针转动方向他和 ya 所产生的是相反的，顺时针相反的，那么就是 m 减去 ya 乘以 x， 那根据平方 他等于零还等于零，那进而呢，我们就能求出在这个洁面里边所产生的这样一个利友的这样一个弯距，他的大小呢是 ya 乘以 x， 那这样的话呢，我们就又通过洁面法哎来求解出来这样一个弯曲变形的内地。 那简单再回顾一下如何来求用洁面法来求内力，首先选洁面，然后砍开取分离体受力分析，再通过列平方程来这样，那个求解，大家呢，用洁面法求内力呢，是一个根本打法啊，大家一定要这个 熟悉和掌握。哎，那大家可以通过大量的习题呢，哎，可以要熟悉这个过程啊，熟悉这个过程，那是这个用极美法求助力的时候，又碰到了我们老大难的问题，是吧？比如说我去左端来进行研究和区 右端来进行研究的时候，哎，去左端或者起右端来进行研究的时候，会发现他所对应的这两个不管是简历还是弯距都是一个重力与反重力的关系，因为他是方向是相反的，那么为了给他进行一个同一个级别上所产生的内力要相同，我们给他进行一个规定统一， 所以说又得出来这样一个弯曲变形里边的他的一个符号规定。那么首先我们看一下他的简历的符号是什么规定的啊？简历的符号怎么规定的？ 那刚才已经强调过，实际上啊，这个简历是在这个洁面内的，哎，洁面内的，那为了清楚啊，为了清楚的话，我们通常情况下往往都把这个简历啊 沿这个几面外侧稍微往外画一点，那这个时候简历是不是跟那个面就平行了，对不对？平行了，那以前教课的时候啊，同学他说 哪个是里，哪个是外呀？那大家要看一下，比如说这样一个洁面，这是感觉内部，这时候就外侧呀，对不对？那你要研究右段的时候，这是洁面，这时候感觉内部，这时候就外侧，对不对？按外侧。首先我们先画一下，比如说我先给大家再简单的演示一下啊，比如说这个， 哎，是我要研究的这样一个界面，哎，这样一个研究界面，那他的简历首先这是外侧， 这是外侧，这个呢是感觉的内侧，是不是？哎？感觉内侧，那首先我知道这个简历要跟这个面平行，这是他的外侧，那我先画一个与这个面相平行的一条线，改线，平行的一条线，那 一面平行。至于这个简历向上使，向下使，就需要我们看符号是怎么规定的。那么相对来说，我们可以在这个级面上选择一个点，那么看一下你所 画的这样一个简历，对应于你所选这个界面产生的是一个顺时针的转动趋势，因为这不有一个小段的距离了吗？那我们看一下这个简历向上指还是向下指，对应于这个点来说才是顺时针转动趋势，大家可以想象一下， 那这是你说选的点，是不是？这是力，在这个力呢？在这个点的右侧，那大家可以看一下他是向上指还是向下指产生的才是一个顺身的转动趋势， 那很明显他是向下指啊，向下指，那就说这个简历相对于我们说选的这个洁面上的点，产生的是顺时针转动趋势的话，那我们就把它称之为正的简历， 那同理还是如果这个是我们砍开的一那个所选择的这样一个洁面哈，那对应的这还是内侧， 这个是外侧，那先画一个与洁面相平行的线，对不对？先平行的线，那么在洁面上先取一点，让我们看一下， 如果这个简历是向上指的话，向上指的话，是不是相当于对这个点产生了这个逆时针的转动趋势，那逆时针的转动趋势，那么这个时候呢，我们对这个简历就是负的， 那就是负的，大家要注意区分。当然了，我在这样一个受力分析图中所画出来这个内力呢，都是正的简历啊，正的简历，你看相对于这个界面，注意这两边不一样啊，那么对应于这部分，这个是研究结面，他是不像下嘴是顺时针转动趋势，而对应于这个时候 左端的话，这个是研究结面。简历呢，必须向上指才是一个顺时针呢，怎么去世？那这个呢，大家要注意区分，那在直到了简 简历的符号之后，简历的符号之后，我们再看一下弯距的符号怎么规定，那么往往啊，什么是瘦弯？比如说我们卷一根构件对不对？哎？卷一根构件，那么当你卷一根空间的时候，瘦弯的时候，肯定是会使这样一个构件产生一个受拉屈和受压屈。那么首先呢， 我们可以通过两种方式来这样一个定义啊，连接那个两种方式来定义。说一般情况下，我们所选择的同工程的售弯构件呢，都是梁，那么梁， 那么比如说我这么卷他的时候，这么卷的时候是不是使这样一个构件下侧收拉呀？哎，下侧收拉，那这个时候所产生的这样一个弯距呢，我们就把它叫做正的弯距， 反之呢，如果这么卷，大家可以感受一下啊，如果这么卷，他是不是上侧收拉，对不对？哎？上侧收拉，那这个时候呢，他说产生的就是这个副的玩具，哎，副的玩具， 那这个呢？可以通过我们这一个，就是大家学历学学多了啊，那么可以通过一个感受的方式，比如说我这么觉，哎，这么觉这个梁这么受弯下支出了，那这个呢？两个手，哎，我看这个手呢，这个是顺时针的，哎，这个是逆时针的，那他所对应的就是一个 正的玩具，反之呢？哎，那么这两个玩具，哎，这都是正的哈，那么如果这么举，他是是不上色受拉了，这样的一个弯曲变形，那么这个时候两个手，这个手是逆时针的，这个手是顺时针的，那么这个时候他都是副的玩具。 这个呢，有的时候大家不太好区分，那如果说大家能够感受的比较好，哎，你自个觉一下这个构件，你就会感受一下他哪一侧是正的弯距，哪一侧是负的弯距，那如果这种方式，这种方式大家不好，那个说掌握的不太好的话，我们 换一个方式，那你肩感受不了，我们就只能背了，是不是？那么什么叫左顺右逆为正，反之右顺左逆为负，什么意思？比如说我们说许的这样一个分离体，这样的一个研究结面，比如说这个分离体他的研究结面，这个一结面事故在这个分离体的右侧， 对吧？哎，右侧，那么左顺右逆为证，哎，那么这个时候这个弯距就是逆时针为证，哎，逆时针为证， 他和我们前面在理论理学里边所讲的说逆时针为证，顺时针为夫是不一样的哈，这个里边探讨的是弯距的内力的方向，内力的方向，那么研究结面在这样一个杆尖的右端的时候，那就是右逆为正，逆时针为证。 那如果说我们说选择的是这样一个杆件，他的研究结面呢？在这个杆件的左侧，那么这 这个时候这个弯曲呢？就是顺时针为证，顺时针为证，就是左顺右逆为正，大家记一个就可以啊，记一个句，比如说下侧收拉为正，那么上侧收拉就是为负的，这个就大家就 可以，就是反向，你们可以的哈，那左顺右逆为正，哎，那么如果这个研究结面在这个杆线的右端，那弯曲就是逆时针为证，如果研究结面在这个杆线的左端就是顺时针为证，那与之相反的，那就是右顺左逆为负。 这个大家要注意掌握，那他与前面的下侧收拉和这个上侧收拉对应的正负关系呢？也有是一对应的啊，一对应的， 那刚开始学的时候呢，大家对这样一个弯曲那里的符号呢？可能说掌握的不是特别好，那么后续呢，可以通过一些例题呢，帮大家巩固他再加一个符号的，加一个规定，那么弯距的加一个 符号的规定有什么用处？那么一般情况下呢，我们再进行洁面法，内力求解的时候，这两个内力呢，我是不知道的，那在不知道的情况下，建议大家还是根据他的符号规定方式，先把它假设成正的内力符号，然后之后呢再依据平衡广场进行计算。 那本次课的结面法以及的这样一个弯曲内力的符号规定呢，都是这样一个本章的重点，希望大家刻下的时候呢，对于视频，在这认真的玩味和理解一下本次课呢，就先为大家介绍这里更多精彩内容，敬请关注土木光头强。

大家好，今天咱们呢再给大家讲呃，梁的简历图和玩具图的画法啊，这是一个简直梁上面呢做了两个合载， 嗯，这个盒仔是送在这个对称的位置，但是我们的盒仔呢，是一个是指向下，一个指向上 啊。呃，由于呢，我们的这个核展是千锤方向的，然后 a 端呢，虽然是固定角质做，那么 a 端的水平力实际上是为零的啊， 因此呢，我们根据这个核载图呢，它应该是一个反对称核载啊，就是核载图应该属于反对称核载。呃，那么这个反对称核载，我们这二 a 和二 b 怎么来计算呢？呃，根据对称原理，那么 ra 和 rb 一定是这个成为一个反对称的力啊。呃，但是这里我们要注意啊，呃，可不能直接就说 ra 啊，等于 f， 然后 rb 呢，也等于 f， 然后一个向上，一个向下，如果这样直接判断他的 制作反应的话，那这个就错了啊，因为什么呢？像这种情况，你是只考虑到外方向的这个平衡，但实际上呢，我没有考虑他的这个例句的平衡 啊。所以说这个题我们应该怎么分析他的这个制作法例呢？我们可以用利偶的等效性啊，我们这个核载呢，它形成了一个利偶，是 f 乘上 a 啊，是一个逆时转的，因此呢，根据利偶的平衡，那么 r a 和 r b 呢，一定也形成一个反利偶和我们这个利偶平衡，所以说他应该等于谁呢？ r a， 当然或者是 r b 啊，呈上 这个 a 点到 b 点之间的距离三倍的 a， 也就是说呢，二 a 和二 b 的大小应该相等，方向应该相反，这符合反对称原理。另外他们两个形成的一个立偶呢，要与合在 f 所形成的理由啊，这两个 f 所形成的理由应该平衡，因此这样呢，我们得出这个 r a 啊，等于多少呢？三分之 f， 然后 r b 呢，也是 三分之 f， 然后他们两个的方向就是我们途中所表示的方向，一个向上，一个向下 啊，那么这样呢，既满足了外方向的平衡啊，然后呢， 他也符合我们的这个立具的平衡条件啊，所以应该这样来计算我们的制作返利啊，所以这个这个是我们需要要注意的。好，那么制作返利知道了以后呢？嗯，下面我们就开始画这个 简历图和弯印图了，那么这个简简历图怎么画呢？像这个简历图很简单，根据对称原理，简历图一定是一个反，这个一定是一个正对称。这个在上一个视频当中，我们给大家讲过原理啊，那么他的弯距图一定是一个反 对称。好，那么我们画这个简图是这样的啊，画一条轴线，从左向右画看，从这个轴线看上面的合载图哈， a 端有个向上的力，三分之一，好，那么我们就向上图变三分之一 f， 然后 ac 段呢，没合在 水平线，对吧？根据问分原理，那么到了 c 点以后呢，他有一个向下的集中力， 那么像应该向下图片，图片多少呢？就应该是三 f 图片 f， 那么上边是三分之一是吧，总的图片只是 f， 所以说应该下来多少呢？三分之二 啊，所以这个呢是三分之一，下面的是三分之二啊，实际上呢，上面这个就是 c 洁面左侧 侧的简历，下面呢是 c 洁面右侧的简历。好，那么从 c 洁面右侧，然后向右 画眉和在从 c 到地的这个左侧眉和在画水平线啊，画水平线好画到地洁面的左侧啊，所以说这个值呢，就应该是三分之二的 f 啊， 画到地洁面的左侧，那么地洁面呢，有一个向上的集中力啊，那我们就要向上涂变像，涂变多少呢？涂变 f 下边是三分之二， 那么再上去三分之一啊，正好和这个上面这个 ac 段的图形是平齐的啊，好，那么这个三分之一就是地截面右侧的减 好，从地洁面再往右画水平，先过来，好，到了臂洁面就是臂直坐，掌有一个向下的三分之一的力，好，正好回到轴线上去，那这个简历图就画完了。 把正负号表示出来啊，正负号表示出来，然后呢把数据 表示出来。好，这个完整的简历图就画完了啊，所以这个图呢，就是这样来的啊，这个图就这样来的。好，所以简历图呢，很好画啊，是一个正对称的，对吧？这个简历图形 总是有核载图，这个对称性是反着的。然后我们画弯距图啊，画弯距图的话呢，实际上我们就就是确定 a 点 c 点 d 点 b 点的弯距 行了啊，那么同样呢， a 支座他是在杆的端部啊，是个角支座，没有外力偶，弯距应该是为零 啊，那么同样 b 直做最右边，他也是为零啊。呃，然后 c 点呢，我们看啊， c 点的弯距，你也可以根据这个简历图，就是这个 ac 段简历图的面积，是吧， 或者说呢，直接用 ra 对 c 点取句，所以说 c 点的弯距应该是 三分之一的 f 乘上 a， 哪受拉呢？你可以看和载图，是吧？他对 c 点的距呢，是顺神转的是吧？而且呢，这个力呢，他是在 c 的左侧是吧？ 那么我们不是玩具是左顺右逆为证吗？所以说他应该是个正玩具，下侧手拉的，或者你就看我们的简历图的面积，是正面积，那产生的是正玩具，所以他也是下侧手拉的。实际上你求到这以后呢，地点就不用求了，地点一定和他反对称 啊，根据对称原理，地点一定是和他反对正好， a 点是为零， b 点为零， c 点是下侧受拉的 三分之一的 f 乘上 a 啊，那么地点呢，和他反对称，那就应该是上面手拉的三分之一 f 了，对吧？好，然后呢， 这个 db 段连一条直线，连的直线，那么这个时候呢， cd 段我们也是中间没合，在连直线就可 可以了啊，连直线就可以了，是一个反对称的，对吧？好，所以这个是三分之一 fa， 好，上面呢，这一点也是三分之一的 fa 啊，就这样一个反对称的图形，那么要注意哈，就是 ac 段的这个斜直线和 db 段的斜直线应该是平行的，因为上面的简历图， ac 段的简历图和 db 段的简历图 完全是一样的，是吧？简历的正符号大小都是一样的，所以这两条斜着线应该是平行的，因为简历是吧，和弯距的关系就是弯距在这个某一个地方的斜率就等于它的相应的这个简历直嘛，是吧，这样往里涂就画出来了，是吧？所以你看，我们符合我们的这个对称原理 啊。好，那么这个弯距图就是这样一个反对称的图形啊，好，这个题呢，应该说，嗯，不是太难啊， 好，所以以后我们画图的时候呢，嗯，如果这个和载图是对称的，可以考虑利用对称性来画图啊，这样呢，我们的画图过程也可以得到简化啊，好，这是这样一个题，好，我们再看啊，这样一个题，这个题呢，稍微 复杂一些啊，他是一个外深粮，那么第一步呢，我们也是先求制作返利啊，求制作返利呢，我们比如说假设二 a 这个 ffa 向上， fb 呢，也是向上的啊，然后呢，我们求制作返利，大家一定要 记住，最好是用立句防城，比如说对 b 点取句求 fa， 对 a 点取句求 fb， 这样呢，不要连力啊，否则连力的话呢，容，如果一个错了，另外一个也容易出现错误，然后球完以后呢，你再用外方向的投影方程来教和这个球的反力是否正确，然后你再接着往下画图 啊，否则你画到最后你发现错了，还得从头来啊。那么求知返利这个过程，我们就在这不讲了啊，我就直接 给大家把执法力写出来啊，那么求出来为证的，说明他实际方向都是向上的啊。好，我们重点呢，就是给大家讲这个话，呃，简历图和玩具图 我们前面给大家说过，根据这个微风关系定型，好，那我们现在来看一下每一段他的简历图和弯地图是什么形状的啊？好，首先我们看一下 ca 段和 db 段， 属于无核载的断啊，属于无核载的断，因此呢，他的简历图应该是水平线，是吧，根据我们的部分关系，那么弯距图那就是斜直线 啊，那么 a 地段他的减，他这个核散呢？他是一个军部核散，而且是 负的，是吧？按照我们前面的规定，他是向下的，所以说这一段呢，简历图应该是斜直线，而且从左向右是向下斜的，也就是说负斜率啊，弯距 图应该是一个抛物线啊，开口向上的抛物线，好基本的形状，我们都知道了啊，那么下面呢，咱们就来画图啊，咱们就来画图，我们看简历图怎么画 啊？简历图怎么画，我们可以分段来进行分析啊。分段来进行分析，我先来看一下啊，咱们这个图怎么是怎么画出来的啊？ 也是画一条轴线， c 点是不是有个向下子里，是吧，我们就向下图变图片多少呢？看上面和在图是三前牛顿啊，那我们就向下图变三前牛顿啊， 好，然后呢？呃， ca 段无何彩钢，咱分析过了，水平线，水平线啊，然后到了这个， 呃，制作出呢，他有个向上的 fa， 意思咱们要向上图片，这图片的这个值呢？就应该是 fa 的值啊，这个是 fa 的值，那么你下边知道是多少了？我们 fa 刚才计算出来了，是不是上面这个 之也就知道了，那也就说我们这个三钱牛顿啊，是 a 洁面，左侧是三钱牛顿，那么 a 洁面的右侧的简历值给大家讲方法啊，他就应该等于什么呢？就等于我们 fa 减去三千牛顿，对吧？所以这样呢，上面这个值也就知道了，好，然后呢， ad 断不说是个斜直线吗？那么这个斜直线到底 斜到什么位置呢？是不是需要确定一下地界面的简历，这个地偶呢，不影响我们的简历啊，不影响我们的简历，那么这个时候你可以根据地弊段 啊， db 段我们分析过了，他的简历图一定是一个长数水平线，那么是谁呢？实际上你就看这个 fb 就行了，我们最终你看，画到 b 洁面以后，一定是向上图片图片的零上这个零点去，所以说呢，这个 db 段的简历一定是一个副的啊，一定是一个副的 fb 是吧你否则的话，你无法从下边向上图片到轴线上去，以此呢， db 段的简历一定是在轴线的下侧啊，那么 这个时候这不 d 洁面的简历不就知道了吗？所以说 d 洁面的简历他就是 fb， 然后 db 段就这样一条水平线啊，然后呢？呃， ad 段， 那么就相连就可以了，相连就可以了啊，然后呢，标上正符号，下边是负的啊，下边是负的，上面是正的。建立图就这么画出来的啊，好，我下面我把这个呃建立图呢给出来啊，就就是这样的啊， 你看这个，看， a 只做处啊， a 只做处，下面呢是三牵牛顿，这是 a 只做左侧的简历是吧？上面四点二呢，是 a 只做右侧的简历，总的值四点二加三，这就是 fa 是吧，这就是 fa。 好，简历图就画完了啊，那么弯距图怎么画呢？我们画弯距图呢，实际上我们可以先求啊各控制点的弯距值，我这里也是给大家讲一下方法啊，讲一下方法， 那么这个玩具玩具图怎么画出来呢？我们也是你画一条轴线啊。嗯，找这么几个控制点， c 点 a 点 d 洁面呢，其实你找到左侧了，右侧咱图片就行了，然后 b 点哈， c 点属于一个自由端，没有外力偶啊，没有外力偶是 mc 呢，是不是应该等于零，对吧？好，那么 a 洁面的玩具等于什么呢？你就直接用四看和载图啊，左上角和载图直接用三千牛顿乘上 一米就行了，是吧？那么显然呢，他应该是上边手拉的啊，这个单位我这就不写了，前一吨米啊，这是上边手拉的对吧？上边手是这个手拉边，一定要知道哈。好，那么第一洁面， 那么 d 界面是让我知道左侧右侧就知道了，或者是反过来，我知道 d 这个 d 界面，这个利用做一下右侧的，那么左侧也应该反反着这个图片也能知道啊。好，那么我们先看一下， a 点是为零啊，这个 b 界面玩具为零， 那么这个时候我求一下什么呢？我通过地洁面的右侧，哎，我来求地洁面右侧的剪这个弯距，这个时候比较好求，是吧？左侧的话呢，可能稍微复杂一点。他我，那么我们就看地洁面啊，看这 这个上面这个图哈，他视频等于 fb 呈上 db 之间的距离，对吧？那么我这个力是向上的，对 d 界面 取句的话呢，他是一个逆时针的，那么我这个力是在地洁面的右侧，咱不是左睡右腻弯距为正吗？所以说呢，地洁面右侧的弯距啊，应该就是 f b 乘上一米，显然呢，是正的，那就是下侧手拉的，只要你知道了这几点，这个图就可以画了啊，然后第几面左侧咱们反着图变就行了啊。好，那你比如说，呃， a 点 c 点是为零，是吧？ 好，我们把它把这几个呢都表示的图当中啊， c 点是为零啊。 a 洁面的弯距是上边是 手拉的，好，画上边啊，画上边，那么 ac 段眉眉和仔直接画实线就行了，画实线就行了啊，好，然后呢？ b 点也为零，然后地截面的右侧是下边受拉的， 下侧收拉的，我画到下侧啊，好，然后地地段也可以直接连实线，是吧？因为何在？好，那么这个时候这个地结面左侧怎么办呢？ 你想象一下，如果我们要是这个从左向右的画的话呢，从左向右画一定是什么呢？ 呃，从左，从地界面的左侧，我要向右侧图片，这是一个顺时针的六千牛顿米的理由，一定是向下图片的，就我从地界面的，也就是说 我们 md 右侧的玩具上一个是等于 md 左侧的玩具加上这个六，就是这个六， 那么加上的话呢，我们按不是向下为证吗？所以从地结面左侧到右侧，一定是向下图变啊，一定是向下图变，那么你反过来，咱们现在反过来，你从地结面的右侧， 我是不应该向上图变图变到地截面的左侧，所以说地截面的左侧的弯距我们就可以求出来了 啊，所以这个地方咱们可以这样来处理啊。好，第一节面的左侧啊，你求出来以后呢？然后把这个 ad 段呢？先连于条须 虚直线，连一条虚直线，为什么呢？因为我们这段有君不和，在这段一定是叠加一个开口向上的抛物线，但这个抛线的集之点在哪呢？看简历图一定是在简历为零的点，那就是一点，那么一点这个距离上是可以求出来的， 是吧？根据三角形的比例关系是吧？四点二啊，比上这个三点八是吧？这就这两个三角形的比例关系，然后应该等于什么呢？比如说假设支持 x， 再比上什么呢？就是这个四减去 x 是吧？简单一个三星比的关系，把这个一点的位置就确定了，那么一点位置确定了以后，这段抛线的机制点的位置就确定了，那么我们画图的时候呢？哎，这个特征就出来了，从这个 减龄为零的这个点，我们抛物线斜率的符号开始发生变化，然后开始往上拐，好，这图形就出来了啊，那么这就最终的弯距图，那么这个抛物线及着点的这个值 就是一点的这个弯距如何来求呢？实际上你有两种方法，一点的位置知道了，直接可以根据上面的合载图取具，或者说呢，用我们上边简历图的面积来求啊，简历图的面积来求，那就说 m 一等于什么呢？看简历图，一个是三角形的面积，三角形的面积呢？三角形面积是一个正面积，是吧？那他应该是产生正玩具在减去什么呢？ 这个巨型的这个负面就可以了，就可以了啊，这个玩具图就这点的玩具纸就知道了啊，最后的玩具图就出来了 啊，所以我们最后的弯距图呢，就是呃，这样这个画出来的啊，我们能把这个图形呢给出来啊，标准的刚才呢是我们的分析的过程啊，好，我们看这个图， 大家看这个图形就是这么画出来的啊，就这么画出来的，看啊，嗯，这个塞一段是吧？ 斜直线，然后这个 db 段也是斜直线啊，斜直线，然后，呃，关键就是什么呢？ a 洁面到 d 洁面的左侧 啊，你先连一条直线啊，先连一条直线，再叠加抛线，抛线的机支点啊，抛线的机支点在这个简历为零的位置啊，那么这个这个玩具是可以求出来的。 另外呢，就是这个地洁面这个图片啊，地洁面的这个图片啊，我再把这个地方呢再给大家讲一下这个图片怎么来的啊？ 哎，我们这个你可以这样，也可以求一下第洁面左侧的简历，第洁面左侧进来看上面和在图啊，左侧的简历 我们也可以用右边的这个 fb 和这个集中六来求，是吧？那是不是应该等于 fb 乘上一米，对吧？ 把这个产生下面收拉的这个玩具啊，减去谁呢？减去这个利哦利偶就行了，因为我们说左顺右逆吗？是吧？那么地洁面的我求地洁面左侧的玩具， 那我这个六是在这个地，是在他的这个洁面的右侧，那么他顺时针的时候就要减去了，首先减去六，这个得出来，把我们这法例带进去，就是负的二点二，负的二点二，那么负的代表是哪受拉呢？上边受拉的 好，就是我们下边啊，左下角这个图，这个二点二，然后从二点二呢，向右图变，是吧？向右图变，这不有个顺着的理由吗？从左向右图变，遇到顺着没有向下图变好，二点二， 那么图片值是多少？六，然后下来三点八，所以这个三点八是 d 洁面右侧的啊，二点二是 d 洁面左侧的，然后必点是为零，连直线就行了啊，所以这个玩具图呢，就就出来了，所以我们归淡下画玩具图的方法哈，你就按不就班的把各个控制点的弯距值求出来， 然后呢，表示在图当中相邻两点连直线没有何在？划实线， 你看 ca 段， db 段是吧？有何在？像我们 ad 段啊，从 a 到 d 的这个左侧啊，有何在？我们在叠加上相应何在，再把它当成这段，当成减脂粮。 你看我这个一连，你看这边是三，这不是二点二连不是一条虚线吗？连完以后把它作为一个基准线在第，就是这样一个 梯形，好，再叠加什么呢？这样一个抛物线就可以了，是吧？这就咱们前面不是讲叠加法做玩具图的方法吗？对不对？好，这就是这个图的画法啊。 好，我们后面呢，还有给大家推出这个画这个玩具图简图的这个题目。好，同学们再见。

可以了啊，去做就可以了。好，这是这是平面的状态，一个标准的图形，标准的图形啊，就是以后呢，我们踢到平面的状态 就是这样一个图，这叫用力状态图，我们刚才给出了这个正方向了啊，给这个这个正方向了。好，然后呢我们这个做什么呢？我们的任务就是除了 就是目前是 c m s c m y 套死套外，是已知的啊，比如说呢，咱们弯曲的时候，横界面上的硬的都是已知的，然后需要求什么呢？求其他的 面上哪些面？我们前面给大家讲了，就是要找其实目的，找找那个硬的 机制，正的机制和清理机制。那么你比如说屏幕这对面没有硬的，这已经就是主平面了，这就是主平面了，我们是不是要找 你与他垂直的另外两对面？那大家想一下啊，三个面是垂直的，这个面确定了，如果我另外一个货单和他垂直的这个方位找到了，那么第三个面肯定也就知道， 对吧？因此咱们现在只需要找什么呢？与屏幕垂直的这个方向，与屏幕垂直这个方向啊？我们比如说就这个斜截面，这个面上的正盈利和轻盈就可以， 是吧？但是我们可能一下找不到他的机值，我们先找任意的面上， 我先与这个天锤方向任一个角度上的这个面的正立可亲，然后就找到这个面和阿尔法的关系了，找到这个关系以后， 然后我们再找机制就行了，咱们思路呢，就这样一个思路啊，就这样一个思路。好，那么下面呢，我们就来进行分析，咱们分析的方法上，我们是有两种分析方法啊，就是我们找任意的斜接面上的正盈利和牵引力 有两个方法，一个就是解析法，解析法还有一个呢，叫几何法，或者叫图解法，或者叫做应力元法啊，这两个方法实则是一样 样的，就一个是用解析的方法，就跟咱们那个像林立学，咱们那个讲那个，比如说平面汇交利息，我们是不是有解析的方法？也有几何法？就这个，呃，利多边形法则是吧？利多边形法则，但是我们是也可以用利多边形，是不可以求合理， 对吧？或者我们用解气的方法投影是不是也可以求合力？跟这个类似是一样的，跟这个是相似的。那么现在呢，就是我们 求任斜界面上的正力和轻力，也可以用两种方法，这两种方法都重要啊，咱们都分别介绍。好，下面呢咱们看 第一种方法啊，解戏法，解戏法。好，我们的思路是这样的，这不这个六面体吗？这个六面，这个六面体是从一个杆当中 取出来的，这个杆是平衡的，这个绿面体也得平衡。然后我现在呢，我不是求模要求某一个斜截面吗？我揭开，揭开以后就出现这个三角块，那么这个三角块呢？ 他也应该是平衡的，对吧？应该是平衡的，我们就画受力图列平方程就行了。好，那我们看这个平面图啊，我们所画出来这个就是与我们黑板垂直的 与黑板垂直的这么一个面啊，这么一个面。然后呢角度阿尔法是任意的，就是与我们的，比如说与我们的 x 面相差阿尔法相差阿尔法， 那么现在就说已知条件是谁呢？ c 格玛尔法， c 格玛 y， 呃， c 格玛 s， c 格玛 y， 还有 to x， toy， 然后阿尔法我任意给另一个斜接面，然后求什么呢？这个斜接面上的正盈利和切盈利，咱们这个在轴向拉压和扭转的时候都给大家讲过，只不过这个用状态简单一些。 这里规定一下阿尔法的正符号啊，阿尔法正好我们这么规定，从 x 面 外法线方向这个面的名称，看右图啊，从 s 面我们逆时针转到我们这个所分析的这个面的外法线方， 如果是逆时针就规定为正，顺着为负，所以我给出了这个 a 法，是一个正的啊，我给出这 a 法之后，你看这个面的外法线方向是这样， 对吧？从 x 逆时针转到我们这个外法线方向，我们一般是看这个锐角 啊，看锐角，那你说如果我把上面这一部分啊作为一个研究对象的话，这也可以看的是他的外法线方向啊，那我从 x 面，是吧，我可以这么转， 那这就是顺时针了，那么这个角度啊，这个角度也可以啊，你这个角度和这个角度他是有一个关系的呀，是吧，那么这就是正的了啊，那么这个，呃， 你，但是我们用锐角计算不是更方便吗？是吧？用锐角计算呢，我们更方便一些啊，好，大家明白了吧，所以说呢，这是这个规定啊，然后咱们就做什么工作呢啊，我们就求下这个斜接面上的正盈利和， 那我们就这样用用用用，用一个洁面切开，切开以后把这个三角块取出来，就是下图，但是这个图呢， 还是硬力表示的，这也叫硬力状态图？就硬力状态图，咱们是让咱们这个彩礼当中取六面体，你像有些结构呢？他不见得就是你这个单元体，不一定非得是六面体，只说我们财力学，我们是用的六面体啊， 比如说像这个水工结构当中啊，水工结构当中那个大坝，他就不是取六媒体，他是取这种三角块啊，取三角块就是他画上网格，画上网格啊，取三角块 啊这样的分析啊，所以说只要上面是用应力表示的，就叫应力状态。好，那么我们列方程哈，一定是列力的平方程，你只有力才能说平衡，你不能说应力平衡， 是吧？所以这个概念要注意你所以说这个是应力状态，咱们要把他的受力图画出来，然后针对受力图才能列平方程啊，才列平方程。好，我们看一下如何得到他的 受力图啊？咱们这么来做啊，我们的单元体都是微小的啊，那么我切开以后，你看我切开这个斜斜截面啊，你看这个斜截面，这是不是有一个面， 这个距离是很微小的，是吧？每个距离都是很微小，那你说这个面的面积是不是也属于微小的面积，是吧？我们现在就要求这个面上的正厘， 还有这个面上的切啊，我们就求这两个硬力，是吧？求这两个硬力，那么我们要换算成受力图， 我们刚刚不是讲了吗，这个面应该是很微小，所以这个面上的正盈力都认为是均匀的，每一点都是相等的，这个面上的清理每一点也认为是 相等的，那么既然是均匀的，我用这个正盈力乘上这个面的面积，是不是就是这个法线方向的力， 我再用其中一个牵引力，他不是也是均匀的吗？再乘上这个面的面积，是不是就这个面上的牵引力，对吧？这样就得到受力图了，每个面都这么做啊，好，那么现在我们就看啊，假设这个斜接面的面积是 da， 那么左边这个面的面积就是 d a 乘上 cosine 阿尔法，是吧？下面这个面积就是 d a 乘上赛尔法，对吧？然后用每个面上的两个硬力乘上相应的面积，就是 这个面所受到的力，所以说呢，这个三角块上所受到的力就跟什么呢？斜面上，斜斜面上，那么就是用 sigma 法乘上 d a， 就是发现方向力好，切线就是掏阿尔法，乘上谁呢？ da 对吧？左边截面这个方是不是也有力？这个力等于谁？等于 c 个吗？ x 乘上这个面的面积， 这面的面积不是 d a 口省二方，然后这个方向这不也有一个力，这个力就是掏 x， 再乘上这个面的面积就是 d a 口写阿尔法下这个面也有两个例法项的，就是 c 格曼 y 乘上这个面的面， 这个面的面积不是是用 d a 投影过来塞尔法吗？水平方向也有一个力，那就是掏 y 乘上这个面的面积，这个面的面积就是 d a 乘上塞尔法，这才叫受力 啊，这才叫受力图。好，那么现在呢，我就把这个受力图我们就换算过来了啊，换算，我就是这个受力图就这么来的，每一个面上他的力都是用那个硬力成了一个面积， 那么我们下面就可以根据这个图呢列平方程了，我们不是讲了吗？ c 个吗？ x 是已知的是吧？ c 个吗？ y 也是已知的， to x t y 都是已知的，对吧？那么阿尔法是我们任意给 的一个角度，那现在谁是未知的呢？就是 sigma alpha 和 top alpha 是未知的，只有两个未知量 是吧？二法当成变量，那么我们把这个呢，当成一个平面的汇交利息，因为这个小三角块体积很小啊，当成一个点，那么汇交利息可以列两个投影方程， 我们一般习惯列一个水平方向投影方程和外方向投影方程，但是如果列这两个方程的话， 会存在一个什么问题呢？你这个 c 马尔法和掏尔法在这两个轴上都有投影，我们需要连理方程，所以我们取一个合理的两个投影轴，取哪两个轴更合理呢？ 沿着斜阶面的发线方向投影，列个投影方程，沿着斜阶面的切线方向列一个投影方程， 这样的话呢，我们两个方程当中就分别只包含了 sigma， 阿尔法和唐尔法两个方程不需要连力了 啊，两方不需要连力了，然后咱们就一个方向解一个未知数就解出来了啊，就这么一个思路上，这里回到零里学了啊。好比如投影，我们把所有的力啊，这个受力图向 n 方向投影带入和一个等于零， 所以你必须针对右边这个图，投影不能跟你左边啊，是吧？好，那么投影的话，我们先看斜截面，斜截面 只有 c 格码，阿尔法 d a， 对吧？像 n 方向投影吗？那么这个套尔法乘上 d a 就没有了，就没有了啊，然后再看左截面啊，左截面有一个 c 格码， x 乘上 d a 乘上 cosin 阿尔法，是不是在乘上一个赛于阿尔法，就是向 n 方向的投影，投影的方向呢，与我们的正方向相反，减去还有这个左截面竖方向的力，那就加上 to x 乘上 d a 乘上口省二法，这是这个力，然后再向 n 方向投影，那就乘上一个什么呢？塞啊，刚才这个是口省啊，这个是口省二法。好，这是一个塞尔法啊， 好，那么下面这个面上也有两个力，是吧？也有两个力啊，呃，有谁呢？有 c gm y 乘上 d a 塞尔法，对吧？再唱一个，塞尔法就是向恩发上投影啊，然后呢，还有水平方向力，那么加上掏掏外 d a c 阿尔法，再乘上口 c 阿尔法，平衡的话，是不是应该等于零啊？这就第一个方程，然后第二个方程像掏方向投影一样一样的啊，所以我就简单说一下，这上就理论学的知识了，是吧？好，就得到了我们这两个方程了 啊，就这么来的啊，好，其中呢，右边为零，左边这个每一项都有一个 d a 可以给他消 掉啊，下面是一样的，咱们看上面这个式子啊，那么你看，然后呢？把这个，你看这一项里头是不是有一个 cosine alpha 赛尔法， 是吧，而且我们要注意的啊，掏 s 和掏外的大小是相等的，下边看这个这一项，这一项是不是也有一个三元二法扣三二法，你把掏哎掏 s 和掏外提取出来，因为相等啊，这式子当中是不是就有一个二倍的 二倍的塞尔阿尔法乘上扣塞尔尔法，那么这一项不就是塞尔尔尔法 是吧？三幺二啊，也就利用这个三角，呃，这个函数关系啊，那么另外这个地方，我们也这个地方，我们也用三角 关系整理一下，下边也是一样的啊，整理以后啊，我们就得出来了，下边这两个是这个二阿尔法，就这么来的，我们根据三角函数关系啊，得出来，这里头有一个参数是二阿尔法 啊，是二二法。好，这个就是任意的斜接面上的正力和轻，那么我们只要给你一个角度，比如说我给他角度三十度，我带进来是不就求出了三十度方向的正力和什么呢？轻， 对吧？那么我们也可以求积值，求积值。这个我留一个问题给大家啊，比如我求正盈利的积值，正盈利的积值不就我们的主盈利吗？ 而且前面咱们说了，这个主平面上气力是为零的，你们下去这样来做啊， 求一下这个正盈利的极值。怎么求正盈利的极值呢？那就是对我们的这个第一个式子，对阿尔法求解岛就是 d c 个吗？阿尔法除上一个 d 阿尔法， 然后呢？令他等于零，是不就找到那个机制点了，把这个机制点带到第二个方程里头去， 那就是说掏阿尔法零一定是等于零的，这就说明 sigma 阿尔法取得机值的时候，掏阿尔法一定是为零，也就证明了我们前面所说的啊，当正义取得 机智的时候，那个面一定没有轻易。这个咱们下去证明啊，简单的一个，这个机，这个威风关系啊，这个我们就不再多说了，但反过来啊，正轻易取得机智的时候，正力可不一定威力。所以你们这个这个问题留到下面咱们去证明啊。

各位同学好，从这一讲，我们开始学习第二种把弯曲内力图的方法，通过简历弯距与分布和在极度界的关系。把弯曲内力图， 我们首先来学习简历弯距与分布和在记录间的威风关系。前面呢，我们学习了列内力方程画内力图。那么这种方法有什么弊端呢？下面呢，我们通过这个例子来说明。 列内地花层画内地图之前呢，我们首先需要考虑内地花层分几段的问题。 那么首先呢，我们需要在梁上呢找控制面，不是这个外升梁，我们先来找一下控制面。控制 面呢，有 c、 a、 d、 b 四个控制住。也就是说呢，我们需要分 c、 n、 a、 d、 d、 b 三段呢，接地解定方程和弯距方程 啊。那么也就是说呢，我们需要列出六个方程。然后呢，再把这个魅力图。那么显然呢，呃，这个过程呢，就比较繁琐了。 那么有没有一种挖法啊，能够绕过这里那里 vat 这个环节来发地图呢？ 那么这样呢，我们来思考一个问题，内力发展是通过外力列出来的，那么外力和内力，你内力之间有没有什么关系？ 客户通过他们的关系来画内地图。那么这个例子呢，是咱们前面讲过的一个例子啊。那么右侧的话是我们列出来的内地方程 啊。如果这些人被简历方程去求导而出来的结果呢？我们发现的正好是 plus 和载格度 啊。如果我们对弯距方程回导呢，得出来的话呢，正好是解令方程。 那么我们就发现呢，简历弯距与分布扩载地图间呢，有这么一个微动关系。 那么这个文文关系呢，是我们通过这个立体搞出来的，那么它是不是具有一半 单性的啊。那么下面呢，我们来看一下这个画面，对于刚才五阿姨的微油关系啊。下面呢，我们做一个进一步的推倒啊，看一下这个关系是不是一定存在。 我们以同色的剪子梁为例啊。那么这个里面呢，我们向上的 q 呢，设为正的 q 啊，坐标系啊，外力的话以向上为正啊。 那么接下来呢，我们给出一个坐标系，你量的左端呢，我们坐标原点 在梁上呢，我们取一个 v 段啊，最左侧 g d x 呢，取一个 v 段，我们通过这个 v 段来做进一步的分析啊。这个 v 段上呢，首先 呢有这个 q 格子，就是这个分布极度啊。那么这个地方呢，在微段上的话呢，就竞试着为 q 是相等的。 那么在这个微段的左侧和右侧呢，分别分布有简历跟弯距啊。那么这样两种类例，我们把这个类例画一下，那么按照正好来假设，左边的简历呢，是向上位置， 右边的简历呢，向下位置啊。那么区别的话，就是从左侧到右侧呢，简历有个增调弯距同理啊， 左侧是顺时针的弯距，右侧呢，逆时针的弯距。那么右侧的弯距呢，相对来说也有一个增量。 那么由于呢整个这个粮是平衡的啊。那么这个微段呢，应该 也是一个平衡的。那么我们对这个 vlog 平衡呢，列一个建立平衡方程啊。首先呢，我们来列这个 y 轴的凸远方程， 所有的例呢，像 y 斗投影啊。那么通过这个方程的进步解化，我们就得出了这个简历与分布和载极度的这个维护关系。 那么我们可以再列一个平共八层选择啊，右侧前面的行星呢，为巨星 列一个例句方。这个方程列出来以后呢，我们啊通过近视分析去掉最后这一项原因是呢 d x， d x 微量呢，是一个 无穷小量，所以说它的平方的话呢，就趋近于零。这个地方呢，我们做一个亲子处理，去掉它以后呢，再简化我们呢就得到了呃，第二个维护关系弯曲跟简历的一个维护关系。 那么我们可以结合一二呢，再给一个微红关系，有弯距与分布和载极度的关系。那么第三个关系呢，就是简历弯距与分布和载极度的微红关系啊。 那么这三个无用关系表示什么含义呢？嗯，下面呢我们来看一下。 那么其中呢第一个简历方式的导数等于中国核载极度。那么这个呢说明呢是简历图上五点处的切线 斜率呢，就应该等于啊该界面处或者极度的大小。也就是说呢，我们用了一下威龙关系啊，这个导数的几何意义啊。那么同理的话呢，第二个我们就清楚了， y g 图上母点处的切线斜率呢，应该等于该截灭处简历的大小哦。第三个的话呢，应该跟图奥性有关系，有分布和载极度的正负可以判断 y g 图的图奥性。 那么这个呢，就是微工关系的几和一。我们顺便在画内地图的时候呢，主要用的就是这个几和一。 那么对于这么一组无关系，我们来思考一个问题。如果说我们调整一下坐标系啊， 比如说呢，我们把坐标原点呢建立在梁的右端，那么以 x o 向左为正，这样的一个坐标系，那么这个 v o 关也是不是还成立呢？ 那么下面呢，我们对这个呢做一个分析，分析的过程跟前面一样，我们仍然是取这个微段来分析。解开以后呢，我们注意呢，坐标原点呢是在量的右端啊，所以说呢，这个地方是 x 界面，那么这个是 x 加 d x 界面。 那么我们在假设这个内力的时候呢，右侧呢是初始的这个内力尺，那么左侧的话呢，有个增量， 那么把这个味道取出来以后呢，他同样是个平衡的。接下来呢，我们通过这个平衡方程呢来讨论一下。通过 这个平衡方程，我们可以得出第一个无用关系啊。那么我们发现了，呃，他的无用关系的结果呢，跟我们前面推出来的结果是不一样的， 同理的话呢，另外一个呢，也不一样。但是呢，这两个合起来，这个括号可以抵消。那么第三个式子呢，是不影响的 啊。也就说呢，大家以后注意啊，如果我们想用这个维修关系，是不是跟这个坐标器有关系呢啊，那么我们这个维修关系是取梁的左端为坐标原理，以向右的 x 轴为正方向这样的这个维修关系。 那么也就告诉我们，如果说我们后面想要这个微同关系来画这个图，应该从哪画呢？是不是从左向右画呀？ 啊，这个是大家要注意的啊。也说呢，这个维修关系对应了你的这个画图的顺序啊，是从左下右画，因为这个坐标线下才满足这个关系， 换一个坐标器啊，如果是你从右向左的话呢，你们这个关系显然不对的啊。那么它的关系在下面这个位置。这个呢，是大家要注意的地方啊。好，那么这个是我们关于这个微信关系的一个呃分析过程啊。 那么下面呢，我们来看这个维护关系的应用。那么我们来分几种情况啊。第一种呢，就是 梁上没有和窄的时候，相当于 q 等于零这种情况。那么 q 等于零。对应的简历图，万居图有什么特点 点的，我们就要用到刚才推出来的微工关系啊，简历的导数啊，等于这个 q， 现在 q 是等于零的啊，无和载的情况等于零。那么这个地方呢，我们用一下它的几何。 e。 那么简历的导出对呢，是简历的斜率，简历的斜率等于 q， q 等于零，说明简历的斜率呢，是等于零。 简历的斜率等于零。实际上我们已经判断出来简历多的特征呢，它是一个水平线啊，斜率为零的一个水平线。 那么对应的应该有三种，因为他的出发点呢，可能在不同的位置啊，从正方向过来，正方向过来，也可能从零这个位置过来。那么有三种情况啊。所以说呢，无核载对呢，简历图特征线呢，都是水平线啊，但是呢，有三种。 那么我们再来看一下 one two 的特征。那么就要用到后面这个关系啊， one two 的倒数等于简历。通过第一步分析呢，简历的应该是个常数， 那么说明什么呀？ y g 的斜率呢，是一个长数，斜率是长数，那么就说明 y g 图是一个直线对吧？ 第一个简历是一个正简历，说明 y g 的斜率呢，应该是个正斜率的这么一个斜子线。这样的话我们画出来应该是往下，因为呢 y g 是向下位置，应该是往正方向来画。 那么第二个大家应该清楚，简历是负的话呢，外遇的写的是负的，那么他应该是往后方向来画。第三个简历是零啊。 这句话简历是一个特殊情况，零说明弯右的斜率是零。那么第三种情况呢，这个弯距图呢，应该对的是一个水平线 啊。大家可以看出，我们通过这个 v o 关系的话呢，根据梁上的这个赫载的情况，就可以直观的去画这个梁的类地图简易图和 y 的形状了啊。这个呢就是 v o 关系的一个应用。 呃，下面呢我们来看第二种情况，有分布扩展的这个情况。那么分布扩展呢？这样呢有两种啊。首先呢，我们给一个下上的局部扩展，这种局部扩展的话呢， q 是大于零的 啊，以下叉为正， q 大于零。那么我们利用这个微型关节再来看一下简历图和 y e 图的特征。那么 简历的斜率呢？等于这个 q， 这个 q 是一个长数啊，均步的话呢， q 这个长数说明什么呀？说明简历的斜率是一个长数的话呢，它是一个斜直线啊，是一个直线啊。那么这个里面呢， q u 大于零，说明简历图的斜率是一个正斜率。 这样的话呢，我们应该是呃像正方向的这样去画出一个斜直线来，这个对应的斜率呢，就这个 q 值。 那么弯距的话呢，应该是解力的斜率，因为呢解力呢是一个一次对吧？直线这个一次函数，那么弯距的导数等于减力，说明弯距呢，是一个二次函数，二次函数呢，他就是有这种上图跟下图的 一个区别。那么这个情况下对应的是哪一个呢？我们来分析一下。由于呢我们弯距是向下为证的，大家可以看出这一部分的简历是一个副简历。 说明什么呀？说明对应的弯右的斜率的应该是我。我看一下，如果以向下的坐标为正的话呢，哪一侧 关注的斜率是这样的啊，那就是往正方向是这样的对吧？对，这个是正方。那么这个里面呢，显然的话呢，应该是对应的从负方向的这个简历到正方向的简历，那么就应该是负斜率到正斜率。这样就这边是正斜率，这边是负斜率啊。 这样来画一下啊。那么这个是 y e 图的特点啊。啊，这个里面呢，我们 注意一个关键点啊，就是这个协力为零的点的话，应该对应的简历是零啊，和这个关系，如果说简历等于零的时候，关于的斜率是零，那么他应该是基资点。那么这个地方呢，我们在画的时候注意一下两侧的这个文件啊，应该在这个地方。 呃，下面呢，我们来看这个向下的 q 啊，向下的 q 呢？ q 小于零。那么这个时候呢， 简历的斜率的话，首先是一个长袖啊，均部的这个负斜率就小于零。因此的话呢，它是一条斜直线，是往负方向来走的，也就是往下往下是负方向啊。 那对应的这个呃玩具的话也是一个抛物线对吧？那么从正的简历到负简历，那么 yg 的斜率的话呢，应该是从正斜率到负斜率，那么这个里面的话，这是正斜率往正方向的对吧？这是负斜率往负方向的。这样的话呢，我们就给出来这个弯距图呢，是一个啊下突的抛物线， 那么这个的话就是我们对应的梁绍，如果是分布和窄，我们通过这个 v u 关系判断出了它的形状，应该是对应这样来画的 啊，那么这个是第二种情况，那么还有两种情况呢，是我们前面学过的啊。牙上呢，还有一些地方是作用有集中力的对吧？我们来看一下这个集中力的地方， 比如呢，杨大队的话，作用下线的一种力，咱们前面呢已经学习过他的规律，应该怎么样？简历图这个地方呢，有一个图片， 突变方向是力的方向，从左侧来画啊，不要死端到末端，突变大小是力的大小。 那么弯一头是不是有个尖角呀？这个尖角的弯位呢，跟立的方向是一致的，我向下的立是有个下面的一个尖角， 那么反过来大家应该清楚，如果呢，他这个向上的节奏力，那么这个地方简历图应该是一个向上的图片，图片大小等于力的大小。 那么对应的弯距图的特点的话，这个地方是个尖角，这个尖角大家现在应应该能够清楚了，因为什么呢？简历发生了突变说明什么呀？弯距的斜率是不是有个突变呀？ 万一的斜立有图片，这个地方肯定要折一下对不对？好，这是集中立。下面呢我们来看集中立有集中， 就是我们先给一个逆时针的集中力有，集中力有的地方减龄图咱们前面也学过的啊，他是不影响直接画过来。集中力有呢，会导致弯距。图呢，有一个突变。这个前面咱们学过，逆上送下啊，那么突变值呢，就是这个力有距的， 翻过来也是一样的。顺时针的例由呢，简历图还是不变的， y g 图应该是向下的图变图变的等于例由句。 那么这个是集中六的这么一个特点啊。好，那么下面的话呢，我们把这个总结一下。先来看这个简流度的特征。 这样呢，我们给一个口诀啊，大家在冲业的时候呢，方便记住它的特点。没有和载水平线啊。是这个说简历的啊，没有和载 水平线均步和窄，斜直线集中和窄有突变，六和窄无影响。所以我们初学的同学呢，可以呢用这个口诀来去掌握他的规律。这个是简历图的口。 y n g 图的口径呢，我们再来看一下。没有核载是斜直线，支部核载是抛物线，集中核载有尖角利，有核载有图片。这个呢，是我们概括出来的 y n g 的这么一些特点。 那么综合起来呢，是这么一张大图啊。这个图呢，大家在学这部分内容的时候呢，一定要去把这个图呢理解深刻了啊。那么这个里面呢，我们也可以这样来给大家去说一下啊。第一个呢，我们叫无核， 就是梁上这个地方没有和窄啊，无和窄 水平线。那么弯接头的话呢，主要是斜直线。有一种特殊情况，简历为零的时候是个水平线啊，如何在水平线直线啊，如何在水平线直线这个里面斜直线的居多，这个地方你清楚一下。 那么这个里面是 q 和 z 啊，这个地方我们这样来记啊，这个我们遇到的比较多，有向下的 q， 那是斜向下的子线， 那么是下度抛物线。这个里面呢主要体现三个下字，向下的 q， 斜向下的直线，下度抛物线三个下，那这边就三 三个 star， 后面这两个呢，就是你把这个突变的这个规律呢记清楚，主要是这两个啊，记清楚就可以了。 那么对于梁上来说呢，主要就是这几种情况啊。我们这节课呢，通过 vo 关系的话呢，就可以确定啊，这个对应和窄位置的简历图关系图的形状，这个是 vo 关系的这么一个应用。 那么关于利用借力玩具与和在极度间的维生关系来画图， 我们下节课呢，通过具体例题给大家讲解。那么这节课呢，我们先讲到这，大家下去以后呢可以先把这块呢复习一下啊。好，那么这讲就说到这，谢谢大家。

各位同学好，从这一讲呢，我们开始学习第五章弯曲用力。 从这一章开始，课时的难度呢会逐步增大，如果大家在学习中有什么问题，可以在视频下方留言或私信我，我会及时的回复大家。下面呢，我们开始这一章的学习。 前面呢，我们学习了弯曲内力，包括计算内力和画内力，图为解决弯曲强度呢铺好了路。 那么从弯曲内力到弯曲强度之间呢，还差一座桥，这座桥呢，就是我们这一章将要学习的弯曲。 在学习 yg 用力之前呢，我们先来回顾一下前面学过的走向拉压和扭转的应力公式。 轴向拉压，横截面上呢，只有正应力 c 个码， c 个码呢等于 f n 比上 a， f n 呢是横截面上的内力，轴力， a 呢是横截面的面积。 在计算强度的时候呢，我们用最大正应力来进行求解。最大正应力呢，等于最大轴力呢？除以面积 a， 扭转变形时，横截面上呢，只有切硬力套，切硬力套呢等于器肉以上 ip t 呢是横截面上的内力尾距扭距 rule 呢是所求点的半径， ip 呢是前面的几何参数及惯性距。 在求解强度时，我们用最大牵引力来进行讨论。最大牵引力呢等于最大扭矩呢？比上 w p， w p 呢称之为扭转局面系数。 那么弯曲变形时应力有哪些？又如何计算呢？ 由于弯曲变形时，横接面上的内力呢，有两个，简历和弯距，那么横接面上呢，对应呢， 就有两种应力，其中呢，弯曲正应力呢，与弯距有关。我们在横截面上呢，取一个微面积 d a， 那我们来讨论一下 y h 正应力与 y g 的关系，那么我们通过这个式子来进行说明， 那其中呢，这个马乘上 d a 呢，描述的是微面积 d a 的力， 再乘上弯的是微面积对应的力呢，对中线轴的一个力距， 那么再求和呢，是整个节面正应力对应的力呢？对中心轴的力距的和。所以说呢，弯距呢，是正应力对应的力的 一个例句的和。那么 watch 牵引力呢，是与简历有关的一个量，那么我们通过这个表达出来，看一下 watch 牵引力跟简历的关系。 通过四字可以看出，简历呢是 y h 切音力的合力，我们对这个切音力呢，求一个面积分得到的呢就是简历。 所以说呢，在弯曲变形时，横截面上呢有两种应力，一个呢是弯曲正应力，一个是弯曲切应力。 在讨论 y h 用力的时候呢，我们通常将 h 分为这两种， y h 要横立 y h， 通过这个简 这两个呢来看一下，在 a c 跟 d b 段呢，它的内定呢是既有简历还有弯距应力呢，是既有遮应力呢，还有切应力，那么这种弯曲呢，就称之为 在 c b 段，那么这个横截面上是减力为零，弯距为常量，那么对的应力的话呢，只有正应力，那么这种弯曲呢叫重弯曲。 那么根据这个内地的获得阴历的情况呢，我们就将弯曲呢分为这两种弯曲， 在 c 当中，你弯曲强度啊，有着直接弯曲侧 侧应力，其次呢才是弯曲前应力，所以说呢，我们在讨论弯曲应力的时候呢，首先呢来讨论弯曲正应力，那么接下来呢，我们首先来讨论从弯曲的时候量横肩面上的正应力， 从 h 十量横页面上正应力的一个研究的思路是什么？ 那么这个地方呢，我们可以回想一下在前面学过的扭转变形横截面上的牵引力是怎么来分析的。 第一步的话呢，是观察变形并提出假设，那么通过这个呢，我们给出变形几个关系，通过变形几个关系呢，给出应变 的一个分布规律，再结合物理关系，对的呢，给出阴历的分辨规律，最后呢结合境理关系呢，给出阴历的公式。 所以说呢，从弯曲时两横间面上的正义力呢，是通过这个三个关系来进行讨论的。下面呢，我们来看一下正义力分析的具体过程。首先呢第一步呢，我们来观察变形， 为了便于观察呢，我们在图上呢去做一些特征线，有纵向线还有横向线，现在呢我们施加一对利友，利友做一下呢这个梁呢 battle swatch， 因为它是没有简历，只有玩具的。 下面呢，我们来观察一下它的一些变形的现象， 大家呢注意观察啊，都发生了什么变化啊，后面这个呢是对应的几何关系，这个我们一会再具体讨论。我们现在呢，首先来看一下这个变形的以后是一个什么情啊， 那么这个就是变形以后的一个情况，我们通过对比来看一下这个对应的变形现象啊，变形现象呢，我们从两个角度来去说明，一个呢是纵向线， 我们可以看出各纵向线呢，在变形以后呢，变成了一个弧线啊，由直线呢变成了弧线靠近顶端的，这上侧的话呢 啊是一个缩短的一个边形，靠近底端呢，下面的话呢是生长的位置，就是凸出来，这个地方呢是生长凹进去的，这个地方呢是一个压缩缩短，这是纵向系列的变形池。 那么横向线的话呢，对横向线呢仍然保持为直线啊，原来是直线，现在呢还是直线，只是呢发射了一个相对的转动这样一个角度， 我转转过角度以后呢，他跟这个变形油的动向性呢，也还垂直，我之前是垂直的，现在还垂直， 这个呢就是我们看到的变形现象，那么这个里面呢，横向线呢就代表了这个横截面， 由于呢是我们讨论的是横接面上的这个遮阳力，对于这个横接面内部的情况是看不到的，所以说呢，我们通过横向线呢做一个假设来去推横接面的这个情况啊，因此这个地方呢，我们也是提出平面假设， 那么通过这个横向系的特点呢，那么也存到这个横截面上，我们给出横截面的变形特点，变形前为平面的，横截面呢，变形以后呢还是一个平面， 那么并且呢，呃，变形以后呢，仍然跟这个轴线是垂直的，变形的之前呢，横截面跟轴线垂直，变形以后呢，轴线呢变成一个曲线，就是弧线，但是呢横截面跟这个轴线呢 还是垂直的关系，这是我们第一个看到的 b 型的特点。第二个呢，我们还要给出一个假设叫单向受力，假设就是纵向纤维之间呢，互相互挤压， 就是每一层之间啊，每一层之间的话呢，它的上下是没有解压的，这个呢是我们做的第二个假设啊， 那么根据这个变形现象和这个假设呢，我们在这样呢给出一个比较重要的概念，在弯曲应对的时候呢，这个地方呢比较重要的概念，中性乘和中性轴，下面呢我们来具体看一下这两个概念， 这个呢是俩变现有的这么一个，呃情况对吧？下侧呢是突出的一侧， 那么对应的中下斜位呢是伸长，那么上侧呢是凹进去的一侧呢对应的中下斜位呢是缩短，从伸长到缩短之间呢，必要有个过渡层， 这个过渡层对应的中向纤维呢，它的长度是不变的，那么这个层呢，我们就称之为叫中性层啊，也就说呢，这个中性层上呢，它的这个长度是没有变化的，形状发生了变化，但是这个长度没有改变啊， 那么中性层跟横接面的交线呢，这个呢称之为叫中性轴。 那么由于呢中性层跟这个纵向对称面啊，这地方这个纵向对称面，就是前后这个纵向对称面， 他们呢是一个垂直关系，就中性层跟重量对称面呢是一个垂直关系，那么对应的话呢就是中性轴呢，跟横页面呢是一个垂直的关系。好，那么这个就是关于中性层和中性轴的概念， 有了这个中心轴的概念以后呢，我们可以看出弯曲变形呢，实际上是各界面呢绕各自的中心轴转动的一个角度，那么这个就是我们看到的这个变形的现象啊， 那么下面呢我们来看从 h 正应力的公式，这个地方呢，我们来推到 l c r z 一点的这个应力啊，那么图 是啊，量上这一点，首先给出他所得的洁面呢，由 x 来表示，那么这一点在洁面上的位置怎么来表示呢？我们先给出中心轴的位置来，那么这一点的位置呢，通过他到中心轴的距离 y 来表示， 现在呢，我们来讨论一下这个点对应的这个正应力怎么来去分析啊？ 那么实际上呢，咱们前面有学习过我们对一点一的分析的时候呢，直观的话呢，是不好来进行的，所以说我们这个地方怎么去做呢？ 我们是利用这个应变跟应力的关系，应变的话是对应的变形，变形呢，能够直观的去分析，所以说这个地方呢，为了分析这一点的应力呢，我们先来讨 讨论这一点的音变啊，通过音变呢再来讨论这个音力啊，那么这个音变怎么分析呢？我们这个地方呢，就是用的几何关系啊，大家前面看那个动画的时候呢，右边那个对应的就是一个几何关系的建立的过程啊， 那么这个几何关系我们怎么借力呢？是围绕这一点的话呢，对应这个前面呢，再截取梁上的一个微段 d x， 我们以这个微段的变形来去分析这个几何关系，几何关系呢，主要就是求对应这个地方的那个音变值 好，下面的话呢，我们具体来看一下这个几何关节的记录过程啊，那么这个是截取出来的微段啊，这个是量的上层，这个是量的下层，这个是中性层，我们所求的点的位置的话呢， 他到中心轴就是到中心的距离呢是 y， 那么这个是我们所要求点的这个对应的这个位置啊， 那么接下来的话呢，我们为了求这一点的这个应变，那我们就要考虑一下变形前变形以后它的长度的一个变化，那么接下来呢，我们把变形以后对应的这个长度啊，这个形状呢给出来。 好，那么接下来我们先来看一下所求点，就是到中性层，到中性层距离 y， 那么它对应的这个长度的一个改变，先求变形之后的这个长度是一个弧线长度， 弧线啊，第一撇，第一撇应该是等于圆形结的话呢，对应是个 d c 的啊，因为整个这个长度的一个微段长度和这个角度是一个微量。第 say， 那 d say 乘上这个半径，这个半径的话呢，我们设出一个轴来，这个轴呢是浊性成对应的曲率半径， 多星层对着那个弧线的那个半径 ro 啊，那么我们求的这个所对应的半径的话就是如果加 y 有半径呢，乘上圆形角就是这个弧长， 那么接下来我们来看圆长的计算，圆长的应该是等于中心层的这个长度，他们两个相等，中心的长度呢，变形结构是没有发生变化的， 这个是刚刚讲过的中性长，对呢一个特点，所以说这个直线的长度呢，应该等于这个弧线的长度，这个呢做一个过渡，而这个弧线的长度呢，就应该等 等于 z 乘上 d c 的啊，这样的话呢，我们来讨论一下对应这个地方的应变值 啊，这个音乐字呢，我们在第二章昨天大家是学过的啊，音乐的话是单位长度的这个变形量 好，那么这个变形量呢，就是变形之后的长度，减去原来的长度啊，用上面的减去下面这个比上圆长，比上这个圆长，那么求出来的话呢，这个呢，就是这一点对应的这个应变值 好，那么通过这个应变的一个表达式，大家可以看出啊，在这个界面上呢，那么应变啊，与它到中心层的距离呢，是成正比的，这个里面的话呢， zoo 啊，中心层的曲列， 虽然目前我们不知道他多大，但这个肯定是个定值，所以说呢，那么另一个点的应变呢，与他的中心的距离是有关系的， 点的位置改变呢？这个外的草都变化了，对应的音变是变化的啊，大家可以看得出，那么离中线轴越远的呢，这个音变是越大的，所以说这个地方的话呢，是成一个正比的这么一个关系 好，那么有了这个几个关系，我们把这个盈利给出以后呢，下面呢，我们结合物理关系给出那个盈利啊 啊，这个地方我们前面已经假设了啊，纵向纤维呢，没有互相挤压，所以说呢，对应的这个点的话呢，只在这个轴向方向有压力啊，这个方向这个挤压呢是呃，不考虑， 所以说整个这个的话呢，是一个单向引力状态，那么这个单向引力状态呢？呃，我们可以呢用这个胡歌定律来表示，那么前提的话是材料处于线弹性的一个变形范围啊， 那么这个音力呢，跟音乐是成正比的，这个是我们在第二章学过的虎歌定律，那么结合我们刚才推导出来那个音乐的那个表达式，就可以进一步的把音力呢变成这么一个表达式啊， 那么这个表达式当中呢，这个 row 分之一呢，就是我们刚才讲的中心层的取率啊，如果是取率半径， row 分之一是取率，那么它是一个常数，目前我们不知道它是怎么来计算的，但是可以确定的啊，那么这个中心层的取率的话是为 一的啊，是一个常数，因此的话呢，这个表达式当中呢，弹性模料啊，是与材料有有关的一个参数啊，它是个常数， rose 一个常数阴历跟 y 四成一个线性的一个变化， y 系， 这样的话呢，我们就给出了横截面上正应力的一个变化规律啊，那么横截面上任意点的这个正应力呢，与该点到中心的距离呢，是成正比的，那么这个点呢，离中心轴越远的话呢，这个音力越大， 那么他是歪的一次，所以说是一个线性的一个分布，那么中心轴上的话呢，应该是里腰，对吧？两边是最大的啊，所以说呢，我们通过这个规律呢啊，来看，那么比较特殊的地方，中心轴上是 没有遮阳力，没有遮阳力的话呢，他才不升上不缩短，对吧？然后上下两边的话呢，这个阴力达到了一个最大值。 好，那么这个是关于呃从弯曲横击面上正应力的一个分布规律，一个高度呢，是一个线性的一个变化情况，那么这个里面的话呢， y 呢，是所求点偏离中心度的这个距离啊，这个是 y， 那么 zero 的话是中英层的取的外界。那么目前这个公式的话呢，我们啊 e 可以确定， y 可以确定，那唯独这个 zero 呢？我们现在还不知道， 因此我们这个地方呢，还差中心轴啊，位置在哪里，以及这个 zoo 的技术。那么这个时候我们接下来要 解决的问题，那么这个问题怎么解决呢？我们就要用到下面的建立关系，那么建立关系建立的是呃，横截面上阴历跟内的一个关系啊。 首先呢，我们可以思考啊，这些正应力呢，可以求和得到一个走力啊，我们这个走力的话是正应力的一个面积分，就求和的一个 word。 实际上这个走例在 y g 变形当中是不存在的，因为呢， y g 变形的时候呢，只有简历和玩具。我们接下来看一下，先把这个走例的公式给出来，当然说走例等于零，能得出一个什么结果啊？ 进一步的话呢，我们把这个音力呢，用刚才前面那个表达字来写一下，弹性模量从上 y 比上都写一下，好，把这里面的这个进攻 查数提到外面去，是六分之一呢，提到外面去，把这个变量留下来，那么这个积分是什么意思呢？这个咱们前面学习那个洁面几个性的时候呢？已经学习过啊， 我们大家看一下 y 乘底 a 啊，应该是微面积，对于 z 的是什么呀？那径距对吧，一次就叫径距，那么再积分的话，是不是整个截面对于 z 的间距啊？ 所以说这个地方的话呢，我们把这个西红柿呢写成 s z 啊，是整个前面对中线组的径直。那么这个表达式呢，可以进一步写成这么一个式子， 由于呢这个弯曲的内地刹是没有走力的，很显然这个走力呢，应该等于零。好，那么 这个表达是等于零以后呢？能得出一个什么结果呀？一不等于零，六肯定是存在的，那得出一个什么呀？ s z 等于零，对吧？ s z 等于零，能说明一个什么结果呢？我们回想一下在学习境遇的时候，那几个对应的结论啊，大家来思考一下， 那么这个地方的话呢，呃，一个图形对某一个轴的径距为零，那么说明什么呢？这个轴是过行星的对不对？因此的话呢，我们又给出了 z 轴过这个节面进行， z 轴是谁呀？ z 轴就是中心轴嘛， 所以说呢，通过第一个经理学关系呢，我们就给出一个结论来，中性轴通过，即便形形，那么这种情况下能不能定住中性轴位置呢？啊？我们前面呢还有个关系，什么关系啊？是不是中性轴 垂直于什么呀？对称轴对不对？那这么一个梯子形，我们怎么去找这个中心轴呢？先把对称轴画出来，这是对称轴对吧？首先中心轴跟对称轴是垂直的， 还有怎么样呢？过几面形，比如说呢，你可以确定出几面形形 c 的，这个可以求啊，确定几面形形 c 以后呢，中性轴呢，应该是过形形形 c 变更这个对称的垂直，这样我们是不是又找到了这个中间的位置了呀？啊，所以说我们第一个继续关系是来确定 中心的位置的，结果前面的这个加上我们刚才推出来的，那么这两个合起来的话呢，对应的话呢，就是确定这个中心的位置的那么一个过程啊。好， 那么这个是第一部分进列学关系，下面呢我们再来看一个进列学关系，那么这些作用力的话呢，还可以呢，对 y 轴呢，求一个句，就是先用应力呢乘到面积得到力力，对 y 轴呢，再求一个轴距，这些轴距的和我们来看一下是对的一个什么结果， 那么这个地方呢，我们对 y 轴距的话呢，用 m y 来表示，那么这个地方呢，是应力乘的微面积啊，是微面积的力，乘上它的 y 轴距的话，应该是 z， 对，这个来接吧。 啊，我们把刚才那个 sigma 公司呢带进来， sigma 等于 e y b 杀手，这个是几何物理关系推出来的，带到这个原式当中，然后呢我们将这个激光查数呢提取出来，那后面这一 大家应该也比较熟悉，是什么量呢？是不是整个洁面对这个 y z 轴的惯性极呢？对吧？所以说我们可以进一步写成啊， e i y z 理石大洲， 那么因为这个 m y 呢，实际当中是不存在的啊，咱们的弯距的话呢，是绕这个 z 方向，就跟这个 y d 有对应的，是绕 z 方向，所以说呢，这个 m y 的话呢，是等于零的， 当然这个地方它一定得约定，为什么呀？这个里面的话， y 是不是一个对称的轴呀？ y 是对称的轴，这两个轴有一个对称的轴，那么这个关键机是不是一定得约定，所以说这个地方啊，它是一定是符合的啊， 这个是第二个经济学关系，下面呢我们来看第三个经济学关系啊，那么 十个瓦子的微面积对 z 求这个距，然后求和，那么这个呢，对应的应该是我们的这个级面上的弯距啊，弯距的这个转向，我们用右手法子拇指的指的方向是 z 方向，所以说这个级面上的弯距呢，可以写成 mz， 相当于是这些正应力的话呢，对 z 来求了一个例句，他们的和就是玩具好，那么这一求解时候呢，是这个码乘上 d a 得到微面积的这个例，再乘上这个 y 就是微面积。对 z 的例句，再求和对的一个玩具值， 我们同样是将刚才前面那个表达式给他带进来，然后呢把积分的长度提到外面去，这样的话呢，我们得到这个表达式，这个表达式大家看一下这个积分的 哎还是什么呢？外发增加 d a， d a 层，外发是面积。对这个轴的二次序集中完了以后，是不是就是这个关进去 这一项的话，是横截面对中线轴的惯进去啊？那么进一步的话呢，把这个积分式呢替换成 iz， 我们又得到这么一个结果，通过这个表达式我们可以求解中线轴的这个曲率啊，六分之一就等于 m 比上一 iz， eiz 呢称之为梁的弯曲钢度啊，我们在前面学过 ea 拉压钢度， gip 呢是扭转的高度，那么 eiz 呢就是弯曲的钢度。 左边这个时候是不是我们前面提到的那个中心楼的曲力半径，那么这样的话呢，我们通过近地铁关系呢就解决了，中心楼的位置在哪里， 中性层的这个曲率半径呢，我们也求出来了。好，那么通过这个我们接下来进一步来看一下啊，周分之一，我们刚才第三位已经求出来是 m 比上原例， 把它带到这个表达式当中呢，可以得出这么一个结果，那么这个呢，就是我们给出的弯曲正应力的这个公式啊， 这个公式当中第一项的话呢，是整个洁面对周星族的惯性去是一个洁面参数这个地方啊，那么 m 的话呢是呃这个点所在洁面的内粒子弯距， 那么第三个 y 呢，是所求点到中心的距离啊，我们对的这三个含义大家一定要清楚啊，这个是呃弯曲横径 面上正应力对应的三个量，大家先把它的概念搞清楚好，那么这个就是我们推导出来从弯曲时横径面上热一点的正应力， 那么这个表达是在实际用的时候呢，我们要注意啊啊，它是有这个实用条件的， 那么这个公式啊，适合什么条件呢？首先呢，它可以推广到任意形状的这个等截面这种指点啊， 那我们在推导的时候呢，用了这个巨型洁面 c 当中的话呢，这个洁面的形状呢，可以是其他的任意的形状啊，这种任意形状的等洁面质量都可以用这个公式来求横截面上这一点对应的这个阴历。另外呢，呃，咱们用的这个 弯曲的正应力啊，首先的话应该是平面弯曲啊，因为呢弯曲里面呢，还有其他的斜弯曲啊，所以说平面弯曲的这个对应的正应力公式呢，是这个啊，其他的弯曲斜弯曲的话就不能摸。 第三个，这个推导过程我们用了这个线弹性阶段那个胡歌定律就是那个物理关系，我用了这个这个表达式，那么他是要求材料处于一个线的一个范围，就是这个 c 的码是小于等于 c 个完毕，可以等于啊， 这个条件下呢，才能用这个公式。你说你设置这个 segment 以后呢？这个 segment 一定要小一点的 segment ip 这个公式才可以用，如果超过的话，这个公式就已经失效了啊。打最后一步的话，小便型，我们材料理学都是讲小便型的，这个是自然满足的啊。 好，那么这个是关于重关 h 的时候量神经病上正义的一个分析 box。 呃，那么关于正应力的这个拉压应力的判断，最大应力的计算呢？我们放到下节课呢，再给大家讲。这节课呢，我们就先讲到这啊，谢谢大家。

那么接下来看我们这一章中间的就说简历方程，简历和弯距方程以及简历图弯距图的一个做法， 那么这里面呢，如果我们将梁上的相应的内力写成与位，坐位不是坐标 x 的函数，比如说我们把 fs 写成 fs 括号 x 啊，或者是 m 等于 m 括号 x， 那么这样的话呢， 我们这两个函数的表达式就称之为两者简历方程和弯距方程。那么把它的这样一个 弯距图简历图用这样一个数学作图的方式表示出来，那么这就是他的简易图和弯距图啊，把它这两个关于坐标的函数式，也就是这个方程 和这个方程分别用像轴扭距图，轴距图一样，对吧？用作图的方式表出来，就是他的扭结立图，那么我们来看一个，那么他的绘制方法和前面是一样的，首先要把这个表达式写出来，然后再画图，我们来看一个立体， 比如说我们这里有这样一个雪碧蓝，对吧？我们现在要请你写他的简历方程和玩具方程，然后画他的简历图玩具图， 那么这样的话呢，我们在这里面任选一个洁面 x 啊，然后写它的简历方程，那么就是这个样子的，那么上面呢，我们写出一个 f s x， 然后呢一个弯距 m x， 那么根据这个图形呢？我们显然 啊，我们的 f x x 就等于什么等于 q x 啊，这是 q x， 那么 m x 就等于二分之 q x 的平方啊， 所以因为根据这个方程在画图的话呢，就是这个样子，这是他的简历方程，然后是他的弯距方程，因为他是一个抛物线嘛，所以取他两个字，三个字画一个字，这是他的， 那么这就是我们对于简历方程、弯距方程的一个做法以及套间。那么根据这个图我们可以看出来， 他的最大弯距和最大简历都出现在这个末端啊，也就是他最大弯距等于 ql， 最大简历等于八二分之 ql， 这也是可以解释类似于这样一个结构， 为什么他总是发生在这个地方发生破坏的原因，因为他这个地方什么呢？弯曲最大，简历也最大，受力最大的地方，肯定是最容易发生破坏， 这是我们你如果回想一下，在你的日常生活中，是不是经常看到这样类似的这个结构在这个位置发生破坏啊，你可以可以好好的回想一下，或者观察一下。 那么在我们实际过程中，有某一些机器，比如说压力机等等，它就是由几根杆组成的啊，那么这几根杆在角的连接处是这个夹角是不能改变的， 所以这种连接我们称之为钢结节，那么有这样一个钢结节的框架，我们就称之为钢钢架，而钢架 如果所有的杆和外力都在同一个平面内，那么这个杆架呢？我们就称之为平面杆架啊，比如说我们对平面杆架一般也有三个类例，轴力、减力、弯距啊，那么我们陪在 典型的就是我们这种在这个车间里面用的比较多的叫做这种小型的葫芦吊啊，那么这个夹角 就是一个干结，那么整个这个架就是一个干架，平面干架啊，那么对于平面干架呢？我们通过这样一个例题大家来了解一下，比如说我有这样一个平面干架，是吧？现在已知他的 ql， 让你画他的内力图，那么我们首先要求啊， 那对干架的实际上在算之前，把他的约束先求出来，怎么算呢？在这里面， 首先最容易求的应该是求 f c， 那么我们就对什么对 c 点 啊，对 a 点取句啊，对这一点取句的话，因为把这个 a 点约掉了，就等于这样一个式，然后呢， f x 等于零， f y 等于零啊，把它们 a y 和 f y 零算出来啊， 那么就是它三个例，然后写出各段的内例。方程啊，就是竖杆 a， b， a 点向上为 y 的话， 那么我们这里有有三个例啊，那么很显然我们的 f n 就是首先 i s 方向写到了 f s y 这样一个方程，得到它的一个表达式，然后呢 y 方向求出这个轴力的一个表示，然后再对这一点曲距求出他这个弯距的表示，这是对于竖杆，如果是对于这个横杆， 横杆的话，就是 c 点向左为 x 啊，那么这里面呢，就是得到这样一个方程，那同样的有三个例，那么这里面呢，我们就是 f n x 等于零，那么呢得到这样一个方， y 方向一个方程，然后以及 f x 轴上面这样一个方程啊，那么这里面呢，我们该根据刚刚我们算出来的这三个方程，对吧？竖杆和横杆的分别做它的轴力弯简历弯距图。那么在这轴力图啊，首先把圆 形的画出来，然后呢在 y 方向，也就是竖杆方向二分之 ql， 那么就是二分之 ql 啊，晚上没有简历的话， 在 y 方向它是这样一个依次函数啊，那么就这个样子，在 x 方向 他是一个负的二分之一 ql， 那么就是这个样子，那么弯距呢？在这边呢是一个抛物线，是吧？就画一个弧线， 在这里呢是一个斜直线啊，所以这就是我们对于平面干架只是求解，跟前面区别不大，是吧？基本上类似。

各位同学好，这一讲呢，我们继续学习唇弯曲时量横接面上的正用力，我们对这部分内容呢做一个补充与拓展。 上一讲呢，我们已经推导出唇弯曲时量横接面上的正应力公式，在这个基础上呢，我们来进行拉压应力的判断。 两在发生弯曲变形时，以中性层为界，突出的一侧呢，纵向伸长凹入的一侧呢，纵向缩短 对应的在横截面上以中心轴为界，突出边的音力呢为拉音力， 凹入边的盈利呢为压盈利。因此我们在应用公式计算出弯 取应力的大小后呢，还要根据量的变形的情况来判断增应力的蓝牙。 下面呢，我们来看根据量的变形来判断正用力的拉压图式呢，是一个减日量受到一个集中力作用。我们来判断一下量上这个节面上这个点的应力啊，是拉应力呢还是压应力。 首先呢，我们根据这个赫载的作用形式来判断一下这个梁的变形， 那么图式解字梁在集中力和载作用下呢，应该呢是一个下突的这么一个变形啊，下面突出，上面凹入啊这么一个变形。根据变形的话呢，我们可以进步判断 说对应这个洁面的阴历的一个分布情况啊，由于呢是一个下突变形，所以说呢，对应的洁面上呢下边呢是拉阴历，上面呢是压阴历。 那么结合我们所研究的这个点的位置，可以判断出这个点的话呢，应该是在拉引力的区域。所以说呢，进一步呢，可以判断出这个点的话呢，引力呢是一个拉引力 啊，所以说我们在计算完这个阴历的大小以后呢，要根据这个变形呢，进一步呢给出这个阴历呢，是拉阴历还是压阴历？ 有时候呢这个梁的变形的情况呢，不容易确定，比如说呢这么一个外升 啊，在这些核载作用下，我们现在来判断一下 a 截面位置对应的这个点的盈利是拉引力呢还是压引力。 这种情况下呢，首先要了解整个梁的一个变性情况，结果我们发现呢，这个梁的变性情况呢，我们不是呢很容易能够确定，那么这种情况下，我们如何来判断这个噪音里的蓝牙呢？ 那下面呢，我们针对这个情况呢，给出正用力拉压的一个具体的一个判变方法啊， 那么我们来回想一下，前面我们在学习呃弯曲内列的时候，弯距的这个正方是怎么定义的？弯距的话呢是微转弯曲下凸的 弯距为正，那这个是我们最早定义这个弯距正位号的这么一个呃方法，那么这个里面的话呢，我们可以翻过来使用， 如果说梁的弯距为正，我们就可以判断出他的变形呢是一个下图变形啊，针对上面这个内地的正方的定义呢，我们翻过来啊，进行了一个判断，根据弯距为正的 啊，我们判断出变形是一个下凸上凹的变形，这样的话呢对应的应力呢就应该是下拉，凸出来是拉，上压，凹进去是压。 那么接下来我们的方法呢，主要的核心的依据呢就是这部分内容，下面呢我们来看一下啊，这种情况下关 关于拉压引力的距离的一个派媒过程。那么首先呢，第一步的话呢，我们先给出 啊这个弯距的正负号，那么先画出这个弯距图来，根据这个弯距图来确定所求点对应这个前面的这个弯距的正负号，给出弯距的正负号以后呢，就可以进一步呢来讨论这个变形了，所以说第一步的话呢，是 啊，画出弯距图，给出所求点对应截面上的这个弯矩的正符号。 第二步呢，根据这个弯矩的胜负号呢，我们就可以判断这个点所在节面的阴历的一个分布的一个规律。那么由于呢我们按照这个图上来说，这个 a 节面对应的弯矩呢，是一个 负弯距，负弯距的话呢，就应该是上凸下凹啊这种变形，那么对应的阴历的话呢，应该就是凸出来，上面是拉的，下面是压 啊，所以说这个地方这个阴历的一个分布情况呢，我们是根据弯月的正符号，再根据对应的这个微段呢，是一个什么变形啊，只考虑最小块区域，那么这样呢，给出截面上的拉压阴历的一个区域。 那么接下来第三部分呢，观察我们所求点的位置啊，他是在哪一个阴历的区域，把这个点的位置呢找出来。最后一步呢，我们根据这个阴历的分布区，结合点的位置呢，就可以判断出这个点的阴历呢是拉阴历还是压阴历。 那么图上这一点的话呢，他应该是一个压音力好，那么这个呢，就是我们啊判断拉压音力的一个完整的一个过程 啊，如果说我们通过这个梁的受力情况，不能判断某一个位置他的变形是什么样子的，我们呢这个地方呢，可以采用这么一个方法来进行啊，好，那么这个是关于拉压阴历的一个判别的一个过程。 呃，下面呢我们来看，从弯曲时量横接面上的最大增音力，首先了解最大增音力在哪里， 最大阵力的话呢，按照前面我们学过的阴历的分布情况啊，他应该是发生在横截面上，离中线轴最远的那些位置，应该是就是在上下 边缘啊，关于最大声音里的计算呢，我们这呢分两种情况，一种情况呢是中性轴呢，为对称轴的这种结面，比如说呢，这种矩形结面，中性轴呢也是个对称轴， 这种情况我们根据阴历的分布规律啊，可以看出，那么最大拉阴力跟最大压阴力呢，是相等的啊，分别位于离中心轴最远的上下边缘这些位置， 那么这种情况下最大引力怎么求呢？我们有这么一个表达式，最大引力呢，这个地方呢，我们就不需要突突是拉或者压了，因为他们两个相等， 所以说呢，这个最大盈利呢，既包括最大蓝盈利，也包括最大压盈力。那么进一步的话呢，按照我们 前面的基本表达式啊，等于弯距乘上 y， 这个地方应该是取最大比上呢， i z 是惯性句，这个里面呢，将 i z 跟 y 这两个几何量呢放在一起进步呢，给出这么一个表达式来， 那么这个表达是上面什么样句，下面是什么呢？我们结合在扭转当中呢，学过的这个盈利公式啊，做一个类比，扭转的这个最大吸引力，上面是扭矩也是内力，下面这个呢叫抗扭，洁面系数是一个洁面的几个参数， 那么对应的这个 w z 啊，这是 w p， 这是 w z， w z 呢，我们对应的就叫抗弯洁面稀释啊，他单位的话呢是米的三次，所以说呢，这两个公式呢，有点 类似啊，上面是内力，下面是一个，呃，抗什么什么系数啊？抗弯抗扭，扭转就抗扭，弯曲就抗弯。那么这个呢，就是我们中心轴是对称轴的时候最大盈利的公式 啊，这部分内容呢，书上对这呢可能讲的不够详细，就重点呢是给了这个公式，因为这个公式用的比较多，大家就认为啊啊，所有的最大正义的呢，都是这么一个公式啊，这个的话我给特别要强调一点，是这种情况啊， 下面我们针对刚才的这个公式呢，呃，具体把这里面的那个 cony 里面系数呢给大家呢做一个介绍。看完里面系数啊，最原始的是惯性距呢，比上那个 y 的最大。那么具体 镜剪面的话呢，推导出来是这个实心圆，剪面的话是这个表达式，空心圆是这个表达式， 后面这三个表达式大家要记牢，我们后面再计算，这种中心轴是对称轴的最大正义的时候呢，要用到这些参数啊，大家呢把这三个公式呢做一个重点，记忆每一种。呃，洁面什么形状，他的这个表达是怎么来啊？注意呢，跟那个 w p 就是扭转的那个 ctrl e v 系数呢做区别啊，这个不一样啊， 好，下面呢，我们来看中性轴不是对称轴的节面，像这种 t 字型或倒替这种中性轴上下不对称的，那么这种情况下呢，对应的这个阴历分布呢，可以看出 最大拉引力跟最大压力是不相等的，所以说我们在计算的时候呢，要分别计算最大拉引力跟最大压力， 那么这个是我们所需要注意的，那么在计算的时候呢，用原始的公式来最大拉引力呢，你就带那个 最大拉音的对应的那个 y 值啊，那么最大压力的话呢，带最大压力的 y 值，就这个公式，还是用原则的公式啊，这个地方大家注意啊，不能用这个公式，就是我们刚才上面不是推了一个公式吗？ 这公式不可以使用的啊，这种情况下是不能用这个公式的啊，这是我给大家强调的一个地方啊，当然在实际当中不一定呢，是一定是下面搜拉，上面搜一下啊，有两种情况要具体问题具体分析，这个地方大家要注意一点，就说你在 求这个最大拉音力最大压力时候呢，要搞清楚他们在哪个位置啊，所以说我们在学习音力计算的时候呢，不仅仅呢要会算音力啊，还要呢知道他在哪个位置啊。好，这个是关于最大正音的计算呢，是分了两种情况啊， 那么关于从弯曲时量横音面的正义力的呃，补充内容呢，我就给大家说这么多，下面呢我们对这块呢做一个拓展， 我们学习完这部分内容以后呢，我们回过头来看一下，就是我们的这个先辈们啊，他们关于弯曲盈利的一个探讨的过程。 那最早呢，关于这个弯曲阴历呢，是伽利略呢，呃，提出来的，那么根据这个早期的一个 呃这么一个悬臂的一个木梁实验啊，那么判断出梁在受弯的时候呢，横筋面上的这个阴历呢，是一个均匀受拉的这么一个情况， 虽然我们今天课本上学习的呢，不是这个结论对吧，但是呢，呃是加利率呢，最早呢去讨论这个弯曲盈利，并且呢是通过实验来进行呃进行研究的啊，那么也开创了这种实验的这种分析方法的一种引入啊。 那么后来呢，法国的物理学家马里奥特啊，也翻译为马略特， 还有德国的数学家莱布尼兹，那么他们认为呢阴历的分布呢，是不均匀的，而是成一个三角形分布， 那么就是这个地方的话呢，已经有了这个中心轴的概念啊，但是呢，最后给出的结果是中心轴的位置呢，无关紧要 啊，所以说呢，你这个正确的结论呢，还有一步之差，但是呢已经有了突破，就是对这个阴历的分布情况呢，做了突破，并并且呢已经有了这个中学的概念。 那么后来胡克跟博努力呢，又建立了平面假设，那么一七一三年呢，巴朗呢，进一步提出了中心城的理论啊，认为呢阴历分布呢，是以中心城为界 啊，一侧受拉一次受压，但是呢这个呢仅仅是一个假设，就是一个理论 啊，但是呢还没有被人们所接受。那么后来呢，一七六七年呢，法国科学家如个命理呢，采用了实验的方法，证明了压抑力的存在啊，就是对上面这个理论呢，通过一个实验测定了压抑力的存在， 那么这个事情的话呢，意义比较重大啊啊，总结了人们一百多年来的摸索，指出了这个进步的一个方向啊，所以说呢，这个实验啊，是在我们研究分析的时候呢，至关重要的一个方法。 那么后续的话呢，在一八二一年，法国科学院士纳维呢，从理论上推导了采药力学受湾改建的一个应力的计算公式， 又经过了二十多年以后呢，法国科学院另外一位院士阿木列恩呢，完成了这个公司的使用方法，前后经历了二百多年 啊，所以说呢，大家想一下，就单单弯曲正用力呢这一小部分内容啊，就说从早期的伽利练到最后这个公司的最终的一个结论的一个过程，经历了这么多时间啊， 那么也就是我们在学习材料律系的时候呢，有时候呢，大家学习的呢就是嗯，遇到难一点的地方呢，就容易放弃 啊，所以说呢啊，我也建议大家呢，呃，在看我视频的时候啊，踏踏实实的呢，去把每一个章节每个地方呢认认真真的去看一遍，不要那种跳跃式的去快快 啊，或者是就是针对某一个地方来看啊，就是我们应该呢就是踏踏实实系统的去把这个东西给他理清楚啊，脚踏实地来做，这样才能收获的，对不对 啊？那么下面的话，我们对这个平面假设呢给大家呢做一个介绍，平面假设呢是一六九五年 雅克布博努力啊提出来的一个平面假设，这个我们在前面推到弯曲正义的时候呢，有一个平面假设，最早的话是由雅克布啊博努力也翻译成雅克布博努力啊， 那么并且呢证明了这个取利于玩具的关系成正比，这个取利于玩具的关系，我们前面在推导建立关系的时候呢，曾经呢推导出证 一个公式来，那么左侧就是曲率，右侧是弯距，下面的是那个抗弯钢度，这是一个常亮 啊，所以说呢，这个结论是成立的，只是呢，在当时呢，这个曲律的话呢，嗯，没有这么一个结果，因为在当时关于弹性磨量这一块呢，还没有个定量的分析 啊，所以说呢，这个理论的话，就是最早由亚克布博努力提出来啊，并且呢做了一个证明，但是呢，这是一个雏形。 那么关于弯曲的正盈率啊，我们这里面比较重要的概念的中性轴，中性轴本身呢，这个发展过程呢，历史呢也比较长，大家可以首先看一下这个时间啊，那么涉及到的人呢也比较多，最早的话呢，是荷兰的物理学家啊，比克门 真的先提出来，弯曲变形时候呢，一侧伸长，一侧缩短，那么一六七八年的时候呢，胡克呢，具体指出了这个两弯曲时候，凸面的话是伸长，凹面的缩短啊，那么在一六八零年的时候呢，马里奥特就是马略特呢， 那么他认为呢，中间的位置呢，并不重要，这个我们前面呢应该已经提到过一部分啊， 那么一六九零年的时候呢，莱布里斯认为啊，弯曲破坏之前呢，梁的纤维是生长的。 一七零四年的博努力呢，正式提出中学的位置呢，无关紧要。很显然这些理论呢，与我们现在教学上的结论呢，是不一致的啊，到一七一三年的时候呢，法国科学家帕伦呢， 这地方呢，做了一个分析啊，那么认为呢，洁面上的抗力呢，必须组成一个与喝载平衡的利器啊，从而呢朝这个中性轴的正确理论呢跨进了一步 啊，一七七三年呢，库伦呢，呃，认为梁的凸面受拉，凹面受压，并且给出了梁弯曲的正义力的一个正确结果。一八一九年呢，纳维认为 中心的位置呢，应该如此来确定，横筋面上拉力对中心轴的力距呢等于压力呢，对 中心的例句啊，这个这时候呢，就体现了中心的重要性。那么一八二六年呢，纳维给出了这个最终的结论，才 要服从胡科定律的时候就是弹性，胡科定律的时候呢，中性轴是过横一面线性。那么这些里面的话呢，有些呢是我们目前在前面的内容给大家讲过的啊，当然有些内容的话呢，应该是不太准确的，对吧？ 呃，所以说呢，关于啊，一个概念的提出，到他的发展，到最后给给出一个总结的这个结果也是经历了一个很漫长的时间 啊，所以说呢，就是说啊，很多事情呢，不是一蹴而就啊，不是一下就能解决的啊，这个呢，也从侧面呢告诉我们，就是我们在学习这门课啊，包括其他课的时候呢，呃，也是需要一步一步脚踏实地啊，这样来进行好。那么这个地方呢，就是我给大家呢 做这方面的一个介绍啊，就是希望大家呢对他的认识呢更多一点，更广一点，这样的话呢，有利于你对这个前面所学内容的一个理解啊？好，那么这节课呢？我们就说这么多啊，谢谢大家。

大家好，我是土木光头强，欢迎来到我的材料留学课，通过之前课程的讲解呢，已经为大家展示了如何用内力方程的方式绘制两样的简历图以及玩具图。 那虽然这种方式啊，比较好理解，但是呢，如果梁上的核载比较多，我们再用内力方程的方式啊，绘制简历图，玩具图的时候就需要分很多段，那具体的工作量呢，也是非常大的， 实际应用的时候呢，我们其实并不是用内里方程的方式来绘制简历图和玩具图，而是用核载、简历弯距他们三者之间的一个微积分关系来进行绘制。那在具体讲解这样一个绘制方式之前呢，我们先要简单了解一下核载、简历弯距他们之间的这样一个微积分关系。 那首先呢，我们选择这样一个简单的这样一个梁的形式，那在这样一个梁上，它作用 加一个集中立友这样的一个分布和载，注意啊，分布和载和我们前面讲的军部和载不一样啊，那分布和载呢，相当于说在这样的这样某一个段内，他和载是连续分布的，但是大小呢，并不是一样的， 均不合展的是大小一样的啊，我们为了更普遍选择的是一个分布合展寓意着在某一段内，他的合展并不是一样的啊，当然方向呢，也是我们任意选的哈，还有作用的集中力批， 那大家可以简单想一下，如果对用于这么多核载，这才上面有三个核载，如果你要进行这样一个内力方程绘制的时候，他需要分一段，两段，三段，四段、五段，那你想会相应来说呢，应该是绘制成一个五段的一个 加一个分段函数，那绘制起来这工作量会非常大哈，因此呢，我们其实实际上并不用那里方程来进行绘制， 但是内立方程绘制简历图、关系图的方式呢，也要求大家掌握啊，作为一个基本知识点需要大家掌握，那我们再看一下啊，他们三者和载简历弯距，他们之间的一个微积分关系，那么对应于这样的一个梁， 假设呢，我们在这样一个分布合窄这一段，哎，分布合窄一段，哎，把它呢取出一个小段，比如说在他这个位置砍一刀，在这个位置砍一刀，然后呢取出他中间的所分离出这一小段，哎，这一小段作为分离体呢来进行分析。 那么取出来之后呢，我把它放大，哎，放大到这样的一个位置，放大到这样一个位置，希望大家能对应好，那注意我要求的什么呢？取的这两个所相邻的这两个洁面，这两个洁面距离呀，是非常小的来，非常小的，假设这个距离的这样一个长度呢， 是 d x， 距离左端的这样一个位置呢，是 x 啊，是 x 这样一个位置，那首先这是表示一个小微圆，哎，小微圆，这是一个 d x， 哎， d x， 那虽然在这样的一个位置上，他是一个分布合载，当然了，如果你这两个界面他距离非常近的话，我们是不是可以近似看成这一段位置，他的分布合载是均匀分布的，哎，那么这个呢，就把这样一个 这个分布和窄，在这一段内用一个均不和窄 q x 代表小 q x 啊，那这个呢，是不是就是和窄呀？然后说对应的，我说取出来这个分离体这个红色的位置，这个红色的位置是不是相当于我我分别砍开的两个界面， 看这两个洁面，那这个是左侧洁面，这个是右侧洁面，那所对应的，在这两个洁面上所反映出来的或暴露出来的内力呢？简单给大家标注出来， 那么这个简历，比如说这个界面，他的外侧是不左边啊，对不对？先画一个与界面相平行的线，那相对于这个节目来说，是不向上指才是一个顺时针转动趋势， 对不对？哎，然后呢，这个洁面这个左侧，这个洁面对于这个分离体段是不是左侧，那么左侧的弯距应该是左顺右逆为正，所以说这个弯距呢，我假设成是顺身方向，那么对于这个分离体的右段，哎，好了，看这个洁面的时候， 还是先画一个与截面相平行线，眼线平行线，那么两个外侧画一点，那么在上边取一点，我们来看一下， 是不只有这个简历向下指的时候，才是绕着这个界面上的点，是顺时针转动趋势，哎，我们假设的这是正的简历方向，右侧界面的正的简历方向，而右侧界面弯距左顺右逆为正，那么在这个右侧面呢，我要先假设他的这样一个 弯距是逆时针方向的，没逆时针方向的，那这次呢，我对这样一个取出来的分离体给大家进行个数理分析，然后呢大家要注意一下这个符号的表示， 哎，符号的表示，那么假设左端的他的这样一个弯距呢？是 mx， 为什么有 x 呢？因为在前面已经输了，这样一个简历，和弯距他都是一个方程，对不对？随着你所选的截面位置不同，他的数值也不一样，他是一个关于 x 的函数。那么在这里边弯距呢，我就用 mx 来表示， 这个简历呢，就用秀 x 来表示，那以左端为基准，右端的简简历和弯距他是有一定变化的，那么我们用什么方式表示呢？我们用这样一个铮亮的形式来表示，就是相对于左端，他的弯距呢，增加了多少？那可能从符号大家不太好理解，比如说，哎， 我教大家一个身高，比如说我的身高，我的身高是一米八一，哎，一米八一，那如果说你问我身高多少哎，那我就不说我是一米八一，我说我是一百八加一，哎，那他说反应的意思是不是也是一，那个这个一米八一呀，但是呢，哎，那个一表示的就相对于这个应八，哎 多出来的那一份增量来源。当然了，如果说我一米七九，哎，我也可以用这种方式来表示，那就说我多高呢？我说一米八减一，那就减一， 所以说这个增量啊，他是可以正可以负的，对吧？我们只不过把它称之为变化量，叫做一个增量，那么这就是一个表示方式，就是相对于左侧的这样一个弯距，右侧的弯距，用一个增量的形式， 以左侧为基准，加上一个锃亮的形式来表示。同理，简历一样，以左侧的简历为基准，右侧的简历啊，用这 这种一个这个 q x 加上一个 q x 的一个增量的形式来表示。那注意呢，这个 d m x 和 d q x， 这是弯距的增量，这是简历的增量。好了，大家明确了这样一个受力分析图之后，接下来对这样一个受力分析体呢，对它进行 平衡方程的这样一个求解平方，求解数值方向的力的投影的代数和为零，我们来看一下这个上边数值方向力有谁？ 首先朝某一个方向上立投影的代数和为零的时候，大家要特别注意，我们是不管立有的对不对？所以说不管这个 m x 和右侧的这个 m x 加 b m x， 而只看什么呢？看左侧界面的简历是向上指的，向上指的，那应该是 这个 q x， 然后加上注意这地方是不是还有分布和窄呀？分布和窄是尾向上指的 来发向上指的，那什么叫这是均不合展啊？均不合展，那他说产生力的效果是不是这样一个均不合，在要乘以这一段的长度，这一段长度是 d x， 哎，那他说产生的向上的力的作用效果就是 q x 乘以这样一个 d x， 哎，这是向上的力， 那等于什么？等于向下的力，向下的力呢？就是右侧面的简历，那么他向下指的，我们就把这个直接写出来，那写出来左侧的向上的等于向下的好了，那这是列平方程，然后观察这个平方程，这个简历和这个简历是不是就掉了，对不对？哎，就掉了，那对应的这一项是什么？是 两个界面所对应的简历的增量，而这个是什么？是这样一个杆段的长度，我如果把这个 ds 除过来，哎，除过来，那这个 dqi 这个增增量，简历的增量 除以 e x 是是不是所代表的？就是这样一个简历方程的他的一个倒数的关系，这就是我们数学里边那个倒数的含义，对不对？哎，倒数的含义在这样一个范围之内，他的这样一个简历的变化量，哎，也除以这样长度，哎，就是简历的倒数。那么通过这样的一个推导，我们知道了，哎， 简历方程的一阶倒数是否和这样一个分布和载这个小 qx 是有关系的？那那么这就推出来了我们这样一个和载与简历他们之间的一个微积分关系，简历的一阶倒数等于什么？等于分布和载， 那这个方程用完之后，我们还有一个平方程是取句的，对不对？取句的我们不取水平方向的，没有，没有水平方向立马我们不取，我们取什么呢？哎，取这样一个对某一点取句，那对哪一点取句呢？还是对哪一点都取 行，但是呢，我选择了右侧洁面上的点，哎，比如说在右侧洁面，我选个小 c 点啊，假设我对这个小 c 点取句，那为什么选右侧洁面？当然你选左侧洁面也可以选右侧洁面，就是因为 你选右侧洁面的小 c 点的时候，右侧洁面的这个简历，哎，这个长的这个简历，他对这个 c 点是没有距的，因为这个简历实际上是在这个面内的，对不对？他是没有例句的，那因为他表示方式比较长，他要没有例句的话是不写的，比较好写，那我就 选择右侧节面这个小 c 点，哎，那就是曲距点啊，曲距点，那我们来看一下这个分离体上都谁对这个 c 点有距，我们先看顺时针的，哎，首先是不是有这个 mx 啊，对不对？ mx 他就是一个顺时针转动趋势，不管你对哪一点曲距啊，都是顺时针的，哎，这是 mx。 然后左 左侧前面这个简历对 c 点有没有例句？有，因为他向上指相当于到对应于 c 点来，是一个顺时针的转动趋势，并且呢， 他的利弊是 d x， 那这样一个左侧的这样一个简历对 c 点的这样一个例句，就是 q x 乘以 d x， 哎，为什么我没加符号，我只不过把顺时能放在一边，逆时能放在一边，哎，一样的啊，这个前面已经给大家强调过， 然后别着急，大家在列平衡方程的时候，游戏做力学问题一定要认真仔细，别漏力。那这两个用完了，哎呀，别忘了什么叫君不可载呀，对不对？君不可载他也是有力的效果的，前面说了，他是多大的力呢？是 q x q x 乘以 d x 这么大的 d， 它的合力的重点在哪啊？是不是在这个中间呢？还有画的有点歪啊，是不就是 小 q x 乘以 d x， 大力就在中间，那它对于 c 点来说，它的这个力 b 是不？这段长度是不二分之 d x， 哎，那相当于说 q 乘以 d x 这么大力，再乘以二分之 b x， 就是均不合在对这个小 c 点所产生的顺时针的这样一个例句。 顺身例句好了，右侧节面的。刚才说了，简历对这个右侧节面的简历对 c 点是没有例句的，但是这样一个右侧节面的弯距对他是对这个 c 点是有这个 这个转向的啊。转向效果，它是个逆时针的，我把它放在等号的右侧，放在等号的右侧，哎，那么这呢就是对 c 点列出合力距的这样一个平衡方程，那在这样的平衡方程里边，大家不难看出，这里边的这个 m 和这个 mx 是不约掉了，对不对？哎，约掉了。 但是呢，我们看这一项，根据下边这个结论，我发现这一项也没有了。为什么这一项没有了？那注意强调一下，我们刚才说选的这两个相邻近的，讲洁面，是不是这个 d x 要非常小啊？意味着它是不是趋近于零的， 对不对？还要区均一零的，那就意味着在我们数学里边，一个数区均零的话，我们是不把它叫做无穷小， 对不对？哎，就是无穷小的概念，有人说你看 d x 是一个无穷小的概念，那么 d x 再乘一个 d x， 两个无穷小相相乘叫什么？是不是叫做高阶无穷小啊？ 对不对？高阶无穷小，那什么叫做高阶无穷小？我们只是在数学里边碰到过这么个概念，那什么叫高阶无穷小？那就意味着本来就是一个趋近于零的数，你再给他平方一下，那就更趋近于零了，对不对？ 那我们在进行参与计算的时候，我们是不可以忽略掉整个这一个区域零这一项的影响，所以说由于他是高阶无影响的，进行计算的时候，我们就不考虑这一项的影响给他，直接认为他是没有了， 没有了，哎，是无有，无了，是吧？哎，无了。那这时候这个平方格里边这一项，这一项约掉了，这一项不考虑了。那么自从什么了，是不？就算 q x 乘以 d x 等于 m x， 同样把这个 d x 再除过来，是不就等于 d m x 除以 d x 等于什么？它俩等于的是 q x q x 什么是简历方程？ mx 什么是弯距方程？那有这样的一个式子说明什么？说明弯距方程的一阶倒数。弯距方程的一阶倒数，它等于什么？等于的是简历方， 弯距方程呢？一直倒数等于呢，就是简历方程，那因此呢，通过这样的一个简单的取出分离结，通过平方程的这样一个推导，我们得出了啊，核载简历弯距，他们三者之间的微积分关系是什么关系？ 简历的一跌倒数等于何等？弯距的一跌倒数等于简历，哎，那么这个呢，就是他们三者之间的一个危机分关系，哎，简单的把它总结在这里，就是弯距的二跌倒数，哎，等于分布合载，哎，那么弯距的一跌倒数等于这样一个 简历这个方程来简历方程，那这个呢，就是我们后续绘制这样一个复杂喝载状况下简历图和班级图的一个最根本的这样一个依据和原理。那这样的一个推导关系其实并不是特别难哈，更多的就是利用这样一个平衡方程来进行推导。 各位同学，课下的时候呢，希望大家花些时间把这样的一个过程呢进行一个完美和整理。 那通过这样一个微积分关系，哎，我们总结出来了这样一个绘制简历图和弯距图的这样一些方法，那这样的一个思维导图，哎，大家呢，现在可以先不用看哈，那对应的这样一个，大家如果在屏幕上看不太清楚的时候，可以在下边的这样一个 这个视频介绍里边进行相应的一个链接下载，来链接下载，我把这样一个图片呢，已经用链接下载形式放在了这个下边的这样一个课程介绍，哎，那部分大家可以自行下载，那具体的我们会通过后边的这样一个立体讲解，来帮大家一步一步看一下这些啊。一个 思维导图所对应的这样一个简历图，班级图，它的一个绘制规律。刚开始绘制的时候呢，大家肯定会觉得比较麻烦，而且不太好理解， 也记不住很多这么多的条，但是呢，这一部分大家只能通过一些题海战术，多做一些题来熟悉这样一个过程，你的这一部分如果熟悉好了，后面呢？哎，绘制会迎刃而解。再次强调，哎，这一部分绘制简历图和班级图的这样一个 这样一个题型，是在力学里边非常重要的，只要考材料力学的课程都会考到相应的内容，因此他必须掌握，哎，必须掌握，所以大家呢，先不用着急。哎，这个图呢，大家看不清，也不也不要紧，大家可以先下载去活跃起来，等到应用的时候，具体的慢慢用， 大家不用担心，只要你多做一些题，哎，肯花一些时间呢，肯定能掌握这部分内容。好了，本次课呢，就先为大家介绍到这里，更多精彩内容敬请关注土木光头强。

大梁受荷窄弯曲而变形，这会产生应力。应力的总效果可以用数值方向上的简历和弯举来表示。 简历是竖直方向切应力的合力简历与横截面平行。弯举是正应力引起的，称为弯曲应力，垂直于横截面。 很好地理解这些阴历是很重要的，因为梁的任何设计或分析都会涉及到他们的计算。 为了简单起见，我们将考虑唇弯曲的情况。 当一段梁简历为零时，这段梁处于唇弯曲状态，因此，沿着梁的长度方向 弯举是不变的。就像这个梁承受两个例举一样。我们还有一个纯弯曲的例子，在这个梁的中段弯举是恒定的。 让我们来看看当梁延齐长度有恒定的弯举时，他是如何弯曲的。 如果我们把梁想象成由一组非常小的纤维组成，当梁弯曲时，梁顶部的纤维变短，处于压缩状态。梁底部的纤维变长，处于拉伸状态。所以在横截面的顶部和底部之间的某个地方会有一层纤维长度不变。 this is called the natural service。 这层被称为中性面，它通过横截面的行星。 当在平面中观察中性层时，我们将其称为中性轴。我们来试着计算梁内产生的弯曲硬力，以抵抗外加的力举。 首先计算梁中的硬变。我们通过考虑变形的几何形状来解决这个问题。观察点 a 和 b 之间的中性轴上的纤维，以及点 c 和 d 之间距离。中性轴为外处的纤维是如何变形的。 由于这是纯弯曲的情况，纤维弯曲成一个完美的圆弧， 我们称圆心为欧。在变形之前，纤维长度相同，变形后 中性轴的长度保持不变，但点 c 和点 d 之间的纤维长度增加了。 如果西塔是弧的角度，而是弧到中性轴的半径，我们可以这样计算 a 和 b 之间的弧的长度。我们可以用同样的方法计算 c 和 d 之间的弧的长度。 应变定义为长度的变化除以原始长度。因此我们可以推导出距离中性轴为 y 处的弯曲应变。我们定义 y 轴的方向。 我们可以算出横截面底部的正应 为正直，是受拉状态。有时你会看到这个等式有一个符号，那是因为将外轴向上设为正方向导致的。 如果我们假设材料受力在现弹性范围内，我们可以应用单轴硬力的胡科定律来计算弯曲硬力。 这里是弯曲应力与曲率半径的函数的关系是，但是我们真正感兴趣的是弯矩 m 与弯曲应力的关系。 如果我们通过梁做一个横截面，弯曲应力就暴露出来了。这些内力的合力举必然等于弯举 am。 所以我们可以像这样通过积分来计算弯 g m。 现在将刚刚导出的弯曲应力方程带入积分式。当整理成这种形式时，可以发现右边的积分是洁面的禁举的定义。 另一个视频中详细介绍了这个参数，他定义了横截面因其形状而产生的弯曲抗力，并用字母 i 表示。 我们可以把这个弯曲表达式和弯曲应力表达式结合起来得到的弯曲应力计算公式。 那么它告诉我们什么呢？弯曲应力随着弯举和与中性轴距离的增加而线性增加随着转动惯量的增加而减小。 最大硬力出现在离中性轴最远的纤维处。轴管性局 i 与 y 坐标的最大值的比值仅取决于横截面的几何形状，因此它被称为抗弯截面模料，并用字母 s 表示。 副录里面有常见洁面的抗弯洁面膜料。 工字钢是一种常用的横截面，因为他惯性举比较大，所以弯曲正应力比较小。这是弯曲应力在工字钢横截面上的分布。 他们在中性轴处为零，在易原版的上下边缘达到最大值。对于 t 型洁面，中性轴向上移动， 弯曲应力分布是这样的，所以我们已经确定了如何计算弯曲应力。这是纯弯曲情况下的正应力。 大多数时候，我们遇到的不是纯弯举，因为梁的横截面上也会有简历，就像我们在视频开始时看到的梁一样。 事实证明，简历的存在通常不会显著影响弯曲应力。因此可以认为之前推倒的纯弯曲的弯曲公式仍然有效。 对于更一般的弯曲情况， 减利益是垂直平行于横截面的减切硬力的结果。 我们用希腊字母套 来表示切硬力。为了保持平衡，在梁的水平层有水平切硬力，水平切硬力与竖向切硬力具有互等关系。 观察这些水平应力的一种方法是考虑有几块木板组成的梁，几块木板组成的梁。 当施加在赫时，木板有相对滑动的趋势。 现在让我们把木板粘在一起。 当施加再壑时，木板不能滑动，因此他们之间会产生水平硬力。如果这些切硬力大于胶水粘结的剪切强度， 标水就会失效。如果我们施加力举而不是力，因为是一个纯弯曲的情况，这些水平切硬力就不存在，因此木板之间没有相对滑动的趋势。 这些水平减硬力的存在解释了为什么木梁有时会因纵向开裂而失笑。 这种故障通常发生在接近中性轴的地方，原因就能分析出来。那么我们如何计算切硬力呢？ 我们可以将作用在横截面。简历例除以横截面面积算出横截面上的平均切音力。 但是在横截面上切硬力并不是均匀分布的， 梁顶部和底部自由表面的切硬力肯定为零，所以平均减硬力不准确，它不能告诉我们最大切硬力。 我们可以用这个方程来计算作用在横截面上的切硬力。 这个方程的推导是基于作用在梁内一个威远上的应力平衡 该方程。假设横截面宽度 b 上的切硬力是横定的， 所以 top 是沿着量长度 x 和与中性轴的距离 y 的函数 le 是作用在横截面上的简历，它随颜良的位置而变化。 b 是横截面的 宽度，它有可能随着与中性轴的距离 y 而变化。但在这种情况下，横截面是矩形的， b 是长竖， a 是轴冠性局，它是基于横截面形状计算的恒定值，而 q 是横截面上。我们想要计算牵引力的点一侧面积的径距， 所以它随着计算位置与中性轴的距离 y 而变化。它等于要计算的点一侧的面积和该区域的行星与中性轴的距离的乘积。 如果要计算的位置低于中性轴，我们考虑横线下方的区域，而不是横线上方的区域。 为了计算这条距离中性周围外的线上区域的径距，我们将这条线上方蓝色矩形的面积乘以中性轴道行星的距离 做这个计算，得出一个 q 与距离外的函数关系式。 因此，我们可以得到一个公式，它描述了切硬力如何随着点与中性轴的距离而变化。外向是平方的，因此剪切硬力随横截面高度呈抛物线变化最大剪切硬力发生在中性轴， 这与弯曲应力相反，弯曲应力在中信轴处为零。这解释了为什么我们之前看到邓幕良的水平减 切破坏发生在接近中性轴的地方。通过在该方程中设置 y 为零，我们得到了矩形结面中最大切硬力的方程， 它等于整个横截面平均剪映力的一点五倍。 这个切应力方程的推导作出了一些假设，所以在使用中应该注意。首先，它假设横截面宽度上的切应力是恒定的。 对于矩形横截面，如果矩形很薄，这是一个合理的假设。但是对于像这样的横截面，牵引力在宽度上会有很大的变化。在这 这些情况下，这个公式只能给出横截面宽度上的平均切硬力， 他不能告诉我们最大的切硬力是多少。这个公式的另一个假设是切硬力沿着外轴方向， 实际的切硬力是沿着自由表面的切现方向作用的。对于圆形洁面，我们不能严格地使用这个方程来获得某高度上的剪切硬力分布，但我们仍然可以使用它来估计中性轴上的切硬力，因为那里的切硬力与麦轴对齐。 圆形洁面中性轴处的切硬力计算类似于矩形洁面的情况。我们用简历力除以面积 a 得到平均切硬力， 再乘以一个长数表示最大切硬力。对于圆形洁面，长数为三分之四。对于矩形洁面，长数为二分之三， 也可以使用洁面的切硬力公式计算。一原版就像这样的工字钢，但是情况有点复杂，因为红色显示的表面的竖向切硬力必须为零。 而且由于一元板非常宽，一元中的垂直切硬力非常小， 这意味着垂直减硬力是这样分布的。副版主要称在简历引起的切硬力。 议员主要承载弯举引起的弯曲正应力。你可以看到切应力在副板高度上 分布得相当均匀。这是因为当计算副版中的切硬力时，议员对面积 q 的进局有很大的贡献，但他们不承担太多的数项切硬力。 由于副版很薄，切硬力也均匀分布在其宽度上。正因为如此，我们可以像这样轻松地计算副版中的近似切硬力。 更详细地分析表明，议员中存在切硬力，但他们是水平方向作用 一元两侧的水平牵硬力相互抵消。因此简历仍然只是垂直力。 我们可以通过想象水流经横截面，根据垂直减硬力的方向来计算水 平牵引力的方向。 知识分享，感谢关注！

大家好，我是土木光头强，欢迎来到我的材料力学课，从本次课开始，将进入到弯曲变形的另一部分重点内容，也就是弯曲正能力。那在讲解弯曲正能力的公式之前呢，先为大家介绍两个基本概念，那纯文段与解文段的概念， 我们先看一下这样的一个减脂量，在对称为止呢，分别注重了两个集中力 p， 那么根据这样一个平衡方程，我们很容易得到这样一个 a 端和 b 端的支出反力呢，哎，也是 p， 那依据之前为大家讲解的，不管你是用内力方程，还是用这样一个和窄简历以及弯距的，他们之间的为一分关系的方式，我们很容易得到这样的一个梁在和窄作用下所对应的简历图和弯距图。 观察一下这样一个简历图和弯曲图，我们发现中间这一段啊，他的简历是零，而弯距呢，实际上一个定制。那因此呢，我们把中间这一段呢 定义为的是纯玩段，而左右这两段呢，他是既有简历又有弯距的，那我们把这样的段呢称之为简玩段。那接下来呀，我们所对应的弯曲正力推倒啊，是基于纯弯段情况下，他所对应的弯曲正力的公式推倒。 至于剪完段，他弯曲的正用力的公式呢，也可以用这样一个纯玩段所推导出来这个结果来进行计算。因为实际的这样一个用这样一个公式计算的结果呢，和实际的定义值呢，差别并不是很大， 只要这个梁啊是细长的，哎，这梁高啊，并不是特别大，跨度呢，不是特别小，不是那种深梁，那他的这样一个计算结果呢？哎，差别就不是很大，我们依旧啊可以用纯分段所推导出来的公式呢来进行计算， 那这个呢，大家可以这个先了解一下这个两技能概念以及呢，对应于纯万段和剪万段，他所计算的弯曲正能力公式呢，实际上是一样的。 那在进行正式的这样一个弯曲增生力公式推倒之前呢，我们先了解一下弯曲变形所对应的这样一个情况啊，先这样的情况， 先在这样一个梁上打上这样一个纵向线以及横向线，然后呢，在左右两端的这样一个弯曲中下这样的一个梁啊，会产生这样一个弯曲变形。哎，那左端的是顺时针的，右端是逆时针的啊，他所产生的结果呢，必然是量的下侧受拉，上侧受压。 一般情况下呀，我们把这样一个量啊，看成是一系列的这样一个纵向的材质纤维素的话，那对应的这样一个下侧的这样一个纤维素呢，肯定是一个处于受拉状态上边呢，肯定是一个受压状态， 那越往上，他的这样一个受压程度越严重。哎，我们一般受压用户号越往下呢，他的受压受拉程度越严重，我们用正号。那 根据材料类学的基本假设，由于材质啊，他是这样一个均匀连续的，因此呢，从正到负，他们是一个连续变化的，那中间肯定会产生某一个点，肯定会产生某个点，那就用这个点呢，他是既不受拉哎，也不受压的，也既不受拉也不受压的，那他所对应的变形呢，就是从原来的， 从原来的这样一个直线情况变成了这样一个曲线情况，那么我们把这样一个既不受拉也不受压变形呢？从直线变成曲线的这样的一个面，我们把它称之为中性层，这也是弯曲变形里边重要的一个概念。 那接下来我们再看一下，这是我们看他纵向线，那么再看他横向，那受力变形之前呢，这样一个横即面，他是一个平面，而变形之后呢，我们可以看一下这样的一个线呢，仍然是一个平面的形式，只不过呢发生 一个偏转，那这样的话呢，我们就假设这样一个不考虑他的这样一个洁面的形状的这样改变好，认为什么呢？认为受力变形之前，横洁面是一个平面，受力变形之后呢，他仍然保持一个平面状态的这样一个特性，我们把它称之为平级面，假设 他也是我们后期计算的这样的基础，虽然我们后期啊提的不是特别多，但是呢大家要理解和掌握。那在了解了中性成的这样的基本概念之后呢，我们对应的把他的透视图给他拿出来了，对应于这样的一个受力形式，他的下侧是受拉区，上侧是受压区， 那我们取一个横截面，那我会很容易发现，对应与红色的这样一个中性层与横截面的这样的胶线，哎，就是这样一个中性轴的位置，哎，就是这样中性轴的位置，那中性轴呢，就是横截面横截面与中性层的这样 一个胶线，由于中性层呢，他是既不受拉也不受压的，因此呢对应于中性轴位置呢，他就是没有正应力的，哎，那么首先呢，我们先通过这样的一个简单的受力变形图，先了解一下他弯曲变形所对应的一些特性， 接下来我们就看一下弯曲正力的公式推倒，那不知道大家还记不记得在前面的课程中呢，为大家讲解了扭转的切应力的公式推倒，我们基于的是一个几何关系，物理关系以及呢经历这关系，哎，得出了他的内力和应力的这样一个 公式啊，那里他们之间的关系公式啊，那弯曲正用力的时候呢，我们也一样基于的是几何关系，物理关系，以及后面的这样一个经理学关系，哎，进行一个相应的公式推倒，那根据前面这个平行面假设说这样一个量受弯的时候呢，他的横截面呢，都仍然是保持个平面，只不过发生和偏转。那当然了，你 在瘦斑情况之后呢，我们可以看一下这样的一个平面，是不旋转的角度，旋转的角度，那么两个平面延长线会有这样一个焦点， 会有这样一个脚垫。那我取之前呢，我说打的这样一个纵向线和横向线的这样一个小格，那么很明显，他初始变形之前呢，他是一个巨型情况，对不对？那这三条边， a， 小 aa， 小 oo， 小 bb， 他们都是一个长度，对不对？那变形之后呢，这个三条线的都变成了这样一个曲线，那为之不同的是， aa 这条曲线呢，其实他是缩短的，哪几条直线变形之后呢，他是缩短的，而 oo 这条线呢，由于它作用在是在这个中性层上， 中性呈上，那他说产生变形，他是既不伸长，也不说短，而只不过呢，由这个直线变成了他这个曲线情况。而相对于下边来的这个小臂小 小臂变形之后呢，也是变成一条曲线，但是它是伸长的，代表是这样一个上侧是受压的，下侧是受拉的啊。那我们考察一下 由于身长后缩短的变化所对应的应变呢？往往是这样一个线应变，那么考察一下在这样一个洁面上必点的线应变的情况， 那根据这样一个拉压的时候给大家讲出来应变的概念对不对？哎，应变的概念他等于什么呢？他等于感见的深长量处于圆场，对不对？那我们考察必点的这样一条纵向纤维线，看一下他的这样一个变形量 和这样一个圆长的笔直。那什么是变形呢？就是变形后的长度，简直变形是前面壁撇壁撇，变形厚的长度是不是就是这个？哎， bb 啊，这个变形厚的长度是不是壁撇壁撇啊？对不对？也就这个壶长，那根据这样个壶长公式来，壶长公式那所对应的两个 面变形之后所对应的这个点是不就是这样一个量弯曲时候的这样一个曲律中心？哎，那我假设这样一个曲律中心到这样一个中性层的中性层的这样一个距离呢？是肉， 而这样一个中性层到必点的这个距离呢，是歪的话，那很明显这样一个圆心角乘以半径是不是这个半径呢？是不是肉加上这个歪，那肉加上这个歪而对应的 这个 bb， 哎，这个 bb 根据初始的这样一个变形，这个 oo 是不是和 bb 还是和这个小 a 小 a 他们是相等的，对不对？而根据这样一个中性成了他的性质， 中性长长的这条线，他是既不伸长也不说短的，那他是不跟变形之后的这条弧线是等长的，对不对？变形之后的这条弧线是等长的，对不对？ 利用了他中性成的特性，既不伸长也不缩短，哎，也不缩短，也就意味着，哎。 bb 等于什么呢？等于变形后的这个胡长，哎，胡长，那对应这个胡长，哎，根据这样一个，还是根据胡长公式，这是 op， op 对不对？我们看一下哪个是 op， 是不是这点？ 这个位置是不是 ok， ok， 对不对？哎，那他所对应的所对应的这样一个长度，还是利用互传公司？是不是那个 stat 乘以肉，对不对？哎，我把它带上去，减去 stats f f 不是 stat 再乘以这个肉， 拜长引肉，那分母呢？也是这样一个拜乘以肉，那拜长引肉，然后呢？两边分子分母，这个一个拜和拜都约掉了，那拜和拜都约掉了，然后呢？展开括号，这个肉和这个肉一剪没了， 那分子呢？手就剩歪了，哎，分母呢？就剩这个肉了，哎。那由此呢，我们得出来这样一个受弯曲变形时候，某一点应变的和他的这样一个尺寸的一个几何关系啊？几何关系。 那第二个关系呢？就是物理关系。什么是物理关系？在财务学里边，物理关系揭示的呢，就是利于变形之间通过成一个弹性磨料所对应的这样一个弹性变形的这样一个关系。 那假设必点的这样一个正应力呢？是西瓜币，那他就等于弹性磨料乘以必点的应变，而根据几何关系呢，我们得到了必点的应变，把它带入里边，就得出来这样一个物理关系啊，其实就是简单的把这个公式带入到这个里边，哎，那个，这个就不细说了啊，对应的这是第二个物理关系， 第三个所对应的就是净理学关系，那我们来简单看一下这个图啊，这个图，那大家要能想象出他的这个空间 情况，你这么一觉的时候，这个前面是不是绕着这样一个中性轴发生偏转，对不对？而对应这个中性轴呢？是不是就是这样一个立体图的这样一个这种，哎，这种，那 我们说瘦弯的时候，在洁面所产生的这样的正应力啊，和这个面是垂直的，大家都能看出啊，这样的一个空间情况，这个甲是必点的，他的这样一个正应力呢？哎，是十个吗？他肯定是跟这样一个灰色的横切面是垂直的关系，大家都能反应出来啊。 假设必点的位置呢，分别到两个头的距离呢，分别是这样一个， y 和 jy 和 j， 那 那前后，哎，前后这个方向呢？就是 x 方向，那简直，哎，那我现在在这样一个 b 点取出一个小 v 面积，哎，假设这个小 v 面积的是 da 的话，哎，小 v 面积是 da 的话，那这样一个 b 点，他所产生的这样一个硬币 乘以这样一个小位面积，应力乘以这个小位面积，是不就是这个小面积上所产生的沿着前后 x 方向上所产生的这样一个 内力的情况，对不对？哎，内力情况，那在这样一个横截面上是不是有很多个硬力乘以小面积这样形式，把它都加起来就是面积积分，那他所得到的就是沿着杆件的轴线上，哎，也是长度方向的这样的一个轴力的这样一个效果， 而受关的时候，节目上是不是没有轴力啊？对不对？因此呢，这个轴力是零，这个轴力是零，那把之前所得出来的这样一个，哎，上一场 app 所得到的这样一个应力，和这样一个变形之间的他是这样一个对应关系。 我们代表的公式里边，代表公司里边把这样的一个长数，因为艺呢，是属于材料有关的，对不对？他是长数，而肉呢？在同一个弯曲 变形之下，这个肉呢？是不叫曲立半径啊，对不对？哎？曲立半径也是长竖，哎，也是长竖，把两个长竖提出来，那么 积分线里边是不是就剩歪了，对不对？就剩歪了，那我们看一下这样一个形式，歪是什么？是这样一个必点到这一轴的距离，那对应这样的一个积分的形式，是不是就是我们前面所讲的近距的关系式，对不对？哎？近距的关系是，哎，那它等于零， 然后呢？这个 my， 哎， mymy 是什么？是这样一个与，还是这样的一个小硬力乘以面积是不是一个力的效果？那他还乘以到歪轴的这样的距离？ j 是不是就是相当于是这个小面积上所产生这个内力绕着歪轴所转动的这样一个趋势？那歪轴转动趋势，那 还是这样一个，十一个吗？十一个吗？看你面积表示力，哎，这呢是到歪轴的距离，那一起 层呢？是不是相当于就是绕歪轴转的出现这个立锯的效果，都加起来就是产生的洁面上产生的绕着歪轴转的这样一个弯距的效果。而整个刚才说了整个这样一个受关变形，他的这样一个弯距只是绕着这轴转的，也就是这个应该是 mj， mj， 而 y 轴就是这样的一个轴，对不对？他是没有玩具的，对不对？所以说对应的他这块呢，也是零，也是零，同样把前面所推推倒出来的这样硬力公式带入里边的之后，哎，把常数提出来，我们看这是什么？这是不是就是洁面的镜具的形式， 那不如近距啊，这，这个怪性机的形式啊，这是，这是，这个是近距啊，这是近距， 哎，镜具这个呢叫做惯性肌， 惯性期啊，这是惯性期啊，对应的那他们有的也是零啊，那有的什么？哎，是我们试驾的这样一个受弯使下侧受拉，上侧受压所产生的那个弯距，是不是？是，其实际上是绕着这个这周转，对不对？哎，这周转， 那绕着这周转的一看，相当于说这个小面积上所对应的这样一个内力，哎，这样一个内力乘以面积变成内力吗？对不对？哎，哎，乘以他到这一轴的距离就是歪，哎，那就是产生的绕着歪轴的产生的就是绕着这一轴转的他的这样一个立句效果， 第一效果，那么把它都加起来，哎，整个级别上有很多个这种情况，都加起来就是绕着这一周转呢，他的这样一个弯距，那同样把这个应力之前求助应力带入里边，我们发现长处提出来，哎，是不是得出这样一项，哎，那这一项是不是就是冠星巨 的概念，而是绕的什么？绕的这种软的惯情绪，那不知道大家还记不记得之前呢？如果不记得的话，自己回头看一下前面几个镜子的那那一张内容，为什么我们没头没脑的拿出来一些，哎， 这样一个特殊的积分形式，就是因为我们在这样后期的应力求解的时候，会碰到这样的一些与洁面的形状和大小有关的这样一个积分项，哎，积分项，哎，都得出这样的关系，那 横基面产生这样一个下侧收拉，上侧收压这样一个弯曲关系，所对应的这个弯距是不是 m 啊？哎，然后待会里边就会得这样的关节公式，哎，这就是我们第三个哎竞立血的关节公式，那我们先分别看一下啊，先分别看一下，看下第一个四字啊，第一个四字 由于他轴向是没有轴力的，对不对？因为他等于零，那么对应于这个狮子里边这个弹性魔量是不能为零的，曲律办事 也不能为零了，是不就得出来了分子的这个什么什么京剧为零啊，对不对？哎，这个京剧，京剧等于零，而根据京剧等于零的性质，发现什么京剧等于零，那么意味着什么？这个 j 轴是不是不是要对 j 轴的京剧为零啊？ j 轴是不就是他的行星轴 形形轴，那得出这样的重要特性，你说我们弯曲变形的时候，弯曲变形的时候，洁面的它的中性轴，哎呦，你看这样的一个式子，这个 j 轴是不是他中性轴？而这样一个洁面对这样一个，这轴的镜距又为零，是不是就意味着中性轴 和这个行星轴是一样的？哎，那这个呢？是对应的，只是弯曲变形的时候，这个中心轴和这个行星轴是一样的。当然后来我们 讲大家有组合变形的时候，中性轴是随着外合在变化的，哈，那对于指示弯曲变形的时候，洁面的中性轴就是这样一个形形轴，那也就是为什么我们在这个洁面结合性质的那一张，特别要求大家会计算这个洁面的形形轴，特别是 复杂洁面，哎，可以分割的这样一个洁面，他的行性轴就是你行性轴找不到，你的中性轴也就找不到，对不对？也找不到，那这就是这个 中性轴，哎，中性轴他的具体的这样一个位置在哪啊？就找他的情形轴。那这是第一个来终点内容，然后接下来根据第三个式子啊，我们推到了这个式子啊，第二、第二次没有用啊，那第三个式子 我们是不是建立了这样一个弯距，哎，弯距和这样一个界面里边，他的这样一个情况，对不对？哎，那我们可以看一下弹性磨料哎，乘以他的这样一个冠 工具处于这个曲率半径，然后他当演员部，然后把他一笑而又舍不得出来的这样一个洁面弯距，哎，你说我们这样一个弯距，弯距越大，所对应的这样一个洁面的变形情况，哎，所对应的这样一个关系啊，对应这样关系， 那么肉呢？是弯曲变形的，大家可以对到前面的这张图，它叫曲律半径，那么到处说叫曲律啊，对不对？哎，曲律。那这样一个受弯的时候，他的曲率等于什么呢？等于前面的弯距除以一弹性磨料 再除，再这个除以对这个中性轴的关键句。哎，那这个呢，是得到了这样一个，又是一个公式啊，又是一个公式，大家简单先了解一下这个公式呢，如果说大家不是考研的话，或者不进入深入研究的时候，可能我们用的比较少， 得用的学校，各个学校呢，可能说期末考试的时候并不太考到这公式啊。那但是呢，大家需要知道有这样 一个关系啊，有啥关系？那结合之前所推导出来的这样一个几何关系，物理关系以及那竞力去关系，这是竞力去关系啊，竞去关系，那我把它进行连力，大家可以自己进行一个代换啊，就得到了这样一个洁面上某一点就是 以必点为基准呢，就是必点是吧？当然了，这个必点的这个界面上是不是任意答案啊，是对应的弯曲的正能力公示，这个呢，也就是说 我们弯曲正力公示的这样一路来大家客下的时候，一定要把这个这个带入里边，哎，你自己变换一下，那这样的话呢，你自己动手做一遍，你才知道这样里边公示他的这个含义理解的也更深入啊，更深入。那接下来我们就 就这样一个弯曲听力公式，我们来具体看一下啊，看一下他对应的什么意思啊？那有的时候呢，可能各个书所给出的这样一个图呢，往往是这样一个正式， 我啊，正式播，因为有一侧受拉，有一侧受压，那那受弯的时候呢，所对应的弯曲正力，我们把受拉区就是研究洁面对不对？那根据拉压的时候所对应的沿着洁面指向外侧的这个应力，是不是 相当于是正的，对不对？哎？指向内侧呢？是负的，那我们把这个正的用这样一个浅红色来表示，用负的用这样一个浅这个蓝色来表示，哎，那么这个是表示拉虚和压虚， 看看这公式， m 呢，就是这个洁面所对应的这样一个弯距值，哎，那么他怎么来呢？对应前边，你可以像这样一个洁面法，哎， 砍开，求占一个洁面的弯距也可以啊，对应的弯距图里边，看看你这个洁面所对应的弯距图的是什么位置，哎，然后来进行判断，这个 ij 呢，就是这个洁面的惯性句，对不对？哎，那这个呢，就需要大家回头找 一下这个洁面几个性质的一张，哎，他洁面的惯性据是多少？那重点呢？是这个歪，这个歪，这个歪呢？我们可以看一下，是不是你的这个研究点到什么到中性轴的这个距离， 对不对？研究点到中性轴的距离，那么正式图是吧？这是假设，这是研究点，他到中性轴，大家有距离，这个，这个不是中性轴啊，这个是中性轴，对应的这是一个横线片，哎，这个是中性轴，也是相当于说，比如说我现在取占一个某个点，这个 b 点，他到这个 这个必点当中中性轴的距离，哎，这个碗，哎，这个是碗，那我们可以看一下这样一个一个一个洁面确定之后，洁面确定之后，这个弯距和这样一个洁面的关键距是定制，那么横洁面受弯曲的这样一个正定力是不和你这个研究点有关的，对不对？研究点有关， 那这个歪是什么？是这样一个研究点到中性轴的距离，那什么地方最大？哎，什么地方最大？是不是最下边或者是最上边，对不对？那他们什么什么关系？哎，根据这样的一个歪曲正力，知道他是一个现行关系，哎，越往下越大，越往上越大，中间在这样一个中性轴位置呢，是最小的， 那这样的一个弯曲正力的关系的分布图，哎，分布图要求大家是重点掌握的，哎，往往呢，呃，出题的时候有可能，如果简单点，让你画的这样的分布图，画这个啊，可能不是画立体图哈，这立体图是便于大家理解的，那 要去大家画图，如果不要去大家画图，这样的一个关系要求大家在脑袋里边会形成他的一个基本概念。 那以上呢，就是这样一个弯曲正位这样一个推倒，那大家呢，重点呢，是了解这样一个 最终的这样一个结果，也是弯曲正力结果，特别是这样一个后边的这样一个弯曲的正力的这样一个分布图。那本次课呢，先为大家介绍这里后续的课程呢，我们将就弯曲正能力的这样一个计算给大家进行讲解，更多精彩内容敬请关注土木光头强。