这道题如果纯算坐标，考场算不完，但只要把面积比转化成距离比，你会惊掉下巴。今天我们来讲解二零二五高考数学北京卷的这道解析几个大题。首先看第一问，让我们求椭圆 e 的 方程。 已知椭圆 e 的 离心率为二，分之根号椭圆 e 的 点到两焦点的距离之和为四。由椭圆的定义可知，二 a 就 等于四，所以呢， a 就 等于二。离心率呢， e 等于 a 分 之， c 就 等于二，分之根号二，所以 c 呢，就等于 a e， 它就等于根号二。 b 方呢，就等于 a 方，减去 c 方就是四，减去二就等于二，所以呢， e 的 方程我们就可以很容易的写出来了， s 方除以四，加上外方除以二就等于一。然后我们看一下第二， 设 o 为坐标原点，我们可以画一下图， 设 o 为坐标原点， m s 零 y 零，它在椭圆 e 上，椭圆 e 上 m 点，然后过 直线 s 零 s 加二 y 零 y 减四等于零，直线 加二， y 零， y 减四就等于零，我们可以画一下，嗯，过 m 点， 然后呢，与直线 y 等于二， y 等于二， y 等于二，这是直线 l， 然后 y 等于负二， y 等于负二，然后分别交于点 a 和 b。 点 a， 点 b， 然后设三角形 o a， m， o a， m 和三角形 o b， m， o b， m 的 面积分为 s 一 s 二，让我们求 s 一 s 二与 o a 和 o b 两个比值的大小。我们这道题呢，其实核心的话，其实就是怎么把面积公式表达出来， s 一 呢？其实我们可以看到它要跟 o a 和 o b 产生关系呢，其实我们可以说点 m 到 o a 的 距离是第一，点 m 到 o b 的 距离是第二，那么 s 一 呢，就三角形 o a m， 它就是 二分之一，底的话，我们当成 o a 高的话就是第一。同样呢，三角形 obm 呢，就是三角形，底，是 o b， 高呢就是第二。所以说其实我们要比较 s 一 和 o a o b 的 大小， o a， 然后 o b， 然后再这样块，所以说我们重点的话，就是要把第一第二求出来， 所以说我们需要把 o a 的 表达式解出来， ob 的 表示起来，然后根据点到距离的公式，我们就可以求出第一和第二。好，我们下面开始求 已知直线方程呢，它其实是嗯， s 零 s 加二， y 零减四就等于零，我们把 y 等于二带进去，带入 就会有 s 零 s 加上二代数就是四， y 零减四就等于零，所以说我们就可以得到 s 呢，就是四减去四， y 零除以 x 零，所以呢，其实 a 点的坐标我们就知道了，它就是 s 零，四减四， y 零，然后二，同样的话，我们把 y 等于负二，代入就会有 s 零 s 负二就是减去四倍， y 零减四就等于零，所以说 s 呢，就会有四，加上四倍的 y 零除以 s 零，所以 b 点坐标我们也就可以出来了，就是 负二。好，这样的话我们就可以把表达式实现。 o a 的 表达式呢，它就等于 y 等于 k o a， 然后 x k o a 呢，它就是二减零，然后除以四减去四， y 零除以 s 零就等于 s。 好，我们把这个 y 零移上去，就会有 y 等于二 x 零，然后四减四， y 零等于 s， 然后我们可以通出一个二，就会有 s 零二减二， y 零 s， 同样我们把这个这块移过去，就会有二减二 y 零 y 就 等于 s 零 x。 然后的话，我们就可以写出它的直线的一般表达形式就为 s 零 x 减去 二里面二减二 y 零 y 就 等于零，这是直线 o a。 同样呢，我们可以求直线 o b， 直线 o b 呢，它就等于 直线 o b 就 等于 y 等于 k o b x 就 等于 o b 呢，就是负二点零，然后四加上四 y 零，除以 x 零，然后 x。 同样呢，我们可以把 y 移上去，就会有负二 x 零，然后四加四 y 零 x， 然后可以重消去一个 二，就会有负 x 零，二加二 y 零 x， 同样我们把这边移过去，就会有二加二 y 零 y 就 等于负 s 零 x。 好， 我们整理一下，把 s 零 x 移过去，就是 s 零 x， 加上二加二 y 零二 y 就 等于零。好，这两个我们就只得到了。 好，我们求第一和第二来。下面该 第一呢，就是点 m 的 直线 o a 的 距离，我们的引导表达式就会有 m 的 话，就是 s 零外零，就是 s 零乘以 s 零，减去二减二，外零外零，然后除以根号下 s 零平方加上 b 方 b 方，就是前面有符号符号负一的平方，再加负一的平方，乘以二减二 y 零的平方， 这就是第一，同样呢，第二我们也知道了。第二的话就是点 m 到直线 o b 的 距离， s 零乘以 s 零，加上二加二 y 零乘以 y 零，然后根号下 s 零方，加上二加二 y 零的平方就等于第二。好，我们需要把这两个表达式来整理一下。 第一呢，它就第一呢，就等于上边的话就是 s 零方，然后 减去加上个二 y 零方，减去二 y 零，我觉得是，然后下边呢，就是有 s 零方，加上呃四倍的 y 零方，呃，再减去八倍的 y 零， 再加上四，然后呢，第二呢，就等于 s 零方加上二， y 零方加上二 y 零，然后除以等号线呢，就是 s 零方加上四， y 零方，嗯，接着就八，加上八倍的 y 零，就加上四。好，这里面又有 s 零方，又有 y 零方。我们知道 m 的 话， m 是 s 零， y 零在椭圆 e 上 椭圆的方程呢，所以会有四分之 s 零方，加上二分之 y 零方，就等于一同成一个四，就是 s 零方，就等于加上二， y 零方，就等于四，所以说 s 零方呢，就等于四倍的四减二 y s 零方，就等于四减二倍的外零方。我们代入到上面， s 零方，就是四减二外零方，再加个二零方，就是四减二外零。 好，下边呢就是 s 零方，带进去四减二倍外零，然后相当于是再加个四，加个四倍，就是二倍的外零方，然后减外八倍的外零加上八， 然后就会有二倍的二减外零的绝对值。然后下边就是二外零方，减四，外零加上四，好，就会有二二减外零，然后提出个根号二来，下面就是 外零减二的绝对值，哎，二减外零，外零减二，消掉了，就是二分之，就是根号二，好。同样我们再看这块， s 零等于四减二倍方，带进去就会有四加二倍的外零，然后这一块就会有 s 零减，就是二倍的外零方，加上八倍的外零加上八， 就会有二倍的外零加二，然后除以二，可以指出个外零方加四倍的外零加二，然后根号二外零 加二，哎，同样也是根号二，所以呢，我们就比较清晰了， 第一比第二呢，就等于根号二，比根号二就等于一，所以 s 一 比 s 二呢，就等于 o a 的 绝对值除以 o b 的 绝对值乘以第一，除以第二。哎，它是不是就 第一第二就等于 o a 为 o b 呢？好， 所以说这道题的核心呢，其实我们就是要把第一比第二求出来，我们分别要以 o a 和 o b 为底，然后分别求点 m， 就 要直线 o a 到直线 o b 的 距离第一和第二， 然后求出第一比第二，然后就可以得到了。好，我们今天讲解到此为止了，谢谢大家。
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169初高中数学
05:48查看AI文稿AI文稿二卷第十六题，他说如图三棱锥 a、 b， c、 d 中点 e 在 b、 d 上，点 e 在 b、 d 上。然后说， a、 e 垂直于 c， e， a、 e 垂直于 c， e， a、 e 垂直于 d， e， a， e 垂直于 d、 e。 所以 说明 a、 e 垂直于底面呗，对吧？ a、 e 垂直于底面，然后又说， c、 d 垂直于 a， d， c、 d 垂直于 a、 d。 好 嘞，那我们来做题目了。第一问，他让我们证明 c、 d 垂直于 ab， 证明 c、 d 垂直于 ab 啊，那可以这样子，因为 a、 e 垂直于 d， e， a、 e 又垂直于 e、 c， 它俩相交于一点，所以我们可以退出来 a、 e 垂直于平面 b、 c、 d， 对 不对？ 好，它就垂直于平面 b、 c、 d 了。那我们是不是就可以说 a、 e 垂直于 c、 d。 好， 那现在我们的 c、 d 垂直于 a、 e， 我 们的 c、 d 是 不是还垂直于 a、 d？ 它俩交于 a 点，那我们就可以说 c、 d 垂直于平面 abd。 好，它都垂直于平面 a、 b、 d 的， 它垂直于面内所有的直线，所以 c、 d 垂直于 a， b， c、 d 垂直 a、 b。 证明完毕啊，第一问就结束了。然后第二问，他说，若 d、 e 把这个擦掉， 若 d， e 等于二， d， e 等于二，然后 b、 e 等于一，然后 a、 e 等于根号二，那因为它是垂直的，所以这个是根号六，这个是根号三，然后 c、 d 等于二根三， c、 d 等于二根三。好嘞，呃，因为我们底面是一个那个，那个。呃，直角三角形对不对？因为我们 c、 d 不是 垂直于 a、 b、 d 这个面嘛，我们把底面拉出来啊， 底面拉出来，这是 c、 d、 b 三等分点 e， ok， 这个是二，这个是二根三，这个是二根三啊，这是我们的底面。 好的啊，这是所有的长度胶带啊。然后他说求直线 a、 d 和平面 abc 所成角的正弦 a、 d 和平面 abc， 他 求的是线面角。那按正常想法，我们应该是 a、 d 它们的交点，这条直线和平面的交点是 a 吗？我们想法应该是过 d 去做这个面的垂线，但这个应该不太好做。 过 d 去做 abc 这个面的垂线吗？你具体垂到哪？不太好做，不太好做我们就不做了，我们直接去求距离，我们求把这个距离求出来，然后这个正弦值好比 c， 它角 再减 c， 它是不是就等于这个 d 到这个面的距离，然后除以 a、 d 的 长就可以了？ a、 d 是 根号六啊，那我们只要把这个距离求出来就可以了。那 d 到这个面的距离怎么求？我们可以用等体积代换的方法吗？等体积代换就是 v、 d， a、 b、 c 这个三棱锥的体积就等于 v、 a、 b、 c、 d， 对 吧？ 好，呃，那底面积，底面积是直角三角形高，就这个根号二号，这个好求。然后这个 a、 b、 c 的 面积我们要求一下 a、 b、 c， 我 们目前知道。这个啊，我们需要求一下啊。 呃，我们需要把所有长度都求一下，知道 a、 b、 c 的 面积怎么求？好，先来求 b、 c 这条边是三，这条边是二倍，根号三九加十二，二十一，根号二十一。好， b、 c 这个是它。那么再来求一下 c、 e 的 长，二根三二， 呃，四十二，这个是四。好，这个是四的情况下， a、 c， 这是个，因为 a、 e 垂直于 e、 c 嘛， a、 e、 c 是 个直角三角形，所以是二。呃，加十六，十八，十八九乘二三倍，根号二， 根号二十一。好，我们把 a、 b、 c 这个三角形拉出来啊。哎， abc， 这个是 a， abc， 好，这个 b、 c 的 长度是根号二十一， a、 c 的 长度刚算出来三根二，那个是根三，三根二，根三， 哎，这恰巧是直角三角形，对不对？所以这个面积好求啊。好，开始算了，三分之一底面积，底面积是 a、 b、 c 的 面积，这是个直角三角形，二分之一底乘高， 底是根号三，高是三根二，对吧？乘以这个 d 到这个面的距离，就是我们要求的那个小 d 啊。三分之一底面积乘高底面积，底面积就是它呀，二分之一三乘二根三， 二分之一三乘二，根三底面积乘高高，是这个 a、 e 嘛，是根号二， 好，三分之一二分之一也约掉， 这边是三根六， d 等于，这边是六根六， 所以 d 就 等于二， d 等于二，那这就是三 c， 它嘛，就等于二。除以根号六，所以就是六分之二根六，所以就是三分之根号六，就求出来了 啊。我们用等，用等体积代换的方法去求这个距离啊，就不需要去把这个垂线给做出来。好，这个正弦值就求出来了。好，这道题就结束了。
75季读数学
10:19查看AI文稿AI文稿各位同学，问你一个最实在的问题，三角函数到底是你稳稳的满分保底题，还是每次考试必丢分的重灾区？很多同学刷题无数，却依然在三角题型上反复失误，白白丢分，根本原因就是摸不透最新高考命题规律。 今天我们直接对标二零二六年全国一卷二卷北京、上海、天津五套高考真题，用最干货、最精准的官方考勤数据，带大家彻底吃透三角函数专题的分值分布、核心考点、命题套路和备考秘诀，帮大家告别无效刷题，精准抓分，稳稳拿捏高考三角所有题型。 首先我们来看整体考勤总览，三角函数作为高考数学的核心基础模块，在五套试卷中分值稳定地位关键，总分区间在十四分到二十三分之间，占全卷分值百分之九至百分之十五，是所有高三学生必须牢牢抓稳的得分板块。 其中北京卷考察权重最高，达到二十三分，命题综合性极强，多模块交叉考察区，分度拉满， 上海卷次之，分值十九分，主打创新情境与跨学科应用。全国新高考二卷十七分，一卷十五分，题型固定，难度平稳，是全卷保底得分题型。 天津卷分值十四分，命题极检测、重基础、无压轴难题。从题型分布来看，各卷命题特色十分鲜明，全国一、二卷模式统一固定，一道小题加一道解三角形大题，稳中求基础。 北京卷题型多元选择，填空解答全覆盖，擅长结合立体几何新定义综合出题。 上海卷以梯度填空为主，搭配解答题，主打物理建模创新题型，天津卷最为特殊，不设置三角小题，仅以一道大题完整考察三角函数核心知识。 在进入核心考点板块之前，我们先给大家做一次五套试卷，逐题逐分值，精准真题拆解，让大家彻底看清今年高考三角函数每一分到底考在哪里，考什么题型，难度如何。 首先是新高考全国一卷，总分十五分。第三题，单选五分，考察诱导公式、特殊角、三角函数值结合结合运算。 第十三题，填空五分，考察正弦型函数基偶性、单调性、求参数。解答题配套五分解三角形。考点，重点考察余弦定律、三角求值，全部都是基础稳分题型。 第二套新高考全国二卷，总分十七分。第七题，单选五分，考察象限角判定二倍角、横等变形化简求值。 第十题，多选六分，属于三角综合难题，结合图像、几何、距离等边三角形最值综合考察。第十七题，解答题六分，考察三角恒等变换、钝角三角形判定周长计算、中档区分度拉分体。 第三套北京卷，总分二十三分，五套试卷分值最高。第四题，单选四分，考察绝对值、复合函数、三角图像识别。 第十一题，填空五分，考察三角函数及函数性质，参数求解与最值。第十四题，填空五分，三角结合立体几何翻折模型，考察空间几何体体积表面积计算。 第十六题，大题十三分。整张试卷三角核心压轴，考察正弦定力、角度计算、四边形动态面积最大值，综合性极强。 第四套上海卷，总分十九分。第三题，填空四分，基础二倍角公式求值。第六题，填空四分，不等式结合三角换元最值。第十一题填空五分，三角函数结合物理剪斜运动导数极值介模创新度最高。 最后配套解答题六分考察正余弦定理、三角形边长与面积计算。第五套天津卷总分十四分， 整张试卷没有三角函数选择填空，小题所有分值集中在第十六题。十四分大题完整考察正弦型函数最小正周期区间最直角度求值两角和公式综合题型纯净，基础套路固定，是五套试卷里最好拿满分的一套。 听完主题拆解，大家就能精准定位自己所在省份的三角函数到底是基础送分、中档拉分还是综合压轴？ 接下来我们详细拆解五大核心必考板块，也是本次五套真题的核心考察落点。第一板块，三角函数基础概念与恒等变换，这是全卷必考零死角的基础内容。 核心考点包含任意角与弧度制、三角函数象限符号、诱导公式、同角三角函数关系以及两角和差二倍角降密辅助角公式四大核心变形公式。在专题考察中，全国卷侧重公式基础化简、特殊角求值与参数求解。 北京卷侧重基函数性质结合参数运算。上海卷聚焦二倍角公式基础计算与建模化解。天津卷重点考察两角和公式的综合应用。值得注意的是，今年所有试卷均摒弃了早年复杂的多步连环变换，更侧重公式逆用、整体换元等灵活解析思维，拒绝机械死记硬背。 第二板块，三角函数图像与性质是区分学生分数层次的关键分水岭。核心考察正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、周期、单调性、对称性，以及正弦型函数 y 等于 a、 sin、 omega、 x 加 f 的 图像平移伸缩变换与参数求解。 今年命题最大的特点就是不再单一考察周期性、对称性，三者综合互推。 全国卷重点结合函数基偶性、单调性反求参数。北京卷创新考察绝对值，符合函数的图像识别。上海卷突破纯数学范畴，将三角函数与物理剪斜运动导数极值结合，实现跨学科考察。 天津卷聚焦基础的周期求解区间最直，题型简单稳定。第三板块解三角形是所有试卷解答题的固定核心题型，也是高考高频必考大题。 核心考点为正弦定里、余弦定里的边角互化、三角形面积公式应用以及边长角度、周长面积的最值与范围问题。部分试卷还会结合立体几何内嵌三角形综合考察。 从真题来看，各卷大题设问分层清晰。第一问普遍式基础边角计算属于送分题型。第二问测中动态最值、周长范围三角形形状判定是中档区分度题型。 全国卷主打常规解三角形计算。全国二卷重点考察钝角三角形判定与周长求解。北京卷难度最高，考察四边形动态面积最大值，综合性极强。 上海卷结合方程求解边长与面积。天津卷无独立解三角形大题，仅做简单穿插考察。第四板块，三角跨模块综合题型是北京、上海两大自主命题试卷的特色难点，也是高分学生的拉分关键， 主要包含五大交汇考法，三角函数与平面向量结合、与倒数结合、与立体几何翻折问题结合、与不等式最值结合、与新定义情境结合。 其中，北京卷主打三角与立体几何结合，通过正形旋转四面体模型考察空间体积、表面积计算。 上海卷主打三角与导数物理运动建模结合，创新度极高。全国卷与天津卷综合度较低，仅存在少量简单交汇考察。第五板块，三角函数实际应用属于特色创新题型。上海卷以简谐运动速度变化为载体构建三角函数模型。 北京卷侧中几何动态建模，通过图形旋转创设题型。全国卷天津卷则保持传统纯数学命题，无生活化、情境化创新考察。了解完考点分布，我们再来总结二零二六年五套试卷三角函数的六大核心命题趋势，这也是大家后续复习的核心方向。 第一，基础公式去套路化，拒绝机械刷题，侧重灵活变形与整体运算，重点考察公式逆用角的拆分、换元思想。第二，图像性质重塑型，结合单一知识点考察，减少多条件综合推理成为主流。 第三，解，三角形大题分层明显，基础计算保分、动态最值拉分是中档分数的核心突破点。 第四，区域命题差异化显著，全国卷重基础规范，北京卷重综合创新，上海卷重跨学科应用，天津卷重极简基础。 第五，命题去模板化，打破固定解析套路，侧重学生现场逻辑推导能力。第六，分值稳定定位基础核心，绝大多数题行为基础，中档题难题占比极低，是性价比最高的题分模块。 最后结合本次考勤分析，给全体高三同学带来分层备考指导，适配不同分数段的复习需求。 基础层同学务必吃透百分之八十的基础分值，每日坚持公式记忆与化简训练，熟练掌握正弦型函数基础性质、正余弦定理、常规计算，规范大体解析步骤，确保基础题型零失分。 冲刺一百一十分以上的同学重点攻克中档题型，熟练掌握函数基偶周期对称的综合推理，突破解三角形动态最值范围问题。针对性练习北京卷特色的复合函数图像识别题型， 冲刺一百三十分的高分同学，主攻特色难题与综合题型，重点突破三角与立体几何翻折、导数建模、新定义、不等式交汇的创新题型，适配北京上海卷的高阶命题风格。 整体来看，二零二六年各卷三角函数命题稳中求变，分层清晰，核心考点统一稳定，难点仅集中在少数创新题型。对于高三学子而言，三角函数是高考最容易拿满分、性价比最高的核心模块。 只要大家沓实公式基础，吃透常规题型，针对性突破本地试卷特色考点，就能牢牢守住这十几二十分的保底分值，实现稳不提分。最后留给大家一个互动小问题，在三角函数复习中，你最容易丢分的是公式变形、图像性质，还是解三角形最值问题？ 欢迎大家在评论区积极留言讨论，互相交流避坑技巧，分享复习心得。下期我们将继续解锁高考高频重难点，助力大家精准备考，冲刺高分，我们下期再见！
09:47查看AI文稿AI文稿二零二五全国二卷解析几何压轴面积嫌长算到崩溃，别怕，一个割补法，转换思路，两步秒杀这道十二分大题。今天我们来讲解二零二五高考数学全国二卷的解析几个大题。首先看第一问，让我们求椭圆 c 的 方程， 已知椭圆 c 的 离心率为二分之根号三，长轴长为四。好，提问的话，让我们求出的方程已知的话，长轴的话就是二， a 二， a 等于四，所以呢， a 就 等于二离心率， e 呢就等于二分之根号二， e 又等于 a 分 之 c， 所以 c 呢，就是 a 乘以二分之根号二，就等于根号二。然后我们 b 方也知道， b 方就等于 a 方，减去 c 方就等于四，减去二就等于二，所以 c 的 方程我们就可以写出来。 好，我们看一下第二本， 画下草图先 好过点零负二，零负二，这边是根号二，所以负二在下边零负二，然后与直线过点，过零负二的直线 l 与椭圆 c 交于 a b 两点， a b 两点，然后 a o 为坐标原点，这是 o 下角形 o， a b 的 面积 o， a b 的 面积 s 型 o， a， b 的 面积为根号二。让我们求弦长 a b。 好， 我们看一下这道题的思路， 我们设，首先呢，这个斜率肯定是存在的，如果说这斜率不存在的话， o a b 就 重合了，就没有三角形 o a b 了，所以说肯定是存在斜率的，所以说我们可以设 l 的 斜率 a k， 这样的话，我们就可以写出方程， y 等于 k s， 因为过零负二是去减二， 同时角点 a b 呢， a 点坐标，我们可以写成 s 一 y 一 b 点呢？ s 二 y， 其实呢，这样的话，其实前长 a b 呢，有先乘公式，我们就可以带进去，就有根号下一加 k 方，然后绝对值呢， s 一 减去 s 二，这一块呢，我们可以用北大令替换了， 就是 s 一 加 s 二的平方，减去四倍的 s 一， s 二拆根号就是 就是根号，就是绝对里面 s 一 减 s 二，然后重点的话是求里面有配方嘛，所以重点是求 k， 怎么求 k 呢？我们有面积 s， 三角形 o， a， b 等于根号二，我们看一下这个三角形 o， a， b， 我 们可以切割一下，你看，因为这个点其实我们可以带进去，因为直线呢是 y 等于 k s， 我 们的零， y 等于零，然后就得到 s 呢，就等于 k 分 之二，所以说我们可以设这个点的话为 随便这个吧 n， 所以 说 n 点的坐标呢，就为二分之二零，所以说其实这个面积就可以转化成三角形 o n b 和三角形 o n a， 所以 说 a 三角形 o a， b 就 等于 o n b 加三角形 二分之一呢， k 分 之二，这是底高的话就是这是 y b， 这是 y a， 所以 就是 y b 减 y， 这块呢，也可以用 s b 减 s a， 其实也就是说 s 二减 s 一， k 分 之二， s 一 减 s 二吧。好，我们先把这个面积算一下， 面积呢就是 x l 型 o a b， 它等于两块，就等于二分之一，然后 k 分 底乘高，高的话就是 y， y 一 减 y 二， 这是 y 一 减 y 二， y 一 减 y 二等于二分之一。 k 分 之二的绝对值 y 一 呢，就是 k s 一 k s 一 减去二，再减去 k s 二减去二，就等于二分之一，然后乘以 k 分 之二， 然后再乘以，然后一个 k 可以 提出来 k 的 余值，然后里面剩 s 一 减去 s 二。好，它就等于二分之一。二分一消掉了 k， k 消掉了，就剩了 s 一 减 s 二，它就等于根号二。所以呢， s 一 减 s 二的平方呢，就等于 s 一 加 s 二的平方，减去四倍的 s 一， s 二就等于根号的平方就是二。所以说下面我们需要把 s 一 加 s 二和 s 一 乘 s 二用 k 表示出来，所以说我们需要连立 y 等于 k， s 减二， 然后同样的方程呢，四分之 s 方加上二分之外方就等于一，那我们需要连一这两个我们就可以得到。下面的话，同乘一个四就有 s 方加上二，外方减去四就等于 零。然后我们把外方带进去，就会有 s 方加上二倍的 k 方， s 方加四，减去四 k x， 然后减四就等于零。我们整理一下， s 方加二 k 方， s 方减去八 k x 加上八就等八，再减去个四就等于一加上 二 k 方， s 方减八 k s， 呃，加八减四就是加四等于零，所以我们就化简的，这样的话我们就会得到 s 一 加 s 二就等于负。一分之 b 就是 一加二 k 方分之八 k s 一 乘以 s 二呢，就会有一加二 k 方分之四。好，我们知道 s 一 减 s 二的平方就等于二，所以说就会有呃 s 一 加 s 二的平方就是一加二 k 方，八 k 的 平方减去四倍的 s 一 s 二， 四倍的 s 一 s 二就是四。四十六十六倍的一加二 k 方就等于二。我们整理一下，同一下分呀，一加二 k 方的平方， 十六的 k 方减去十还是六十四六十四的 k 平方，六十四 k 方，减去十六，乘以一加二 k 方就等于二， 好，分子上呢，就会有六十四 k 方，减去十六，减去三十二 k 方，就等于一加 一加二 k 方平方就等于二， 然后上面整理一下，就会有三十二 k 方，减去十六，然后一加二 k 方的平方就等于二，然后我们可以消去一个二除以二，就会有十六 k 方，减去八除以一加二 k 方平方就等于一。好， 然后把一加二 k 方的平方移过去，就会有十六 k 方，减八就会有一加四 k 的 四四方，加上啊二四 k 方， 然后我们可以移向下，就会有四 k 的 数字方啊，加四 k 方，然后减十个 k 方，就是减十二 k 方，然后加一加八，九加九等于零，然后我们可以再一分解一下二 k 方，二 k 方，二三得六，二三得六三 等于负负，然后所以就会有二 k 方，减三的平方就等于零，所以说 k 方呢，就等于二分之三，好，我们 k 方得到了，然后我们知道弦长呢，就是 减长 a， b 呢，就是根号下一加 k 方，然后乘以 s， 一 减 s， 二的绝对值就是一加上二分之三乘以根号二，就是根号下二分之五乘以根号二，就乘以根号五，好，所以说显然就是根号五。 所以说这道题呢，其实核心的话就是我们把这个面积做成切割的方式，就会极大的简化我们的整个过程。好，我们今天的讲解到此为止啦，谢谢大家。
09:23查看AI文稿AI文稿好，我们接着来讲这个新一卷的背题结构啊，新一卷的这个题呢，比较简单啊，这个最近也是要周末了啊，所以说这个平时背课也比较晚啊，因为后面还要带一些高高三的学生。好， 那我们来看一看这道题目，分一下条件啊，它是正四棱柱 abc 的 啊，那么看到正四棱柱，咱们自己去拆分一下，这个正的话呢，它有直三直四棱柱的性质，也就是说侧棱垂直于底面， 并且呢这个底面是个什么形状呢？底面是正方形， 那么由于你侧面侧棱垂直于底面，那么侧面是一个矩形啊， 好，这是第一个点，解读完了，那么往下走，他告诉我们这个什么长度啊，这个长度啊，总结一下，就是告诉我们这一点的位置啊， 那我们来看看这道题目，他是很容易解析的啊，就看一眼就知道，是吧， 直接出来，那么他要证明。第一问这个 b 二、 c 二平行于 a 二、 d 二，那么在这道题目里面，他是有两种选择的，第一种呢，用几何法 就是通过什么呢？它要证的是 b 二、 c 二平行于 a 二、 d 二，也就是线线平行，线线平行，我们去想平行四边形法和三角形法，也就是中位线啊，三角形，中位线， 本质上用的是什么呢？本质用的是相似啊，还有什么呢？还可以用向量来做，那么我们应该知道线平行对应到向量， 那么 b 二、 c 二这个向量呢，会等于那么大倍的 a 二、 d 二， 那么我们接下来去写 b 二的坐标， c 二的坐标，再写 a 二的坐标， d 二的坐标，分别表示向量，看看它是否成比例， 那么就做出来了啊，当然有的小伙伴呢，他这个可能思维比较好吧， 可能就用几何法也可以，这地方我也提供一下啊，当然答案里面应该不是推的，这个方法我都讲，好吧，那么它呢是 b 二 c 二在这里， a 二 d 二呢？在这里怎么用平行四边形法去证呢？那么也就是我们需要构造出来平行四边形法，然后呢间接去证这里呢，我们取这个点， 也就是说取 c 二这个平行线，以及取这个中点，为什么呢？因为我要构造平行四边形， 构造完之后，咱们啊这地方由于是写思路啊，我简单的也说明， n 是 取的中点， m 呢，取的是那个 c 二的那个点啊，就说靠近得一的 一个三等分点，那么这样我们应该很容易能够挣出来上面的四边形我写在下面啊，四边形 c 二 b 二 n m 是 平行四边形，那么推出来 b 二 c 二平行于 m n， 那 么我们应该也可以同理挣出来平行四边形 m n a 二 d 二也为平行四边形，所以说 m n 也平行于 a 二 d 二，那么通过这个中介谁呢啊？这个中介啊，不是说那个人的中介啊，是这个线，好吧，这个线那么就平行了。 哎，过来了，这个题目第一问就正完了啊，总共是两种思路，我都提供一下， 那我们再往下面来做这个第二问啊，这个砍瓜切菜给他立马做完啊，他告诉我们二面角这个是一百五十度， 那么二面角是一百五十度的话，我们求二面角肯定是求反向量吧，把这地方看成一个反向量，求一个 n 一， 红色的求一个 n 二，那么你二面角如果是个一百五十度，那么你向量的夹角，哎呀，直接出来三十度啊，直接秒了是吧？ 一百五十度二面角，那么这应该是个三十度，也就是说咱们可以得到扩散的 n 一 乘 n 二，等于扩散三十度。 这地方最好加个绝对值啊，因为有可能你算出来是负的啊，做题多的话，这个经验就直接出来了，那么等于一个二分之根号三，那这个题是不是算完了啊？那么我们来看看这道题目里面哪些需要我们求的呢？ 那么首先来看求法向量， a 二 c 二得二，因为这个好求啊。我先讲这个 n 二的啊，那么我们来分析一下， a 二很好写，对吧？你看 a 二在这 啊，我把这个地方给你写一写，好吧，可能有的基础不是太好的，我，我讲慢一点，这个二， 这里 a 的是几来着？哦，它是正方形二啊，这里也是二，这里也是一。哦，明白了，那这个 a 二的坐标应该是二，逗号二，逗号一。 c 二在哪里啊？ c 二哦，在这里，这个长是三，那就是零零三啊， 还有个得二得二在这啊，终点的位置是吧？啊，那就是二零二，那么通过这三个点的坐标 n 二就出来了吧， 是已知的，那么 n 一 呢？我们来看一看 n 一， 我用红笔啊， n 一， 也就是说要求 p 点 a 二 c 二哦， a 二 c 二这个地方已经有了，那么呢，还差一个 p 点，对不对啊？ 题目告诉我们什么呢？ p 在 哦，能 bb 一 上啊，这个题太久没看了，现做的啊， p 在 能 bb 一 上， 那我们并不知道 p 的 纵坐标长度，我们可以设这个 t， 它本身也问的是 b 二 p， 咱们设一个 b p， 求出来 b p 之后呢，一减就是 b 二 p 啊， 那么 p 点的坐标根据 b 点去写，那就应该是零二 t， 通过 a 二 c 二得二，可以求出来一个 n 一， 由于你的 p 是 含有 t 这个未知数的，那么你求出来的 n 一 必然 含有 n 这个字母，而且应该只有一个未知数， 我们可以讲一讲啊，我们的 n 二是一个确定的东西， n 一 呢，还有一个未知数，这里有一个方程啊， 我们小学就学过一个未知数，需要一个方程，所以说连历一下，这道题目的 n 就 出来了， n 出来之后，你想想哦， t t t 就 出来了啊，这个字母的问题，那么也就是我们的 b p 的 长度是知道的，那么你 b p 的 长度知道，你要求 b 二 p 是 不是就更简单了，到时候用整个的一剪是不是就出来了吧。 当然你的 p 如果在下方的话，是不是就用这一段的长度减去你的 b p 的 长度就是我们的 b 二 p 了啊？这个题目第二问就做完了啊， 感兴趣同学呢，可以下去算算这个。然后如果说有相关的疑问的话呢，也欢迎大家啊，直接把题目拍到评论区里面啊，我看到呢，也会及时的给你们解答。 好，今天这个地方讲到这里，下课。
12:56查看AI文稿AI文稿欢迎同学们来到阿特老师的数学课堂，我是数学老师，阿特老师正式开始之前呢，还是希望同学们多给老师点赞加关注，可以吧？好，我们看一下第十五题啊，在直角三角形 a， b、 c， 对 吧？不是直角三角形，是直角三棱柱 a， b， c a， e b e c e 中 角 a， c， b 等于九十度。来这一道空间几何题啊，然后呢， a， c 等于 bc， 把 a、 c 和 bc 给它，怎么样？给它都标一下， a、 c 和 bc 相等， d 和 e 分 别为 ab 和 a、 c， e 的 终点。哎，终点，这是终点，我这么说没问题吧？好，第一问，让我去证明这个 d， e 和什么呀？和这个啊， b， c， c， e， b， e 它是平行的， 这该怎么证啊？很显然，就中微线嘛，这种题我们是不是做的太多了呀，对不对？好，我们一个来，我们先说第一问，证明 我们直接连接 bc 一， 可以吧？连接 bc 一， o 不 k 好， 连接 bc 一 啊，我们这样就可以知道，因为 e 是 a、 c 一 的终点，这个这 d 是 ab 的 终点，所以说，这个 d， e 是 不是就是三角形的中位线，对不对？然后呢，因为 e 为 嗯， a， c， e 中点，然后 d 为 a， b 中点。好，我们把这个写出来啊，故 在三角形 a、 b、 c， e 中， d， e 为三角形 a， b、 c， e 的 中位线， 然后呢，所以我们就可以得到这个 d， e， 它是不是肯定平行于 b、 c 一 啊，对吧？我先把这个给它写出来， o 不 k， 然后呢，我们就可以看出来啊，那我怎么说这个 d， e 和这个平和，这个平面儿是平行呢？好了，来 可知平面。你得先说这个 d， e， 它不在平面 b、 b 一， c 一 上啊，可知平面，嗯， a， b， c 一， 怎么样？同学们，然后交平面， 嗯， b， 我 看一下 c c 一 b 等于 b c、 e， 且这个 d， e 它是不是包含于平面？ a， b， c、 e 我 这么说没问题吧？这样的话，我们是不是就可以得到？所以 d e 平行于平面 b， c， c， e， d e 啊，可以吧，这就我们第一问，第一问， 然后呢，我们再看一下第二问啊，我们的第二问，设 c， c， e 等于二直线 d， e。 看好了，与平面 a， c， e， a， e 所成的角度是四十五度， 让我们去求这个 d， e 怎么样到平面 b， c， c， e， b， e 的 个距离好了， d， e 到下面这个平面的距离，我们该怎么去写呢？同学们，来，我们先画下图啊，我先取一下 b， c 的 一个中点， 然后也取一下 c， c、 e 的 中点，可以吧？假设 c， c， e 中点是 f， 这个 b， c 中点是 g， 哎，这样一平行平移平移， 因为我们知道这个 a、 c、 b 这个角是九十度，所以说这个角是不是九十度，对不对？其实我们也知道这个 d， e 到平面什么呀？到平面 b， c， c 一 b 它的一个距离是什么呀？是不是也就是这个 d j 的 一个长度？ 我这么说， o 不 k 是 不是有这个 d j 的 一个长度啊？可以吧，是不是有这个 d j 长度？只要是我能把这个 d j 的 长度给修出来，是不是也就这个 d， e 到平面儿什么呀啊？ b， c， c， e， b， e 的 个距离啊， 是不是？好，那么我们具体怎么去求这个 b， j 的 一个长度呢？其实还是要用到这个 d， e 和 a， c， e， a， e 所乘的加角是四十五度这个结论啊，但是这个结论啊，啊，我们虽然是，呃，这这个东西我们虽然要用，但也要把辅助线做好，取 啊。 b 取 b， j 取 b c 中点，中点 g， 然后呢？ c c 一 中点 f 连接 连接 e， f， d g 还有呢啊， f g 可以 吧？然后呢，可知 这个 e 和 f， 因为都中点嘛？ e f 和 d j 分 别为三角形 c e， a c 和三角形 b a c 的 中位线， 我这么说没问题吧？然后呢，角 a c b 等于角 c e c a 等于九十度，我这么说没问题吧，对吧？或者我再写个备注，是值三个注啊， 对吧？这值三度数，所以说 c c 一 是不是这个位置是不是肯定也是九十度？我这么说 o 不 ok， 所以呢，我也就可以得到。所以， e f 平行等于二分之一倍的 a c， 而二分之 a c 是 不是也平行？等于什么呀？同学们是不是等于？呃呃，这个叫做 d j 啊，不是 b 啊，是 d j， 我这么说 o 不 ok， 可以 吧，是不是可以得到？是不是可以得到这样的结论啊，对吧？它们俩都都平行了。然后呢，又因为角看好了 a c d 等于角 a c c 一 等于九十度，所以 a c 是 不是垂直于 c c 一， 对吧？好，我画一条竖线啊，所以可知。嗯，我，我先别说所以可知了，继续啊，我还是要先写一下什么呀？我们要先写一下这个，嗯， 这个 c c 一 和这个 b c 都属于这个平面 b b 一 c， 对 吧？又之，这个 c c 一 和我们的一个 b c， 它怎么样？是不是均包含于平面？ 这个平面什么呀？就是 b c c 一 b 一， 是不是，对吧？所以可得 a c 是 不是垂直于平面 b c c 一 b 一 呀，我这么说 o 不 ok， 对 不对？所以 e f 是 不是也是垂直于平面 b c c e b e 啊？对吧？故看好了 d e， 到平面 看好了。呃，到平面 b c c 一 b e 的 距离。 为什么呀？是不是为 e f 啊？为 e f 或者也可以写成什么？是不是也可以写 d j 啊？写 d j 可以 把这个步骤我们写完整点。哎，我们就可以得到这样的结论。说白了，只要求出 e f 或者求出 b j 来，是不是最后结果又出来？ 那我怎么用这个结论呢？就是 a， 就 这个 d e 呢？和 a c c e a e 所成的加角是四十五度，我们这个时候再取这个 a c 的 中点，假设是 h， 可不可以啊，对吧？我们取 a c 中点 h 连接 d h， e h 好， 都连好了， 可以吧？这样的话，我是不是又可以得到这个 d h 和 e h 是 不是又是中位线了，对不对？然后呢？可知 e h d h 为三角形 a c c e 与三角形 a c b 的什么中位线好？这个结论我也写出来啊，这个结论我也写出来。这样的话，我们是不是又可以得到类似的一个结论？可以吧，即 e h 平行等于二分之一倍的 c c 一， 然后呢， d h 也平行等于二分之一倍的 b c。 我 这么说 o 不 ok， 可以 了吧？这样的话，我是不是也就可以得到这个 d e？ 它一边垂直于 a c， 也垂直于这个 e h， 所以 我们可以得到这个 d h 垂直于 a c， 且 d h 垂直于 e h， 对 吧？所以角，我们可以得到角 d， e、 h 是 不是也就是这个二面角啊？我这么说没问题吧，对不对？角？呃， d e h 为 d e 与平面？好，我再缩小一下，写不开了。 与平面 a c c e a e 加角角 d e h 等于四十五度。我正说 o 不 ok 对 不对？来得 e h 是 不是也就等于 d h 也就等于二分之一倍的 c c 一 也就等于一呀？我这么说可以了吧？可以吧。然后呢？故 a c 它也就等于 bc， 也就等于什么呀？同学们好了， a c 和 bc 相等，是不是有等于二倍的 bc 是 不是有等于这个二倍的 d h 等于二倍的 d h 是 不是有等于二？ o 不 k 可以 吧，我们是不是又可以得到？我们又可以得到这样的结论？这样话， a c 和 b c 我 们也就都知道， a c 和 b c 也都知道了。那么我们是不是又可以得到这个 e f 和这个 b j 是 不是也就是 a c 的 一半啊？所以， e f 等于啊！ d j 等于二分之一倍的 a c 是 不是又等于一？对吧？故 d e 到平面 b c c 一 b 一 的距离 为一。这就是我们这个题啊。这道题同学有什么问题的话，可以随时在评论区提问。行吧，这道题。
04:00查看AI文稿AI文稿这道二六年天津卷单选压轴题，许多人感觉不屑一顾，说这不就是个常规题型吗？常规怎么了？从什么时候开始常规不正常了？还说这个题很简单， 你如果是在校高中生，觉得这个处在压轴位置的题很简单，我说那你就不简单了。 首先把奇异表现为直观形象就是个基本功。 f 为双曲线的左焦点， a 为右顶点， p 是 双曲线，上一点 fa 等于 f p， 并且角 f a p 等于三十度，求双曲线的离心率。这样这个三角形 af p 就是 一个底角为三十度的等腰三角形 f o 是 c o， a 是 a， 所以 p f 就是 a 加 c， a 加 c。 因为三十度角所对的直角边是斜边的一半，所以说这个 f q 呢， 就是二分之一倍的 a 加 c， a q 就是 二分之根号三倍的 a 加 c， 那 么 a p 就是 根号三倍的 a 加 c， 这样三角形 p f a 的 三边就都表示出来了。下一步干什么？如果你想到了，我们就能把这个题轻松拿下。如果你没想到，这里提示一句， p 是 双曲线上的点， 双曲线上的点到两个交点的距离的差的绝对值等于二 a， 所以 这回想出来了吧，就是从 p 向另一个交点，比如说 f 撇做连线， 这样就构造了三角形 p a f 撇，于是 a f 撇就是 c 减 a 角 p a f 片就是一百五十度。然后我们根据定义， p f 片减去 p f 等于二 a， 就 得到了 p f 片等于三 a 加 c， 于是在三角形 p a f 片中， p f 片的平方 等于 pa 的 平方，加上 a f 撇的平方 减去个二倍的 pa 乘以 a f 撇， 再乘以口算呀，一百五十度。这个式子化简出来是三 c 方减 a， c 减去一个四 a 方，因为我们要求的是离心率，两边同时除 a 方就得三，一方减 e 减四等于零，于是就能求得离心率为三分之四。 对，说穿了就是一个定义法，定义就是运动规律， 按规律办事，我们就可以一举攻克。这有利于我们形成正确的世界观和方法论，也是数学教育一个重要目的，理所当然是考察的重点。好，请关注。
2000用户0207
09:12查看AI文稿AI文稿这道解析几个大题，你算到第几步就放弃了呢？难就难在第二步的面积转化，别硬算，今天我们来讲解二零二三高考数学解析几个大题。首先看第一问， 让我们求椭圆 c 的 方程以及离心率。已知椭圆 c， s 方除以 a 方加上 y 方除以 b 方等于一的左右顶点呢？分别为 a 一 a 二， 左右零点 a a 二右焦点为 f， 已知 a， f 等于三， a 二 f 等于一。让我们求 c 的 方程及离心率。 我们知道 a、 f 呢，它其实就等于 a， e、 o 加上 o， f 就 等于 a， 加上 c， 它就等于三。同理呢， a 二 f 呢，它就等于 a 二 o 减去 o， f 就 等于 a， 减 c 就 等于一。 这样的话，我们就会得出， a 就 等于二， c 就 等于一，然后 e 呢，等于 a 分 之 c 就 等于二，分之一 b 方就等于 a 方，减去 c 方就等于四，减一等于三。所以 c 的 方程我们也可以解出来， s 方除以四，加上外方 除以三，等于一。好，第二问， 设 p 是 椭圆 c 上的一个动点 p， 然后不与顶点重合，直线 a 二 p 呢？交外轴于 q 点。若三角形 a、 e、 p、 q 的 面积是三角形 a 二 f 的 二倍，让我们求 a 二 b 的 方程，所以思路的话，我们肯定是要把 p 点的坐标求出来。 怎么求呢？我们可以用面积公式给了一个 l 三角形 a， e、 p， q 等于二倍的 s 三角形 a、 r、 f、 p， 但是这两个三角形呢，其实又不同底，又不同高，所以说我们尽量要先转化一下。怎么转化呢？我们看发现三角形，观察我们发现呢， 三角形 a、 e， a 二 p 与三角形 a、 e、 p、 q 同高， 对吧？这两个角形，而三角形 a e a 二 p 与三角形 a r f p 呢， 这两个三角形同高，而且它们的话面积还是有一定的比例的，就 s 三角形 a 一 a 二 p 比上 s 三角形 a 二 f p 就 等于它们，底呢，就是二分之一， a f 乘以高， 他们的高是相同的，然后二分之一乘以 a 二 f， 然后等于高 a a 二，这是 a 二 a 一 a 二，所以呢，就会有 a 一 a 二比上 a 二 f 就 等于四比一，所以呢，其实这两个面积有这样的关系式，再加上呢题目给的这个关系式，所以就可以建立 三角形 a 一 a 二 p 与三角形 a e p q 的 关系。 s 三角形的 a e a 二 p 就 等于二倍的 s 三角形 a e p q， 它们两个呢，又是等高呢？都是 a 一 到直线 a 二 q 的 距离，所以呢， 只要它们的底是比例关系底的话，就是 a a 二 p 呢，它的底就是 a 二 p 就 等于二倍的 a e p q 的 底呢，就是 p q 就 a 二 p 等于二倍的 p q， 所以呢， p 是 a 二 q 的 三分点。 我们又知道呢， s q 呢，就等于零， s a 二呢，它就等于二， 所以 s p 呢，就等于三分之二， 这是 s s p 等于三分之二。然后我们把求外 p 的 话，因为它在椭圆上， s 方除以四，加上外方等于九，把它带进去会有九分之四除以四，再加上外方除以 九就等于一，相当于是九分之一，加上外方除以九就等于一，外方就等于九分，这是三， 就等于 九分之八，乘以三就等于三分之八，然后 y 就 等于 根号下三分之八就是三，根号二十四，三分之二倍的根号六，当然它可以是负的，也可以 y 就 等于正负， 所以呢，当 y 等于三分之二倍根号六时， p 点坐标就是二，三分之二倍根号六，然后 a 点坐标，我们知道它是 等于三分之二， a 点坐标就是二零，所以呢， k a b 就 等于三分之二倍的根号六减零，然后 三分之二减去二，就等于三分之二倍的根号六，负的三分之四就等于负二分之 根号六，所以 y 就 等于负二分之根号六， s 减二，这是 k a， 这是 a b 的 方程 这一种。然后当 y 等于负三分之二倍根号呢，同时可以得到 y 等于二分之根号六， s 减二。好，这时候我们就得到 a p 的 方程了。但是呢，还有一个问题， 我们看一下，我们之前呢算出来的 s p 呢？ s p 是 等于三分之二，它是大于零的，那么有没有可能 p 在 第二项前呢？也就是说 s p 小 于零，有可能哦， 然后画下图草图啊， a 一 a 二，然后呢，假设 p 在 这儿， 一二三四 p q， 我 们已经知道了 a 二 p 呢，等于二倍的 p q， 这是成立的， 所以 a 二 p 等于二倍的 p q， 所以呢，会有 p q 就 等于 a 二 q， 你 说 q 为 p， a 二的中点， s q 等于零，然后 s a 二呢，它等于二，所以 s p， 它算出来就等于负二。负二意味着什么呢？ p 与 a 重合了， 题目的话是又不 p， 不 与顶点重合，所以说矛盾，所以说 s p 小 于零不成立， 这样我们才会有这块 a p 的 方程，就等于 y 等于正负二，分之根号六减二。好， 所以说这道题呢，我们最重要的是把这个面积经过多次的转化，然后还有一个易错点的话，就是应对 l p 的 范围对它大于零，小于零，尤其对它小运的情况我们容易忽略。好，我们今天的讲解就到此为止了，谢谢大家。
01:04查看AI文稿AI文稿抖音被拉黑后，还有办法看对方视频吗？好，现在这两个是正常的好友关系。拉黑之前是可以进入对方的主页的，就是可以看到他的作品，现在我们直接把他给拉黑，右上角三个点，然后这边有一个拉黑，确认拉黑 好，我们再重新返回，然后进入他的主页，拉黑过后对方的主页是这样的，那么还有什么办法能够看到他主页的视频呢？我们先返回进入抖音设置， 然后往下边翻最下边一项退出登录退出。 好，现在我们点击右上角的放大镜，搜索一下对方的昵称，当然如果是抖音号更好， 好，又能看到他的作品了，我们点击进去就是这么简单，有这方面困扰的朋友可以去试一下。
8451设置侠
11:18查看AI文稿AI文稿今天我们来看一下天津近三年的高考真题的考点，无论是对于高一高二还是马上就要高三准备高考的同学来说， 努力很重要，但是有时候方向比努力更重要。二零二七年天津高考第一个最新的变化就是原本的三天考试时间变成了四天， 这个对于我们来说是一个好消息。其次呢，对于高考数学试卷来说，他的结构还是一如既往的啊，小题和大题，小题选择和填空，选择和填空一共七十五分，那么解答题的五道也是七十五分，所以前后各占了半壁江山。 然后整体的天津命题是自主命题的，它的风格呢，还是和以往一样，梯度比较鲜明，也就是说啊，找到合适自己的梯度。 另外的话，重视通信通法什么意思呢？大白话就是我们一定要回归教材，看看教材上的考点有哪些，然后一定要多思考，然后尽可能的啊减少一些计算。另外呢，他要求我们对一些概念一定要生化概念。 我们从高考的占比来说，还是五大模块，函数和导数占了一半，然后几何数列还有概率，这几个方面也是我们的重中之重。 今年的高考丢分的部分呢，主要是因为一个是概念理解不够清楚，另外呢，是因为计算量大或者是运算的失误，也就是说他们的在做题的时候，思路方向啊，并不是那么的啊完整缜密。 我们来具体看一下。首先呢，我们看的是选择题，选择题的前六道题考点呢，相对还是比较集中的，那么二零二四，二零二五、二零二六前六道题考试的考点基本上是比较集中， 首先第一题是集合部分，第二题是条件，这个是我们必修一的第一章。 然后相对系数，相关系数唯一变化就是这两年相关系数的难度在不断上升，二五年比二四年多的是一个正态分布的图，二六年多的是一个真实情境啊，实际上就是树形结合，给你画一个图，让你看相关系数，不是以往的几句话让你背下来就可以， 所以他也是为了增强理解。第四道题考的是图像，性质是一样的。然后第五道题呢啊， 二五年考了一个零点的区间估值，然后其他还是正常比较大小，但是比较大小呢？今年的比较大小是加了一个函数啊，另外加了一个函数绝对值，让指对密比较它的大小，所以说难度或者计算上是比以往要难的。 第六题啊，例题几何啊，考的是线面的判定，这个是没有发生改变的，所以可以从我们的前六题看到，这部分的题型是我们高考里边 特别基础的一些概念题型，所以也是我们整个卷子啊，能拿到好分数的一个必要的基石。 然后我们来看第七题到第九题，这个选择题部分呢，它就是中档题或者是选择压轴题 考试的考点呢，第七题考的原本是三角函数，考最值，考图像性质，今年考的是基本不等式，所以要求我们对基本不等式，也就是必修一里边的第二张不等式方程，这一个部分也要做一个系统的梳理。 第八道题考的是双曲线啊，双曲线和二五年考的是数列基础，二六年也是数列基础，所以数列的小题在选择题中它的占比啊也是提高了。 那么之前考的二四年考的是一个体积的割补法，到了二五年呢，考圆锥曲线啊，综合双曲线和抛物线。今年呢，啊，他的选择题的压轴题，考的依旧是双曲线的离心率这个热门考点难度系数是有的啊，计算量也比较大， 所以对于这部分的填选择题来说，我们需要注重的就是一个是技巧，另外一个是对概念辨析要有深刻的理解，其他的话要根据这个几何图形进行计算，或者说加强对题型的把握，这是选择题部分。然后我们来看填空题， 填空题的二四二五二六，前三道题基本上是一致的。不同的是，今年啊，除了第一题考复数，第二题考二项式这两个简单题之外，以往考的是圆和抛物线，以及直线和圆的解析式。 那么今年考了一个解三角形，他把解三角形提前了，因为我们知道解三角形以前是在大题部分说明，现在他觉得解三角形这部分啊，在填空题也可以直接考这个简单的考点， 所以大家不能再按照以往觉得，哎，这部分的套路是不是放在第十六题啊？啊，不一定啊，他的题型是来回会变化的啊，第十三题开始是一个分水岭， 以往考的都是情境概率和概率和期望值，那么今年呢，依旧是考的是条件概率，只不过难度系数不断的提升，因为你不光要会调节概率公式，还得明白题上出的概率的情境到底是什么样的？一个概率要分清楚概率的种类和公式。 十四题是我们的重中之重，因为平面向量啊，我们都知道要考数量级，但是考试的时候数量级和魔长的最值，他的计算量，或者说对于空间里边平面向量基本定律，空间向量基本定律，他都要求我们用多种方法做，所以在研究数量级的时候也要学会。 哎，各种各样的路径，不光几何和坐标的双路径。第十五题以往求参数是一个令人头疼的考点啊，二五年考的是横沉力问题， 今年呢，更加是考了一个抛物线多结论判断，其实他就类似于这个多选了，那么多选的话啊，势必是对我们增加难度的啊，就像物理上的多选择题一样，他也是非常关键。 那么我们在填空题这部分呢，前几道题相对来说基础，后几道题我们需要哎 把这些进行专项训练，尤其是要推导各种各样的结论，不能光记结论，光记二级结论，应该注重规范考点，也就是看到一道题，你得知道他考的是什么，知道如何应对，找对方法方向才可以。这是我们的小题部分， 解答题部分啊，这个每道题都是十五分，那么每道题十五分呢？我们先来看第十六题，十六题考的是一个啊，以往考的是解三角形啊，这两道，现在二六年不是把它放到填空题部分了吗？所以今年考了一个三角函数的图像和性质，这个呢，也是我们 必修一啊，最后一张，三角函数图像和性质非常重要的考周期变化和最值，那么这部分就要求我们对学科上的考点一定不能哎， 重点把握哪部分哪部分，现在的考点就是比较均匀，比较分布，只要是大纲里边要求的考点，我们都需要熟练掌握，因为这个题型他是可以随机变化，比较灵活的啊， 也就要求我们要更加注重各各种考点的综合。第十七题考的是立体几何，立体几何这部分是没有太大的变化的， 变化的就在于难度啊，比如说以前考体积可能相对来说比较简单，现在考体积可能用到点到面的距离，或者点到线的距离，或者是体积的一个转化法啊，等体积等面积法。 其他的话啊，这些证明啊，还有空间角面，面角啊，就是按照正常的空间解析思路进行答题和计算，但是需要注意的是，扣分的部分一定要知道啊，如何能够让他少扣分。 第十八题，这个是大题的一个分水岭，椭圆让很多中档啊难度的学生觉得椭圆解析几何比较难啊。实际上呢，我们二四年椭圆考一个连理方程，考计算，二五年呢，考了一个角平分线，说明这个椭圆他加入了一些几何元素， 所以我们就需要把几何条件给他进行翻译，转化成这些方程不等式进行计算。二六年的椭圆呢，在此基础上又把我们的斜率啊，比较斜率的定值，是吧，所以我们需要把它转化成一个代数方程。 这部分的思路或者说出题的逻辑就在于不想让我们再硬算了，因为每个人都知道椭圆伟大定律，连力，然后再往下硬解，拿步骤分，以前可够用了，现在呢？嗯，不一定。所以我们最重要的是理解题这部分需要转化成代数式， 一定不能无脑计算，一定要把握好这些核心要点。第十九题是天津高考数学当中的一个题，数列题。 数列题呢，以往考的都是啊，同向求和啊，然后这两年呢，发现这个数列逐渐的不相新定义。这个新定义呢啊，在大多数人里边觉得还没学过，考点比较难，现场去归纳总结或者说现场去阅读理解， 对大部分人来说是比较难的。那我们能做的就是通过我们简单的通向和求和啊，还有各种各样的求和公式和求和方法之后，我们要学习不等式的放松和不等式的规范和冲向证明。 另外呢，也就是充分理解必修一的第一章集合的啊，概念和集合的要素，集合的语言，集合的表示。 这部分呢，啊，也就要求我们对这个新定义一定要多加的审视，我们要看清楚各种各样的集合符号。而且这部分的话，归类推理、逻辑证明，其实就是要求我们对提议能够明了，知道他的考点方向是什么 啊，一二问呢，基本上是比较中档的啊，如果是第三问的话啊，他就需要我们一些综合能力更强。 最后一道题是我们的导数大题，导数大题也是大题的压轴题，肯定是重中之重， 但他的第一题实际上是不难的哎，所以对于我们第一题考切线方程来说，哎，这部分没问题， 单调性大部分也 ok， 但是有了参数的单调性啊，再加上一些从零点引零点再到今年的取值范围变化，肯定是上升难度的，所以它的梯度非常明显。最后就是我们的不等式证明了，那么不等式证明我们能做的就是搞清楚不等式证明的放缩 啊，一定要把它学会转化，或者熟记一些常见的纸对密斜率的大小导数的啊，分层。所以这部分呢， 第二问和第三问，第二问是一个啊，一百二十分分水岭，第三问的话也是我们的分数的八高的分数分层啊，这就是我们整个天津高考的试卷结构。
67不凡数学
01:58查看AI文稿AI文稿好，接下来我们看十八题啊，十八题，这道题叫解析几何，往往十八十九是压轴题啊，十八十九压轴题，我要给大家说一点啊，这道十八题我觉得真配不上压轴题， 这道题是我们以往做过的圆锥曲线大题当中的难度，你算他算中等还是难还是低等？我觉得是低等。 ok， 连立在一起之后，伟大定律搞出来之后，我们根据面积之比，我们一直训练这种面积之比能导出坐标之比，那么坐标就能求出来了，求出来直线是不就求出来了？第二问就是一个什么，我觉得就是个导角来回导啊，那么运用了一个第三定义，第三定义我们就玩命的去给大家去讲， 哎，第三定义。好，第二定义也给大家讲，因为现在考纲上已经删了，不能直接用，但是我们讲点叉法的时候一定会讲第三定义啊，这跟第三定义推论，那么两个斜率之基是谁啊？斜率之基 k p q 和 k q r， 斜率之基是负的 a 方分之 b 方啊。 ok， 没有这个得出来都，当然用什么方法正的点叉法正的，想象一下可不可以点叉法，哎，点叉法正出来了之后，他问的是角度，为什么搞斜率啊？同学们有没有发现你把这个角度他问的是正切，看到没？正切一般和斜率。我们斜率是定义是什么？ 斜率的定义不就是切角正切值吗？斜率就是切角，是不正切值 往里来回倒。我觉得这道题到最后其实就是解三角形，解完三角形之后，我们得到一个什么鬼啊？把它化成关于 k p q 的 或者是别的啊。那 k p q 为什么化成 k p q？ 建议，因为题目当中 k p q 的 斜率大于零，人告诉你了， 你把它画成它，然后接下来画成这种对勾的模型，用均值不等式大于等于四倍，括号三合在一起，你要注意取等条件，如果这道题你不说取等条件，不好意思扣一分，大家能明白我意思，所以这道题你冷静下来，你去做一做。这道题真的不难，考察的是谁定力足，大家能理解我意思。
16松哥哥
14:54查看AI文稿AI文稿压轴题考举行周长证明百分之九十的人栽在了绝对值，放缩，别怕，学会这三步，射餐消元求极值，直接拿捏！今天我们来讲解二零二三高考数学新科标一卷的几十几个大题。 在平面直角坐标系 s o， y 中，点 p 呢？到 s 轴的距离等于点，等于其到点零到二分之一的距离，然后点 p 的 国际方程呢？为 w。 第一问呢，让我们求 w 的 方程，我们直接根据点 p， 我 们可以设 p 点 s y， 然后 p 到 y 的 距离，到 s 的 距离就是 y 的 折角值，然后等于其到点零二分之一的距离，有 s 减去零的平方加上 y， 减去二分之一的平方，然后开根号， 然后我们同同时平方有 s 方加上 y， 减二分的平方，就是 y 方加上四分之一。减去 y。 好，我们可以把 y 方消掉，把 y 移过去，就会有 y 等于 s 方加上四分之一，所以说 w 的 方程我们就出来了。 y 等于 s 方加四分之一，它就是一个抛物线。 y 等于 s 方加上四分之一。好，我们来看第二本， 若矩形 a、 b、 c、 d 有 三个点在 w 上，证明矩形的周长大于三分之二。三，我们可以把图画出来， 然后 a、 b、 c、 d 有 三个点， a 点 b 点、 d 点都在抛线上，然后让我们证明周长大于三分之二。三。这里面有一个矩形，一个特点的话，就是它的是直角，所以说 k a b 乘以 k a d， 它就等于负一， 这叫关系，然后转化成斜率。有这个以后呢，其实我们就可以 知道，有一点就是 ab 的 斜率和 a 的 斜率有一个肯定是大于一，有一个肯定是绝对值，肯定是大于，有一个是小于，因为它是整体，乘起来是负一嘛。所以说，我们不妨 设 a、 b 的 斜率，它的绝对值呢？小于等于一，要考虑它，它在第一项弦，它是正的，所以说呢，会有 k， a b 大 于零，小于等于一。 好，接下来我们需要把 a、 b 弦求出来，加上 a、 d 的 弦求出来，然后乘以二，就等于周长。 怎么求 a b 呢？ a b 呢？其实它就等于你检查公式，一加 k 方， s d 减 s， a， a d 呢？同样 一加 k 方，这边 k 就是 负 k 分 之一，它就是负 k 分 之一的平方，然后 s a 减去 s d。 好， 我们需要把 s b 减 s， a 表出来， s a 减 s， d 表出来，所以说我们又要连立了。直线我们可以设， 下面我们正式求解一下，我们设 a 点， 这是 a， 然后它在抛物线上，抛物线就是 s 方加四分之一，就是 a 方加上四分之一。好，然后过 ab 的 方程， 我们就可以写出来了，因为斜率设的是 k 嘛， y 等于 k， s 减 a 加上 a 方加上四分之一，然后抛物线方程 w， 我 们也知道 y 等于 s 方，加上四分之一，然后连立带进去。 这一题会有什么呢？ s 方加上四分之一，就等于 k， s 减 a 加上 a 方加上四分之一。好，我们一下向 s 方减去 k， s 加上 a， k 减去 a 方就等于零。好，所以呢， 被连起来的是 a b 的 方弦，所以说 a b 就是 有微达定律，可以知道 s a 加上 s b 就 等于负根之 c， 这里面就是 k， 所以呢，我们知道 s a， 我 们设的是 a， 所以 s b 呢，就等于 k 减 s， a 就 等于 k 减去 a， 好， 所以说 ab 我 们就可以写出来了， ab 呢，就等于根号下一加 k 方， s b 减 a， s b 减 s a 就是 呃 s b 就是 k 减 a， 然后再减这个 s， a 就是 a， k 减二 a， 好， 同样呢， 我们可以求出 a d 把里面的 k 呢，用 k 分 之几代，一加负 k 分 之一的平方，然后负 k 分 之一减去二 a， 它就等于一加 k 方分之一，然后 k 分 之一加二 a， 好， 现在我们看一下 二 a， b 加上 a d 就是 周长的二分之一，它等于什么呢？就等于一加 k 方，然后 k 减二 a， 再加上一加 k 方分之一，然后 k 分 之一加上二 a， 然后 k 呢属于零，然后一。我们看一下，当 k 属于零到一的时候呢， k 方分之一呢，是大于等于一的，对不对？ 等于 k 方嘛， k 方是肯定小于等于一的，所以 k 方分之一是大于等于一的，所以会有什么呢？一加 k 方分之一肯定是大于等于一加 k 方的，当 k 方等于一的时候乘， 以及 k 等于一的时候乘等号乘。 所以呢，其实 ab 我 们就可以放松了，它放松呢还这一步用这个放松就等于一 大于等于一加 k 方分之 k 减二 a， 然后这块用一加 k 方替代了。看一下一加 k 方，然后 k 分 之一加上二 a， 好， 就等于一加 k 方，然后括号里面 k 减二 a 加上 k 分 之一加二 a， 好， 这第一步放错了， 然后第二步放缩呢？因为我们看有两个绝对值，然后又有负二 a， 又有正 a， 是 不是可以消掉呢？我们有 s 放缩大于等于 s 加 y， 所以 我们有带进去呢，就会有 ab 加 ad 呢，就大于等于一加 k 方，然后 k 减二， a 加上 k 分 之一加二， a 就等于一加 k 方，然后就对值， k 加上 k 分 之一 就对值，然后就等于因为 k 是 等于一加 k 方，然后 k 分 之 k 方 加一，因为 k 是 介于零到一的零到一之间，所以可以提出来，然后就等于如果开进去的话，就会有 k 方，然后一加 k 方的三四方。好，所以说现在呢，就会有 a b 加 a， d 大 于等于 k 方，然后一加 k 方。等号成立呢，是当 k 等于一的时候，等号才能成立， 所以说我们只需要看，如果我们可以 令 m 等于 k 方， m 呢就属于零到一， f m 呢，我们可以令到根号里边就等于 m 一 加 m 的 三次方，我们只要把这个的最小值求出来， 比如说是 f f 米对角值，就会有 a b 加上 a d 大 于等于 k 方，然后一加， 然后 f m 大 于等于 f m， 是 吧？所以这个肯定会有大一块。好，所以说我们需要对 f m 当成一个函数来处理的， f m 呢，就等于 m， 上面呢就是 m 加一的平方，然后 m 加一，就等于 m 啊， m 方加上二， m 加上一，然后乘以 m 加一。好，这一块我们就处理一下 m 的 三次方加上 m 方，再加上二， m 方 加上二， m 加上 m 加上一，然后就等于上面就是 m 的 三次方加上三， m 方加上三， m 加一，除以 m， 就 会有 m 的 平方加上三， m 加上 m 分 之一加上三。好， 进一步我们因为要研究它四小时，所以我们需要对它进行求导，求导的话有 i p， m 呢就会有二 m 加上三，减去 m 方分之一，就会有 m 方 二 m 的 三次方，加上三 m 方减去一，就等于 m 方 上面有三次方，我们可以化解一下。二 m 方加上 m 方减一，然后就等于可以提出个二 m 方， m 加一， m 加一，然后 m 减一 m 方，然后可以提出一个 m 加一来， m 加一，然后有 二 m 方加 m 减一，除以 m 方。这块其实还可以继续因式分解，因式分解的话，有二 m m 负一 啊，一负一。还有一个提出个 m 加一，二 m 减一。好，所以说可以继续因式分解， 就会有 m 加一， m 加一，二， m 减一，除以 m 方，就会有 m 方 m 加一的平方，所以二 m 减一。 所以说，我们如果令 f 撇 m 等于零呢，就会有二 m 减一等于零， m 就 等于二分之一， 所以呢，我们就可以把它的一个分子写出来，因为 m 属于零到一嘛，所以有 m 零到二分之一，二分之一，二分之一到一， 然后 f m 呢，这是负的正的零， f m 呢，减增最小值，也是最小值， f m 的 最小值呢， 在 m 等于二分之一取得， 所以说 f 二分之一呢，就等于。我看一下， m 方加上三 m 等于 m 方 加三， m 二分之三，再加上 m 分 之一是二，再加上三，就等于四分之一，四分之七加上五，就等于四分之二七，所以呢， ab 加上 a， d 呢，就大于等于根号下最小值， f m 的 最小值就等于 四分之二十七，就等于二分之根号二七三倍，根号三，二分之二三。我们发现呢，这个等号呢，必须是 k 等于一的时候， k 等于一的时候呢， m 方等于一，所以说不能去等等号不成立， 所以呢，有 ab 加 a 加 a d 大 于二分之三倍，根号三，所以说周长呢，就大于三倍根号三，没事，两倍的关系嘛。好，我们再来看一下这道题。 核心的话就是我们把弦长 a b 和 a d 求出来，然后中间的话会利用到两步放松，一步的话就是利用这个 k 方的范围，然后利用一加 k 方分之一 的根号下大于根号下一加 k 方。另外一步放松呢，就是利用 s 绝对的加 y， 这个值大于等于绝对里面 s 加 y， 然后当话说以后我们需要用函数的极致情况进行求解。好，今天的讲解就到此为止了，谢谢大家。
06:10查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是一道非常经典的高考立体几何折叠大题，改编自全国卷的真题，想在立体几何这块稳拿满分，这道题咱们最好十分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是很多同学折叠完之后找不到垂直关系，导致间隙直接卡死。咱们先来看题，一个平面图形由矩形 a、 d、 e、 b、 直角三角形 a、 b、 c 和菱形 b、 f、 g、 c 组成。其中 a、 b 等于三， b、 e 等于 b、 f 等于六角， f、 bc 等于六十度。 将图形沿 a、 b、 b、 c 折起，使 b、 e 与 b、 f 重合并连接 d、 g。 第一问，证明折叠后 a、 c、 g、 d 四点共面，且平面 a、 b、 c 垂直于平面 b、 c、 g、 e。 第二问，求二面角 b 减 c、 g 减 a 的 大小。 遇到这种折叠题，咱们的大方向很明确，第一问，抓平行和垂直关系，第二问，直接间隙，用空间向量解决。 接下来咱们看第一问，要证四点共面，其实就是找平行。你想啊，折叠之前， a、 d、 e、 b 是 个矩形，所以 a、 d 平行于 b、 e。 同时呢， b、 f、 g、 c 是 个菱形，所以 c、 g 平行于 b、 f。 这里有个非常重要的技巧，折叠后 b、 e 和 b、 f 重合了，变成了一条线段。既然 a、 d 平行于这条线段， c、 g 也平行于这条线段。根据平行线传递性， a、 d 自然就平行于 c、 g 了。 既然两条直线平行，它们就确定了一个平面，所以 a、 c、 g、 d 这四个点肯定在同一个平面内，四点共面就正完了。你看是不是很简单？接下来要证面面垂直，要证平面 abc 垂直于平面 b、 c、 g、 e。 咱们得在其中一个面里找一条线垂直于另一个面。 找谁呢？找 a、 b。 为什么是 a、 b？ 因为在原来的矩形里， a、 b 是 垂直于 b、 e 的， 这就有一组垂直了。再看直角三角形 a、 b、 c。 既然题目给的是直角三角形，结合折叠模型，很多同学在这里会犯错，不知道哪个角是直角。 咱们看，要想正线面垂直， a、 b 已经垂直于 b、 e 了。如果在平面 b、 c、 g、 e 里再找一条线和 ab 垂直，那肯定是 b、 c。 所以原来这个直角三角形 a、 b、 c 直角只能是角 a、 b、 c。 也就是说， a、 b 垂直又 b、 c。 咱们理一下，折叠之后， a、 b 垂直于 b、 e， a、 b 也垂直于 b、 c、 b、 e 和 b、 c 都在平面 b、 c、 g、 e 里面，而且相交于点 b 线面垂直的判定定律告诉我们，一条直线垂直于平面内，两条相交直线，它就垂直于这个平面，所以 a、 b 就 垂直于平面 b、 c、 g、 e。 那 最后，因为 a、 b 在 平面 a、 b、 c 里面。根据面面垂直的判定定律，平面 a、 b、 c 自然就垂直于平面 b、 c、 g、 e 了。第一问，咱们就圆满拿下了。 接下来咱们看第二问，求二面角 b 减 c、 g 减 a 的 大小。有了第一问的垂直关系，间隙就水到渠成了。很多同学在这里会犯错，间隙的时候搞错圆点或者方向，咱们以点 b 为坐标圆点， 因为 ab 垂直于底面，所以把 b、 a 方向作为 z 轴，在底面 bc、 g、 e 里，把 bc 方向作为 y 轴，再在底面内做一条垂直于 bc 的 直线，作为 x 轴， 这样空间直角坐标系就建好了。咱们来找各个点的坐标点 b 是 圆点，坐标零零零点。 a 在 z 轴上， ab 长是三，所以 a 的 坐标是零零三 点 c 在 y 轴上， bc 长是六，所以 c 的 坐标是零六零。那点 g 在 哪呢？这步很关键， 底面是个菱形角， e、 b， c 是 六十度。我们要算 g 的 坐标，可以先算 e 的 坐标， e 到原点的距离是六，它在 y 轴上的投影就是六乘以 cosine 六十度，也就是三。在 x 轴上的投影就是六乘以三也六十度，也就是三倍，根号三。所以 e 的 坐标是三倍，根号三三零。 因为 c、 g 平行且等于 b、 e， 咱们用向量平移一下，把点 c 的 y 坐标加上三 x 和 z 坐标，照搬点 e 的， 就得到 g 的 坐标是三倍，根号三九零。 坐标找齐了。接下来求平面的法向量面 b、 c、 g 其实就是底面，也就是 x y 平面。它的法向量最简单，直接取 z 轴方向。我们设为向量 n 一， 坐标就是零零一。再看面 a、 c、 g， 我 们需要两个方向，向量向量 ca 坐标是用 a 减 c 得到零负六、三向量 c， g， 用 g 减 c 得到三倍，根号三三零。 设面 a、 c、 g 的 法向量 n 二是 x、 y、 z， 它必须同时垂直于这两个方向向量。咱们列方程组 n 二点成像量 c， a 等于零，也就是负六 y 加上三 z 等于零，化简得到 z 等于二 y n 二点成像量 c， g 等于零，也就是三倍。根号三 x 加上三 y 等于零，化简得到 y 等于负根号三 x。 这里有个非常重要的技巧，法向量不需要硬解，负个好算的值就行。我们令 x 等于一代入进去， y 就 等于负根号三， z 就 等于负二倍根号三。所以法向量 n 二就是一负根号三，负二倍根号三。 最后一步算两个法向量加角的余弦值分子是 n 一 和 n 二的数量，积的绝对值算出来是二倍根号三 分母是两个法向量摩长的乘积， n 一 的摩长是一， n 二的摩长是根号下一的平方，加上负根号三的平方，加上负二倍根号三的平方，也就是根号下一加三加十二等于根号十六，也就是四 分子除以分母二倍根号三除以四等于二分之根号三。因为二面角是一个锐角，余弦值是二分之，根号三对应的角度就是三十度，所以二面角 b 减 c， g 减 a 的 大小就是三十度。这道题真正值钱的地方，不是最后算出来的这个三十度，而是第一问里找垂直的眼光。 折叠前的一组垂直，加上折叠后的一组垂直，就能锁定线面垂直，这是折叠模型里最核心的破局点，只要垂直关系找准了，间隙就是纯体力活了。大家记住这个判断标准，判断面面垂直，先找线面垂直，计算二面角，直接法向量伺候。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。如图，在矩形 abcd 中， ab 等于二， e 是 ab 的 中点。 将三角形 a、 d、 e 沿 d e 折起到三角形 a 撇 d e 的 位置，使得平面 a 撇 d、 e 垂直于平面 b c、 d e。 第一问证明 a 撇 d 垂直于 c， e。 第二问，求二面角 a 撇减 c， e 减 d 的 余弦值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
66杨老师数学精讲
