双垂直模型证明过程
双垂直模型在全等三角形当中属于热门考点的模型之一，但是呢，正确率依旧是不足百分之五。很多伙伴们在处理双垂直模型的时候，第一是他是不清楚双垂直模型的核心要领到底是能够得到哪些东西，第二个，给定一定的相等边，却往往找不到与边有关系的三角形的全等内容， 所以呢，导致大家在处理双垂直模型的时候问题还是很大的。那么接下来呢，姚老师就带着大家以这道题为例，我们一起来看一下双垂直模型在实际问题当中的应用。 首先双垂直模型大家一定要注意好，它的特征就是有两个直角嘛，顾名思义，两个直角，就像我图当中哎，一个是 p c 垂直于 d q， 然后呢还得到了还有一个叫 d q 垂直于 pb。 好 了，这样在一个双垂直模型之下，我们首先大家要注意好，有一些角度的相的关系一定要导出来，比如说我们的角 p 角 p 等于谁呢？等于角 q， 为什么呢？因为它和 abc， 哎，不和，这个 pbc 和都是九十度， ok 吧，好了，这是我们同角的余角相等。然后紧接着呢，还有我们另外的角，比如说 d a， b p， a d 以及 q， a c 还有谁呢？还有我们这的这个 t， d c， 对 了，这三个角都是相等的， ok， 好 了，所以大家可以看到里面有很多角都相等，只要你能给定一组边，那么它就有全等的关系在，别说我们当中的 a c 等于 b c， ac 等于 bc， 大家看一下 a c bc， 那 么所在的含有一堆相等角的三角形分别是谁呢？对了，一个是 a c q， 还有一个是 pcb 这样的三角形，典型的全等就来了。 ok， 好 了，所以我们首先大家可以得到第一个就是三角形 pbc 全等于三角形 q a c。 好 了，它俩全等完之后呢，我们还能得一些相等关系，比如说我们后面有一个条件涉及到了 a q 了，那 a q 是 和谁相等的？ p b， p b 和 a q 的 长度是相等关系的。好了，我们就把 p b 和 a q 转移到这块，然后再再看后面是不是 a q 等于两倍的 b d 呢？对了，就是 p b 等于两倍的 b d。 那么大家结合图，最后会发现，其实就是要告诉我们地点是什么点呢？终点，对了，地点是终点来，那么这两段相等。 好了，咱们来看一下，地点呢，不仅仅是终点，而且呢，这还是个垂足点，我们必然考虑到等腰三角形的三线合一，对了，其中两条线合到为一，说明这个图形肯定是一个等腰三角形呗，对吧？那等腰三角形能得到谁和谁相等呢？ 对了，得到了 ap 等于 ab。 对 了，我们直接的三线合一的一个性质，咱们反退。但是大家注意啊，三线合一它仅仅是在小题当中等用，如果在解答题当中，你要想说由它去证明它是等腰，那么必须得回归到最原始的，证明两边相等，两角相等才可以。好吧， 好了，得到它之后呢，我们接下来看角度要求谁求 dba， 求 dba 的 角度，其实就是求角 p 了嘛。 好了，我们看一下你们里面有没有一些角度能知道呢？对，这个里面我们还是要把这个 a c 和 b c 用起来，因为这边呢有一个直角，它是一个等腰直角三角形，所以有一个度数是四十五度角。 好了，四十五度角有了，大家看看我们要求的三角形当中的角，角 p 和角 p， d， a 的 dba 正好都在这个等腰三角形内部。切好呢，这是个外角四十五度，四十五度刚好就等于角屁，加上我们要求的角，而这两个角的关系又是相等的，所以最后我们可以得到它的度数等于二十二点五度就搞定了。 好了，所以这道题当中渗透的知识点呢，有双垂直问题的一个处理方式，还有我们三线合一逆推出来了，它是一个等腰三角形，顶角外角求它的底角的度数， 所以这道题呢，出力起来还是相当不容易的。好了，你学会了吗？关注于老师学习数学不迷路，满分不是梦！
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02:09一眼看穿！3分钟吃透三角形的双垂直模型，直接封神！ @DOU+小助手 @DOU+上热门 #初中数学 #几何 #模型 #三角形 #垂直 【学霸模型-14】三角形的双垂直模型，吃透底层逻辑，强化几何思维！查看AI文稿AI文稿啊，图形中有直角，三角形又有垂直或者有高，那么这个时候图形到底该怎么办呢？那么我们今天三分钟来搞定三角形的双垂直倒角模型， 也就是学霸模型系列的第十四个系列，同样，那我们来还是吃透底层的逻辑，进一步强化几何思维。 那么这个模型来说的话呢，相对来说是比较简单的，但是它是非常非常重要的，用的频率也是比较高的，可以说是一个高频的考点，那么我们来看一看它得到的一个结论是什么 结论呢？就是角 b 等于角 c a d， 角 c 等于角 b a d， 那 么看条件是什么呢？是直角三角形 b a c， 角 b a c 呢是九十度， a、 d 是 b c 边上的高，那么注意这个结论呢，都是什么关系呢？两个要素里边，角的这个要素之间的一个关系，那么角 b 等于角 c 等于角 b a、 d， 那 么这个在证明的时候呢，如果这个是角一，这个是角二，那么角一加角二就应该等于九十度 好，然后在直角三角形 a、 b、 d 中，角一加上角 b 也等于九十度，那么这个主要就是利用 直角三角形两个锐角互余，所以呢，就可以知道角二和角 b 这两个角相等，同样的道理，角 c 和角 e 也就是相等的，因此就可以轻松的得到这样一个结论， 因此来说呢，对于这个模型虽然简单，刚才也强调过它的重要性，也是高频的一个考点。那么在这里利用到的底层的逻辑呢，就是三角形的内角和及其推论，实际上就是放在直角三角形中的话， 就是两个锐角互余，那么这个呢？一定大家要去记住，好，这就是今天我们要讲的三角形里边的双垂直倒角模型。好，谢谢大家。
06:03查看AI文稿AI文稿接着上一条视频，我们继续来看精英中考出版的模拟卷第二套里面的二十三题，这道题他考到了双垂直模型，或者叫做手拉手旋转模型，我们一起来读题。正方形 a、 b、 c、 d 中 e 点是 c、 d 边上的一个动点，不与 c 和 d 重合。过点 c 做 a， e 的 垂线 交， a、 e 的 延长线与 f 点交 a、 d 的 延长线与 g 点。让我们猜想 d、 e 和 d、 g 的 数量关系。 这个的话，一画出来的话，其实就是双垂直，或者叫做手拉手全等。因为我们可以理解成图中三角形 a、 d、 e， 它转到了三角形 c、 d、 g 这样一个位置，或者说就是双垂直。全等就可以证得图中两个红色的三角形，它俩应该是全等的， 它俩全等的原因是这里面有个八字型的倒角角一和角二，它俩是相等的，都有个九十度，还有一条边是正方形的边，所以它是 a、 s、 a 型的一个全等。全等之后，我们就可以证得 d、 e 和 d、 g 是 相等的。 任务把正方形改成长方形之后，接下来做法基本是一致的，都是过 c 点做 a、 e 的 延长线交于 g 点。只不过第二个加了个条件是 把 f、 d 给连起来并延长，然后过 a 点向这个延长线做了一条垂线。垂足呢是 h 点， 此时这个长方形，此时这个长方形，它的宽用小 m 来表示，常用小 n 来表示。让我们求的是 ah 和 h f 之间的比值，因为 ah 和 h f 啊，它类似于同一个直角三角形，所以我们的目标其实就是搞清楚这个 r 法即可。再结合我们前面，如果你能理解 它其实就是个手拉手型的一个相似，或者叫旋转型的一个相似模型，那其实有这么一个接龙，叫做第三条边的交点，就是 c、 d 和 a、 e， 它俩的这个交点是 f 点， 在手拉手全等里面叫第三条边的交点，与旋转中心连起来之后，一定会出现个角分线，它的证明的方法就是因为全等有垂线段是相等的，但是在手拉手相似模型里面，或者叫旋转型相似里面， 第三里面的这个焦点和旋转中心连完之后，他的那两条垂线段应该是对应成比例的，所以我们的做法就是过 d 点向 a、 e 做一条垂线段， 再过 d 点向 c、 g 做一条垂线段。假设垂足分别是这个 m 点和这个 n 点，我们就知道这个 dm 和 d、 n 的 比值其实就是三角形 a、 d、 e 和三角形的的高线之比， 它的比其实就等于 nbm。 而题干中我们知道所谓的 a h 比上一个 h f， 它其实就是这个阿尔法的一个正切， 而阿尔法的正切它又可以表达为就是 dm 比上一个 f m， 而 fm 就 等于 d、 n。 所以第二嘛，如果你知道手拉手全等模型，手拉手相似模型的里面的这个结论，其实思路非常简单，就如果地点向 a、 e 以及 c、 d 做两条垂线段即可，会吗？在二的基础上， a、 d 的 长是等于二， c、 d 的 长是等于四，一点是在射线 c、 d 上， 那说明一点，可以在线段 cd 上，也可以在线段 cd 的 延长线上，并且给我们给了个特殊条件， d 的 长是等于二，又说 d 是 等于二的。所以这道题的分类的依据啊，非常的确定，肯定是两种情况，一会一直在线段 cd 上，一会是在 cd 的 延长线上。 所以接下来我们一种一种来画图，比方说第一种情况，在 c、 d 这条边上，好图我们已经画出来了，这个图画起来啊，没有任何的技术含量。一点，如果在 c、 d 的 边上，并且 d 的 长是等于二，这就是个最特殊的条件， 它等于二，意味着什么呢？意味着 d 和 a、 d， 它俩是相等的，也就是三角形 a、 d、 e 现在是个等腰直角三角形，所以这个角是四十五度，然后我会发现这里面的直角三角形很多是等腰直角三角形，比如说顶点 c 处的这个角，它应该也是四十五度， 所以这个 d、 g 的 长应该是等于四的，它等于 dc， 等于四， ad 的 长是等于二，所以三角形 a、 g、 f 又是一个等腰直角三角形，它的直角边 a、 f， 我 们可以算出来应该等于六，比上一个根号等于三倍根号。 再结合前面你一遍遍的给我们去说的，让我们证明的是这个 a、 h 和 h、 f 之间的比值，就是这个长方形的宽比上长， 所以 a、 h 是 一份， h、 f 啊，是两份，也就是三角形 a、 h、 f 是 个一比二比根号五的直角三角形，现在斜边三倍根号二对应的是根号五份，所以除以根号五之后，就是 a、 h 的 长， 所以我们解出来 a、 h 的 长应该等于五分之三倍的根号十。好，第二种情况，如果一点落到 c、 d 的 延长线上，道理一样，我们来一起画一个图， 我们这个图画完之后，做法和前面完全一样， d 的 长是等于 d， a 是 等于二的，所以这里面又有四十五度，它是四十五度，这个角也是四十五度，以及对顶过来还是个四十五度，顶点这处依然是四十五度。 所以三角形 g、 d、 c 也是个等腰直角三角形，现在一条直角边是 c， d 是 四，所以我们得出来 a、 g 这一个长应该是等于二等，所以我们可以读出来 af 的 长。第二种情况里面， af 的 长应该是等于根号二。 三角形 a、 f、 h 依然是一个一比二比根号五的直角三角形斜边现在是根号二，所以 a、 h 的 长就等于根号二，除以个根号五，结果等于五分之根号十。这道题题目虽然没有直接说是个 旋转呢？还是折叠还是平音，但是其实啊，他的理解其实就是手拉手相似模型，就是旋转过去的一个变换。搞清楚这一点之后，整体来说难度也相对来说比较一般。关注数学张老师，这个春季我们一起攻克山西中考压轴题！
91太原初数张老师
01:04查看AI文稿AI文稿双垂直倒角模型一般用在哪些题目里？主要用于直角三角形做斜边上高的证明题，做题时能起到什么作用？可以快速推出角相等， 为证明全等三角形提供条件。这个模型后面还会用到吗？当然也是后期学习相似三角形的重要基础。我们先看题目条件图中有哪些已知条件？ 三角形 a、 b、 c 中角 x、 b 是 直角线段 c、 d 垂直于 a、 b 首先能得到什么？角度关系？因为角 x、 b 等于九十度，所以角一加角二等于九十度。根据 c、 d 垂直 a、 b 又能得出什么？ c、 d 垂直 a、 b， 所以 角 b 加角二也等于九十度。两组角度和都为九十度，能证明什么？角一和角 b 都是角二的余角。 根据同角的与角相等，角一等于角 b， 还有其他相等的角吗？有的同理可以推出角二等于角 a。 掌握这个模型有什么好处？遇到同类题型，直接套用结论，简化解析步骤。
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13:57查看AI文稿AI文稿立体几何学不好，就是你垂直没有学明白，因为所有的立体几何的问题本质上都是 垂直的问题，所以一旦遇到正垂直，你看咱很多同学脑子就燃成一锅粥了。那么今天这节课，胡老师就给大家讲透所有的垂直模型，听完这节课，你去做任何一道关于垂直的高考真题，是既快又爽，期不期待？期待 所有的垂直问题一共分为几大方向，我们来先来看一下，第一个叫什么？让你证明的什么垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢？线面垂直很好， 让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊。还有一个面面叫做面面垂直， 我们先来说线线垂直，只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？ 常见的第一个叫做三垂线，也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个长方形，对，叫巨型模型。还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型，五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定律，大家对对于这个定律熟悉吗？熟悉，第一个叫做三垂线定律，这个定律主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它，嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 i o 垂直于 m， 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定的是什么？画个图，首先，比如说这是阿尔法面， 然后呢，而法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l， 然后呢，而法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有。 所以三垂线定里说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是它在面上的投影。对，摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于他的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。 需要胡老师做简单证明吗？需要，需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明， 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大题里面的过程，你大题要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么？这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路 来。 m 垂直于 l， 一 撇垂直于它。为什么能够证明垂直于 l 呢？ 线和面垂直，线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了？因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 i o i o 是 你中的线吗？我写的是思路，对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？ 因为 pm 垂直面。对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于他，因为 m 小， m 是 你中的线，所以他垂直，对不对？对，因为因为他，所以他又因为你俩退出，他 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言，又因为 i o 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有。好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜 b 垂射，比如说 m 垂直于 l， 是 不是又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面 pm 思路是一样的吗？对，嗯，又因为 线在面内的线吗？所以 m 垂直于 l， 一 撇， 两个理由是一样的，会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考，大家题目的很重要，来一起看题目，我擦下黑板。好吧，好， 来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题说，下列正方体当中 o 全都是正方形的中心，没问题吧？没有屁为所在棱的中点，这屁都是什么点？ 它的棱上的中点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到的 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p 就是 两个蓝线垂直的，是问哪一个满足？是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个 l 是 不是翘起来的线啊？对不对？我们垂舌垂射必垂，斜必垂射，说的是给翘起来的这根线说找他对应的 摄影，摄影谁翘起来找谁的摄影是不是？是啊，所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？相当于在正方体的那个外面的表面上？我肯定不管 m n 吗？ ok， 相当于就是翘起来的线吗？ ok， 是 不是找他对应的摄影是不是就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给谁找摄影？找看 你是不是要证明的是这两个异面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面，对不对？对，上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来。对，是不是往下面打比较容易啊？垂射必垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？平行的对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移来，我们把 m n 往这一移。我都不用找投影的，你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系嘛。所以我也能把 a 排除掉是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 i o 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个叫这充当了这根红线来。哪一根线 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了。 m n 明明在面内啊。哦， m n 是 不是在面内啊？是，对啊，这个 o p 是 不是穿这个？是不是跟侧面？是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么摄影打垂线对不对？对，来过藕点给他打投影，打到了。怎么打过藕点是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影。是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直的 m n 跟他是垂直的。 你不是中位线吗？中位。你俩是不是平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直？ m n 垂射， b 垂斜，这就是斜线， 图像相对翻了一下，能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意面吗？一个是 i o， 一个是 i o， 哪个相当于我这里翘起来的 i o 来哪一个？ o p o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的，在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不是相当于这个吗？ 是不跟这个平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点？相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧。给面打垂线是不跟刚才一样的？噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是？是垂直吗？嗯，这个也垂直，为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的？是的，你是不是对角线选的一半吗？看到没有，对中位线吗？所以他是垂直关系， 没问题吧？没有没有问题，来下一个，哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为 m n 在 背面的面上来，对，也可以认为在前面的面上是不都可以？是的， m n 也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线，那么你跟我面的焦点是 p， 是 不是就这个点 p， 对， 对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？ 把这个关系要捋清楚啊。过这个点往面上打垂线，过藕点，往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点，给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的啊，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞。相当于这个 p 点，相当于这里哪个点？ o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉 叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线，你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六，那么剩余的其他的模型对应的题型你要练习的非常透彻， 所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。那 今天因为时间原因，我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来。我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。
635老胡模型数学思维提升
13:36查看AI文稿AI文稿斜修立体几何到底有多强？他能让立体几何的大题瞬间变成小学计算口算题啊？ 那很多同学听完胡老师讲立体几何的垂直，都说以前所有的垂直问题都白学了，那么今天胡老师给大家讲透垂直问题，听完之后我们再也不丢分好不好？好，期不期待，期待好。所有的垂直问题一共分为几大方向？我们来先来看一下，第一个叫什么？ 让你证明的什么垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢，线面垂直很好，让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊。还有一个面面叫做面面垂直，咱一个一个来说，我们先来说线线垂直， 只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？常见的第一个叫做三垂线， 也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个，这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个长方形，对，叫巨型模型。还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型，五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定力，大家注意对于这个定力熟悉吗？熟悉，这个叫做三垂线定力，这个定力主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它。嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 i o 垂直于 m， 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定律是什么？画个图。首先比如说这是阿尔法面， 然后呢？阿尔法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l。 然后呢，阿尔法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有， 所以三垂线定。你说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是他在面上的投影。对，摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于他的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明。 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大体里面的过程，你大体要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么？这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路来。 m 垂直于 l 一 撇，垂直于它。为什么能够证明垂直于 l 呢？线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了，因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面。 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 l， l l 是 你中的线吗？我写的是思路， 对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？因为 pm 垂直面对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于他，因为 m 小， m 是 你中的线，所以他垂直，对不对？对，因为因为他，所以他又因为你俩退出，他 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言。又因为 l 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有。好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜臂垂设？比如说 m 垂直于 l， 是 不是又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面。 p n m 思路是一样的吗？对，嗯，又因为线在面内，哎， l 一 撇是你面内的线吗？所以 m 垂直于 l 一 撇， 这两个理由是一样的。会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考大家题目的来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题 说下列正方体当中 o 全都是正方形的中点，这 p 都是什么点？ 他的楼上的终点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p， 这是两个蓝线垂直的事，问哪一个满足？是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个，哎呦，是不是翘起来的线啊？对不对？我们垂蛇垂射必垂斜，垂斜必垂射，说的是给翘起来的这根线，说找他对应的 投影摄影，摄影，谁翘起来找谁的摄影，是不是？是。所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？对，相当于在正方体的那个外面的表面上，我肯定不管 m n 嘛， o p 相当于就是翘起来的线嘛，是不是找他对应的摄影是不就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给给谁找摄影？找看。 你是不是要证明的是这两个意面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面，对不对？上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来，对，是不是往下面打比较容易啊？垂射臂垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移，来，我们把 m n 往这一移，我都不用找投影的。你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系吗？所以我也能把 a 排除掉，是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 i o 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个叫？这像充当了这根红线来。哪一根线？ 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了， m n 明明在面内啊。哦， m a 是 不是在面内啊？是啊，对啊，这个 o p 是 不是穿这个？是不是跟侧面？是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么？摄影打垂线对不对？对，来过 o 点给他打投影，打到了，怎么打过 o 点，是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足。一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影，是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直，这是终点吧？对，对吧，这是终点吗？ m n 跟谁是垂直的？ m n 跟他是垂直的， 你不是中位线吗？对，你俩是不平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直。 m n 垂射必垂斜，这就是斜线 图像相对翻了一下能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意面吗？一个是 l， 一个是 m， 哪个相当于我这里翘起来的 l 来哪一个？ o p？ o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的。在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近？往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不是相当于这个吗？ 是不跟这个是平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧，给面打垂线是不跟刚才一样的。噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是？是垂直吗？嗯，这个也垂直。为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧，也是终点。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来，告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的？是的，你是不是对角线相当于一半吗？看到没有，对中位线吗？所以他是垂直关系 没问题吧？没有，没有问题，来下一个。哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为艾蒙在背面的面上来？对，也可以认为在前面的面上是不都可以？是的，艾蒙也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线。那么你跟我面的焦点是 p， 是 不是就这个点 p， 对， 对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？把这个关系要捋清楚啊。 过这个点往面上打垂线，过藕点往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞，相当于这个 p 点相当于这里哪个点？ o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉 叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六。那么剩余的其他的模型对你的题型你要练习的非常透彻，所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。 那么今天因为时间原因，我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来，我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。
332老胡数学思维提升
02:29查看AI文稿AI文稿同学们好，我是小树老师。今天我们学习双垂直模型，这个模型是由三角形中的两条高所形成的，如左边图中的 b、 e 和 c、 d 分 别垂直 c、 h 和 b、 h， 所以 叫双垂直模型。对应的结论是，角 b、 a、 c 加角 h 等于一百八十度。 这个结论如何进行证明呢？可以先设图中的角 h 为 x， 则直角三角形 b、 e、 h 中会存在着一个与它互余的角度。 假设是角一，所以会有角一加 x 等于九十度。同样的，与角一相关的三角形，比如说直角三角形 a、 b、 d 中 存在着角二与角一是互余的，所以由这两个式子可以推出角二也是等于 x 的， 则右边的三角形 a、 e、 c 中也会存在着一个与 x 相等的角度。 那原来 d、 a、 c 三点是在一条直线上的呀，所以会由角二加角 b、 a、 c 等于一百八十度。角二是等于 x 的， 所以会由 角 h 加角 b、 a、 c 等于一百八十度这样的结论。而途中除了我们需要证明的这样的一个结论以外，还有我们把它都换成 x， 这个角度是 x 下方的 a、 c、 e 的 角度，其实和这个角一是一样的，也会存在这样的等量关系。接下来我们做一下这个结论的应用。 角 a 是 五十度，其实看起来不太像，它像是一个钝角，所以求解 d、 h、 e 度数的时候，可以直接利用它们两个是互补的，得到 d、 h、 e 其实应该是一个一百 三十度，因为它们两个相加是等于一百八十度的，就能够得到最后的结果。那这样的一个双垂直模型，大家可以把几个角度之间的关系好好地再理解一下。
21小树课堂
02:45查看AI文稿AI文稿哈喽，宝宝们，还是你们的 m 老师，今天 m 老师带大家来预习的，学习的是垂直且相等的这个模型。什么是垂直且相等的模型？这种模型常见在我们的正方形或者长方形当中，主要用到会发现有垂直的一个出现，垂直的出现， 那一般有垂直的出现，我们会想到什么？想到我们的一线三等角三个垂直对不对？一线三等角会有相似的出现，如果这两条边相等，会有全等的出现，这也就是我们的垂直且相等的模型，跟一线三等角模型、 k 字模型都是类似的。那我们一起来看今天的典型例题，他说 a、 d 是 对角线， 然后形容它是一个正方形， g f 且垂直于 g， 这里是垂直，告诉我 g f 等于四，问我记忆的长是多少？我们一般情况下啊，可以直接得出，就是有同学他做出来，他会观察，他觉得应该也等于四，那么到底为什么等于四呢？那么你会证明吗？如果是一条证明题，你应该怎么写呢？ 好，那我们一起来看一看。要利用它，这个垂直，我想怎么办？我是想是不是也想做两个垂直看好了， 一个垂直于 m， 一个垂直于 n， c， m 垂直于 c， d， c， n 垂直于 b， d 好， 做完垂直有什么妙用？那这个是直角，因为我在 a， b， c， d， 它是一个正方形，所以角 c、 d， b 是 一个九十度，又有两个九十度，三个九十度，其中角 m， g， n 是 第四个九十度。看好了，两个九十度，那么角一加角二是不是九十度，那么角二加角三是不是九十度？所以顺理成章的可以得出角一等于角三，这个角的相等我自然不必多说，好，接下来还有哪些相等呢？ 还有我角 e m， g 等于角 g n f 等于九十度，这个是什么呀？这个是我的一个直角，那么还有什么呢？那我们可以看到 a d 是 角平分线，那么它就平分这个角 c d b， 那 么这个角 c d a 就是 四十五度。那么又在这个小三角形里，同学们看好了，那么这个是不是也是四十五度，所以 c m 等于 m d， 那 么邻边相等的矩形是正方形，所以呢， c m 等于 c n， 同学们能明白吗？邻边相等的矩形，它是矩形，我很好正，那么邻边相等怎么正的呢？就是这个等于，这个运用了四十五度角，四十五度角等腰直角三角形，邻边相等，直角三角形是正方形，所以 g m 等于 g n， g m 等于 g n， 那 么所以三角形 e， g m 就 全等于三角形 f g n， 所以呢， g e 等于 g n， g e 等于 g f， 这里啊，等于四正 b， 答案等于四。同学们你们明白了吗？这个就是我们常见的垂直且相等模型。
08:04查看AI文稿AI文稿大家想，如果要正两条线平行，我们有什么方法可以正两条线平行？哎，是不是可以正什么？同位角相等， 两直线平行，内错角相等， 两直线平行，还有同旁内角互补， 同旁内角互补，两直线平行，对不对？分别去找这几种角，去找跟它们俩相关 e、 f、 c、 d。 那 么很显然啊，这里边我们可以找同位角， 例如可以这个角和这角是同位角，也可以是这个角和这个角同位角，对吧？还可以找同房内角相加的一百八，同房内角先一百八，目前没看到内错角。好， 根据双垂直模型，必然有互余倒角啊，大家试一试。 哎，他给了一个 aef 等于角 b 给了 aef 是 等于角 b 的， 我们要正平行，只需正什么就行了，就平行了是不？只需正这个角等于这个角是不就平行了？现在这角等于角臂，是不？只需正这个角等于角臂就行了，得不得呀，他们加他是不都得九十度啊，就这么简单。 角臂和这个角加他都是九十，所以这角臂和他相等啊，角臂和他相等， 所以角 b 和它相等。然后呢， 我们已知里边 aef 和角 b 还相等，所以 aef 和这个角是相等的，同位角相等，两直线平行。好，我们把这个过程咱们一起写一下啊，所有的证明题，先写一个正字啊，先写一个正字 啊，然后因为这个垂直，是吧？因为九十度角 a、 c、 b 是 等于九十六，还有一个垂直 cd 啊，垂直于 ab。 好， 所以呢，主要这个是九十度，所以这角加它九十啊，所以角 a、 c、 d 再加 dcb 是 等于九十， a、 c、 d 加 dcb 是 九十来，那你这个垂直里边我们马上知道这个角 b 啊，加 dcb 也是九十， 对吧？好了，那所以能得出什么都加 d， c、 b 都得九十，说明前面这俩角相等 a， c、 d 等于角 b 对 不对？说明这个 a， c、 b 这个角等于角 b， 然后这个 a、 c、 d。 注意啊， a、 c、 d 这个角等于角 b 了，已知又告诉它等于角 b aef 是 等于角 b 的 aef 等于角 b 好， 所以啊， a、 e、 f。 等于角 b a、 c、 d 啊 a、 c、 d 等于角 b 所以 我们得到什么角 a、 c、 d 就 等于角 a、 e、 f。 角 a， c、 d 就 等于角 a、 e、 f。 好， 这两个角同位角相等了。怎么着，同位角相等，两直线平行， e、 f 平行于 cd， 跟上了吧？各位同学们， 所以这道题里边核心在哪？大家告诉我核心是什么？ 刚才已知里给了角 b 等于 a、 e、 f。 除了角 b 等于 a、 e、 f 我 们导出来一个非常重要的是角 b 和角 b 相等的角还有谁？这个非常重要，来再巩固一下， 快，和角 b 相等的角还有谁啊？已知给的是 a、 e、 f 的 角 b， 我 们马上证出来的是 谁等于角 b， 从而得出求证的这道题啊，不难，但是把平行线的判定 以及双垂直模型的倒角以及证明题的步骤的书写我们巩固一遍啊，大家还是要把它学透的啊！学透 好的与角 b 相等的角，还有的就是 a、 c、 d。 就 这个角 a、 c、 d 等于角 b ok， 来这个 a、 c、 d。 这角等于角币啊，你这个角也等于角币，所以它俩相等，同为角相等，所以平行。 好，继续，下面我们来看能力提升训练。第一题，三颗星，这个不难，大家自己都能想一想，独立思考，把它做出来。 好，你的答案是， 加油！求角 c 的 度数为多少？ b， a、 c 是 等于九十度的，又给了垂直，又给了 b， a、 d 得三十。哎， b、 a、 d 得三十。把所有的已知条件展现在图上， b、 a、 d 得三十，角 c 的 度数是多少？ b、 a、 c 是 等于九十的。又有一个垂直双垂直模型，告诉我们怎么求角 c。 好， 来啊，时间到， 咱们一起来看一看。秒了吗？来都抬头，其实我一步一步去倒就能求来。我问你们，这个角如果是三十，那这个这个角三十，那这角多少度？ 是不就六十度？因为这有垂直啊，对吧？由三十推出，角 b 是 六十，角 b 是 六十。来，那角 c 是 不是就出来了？ 是不？三十拿下能跟着吗？因为你整个这是一个直角，这 b、 a、 c 是 个直角，这是六十，所以这是三十 啊，这是六十，所以这是个三十，听没听懂啊？六十，所以这是三十， 这是六十啊，这是三十。还有一种方法，大家看，这是三十，那这个是不就六十啊？ 他们两个相加九十，而这个又是直角，所以他们两个互余，互余的，他得三十。这也是一种方法。先求 d、 a、 c 等于六十，再去推角 c 是 三十。还是比较基础的啊，我们讲的细一点，彻底把它学会。
01:30查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们学习角平分线加垂线几何模型，这个模型主要分成两类，分别是双垂直模型和三线合一模型。先来看第一种双垂直模型， 已知一条射线平分，一个角过平分线上一点向角两边分别做垂线，两条垂线段长度相等，这就是模型核心。结论，依照角角边全等定律，能够证出两个直角三角形全等，从而得出 p e 等于 p f。 第二种是三线合一模型，在角平分线上取一点做角平分线的垂线和角两条边相交，会得到一个等腰三角形， 角平分线同时充当地边中线和高，证明可以使用角边矫正权等，从而得出结论。掌握两个模型结论后，我们可以解决多种题型。 第一类，线段长度求值题，借助垂线段相等换算边长。第二类，等腰三角形判定题，快速判断三角形形状。 第三类，角度推算题，利用等腰等边对等角推倒未知角度。第四类，几何证明题，求证线段相等或者位置垂直关系。后续做题，遇到角平分线搭配垂线的条件，优先套用本模型，简化解题步骤。
30彭老师解惑
01:10查看AI文稿AI文稿这个视频再来看看三角形中的双垂直模型。双垂直就是在直角三角形中再做一个垂直，就是斜边上的刀了。在这个图中，跟角 a 互鱼的交流谁？显然，在直角三角形 abc 中，角 a 和角 b 互为直角。 而在这个直角三角形 abc 中，角 a 和这个角角一也互于那角 a 的与角就有俩角 b 和角一。还记得同角的与角相等，所以角 b 等于角一。 哎，角一和旁边这个角角二也互为于角。那角 a 和角一乎于角二，也和角一弧于角 a 就等于角二呗。这就是双垂直模型中基本的角度关系了。角 b 和角一相等，角 a 和角二相等。 如果我告诉你角 a 等于五十八度，那你能算出图中所有锐角的度数不？这简单，角二和角 a 相等， 也是五十八度。角一和角 b 都是角 a 的余角，也就是九十度，减去五十八得三十二度呗，他俩都是三十二度。这样图中所有锐角的度数都被你标出来了。 再看一眼这两个角相等，这两个角相等，他们的度数刚好互匀。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！
28无锡老张爱数学
