喂。
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06:15查看AI文稿AI文稿我们来看这道未分几何的题目，它要求的是 a 减 b， 等于 a 交上 x 减 b， 其中 a 逗比都是属于大 x 的，我们把这个几个参数画一个示意图， 这个就是大 x， 然后 a 在这 b 在这里面，因为他有存在 a 减 b 嘛，所以我们把 a 减 b 化成是一个包含的形式。我们设，首先我们设一个设 a 减 b 中的一个元素是小 x， 也就是这个形式，这个小 x 就属于这个范围，这范围的话他就是在 b 之外，所以他不属于 b， 但是他在 a 之内，他肯定就属于 a。 然后又因为大 a 是属于大 x， 这是题目中给的，所以我们这个小 x 属于 a， 那个小 x 肯定就是在这个大 x 之内的喽。结合得到小 x 属于大 x， 又因为小 x 他不属于大 b， 所以我们很容易得到小 x 就属于大 x， 但是不属于大 b， 可以把这个大 b 剪掉，就我们相当于把它范围缩小，我们把从原来小 x 属于整个大 x 缩小到现在就是 大臂之外的大 x， 就是这两个绿圈之间围的范围， 然后得到这个十字，然后又因为我们的小 x 属于这个范围，然后小 x 又属于 a， 这是我们从前面得到我们连立这两个他同时属于这个集合和这个集合，那他肯定是属于他们两个 集合织胶的了。所以我们得到的这个式子， x 是属于 a 交 x 减 b 的，小 x 属于大 a 交大 x 减大 b， 也就是左右边这个式子，那我们 x 是 取的是 a 减 b 中的一个元素， a 减 b 这个集合中的一个元素，那他肯定是任意的一个元素，因为我们没有指定他是某个元素，只是说他是其中一个元素，所以他可能是这这这就是每个点都有可能，那也就是说 a 减 b 中的元素都可以是属于 这个范围之内的，那我们就很容易得到。那 a 减 b 整个集合，那肯定就是属于 a 交大 x 减 b 这个集合，所以算 相当于它是它的一个紫机。然后我们现在反过来，正 右边是左边的字迹，我们前面设的是 x 属于小 x 属于大 a 减 b， 那我们现在就就看左边，我们就设去 左边的右看右边，虚小 s 是属于大 a 交上 x 减 b， 用我们这个小 x 是属于他们两个之交的，那很很容易想到就是 x 肯定也属于 a 以及 x， 小 x 肯定也属于大 x 减 b， 这个这一点是我们很容易得到的。然后 x 属于大 x 减 b 这一条，我 我们又可以推出 x 肯定是属于大 x 的，因为只是把它范围扩大嘛， 以及 x 肯定是不属于大 b 的， 用我们这个就是这一条是可以得到后面这两条的，因为我们他属于这个大 x 减 b， 那我们再把这个范围扩大，那肯定还是包含在里面的。但这个小 s 在属于的时候，他把全体大 x 中的 b 都踢掉了，所以他肯定是不属于 b 的， 也就是这个区间，这个大 b 跟这个大 x 围成的区域之间，这个范围是 bo 包含 b 的，所以这个小 x 是不在 b 之内的。我们又结合 就是小 x 是不属于大 b， 但是小 x 又属于 a， 这两点我们就可以得到小 x 是属于 a 减 b 的，这一点是比较好得到的， 那我们现在又跟上面同理得到，因为我们小 x 是取的是 a 交 x 大 b 之间的一个元素，那我们意思就是 x 中这个这里面的元素，任何一个元素，我们用 x 做一个代表，然后我们这个 x 又是属于 a 减 b 的，也就是得到 a 交上代 x 减 b 中的元素 都是属于大 a 减 b 的，这个是由我们这两个推出来的公式得到的， 那所有的元素都是属于 a 减 b， 那说明我们这个级 a 交上代 x 减 b 这个集合肯定是属于 a 减 b 的， 因为我们每个元素都是属于他，那我们这个整体肯定都能在里面找到，所以他算他的一个子级。最后我们结合前面这个 求的这一项跟这一项，你看我们的左边是不是等于这个的右边，右边是不是等于这个的左边，所以他们就是相当于是等式，两 边互为包含，互为包含的话，你包含我，我又包含你，那我们两个是不是相等，也就是 a 减 b 是等于 a 交上大 x 减 b 的，所以我们就可以证出题目中这个， 但是这道题就是这样，谢谢大家。
4沙漠小狼
03:00查看AI文稿AI文稿上一节说了，就除了那个德朗普上通调和托普的上通调是同一个东西 之外，其他除了其他什么方程的。你不做几何就知道有这么回事，知道怎么查就行了，就没必要看了。那接着这个应用就是说他他能够给个标，每个点能够给个标价，那标价不一定是 规定是用函数就是那个图册来定的吗？这这东西也是要推导他们两个标价之间的关系啊，也能推导出些关什么什么结构方程啊这样子的东西。 那就很比较自然的就能引住这个 curve store 符号了。那就两个相减 之后他就是张亮，他自己不是张亮啊。就就是这个东西在联系上成了那些基底之后，他自己不是张亮的，要想减之后才是。就这这些东西真的用了之后就有。 然后这个就是第二基本形式了。以后我们微分节还会讲个就二维的最简单的版本的帮助理解了。 那就高斯口大启发方程。就高斯就绝妙定理吗？高斯方程吗？抽奖吧。这个 我们找到这个 stop stone 四就就完成这个的任务了。就外围分型是 stop studency， stop student 是就是用了德拉姆的那定金 的那些外形似的赞同调来做了吗？首先 这还还很仔细的说了什么边界啊，什么什么变来变去这些东西。那他是先说外形是吗？还没到车公司呢。这个外形是就是两个坐标变换，他有个假抠鼻矩阵吗？这个做了很多次了，这个就这形式，在对应的为数的 几何体上可以做积分。那个就你就拉魁吗，拉的他就少一点。 接下来就这 stop 公司啊。就是他在边界积分等价于低一下之后就在整个上积分嘛，只要满足一定的条件就可以了。 那证明就是在每一个小块上做。他的想法就是他本质上就是之前讲过的这这几个公式嘛。数分里面学过这些公式嘛。就第一下嘛。之前提醒过了， 要这个黎曼流行我们就先不讲了，我们换一本书。就是，虽然他也是初步让我们干脆上了黎曼几何的书。
8互反
29:19查看AI文稿AI文稿那么我们下面就来看一下呃第四大题的计算题。 呃，第一小题呢，它是让你求这个曲线。 呃， x 等于一，加七分之几加二，呃， y 等于 t 分之一，加三， 呃， c 等于三。让你求这样的一条曲线，它呢在 在对应于他在对应于 t 等于一的点处， 对于 t 点一的这个点处的切线切线及法平面方向。 哎，你看下这个题的话呢，其实呢就是我刚才在讲填空题也好，嗯，选择题也好，对吧。我们就是给大家说了嗯，你你求出一个的话呢，其实你还可以求另外一个对吧，他现在这个题呢，就让你求嗯，这个曲线在 在对于 t 等于一的点处的切线和法片方程对吧。呃，那么你看一下他的这个曲线方程呢？是由什么给出来的？是由一般式方程给出来的对吧？一般是方程给出来的啊，不是，是用什么呀？是用这个参数方程给出来的对吧？一般 方式怎么给啊？是这个两个曲面的交线，也就是说呢，两个曲面方程的连力对吧？连力方程组。然后呢就是他曲线的，一般是方程，这是由参数方式给出来的。参数谁呀？参数是 t 啊，参数 t。 刚才我说错了啊，说错了，对不起啊对不起。 然后他说在对于 t 等于一点处的这个接线的。那么现在告诉你 t 等于几，但没有告诉你呃， t 等于一对那点是哪一个。 这边你要通过 t 的取值把 syz 取出来，那很简单的，你把 t 的一带到这个哎，带到 syz 这个这个方程里面去，或者等式里面去，对吧，你就可以解除解除 syz 的情况。所以结那就是把 提点一带入到，带入到这个曲线方框中。 那我们就可以走到 对不对是吧？ x 等于几呢？把这等于带。你学的就是 t 一加二，再除以一加一，那就是二分之三。然后 y 等于是一加三， t 等于 tt。 先等于一啊，一加三是等于四，四除以一是等于四。 z 等级的三次方， t 等于一代。这是二分之三四，二分之三四一对没有问题啊，没有问题。然后下面的任务你就干什么？其实就是求导。对就是求导。就是 x 啊，对 t 的等于 x， 对 t 的就是对 t 指导就是 e 加 t 分之 t 加二。呃，对 t 则最大好处。那就是 t 加二呢，属于一加 t 所有的地方。 那这个呢？就是是哪里的指点呢？你要回忆是哪里的指点。这就什么呀，就是上一期讲的什么一元函数的 导数吗？那么医院还是导数。你看这个是一个分式吗？所以很简单，就按照什么呀？就是导医院还是导数的四字音的法则吗？商的渠道法则对吧？商的渠道法则，两商的渠道法则。之后就不给大家选择去做了。所以他一求出来之后等于什么东西呢？等于的是 等于的是一加 t 二的平方。 呃，然后呢？类似的要求什么呀？ y 呃， y 的 t 的导数。 y 撇 t， y 撇 t 呢？就是它了。 t 分是一加 t 一加三 t 的导数啊，对吧？就是 t 分之一加三 t。 那么这个你算的话，它等于什么呀？它就等于是 t 方分之一 地方。很正规呀。然后再来求 z a 对题的倒 c a t 的导数是什么呀？ c a d t 的导数。它是。呃，那就很简单，三 t 的平方啊，三 t 的平方 对吧？ 然后这三个导数出来之后，然后再把 t 的一怎么样带到，带到这三个导数里面去，然后得出这三个导数在 t 的一点处的具体的直来对吧？具体的直来，那我们就写一下 x、 e、 k t 在 t 等于列出的十一，那我们一算，它等于什么呢？它等于负的负的四分之一哦，算不算错，大家监督一下。大家监督一下。然后呢，呃， y 片在 t 等于列出的是， 它就等于的是负一百对负一。呃，然后呢，还有什么呢？就是 c 撇 t， 它在 t 等于一点数的值。那就等于什么呢？等于三。 那这三个倒数值都取出来是取出来了，那么它的切线，那就非常好写了是吧？所以它的切线方， 它的切线方是什么东西啊？ x 减去谁啊？减去这个点的第一个坐标就是二分之三，就是 x 减去二分之三，然后除以谁呢？除以 x 对 t 的档数在 j 点，就在 t 的一点中就是负四。 然后呢，等于 z 减去第二个作用这个点，第二个是减四，但这个 y 减四。 然后呢，除以除以谁呢？除以 y d 值的等于在 p 的一点就是负一。然后呢，再等于 c 减去这个点的第三个表就是除以了，除以它这个， 那就是这个这个方程对这个方程，然后他的法平面方程，他的法平面方程。 它的法分是什么东西啊？就是把这个负四分之一拿上去，负四分之一，为了 x 减去二分之三。 然后呢，再减去一倍的，把这负一打上去，减去一倍的 y 减四，然后呢，再加上呃三倍的 c 减一，然后呢， 等于零了，要等他了，要等他了。 那这样的话呢，我们就把这个把这个题的呃两问接线和法律方式都把它写出来，你只要掌握这个，其实我认为本质上是什么呢？就是求导数或者求配导数， 然后之后就是利用空间直线的点向式方程和平面空间平面的点法式方程就可以了。好了，这个呢，就是呃第三个这个其实你的第一小题 好，下面我们再来看第二小题。第二小题 第二小题第二小题它说什么呢？这个虚线 x 等于一减三一，呃 y 等于一减偷三一， 呃 z 等于四倍的等于四倍的赛英， 呃，这个曲线呢？呃，这个曲线。然后呢，让你求什么呢？求在这个七等于二分之派数的 呃切呃切线方式。 呃，你这个发型也好。 那么这个题的话呢，其实跟这个我刚刚讲过的第一小题就是它 是完全一样的一类题型对吧？你看他现在这个空间曲线，他的方程形式也是什么形式啊？也是参数方程对吧，而且呢，这个参数就是 t， 也是 t 对吧？然后他求让求什么 t 在 t 得二分派出的 在对应的这个点处的期限和法律，而这个求的期限方程和法编方程，那都是都是都是一样的要求对吧？都是一样的要求。就是他的思路的话呢， 他的思路的话呢，其实和第一题的思路是完全一样。所以这个题的话呢，我就不给大家详细的讲解了， 我就直接把这个这个切切线方程呢，呃给你写出来啊，和这个法片方程呢，给你写出来这个我的计算结果呢？是什么呢？是这个啊。这个 还是有点麻烦的。是什么呢？呃，是这个。 我的计算结果是这个 x 减去呃，二分之派加上一除以 除以一啊，除以一，对除以一。然后呢？等于 y 减去一除以什么呢？除以， 然后等于 c 减去根号二。呃，嗯啊， c 减去二对吧。然后除以什么呢？除以的是等于 它的切列放松呢，是这个样子， x 减二十块，加一除以一等于 y 减一除以一等于 c 减二百到二除以二对吧。然后它的呃把平面上 在开始学的时候呢，就是呢，一定要知道你求的是谁，可能容易出错，不要混淆，不要混淆。呃，那么他的反面环就是呢，就是一乘以 x 减去二分之 加一，然加上一乘以 y 减一，再加上根号二倍的 c 减去二倍的根号二，括号等于。 那这就是这两个方程的结果。这是我算的结果。这个呃，我这个强烈的建议呢。呃，大家呢，你自己算一算是吧。根据我 d t 的这个思路， 让你算一算看，和我这个题我一不一样。如果真是不一样的话，你还可以检查一下我算的是我算的对还是你算的对。哎，你可以来纠正一下。纠正一下好了，这个呢，就是呃，第二题了。下面我们来看这个第三样题。他说什么呢？求这个局面。 嗯，就是 e 的二 c 次方减去 c， 加上六倍的 x 平方， y 的三次方等于零。求这个曲面再点 再点什么呢？再点一一零。在这个点处的。在这个点处的切平面 鱼发现。 那么他这个题呢？跟 跟这个前面的一二小题呢，就有点不一样了。什么呢？他先让你求的什么呀？求的是曲面，求曲面上一点处的啊，一点处的切平面和法线，两法线，两法线。 呃，那么这时候你看啊，他的曲面方程是一点二 c 次方减去 z 加上六倍的 s 平方， y 三次方等于零对吧？那么这时候呢，我们就可以呢，我们就可以呢， 直接的就可以把它把这个大 f， x， y， z 我们就可以写出来了。就什么呀，就是大 f x， y， z 就等于一的二 c 次方 减去 z 加上六倍的 x 的平方， y 的三七对吧。因为 在这个等式里面，然后右边就是零了，对吧？所以你可以这么来写。来来记。然后你求出这个三个偏倒数，嗯，可以判断对吧？答 f 对 x 的偏倒数。 那到现在为止应该很很熟练了。已经十二倍的 x， y 的三层。 呃，然后呢，大 x 对 y 的频道就是十八倍 x 的平方 y 的频， 然后大 f 对 z 的等等。就是什么？呃，二倍的 e 的二 z 四方。然后再剪一下，剪一，呃，我这个能不能抬起来？对， 然后三个偏脑出来之后，然后再提下这三个偏脑数，在这一点这个值呢？在这里这一点这个值带你去 r， f 对 x 的这个值一一零，带你去 一一零的话，这个是一一零，那这就十二的十二。然后呢，大 f 对 y 的平等数在一一零面数的值 这里面呢，就十八了对吧？让大 f 对 z 的成长速度在一一零这个值，那这个是一一零嘛？就是 z 零零， b 的零次方是有二减一的 对吧？然后这三个偏导数的值取出来之后，那你就可以呢，非常自信的或者非常勇敢的写出来这两个方程了吗？把这两个方程把上面擦掉， 那就是到上面来。那到上面来。那这个时候他的七比方 千平面发生为什么呢？就是 x 啊，不是是 是十二倍的 x 减一是吧，把这十二拿过来。然后呢，这个 x 减去这个点的第一个坐标，再减二十八倍，把这个数拿过来乘以 y 是吧，然后再加上把这个拿过来，就是一乘以， 可以减肥啊，可以减肥。这就是他的界面方程，就是点法式方程的切法，点法式方式的切法。然后呢，他的发线，他的发线当中 把线放错位，那你看 x 减一除以十二，你看就把这十二跟他分不上去嘛是吧？然后那个 y 减一，除以十八，把这十八分半拍下来，然后等于 c 减一除以几， 这两方都写出来，这两方都写出来，你说他本质是不是就缺乏平等数对吧？好了，那么这个第三小题呢，我们就给大家讲完了，下面我们继续往下看。 呃，下面我们来看一下这个第四小题啊。第四小题。呃，第四小题的话呢？ 呃，啊，不是第四小题是什么呀？是第五大题。第五大题。第五大题。第五大题。他是什么呢？他说市政林 啊，是正取命，取命根号为 seven 分号 one， seven 根号 z。 呃，等一等，我给你等待。呃，市政这个局面上 任何点子， 这个曲面上任何点击 two 的迁移。 切里面在各四标组上， 在各坐标轴上的洁净， 在个数当中的洁具之和。 呃，是这样的题。而且这个题呢，他是打了一个信号的。打了一个信号的话呢，那么应该说呃是稍微可能有点难度的对吧？那现在他只给你什么呢？就是 给了你的体面方程，体面放置给你。然后他说什么呢？他说是 在这个曲面上任何点处的切屏，切屏，然后在各个各个在各字标轴上拮据之隔的原因，然而证明这件事情。那么在证明这件事情之前呢，其实呢，呃你是有必要怎么呢？有必要把这个切屏的方程解。 然后呢，我们说写这个前面的方程呢，其实最直最常用的方法就是点法式方程， 然后呢，这个通过点法是把这个七幺七变方向，如果写出来之后，然后其实在表示或者是在描述平面方程的时候呢，还有一种方程形式，就是这样洁具式方程。那么这样的话呢，他在各个所有的 洁具，那你就知晓了。那么今天加起来看是不等于这样，是不是得可以这个题呢？首先还是什么呢？首先还是你要把这个呃 把这个呃切边的方程取出来。那么现在我们不妨呢，我们假设假设什么呢？呃，假设呃在这个曲面上， 在这个局面上，在这个局面上任意点。我们把它记得什么呢？就是任意点 m 吧，它的坐标就是 x y z， 也就是你这个 s 零， y 零 z 零。这个点是什么？在这个局面上，呃，在这个局面上，然后下面我们就是求这个局面在这个在这一点处的界限方程啊，界限方程。那么好了，那这时 其实呢，呃我们就可以什么呢？我们就可以立 w x y z 等于时候呢，你看由这个方向我们得到什么？就是根号 x 加上根号 y， 加上根号 c， 减去根号一 对吧。然后这一头呢，我们说大 f 对 x 的平角数，那等于二倍的根号 x 分之一，大 f 对 y 重量速等二倍的根号 y 分之一，大 x 对 z 的平角数，等于二倍的根号 z 这东西。然后呢，呃，他们分别在 m、 c 点这个值就是二倍的转化 c 问题，大 m、 g、 y 的等值，在 m、 g 点这个值就是二倍的转化 y 值问题。然后大 m、 c 的这个值就是二倍的 c 对吧？就是这个嘛，那这个嘛，那么就这三个配套数在 m、 g 也就直接取出来了。所以它的切片方程呢？就是它的切片方程就可以写出来了。 斜平面方程。它因为什么呢？因为这个二倍的分号 x 零分之一乘以 x 减去 x， 加上二倍的分号 y 分之乘以 y 减 y， 让加上二倍的根号 z 零分之一乘以 z 减 z 零 就是它。所以这就是呃七平院的点法式方程嘛。点法式方程，然后下面五句法什么 把这个把这个点法式方程把它改成什么？改成结局式方程对吧？结局方程。 呃，那么我们可以把这个呃叠法四方法呢？打开，把这括号把它打开，把它打开。那么大家看一下，你把这里打开的话，我这个屏幕前方这个位置一打开是什么呢？是二倍的官方 x 零分之一分之一 x 乘以 x， 加上二倍的根号 y 分之一乘以 y， 加上二倍的根号 z 零分之一乘以 c， 对吧？然后把后把那个长剩的长短都写到一起。就什么呢？减， 减去二倍的根号 x 零分之 x 零。减去二倍的根号 y， 分之 y。 减去二倍的根号 c， 分之 c。 对啊，是这样。 然后你再整理一下二倍的根号 x 零，分之 a， 呃，分之 x 对吧？分之 x 加上二倍的根号 y 里分之 one， 加上二倍的根号 z， 分之 z， 对吧？ 然后这个你看啊，这个就可以显示什么呢？ x 零和这个杠 x 零消掉一个。哎呦，网换回来， 我换过来。对不起啊。 这是二倍的根号 s 零，分成 x， 二倍的加二倍的根号百零五万加二倍的根号 c， 等于 c。 减去 s 零，根号 s 零，相对于根号 s 零，就减去二。呃，二分之根号 s 零。减去二分之根号 y， 减去二分之根号 c 对吧？然后继续写二倍的刚好 x 里分之 x 加二倍的正方 y 乘之 one 加的二倍的正方 c， 就是这个，然后减去。减什么呢？这就可以中分了，就等于二分之。把这个长度拿到，等于尾去，就是二分之刚刚。 x 加上根号 y， 加上根号 c， 对吧。然后 现在你不要忘了什么呢？这个 s 零， y 零 z 零呢？是我们在最开始假设的，他是曲面上的任意点吧。那么他是曲面任意点的话呢，那么他就满足这个曲面方程了。所以这块就满足了，就是满足根号 s 零， 加上根号 y 零，加上根号 c 零，它等于几啊？等于根号零，满足这个等式吧。满足这个等式的话呢，这个等于多少钱？这个往下等，就是二分之根号 s a 加根号 y 加根号 c 零，等于根号零， 对吧？然后这个有二，这有二，这有二，这也有二，最多消掉消掉消掉消掉消掉。所以你就得到这么一下你就得到了是 x 除以根号 x 加上根号 y， 零分之 one 加上根号 c， d 分之 c， 就等于根号。 然后给了你个条件， a 是大于零的， a 大于零的话，开根号还是大于零的。所以你可以把根号尾除下去。根号什么东西呢？就是根号 a 乘以根号 x 零。然后呢，分之 x 加上根号为 a 乘以根号 y， 零 分之 y 加上根号 a 乘以根号 z 里分之 z， 就等于几啊？等于一了。 所以这个就什么？这个就是洁具释放，就是平面的洁具，洁具释放，它就是洁具释放。 那么它的结局方程的话，那么这个每个分式的根本部分就是它在这个平行在 s 中， y 中这一种的结距嘛。所以这个它问你的是结距之和等于多少？等于 a 对吧？所以你把这个结局拿过来，根号 a 乘以根号 s， b 加上根号 a 乘以根号 y 加上根号 a 乘以根号 c， 那么他就等于根号 ab 的根号 x 零加上根号 y 加上根号 c， 然后等于根号 a 乘以根号 s， 零加根号位加根号位等于几啊？等于根号位吗？对啊，所以这就等于根号乘以根号位。呃，根号位乘以根号位就在一起了，就乘以就等于。所以这样的话呢， 我们就证明出来这个结论了对吧？这个结论对吧？这样。所以它的本质上呢还是呢？呃，把这个曲面上在任何一点处的切边方程写出来。那我们说了切边方程，我们常用的方法是点法式方程对吧？那么点法式方程写出来之后，然后再把点法式方程 把它转成平面的洁具是方程，那这样的话呢，你这个平面在各个坐标中的洁具你就可以找到了。然后把各个坐标中的洁具把它拿过来加起来看，是不是我能证明的。这个结论就是这样，就是这样一个词， 所以本质上我认为还是围绕着这个编导处再展开，不要再再不断的拓展，不断的拓展。 好了，这个就是第五大题的这个证明题，我们给大家讲完了。那这样的话呢，我们这一节的习题呢？呃，就都给大家讲完了，大家呢可以呢？呃，对照一下参考一下，对吧。有什么问题及时联系我啊，及时联系我。好了，今天可以到这里了，同学们再见。
2TNT
03:05查看AI文稿AI文稿啊？什么叫主曲率呢？我们呢，首先来看这样一个香蕉啊，我们知道呢，这个香蕉的表面，他实际上是一个曲面， 对不对？比如说这个点吧，你沿不同方向看，他弯折程度不一样，你要是从这个方向看，他是有点弯，那， 但是你要从这个方向看，他叫特别弯，对不对？所以这个方向和这个方向他是具有不同的曲率的。我们大家看他的内侧，内侧就更搞笑了，你在这个方向，他有点弯，而且往这边弯，你要是在这个方向，他很弯，而且往这边弯，他不仅仅是弯折的程度不一样，他连弯折的方向都是相反的， 对不对？好，我们知道了，一个物体沿不同方向会有不同的区域啊，我们再来画一个图，比如说这有一个烟囱， 这个烟囱呢，腰底细，两边粗，是吧？这是一个这样的一个烟囱啊，好，那现在呢，如果我们要是 横着切一刀的话，我们会切出一个圆，他是往这边弯的，你如果竖着切一刀，他会切出这样一个边的，对不对？他是往左边弯的，跟香蕉的内侧是有点像的啊，所以啊，在一七六零年的时候， 那微分几盒呢？有一个奠基者名字叫欧拉啊，欧拉，我们已经不知道提了多少次了，是吧？著名的数学家欧拉啊，欧拉呢，就提出了这样一个理论，他就说吧，我们可以用不同的平面去切割这个曲面啊，切割他，切割他的时候，沿不同方向的曲率是有大有小的，那么在曲率最大 那个方向，还有曲率最小的这个方向，我们称之为主曲律啊，这个两个方向我们就管他叫主方向，这两个平面我们就管他叫主平面啊，主平面就是在切割这个点的 时候，那些平面里面能造出最大曲率和最小曲率的那两个平面，是吧？这就叫主平面。然后呢，欧拉通过数学方法证明了这样一个结论，就是啊，两个主平面，为什么两个主平面，一个 k 最大，一个最小吗？两个主平面之间一 一定是怎么样呢？一定是互相垂直的。哎，这个呢，是在一七六零年的时候由欧拉证明的。 我们举个例子啊，比如你看这烟筒，这烟筒嘛，他横着是一个，横着是一个主平面，那他的是曲率是往这边最大的，然后竖着切，又是一个主平面啊，他是这个曲力往那边最大，他俩之间是互相垂直的，一个横着切的面，一个竖着切的面。你再来看这个香蕉啊，这个香蕉呢，他 在这个点啊，这是一个主平面，那这又是一个主平面，他们俩也是互相垂直的，对吧？好，那主平面之间呢，一定是互相垂直的。我们再来 看，如果是一个平面，平面就是他不是曲面了。平面上的每一个点，他的主方向和主平面情况又如何呢？我在这里画一个平面， 你会发现呢，不管你用什么样的面去切割这个平面，这个平面啊，他都是切出来直线，你怎么切他都是直线。所以对于平面来讲，他的主主曲率是多少呢？不管是最大的曲率还是最小的曲率，都是零， 对不对？对于平面来讲啊，他的主方向是任意方向，然后呢，他的主曲率都是零。好，那么主曲率的概念呢？我们也说完了。
3237李永乐老师
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03:09查看AI文稿AI文稿那下面呢，我们就可以来介绍啊，高斯绝妙定理了。高斯绝妙定理，他为什么起的名字这么奇怪呢？啊？ 什么叫高思绝妙定理呢？我们知道啊，一条直线，它是可以画在一个平面里的，对吧？啊，当然，你在这个平面里呢，你这个直线也是可以弯的，你可以让这个直线呢？哎，弯成这个样子对不对？ 但是你在弯折的过程之中呢，这个直线的长度是可以不变的，你好像把一条线在平面上弯一下，是吧？这个线的长度他是不变的，我们可以进而让这个面也弯起来，就是这个面上面有一条直线，但是这 这个面它本身弯了，对不对？面本身弯了之后呢，你会发现这条直线上每个点的曲律就不一样了，原来是直线，每个点曲律都是零，你弯了之后，这个曲律就不是零了，对不对？但是这个线段它的长度依然是不变的， 对不对？那我们就说呀，这个长度怎么着啊？它的长度实际上是与弯曲的，所以这个曲面呢，它弯曲的长度啊， 是与这个曲面弯曲的程度无关的，不管你这个曲面怎么弯，反正这个直线的长度呢，都是不变的，这个长度与弯曲的程度无关啊，那这样的量啊，我们给它起个名字叫内运量， 很显然长度是个内运量。哎，长度啊，他与这个曲面在空间中的弯曲程度没有关系啊，如果其他的量也能够与弯曲的程度没有关系的，那我们也给他起个名字叫内运量。在一八二七年的时候， 一八二七年的时候，另外一个微分几何的奠基者，那就是高斯，数学王子高斯，那史上最伟大的这个数学家高斯呢？他就发现了另外一个内容量啊，他说呢，我们可以定义高斯曲， 什么叫高斯取利呢？欧拉不是已经说了吗？在一个曲面上的点上有主曲律，一个曲律最大，一个曲律最小，叫主曲律，我们把两个主曲律呀盛起来， 哎，这个呢就叫做高斯曲律，他发现呢，在等长变换下。什么叫等长变换呢？就是在这个变换的过程之中啊，他的这个线段的长度是不会不会变化的，其实就类似于这曲面发生了弯曲啊，在等长变换下，这个高斯曲律 是保持不变的。高斯取利保持不变的意思就是说当你这个面弯了之后，你主取率会发生变化，比如说一个平面，本来主取率都是零，你这么一弯，他主取率就不是零了，对吧？但是高 词曲律也就是把两个主曲律承起来，他应该是保持不变的，高斯就发现了这高斯曲律是个内容量。那这句话我们好好解释一下，比如大家 看啊，我这里有一个比萨，这个比萨他实际上一块是个平面嘛，对不对？因此他每个地方的高斯区都是多少？刚才说过的是零，对不对？那我们吃比赛的时候啊，如果说这个比赛比较长，他就会弯过来，对不对？ 他一弯，咱们看这个点啊，沿这个方向上，他的主取率已经不是零了，但是沿这个方向还是一条直线呢，所以说呢，他的高思取率是等于一个不是零的时候，我乘以零还是零保持不变，对吧？我们吃比灶的时候也可以这样吃啊？让他这样折一下，如果你要是这样折的话，你会发现延 沿着这个方向他已经凹进去了，这个主取力不是零，但是沿这个方向呢？他还是一条直线，所以主取率还是零，这样一来的话高速距离依然是保持不变的，对不对？
3793李永乐老师
02:03查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我是李勇的老师。最近呢，有一个新闻刷爆了互联网，说是中科大二十六岁的特任教授陈稿在复威分级和领域攻克的一个世界难题。 小朋友就问我说，这微分几何到底是怎样的一门学科呢？晨稿教授的成果又是什么呢？微分几何啊，起源于数学家对于曲线和曲面的研究，如今呢，已经成为广义相对论的基础，与拓普学和理论物理呢密切相关。学过微分几何的小伙伴都知道，这能 学科特别的复杂，普通人呢，很难理解他的全貌。那今天呢，我们就来选一个微分几何中相对比较容易理解的概念，高斯绝妙定理，来给大家体会一下微分几何的魅力。 为了理解高斯绝妙定理啊，我们首先呢，先来了解一个平面几何的问题，叫做曲律，还有呢，曲律半径，曲律和曲律半径 啊，什么意思我们都知道啊，圆有半径，那么一个曲线有半径吗？我们来看，这是一个随便画的一条曲线 啊，那么这条曲线呢，他不同的地方啊，弯曲程度是不一样的，我们就想比较，比如说这个点 a， 这个点 b， 这个 有点 c， 它的弯曲的程度是吧，怎么比较呢？我们就想了个方法，我可以啊，用一个圆去贴近这个曲线，如果在一个很小的范围内，这个圆可以和曲线密接，在密接这个 地方也是圆，和曲线的密接这个地方也是圆，和曲线的可以密接。那么这样的圆我们就管它叫曲线，这个点的取绿圆，取绿圆呢，就是在一个点可以和一个平滑曲线密接的圆，数学上可以证明啊，一个平滑曲线上某一个点的取绿圆是唯一的 取绿源，他不是有个半径吗？哎，取绿源的半径我们就管它叫取绿半径，我们用字母揉来表示啊，这叫取绿半径，对吧？取绿半径我们再取个倒数就叫做取绿， 取绿配它就等于取绿半径的倒数啊。有了取绿和取绿半径，我们就可以比较不同的点它的弯折程度了。
2.5万李永乐老师
04:05查看AI文稿AI文稿你知道什么是微分几何吗？微分几何起源于数学家对于曲线和曲面的研究，如今呢，已经成为广义相对论的基础，与拓普学等物理理论密切相关。学过微分几何的小伙伴都知道，这个理论特别的复杂，普通人呢，很难理解他的全貌。今 天我们就来讲一讲微分几何中一个相对容易理解的定理。高斯绝妙定理，生活中有各种各样的曲线，如果用一个圆与曲线的一部分紧密贴合，这样的圆呢，就叫做曲粒圆，他的半径叫做曲粒半径，曲粒半径的倒数就叫做曲粒。 曲线越平缓的地方呢，曲率半径就越大，曲率就越小。而曲线越弯曲的地方，曲粒半径越小，曲率就越大。对于一条直线来讲，与他密接的语儿半径是无限大，所以直线的曲粒半径无限大，直线的曲率是零。现在呢，我们从 曲线升级到曲面。对于一个曲面来讲，不同的方向会有不同的弯曲程度。比如有一个香蕉，他沿着某个方向是凸起的，沿着另外一个方向呢，却是凹陷的，而且二者弯曲的程度也不一样。 为了描述曲面上某个点具体的弯曲程度，我们可以用同一个面去切割曲面，这样呢，就会得到一条相交线，这条相交线在这一点就存在曲率。 当我们旋转这个平面的时候，就会获得很多条切割线，比如一个烟囱啊，我们横着切，会切出一个圆形，竖着切呢，会切出类似于双曲线的形状。在一七六零年，著名的数学家欧拉证明了一个定理，在一个曲面上某个点做不同的切割面，会得到很多条切割曲线，这 这些曲线中，曲律最大和曲律最小的两条曲线，他们的曲律叫做主曲律，而主曲律对应的平面叫做主平面， 主平面一定是互相垂直的。下面我们继续升级。在二维平面上，直线可以弯成曲线，同样在三维空间中，平面也可以弯成曲面。 在一八二七年史上最伟大的数学家高词发现，如果曲面上某个点的主曲率分别是 k 一和 k 二，他们的成绩就叫做高词曲率。当曲面在高为空间发生弯曲的时候，主曲率的直会发生变化，但是他们的成绩高 丝曲律却会保持不变，这个规律就叫做高斯绝妙定理。我们来举一个例子啊，比如有一个比萨，他是平面，任何一点的高斯曲律都是零。当我们吃比萨的时候，比萨有两种弯曲的方式，但是高斯曲律为零是不会发生变化的。换句 话说，比萨在弯折的地方依然会存在一条曲率为零的直线。高斯绝妙定理可以解释许多曲面的问题，比如说我们可以把橘子皮剥开，但是无论如何 都没有办法展开成一个平面，这是为什么呢？原因是平面的高斯曲率是零。如果一个曲面可以展成平面的话，他的高斯曲率也必须是零。换句话说过，这个曲面上每一个点都至少要有一条直线，他才能够展开成平面。 圆柱、圆锥都可以展开成平面，因为他的母线是直线。球面不能够展开成平面，因为过球面上任何一个点都没有直线， 理论上讲是没有办法在一个平面上画出世界地图的，人们只能采用各种各样的投影法画出地图的近似情况。比如莫卡托投影法，就是把地球投影到一个圆柱上，然后再把圆柱展开，这样做的结果就是两级地区的面积会变得非常大。看 起来呀，格丁兰岛的面积比非洲还要大，而南极洲更是跟整个欧亚大陆差不多了。高斯绝妙定理能够处理很多复杂的曲面弯曲问题， 比如螺旋曲面和旋立面曲面看起来完全不一样，但是呢，他们却可以通过弯曲变换出来，在这两个曲面对应的点上，高丝曲力也是相同的。 当年高斯发现这个规律的时候啊，情不自禁就自己给他起了一个名字，叫做绝妙定理。多说一句啊，高斯的得意门生黎曼将高斯的曲面理论发扬光大，创立了黎曼几何。在爱因斯坦创立广义相对论的过程之中呢，也敏锐的发现，我们的时空其实是弯曲的，不能用通常的欧基里德几何来解释，但 但是又苦于找不到更好的工具。他向自己的同学几何学家格多斯曼求助，格多斯曼呢，就把黎曼几何介绍给爱因斯坦了。利用这个数学工具呢，爱因斯坦终于创立了广义相对论。爱因斯坦自己都说，他没有想到宇宙的真理居然存在于数学当中。
1.7万李永乐老师
03:44查看AI文稿AI文稿但是如果是一个橘子的话，你就会发现他的表面没有一条直线，所以呢，你把它剪开之后，他也不可能变成一个平面。人们在高斯之后呢，才认识到这个问题，在高斯之前呢，人们化世界纪总是画不准，而且还不明白为什么。高斯之后，人们才明白了，因为 地球上的图案是不可能画在一张平面上的。那怎么画地图呢？人们采用各种方法啊，比如说有一种叫做莫卡托投影的方法啊，莫卡托 这个投影，莫卡托投影的意思是说呢，虽然我们没有办法把地球上的图案直接呢放在一个平面上，但是我们可以做投影啊，比如这是一个地球是吧？我们在地球外面我套一个圆柱，他 圆柱掏完了圆柱之后呢，我就让这个地球上每一个点都映射到这个圆柱上，是不是？然后呢，我们再把这个圆柱给展开，这不就行了吗？对吧？但是这样展开之后，虽然地图能画出来，但是你会发现很奇怪啊，你比如说 南北两极的部位，他们那个面积会扩大的很多，是吧？格林兰岛看起来比非洲还大，这个南极大陆看起来比欧亚大陆还要大，是吧？只是这种投影呢，他是有一定的失真的啊。那么除了地图之外呢，现代社会啊，人们对于美的追求啊 越来越高了，所以呢，在这个设计产品上，设计产品上啊，很多时候呢，也需要考虑到这个曲面是不是可展曲面，比如说设计跑车呀，设计手机的外形啊等等啊，你设计的时候总是有两个思路，一个速度呢，就是你可以用可展的这样的曲面。还有一个思路呢，就是可以用不可展的 啊，不可斩的这样的曲面，那么可斩曲面呢，制造起来就比较容易，就是我们可以先造一个平的壳，然后通过某些方法把它压弯，哎，这样就可以造出来了，是吧？上色也比较容易，比如说我们可以采用这个彩色膜片贴合技术啊。彩色膜片 贴合技术什么意思呢？就是我们在这个玻璃壳底下，我们垫一张这个平的彩色片，然后通过一些方法一压它，把它压弯，哎，这个紧紧贴合到一起就行了。但是如果想做到这一点呢，你必须保证这个外壳它是可展曲面啊，就是说它虽然是弯曲的，但它是可以展开的啊。 但也有一些手机设计啊，他就不走寻常路啊，非要造出一些不可展的曲面来。比如说 oppo 新出了一个手机，叫 oppo 范的 x 三啊， 这个 oppo 范的 x 三呢，它的这个后壳啊，就是采用了一个不可斩曲面的设计啊。我们来看这个手机的后壳呢，设计的一种比较特殊的曲面，那称之为环形山。这个 三面呢，它的高斯曲艺都是正的，是凸起来的，是吧？到了这个面呢，形成了一种马鞍的形状啊，就是凹进去的，所以高斯曲律是富的，那么你环绕一圈呢，高斯曲律就一会正一会复啊，设计师在做这个设计的时候，把整个 一个湖面的分成了两千多个点啊，实现了这个镜头和后壳的完美融合，实现了不可能曲面的设计啊，除了设计难之外啊，另外一个难点在于制造，那不管你这个高斯曲律是正的还是负的，只要你不为零，你就是不能展成平面的。只要你不能展成平面的，必须是一次成型。除了摄像头开孔之外啊，整个后壳没有任何开孔和拼接，这也 是很多旗舰机所追求的工艺。那么在上色的时候啊，也不能采用这种彩色膜片贴合技术的，因为他没有办法展开，所以那样做的话，会出现气泡啊，那我们怎么办呢？ oppo 工程师啊，采用的是喷涂 无数值液镀膜以及喷油墨的这种方法，这种技术啊，不光能够让护壳看起来鲜艳明亮，而且能够在手机跌落的时候呢，减少手机后壳破碎的概率。不仅仅是手机啊，在现在的生活中啊，很多设计师都善于用曲线给人带来美感，比如说北京有许多现代的建筑，像北京的凤凰国际传媒中心啊，大兴国际机场啊，呃，望京 搜后啊，他们的设计师呢，都用了大量的曲线来给人带来美的感受，这些优美的建筑呢，都凝聚了设计师和建造者们的心血，人们 越来越发现呢，曲线相比于直线，能够给人带来一种特殊的美感。当我们在欣赏这些美丽的产品的时候，也不妨想一想，他每一个点的高斯曲律是正的还是负的呢？因为啊，即便有一天，这些建筑和产品发生了扭曲，他在这一点的高斯曲率依然是不会发生变化的。
6942李永乐老师
15:00查看AI文稿AI文稿前面我们讲述了 分型微分几何的那个整体副机构， 分型微分结合的整体复制构。 今天我们说一下分型微分几何的一个关键的灵魂 就是微分流行， 这微分流行在这个 分型微分级和到他的那个简西点 f 上面，简西点级 f 上面 如果不给他赋予一种 物理学 映射流流行或者说运动的这种或者说场的这种意义的东西， 那么分型微分几何，分型分型几何的这个 螺旋闭合环的这副机构，它仅仅是一个禁止的数学 镜子的结合，没有没有太多的 物理学的意义。当我们给他 在 f 的上面 f 点的点击上面赋予一种 死量，这里我们叫他复全死量， 那么他在他的这个所有的这个点击群上面， 子群或者群上面就有了一种映射，它相对于他的任何一个 任何一个联络上面，或者是联看这个联络任何一层上面，他都会 投影一个特定的 共行的死量，这种共行的死量 如果仅仅用或者说机械运动的那种观念给他赋予那种死量，可能 并不符合物理学的那个在这个分离子内部电磁规万幸 我们 当时是从费米纸的角度给他赋予了一个复 全食量，然后我们后来在研究这个波色纸和废米纸的这个 作为这个能量或者说波动群的队友的时候，我们认为波射者光子电磁波他也有一个死量，也应该是负结构的， 所以我们当时就给他给这个在分型上面，分型微分几何里面他有一个复选史量， 从这个复旋式量在无限微的地方把它与波色子的 这个电池规范性相互融通，那么他就给 所有的基本的物质他一个这个死量意义，这死量意义在他一种特定的结构下面。当然我们这里讲 是废米纸的机构上面，他因为他有他这个负机构的这个这个变化性，他就有的波动性。那么 费米子，所有费米子电子这只中指以及结发太的那个那个费米纸 他不稳定的，因为他那个他那个机构的里面的那个能能量的这个机构的这个或者说不够，不够这个协和，协和 不够理想，他寿命短啊，或者是他会迅速衰变激发太的那个费米值啊，他都有一个这样的负结构的这种负负悬死量，负结构的负悬死量 导致他这个粒子就显得有一种波动性， 在其他的那个作用下面，他哪怕激发出一个波士值，波士值内部他有一个 复复复选死量，那复选死量他与这个这个有波动性的这种藕合的时候，他也显示出有波动性。 复选死量，为什么要用复选死量？复选死量是一个全新的死量概念 复悬式呢？他第一个就是说不是那个已太空这个本底上面有一个直接的机械运动， 他仅仅是给一群这个那个解析结上面形成一个共行的这种规范的厂或者流流厂， 他可以在整个粒子层面协和车，他的这个这个，嗯，边界流，在他的这个整 气上面形成了一个呃，非常对称的，就是分型微分对称的一个类柄的这个波动性， 这种波动性与那个光子的或者说波色子的波动性，他构成能量的一种形式，他是他是一种形式啊，就好像电磁波一样， 所以光立二相信或者说电这个这个那个这这人这人规范性， 这个是由这样这样的一种波动月饼规范出来的。 就复选死量， 他，他在这个， 在这个，因为他在那个无限微微小的这个这个局域里面，我们看是无法直接看的，我们只能感受这个例子外面的，因为他的那种所谓自选形成的电池机构， 这是我们就是说不能直接去看到，但是可以 检测到，或者说我们现在物理学有这个方法去去测定这指电子以及中指他的那种电 电池规范性，用非常巧妙的方法，这这点在冷冷离子这个电池规范测量上面，可能有些国家做的非常前前前沿， 而且是非常保密的，我们国家也也在做这方面的这个努力和尝试。 复选死量 他在这整个环的这个复杂的，我们叫他抄面上面形成一种共行的流， 我们把这个环把它形象化的切开，那么他在这上面，他可以看到他一个整个这个环面上面都有这样的一个适量，适量或者这个 副副食量长，他转个转个角度到他那个管子的里面空腔里面，他有可能又是朝另外一个相反的方向， 因为他是负结构的，他并且在各个层， 因为他是有这个无线附层机构的，他在各层的这个这个空间里面，我们可以叫他 这个反的斯特空间，这个空间里面可以就就从这个不同层的管层的那个内壁里面去所谓的内壁里面去看他，他也是有这个 共行的牛。 那么简单的说就是说这个死量是一个旋转 就带就最终导致自悬的那种类柄自悬的， 哎，这种类柄自选，他不仅仅是在对我们外空外外内之外的这个电池感应的 磁磁效应，电磁效应，他还对着他的这个各层的这个嗯，空间的环的内内腔空间的构成效应，而这个 这个环的这个每个环节，他在这个中间的这空运的这个地方构成一个共同的共行的一个枪，这共行的枪是他 是一层一层一层一层对着共赢的枪。那么我们把那种理解为 从从物理学的原来的角度讲，像虫洞一样，在这虫洞里面是也是可以感受到特定的电池规范性的，当然我们进不去啊，而是说我们从解析的角度讲，他有这种电池规范性 复选史料，他是在这个在这个各层的各个共行面， 各层的各各个共情面的细节上面都是有投影的。 这个妞妞腹悬食量，妞也是腹食量，妞也是腹食量， 那种副食，副食量，有一个他，他搞了一个那个山穴环，山环的那个什么山县 三悬石梁，他表面上看很像那种，从他的界面上看很像那种石，那个悬石梁，哎， 因为他有类柄的机构，所以他在各个层各个空间，或者说反反都是他空那个空间高斯特厂， 哎，有这种有这种意义，他在表面上面就像那个那个超面的 共行流，共行流他就导致了他的特定的电池规范性， 我们说他有三种基本电池规范性， 假如我们讲他在这个沿着这个 四四元素空间，四元素空间 他沿着这个 a 加 b， 这个这个所谓的这个这个方向尾平行的这个方向上面他有一个主流型 mu， 那么在这上面 就有一个主流型喵，那么在这个环上面就形成一个 以这个环这个组方向为溜的为喵喵的这个这个共行流行， 那么他就是一个有可能形成这种。
